Викиучебник ruwikibooks https://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0 MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Медиа Служебная Обсуждение Участник Обсуждение участника Викиучебник Обсуждение Викиучебника Файл Обсуждение файла MediaWiki Обсуждение MediaWiki Шаблон Обсуждение шаблона Справка Обсуждение справки Категория Обсуждение категории Полка Обсуждение полки Импортировано Обсуждение импортированного Рецепт Обсуждение рецепта Задача Обсуждение задачи TimedText TimedText talk Модуль Обсуждение модуля Event Event talk 0 89 267549 258308 2026-05-20T13:00:25Z AllaBuraya 79455 267549 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Музыка, Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} __NOTOC__ [[Теория музыки для математиков/Предисловие|Предисловие - для кого и о чем эта книга]] ==Основы== #[[Теория музыки для математиков/Экскурс в историю|Экскурс в историю]] #[[Теория музыки для математиков/Уровни музыкальных рассуждений|Уровни музыкальных рассуждений]] #[[Теория музыки для математиков/Физические основы звука|Физические основы звука]] #[[Теория музыки для математиков/Биологические основы звука|Биологические основы звука]] ==Построение музыкального звукоряда== #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение|Музыкальный звукоряд - построение]] #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства|Музыкальный звукоряд - свойства]] #[[Теория музыки для математиков/Тональный ряд|Тональный ряд]] #[[Теория музыки для математиков/Тональность|Тональность]] #[[Теория музыки для математиков/Лад|Лад]] ==Интервалы и аккорды== #[[Теория музыки для математиков/Интервалы|Интервалы]] #[[Теория музыки для математиков/Аккорды|Аккорды]] ==more to come ...== *[[Теория музыки для математиков/Сырые материалы| Сырые материалы]] ==Приложения== #[[Теория музыки для математиков/Пифагорейский звукоряд|Пифагорейский звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Натуральный звукоряд|Натуральный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Темперированный звукоряд|Темперированный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Наименования октав|Наименования октав]] #[[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|Калибровка музыкального звукоряда]] #[[Теория музыки для математиков/Семиступенные лады с шагом 2|Семиступенные лады с шагом 2]] ==[[Теория музыки для математиков/Литература| Литература]]== #[[Теория музыки для математиков/Литература#На русском языке|На русском языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На немецком языке|На немецком языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На английском языке|На английском языке]]. == [[Теория музыки для математиков/Предметный указатель|Предметный указатель]] == [[Теория музыки для математиков/Авторы|Авторы]] o8dso4t6w5luu89vz2rhqbk0vm0j1x3 267568 267549 2026-05-21T06:32:10Z AllaBuraya 79455 267568 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Музыка, Занимательная математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} __NOTOC__ [[Теория музыки для математиков/Предисловие|Предисловие - для кого и о чем эта книга]] ==Основы== #[[Теория музыки для математиков/Экскурс в историю|Экскурс в историю]] #[[Теория музыки для математиков/Уровни музыкальных рассуждений|Уровни музыкальных рассуждений]] #[[Теория музыки для математиков/Физические основы звука|Физические основы звука]] #[[Теория музыки для математиков/Биологические основы звука|Биологические основы звука]] ==Построение музыкального звукоряда== #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение|Музыкальный звукоряд - построение]] #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства|Музыкальный звукоряд - свойства]] #[[Теория музыки для математиков/Тональный ряд|Тональный ряд]] #[[Теория музыки для математиков/Тональность|Тональность]] #[[Теория музыки для математиков/Лад|Лад]] ==Интервалы и аккорды== #[[Теория музыки для математиков/Интервалы|Интервалы]] #[[Теория музыки для математиков/Аккорды|Аккорды]] ==more to come ...== *[[Теория музыки для математиков/Сырые материалы| Сырые материалы]] ==Приложения== #[[Теория музыки для математиков/Пифагорейский звукоряд|Пифагорейский звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Натуральный звукоряд|Натуральный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Темперированный звукоряд|Темперированный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Наименования октав|Наименования октав]] #[[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|Калибровка музыкального звукоряда]] #[[Теория музыки для математиков/Семиступенные лады с шагом 2|Семиступенные лады с шагом 2]] ==[[Теория музыки для математиков/Литература| Литература]]== #[[Теория музыки для математиков/Литература#На русском языке|На русском языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На немецком языке|На немецком языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На английском языке|На английском языке]]. == [[Теория музыки для математиков/Предметный указатель|Предметный указатель]] == [[Теория музыки для математиков/Авторы|Авторы]] kg1d9ao3n7rw3exy7y7fwc5kykeif0e 267751 267568 2026-05-21T10:32:40Z AllaBuraya 79455 267751 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Музыка, Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} __NOTOC__ [[Теория музыки для математиков/Предисловие|Предисловие - для кого и о чем эта книга]] ==Основы== #[[Теория музыки для математиков/Экскурс в историю|Экскурс в историю]] #[[Теория музыки для математиков/Уровни музыкальных рассуждений|Уровни музыкальных рассуждений]] #[[Теория музыки для математиков/Физические основы звука|Физические основы звука]] #[[Теория музыки для математиков/Биологические основы звука|Биологические основы звука]] ==Построение музыкального звукоряда== #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение|Музыкальный звукоряд - построение]] #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства|Музыкальный звукоряд - свойства]] #[[Теория музыки для математиков/Тональный ряд|Тональный ряд]] #[[Теория музыки для математиков/Тональность|Тональность]] #[[Теория музыки для математиков/Лад|Лад]] ==Интервалы и аккорды== #[[Теория музыки для математиков/Интервалы|Интервалы]] #[[Теория музыки для математиков/Аккорды|Аккорды]] ==more to come ...== *[[Теория музыки для математиков/Сырые материалы| Сырые материалы]] ==Приложения== #[[Теория музыки для математиков/Пифагорейский звукоряд|Пифагорейский звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Натуральный звукоряд|Натуральный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Темперированный звукоряд|Темперированный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Наименования октав|Наименования октав]] #[[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|Калибровка музыкального звукоряда]] #[[Теория музыки для математиков/Семиступенные лады с шагом 2|Семиступенные лады с шагом 2]] ==[[Теория музыки для математиков/Литература| Литература]]== #[[Теория музыки для математиков/Литература#На русском языке|На русском языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На немецком языке|На немецком языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На английском языке|На английском языке]]. == [[Теория музыки для математиков/Предметный указатель|Предметный указатель]] == [[Теория музыки для математиков/Авторы|Авторы]] o8dso4t6w5luu89vz2rhqbk0vm0j1x3 267838 267751 2026-05-21T11:50:35Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Музыка]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267838 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Музыка, Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} __NOTOC__ [[Теория музыки для математиков/Предисловие|Предисловие - для кого и о чем эта книга]] ==Основы== #[[Теория музыки для математиков/Экскурс в историю|Экскурс в историю]] #[[Теория музыки для математиков/Уровни музыкальных рассуждений|Уровни музыкальных рассуждений]] #[[Теория музыки для математиков/Физические основы звука|Физические основы звука]] #[[Теория музыки для математиков/Биологические основы звука|Биологические основы звука]] ==Построение музыкального звукоряда== #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение|Музыкальный звукоряд - построение]] #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства|Музыкальный звукоряд - свойства]] #[[Теория музыки для математиков/Тональный ряд|Тональный ряд]] #[[Теория музыки для математиков/Тональность|Тональность]] #[[Теория музыки для математиков/Лад|Лад]] ==Интервалы и аккорды== #[[Теория музыки для математиков/Интервалы|Интервалы]] #[[Теория музыки для математиков/Аккорды|Аккорды]] ==more to come ...== *[[Теория музыки для математиков/Сырые материалы| Сырые материалы]] ==Приложения== #[[Теория музыки для математиков/Пифагорейский звукоряд|Пифагорейский звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Натуральный звукоряд|Натуральный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Темперированный звукоряд|Темперированный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Наименования октав|Наименования октав]] #[[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|Калибровка музыкального звукоряда]] #[[Теория музыки для математиков/Семиступенные лады с шагом 2|Семиступенные лады с шагом 2]] ==[[Теория музыки для математиков/Литература| Литература]]== #[[Теория музыки для математиков/Литература#На русском языке|На русском языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На немецком языке|На немецком языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На английском языке|На английском языке]]. == [[Теория музыки для математиков/Предметный указатель|Предметный указатель]] == [[Теория музыки для математиков/Авторы|Авторы]] [[Категория:Музыка]] 9vb609afeme1c9f7vidicfrpqjy3vmg 267839 267838 2026-05-21T11:50:45Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267839 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Музыка, Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} __NOTOC__ [[Теория музыки для математиков/Предисловие|Предисловие - для кого и о чем эта книга]] ==Основы== #[[Теория музыки для математиков/Экскурс в историю|Экскурс в историю]] #[[Теория музыки для математиков/Уровни музыкальных рассуждений|Уровни музыкальных рассуждений]] #[[Теория музыки для математиков/Физические основы звука|Физические основы звука]] #[[Теория музыки для математиков/Биологические основы звука|Биологические основы звука]] ==Построение музыкального звукоряда== #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение|Музыкальный звукоряд - построение]] #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства|Музыкальный звукоряд - свойства]] #[[Теория музыки для математиков/Тональный ряд|Тональный ряд]] #[[Теория музыки для математиков/Тональность|Тональность]] #[[Теория музыки для математиков/Лад|Лад]] ==Интервалы и аккорды== #[[Теория музыки для математиков/Интервалы|Интервалы]] #[[Теория музыки для математиков/Аккорды|Аккорды]] ==more to come ...== *[[Теория музыки для математиков/Сырые материалы| Сырые материалы]] ==Приложения== #[[Теория музыки для математиков/Пифагорейский звукоряд|Пифагорейский звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Натуральный звукоряд|Натуральный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Темперированный звукоряд|Темперированный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Наименования октав|Наименования октав]] #[[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|Калибровка музыкального звукоряда]] #[[Теория музыки для математиков/Семиступенные лады с шагом 2|Семиступенные лады с шагом 2]] ==[[Теория музыки для математиков/Литература| Литература]]== #[[Теория музыки для математиков/Литература#На русском языке|На русском языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На немецком языке|На немецком языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На английском языке|На английском языке]]. == [[Теория музыки для математиков/Предметный указатель|Предметный указатель]] == [[Теория музыки для математиков/Авторы|Авторы]] [[Категория:Музыка]] [[Категория:Математика]] ne7087i0mnbdk8wuffltxoqang6oxsn 267840 267839 2026-05-21T11:51:25Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267840 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Музыка, Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} __NOTOC__ [[Теория музыки для математиков/Предисловие|Предисловие - для кого и о чем эта книга]] ==Основы== #[[Теория музыки для математиков/Экскурс в историю|Экскурс в историю]] #[[Теория музыки для математиков/Уровни музыкальных рассуждений|Уровни музыкальных рассуждений]] #[[Теория музыки для математиков/Физические основы звука|Физические основы звука]] #[[Теория музыки для математиков/Биологические основы звука|Биологические основы звука]] ==Построение музыкального звукоряда== #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение|Музыкальный звукоряд - построение]] #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства|Музыкальный звукоряд - свойства]] #[[Теория музыки для математиков/Тональный ряд|Тональный ряд]] #[[Теория музыки для математиков/Тональность|Тональность]] #[[Теория музыки для математиков/Лад|Лад]] ==Интервалы и аккорды== #[[Теория музыки для математиков/Интервалы|Интервалы]] #[[Теория музыки для математиков/Аккорды|Аккорды]] ==more to come ...== *[[Теория музыки для математиков/Сырые материалы| Сырые материалы]] ==Приложения== #[[Теория музыки для математиков/Пифагорейский звукоряд|Пифагорейский звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Натуральный звукоряд|Натуральный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Темперированный звукоряд|Темперированный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Наименования октав|Наименования октав]] #[[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|Калибровка музыкального звукоряда]] #[[Теория музыки для математиков/Семиступенные лады с шагом 2|Семиступенные лады с шагом 2]] ==[[Теория музыки для математиков/Литература| Литература]]== #[[Теория музыки для математиков/Литература#На русском языке|На русском языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На немецком языке|На немецком языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На английском языке|На английском языке]]. == [[Теория музыки для математиков/Предметный указатель|Предметный указатель]] == [[Теория музыки для математиков/Авторы|Авторы]] [[Категория:Музыка]] 9vb609afeme1c9f7vidicfrpqjy3vmg 267841 267840 2026-05-21T11:51:32Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Занимательная математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267841 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Музыка, Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} __NOTOC__ [[Теория музыки для математиков/Предисловие|Предисловие - для кого и о чем эта книга]] ==Основы== #[[Теория музыки для математиков/Экскурс в историю|Экскурс в историю]] #[[Теория музыки для математиков/Уровни музыкальных рассуждений|Уровни музыкальных рассуждений]] #[[Теория музыки для математиков/Физические основы звука|Физические основы звука]] #[[Теория музыки для математиков/Биологические основы звука|Биологические основы звука]] ==Построение музыкального звукоряда== #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение|Музыкальный звукоряд - построение]] #[[Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства|Музыкальный звукоряд - свойства]] #[[Теория музыки для математиков/Тональный ряд|Тональный ряд]] #[[Теория музыки для математиков/Тональность|Тональность]] #[[Теория музыки для математиков/Лад|Лад]] ==Интервалы и аккорды== #[[Теория музыки для математиков/Интервалы|Интервалы]] #[[Теория музыки для математиков/Аккорды|Аккорды]] ==more to come ...== *[[Теория музыки для математиков/Сырые материалы| Сырые материалы]] ==Приложения== #[[Теория музыки для математиков/Пифагорейский звукоряд|Пифагорейский звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Натуральный звукоряд|Натуральный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Темперированный звукоряд|Темперированный звукоряд]] #[[Теория музыки для математиков/Наименования октав|Наименования октав]] #[[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|Калибровка музыкального звукоряда]] #[[Теория музыки для математиков/Семиступенные лады с шагом 2|Семиступенные лады с шагом 2]] ==[[Теория музыки для математиков/Литература| Литература]]== #[[Теория музыки для математиков/Литература#На русском языке|На русском языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На немецком языке|На немецком языке]]. #[[Теория музыки для математиков/Литература#На английском языке|На английском языке]]. == [[Теория музыки для математиков/Предметный указатель|Предметный указатель]] == [[Теория музыки для математиков/Авторы|Авторы]] [[Категория:Музыка]] [[Категория:Занимательная математика]] bjznmxwo5awib97jkwwg0ttezpx4wp3 0 99 267593 154018 2026-05-21T07:59:35Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Занимательная математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267593 wikitext text/x-wiki '''[[w:ru:Звук|Звук]]''' есть воспринимаемые человеческим слухом колебания воздуха. Музыкальные звуки порождаются музыкальными инструментами (в этом смысле человеческий голос тоже условно причисляется к музыкальным инструментам). Традиционной моделью для изучения музыкальных звуков является колеблющаяся струна. Струны лежат в основе большого числа инструментов (не только струнных, но и, например, клавишных). Рассмотрим и мы колеблющуюся струну, чтобы узнать, что же за колебания воздуха она порождает. ===Уравнение колебания струны=== Колебания струны изучали ещё пифагорейцы. Они использовали для этого несложный прибор под названием монохорд, представляющий собой единственную струну, закрепленную в двух точках над резонатором. Значительно позже, в XVIII веке, после работ Ньютона и Лейбница в области физики и дифференциального исчисления, было выведено уравнение колебания струны - так называемое ''волновое уравнение'' (породившее новую область в науке - математическую физику): <center> <math>{\partial ^2u \over \partial t^2} = a^2{\partial ^2u \over \partial x^2} \qquad a=\sqrt{T/\rho}</math></center> Здесь <math>t\,\!</math> - время; <math>x\,\!</math> - координаты некой точки на струне в момент времени <math>t\,\!</math>; <math>{u = f(x,t)}\,\!</math> - функция отклонения точки <math>x\,\!</math> в момент времени <math>t\,\!</math> от положения равновесия; <math>a\,\!</math> - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны; <math>T\,\!</math> - сила натяжения струны; <math>\rho\,\!</math> - линейная плотность однородной струны. Предполагается, что струна совершает малые колебания в одной плоскости. Волновое уравнение есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть - ускорение струны в точке x, а правая часть - отнесенная к массе струны сила, вызывающая это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны <math>{\partial ^2u \over \partial x^2}</math>. Мы не будем здесь решать волновое уравнение, а лишь отметив заслуги Д'Аламбера, Даниила Бернулли, Эйлера и Фурье, приведём конечный результат. <center> <math>u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n (x,t),</math><br> <math>u_n(x,t) = A_n(x) \sin\left({{n\pi{a} \over l}t + \phi_n}\right)</math><br> <math>A_n(x)=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\sin{{n\pi \over l} x}.</math><br> </center> Отсюда видно, что каждая функция u_n представляет собой гармоническое колебание с частотой <math>\omega_n = {{n\pi a} \over l}</math> и фазой <math>\phi_n\,\!</math>. Амплитуда же колебаний для разных точек разная. На концах струна неподвижна. Все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются ''стоячими волнами''. Неподвижные точки называются ''узлами'' стоячей волны. Посредине между узлами расположены точки, в которых отклонения достигают максимума. Эти точки назывются ''пучностями'' стоячей волны. <br> <div style="border: 1px solid #00F; margin: auto 30px; padding: 5px; text-align: center;"> Вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн <math>u_n(x,t)\,\!</math>, каждая из которых имеет постоянную частоту колебания <math>\omega_n={{n\pi a} \over l}</math> и изменяющуюся по длине струны амплитуду <math>A_n(x)=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\sin{{n\pi \over l} x}</math>. В <math>k\,\!</math>-й стоячей волне имеется <math>k\,\!</math> пучностей и <math>(k+1)\,\!</math> узлов. </div> <br> ''Примечание''. Некоторым читателям может быть непонятно словосочетание "сумма волн". На самом деле всё просто: представьте, что вместо одной волны мы пускаем на одной и той же струне одновременно несколько волн, и их колебания складываются. В данном случае происходит сложение не одной и не двух, а бесконечного множества волн. Вернёмся к музыкальной интерпретации: # Мы видим, что звуки состоят из суммы гармонических колебаний. Назовём эти отдельные гармоники ''идеальными звуками'', ''тонами'' или просто ''звуками'' (нем. [[w:de:Ton (Musik)|Ton]]). Такие звуки хоть и не существуют в природе в чистом виде, представляют однако полезную абстракцию, упрощённую модель. Такие звуки можно характеризовать частотой (f). # Реальный звук струны состоит из звука ''основной частоты'' <math>w_1 = {{\pi a} \over l}</math>, а также ''обертонов'' (''верхних тонов'', ''гармоник'') - <math>w_2 = {{2\pi a} \over l}, ..., w_k = {{k\pi a} \over l}</math>. Такой сложный звук, состоящий из основного тона и обертонов, называется в немецком языке [[w:de:Klang|Klang]]. Основной тон иногда для удобства называют первым обертоном. Соотношение частот обертонов к основному тону даёт нам ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, ... #Звуки, не имеющие основной частоты вовсе (и не описывающиеся волновым уравнением) назовем ''шумами'' и не будем рассматривать вовсе. Именно сочетание обертонов даёт музыкальную окраску звуку - его ''тембр''. Если слегка прикоснуться к струне в некоторой точке, то все гармоники, имеющие в этой точке пучность, будут погашены и не будут слышны. Так можно явно услышать вклад обертонов в общий тембр звука. ===Интервалы=== Итак, мы теперь рассматриваем звуки, обладающие некоторой основной частотой <math>f\,\!</math>. Обертонами мы обычно будем пренебрегать, кроме некоторых случаев, когда они важны. В музыке нам интересен не конкретный звук в отдельности, а соотношения звуков друг к другу. Под ''интервалом'' понимается расстояние между двумя звуками. При этом нижний звук (с меньшей частотой) называется ''основанием'' интервала (<math>f_1\,\!</math>), а верхний звук (с большей частотой) – его ''вершиной'' (f₂). Расстояние можно измерять по-разному, поэтому существуют разные понятия интервала, которые, иногда, одинаково обозначаются в музыке, что привносит путаницу. На физическом уровне у нас есть только частоты. ''Акустическим интервалом'' (или ''интервальным коэффициентом'') между двумя звуками назовем частное от деления частоты вершины на частоту основания: <center> <math>{I_{21}={f_2 \over f_1}\ (f_2 \ge f_1)}</math> </center> ''Примой'' называется акустический интервал, равный 1 (т.е. тривиальный интервал), ''октавой'' - 2, ''чистой квинтой'' – 3/2, ''чистой квартой'' – 4/3. '''Осторожно:''' на других уровнях рассуждений те же названия интервалов имеют совершенно иной смысл! :''С физической точки зрения проинтерпретировать это можно так: при акустическом интервале 'прима' частоты звуков совпадают; при интервале 'квинта' за одно полное колебание звука основания происходит полтора колебания верхнего звука, т.е. три полуволны; при кварте – за полтора колебания звука основания верхний звук успевает совершить два полных колебания или четыре полуколебания; при интервале октава на одно полное колебание основания приходится два колебания верхнего звука или четыре полуволны.'' (проинтерпретировать можно, но не нужно - [[Участник:Grigory Grin|Grigory Grin]] 21:00, 13 Ноя 2004 (UTC)) Интервал, не превосходящий 2, называется ''простым'', больший 2 – ''составным''. ''Обращением'' интервала λ называется величина 2/λ. Очевидно, что произведение интервала и его обращения дает октаву. В дальнейшем при построении музыкального звукоряда будут использоваться октавы и квинты. Объяснение этому можно искать, например, в теории обертонов. Если говорить о струне, то прима – это первый обертон (совпадающий с основным тоном), октава – второй, а квинта – третий. Эти интервалы и звучат для человеческого уха наилучшим образом (но здесь мы забегаем вперед). ===Обозначения звуков=== На данном уровне можно обозначать звуки лишь их абсолютной частотой в [[w:ru:Герц (единица измерения)|герцах]] (Hz) или же, если выбрать один из звуков за точку отсчета, можно сопоставить каждому другому звуку интервал от точки отсчета, исчисляемый как частное от деления частоты звука на частоту точки отсчета. Такой подход позволяет абстрагироваться от конкретных частот (оставить это как задачу калибровки, см. [[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|приложение]]) и изучать лишь соотношения между звуками. [http://corpuscul.net/teoriya-zvuka-2/teoriya-zvuka-tom1/ Теория звука] [[Теория музыки для математиков/Содержание|к содержанию]] [[Категория:Теория музыки для математиков|Физические основы звука]] [[Категория:Занимательная математика]] hv425ebv1zenz0m2yqphf5ow238kyon 267594 267593 2026-05-21T08:04:44Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Занимательная математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267594 wikitext text/x-wiki '''[[w:ru:Звук|Звук]]''' есть воспринимаемые человеческим слухом колебания воздуха. Музыкальные звуки порождаются музыкальными инструментами (в этом смысле человеческий голос тоже условно причисляется к музыкальным инструментам). Традиционной моделью для изучения музыкальных звуков является колеблющаяся струна. Струны лежат в основе большого числа инструментов (не только струнных, но и, например, клавишных). Рассмотрим и мы колеблющуюся струну, чтобы узнать, что же за колебания воздуха она порождает. ===Уравнение колебания струны=== Колебания струны изучали ещё пифагорейцы. Они использовали для этого несложный прибор под названием монохорд, представляющий собой единственную струну, закрепленную в двух точках над резонатором. Значительно позже, в XVIII веке, после работ Ньютона и Лейбница в области физики и дифференциального исчисления, было выведено уравнение колебания струны - так называемое ''волновое уравнение'' (породившее новую область в науке - математическую физику): <center> <math>{\partial ^2u \over \partial t^2} = a^2{\partial ^2u \over \partial x^2} \qquad a=\sqrt{T/\rho}</math></center> Здесь <math>t\,\!</math> - время; <math>x\,\!</math> - координаты некой точки на струне в момент времени <math>t\,\!</math>; <math>{u = f(x,t)}\,\!</math> - функция отклонения точки <math>x\,\!</math> в момент времени <math>t\,\!</math> от положения равновесия; <math>a\,\!</math> - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны; <math>T\,\!</math> - сила натяжения струны; <math>\rho\,\!</math> - линейная плотность однородной струны. Предполагается, что струна совершает малые колебания в одной плоскости. Волновое уравнение есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть - ускорение струны в точке x, а правая часть - отнесенная к массе струны сила, вызывающая это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны <math>{\partial ^2u \over \partial x^2}</math>. Мы не будем здесь решать волновое уравнение, а лишь отметив заслуги Д'Аламбера, Даниила Бернулли, Эйлера и Фурье, приведём конечный результат. <center> <math>u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n (x,t),</math><br> <math>u_n(x,t) = A_n(x) \sin\left({{n\pi{a} \over l}t + \phi_n}\right)</math><br> <math>A_n(x)=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\sin{{n\pi \over l} x}.</math><br> </center> Отсюда видно, что каждая функция u_n представляет собой гармоническое колебание с частотой <math>\omega_n = {{n\pi a} \over l}</math> и фазой <math>\phi_n\,\!</math>. Амплитуда же колебаний для разных точек разная. На концах струна неподвижна. Все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются ''стоячими волнами''. Неподвижные точки называются ''узлами'' стоячей волны. Посредине между узлами расположены точки, в которых отклонения достигают максимума. Эти точки назывются ''пучностями'' стоячей волны. <br> <div style="border: 1px solid #00F; margin: auto 30px; padding: 5px; text-align: center;"> Вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн <math>u_n(x,t)\,\!</math>, каждая из которых имеет постоянную частоту колебания <math>\omega_n={{n\pi a} \over l}</math> и изменяющуюся по длине струны амплитуду <math>A_n(x)=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\sin{{n\pi \over l} x}</math>. В <math>k\,\!</math>-й стоячей волне имеется <math>k\,\!</math> пучностей и <math>(k+1)\,\!</math> узлов. </div> <br> ''Примечание''. Некоторым читателям может быть непонятно словосочетание "сумма волн". На самом деле всё просто: представьте, что вместо одной волны мы пускаем на одной и той же струне одновременно несколько волн, и их колебания складываются. В данном случае происходит сложение не одной и не двух, а бесконечного множества волн. Вернёмся к музыкальной интерпретации: # Мы видим, что звуки состоят из суммы гармонических колебаний. Назовём эти отдельные гармоники ''идеальными звуками'', ''тонами'' или просто ''звуками'' (нем. [[w:de:Ton (Musik)|Ton]]). Такие звуки хоть и не существуют в природе в чистом виде, представляют однако полезную абстракцию, упрощённую модель. Такие звуки можно характеризовать частотой (f). # Реальный звук струны состоит из звука ''основной частоты'' <math>w_1 = {{\pi a} \over l}</math>, а также ''обертонов'' (''верхних тонов'', ''гармоник'') - <math>w_2 = {{2\pi a} \over l}, ..., w_k = {{k\pi a} \over l}</math>. Такой сложный звук, состоящий из основного тона и обертонов, называется в немецком языке [[w:de:Klang|Klang]]. Основной тон иногда для удобства называют первым обертоном. Соотношение частот обертонов к основному тону даёт нам ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, ... #Звуки, не имеющие основной частоты вовсе (и не описывающиеся волновым уравнением) назовем ''шумами'' и не будем рассматривать вовсе. Именно сочетание обертонов даёт музыкальную окраску звуку - его ''тембр''. Если слегка прикоснуться к струне в некоторой точке, то все гармоники, имеющие в этой точке пучность, будут погашены и не будут слышны. Так можно явно услышать вклад обертонов в общий тембр звука. ===Интервалы=== Итак, мы теперь рассматриваем звуки, обладающие некоторой основной частотой <math>f\,\!</math>. Обертонами мы обычно будем пренебрегать, кроме некоторых случаев, когда они важны. В музыке нам интересен не конкретный звук в отдельности, а соотношения звуков друг к другу. Под ''интервалом'' понимается расстояние между двумя звуками. При этом нижний звук (с меньшей частотой) называется ''основанием'' интервала (<math>f_1\,\!</math>), а верхний звук (с большей частотой) – его ''вершиной'' (f₂). Расстояние можно измерять по-разному, поэтому существуют разные понятия интервала, которые, иногда, одинаково обозначаются в музыке, что привносит путаницу. На физическом уровне у нас есть только частоты. ''Акустическим интервалом'' (или ''интервальным коэффициентом'') между двумя звуками назовем частное от деления частоты вершины на частоту основания: <center> <math>{I_{21}={f_2 \over f_1}\ (f_2 \ge f_1)}</math> </center> ''Примой'' называется акустический интервал, равный 1 (т.е. тривиальный интервал), ''октавой'' - 2, ''чистой квинтой'' – 3/2, ''чистой квартой'' – 4/3. '''Осторожно:''' на других уровнях рассуждений те же названия интервалов имеют совершенно иной смысл! :''С физической точки зрения проинтерпретировать это можно так: при акустическом интервале 'прима' частоты звуков совпадают; при интервале 'квинта' за одно полное колебание звука основания происходит полтора колебания верхнего звука, т.е. три полуволны; при кварте – за полтора колебания звука основания верхний звук успевает совершить два полных колебания или четыре полуколебания; при интервале октава на одно полное колебание основания приходится два колебания верхнего звука или четыре полуволны.'' (проинтерпретировать можно, но не нужно - [[Участник:Grigory Grin|Grigory Grin]] 21:00, 13 Ноя 2004 (UTC)) Интервал, не превосходящий 2, называется ''простым'', больший 2 – ''составным''. ''Обращением'' интервала λ называется величина 2/λ. Очевидно, что произведение интервала и его обращения дает октаву. В дальнейшем при построении музыкального звукоряда будут использоваться октавы и квинты. Объяснение этому можно искать, например, в теории обертонов. Если говорить о струне, то прима – это первый обертон (совпадающий с основным тоном), октава – второй, а квинта – третий. Эти интервалы и звучат для человеческого уха наилучшим образом (но здесь мы забегаем вперед). ===Обозначения звуков=== На данном уровне можно обозначать звуки лишь их абсолютной частотой в [[w:ru:Герц (единица измерения)|герцах]] (Hz) или же, если выбрать один из звуков за точку отсчета, можно сопоставить каждому другому звуку интервал от точки отсчета, исчисляемый как частное от деления частоты звука на частоту точки отсчета. Такой подход позволяет абстрагироваться от конкретных частот (оставить это как задачу калибровки, см. [[Теория музыки для математиков/Калибровка музыкального звукоряда|приложение]]) и изучать лишь соотношения между звуками. [http://corpuscul.net/teoriya-zvuka-2/teoriya-zvuka-tom1/ Теория звука] [[Теория музыки для математиков/Содержание|к содержанию]] [[Категория:Теория музыки для математиков|Физические основы звука]] fdu304b0l69ih621wrdcoh8e8f5jebs 0 1234 267637 267425 2026-05-21T08:23:54Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267637 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра, Геометрия | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} Сегодня разговор пойдёт о <em>многообразии</em> K3: оказывается, кроме горы K3 есть ещё и другие штуки с тем же названием. == орбифолд орбифолд ExE/Z_2 == На любой группе ли есть [[инволюция]] <math>x\mapsto -x</math>. Например, при факторизации обычного тора (точнее, одномерного комплексного тора, ещё точнее, эллиптической кривой) <math>E</math> по этой инволюции получается сфера. А если факторизовать произведение <math>E\times E</math>, то фактормногообразие не будет гладким: будет 16 квадратичных особенностей. Раздуем их. То, что получается, является <strong>примером K3</strong>. == ромб Ходжа == Найдём фундаментальную группу. Возьмём путь на K3 и замкнутый прообраз его на торе. Любой путь можно сдвинуть с -2-кривых, и разложить в сумму по 4 направлениям. Поскольку фактор окружности по инволюции есть отрезок, то на K3 эти пути можно стянуть. На K3 c тора индуцируется голоморфная форма объёма, то есть то, что выглядит как <math>dz_1\wedge dz_2</math>. <ul><li>Это стоит продумать. Обычно при раздутии форма объёма обращается в ноль на точках вклеиваемой поверхности. Почему же утверждается, что мы получим форму без нулей? </ul> Такая форма одна (почему?). То же самое относится к антиголоморфной форме. Чтобы найти топологические (ко)гомологии, <del>заметим, что при факторизации от тора выживают ровно когомологии чётных размерностей (по-научному, инварианты инволюции алгебры Грассмана)</del> <ins>мы заметим, что любая гомология фактора приходит сверху (а именно, из половины своего прообраза)</ins>. При факторизации выживают только четные элементы группы гомологий тора, которых 6 в размерности 2. Далее, вклеивание одного <math>P^1</math> добавляет 1 двумерную (ко)гомологию (всегда ли это так?), так что <math>h^2 = 6+16</math>. <ul><li>Информации уже достаточно, чтобы нарисовать <strong>ромб Ходжа</strong>. Сделайте это.</ul> Далее, на двумерных гомологиях есть структура, а именно, их можно пересекать и смотреть количество точек пересечения. <ul><li>Найдите форму пересечения (подсказка: как мы строили гомологии?). Чему равен её det, сигнатура? </ul> Заметим, что форма получилась чётная, то есть всегда <font color='green'> <del type='green'><math>(x,y)</math></del> <ins type='green'> <math>(x,x)</math></ins></font> делится на 2. Это можно было понять заранее, потому что вообще <math>(x,x) = (x,K)</math> по модулю 2 (почему?). (Односвязное) четырёхмерное многообразие практически полностью определяется формой пересечения, в гладком и гомотопическом смысле <del>(а как насчёт бордантности?)</del> == уравнение в P^3 == Ещё в древности люди доказали, что описанное выше разрешение особенностей может быть задано некоторым <strong>уравнением четвёртой степени</strong> в <math>P^3</math>. На самом деле современное доказательство этого использует только размерности когомологий. <ul><li><i>И я сейчас думаю, как подать теорему Римана-Роха, которая, видимо, существенна для доказательства.</i></ul> == вычисления == Пусть X задаётся уравнением четвёртой степени в <math>P^3</math>, например, <math>x^4+y^4+z^4+t^4</math> (хотя именно это уравнение задаёт довольно специальную K3, [http://arxiv.org/abs/math/0308062]). Тогда, наоборот, можно было бы доказать односвязность, вычислить канонический класс и когомологии X, даже если бы мы не знали, что они такие же, как у Примера (потому что непрерывно меняя коэффициенты уравнения можно привести его к уравнению Примера). <ul><li><i> Написать про это </i></ul> == определения K3 == Вот <strong>разные определения K3</strong>: поверхность, которая: <ol><li> есть деформация Примера (точка этой связной компоненты пространства модулей алгебраических многообразий) <li> имеет такую форму пересечения <li> диффеоморфна Примеру <li> имеет <math>h^1 = 0</math> и <math>c_1(\mbox{tangent})=0</math> <li> гиперкэлерова, но не плоская <li> задаётся уравнением 4 степени в P^3 (не совсем верное определение) </ol> <ul><li><i> Написать про эквивалентность разных определений </i></ul> == todo == <ul><li><i>Написать про кэлеровость, гиперкэлеровость, действие <math>sl_2 </math></i><li><i>Написать про периоды и про модули K3</i> <ul><li><i> Можно ли понять 20 модулей геометрически?</i></ul><li><i>Написать про другие эллиптические поверхности</i> </ul> отличный обзор, в котором написано и про разные Calabi-Yau, зачем они нужны, и про K3 тоже: [http://arxiv.org/abs/hep-th/0410178]. == См. также == * [[w:Куммер, Эрнст Эдуард|Куммер]] * [[w:Кэлер, Эрих|Кэлер]] * [[w:Кодайра, Кунихико|Кодайра]] 6bwvcsj2xsfc3bla1qiur3sw6nf5yn9 267726 267637 2026-05-21T10:02:44Z AllaBuraya 79455 267726 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} Сегодня разговор пойдёт о <em>многообразии</em> K3: оказывается, кроме горы K3 есть ещё и другие штуки с тем же названием. == орбифолд орбифолд ExE/Z_2 == На любой группе ли есть [[инволюция]] <math>x\mapsto -x</math>. Например, при факторизации обычного тора (точнее, одномерного комплексного тора, ещё точнее, эллиптической кривой) <math>E</math> по этой инволюции получается сфера. А если факторизовать произведение <math>E\times E</math>, то фактормногообразие не будет гладким: будет 16 квадратичных особенностей. Раздуем их. То, что получается, является <strong>примером K3</strong>. == ромб Ходжа == Найдём фундаментальную группу. Возьмём путь на K3 и замкнутый прообраз его на торе. Любой путь можно сдвинуть с -2-кривых, и разложить в сумму по 4 направлениям. Поскольку фактор окружности по инволюции есть отрезок, то на K3 эти пути можно стянуть. На K3 c тора индуцируется голоморфная форма объёма, то есть то, что выглядит как <math>dz_1\wedge dz_2</math>. <ul><li>Это стоит продумать. Обычно при раздутии форма объёма обращается в ноль на точках вклеиваемой поверхности. Почему же утверждается, что мы получим форму без нулей? </ul> Такая форма одна (почему?). То же самое относится к антиголоморфной форме. Чтобы найти топологические (ко)гомологии, <del>заметим, что при факторизации от тора выживают ровно когомологии чётных размерностей (по-научному, инварианты инволюции алгебры Грассмана)</del> <ins>мы заметим, что любая гомология фактора приходит сверху (а именно, из половины своего прообраза)</ins>. При факторизации выживают только четные элементы группы гомологий тора, которых 6 в размерности 2. Далее, вклеивание одного <math>P^1</math> добавляет 1 двумерную (ко)гомологию (всегда ли это так?), так что <math>h^2 = 6+16</math>. <ul><li>Информации уже достаточно, чтобы нарисовать <strong>ромб Ходжа</strong>. Сделайте это.</ul> Далее, на двумерных гомологиях есть структура, а именно, их можно пересекать и смотреть количество точек пересечения. <ul><li>Найдите форму пересечения (подсказка: как мы строили гомологии?). Чему равен её det, сигнатура? </ul> Заметим, что форма получилась чётная, то есть всегда <font color='green'> <del type='green'><math>(x,y)</math></del> <ins type='green'> <math>(x,x)</math></ins></font> делится на 2. Это можно было понять заранее, потому что вообще <math>(x,x) = (x,K)</math> по модулю 2 (почему?). (Односвязное) четырёхмерное многообразие практически полностью определяется формой пересечения, в гладком и гомотопическом смысле <del>(а как насчёт бордантности?)</del> == уравнение в P^3 == Ещё в древности люди доказали, что описанное выше разрешение особенностей может быть задано некоторым <strong>уравнением четвёртой степени</strong> в <math>P^3</math>. На самом деле современное доказательство этого использует только размерности когомологий. <ul><li><i>И я сейчас думаю, как подать теорему Римана-Роха, которая, видимо, существенна для доказательства.</i></ul> == вычисления == Пусть X задаётся уравнением четвёртой степени в <math>P^3</math>, например, <math>x^4+y^4+z^4+t^4</math> (хотя именно это уравнение задаёт довольно специальную K3, [http://arxiv.org/abs/math/0308062]). Тогда, наоборот, можно было бы доказать односвязность, вычислить канонический класс и когомологии X, даже если бы мы не знали, что они такие же, как у Примера (потому что непрерывно меняя коэффициенты уравнения можно привести его к уравнению Примера). <ul><li><i> Написать про это </i></ul> == определения K3 == Вот <strong>разные определения K3</strong>: поверхность, которая: <ol><li> есть деформация Примера (точка этой связной компоненты пространства модулей алгебраических многообразий) <li> имеет такую форму пересечения <li> диффеоморфна Примеру <li> имеет <math>h^1 = 0</math> и <math>c_1(\mbox{tangent})=0</math> <li> гиперкэлерова, но не плоская <li> задаётся уравнением 4 степени в P^3 (не совсем верное определение) </ol> <ul><li><i> Написать про эквивалентность разных определений </i></ul> == todo == <ul><li><i>Написать про кэлеровость, гиперкэлеровость, действие <math>sl_2 </math></i><li><i>Написать про периоды и про модули K3</i> <ul><li><i> Можно ли понять 20 модулей геометрически?</i></ul><li><i>Написать про другие эллиптические поверхности</i> </ul> отличный обзор, в котором написано и про разные Calabi-Yau, зачем они нужны, и про K3 тоже: [http://arxiv.org/abs/hep-th/0410178]. == См. также == * [[w:Куммер, Эрнст Эдуард|Куммер]] * [[w:Кэлер, Эрих|Кэлер]] * [[w:Кодайра, Кунихико|Кодайра]] d5cge5rojh0t34b0rrex2oat5khsooq 4 1253 267514 267480 2026-05-20T12:31:01Z Taratarussia 77272 /* КУ */ новая тема 267514 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 7dajr8lurtu9hgm4b2u5lvpvpia77hl 267522 267514 2026-05-20T12:32:35Z Taratarussia 77272 /* Полка и категория */ ответ ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]]) 267522 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 6bn24wf0fw0ufv4pal8ddlr3e5dfw2n 267557 267522 2026-05-20T18:21:51Z AllaBuraya 79455 /* Полка и категория */ Ответ 267557 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 9n85mgag2eqlg4yf2kl8os4yxkp6ope 267558 267557 2026-05-20T18:24:10Z AllaBuraya 79455 /* Теория музыки для математиков */ новая тема 267558 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 8trkz7c5ii674rqh3drw4k201iyjodh 267559 267558 2026-05-20T18:36:05Z AllaBuraya 79455 /* КУ */ Ответ 267559 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> rquwcistnbklrxxr47g47a8pb3lfot9 267560 267559 2026-05-20T19:08:07Z Kylaix 51782 /* Полка и категория */ ответ участнице AllaBuraya ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]]) 267560 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> fd7sbk8gahae913tm86m493zlwees3m 267562 267560 2026-05-20T19:11:12Z Kylaix 51782 /* Теория музыки для математиков */ ответ ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]]) 267562 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> tghbxdaygf7ngd98q1a2t013rk3kjra 267588 267562 2026-05-21T07:55:11Z AllaBuraya 79455 /* */ новая тема 267588 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == == [[Полка:Теория чисел]] на ней есть [http://Теория_чисел одноименный учебник] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Алгебра почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 6j7l1zg0lkzbgwiy49ks4lqa5s3kvc9 267589 267588 2026-05-21T07:55:33Z AllaBuraya 79455 267589 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Полка:Теория чисел]] == [[Полка:Теория чисел]] на ней есть [http://Теория_чисел одноименный учебник] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Алгебра почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> q97g1r7hm22tldkj7ua633hlfaqock9 267590 267589 2026-05-21T07:56:02Z AllaBuraya 79455 /* Полка:Теория чисел */ 267590 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Полка:Теория чисел]] == на ней лежит [http://Теория_чисел одноименный учебник] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Алгебра почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 46fr2xp3dq652wzb5gvm9o0ebxl1yvj 267718 267590 2026-05-21T09:50:52Z AllaBuraya 79455 /* Полка:Компьютеры */ новая тема 267718 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Полка:Компьютеры]] == все доп. полки почему-то задублированы, например, Программирование фигурирует дважды — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:50, 21 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == на ней лежит [http://Теория_чисел одноименный учебник] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Алгебра почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> elv62kdrhbjm4do76rxfny6vdacxlnu 267736 267718 2026-05-21T10:09:07Z AllaBuraya 79455 /* Полка:Теория чисел */ 267736 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Полка:Компьютеры]] == все доп. полки почему-то задублированы, например, Программирование фигурирует дважды — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:50, 21 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == на ней лежит [http://Теория_чисел одноименный учебник] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Алгебра почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? существует ли бот, который обновляет полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 3ndl9rzwek5f3yaobcvydpwqwapq4x9 267741 267736 2026-05-21T10:19:42Z AllaBuraya 79455 /* Полка:Теория чисел */ 267741 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Полка:Компьютеры]] == все доп. полки почему-то задублированы, например, Программирование фигурирует дважды — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:50, 21 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == на ней лежит учебник [https://ru.wikibooks.org/wiki/Теория_чисел Теория чисел] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Математика (я ее сделала доп. полкой на основной полке Формальные науки) почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? существует ли бот, который обновляет полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 2bggs6tbez2w4vp0wa2z482nw586ah2 267743 267741 2026-05-21T10:22:03Z AllaBuraya 79455 /* Полка:Компьютеры */ Ответ 267743 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Полка:Компьютеры]] == все доп. полки почему-то задублированы, например, Программирование фигурирует дважды — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:50, 21 мая 2026 (UTC) :исправила через Править код [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:22, 21 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == на ней лежит учебник [https://ru.wikibooks.org/wiki/Теория_чисел Теория чисел] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Математика (я ее сделала доп. полкой на основной полке Формальные науки) почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? существует ли бот, который обновляет полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> lcy39lpv1tn2q1pj9sfc1ha8q07d2ui 267791 267743 2026-05-21T11:12:36Z AllaBuraya 79455 /* Полка:Теория чисел */ 267791 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Полка:Компьютеры]] == все доп. полки почему-то задублированы, например, Программирование фигурирует дважды — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:50, 21 мая 2026 (UTC) :исправила через Править код [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:22, 21 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == на ней лежит учебник [https://ru.wikibooks.org/wiki/Теория_чисел Теория чисел] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Математика (я ее сделала доп. полкой на основной полке Формальные науки) почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? существует ли бот, который обновляет доп. полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 0qvpqpbcsvttcu4dbexo4k1o08ohbea 267843 267791 2026-05-21T11:55:10Z AllaBuraya 79455 /* Полка:Теория чисел */ 267843 wikitext text/x-wiki {{Участник:Kylaixbot/ArchiveConfig |archive = Викиучебник:Общий форум/Архив/%(year)d |algo = old(60d) |counter = 1 }} {{Форум}} {{Архив-П |2005-2007|2008|2009-2010|2011-2012|2013|2014|2015|2016|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024|2025}} {{Актуально}} == [[Полка:Компьютеры]] == все доп. полки почему-то задублированы, например, Программирование фигурирует дважды — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:50, 21 мая 2026 (UTC) :исправила через Править код [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:22, 21 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == на ней лежит учебник [https://ru.wikibooks.org/wiki/Теория_чисел Теория чисел] но в учебнике в шаблоне Название учебника указана категория Математика (я ее сделала доп. полкой на основной полке Формальные науки) почему учебник таки находится на данной полке? из-за того, что у него внизу указана категория Теория чисел? существует ли бот, который обновляет полки? уже прошло несколько дней, но полка не обновилась — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:55, 21 мая 2026 (UTC) == [[Теория музыки для математиков]] == в шаблоне Название учебника две Категории - Музыка, Математика но на полке [[Полка:Математика|Математика]] он не появляется почему? потому что это Основная полка? нужно указать вместо нее Дополнительную полку в шаблоне? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:24, 20 мая 2026 (UTC) : Последнее верно. Это основная полка а требуется дополнительная полка. Я правда не знаю как ее можно было назвать, но раздел бы стоило создать. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:11, 20 мая 2026 (UTC) == КУ == [[Викиучебник:К удалению/Май 2026]] Прошу всех обратить внимание. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:31, 20 мая 2026 (UTC) :создала в вики страницу [[w:Биографический_метод|Биографический метод]] :может, их связать? и поставить в учебнике шаблон, что это заготовка. может, кто заинтересуется и начнет наполнять учебник? [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:36, 20 мая 2026 (UTC) == Полка и категория == чем отличается [[Полка:Математика]] от [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Математика Категория:Математика]? зачем нужны полки? почему не ограничиться только категориями? например, сгласно полкам учебных пособий 2 шт, согласно категориям находится еще 100 шт учебных пособий ... — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:26, 19 мая 2026 (UTC) : Категорию проставляют в статьях, на полке же список статей. К тому же, зачем традиции ломать? [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:32, 20 мая 2026 (UTC) ::выглядит, как дублирующий инструмент ::тем паче, что рецепты на категориях строятся [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:21, 20 мая 2026 (UTC) ::: Иронично что вы оба правы. Категории, по сути, помогают работе шаблонов и модулей для организации каталога учебников. А каталог учебников кажется сейчас наиболее удобным средством для поиска нужных книг. Было бы круто не использовать категории, но к сожалению иначе организовать полки было бы невозможно или, как минимум, труднее на порядок. Ну и да, + это еще и дань традициям - в Википедии, к примеру, они до сих пор используются. ::: Кстати, напоминаю, что категории в статьях проставляются через {{tl|Название учебника}} и для рецептов через {{tl|Рецепт}}. Касательно разницы в полках и категориях: просто те 98 учебников еще не обработаны через эти шаблоны. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:08, 20 мая 2026 (UTC) == Страницы учебника на полке == на полке [[Полка:Математика|Математика]] есть полка [[Полка:Теория чисел|Теория чисел]] на ней лежит учебник [[Теория чисел]] и страница из учебника [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] что не есть правильно - на полке должны быть только учебники аналогично на полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]] как удалить страницы учебника с полки? — [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 07:03, 19 мая 2026 (UTC) : Привет.<br> Я пока не знаю причину, ищу ошибку в шаблонах. Тем не менее, большая просьба либо создавать эти учебники уже на существующих полках, либо же переименовать их так, чтобы не совпадали с названием полки. Это может быть одной из причин. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) :: Подтверждаю. Учебники не стоит называть одинаково с названием полки. Более того, не стоит создавать отдельные полки для каждого учебника. Я оставил лишь полку с теорией чисел, учебник про диффуры перенес в полку матанализа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 08:01, 19 мая 2026 (UTC) :::спасибо! :::но дифференециальные уравнения - это не матан, это отдельный [[w:Разделы_математики#Математика_как_учебная_дисциплина|учебный раздел математики]] :::поэтому для него была создана своя полка :::иначе можно обойтись вообще без полок и все учебники размещать на полке Математика [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:05, 19 мая 2026 (UTC) :::: Ну, я понимаю что его в целом выделяют, но тут проблема именно Викиучебника. У нас пока* мало книг и имеет смысл их пока отводить в гораздо более крупные разделы, чем это делается в науке.<br> <nowiki>*</nowiki>надеюсь все же мы сможем хотя бы перевести достаточное количество книг, а еще лучше написать сами в ближайшее время. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:27, 19 мая 2026 (UTC) :::::тогда можно сделать полку Другие разделы :::::в нее отнести все, что не Алгебра и не Геометрия [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:30, 19 мая 2026 (UTC) :::::: Хорошо, сделаю. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 09:41, 19 мая 2026 (UTC) :::::::я все перенесла в Алгебру/Геометрию [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:05, 19 мая 2026 (UTC) :::::::ненужные страницы пометила КБУ в пространствах - Основное, Полка [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 13:55, 19 мая 2026 (UTC) == Как привязать учебник к другой полке? == например, [[Дифференциальные уравнения]] к полке [[Полка:Дифференциальные уравнения|Дифференциальные уравнения]]— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:46, 17 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] ответишь? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) :или достаточно в учебнике в шаблоне "Название учебника" указать нужные значения в Категория? и бот привяжет учебник, куда нужно? в какой время отрабатывает бот? явно, сразу не после правки Категория [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:02, 18 мая 2026 (UTC) :: Да да да, в категорию просто вписываете полку и бот пройдет (один раз в день делает проходку) и ваша книга попадет на полку. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:44, 18 мая 2026 (UTC) == CAPTCHA == при сохранении правок возникает: CAPTCHA: Для редактирования страницы, пожалуйста, введите буквы, которые видны на изображении ниже это из-за того, что я новичок? или так всегда будет?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 16:29, 17 мая 2026 (UTC) : Никогда такого не видел. Конечно пройдет. : А можете кинуть на почту скриншот leksey@ya.ru<br> Интересно посмотреть даже. : Я посмотрю, может вам можно статус подкрутить руками, но вроде я такого не видел. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:49, 17 мая 2026 (UTC) : Попытался поменять вам группу, но все что мне дает это. Наверное, когда вы попадете в группу "Автоподтвержденные", то отпустит. Как это работает - я не знаю. У вас же по идее глобальный аккаунт и специально в Учебнике вы вчера условно не регились? : {{Цитата|Группы, которые вы можете изменять<ul><li>исключение из IP-блокировок</li><li>организаторка мероприятий</li></ul>}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:55, 17 мая 2026 (UTC) : Посмотрел у себя - я состою в неяавной группе [[Викиучебник:Автоподтверждённые участники]] : 4 дня стажа хочет после отдельной регистрации в Викиучебнике : {{Цитата|В случае регистрации [[w:Википедия:Единая_учётная_запись|в другом проекте]] фонда [[w:Викимедиа|Викимедиа]] и стаж, и правки отсчитываются в нашем разделе отдельно: эти статусы в разных проектах между собой не связаны.}} [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:57, 17 мая 2026 (UTC) :: Вот и настройка, что за это отвечает https://noc.wikimedia.org/wiki.php?wiki=ruwikibooks#wgAutoConfirmAge [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:01, 17 мая 2026 (UTC) : Пропала у вас капча? [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 19 мая 2026 (UTC) == [[Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], и учебник [[Теория чисел]] но они не связаны, как их связать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:47, 15 мая 2026 (UTC) :уже связались [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 10:03, 18 мая 2026 (UTC) == [[Полка:Теория чисел]] == создала [[Полка:Теория чисел]], но она не появилась визуально внутри [[Полка:Математика]] что делать?— [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 19:45, 15 мая 2026 (UTC) :Неудачно попробовал, может появится кто-то из админов. Подозреваю, что, возможно, там используются викиданные для этого, надо уточнить. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:01, 16 мая 2026 (UTC) :Как-то коряво добавил, список определяется страницей [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 11:18, 16 мая 2026 (UTC) :: Список определяется ботом в проходке, лучше его не трогать (по возможности, конечно же)<br> Там вся суть в кэше, часто после добавления чего-либо теперь в каталоге или где-либо еще надо обновить кэш, чтобы заработало. В целом, все полки кажется появились, хотя там есть некоторые странности с тем, что некоторые полки не существуют. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:42, 18 мая 2026 (UTC) :::Да, там вроде сутки прошли после добавления перед моими правками, но бот не стал добавлять в список. [[Участник:Def2010|Def2010]] ([[Обсуждение участника:Def2010|обсуждение]]) 20:42, 18 мая 2026 (UTC) :::: Что странно. Надо будет мне весь код проверить, и кажется я в свое время не все там доработал. Может быть из-за этого. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 07:40, 19 мая 2026 (UTC) == Флаг бота == Прошу присвоить флаг бота [[Участник:Taratarussia's Bot|моему боту]]. Бот будет откатывать мат в статьях Викиучебника. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:39, 11 мая 2026 (UTC) :: @[[Участник:Валерий Стариков|Валерий Стариков]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:46, 11 мая 2026 (UTC) :: Я не знаю как это делать, но, наверное, разберусь. :: Но я не уверен, что такой бот нужен. Вроде нет проблемы с матом как таковой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 22:33, 11 мая 2026 (UTC) ::: Я тоже так думаю, но, НО, пока он будет мат откатывать, а позже я расширю функционал. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 12 мая 2026 (UTC) : Привет. Код хороший, но насколько актуально использовать это, если есть фильтры? И еще вопрос: вы его с консоли хотите использовать? Я бы рекомендовал для ботов использовать Toolforge <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 17:27, 11 мая 2026 (UTC) :: Я только знаю как запускать с консоли [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 17:53, 11 мая 2026 (UTC) ::: Не переживайте за это, я могу вам помочь перенести на toolforge, это не сложно. Вопрос только состоит в актуальности <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:56, 11 мая 2026 (UTC) :::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Спасибо за помощь, я готов перенести, время есть. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:29, 12 мая 2026 (UTC) ::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] что думаешь? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 14:14, 12 мая 2026 (UTC) :::::: @[[Участник:Kylaix|Kylaix]] Я зарегистрировался на Toolforge и подал заявку на участие. Краткое описание написал на русском языке. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:10, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: А вы на нейронке пишете бота? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 16:53, 12 мая 2026 (UTC) :::::::: В общем, да. Я не умею учебники писать, а пользу проекту приносить хочу. Единственный выход — боты. Но питон я не знаю, поэтому использую нейросети. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 16:55, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Я сам ботовод, подумаю что вам придумать в задачи. Сам хотя и знаю питон, писал @[[Участник:Kylaixbot|Kylaixbot]] при помощи ИИ <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:00, 12 мая 2026 (UTC) ::::::::: Мне кажется, проекту нужны авторы. Остальное все пока нет авторов - несущественно и не нужно. А авторы вряд ли появятся так как проект не закрывает какие-то насущные задачи людей. Или же людй вполне устраивают другие платформы и способы обучения. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:01, 12 мая 2026 (UTC) :::::::::: У меня нет телеграма. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Раз важны статьи, я могу заняться переводами с других проектов. Но думаю, что лучше чтобы был бот, так на фоне, если вдруг что будет, то сможет откатить. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:24, 13 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Я не уверен, что переводы автоматические нужны. Сейчас любой сам может себе что угодно перевести одним или тремя нажатиями. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:17, 13 мая 2026 (UTC) :::::: Я думаю, что нам это не надо. Так как я не вижу пробемы вандализма с матом конкретно. :::::: Актуален вопрос отката всего вклада вандала "одним нажатием", но скрипт из Википедии у нас тут не работает. Вот его бы заставить работать. :::::: Также имеет смысл уведомлять администратора (через СО или через телеграм) о самих фактах вандализма, чтобы он пришел и откатил все. Той самой одной кнопкой. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 18:31, 12 мая 2026 (UTC) ::::::: Можно попробовать сделать бота, который будет откатывать все правки заблокированных участников. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:16, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Трудновато. Не всегда вклад негативный. Можно конечно по причине блокировки ловить (вандализм). Было бы круто если бы попробовали написать бота, а я гляну его, вот тогда стоит дать флаг. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:51, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Опишите подробнее что хотите, и попробую что-либо сделать. С уважением, [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:53, 13 мая 2026 (UTC) :::::::: Я предпочту откатывать скриптом вручную, но надо чтобы он заработал. Есть JS-скрипт, который в Викиучебнике не работает.<br> А вот о необходимости прийти и откатить уведомление бы не помешало. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:15, 13 мая 2026 (UTC) ::::::::: Не могли бы вы скинуть ссылку на скрипт, я попробую оптимизировать. Возможно, дело в ограничениях в скрипте, или в расширениях которых нет в ВУ. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:27, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Пожалуйста [[Участник:Leksey/common.js]] :::::::::: Вот обсуждение [[w:Служебная:GoToComment/c-Leksey-20260402155500-Вопрос_по_администрированию_Викиучебника]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:11, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот тут я перечислил административные средства имеющиеся сейчас [[Викиучебник:Инструменты_администратора]] [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 16:17, 14 мая 2026 (UTC) :::::::::: Вот еще с такой проблемой столкнулся [[Обсуждение шаблона:Цитата#Не работает свойство "Источник"]]. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:48, 14 мая 2026 (UTC) ::::::::::: Шаблон починил, любуйтесь. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 11:23, 15 мая 2026 (UTC) :::::::::::: @[[Участник:Leksey|Leksey]] Вот исправный код (хотя я не знаю у меня не проверяется, у меня нет кнопок откатить:))<br> // Mass Rollback for MediaWiki<br> // Универсальная версия для Википедии, Викиучебника и других вики :::::::::::: if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") {<br> var wkRollbackPortlet = "p-tb";<br> } :::::::::::: // Откат одной правки<br> function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { :::::::::::: var userName; :::::::::::: // Для IP-участников<br> if (rbMetadata.userName === null) { :::::::::::: userName = $(edit)<br> .parents("li:first")<br> .find("a.mw-anonuserlink")<br> .first()<br> .text(); :::::::::::: } else { :::::::::::: userName = rbMetadata.userName; :::::::::::: } :::::::::::: var titleMatch = /title=([^&]+)/.exec(edit.href); :::::::::::: if (!titleMatch) {<br> console.error("Не удалось определить страницу");<br> return;<br> } :::::::::::: var pageTitle = decodeURIComponent(titleMatch[1]); :::::::::::: var params = {}; :::::::::::: if (rbMetadata.editSummary !== "") {<br> params.summary = rbMetadata.editSummary;<br> } :::::::::::: rbMetadata.api.rollback(pageTitle, userName, params) :::::::::::: .done(function () { :::::::::::: console.log("Откат:", pageTitle); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:green;font-weight:bold;"> [откачено]</span>'<br> ); :::::::::::: $(edit).remove(); :::::::::::: }) :::::::::::: .fail(function (code, data) { :::::::::::: console.error("Ошибка rollback:", code, data); :::::::::::: $(edit).after(<br> '<span style="color:red;font-weight:bold;"> [ошибка]</span>'<br> ); :::::::::::: });<br> } :::::::::::: // Откат всех<br> function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: if (<br> mw.config.get("wgRelevantUserName") ===<br> mw.config.get("wgUserName")<br> ) { :::::::::::: if (<br> !confirm(<br> "Вы собираетесь откатить ВСЕ свои правки. Продолжить?"<br> )<br> ) {<br> return false;<br> }<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Откат выбранных<br> function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { :::::::::::: if (editSummary === null) {<br> return false;<br> } :::::::::::: mw.loader.using(["mediawiki.api"]).done(function () { :::::::::::: var rbMetadata = {}; :::::::::::: rbMetadata.api = new mw.Api(); :::::::::::: rbMetadata.userName =<br> mw.config.get("wgRelevantUserName"); :::::::::::: rbMetadata.editSummary = editSummary; :::::::::::: var rollbackList = $("input.revdelIds:checked")<br> .parents("li")<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackList.length <= 0) { :::::::::::: mw.notify("Не выбрано ни одной правки."); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: rollbackList.each(function (ind, el) { :::::::::::: rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: return false;<br> } :::::::::::: // Главная часть<br> mw.loader.using([<br> "mediawiki.util",<br> "mediawiki.api"<br> ]).done(function () { :::::::::::: mw.hook('wikipage.content').add(function () { :::::::::::: // Только на странице вкладов<br> if (<br> mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") !==<br> "Contributions"<br> ) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Уже добавлено<br> if ($("#ca-rollbackeverything").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: // Проверяем наличие rollback<br> if ($("a[href*='action=rollback']").length <= 0) { :::::::::::: console.log("Rollback ссылки не найдены"); :::::::::::: return;<br> } :::::::::::: console.log("MassRollback загружен"); :::::::::::: // Добавляем чекбоксы<br> $("ul.mw-contributions-list li").each(function () { :::::::::::: // Уже есть чекбокс<br> if ($(this).find("input.revdelIds").length) {<br> return;<br> } :::::::::::: var rollbackLink = $(this)<br> .find("a[href*='action=rollback']"); :::::::::::: if (rollbackLink.length > 0) { :::::::::::: $(this)<br> .find("a.mw-changeslist-date")<br> .first()<br> .before(<br> "<input type='checkbox' class='revdelIds' style='margin-right:5px;'>"<br> );<br> }<br> }); :::::::::::: // Кнопка Rollback all<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback all",<br> "ca-rollbackeverything",<br> "Откатить все правки"<br> ); :::::::::::: // Кнопка Rollback selected<br> mw.util.addPortletLink(<br> wkRollbackPortlet,<br> "#",<br> "Rollback selected",<br> "ca-rollbacksome",<br> "Откатить выбранные правки"<br> ); :::::::::::: // Обработка кнопки ALL<br> $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackEverythingWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: // Обработка кнопки SELECTED<br> $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { :::::::::::: event.preventDefault(); :::::::::::: rollbackSomeThingsWKMR(<br> prompt(<br> "Введите комментарий отката:"<br> )<br> ); :::::::::::: }); :::::::::::: }); :::::::::::: }); [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:10, 15 мая 2026 (UTC) ::::::::::::: Блин. Мне стремно выполнять непонятный JS. Можете диф показать как-нить или объяснить что за правка была сделана. ::::::::::::: Да и идея править ИИ мне конечно не нравится, но других предложений нет. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:52, 17 мая 2026 (UTC) :::::::::::: Починилось, спасибо! [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 17:50, 17 мая 2026 (UTC) Прекрасно, если понадобится помощь — обращайтесь на мою СО. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 19:52, 17 мая 2026 (UTC) Если не работает, вот это попробуйте: <pre>if (typeof wkContribsCheckboxInit === "undefined") { wkContribsCheckboxInit = false; } if (typeof wkRollbackPortlet === "undefined") { wkRollbackPortlet = "p-cactions"; } function getContributionItem(el) { return $(el).closest("li, tr, .mw-contribs-list-item"); } function getRollbackLinks(scope) { return scope.find("a[href*='action=rollback']"); } function rollbackEverythingWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } if (mw.config.get("wgRelevantUserName") === mw.config.get("wgUserName")) { if (!confirm("You are about to roll back *all* of *your own* edits. Please note that this will be very difficult to undo. Are you *ABSOLUTELY SURE* you want to do this?")) { return false; } } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.ipRange = (rbMetadata.userName === null); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); return false; } function rollbackSomeThingsWKMR(editSummary) { if (editSummary === null) { return false; } mw.loader.using("mediawiki.api").done(function () { var rbMetadata = {}; rbMetadata.api = new mw.Api(); rbMetadata.userName = mw.config.get("wgRelevantUserName"); rbMetadata.titleRegex = /title=([^&]+)/; rbMetadata.editSummary = editSummary; var rollbackList = $("input.revdelIds:checked").each(function () { var item = getContributionItem(this); item.find("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { rollbackOneThingWKMR(el, rbMetadata); }); }); if ($("input.revdelIds:checked").length <= 0) { mw.notify("You didn't select any edits that could be rolled back!"); return; } }); return false; } function rollbackOneThingWKMR(edit, rbMetadata) { var userName; var item = getContributionItem(edit); if (rbMetadata.userName === null) { userName = item.find("a.mw-anonuserlink").not(".mw-contributions-title").first().text(); } else { userName = rbMetadata.userName; } if (!userName) { return; } var params = {}; if (rbMetadata.editSummary != '') { params.summary = rbMetadata.editSummary; } var titleMatch = rbMetadata.titleRegex.exec(edit.href); if (!titleMatch) { return; } rbMetadata.api.rollback(decodeURIComponent(titleMatch[1]), userName, params).done(function () { $(edit).after("reverted"); $(edit).remove(); }); } $(document).ready(function () { if (mw.config.get("wgCanonicalSpecialPageName") == "Contributions" && $("a[href*='action=rollback']").length > 0) { mw.loader.using("mediawiki.util").done(function () { mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback all", "ca-rollbackeverything", "rollback all edits displayed here"); if (!wkContribsCheckboxInit) { if ($("input.revdelIds").length === 0) { $("a[href*='action=rollback']").each(function (ind, el) { var item = getContributionItem(el); item.find("a").first().before("<input type='checkbox' class='revdelIds'>&nbsp;"); item.find("input.revdelIds").data("index", ind); }); } else { $("input.revdelIds").each(function (ind, el) { $(el).data("index", ind); }); } wkContribsCheckboxInit = true; } mw.util.addPortletLink(wkRollbackPortlet, '#', "Rollback selected", "ca-rollbacksome", "rollback selected edits"); $("#ca-rollbackeverything").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackEverythingWKMR(prompt("Rollback all edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").click(function (event) { event.preventDefault(); mw.loader.load("mediawiki.api"); return rollbackSomeThingsWKMR(prompt("Rollback selected edits: Enter an edit summary, or leave blank to use the default (or hit Cancel to cancel the rollback entirely)")); }); $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", -1); $("input.revdelIds").off("click").click(function (ev) { var lastSelectedRevdel = $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex"); var newIndex = $(this).data("index"); if (ev.shiftKey && lastSelectedRevdel >= 0) { var checkboxArray = $("input.revdelIds"); var start = lastSelectedRevdel; var stop = newIndex; if (start < stop) { for (var i = start; i < stop; i++) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } else { for (var i = start; i > stop; i--) { if (i != lastSelectedRevdel) { $(checkboxArray[i]).prop("checked", !($(checkboxArray[i]).prop("checked"))); } } } } $("#ca-rollbacksome").data("lastSelectedIndex", newIndex); }); }); } });</pre> [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 18:13, 15 мая 2026 (UTC) === Итог === * Флаг не присвоен, но зато починен скрипт и шаблон. [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 15:52, 18 мая 2026 (UTC) == Изменение шаблона «Родственные проекты» == К сожалению, Викиновости полностью закрылись на всех языках решением Фонда Викимедиа. Поэтому, считаю целесообразным убрать Викиновости из шаблона, как уже сделали на https://meta.wikimedia.org/wiki/Main_Page/ru. Сам я не могу, поэтому прошу местных администраторов сделать. С уважением, СССР (обсуждение) 16:07, 8 мая 2026 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] сможете поправить шаблон? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:21, 13 мая 2026 (UTC) :: Сделал. И предлагаю на ты. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:20, 13 мая 2026 (UTC) == Вопрос с [[ВУ:КУ]] == Я тут ставил цель в прошлом году закончить с КУ, но кажется там у меня небольшой тупик с этим. И я вспомнил почему я хотел побыстрее с этим покончить: я хотел переделать КУ, чтобы там можно было удобнее все это просматривать и, если надо - автоматизировать. Я конечно не предлагаю вести ежедневный КУ (да и от ежемесячного тоже думал бы отказаться, так как все равно небольшие неудобства) а перейти на годовой (то есть одна страница чисто для 2026) и возможно, оставлять ее сразу на [[ВУ:КУ]]. Думаю, номинаций много не будет в скором времени, поэтому есть время об этом подумать и реализовать (если, конечно, будет согласие) <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 00:04, 3 января 2026 (UTC) Я вижу, вы тут снесли что-то 1Сное, а [[Служебная:Неиспользуемые файлы|несвободные файлы удалить забыли]].<br> Файлы Хедина в Цивилизции оформлены неправильно: должны быть переоформлены или удалены по [[ВУ:КДИ]]#10а и в. Он не является "автором или правообладателем", а "иллюстрирование" не является валидной причиной для содержания несвободного файла. А после переоформления около трети должна быть удалена по 8 пункту.<br> И, раз уж написал, примерно половину статей господина Пинчука снесли на enКнигах в прошлом году. — Ирука^{[[u:Iruka13|13]]} 18:44, 10 января 2026 (UTC) : ээ, вроде 1сное не сносил особо, кроме каких-то 2-3 файлов, с согласия других (надо поискать в КУ). До несвободных файлов рука не добралась, там вообще желательно обсуждение.<br>Ровно так же как и с Цивой, потому что иллюстрирование в играх по КДИ, как мне кажется, у нас под вопросом. Я замечал случаи, где иллюстрирование необходимо как в руководствах Хедина, поэтому тут под вопросом. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:41, 15 января 2026 (UTC) == Категории кулинарной книги == <s>Коль ниже нас похоронили, решу немного покопаться в гробу</s>. Касательно категорий: нам надо их слегка вложить друг в друга чтобы это отображалось цивильно, да и для удобства поиска. Например: категории огурцы, помидоры и баклажан стоило бы вложить в овощи, а китайская, японская, корейская кухня в восточно-азиатские кухни и т.д. Хотелось бы услышать мнения касательно данного действа. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) : @[[Участник:Leksey|Leksey]] @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] @[[Участник:Erokhin|Erokhin]] <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:42, 28 декабря 2025 (UTC) :Можно на примерах показать? [[Участник:Erokhin|Erokhin]] ([[Обсуждение участника:Erokhin|обсуждение]]) 22:11, 28 декабря 2025 (UTC) :: См. [[Кулинарная книга]], спускаемся ниже до [[:Категория:Европейская кухня]] и там видим подкухни, которые я ранее посчитал европейскими. Если бы их там не было, то кухни бы догнали список ингредиентов на странице кулинарной книги по длине. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:38, 29 декабря 2025 (UTC) ::: ? <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 15:55, 15 января 2026 (UTC) ::::Соглашусь, хорошо бы перетасовать предлагаемым образом. ::::Сам не возьмусь, пока без компьютера. [[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] ([[Обсуждение участника:Heffalump1974|обсуждение]]) 14:03, 5 мая 2026 (UTC) ::::: Категоризировал, и стало теперь приятнее смотреть на не слишком длинные списки. Оценка за вами, @[[Участник:Leksey|Leksey]], @[[Участник:Heffalump1974|Heffalump1974]] :)<br> Там единственное есть дубляжи (Баклажан и баклажаны, орех и орехи) надо бы определиться в каком числе категоризировать их. Мне кажется лучше в единственном числе, потому что так будет логично. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 19:26, 13 мая 2026 (UTC) :::::: А куда смотреть? Я уже забыл все [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 20:18, 13 мая 2026 (UTC) ::::::: [[Викиучебник:Кулинарная книга]] и туда снизу. <span style="font-family:TimesNewRoman;">[[Участник:Kylaix|'''''Kylain Aixter''''' ]] ([[Обсуждение участника:Kylaix|СО]]) </span> 20:23, 13 мая 2026 (UTC) ::::::да [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 18:03, 17 мая 2026 (UTC) <!-- Сообщение отправил Участник:Keegan (WMF)@metawiki, используя список на странице https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> 44v5lmmj3zhr4ciz0likrxkxvvlm51q 0 1957 267508 254923 2026-05-20T12:28:25Z AllaBuraya 79455 267508 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} ==Алгебраическая интерполяция== ===Табличное задание функции=== При алгебраической интерполяции для представления информации о функции <math>f(x)</math> используется таблица значений этой функции: <table> <tr><TD><math>x_0</math></td><TD><math>x_1</math></td><TD><math>x_2</math></td><TD><math>..</math></td> </tr> <tr><TD><math>f(x_0)</math></td><TD><math>f(x_1)</math></td><TD><math>f(x_2)</math></td><TD><math>..</math></td> </tr> </table> Собственно, задачей вычислительной математики здесь является задача построения по таблице такой функции <math>\tilde f</math>, которая бы не сильно отличалась от <math>f</math> и выработка ограничений, и разработка критериев, при которых задача имеет решение. ===Простейшие способы интерполяции=== Простейшим способом интерполяции функции <math>f</math> по таблице является [[w:Интерполяция методом ближайшего соседа|интерполяция методом ближайшего соседа]]. Один из ее вариантов формулируется так: <math>\tilde f(x) = f(x_i),i:\forall j\ne i, |x-x_j|>|x-x_i|</math> То есть за значение функции <math>\tilde f(x)</math> берется значение функции <math>f(x)</math> в точке, ближайшей к рассматриваемой. Более точным способом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. При таком подходе значение <math>f(x)</math> интерполируется по двум соседним с точкой <math>x</math> точкам. <math>\tilde f(x) = \frac{f(x_i)(x_{i+1}-x)+f(x_{i+1})(x-x_i)}{x_{i+1}-x_i},i:x_i<x<x_{i+1} </math> (здесь подразумевается монотонное возрастание последовательности <math>x_i</math>) Интересно понять, с какой точностью интерполяционные формулы аппроксимируют функцию <math>f</math>. Предположим, что производная функции <math>f</math> ограничена величиной <math>g</math>. Тогда на отрезке <math>[x_i,x_{i+1}]</math> функция <math>f</math> не может отклониться от линейной интерполяции более, чем на <math>h\left(g-\left|\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\right|\right)</math>. Если, кроме того, вторая производная функции <math>f</math> ограничена, можно построить более точную оценку: TODO ===Интерполяционные полиномы=== <i>Алгебраическим интерполяционным многочленом</i> <math>P_n(x,f,x_0,...,x_n)</math> называется многочлен <math>P_n(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_nx^n</math> степени не выше <math>n</math>, принимающий в точках <math>x_0,x_1,...,x_n</math> значения <math>f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)</math> <b>Теорема.</b> Если заданы попарно различные узлы <math>x_0,x_1,x_2,...,x_n</math> и значения <math>f(x_0), f(x_1), ...,f(x_n)</math>, то алгебраический интерполяционный многочлен cсуществует и единственен. <b>Доказательство</b> Сначала докажем, что существует не более чем один интерполяционный многочлен, а затем построим его. Если бы их было два, то их разность - многочлен степени не больше <math>n</math>, обращалась бы в 0 в <math>n+1</math> точке - <math>x_0,x_1,...,x_n</math>, что невозможно для ненулевого многочлена. В качестве примера интерполяционного многочлена можно привести [http://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяционный_многочлен_Лагранжа Интерполяционный многочлен Лагранжа] (доказательство существования очевидно из построения, приведенного по ссылке). '''Интерполяционный многочлен в форме Ньютона''' Введем понятие <i>разностного отношения</i>. Разностным отношением нулевого порядка в точке <math>x_i</math> назовем значение <math>f(x_i)</math>. Разностное отношение первого порядка определяется как <math>f(x_i,x_j)=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}</math> А n+1-го порядка - рекурсивно через разностное отношение n-го порядка: <math>f(x_0,x_1,...,x_{n+1})=\frac{f(x_1,x_2,...,x_{n+1})-f(x_0,x_1,...,x_n)}{x_{n+1}-x_0}</math> Тогда можно показать, что интерполяционный многочлен может быть записан в следующей форме: <math>P_n(x,f,x_0,...,x_n)=f(x_0)+(x-x_0)f(x_0,x_1)+...+(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})f(x_0,...,x_n)</math> TODO ===Сплайн-интерполяция=== Основная идея [[w:Сплайн|сплайн]]-интерполяции функций - построение кусочно-полиномиальной интерполяции, при которой остается непрерывной функция <math>\tilde f(x)</math> и несколько ее первых производных. Предположим, мы хотим получить функцию, непрерывную вместе со своей первой производной. Тогда для начала построим на заданной таблице кусочно-линейную интерполяцию <math>\tilde f_1(x)</math>. Это непрерывная функция, производная которой в каждом узле <math>x_i</math> имеет скачок <math>\tilde f_1'(x_i+\delta x) - \tilde f_1'(x_i-\delta x) = \frac{f_{i+1}-f_{i}}{x_{i+1}-x_i} - \frac{f_{i}-f_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}</math> Теперь построим полином 3-ей степени <math>f_{2,i}(x)</math> такой, что его производная точке <math>x_i</math>: <math>\tilde f_{2,i}'(x_i)=\tilde f_1'(x_i+\delta x) - \tilde f_1'(x_i-\delta x)</math> А значения в точках <math>x_i</math> и <math>x_{i+1}</math> равны 1. Если теперь на отрезке <math>[x_i,x_{i+1}]</math> к функции <math>f_1(x)</math> прибавить <math>f_{2,i}(x)</math>, получившаяся функция будет непрерывна в <math>x_i</math> вместе со своей первой производной. Осталось провести аналогичную операцию на всех остальных отрезках <math>[x_i,x_{i+1}]</math>, учитывая на каждом следующем отрезке производную уже построенной функции на предыдущем отрезке. ==Тригонометрическая интерполяция== Другим важным видом интерполяции является интерполяция функции f тригонометрическим полиномом, называемой еще интерполяцией полиномом Фурье: <math>\tilde f(x)=\sum_{k=0}^K \left( a_k \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) + b_k \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right) </math> Интерполирующая функция представляет собой сумму конечного числа гармоник ряда Фурье. Этот вид интерполяции особенно осмысленен для периодических функций. Пусть есть функция <math>f(x)</math> с периодом <math>L</math>, т.е. для любого <math>x</math>: <math>f(x+L)=f(x)</math> Пусть эта функция задана таблицей на периодической сетке: <math> x_n=\frac{L}{N}n+x_0, n=0,1,...,N-1 </math> своими значениями <math> f_n=f(x_n) </math> Оказывается, при правильном выборе <math>N,K,x_0</math>, существует только один полином <math>\tilde f(x)</math>. ==Неклассические методы интерполяции== В различных приложениях используются различные методы интерполяции, не сводящиеся к классическим. Рассмотрим некоторые из них. === Реконструкция функций === Для реконструкции разрывных функций часто применяют так называемую minmod-реконструкцию. Суть ее в следующем: Распределение функции на отрезке <math>\left[-\frac{x_{m-1}+x_m}{2}, \frac{x_m+x_{m+1}}{2}\right]</math> полагается линейным, а коэффициент наклона выбирается как <math>q=\operatorname{minmod}\left(\frac{f_{m+1}-f_{m}}{x_{m+1}-x_m},\frac{f_{m}-f_{m-1}}{x_{m}-x_{m-1}}\right)</math>, где <math>\operatorname{minmod}(a,b)=\frac{\operatorname{sign}(a)+\operatorname{sign}(b)}{2}\min(|a|,|b|)</math> === Всюду гладкая интерполяция === Есть еще такая всюду гладкая интерполяция: <math>f(x)=\frac{\sum \frac{f_i}{(x-x_i)^2}}{\sum \frac{1}{(x-x_i)^2}}</math> [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] h4fdng9pqtypo7cmnz76cg2vvank59u 267509 267508 2026-05-20T12:28:37Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267509 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} ==Алгебраическая интерполяция== ===Табличное задание функции=== При алгебраической интерполяции для представления информации о функции <math>f(x)</math> используется таблица значений этой функции: <table> <tr><TD><math>x_0</math></td><TD><math>x_1</math></td><TD><math>x_2</math></td><TD><math>..</math></td> </tr> <tr><TD><math>f(x_0)</math></td><TD><math>f(x_1)</math></td><TD><math>f(x_2)</math></td><TD><math>..</math></td> </tr> </table> Собственно, задачей вычислительной математики здесь является задача построения по таблице такой функции <math>\tilde f</math>, которая бы не сильно отличалась от <math>f</math> и выработка ограничений, и разработка критериев, при которых задача имеет решение. ===Простейшие способы интерполяции=== Простейшим способом интерполяции функции <math>f</math> по таблице является [[w:Интерполяция методом ближайшего соседа|интерполяция методом ближайшего соседа]]. Один из ее вариантов формулируется так: <math>\tilde f(x) = f(x_i),i:\forall j\ne i, |x-x_j|>|x-x_i|</math> То есть за значение функции <math>\tilde f(x)</math> берется значение функции <math>f(x)</math> в точке, ближайшей к рассматриваемой. Более точным способом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. При таком подходе значение <math>f(x)</math> интерполируется по двум соседним с точкой <math>x</math> точкам. <math>\tilde f(x) = \frac{f(x_i)(x_{i+1}-x)+f(x_{i+1})(x-x_i)}{x_{i+1}-x_i},i:x_i<x<x_{i+1} </math> (здесь подразумевается монотонное возрастание последовательности <math>x_i</math>) Интересно понять, с какой точностью интерполяционные формулы аппроксимируют функцию <math>f</math>. Предположим, что производная функции <math>f</math> ограничена величиной <math>g</math>. Тогда на отрезке <math>[x_i,x_{i+1}]</math> функция <math>f</math> не может отклониться от линейной интерполяции более, чем на <math>h\left(g-\left|\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\right|\right)</math>. Если, кроме того, вторая производная функции <math>f</math> ограничена, можно построить более точную оценку: TODO ===Интерполяционные полиномы=== <i>Алгебраическим интерполяционным многочленом</i> <math>P_n(x,f,x_0,...,x_n)</math> называется многочлен <math>P_n(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_nx^n</math> степени не выше <math>n</math>, принимающий в точках <math>x_0,x_1,...,x_n</math> значения <math>f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)</math> <b>Теорема.</b> Если заданы попарно различные узлы <math>x_0,x_1,x_2,...,x_n</math> и значения <math>f(x_0), f(x_1), ...,f(x_n)</math>, то алгебраический интерполяционный многочлен cсуществует и единственен. <b>Доказательство</b> Сначала докажем, что существует не более чем один интерполяционный многочлен, а затем построим его. Если бы их было два, то их разность - многочлен степени не больше <math>n</math>, обращалась бы в 0 в <math>n+1</math> точке - <math>x_0,x_1,...,x_n</math>, что невозможно для ненулевого многочлена. В качестве примера интерполяционного многочлена можно привести [http://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяционный_многочлен_Лагранжа Интерполяционный многочлен Лагранжа] (доказательство существования очевидно из построения, приведенного по ссылке). '''Интерполяционный многочлен в форме Ньютона''' Введем понятие <i>разностного отношения</i>. Разностным отношением нулевого порядка в точке <math>x_i</math> назовем значение <math>f(x_i)</math>. Разностное отношение первого порядка определяется как <math>f(x_i,x_j)=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}</math> А n+1-го порядка - рекурсивно через разностное отношение n-го порядка: <math>f(x_0,x_1,...,x_{n+1})=\frac{f(x_1,x_2,...,x_{n+1})-f(x_0,x_1,...,x_n)}{x_{n+1}-x_0}</math> Тогда можно показать, что интерполяционный многочлен может быть записан в следующей форме: <math>P_n(x,f,x_0,...,x_n)=f(x_0)+(x-x_0)f(x_0,x_1)+...+(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})f(x_0,...,x_n)</math> TODO ===Сплайн-интерполяция=== Основная идея [[w:Сплайн|сплайн]]-интерполяции функций - построение кусочно-полиномиальной интерполяции, при которой остается непрерывной функция <math>\tilde f(x)</math> и несколько ее первых производных. Предположим, мы хотим получить функцию, непрерывную вместе со своей первой производной. Тогда для начала построим на заданной таблице кусочно-линейную интерполяцию <math>\tilde f_1(x)</math>. Это непрерывная функция, производная которой в каждом узле <math>x_i</math> имеет скачок <math>\tilde f_1'(x_i+\delta x) - \tilde f_1'(x_i-\delta x) = \frac{f_{i+1}-f_{i}}{x_{i+1}-x_i} - \frac{f_{i}-f_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}</math> Теперь построим полином 3-ей степени <math>f_{2,i}(x)</math> такой, что его производная точке <math>x_i</math>: <math>\tilde f_{2,i}'(x_i)=\tilde f_1'(x_i+\delta x) - \tilde f_1'(x_i-\delta x)</math> А значения в точках <math>x_i</math> и <math>x_{i+1}</math> равны 1. Если теперь на отрезке <math>[x_i,x_{i+1}]</math> к функции <math>f_1(x)</math> прибавить <math>f_{2,i}(x)</math>, получившаяся функция будет непрерывна в <math>x_i</math> вместе со своей первой производной. Осталось провести аналогичную операцию на всех остальных отрезках <math>[x_i,x_{i+1}]</math>, учитывая на каждом следующем отрезке производную уже построенной функции на предыдущем отрезке. ==Тригонометрическая интерполяция== Другим важным видом интерполяции является интерполяция функции f тригонометрическим полиномом, называемой еще интерполяцией полиномом Фурье: <math>\tilde f(x)=\sum_{k=0}^K \left( a_k \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) + b_k \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right) </math> Интерполирующая функция представляет собой сумму конечного числа гармоник ряда Фурье. Этот вид интерполяции особенно осмысленен для периодических функций. Пусть есть функция <math>f(x)</math> с периодом <math>L</math>, т.е. для любого <math>x</math>: <math>f(x+L)=f(x)</math> Пусть эта функция задана таблицей на периодической сетке: <math> x_n=\frac{L}{N}n+x_0, n=0,1,...,N-1 </math> своими значениями <math> f_n=f(x_n) </math> Оказывается, при правильном выборе <math>N,K,x_0</math>, существует только один полином <math>\tilde f(x)</math>. ==Неклассические методы интерполяции== В различных приложениях используются различные методы интерполяции, не сводящиеся к классическим. Рассмотрим некоторые из них. === Реконструкция функций === Для реконструкции разрывных функций часто применяют так называемую minmod-реконструкцию. Суть ее в следующем: Распределение функции на отрезке <math>\left[-\frac{x_{m-1}+x_m}{2}, \frac{x_m+x_{m+1}}{2}\right]</math> полагается линейным, а коэффициент наклона выбирается как <math>q=\operatorname{minmod}\left(\frac{f_{m+1}-f_{m}}{x_{m+1}-x_m},\frac{f_{m}-f_{m-1}}{x_{m}-x_{m-1}}\right)</math>, где <math>\operatorname{minmod}(a,b)=\frac{\operatorname{sign}(a)+\operatorname{sign}(b)}{2}\min(|a|,|b|)</math> === Всюду гладкая интерполяция === Есть еще такая всюду гладкая интерполяция: <math>f(x)=\frac{\sum \frac{f_i}{(x-x_i)^2}}{\sum \frac{1}{(x-x_i)^2}}</math> [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Математика]] t6a78wp53urh19w0c2pi1k8znldk7py 267634 267509 2026-05-21T08:22:18Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267634 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} ==Алгебраическая интерполяция== ===Табличное задание функции=== При алгебраической интерполяции для представления информации о функции <math>f(x)</math> используется таблица значений этой функции: <table> <tr><TD><math>x_0</math></td><TD><math>x_1</math></td><TD><math>x_2</math></td><TD><math>..</math></td> </tr> <tr><TD><math>f(x_0)</math></td><TD><math>f(x_1)</math></td><TD><math>f(x_2)</math></td><TD><math>..</math></td> </tr> </table> Собственно, задачей вычислительной математики здесь является задача построения по таблице такой функции <math>\tilde f</math>, которая бы не сильно отличалась от <math>f</math> и выработка ограничений, и разработка критериев, при которых задача имеет решение. ===Простейшие способы интерполяции=== Простейшим способом интерполяции функции <math>f</math> по таблице является [[w:Интерполяция методом ближайшего соседа|интерполяция методом ближайшего соседа]]. Один из ее вариантов формулируется так: <math>\tilde f(x) = f(x_i),i:\forall j\ne i, |x-x_j|>|x-x_i|</math> То есть за значение функции <math>\tilde f(x)</math> берется значение функции <math>f(x)</math> в точке, ближайшей к рассматриваемой. Более точным способом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. При таком подходе значение <math>f(x)</math> интерполируется по двум соседним с точкой <math>x</math> точкам. <math>\tilde f(x) = \frac{f(x_i)(x_{i+1}-x)+f(x_{i+1})(x-x_i)}{x_{i+1}-x_i},i:x_i<x<x_{i+1} </math> (здесь подразумевается монотонное возрастание последовательности <math>x_i</math>) Интересно понять, с какой точностью интерполяционные формулы аппроксимируют функцию <math>f</math>. Предположим, что производная функции <math>f</math> ограничена величиной <math>g</math>. Тогда на отрезке <math>[x_i,x_{i+1}]</math> функция <math>f</math> не может отклониться от линейной интерполяции более, чем на <math>h\left(g-\left|\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\right|\right)</math>. Если, кроме того, вторая производная функции <math>f</math> ограничена, можно построить более точную оценку: TODO ===Интерполяционные полиномы=== <i>Алгебраическим интерполяционным многочленом</i> <math>P_n(x,f,x_0,...,x_n)</math> называется многочлен <math>P_n(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_nx^n</math> степени не выше <math>n</math>, принимающий в точках <math>x_0,x_1,...,x_n</math> значения <math>f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)</math> <b>Теорема.</b> Если заданы попарно различные узлы <math>x_0,x_1,x_2,...,x_n</math> и значения <math>f(x_0), f(x_1), ...,f(x_n)</math>, то алгебраический интерполяционный многочлен cсуществует и единственен. <b>Доказательство</b> Сначала докажем, что существует не более чем один интерполяционный многочлен, а затем построим его. Если бы их было два, то их разность - многочлен степени не больше <math>n</math>, обращалась бы в 0 в <math>n+1</math> точке - <math>x_0,x_1,...,x_n</math>, что невозможно для ненулевого многочлена. В качестве примера интерполяционного многочлена можно привести [http://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяционный_многочлен_Лагранжа Интерполяционный многочлен Лагранжа] (доказательство существования очевидно из построения, приведенного по ссылке). '''Интерполяционный многочлен в форме Ньютона''' Введем понятие <i>разностного отношения</i>. Разностным отношением нулевого порядка в точке <math>x_i</math> назовем значение <math>f(x_i)</math>. Разностное отношение первого порядка определяется как <math>f(x_i,x_j)=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}</math> А n+1-го порядка - рекурсивно через разностное отношение n-го порядка: <math>f(x_0,x_1,...,x_{n+1})=\frac{f(x_1,x_2,...,x_{n+1})-f(x_0,x_1,...,x_n)}{x_{n+1}-x_0}</math> Тогда можно показать, что интерполяционный многочлен может быть записан в следующей форме: <math>P_n(x,f,x_0,...,x_n)=f(x_0)+(x-x_0)f(x_0,x_1)+...+(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})f(x_0,...,x_n)</math> TODO ===Сплайн-интерполяция=== Основная идея [[w:Сплайн|сплайн]]-интерполяции функций - построение кусочно-полиномиальной интерполяции, при которой остается непрерывной функция <math>\tilde f(x)</math> и несколько ее первых производных. Предположим, мы хотим получить функцию, непрерывную вместе со своей первой производной. Тогда для начала построим на заданной таблице кусочно-линейную интерполяцию <math>\tilde f_1(x)</math>. Это непрерывная функция, производная которой в каждом узле <math>x_i</math> имеет скачок <math>\tilde f_1'(x_i+\delta x) - \tilde f_1'(x_i-\delta x) = \frac{f_{i+1}-f_{i}}{x_{i+1}-x_i} - \frac{f_{i}-f_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}</math> Теперь построим полином 3-ей степени <math>f_{2,i}(x)</math> такой, что его производная точке <math>x_i</math>: <math>\tilde f_{2,i}'(x_i)=\tilde f_1'(x_i+\delta x) - \tilde f_1'(x_i-\delta x)</math> А значения в точках <math>x_i</math> и <math>x_{i+1}</math> равны 1. Если теперь на отрезке <math>[x_i,x_{i+1}]</math> к функции <math>f_1(x)</math> прибавить <math>f_{2,i}(x)</math>, получившаяся функция будет непрерывна в <math>x_i</math> вместе со своей первой производной. Осталось провести аналогичную операцию на всех остальных отрезках <math>[x_i,x_{i+1}]</math>, учитывая на каждом следующем отрезке производную уже построенной функции на предыдущем отрезке. ==Тригонометрическая интерполяция== Другим важным видом интерполяции является интерполяция функции f тригонометрическим полиномом, называемой еще интерполяцией полиномом Фурье: <math>\tilde f(x)=\sum_{k=0}^K \left( a_k \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) + b_k \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right) </math> Интерполирующая функция представляет собой сумму конечного числа гармоник ряда Фурье. Этот вид интерполяции особенно осмысленен для периодических функций. Пусть есть функция <math>f(x)</math> с периодом <math>L</math>, т.е. для любого <math>x</math>: <math>f(x+L)=f(x)</math> Пусть эта функция задана таблицей на периодической сетке: <math> x_n=\frac{L}{N}n+x_0, n=0,1,...,N-1 </math> своими значениями <math> f_n=f(x_n) </math> Оказывается, при правильном выборе <math>N,K,x_0</math>, существует только один полином <math>\tilde f(x)</math>. ==Неклассические методы интерполяции== В различных приложениях используются различные методы интерполяции, не сводящиеся к классическим. Рассмотрим некоторые из них. === Реконструкция функций === Для реконструкции разрывных функций часто применяют так называемую minmod-реконструкцию. Суть ее в следующем: Распределение функции на отрезке <math>\left[-\frac{x_{m-1}+x_m}{2}, \frac{x_m+x_{m+1}}{2}\right]</math> полагается линейным, а коэффициент наклона выбирается как <math>q=\operatorname{minmod}\left(\frac{f_{m+1}-f_{m}}{x_{m+1}-x_m},\frac{f_{m}-f_{m-1}}{x_{m}-x_{m-1}}\right)</math>, где <math>\operatorname{minmod}(a,b)=\frac{\operatorname{sign}(a)+\operatorname{sign}(b)}{2}\min(|a|,|b|)</math> === Всюду гладкая интерполяция === Есть еще такая всюду гладкая интерполяция: <math>f(x)=\frac{\sum \frac{f_i}{(x-x_i)^2}}{\sum \frac{1}{(x-x_i)^2}}</math> [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] h4fdng9pqtypo7cmnz76cg2vvank59u 267756 267634 2026-05-21T10:41:41Z AllaBuraya 79455 267756 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 0% }} ==Алгебраическая интерполяция== ===Табличное задание функции=== При алгебраической интерполяции для представления информации о функции <math>f(x)</math> используется таблица значений этой функции: <table> <tr><TD><math>x_0</math></td><TD><math>x_1</math></td><TD><math>x_2</math></td><TD><math>..</math></td> </tr> <tr><TD><math>f(x_0)</math></td><TD><math>f(x_1)</math></td><TD><math>f(x_2)</math></td><TD><math>..</math></td> </tr> </table> Собственно, задачей вычислительной математики здесь является задача построения по таблице такой функции <math>\tilde f</math>, которая бы не сильно отличалась от <math>f</math> и выработка ограничений, и разработка критериев, при которых задача имеет решение. ===Простейшие способы интерполяции=== Простейшим способом интерполяции функции <math>f</math> по таблице является [[w:Интерполяция методом ближайшего соседа|интерполяция методом ближайшего соседа]]. Один из ее вариантов формулируется так: <math>\tilde f(x) = f(x_i),i:\forall j\ne i, |x-x_j|>|x-x_i|</math> То есть за значение функции <math>\tilde f(x)</math> берется значение функции <math>f(x)</math> в точке, ближайшей к рассматриваемой. Более точным способом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. При таком подходе значение <math>f(x)</math> интерполируется по двум соседним с точкой <math>x</math> точкам. <math>\tilde f(x) = \frac{f(x_i)(x_{i+1}-x)+f(x_{i+1})(x-x_i)}{x_{i+1}-x_i},i:x_i<x<x_{i+1} </math> (здесь подразумевается монотонное возрастание последовательности <math>x_i</math>) Интересно понять, с какой точностью интерполяционные формулы аппроксимируют функцию <math>f</math>. Предположим, что производная функции <math>f</math> ограничена величиной <math>g</math>. Тогда на отрезке <math>[x_i,x_{i+1}]</math> функция <math>f</math> не может отклониться от линейной интерполяции более, чем на <math>h\left(g-\left|\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\right|\right)</math>. Если, кроме того, вторая производная функции <math>f</math> ограничена, можно построить более точную оценку: TODO ===Интерполяционные полиномы=== <i>Алгебраическим интерполяционным многочленом</i> <math>P_n(x,f,x_0,...,x_n)</math> называется многочлен <math>P_n(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_nx^n</math> степени не выше <math>n</math>, принимающий в точках <math>x_0,x_1,...,x_n</math> значения <math>f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)</math> <b>Теорема.</b> Если заданы попарно различные узлы <math>x_0,x_1,x_2,...,x_n</math> и значения <math>f(x_0), f(x_1), ...,f(x_n)</math>, то алгебраический интерполяционный многочлен cсуществует и единственен. <b>Доказательство</b> Сначала докажем, что существует не более чем один интерполяционный многочлен, а затем построим его. Если бы их было два, то их разность - многочлен степени не больше <math>n</math>, обращалась бы в 0 в <math>n+1</math> точке - <math>x_0,x_1,...,x_n</math>, что невозможно для ненулевого многочлена. В качестве примера интерполяционного многочлена можно привести [http://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяционный_многочлен_Лагранжа Интерполяционный многочлен Лагранжа] (доказательство существования очевидно из построения, приведенного по ссылке). '''Интерполяционный многочлен в форме Ньютона''' Введем понятие <i>разностного отношения</i>. Разностным отношением нулевого порядка в точке <math>x_i</math> назовем значение <math>f(x_i)</math>. Разностное отношение первого порядка определяется как <math>f(x_i,x_j)=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}</math> А n+1-го порядка - рекурсивно через разностное отношение n-го порядка: <math>f(x_0,x_1,...,x_{n+1})=\frac{f(x_1,x_2,...,x_{n+1})-f(x_0,x_1,...,x_n)}{x_{n+1}-x_0}</math> Тогда можно показать, что интерполяционный многочлен может быть записан в следующей форме: <math>P_n(x,f,x_0,...,x_n)=f(x_0)+(x-x_0)f(x_0,x_1)+...+(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})f(x_0,...,x_n)</math> TODO ===Сплайн-интерполяция=== Основная идея [[w:Сплайн|сплайн]]-интерполяции функций - построение кусочно-полиномиальной интерполяции, при которой остается непрерывной функция <math>\tilde f(x)</math> и несколько ее первых производных. Предположим, мы хотим получить функцию, непрерывную вместе со своей первой производной. Тогда для начала построим на заданной таблице кусочно-линейную интерполяцию <math>\tilde f_1(x)</math>. Это непрерывная функция, производная которой в каждом узле <math>x_i</math> имеет скачок <math>\tilde f_1'(x_i+\delta x) - \tilde f_1'(x_i-\delta x) = \frac{f_{i+1}-f_{i}}{x_{i+1}-x_i} - \frac{f_{i}-f_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}</math> Теперь построим полином 3-ей степени <math>f_{2,i}(x)</math> такой, что его производная точке <math>x_i</math>: <math>\tilde f_{2,i}'(x_i)=\tilde f_1'(x_i+\delta x) - \tilde f_1'(x_i-\delta x)</math> А значения в точках <math>x_i</math> и <math>x_{i+1}</math> равны 1. Если теперь на отрезке <math>[x_i,x_{i+1}]</math> к функции <math>f_1(x)</math> прибавить <math>f_{2,i}(x)</math>, получившаяся функция будет непрерывна в <math>x_i</math> вместе со своей первой производной. Осталось провести аналогичную операцию на всех остальных отрезках <math>[x_i,x_{i+1}]</math>, учитывая на каждом следующем отрезке производную уже построенной функции на предыдущем отрезке. ==Тригонометрическая интерполяция== Другим важным видом интерполяции является интерполяция функции f тригонометрическим полиномом, называемой еще интерполяцией полиномом Фурье: <math>\tilde f(x)=\sum_{k=0}^K \left( a_k \sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) + b_k \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \right) </math> Интерполирующая функция представляет собой сумму конечного числа гармоник ряда Фурье. Этот вид интерполяции особенно осмысленен для периодических функций. Пусть есть функция <math>f(x)</math> с периодом <math>L</math>, т.е. для любого <math>x</math>: <math>f(x+L)=f(x)</math> Пусть эта функция задана таблицей на периодической сетке: <math> x_n=\frac{L}{N}n+x_0, n=0,1,...,N-1 </math> своими значениями <math> f_n=f(x_n) </math> Оказывается, при правильном выборе <math>N,K,x_0</math>, существует только один полином <math>\tilde f(x)</math>. ==Неклассические методы интерполяции== В различных приложениях используются различные методы интерполяции, не сводящиеся к классическим. Рассмотрим некоторые из них. === Реконструкция функций === Для реконструкции разрывных функций часто применяют так называемую minmod-реконструкцию. Суть ее в следующем: Распределение функции на отрезке <math>\left[-\frac{x_{m-1}+x_m}{2}, \frac{x_m+x_{m+1}}{2}\right]</math> полагается линейным, а коэффициент наклона выбирается как <math>q=\operatorname{minmod}\left(\frac{f_{m+1}-f_{m}}{x_{m+1}-x_m},\frac{f_{m}-f_{m-1}}{x_{m}-x_{m-1}}\right)</math>, где <math>\operatorname{minmod}(a,b)=\frac{\operatorname{sign}(a)+\operatorname{sign}(b)}{2}\min(|a|,|b|)</math> === Всюду гладкая интерполяция === Есть еще такая всюду гладкая интерполяция: <math>f(x)=\frac{\sum \frac{f_i}{(x-x_i)^2}}{\sum \frac{1}{(x-x_i)^2}}</math> [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] hbdviw6pr6l61thi4rom36cod7bd3rv 0 1962 267646 267433 2026-05-21T08:28:03Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267646 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} Дифференциальные уравнения, являясь подмножеством функциональных уравнений, довольно редко допускают аналитическое решение. В подобных ситуациях для их приближённого решения применяют численные методы. Численные методы не могут дать решения дифференциальной задачи, но могут обеспечить некоторое приближение к такому решению. Часто для получения такого приближения используют т. н. сеточную аппроксимацию функций. То есть вместо функций непрерывного аргумента вводят функции дискретного аргумента. А вместо дифференциальных операторов — разностные. Будем называть параметром сетки такую величину <math>h</math>, что расстояние между любыми двумя соседними узлами сетки не превосходит h. == Гиперболические уравнения == === Введение === Системы гиперболических уравнений возникают во многих задачах вычислительной физики. Хороший проработанный пример — газовая динамика. В приложениях часто используются гиперболические системы уравнений, представляемые в виде: <math> \frac{\partial \vec U}{\partial t} + \sum_{j=1}^m A_j\frac{\partial \vec U}{\partial x_j} = \vec b </math> Где матрица <math>A</math> имеет полный набор собственных векторов и, соответственно, представима в виде <math> A=\Omega_R \Lambda \Omega_L </math> Где <math> \Omega_R=\Omega_L^{-1}</math> — матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы <math>A</math> как из столбцов. <math>\Lambda=diag[\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n]</math> — матрица собственных значений матрицы <math>A</math>. Эта форма записи называется неконсервативной, в противовес не менее часто используемой консервативной форме, связанной с физическими законами сохранения в явном виде: <math> \frac{\partial \vec U}{\partial t} + \sum_{j=1}^m \frac{\partial F_j(\vec U)}{\partial x_j} = \vec B </math> Дело в том, разностная схема для консервативной формы уравнений, записанная в виде <math> \frac{\vec U^{n+1}_{\vec r}-\vec U^n_{\vec r}}{\delta t} + \sum_{j=1}^m \frac{F_{j,\vec r+1/2\vec h_j} - F_{j,\vec r-1/2\vec h_j} }{h_j} = \vec B_{\vec r} </math> автоматически гарантирует точное выполнение на приближенном решении законов сохранения, в то время как разностные соотношения, получаемые из неконсервативной формы, соблюдают законы сохранения лишь приближенно - в рамках аппроксимации. === Разностные схемы === Простейшим и исходным объектом исследования в теории систем гиперболических уравнений является одиночное уравнение переноса: <math>\frac{\partial U}{\partial t}+\lambda\frac{\partial U}{\partial x}=0</math> Где <math>U</math> — искомая функция переменных <math>(x,t)</math>. <math>\lambda</math> — некоторая постоянная. Это уравнение очень удобно уже тем, что нам хорошо известно его аналитическое решение: <math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t)</math> где <math>U_0(x)</math> — произвольная функция. Первый вопрос, который возникает — а зачем численно решать уравнение, для которого известно аналитическое решение? Ответ прост — дело в том, что это уравнение будет «вылезать» из решения сложных многомерных систем, и параметры, которые в него входят будут меняться в зависимости от решения да и заданы будут не всюду, а лишь в некоторых точках, что делает прямое применение аналитического решения невозможным. Итак, приступим к построению простейшей схемы для данного уравнения. Пусть функция <math>U</math> задана на узлах пространственной сетки <math>x_m</math> в момент времени <math>t_n</math> и мы хотим получить ее значения в тех же узлах в момент <math>t_{n+1}</math>. Воспользуемся простейшими формулами для аппроксимации производных и получим: <math> \frac{U^{n+1}_m-U^n_m}{\tau} + \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h} = 0 </math> Тогда для значения <math>U^{n+1}_m</math> может быть выписано выражение в явном виде: <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h} </math> Эта простейшая схема может быть легко реализована и запущена. См [[/Реализация на Fortran-e|пункт реализация]]. Приведенная схема не работает при <math>\lambda<0</math>. Ответ достаточно очевиден — «перенос» справа налево не работает в схеме, в которой нет точек справа. Хотелось бы добавить в схему что-то вроде <math>U_{m+1}</math>. Как это сделать? Простейший способ — построить «комбинированную» схему: <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h}, \lambda\ge 0 </math> <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_{m+1}-U^n_m}{h}, \lambda<0 </math> === Литература === * Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.:ФИЗМАТЛИТ,2001. — 608с. — ISBN 5-9221-0194-3 [[Категория:Дифференциальные уравнения]] 9ckwvajuoad7pvvkz4lbfrxd22eopyz 267737 267646 2026-05-21T10:09:46Z AllaBuraya 79455 267737 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} Дифференциальные уравнения, являясь подмножеством функциональных уравнений, довольно редко допускают аналитическое решение. В подобных ситуациях для их приближённого решения применяют численные методы. Численные методы не могут дать решения дифференциальной задачи, но могут обеспечить некоторое приближение к такому решению. Часто для получения такого приближения используют т. н. сеточную аппроксимацию функций. То есть вместо функций непрерывного аргумента вводят функции дискретного аргумента. А вместо дифференциальных операторов — разностные. Будем называть параметром сетки такую величину <math>h</math>, что расстояние между любыми двумя соседними узлами сетки не превосходит h. == Гиперболические уравнения == === Введение === Системы гиперболических уравнений возникают во многих задачах вычислительной физики. Хороший проработанный пример — газовая динамика. В приложениях часто используются гиперболические системы уравнений, представляемые в виде: <math> \frac{\partial \vec U}{\partial t} + \sum_{j=1}^m A_j\frac{\partial \vec U}{\partial x_j} = \vec b </math> Где матрица <math>A</math> имеет полный набор собственных векторов и, соответственно, представима в виде <math> A=\Omega_R \Lambda \Omega_L </math> Где <math> \Omega_R=\Omega_L^{-1}</math> — матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы <math>A</math> как из столбцов. <math>\Lambda=diag[\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n]</math> — матрица собственных значений матрицы <math>A</math>. Эта форма записи называется неконсервативной, в противовес не менее часто используемой консервативной форме, связанной с физическими законами сохранения в явном виде: <math> \frac{\partial \vec U}{\partial t} + \sum_{j=1}^m \frac{\partial F_j(\vec U)}{\partial x_j} = \vec B </math> Дело в том, разностная схема для консервативной формы уравнений, записанная в виде <math> \frac{\vec U^{n+1}_{\vec r}-\vec U^n_{\vec r}}{\delta t} + \sum_{j=1}^m \frac{F_{j,\vec r+1/2\vec h_j} - F_{j,\vec r-1/2\vec h_j} }{h_j} = \vec B_{\vec r} </math> автоматически гарантирует точное выполнение на приближенном решении законов сохранения, в то время как разностные соотношения, получаемые из неконсервативной формы, соблюдают законы сохранения лишь приближенно - в рамках аппроксимации. === Разностные схемы === Простейшим и исходным объектом исследования в теории систем гиперболических уравнений является одиночное уравнение переноса: <math>\frac{\partial U}{\partial t}+\lambda\frac{\partial U}{\partial x}=0</math> Где <math>U</math> — искомая функция переменных <math>(x,t)</math>. <math>\lambda</math> — некоторая постоянная. Это уравнение очень удобно уже тем, что нам хорошо известно его аналитическое решение: <math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t)</math> где <math>U_0(x)</math> — произвольная функция. Первый вопрос, который возникает — а зачем численно решать уравнение, для которого известно аналитическое решение? Ответ прост — дело в том, что это уравнение будет «вылезать» из решения сложных многомерных систем, и параметры, которые в него входят будут меняться в зависимости от решения да и заданы будут не всюду, а лишь в некоторых точках, что делает прямое применение аналитического решения невозможным. Итак, приступим к построению простейшей схемы для данного уравнения. Пусть функция <math>U</math> задана на узлах пространственной сетки <math>x_m</math> в момент времени <math>t_n</math> и мы хотим получить ее значения в тех же узлах в момент <math>t_{n+1}</math>. Воспользуемся простейшими формулами для аппроксимации производных и получим: <math> \frac{U^{n+1}_m-U^n_m}{\tau} + \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h} = 0 </math> Тогда для значения <math>U^{n+1}_m</math> может быть выписано выражение в явном виде: <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h} </math> Эта простейшая схема может быть легко реализована и запущена. См [[/Реализация на Fortran-e|пункт реализация]]. Приведенная схема не работает при <math>\lambda<0</math>. Ответ достаточно очевиден — «перенос» справа налево не работает в схеме, в которой нет точек справа. Хотелось бы добавить в схему что-то вроде <math>U_{m+1}</math>. Как это сделать? Простейший способ — построить «комбинированную» схему: <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h}, \lambda\ge 0 </math> <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_{m+1}-U^n_m}{h}, \lambda<0 </math> === Литература === * Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.:ФИЗМАТЛИТ,2001. — 608с. — ISBN 5-9221-0194-3 [[Категория:Дифференциальные уравнения]] heinh39s1ckbkf8y4ksz0mvim9wuixk 267830 267737 2026-05-21T11:36:56Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Системы дифференциальных уравнений]] в [[Решение систем гиперболических уравнений]] 267737 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} Дифференциальные уравнения, являясь подмножеством функциональных уравнений, довольно редко допускают аналитическое решение. В подобных ситуациях для их приближённого решения применяют численные методы. Численные методы не могут дать решения дифференциальной задачи, но могут обеспечить некоторое приближение к такому решению. Часто для получения такого приближения используют т. н. сеточную аппроксимацию функций. То есть вместо функций непрерывного аргумента вводят функции дискретного аргумента. А вместо дифференциальных операторов — разностные. Будем называть параметром сетки такую величину <math>h</math>, что расстояние между любыми двумя соседними узлами сетки не превосходит h. == Гиперболические уравнения == === Введение === Системы гиперболических уравнений возникают во многих задачах вычислительной физики. Хороший проработанный пример — газовая динамика. В приложениях часто используются гиперболические системы уравнений, представляемые в виде: <math> \frac{\partial \vec U}{\partial t} + \sum_{j=1}^m A_j\frac{\partial \vec U}{\partial x_j} = \vec b </math> Где матрица <math>A</math> имеет полный набор собственных векторов и, соответственно, представима в виде <math> A=\Omega_R \Lambda \Omega_L </math> Где <math> \Omega_R=\Omega_L^{-1}</math> — матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы <math>A</math> как из столбцов. <math>\Lambda=diag[\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n]</math> — матрица собственных значений матрицы <math>A</math>. Эта форма записи называется неконсервативной, в противовес не менее часто используемой консервативной форме, связанной с физическими законами сохранения в явном виде: <math> \frac{\partial \vec U}{\partial t} + \sum_{j=1}^m \frac{\partial F_j(\vec U)}{\partial x_j} = \vec B </math> Дело в том, разностная схема для консервативной формы уравнений, записанная в виде <math> \frac{\vec U^{n+1}_{\vec r}-\vec U^n_{\vec r}}{\delta t} + \sum_{j=1}^m \frac{F_{j,\vec r+1/2\vec h_j} - F_{j,\vec r-1/2\vec h_j} }{h_j} = \vec B_{\vec r} </math> автоматически гарантирует точное выполнение на приближенном решении законов сохранения, в то время как разностные соотношения, получаемые из неконсервативной формы, соблюдают законы сохранения лишь приближенно - в рамках аппроксимации. === Разностные схемы === Простейшим и исходным объектом исследования в теории систем гиперболических уравнений является одиночное уравнение переноса: <math>\frac{\partial U}{\partial t}+\lambda\frac{\partial U}{\partial x}=0</math> Где <math>U</math> — искомая функция переменных <math>(x,t)</math>. <math>\lambda</math> — некоторая постоянная. Это уравнение очень удобно уже тем, что нам хорошо известно его аналитическое решение: <math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t)</math> где <math>U_0(x)</math> — произвольная функция. Первый вопрос, который возникает — а зачем численно решать уравнение, для которого известно аналитическое решение? Ответ прост — дело в том, что это уравнение будет «вылезать» из решения сложных многомерных систем, и параметры, которые в него входят будут меняться в зависимости от решения да и заданы будут не всюду, а лишь в некоторых точках, что делает прямое применение аналитического решения невозможным. Итак, приступим к построению простейшей схемы для данного уравнения. Пусть функция <math>U</math> задана на узлах пространственной сетки <math>x_m</math> в момент времени <math>t_n</math> и мы хотим получить ее значения в тех же узлах в момент <math>t_{n+1}</math>. Воспользуемся простейшими формулами для аппроксимации производных и получим: <math> \frac{U^{n+1}_m-U^n_m}{\tau} + \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h} = 0 </math> Тогда для значения <math>U^{n+1}_m</math> может быть выписано выражение в явном виде: <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h} </math> Эта простейшая схема может быть легко реализована и запущена. См [[/Реализация на Fortran-e|пункт реализация]]. Приведенная схема не работает при <math>\lambda<0</math>. Ответ достаточно очевиден — «перенос» справа налево не работает в схеме, в которой нет точек справа. Хотелось бы добавить в схему что-то вроде <math>U_{m+1}</math>. Как это сделать? Простейший способ — построить «комбинированную» схему: <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h}, \lambda\ge 0 </math> <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_{m+1}-U^n_m}{h}, \lambda<0 </math> === Литература === * Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.:ФИЗМАТЛИТ,2001. — 608с. — ISBN 5-9221-0194-3 [[Категория:Дифференциальные уравнения]] heinh39s1ckbkf8y4ksz0mvim9wuixk 267833 267830 2026-05-21T11:37:58Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математическая физика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267833 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} Дифференциальные уравнения, являясь подмножеством функциональных уравнений, довольно редко допускают аналитическое решение. В подобных ситуациях для их приближённого решения применяют численные методы. Численные методы не могут дать решения дифференциальной задачи, но могут обеспечить некоторое приближение к такому решению. Часто для получения такого приближения используют т. н. сеточную аппроксимацию функций. То есть вместо функций непрерывного аргумента вводят функции дискретного аргумента. А вместо дифференциальных операторов — разностные. Будем называть параметром сетки такую величину <math>h</math>, что расстояние между любыми двумя соседними узлами сетки не превосходит h. == Гиперболические уравнения == === Введение === Системы гиперболических уравнений возникают во многих задачах вычислительной физики. Хороший проработанный пример — газовая динамика. В приложениях часто используются гиперболические системы уравнений, представляемые в виде: <math> \frac{\partial \vec U}{\partial t} + \sum_{j=1}^m A_j\frac{\partial \vec U}{\partial x_j} = \vec b </math> Где матрица <math>A</math> имеет полный набор собственных векторов и, соответственно, представима в виде <math> A=\Omega_R \Lambda \Omega_L </math> Где <math> \Omega_R=\Omega_L^{-1}</math> — матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы <math>A</math> как из столбцов. <math>\Lambda=diag[\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n]</math> — матрица собственных значений матрицы <math>A</math>. Эта форма записи называется неконсервативной, в противовес не менее часто используемой консервативной форме, связанной с физическими законами сохранения в явном виде: <math> \frac{\partial \vec U}{\partial t} + \sum_{j=1}^m \frac{\partial F_j(\vec U)}{\partial x_j} = \vec B </math> Дело в том, разностная схема для консервативной формы уравнений, записанная в виде <math> \frac{\vec U^{n+1}_{\vec r}-\vec U^n_{\vec r}}{\delta t} + \sum_{j=1}^m \frac{F_{j,\vec r+1/2\vec h_j} - F_{j,\vec r-1/2\vec h_j} }{h_j} = \vec B_{\vec r} </math> автоматически гарантирует точное выполнение на приближенном решении законов сохранения, в то время как разностные соотношения, получаемые из неконсервативной формы, соблюдают законы сохранения лишь приближенно - в рамках аппроксимации. === Разностные схемы === Простейшим и исходным объектом исследования в теории систем гиперболических уравнений является одиночное уравнение переноса: <math>\frac{\partial U}{\partial t}+\lambda\frac{\partial U}{\partial x}=0</math> Где <math>U</math> — искомая функция переменных <math>(x,t)</math>. <math>\lambda</math> — некоторая постоянная. Это уравнение очень удобно уже тем, что нам хорошо известно его аналитическое решение: <math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t)</math> где <math>U_0(x)</math> — произвольная функция. Первый вопрос, который возникает — а зачем численно решать уравнение, для которого известно аналитическое решение? Ответ прост — дело в том, что это уравнение будет «вылезать» из решения сложных многомерных систем, и параметры, которые в него входят будут меняться в зависимости от решения да и заданы будут не всюду, а лишь в некоторых точках, что делает прямое применение аналитического решения невозможным. Итак, приступим к построению простейшей схемы для данного уравнения. Пусть функция <math>U</math> задана на узлах пространственной сетки <math>x_m</math> в момент времени <math>t_n</math> и мы хотим получить ее значения в тех же узлах в момент <math>t_{n+1}</math>. Воспользуемся простейшими формулами для аппроксимации производных и получим: <math> \frac{U^{n+1}_m-U^n_m}{\tau} + \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h} = 0 </math> Тогда для значения <math>U^{n+1}_m</math> может быть выписано выражение в явном виде: <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h} </math> Эта простейшая схема может быть легко реализована и запущена. См [[/Реализация на Fortran-e|пункт реализация]]. Приведенная схема не работает при <math>\lambda<0</math>. Ответ достаточно очевиден — «перенос» справа налево не работает в схеме, в которой нет точек справа. Хотелось бы добавить в схему что-то вроде <math>U_{m+1}</math>. Как это сделать? Простейший способ — построить «комбинированную» схему: <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_m-U^n_{m-1}}{h}, \lambda\ge 0 </math> <math> U^{n+1}_m=U_m^n-\tau \lambda \frac{U^n_{m+1}-U^n_m}{h}, \lambda<0 </math> === Литература === * Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.:ФИЗМАТЛИТ,2001. — 608с. — ISBN 5-9221-0194-3 [[Категория:Дифференциальные уравнения]] [[Категория:Математическая физика]] 46nxyj9mbanydjjpxhy9g95l51q8e83 0 1968 267783 255004 2026-05-21T11:00:06Z AllaBuraya 79455 267783 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Уравнения в частных производных часто встречаются в задачах [http://ru.wikipedia.org/wiki/Механика_сплошной_среды механики сплошных сред], биомеханике и в различных областях применения численных методов, где происходит моделирование некоторой [http://ru.wikipedia.org/wiki/сплошная_среда сплошной среды]. Для решения уравнений и систем уравнений в частных производных обычно сначала сводят уравнение к уранению или системе уравнений первого-второго порядка, затем ее классифицируют и применяют какие-то из методов, разработанных для уравнений различных типов. При этом на практике часто задачи делятся на стационарные и нестационарные. Стационарные задачи, чаще всего это задачи теории упругости, сводятся к эллиптическим уравнениям, для которых хорошо себя зарекомендовал [http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_конечных_элементов Метод конечных элементов] ( [http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method Finite element method, FEM]). Хотя для этих задач могут так же применяться и конечно-разностные методы, подобные методам решения нестационарных задач. Нестационарные задачи - задачи газовой динамики, МГД, теории мелкой воды, и т.д. сводятся к параболическим и гиперболическим уравнениям. Их зачастую решают конечно-разностными или конечно-объемными методами. Существенной трудностью в решении нелинейных систем гиперболических уравнений является существование разрывных решений, которые затрудняют или делают невозможной линеаризацию системы уравнений. [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] l809uil5wbgo1xe6ryr38z3qcgc4mif 0 2015 267784 233667 2026-05-21T11:01:27Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математическая физика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267784 wikitext text/x-wiki Хорошим модельным объектом для построения [[w:Разностная схема|разностных схем]] является линейное уравнение переноса: <math>U_t+\lambda U_x=0</math> Для него известно аналитическое решение (<math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t)</math>,<math>U_0(x)</math> - произвольная функция), что позволяет сравнивать качество тех или иных методов, разработанных для (вообще говоря) нелинейных систем уравнений. Для построения простейшей разностной схемы (т.н. схемы "уголок") воспользуемся простейшим шаблоном: <math>\begin{matrix} & & U_{m}^{n+1} \\ & & \bullet \\ & & | \\ \bullet&-&\bullet \\ U_{m-1}^n& & U_m^n \end{matrix} </math> В соответствии с этим шаблоном аппроксимируем наше уравнение. Получим: <math>\frac{U_m^{n+1}-U_m^n}{\tau}+\lambda \frac{U_m^n-U_{m-1}^n}{h}=0</math> или <math>U_m^{n+1}=U_m^n\left(1-\lambda\frac{\tau}{h}\right)+U_{m-1}^n\lambda\frac{\tau}{h}</math> Если реализовать эту схему для простейшего уравнения и поэкспериментировать, окажется, что при <math>1>\lambda\frac{\tau}{h}>0</math> эта схема относительно неплохо работает и, судя по всему, обладает сходимостью к аналитическому решению при <math>h \rightarrow 0</math> Остаются неясными некоторые вопросы, а именно: * Почему мы выбрали именно такой шаблон? * С чем связано требование <math>1>\lambda\frac{\tau}{h}>0</math>? И что делать, если, к примеру <math>\lambda<0</math>? * Как оценить точность полученного таким способом решения? * Можно ли построить более точный метод? Попробуем кратко ответить на некоторые из этих вопросов. Вопрос выбора схемы может быть решен из более-менее бытовых соображений. Смотрите - мы знаем, что аналитическое решение линейного уравнения переноса имеет вид: <math>U(x,t)=U_0(x-\lambda t) \,\! </math> Раз так, наша задача - по ограниченной информации о решении на <math>n</math>-м временном слое построить решение на <math>n+1</math>-м слое. Нас интересует, например, значение <math>U(x_m,t_{n+1})</math>. Исходя из вида аналитического решения, мы понимаем, что <math>U(x_m,t_{n+1})=U(x_m-\lambda\tau,t_n)</math>. Для получения значения <math>U(x_m-\lambda\tau,t_n)</math> можно, например, применить [[Алгебраическая интерполяция|линейную интерполяцию]]. Ровно отсюда и следуют ответы на первый и часть второго вопроса - просто, если характеристика, опущенная из точки <math>(x_m,t_{n+1})</math> на <math>n</math>-й слой, попадает на другой отрезок, интерполировать надо по нему. Таким образом, для <math>\lambda<0</math> получим шаблон: <math>\begin{matrix} U_{m}^{n+1} & &\\ \bullet & & \\ | & & \\ \bullet&-&\bullet \\ U_{m}^n& & U_{m+1}^n \end{matrix} </math> И схему: <math>U_m^{n+1}=U_m^n\left(1+\lambda\frac{\tau}{h}\right)-U_{m+1}^n\lambda\frac{\tau}{h}</math> ==О сходимости разностных схем== Введем некоторые более аккуратные определения. Предположим, что мы хотим найти решение <math>u</math> дифференциальной краевой задачи <math>\hat L u = f</math> поставленной в некоторой области <math>G</math> с границей <math>\delta G</math>. Здесь <math> \hat L </math> - некоторый дифференциальный оператор,<math>f</math> - функция от <math>U</math> и, возможно, <math>\vec r</math>. Для этого на компакте <math>G \cup \delta G</math> выберем дискретное множество точек <math>G_h</math> - сетку, введем нормированное пространство <math>U_h</math> функций, определенных на сетке <math>G_h</math> и установим соответствие между решением <math>u</math> и функцией <math>[u]_h</math> из <math>U_h</math> - таблицей значений функции <math>u</math> на сетке. Теперь для приближенного нахождения искомой функции <math>[u]_h</math> на основе дифференциальной задачи построим разностную: <math>\hat L_h u_h = f_h</math> так, чтобы имела место сходимость: <math> ||[u]_h-u_h||\rightarrow 0,h\rightarrow 0 </math> TODO ==Об устойчивости разностных схем== TODO == Реализации == [[Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы/Реализация на Fortran-e]] ==Ссылки== # Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб.пособие. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2000 ISBN 5-9221-0047-5 # Демьянов А.Ю., Чижиков Д.В. [http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/213.pdf Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности], [http://zhurnal.ape.relarn.ru/ Электронный журнал «Исследовано в России»] [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Математическая физика]] feygp9inghc8dhcu6166jez1zxygrun 0 2047 267652 267432 2026-05-21T08:30:31Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267652 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} === Решение одиночных уравнений === Будем искать решения уравнения <math>F(x)=0</math> Поиск решений такого уравнения делится обычно на два этапа — локализацию корней и отыскание корней. Предположим, что задача локализации решена и на отрезке <math>[a,b]</math> непрерывная функция <math>F(x)</math> меняет знак. Предложим несколько алгоритмов отыскания корней. == Дихотомия == Это рекурсивный алгоритм. Разобьем отрезок на два и далее в качестве границ интервала, на котором мы ищем корень функции <math>F(x)</math>, возьмем границы того из двух отрезков, на котором <math>F(x)</math> меняет знак. Повторим итерацию. Тогда за <math>N</math> итераций мы найдем корень функции <math>F(x)</math> с точностью порядка <math>\frac{1}{2^N}</math>. == Метод Ньютона == gysax2a616398e4t4ispq18bgwgn0d6 267738 267652 2026-05-21T10:10:02Z AllaBuraya 79455 267738 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} === Решение одиночных уравнений === Будем искать решения уравнения <math>F(x)=0</math> Поиск решений такого уравнения делится обычно на два этапа — локализацию корней и отыскание корней. Предположим, что задача локализации решена и на отрезке <math>[a,b]</math> непрерывная функция <math>F(x)</math> меняет знак. Предложим несколько алгоритмов отыскания корней. == Дихотомия == Это рекурсивный алгоритм. Разобьем отрезок на два и далее в качестве границ интервала, на котором мы ищем корень функции <math>F(x)</math>, возьмем границы того из двух отрезков, на котором <math>F(x)</math> меняет знак. Повторим итерацию. Тогда за <math>N</math> итераций мы найдем корень функции <math>F(x)</math> с точностью порядка <math>\frac{1}{2^N}</math>. == Метод Ньютона == p1cgan19qrywd9ct0620ibzltzrmnoe 0 2309 267657 258244 2026-05-21T08:32:29Z AllaBuraya 79455 267657 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Одностраничный }} <blockquote> Сжато, но строго рассмотрены вероятностно-статистические основы современных статистических методов. Изложение доведено до переднего края научных исследований и практических разработок. Рассмотрены все основные понятия, используемые при применении современных статистических методов. Особое внимание уделено непараметрическим подходам, статистике нечисловых данных и другим перспективным элементам высоких статистических технологий. Учебное пособие рекомендовано Всероссийской ассоциацией статистических методов. Для инженеров, менеджеров, экономистов, специалистов различных отраслей народного хозяйства, научных работников, студентов, слушателей, аспирантов и преподавателей, для всех, кому нужно в сжатые сроки овладеть понятийной базой статистических методов. </blockquote> <p style="text-align:right">Аннотация к [[#Авторство|исходному варианту книги]]</p> == Введение == [[w:Статистика|Статистика]] есть наука об обработке [[w:Данные|данных]]. Статистические методы основаны на [[w:Вероятность|вероятностных]] [[w:Модель (наука)|моделях]]. С обработкой результатов наблюдений, измерений, испытаний, опытов, анализов имеют дело специалисты почти во всех областях научных исследований. Шесть [[w:Нобелевская премия|нобелевских премий]] получены [[w:Эконометрика|эконометриками]], — специалистами по статистическим методам в [[w:Эконометрика|экономике]]. Современная теория вероятностей основана на аксиоматике [[w:Колмогоров, Андрей Николаевич|Андрея Николаевича Колмогорова]]. Однако в России специалисты и научные работники, студенты и преподаватели пока недостаточно знакомы с последними достижениями в области вероятностно-статистических методов, хотя ссылки на них постоянно встречаются в научно-технической, деловой и учебной литературе. Эта книга кратко, но на современном уровне расскажет об основных вероятностно-статистических понятиях и фактах. Кто ещё не знаком с этой ведущей областью современной науки, смогут быстро дойти до фронта исследований, а те, кто уже́ изучал основы теории вероятностей и [[w:Математическая статистика|математической статистики]], быстро восстановят и повысят свои знания и смогут умело применять их в своей работе. В частности, применять профессиональные статистическое [[w:Программное обеспечение|программное обеспечение]], нормативно-техническую и инструктивно-методическую документацию. ==== Специалисту ==== Инженеру, менеджеру, экономисту, научному работнику… — практически любому специалисту приходится применять методы исследования, основанные на теории вероятностей и статистике. Но многим их трудно освоить. ==== Студенту ==== В специальных дисциплинах часто используются вероятностно-статистические методы и модели. Значит, надо уметь в них разобраться. То, что было сдано годы назад, уже́ забыто, да и недостаточно для решения новых задач. Не стоит искать старые конспекты и заново читать толстые учебники. Надо быстро освежить свои знания или снова, на этот раз ускоренно, познакомиться с основными фактами теории вероятностей и статистики. Эта книга — для вас! ==== Профессионалу ==== Вы постоянно обрабатываете данные. Но вероятностно-статистические методы и модели развиваются. Отслеживаете ли вы изменения? Вы знаете, что [[w:t-критерий Стьюдента|критерий Стьюдента]] устарел и что следует использовать вместо него? Хорошо ли знаете статистику нечисловых данных? Если да, то эта книга для вас слишком проста. Если же нет — приглашаем ознакомиться с современным взглядом на теорию вероятностей и статистику. === Сравнение с аналогами === Как познакомиться с терминологией незнакомой области? Первая мысль — из энциклопедии, такой как «Вероятность и математическая статистика» <ref name="ver_mat_stat">Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. акад. РАН Ю. В. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910 с.</ref>. Однако толщина энциклопедии обескураживает, а большинство статей в ней доступны лишь математикам-профессионалам. Делались попытки составлять более или менее полные сводки терминов, определений и обозначений. Например, в учебник <ref name="orlov_ekon">Орлов А. И. Эконометрика. Учебник. 2-е изд. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с.</ref> по эконометрике нами включена такая сводка. Однако получить целостное представление о необходимой для освоения учебника базовой области знания таким образом невозможно. Аналогами являются многочисленные учебники и учебные пособия по теории вероятностей и математической статистике, как части типового курса высшей математики, и по общей теории статистики как части экономического образования. У всех этих изданий два изъяна: во-первых, содержат много сведений, не используемых впоследствии в практической работе, хотя и полезных при первоначальном изучении предмета; во-вторых, не дают достаточно сведений о ''современных'' статистических методах. Они не освещают многие методы, входящие в программные средства по обработке данных и статистическим вычислениям, такие как [[w:SPSS|SPSS]], [[w:en:Stata|Stata]], Statistica, или [[w:MATLAB|MATLAB]]. === Замысел книги === Поныне существует разрыв между типовыми курсами по математической статистике и государственными стандартами по статистическим методам управления качеством промышленной продукции (http://www.centerprioritet.ru/tc125/index.htm). Первоначальный вариант этой книги стремился заполнить его. Похожие проблемы имеются и в других направлениях: в социально-экономической области (в экономике, [[w:Менеджмент|менеджменте]], [[#Социология|социологии]]), в научных медицинских исследованиях. Стала очевидной необходимость создания нового рода книг, предназначенных для информационной поддержки современных разработок с использованием статистических методов. Такие книги должны давать краткое, но законченное введение в используемые ныне статистические методы. === Структура книги === Краткое, но законченное введение в используемые ныне статистические методы даёт эта книга. По ходу изложения постоянно отмечаются возможности применения рассматриваемых концепций при решении практических задач. Конкретные методы обработки данных здесь почти не разбираются, но даётся вся необходимая база для восприятия описаний таких методов. Это и есть основная задача книги. О содержании книги исчерпывающее представление даёт [[#toc|оглавление]]. [[w:Математическое доказательство|Доказательства]] [[w:Теорема|теорем]] не приводятся. Лишь во главе, посвящённой опытам с конечным числом исходов, приводятся элементарные доказательства. Автор неоднократно проводил занятия для школьников и студентов по материалам этой главы. '''Замечание для математиков-профессионалов.''' В изложении удалось обойти ряд математических сложностей. Хотя математические основы теории вероятностей предполагают использование [[w:Сигма-алгебра|σ-алгебр]] событий ([[w:Измеримое множество|измеримых множеств]]) и [[w:Интеграл Лебега|интеграла Лебега]], прикладникам эти понятия едва нужны, и в книге им внимания не уделяется. Поэтому же не акцентируется внимание на условиях справедливости [[w:Центральная предельная теорема|центральной предельной теоремы]], и так далее. Даны [[#Контрольные вопросы и задачи|контрольные вопросы и задачи]], а также [[#Темы докладов, рефератов, исследовательских работ|примерные темы докладов, рефератов и исследовательских работ]]. В [[#Приложение|приложении]] дан краткий перечень основных [[#Темы задач прикладной статистики|тем задач прикладной статистики]], широко используемых в практической деятельности и в научных исследованиях. Обширность этого перечня показывает, что конкретным статистическим методам должны быть посвящены отдельные издания достаточно большого объёма. Содержимое книги прошло многолетнюю и всестороннюю проверку. Оно использовалось во многих других отечественных и зарубежных образовательных и иных организациях. Автор благодарен своим многочисленным коллегам, слушателям и студентам, прежде всего различных образовательных структур [[w:Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана|Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана]], за полезные обсуждения. <span id="Сайты">С текущей научной информацией по статистическим методам можно познакомиться на сайте автора «Высокие статистические технологии» http://orlovs.pp.ru, его форуме http://forum.orlovs.pp.ru, а также на ранее разработанных сайтах, http://antorlov.chat.ru, http://antorlov.euro.ru</span>. Достаточно большой объём информации содержит еженедельная рассылка «Эконометрика», выпускаемая с июля 2000 года (о ней рассказано на [[#Сайты|указанных выше сайтах]]). Автор искренне благодарен редактору этого электронного издания А. А. Орлову за многолетний энтузиазм по выпуску еженедельника. В книге раскрыто представление о случае, вероятности и статистике, соответствующее общепринятому в мире. Возможны различные точки зрения по частным вопросам; [[#Авторство|Автор]] с радостью примет вопросы и замечания. == Нужность математической статистики == Теория вероятностей и математическая статистика суть основы вероятностно-статистических методов обработки данных. Данные мы обрабатываем и анализируем прежде всего для принятия решений. Чтобы воспользоваться современным математическим аппаратом, необходимо рассматриваемые задачи выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода состоит из трёх этапов: # Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, то есть построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и тому подобного. # Проведение расчётов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели. # Толкование математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и подобном). [[w:Математическая статистика|Математическая статистика]] применяет понятия, методы и результаты [[w:Теория вероятностей|теории вероятностей]]. Далее рассматриваем основные вопросы построения вероятностных моделей в разнообразных случаях. Подчеркнём, что для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какие исходные данные нужны для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных, и так далее. === Примеры применения теории вероятностей и математической статистики === Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим средством решения задач. <div id="Примеры применения"> <div id="Брак в мастерской"> В романе [[w:Толстой, Алексей Николаевич|Алексея Николаевича Толстого]] «[[w:Хождение по мукам (роман)|Хождение по мукам]]» (том 1) говорится: «мастерская даёт двадцать три процента брака, этой цифры вы и держи́тесь, — сказал Струков Ивану Ильичу». Как понимать эти слова в разговоре руководителей завода? Eдиница продукции не может быть дефектна на 23 %. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверноe, Струков мыслил, что в партии большого объёма содержится примерно 23 % дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос: а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 — 300, или из 100 000 — 30 000… Надо ли обвинять Струкова во лжи? </div> Монетка, используемая как [[w:Жребий|жребий]], должна быть «симметричной»: в среднем в половине случаев подбрасывания должен выпадать [[w:Орёл (сторона монеты)|орёл]], а в половине случаев — [[w:Решка|решка]]. Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает орлом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5 % серий. А если на 100 000 бросаний окажется 40 000 орлов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики. </div> Пример может показаться несерьёзным. Это не так. Жеребьёвка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) [[w:Подшипник|подшипников]] в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и тому подобных). Допустим, нужно сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло одного состава, а какие — в другое, но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ может быть получен с помощью жребия. Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из неё выбирается представительная часть: по этой выборке судят о всей партии. Поэтому желательно, чтобы каждая единица в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть выбранной. В производственных условиях выбор единиц продукции обычно делают не жребием, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел. Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности. Всюду нужна жеребьёвка или подобные ей меры. Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду при организации турнира по [[w:Плей-офф|олимпийской системе]] (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал только когда до финала у неё не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадёт. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя её в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьёвку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4 из 7. Соответственно с вероятностью 3 из 7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно. При любом измерении единиц продукции (с помощью [[w:Штангенциркуль|штангенциркуля]], [[w:Микрометр (инструмент)|микрометра]], [[w:Амперметр|амперметра]]…) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо многократно измерить единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность. Встаёт вопрос, как по измерениям выявить систематическую погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к уже́ рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты: положительную погрешность — с выпадением орла, отрицательную — решки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты. Итак, задача проверки на систематическую погрешность сведена к задаче проверки симметричности монеты. Проведённые рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике. При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приёмочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки [[w:Гипотеза|гипотез]], в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определённому числу <math>p_0</math>, например, <math>p_0 = 0{,}23</math>. === Задачи оценивания === В ряде ситуаций возникают задачи оценки характеристик и параметров распределений вероятностей. Рассмотрим пример. Пусть на контроль поступила партия из <math>N</math> [[w:Электровакуумная лампа|электроламп]]. Из этой партии случайным образом выбрано <math>n</math> электроламп. Возникает ряд естественных вопросов. Как по результатам испытаний элементов выборки определить средний срок службы электроламп, с какой точностью можно оценить эту характеристику? Как изменится точность, если взять выборку большего объёма? При каком числе часов <math>T</math> можно уверять, что не менее 90 % электроламп прослужат <math>T</math> и более часов? Предположим, что при испытании выборки дефектными оказались <math>X</math> электроламп. Какие границы можно указать для числа <math>D</math> дефектных электроламп в партии, для уровня дефектности <math>\frac D N</math> и тому подобного? Или при статистическом анализе точности и стабильности технологических процессов надлежит оценить такие показатели качества, как среднее значение контролируемого параметра и степень его разброса в рассматриваемом процессе. Согласно теории вероятностей в качестве среднего значения случайной величины целесообразно использовать её [[w:Математическое ожидание|математическое ожидание]], а в качестве статистической характеристики разброса — [[w:Дисперсия случайной величины|дисперсию]], [[w:Среднеквадратичное отклонение|среднеквадратичное отклонение]] или [[w:Коэффициент вариации|коэффициент вариации]]. Возникают вопросы: как оценить эти статистические характеристики по выборочным данным и с какой точностью это удаcтся сделать? Аналогичных примеров можно привести много. Здесь важно показать, как теория вероятностей и математическая статистика могут быть использованы в инженерных и управленческих задачах. === Вероятностно-статистические методы и оптимизация === Идея [[w:Оптимизация|оптимизации]] пронизывает прикладную математическую статистику и иные статистические методы. А именно, методы планирования экспериментов, статистического приёмочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и другие. С другой стороны, оптимизационные постановки в [[w:Теория принятия решений|теории принятия решений]], например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики. В [[w:Производство|производственном]] управлении, в частности, при оптимизации качества продукции и требований стандартов особенно важно применять статистические методы на начальном этапе жизненного цикла продукции, этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, [[w:Техническое задание|технического задания]] на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе [[w:Жизненный цикл изделия|жизненного цикла]] продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации: при [[w:Шкалирование|шкалировании]] переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и тому подобном. В задачах оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, используют все области статистики. А именно, статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику случайных процессов и [[w:Временной ряд|временны́х рядов]], статистику объектов нечисловой природы. Разработаны рекомендации по выбору статистического метода для анализа конкретных данных <ref name="rekom">Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики / Орлов А. И., Фомин В. Н. и др. — М.: ВНИИ Стандартизации, 1987. — 62 с.</ref>. == Коротко об истории == Математическая статистика как наука начинается с работ [[w:Гаусс, Карл Фридрих|Карла Фридриха Гаусса]], на основе теории вероятностей исследовавшего и обосновавшего метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 году и применённый для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты [[w:Карликовая планета|карликовой планеты]] [[w:Церера|Церера]]). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей — [[w:Нормальное распределение|нормальное]], а в теории случайных процессов основной объект изучения — [[w:Гауссовский процесс|гауссовские процессы]]. В конце XIX — начале ХХ века крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего [[w:Пирсон, Карл|Карл Пирсон]] (1857—1936) и [[w:Фишер, Роналд Эйлмер|Роналд Фишер]] (1890—1962). В частности, Пирсон разработал критерий «[[w:Распределение хи-квадрат|хи-квадрат]]» проверки статистических гипотез, а Фишер — [[w:Дисперсионный анализ|дисперсионный анализ]], [[w:Теория планирования эксперимента|теорию планирования эксперимента]], метод максимального правдоподобия оценки параметров. В 30-е годы ХХ века поляк [[w:Нейман, Ежи|Ежи Нейман]] (1894—1977) и англичанин [[w:Пирсон, Эгон|Эгон Пирсон]] развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики [[w:Колмогоров, Андрей Николаевич|Андрей Николаевич Колмогоров]] (1903—1987) и [[w:Смирнов, Николай Васильевич|Николай Васильевич Смирнов]] (1900—1966) заложили основы непараметрической статистики. В 40-е годы ХХ века румын Авраам Вальд (1902—1950) построил теорию последовательного статистического анализа. Математическая статистика бурно развивается и ныне. За последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований: # Разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов; # Развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике; # Развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели; # Широкое развёртывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных. == Современное представление о математической статистике == Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвящённый математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использованию их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надёжность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала» <ref name="ver_mat_stat"/> с. 326. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. По типу решаемых задач математическая статистика обычно делится на три раздела: описание данных, оценка и проверка гипотез. По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления: * Одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается [[w:Вещественное число|действительным числом]]. * Многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами ([[w:Вектор (алгебра)|вектором]]). * Статистика случайных процессов и временны́х рядов, где результат наблюдения — [[w:Функция (математика)|функция]]. * Статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является [[w:Множество|множеством]] ([[w:Фигура (геометрия)|геометрической фигурой]]), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку. Исторически первыми появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика. Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики. Лишь те методы обработки данных, то есть математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идёт о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и тому подобного. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, то есть её адекватность, обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез. Невероятностные методы обработки данных являются поисковыми, их можно использовать лишь при предварительном анализе данных, так как они не дают возможности оценить точность и надёжность выводов, полученных на основании ограниченного статистического материала. Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удаётся построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции). В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвящённого статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью её методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приёмочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надёжности и другие. Широко применяются такие прикладные вероятностно-статистические дисциплины, как теория надёжности и [[w:Теория массового обслуживания|теория массового обслуживания]]. Содержание первой из них ясно из названия, вторая занимается изучением систем типа телефонной станции, на которую в случайные моменты времени поступают вызовы — требования абонентов, набирающих номера на своих телефонных аппаратах. Длительность обслуживания этих требований, то есть длительность разговоров, также моделируется случайными величинами. Большой вклад в развитие этих дисциплин внесли [[w:Хинчин, Александр Яковлевич|Александр Яковлевич Хинчин]] (1894—1959), [[w:Гнеденко, Борис Владимирович|Борис Владимирович Гнеденко]] (1912—1995) и другие отечественные учёные. == Основы теории вероятностей == Этот раздел содержит полные доказательства всех рассматриваемых утверждений. === События и множества === Исходное понятие при построении вероятностных моделей в задачах принятия решений — опыт, или испытание. Примеры опытов: проверка качества единицы продукции, бросание [[w:Игральная кость|игральных костей]], исход спортивного матча. Первый шаг при построении вероятностной модели реального явления или процесса — выделение возможных исходов опыта. Их называют ''[[w:Элементарное событие|элементарными событиями]]''. Обычно считают, что в первом опыте возможны два исхода — «единица продукции годна» и «единица продукции дефектна». Естественно принять, что при бросании монеты осуществляется одно из двух элементарных событий: «выпала решка» и «выпал орёл». При этом случаи «монета встала на ребро» или «монету не удалось найти» считаем невозможными. При бросании трёх монет элементарных событий значительно больше. Вот одно из них: «первая монета выпала орлом, вторая — решкой, третья — снова орлом». Перечислим все элементарные события в этом опыте. Для этого обозначим выпадение орла буквой <math>\mathrm{O}</math>, а решки — буквой <math>\mathrm{P}</math>. Имеется <math>2^3 = 8</math> элементарных событий: <math>\mathrm{OOO}</math>, <math>\mathrm{OOP}</math>, <math>\mathrm{OPO}</math>, <math>\mathrm{OPP}</math>, <math>\mathrm{POO}</math>, <math>\mathrm{POP}</math>, <math>\mathrm{PPO}</math>, <math>\mathrm{PPP}</math>. В каждой тройке символов первый показывает результат бросания первой монеты, второй — второй монеты, третий — третьей монеты. Совокупность всех возможных исходов опыта, всех элементарных событий, называется ''пространством элементарных событий''. Вначале мы ограничимся пространством элементарных событий, состоящим из конечного числа элементов. С математической точки зрения пространство (совокупность) всех элементарных событий, возможных в опыте, — это некоторое множество, а элементарные события — его элементы. Однако в теории вероятностей для обозначения используемых понятий по традиции применяются свои термины, отличающиеся от терминов [[w:Теория множеств|теории множеств]]. {| class = "standard" |+ Таблица 1. Соответствие терминов !Теория вероятностей !Теория множеств |- |Пространство элементарных событий |Множество |- |Элементарное событие |Элемент множества |- |Событие |Подмножество |- |Достоверное событие |Подмножество, совпадающее с множеством |- |Невозможное событие |Пустое подмножество <math>\varnothing</math> |- |Сумма <math>A + B</math> событий <math>A</math> и <math>B</math> |Объединение <math>A \cup B</math> |- |Произведение <math>AB</math> событий <math>A</math> и <math>B</math> |Пересечение <math>A \cap B</math> |- |Событие, противоположное <math>A</math> |Дополнение <math>A</math> |- |События <math>A</math> и <math>B</math> несовместны |<math>A \cap B</math> пусто |- |События <math>A</math> и <math>B</math> совместны |<math>A \cap B</math> не пусто |- |} Как сложились два параллельных терминологических ряда? Основные понятия теории вероятностей и её терминология сформировались в XVII—XVIII веках. Теория множеств возникла в конце XIX века независимо от теории вероятностей и получила распространение в ХХ веке. Принятый ныне аксиоматический подход к теории вероятностей, разработанный Колмогоровым, дал возможность развивать эту дисциплину на базе теории множеств и [[w:Теория меры|теории меры]]. Этот подход позволил рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику как часть математики, проводить рассуждения на математическом уровне строгости. В частности, было введено чёткое различие между частотой и вероятностью, случайная величина стала рассматриваться как функция от элементарного исхода, и так далее. За основу методов статистического анализа данных стало возможным брать вероятностно-статистические модели, сформулированные в математических терминах. В результате удалось чётко отделить строгие утверждения от обсуждения философских вопросов случайности, преодолеть подход на основе понятия равновозможности, имеющий ограниченное практическое значение. Наиболее существенно, что после работ Колмогорова нет необходимости связывать вероятности тех или иных событий с пределами частот. Так называемые «субъективные вероятности» получили смысл экспертных оценок вероятностей. После выхода в 1933 году (на немецком языке, и в 1936 — на русском) основополагающей монографии <ref name="kolm_osn">Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 80 с.</ref> аксиоматический подход к теории вероятностей стал общепринятым в исследованиях в этой области. Во многом перестроилось преподавание. Повысился научный уровень многих прикладных работ. Но всё ещё распространены устаревшие и во многом неверные представления о теории вероятностей и математической статистике. Поэтому в настоящей главе рассматриваем основные понятия, подходы, идеи, методы и результаты в этих областях, необходимые для их квалифицированного применения в задачах различных областей знаний и практической деятельности. В послевоенные годы Колмогоров формализовал понятие ''случайности'' на основе [[w:Теория информации|теории информации]] <ref name="kolm_teor_inf">Колмогоров А. Н. Теория информации и теория алгоритмов. — М.: Наука, 1987. — 304 с.</ref>. Грубо говоря, числовая последовательность является случайной, если её нельзя заметно сжать без потери информации. Однако этот подход не был предназначен для использования в прикладных работах и преподавании. Он представляет собой важное методологическое и теоретическое продвижение. === Вероятность события === Перейдём к основному понятию теории вероятностей — вероятности события. В методологических терминах можно сказать, что вероятность события является мерой возможности осуществления события. В ряде случаев естественно считать, что вероятность события <math>A</math> — это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события <math>A</math> к общему числу всех опытов (то есть частота осуществления события <math>A</math>) — при увеличении числа опытов, проводящихся независимо друг от друга. Иногда можно предсказать это число из соображений равновозможности. Так, при бросании симметричной монеты и орёл, и решка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, а именно, 1 шанс из 2, а потому вероятности выпадения орла и решки равны <math>\ \tfrac12</math>. Однако этих соображений недостаточно для развития теории. Методологическое определение не даёт численных значений. Не все вероятности можно оценивать как пределы частот, и неясно, сколько опытов надо брать. На основе идеи равновозможности можно решить ряд задач, но в большинстве практических ситуаций применить её нельзя. Например, для оценки вероятности дефектности единицы продукции. Поэтому перейдём к определениям в рамках аксиоматического подхода на базе математической модели, предложенной Колмогоровым. <div id="Определение 1"> '''Определение 1.''' Пусть конечное множество <math>\Omega = \{\omega\}</math> является пространством элементарных событий, соответствующим некоторому опыту. Пусть каждому <math>\omega \in \Omega</math> поставлено в соответствие неотрицательное число <math>P(\omega)</math>, называемое вероятностью элементарного события <math>\omega</math>, причём сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, то есть : <math>\sum_{\omega\in\Omega} P(\omega) = 1</math>. {{metka|1}} Тогда пара <math>\{\Omega, P\}</math>, состоящая из конечного множества <math>\Omega</math> и неотрицательной функции <math>P</math>, определённой на <math>\Omega</math> и удовлетворяющей условию [[#metka_1|(1)]], называется ''[[w:Вероятностное пространство|вероятностным пространством]]''. Вероятность события <math>A</math> равна сумме вероятностей элементарных событий, входящих в <math>A</math>, то есть определяется равенством : <math>P(A) = \sum_{\omega\in A} P(\omega)</math>. {{metka|2}} </div> Сконструирован математический объект, основной при построении вероятностных моделей. Рассмотрим примеры. '''Пример 1.''' Бросанию монеты соответствует вероятностное пространство с <math>\Omega = \{\mathrm{O}, \mathrm{P}\}</math> и <math>P(\mathrm{O}) = P(\mathrm{P}) = \tfrac12</math>. Здесь <math>\mathrm{O}</math> означает, что выпал орёл, <math>\mathrm{P}</math> — выпала решка. '''Пример 2.''' Проверке качества одной единицы продукции (в ситуации, описанной в романе А. Н. Толстого «Хождение по мукам», см. [[#Брак в мастерской|выше]]) соответствует вероятностное пространство с <math>\Omega = \{N, G\}</math> и <math>P(N) = 0,23</math>, <math>P(G) = 0,77</math>. Здесь <math>N</math> означает негодную единицу продукции, <math>G</math> — годную. Отметим, что приведённое [[#metka_2|выше]] определение вероятности <math>P(A)</math> согласуется с интуитивным представлением о связи вероятностей события и входящих в него элементарных событий, и с распространённым мнением, согласно которому вероятность события <math>A</math> — число от 0 до 1, представляющее предел частоты реализации события <math>A</math> при неограниченном числе повторений одного и того же комплекса условий. Из определения вероятности события, свойств символа суммирования и равенства [[#metka_1|(1)]] вытекает, что : <math>P(\Omega) = 1</math>, {{metka|3a}} : <math>P(\varnothing) = 0</math>, {{metka|3б}} : <math>P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)</math>. {{metka|3в}} Для несовместных событий <math>A</math> и <math>B</math> согласно формуле [[#metka_3в|(3в)]] <math>P(A + B) = P(A) + P(B)</math>. Последнее утверждение называют также ''теоремой сложения вероятностей''. <!-- k --> === Независимые события === При применении вероятностно-статистических методов принятия решений постоянно используется понятие ''[[#Независимость (теория вероятностей)|независимости]]''. Например, при применении статистических методов управления качеством продукции говорят о независимых измерениях значений контролируемых параметров у включенных в выборку единиц продукции, о независимости появления дефектов одного вида от появления дефектов другого вида. Независимость случайных событий понимается в вероятностных моделях в следующем смысле. <div id="Определение независимости"> '''Определение 2.''' События <math>A</math> и <math>B</math> называются независимыми, если <math>P(AB) = P(A) \cdot P(B)</math>. </div> Это определение соответствует интуитивному представлению о независимости: осуществление или неосуществление одного события не должно влиять на осуществление или неосуществление другого. Иногда соотношение <math>P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)</math>, справедливое при <math>P(A) \cdot P(B) > 0</math>, называют также ''теоремой умножения вероятностей''. (Если <math>P(A) \cdot P(B) = 0</math>, то хотя бы одна из условных вероятностей не определена.) '''Утверждение 1.''' Пусть события <math>A</math> и <math>B</math> независимы. Тогда события <math>\overline A</math> и <math>\overline B</math> независимы, события <math>\overline A</math> и <math>B</math> независимы, события <math>A</math> и <math>\overline B</math> независимы (здесь надчёркивание означает действие, противоположное данному; другими словами, <math>\overline A</math> — событие, противоположное <math>A</math>, или в терминах теории множеств: множество <math>\overline A</math> — дополнение множества <math>A</math>). Действительно, из формулы [[#metka_3в|(3в)]] следует, что для событий <math>C</math> и <math>D</math>, произведение которых пусто, <math>P(C + D) = P(C) + P(D)</math>. Поскольку пересечение <math>AB</math> и <math>\overline A B</math> пусто, а объединение есть <math>B</math>, то : <math>P(AB) + P(\overline A B) = P(B)</math>. <math>A</math> и <math>B</math> независимы, поэтому : <math>P(\overline AB) = P(B) - P(AB) = P(B) - P(A) \cdot P(B) = P(B) \Big( 1 - P(A) \Big)</math>. Заметим теперь, что из соотношений [[#metka_1|(1)]] и [[#metka_2|(2)]] следует, что <math>P(\overline A) = 1 - P(A)</math>. Значит, : <math>P(\overline A B) = P(\overline A) \cdot P(B)</math>. Вывод равенства <math>P(A\overline B) = P(A) P(\overline B)</math> отличается от предыдущего лишь переменой мест <math>A</math> и <math>B</math> всюду. Для доказательства независимости <math>\overline A</math> и <math>\overline B</math> вспомним, что события <math>AB</math>, <math>\overline A B</math>, <math>A \overline B</math> и <math>\overline A\, \overline B</math> не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют всё пространство элементарных событий. Следовательно, : <math>P(AB) + P(\overline AB) + P(A\overline B) + P(\overline A\,\overline B) = 1</math>. Воспользовавшись ранее доказанными соотношениями, получаем, что : <math>P(\overline A\, \overline B) = 1 - P(AB) - P(B) \Big( 1 - P(A) \Big) - P(A) \Big( 1 - P(B) \Big) = \Big( 1 - P(A) \Big) \Big( 1 - P(B) \Big) = P(\overline A)P(\overline B)</math>, что и требовалось доказать. '''Пример 3.''' Рассмотрим опыт бросания игрального кубика. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы выпасть. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху — грань с чётным числом» и «наверху — грань с числом, кратным 3» независимы. Пространство элементарных исходов состоит из шести элементов: «наверху — грань с 〈''целые числа от 1 до 6''〉». Событие «наверху — грань с чётным числом» состоит из трёх элементарных событий: когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху — грань с числом, кратным 3» состоит из двух элементарных событий — когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность <math>\tfrac16</math>. По определению событие «наверху — грань с чётным числом» имеет вероятность <math>\tfrac12</math>, а событие «наверху — грань с числом, кратным 3» — вероятность <math>\tfrac13</math>. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху — грань с 6», а потому имеет вероятность <math>\tfrac16</math>. Поскольку <math>\tfrac16 = \tfrac12 \cdot \tfrac13</math>, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с [[#Определение независимости|определением независимости]]. ==== Независимые испытания ==== В вероятностных моделях процедур принятия решений с помощью понятия независимости событий можно придать точный смысл понятию «независимые испытания». Для этого рассмотрим сложный опыт, состоящий в проведении двух испытаний. Эти испытания называются независимыми, если любые два события <math>A</math> и <math>B</math>, из которых <math>A</math> определяется по исходу первого испытания, а <math>B</math> — по исходу второго, являются независимыми. '''Пример 4.''' Опишем вероятностное пространство, соответствующее бросанию двух монет независимо друг от друга. ''Разбор примера.'' Пространство элементарных событий состоит из четырёх элементов: <math>\{\mathrm{OO}, \mathrm{OP}, \mathrm{PO}, \mathrm{PP}\}</math> (запись <math>\mathrm{OO}</math> означает, что первая монета выпала орлом и вторая — тоже орлом; запись <math>\mathrm{PO}</math> — первая — решкой, а вторая — орлом, и так далее). Поскольку события «первая монета выпала решкой» и «вторая монета выпала орлом» являются независимыми по определению независимых испытаний и вероятность каждого из них равна <math>\tfrac12</math>, то вероятность <math>\mathrm{PO}</math> равна <math>\tfrac14</math>. Аналогично, вероятность каждого из остальных элементарных событий также равна <math>\tfrac14</math>. '''Пример 5.''' Опишем вероятностное пространство, соответствующее проверке качества двух единиц продукции независимо друг от друга, если вероятность дефектности равна <var>х</var>. ''Разбор примера.'' Пространство элементарных событий состоит из четырёх элементов: * <math>\omega_1</math> — обе единицы продукции годны; * <math>\omega_2</math> — первая единица продукции годна, а вторая — дефектна; * <math>\omega_3</math> — первая единица продукции дефектна, а вторая — годна; * <math>\omega_4</math> — обе единицы продукции являются дефектными. Вероятность того, что единица продукции дефектна, есть <math>x</math>, а потому вероятность того, что имеет место противоположное событие, то есть единица продукции годна, есть <math>1 - x</math>. Поскольку результат проверки первой единицы продукции не зависит от такового для второй, то : <math>P(\omega_1) = (1 - x)^2</math>, : <math>P(\omega_2) = P(\omega_3) = x(1 - x)</math>, : <math>P(\omega_4) = x^2</math>. === Условные вероятности === В некоторых задачах прикладной статистики оказывается полезным такое понятие, как ''[[w:Условная вероятность|условная вероятность]]'' <math>P(B|A)</math> — вероятность осуществления <math>B</math> при условии, что <math>A</math> произошло. При <math>P(A) > 0</math> по определению : <math>P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}</math>. Для независимых событий <math>A</math> и <math>B</math>, очевидно, <math>P(B|A) = P(B)</math>. Это равенство эквивалентно определению независимости. Понятия условной вероятности и независимости введены [[w:Муавр, Абрахам де|Абрахамом де Муавром]] в 1718 году. Недостаточно попарной независимости событий для их независимости в совокупности. Рассмотрим классический пример <ref name="gned_kurs">Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник. 7-е изд., исправл. — М.: Эдиториал УРСC, 2001. — 320 с.</ref>, с. 46. Пусть одна грань [[w:Тетраэдр|тетраэдра]] окрашена в красный цвет, вторая — в зелёный, третья грань окрашена в синий цвет и четвёртая — во все эти три цве́та. Пусть событие <math>A</math> состоит в том, что грань, на которую упал тетраэдр при бросании, окрашена красным (полностью или частично), событие <math>B</math> — зелёным, событие <math>C</math> — синим. Пусть при бросании все четыре грани тетраэдра имеют одинаковые шансы оказаться внизу. Поскольку граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет, то <math>P(A) = \frac12</math>. Легко подсчитать, что : <math>P(B) = P(C) = P(A|B) = P(B|C) = P(C|A) = P(B|A) = P(C|B) = P(A|C) = \frac12</math>. События <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, таким образом, попарно независимы. Но если известно, что осуществились одновременно события <math>B</math> и <math>C</math>, то это значит, что тетраэдр встал на грань, содержащую все три цвета, то есть осуществилось и событие <math>A</math>. Следовательно, <math>P(ABC) = \frac14</math>, в то время как для независимых событий должно быть <math>P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac18</math>. Следовательно, события <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> в совокупности зависимы, хотя попарно независимы. === Формула полной вероятности === Предположим, что событие <math>B</math> может осуществиться с одним и только с одним из <math>k</math> попарно несовместных событий <math>A_1, A_2, \dots, A_k</math>. Тогда : <math>B = \sum_{j = 1}^k BA_j</math>, где события <math>BA_i</math> и <math>BA_j</math> с разными индексами <math>i</math> и <math>j</math> несовместны. По теореме сложения вероятностей : <math>P(B) = \sum_{j = 1}^k P(BA_j)</math>. Воспользовавшись теоремой умножения, находим, что : <math>P(B) = \sum_{j = 1}^k \Big( P(A_j) \cdot P(B|A_j) \Big)</math>. Получена так называемая ''[[w:Формула полной вероятности|формула полной вероятности]]''. Она широко использовалась математиками при конкретных расчётах ещё в начале XVIII века, но впервые была сформулирована как одно из основных утверждений теории вероятностей [[w:Лаплас, Пьер-Симон|Пьером-Симоном Лапласом]] лишь в конце того века. Она применяется, в частности, при нахождении среднего выходного уровня дефектности в задачах статистического обеспечения качества продукции. === Формулы Байеса === Применим формулу полной вероятности для вывода так называемых ''[[w:Теорема Байеса|формул Байеса]]'', которые иногда используют при проверке статистических гипотез. Требуется найти вероятность события <math>A_i</math>, если известно, что событие <math>B</math> произошло. Согласно теореме умножения, : <math>P(A_i B) = P(B) \cdot P(A_i|B) = P(A_i) \cdot P(B|A_i)</math>. Следовательно : <math>P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}</math>. Используя формулу полной вероятности для знаменателя, находим, что : <math>P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{\sum_{j = 1}^k \Big( P(A_j) \cdot P(B|A_j) \Big)}</math>. Две последние формулы и называют обычно формулами Байеса. Общая схема их использования такова. Пусть событие <math>B</math> может протекать в различных условиях, относительно которых может быть сделано <math>k</math> гипотез <math>A_1, A_2, \dots, A_k</math>. [[w:Априори|Априорные]] вероятности этих гипотез суть <math>P(A_1), P(A_2), \dots, P(A_k)</math>. Известно также, что при справедливости гипотезы <math>A_i</math> вероятность <math>B</math> равна <math>P(B|A_i)</math>. Произведён опыт, в которым произошло <math>B</math>. Естественно после этого уточнить оценки вероятностей гипотез. [[w:Апостериори|Апостериорные]] оценки вероятностей гипотез <math>P(A_1|B), P(A_2|B), \dots, P(A_k|B)</math> даются формулами Байеса. В прикладной статистике существует направление ''байесовская статистика'', в которой, в частности, на основе априорного распределения параметров после проведения измерений, наблюдений, испытаний, опытов анализов вычисляют уточнённые оценки параметров. === Случайные величины === [[w:Случайная величина|Случайная величина]] — это величина, значение которой зависит от случая, то есть от элементарного события <math>\omega</math>. Таким образом, случайная величина — это функция, определённая на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>. Примеры случайных величин: количество орлов, выпавших при независимом бросании двух монет; число, выпавшее на верхней грани игрального кубика; число дефектных единиц продукции среди проверенных. Определение случайной величины <math>X</math> как функции от элементарного события <math>\omega</math>, то есть функции <math>X{:}\; \Omega \to H</math>, отображающей пространство элементарных событий <math>\Omega</math> в некоторое множество <math>H</math>, казалось бы, содержит в себе противоречие. О чём идёт речь: о величине или о функции? Дело в том, что наблюдается всегда лишь ''реализация случайной величины'': её значение, соответствующее именно тому элементарному исходу опыта (элементарному событию), которое осуществилось в конкретной реальной ситуации. Наблюдается именно ''величина''. А функция от элементарного события — это теоретическое понятие, основа вероятностной модели реального явления или процесса. Отметим, что элементы <math>H</math> — это не обязательно числа. Ими могут быть и последовательности чисел (вектора), и функции, и математические объекты иной природы, в частности, нечисловой (упорядочения и другие бинарные отношения, множества, нечёткие множества и другие) <ref name="orlov_ekon"/>. Однако наиболее часто рассматриваются вероятностные модели, в которых элементы <math>H</math> — числа, то есть <math>H = \mathbb{R}^1</math>. В иных случаях обычно используют термины «случайный вектор», «случайное множество», «случайное упорядочение», «случайный элемент» и другие. === Математическое ожидание === Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число — её «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание. <div id="Определение 3"> '''Определение 3.''' [[w:Математическое ожидание|Математическим ожиданием]] случайной величины <math>X</math> называется число {{metka|4}} : <math>M(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\omega)</math>, то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий. </div> '''Пример 6.''' Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из [[#Определение 3|определения 3]] следует, что : <math>M(X) = 1 \cdot \frac16 + 2 \cdot \frac16 + 3 \cdot \frac16 + 4 \cdot \frac16 + 5 \cdot \frac16 + 6 \cdot \frac16 = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5</math>. '''Утверждение 2.''' Пусть случайная величина <math>X</math> принимает значения <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math>. Тогда справедливо равенство {{metka|5}} : <math>M(X) = \sum_{i = 1}^m x_i P(X = x_i)</math>, то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям того, что случайная величина принимает определённые значения. В отличие от [[#metka_4|(4)]], где суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное событие <math>\{X = x_i\} = \{\omega{:}\; X(\omega) = x_i\}</math> может состоять из нескольких элементарных событий. Иногда соотношение [[#metka_5|(5)]] принимают как определение математического ожидания. Однако с помощью [[#Определение 3|определения 3]], как показано далее, более легко установить свойства математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения [[#metka_5|(5)]]. Для доказательства соотношения [[#metka_5|(5)]] сгруппируем в [[#metka_4|(4)]] члены с одинаковыми значениями случайной величины <math>X(\omega)</math>: : <math>M(X) = \sum_{i = 1}^m \left( \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} X(\omega) \cdot P(\omega) \right)</math>. Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то : <math>\sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} X(\omega) \cdot P(\omega) = \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} x_i \cdot P(\omega) = x_i \cdot \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} P(\omega)</math>. По определению вероятности события : <math>\sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} P(\omega) = P(X = x_i)</math>. Из двух последних соотношений получаем требуемое: : <math>M(X) = \sum_{i = 1}^m \left(x_i \cdot \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} P(\omega) \right) = \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} \Big( x_i \cdot P(X = x_i) \Big)</math>. Понятие математического ожидания в вероятностно-статистической теории соответствует понятию [[w:Центр масс|центра масс]] в механике. Поместим в точки <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math> на числовой оси массы <math>P(X = x_1),\; P(X = x_2),\; \dots,\; P(X = x_m)</math> соответственно. Тогда равенство [[#metka_5|(5)]] показывает, что центр масс этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность [[#Определение 3|определения 3]]. <div id="Утверждение 3"> '''Утверждение 3.''' Пусть <math>X</math> — случайная величина, <math>M(X)</math> — её математическое ожидание, <math>a</math> — некоторое число. Тогда # <span id="Maa"><math>M(a) = a</math></span>; # <math>M \Big( X - M(X) \Big) = 0</math>; # <math>M \left( (X - a)^2 \right) = M \left( \Big( (X - M(X) \Big) ^2 \right) + \Big( a - M(X) \Big)^2</math>. </div> Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, <math>X(\omega) = a</math>, то есть функция <math>X(\omega)</math> отображает пространство элементарных событий <math>\Omega</math> в единственную точку <math>a</math>. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то : <math>M(X) = \sum_{\omega \in \Omega} a \cdot P(\omega) = a \cdot \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = a</math>. Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая — из вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин <math>X + Y</math>, определённых на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме математических ожиданий <math>M(X)</math> и <math>M(Y)</math> этих случайных величин: : <math>M(X + Y) = M(X) + M(Y)</math>. <div id="MXMXMX"> А потому : <math>M \Big( X - M(X) \Big) = M(X) - M \Big( M(X) \Big)</math>. Как показано [[#Maa|выше]], <math>M \Big( M(X) \Big) = M(X)</math>. Следовательно, : <math>M \Big( X - M(X) \Big) = M(X) - M(X) = 0</math>. </div> Поскольку : <math>(X - a)^2 = \biggr( \Big( X-M(X) \Big) + \Big( M(X) - a \Big) \biggr)^2 =</math> <math>= \Big( X - M(X) \Big)^2 + 2 \Big( X - M(X) \Big) \Big( M(X) - a \Big) + \Big( M(X) - a \Big)^2</math>, то : <math>M \Big( (X - a)^2 \Big) = M \biggr( \Big( X - M(X) \Big)^2 \biggr) + M \biggr( 2 \Big( X - M(X) \Big) \Big( M(X) - a \Big) \biggr) + M \biggr( \Big( M(X) - a \Big)^2 \biggr)</math>. Упростим последнее равенство. Как [[#Maa|показано]] в начале доказательства [[#Утверждение 3|утверждения 3]], математическое ожидание константы есть сама эта константа, а потому : <math>M \biggr( \Big( M(X) - a \Big)^2 \biggr) = \Big( M(X) - a \Big)^2</math>. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то : <math>M \biggr( 2 \Big( X - M(X) \Big) \Big( M(X) - a \Big) \biggr) = 2 \Big( M(X) - a \Big) \cdot M \Big( X - M(X) \Big)</math>. Правая часть последнего равенства равна нулю, поскольку, как показано [[#MXMXMX|выше]], <math>M \Big( X - M(X) \Big) = 0</math>. Следовательно, : <math>M \Big( (X - a)^2 \Big) = M \biggr( \Big( X - M(X) \Big)^2 \biggr) + \Big( a - M(X) \Big)^2</math>, что и требовалось доказать. Из сказанного вытекает, что <math>M \Big( (X - a)^2 \Big)</math> достигает минимума по <math>a</math>, равного <math>M \biggr( \Big( X - M(X) \Big)^2 \biggr)</math>, при <math>a = M(X)</math>, поскольку второе слагаемое в равенстве [[#metka_3|(3)]] всегда неотрицательно и равно нулю только при указанном значении <math>a</math>. '''Утверждение 4.''' Пусть случайная величина <math>X</math> принимает значения <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math> а <math>f</math> есть некоторая функция числового аргумента. Тогда : <math>M \Big( f(X) \Big) = \sum_{i = 1}^m f(x_i) \cdot P(X = x_i)</math>. Для доказательства сгруппируем в правой части равенства [[#metka_4|(4)]], определяющего математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями <math>X(\omega)</math>: : <math>M \Big( f(X) \Big) = \sum_{i = 1}^m \left( \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} f \Big( X(\omega) \Big) \cdot P(\omega) \right)</math>. Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события [[#metka_2|(2)]], получаем : <math>M \Big( f(X) \Big) = \sum_{i = 1}^m \left( f(x_i) \cdot \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} P(\omega) \right) = \sum_{i = 1}^m f(x_i) \cdot P(X = x_i)</math>, что и требовалось доказать. <div id="Утверждение 5"> '''Утверждение 5.''' Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> — случайные величины, определённые на одном и том же пространстве элементарных событий, а <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые числа. Тогда : <math>M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y)</math>. </div> С помощью определения математического ожидания и свойств символа суммирования получаем цепочку равенств: : <math>aM(X) + bM(Y) = a \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)P(\omega) + b\sum_{\omega \in \Omega} Y(\omega)P(\omega) =</math><br/> <math>= \sum_{\omega \in \Omega} \Big( aX(\omega) + bY(\omega) \Big) P(\omega) = M(aX + bY)</math>. Требуемое доказано. [[#Утверждение 5|Выше]] показано, как зависит математическое ожидание от перехода к другому началу отсчёта и к другой единице измерения (переход <math>Y = aX + b</math>), а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия, при переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчётах, в нормативно-технической документации и другом. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчётные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига. Независимость случайных величин — одно из базовых понятий теории вероятностей, лежащее в основе практических всех вероятностно-статистических методов принятия решений. '''Определение 4.''' Случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math>, определённые на одном и том же пространстве элементарных событий, называются независимыми, если для любых чисел <math>a</math> и <math>b</math> независимы события <math>\{X = a\}</math> и <math>\{Y = b\}</math>. <div id="Утверждение 6"> '''Утверждение 6.''' Если случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые числа, то случайные величины <math>X + a</math> и <math>Y + b</math> также независимы. </div> Действительно, события <math>\{X + a = c\}</math> и <math>\{Y + b = d\}</math> совпадают с событиями <math>\{X = c - a\}</math> и <math>\{Y = d - b\}</math> соответственно, а потому независимы. <div id="Пример 7"> '''Пример 7.''' Случайные величины, определённые по результатам различных испытаний в схеме независимых испытаний, сами независимы. Это вытекает из того, что события, с помощью которых определяется независимость случайных величин, определяются по результатам различных испытаний, а потому независимы по определению независимых испытаний. </div> В вероятностно-статистических методах принятия решений постоянно используется следующий факт: если <math>X</math> и <math>Y</math> — независимые случайные величины, <math>f(X)</math> и <math>g(Y)</math> — случайные величины, полученные из <math>X</math> и <math>Y</math> с помощью некоторых функций <math>f</math> и <math>g</math>, то <math>f(X)</math> и <math>g(Y)</math> — также независимые случайные величины. Например, если <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, то <math>X^2</math> и <math>2Y + 3</math> независимы, <math>\lg X</math> и <math>\lg Y</math> независимы. Доказательство рассматриваемого факта — тема одной из [[#Контрольные вопросы и задачи|контрольных задач]]. Подавляющее большинство вероятностно-статистических моделей, используемых на практике, основывается на понятии независимых случайных величин. Так, результаты наблюдений, измерений, испытаний, анализов, опытов обычно моделируются независимыми случайными величинами. Часто считают, что наблюдения проводятся согласно схеме независимых испытаний. Например, результаты финансово-хозяйственной деятельности предприятий, выработка рабочих, результаты (данные) измерений контролируемого параметра у изделий, отобранных в выборку при статистическом регулировании технологического процесса, ответы потребителей при маркетинговом опросе и другие типы данных, используемых при принятии решений, обычно рассматриваются как независимые случайные величины, вектора́ или элементы. Причина такой популярности понятия независимости случайных величин состоит в том, что к настоящему времени теория продвинута существенно дальше для независимых случайных величин, чем для зависимых. Часто используется следующее свойство независимых случайных величин. <div id="Утверждение 7"> '''Утверждение 7.''' Если случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, то математическое ожидание произведения <math>XY</math> равно произведению математических ожиданий <math>X</math> и <math>Y</math>, то есть : <math>M(XY) = M(X)M(Y)</math>. </div> ''Доказательство.'' Пусть <math>X</math> принимает значения <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math>, в то время как <math>Y</math> принимает значения <math>y_1, y_2, \dots, y_k</math>. Сгруппируем в задающей <math>M(XY)</math> сумме члены, в которых <math>X</math> и <math>Y</math> принимают фиксированные значения:{{metka|6}} : <math>M(XY) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant m,\; 1 \leqslant j \leqslant k} \left( \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i,\; Y(\omega) = y_j} X(\omega) Y(\omega) P(\omega) \right)</math>. Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то : <math>\sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i,\; Y(\omega) = y_j} X(\omega) Y(\omega) P(\omega) = x_i y_j \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i,\; Y(\omega) = y_j} P(\omega)</math>. Из последнего равенства и определения вероятности события заключаем, что равенство [[#metka_6|(6)]] можно преобразовать к виду : <math>M(XY) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant m,\; 1 \leqslant j \leqslant k} x_i y_j \cdot P(X = x_i,\; Y = y_j)</math>. <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, поэтому : <math>P(X = x_i,\, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)</math>. Воспользовавшись этим равенством и свойством символа суммирования : <math>\sum_{1 \leqslant i \leqslant m,\; 1 \leqslant j \leqslant k} c_i d_j = \left( \sum_{i = 1}^m c_i \right) \left( \sum_{j = 1}^k d_j \right)</math>, заключаем, что {{metka|7}} : <math>M(XY) = \left(\sum_{i = 1}^m x_i \cdot P(X = x_i) \right) \left( \sum_{j = 1}^k y_j \cdot P(Y = y_j) \right)</math>. Из равенства [[#metka_5|(5)]] следует, что первый сомножитель в правой части [[#metka_7|(7)]] есть <math>M(X)</math>, а второй — <math>M(Y)</math>, что и требовалось доказать. '''Пример 8.''' Построим пример, показывающий, что из равенства <math>M(XY) = M(X) \cdot M(Y)</math> не следует независимость случайных величин <math>X</math> и <math>Y</math>. Пусть вероятностное пространство состоит из трёх равновероятных элементов <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math>, <math>\omega_3</math>. Пусть : <math>X(\omega_1) = 1</math>, <math>X(\omega_2) = 0</math>, <math>X(\omega_3) = -1</math>, <math>Y(\omega_1) = Y(\omega_3) = 1</math>, <math>Y(\omega_2) = 0</math>. Тогда <math>XY = X</math>, <math>M(X) = M(XY) = 0</math>, следовательно, <math>M(XY) = M(X) \cdot M(Y)</math>. Однако при этом : <math>P(X = 0) = P(Y = 0) = P(X = 0,\; Y = 0) = P(\omega_2) = \frac13</math>, в то время как вероятность события <math>\{X = 0,\; Y = 0\}</math> в случае независимых <math>X</math> и <math>Y</math> должна была равняться <math>\frac13 \cdot \frac13 = \frac19</math>. Независимость нескольких случайных величин <math>X, Y, Z, \dots</math> означает по определению, что для любых чисел <math>x, y, z, \dots</math> справедливо равенство : <math>P(X = x,\; Y = y,\; Z = z, \dots) = P(X = x) \cdot P(Y = y) \cdot P(Z = z) \cdot \dots</math>. Например, если случайные величины определяются по результатам различных испытаний в схеме независимых испытаний, то они независимы. ==== Дисперсия случайной величины ==== Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что <math>M \left( (X - a)^2 \right)</math> достигает минимума по <math>a</math> при <math>a = M(X)</math>. Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно <math>M\left( \Big( X - M(X) \Big)^2 \right)</math>. '''Определение 5.''' [[w:Дисперсия случайной величины|Дисперсией случайной величины]] <math>X</math> называется число : <math>\sigma^2 = D(X) = M \left( \Big( X - M(X) \Big)^2 \right)</math>. Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений. <div id="Утверждение 8"> '''Утверждение 8.''' Пусть <math>X</math> — случайная величина, <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые числа, <math>Y = aX + b</math>. Тогда : <math>D(Y) = a^2 D(X)</math>. </div> Как следует из утверждений [[#Утверждение 3|3]] и [[#Утверждение 5|5]], <math>M(Y) = aM(X) + b</math>. Следовательно, : <math>D(Y) = M \left( \Big( Y - M(Y) \Big)^2 \right) = M \left( \Big( aX + b - aM(X) - b \Big)^2 \right) = M \left( a^2 \Big( X - M(X) \Big)^2 \right)</math>. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то : <math>M \left( a^2 \Big( X - M(X) \Big)^2 \right) = a^2 M \left( \Big( X - M(X) \Big)^2 \right) = a^2 D(X)</math>. [[#Утверждение 8|Утверждение 8]] показывает, в частности, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчёта и единицы измерения. Оно даёт правило преобразования расчётных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба. <div id="Утверждение 9"> '''Утверждение 9.''' Если случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, то дисперсия их суммы <math>X + Y</math> равна сумме дисперсий: : <math>D(X + Y) = D(X) + D(Y)</math>. </div> Для доказательства воспользуемся тождеством : <math>\biggr(\Big(X + Y\Big) - \Big( M(X) + M(Y)\Big)\biggr)^2 = \Big( X - M(X) \Big)^2 + 2\Big( X - M(X) \Big) \Big( Y - M(Y) \Big) + \Big( Y - M(Y) \Big)^2</math>, которое вытекает из известной формулы элементарной алгебры <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math> при подстановке <math>a = X - M(X)</math> и <math>b = Y - M(Y)</math>. Из утверждений [[#Утверждение 3|3]] и [[#Утверждение 5|5]] и определения дисперсии следует, что : <math>D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2M\{ \Big( X - M(X) \Big) \Big( Y - M(Y) \Big) \}</math>. Согласно [[#Утверждение 6|утверждению 6]] из независимости <math>X</math> и <math>Y</math> вытекает независимость <math>X - M(X)</math> и <math>Y - M(Y)</math>. Из [[#Утверждение 7|утверждения 7]] следует, что : <math>M \biggr( \Big( X - M(X) \Big) \Big( Y - M(Y) \Big) \biggr) = M \Big( X - M(X) \Big) M \Big( Y - M(Y) \Big)</math>. Поскольку <math>M\Big( X - M(X) \Big) = 0</math> (см. [[#Утверждение 3|утверждение 3]]), то правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует заключение [[#Утверждение 9|утверждения 9]]. <div id="Утверждение 10"> '''Утверждение 10.''' Пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> — попарно независимые случайные величины (то есть <math>X_i</math> и <math>X_j</math> независимы, если <math>i \ne j</math>). Пусть <math>Y_k</math> — их сумма, <math>Y_k = X_1 + X_2 + \dots + X_k</math>, тогда дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, : <math>D(Y_k) = D(X_1) + D(X_2) + \dots + D(X_k)</math>. Для любых случайкых величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, : <math>M(Y_k) = M(X_1) + M(X_2) + \dots + M(X_k)</math>. </div> Соотношения, сформулированные в [[#Утверждение 10|утверждении 10]], являются основными при изучении выборочных характеристик, поскольку результаты наблюдений или измерений, включенные в выборку, обычно рассматриваются в математической статистике, теории принятия решений и эконометрике как реализации независимых случайных величин. Для любого набора числовых случайных величин (не только независимых) математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Это утверждение является обобщением [[#Утверждение 5|утверждения 5]]. Строгое доказательство легко проводится методом математической индукции. При выводе формулы для дисперсии <math>D(Y_k)</math> воспользуемся следующим свойством символа суммирования: : <math>\left( \sum_{1 \leqslant i \leqslant k} a_i \right)^2 = \left( \sum_{1 \leqslant i \leqslant k} a_i \right) \left( \sum_{j = 1}^k a_j \right) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant k,\; 1 \leqslant j \leqslant k} a_i a_j</math>. Положим <math>a_i = X_i - M(X_i)</math>, получим : <math>\Big( X_1 + X_2 + \dots + X_k - M(X_1) - M(X_2) - \dots - M(X_k) \Big)^2 = \sum \Big( X_i - M(X_i) \Big) \Big( X_j - M(X_j) \Big)</math>. Воспользуемся теперь тем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: {{metka|8}} : <math>D(Y_k) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant k,\; 1 \leqslant j \leqslant k} M \biggr( \Big( X_i - M(X_i) \Big) \Big( X_j - M(X_j) \Big) \biggr)</math>. Как показано при доказательстве [[#Утверждение 9|утверждения 9]], из попарной независимости рассматриваемых случайных величин следует, что <math>M \biggr( \Big( X_i - M(X_i) \Big) \Big( X_j - M(X_j) \Big) \biggr) = 0</math> при <math>i \ne j</math>. Следовательно, в сумме [[#metka_8|(8)]] остаются только члены с <math>i = j</math>, а они равны как раз <math>D(X_i)</math>. Полученные в утверждениях [[#Утверждение 8|8]]—[[#Утверждение 10|10]] фундаментальные свойства таких характеристик случайных величин, как математическое ожидание и дисперсия, постоянно используются практически во всех вероятностно-статистических моделях реальных явлений и процессов. <div id="Пример 9"> '''Пример 9.''' Рассмотрим событие <math>A</math> и случайную величину <math>X</math> такую, что <math>X(\omega) = 1</math>, если <math>\omega \in A</math>, и <math>X(\omega) = 0</math> в противном случае, то есть если <math>\omega \in \Omega \backslash A</math>. Покажем, что <math>M(X) = P(A)</math>,<math>D(X) = P(A) \Big( 1 - P(A) \Big)</math>. </div> Воспользуемся формулой [[#metka_5|(5)]] для математического ожидания. Случайная величина <math>X</math> принимает значения: 1 — с вероятностью <math>P(A)</math> и 0 — с вероятностью <math>1 - P(A)</math>, а потому : <math>M(X) = 1 \cdot P(A) + 0 \cdot \Big( 1 - P(A) \Big) = P(A)</math>. Аналогично <math>\Big( X - M(X) \Big)^2 = \Big( 1 - P(A) \Big)^2</math> с вероятностью <math>P(A)</math> и <math>\Big( X - M(X) \Big)^2 = \Big( 0 - P(A) \Big)^2</math> с вероятностью <math>1 - P(A)</math>, а потому : <math>D(A) = \Big( 1 - P(A) \Big)^2 P(A) + \Big( P(A) \Big)^2 \Big( 1 - P(A) \Big)</math>. Вынося общий множитель, получаем, что <math>D(A) = P(A) \Big( 1 - P(A) \Big)</math>. <div id="Пример 10"> '''Пример 10.''' Рассмотрим <math>k</math> независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие <math>A</math> может наступить, а может и не наступить. Введём случайные величины <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> следующим образом: <math>X_i(\omega) = 1</math>, если в <math>i</math>-ом испытании <math>A</math> наступило, и <math>X_i(\omega) = 0</math> в противном случае. Тогда <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> попарно независимы (см. [[#Пример 7|пример 7]]). Как показано в [[#Пример 9|примере 9]], <math>M(X_i) = p</math>, <math>D(X_i) = p(1 - p)</math>, где <math>p = P(A)</math>. Иногда <math>p</math> называют «вероятностью успеха» — в случае, если наступление события <math>A</math> рассматривается как «успех». </div> === Биномиальное распределение === Случайная величина <math>B = X_1 + X_2 + \dots + X_k</math> называется биномиальной. Ясно, что <math>0 \leqslant B \leqslant k</math> при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение <math>B</math>, то есть вероятности <math>P(B = a)</math> при <math>a = 0, 1, \dots, k</math>, достаточно знать <math>p</math> — вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие <math>B = a</math> осуществляется только когда событие <math>A</math> наступает ровно при <math>a</math> испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (то есть номера в последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления в а опытах события <math>A</math> и в <math>k - a</math> опытах противоположного ему — это вероятность произведения <math>k</math> независимых событий. Вероятность произведения равна произведению вероятностей: <math>p^a (1 - p)^{k - a}</math>. Сколькими способами можно задать номера <math>a</math> испытаний из <math>k</math>? Это <math>k \choose a</math> — число сочетаний из <math>k</math> элементов по <math>a</math>, рассматриваемое в комбинаторике. Как известно, <math>{k \choose a} = \frac{k!}{a!(k - a)!}</math>, где символом <math>k!</math> обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до <math>k</math>, то есть <math>k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k</math> (дополнительно принимают, что <math>0! = 1</math>). Из сказанного следует, что биномиальное распределение, то есть распределение биномиальной случайной величины, имеет вид : <math>P(B = a) = {k \choose a} p^a (1 - p)^{k - a}</math>. Название «биномиальное распределение» основано на том, что <math>P(B = a)</math> является членом с номером <math>(a + 1)</math> в разложении по [[w:Бином Ньютона|биному Ньютона]] : <math>(A + C)^k = \sum_{0 \leqslant j \leqslant k} {k \choose j} A^{k - j} C^j</math>, если положить <math>A = 1 - p</math>, <math>C = p</math>. При <math>j = a</math> получим : <math>{k \choose j}A^{k-j} C^j = P(B = a)</math>. Для числа сочетаний из <math>k</math> элементов по <math>a</math>, кроме <math>{k \choose a}</math>, используют более распространённое в отечественной литературе обозначение <math>C_k^a</math>. Из [[#Утверждение 10|утверждения 10]] и расчётов [[#Пример 9|примера 9]] следует, что для случайной величины <math>B</math>, имеющей биномиальное распределение, математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами <math>M(B) = kp</math>, <math>D(B) = kp(1 - p)</math>, поскольку <math>B</math> является суммой <math>k</math> независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, найденными в [[#Пример 9|примере 9]]. === Неравенства Чебышёва === Во [[#Введение|введении]] [[#Примеры применения теории вероятностей и математической статистики|обсуждалась]] задача проверки равенства определённому числу доли дефектной продукции в партии. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений полезны неравенства, впервые применённые в теории вероятностей русским математиком [[w:Чебышёв, Пафнутий Львович|Пафнутием Львовичем Чебышёвым]] и носящие его имя. Эти неравенства широко применяются в теории математической статистики, и в ряде практических задач принятия решений. Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений неизвестен. Они применяются также в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений. ==== Первое неравенство Чебышёва ==== Пусть <math>X</math> — неотрицательная случайная величина (то есть <math>X(\omega) \geqslant 0</math> для любого <math>\omega \in \Omega</math>). Тогда для любого положительного числа <math>a</math> справедливо неравенство : <math>P(X \geqslant a) \leqslant \frac{M(X)}{a}</math>. ''Доказательство.'' Все слагаемые в правой части формулы [[#metka_4|(4)]], определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых <math>X(\omega) \geqslant a</math>. Получим, что {{metka|9}} : <math>M(X) \geqslant \sum_{\omega{:}\; X(\omega) \geqslant a} X(\omega) P(\omega)</math>. Для всех слагаемых в правой части <math>X(\omega) \geqslant a</math>, поэтому {{metka|10}} : <math>\sum_{\omega{:}\; X(\omega) \geqslant a} X(\omega)P(\omega) \geqslant a \sum_{\omega{:}\; X(\omega) \geqslant a} P(\omega) = aP(X \geqslant a)</math>. Из [[#metka_9|(9)]] и [[#metka_10|(10)]] следует требуемое. ==== Второе неравенство Чебышёва ==== Пусть <math>X</math> — случайная величина. Для любого положительного числа <math>a</math> справедливо неравенство : <math>P \Big( |X - M(X)| \geqslant a \Big) \leqslant \frac{D(X)}{a^2}</math>. Это неравенство содержалось в работе П. Л. Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 года и опубликованной в последовавшем году. Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину <math>Y = \Big( X - M(X) \Big)^2</math>. Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа <math>b</math>, как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство : <math>P(Y \geqslant b) \leqslant \frac{M(Y)}{b} = \frac{D(X)}{b}</math>. Положим <math>b = a^2</math>. Событие <math>\{Y \geqslant b\}</math> совпадает с событием <math>\{|X - M(X)| \geqslant a \}</math>, а потому : <math>P \Big( |X-M(X)| \geqslant a \Big) = P(Y \geqslant a^2) \leqslant \frac{D(X)}{a^2}</math>, что и требовалось доказать. <div id="Пример 11"> '''Пример 11.''' Можно указать неотрицательную случайную величину <math>X</math> и положительное число <math>a</math> такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство. Достаточно рассмотреть <math>X(\omega) = a</math>. Тогда <math>M(X) = a</math>, <math>\frac{M(X)}{a} = 1</math> и <math>P(a \geqslant a) = 1</math>, то есть <math>P(X \geqslant a) = \frac{M(X)}{a} = 1</math>. </div> Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей. '''Пример 12.''' Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех <math>a</math>? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число <math>a</math>, что первое неравенство Чебышёва является строгим. Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно нулю. В первом случае возьмем положительное <math>a</math>, меньшее положительного числа <math>M(X)</math>, например, положим <math>a = \frac{M(X)}{2}</math>. Тогда <math>\frac{M(X)}{a}</math> больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями [[#Пример 11|примера 11]]. Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. Для такой случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при любом положительном <math>a</math>. Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины <math>X</math>? A требование положительности <math>a</math>? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, ибо иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной. ==== Закон больши́х чисел ==== Неравенство Чебышёва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики — [[w:Закон больших чисел|закон больши́х чисел]]. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это даёт возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больши́х чисел не было бы большей части прикладной математической статистики. '''Теорема Чебышёва.''' Пусть случайные величины <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> попарно независимы и существует число <math>C</math> такое, что <math>D(X_i) \leqslant C</math> при всех <math>i = 1, 2, \dots, k</math>. Тогда для любого положительного <math>\varepsilon</math> выполнено неравенство {{metka|11}} : <math>P \left\{ \left| \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_k}{k} - \frac{M(X_1) + M(X_2) + \dots + M(X_k)}{k} \right| \geqslant \varepsilon \right \} \leqslant \frac{C}{k\varepsilon ^2}</math>. ''Доказательство.'' Рассмотрим случайные величины <math>Y_k = X_1 + X_2 + \dots + X_k</math> и <math>Z_k = \frac{Y_k}{k}</math>. Тогда согласно [[#Утверждение 10|утверждению 10]] <math>M(Y_k) = M(X_1) + M(X_2) + \dots + M(X_k)</math>, <math>D(Y_k) = D(X_1) + D(X_2) + \dots + D(X_k)</math>. Из свойств математического ожидания следует, что <math>M(Z_k) = \frac{M(Y_k)}{k}</math>, а из свойств дисперсии — что <math>D(Z_k) = \frac{D(Y_k)}{k^2}</math>. Таким образом, : <math>M(Z_k) = \frac{ \{ M(X_1) + M(X_2) + \dots + M(X_k) \} }{k}</math>,<br/> <math>D(Z_k) = \frac{ \{ D(X_1) + D(X_2) + \dots + D(X_k) \} }{k^2}</math>. Из условия теоремы Чебышёва следует, что : <math>D(Z_k) \leqslant \frac{Ck}{k^2} = \frac{C}{k}</math>. Применим к <math>Z_k</math> второе неравенство Чебышёва. Получим для стоящей в левой части неравенства [[#metka_11|(11)]] вероятности оценку : <math>P\{ |Z_k - M(Z_k)| \geqslant \varepsilon \} \leqslant \frac{D(Z_k)}{e^2} \leqslant \frac{C}{k\varepsilon^2}</math>, что и требовалось доказать. Эта теорема была получена П. Л. Чебышёвым в той же работе 1867 года «О средних величинах», что и неравенства Чебышёва. '''Пример 13.''' Пусть <math>C = 1</math>, <math>\varepsilon = 0{,}1</math>. При каких <math>k</math> правая часть неравенства [[#metka_11|(11)]] не превосходит <math>0{,}1</math>? <math>0{,}05</math>? <math>0{,}00001</math>? В рассматриваемом случае правая часть неравенства [[#metka_11|(11)]] равна <math>\frac{100}{k}</math>. Она не превосходит <math>0{,}1</math>, если <math>k \geqslant 1000</math>, не превосходит <math>0{,}05</math>, если <math>k \geqslant 2000</math>, не превосходит <math>0{,}00001</math>, если <math>k \geqslant 10\,000\,000</math>. Правая часть неравенства [[#metka_11|(11)]], а вместе с ней и левая, при возрастании <math>k</math> и фиксированных <math>C</math> и <math>\varepsilon</math> убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на <math>\varepsilon</math>, приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причём при любом <math>\varepsilon</math>. Это утверждение называют ''законом больши́х чисел''. Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все <math>X_i</math>, <math>i = 1, 2, \dots</math> имеют одно и то же математическое ожидание <math>M(X_1)</math> и одну и ту же дисперсию <math>\sigma^2 = D(X_1)</math>. В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое : <math>\overline X = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_k}{k}</math>. Из закона больши́х чисел следует, что <math>\overline X</math> при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к <math>M(X_1)</math>, что записывают так: : <math>\overline X \stackrel P \to M(X_1)</math>. Здесь знак <math>\stackrel P \to</math> означает «сходимость по вероятности». Это понятие отличается от «перехода к пределу» в [[w:Математический анализ|математическом анализе]]. Последовательность <math>b_n</math> имеет предел <math>b</math> при <math>n \to \infty</math>, если для любого сколь угодно малого <math>\delta > 0</math> существует число <math>n(\delta)</math> такое, что при любом <math>n > n(\delta)</math> справедливо утверждение: <math>b_n \in (b - \delta;b + \delta)</math>. При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится ещё одно сколь угодно малое число <math>\varepsilon > 0</math> и утверждение <math>b_n \in (b - \delta;b + \delta)</math> предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее <math>1 - \varepsilon</math>. === Сходимость частот к вероятностям === Уже́ отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события <math>A</math> — это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события <math>A</math> к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математик [[w:Бернулли, Якоб|Якоб Бернулли]] (1654—1705) в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти, в 1713 году). ==== Теорема Бернулли ==== Пусть <math>m</math> — число наступлений события <math>A</math> в <math>k</math> независимых (попарно) испытаниях, и <math>p</math> есть вероятность наступления события <math>A</math> в каждом из испытаний. Тогда при любом <math>\varepsilon > 0</math> справедливо неравенство {{metka|12}} : <math>P \left \{ \left| \frac{m}{k} - p \right| \geqslant \varepsilon \right \} \leqslant \frac{p(1 - p)}{k\varepsilon^2}</math>. ''Доказательство.'' Как показано в [[#Пример 10|примере 10]], случайная величина <math>m</math> имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха <math>p</math> и является суммой <math>k</math> независимых случайных величин <math>X_i</math>, <math>i = 1, 2, \dots, k</math>, каждое из которых равно 1 с вероятностью <math>p</math> и 0 с вероятностью <math>1 - p</math>, то есть <math>m = X_1 + X_2 + \dots + X_k</math>. Применим к <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> теорему Чебышёва с <math>C = p(1 - p)</math> и получим требуемое неравенство [[#metka_12|(12)]]. Теорема Бернулли даёт возможность связать математическое определение вероятности (по Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей (по [[w:Мизес, Рихард Эдлер фон|Рихарду Мизесу]] (1883—1953)), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний. Для показания этой связи сначала отметим, что <math>p(1 - p) \leqslant \frac14</math> при всех <math>p</math>. Действительно, <math>\frac14 - p(1 - p) = \left( p - \frac12 \right)^2 \geqslant 0</math>. Следовательно, в теореме Чебышёва можно использовать <math>C = \frac14</math>. Тогда при любом <math>p</math> и фиксированном <math>\varepsilon</math> правая часть неравенства [[#metka_12|(12)]] при возрастании <math>k</math> приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей. Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определённых событий близка к вероятности, определённой из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты. Поскольку и орёл, и решка имеют равные шансы оказаться сверху, то вероятность выпадения орла равна <math>\frac12</math> из соображений равновозможности. Французский естествоиспытатель XVIII века [[w:Бюффон, Жорж Луи Леклерк де|Жорж Бюффон]] бросил монету 4040 раз, орёл выпал при этом 2048 раз. Частота появления орлов опыте Бюффона равна 0,507. Английский статистик Карл Пирсон бросил монету 12 000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений орлов — частота 0,5016. В другой раз он бросил монету 24 000 раз, орёл выпал 12 012 раз — частота 0,5005. Как видим, во всех этих случаях частоты лишь незначительно отличаются от теоретической вероятности 0,5 <ref name="an_nechisl">Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях (в соавторстве). — М.: Наука, 1985. — 220 с.</ref>, с. 148. === О проверке статистических гипотез === С помощью неравенства [[#metka_12|(12)]] можно кое-что сказать о проверке соответствия качества продукции заданным требованиям. Пусть из 100 000 единиц продукции 30 000 оказались дефектными. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности равна 0,23? Прежде всего, какую вероятностную модель целесообразно использовать? Принимаем, что проводится сложный опыт, состоящий из 100 000 испытаний 100 000 единиц продукции на годность. Считаем, что испытания (попарно) независимы и что в каждом испытании вероятность того, что единица продукции является дефектной, равна <math>p</math>. В реальном опыте получено, что событие «единица продукции не является годной» осуществилось 30 000 раз при 100 000 испытаниях. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности <math>p = 0{,}23</math>? Для проверки гипотезы воспользуемся неравенством [[#metka_12|(12)]]. В рассматриваемом случае <math>k = 100\,000</math>, <math>m = 30\,000</math>, <math>\frac{m}{k} = 0{,}3</math>, <math>p = 0{,}23</math>, <math>\frac{m}{k} - p = 0{,}07</math>. Для проверки гипотезы поступают так. Оценим вероятность того, что <math>\frac{m}{k}</math> отличается от <math>p</math> так же, как в рассматриваемом случае, или больше, то есть оценим вероятность выполнения неравенства <math>\left| \frac{m}{k} - 0{,}23 \right| > 0{,}07</math>. Положим в неравенстве [[#metka_12|(12)]] <math>p = 0{,}23</math>, <math>\varepsilon = 0{,}07</math>. Тогда {{metka|13}} : <math>P\left \{ \left| \frac{m}{k} - 0{,}23 \right| \geqslant 0{,}07 \right \} \leqslant \frac{0{,}23 \cdot 0{,}77}{0{,}0049k} \approx \frac{36{,}11}{k}</math>. При <math>k = 100\,000</math> правая часть [[#metka_13|(13)]] меньше <math>\frac{1}{2500}</math>. Значит, вероятность того, что отклонение будет не меньше наблюдаемого, весьма мала. Следовательно, если исходная гипотеза верна, то в рассматриваемом опыте осуществилось событие, вероятность которого меньше <math>\frac{1}{2500}</math>, и поскольку это очень малое число, то исходную гипотезу надо отвергнуть. Подробнее методы проверки статистических гипотез будут рассмотрены ниже. Здесь отметим, что одна из основных характеристик метода проверки гипотезы — уровень значимости, то есть вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу (её в математической статистике называют нулевой и обозначают <math>H_0</math>), когда она верна. Для проверки статистической гипотезы часто поступают так. Выбирают уровень значимости — малое число <math>\alpha</math>. Если описанная в предыдущем абзаце вероятность меньше <math>\alpha</math>, то гипотезу отвергают, как говорят, на уровне значимости <math>\alpha</math>. Если эта вероятность больше или равна <math>\alpha</math>, то гипотезу принимают. Обычно в вероятностно-статистических методах принятия решений выбирают <math>\alpha = 0{,}05</math>, значительно реже <math>\alpha = 0{,}01</math> или <math>\alpha = 0{,}1</math>, в зависимости от конкретной практической ситуации. В рассматриваемом случае <math>\alpha</math>, напомним, — это та доля опытов (то есть проверок партий по 100 000 единиц продукции), в которой мы отвергаем гипотезу <math>H_0{:}\; p = 0{,}23</math>, хотя она верна. Насколько результат проверки гипотезы <math>H_0</math> зависит от числа испытаний <math>k</math>? Пусть при <math>k = 100</math>, <math>k = 1000</math>, <math>k = 10\,000</math> оказалось, что <math>m = 30</math>, <math>m = 300</math>, <math>m = 3000</math> соответственно, так что во всех случаях <math>\frac{m}{k} = 0{,}3</math>. Какие значения принимает вероятность : <math>P_k = P \left \{ \left| \frac{m}{k} - 0{,}23 \right| \geqslant 0{,}07 \right \}</math> и её оценка — правая часть формулы [[#metka_13|(13)]]? При <math>k = 100</math> правая часть [[#metka_13|(13)]] равна приблизительно 0,36, что не даёт оснований отвергнуть гипотезу. При <math>k = 1000</math> правая часть [[#metka_13|(13)]] равна примерно 0,036. Гипотеза отвергается на уровне значимости <math>\alpha = 0{,}05</math> (и <math>\alpha = 0{,}1</math>), но на основе оценки вероятности с помощью правой части формулы [[#metka_13|(13)]] не удаётся отвергнуть гипотезу на уровне значимости <math>\alpha = 0{,}01</math>. При <math>k = 10\,000</math> правая часть [[#metka_13|(13)]] меньше <math>\frac{1}{250}</math>, и гипотеза отвергается на всех обычно используемых уровнях значимости. Более точные расчёты, основанные на применении центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. ниже), дают <math>P_{100} = 0{,}095</math>, <math>P_{1000} = 0{,}0000005</math>, так что оценка [[#metka_13|(13)]] является в рассматриваемом случае весьма завышенной. Причина в том, что получена она из наиболее общих соображений, применительно ко всем возможным случайным величинам улучшить её нельзя (см. [[#Пример 11|пример 11]]), но применительно к конкретному биномиальному распределению — можно. Ясно, что без введения уровня значимости не обойтись, ибо даже очень большие отклонения <math>\frac{m}{k}</math> от <math>p</math> имеют положительную вероятность осуществления. Так, при справедливости гипотезы <math>H_0</math> событие «все 100 000 единиц продукции являются дефектными» отнюдь не является невозможным с математической точки зрения, оно имеет положительную вероятность осуществления, равную <math>0{,}23^{100000}</math>, хотя эта вероятность и невообразимо мала. Аналогично разберём проверку гипотезы о симметричности монеты. '''Пример 14.''' Если монета симметрична, то <math>p = \frac12</math>, где <math>p</math> — вероятность выпадения орлов. Согласуется ли с этой гипотезой результат эксперимента, в котором при 10 000 бросаниях выпало 4000 орлов? В рассматриваемом случае <math>\frac{m}{k} = 0{,}4</math>. Положим в неравенстве [[#metka_12|(12)]] <math>p = 0{,}5</math>, <math>\varepsilon = 0{,}1</math>: : <span id="Пример 14 неравенство"><math>P\left \{ \left| \frac{m}{k} - 0{,}5 \right| \geqslant 0{,}1 \right \} \leqslant \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}01k} = \frac{25}{k}</math></span>. При <math>k = 10\,000</math> правая часть последнего неравенства равна <math>\frac{1}{400}</math>. Значит, если исходная гипотеза верна, то в нашем единственном эксперименте осуществилось событие, вероятность которого весьма мала — меньше <math>\frac{1}{400}</math>. Поэтому исходную гипотезу следует отвергнуть. Если из 1000 бросаний монеты орлы выпали в 400 случаях, то правая часть [[#Пример 14 неравенство|выписанного выше неравенства]] равна <math>\frac{1}{40}</math>. Гипотеза симметричности отклоняется на уровне значимости 0,05 (и 0,1), но рассматриваемые методы не дают возможности отвергнуть её на уровне значимости 0,01. Если <math>k = 100</math>, а <math>m = 40</math>, то правая часть неравенства равна <math>0{,}25</math>. Оснований для отклонения гипотезы нет. С помощью более тонких методов, основанных на [[w:Центральная предельная теорема|центральной предельной теореме]] теории вероятностей, можно показать, что левая часть неравенства равна приблизительно 0,05. Это показывает, как важно правильно выбрать метод проверки гипотезы или оценивания параметров. Следовательно, целесообразна стандартизация подобных методов, позволяющая сэкономить усилия, необходимые для сравнения и выбора наилучшего метода, а также избежать устаревших, неверных или неэффективных методов. Ясно, что даже по нескольким сотням опытов нельзя достоверно отличить абсолютно симметричную монету (<math>p = \frac12</math>) от несколько несимметричной монеты (для которой, скажем, <math>p = 0{,}49</math>). Более того, любая реальная монета несколько несимметрична, так что монета с <math>p = 0{,}5</math> есть математическая абстракция. Между тем, в ряде управленческих и производственных ситуаций требуется осуществить справедливую жеребьёвку, а для этого требуется абсолютно симметричная монета. Например, речь может идти об очередности рассмотрения инвестиционных проектов комиссией экспертов, о порядке вызова для собеседования кандидатов на должность, об отборе единиц продукции из партии в выборку для контроля и тому подобном. '''Пример 15.''' Можно ли с помощью несимметричной монеты получить последовательность испытаний с двумя исходами, каждый из которых имеет вероятность <math>\frac12</math>? Ответ: ''да, можно''. Приведём способ, предложенный видным польским математиком [[w:Штейнгауз, Гуго|Гуго Штейнгаузом]] (1887—1972). Будем бросать монету два раза подряд и записывать исходы бросаний так (Г — орёл, Р — решка, на первом месте стоит результат первого бросания, на втором — второго): ГР запишем как Г, в то время РГ запишем как Р, а ГГ и PP вообще не станем записывать. Например, если исходы бросаний окажутся такими: {| ||ГР,||РГ,||ГР,||PP,||ГР,||РГ,||ГГ,||РГ,||PP,||РГ, |- |colspan = "10"|то запишем их в виде: |- ||Г, ||Р, ||Г, || ||Г, ||Р, || ||Р, || ||Р. |} Сконструированная таким образом последовательность обладает теми же свойствами, что и полученная при бросании идеально симметричной монеты, поскольку даже у несимметричной монеты последовательность ГР встречается столь же часто, как и последовательность РГ. Применим теорему Бернулли и неравенство [[#metka_12|(12)]] к обработке реальных данных. '''Пример 16.''' С 1871 по 1900 год в [[w:Швейцария|Швейцарии]] родился 1 359 671 мальчик и 1 285 086 девочек. Совместимы ли эти данные с предположением, что вероятность рождения мальчика равна 0,5? A с предположением, что она равна 0,515? Другими словами, требуется проверить нулевые гипотезы <math>H_0{:}\; p = 0{,}5</math> и <math>H_0{:}\; p = 0{,}515</math> с помощью неравенства [[#metka_12|(12)]]. Число испытаний равно общему числу рождений, то есть <math>1\,359\,671 + 1\,285\,086 = 2\,644\,757</math>. Есть все основания считать испытания независимыми. Число рождений мальчиков составляет приблизительно 0,514 всех рождений. В случае <math>p = 0{,}5</math> имеем <math>\varepsilon = 0{,}014</math>, и правая часть неравенства [[#metka_12|(12)]] имеет вид : <math>\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}014 \cdot 0{,}014 \cdot 2\,644\,757} \approx 0{,}00001</math>. Таким образом, гипотезу <math>p = 0{,}5</math> следует считать несовместимой с приведёнными в условии данными. В случае <math>p = 0{,}515</math> имеем <math>\varepsilon = 0{,}001</math>, и правая часть [[#metka_12|(12)]] равна приблизительно 0,1, так что с помощью неравенства [[#metka_12|(12)]] отклонить гипотезу <math>H_0{:}\; p = 0{,}515</math> нельзя. Итак, здесь на основе элементарной теории вероятностей (с конечным пространством элементарных событий) мы сумели построить вероятностные модели для описания проверки качества деталей (единиц продукции) и бросания монет и предложить методы проверки гипотез, относящихся к этим явлениям. В математической статистике есть более тонкие и сложные методы проверки описанных выше гипотез, которыми и пользуются в практических расчётах. Можно спросить: в рассмотренных [[#Примеры применения|выше]] моделях вероятности были известны заранее — со слов Струкова или же из-за того, что мы предположили симметричность монеты. A как строить модели, если вероятности неизвестны? Как оценить неизвестные вероятности? Теорема Бернулли — результат, с помощью которого даётся ответ на этот вопрос. Именно, оценкой неизвестной вероятности <math>p</math> является число <math>\frac m k</math>, поскольку доказано, что при возрастании <math>k</math> вероятность того, что <math>\frac m k</math> отличается от <math>p</math> более чем на какое-либо фиксированное число, приближается к нулю. Оценка будет тем точнее, чем больше <math>k</math>. Более того, можно доказать, что с некоторой точки зрения (см. далее) оценка <math>\frac m k</math> для вероятности <math>p</math> является наилучшей из возможных (в терминах математической статистики — состоятельной, несмещённой и эффективной). == Суть вероятностно-статистических методов == Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при обработке данных — результатов наблюдений, измерений, испытаний, анализов, опытов с целью принятия практически важных решений? Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, то есть математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания неопределённостей, которые надо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьёвке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей. Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя. Например, по вероятности выпадения орла можно рассчитать вероятность того, что при 10 бросаниях монет выпадет не менее 3 орлов. Подобный расчёт опирается на вероятностную модель, согласно которой бросания монет описываются схемой независимых испытаний, кроме того, выпадения орла и решки равновозможны, а потому вероятность каждого из этих событий равна <math>\frac12</math>. Более сложна модель, в которой вместо бросания монеты рассматривается проверка качества единицы продукции. Соответствующая вероятностная модель опирается на предположение о том, что контроль качества различных единиц продукции описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели с бросанием монет необходимо ввести новый параметр — вероятность <math>p</math> того, что единица продукции является дефектной. Модель будет полностью описана, если принять, что все единицы продукции имеют одинаковую вероятность оказаться дефектными. Если последнее предположение неверно, то число параметров модели возрастает. Например, можно принять, что каждая единица продукции имеет свою вероятность оказаться дефектной. Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности <math>p</math>. Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить <math>p</math> на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Её цель — на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. обсуждение выше с использованием теоремы Бернулли). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определённое значение. Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных ряда понятий: относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики суть оценки теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, «находятся в головах исследователей», относятся к миру идей (по древнегреческому философу [[w:Платон|Платону]]), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, из которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели. Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с её помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идёт о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции. Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели. Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий. Однако результаты расчётов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют «анализ данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность. Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик — вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений. Подчеркнём, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а второй — выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, устаревших либо написанных в рецептурном духе, не делается различия между выборочными и теоретическими характеристиками, что приводит читателей к недоумениям и ошибкам при практическом использовании статистических методов. == Случайные величины и их распределения == ==== Распределения случайных величин и функции распределения ==== Распределение числовой случайной величины — это функция, однозначно определяющая вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу. Первое — если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задаётся функцией <math>P(X = x)</math>, ставящей каждому возможному значению <math>x</math> случайной величины <math>X</math> вероятность того, что <math>X = x</math>. Второе — если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задаётся набором вероятностей <math>P(a \leqslant X < b)</math> для всех пар чисел <math>a, b</math> таких, что <math>a < b</math>. Распределение может быть задано с помощью так называемой функции распределения <math>F(x) = P(X < x)</math>, определяющей для всех действительных <math>x</math> вероятность того, что случайная величина <math>X</math> принимает значения, меньшие <math>x</math>. Ясно, что <math>P(a \leqslant X < b) = F(b) - F(a)</math> Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения — по распределению. Используемые в прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями. Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам, принимающим конечное число значений или же значения из множества, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами (такие множества в математике называют счётными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (рисунок 1). '''Пример 17.''' Число <math>X</math> дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,4, значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины X изображен на рисунке 1. '''Рисунок 1.''' График функции распределения числа дефектных изделий. F(x) ^ | 1,0| <----- 0,9| <----- | 0,7| <----- | | | 0,3|<---- | | ---+----------------------> 0 | 1 2 3 х Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают при увеличении аргумента, — от 0 при <math>x \to -\infty</math> до 1 при <math>x\to + \infty</math>. Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными. Практически используемые непрерывные функции распределения, как правило, имеют [[w:Производная функции|производные]]. Первая производная <math>f(x)</math> функции распределения <math>F(x)</math> называется плотностью вероятности: : <math>f(x) = \frac{dF(x)}{dx}</math>. По плотности вероятности можно определить функцию распределения: : <math>F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(y)\, dy</math>. Для любой функции распределения : <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math>, <math>\lim_{x \to + \infty} F(x) = 1</math>, а потому : <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1</math>. Перечисленные свойства функций распределения постоянно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, из последнего равенства вытекает конкретный вид констант в формулах для плотностей вероятностей, рассматриваемых ниже. '''Пример 18.''' Часто используется следующая функция распределения:{{metka|14}} : <math> F(x) = \begin{cases} 0, \ x < a\\ \frac{x-a}{b-a},\ a \leqslant x \leqslant b\\ 1,\ x > b \end{cases}</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> суть некоторые числа, <math>a < b</math>. Найдём плотность вероятности этой функции распределения: : <math>f(x) = \begin{cases} 0, \ x < a\\ \frac{1}{b - a},\ a < x < b\\ 0, \ x > b \end{cases}</math>, (в точках <math>x = a</math> и <math>x = b</math> производная функции <math>F(x)</math> не существует). Случайная величина с функцией распределения [[#metka_14|(14)]] называется «равномерно распределённой на отрезке <math>[a; b]</math>». Смешанные функции распределения встречаются, в частности, тогда, когда наблюдения в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических данных, полученных при использовании планов испытаний на надёжность, предусматривающих прекращение испытаний по истечении некоторого срока. Или при анализе данных о технических изделиях, потребовавших гарантийного ремонта. '''Пример 19.''' Пусть, например, срок службы электрической лампочки — случайная величина с функцией распределения <math>F(t)</math>, а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента <math>t_0 = 100</math> часов. Пусть <math>G(t)</math> — функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда : <math>G(t) = \begin{cases}F(t),\ t \leqslant 100\\ 1,\ t > 100\end{cases}</math>. Функция <math>G(t)</math> имеет скачок в точке <math>t_0</math>, поскольку соответствующая случайная величина принимает значение <math>t_0</math> с вероятностью <math>1 - F(t_0) > 0</math>. === Характеристики случайных величин === В вероятностно-статистических методах используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей. ==== Квантили ==== При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях применяется такое понятие, как «квантиль порядка <math>p</math>», где <math>0 < p < 1</math> (иатробозначается <math>x_p</math>). Квантиль порядка <math>p</math> — значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение <math>p</math> или имеет место «скачок» со значения меньше <math>p</math> до значения больше <math>p</math> (рисунок 2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений <math>x</math>, принадлежащих этому интервалу (то есть функция распределения постоянна на этом интервале и равна <math>p</math>). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка <math>p</math>». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль <math>x_p</math> порядка <math>p</math> (рисунок 2), причём{{metka|15}} : <math>F(x_p) = p</math>. '''Пример 20.''' Найдём квантиль <math>x_p</math> порядка <math>p</math> для функции распределения <math>F(x)</math> из [[#metka 13|(13)]]. При <math>0 < p < 1</math> квантиль <math>x_p</math> находится из уравнения : <math>\frac{x - a}{b - a} = p</math>, то есть <math>x_p = a + p(b - a) = a(1 - p) + bp</math>. При <math>p = 0</math> любое <math>x \leqslant a</math> является квантилем порядка <math>p = 0</math>. Квантилем порядка <math>p = 1</math> является любое число <math>x \geqslant b</math>. Для дискретных распределений, как правило, не существует <math>x_p</math>, удовлетворяющих уравнению [[#metka 14|(14)]]. Точнее, если распределение случайной величины даётся [[#Таблица 2|таблицей 2]], где <math>x_1 < x_2 < \dots < x_k</math>, то равенство [[#metka 14|(14)]], рассматриваемое как уравнение относительно <math>x_p</math>, имеет решения только для <math>k</math> значений <math>p</math>, а именно <math>p = p_1</math>, <math>p = p_1 + p_2</math>, <math>p = p_1 + p_2 + p_3</math>, … <math>p = p_1 + p_2 + \dots + p_m</math>, <math>3 < m < k</math>, … <math>p = p_1 + p_2 + \dots + p_k</math>. {| class = "standard" id="Таблица 2" |+ Таблица 2. Распределение дискретной случайной величины |- |Значения <math>x</math> случайной величины <math>X</math>||<math>x_1</math>||<math>x_2</math>||rowspan = 2|…||<math>x_k</math> |- |Вероятности <math>P(X = x)</math>||<math>p_1</math>||<math>p_2</math>||<math>p_k</math> |} Для перечисленных <math>k</math> значений вероятности <math>p</math> решение <math>x_p</math> уравнения [[#metka 14|(14)]] неединственно, а именно : <math>F(x) = p_1 + p_2 + \dots + p_m</math> для всех <math>x</math> таких, что <math>x_m < x \leqslant x_{m + 1}</math>. То есть <math>x_p</math> — любое число из интервала <math>(x_m; x_{m + 1}]</math>. Для всех остальных <math>p</math> из промежутка <math>(0; 1)</math>, не входящих в перечень [[#metka 15|(15)]], имеет место «скачок» со значения меньше <math>p</math> до значения больше <math>p</math>. A именно, если : <math>p_1 + p_2 + \dots + p_m < p < p_1 + p_2 + p_2 + \dots + p_m + p_{m + 1}</math>, то : <math>x_p = x_{m + 1}</math>. Рассмотренное свойство дискретных распределений создаёт значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны. '''Характеристики положения''' указывают на «центр» распределения. Большое значение в статистике имеет квантиль порядка <math>p = \frac12</math>. Он называется [[w:Медиана (статистика)|медианой]] (случайной величины <math>X</math> или её функции распределения <math>F(x)</math>) и обозначается <math>Me(X)</math>. В [[w:Геометрия|геометрии]] есть понятие «[[w:Медиана треугольника|медиана]]» — [[w:Прямая|прямая]], проходящая через вершину [[w:Треугольник|треугольника]] и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство <math>F(x_{0{,}5}) = 0{,}5</math> означает, что вероятность попасть левее <math>x_{0,5}</math> и вероятность попасть правее <math>x_{0{,}5}</math> (или непосредственно в <math>x_{0{,}5}</math>) равны между собой и равны <math>\frac12</math>, то есть <math>P(X < x_{0{,}5}) = P(X \geqslant x_{0{,}5}) = \frac12</math>. Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций — теории устойчивых статистических процедур — медиана является лу́чшей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание. При обработке результатов измерений в порядковой шкале медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием — нельзя. Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как [[w:Мода (статистика)|мода]] — значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины. Если <math>x_0</math> есть мода случайной величины с плотностью <math>f(x)</math>, то, как известно из дифференциального исчисления, <math>\frac{df(x_0)}{dx} = 0</math>. У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения [[#metka 14|(14)]] каждая точка <math>x</math> такая, что <math>a < x < b</math>, является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными. Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в [[#События и множества|главе «События и множества»]]. Для непрерывной случайной величины <math>X</math> математическое ожидание <math>M(X)</math> удовлетворяет равенству : <math>M(X) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\, dx</math>, являющемуся аналогом формулы [[#metka 5|(5)]]. '''Пример 21.''' Математическое ожидание для равномерно распределённой случайной величины <math>X</math> равно : <math>M(X) = \int\limits_a^b \frac{x}{b - a}\, dx = \frac{1}{b - a} \frac{x^2}{2} \biggr |_a^b = \frac{1}{b - a} \left( \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right) = \frac{a + b}{2}</math>. Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений. ''Замечание.'' В этой книге сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, σ-алгебры событий и тому подобное. Желающим освоить эти понятия следует обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии<ref name="ver_mat_stat"/>. Каждая из трёх характеристик — математическое ожидание, медиана, мода — описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами, отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений — симметричных унимодальных — все три характеристики совпадают. Плотность распределения <math>f(x)</math> — плотность симметричного распределения, если найдётся число <math>x_0</math> такое, что{{metka|15}} : <math>f(x) = f(2x_0 - x)</math>. Равенство означает, что график функции <math>y = f(x)</math> симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии <math>x = x_0</math>. Из [[#metka 15|(15)]] следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению{{metka|16}} <math>F(x) = 1 - F(2x_0 - x)</math>. Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны <math>x_0</math>. Наиболее важен случай симметрии относительно нуля, то есть <math>x_0 = 0</math>. Тогда [[#metka 15|(15)]] и [[#metka 16|(16)]] переходят в равенства{{metka|17}} <math>f(x) = f(-x)</math> и{{metka|18}} <math>F(x) = 1 - F(-x)</math> соответственно. Приведённые соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех <math>x</math>, достаточно иметь таблицы при <math>x \geqslant x_0</math>. Отметим ещё одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения : <math>P(|X| \leqslant a) = P(-a \leqslant X \leqslant a) = F(a) - F(-a)</math>, где <math>F</math> — функция распределения случайной величины <math>X</math>. Если функция распределения <math>F</math> симметрична относительно нуля, то есть для неё справедлива формула [[#metka 18|(18)]], то : <math>P( |X| \leqslant a) = 2F(a) - 1</math>. Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если <math>1 - F(a) = \alpha</math>, то <math>P(|X| > a) = 2\alpha</math>. Если <math>x_\alpha</math> и <math>x_{1 - \alpha}</math> — квантили порядка <math>\alpha</math> и <math>1 - \alpha</math> соответственно (см. [[#metka 13|(13)]]) функции распределения, симметричной относительно нуля, то из [[#metka 18|(18)]] следует, что <math>x_\alpha = -x_{1 - \alpha}</math>. === Характеристики разброса === От характеристик положения — математического ожидания, медианы, моды — перейдём к характеристикам разброса случайной величины <math>X</math>: дисперсии <math>D(X) = \sigma^2</math>, среднеквадратичному отклонению <math>\sigma</math> и коэффициенту вариации <math>v</math>. Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин : <math>D(X) = M \left[ \Big( X - M(X) \Big)^2 \right] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Big( x - M(X) \Big)^2 f(x)\, dx</math>. Среднеквадратичное отклонение — это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии: <math>\sigma = +\sqrt{D(X)}</math> Коэффициент вариации — это отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию: <math>v = \frac{\sigma}{M(X)}</math>. Коэффициент вариации применяется при <math>M(X) > 0</math>. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднеквадратичное отклонение — в абсолютных. '''Пример 22.''' Для равномерно распределённой случайной величины <math>X</math> найдём дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна: : <math>D(X) = \int\limits_a^b \frac{1}{b - a} \left( x - \frac{a + b}{2} \right)^2\, dx</math>. Замена переменной <math>y = x - \frac{a + b}{2}</math> даёт возможность записать: : <math>D(X) = \frac{1}{b - a} \int\limits_{-c}^c y^2\, dy = \frac{1}{b - a} \frac{y^3}{3} \biggr|_{-c}^c = \frac{2c^3}{3(b - a)} = \frac{(b - a)^2}{12}</math>, где <math>c = \frac{b - a}{2}</math>. Следовательно, среднеквадратичное отклонение : <math>\sigma = \frac{b - a}{2 \sqrt 3}</math>, а коэффициент вариации таков: : <math>v = \frac{b - a}{\sqrt 3 (a + b)}</math>. === Преобразования случайных величин === По каждой случайной величине <math>X</math> определяют ещё три величины: центрированную <math>Y</math>, нормированную <math>V</math> и приведённую <math>U</math>. Центрированная случайная величина <math>Y</math> — это разность между данной случайной величиной <math>X</math> и её математическим ожиданием <math>M(X)</math>, то есть <math>Y = X - M(X)</math>. Математическое ожидание центрированной случайной величины <math>Y</math> равно нулю, а дисперсия — дисперсии данной случайной величины: <math>M(Y) = 0</math>, <math>D(Y) = D(X)</math>. Функция распределения <math>F_Y(x)</math> центрированной случайной величины <math>Y</math> связана с функцией распределения <math>F(x)</math> исходной случайной величины <math>X</math> соотношением : <math>F_Y(x) = F \Big( x + M(X) \Big)</math>. Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство : <math>f_Y(x) = f \Big( x + M(X) \Big)</math>. Нормированная случайная величина <math>V</math> — это отношение данной случайной величины <math>X</math> к её среднеквадратичному отклонению <math>\sigma</math>, то есть <math>V = \frac{X}{\sigma}</math>. Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины <math>V</math> выражаются через характеристики <math>X</math> так: : <math>M(V) = \frac{M(X)}{\sigma} = \frac{1}{v}</math>, <math>D(V) = 1</math>, где <math>v</math> — коэффициент вариации исходной случайной величины <math>X</math>. Для функции распределения <math>F_V(x)</math> и плотности <math>f_V(x)</math> нормированной случайной величины <math>V</math> имеем: : <math>F_V(x) = F(\sigma x)</math>, <math>f_V(x) = \sigma f(\sigma x)</math>, где <math>F(x)</math> — функция распределения исходной случайной величины <math>X</math>, а <math>f(x)</math>— её плотность вероятности. Приведённая случайная величина <math>U</math> — это центрированная и нормированная случайная величина: : <math>U = \frac{X - M(X)}{\sigma}</math>. Для приведённой случайной величины{{metka|19}} : <math>M(U) = 0</math>, <math>D(U) = 1</math>, <math>F_U(x) = F \Big( \sigma x + M(X) \Big)</math>, <math>f_U(x) = \sigma f \Big( \sigma x + M(X) \Big)</math>. Нормированные, центрированные и приведённые случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства <math>M(U) = 0</math>, <math>D(U) = 1</math> позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчётные формулы. Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если <math>Y = aX + b</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые числа, то{{metka|20}} : <math>M(Y) = aM(X) + b</math>, <math>D(Y) = a^2 D(X)</math>, <math>F_Y(x) = F\left( \frac{x - b}{a} \right)</math>, <math>f_Y(x) = \frac{1}{a}f \left( \frac{x - b}{a} \right)</math>. '''Пример 23.''' Если <math>a = \frac{1}{\sigma}</math>, <math>b = \frac{-M(X)}{\sigma}</math>, то <math>Y</math> — приведённая случайная величина, и формулы [[#metka_20|(20)]] переходят в формулы [[#metka_19|(19)]]. С каждой случайной величиной <math>X</math> можно связать множество случайных величин <math>Y</math>, заданных формулой <math>Y = aX + b</math> при различных <math>a > 0</math> и <math>b</math>. Это множество называют ''масштабно-сдвиговым семейством'', порождённым случайной величиной <math>X</math>. Функции распределения <math>F_Y(x)</math> составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порождённое функцией распределения <math>F(x)</math>. Вместо <math>Y = aX + b</math> часто используют запись{{metka|21}} : <math>Y = \frac{X - c}{d}</math>, где : <math>d = \frac{1}{a} > 0</math>, <math>c = -\frac{b}{a}</math>. Число <math>c</math> называют параметром сдвига, а число <math>d</math> — параметром масштаба. Формула [[#metka_21|(21)]] показывает, что <math>X</math> — результат измерения некоторой величины — переходит в <math>Y</math> — результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку <math>c</math>, а затем использовать новую единицу измерения, в <math>d</math> раз бо́льшую старой. Для масштабно-сдвигового семейства [[#metka_21|(21)]] распределение <math>X</math> называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и другие (см. ниже). Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины <math>X</math> рассматривают <math>Y = \lg X</math>, где <math>\lg X</math> — десятичный логарифм числа <math>X</math>. Цепочка равенств : <math>F_Y(x) = P(\lg X < x) = P(X < 10^x) = F(10^x)</math> связывает функции распределения <math>X</math> и <math>Y</math>. === Моменты случайных величин === При обработке данных используют такие характеристики случайной величины <math>X</math> как моменты порядка <math>q</math>, то есть математические ожидания случайной величины <math>X^q</math>, <math>q = 1, 2, \dots</math>. Так, само математическое ожидание — это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка <math>q</math> может быть рассчитан как : <math>m_q = M(X^q) = \sum_{i} x_i^q P(X = x_i)</math>. Для непрерывной случайной величины : <math>m_q = M(X^q) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^q f(x)\, dx</math>. Моменты порядка <math>q</math> называют также начальными моментами порядка <math>q</math>, в отличие от родственных характеристик — центральных моментов порядка <math>q</math>, задаваемых формулой : <math>\mu_q = M \left[ \Big( X - M(X) \Big)^q \right]</math>, <math>q = 2, 3, \dots</math>, Так, дисперсия — это центральный момент порядка 2. === Стандартное нормальное распределение и центральная предельная теорема === В вероятностно-статистических методах часто идёт речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными — см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчётные величины имеют распределения, близкие к нормальному. Пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_n, \dots</math> — независимые одинаково распределённые случайные величины с математическими ожиданиями <math>M(X_i) = m</math> и дисперсиями <math>D(X_i) = \sigma^2</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n, \dots</math>. Как следует из результатов предыдущей главы, : <math>M(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = nm</math>, <math>D(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = n \sigma^2</math>. Рассмотрим приведённую случайную величину <math>U_n</math> для суммы <math>X_1 + X_2 + \dots + X_n</math>, а именно : <math>U_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n - nm}{\sigma \sqrt n}</math>. Как следует из формул [[#metka_19|(19)]], <math>M(U_n) = 0</math>, <math>D(U_n) = 1</math>. ''Центральная предельная теорема'' (для одинаково распределённых слагаемых). Пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_n, \dots</math> — независимые одинаково распределённые случайные величины с математическими ожиданиями <math>M(X_i) = m</math> и дисперсиями <math>D(X_i) = \sigma^2</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n, \dots</math>. Тогда для любого <math>x</math> существует предел : <math>\lim_{n \to \infty} P \left( \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n - nm}{\sigma\sqrt n} < x \right) = \Phi(x)</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция стандартного нормального распределения. Подробнее о функции <math>\Phi(x)</math> — ниже (читается «фи от икс»; тут <math>\Phi</math> — греческая прописная [[w:Фи (буква)|буква «фи»]]). Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит своё название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет — с 1730 года, когда английский математик Абрахам де Муавр (1667—1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (см. ниже о [[w:Локальная теорема Муавра-Лапласа|теореме Муавра — Лапласа]]), до двадцатых — тридцатых годов ХХ века, когда финн Дж. У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886—1971), югослав В. Феллер (1906—1970), русский А. Я. Хинчин (1894—1959) и другие учёные получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы. Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось — изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, то есть те, для которых : <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\, dx = +\infty</math> (Гнеденко и другие), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (Ю. В. Прохоров, А. А. Боровков и их соратники), и так далее. Функция распределения <math>\Phi(x)</math> задаётся равенством : <math>\Phi(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \phi(y)\, dy</math>, где <math>\phi(y)</math> — плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение: : <math>\phi(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}</math>. Здесь <math>\pi = 3{,}1415925</math> — известная константа [[w:Пи (число)|пи]]. <math>e</math> — [[w:e (математическая константа)|основание натурального логарифма]]. Как известно из математического анализа, : <math>e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^n</math>. При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения в настоящее время уже́ не вычисляют по приведённым формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены Л. Н. Большевым и Н. В. Смирновым <ref name="tab_mat_stat">Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1965 (1-е изд.), 1968 (2-е изд.), 1983 (3-е изд.).</ref>. Вид плотности стандартного нормального распределения <math>\phi(y)</math> вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ. Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения <math>\Phi(x)</math> ([[#Таблица 3|таблица 3]]) и её квантилей ([[#Таблица 4|таблица 4]]). Функция <math>\Phi(x)</math> симметрична относительно нуля, что отражается в таблицах [[#Таблица 3|3]] и [[#Таблица 4|4]]. Если случайная величина <math>X</math> имеет функцию распределения <math>\Phi(x)</math>, то <math>M(X) = 0</math>, <math>D(X) = 1</math>. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей <math>\phi(y)</math>. Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведённой случайной величины <math>U_n</math>, что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения <math>U_n</math> стремится к функции стандартного нормального распределения <math>\Phi(x)</math>, причём этот предельный переход справедлив для любого числа <math>x</math>. {| class="standard" id="Таблица 3" |+ Таблица 3. Функция стандартного нормального распределения !<math>x</math>||<math>\Phi(x)</math> |- | -5,0||0,00000029 |- | -4,0||0,00003167 |- | -3,0||0,00134990 |- | -2,5||0,00620967 |- | -2,0||0,0227501 |- | -1,5||0,0668072 |- | -1,0||0,158655 |- | -0,5||0,308538 |- | 0,0||0,500000 |- | 0,5||0,691462 |- | 1,0||0,841345 |- | 1,5||0,9331928 |- | 2,0||0,9772499 |- | 2,5||0,99379033 |- | 3,0||0,99865010 |- | 4,0||0,99996833 |- | 5,0||0,99999971 |} {| class="standard" id="Таблица 4" |+ Таблица 4. Квантили стандартного нормального распределения. !<math>p</math>||Квантиль порядка <math>p</math> |- |0,01 ||-2,326348 |- |0,025||-1,959964 |- |0,05 ||-1,644854 |- |0,10 ||-1,281552 |- |0,30 ||-0,524401 |- |0,40 ||-0,253347 |- |0,50 || 0,000000 |- |0,60 || 0,253347 |- |0,70 || 0,524401 |- |0,80 || 0,841621 |- |0,90 || 1,281552 |- |0,95 || 1,644854 |- |0,975|| 1,959964 |- |0,99 || 2,326348 |} === Семейство нормальных распределений === Введём понятие семейства нормальных распределений. По определению нормальным распределением называется распределение случайной величины <math>x</math>, для которой распределение приведённой случайной величины есть <math>\Phi(x)</math>. Как следует из общих свойств масштабно-сдвиговых семейств распределений (см. выше), нормальное распределение — это распределение случайной величины : <math>Y = \sigma X + m</math>, где <math>X</math> — случайная величина с распределением <math>\Phi(x)</math>, причём <math>m = M(Y)</math>, <math>\sigma^2 = D(Y)</math>. Нормальное распределение с параметрами сдвига <math>m</math> и масштаба <math>\sigma</math> обычно обозначается <math>N(m, \sigma)</math> (иногда используется обозначение <math>N(m, \sigma^2)</math>). Как следует из [[#metka_20|(20)]], плотность вероятности нормального распределения <math>N(m, \sigma)</math> есть : <math>f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}}</math>. Нормальные распределения образуют масштабно-сдвиговое семейство. При этом параметром масштаба является <math>d = \frac{1}{\sigma}</math>, а параметром сдвига <math>c = -\frac{m}{\sigma}</math>. Для центральных моментов третьего и четвёртого порядка нормального распределения справедливы равенства : <math>\mu_3 = 0</math>, <math>\mu_4 = 3\sigma^4</math>. Эти равенства лежат в основе классических методов проверки того, что результаты наблюдений подчиняются нормальному распределению. В настоящее время нормальность обычно рекомендуется проверять по критерию <math>W</math> Шапиро — Уилка. Проблема проверки нормальности обсуждается ниже. Если случайные величины <math>X_1</math> и <math>X_2</math> имеют функции распределения <math>N(m_1, \sigma_1)</math> и <math>N(m_2, \sigma_2)</math> соответственно, то <math>X_1 + X_2</math> имеет распределение <math>N(m_1 + m_2; \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2})</math>. Следовательно, если случайные величины <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> независимы и имеют одно и тоже распределение <math>N(m, \sigma)</math>, то их среднее арифметическое : <math>\overline X = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}</math> имеет распределение <math>N \left( m, \frac{\sigma}{\sqrt n} \right)</math>. Эти свойства нормального распределения постоянно используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений, в частности, при статистическом регулировании технологических процессов и в статистическом приёмочном контроле по количественному признаку. === Распределения Пирсона (хи-квадрат, Стьюдента и Фишера) === С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти распределения. Распределение Пирсона <math>\chi^2</math> (хи-квадрат) — распределение случайной величины : <math>X = X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2</math>, где случайные величины <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> независимы и имеют одно и тоже распределение <math>N(0, 1)</math>. При этом число слагаемых, то есть <math>n</math>, называется «числом степеней свободы» распределения хи-квадрат. Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных <ref name="tab_mat_stat"/>, <ref name="kurs_tex_pril">Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. — 512 с.</ref>, <ref name="mat_met_stat">Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975. — 648 с.</ref>, <ref name="mat_vyv_sv">Кендалл М. Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. – 900 с.</ref>. Распределение <math>t</math> Стьюдента — это распределение случайной величины : <math>T = \frac{U \sqrt n}{\sqrt X}</math>, где случайные величины <math>U</math> и <math>X</math> независимы, <math>U</math> имеет стандартное нормальное распределение <math>N(0, 1)</math>, а <math>X</math> — распределение хи-квадрат с <math>n</math> степенями свободы. При этом <math>n</math> называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента. Распределение Стьюдента было введено в 1908 году английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому её руководство запрещало Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета — Стьюдента показывает, что ещё сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов. В настоящее время распределение Стьюдента — одно из наиболее известных распределений среди используемых при анализе реальных данных. Его применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости, гипотез однородности выборок и так далее <ref name="tab_mat_stat"/>, <ref name="kurs_tex_pril"/>, <ref name="mat_met_stat"/>. Распределение Фишера — это распределение случайной величины : <math>F = \frac{\frac{1}{k_1}X_1}{\frac{1}{k_2}X_2}</math>, где случайные величины <math>X_1</math> и <math>X_2</math> независимы и имеют распределения хи-квадрат с числом степеней свободы <math>k_1</math> и <math>k_2</math> соответственно. При этом пара <math>(k_1, k_2)</math> — пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, <math>k_1</math> — число степеней свободы числителя, а <math>k_2</math> — число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины <math>F</math> названо в честь великого английского статистика Р. Фишера (1890—1962), активно использовавшего его в своих работах. Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики <ref name="tab_mat_stat"/>, <ref name="kurs_tex_pril"/>, <ref name="mat_met_stat"/>. Выражения для функций распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, их плотностей и характеристик, а также таблицы, необходимые для их практического использования, можно найти в специальной литературе (например, <ref name="tab_mat_stat"/>). === Центральная предельная теорема (общий случай) === Как уже́ отмечалось, нормальные распределения в настоящее время часто используют в вероятностных моделях в различных прикладных областях. В чём причина такой широкой распространённости этого двухпараметрического семейства распределений? Она проясняется следующей теоремой. ''Центральная предельная теорема'' (для разнораспределённых слагаемых). Пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_n, \dots</math> — независимые случайные величины с математическими ожиданиями <math>M(X_1), M(X_2), \dots, M(X_n), \dots</math> и дисперсиями <math>D(X_1), D(X_2), \dots, D(X_n), \dots</math> соответственно. Пусть : <math>U_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n - M(X_1) - M(X_2) - \dots - M(X_n)} {\sqrt{D(X_1) + D(X_2) + \dots + D(X_n)}}</math>. Тогда при справедливости некоторых условий, обеспечивающих малость вклада любого из слагаемых в <math>U_n</math>, : <math>\lim_{n \to \infty}P(U_n < x) = \Phi(x)</math> для любого <math>x</math>. Условия, о которых идёт речь, не будем здесь формулировать. Их можно найти в специальной литературе (см., например, <ref name="gned_kurs"/>). «Выяснение условий, при которых действует ЦПТ, составляет заслугу выдающихся русских ученых А. А. Маркова (1857—1922) и, в особенности, А. М. Ляпунова (1857—1918)» (<ref name="kurs_tex_pril"/>, с. 197). Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих причин, причём каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется ''аддитивно'', то есть путем сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному. Иногда считают, что для нормальности распределения достаточно того, что результат измерения (наблюдения) <math>X</math> формируется под действием многих причин, каждая из которых оказывает малое воздействие. Это заключение неверно. Важно, как эти причины действуют. Если аддитивно, то <math>X</math> имеет приближённо нормальное распределение. Если ''мультипликативно'' (то есть действия отдельных причин перемножаются, а не складываются), то распределение <math>X</math> близко не к нормальному, а к так называемому логарифмически нормальному, то есть не <math>X</math>, а <math>\lg X</math> имеет приблизительно нормальное распределение. Если же нет оснований считать, что действует один из этих двух механизмов формирования итогового результата (или какой-либо иной вполне определённый механизм), то про распределение <math>X</math> ничего определённого сказать нельзя. Из сказанного вытекает, что в конкретной прикладной задаче нормальность результатов измерений (наблюдений), как правило, нельзя установить из общих соображений, её следует проверять с помощью статистических критериев. Или же использовать непараметрические статистические методы, не опирающиеся на предположения о принадлежности функций распределения результатов измерений (наблюдений) к тому или иному параметрическому семейству. === Непрерывные распределения, используемые в вероятностно-статистических методах === Кроме масштабно-сдвигового семейства нормальных распределений, широко используют ряд других семейств распределения — логарифмически нормальных, экспоненциальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений. Рассмотрим эти семейства. ==== Логарифмически нормальные распределения ==== Случайная величина <math>X</math> имеет логарифмически нормальное распределение, если случайная величина <math>Y = \lg X</math> имеет нормальное распределение. Тогда <math>Z = \ln X = 2{,}3026\dots Y</math> также имеет нормальное распределение <math>N(a_1, \sigma_1)</math>, где <math>\ln X</math> — натуральный логарифм <math>X</math>. Плотность логарифмически нормального распределения такова: : <math>f(x; a_1, \sigma_1) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sigma_1 \sqrt{2\pi}x} e^{-\frac{(\ln x - a_1)^2}{2\sigma_1^2}}, & x > 0 \\ 0, & x \leqslant 0. \end{matrix}\right.</math> Из центральной предельной теоремы следует, что произведение <math>X = X_1, X_2, \dots, X_n</math> независимых положительных случайных величин <math>X_i</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, при больши́х <math>n</math> можно аппроксимировать логарифмически нормальным распределением. В частности, мультипликативная модель формирования заработной платы или дохода приводит к рекомендации приближать распределения заработной платы и дохода логарифмически нормальными законами. Для России эта рекомендация оказалась обоснованной — статистические данные подтверждают её. Имеются и другие вероятностные модели, приводящие к логарифмически нормальному закону. Классический пример такой модели дан Колмогоровым <ref name="kolm_o_logarifm">Колмогоров А. Н. О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении / Доклады АН СССР. 1941. Т. 31. С. 99—101.</ref>, который из физически обоснованной системы постулатов вывел заключение о том, что размеры частиц при дроблении кусков руды, угля и тому подобного на шаровых мельницах имеют логарифмически нормальное распределение. ==== Экспоненциальные распределения ==== Перейдём к другому семейству распределений, широко используемому в различных вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, — семейству экспоненциальных распределений. <span id="Поток событий">Начнем с вероятностной модели, приводящей к таким распределениям. Для этого рассмотрим «поток событий», то есть последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток отказов оборудования в технологической цепочке; поток отказов изделий при испытаниях продукции; поток обращений клиентов в отделение банка; поток покупателей, обращающихся за товарами и услугами, и так далее.</span> В теории потоков событий справедлива теорема, аналогичная центральной предельной теореме, но в ней речь идёт не о суммировании случайных величин, а о суммировании потоков событий. Рассматривается суммарный поток, составленный из большого числа независимых потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, слагается из большого числа независимых потоков вызовов, исходящих от отдельных абонентов. Доказано <ref name="gned_kurs"/>, что в случае, когда характеристики потоков не зависят от времени, суммарный поток полностью описывается одним числом <math>\lambda</math> — интенсивностью потока. Для суммарного потока рассмотрим случайную величину <math>X</math> — длину промежутка времени между последовательными событиями. Её функция распределения имеет вид{{metka|22}} : <math>F(x; \lambda) = P(X \leqslant x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x < 0. \end{matrix}\right.</math> Это распределение называется экспоненциальным распределением, так как в формуле [[#metka_22|(22)]] участвует экспоненциальная функция <math>e^{-\lambda x}</math>. Величина <math>\frac{1}{\lambda}</math> — масштабный параметр. Иногда вводят и параметр сдвига <math>c</math>, при этом экспоненциальным распределением называют распределение случайной величины <math>X + c</math>, где распределение <math>X</math> задаётся формулой [[#metka_22|(22)]]. В формуле [[#metka_22|(22)]] <math>e</math> — основание натурального логарифма. Функция экспоненциального распределения <math>F(x, \lambda)</math> и его плотность <math>f(x, \lambda)</math> связаны простым соотношением : <math>f(x, \lambda) = \lambda \Big( 1 - F(x, \lambda) \Big)</math>. Это соотношение имеет простую интерпретацию в терминах теории надёжности технических изделий и устройств. Оно означает, что интенсивность отказов (то есть интенсивность выхода изделий из строя) постоянна, другими словами, не зависит от того, сколько времени изделие уже́ проработало. Обычно интенсивность отказов постоянна на основном этапе эксплуатации, после того, как на начальном этапе выявлены скрытые дефекты, и до того, как из-за естественного старения материалов начинает происходить ускоренный износ с резким возрастанием интенсивности выхода изделия из строя. ==== Распределения Вейбулла — Гнеденко ==== Экспоненциальные распределения — частный случай так называемых распределений Вейбулла — Гнеденко. Они названы по фамилиям инженера В. Вейбулла, введшего эти распределения в практику анализа результатов усталостных испытаний, и математика [[w:Гнеденко, Борис Владимирович|Бориса Владимировича Гнеденко]] (1912—1995), получившего такие распределения в качестве предельных при изучении максимального из результатов испытаний. Пусть <math>X</math> — случайная величина, характеризующая длительность функционирования изделия, сложной системы, элемента (то есть ресурс, наработку до предельного состояния и тому подобное), длительность функционирования предприятия или жизни живого существа и так далее. Важную роль играет интенсивность отказа{{metka|23}} : <math>\lambda(x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)}</math>, где <math>F(x)</math> и <math>f(x)</math> — функция распределения и плотность случайной величины <math>X</math>. Опишем типичное поведение интенсивности отказа. Весь интервал времени можно разбить на три периода. На первом из них функция <math>\lambda(x)</math> имеет высокие значения и явную тенденцию к убыванию (чаще всего она монотонно убывает). Это можно объяснить наличием в рассматриваемой партии единиц продукции с явными и скрытыми дефектами, которые приводят к относительно быстрому выходу из строя этих единиц продукции. Первый период называют «периодом приработки» (или «обкатки»). Именно на него обычно распространяется гарантийный срок. Затем наступает период нормальной эксплуатации, характеризующийся приблизительно постоянной и сравнительно низкой интенсивностью отказов. Природа отказов в этот период носит внезапный характер (аварии, ошибки эксплуатационных работников и тому подобное) и не зависит от длительности эксплуатации единицы продукции. Наконец, последний период эксплуатации — период старения и износа. Природа отказов в этот период — в необратимых физико-механических и химических изменениях материалов, приводящих к прогрессирующему ухудшению качества единицы продукции и окончательному выходу её из строя. Каждому периоду соответствует свой вид функции <math>\lambda(x)</math>. Рассмотрим класс степенных зависимостей{{metka|24}} : <math>\lambda(x) = \lambda_0 bx^{b - 1}</math>, где <math>\lambda_0 > 0</math> и <math>b > 0</math> — некоторые числовые параметры. Значения <math>b < 1</math>, <math>b = 0</math> и <math>b > 1</math> отвечают виду интенсивности отказов в периоды приработки, нормальной эксплуатации и старения соответственно. Соотношение [[#metka_23|(23)]] при заданной интенсивности отказа <math>\lambda(x)</math> — дифференциальное уравнение относительно функции <math>F(x)</math>. Из теории дифференциальных уравнений следует, что{{metka|25}} : <math>F(x) = 1 - \exp \left( -\int\limits_0^x \lambda(t)\, dt \right)</math>. Подставив [[#metka_14|(14)]] в [[#metka_25|(25)]], получим, что{{metka|26}} : <math>f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \exp \left( -\lambda_0 x^b \right), & x \geqslant 0 \\ 0, & x < 0. \end{matrix}\right.</math>. Распределение, задаваемое формулой [[#metka_26|(26)]] называется распределением Вейбулла — Гнеденко. Поскольку : <math>\lambda_0 x^b = \left( \frac{x}{a} \right)^b</math>, где{{metka|27}} : <math>a = \lambda_0^{-\frac1b}</math>, то из формулы [[#metka_26|(26)]] следует, что величина <math>a</math>, задаваемая формулой [[#metka_27|(27)]], является масштабным параметром. Иногда вводят и параметр сдвига, то есть функциями распределения Вейбулла — Гнеденко называют <math>F(x - c)</math>, где <math>F(x)</math> задаётся формулой [[#metka_26|(26)]] при некоторых <math>\lambda_0</math> и <math>b</math>. Плотность распределения Вейбулла — Гнеденко имеет вид{{metka|28}} : <math>f(x;\, a, b, c) = \left\{ \begin{matrix} \frac{b}{a} \left( \frac{x - c}{a} \right)^{b-1} \exp\left( -\left( \frac{x - c}{a} \right)^b \right), & x \geqslant c \\ 0, & x < c \end{matrix}\right.</math> где <math>a > 0</math> — параметр масштаба, <math>b > 0</math> — параметр формы, <math>c</math> — параметр сдвига. При этом параметр <math>a</math> из формулы [[#metka_28|(28)]] связан с параметром <math>\lambda_0</math> из формулы [[#metka_26|(26)]] соотношением, указанным в формуле [[#metka_27|(27)]]. Экспоненциальное распределение — весьма частный случай распределения Вейбулла — Гнеденко, соответствующий значению параметра формы <math>b = 1</math>. Распределение Вейбулла — Гнеденко применяется также при построении вероятностных моделей ситуаций, в которых поведение объекта определяется «наиболее слабым звеном». Подразумевается аналогия с цепью, сохранность которой определяется тем её звеном, которое имеет наименьшую прочность. Другими словами, пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> — независимые одинаково распределённые случайные величины, <math>X(1) = \min (X_1, X_2, \dots, X_n)</math>, <math>X(n) = \max (X_1, X_2, \dots, X_n)</math>. В ряде прикладных задач большу́ю роль играют <math>X(1)</math> и <math>X(n)</math>, в частности, при исследовании максимально возможных значений («рекордов») тех или иных значений, например, страховых выплат или потерь из-за коммерческих рисков, при изучении пределов упругости и выносливости [[w:Сталь|стали]], ряда характеристик надёжности и тому подобного. Показано, что при больши́х <math>n</math> распределения <math>X(1)</math> и <math>X(n)</math>, как правило, хорошо описываются распределениями Вейбулла — Гнеденко. Основополагающий вклад в изучение распределений <math>X(1)</math> и <math>X(n)</math> внёс Гнеденко. Использованию полученных результатов в экономике, менеджменте, технике и других областях посвящены труды Вейбулла, Э. Гумбеля, В. Б. Невзорова, Э. М. Кудлаева и многих иных специалистов. ==== Гамма-распределения ==== Перейдём к семейству [[w:Гамма-распределение|гамма-распределений]]. Они широко применяются в экономике и менеджменте, теории и практике надёжности и испытаний, в различных областях техники, метеорологии и так далее. В частности, гамма-распределению подчинены во многих ситуациях такие величины, как общий срок службы изделия, длина цепочки токопроводящих пылинок, время достижения изделием предельного состояния при коррозии, время наработки до <math>k</math>-го отказа, <math>k = 1, 2, \dots</math>, и так далее. Продолжительность жизни больных хроническими заболеваниями, время достижения определённого эффекта при лечении в ряде случаев имеют гамма-распределение. Это распределение наиболее адекватно для описания спроса в экономико-математических моделях управления запасами (логистики). Плотность гамма-распределения имеет вид{{metka|29}} : <math>f(x;\, a, b, c) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(a)}(x - c)^{a-1} b^{-a} e^{-\frac{x - c}{b}}, & x \geqslant c \\ 0, & x < c \end{matrix} \right.</math>. Плотность вероятности в формуле [[#metka_29|(29)]] определяется трёмя параметрами <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, где <math>a > 0</math>, <math>b > 0</math>. При этом <math>a</math> является параметром формы, <math>b</math> — параметром масштаба и <math>c</math> — параметром сдвига. Множитель <math>\frac{1}{\Gamma(a)}</math> является нормировочным, он введён, чтобы : <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x;\, a, b, c)\, dx = 1</math>. Здесь <math>\Gamma(a)</math> — одна из используемых в математике специальных функций, так называемая «гамма-функция», по которой названо и распределение, задаваемое формулой [[#metka_29|(17)]]: : <math>\Gamma(a) = \int\limits_{0}^{+\infty} x^{a-1} e^{-x}\, dx</math>. При фиксированном а формула [[#metka_29|(29)]] задает масштабно-сдвиговое семейство распределений, порождаемое распределением с плотностью{{metka|30}} : <math>f(x, a) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right.</math>. Распределение вида [[#metka_30|(30)]] называется стандартным гамма-распределением. Оно получается из формулы [[#metka_29|(29)]] при <math>b = 1</math> и <math>c = 0</math>. Частным случаем гамма-распределений при <math>a = 1</math> являются экспоненциальные распределения (с <math>\lambda = \frac1b</math>). При натуральном <math>a</math> и <math>c = 0</math> гамма-распределения называются распределениями Эрланга. С работ датского ученого [[Эрланг, Агнер Краруп|Агнера Крарупа Эрланга]] (1878—1929), сотрудника Копенгагенской телефонной компании, изучавшего в 1908—1922 годах функционирование телефонных сетей, началось развитие теории массового обслуживания. Эта теория занимается вероятностно-статистическим моделированием систем, в которых происходит обслуживание потока заявок, с целью принятия оптимальных решений. Распределения Эрланга используют в тех же прикладных областях, в которых применяют экспоненциальные распределения. Это основано на следующем математическом факте: сумма <math>k</math> независимых случайных величин, экспоненциально распределённых с одинаковыми параметрами <math>\lambda</math> и <math>c</math>, имеет гамма-распределение с параметром формы <math>a = k</math>, параметром масштаба <math>b = \frac1\lambda</math> и параметром сдвига <math>kc</math>. При <math>c = 0</math> получаем распределение Эрланга. Если случайная величина <math>X</math> имеет гамма-распределение с параметром формы <math>a</math> таким, что <math>d = 2a</math> — целое число, <math>b = 1</math> и <math>c = 0</math>, то <math>2X</math> имеет распределение хи-квадрат с <math>d</math> степенями свободы. Случайная величина <math>X</math> с гамма-распределением имеет следующие характеристики: * математическое ожидание <math>M(X) = ab + c</math>, * дисперсию <math>D(X) = \sigma^2 = ab^2</math>, * коэффициент вариации <math>\nu = \frac{b \sqrt a}{ab + c}</math>, * асимметрию <math>M \left[ \Big( X - M(X) \Big)^3 \right] = \frac{2}{\sqrt a}</math>, * эксцесс <math>\frac{M \left[ \Big( X - M(X) \Big)^4 \right]}{\sigma^4} - 3 = \frac6a</math>. Нормальное распределение — предельный случай гамма-распределения. Точнее, пусть <math>Z</math> — случайная величина, имеющая стандартное гамма-распределение, заданное формулой [[#metka_30|(30)]]. Тогда : <math>\lim_{a \to \infty} P \left\{ \frac{Z - a}{\sqrt a} < x \right\} = \Phi(x)</math> для любого действительного числа <math>x</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция стандартного нормального распределения <math>N(0, 1)</math>. В прикладных исследованиях используются и другие параметрические семейства распределений, из которых наиболее известны система кривых Пирсона, ряды Эджворта и Шарлье. Здесь они не рассматриваются. === Дискретные распределения, используемые в вероятностно-статистических методах === Наиболее часто используют три семейства дискретных распределений — [[w:Биномиальное распределение|биномиальных]], [[w:Гипергеометрическое распределение|гипергеометрических]] и [[w:Распределение Пуассона|Пуассона]], а также некоторые другие семейства — [[w:Геометрическое распределение|геометрических]], [[w:Отрицательное биномиальное распределение|отрицательных биномиальных]], мультиномиальных, отрицательных гипергеометрических и так далее. ==== Подробнее о биномиальном распределении ==== Как уже́ говорилось, биномиальное распределение имеет место при независимых испытаниях, в каждом из которых с вероятностью <math>p</math> появляется событие <math>A</math>. Если общее число испытаний <math>n</math> задано, то число испытаний <math>Y</math>, в которых появилось событие <math>A</math>, имеет биномиальное распределение. Для биномиального распределения вероятность принятия случайной величиной <math>Y</math> значения <math>y</math> определяется формулой [[#metka_31|(31)]] : <math>P(Y = y \;|\; p, n) = {n \choose y} p^y (1 - p)^{n-y}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots, n</math>, где <math>{n \choose y} = \frac{n!}{y!(n - y)!} = C_n^y</math> — число сочетаний из <math>n</math> элементов по <math>y</math>, известное из комбинаторики. Для всех <math>y</math>, кроме <math>0, 1, 2, \dots, n</math>, имеем <math>P(Y = y) = 0</math>. Биномиальное распределение при фиксированном объёме выборки <math>n</math> задаётся параметром <math>p</math>, то есть биномиальные распределения образуют однопараметрическое семейство. Они применяются при анализе данных выборочных исследований <ref name="orlov_ekon"/>, в частности, при изучении предпочтений потребителей, выборочном контроле качества продукции по планам одноступенчатого контроля, при испытаниях совокупностей индивидуумов в демографии, социологии, медицине, биологии и другом. Если <math>Y_1</math> и <math>Y_2</math> — независимые биномиальные случайные величины с одним и тем же параметром <math>p_0</math>, определённые по выборкам с объёмами <math>n_1</math> и <math>n_2</math> соответственно, то <math>Y_1 + Y_2</math> — биномиальная случайная величина, имеющая распределение [[#metka_31|(31)]] с <math>p = p_0</math> и <math>n = n_1 + n_2</math>. Это замечание расширяет область применимости биномиального распределения, позволяя объединять результаты нескольких групп испытаний, когда есть основания полагать, что всем этим группам соответствует один и тот же параметр. Характеристики биномиального распределения вычислены ранее: : <math>M(Y) = np</math>, <math>D(Y) = np(1 - p)</math>. В [[#События и множества|главе «События и множества»]] для биномиальной случайной величины доказан закон больши́х чисел: : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \left| \frac{Y}{n} - p \right| \geqslant \varepsilon\right\} = 0</math> для любого <math>\varepsilon > 0</math>. С помощью центральной предельной теоремы закон больши́х чисел можно уточнить, указав, насколько <math>\frac{Y}{n}</math> отличается от <math>p</math>. ===== Теорема Муавра — Лапласа ===== Для любых чисел <math>a</math> и <math>b</math>, <math>a < b</math>, имеем : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ a \leqslant \frac{Y - np}{\sqrt{np(1 - p)}} < b \right\} = \Phi(b) - \Phi(a)</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Для доказательства достаточно воспользоваться представлением <math>Y</math> в виде суммы независимых случайных величин, соответствующих исходам отдельных испытаний, формулами для <math>M(Y)</math> и <math>D(Y)</math> и центральной предельной теоремой. Эта теорема для случая <math>p = \frac12</math> доказана английским математиком Абрахамом де Муавром (1667—1754) в 1730 году. В приведённой выше формулировке она была доказана в 1810 году французским математиком Пьером-Симоном Лапласом (1749—1827). ==== Гипергеометрическое распределение ==== [[w:Гипергеометрическое распределение|Гипергеометрическое распределение]] имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объёма <math>N</math> по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком <math>A</math>, либо как не обладающий этим признаком. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина <math>Y</math>, равная числу объектов, обладающих признаком <math>A</math> в случайной выборке объёма <math>n</math>, где <math>n < N</math>. Например, число <math>Y</math> дефектных единиц продукции в случайной выборке объёма <math>n</math> из партии объёма <math>N</math> имеет гипергеометрическое распределение, если <math>n < N</math>. Другой пример — лотерея. Пусть признак <math>A</math> билета — это признак «быть выигрышным». Пусть всего билетов <math>N</math>, а некоторое лицо приобрело <math>n</math> из них. Тогда число выигрышных билетов у этого лица имеет гипергеометрическое распределение. Для гипергеометрического распределения вероятность принятия случайной величиной <math>Y</math> значения <math>y</math> имеет вид{{metka|32}} : <math>P(Y = y | N, d, n) = \frac{{n \choose y}{N - n \choose D - y}}{{N \choose D}}</math>, где <math>D</math> — число объектов, обладающих признаком <math>A</math>, в рассматриваемой совокупности объёма <math>N</math>. При этом <math>y</math> принимает значения от <math>\max \{0, n - (N - D) \}</math> до <math>\min \{n, D \}</math>, при прочих <math>y</math> вероятность в формуле [[#metka_32|(32)]] равна нулю. Таким образом, гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами — объёмом генеральной совокупности <math>N</math>, числом объектов <math>D</math> в ней, обладающих рассматриваемым признаком <math>A</math>, и объёмом выборки <math>n</math>. Простой случайной выборкой объёма <math>n</math> из совокупности объёма <math>N</math> называется выборка, полученная в результате случайного отбора, при котором любой из <math>N \choose n</math> наборов из <math>n</math> объектов имеет одну и ту же вероятность быть отобранным. Методы случайного отбора выборок респондентов (опрашиваемых) или единиц штучной продукции рассматриваются в инструктивно-методических и нормативно-технических документах. Один из методов отбора таков: объекты отбирают один из другим, причём на каждом шаге каждый из оставшихся в совокупности объектов имеет одинаковые шансы быть отобранным. В литературе для рассматриваемого типа выборок используются также термины «случайная выборка», «случайная выборка без возвращения». Поскольку объёмы генеральной совокупности (партии) <math>N</math> и выборки <math>n</math> обычно известны, то подлежащим оцениванию параметром гипергеометрического распределения является <math>D</math>. В статистических методах управления качеством продукции <math>D</math> — обычно число дефектных единиц продукции в партии. Представляет интерес также характеристика распределения <math>\frac DN</math> — уровень дефектности. Для гипергеометрического распределения : <math>M(Y) = n \frac{D}{N}</math>, <math>D(Y) = n\frac{D}{N} \left (1 - \frac{D}{N} \right)\left( 1 - \frac{n-1}{N-1} \right)</math>. Последний множитель в выражении для дисперсии близок к 1, если <math>N > 10n</math>. Если при этом сделать замену <math>p = \frac{D}{N}</math>, то выражения для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения перейдут в выражения для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения. Это не случайно. Можно показать, что : <math>P(Y = y \;|\; N, d, n) = \frac{{n \choose y}{N - n \choose D - y}}{{N \choose D}} \approx P(Y = y \;|\; p, n) = {n \choose y} p^y (1 - p)^{n-y}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots, n</math>, при <math>N > 10n</math>, где <math>p = \frac{D}{N}</math>. Точнее, справедливо предельное соотношение : <math>lim_{N \to \infty, \frac{D}{N} \to p} P(Y = y \;|\; N, d, n) = P(Y = y \;|\; p, n)</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots, n</math>, и этим предельным соотношением можно пользоваться при <math>N>10n</math>. ==== Распределение Пуассона ==== Третье широко используемое дискретное распределение — распределение Пуассона. Случайная величина <math>Y</math> имеет распределение Пуассона, если : <math>P(Y = y) = \frac{\lambda^y e^{-\lambda}}{y!}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots</math>, где <math>\lambda</math> — параметр распределения Пуассона, и <math>P(Y = y) = 0</math> для всех прочих <math>y</math> (при <math>y = 0</math> обозначено <math>0! = 1</math>). Для распределения Пуассона : <math>M(Y) = \lambda</math>, <math>D(Y) = \lambda</math>. Это распределение названо в честь французского математика [[w:Пуассон, Симеон Дени|Симеона-Дени Пуассона]] (1781—1840), впервые получившего его в 1837 году. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность <math>p</math> осуществления события мала, но число испытаний <math>n</math> велико, причём <math>np = \lambda</math>. Точнее, справедливо предельное соотношение : <math>\lim_{n \to \infty, np \to \lambda} P(Y = y | p, n) = \frac{\lambda^y e^{-\lambda}}{y!}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots</math>. Поэтому распределение Пуассона (в старой терминологии «закон распределения») часто называют также «законом редких событий». Распределение Пуассона возникает в теории потоков событий (см. [[#Поток событий|выше]]). Доказано, что для простейшего потока с постоянной интенсивностью <math>\Lambda</math> число событий (вызовов), происшедших за время <math>t</math>, имеет распределение Пуассона с параметром <math>\lambda = \Lambda t</math>. Следовательно, вероятность того, что за время <math>t</math> не произойдет ни одного события, равна <math>e^{\Lambda t}</math>, то есть функция распределения длины промежутка между событиями является экспоненциальной. Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных потребителей товара, расчёте оперативных характеристик планов статистического приёмочного контроля в случае малых значений приёмочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний, и так далее. Описание иных параметрических семейств дискретных распределений и возможности их практического использования рассматриваются в обширной (более миллиона названий статей и книг на десятках языков) литературе по вероятностно-статистическим методам. == Основные проблемы прикладной статистики — описание данных, оценивание и проверка гипотез == Выделяют три основные области статистических методов обработки результатов наблюдений — описание данных, оценивание (характеристик и параметров распределений, регрессионных зависимостей и другого) и проверка статистических гипотез. Рассмотрим основные понятия, применяемые в этих областях. === Основные понятия для описания данных === Описание данных — предварительный этап статистической обработки. Используемые при описании данных величины применяются при дальнейших этапах статистического анализа — оценивании и проверке гипотез, а также при решении иных задач, возникающих при применении вероятностно-статистических методов принятия решений, например, при статистическом контроле качества продукции и статистическом регулировании технологических процессов. Статистические данные — это результаты наблюдений (измерений, испытаний, опытов, анализов). Функции результатов наблюдений, используемые, в частности, для оценки параметров распределений и (или) для проверки статистических гипотез, называют «статистиками». (Для математиков надо добавить, что речь идёт об измеримых функциях.) Если в вероятностной модели результаты наблюдений рассматриваются как случайные величины (или случайные элементы), то статистики, как функции случайных величин (элементов), сами являются случайными величинами (элементами). Статистики, являющиеся выборочными аналогами характеристик случайных величин (математического ожидания, медианы, дисперсии, моментов и других) и используемые для оценивания этих характеристик, называют статистическими характеристиками. === Виды выборок === Основополагающее понятие в вероятностно-статистических методах принятия решений — выборка. Как уже́ говорилось, выборка — это набор наблюдаемых значений или множество объектов, отобранные из изучаемой совокупности. Например, единицы продукции, отобранные из контролируемой партии или потока продукции для контроля и принятия решений. Наблюдаемые значения обозначим <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> где <math>n</math> — объём выборки, то есть число наблюдаемых значений, составляющих выборку. О втором виде выборок уже́ шла речь при рассмотрении гипергеометрического распределения, когда под выборкой понимался набор единиц продукции, отобранных из партии. Там же обсуждалась вероятностная модель случайной выборки. В вероятностной модели выборки первого вида наблюдаемые значения обычно рассматривают как реализацию независимых одинаково распределённых случайных величин <math>X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_n(\omega)</math>, <math>\omega \in \Omega</math>. При этом считают, что полученные при наблюдениях конкретные значения <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> соответствуют определённому элементарному событию <math>\omega = \omega_0</math>, то есть <math>x_1 = X_1(\omega_0),\; x_2 = X_2(\omega_0),\; \dots,\; x_n = X_n(\omega_0)</math>, <math>\omega_0 \in \Omega</math>. При повторных наблюдениях будут получены иные наблюдаемые значения, соответствующие другому элементарному событию <math>\omega = \omega_1</math>. Цель обработки статистических данных состоит в том, чтобы по результатам наблюдений, соответствующим элементарному событию <math>\omega = \omega_0</math>, сделать выводы о вероятностной мере <math>P</math> и результатах наблюдений при различных возможных <math>\omega = \omega_1</math>. Применяют и другие, более сложные вероятностные модели выборок. Например, цензурированные выборки соответствуют испытаниям, проводящимся в течение определённого промежутка времени. При этом для части изделий удаётся замерить время наработки на отказ, а для остальных лишь констатируется, что наработки на отказ для них больше времени испытания. Для выборок второго вида отбор объектов может проводиться в несколько этапов. Например, для входного контроля сигарет могут сначала отбираться коробки, в отобранных коробках — блоки, в выбранных блоках — пачки, а в пачках — сигареты. Четыре ступени отбора. Ясно, что выборка будет обладать иными свойствами, чем простая случайная выборка из совокупности сигарет. === Часто́ты === Из приведённого выше определения математической статистики следует, что описание статистических данных даётся с помощью частот. Частота — это отношение числа <math>X</math> наблюдаемых единиц, которые принимают заданное значение или лежат в заданном интервале, к общему числу наблюдений <math>n</math>, то есть частота — это <math>\frac Xn</math>. (В более старой литературе иногда <math>\frac Xn</math> называется относительной частотой, а под частотой имеется в виду <math>X</math>. В старой терминологии можно сказать, что относительная частота — это отношение частоты к общему числу наблюдений.) Отметим, что обсуждаемое определение приспособлено к нуждам одномерной статистики. В случае многомерного статистического анализа, статистики случайных процессов и временны́х рядов, статистики объектов нечисловой природы нужны несколько иные определения понятия «статистические данные». Не считая нужным давать такие определения, отметим, что в подавляющем большинстве практических постановок исходные статистические данные — это выборка или несколько выборок. А выборка — это конечная совокупность соответствующих математических объектов (чисел, векторов, функций, объектов нечисловой природы). Число <math>X</math> имеет биномиальное распределение, задаваемое вероятностью <math>p</math> того, что случайная величина, с помощью которой моделируются результаты наблюдений, принимает заданное значение или лежит в заданном интервале, и общим числом наблюдений <math>n</math>. Из закона больши́х чисел (теорема Бернулли) следует, что <math>\frac Xn \to p</math> при <math>n \to \infty</math> (сходимость по вероятности), то есть частота сходится к вероятности. Теорема Муавра — Лапласа позволяет уточнить скорость сходимости в этом предельном соотношении. === Эмпирическая функция распределения === Чтобы от отдельных событий перейти к одновременному рассмотрению многих событий, используют накопленную частоту. Так называется отношение числа единиц, для которых результаты наблюдения меньше заданного значения, к общему числу наблюдений. (Это понятие используется, если результаты наблюдения — действительные числа, а не вектора, функции или объекты нечисловой природы.) Функция, которая выражает зависимость между значениями количественного признака и накопленной частотой, называется эмпирической функцией распределения. Итак, эмпирической функцией распределения <math>F_n(x)</math> называется доля элементов выборки, меньших <math>x</math>. Эмпирическая функция распределения содержит всю информацию о результатах наблюдений. Чтобы записать выражение для эмпирической функции распределения в виде формулы, введём функцию <math>c(x, y)</math> двух переменных: : <math>c(x,y) = \left\{\begin{matrix} 0, & x \leqslant y, \\ 1, & x > y. \end{matrix}\right.</math> Случайные величины, моделирующие результаты наблюдений, обозначим <math>X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_n(\omega)</math>, <math>\omega \in \Omega</math>. Тогда эмпирическая функция распределения <math>F_n(x)</math> имеет вид : <math>F_n(x) = F_n(x, \omega) = \frac1n \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} c \Big( x, X_i(\omega) \Big)</math>. Из закона больши́х чисел следует, что для каждого действительного числа <math>x</math> эмпирическая функция распределения <math>F_n(x)</math> сходится к функции распределения <math>F(x)</math> результатов наблюдений, то есть{{metka|33}} : <math>F_n(x) \to F(x)</math> при <math>n \to \infty</math>. Советский математик В. И. Гливенко (1897—1940) доказал в 1933 году более сильное утверждение: сходимость в [[#metka_33|(33)]] равномерна по <math>x</math>, то есть{{metka|34}} : <math>\sup_x |F_n(x) - F(x)| \to 0</math> при <math>n \to \infty</math> (сходимость по вероятности). В [[#metka_34|(34)]] использовано обозначение <math>\sup</math> (читается как «супремум»). Для функции <math>g(x)</math> под <math>\sup_x g(x)</math> понимают наименьшее из чисел <math>a</math> таких, что <math>g(x) \leqslant a</math> при всех <math>x</math>. Если функция <math>g(x)</math> достигает максимума в точке <math>x_0</math>, то <math>\sup_x g(x) = g(x_0)</math>. В таком случае вместо <math>\sup</math> пишут <math>\max</math>. Хорошо известно, что не все функции достигают максимума. В том же 1933 году Колмогоров усилил результат Гливенко для непрерывных функций распределения <math>F(x)</math>. Рассмотрим случайную величину : <math>D_n = \sqrt n \sup_x |F_n(x) - F_0(x)|</math> и её функцию распределения : <math>K_n(x) = P\{D_n \leqslant x\}</math>. По теореме Колмогорова : <math>\lim_{n \to \infty} K_n(x) = K(x)</math> при каждом <math>x</math>, где <math>K(x)</math> — так называемая функция распределения Колмогорова. Рассматриваемая работа Колмогорова породила одно из основных направлений математической статистики — так называемую непараметрическую статистику. И в настоящее время непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат широко используются. Они были разработаны для проверки согласия с ''полностью известным'' теоретическим распределением, то есть предназначены для проверки гипотезы <math>H_0{:}\; F(x) \equiv F_0(x)</math>. Основная идея критериев Колмогорова, омега-квадрат и аналогичных им состоит в измерении расстояния между функцией эмпирического распределения и функцией теоретического распределения. Различаются эти критерии видом расстояний в пространстве функций распределения. Аналитические выражения для предельных распределений статистик, расчётные формулы, таблицы распределений и критических значений широко распространены <ref name="tab_mat_stat"/>, поэтому не будем их приводить. === Выборочные характеристики распределения === Кроме эмпирической функции распределения, для описания данных используют и другие статистические характеристики. В качестве выборочных средних величин постоянно используют выборочное среднее арифметическое, то есть сумму значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, делённую на её объём: : <math>\overline x = \frac1n \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} x_i</math>, где <math>n</math> — объём выборки, <math>x_i</math> — результат измерения (испытания) <math>i</math>-го элемента выборки. Другой вид выборочного среднего — выборочная медиана. Она определяется через порядковые статистики. Порядковые статистики — это члены вариационного ряда, который получается, если элементы выборки <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> расположить в порядке неубывания: : <math>x(1) \leqslant x(2) \leqslant \dots \leqslant x(k) \leqslant \dots \leqslant x(n)</math>. '''Пример 24.''' Для выборки <math>x_1 = 1</math>, <math>x_2 = 7</math>, <math>x_3 = 4</math>, <math>x_4 = 2</math>, <math>x_5 = 8</math>, <math>x_6 = 0</math>, <math>x_7 = 5</math>, <math>x_8 = 7</math> вариационный ряд имеет вид 0, 1, 2, 4, 5, 7, 7, 8, то есть <math>x(1) = 0 = x_6,</math> <math>x(2) = 1 = x_1,</math> <math>x(3) = 2 = x_4,</math> <math>x(4) = 4 = x_3,</math> <math>x(5) = 5 = x_7,</math> <math>x(6) = x(7) = 7 = x_2 = x_8,</math> <math>x(8) = 8 = x_5</math>. В вариационном ряду элемент <math>x(k)</math> называется <math>k</math>-й порядковой статистикой. Порядковые статистики и функции от них широко используются в вероятностно-статистических методах принятия решений, в эконометрике и в других прикладных областях <ref name="orlov_ekon"/>. Выборочная медиана <math>\tilde x</math> — результат наблюдения, занимающий центральное место в вариационном ряду, построенном по выборке с нечётным числом элементов, или полусумма двух результатов наблюдений, занимающих два центральных места в вариационном ряду, построенном по выборке с чётным числом элементов. Таким образом, если объём выборки <math>n</math> — нечётное число, <math>n = 2k + 1</math>, то медиана <math>\tilde x = x(k + 1)</math>, если же <math>n</math> — чётное число, <math>n = 2k</math>, то медиана <math>\tilde x = \frac{x(k) + x(k + 1)}2</math>, где <math>x(k)</math> и <math>x(k + 1)</math> — порядковые статистики. В качестве выборочных показателей рассеивания результатов наблюдений чаще всего используют выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение и размах выборки. Согласно <ref name="tab_mat_stat"/>, выборочная дисперсия <math>s^2</math> — это сумма квадратов отклонений выборочных результатов наблюдений от их среднего арифметического, делённая на объём выборки: : <math>s^2 = \frac1n \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} (x_i - \overline x)^2</math>. Выборочное среднеквадратичное отклонение <math>s</math> — неотрицательный квадратный корень из дисперсии, то есть <math>s = +\sqrt{s^2}</math>. В некоторых литературных источниках выборочной дисперсией называют другую величину: : <math>s_0^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} (x_i - \overline x)^2</math>. Она отличается от <math>s^2</math> постоянным множителем: : <math>s^2 = \left( 1 - \frac1n \right) s_0^2</math>. Соответственно выборочным среднеквадратичным отклонением в этих литературных источниках называют величину <math>s_0 = +\sqrt{s_0^2}</math>. Тогда, очевидно, : <math>s = \sqrt{1 - \frac1n} s_0</math>. Различие в определениях приводит к различию в алгоритмах расчётов, правилах принятия решений и соответствующих таблицах. Поэтому при использовании тех или иных нормативно-технических и инструктивно-методических материалов, программных продуктов, таблиц, следует обращать внимание на способ определения выборочных характеристик. Выбор <math>s_0^2</math>, а не <math>s^2</math>, объясняется тем, что : <math>M(s_0^2) = D(X = \sigma^2)</math>, где <math>X</math> — случайная величина, имеющая такое же распределение, как и результаты наблюдений. В терминах теории статистического оценивания это означает, что <math>s_0^2</math> — несмещённая оценка дисперсии (см. ниже). В то же время статистика <math>s^2</math> не является несмещённой оценкой дисперсии результатов наблюдений, поскольку : <math>M(s^2) = \left( 1 - \frac1n \right) \sigma^2</math>. Однако у <math>s^2</math> есть другое свойство, оправдывающее использование этой статистики в качестве выборочного показателя рассеивания. Для известных результатов наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> рассмотрим случайную величину <math>Y</math> с распределением вероятностей : <math>P(Y = x_i) = \frac1n,</math> <math>i = 1,2, \dots,n</math> и <math>P(Y = x) = 0</math> для всех прочих <math>x</math>. Это распределение вероятностей называется эмпирическим. Тогда функция распределения <math>Y</math> — это эмпирическая функция распределения, построенная по результатам наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины <math>Y</math>: : <math>M(Y) = \overline x</math>, <math>D(Y) = s^2</math>. Второе из этих равенств и является основанием для использования <math>s^2</math> в качестве выборочного показателя рассеивания. Отметим, что математические ожидания выборочных среднеквадратичных отклонений <math>M(s)</math> и <math>M(s_0)</math>, вообще говоря, не равняются теоретическому среднеквадратичному отклонению <math>\sigma</math>. Например, если <math>X</math> имеет нормальное распределение, объём выборки <math>n = 3</math>, то : <math>M(s) = 0{,}724</math>, <math>\sigma M(s_0) = 0{,}887\sigma</math>. Кроме перечисленных выше статистических характеристик, в качестве выборочного показателя рассеивания используют размах <math>R</math> — разность между <math>n</math>-й и первой порядковыми статистиками в выборке объёма <math>n</math>, то есть разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке: <math>R = x(n) - x(1)</math>. В ряде вероятностно-статистических методов применяют и иные показатели рассеивания. В частности, в методах статистического регулирования процессов используют средний размах — среднее арифметическое размахов, полученных в определённом количестве выборок одинакового объёма. Популярно и межквартильное расстояние, то есть расстояние между выборочными квартилями <math>x \Big( [0{,}75n] \Big)</math> и <math>x \Big( [0{,}25n] \Big)</math> порядка 0,75 и 0,25 соответственно, где <math>[0{,}75n]</math> — целая часть числа <math>0{,}75n</math>, а <math>[0{,}25n]</math> — целая часть числа <math>0{,}25n</math>. === Основные понятия, используемые при оценивании === Оценивание — это определение приближённого значения неизвестной характеристики или параметра распределения (генеральной совокупности), иной оцениваемой составляющей математической модели реального (экономического, технического и других) явления или процесса по результатам наблюдений. Иногда формулируют более коротко: оценивание — это определение приближённого значения неизвестного параметра генеральной совокупности по результатам наблюдений. При этом параметром генеральной совокупности может быть либо число, либо набор чисел (вектор), либо функция, либо множество или иной объект нечисловой природы. Например, по результатам наблюдений, распределённых согласно биномиальному закону, оценивают число — параметр <math>p</math> (вероятность успеха). По результатам наблюдений, имеющих гамма-распределение, оценивают набор из трёх чисел — параметры формы <math>a</math>, масштаба <math>b</math> и сдвига <math>c</math>. Способ оценивания функции распределения даётся теоремами Гливенко и Колмогорова. Оценивают также плотности вероятности, функции, выражающие зависимости между переменными, включенными в вероятностные модели экономических, управленческих или технологических процессов, и так далее. Целью оценивания может быть нахождение упорядочения инвестиционных проектов по экономической эффективности или технических изделий (объектов) по качеству, формулировка правил технической или медицинской диагностики и так далее. (Упорядочения в математической статистике называют также ранжировками. Это — один из видов объектов нечисловой природы.) Оценивание проводят с помощью оценок — статистик, являющихся основой для оценивания неизвестного параметра распределения. В ряде литературных источников термин «оценка» встречается в качестве синонима термина «оценивание». Употреблять одно и то же слово для обозначения двух разных понятий нецелесообразно: оценивание — это действие, а оценка — статистика (функция от результатов наблюдений), используемая в процессе указанного действия или являющаяся его результатом. Оценивание бывает двух видов — точечное оценивание и оценивание с помощью доверительной области. ==== Точечное оценивание ==== Точечное оценивание — способ оценивания, заключающийся в том, что значение оценки принимается как неизвестное значение параметра распределения. '''Пример 25.''' Пусть результаты наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> рассматривают в вероятностной модели как случайную выборку из нормального распределения <math>N(m, \sigma)</math>. То есть считают, что результаты наблюдений моделируются как реализации <math>n</math> независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих функцию нормального распределения <math>N(m, \sigma)</math> с некоторыми математическим ожиданием <math>m</math> и среднеквадратичным отклонением <math>\sigma</math>, неизвестными статистику. Требуется оценить параметры <math>m</math> и <math>\sigma</math> (или <math>\sigma^2</math>) по результатам наблюдений. Оценки обозначим <math>m^*</math> и <math>(\sigma^2)^*</math> соответственно. Обычно в качестве оценки <math>m^*</math> математического ожидания <math>m</math> используют выборочное среднее арифметическое <math>\overline x</math>, а в качестве оценки <math>(\sigma^2)^*</math> дисперсии <math>\sigma^2</math> используют выборочную дисперсию <math>s^2</math>, то есть : <math>m^* = \overline x</math>, <math>(\sigma^2)^* = s^2</math>. Для оценивания математического ожидания m могут использоваться и другие статистики, например, выборочная медиана <math>\tilde x</math>, полусумма минимального и максимального членов вариационного ряда : <math>m^{**} = \frac{x(1) + x(n)}2</math> и другие. Для оценивания дисперсии <math>\sigma^2</math> также имеется ряд оценок, в частности, <math>s_0^2</math> (см. выше) и оценка, основанная на размахе <math>R</math>, имеющая вид : <math>(\sigma^2)^{**} = \Big( a(n)R \Big)^2</math>, где коэффициенты <math>a(n)</math> берут из специальных таблиц <ref name="tab_mat_stat"/>. Эти коэффициенты подобраны так, чтобы для выборок из нормального распределения : <math>M \Big( a(n)R \Big) = \sigma</math>. Наличие нескольких методов оценивания одних и тех же параметров приводит к необходимости выбора между этими методами. ===== Состоятельность, несмещённость и эффективность оценок ===== Как сравнивать методы оценивания между собой? Сравнение проводят на основе таких показателей качества методов оценивания, как состоятельность, несмещённость, эффективность и других. Рассмотрим оценку <math>\theta_n</math> числового параметра <math>\theta</math>, определённую при <math>n = 1, 2, \dots</math>. Оценка <math>\theta_n</math> называется ''состоятельной'', если она сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра <math>\theta</math> при безграничном возрастании объёма выборки. Выразим сказанное более подробно. Статистика <math>\theta_n</math> является состоятельной оценкой параметра <math>\theta</math> тогда и только тогда, когда для любого положительного числа <math>\varepsilon</math> справедливо предельное соотношение : <math>\lim_{n \to \infty} P \{|\theta_n - \theta| > \varepsilon\} = 0</math>. '''Пример 26.''' Из закона больши́х чисел следует, что <math>\theta_n = \overline x</math> является состоятельной оценкой <math>\theta = M(X)</math> (в приведённой выше теореме Чебышёва предполагалось существование дисперсии <math>D(X)</math>; однако, как доказал А. Я. Хинчин <ref name="gned_kurs"/>, достаточно выполнения более слабого условия — существования математического ожидания <math>M(X)</math>). '''Пример 27.''' Все указанные выше оценки параметров нормального распределения являются состоятельными. Вообще, все (за редчайшими исключениями) оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются состоятельными. '''Пример 28.''' Так, согласно теореме Гливенко, эмпирическая функция распределения <math>F_n(x)</math> является состоятельной оценкой функции распределения результатов наблюдений <math>F(x)</math>. При разработке новых методов оценивания следует в первую очередь проверять состоятельность предлагаемых методов. Второе важное свойство оценок — ''несмещённость''. Несмещённая оценка <math>\theta_n</math> — это оценка параметра <math>\theta</math>, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра: <math>M(\theta_n) = \theta</math>. '''Пример 29.''' Из приведённых выше результатов следует, что <math>\overline x</math> и <math>s_0^2</math> являются несмещёнными оценками параметров <math>m</math> и <math>\sigma^2</math> нормального распределения. Поскольку <math>M(\tilde x) = M(m^{**}) = m</math>, то выборочная медиана <math>\tilde x</math> и полусумма крайних членов вариационного ряда <math>m^{**}</math> — также несмещённые оценки математического ожидания <math>m</math> нормального распределения. Однако : <math>M(s^2) \ne \sigma^2</math>, <math>M[(\sigma^2)^{**}] \ne \sigma^2</math>, поэтому оценки <math>s^2</math> и <math>(\sigma^2)^{**}</math> не являются несмещёнными оценками дисперсии <math>\sigma^2</math> нормального распределения. Оценки, для которых соотношение <math>M(\theta_n) = \theta</math> неверно, называются смещёнными. При этом разность между математическим ожиданием оценки <math>\theta_n</math> и оцениваемым параметром <math>\theta</math>, то есть <math>M(\theta_n) - \theta</math>, называется смещением оценки. <div id="Пример 30"> '''Пример 30.''' Для оценки <math>s^2</math>, как следует из сказанного выше, смещение равно : <math>M(s^2) - \sigma^2 = -\frac{\sigma^2}{n}</math>. Смещение оценки <math>s^2</math> стремится к нулю при <math>n \to \infty</math>. </div> Оценка, для которой смещение стремится к нулю, когда объём выборки стремится к бесконечности, называется ''асимптотически несмещённой''. В [[#Пример 30|примере 30]] показано, что оценка <math>s^2</math> является асимптотически несмещённой. Практически все оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются либо несмещёнными, либо асимптотически несмещёнными. Для несмещённых оценок показателем точности оценки служит дисперсия — чем дисперсия меньше, тем оценка лучше. Для смещённых оценок показателем точности служит математическое ожидание квадрата оценки <math>M(\theta_n - \Theta)^2</math>. Как следует из основных свойств математического ожидания и дисперсии,{{metka|35}} : <math>d_n(\theta_n) = M \left( (\theta_n - \theta)^2 \right) = D(\theta_n) + \Big( M(\theta_n) - \theta \Big)^2</math>, то есть математическое ожидание квадрата ошибки складывается из дисперсии оценки и квадрата её смещения. Для подавляющего большинства оценок параметров, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений, дисперсия имеет порядок <math>\frac1n</math>, а смещение — не более чем <math>\frac1n</math>, где <math>n</math> — объём выборки. Для таких оценок при больши́х <math>n</math> второе слагаемое в правой части [[#metka_35|(35)]] пренебрежимо мало по сравнению с первым, и для них справедливо приближённое равенство{{metka|36}} : <math>d_n(\theta_n) = M \left( (\theta_n-\theta)^2 \right) \approx D(\theta_n) \approx \frac{c}{n}</math>, <math>c = c(\theta_n, \Theta)</math>, где <math>c</math> — число, определяемое методом вычисления оценок <math>\Theta_n</math> и истинным значением оцениваемого параметра <math>\theta</math>. С дисперсией оценки связано третье важное свойство метода оценивания — ''эффективность''. Эффективная оценка — это несмещённая оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещённых оценок данного параметра. Доказано <ref name="mat_met_stat"/>, что <math>\overline x</math> и <math>s_0^2</math> являются эффективными оценками параметров <math>m</math> и <math>\sigma^2</math> нормального распределения. В то же время для выборочной медианы <math>\tilde x</math> справедливо предельное соотношение : <math>\lim_{n \to \infty} \frac{D(\overline x)}{D(\tilde x)} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637</math>. Другими словами, эффективность выборочной медианы, то есть отношение дисперсии эффективной оценки <math>\overline x</math> параметра <math>m</math> к дисперсии несмещённой оценки <math>\tilde x</math> этого параметра при больши́х <math>n</math> близка к 0,637. Именно из-за сравнительно низкой эффективности выборочной медианы в качестве оценки математического ожидания нормального распределения обычно используют выборочное среднее арифметическое. Понятие эффективности вводится для несмещённых оценок, для которых <math>M(\theta_n) = \theta</math> для всех возможных значений параметра <math>\theta</math>. Если не требовать несмещённости, то можно указать оценки, при некоторых <math>\theta</math> имеющие меньшую дисперсию и средний квадрат ошибки, чем эффективные. '''Пример 31.''' Рассмотрим «оценку» математического ожидания <math>m_1 \equiv 0</math>. Тогда <math>D(m_1) = 0</math>, то есть всегда меньше дисперсии <math>D(\overline x)</math> эффективной оценки <math>\overline x</math>. Математическое ожидание среднего квадрата ошибки <math>d_n(m_1) = m^2</math>, то есть при <math>|m| < \frac{\sigma}{\sqrt n}</math> имеем <math>d_n(m_1) < d_n(\overline x)</math>. Ясно, однако, что статистику <math>m_1 \equiv 0</math> бессмысленно рассматривать в качестве оценки математического ожидания <math>m</math>. '''Пример 32.''' Более интересный пример рассмотрен американским математиком Дж. Ходжесом: : <math>T_n = \left\{\begin{matrix} \overline x, & |\overline x| > n^{-\frac14},\\ 0{,}5 \overline x, & |\overline x| \leqslant n^{-\frac14}.\end{matrix}\right.</math> Ясно, что <math>T_n</math> — состоятельная, асимптотически несмещённая оценка математического ожидания <math>m</math>, при этом, как нетрудно вычислить, : <math>\lim_{n \to \infty} nd_n(T_n) = \left\{\begin{matrix} \sigma^2, & m \ne 0, \\ \frac{\sigma^2}{4}, & m = 0. \end{matrix}\right.</math> Последняя формула показывает, что при <math>m \ne 0</math> оценка <math>T_n</math> не хуже <math>\overline x</math> (при сравнении по среднему квадрату ошибки <math>d_n</math>), а при <math>m = 0</math> — в четыре раза лучше. Подавляющее большинство оценок <math>\theta_n</math>, используемых в вероятностно-статистических методах, являются асимптотически нормальными, то есть для них справедливы предельные соотношения: : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \frac{\theta_n - M(\theta_n)}{\sqrt{D(\theta_n)}} < x\right\} = \Phi(x)</math>. для любого <math>x</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Это означает, что для больши́х объёмов выборок (практически — несколько десятков или сотен наблюдений) распределения оценок полностью описываются их математическими ожиданиями и дисперсиями, а качество оценок — значениями средних квадратов ошибок <math>d_n(\theta_n)</math>. ===== Наилучшие асимптотически нормальные оценки ===== Наилучшие асимптотически нормальные оценки, сокращенно НАН-оценки, — это оценки, для которых средний квадрат ошибки <math>d_n(\theta_n)</math> принимает при больши́х объёмах выборки наименьшее возможное значение, то есть величина <math>c = c(\theta_n, \theta)</math> в формуле [[#metka_36|(36)]] минимальна. Ряд видов оценок — так называемые одношаговые оценки и оценки максимального правдоподобия — являются НАН-оценками, именно они обычно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. ==== Доверительное оценивание ==== Какова точность оценки параметра? В каких границах он может лежать? В научных публикациях и учебной литературе, в нормативно-технической и инструктивно-методической документации, в таблицах и программных продуктах наряду с алгоритмами расчётов точечных оценок даются правила нахождения доверительных границ. Они и указывают точность точечной оценки. При этом используются такие термины, как доверительная вероятность, доверительный интервал. Если речь идёт об оценивании нескольких числовых параметров, или же функции, упорядочения и тому подобного, то говорят об оценивании с помощью доверительной области. ''Доверительная область'' — это область в пространстве параметров, в которую с заданной вероятностью входит неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. «Заданная вероятность» называется доверительной вероятностью и обычно обозначается <math>\gamma</math>. Пусть <math>\Theta</math> — пространство параметров. Рассмотрим статистику <math>\Theta_1 = \Theta_1(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> — функцию от результатов наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>, значениями которой являются подмножества пространства параметров <math>\Theta</math>. Так как результаты наблюдений — случайные величины, то <math>\Theta_1</math> — также случайная величина, значения которой — подмножества множества <math>\Theta</math>, то есть <math>\Theta_1</math> — случайное множество. Напомним, что множество — один из видов объектов нечисловой природы, случайные множества изучают в теории вероятностей и статистике объектов нечисловой природы. В ряде литературных источников, к настоящему времени во многом устаревших, под случайными величинами понимают только те из них, которые в качестве значений принимают действительные числа. Согласно справочнику Ю. В. Прохорова и Ю. А. Розанова <ref name="prox_roz">Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы.) – М.: Наука, 1973. — 496 с.</ref> случайные величины могут принимать значения из любого множества. Так, случайные вектора, случайные функции, случайные множества, случайные ранжировки (упорядочения) — это отдельные виды случайных величин. Используется и иная терминология: термин «случайная величина» сохраняется только за числовыми функциями, определёнными на пространстве элементарных событий, а в случае иных областей значений используется термин «случайный элемент». (Замечание для математиков: все рассматриваемые функции, определённые на пространстве элементарных событий, предполагаются измеримыми.) Статистика <math>\Theta_1</math> называется ''доверительной областью'', соответствующей доверительной вероятности <math>\gamma</math>, если{{metka|37}} : <math>P \{ \theta \in \Theta_1(x_1, x_2, \dots, x_n) \} = \gamma</math>. Ясно, что этому условию удовлетворяет, как правило, не одна, а много доверительных областей. Из них выбирают для практического применения какую-либо одну, исходя из дополнительных соображений, например, из соображений симметрии или минимизируя объём доверительной области, то есть меру множества <math>\Theta_1</math>. При оценке одного числового параметра в качестве доверительных областей обычно применяют доверительные интервалы (в том числе лучи), а не иные типа подмножеств прямой. Более того, для многих двухпараметрических и трёхпараметрических распределений (нормальных, логарифмически нормальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений и других) обычно используют точечные оценки и построенные на их основе доверительные границы для каждого из двух или трёх параметров отдельно. Это делают для удобства пользования результатами расчётов: доверительные интервалы легче применять, чем фигуры на плоскости или тела в трёхмерном пространстве. Как следует из сказанного выше, ''доверительный интервал'' — это интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. Границы доверительного интервала называют ''доверительными границами''. Доверительная вероятность <math>\gamma</math> — вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным. Оцениванием с помощью доверительного интервала называют способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала. Для числового параметра <math>\theta</math> рассматривают верхнюю доверительную границу <math>\theta_B</math>, нижнюю доверительную границу <math>\theta_H</math> и двусторонние доверительные границы — верхнюю <math>\theta_{1B}</math> и нижнюю <math>\theta_{1H}</math>. Все четыре доверительные границы — функции от результатов наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> и доверительной вероятности <math>\gamma</math>. Верхняя доверительная граница <math>\theta_B</math> — случайная величина <math>\theta_B = \theta_B(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma)</math>, для которой <math>P(\theta \leqslant \theta_B) = \gamma</math>, где <math>\theta</math> — истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид <math>(-\infty; \theta_B]</math>. Нижняя доверительная граница <math>\theta_H</math> — случайная величина <math>\theta_H = \theta_H(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma)</math>, для которой <math>P(\theta \geqslant \theta_H) = \gamma</math>, где <math>\theta</math> — истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид <math>[\theta_H; + \infty)</math>. Двусторонние доверительные границы — верхняя <math>\theta_{1B}</math> и нижняя <math>\theta_{1H}</math> — это случайные величины <math>\theta_{1B} = \theta_{1B}(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma)</math> и <math>\theta_{1H} = \theta_{1H}(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma)</math> такие, что <math>P(\theta_{1H} \leqslant \theta \leqslant \theta_{1B}) = \gamma</math>, где <math>\theta</math> — истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид <math>[\theta_{1H}; \theta_{1B}]</math>. Вероятности, связанные с доверительными границами, можно записать в виде частных случаев формулы [[#metka_37|(37)]]: : <math>P \{ \theta \in (-\infty; \theta_B] \} = \gamma</math>, <math>P \{\theta \in[\theta_H; +\infty) \} = \gamma</math>, <math>P\{ \theta \in [\theta_H; \theta_B] \} = \gamma</math>. В нормативно-технической и инструктивно-методической документации, научной и учебной литературе используют два типа правил определения доверительных границ — построенных на основе точного распределения и построенных на основе асимптотического распределения некоторой точечной оценки <math>\theta_n</math> параметра <math>\theta</math>. Рассмотрим примеры. <div id="Пример 33"> '''Пример 33.''' Пусть <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — выборка из нормального закона <math>N(m, \sigma)</math>, параметры <math>m</math> и <math>\sigma</math> неизвестны. Укажем доверительные границы для <math>m</math>. Известно <ref name="mat_met_stat"/>, что случайная величина : <math>Y = \sqrt n \frac{\overline x - m}{\sigma_0}</math> имеет распределение Стьюдента с <math>(n - 1)</math> степенью свободы, где <math>\overline x</math> — выборочное среднее арифметическое и <math>\sigma_0</math> — выборочное среднеквадратичное отклонение. Пусть <math>t_\gamma(n - 1)</math> и <math>t_{1 - \gamma}(n - 1)</math> — квантили указанного распределения порядка <math>\gamma</math> и <math>1 - \gamma</math> соответственно. Тогда : <math>P \{Y \leqslant t_\gamma(n - 1) \} = \gamma,</math> <math>P \{Y \geqslant t_{1 - \gamma}(n - 1) \} = \gamma</math>. Следовательно, : <math>P \{ m \geqslant \overline x - t_\gamma(n - 1) \frac{\sigma_0}{\sqrt n} \} = \gamma</math>, то есть в качестве нижней доверительной границы <math>\theta_H</math>, соответствующей доверительной вероятности <math>\gamma</math>, следует взять{{metka|38}} : <math>\theta_H(x_1, x_2, \dots,x_n; \gamma) = \overline x - t_\gamma(n - 1) \frac{\sigma_0}{\sqrt n}</math>. Аналогично получаем, что : <math>P \{m \leqslant \overline x - t_{1 - \gamma} (n - 1) \frac{\sigma_0}{\sqrt n} \} = \gamma</math>. Поскольку распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, то : <math>t_{1 - \gamma}(n - 1) = -t_{1 - \gamma}(n - 1) t_\gamma(n - 1)</math>. Следовательно, в качестве верхней доверительной границы <math>\gamma_B</math> для <math>m</math>, соответствующей доверительной вероятности <math>\gamma</math>, следует взять{{metka|39}} : <math>\theta_B(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma) = \overline x + t_\gamma(n - 1)\frac{\sigma_0}{\sqrt n}</math>. Как построить двусторонние доверительные границы? Положим : <math>\theta_{1H} = \theta_H(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma_1)</math>, <math>\theta_{1B} = \theta_B(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma_2)</math>, где <math>\theta_{1H}</math> и <math>\theta_{1B}</math> заданы формулами [[#metka_38|(38)]] и [[#metka_39|(39)]] соответственно. Поскольку неравенство <math>\theta_{1H} \leqslant m \leqslant \theta_{1B}</math> выполнено тогда и только тогда, когда : <math>t_{\gamma_{2}}(n - 1) \geqslant Y \geqslant t_{1 - \gamma_1}(n - 1)</math>, то : <math>P \{ \theta_{1H} \leqslant m \leqslant \theta_{1B} \} = \gamma_1 + \gamma_2 - 1</math>, (в предположении, что <math>\gamma_1 > 0{,}5</math>; <math>\gamma_2 > 0{,}5</math>). Следовательно, если <math>\gamma = \gamma_1 + \gamma_2 - 1</math>, то <math>\theta_{1H}</math> и <math>\theta_{1B}</math> — двусторонние доверительные границы для <math>m</math>, соответствующие доверительной вероятности <math>\gamma</math>. Обычно полагают <math>\gamma_1 = \gamma_2</math>, то есть в качестве двусторонних доверительных границ <math>\theta_{1H}</math> и <math>\theta_{1B}</math>, соответствующих доверительной вероятности <math>\gamma</math>, используют односторонние доверительные границы <math>\theta_H</math> и <math>\theta_B</math>, соответствующие доверительной вероятности <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math>. Другой вид правил построения доверительных границ для параметра <math>\theta</math> основан на асимптотической нормальности некоторой точечной оценки <math>\theta_n</math> этого параметра. В вероятностно-статистических методах принятия решений используют, как уже́ отмечалось, несмещённые или асимптотически несмещённые оценки <math>\theta_n</math>, для которых смещение либо равно нулю, либо при больш́их объёмах выборки пренебрежимо мало по сравнению со среднеквадратичным отклонением оценки <math>\theta_n</math>. Для таких оценок при всех <math>x</math> : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \frac{\theta_n - \theta}{\sqrt{D(\theta_n)}} \leqslant x \right\} = \Phi(x)</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция нормального распределения <math>N(0; 1)</math>. Пусть <math>u_\gamma</math> — квантиль порядка <math>\gamma</math> распределения <math>N(0; 1)</math>. Тогда{{metka|40}} : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \frac{\theta_n - \theta}{\sqrt{D(\theta_n)}} \leqslant u_\gamma \right\} = \gamma</math>. Поскольку неравенство : <math>\frac{\theta_n - \theta}{\sqrt{D(\theta_n)}} \leqslant u_\gamma</math> равносильно неравенству : <math>\theta_n - u_\gamma \sqrt{D(\theta_n)} \leqslant \theta</math>, то в качестве <math>\theta_H</math> можно было бы взять левую часть последнего неравенства. Однако точное значение дисперсии <math>D(\theta_n)</math> обычно неизвестно. Зато часто удаётся доказать, что дисперсия оценки имеет вид : <math>D(\theta_n) = \frac{h(\theta)}{n}</math> (с точностью до пренебрежимо малых при росте <math>n</math> слагаемых), где <math>h(\theta)</math> — некоторая функция от неизвестного параметра <math>\theta</math>. Справедлива теорема о наследовании сходимости (<ref name="orlov_ust">Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. – М.: Наука, 1979. — 296 с.</ref>, § 2.4), согласно которой при подстановке в <math>h(\theta)</math> оценки <math>\theta_n</math> вместо <math>\theta</math> соотношение [[#metka_40|(40)]] остается справедливым, то есть : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \theta_n - u_\gamma \frac{\sqrt{h(\theta_n)}}{\sqrt n}\leqslant \theta \right\} = \gamma</math>. Следовательно, в качестве приближённой нижней доверительной границы следует взять : <math>\theta_H = \theta_n - u_\gamma\frac{\sqrt{h(\theta_n}}{\sqrt n}</math>, а в качестве приближённой верхней доверительной границы — : <math>\theta_B = \theta_n + u_\gamma \frac{\sqrt{h(\theta_n)}}{\sqrt n}</math>. С ростом объёма выборки качество приближённых доверительных границ улучшается, так как вероятности событий <math>\{\theta \geqslant \theta_H \}</math> и <math>\{\theta \leqslant \theta_B \}</math> стремятся к <math>\gamma</math>. Для построения двусторонних доверительных границ поступают аналогично правилу, указанному выше в [[#Пример 33|примере 33]] для интервального оценивания параметра <math>m</math> нормального распределения. А именно, используют односторонние доверительные границы, соответствующие доверительной вероятности <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math>. При обработке экономических, управленческих или технических статистических данных обычно используют значение доверительной вероятности <math>\gamma = 0{,}95</math>. Применяют также значения <math>\gamma = 0{,}99</math> или <math>\gamma = 0{,}90</math>. Иногда встречаются значения <math>\gamma = 0{,}80</math>, <math>\gamma = 0{,}975</math>, <math>\gamma = 0{,}98</math> и другие. ==== Доверительное оценивание для дискретных распределений ==== Для дискретных распределений, таких как биномиальное, гипергеометрическое или распределение Пуассона (а также распределения статистики Колмогорова : <math>D_n = \sqrt n\, \sup_n |F_n(x) - F_0(x)|</math> и других непараметрических статистик), функции распределения имеют скачки. Поэтому для заданного заранее значения <math>\gamma</math>, например, <math>\gamma = 0{,}95</math>, нельзя указать доверительные границы, поскольку уравнения, с помощью которых вводятся доверительные границы, не имеют ни одного решения. Так, рассмотрим биномиальное распределение : <math>P(Y = y | p, n) = {n \choose y} p^y (1 - p)^{n - y}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots, n</math>, где <math>Y</math> — число осуществлений события, <math>n</math> — объём выборки. Для него нельзя указать статистику <math>K(Y, n)</math> такую, что : <math>P \{p \leqslant K(Y, n) \} = \gamma</math>, поскольку <math>K(Y, n)</math> — функция от <math>Y</math> и может принимать не больше значений, чем принимает <math>Y</math>, то есть <math>n + 1</math>, а для <math>\gamma</math> имеется бесконечно много возможных значений — столько, сколько точек на отрезке. Сказанное означает, что верхней доверительной границы в случае биномиального распределения не существует. Для дискретных распределений приходится изменить определения доверительных границ. Покажем изменения на примере биномиального распределения. Так, в качестве верхней доверительной границы <math>\theta_B</math> используют наименьшее <math>K(Y, n)</math> такое, что : <math>P \{ p \leqslant K(Y, n) \} \geqslant \gamma</math>. Аналогичным образом поступают для других доверительных границ и других распределений. Необходимо иметь в виду, что при небольших <math>n</math> и <math>p</math> истинная доверительная вероятность <math>P \{p \leqslant K(Y, n) \}</math> может существенно отличаться от номинальной <math>\gamma</math>, как это подробно продемонстрировано в работе <ref name="ur_znach">Камень Ю. Э., Камень Я. Э., Орлов А. И. Реальные и номинальные уровни значимости в задачах проверки статистических гипотез. — Журнал «Заводская лаборатория», 1986. Т. 52. № 12. С. 55—57.</ref>. Поэтому наряду с величинами типа <math>K(Y, n)</math> (то есть доверительных границ) при разработке таблиц и компьютерных программ необходимо предусматривать возможность получения и величин типа <math>P \{p \leqslant K(Y, n) \}</math> (то есть достигаемых доверительных вероятностей). === Основные понятия, используемые при проверке гипотез === Статистическая гипотеза — любое предположение, касающееся неизвестного распределения случайных величин (элементов). Приведём формулировки нескольких статистических гипотез: <div id="Список гипотез"> # <span id="Гипотеза 1">Результаты наблюдений имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием.</span> # <span id="Гипотеза 2">Результаты наблюдений имеют функцию распределения <math>N(0, 1)</math>.</span> # <span id="Гипотеза 3">Результаты наблюдений имеют нормальное распределение.</span> # <span id="Гипотеза 4">Результаты наблюдений в двух независимых выборках имеют одно и то же нормальное распределение.</span> # <span id="Гипотеза 5">Результаты наблюдений в двух независимых выборках имеют одно и то же распределение.</span> </div> Различают нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза — гипотеза, подлежащая проверке. Альтернативная гипотеза — каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой. Нулевую гипотезу обозначают <math>H_0</math>, альтернативную — <math>H_1</math> (от англ. Hypothesis — «гипотеза»). Выбор тех или иных нулевых или альтернативных гипотез определяется стоящими перед менеджером, экономистом, инженером, исследователем прикладными задачами. Рассмотрим примеры. <div id="Пример 34"> '''Пример 34.''' Пусть нулевая гипотеза — [[#Гипотеза 2|гипотеза 2]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а альтернативная — [[#Гипотеза 1|гипотеза 1]]. Сказанное означает, что реальная ситуация описывается вероятностной моделью, согласно которой результаты наблюдений рассматриваются как реализации независимых одинаково распределённых случайных величин с функцией распределения <math>N(0, \sigma)</math>, где параметр <math>\sigma</math> неизвестен статистику. В рамках этой модели нулевую гипотезу записывают так: : <math>H_0{:}\; \sigma = 1</math>, а альтернативную так: : <math>H_1{:}\; \sigma \ne 1</math>. </div> <div id="Пример 35"> '''Пример 35.''' Пусть нулевая гипотеза — по-прежнему [[#Гипотеза 2|гипотеза 2]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а альтернативная — [[#Гипотеза 3|гипотеза 3]] из того же списка. Тогда в вероятностной модели управленческой, экономической или производственной ситуации предполагается, что результаты наблюдений образуют выборку из нормального распределения <math>N(m, \sigma)</math> при некоторых значениях <math>m</math> и <math>\sigma</math>. Гипотезы записываются так: : <math>H_0{:}\; m = 0,\; \sigma = 1</math> (оба параметра принимают фиксированные значения); : <math>H_1{:}\; m \ne 0</math> и/или <math>\sigma \ne 1</math> (то есть либо <math>m \ne 0</math>, либо <math>\sigma \ne 1</math>, либо и <math>m \ne 0</math>, и <math>\sigma \ne 1</math>). </div> <div id="Пример 36"> '''Пример 36.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 1|гипотеза 1]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а <math>H_1</math> — [[#Гипотеза 3|гипотеза 3]] из того же списка. Тогда вероятностная модель — та же, что в примере [[#Пример 35|35]], : <math>H_0{:}\; m = 0</math>, <math>\sigma</math> произвольно;<br/> <math>H_1{:}\; m \ne 0</math>, <math>\sigma</math> произвольно. </div> <div id="Пример 37"> '''Пример 37.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 2|гипотеза 2]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а согласно <math>H_1</math> результаты наблюдений имеют функцию распределения <math>F(x)</math>, не совпадающую с функцией стандартного нормального распределения <math>\Phi(x)</math>. Тогда : <math>H_0{:}\; F(x) = \Phi(x)</math> при всех <math>x</math> (записывается как <math>F(x) \equiv \Phi(x)</math>); : <math>H_1{:}\; F(x_0) \ne \Phi(x_0)</math> при некотором <math>x_0</math> (то есть неверно, что <math>F(x) \equiv \Phi(x)</math>). </div> ''Примечание.'' Здесь <math>\equiv</math> — знак тождественного совпадения функций (то есть совпадения при всех возможных значениях аргумента <math>x</math>). <div id="Пример 38"> '''Пример 38.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 3|гипотеза 3]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а согласно <math>H_1</math> результаты наблюдений имеют функцию распределения <math>F(x)</math>, не являющуюся нормальной. Тогда <math>H_0{:}\; F(x) \equiv \Phi \left( \frac{x - m}{\sigma} \right)</math> при некоторых <math>m, \sigma</math>; <math>H_1{:}</math> для любых <math>m, \sigma</math> найдётся <math>x_0 = x_0(m, \sigma)</math> такое, что <math>F(x_0) \ne \Phi \left( \frac{x_0 - m}{\sigma} \right)</math>. </div> <div id="Пример 39"> '''Пример 39.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 4|гипотеза 4]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], согласно вероятностной модели две выборки извлечены из совокупностей с функциями распределения <math>F(x)</math> и <math>G(x)</math>, являющихся нормальными с параметрами <math>m_1, \sigma_1</math> и <math>m_2, \sigma_2</math> соответственно, а <math>H_1</math> — отрицание <math>H_0</math>. Тогда : <math>H_0{:}\; m_1 = m_2,\; \sigma_1 = \sigma_2</math>, причём <math>m_1</math> и <math>\sigma_1</math> произвольны;<br /> <math>H_1{:}\; m_1 \ne m_2</math> и/или <math>\sigma_1 \ne \sigma_2</math>. : </div> <div id="Пример 40"> '''Пример 40.''' Пусть в условиях [[#Пример 39|примера 39]] дополнительно известно, что <math>\sigma_1 = \sigma_2</math>. Тогда <math>H_0{:}\; m_1 = m_2,\; \sigma > 0</math>, причём <math>m_1</math> и <math>\sigma</math> произвольны; <math>H_1{:}\; m_1 \ne m_2, \sigma > 0</math>. </div> <div id="Пример 41"> '''Пример 41.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 5|гипотеза 5]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], согласно вероятностной модели две выборки извлечены из совокупностей с функциями распределения <math>F(x)</math> и <math>G(x)</math> соответственно, а <math>H_1</math> — отрицание <math>H_0</math>. Тогда <math>H_0{:}\; F(x) \equiv G(x)</math>, где <math>F(x)</math> — произвольная функция распределения; <math>H_1{:}\; F(x)</math> и <math>G(x)</math> — произвольные функции распределения, причём <math>F(x) \ne G(x)</math> при некоторых <math>x</math>. </div> <div id="Пример 42"> '''Пример 42.''' Пусть в условиях [[#Пример 40|примера 40]] дополнительно предполагается, что функции распределения <math>F(x)</math> и <math>G(x)</math> отличаются только сдвигом, то есть <math>G(x) = F(x - a)</math> при некотором <math>a</math>. Тогда <math>H_0{:}\; F(x) \equiv G(x)</math>, где <math>F(x)</math> — произвольная функция распределения; <math>H_1{:}\; G(x) = F(x - a),\; a \ne 0</math>, где <math>F(x)</math> — произвольная функция распределения. </div> <div id="Пример 43"> '''Пример 43.''' Пусть в условиях [[#Пример 37|примера 37]] дополнительно известно, что согласно вероятностной модели ситуации <math>F(x)</math> — функция нормального распределения с единичной дисперсией, то есть имеет вид <math>N(m, 1)</math>. Тогда : <math>H_0{:}\; m = 0</math> (то есть <math>F(x) = \Phi(x)</math> при всех <math>x</math>, записывается как <math>F(x) \equiv \Phi(x)</math>); : <math>H_1{:}\; m \ne 0</math> (то есть неверно, что <math>F(x) \equiv \Phi(x)</math>). </div> <div id="Пример 44"> '''Пример 44.''' При статистическом регулировании технологических, экономических, управленческих или иных процессов <ref name="orlov_ekon"/> рассматривают выборку, извлечённую из совокупности с нормальным распределением и известной дисперсией, и гипотезы <math>H_0{:}\; m = m_0</math>, <math>H_1{:}\; m = m_1</math>, где значение параметра <math>m = m_0</math> соответствует налаженному ходу процесса, а переход к <math>m = m_1</math> свидетельствует о разладке. </div> <div id="Пример 45"> '''Пример 45.''' При статистическом приёмочном контроле число дефектных единиц продукции в выборке подчиняется гипергеометрическому распределению, неизвестным параметром является <math>p = \frac{D}{N}</math> — уровень дефектности, где <math>N</math> — объём партии продукции, <math>D</math> — общее число дефектных единиц продукции в партии. Используемые в нормативно-технической и коммерческой документации (стандартах, договорах на поставку и другом) планы контроля часто нацелены на проверку гипотезы <math>H_0{:}\; p \leqslant \mathrm{AQL}</math> против альтернативной гипотезы : <math>H_1{:}\; p \geqslant \mathrm{LQ}</math>, где <math>\mathrm{AQL}</math> — приёмочный уровень дефектности, <math>\mathrm{LQ}</math> — браковочный уровень дефектности (очевидно, что <math>\mathrm{AQL} < \mathrm{LQ}</math>). </div> <div id="Пример 46"> '''Пример 46.''' В качестве показателей стабильности технологического, экономического, управленческого или иного процесса используют ряд характеристик распределений контролируемых показателей, в частности, коэффициент вариации <math>\nu = \frac{\sigma}{M(X)}</math>. Требуется проверить нулевую гипотезу <math>H_0{:}\; \nu \leqslant \nu_0</math> при альтернативной гипотезе <math>H_1{:}\; \nu > \nu_0</math>, где <math>\nu_0</math> — некоторое заранее заданное граничное значение. </div> <div id="Пример 47"> '''Пример 47.''' Пусть вероятностная модель двух выборок — та же, что в [[#Пример 41|примере 41]], математические ожидания результатов наблюдений в первой и второй выборках обозначим <math>M(X)</math> и <math>M(Y)</math> соответственно. В ряде ситуаций проверяют нулевую гипотезу <math>H_0{:}\; M(X) = M(Y)</math> против альтернативной гипотезы <math>H_1{:}\; M(X) \ne M(Y)</math>. </div> <div id="Пример 48"> '''Пример 48.''' Выше отмечалось большое значение в математической статистике функций распределения, симметричных относительно нуля, При проверке симметричности <math>H_0{:}\; F(-x) = 1 - F(x)</math> при всех <math>x</math>, в остальном <math>F</math> произвольна; <math>H_1{:}\; F(-x_0) \ne 1 - F(x_0)</math> при некотором <math>x_0</math>, в остальном <math>F</math> произвольна. </div> В вероятностно-статистических методах принятия решений используются и многие другие постановки задач проверки статистических гипотез. Некоторые из них рассматриваются ниже. Конкретная задача проверки статистической гипотезы полностью описана, если заданы нулевая и альтернативная гипотезы. Выбор метода проверки статистической гипотезы, свойства и характеристики методов определяются как нулевой, так и альтернативной гипотезами. Для проверки одной и той же нулевой гипотезы при различных альтернативных гипотезах следует использовать, вообще говоря, различные методы. Так, в примерах [[#Пример 37|37]] и [[#Пример 43|43]] нулевая гипотеза одна и та же, а альтернативные — различны. Поэтому в условиях [[#Пример 37|примера 37]] следует применять непараметрические критерии однородности (статистики Смирнова или типа омега-квадрат), а в условиях [[#Пример 43|примера 43]] — методы на основе критерия Стьюдента или критерия Крамера-Уэлча <ref name="orlov_ekon"/>, <ref name="mat_met_stat"/>. Если в условиях [[#Пример 37|примера 37]] использовать критерий Стьюдента, то он не будет решать поставленных задач. Если в условиях [[#Пример 43|примера 43]] использовать критерий согласия типа Колмогорова, то он, напротив, будет решать поставленные задачи, хотя, возможно, и хуже, чем специально приспособленный для этого случая критерий Стьюдента. При обработке реальных данных большое значение имеет правильный выбор гипотез <math>H_0</math> и <math>H_1</math>. Принимаемые предположения, например, нормальность распределения, должны быть тщательно обоснованы, в частности, статистическими методами. Отметим, что в подавляющем большинстве конкретных прикладных постановок распределение результатов наблюдений отлично от нормального. Часто возникает ситуация, когда вид нулевой гипотезы вытекает из постановки прикладной задачи, а вид альтернативной гипотезы не ясен. В таких случаях следует рассматривать альтернативную гипотезу наиболее общего вида и использовать методы, решающие поставленную задачу при всех возможных <math>H_1</math>. В частности при проверке [[#Гипотеза 2|гипотезы 2]] (из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]]) как нулевой следует в качестве альтернативной гипотезы использовать <math>H_1</math> из [[#Пример 37|примера 37]], а не из [[#Пример 43|примера 43]], если нет специальных обоснований нормальности распределения результатов наблюдений при альтернативной гипотезе. === Параметрические и непараметрические гипотезы === Статистические гипотезы бывают параметрические и непараметрические. Предположение, которое касается неизвестного значения параметра распределения, входящего в некоторое параметрическое семейство распределений, называется параметрической гипотезой (напомним, что параметр может быть и многомерным). Предположение, при котором вид распределения неизвестен (то есть не предполагается, что оно входит в некоторое параметрическое семейство распределений), называется непараметрической гипотезой. Таким образом, если распределение <math>F(x)</math> результатов наблюдений в выборке согласно принятой вероятностной модели входит в некоторое параметрическое семейство <math>\{ F(x;\theta), \theta \in \Theta \}</math>, то есть <math>F(x) = F(x; \theta_0)</math> при некотором <math>\theta_0 \in \Theta</math>, то рассматриваемая гипотеза — параметрическая, в противном случае — непараметрическая. Если и <math>H_0</math> и <math>H_1</math> — параметрические гипотезы, то задача проверки статистической гипотезы параметрическая. Если хотя бы одна из гипотез <math>H_0</math> и <math>H_1</math> непараметрическая, то задача проверки статистической гипотезы непараметрическая. Другими словами, если вероятностная модель ситуации параметрическая, то есть полностью описывается в терминах того или иного параметрического семейства распределений вероятностей, то и задача проверки статистической гипотезы параметрическая. Если же вероятностная модель ситуации непараметрическая, то есть её нельзя полностью описать в терминах какого-либо параметрического семейства распределений вероятностей, то и задача проверки статистической гипотезы непараметрическая. В примерах [[#Пример 34|34]]—[[#Пример 34|36]], [[#Пример 39|39]], [[#Пример 40|40]], [[#Пример 43|43]]—[[#Пример 45|45]] даны постановки параметрических задач проверки гипотез, а в примерах [[#Пример 37|37]], [[#Пример 38|38]], [[#Пример 41|41]], [[#Пример 42|42]], [[#Пример 46|46]]—[[#Пример 48|48]] — непараметрических. Непараметрические задачи делятся на два класса: в одном из них речь идёт о проверке утверждений, касающихся функций распределения (примеры [[#Пример 37|37]], [[#Пример 38|38]], [[#Пример 41|41]], [[#Пример 42|42]], [[#Пример 48|48]]), во втором — о проверке утверждений, касающихся характеристик распределений (примеры [[#Пример 46|46]], [[#Пример 47|47]]). Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно задает распределение результатов наблюдений, вошедших в выборку. В противном случае статистическая гипотеза называется сложной. Гипотеза 2 из приведённого выше списка, нулевые гипотезы в примерах [[#Пример 34|34]], [[#Пример 35|35]], [[#Пример 37|37]], [[#Пример 43|43]], нулевая и альтернативная гипотезы в [[#Пример 44|примере 44]] — простые, все остальные упомянутые выше гипотезы — сложные. === Статистические критерии === Однозначно определённый способ проверки статистических гипотез называется статистическим критерием. Статистический критерий строится с помощью статистики <math>U(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> — функции от результатов наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>. В пространстве значений статистики <math>U</math> выделяют критическую область <math>\Psi</math>, то есть область со следующим свойством: если значения применяемой статистики принадлежат данной области, то отклоняют (иногда говорят — отвергают) нулевую гипотезу, в противном случае — не отвергают (то есть принимают). Статистику <math>U</math>, используемую при построении определённого статистического критерия, называют статистикой этого критерия. Например, в задаче проверки статистической гипотезы, приведённой в [[#Пример 37|примере 37]], применяют критерий Колмогорова, основанный на статистике : <math>D_n = \sqrt n\; \sup_n |F_n(x) - F_0(x)|</math>. При этом <math>D_n</math> называют статистикой критерия Колмогорова. Частным случаем статистики <math>U</math> является векторзначная функция результатов наблюдений <math>U_0(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_1, x_2, \dots, x_n)</math>, значения которой — набор результатов наблюдений. Если <math>x_i</math> — числа, то <math>U_0</math> — набор <math>n</math> чисел, то есть точка <math>n</math>-мерного пространства. Ясно, что статистика критерия <math>U</math> является функцией от <math>U_0</math>, то есть <math>U = f(U_0)</math>. Поэтому можно считать, что <math>\Psi</math> — область в том же <math>n</math>-мерном пространстве, нулевая гипотеза отвергается, если <math>(x_1, x_2, \dots, x_n) \in \Psi</math>, и принимается в противном случае. В вероятностно-статистических методах обработки данных и принятия решений статистические критерии, как правило, основаны на статистиках <math>U</math>, принимающих числовые значения, и критические области имеют вид{{metka|41}} : <math>\Psi = \{U(x_1, x_2, \dots, x_n) > C \}</math>, где <math>C</math> — некоторые числа. Статистические критерии делятся на параметрические и непараметрические. Параметрические критерии используются в параметрических задачах проверки статистических гипотез, а непараметрические — в непараметрических задачах. === Уровень значимости и мощность === При проверке статистической гипотезы возможны ошибки. Есть два рода ошибок. Ошибка первого рода заключается в том, что отвергают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза верна. Ошибка второго рода состоит в том, что принимают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза неверна. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается <math>\alpha</math>. Таким образом, <math>\alpha = P \{U \in \Psi | H_0 \}</math>, то есть уровень значимости <math>\alpha</math> — это вероятность события <math>\{U \in \alpha \}</math>, вычисленная в предположении, что верна нулевая гипотеза <math>H_0</math>. Уровень значимости однозначно определён, если <math>H_0</math> — простая гипотеза. Если же <math>H_0</math> — сложная гипотеза, то уровень значимости, вообще говоря, зависит от функции распределения результатов наблюдений, удовлетворяющей <math>H_0</math>. Статистику критерия <math>U</math> обычно строят так, чтобы вероятность события <math>\{ U \in \alpha \}</math> не зависела от того, какое именно распределение (из удовлетворяющих нулевой гипотезе <math>H_0</math>) имеют результаты наблюдений. Для статистик критерия <math>U</math> общего вида под уровнем значимости понимают максимально возможную ошибку первого рода. Максимум (точнее, супремум) берётся по всем возможным распределениям, удовлетворяющим нулевой гипотезе <math>H_0</math>, то есть <math>\alpha = \sup P \{U \in \Psi | H_0 \}</math>. Если критическая область имеет вид, указанный в формуле [[#metka_41|(41)]], то{{metka|42}} : <math>P \{U > C | H_0 \} = \alpha</math>. Если <math>C</math> задано, то из последнего соотношения определяют <math>\alpha</math>. Часто поступают по иному — задавая <math>\alpha</math> (обычно <math>\alpha = 0{,}05</math>, иногда <math>\alpha = 0{,}01</math> или <math>\alpha = 0{,}1</math>, другие значения <math>\alpha</math> используются гораздо реже), определяют <math>C</math> из уравнения [[#metka_42|(42)]], обозначая его <math>C_\alpha</math>, и используют критическую область <math>\Psi = \{U > C_\alpha \}</math> с заданным уровнем значимости <math>\alpha</math>. Вероятность ошибки второго рода есть <math>P \{U \notin \Psi | H_1 \}</math>. Обычно используют не эту вероятность, а её дополнение до единицы, то есть <math>P \{U \in \Psi | H_1 \} = 1 - P \{U \notin \Psi | H_1 \}</math>. Эта величина носит название мощности критерия. Итак, мощность критерия — это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, когда альтернативная гипотеза верна. Понятия уровня значимости и мощности критерия объединяются в понятии функции мощности критерия — функции, определяющей вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Функция мощности зависит от критической области <math>\Psi</math> и действительного распределения результатов наблюдений. В параметрической задаче проверки гипотез распределение результатов наблюдений задаётся параметром <math>\theta</math>. В этом случае функция мощности обозначается <math>M(\Psi, \theta)</math> и зависит от критической области <math>\Psi</math> и действительного значения исследуемого параметра <math>\theta</math>. Если : <math>H_0{:}\; \theta = \theta_0</math>, <math>H_1{:}\; \theta = \theta_1</math>, то : <math>M(\Psi, \theta_0) = \alpha</math>, <math>M(\Psi, \theta_1) = 1 - \beta</math>, где <math>\alpha</math> — вероятность ошибки первого рода, <math>\beta</math> — вероятность ошибки второго рода. В статистическом приёмочном контроле <math>\alpha</math> — риск изготовителя, <math>\beta</math> — риск потребителя. При статистическом регулировании технологического процесса <math>\alpha</math> — риск излишней наладки, <math>\beta</math> — риск незамеченной разладки. Функция мощности <math>M(\Psi, \theta)</math> в случае одномерного параметра <math>\theta</math> обычно достигает минимума, равного <math>\alpha</math>, при <math>\theta = \theta_0</math>, монотонно возрастает при удалении от <math>\theta_0</math> и приближается к единице при <math>|\theta - \theta_0| \to \infty</math>. В ряде вероятностно-статистических методов принятия решений используется оперативная характеристика <math>L(\Psi, \theta)</math> — вероятность принятия нулевой гипотезы в зависимости от критической области <math>\Psi</math> и действительного значения исследуемого параметра <math>\theta</math>. Ясно, что : <math>L(\Psi, \theta) = 1 - M(\Psi, \theta)</math>. === Состоятельность и несмещённость критериев === Основной характеристикой статистического критерия является функция мощности. Для многих задач проверки статистических гипотез разработан не один статистический критерий, а целый ряд. Чтобы выбрать из них определённый критерий для использования в конкретной практической ситуации, проводят сравнение критериев по различным показателям качества (<ref name="orlov_ekon"/>, приложение 3), прежде всего с помощью их функций мощности. В качестве примера рассмотрим лишь два показателя качества критерия проверки статистической гипотезы — состоятельность и несмещённость. Пусть объём выборки <math>n</math> растёт, а <math>U_n</math> и <math>\Psi_n</math> — статистики критерия и критические области соответственно. Критерий называется состоятельным, если : <math>\lim_{n \to \infty} P \{ U_n \in \Psi_n | H_1 \} = 1</math>, то есть вероятность отвергнуть нулевую гипотезу стремится к единице, если верна альтернативная гипотеза. Статистический критерий называется несмещённым, если для любого <math>\theta_0</math>, удовлетворяющего <math>H_0</math>, и любого <math>\theta_1</math>, удовлетворяющего <math>H_1</math>, справедливо неравенство : <math>P \{ U \in \Psi | \theta_0 \} < P \{ U \in \Psi | \theta_1 \}</math>, то есть при справедливости <math>H_0</math> вероятность отвергнуть <math>H_0</math> меньше, чем при справедливости <math>H_1</math>. При наличии нескольких статистических критериев в одной и той же задаче проверки статистических гипотез следует использовать состоятельные и несмещённые критерии. == Некоторые типовые задачи прикладной статистики == === Статистические данные и прикладная статистика === Под прикладной статистикой обычно понимают часть математической статистики, посвящённую методам обработки реальных статистических данных, а также соответствующее математическое и программное обеспечение. Таким образом, чисто математические задачи не включают в прикладную статистику. В последние десятилетия термин «математическая статистика» всё чаще применяют для обозначения чисто математической дисциплины, которая изучает свойства математических объектов и структур, введённых в классической статистике ранее середины ХХ века. При таком понимании прикладная статистика — самостоятельная научно-практическая дисциплина, не имеющая пересечения с математической статистикой. Прикладную статистику и статистические методы в целом можно отнести к кибернетике или прикладной математике. Под статистическими данными понимают числовые или нечисловые значения контролируемых параметров (признаков) исследуемых объектов, которые получены в результате наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов и так далее) определённого числа признаков, у каждой единицы, вошедшей в исследование. Способы получения статистических данных и объёмы выборок устанавливают, исходя из постановок конкретной прикладной задачи на основе методов математической теории планирования эксперимента. Результат наблюдения <math>x_i</math> исследуемого признака <math>X</math> (или совокупности исследуемых признаков <math>X</math>) у <math>i</math>-ой единицы выборки отражает количественные и/или качественные свойства обследованной единицы с номером <math>i</math> (здесь <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, где <math>n</math> — объём выборки). Деление прикладной статистики на направления соответственно виду обрабатываемых результатов наблюдений (то есть на статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику временны́х рядов и статистику объектов нечисловой природы) обсуждалось выше. Результаты наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>, где <math>x_i</math> — результат наблюдения <math>i</math>-ой единицы выборки, или результаты наблюдений для нескольких выборок, обрабатывают с помощью методов прикладной статистики, соответствующих поставленной задаче. Используют, как правило, аналитические методы, то есть методы, основанные на численных расчётах (объекты нечисловой природы при этом описывают с помощью чисел). В отдельных случаях допустимо применение графических методов (визуального анализа). Количество разработанных к настоящему времени методов обработки данных весьма велико. Они описаны в сотнях тысяч книг и статей, а также в стандартах и других нормативно-технических и инструктивно-методических документах. Многие методы прикладной статистики требуют проведения трудоемких расчётов, поэтому для их реализации нужны компьютеры. Программы расчётов на ЭВМ должны соответствовать современному научному уровню. Однако для единичных расчётов при отсутствии соответствующего программного обеспечения успешно используют микрокалькуляторы. === Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и качества продукции === Статистические методы используют, в частности, для анализа точности и стабильности технологических процессов и качества продукции. Цель — подготовка решений, обеспечивающих эффективное функционирование технологических единиц и повышение качества и конкурентоспособности выпускаемой продукции. Статистические методы следует применять во всех случаях, когда по результатам ограниченного числа наблюдений требуется установить причины улучшения или ухудшения точности и стабильности технологического оборудования. Под точностью технологического процесса понимают свойство технологического процесса, обусловливающее близость действительных и номинальных значений параметров производимой продукции. Под стабильностью технологического процесса понимают свойство технологического процесса, обусловливающее постоянство распределений вероятностей для его параметров в течение некоторого интервала времени без вмешательства извне. Целями применения статистических методов анализа точности и стабильности технологических процессов и качества продукции на стадиях разработки, производства и эксплуатации (потребления) продукции являются, в частности: * определение фактических показателей точности и стабильности технологического процесса, оборудования или качества продукции; * установление соответствия качества продукции требованиям нормативно-технической документации; * проверка соблюдения технологической дисциплины; * изучение случайных и систематических факторов, способных привести к появлению дефектов; * выявление резервов производства и технологии; * обоснование технических норм и допусков на продукцию; * оценка результатов испытаний опытных образцов при обосновании требований к продукции и нормативов на неё; * обоснование выбора технологического оборудования и средств измерений и испытаний; * сравнение различных образцов продукции; * обоснование замены сплошного контроля статистическим; * выявление возможности внедрения статистических методов управления качеством продукции, и так далее. Для достижения перечисленных выше целей применяют различные методы описания данных, оценивания и проверки гипотез. Приведём примеры постановок задач. === Задачи одномерной статистики (статистики случайных величин) === Сравнение математических ожиданий проводят в тех случаях, когда требуется установить соответствие показателей качества изготовленной продукции и эталонного образца. Это — задача проверки гипотезы: : <math>H_0{:}\; M(X) = m_0</math>, где <math>m_0</math> — значение, соответствующее эталонному образцу; <math>X</math> — случайная величина, моделирующая результаты наблюдений. В зависимости от формулировки вероятностной модели ситуации и альтернативной гипотезы сравнение математических ожиданий проводят либо параметрическими, либо непараметрическими методами. Сравнение дисперсий проводят тогда, когда требуется установить отличие рассеивания показателя качества от номинального. Для этого проверяют гипотезу: : <math>H_0{:}\; D(X) = \sigma_0^2</math>. Ряд иных постановок задач одномерной статистики приведён ниже. Не меньшее значение, чем задачи проверки гипотез, имеют задачи оценивания параметров. Они, как и задачи проверки гипотез, в зависимости от используемой вероятностной модели ситуации делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических задачах оценивания принимают вероятностную модель, согласно которой результаты наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> рассматривают как реализации <math>n</math> независимых случайных величин с функцией распределения <math>F(x; \theta)</math>. Здесь <math>\theta</math> — неизвестный параметр, лежащий в пространстве параметров <math>\Theta</math> заданном используемой вероятностной моделью. Задача оценивания состоит в определении точечной оценок и доверительных границ (либо доверительной области) для параметра <math>\theta</math>. Параметр <math>\theta</math> — либо число, либо вектор фиксированной конечной размерности. Так, для нормального распределения <math>\theta = (m, \sigma^2)</math> — двумерный вектор, для биномиального <math>\theta = p</math> — число, для гамма-распределения <math>\theta = (a, b, c)</math> — трёхмерный вектор, и так далее. В современной математической статистике разработан ряд общих методов определения оценок и доверительных границ — метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод одношаговых оценок, метод устойчивых (робастных) оценок, метод несмещённых оценок и другие. Кратко рассмотрим первые три из них. Теоретические основы различных методов оценивания и полученные с их помощью конкретные правила определения оценок и доверительных границ для тех или иных параметрических семейств распределений рассмотрены в специальной литературе, включены в нормативно-техническую и инструктивно-методическую документацию. Метод моментов основан на использовании выражений для моментов рассматриваемых случайных величин через параметры их функций распределения. Оценки метода моментов получают, подставляя выборочные моменты вместо теоретических в функции, выражающие параметры через моменты. В методе максимального правдоподобия, разработанном в основном Р. А. Фишером, в качестве оценки параметра <math>\theta</math> берут значение <math>\theta^*</math>, для которого максимальна так называемая функция правдоподобия : <math>f(x_1, \theta)\; f(x_2, \theta)\; \dots\; f(x_n, \theta)</math>, где <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — результаты наблюдений; <math>f(x, \theta)</math> — их плотность распределения, зависящая от параметра <math>\theta</math>, который нужно оценить. Оценки максимального правдоподобия, как правило, эффективны (или асимптотически эффективны) и имеют меньшую дисперсию, чем оценки метода моментов. В отдельных случаях формулы для них выписываются явно (нормальное распределение, экспоненциальное распределение без сдвига). Однако чаще для их нахождения надо численно решать систему трансцендентных уравнений (распределения Вейбулла-Гнеденко, гамма). В подобных случаях целесообразно использовать не оценки максимального правдоподобия, а другие виды оценок, прежде всего одношаговые оценки. В литературе их иногда не вполне точно называют «приближённые оценки максимального правдоподобия». При достаточно больши́х объёмах выборок они имеют столь же хорошие свойства, как и оценки максимального правдоподобия. Поэтому их следует рассматривать не как «приближённые», а как оценки, полученные по другому методу, не менее обоснованному и эффективному, чем метод максимального правдоподобия. Одношаговые оценки вычисляют по явным формулам (<ref name="orlov_necel">Орлов А. И. О нецелесообразности использования итеративных процедур нахождения оценок максимального правдоподобия. – Журнал «Заводская лаборатория», 1986, Т. 52. № 5. С. 67—69.</ref>). В непараметрических задачах оценивания принимают вероятностную модель, в которой результаты наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> рассматривают как реализации <math>n</math> независимых случайных величин с функцией распределения <math>F(x)</math> общего вида. От <math>F(x)</math> требуют лишь выполнения некоторых условий типа непрерывности, существования математического ожидания и дисперсии и тому подобного. Подобные условия не являются столь жёсткими, как условие принадлежности к определённому параметрическому семейству. === Непараметрическое оценивание математического ожидания === В непараметрической постановке оценивают либо характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, коэффициент вариации), либо её функцию распределения, плотность и тому подобное. Так, в силу закона больши́х чисел выборочное среднее арифметическое <math>\overline x</math> является состоятельной оценкой математического ожидания <math>M(X)</math> (при любой функции распределения <math>F(x)</math> результатов наблюдений, для которой математическое ожидание существует). С помощью центральной предельной теоремы определяют асимптотические доверительные границы : <math>\Big( M(X) \Big)_H = \overline x - u \left( \frac{1 + \gamma}{2} \right) \frac{s}{\sqrt n}</math>, <math>\Big( M(X) \Big)_B = \overline x + u \left( \frac{1 + \gamma}{2} \right) \frac{s}{\sqrt n}</math>, где <math>\gamma</math> — доверительная вероятность, <math>u \frac{1 + \gamma}{2}</math> — квантиль порядка <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math> стандартного нормального распределения <math>N(0; 1)</math> с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, <math>\overline x</math> — выборочное среднее арифметическое, <math>s</math> — выборочное среднеквадратичное отклонение. Термин «асимптотические доверительные границы» означает, что вероятности <math>P \left\{ \Big( M(X) \Big)_H < M(X) \right\}</math>, <math>P \left\{ \Big( M(X) \Big)_B > M(X) \right\}</math>, <math>P \left\{\Big( M(X) \Big)_H < M(X) < \Big( M(X) \Big)_B\right\}</math> стремятся к <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math>, <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math> и <math>\gamma</math> соответственно при <math>n \to \infty</math>, но, вообще говоря, не равны этим значениям при конечных <math>n</math>. Практически асимптотические доверительные границы дают достаточную точность при <math>n</math> порядка 10. === Непараметрическое оценивание функции распределения === Второй пример непараметрического оценивания — оценивание функции распределения. По теореме Гливенко эмпирическая функция распределения <math>F_n(x)</math> является состоятельной оценкой функции распределения <math>F(x)</math>. Если <math>F(x)</math> — непрерывная функция, то на основе теоремы Колмогорова доверительные границы для функции распределения <math>F(x)</math> задают в виде : <math>\Big( F(x) \Big)_H = \max \left\{ 0, F_n(x) - \frac{k(\gamma, n)}{\sqrt n} \right\}</math>, <math>\Big( F(x) \Big)_B = \min \left\{ 1, F_n(x) + \frac{k(\gamma, n)}{\sqrt n} \right\}</math>, где <math>k(\gamma, n)</math> — квантиль порядка <math>\gamma</math> распределения статистики Колмогорова при объёме выборки <math>n</math> (напомним, что распределение этой статистики не зависит от <math>F(x)</math>). Правила определения оценок и доверительных границ в параметрическом случае строятся на основе параметрического семейства распределений <math>F(x; \theta)</math>. При обработке реальных данных возникает вопрос — соответствуют ли эти данные принятой вероятностной модели? То есть статистической гипотезе о том, что результаты наблюдений имеют функцию распределения из семейства <math>\{ F(x; \theta),\, \theta \in \Theta \}</math> при некотором <math>\theta = \theta_0</math> Такие гипотезы называют гипотезами согласия, а критерии их проверки — критериями согласия. Если истинное значение параметра <math>\theta = \theta_0</math> известно, функция распределения <math>F(x; \theta_0)</math> непрерывна, то для проверки гипотезы согласия часто применяют критерий Колмогорова, основанный на статистике : <math>D_n = \sqrt n\, \sup_x |F_n(x) - F(x, \theta_0)|</math>, где <math>F_n(x)</math> — эмпирическая функция распределения. Если истинное значение параметра <math>\theta_0</math> неизвестно, например, при проверке гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдения (то есть при проверке принадлежности этого распределения к семейству нормальных распределений), то иногда используют статистику : <math>D_n(\theta^*) = \sqrt n\, \sup_x |F_n(x) - F(x, \theta^*)|</math>. Она отличается от статистики Колмогорова <math>D_n</math> тем, что вместо истинного значения параметра <math>\theta_0</math> подставлена его оценка <math>\theta^*</math>. Распределение статистики <math>D_n(\theta^*)</math> сильно отличается от распределения статистики <math>D_n</math>. В качестве примера рассмотрим проверку нормальности, когда <math>\theta = (m, \sigma^2)</math>, а <math>\sigma^* = (\overline x, \sigma^2)</math>. Для этого случая квантили распределений статистик <math>D_n</math> и <math>D_n(\theta^*)</math> приведены в [[#Таблица 5|таблице 5]] (см., например, <ref name="rasp_osh">Орлов А. И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат. – Журнал «Заводская лаборатория», 1985, т. 51, № 1, c. 60—62.</ref>). Таким образом, квантили отличаются примерно в 1,5 раза. {| class="standard" id="Таблица 5" |+ Таблица 5. Квантили статистик <math>D_n</math> и <math>D_n(\theta^*)</math> при проверке нормальности !<math>p</math>||0,85||0,90||0,95||0,975||0,99 |- |Квантили порядка <math>p</math> для <math>D_n</math> |1,138||1,224||1,358||1,480||1,626 |- |Квантили порядка <math>p</math> для <math>D_n(\theta^*)</math> |0,775||0,819||0,895||0,955||1,035 |} === Проблема исключения промахов === При первичной обработке статистических данных важной задачей является исключение результатов наблюдений, полученных в результате грубых погрешностей и промахов. Например, при просмотре данных о весе (в килограммах) новорожденных детей наряду с числами 3,500, 2,750, 4,200 может встретиться число 35,00. Ясно, что это промах, и получено ошибочное число при ошибочной записи — запятая сдвинута на один знак, в результате результат наблюдения ошибочно увеличен в 10 раз. Статистические методы исключения резко выделяющихся результатов наблюдений основаны на предположении, что подобные результаты наблюдений имеют распределения, резко отличающиеся от изучаемых, а потому их следует исключить из выборки. Простейшая вероятностная модель такова. При нулевой гипотезе результаты наблюдений рассматриваются как реализации независимых одинаково распределённых случайных величин <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> с функцией распределения <math>F(x)</math>. При альтернативной гипотезе <math>X_1, X_2, \dots, X_{n-1}</math> — такие же, как и при нулевой гипотезе, а <math>X_n</math> соответствует грубой погрешности и имеет функцию распределения <math>G(x) = F(x - c)</math>, где <math>c</math> велико. Тогда с вероятностью, близкой к 1 (точнее, стремящейся к 1 при росте объёма выборки), : <math>X_n = \max \{ X_1, X_2, \dots, X_n \} = X_\max</math>, то есть при описании данных в качестве возможной грубой ошибки следует рассматривать <math>X_\max</math>. Критическая область имеет вид : <math>\Psi = \{x{:}\; x \geqslant d \}</math>. Критическое значение <math>d = d(\alpha, n)</math> выбирают в зависимости от уровня значимости <math>\alpha</math> и объёма выборки <math>n</math> из условия{{metka|43}} : <math>P \{ X_\max \geqslant d | H_0 \} = \alpha</math>. Условие [[#metka_43|(43)]] эквивалентно при больши́х <math>n</math> и малых <math>\alpha</math> следующему:{{metka|44}} : <math>F(d) = \sqrt[n]{1 - \alpha} \approx 1 - \frac{\alpha}{n}</math>. Если функция распределения результатов наблюдений <math>F(x)</math> известна, то критическое значение <math>d</math> находят из соотношения [[#metka_44|(44)]]. Если <math>F(x)</math> известна с точностью до параметров, например, известно, что <math>F(x)</math> — нормальная функция распределения, то также разработаны правила проверки рассматриваемой гипотезы <ref name="tab_mat_stat"/>. Однако часто вид функции распределения результатов наблюдений известен не абсолютно точно и не с точностью до параметров, а лишь с некоторой погрешностью. Тогда соотношение [[#metka_44|(44)]] становится практически бесполезным, поскольку малая погрешность в определении <math>F(x)</math>, как можно показать, приводит к большой погрешности при определении критического значения <math>d</math> из условия [[#metka_44|(44)]], а при фиксированном <math>d</math> уровень значимости критерия может существенно отличаться от номинального <ref name="orlov_ekon"/>. Поэтому в ситуации, когда о <math>F(x)</math> нет полной информации, однако известны математическое ожидание <math>M(X)</math> и дисперсия <math>\sigma^2 = D(X)</math> результатов наблюдений <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math>, можно использовать непараметрические правила отбраковки, основанные на неравенстве Чебышёва. С помощью этого неравенства найдём критическое значение <math>d = d(\alpha, n)</math> такое, что{{metka|45}} : <math>P \left\{ \max_{1 \leqslant i \leqslant n}|X_i - M(X)| \geqslant d \right\}\leqslant \alpha</math>. Так как : <math>P \left\{ \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |X_i - M(X)| < d \right\} = \left[ P \Big\{ |X - M(X)| < d \Big\} \right]^n</math>, то соотношение [[#metka_45|(45)]] будет выполнено, если{{metka|46}} : <math>P \Big\{ |X - M(X)| \geqslant d \Big\} \leqslant 1 - \sqrt[n]{1 - \alpha} \approx \frac{\alpha}{n}</math>. По неравенству Чебышёва{{metka|47}} : <math>P \Big\{ |X - M(X)| \geqslant d \Big\} \leqslant \frac{\sigma^2}{d^2}</math>, поэтому для того, чтобы [[#metka_45|(45)]] было выполнено, достаточно приравнять правые части формул [[#metka_46|(46)]] и [[#metka_47|(47)]], то есть определить <math>d</math> из условия{{metka|48}} : <math>\frac{\sigma^2}{d^2} = \frac{\alpha}{n}</math>, <math>d = \frac{\sigma\sqrt n}{\sqrt\alpha}</math>. Правило отбраковки, основанное на критическом значении <math>d</math>, вычисленном по формуле [[#metka_48|(48)]], использует минимальную информацию о функции распределения <math>F(x)</math> и поэтому исключает лишь результаты наблюдений, весьма далеко отстоящие от основной массы. Другими словами, значение <math>d_1</math>, заданное соотношением [[#metka_43|(43)]], обычно много меньше, чем значение <math>d_2</math>, заданное соотношением [[#metka_48|(48)]]. === Многомерный статистический анализ === Перейдём к многомерному статистическому анализу. Его применяют при решении следующих задач: * исследование зависимости между признаками; * классификация объектов или признаков, заданных векторами; * снижение размерности пространства признаков. При этом результат наблюдений — вектор значений фиксированного числа количественных и иногда качественных признаков, измеренных у объекта. Напомним, что количественный признак — признак наблюдаемой единицы, который можно непосредственно выразить числом и единицей измерения. Количественный признак противопоставляется качественному — признаку наблюдаемой единицы, определяемому отнесением к одной из двух или более условных категорий (если имеется ровно две категории, то признак называется альтернативным). Статистический анализ качественных признаков — часть статистики объектов нечисловой природы. Количественные признаки делятся на признаки, измеренные в шкалах интервалов, отношений, разностей, абсолютной шкале. А качественные — на признаки, измеренные в шкале наименований и порядковой шкале. Методы обработки данных должны быть согласованы со шкалами, в которых измерены рассматриваемые признаки. === Корреляция и регрессия === Целями исследования зависимости между признаками являются доказательство наличия связи между признаками и изучение этой связи. Для доказательства наличия связи между двумя случайными величинами <math>X</math> и <math>Y</math> применяют корреляционный анализ. Если совместное распределение <math>X</math> и <math>Y</math> является нормальным, то статистические выводы основывают на выборочном коэффициенте линейной корреляции, в остальных случаях используют коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена, а для качественных признаков — критерий хи-квадрат. Регрессионный анализ применяют для изучения функциональной зависимости количественного признака <math>Y</math> от количественных признаков <math>x(1), x(2), \dots, x(k)</math>. Эту зависимость называют регрессионной или, кратко, регрессией. Простейшая вероятностная модель регрессионного анализа (в случае <math>k = 1</math>) использует в качестве исходной информации набор пар результатов наблюдений <math>(x_i, y_i)</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, и имеет вид : <math>y_i = ax_i + b + \varepsilon_i</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, где <math>\varepsilon_i</math> — ошибки наблюдений. Иногда предполагают, что <math>\varepsilon_i</math> — независимые случайные величины с одним и тем же нормальным распределением <math>N(0, \sigma^2)</math>. Поскольку распределение ошибок наблюдения обычно отлично от нормального, то целесообразно рассматривать регрессионную модель в непараметрической постановке, то есть при произвольном распределении <math>\varepsilon_i</math>. Основная задача регрессионного анализа состоит в оценке неизвестных параметров <math>a</math> и <math>b</math>, задающих линейную зависимость <math>y</math> от <math>x</math>. Для решения этой задачи применяют разработанный ещё Гауссом в 1794 году метод наименьших квадратов, то есть находят оценки неизвестных параметров модели <math>a</math> и <math>b</math> из условия минимизации суммы квадратов : <math>\sum_{1 \leqslant i \leqslant n}(y_i - ax_i - b)^2</math> по переменным <math>a</math> и <math>b</math>. Теория регрессионного анализа описана, и расчётные формулы даны в специальной литературе <ref name="orlov_ekon"/>, <ref name="lin_reg_an">Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. — М.: Мир, 1980. — 456 с.</ref>. В этой теории разработаны методы точечного и интервального оценивания параметров, задающих функциональную зависимость, а также непараметрические методы оценивания этой зависимости, методы проверки различных гипотез, связанных с регрессионными зависимостями. Выбор планов эксперимента, то есть точек <math>x_i</math>, в которых будут проводиться эксперименты по наблюдению <math>y_i</math> — предмет теории планирования эксперимента <ref name="teo_plan_exp">Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С. М. Ермакова. — М.: Наука, 1983. – 392 с.</ref>. === Дисперсионный анализ === Дисперсионный анализ применяют для изучения влияния качественных признаков на количественную переменную. Например, пусть имеются <math>k</math> выборок результатов измерений количественного показателя качества единиц продукции, выпущенных на <math>k</math> станках, то есть набор чисел <math>\Big( x_1(j), x_2(j), \dots, x_n(j) \Big)</math>, где <math>j</math> — номер станка, <math>j = 1, 2, \dots, k</math>, а <math>n</math> — объём выборки. В распространённой постановке дисперсионного анализа предполагают, что результаты измерений независимы и в каждой выборке имеют нормальное распределение <math>N \Big( m(j), \sigma^2 \Big)</math> с одной и той же дисперсией. Хорошо разработаны и непараметрические постановки <ref name="neparam">Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983. — 518 с.</ref>. Проверка однородности качества продукции, то есть отсутствия влияния номера станка на качество продукции, сводится к проверке гипотезы : <math>H_0{:}\; m(1) = m(2) = \dots = m(k)</math>. В дисперсионном анализе разработаны методы проверки подобных гипотез. Теория дисперсионного анализа и расчётные формулы рассмотрены в специальной литературе <ref name="mnogom">Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временны́е ряды. — М.: Наука, 1976. – 736 с.</ref>. Гипотезу <math>H_0</math> проверяют против альтернативной гипотезы <math>H_1</math>, согласно которой хотя бы одно из указанных равенств не выполнено. Проверка этой гипотезы основана на следующем «разложении дисперсий», указанном Р. А. Фишером:{{metka|49}} : <math>(kn)\sigma^2 = n\sum_{j = 1}^k \sigma^2(j) + (kn)\sigma_1^2</math>, где <math>\sigma^2</math> — выборочная дисперсия в объединённой выборке, то есть : <math>\sigma^2 = \frac{1}{kn} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^k (x_i(j) - \overline x)^2</math>, <math>\overline x = \frac{1}{kn} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^k x_i(j)</math>. Далее, <math>\sigma^2(j)</math> — выборочная дисперсия в <math>j</math>-й группе, : <math>\sigma^2(j) = \frac1n \sum_{i = 1}^n \Big( x_i(j) - \overline x(j) \Big)^2</math>, <math>\overline x(j) = \frac1n \sum_{i = 1}^n x_i(j)</math>, <math>j = 1, 2, \dots, k</math>. Таким образом, первое слагаемое в правой части формулы [[#metka_49|(49)]] отражает внутригрупповую дисперсию. Наконец, <math>\sigma_1^2</math> — межгрупповая дисперсия: : <math>\sigma_1^2 = \frac1k \sum_{j = 1}^k \Big( \overline x(j) - \overline x \Big)^2</math>. Область прикладной статистики, связанную с разложениями дисперсии типа формулы [[#metka_49|(49)]], называют дисперсионным анализом. В качестве примера задачи дисперсионного анализа рассмотрим проверку приведённой выше гипотезы <math>H_0</math> в предположении, что результаты измерений независимы и в каждой выборке имеют нормальное распределение <math>N \Big( m(j), \sigma^2 \Big)</math> с одной и той же дисперсией. При справедливости <math>H_0</math> первое слагаемое в правой части формулы [[#metka_49|(49)]], делённое на <math>\sigma^2</math>, имеет распределение хи-квадрат с <math>k(n - 1)</math> степенями свободы, а второе слагаемое, делённое на <math>\sigma^2</math>, также имеет распределение хи-квадрат, но с <math>(k - 1)</math> степенями свободы, причём первое и второе слагаемые независимы как случайные величины. Поэтому случайная величина : <math>F = \frac{k(n - 1)}{k - 1} \frac{(kn)\sigma_i^2}{n\sum_{j = 1}^k \sigma^2(j)} = \frac{k^2(n - 1)\sigma_1^2}{(k - 1) \sum_{j = 1}^k \sigma^2(j)}</math> имеет распределение Фишера с <math>(k - 1)</math> степенями свободы числителя и <math>k(n - 1)</math> степенями свободы знаменателя. Гипотеза <math>H_0</math> принимается, если <math>F \leqslant F_{1 - \alpha}</math>, и отвергается в противном случае, где <math>F_{1 - \alpha}</math> — квантиль порядка <math>1 - \alpha</math> распределения Фишера с указанными числами степеней свободы. Такой выбор критической области определяется тем, что при <math>H_1</math> величина <math>F</math> безгранично увеличивается при росте объёма выборок <math>n</math>. Значения <math>F_{1 - \alpha}</math> берут из соответствующих таблиц <ref name="tab_mat_stat"/>. Разработаны непараметрические методы решения классических задач дисперсионного анализа <ref name="neparam"/>, в частности, проверки гипотезы <math>H_0</math>. === Методы классификации === Следующий тип задач многомерного статистического анализа — задачи классификации. Они согласно [2, 20] делятся на три принципиально различных вида — [[#Дискриминантный анализ|дискриминантный анализ]], [[#Кластерный анализ|кластерный анализ]], [[#Задачи группировки|задачи группировки]]. ==== Дискриминантный анализ ==== Задача [[w:Дискриминантный анализ|дискриминантного анализа]] состоит в нахождении правила отнесения наблюдаемого объекта к одному из ранее описанных классов. При этом объекты описывают в математической модели с помощью векторов, координаты которых — результаты наблюдения ряда признаков у каждого объекта. Классы описывают либо непосредственно в математических терминах, либо с помощью обучающих выборок. Обучающая выборка — это выборка, для каждого элемента которой указано, к какому классу он относится. Рассмотрим пример применения дискриминантного анализа для принятия решений в технической диагностике. Пусть по результатам измерения ряда параметров продукции требуется установить наличие или отсутствие дефектов. В этом случае для элементов обучающей выборки указаны дефекты, обнаруженные в ходе дополнительного исследования, например, провёденного после определённого периода эксплуатации. Дискриминантный анализ позволяет сократить объём контроля, а также предсказать будущее поведение продукции. Дискриминантный анализ сходен с регрессионным — первый позволяет предсказывать значение качественного признака, а второй — количественного. В статистике объектов нечисловой природы разработана математическая схема, частными случаями которой являются регрессионный и дискриминантный анализы <ref>Орлов А. И. Некоторые неклассические постановки в регрессионном анализе и теории классификации. — В сб.: Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях. — М.: Наука, 1987. С. 27—40.</ref>. ==== Кластерный анализ ==== [[w:Кластерный анализ|Кластерный анализ]] применяют, когда по статистическим данным нужно разделить элементы выборки на группы. Причём два элемента группы из одной и той же группы должны быть «близкими» по совокупности значений, измеренных у них признаков, а два элемента из разных групп должны быть «далёкими» в том же смысле. В отличие от дискриминантного анализа в кластерном анализе классы не заданы, а формируются в процессе обработки статистических данных. Например, кластерный анализ может быть применён для разбиения совокупности марок стали (или марок холодильников) на группы сходных между собой. Другой вид кластерного анализа — разбиение признаков на группы близких между собой. Показателем близости признаков может служить выборочный коэффициент корреляции. Цель кластерного анализа признаков может состоять в уменьшении числа контролируемых параметров, что позволяет существенно сократить затраты на контроль. Для этого из группы тесно связанных между собой признаков (у которых коэффициент корреляции близок к единице — своему максимальному значению) измеряют значение одного, а значения остальных рассчитывают с помощью регрессионного анализа. ==== Задачи группировки ==== Задачи группировки решают тогда, когда классы заранее не заданы и не обязаны быть «далёкими» друг от друга. Примером является группировка студентов по учебным группам. В технике решением задачи группировки часто является параметрический ряд — возможные типоразмеры группируются согласно элементам параметрического ряда. В литературе, нормативно-технических и инструктивно-методических документах по прикладной статистике также иногда используется группировка результатов наблюдений (например, при построении гистограмм). Задачи классификации решают не только в многомерном статистическом анализе, но и тогда, когда результатами наблюдений являются числа, функции или объекты нечисловой природы. Так, многие алгоритмы кластерного анализа используют только расстояния между объектами. Поэтому их можно применять и для классификации объектов нечисловой природы, лишь бы были заданы расстояния между ними. Простейшая задача классификации такова: даны две независимые выборки, требуется определить, представляют они два класса или один. В одномерной статистике эта задача сводится к проверке гипотезы однородности <ref name="orlov_ekon"/>. === Снижение размерности === Третий раздел многомерного статистического анализа — задачи снижения размерности с целью сжатия информации. Цель их решения состоит в определении набора производных показателей, полученных преобразованием исходных признаков, такого, что число производных показателей значительно меньше числа исходных признаков, но они содержат возможно бо́льшую часть информации, имеющейся в исходных статистических данных. Задачи снижения размерности решают с помощью методов многомерного шкалирования, главных компонент, факторного анализа и других. Например, в простейшей модели многомерного шкалирования исходные данные — попарные расстояния <math>\rho_{ij}</math>, <math>i,j = 1,2, \dots, k</math>, <math>i \ne j</math> между <math>k</math> объектами, а цель расчётов состоит в представлении объектов точками на плоскости. Это даёт возможность в буквальном смысле слова увидеть, как объекты соотносятся между собой. Для достижения этой цели необходимо каждому объекту поставить в соответствие точку на плоскости так, чтобы попарные расстояния <math>s_{ij}</math> между точками, соответствующими объектам с номерами <math>i</math> и <math>j</math>, возможно точнее воспроизводили расстояния <math>\rho_{ij}</math> между этими объектами. Согласно основной идее метода наименьших квадратов находят точки на плоскости так, чтобы величина : <math>\sum_{i = 1}^k\sum_{j = 1}^k(s_{ij}-\rho_{ij})^2</math> достигала своего наименьшего значения. Есть и многие другие постановки задач снижения размерности и визуализации данных. === Статистика случайных процессов и временны́х рядов === Методы статистики случайных процессов и временны́х рядов применяют для постановки и решения, в частности, следующих задач: * предсказание будущего развития случайного процесса или временно́го ряда; * управление случайным процессом (временны́м рядом) с целью достижения поставленных целей, например, заданных значений контролируемых параметров; * построение вероятностной модели реального процесса, обычно длящегося во времени, и изучение свойств этой модели. <div id="Пример 49"> '''Пример 49.''' При внедрении статистического регулирования технологического процесса нужно проверить, что в налаженном состоянии математическое ожидание контролируемого параметра не меняется со временем. Если подобное изменение будет обнаружено, то следует установить подналадочное устройство. </div> '''Пример 50.''' Следящие системы, например, входящие в состав автоматизированной системы управления технологическим процессом, должны выделять полезный сигнал на фоне шумов. Это — задача оценивания (полезного сигнала), в то время как в [[#Пример 49|примере 49]] речь шла о задаче проверки гипотезы. Методы статистики случайных процессов и временны́х рядов описаны в литературе <ref name="orlov_ekon"/>, <ref name="mnogom"/>. === Статистика объектов нечисловой природы === Методы статистики объектов нечисловой природы (статистики нечисловых данных, или нечисловой статистики) применяют всегда, когда результаты наблюдений являются объектами нечисловой природы. Например: * сообщениями о годности или дефектности единиц продукции, * информацией о сортности единиц продукции, * разбиениями единиц продукции на группы соответственно значения контролируемых параметров, * упорядочениями единиц продукции по качеству или инвестиционных проектов по предпочтительности, * фотографиями поверхности изделия, пораженной коррозией, и так далее. Итак, объекты нечисловой природы — это измерения по качественному признаку, множества, бинарные отношения (разбиения, упорядочения и другое) и многие другие математические объекты <ref name="orlov_ekon"/>. Они используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, в задачах управления качеством продукции, а также, например, в медицине и социологии, как для описания результатов приборных измерений, так и для анализа экспертных оценок. Для описания данных, являющихся объектами нечисловой природы, применяют, в частности, таблицы сопряжённости, а в качестве средних величин — решения оптимизационных задач <ref name="orlov_ekon"/>. В качестве выборочных средних для измерений в порядковой шкале используют медиану и моду, а в шкале наименований — только моду. О методах классификации нечисловых данных говорилось выше. Для решения параметрических задач оценивания используют оптимизационный подход, метод одношаговых оценок, метод максимального правдоподобия, метод устойчивых оценок. Для решения непараметрических задач оценивания наряду с оптимизационными подходами к оцениванию характеристик используют непараметрические оценки распределения случайного элемента, плотности распределения, функции, выражающей зависимость <ref name="orlov_ekon"/>. В качестве примера методов проверки статистических гипотез для объектов нечисловой природы рассмотрим критерий «хи-квадрат» (обозначают <math>\chi^2</math>), разработанный К. Пирсоном для проверки гипотезы однородности (другими словами, совпадения) распределений, соответствующих двум независимым выборкам. Рассматриваются две выборки объёмов <math>n_1</math> и <math>n_2</math>, состоящие из результатов наблюдений качественного признака, имеющего <math>k</math> градаций. Пусть <math>m_{1j}</math> и <math>m_{2j}</math> — количества элементов первой и второй выборок соответственно, для которых наблюдается <math>j</math>-я градация, а <math>p_{1j}</math> и <math>p_{2j}</math> — вероятности того, что эта градация будет принята, для элементов первой и второй выборок, <math>j = 1, 2, \dots, k</math>. Для проверки гипотезы однородности распределений, соответствующих двум независимым выборкам : <math>H_0{:}\; p_{1j} = p_{2j}, \quad j = 1, 2, \dots, k</math>, применяют критерий <math>\chi^2</math> со статистикой : <math>\chi^2 = n_1n_2 \sum_{j = 1}^k\frac{1}{m_{1j} + m_{2j}} \left( \frac{m_{1j}}{n_1}-\frac{m_{2j}}{n_2} \right)^2</math>. Установлено <ref name="kurs_tex_pril"/>, <ref name="mat_met_stat"/>, что статистика <math>\chi^2</math> при больши́х объёмах выборок <math>n_1</math> и <math>n_2</math> имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с <math>(k - 1)</math> степенью свободы. '''Пример 51.''' В таблице приведены данные о содержании [[w:Сера|серы]] в углеродистой стали, выплавляемой двумя металлургическими заводами. Проверим, можно ли считать распределения примеси серы в плавках стали этих двух заводов одинаковыми. {| class="standard" !colspan = 3|Распределения плавок стали по процентному содержанию серы |- !rowspan = 2|Содержание серы, в %||colspan = 2|Число плавок |- !Завод А||Завод Б |- |<math>0{,}00 \div 0{,}02</math>||82||63 |- |<math>0{,}02 \div 0{,}04</math>||535||429 |- |<math>0{,}04 \div 0{,}06</math>||1173||995 |- |<math>0{,}06 \div 0{,}08</math>||1714||1307 |} Расчёт по данным даёт <math>X^2 = 3{,}39</math>. Квантиль порядка 0,95 распределения хи-квадрат с <math>k - 1 = 3</math> степенями свободы равен <math>\chi_{0{,}95}^2(3) = 7{,}8</math>, поэтому гипотезу о совпадении функций распределения нельзя отклонить, а следует принять на уровне значимости <math>\alpha = 0{,}05</math>. Выше дано лишь краткое описание содержания прикладной статистики на современном этапе. Подробное изложение конкретных методов содержится в специальной литературе. == Литература == <references/> == Контрольные вопросы и задачи == 1. Расскажите о понятиях случайного события и его вероятности. 2. Почему закон больши́х чисел и центральная предельная теорема занимают центральное место в вероятностно-статистических методах? 3. Чем многомерный статистический анализ отличается от статистики объектов нечисловой природы? 4. Имеются три одинаковые с виду ящика. В первом <math>a</math> белых шаров и <math>b</math> чёрных; во втором <math>c</math> белых и <math>d</math> чёрных; в третьем только белые шары. Найдите вероятность случайного вытягивания белого шара. 5. Есть два трамвая с разными маршрутами. Один следует с интервалом <math>T_1</math>, другой — <math>T_2</math>. Пассажир может подойти к остановке в произвольное время. Какой может быть вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку, будет ждать не дольше <math>t</math>, где <math>0 < t < \min (T_1, T_2)</math>? 6. Два стрелка́ независимо один от другого делают по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка́ равна <math>p_1</math>, для второго — <math>p_2</math>. Выигравшим считается стрело́к, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность победы первого стрелка. 7. Колода из 52 [[w:Игральные карты|игральных карт]] делится на две равные стопки. Найти вероятности событий: * в каждой из пачек окажется по два туза; * в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой все четыре; * в одной из пачек будет один туз, а в другой три. <div id="Задача 8"> 8. Случайная величина <math>X</math> принимает значения 0 и 1, а случайная величина <math>Y</math> — значения -1, 0 и 1. Вероятности <math>P(X = i,\, Y = j)</math> задаются таблицей: {| ! !style="padding:.5em"|<math>Y = -1</math> !style="padding:.5em"|<math>Y = 0</math> !style="padding:.5em"|<math>Y = 1</math> |- !<math>X = 0</math> |style="text-align:center;padding:.5em"|<math>\frac{1}{16}</math> |style="text-align:center"|<math>\frac14</math> |style="text-align:center"|<math>\frac{1}{16}</math> |- !<math>X = 1</math> |style="text-align:center;padding:.5em"|<math>\frac{1}{16}</math> |style="text-align:center"|<math>\frac14</math> |style="text-align:center"|<math>\frac{5}{16}</math> |} Найдите распределение случайной величины <math>Z = XY</math>, её математическое ожидание и дисперсию. </div> 9. В условиях [[#Задача 8|задачи 8]] найдите распределение случайной величины <math>W = \frac{X}{Y + 3}</math>, её математическое ожидание и дисперсию. 10. Даны независимые случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> такие, что <math>M(X) = 1</math>, <math>D(X) = 3</math>, <math>M(Y) = -1</math>, <math>D(Y) = 2</math>. Найдите <math>M(aX + bY)</math> и <math>D(aX + bY)</math>, где <math>a = 3</math>, <math>b = -2</math>. == Темы докладов, рефератов, исследовательских работ == * Описание данных с помощью гистограмм и непараметрических оценок плотности. * Сравнительный анализ методов оценивания параметров и характеристик. * Преимущества одношаговых оценок по сравнению с оценками метода максимального правдоподобия. * Методы проверки однородности для независимых и связанных выборок. * Непараметрический регрессионный анализ. * Структура статистики нечисловых данных. * Аксиоматическое введение метрик и их использование в статистике объектов нечисловой природы. * Законы больши́х чисел в пространствах произвольной природы. * Непараметрические оценки плотности в пространствах произвольной природы, в том числе в дискретных пространствах. * Основные идеи статистики интервальных данных. * Оптимизационные постановки в вероятностно-статистических задачах принятия решений. == Приложение == === Темы задач прикладной статистики === Чтобы дать представление о богатом содержании теории рассматриваемых методов, приведём краткий перечень основных типов постановок задач прикладной статистики, широко используемых в практической деятельности и в научных исследованиях. Задачи рассмотрим в соответствии с описанной выше классификацией областей прикладной статистики. * Одномерная статистика. ** Описание материала. *** Расчёт выборочных характеристик распределения. *** Построение [[w:Гистограмма_(статистика)|гистограмм]] и [[w:Полигон_частот|полигонов частот]]. *** Приближение эмпирических распределений с помощью распределений из системы Пирсона и других систем. *** … ** Оценивание. *** Параметрическое оценивание. **** Правила определения оценок и доверительных границ для параметров [[w:Устойчивое_распределение|устойчивого распределения]]. **** Правила определения оценок и доверительных границ для параметров [[w:Логистическое_распределение|логистического распределения]]. **** Правила определения оценок и доверительных границ для параметров [[w:Экспоненциальное_распределение|экспоненциального распределения]] и смеси экспоненциальных распределений **** … (И так далее для различных семейств распределений.) *** Непараметрическое оценивание. **** Непараметрическое точечное и доверительное оценивание основных характеристик распределения — [[w:Математическое_ожидание|математического ожидания]], [[w:Дисперсия_случайной_величины|дисперсии]], [[w:Среднеквадратическое_отклонение|среднеквадратичного отклонения]], [[w:Коэффициент_вариации|коэффициента вариации]], [[w:Квантиль|квантилей]], прежде всего [[w:Медиана_(статистика)|медианы]]. **** Непараметрические оценки плотности и функции распределения. **** Непараметрическое оценивание параметра сдвига. **** … ** Проверка гипотез. *** Параметрические задачи проверки гипотез. **** Проверка равенства математических ожиданий для двух нормальных совокупностей. **** Проверка равенства дисперсий для двух нормальных совокупностей. **** Проверка равенства коэффициентов вариации для двух нормальных совокупностей. **** Проверка равенства математических ожиданий и дисперсий для двух нормальных совокупностей. **** Проверка равенства математического ожидания [[w:Нормальное_распределение|нормального распределения]] определённому значению. **** Проверка равенства дисперсии нормального распределения определённому значению **** … **** Проверка равенства параметров двух экспоненциальных совокупностей **** … (И так далее — проверка утверждений о параметрах для различных семейств распределений.) *** Непараметрические задачи проверки гипотез. **** Непараметрическая проверка равенства математических ожиданий для двух совокупностей. **** Непараметрическая проверка равенства дисперсий для двух совокупностей. **** Непараметрическая проверка равенства коэффициентов вариации для двух совокупностей. **** Непараметрическая проверка равенства математических ожиданий и дисперсий для двух совокупностей. **** Непараметрическая проверка равенства математического ожидания определённому значению. **** Непараметрическая проверка равенства дисперсии определённому значению. **** … **** Проверка гипотезы согласия с [[w:Равномерное_распределение|равномерным распределением]] по [[w:Критерий_согласия_Колмогорова|критерию Колмогорова]]. **** Проверка гипотезы согласия с равномерным распределением по критерию омега-квадрат (Крамера — Мизеса — Смирнова). **** Проверка гипотезы согласия с равномерным распределением по критерию Смирнова. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа Колмогорова при известной дисперсии. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа Колмогорова при известном математическом ожидании. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа Колмогорова (оба параметра неизвестны). **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа омега-квадрат при известной дисперсии. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа омега-квадрат при известном математическом ожидании. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа омега-квадрат (оба параметра неизвестны). **** Проверка гипотезы согласия с экспоненциальным семейством распределений по критерию типа омега-квадрат **** … (И так далее для различных семейств распределений, тех или иных предположениях о параметрах, всевозможных критериев.) **** Проверка гипотезы однородности двух выборок методом Смирнова. **** Проверка гипотезы однородности двух выборок методом омега-квадрат. **** Проверка гипотезы однородности двух выборок с помощью [[w:Критерий_Уилкоксона|критерия Уилкоксона]]. **** Проверка гипотезы однородности двух выборок по критерию [[w:Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Вардена]]. **** Проверка гипотезы симметрии функции распределения относительно 0 методом Смирнова. **** Проверка гипотезы симметрии функции распределения относительно 0 с помощью критерия типа омега-квадрат (Орлова). **** Проверка гипотезы независимости элементов выборки. **** Проверка гипотезы одинаковой распределённости элементов выборки **** … (И так далее.) * Многомерный статистический анализ. ** Описание материала. *** Расчёт выборочных характеристик (вектора средних, [[w:Ковариационная_матрица|ковариационной]] и [[w:Корреляция|корреляционной]] матриц и других). *** Таблицы [[w:Сопряжённое_пространство|сопряжённости]]. *** Детерминированные методы приближения [[w:Функциональная_зависимость|функциональной зависимости]]. **** [[w:Метод_наименьших_квадратов|Метод наименьших квадратов]]. **** [[w:Метод_наименьших_модулей|Метод наименьших модулей]]. **** [[w:Сплайн|Сплайны]] и другие. *** Методы снижения [[w:Размерность_(значения)|размерности]]. **** Алгоритмы [[w:Факторный_анализ|факторного анализа]]. **** Алгоритмы [[w:Метод_главных_компонент|метода главных компонент]]. **** Алгоритмы многомерного метрического [[w:Шкалирование|шкалирования]]. **** Алгоритмы многомерного неметрического шкалирования. **** Методы оптимального [[w:Проецирование|проецирования]] и другие. *** Методы [[w:Классификация_(задача)|классификации]]. **** Методы [[w:Кластерный_анализ|кластерного анализа]] — [[w:Иерархическая_кластеризация|иерархические процедуры]]. **** Методы кластерного анализа — оптимизационный подход. **** Методы кластерного анализа — [[w:Итерация|итерационные]] процедуры. **** … **** Методы группировки. **** … ** Оценивание. *** Параметрическое оценивание. **** Оценивание параметров [[w:Многомерное_нормальное_распределение|многомерного нормального распределения]]. **** Оценивание параметров в нормальной модели линейной регрессии. **** Методы расщепления смесей. **** Оценивание компонент дисперсии в [[w:Дисперсионный_анализ|дисперсионном анализе]] (в нормальной модели). **** Оценивание размерности и структуры модели в [[w:Регрессионный_анализ|регрессионном анализе]] (в нормальной модели). **** Оценивание в [[w:Дискриминантный_анализ|дискриминантном анализе]] (в нормальной модели). **** Оценивание в методах снижения размерности (в нормальной модели). **** Нелинейная регрессия. **** Методы [[w:Планирование_эксперимента|планирования эксперимента]]. *** Непараметрическое оценивание. **** Непараметрические оценки многомерной плотности. **** Непараметрическая регрессия (с погрешностями наблюдений произвольного вида). **** Непараметрическая регрессия (на основе непараметрических оценок многомерной плотности). **** Монотонная регрессия. **** Непараметрический дискриминантный анализ. **** Непараметрический дисперсионный анализ. **** … ** [[w:Проверка_статистических_гипотез|Проверка гипотез]]. *** Параметрические задачи проверки гипотез. **** [[w:Корреляционный_анализ|Корреляционный анализ]] (нормальная модель). **** Проверка гипотез об отличии коэффициентов при [[w:Предиктор|предикторах]] от 0 в линейной регрессии при справедливости нормальной модели. **** Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий нормальных совокупностей (дисперсионный анализ). **** Проверка гипотезы о совпадении двух линий регрессии (нормальная модель). **** … (И так далее.) *** Непараметрические задачи проверки гипотез. **** Непараметрический корреляционный анализ. **** Проверка гипотез об отличии коэффициентов при предикторах от 0 в линейной регрессии (непараметрическая постановка). **** Проверка гипотез в непараметрическом дисперсионном анализе. **** Проверка гипотезы о совпадении двух линий регрессии (непараметрическая постановка). **** … Здесь остановимся, ибо продолжение содержало бы много сложных тем, не освещённых в этой книге. Приведённый перечень даёт первоначальное представление об обширности разработанных математической статистикой средств познания. == Авторство == Изначальный вариант текста учебника был электронной копией книги «Математика случая. Вероятность и статистика – основные факты. Учебное пособие», помещённой на сайте [http://ru.wikibooks.org Викиучебник] лично её автором — [[w:Орлов, Александр Иванович|Александром Ивановичем Орловым]]. Сама электронная книга также доступна с его личного сайта (http://orlovs.pp.ru/stat/matslu.zip, RTF-документ в zip-архиве). Рецензентами книги были доктор физико-математических наук, профессор Я. Ю. Никитин и кафедра «Анализ стохастических процессов в экономике» Российской экономической академии им. Г. В. Плеханова Книга причастна серии «Статистические методы», в редакционном совете которой: * Богданов Ю. И. * Вощинин А. П. * Горбачёв О. Г. * Горский В. Г. * Кудлаев Э. М. * Натан А. А. * Новиков Д. А. * Орлов А. И. (председатель). * Татарова Г. Г. * Толстова Ю. Н. * Фалько С. Г. * Шведовский В. А. r3oh3plebhnsj6vukr33f9k4llb4u1q 267769 267657 2026-05-21T10:47:18Z AllaBuraya 79455 267769 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный }} <blockquote> Сжато, но строго рассмотрены вероятностно-статистические основы современных статистических методов. Изложение доведено до переднего края научных исследований и практических разработок. Рассмотрены все основные понятия, используемые при применении современных статистических методов. Особое внимание уделено непараметрическим подходам, статистике нечисловых данных и другим перспективным элементам высоких статистических технологий. Учебное пособие рекомендовано Всероссийской ассоциацией статистических методов. Для инженеров, менеджеров, экономистов, специалистов различных отраслей народного хозяйства, научных работников, студентов, слушателей, аспирантов и преподавателей, для всех, кому нужно в сжатые сроки овладеть понятийной базой статистических методов. </blockquote> <p style="text-align:right">Аннотация к [[#Авторство|исходному варианту книги]]</p> == Введение == [[w:Статистика|Статистика]] есть наука об обработке [[w:Данные|данных]]. Статистические методы основаны на [[w:Вероятность|вероятностных]] [[w:Модель (наука)|моделях]]. С обработкой результатов наблюдений, измерений, испытаний, опытов, анализов имеют дело специалисты почти во всех областях научных исследований. Шесть [[w:Нобелевская премия|нобелевских премий]] получены [[w:Эконометрика|эконометриками]], — специалистами по статистическим методам в [[w:Эконометрика|экономике]]. Современная теория вероятностей основана на аксиоматике [[w:Колмогоров, Андрей Николаевич|Андрея Николаевича Колмогорова]]. Однако в России специалисты и научные работники, студенты и преподаватели пока недостаточно знакомы с последними достижениями в области вероятностно-статистических методов, хотя ссылки на них постоянно встречаются в научно-технической, деловой и учебной литературе. Эта книга кратко, но на современном уровне расскажет об основных вероятностно-статистических понятиях и фактах. Кто ещё не знаком с этой ведущей областью современной науки, смогут быстро дойти до фронта исследований, а те, кто уже́ изучал основы теории вероятностей и [[w:Математическая статистика|математической статистики]], быстро восстановят и повысят свои знания и смогут умело применять их в своей работе. В частности, применять профессиональные статистическое [[w:Программное обеспечение|программное обеспечение]], нормативно-техническую и инструктивно-методическую документацию. ==== Специалисту ==== Инженеру, менеджеру, экономисту, научному работнику… — практически любому специалисту приходится применять методы исследования, основанные на теории вероятностей и статистике. Но многим их трудно освоить. ==== Студенту ==== В специальных дисциплинах часто используются вероятностно-статистические методы и модели. Значит, надо уметь в них разобраться. То, что было сдано годы назад, уже́ забыто, да и недостаточно для решения новых задач. Не стоит искать старые конспекты и заново читать толстые учебники. Надо быстро освежить свои знания или снова, на этот раз ускоренно, познакомиться с основными фактами теории вероятностей и статистики. Эта книга — для вас! ==== Профессионалу ==== Вы постоянно обрабатываете данные. Но вероятностно-статистические методы и модели развиваются. Отслеживаете ли вы изменения? Вы знаете, что [[w:t-критерий Стьюдента|критерий Стьюдента]] устарел и что следует использовать вместо него? Хорошо ли знаете статистику нечисловых данных? Если да, то эта книга для вас слишком проста. Если же нет — приглашаем ознакомиться с современным взглядом на теорию вероятностей и статистику. === Сравнение с аналогами === Как познакомиться с терминологией незнакомой области? Первая мысль — из энциклопедии, такой как «Вероятность и математическая статистика» <ref name="ver_mat_stat">Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. акад. РАН Ю. В. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910 с.</ref>. Однако толщина энциклопедии обескураживает, а большинство статей в ней доступны лишь математикам-профессионалам. Делались попытки составлять более или менее полные сводки терминов, определений и обозначений. Например, в учебник <ref name="orlov_ekon">Орлов А. И. Эконометрика. Учебник. 2-е изд. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с.</ref> по эконометрике нами включена такая сводка. Однако получить целостное представление о необходимой для освоения учебника базовой области знания таким образом невозможно. Аналогами являются многочисленные учебники и учебные пособия по теории вероятностей и математической статистике, как части типового курса высшей математики, и по общей теории статистики как части экономического образования. У всех этих изданий два изъяна: во-первых, содержат много сведений, не используемых впоследствии в практической работе, хотя и полезных при первоначальном изучении предмета; во-вторых, не дают достаточно сведений о ''современных'' статистических методах. Они не освещают многие методы, входящие в программные средства по обработке данных и статистическим вычислениям, такие как [[w:SPSS|SPSS]], [[w:en:Stata|Stata]], Statistica, или [[w:MATLAB|MATLAB]]. === Замысел книги === Поныне существует разрыв между типовыми курсами по математической статистике и государственными стандартами по статистическим методам управления качеством промышленной продукции (http://www.centerprioritet.ru/tc125/index.htm). Первоначальный вариант этой книги стремился заполнить его. Похожие проблемы имеются и в других направлениях: в социально-экономической области (в экономике, [[w:Менеджмент|менеджменте]], [[#Социология|социологии]]), в научных медицинских исследованиях. Стала очевидной необходимость создания нового рода книг, предназначенных для информационной поддержки современных разработок с использованием статистических методов. Такие книги должны давать краткое, но законченное введение в используемые ныне статистические методы. === Структура книги === Краткое, но законченное введение в используемые ныне статистические методы даёт эта книга. По ходу изложения постоянно отмечаются возможности применения рассматриваемых концепций при решении практических задач. Конкретные методы обработки данных здесь почти не разбираются, но даётся вся необходимая база для восприятия описаний таких методов. Это и есть основная задача книги. О содержании книги исчерпывающее представление даёт [[#toc|оглавление]]. [[w:Математическое доказательство|Доказательства]] [[w:Теорема|теорем]] не приводятся. Лишь во главе, посвящённой опытам с конечным числом исходов, приводятся элементарные доказательства. Автор неоднократно проводил занятия для школьников и студентов по материалам этой главы. '''Замечание для математиков-профессионалов.''' В изложении удалось обойти ряд математических сложностей. Хотя математические основы теории вероятностей предполагают использование [[w:Сигма-алгебра|σ-алгебр]] событий ([[w:Измеримое множество|измеримых множеств]]) и [[w:Интеграл Лебега|интеграла Лебега]], прикладникам эти понятия едва нужны, и в книге им внимания не уделяется. Поэтому же не акцентируется внимание на условиях справедливости [[w:Центральная предельная теорема|центральной предельной теоремы]], и так далее. Даны [[#Контрольные вопросы и задачи|контрольные вопросы и задачи]], а также [[#Темы докладов, рефератов, исследовательских работ|примерные темы докладов, рефератов и исследовательских работ]]. В [[#Приложение|приложении]] дан краткий перечень основных [[#Темы задач прикладной статистики|тем задач прикладной статистики]], широко используемых в практической деятельности и в научных исследованиях. Обширность этого перечня показывает, что конкретным статистическим методам должны быть посвящены отдельные издания достаточно большого объёма. Содержимое книги прошло многолетнюю и всестороннюю проверку. Оно использовалось во многих других отечественных и зарубежных образовательных и иных организациях. Автор благодарен своим многочисленным коллегам, слушателям и студентам, прежде всего различных образовательных структур [[w:Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана|Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана]], за полезные обсуждения. <span id="Сайты">С текущей научной информацией по статистическим методам можно познакомиться на сайте автора «Высокие статистические технологии» http://orlovs.pp.ru, его форуме http://forum.orlovs.pp.ru, а также на ранее разработанных сайтах, http://antorlov.chat.ru, http://antorlov.euro.ru</span>. Достаточно большой объём информации содержит еженедельная рассылка «Эконометрика», выпускаемая с июля 2000 года (о ней рассказано на [[#Сайты|указанных выше сайтах]]). Автор искренне благодарен редактору этого электронного издания А. А. Орлову за многолетний энтузиазм по выпуску еженедельника. В книге раскрыто представление о случае, вероятности и статистике, соответствующее общепринятому в мире. Возможны различные точки зрения по частным вопросам; [[#Авторство|Автор]] с радостью примет вопросы и замечания. == Нужность математической статистики == Теория вероятностей и математическая статистика суть основы вероятностно-статистических методов обработки данных. Данные мы обрабатываем и анализируем прежде всего для принятия решений. Чтобы воспользоваться современным математическим аппаратом, необходимо рассматриваемые задачи выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода состоит из трёх этапов: # Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, то есть построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и тому подобного. # Проведение расчётов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели. # Толкование математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и подобном). [[w:Математическая статистика|Математическая статистика]] применяет понятия, методы и результаты [[w:Теория вероятностей|теории вероятностей]]. Далее рассматриваем основные вопросы построения вероятностных моделей в разнообразных случаях. Подчеркнём, что для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какие исходные данные нужны для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных, и так далее. === Примеры применения теории вероятностей и математической статистики === Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим средством решения задач. <div id="Примеры применения"> <div id="Брак в мастерской"> В романе [[w:Толстой, Алексей Николаевич|Алексея Николаевича Толстого]] «[[w:Хождение по мукам (роман)|Хождение по мукам]]» (том 1) говорится: «мастерская даёт двадцать три процента брака, этой цифры вы и держи́тесь, — сказал Струков Ивану Ильичу». Как понимать эти слова в разговоре руководителей завода? Eдиница продукции не может быть дефектна на 23 %. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверноe, Струков мыслил, что в партии большого объёма содержится примерно 23 % дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос: а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 — 300, или из 100 000 — 30 000… Надо ли обвинять Струкова во лжи? </div> Монетка, используемая как [[w:Жребий|жребий]], должна быть «симметричной»: в среднем в половине случаев подбрасывания должен выпадать [[w:Орёл (сторона монеты)|орёл]], а в половине случаев — [[w:Решка|решка]]. Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает орлом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5 % серий. А если на 100 000 бросаний окажется 40 000 орлов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики. </div> Пример может показаться несерьёзным. Это не так. Жеребьёвка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) [[w:Подшипник|подшипников]] в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и тому подобных). Допустим, нужно сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло одного состава, а какие — в другое, но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ может быть получен с помощью жребия. Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из неё выбирается представительная часть: по этой выборке судят о всей партии. Поэтому желательно, чтобы каждая единица в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть выбранной. В производственных условиях выбор единиц продукции обычно делают не жребием, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел. Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности. Всюду нужна жеребьёвка или подобные ей меры. Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду при организации турнира по [[w:Плей-офф|олимпийской системе]] (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал только когда до финала у неё не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадёт. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя её в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьёвку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4 из 7. Соответственно с вероятностью 3 из 7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно. При любом измерении единиц продукции (с помощью [[w:Штангенциркуль|штангенциркуля]], [[w:Микрометр (инструмент)|микрометра]], [[w:Амперметр|амперметра]]…) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо многократно измерить единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность. Встаёт вопрос, как по измерениям выявить систематическую погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к уже́ рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты: положительную погрешность — с выпадением орла, отрицательную — решки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты. Итак, задача проверки на систематическую погрешность сведена к задаче проверки симметричности монеты. Проведённые рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике. При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приёмочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки [[w:Гипотеза|гипотез]], в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определённому числу <math>p_0</math>, например, <math>p_0 = 0{,}23</math>. === Задачи оценивания === В ряде ситуаций возникают задачи оценки характеристик и параметров распределений вероятностей. Рассмотрим пример. Пусть на контроль поступила партия из <math>N</math> [[w:Электровакуумная лампа|электроламп]]. Из этой партии случайным образом выбрано <math>n</math> электроламп. Возникает ряд естественных вопросов. Как по результатам испытаний элементов выборки определить средний срок службы электроламп, с какой точностью можно оценить эту характеристику? Как изменится точность, если взять выборку большего объёма? При каком числе часов <math>T</math> можно уверять, что не менее 90 % электроламп прослужат <math>T</math> и более часов? Предположим, что при испытании выборки дефектными оказались <math>X</math> электроламп. Какие границы можно указать для числа <math>D</math> дефектных электроламп в партии, для уровня дефектности <math>\frac D N</math> и тому подобного? Или при статистическом анализе точности и стабильности технологических процессов надлежит оценить такие показатели качества, как среднее значение контролируемого параметра и степень его разброса в рассматриваемом процессе. Согласно теории вероятностей в качестве среднего значения случайной величины целесообразно использовать её [[w:Математическое ожидание|математическое ожидание]], а в качестве статистической характеристики разброса — [[w:Дисперсия случайной величины|дисперсию]], [[w:Среднеквадратичное отклонение|среднеквадратичное отклонение]] или [[w:Коэффициент вариации|коэффициент вариации]]. Возникают вопросы: как оценить эти статистические характеристики по выборочным данным и с какой точностью это удаcтся сделать? Аналогичных примеров можно привести много. Здесь важно показать, как теория вероятностей и математическая статистика могут быть использованы в инженерных и управленческих задачах. === Вероятностно-статистические методы и оптимизация === Идея [[w:Оптимизация|оптимизации]] пронизывает прикладную математическую статистику и иные статистические методы. А именно, методы планирования экспериментов, статистического приёмочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и другие. С другой стороны, оптимизационные постановки в [[w:Теория принятия решений|теории принятия решений]], например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики. В [[w:Производство|производственном]] управлении, в частности, при оптимизации качества продукции и требований стандартов особенно важно применять статистические методы на начальном этапе жизненного цикла продукции, этапе научно-исследовательской подготовки опытно-конструкторских разработок (разработка перспективных требований к продукции, аванпроекта, [[w:Техническое задание|технического задания]] на опытно-конструкторскую разработку). Это объясняется ограниченностью информации, доступной на начальном этапе [[w:Жизненный цикл изделия|жизненного цикла]] продукции, и необходимостью прогнозирования технических возможностей и экономической ситуации на будущее. Статистические методы должны применяться на всех этапах решения задачи оптимизации: при [[w:Шкалирование|шкалировании]] переменных, разработке математических моделей функционирования изделий и систем, проведении технических и экономических экспериментов и тому подобном. В задачах оптимизации, в том числе оптимизации качества продукции и требований стандартов, используют все области статистики. А именно, статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику случайных процессов и [[w:Временной ряд|временны́х рядов]], статистику объектов нечисловой природы. Разработаны рекомендации по выбору статистического метода для анализа конкретных данных <ref name="rekom">Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики / Орлов А. И., Фомин В. Н. и др. — М.: ВНИИ Стандартизации, 1987. — 62 с.</ref>. == Коротко об истории == Математическая статистика как наука начинается с работ [[w:Гаусс, Карл Фридрих|Карла Фридриха Гаусса]], на основе теории вероятностей исследовавшего и обосновавшего метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 году и применённый для обработки астрономических данных (с целью уточнения орбиты [[w:Карликовая планета|карликовой планеты]] [[w:Церера|Церера]]). Его именем часто называют одно из наиболее популярных распределений вероятностей — [[w:Нормальное распределение|нормальное]], а в теории случайных процессов основной объект изучения — [[w:Гауссовский процесс|гауссовские процессы]]. В конце XIX — начале ХХ века крупный вклад в математическую статистику внесли английские исследователи, прежде всего [[w:Пирсон, Карл|Карл Пирсон]] (1857—1936) и [[w:Фишер, Роналд Эйлмер|Роналд Фишер]] (1890—1962). В частности, Пирсон разработал критерий «[[w:Распределение хи-квадрат|хи-квадрат]]» проверки статистических гипотез, а Фишер — [[w:Дисперсионный анализ|дисперсионный анализ]], [[w:Теория планирования эксперимента|теорию планирования эксперимента]], метод максимального правдоподобия оценки параметров. В 30-е годы ХХ века поляк [[w:Нейман, Ежи|Ежи Нейман]] (1894—1977) и англичанин [[w:Пирсон, Эгон|Эгон Пирсон]] развили общую теорию проверки статистических гипотез, а советские математики [[w:Колмогоров, Андрей Николаевич|Андрей Николаевич Колмогоров]] (1903—1987) и [[w:Смирнов, Николай Васильевич|Николай Васильевич Смирнов]] (1900—1966) заложили основы непараметрической статистики. В 40-е годы ХХ века румын Авраам Вальд (1902—1950) построил теорию последовательного статистического анализа. Математическая статистика бурно развивается и ныне. За последние 40 лет можно выделить четыре принципиально новых направления исследований: # Разработка и внедрение математических методов планирования экспериментов; # Развитие статистики объектов нечисловой природы как самостоятельного направления в прикладной математической статистике; # Развитие статистических методов, устойчивых по отношению к малым отклонениям от используемой вероятностной модели; # Широкое развёртывание работ по созданию компьютерных пакетов программ, предназначенных для проведения статистического анализа данных. == Современное представление о математической статистике == Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвящённый математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использованию их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надёжность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала» <ref name="ver_mat_stat"/> с. 326. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. По типу решаемых задач математическая статистика обычно делится на три раздела: описание данных, оценка и проверка гипотез. По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления: * Одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается [[w:Вещественное число|действительным числом]]. * Многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами ([[w:Вектор (алгебра)|вектором]]). * Статистика случайных процессов и временны́х рядов, где результат наблюдения — [[w:Функция (математика)|функция]]. * Статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является [[w:Множество|множеством]] ([[w:Фигура (геометрия)|геометрической фигурой]]), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку. Исторически первыми появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика. Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики. Лишь те методы обработки данных, то есть математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идёт о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и тому подобного. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, то есть её адекватность, обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез. Невероятностные методы обработки данных являются поисковыми, их можно использовать лишь при предварительном анализе данных, так как они не дают возможности оценить точность и надёжность выводов, полученных на основании ограниченного статистического материала. Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удаётся построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции). В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвящённого статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью её методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приёмочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надёжности и другие. Широко применяются такие прикладные вероятностно-статистические дисциплины, как теория надёжности и [[w:Теория массового обслуживания|теория массового обслуживания]]. Содержание первой из них ясно из названия, вторая занимается изучением систем типа телефонной станции, на которую в случайные моменты времени поступают вызовы — требования абонентов, набирающих номера на своих телефонных аппаратах. Длительность обслуживания этих требований, то есть длительность разговоров, также моделируется случайными величинами. Большой вклад в развитие этих дисциплин внесли [[w:Хинчин, Александр Яковлевич|Александр Яковлевич Хинчин]] (1894—1959), [[w:Гнеденко, Борис Владимирович|Борис Владимирович Гнеденко]] (1912—1995) и другие отечественные учёные. == Основы теории вероятностей == Этот раздел содержит полные доказательства всех рассматриваемых утверждений. === События и множества === Исходное понятие при построении вероятностных моделей в задачах принятия решений — опыт, или испытание. Примеры опытов: проверка качества единицы продукции, бросание [[w:Игральная кость|игральных костей]], исход спортивного матча. Первый шаг при построении вероятностной модели реального явления или процесса — выделение возможных исходов опыта. Их называют ''[[w:Элементарное событие|элементарными событиями]]''. Обычно считают, что в первом опыте возможны два исхода — «единица продукции годна» и «единица продукции дефектна». Естественно принять, что при бросании монеты осуществляется одно из двух элементарных событий: «выпала решка» и «выпал орёл». При этом случаи «монета встала на ребро» или «монету не удалось найти» считаем невозможными. При бросании трёх монет элементарных событий значительно больше. Вот одно из них: «первая монета выпала орлом, вторая — решкой, третья — снова орлом». Перечислим все элементарные события в этом опыте. Для этого обозначим выпадение орла буквой <math>\mathrm{O}</math>, а решки — буквой <math>\mathrm{P}</math>. Имеется <math>2^3 = 8</math> элементарных событий: <math>\mathrm{OOO}</math>, <math>\mathrm{OOP}</math>, <math>\mathrm{OPO}</math>, <math>\mathrm{OPP}</math>, <math>\mathrm{POO}</math>, <math>\mathrm{POP}</math>, <math>\mathrm{PPO}</math>, <math>\mathrm{PPP}</math>. В каждой тройке символов первый показывает результат бросания первой монеты, второй — второй монеты, третий — третьей монеты. Совокупность всех возможных исходов опыта, всех элементарных событий, называется ''пространством элементарных событий''. Вначале мы ограничимся пространством элементарных событий, состоящим из конечного числа элементов. С математической точки зрения пространство (совокупность) всех элементарных событий, возможных в опыте, — это некоторое множество, а элементарные события — его элементы. Однако в теории вероятностей для обозначения используемых понятий по традиции применяются свои термины, отличающиеся от терминов [[w:Теория множеств|теории множеств]]. {| class = "standard" |+ Таблица 1. Соответствие терминов !Теория вероятностей !Теория множеств |- |Пространство элементарных событий |Множество |- |Элементарное событие |Элемент множества |- |Событие |Подмножество |- |Достоверное событие |Подмножество, совпадающее с множеством |- |Невозможное событие |Пустое подмножество <math>\varnothing</math> |- |Сумма <math>A + B</math> событий <math>A</math> и <math>B</math> |Объединение <math>A \cup B</math> |- |Произведение <math>AB</math> событий <math>A</math> и <math>B</math> |Пересечение <math>A \cap B</math> |- |Событие, противоположное <math>A</math> |Дополнение <math>A</math> |- |События <math>A</math> и <math>B</math> несовместны |<math>A \cap B</math> пусто |- |События <math>A</math> и <math>B</math> совместны |<math>A \cap B</math> не пусто |- |} Как сложились два параллельных терминологических ряда? Основные понятия теории вероятностей и её терминология сформировались в XVII—XVIII веках. Теория множеств возникла в конце XIX века независимо от теории вероятностей и получила распространение в ХХ веке. Принятый ныне аксиоматический подход к теории вероятностей, разработанный Колмогоровым, дал возможность развивать эту дисциплину на базе теории множеств и [[w:Теория меры|теории меры]]. Этот подход позволил рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику как часть математики, проводить рассуждения на математическом уровне строгости. В частности, было введено чёткое различие между частотой и вероятностью, случайная величина стала рассматриваться как функция от элементарного исхода, и так далее. За основу методов статистического анализа данных стало возможным брать вероятностно-статистические модели, сформулированные в математических терминах. В результате удалось чётко отделить строгие утверждения от обсуждения философских вопросов случайности, преодолеть подход на основе понятия равновозможности, имеющий ограниченное практическое значение. Наиболее существенно, что после работ Колмогорова нет необходимости связывать вероятности тех или иных событий с пределами частот. Так называемые «субъективные вероятности» получили смысл экспертных оценок вероятностей. После выхода в 1933 году (на немецком языке, и в 1936 — на русском) основополагающей монографии <ref name="kolm_osn">Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 80 с.</ref> аксиоматический подход к теории вероятностей стал общепринятым в исследованиях в этой области. Во многом перестроилось преподавание. Повысился научный уровень многих прикладных работ. Но всё ещё распространены устаревшие и во многом неверные представления о теории вероятностей и математической статистике. Поэтому в настоящей главе рассматриваем основные понятия, подходы, идеи, методы и результаты в этих областях, необходимые для их квалифицированного применения в задачах различных областей знаний и практической деятельности. В послевоенные годы Колмогоров формализовал понятие ''случайности'' на основе [[w:Теория информации|теории информации]] <ref name="kolm_teor_inf">Колмогоров А. Н. Теория информации и теория алгоритмов. — М.: Наука, 1987. — 304 с.</ref>. Грубо говоря, числовая последовательность является случайной, если её нельзя заметно сжать без потери информации. Однако этот подход не был предназначен для использования в прикладных работах и преподавании. Он представляет собой важное методологическое и теоретическое продвижение. === Вероятность события === Перейдём к основному понятию теории вероятностей — вероятности события. В методологических терминах можно сказать, что вероятность события является мерой возможности осуществления события. В ряде случаев естественно считать, что вероятность события <math>A</math> — это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события <math>A</math> к общему числу всех опытов (то есть частота осуществления события <math>A</math>) — при увеличении числа опытов, проводящихся независимо друг от друга. Иногда можно предсказать это число из соображений равновозможности. Так, при бросании симметричной монеты и орёл, и решка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, а именно, 1 шанс из 2, а потому вероятности выпадения орла и решки равны <math>\ \tfrac12</math>. Однако этих соображений недостаточно для развития теории. Методологическое определение не даёт численных значений. Не все вероятности можно оценивать как пределы частот, и неясно, сколько опытов надо брать. На основе идеи равновозможности можно решить ряд задач, но в большинстве практических ситуаций применить её нельзя. Например, для оценки вероятности дефектности единицы продукции. Поэтому перейдём к определениям в рамках аксиоматического подхода на базе математической модели, предложенной Колмогоровым. <div id="Определение 1"> '''Определение 1.''' Пусть конечное множество <math>\Omega = \{\omega\}</math> является пространством элементарных событий, соответствующим некоторому опыту. Пусть каждому <math>\omega \in \Omega</math> поставлено в соответствие неотрицательное число <math>P(\omega)</math>, называемое вероятностью элементарного события <math>\omega</math>, причём сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, то есть : <math>\sum_{\omega\in\Omega} P(\omega) = 1</math>. {{metka|1}} Тогда пара <math>\{\Omega, P\}</math>, состоящая из конечного множества <math>\Omega</math> и неотрицательной функции <math>P</math>, определённой на <math>\Omega</math> и удовлетворяющей условию [[#metka_1|(1)]], называется ''[[w:Вероятностное пространство|вероятностным пространством]]''. Вероятность события <math>A</math> равна сумме вероятностей элементарных событий, входящих в <math>A</math>, то есть определяется равенством : <math>P(A) = \sum_{\omega\in A} P(\omega)</math>. {{metka|2}} </div> Сконструирован математический объект, основной при построении вероятностных моделей. Рассмотрим примеры. '''Пример 1.''' Бросанию монеты соответствует вероятностное пространство с <math>\Omega = \{\mathrm{O}, \mathrm{P}\}</math> и <math>P(\mathrm{O}) = P(\mathrm{P}) = \tfrac12</math>. Здесь <math>\mathrm{O}</math> означает, что выпал орёл, <math>\mathrm{P}</math> — выпала решка. '''Пример 2.''' Проверке качества одной единицы продукции (в ситуации, описанной в романе А. Н. Толстого «Хождение по мукам», см. [[#Брак в мастерской|выше]]) соответствует вероятностное пространство с <math>\Omega = \{N, G\}</math> и <math>P(N) = 0,23</math>, <math>P(G) = 0,77</math>. Здесь <math>N</math> означает негодную единицу продукции, <math>G</math> — годную. Отметим, что приведённое [[#metka_2|выше]] определение вероятности <math>P(A)</math> согласуется с интуитивным представлением о связи вероятностей события и входящих в него элементарных событий, и с распространённым мнением, согласно которому вероятность события <math>A</math> — число от 0 до 1, представляющее предел частоты реализации события <math>A</math> при неограниченном числе повторений одного и того же комплекса условий. Из определения вероятности события, свойств символа суммирования и равенства [[#metka_1|(1)]] вытекает, что : <math>P(\Omega) = 1</math>, {{metka|3a}} : <math>P(\varnothing) = 0</math>, {{metka|3б}} : <math>P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)</math>. {{metka|3в}} Для несовместных событий <math>A</math> и <math>B</math> согласно формуле [[#metka_3в|(3в)]] <math>P(A + B) = P(A) + P(B)</math>. Последнее утверждение называют также ''теоремой сложения вероятностей''. <!-- k --> === Независимые события === При применении вероятностно-статистических методов принятия решений постоянно используется понятие ''[[#Независимость (теория вероятностей)|независимости]]''. Например, при применении статистических методов управления качеством продукции говорят о независимых измерениях значений контролируемых параметров у включенных в выборку единиц продукции, о независимости появления дефектов одного вида от появления дефектов другого вида. Независимость случайных событий понимается в вероятностных моделях в следующем смысле. <div id="Определение независимости"> '''Определение 2.''' События <math>A</math> и <math>B</math> называются независимыми, если <math>P(AB) = P(A) \cdot P(B)</math>. </div> Это определение соответствует интуитивному представлению о независимости: осуществление или неосуществление одного события не должно влиять на осуществление или неосуществление другого. Иногда соотношение <math>P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)</math>, справедливое при <math>P(A) \cdot P(B) > 0</math>, называют также ''теоремой умножения вероятностей''. (Если <math>P(A) \cdot P(B) = 0</math>, то хотя бы одна из условных вероятностей не определена.) '''Утверждение 1.''' Пусть события <math>A</math> и <math>B</math> независимы. Тогда события <math>\overline A</math> и <math>\overline B</math> независимы, события <math>\overline A</math> и <math>B</math> независимы, события <math>A</math> и <math>\overline B</math> независимы (здесь надчёркивание означает действие, противоположное данному; другими словами, <math>\overline A</math> — событие, противоположное <math>A</math>, или в терминах теории множеств: множество <math>\overline A</math> — дополнение множества <math>A</math>). Действительно, из формулы [[#metka_3в|(3в)]] следует, что для событий <math>C</math> и <math>D</math>, произведение которых пусто, <math>P(C + D) = P(C) + P(D)</math>. Поскольку пересечение <math>AB</math> и <math>\overline A B</math> пусто, а объединение есть <math>B</math>, то : <math>P(AB) + P(\overline A B) = P(B)</math>. <math>A</math> и <math>B</math> независимы, поэтому : <math>P(\overline AB) = P(B) - P(AB) = P(B) - P(A) \cdot P(B) = P(B) \Big( 1 - P(A) \Big)</math>. Заметим теперь, что из соотношений [[#metka_1|(1)]] и [[#metka_2|(2)]] следует, что <math>P(\overline A) = 1 - P(A)</math>. Значит, : <math>P(\overline A B) = P(\overline A) \cdot P(B)</math>. Вывод равенства <math>P(A\overline B) = P(A) P(\overline B)</math> отличается от предыдущего лишь переменой мест <math>A</math> и <math>B</math> всюду. Для доказательства независимости <math>\overline A</math> и <math>\overline B</math> вспомним, что события <math>AB</math>, <math>\overline A B</math>, <math>A \overline B</math> и <math>\overline A\, \overline B</math> не имеют попарно общих элементов, а в сумме составляют всё пространство элементарных событий. Следовательно, : <math>P(AB) + P(\overline AB) + P(A\overline B) + P(\overline A\,\overline B) = 1</math>. Воспользовавшись ранее доказанными соотношениями, получаем, что : <math>P(\overline A\, \overline B) = 1 - P(AB) - P(B) \Big( 1 - P(A) \Big) - P(A) \Big( 1 - P(B) \Big) = \Big( 1 - P(A) \Big) \Big( 1 - P(B) \Big) = P(\overline A)P(\overline B)</math>, что и требовалось доказать. '''Пример 3.''' Рассмотрим опыт бросания игрального кубика. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы выпасть. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху — грань с чётным числом» и «наверху — грань с числом, кратным 3» независимы. Пространство элементарных исходов состоит из шести элементов: «наверху — грань с 〈''целые числа от 1 до 6''〉». Событие «наверху — грань с чётным числом» состоит из трёх элементарных событий: когда наверху оказывается 2, 4 или 6. Событие «наверху — грань с числом, кратным 3» состоит из двух элементарных событий — когда наверху оказывается 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность <math>\tfrac16</math>. По определению событие «наверху — грань с чётным числом» имеет вероятность <math>\tfrac12</math>, а событие «наверху — грань с числом, кратным 3» — вероятность <math>\tfrac13</math>. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху — грань с 6», а потому имеет вероятность <math>\tfrac16</math>. Поскольку <math>\tfrac16 = \tfrac12 \cdot \tfrac13</math>, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с [[#Определение независимости|определением независимости]]. ==== Независимые испытания ==== В вероятностных моделях процедур принятия решений с помощью понятия независимости событий можно придать точный смысл понятию «независимые испытания». Для этого рассмотрим сложный опыт, состоящий в проведении двух испытаний. Эти испытания называются независимыми, если любые два события <math>A</math> и <math>B</math>, из которых <math>A</math> определяется по исходу первого испытания, а <math>B</math> — по исходу второго, являются независимыми. '''Пример 4.''' Опишем вероятностное пространство, соответствующее бросанию двух монет независимо друг от друга. ''Разбор примера.'' Пространство элементарных событий состоит из четырёх элементов: <math>\{\mathrm{OO}, \mathrm{OP}, \mathrm{PO}, \mathrm{PP}\}</math> (запись <math>\mathrm{OO}</math> означает, что первая монета выпала орлом и вторая — тоже орлом; запись <math>\mathrm{PO}</math> — первая — решкой, а вторая — орлом, и так далее). Поскольку события «первая монета выпала решкой» и «вторая монета выпала орлом» являются независимыми по определению независимых испытаний и вероятность каждого из них равна <math>\tfrac12</math>, то вероятность <math>\mathrm{PO}</math> равна <math>\tfrac14</math>. Аналогично, вероятность каждого из остальных элементарных событий также равна <math>\tfrac14</math>. '''Пример 5.''' Опишем вероятностное пространство, соответствующее проверке качества двух единиц продукции независимо друг от друга, если вероятность дефектности равна <var>х</var>. ''Разбор примера.'' Пространство элементарных событий состоит из четырёх элементов: * <math>\omega_1</math> — обе единицы продукции годны; * <math>\omega_2</math> — первая единица продукции годна, а вторая — дефектна; * <math>\omega_3</math> — первая единица продукции дефектна, а вторая — годна; * <math>\omega_4</math> — обе единицы продукции являются дефектными. Вероятность того, что единица продукции дефектна, есть <math>x</math>, а потому вероятность того, что имеет место противоположное событие, то есть единица продукции годна, есть <math>1 - x</math>. Поскольку результат проверки первой единицы продукции не зависит от такового для второй, то : <math>P(\omega_1) = (1 - x)^2</math>, : <math>P(\omega_2) = P(\omega_3) = x(1 - x)</math>, : <math>P(\omega_4) = x^2</math>. === Условные вероятности === В некоторых задачах прикладной статистики оказывается полезным такое понятие, как ''[[w:Условная вероятность|условная вероятность]]'' <math>P(B|A)</math> — вероятность осуществления <math>B</math> при условии, что <math>A</math> произошло. При <math>P(A) > 0</math> по определению : <math>P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}</math>. Для независимых событий <math>A</math> и <math>B</math>, очевидно, <math>P(B|A) = P(B)</math>. Это равенство эквивалентно определению независимости. Понятия условной вероятности и независимости введены [[w:Муавр, Абрахам де|Абрахамом де Муавром]] в 1718 году. Недостаточно попарной независимости событий для их независимости в совокупности. Рассмотрим классический пример <ref name="gned_kurs">Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник. 7-е изд., исправл. — М.: Эдиториал УРСC, 2001. — 320 с.</ref>, с. 46. Пусть одна грань [[w:Тетраэдр|тетраэдра]] окрашена в красный цвет, вторая — в зелёный, третья грань окрашена в синий цвет и четвёртая — во все эти три цве́та. Пусть событие <math>A</math> состоит в том, что грань, на которую упал тетраэдр при бросании, окрашена красным (полностью или частично), событие <math>B</math> — зелёным, событие <math>C</math> — синим. Пусть при бросании все четыре грани тетраэдра имеют одинаковые шансы оказаться внизу. Поскольку граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет, то <math>P(A) = \frac12</math>. Легко подсчитать, что : <math>P(B) = P(C) = P(A|B) = P(B|C) = P(C|A) = P(B|A) = P(C|B) = P(A|C) = \frac12</math>. События <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, таким образом, попарно независимы. Но если известно, что осуществились одновременно события <math>B</math> и <math>C</math>, то это значит, что тетраэдр встал на грань, содержащую все три цвета, то есть осуществилось и событие <math>A</math>. Следовательно, <math>P(ABC) = \frac14</math>, в то время как для независимых событий должно быть <math>P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = \frac18</math>. Следовательно, события <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> в совокупности зависимы, хотя попарно независимы. === Формула полной вероятности === Предположим, что событие <math>B</math> может осуществиться с одним и только с одним из <math>k</math> попарно несовместных событий <math>A_1, A_2, \dots, A_k</math>. Тогда : <math>B = \sum_{j = 1}^k BA_j</math>, где события <math>BA_i</math> и <math>BA_j</math> с разными индексами <math>i</math> и <math>j</math> несовместны. По теореме сложения вероятностей : <math>P(B) = \sum_{j = 1}^k P(BA_j)</math>. Воспользовавшись теоремой умножения, находим, что : <math>P(B) = \sum_{j = 1}^k \Big( P(A_j) \cdot P(B|A_j) \Big)</math>. Получена так называемая ''[[w:Формула полной вероятности|формула полной вероятности]]''. Она широко использовалась математиками при конкретных расчётах ещё в начале XVIII века, но впервые была сформулирована как одно из основных утверждений теории вероятностей [[w:Лаплас, Пьер-Симон|Пьером-Симоном Лапласом]] лишь в конце того века. Она применяется, в частности, при нахождении среднего выходного уровня дефектности в задачах статистического обеспечения качества продукции. === Формулы Байеса === Применим формулу полной вероятности для вывода так называемых ''[[w:Теорема Байеса|формул Байеса]]'', которые иногда используют при проверке статистических гипотез. Требуется найти вероятность события <math>A_i</math>, если известно, что событие <math>B</math> произошло. Согласно теореме умножения, : <math>P(A_i B) = P(B) \cdot P(A_i|B) = P(A_i) \cdot P(B|A_i)</math>. Следовательно : <math>P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}</math>. Используя формулу полной вероятности для знаменателя, находим, что : <math>P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{\sum_{j = 1}^k \Big( P(A_j) \cdot P(B|A_j) \Big)}</math>. Две последние формулы и называют обычно формулами Байеса. Общая схема их использования такова. Пусть событие <math>B</math> может протекать в различных условиях, относительно которых может быть сделано <math>k</math> гипотез <math>A_1, A_2, \dots, A_k</math>. [[w:Априори|Априорные]] вероятности этих гипотез суть <math>P(A_1), P(A_2), \dots, P(A_k)</math>. Известно также, что при справедливости гипотезы <math>A_i</math> вероятность <math>B</math> равна <math>P(B|A_i)</math>. Произведён опыт, в которым произошло <math>B</math>. Естественно после этого уточнить оценки вероятностей гипотез. [[w:Апостериори|Апостериорные]] оценки вероятностей гипотез <math>P(A_1|B), P(A_2|B), \dots, P(A_k|B)</math> даются формулами Байеса. В прикладной статистике существует направление ''байесовская статистика'', в которой, в частности, на основе априорного распределения параметров после проведения измерений, наблюдений, испытаний, опытов анализов вычисляют уточнённые оценки параметров. === Случайные величины === [[w:Случайная величина|Случайная величина]] — это величина, значение которой зависит от случая, то есть от элементарного события <math>\omega</math>. Таким образом, случайная величина — это функция, определённая на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>. Примеры случайных величин: количество орлов, выпавших при независимом бросании двух монет; число, выпавшее на верхней грани игрального кубика; число дефектных единиц продукции среди проверенных. Определение случайной величины <math>X</math> как функции от элементарного события <math>\omega</math>, то есть функции <math>X{:}\; \Omega \to H</math>, отображающей пространство элементарных событий <math>\Omega</math> в некоторое множество <math>H</math>, казалось бы, содержит в себе противоречие. О чём идёт речь: о величине или о функции? Дело в том, что наблюдается всегда лишь ''реализация случайной величины'': её значение, соответствующее именно тому элементарному исходу опыта (элементарному событию), которое осуществилось в конкретной реальной ситуации. Наблюдается именно ''величина''. А функция от элементарного события — это теоретическое понятие, основа вероятностной модели реального явления или процесса. Отметим, что элементы <math>H</math> — это не обязательно числа. Ими могут быть и последовательности чисел (вектора), и функции, и математические объекты иной природы, в частности, нечисловой (упорядочения и другие бинарные отношения, множества, нечёткие множества и другие) <ref name="orlov_ekon"/>. Однако наиболее часто рассматриваются вероятностные модели, в которых элементы <math>H</math> — числа, то есть <math>H = \mathbb{R}^1</math>. В иных случаях обычно используют термины «случайный вектор», «случайное множество», «случайное упорядочение», «случайный элемент» и другие. === Математическое ожидание === Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число — её «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание. <div id="Определение 3"> '''Определение 3.''' [[w:Математическое ожидание|Математическим ожиданием]] случайной величины <math>X</math> называется число {{metka|4}} : <math>M(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\omega)</math>, то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий. </div> '''Пример 6.''' Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из [[#Определение 3|определения 3]] следует, что : <math>M(X) = 1 \cdot \frac16 + 2 \cdot \frac16 + 3 \cdot \frac16 + 4 \cdot \frac16 + 5 \cdot \frac16 + 6 \cdot \frac16 = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5</math>. '''Утверждение 2.''' Пусть случайная величина <math>X</math> принимает значения <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math>. Тогда справедливо равенство {{metka|5}} : <math>M(X) = \sum_{i = 1}^m x_i P(X = x_i)</math>, то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям того, что случайная величина принимает определённые значения. В отличие от [[#metka_4|(4)]], где суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное событие <math>\{X = x_i\} = \{\omega{:}\; X(\omega) = x_i\}</math> может состоять из нескольких элементарных событий. Иногда соотношение [[#metka_5|(5)]] принимают как определение математического ожидания. Однако с помощью [[#Определение 3|определения 3]], как показано далее, более легко установить свойства математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения [[#metka_5|(5)]]. Для доказательства соотношения [[#metka_5|(5)]] сгруппируем в [[#metka_4|(4)]] члены с одинаковыми значениями случайной величины <math>X(\omega)</math>: : <math>M(X) = \sum_{i = 1}^m \left( \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} X(\omega) \cdot P(\omega) \right)</math>. Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то : <math>\sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} X(\omega) \cdot P(\omega) = \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} x_i \cdot P(\omega) = x_i \cdot \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} P(\omega)</math>. По определению вероятности события : <math>\sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} P(\omega) = P(X = x_i)</math>. Из двух последних соотношений получаем требуемое: : <math>M(X) = \sum_{i = 1}^m \left(x_i \cdot \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} P(\omega) \right) = \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} \Big( x_i \cdot P(X = x_i) \Big)</math>. Понятие математического ожидания в вероятностно-статистической теории соответствует понятию [[w:Центр масс|центра масс]] в механике. Поместим в точки <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math> на числовой оси массы <math>P(X = x_1),\; P(X = x_2),\; \dots,\; P(X = x_m)</math> соответственно. Тогда равенство [[#metka_5|(5)]] показывает, что центр масс этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность [[#Определение 3|определения 3]]. <div id="Утверждение 3"> '''Утверждение 3.''' Пусть <math>X</math> — случайная величина, <math>M(X)</math> — её математическое ожидание, <math>a</math> — некоторое число. Тогда # <span id="Maa"><math>M(a) = a</math></span>; # <math>M \Big( X - M(X) \Big) = 0</math>; # <math>M \left( (X - a)^2 \right) = M \left( \Big( (X - M(X) \Big) ^2 \right) + \Big( a - M(X) \Big)^2</math>. </div> Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, <math>X(\omega) = a</math>, то есть функция <math>X(\omega)</math> отображает пространство элементарных событий <math>\Omega</math> в единственную точку <math>a</math>. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то : <math>M(X) = \sum_{\omega \in \Omega} a \cdot P(\omega) = a \cdot \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = a</math>. Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая — из вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин <math>X + Y</math>, определённых на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме математических ожиданий <math>M(X)</math> и <math>M(Y)</math> этих случайных величин: : <math>M(X + Y) = M(X) + M(Y)</math>. <div id="MXMXMX"> А потому : <math>M \Big( X - M(X) \Big) = M(X) - M \Big( M(X) \Big)</math>. Как показано [[#Maa|выше]], <math>M \Big( M(X) \Big) = M(X)</math>. Следовательно, : <math>M \Big( X - M(X) \Big) = M(X) - M(X) = 0</math>. </div> Поскольку : <math>(X - a)^2 = \biggr( \Big( X-M(X) \Big) + \Big( M(X) - a \Big) \biggr)^2 =</math> <math>= \Big( X - M(X) \Big)^2 + 2 \Big( X - M(X) \Big) \Big( M(X) - a \Big) + \Big( M(X) - a \Big)^2</math>, то : <math>M \Big( (X - a)^2 \Big) = M \biggr( \Big( X - M(X) \Big)^2 \biggr) + M \biggr( 2 \Big( X - M(X) \Big) \Big( M(X) - a \Big) \biggr) + M \biggr( \Big( M(X) - a \Big)^2 \biggr)</math>. Упростим последнее равенство. Как [[#Maa|показано]] в начале доказательства [[#Утверждение 3|утверждения 3]], математическое ожидание константы есть сама эта константа, а потому : <math>M \biggr( \Big( M(X) - a \Big)^2 \biggr) = \Big( M(X) - a \Big)^2</math>. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то : <math>M \biggr( 2 \Big( X - M(X) \Big) \Big( M(X) - a \Big) \biggr) = 2 \Big( M(X) - a \Big) \cdot M \Big( X - M(X) \Big)</math>. Правая часть последнего равенства равна нулю, поскольку, как показано [[#MXMXMX|выше]], <math>M \Big( X - M(X) \Big) = 0</math>. Следовательно, : <math>M \Big( (X - a)^2 \Big) = M \biggr( \Big( X - M(X) \Big)^2 \biggr) + \Big( a - M(X) \Big)^2</math>, что и требовалось доказать. Из сказанного вытекает, что <math>M \Big( (X - a)^2 \Big)</math> достигает минимума по <math>a</math>, равного <math>M \biggr( \Big( X - M(X) \Big)^2 \biggr)</math>, при <math>a = M(X)</math>, поскольку второе слагаемое в равенстве [[#metka_3|(3)]] всегда неотрицательно и равно нулю только при указанном значении <math>a</math>. '''Утверждение 4.''' Пусть случайная величина <math>X</math> принимает значения <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math> а <math>f</math> есть некоторая функция числового аргумента. Тогда : <math>M \Big( f(X) \Big) = \sum_{i = 1}^m f(x_i) \cdot P(X = x_i)</math>. Для доказательства сгруппируем в правой части равенства [[#metka_4|(4)]], определяющего математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями <math>X(\omega)</math>: : <math>M \Big( f(X) \Big) = \sum_{i = 1}^m \left( \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} f \Big( X(\omega) \Big) \cdot P(\omega) \right)</math>. Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события [[#metka_2|(2)]], получаем : <math>M \Big( f(X) \Big) = \sum_{i = 1}^m \left( f(x_i) \cdot \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i} P(\omega) \right) = \sum_{i = 1}^m f(x_i) \cdot P(X = x_i)</math>, что и требовалось доказать. <div id="Утверждение 5"> '''Утверждение 5.''' Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> — случайные величины, определённые на одном и том же пространстве элементарных событий, а <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые числа. Тогда : <math>M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y)</math>. </div> С помощью определения математического ожидания и свойств символа суммирования получаем цепочку равенств: : <math>aM(X) + bM(Y) = a \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)P(\omega) + b\sum_{\omega \in \Omega} Y(\omega)P(\omega) =</math><br/> <math>= \sum_{\omega \in \Omega} \Big( aX(\omega) + bY(\omega) \Big) P(\omega) = M(aX + bY)</math>. Требуемое доказано. [[#Утверждение 5|Выше]] показано, как зависит математическое ожидание от перехода к другому началу отсчёта и к другой единице измерения (переход <math>Y = aX + b</math>), а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия, при переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчётах, в нормативно-технической документации и другом. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчётные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига. Независимость случайных величин — одно из базовых понятий теории вероятностей, лежащее в основе практических всех вероятностно-статистических методов принятия решений. '''Определение 4.''' Случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math>, определённые на одном и том же пространстве элементарных событий, называются независимыми, если для любых чисел <math>a</math> и <math>b</math> независимы события <math>\{X = a\}</math> и <math>\{Y = b\}</math>. <div id="Утверждение 6"> '''Утверждение 6.''' Если случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые числа, то случайные величины <math>X + a</math> и <math>Y + b</math> также независимы. </div> Действительно, события <math>\{X + a = c\}</math> и <math>\{Y + b = d\}</math> совпадают с событиями <math>\{X = c - a\}</math> и <math>\{Y = d - b\}</math> соответственно, а потому независимы. <div id="Пример 7"> '''Пример 7.''' Случайные величины, определённые по результатам различных испытаний в схеме независимых испытаний, сами независимы. Это вытекает из того, что события, с помощью которых определяется независимость случайных величин, определяются по результатам различных испытаний, а потому независимы по определению независимых испытаний. </div> В вероятностно-статистических методах принятия решений постоянно используется следующий факт: если <math>X</math> и <math>Y</math> — независимые случайные величины, <math>f(X)</math> и <math>g(Y)</math> — случайные величины, полученные из <math>X</math> и <math>Y</math> с помощью некоторых функций <math>f</math> и <math>g</math>, то <math>f(X)</math> и <math>g(Y)</math> — также независимые случайные величины. Например, если <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, то <math>X^2</math> и <math>2Y + 3</math> независимы, <math>\lg X</math> и <math>\lg Y</math> независимы. Доказательство рассматриваемого факта — тема одной из [[#Контрольные вопросы и задачи|контрольных задач]]. Подавляющее большинство вероятностно-статистических моделей, используемых на практике, основывается на понятии независимых случайных величин. Так, результаты наблюдений, измерений, испытаний, анализов, опытов обычно моделируются независимыми случайными величинами. Часто считают, что наблюдения проводятся согласно схеме независимых испытаний. Например, результаты финансово-хозяйственной деятельности предприятий, выработка рабочих, результаты (данные) измерений контролируемого параметра у изделий, отобранных в выборку при статистическом регулировании технологического процесса, ответы потребителей при маркетинговом опросе и другие типы данных, используемых при принятии решений, обычно рассматриваются как независимые случайные величины, вектора́ или элементы. Причина такой популярности понятия независимости случайных величин состоит в том, что к настоящему времени теория продвинута существенно дальше для независимых случайных величин, чем для зависимых. Часто используется следующее свойство независимых случайных величин. <div id="Утверждение 7"> '''Утверждение 7.''' Если случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, то математическое ожидание произведения <math>XY</math> равно произведению математических ожиданий <math>X</math> и <math>Y</math>, то есть : <math>M(XY) = M(X)M(Y)</math>. </div> ''Доказательство.'' Пусть <math>X</math> принимает значения <math>x_1, x_2, \dots, x_m</math>, в то время как <math>Y</math> принимает значения <math>y_1, y_2, \dots, y_k</math>. Сгруппируем в задающей <math>M(XY)</math> сумме члены, в которых <math>X</math> и <math>Y</math> принимают фиксированные значения:{{metka|6}} : <math>M(XY) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant m,\; 1 \leqslant j \leqslant k} \left( \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i,\; Y(\omega) = y_j} X(\omega) Y(\omega) P(\omega) \right)</math>. Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то : <math>\sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i,\; Y(\omega) = y_j} X(\omega) Y(\omega) P(\omega) = x_i y_j \sum_{\omega{:}\; X(\omega) = x_i,\; Y(\omega) = y_j} P(\omega)</math>. Из последнего равенства и определения вероятности события заключаем, что равенство [[#metka_6|(6)]] можно преобразовать к виду : <math>M(XY) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant m,\; 1 \leqslant j \leqslant k} x_i y_j \cdot P(X = x_i,\; Y = y_j)</math>. <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, поэтому : <math>P(X = x_i,\, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)</math>. Воспользовавшись этим равенством и свойством символа суммирования : <math>\sum_{1 \leqslant i \leqslant m,\; 1 \leqslant j \leqslant k} c_i d_j = \left( \sum_{i = 1}^m c_i \right) \left( \sum_{j = 1}^k d_j \right)</math>, заключаем, что {{metka|7}} : <math>M(XY) = \left(\sum_{i = 1}^m x_i \cdot P(X = x_i) \right) \left( \sum_{j = 1}^k y_j \cdot P(Y = y_j) \right)</math>. Из равенства [[#metka_5|(5)]] следует, что первый сомножитель в правой части [[#metka_7|(7)]] есть <math>M(X)</math>, а второй — <math>M(Y)</math>, что и требовалось доказать. '''Пример 8.''' Построим пример, показывающий, что из равенства <math>M(XY) = M(X) \cdot M(Y)</math> не следует независимость случайных величин <math>X</math> и <math>Y</math>. Пусть вероятностное пространство состоит из трёх равновероятных элементов <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math>, <math>\omega_3</math>. Пусть : <math>X(\omega_1) = 1</math>, <math>X(\omega_2) = 0</math>, <math>X(\omega_3) = -1</math>, <math>Y(\omega_1) = Y(\omega_3) = 1</math>, <math>Y(\omega_2) = 0</math>. Тогда <math>XY = X</math>, <math>M(X) = M(XY) = 0</math>, следовательно, <math>M(XY) = M(X) \cdot M(Y)</math>. Однако при этом : <math>P(X = 0) = P(Y = 0) = P(X = 0,\; Y = 0) = P(\omega_2) = \frac13</math>, в то время как вероятность события <math>\{X = 0,\; Y = 0\}</math> в случае независимых <math>X</math> и <math>Y</math> должна была равняться <math>\frac13 \cdot \frac13 = \frac19</math>. Независимость нескольких случайных величин <math>X, Y, Z, \dots</math> означает по определению, что для любых чисел <math>x, y, z, \dots</math> справедливо равенство : <math>P(X = x,\; Y = y,\; Z = z, \dots) = P(X = x) \cdot P(Y = y) \cdot P(Z = z) \cdot \dots</math>. Например, если случайные величины определяются по результатам различных испытаний в схеме независимых испытаний, то они независимы. ==== Дисперсия случайной величины ==== Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что <math>M \left( (X - a)^2 \right)</math> достигает минимума по <math>a</math> при <math>a = M(X)</math>. Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно <math>M\left( \Big( X - M(X) \Big)^2 \right)</math>. '''Определение 5.''' [[w:Дисперсия случайной величины|Дисперсией случайной величины]] <math>X</math> называется число : <math>\sigma^2 = D(X) = M \left( \Big( X - M(X) \Big)^2 \right)</math>. Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений. <div id="Утверждение 8"> '''Утверждение 8.''' Пусть <math>X</math> — случайная величина, <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые числа, <math>Y = aX + b</math>. Тогда : <math>D(Y) = a^2 D(X)</math>. </div> Как следует из утверждений [[#Утверждение 3|3]] и [[#Утверждение 5|5]], <math>M(Y) = aM(X) + b</math>. Следовательно, : <math>D(Y) = M \left( \Big( Y - M(Y) \Big)^2 \right) = M \left( \Big( aX + b - aM(X) - b \Big)^2 \right) = M \left( a^2 \Big( X - M(X) \Big)^2 \right)</math>. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то : <math>M \left( a^2 \Big( X - M(X) \Big)^2 \right) = a^2 M \left( \Big( X - M(X) \Big)^2 \right) = a^2 D(X)</math>. [[#Утверждение 8|Утверждение 8]] показывает, в частности, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчёта и единицы измерения. Оно даёт правило преобразования расчётных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба. <div id="Утверждение 9"> '''Утверждение 9.''' Если случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, то дисперсия их суммы <math>X + Y</math> равна сумме дисперсий: : <math>D(X + Y) = D(X) + D(Y)</math>. </div> Для доказательства воспользуемся тождеством : <math>\biggr(\Big(X + Y\Big) - \Big( M(X) + M(Y)\Big)\biggr)^2 = \Big( X - M(X) \Big)^2 + 2\Big( X - M(X) \Big) \Big( Y - M(Y) \Big) + \Big( Y - M(Y) \Big)^2</math>, которое вытекает из известной формулы элементарной алгебры <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math> при подстановке <math>a = X - M(X)</math> и <math>b = Y - M(Y)</math>. Из утверждений [[#Утверждение 3|3]] и [[#Утверждение 5|5]] и определения дисперсии следует, что : <math>D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2M\{ \Big( X - M(X) \Big) \Big( Y - M(Y) \Big) \}</math>. Согласно [[#Утверждение 6|утверждению 6]] из независимости <math>X</math> и <math>Y</math> вытекает независимость <math>X - M(X)</math> и <math>Y - M(Y)</math>. Из [[#Утверждение 7|утверждения 7]] следует, что : <math>M \biggr( \Big( X - M(X) \Big) \Big( Y - M(Y) \Big) \biggr) = M \Big( X - M(X) \Big) M \Big( Y - M(Y) \Big)</math>. Поскольку <math>M\Big( X - M(X) \Big) = 0</math> (см. [[#Утверждение 3|утверждение 3]]), то правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует заключение [[#Утверждение 9|утверждения 9]]. <div id="Утверждение 10"> '''Утверждение 10.''' Пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> — попарно независимые случайные величины (то есть <math>X_i</math> и <math>X_j</math> независимы, если <math>i \ne j</math>). Пусть <math>Y_k</math> — их сумма, <math>Y_k = X_1 + X_2 + \dots + X_k</math>, тогда дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, : <math>D(Y_k) = D(X_1) + D(X_2) + \dots + D(X_k)</math>. Для любых случайкых величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, : <math>M(Y_k) = M(X_1) + M(X_2) + \dots + M(X_k)</math>. </div> Соотношения, сформулированные в [[#Утверждение 10|утверждении 10]], являются основными при изучении выборочных характеристик, поскольку результаты наблюдений или измерений, включенные в выборку, обычно рассматриваются в математической статистике, теории принятия решений и эконометрике как реализации независимых случайных величин. Для любого набора числовых случайных величин (не только независимых) математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Это утверждение является обобщением [[#Утверждение 5|утверждения 5]]. Строгое доказательство легко проводится методом математической индукции. При выводе формулы для дисперсии <math>D(Y_k)</math> воспользуемся следующим свойством символа суммирования: : <math>\left( \sum_{1 \leqslant i \leqslant k} a_i \right)^2 = \left( \sum_{1 \leqslant i \leqslant k} a_i \right) \left( \sum_{j = 1}^k a_j \right) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant k,\; 1 \leqslant j \leqslant k} a_i a_j</math>. Положим <math>a_i = X_i - M(X_i)</math>, получим : <math>\Big( X_1 + X_2 + \dots + X_k - M(X_1) - M(X_2) - \dots - M(X_k) \Big)^2 = \sum \Big( X_i - M(X_i) \Big) \Big( X_j - M(X_j) \Big)</math>. Воспользуемся теперь тем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: {{metka|8}} : <math>D(Y_k) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant k,\; 1 \leqslant j \leqslant k} M \biggr( \Big( X_i - M(X_i) \Big) \Big( X_j - M(X_j) \Big) \biggr)</math>. Как показано при доказательстве [[#Утверждение 9|утверждения 9]], из попарной независимости рассматриваемых случайных величин следует, что <math>M \biggr( \Big( X_i - M(X_i) \Big) \Big( X_j - M(X_j) \Big) \biggr) = 0</math> при <math>i \ne j</math>. Следовательно, в сумме [[#metka_8|(8)]] остаются только члены с <math>i = j</math>, а они равны как раз <math>D(X_i)</math>. Полученные в утверждениях [[#Утверждение 8|8]]—[[#Утверждение 10|10]] фундаментальные свойства таких характеристик случайных величин, как математическое ожидание и дисперсия, постоянно используются практически во всех вероятностно-статистических моделях реальных явлений и процессов. <div id="Пример 9"> '''Пример 9.''' Рассмотрим событие <math>A</math> и случайную величину <math>X</math> такую, что <math>X(\omega) = 1</math>, если <math>\omega \in A</math>, и <math>X(\omega) = 0</math> в противном случае, то есть если <math>\omega \in \Omega \backslash A</math>. Покажем, что <math>M(X) = P(A)</math>,<math>D(X) = P(A) \Big( 1 - P(A) \Big)</math>. </div> Воспользуемся формулой [[#metka_5|(5)]] для математического ожидания. Случайная величина <math>X</math> принимает значения: 1 — с вероятностью <math>P(A)</math> и 0 — с вероятностью <math>1 - P(A)</math>, а потому : <math>M(X) = 1 \cdot P(A) + 0 \cdot \Big( 1 - P(A) \Big) = P(A)</math>. Аналогично <math>\Big( X - M(X) \Big)^2 = \Big( 1 - P(A) \Big)^2</math> с вероятностью <math>P(A)</math> и <math>\Big( X - M(X) \Big)^2 = \Big( 0 - P(A) \Big)^2</math> с вероятностью <math>1 - P(A)</math>, а потому : <math>D(A) = \Big( 1 - P(A) \Big)^2 P(A) + \Big( P(A) \Big)^2 \Big( 1 - P(A) \Big)</math>. Вынося общий множитель, получаем, что <math>D(A) = P(A) \Big( 1 - P(A) \Big)</math>. <div id="Пример 10"> '''Пример 10.''' Рассмотрим <math>k</math> независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие <math>A</math> может наступить, а может и не наступить. Введём случайные величины <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> следующим образом: <math>X_i(\omega) = 1</math>, если в <math>i</math>-ом испытании <math>A</math> наступило, и <math>X_i(\omega) = 0</math> в противном случае. Тогда <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> попарно независимы (см. [[#Пример 7|пример 7]]). Как показано в [[#Пример 9|примере 9]], <math>M(X_i) = p</math>, <math>D(X_i) = p(1 - p)</math>, где <math>p = P(A)</math>. Иногда <math>p</math> называют «вероятностью успеха» — в случае, если наступление события <math>A</math> рассматривается как «успех». </div> === Биномиальное распределение === Случайная величина <math>B = X_1 + X_2 + \dots + X_k</math> называется биномиальной. Ясно, что <math>0 \leqslant B \leqslant k</math> при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение <math>B</math>, то есть вероятности <math>P(B = a)</math> при <math>a = 0, 1, \dots, k</math>, достаточно знать <math>p</math> — вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие <math>B = a</math> осуществляется только когда событие <math>A</math> наступает ровно при <math>a</math> испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (то есть номера в последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления в а опытах события <math>A</math> и в <math>k - a</math> опытах противоположного ему — это вероятность произведения <math>k</math> независимых событий. Вероятность произведения равна произведению вероятностей: <math>p^a (1 - p)^{k - a}</math>. Сколькими способами можно задать номера <math>a</math> испытаний из <math>k</math>? Это <math>k \choose a</math> — число сочетаний из <math>k</math> элементов по <math>a</math>, рассматриваемое в комбинаторике. Как известно, <math>{k \choose a} = \frac{k!}{a!(k - a)!}</math>, где символом <math>k!</math> обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до <math>k</math>, то есть <math>k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k</math> (дополнительно принимают, что <math>0! = 1</math>). Из сказанного следует, что биномиальное распределение, то есть распределение биномиальной случайной величины, имеет вид : <math>P(B = a) = {k \choose a} p^a (1 - p)^{k - a}</math>. Название «биномиальное распределение» основано на том, что <math>P(B = a)</math> является членом с номером <math>(a + 1)</math> в разложении по [[w:Бином Ньютона|биному Ньютона]] : <math>(A + C)^k = \sum_{0 \leqslant j \leqslant k} {k \choose j} A^{k - j} C^j</math>, если положить <math>A = 1 - p</math>, <math>C = p</math>. При <math>j = a</math> получим : <math>{k \choose j}A^{k-j} C^j = P(B = a)</math>. Для числа сочетаний из <math>k</math> элементов по <math>a</math>, кроме <math>{k \choose a}</math>, используют более распространённое в отечественной литературе обозначение <math>C_k^a</math>. Из [[#Утверждение 10|утверждения 10]] и расчётов [[#Пример 9|примера 9]] следует, что для случайной величины <math>B</math>, имеющей биномиальное распределение, математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами <math>M(B) = kp</math>, <math>D(B) = kp(1 - p)</math>, поскольку <math>B</math> является суммой <math>k</math> независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, найденными в [[#Пример 9|примере 9]]. === Неравенства Чебышёва === Во [[#Введение|введении]] [[#Примеры применения теории вероятностей и математической статистики|обсуждалась]] задача проверки равенства определённому числу доли дефектной продукции в партии. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений полезны неравенства, впервые применённые в теории вероятностей русским математиком [[w:Чебышёв, Пафнутий Львович|Пафнутием Львовичем Чебышёвым]] и носящие его имя. Эти неравенства широко применяются в теории математической статистики, и в ряде практических задач принятия решений. Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений неизвестен. Они применяются также в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений. ==== Первое неравенство Чебышёва ==== Пусть <math>X</math> — неотрицательная случайная величина (то есть <math>X(\omega) \geqslant 0</math> для любого <math>\omega \in \Omega</math>). Тогда для любого положительного числа <math>a</math> справедливо неравенство : <math>P(X \geqslant a) \leqslant \frac{M(X)}{a}</math>. ''Доказательство.'' Все слагаемые в правой части формулы [[#metka_4|(4)]], определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых <math>X(\omega) \geqslant a</math>. Получим, что {{metka|9}} : <math>M(X) \geqslant \sum_{\omega{:}\; X(\omega) \geqslant a} X(\omega) P(\omega)</math>. Для всех слагаемых в правой части <math>X(\omega) \geqslant a</math>, поэтому {{metka|10}} : <math>\sum_{\omega{:}\; X(\omega) \geqslant a} X(\omega)P(\omega) \geqslant a \sum_{\omega{:}\; X(\omega) \geqslant a} P(\omega) = aP(X \geqslant a)</math>. Из [[#metka_9|(9)]] и [[#metka_10|(10)]] следует требуемое. ==== Второе неравенство Чебышёва ==== Пусть <math>X</math> — случайная величина. Для любого положительного числа <math>a</math> справедливо неравенство : <math>P \Big( |X - M(X)| \geqslant a \Big) \leqslant \frac{D(X)}{a^2}</math>. Это неравенство содержалось в работе П. Л. Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 года и опубликованной в последовавшем году. Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину <math>Y = \Big( X - M(X) \Big)^2</math>. Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа <math>b</math>, как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство : <math>P(Y \geqslant b) \leqslant \frac{M(Y)}{b} = \frac{D(X)}{b}</math>. Положим <math>b = a^2</math>. Событие <math>\{Y \geqslant b\}</math> совпадает с событием <math>\{|X - M(X)| \geqslant a \}</math>, а потому : <math>P \Big( |X-M(X)| \geqslant a \Big) = P(Y \geqslant a^2) \leqslant \frac{D(X)}{a^2}</math>, что и требовалось доказать. <div id="Пример 11"> '''Пример 11.''' Можно указать неотрицательную случайную величину <math>X</math> и положительное число <math>a</math> такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство. Достаточно рассмотреть <math>X(\omega) = a</math>. Тогда <math>M(X) = a</math>, <math>\frac{M(X)}{a} = 1</math> и <math>P(a \geqslant a) = 1</math>, то есть <math>P(X \geqslant a) = \frac{M(X)}{a} = 1</math>. </div> Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей. '''Пример 12.''' Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех <math>a</math>? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число <math>a</math>, что первое неравенство Чебышёва является строгим. Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно нулю. В первом случае возьмем положительное <math>a</math>, меньшее положительного числа <math>M(X)</math>, например, положим <math>a = \frac{M(X)}{2}</math>. Тогда <math>\frac{M(X)}{a}</math> больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями [[#Пример 11|примера 11]]. Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. Для такой случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при любом положительном <math>a</math>. Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины <math>X</math>? A требование положительности <math>a</math>? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, ибо иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной. ==== Закон больши́х чисел ==== Неравенство Чебышёва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики — [[w:Закон больших чисел|закон больши́х чисел]]. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это даёт возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больши́х чисел не было бы большей части прикладной математической статистики. '''Теорема Чебышёва.''' Пусть случайные величины <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> попарно независимы и существует число <math>C</math> такое, что <math>D(X_i) \leqslant C</math> при всех <math>i = 1, 2, \dots, k</math>. Тогда для любого положительного <math>\varepsilon</math> выполнено неравенство {{metka|11}} : <math>P \left\{ \left| \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_k}{k} - \frac{M(X_1) + M(X_2) + \dots + M(X_k)}{k} \right| \geqslant \varepsilon \right \} \leqslant \frac{C}{k\varepsilon ^2}</math>. ''Доказательство.'' Рассмотрим случайные величины <math>Y_k = X_1 + X_2 + \dots + X_k</math> и <math>Z_k = \frac{Y_k}{k}</math>. Тогда согласно [[#Утверждение 10|утверждению 10]] <math>M(Y_k) = M(X_1) + M(X_2) + \dots + M(X_k)</math>, <math>D(Y_k) = D(X_1) + D(X_2) + \dots + D(X_k)</math>. Из свойств математического ожидания следует, что <math>M(Z_k) = \frac{M(Y_k)}{k}</math>, а из свойств дисперсии — что <math>D(Z_k) = \frac{D(Y_k)}{k^2}</math>. Таким образом, : <math>M(Z_k) = \frac{ \{ M(X_1) + M(X_2) + \dots + M(X_k) \} }{k}</math>,<br/> <math>D(Z_k) = \frac{ \{ D(X_1) + D(X_2) + \dots + D(X_k) \} }{k^2}</math>. Из условия теоремы Чебышёва следует, что : <math>D(Z_k) \leqslant \frac{Ck}{k^2} = \frac{C}{k}</math>. Применим к <math>Z_k</math> второе неравенство Чебышёва. Получим для стоящей в левой части неравенства [[#metka_11|(11)]] вероятности оценку : <math>P\{ |Z_k - M(Z_k)| \geqslant \varepsilon \} \leqslant \frac{D(Z_k)}{e^2} \leqslant \frac{C}{k\varepsilon^2}</math>, что и требовалось доказать. Эта теорема была получена П. Л. Чебышёвым в той же работе 1867 года «О средних величинах», что и неравенства Чебышёва. '''Пример 13.''' Пусть <math>C = 1</math>, <math>\varepsilon = 0{,}1</math>. При каких <math>k</math> правая часть неравенства [[#metka_11|(11)]] не превосходит <math>0{,}1</math>? <math>0{,}05</math>? <math>0{,}00001</math>? В рассматриваемом случае правая часть неравенства [[#metka_11|(11)]] равна <math>\frac{100}{k}</math>. Она не превосходит <math>0{,}1</math>, если <math>k \geqslant 1000</math>, не превосходит <math>0{,}05</math>, если <math>k \geqslant 2000</math>, не превосходит <math>0{,}00001</math>, если <math>k \geqslant 10\,000\,000</math>. Правая часть неравенства [[#metka_11|(11)]], а вместе с ней и левая, при возрастании <math>k</math> и фиксированных <math>C</math> и <math>\varepsilon</math> убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на <math>\varepsilon</math>, приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причём при любом <math>\varepsilon</math>. Это утверждение называют ''законом больши́х чисел''. Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все <math>X_i</math>, <math>i = 1, 2, \dots</math> имеют одно и то же математическое ожидание <math>M(X_1)</math> и одну и ту же дисперсию <math>\sigma^2 = D(X_1)</math>. В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое : <math>\overline X = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_k}{k}</math>. Из закона больши́х чисел следует, что <math>\overline X</math> при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к <math>M(X_1)</math>, что записывают так: : <math>\overline X \stackrel P \to M(X_1)</math>. Здесь знак <math>\stackrel P \to</math> означает «сходимость по вероятности». Это понятие отличается от «перехода к пределу» в [[w:Математический анализ|математическом анализе]]. Последовательность <math>b_n</math> имеет предел <math>b</math> при <math>n \to \infty</math>, если для любого сколь угодно малого <math>\delta > 0</math> существует число <math>n(\delta)</math> такое, что при любом <math>n > n(\delta)</math> справедливо утверждение: <math>b_n \in (b - \delta;b + \delta)</math>. При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится ещё одно сколь угодно малое число <math>\varepsilon > 0</math> и утверждение <math>b_n \in (b - \delta;b + \delta)</math> предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее <math>1 - \varepsilon</math>. === Сходимость частот к вероятностям === Уже́ отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события <math>A</math> — это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события <math>A</math> к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математик [[w:Бернулли, Якоб|Якоб Бернулли]] (1654—1705) в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти, в 1713 году). ==== Теорема Бернулли ==== Пусть <math>m</math> — число наступлений события <math>A</math> в <math>k</math> независимых (попарно) испытаниях, и <math>p</math> есть вероятность наступления события <math>A</math> в каждом из испытаний. Тогда при любом <math>\varepsilon > 0</math> справедливо неравенство {{metka|12}} : <math>P \left \{ \left| \frac{m}{k} - p \right| \geqslant \varepsilon \right \} \leqslant \frac{p(1 - p)}{k\varepsilon^2}</math>. ''Доказательство.'' Как показано в [[#Пример 10|примере 10]], случайная величина <math>m</math> имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха <math>p</math> и является суммой <math>k</math> независимых случайных величин <math>X_i</math>, <math>i = 1, 2, \dots, k</math>, каждое из которых равно 1 с вероятностью <math>p</math> и 0 с вероятностью <math>1 - p</math>, то есть <math>m = X_1 + X_2 + \dots + X_k</math>. Применим к <math>X_1, X_2, \dots, X_k</math> теорему Чебышёва с <math>C = p(1 - p)</math> и получим требуемое неравенство [[#metka_12|(12)]]. Теорема Бернулли даёт возможность связать математическое определение вероятности (по Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей (по [[w:Мизес, Рихард Эдлер фон|Рихарду Мизесу]] (1883—1953)), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний. Для показания этой связи сначала отметим, что <math>p(1 - p) \leqslant \frac14</math> при всех <math>p</math>. Действительно, <math>\frac14 - p(1 - p) = \left( p - \frac12 \right)^2 \geqslant 0</math>. Следовательно, в теореме Чебышёва можно использовать <math>C = \frac14</math>. Тогда при любом <math>p</math> и фиксированном <math>\varepsilon</math> правая часть неравенства [[#metka_12|(12)]] при возрастании <math>k</math> приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей. Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определённых событий близка к вероятности, определённой из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты. Поскольку и орёл, и решка имеют равные шансы оказаться сверху, то вероятность выпадения орла равна <math>\frac12</math> из соображений равновозможности. Французский естествоиспытатель XVIII века [[w:Бюффон, Жорж Луи Леклерк де|Жорж Бюффон]] бросил монету 4040 раз, орёл выпал при этом 2048 раз. Частота появления орлов опыте Бюффона равна 0,507. Английский статистик Карл Пирсон бросил монету 12 000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений орлов — частота 0,5016. В другой раз он бросил монету 24 000 раз, орёл выпал 12 012 раз — частота 0,5005. Как видим, во всех этих случаях частоты лишь незначительно отличаются от теоретической вероятности 0,5 <ref name="an_nechisl">Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях (в соавторстве). — М.: Наука, 1985. — 220 с.</ref>, с. 148. === О проверке статистических гипотез === С помощью неравенства [[#metka_12|(12)]] можно кое-что сказать о проверке соответствия качества продукции заданным требованиям. Пусть из 100 000 единиц продукции 30 000 оказались дефектными. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности равна 0,23? Прежде всего, какую вероятностную модель целесообразно использовать? Принимаем, что проводится сложный опыт, состоящий из 100 000 испытаний 100 000 единиц продукции на годность. Считаем, что испытания (попарно) независимы и что в каждом испытании вероятность того, что единица продукции является дефектной, равна <math>p</math>. В реальном опыте получено, что событие «единица продукции не является годной» осуществилось 30 000 раз при 100 000 испытаниях. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности <math>p = 0{,}23</math>? Для проверки гипотезы воспользуемся неравенством [[#metka_12|(12)]]. В рассматриваемом случае <math>k = 100\,000</math>, <math>m = 30\,000</math>, <math>\frac{m}{k} = 0{,}3</math>, <math>p = 0{,}23</math>, <math>\frac{m}{k} - p = 0{,}07</math>. Для проверки гипотезы поступают так. Оценим вероятность того, что <math>\frac{m}{k}</math> отличается от <math>p</math> так же, как в рассматриваемом случае, или больше, то есть оценим вероятность выполнения неравенства <math>\left| \frac{m}{k} - 0{,}23 \right| > 0{,}07</math>. Положим в неравенстве [[#metka_12|(12)]] <math>p = 0{,}23</math>, <math>\varepsilon = 0{,}07</math>. Тогда {{metka|13}} : <math>P\left \{ \left| \frac{m}{k} - 0{,}23 \right| \geqslant 0{,}07 \right \} \leqslant \frac{0{,}23 \cdot 0{,}77}{0{,}0049k} \approx \frac{36{,}11}{k}</math>. При <math>k = 100\,000</math> правая часть [[#metka_13|(13)]] меньше <math>\frac{1}{2500}</math>. Значит, вероятность того, что отклонение будет не меньше наблюдаемого, весьма мала. Следовательно, если исходная гипотеза верна, то в рассматриваемом опыте осуществилось событие, вероятность которого меньше <math>\frac{1}{2500}</math>, и поскольку это очень малое число, то исходную гипотезу надо отвергнуть. Подробнее методы проверки статистических гипотез будут рассмотрены ниже. Здесь отметим, что одна из основных характеристик метода проверки гипотезы — уровень значимости, то есть вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу (её в математической статистике называют нулевой и обозначают <math>H_0</math>), когда она верна. Для проверки статистической гипотезы часто поступают так. Выбирают уровень значимости — малое число <math>\alpha</math>. Если описанная в предыдущем абзаце вероятность меньше <math>\alpha</math>, то гипотезу отвергают, как говорят, на уровне значимости <math>\alpha</math>. Если эта вероятность больше или равна <math>\alpha</math>, то гипотезу принимают. Обычно в вероятностно-статистических методах принятия решений выбирают <math>\alpha = 0{,}05</math>, значительно реже <math>\alpha = 0{,}01</math> или <math>\alpha = 0{,}1</math>, в зависимости от конкретной практической ситуации. В рассматриваемом случае <math>\alpha</math>, напомним, — это та доля опытов (то есть проверок партий по 100 000 единиц продукции), в которой мы отвергаем гипотезу <math>H_0{:}\; p = 0{,}23</math>, хотя она верна. Насколько результат проверки гипотезы <math>H_0</math> зависит от числа испытаний <math>k</math>? Пусть при <math>k = 100</math>, <math>k = 1000</math>, <math>k = 10\,000</math> оказалось, что <math>m = 30</math>, <math>m = 300</math>, <math>m = 3000</math> соответственно, так что во всех случаях <math>\frac{m}{k} = 0{,}3</math>. Какие значения принимает вероятность : <math>P_k = P \left \{ \left| \frac{m}{k} - 0{,}23 \right| \geqslant 0{,}07 \right \}</math> и её оценка — правая часть формулы [[#metka_13|(13)]]? При <math>k = 100</math> правая часть [[#metka_13|(13)]] равна приблизительно 0,36, что не даёт оснований отвергнуть гипотезу. При <math>k = 1000</math> правая часть [[#metka_13|(13)]] равна примерно 0,036. Гипотеза отвергается на уровне значимости <math>\alpha = 0{,}05</math> (и <math>\alpha = 0{,}1</math>), но на основе оценки вероятности с помощью правой части формулы [[#metka_13|(13)]] не удаётся отвергнуть гипотезу на уровне значимости <math>\alpha = 0{,}01</math>. При <math>k = 10\,000</math> правая часть [[#metka_13|(13)]] меньше <math>\frac{1}{250}</math>, и гипотеза отвергается на всех обычно используемых уровнях значимости. Более точные расчёты, основанные на применении центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. ниже), дают <math>P_{100} = 0{,}095</math>, <math>P_{1000} = 0{,}0000005</math>, так что оценка [[#metka_13|(13)]] является в рассматриваемом случае весьма завышенной. Причина в том, что получена она из наиболее общих соображений, применительно ко всем возможным случайным величинам улучшить её нельзя (см. [[#Пример 11|пример 11]]), но применительно к конкретному биномиальному распределению — можно. Ясно, что без введения уровня значимости не обойтись, ибо даже очень большие отклонения <math>\frac{m}{k}</math> от <math>p</math> имеют положительную вероятность осуществления. Так, при справедливости гипотезы <math>H_0</math> событие «все 100 000 единиц продукции являются дефектными» отнюдь не является невозможным с математической точки зрения, оно имеет положительную вероятность осуществления, равную <math>0{,}23^{100000}</math>, хотя эта вероятность и невообразимо мала. Аналогично разберём проверку гипотезы о симметричности монеты. '''Пример 14.''' Если монета симметрична, то <math>p = \frac12</math>, где <math>p</math> — вероятность выпадения орлов. Согласуется ли с этой гипотезой результат эксперимента, в котором при 10 000 бросаниях выпало 4000 орлов? В рассматриваемом случае <math>\frac{m}{k} = 0{,}4</math>. Положим в неравенстве [[#metka_12|(12)]] <math>p = 0{,}5</math>, <math>\varepsilon = 0{,}1</math>: : <span id="Пример 14 неравенство"><math>P\left \{ \left| \frac{m}{k} - 0{,}5 \right| \geqslant 0{,}1 \right \} \leqslant \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}01k} = \frac{25}{k}</math></span>. При <math>k = 10\,000</math> правая часть последнего неравенства равна <math>\frac{1}{400}</math>. Значит, если исходная гипотеза верна, то в нашем единственном эксперименте осуществилось событие, вероятность которого весьма мала — меньше <math>\frac{1}{400}</math>. Поэтому исходную гипотезу следует отвергнуть. Если из 1000 бросаний монеты орлы выпали в 400 случаях, то правая часть [[#Пример 14 неравенство|выписанного выше неравенства]] равна <math>\frac{1}{40}</math>. Гипотеза симметричности отклоняется на уровне значимости 0,05 (и 0,1), но рассматриваемые методы не дают возможности отвергнуть её на уровне значимости 0,01. Если <math>k = 100</math>, а <math>m = 40</math>, то правая часть неравенства равна <math>0{,}25</math>. Оснований для отклонения гипотезы нет. С помощью более тонких методов, основанных на [[w:Центральная предельная теорема|центральной предельной теореме]] теории вероятностей, можно показать, что левая часть неравенства равна приблизительно 0,05. Это показывает, как важно правильно выбрать метод проверки гипотезы или оценивания параметров. Следовательно, целесообразна стандартизация подобных методов, позволяющая сэкономить усилия, необходимые для сравнения и выбора наилучшего метода, а также избежать устаревших, неверных или неэффективных методов. Ясно, что даже по нескольким сотням опытов нельзя достоверно отличить абсолютно симметричную монету (<math>p = \frac12</math>) от несколько несимметричной монеты (для которой, скажем, <math>p = 0{,}49</math>). Более того, любая реальная монета несколько несимметрична, так что монета с <math>p = 0{,}5</math> есть математическая абстракция. Между тем, в ряде управленческих и производственных ситуаций требуется осуществить справедливую жеребьёвку, а для этого требуется абсолютно симметричная монета. Например, речь может идти об очередности рассмотрения инвестиционных проектов комиссией экспертов, о порядке вызова для собеседования кандидатов на должность, об отборе единиц продукции из партии в выборку для контроля и тому подобном. '''Пример 15.''' Можно ли с помощью несимметричной монеты получить последовательность испытаний с двумя исходами, каждый из которых имеет вероятность <math>\frac12</math>? Ответ: ''да, можно''. Приведём способ, предложенный видным польским математиком [[w:Штейнгауз, Гуго|Гуго Штейнгаузом]] (1887—1972). Будем бросать монету два раза подряд и записывать исходы бросаний так (Г — орёл, Р — решка, на первом месте стоит результат первого бросания, на втором — второго): ГР запишем как Г, в то время РГ запишем как Р, а ГГ и PP вообще не станем записывать. Например, если исходы бросаний окажутся такими: {| ||ГР,||РГ,||ГР,||PP,||ГР,||РГ,||ГГ,||РГ,||PP,||РГ, |- |colspan = "10"|то запишем их в виде: |- ||Г, ||Р, ||Г, || ||Г, ||Р, || ||Р, || ||Р. |} Сконструированная таким образом последовательность обладает теми же свойствами, что и полученная при бросании идеально симметричной монеты, поскольку даже у несимметричной монеты последовательность ГР встречается столь же часто, как и последовательность РГ. Применим теорему Бернулли и неравенство [[#metka_12|(12)]] к обработке реальных данных. '''Пример 16.''' С 1871 по 1900 год в [[w:Швейцария|Швейцарии]] родился 1 359 671 мальчик и 1 285 086 девочек. Совместимы ли эти данные с предположением, что вероятность рождения мальчика равна 0,5? A с предположением, что она равна 0,515? Другими словами, требуется проверить нулевые гипотезы <math>H_0{:}\; p = 0{,}5</math> и <math>H_0{:}\; p = 0{,}515</math> с помощью неравенства [[#metka_12|(12)]]. Число испытаний равно общему числу рождений, то есть <math>1\,359\,671 + 1\,285\,086 = 2\,644\,757</math>. Есть все основания считать испытания независимыми. Число рождений мальчиков составляет приблизительно 0,514 всех рождений. В случае <math>p = 0{,}5</math> имеем <math>\varepsilon = 0{,}014</math>, и правая часть неравенства [[#metka_12|(12)]] имеет вид : <math>\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{0{,}014 \cdot 0{,}014 \cdot 2\,644\,757} \approx 0{,}00001</math>. Таким образом, гипотезу <math>p = 0{,}5</math> следует считать несовместимой с приведёнными в условии данными. В случае <math>p = 0{,}515</math> имеем <math>\varepsilon = 0{,}001</math>, и правая часть [[#metka_12|(12)]] равна приблизительно 0,1, так что с помощью неравенства [[#metka_12|(12)]] отклонить гипотезу <math>H_0{:}\; p = 0{,}515</math> нельзя. Итак, здесь на основе элементарной теории вероятностей (с конечным пространством элементарных событий) мы сумели построить вероятностные модели для описания проверки качества деталей (единиц продукции) и бросания монет и предложить методы проверки гипотез, относящихся к этим явлениям. В математической статистике есть более тонкие и сложные методы проверки описанных выше гипотез, которыми и пользуются в практических расчётах. Можно спросить: в рассмотренных [[#Примеры применения|выше]] моделях вероятности были известны заранее — со слов Струкова или же из-за того, что мы предположили симметричность монеты. A как строить модели, если вероятности неизвестны? Как оценить неизвестные вероятности? Теорема Бернулли — результат, с помощью которого даётся ответ на этот вопрос. Именно, оценкой неизвестной вероятности <math>p</math> является число <math>\frac m k</math>, поскольку доказано, что при возрастании <math>k</math> вероятность того, что <math>\frac m k</math> отличается от <math>p</math> более чем на какое-либо фиксированное число, приближается к нулю. Оценка будет тем точнее, чем больше <math>k</math>. Более того, можно доказать, что с некоторой точки зрения (см. далее) оценка <math>\frac m k</math> для вероятности <math>p</math> является наилучшей из возможных (в терминах математической статистики — состоятельной, несмещённой и эффективной). == Суть вероятностно-статистических методов == Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при обработке данных — результатов наблюдений, измерений, испытаний, анализов, опытов с целью принятия практически важных решений? Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, то есть математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания неопределённостей, которые надо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьёвке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей. Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя. Например, по вероятности выпадения орла можно рассчитать вероятность того, что при 10 бросаниях монет выпадет не менее 3 орлов. Подобный расчёт опирается на вероятностную модель, согласно которой бросания монет описываются схемой независимых испытаний, кроме того, выпадения орла и решки равновозможны, а потому вероятность каждого из этих событий равна <math>\frac12</math>. Более сложна модель, в которой вместо бросания монеты рассматривается проверка качества единицы продукции. Соответствующая вероятностная модель опирается на предположение о том, что контроль качества различных единиц продукции описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели с бросанием монет необходимо ввести новый параметр — вероятность <math>p</math> того, что единица продукции является дефектной. Модель будет полностью описана, если принять, что все единицы продукции имеют одинаковую вероятность оказаться дефектными. Если последнее предположение неверно, то число параметров модели возрастает. Например, можно принять, что каждая единица продукции имеет свою вероятность оказаться дефектной. Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности <math>p</math>. Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить <math>p</math> на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Её цель — на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. обсуждение выше с использованием теоремы Бернулли). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определённое значение. Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных ряда понятий: относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики суть оценки теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, «находятся в головах исследователей», относятся к миру идей (по древнегреческому философу [[w:Платон|Платону]]), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, из которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели. Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с её помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идёт о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции. Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели. Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий. Однако результаты расчётов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют «анализ данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность. Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик — вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений. Подчеркнём, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а второй — выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, устаревших либо написанных в рецептурном духе, не делается различия между выборочными и теоретическими характеристиками, что приводит читателей к недоумениям и ошибкам при практическом использовании статистических методов. == Случайные величины и их распределения == ==== Распределения случайных величин и функции распределения ==== Распределение числовой случайной величины — это функция, однозначно определяющая вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу. Первое — если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задаётся функцией <math>P(X = x)</math>, ставящей каждому возможному значению <math>x</math> случайной величины <math>X</math> вероятность того, что <math>X = x</math>. Второе — если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задаётся набором вероятностей <math>P(a \leqslant X < b)</math> для всех пар чисел <math>a, b</math> таких, что <math>a < b</math>. Распределение может быть задано с помощью так называемой функции распределения <math>F(x) = P(X < x)</math>, определяющей для всех действительных <math>x</math> вероятность того, что случайная величина <math>X</math> принимает значения, меньшие <math>x</math>. Ясно, что <math>P(a \leqslant X < b) = F(b) - F(a)</math> Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения — по распределению. Используемые в прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями. Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам, принимающим конечное число значений или же значения из множества, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами (такие множества в математике называют счётными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (рисунок 1). '''Пример 17.''' Число <math>X</math> дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,4, значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины X изображен на рисунке 1. '''Рисунок 1.''' График функции распределения числа дефектных изделий. F(x) ^ | 1,0| <----- 0,9| <----- | 0,7| <----- | | | 0,3|<---- | | ---+----------------------> 0 | 1 2 3 х Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают при увеличении аргумента, — от 0 при <math>x \to -\infty</math> до 1 при <math>x\to + \infty</math>. Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными. Практически используемые непрерывные функции распределения, как правило, имеют [[w:Производная функции|производные]]. Первая производная <math>f(x)</math> функции распределения <math>F(x)</math> называется плотностью вероятности: : <math>f(x) = \frac{dF(x)}{dx}</math>. По плотности вероятности можно определить функцию распределения: : <math>F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(y)\, dy</math>. Для любой функции распределения : <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math>, <math>\lim_{x \to + \infty} F(x) = 1</math>, а потому : <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1</math>. Перечисленные свойства функций распределения постоянно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, из последнего равенства вытекает конкретный вид констант в формулах для плотностей вероятностей, рассматриваемых ниже. '''Пример 18.''' Часто используется следующая функция распределения:{{metka|14}} : <math> F(x) = \begin{cases} 0, \ x < a\\ \frac{x-a}{b-a},\ a \leqslant x \leqslant b\\ 1,\ x > b \end{cases}</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> суть некоторые числа, <math>a < b</math>. Найдём плотность вероятности этой функции распределения: : <math>f(x) = \begin{cases} 0, \ x < a\\ \frac{1}{b - a},\ a < x < b\\ 0, \ x > b \end{cases}</math>, (в точках <math>x = a</math> и <math>x = b</math> производная функции <math>F(x)</math> не существует). Случайная величина с функцией распределения [[#metka_14|(14)]] называется «равномерно распределённой на отрезке <math>[a; b]</math>». Смешанные функции распределения встречаются, в частности, тогда, когда наблюдения в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических данных, полученных при использовании планов испытаний на надёжность, предусматривающих прекращение испытаний по истечении некоторого срока. Или при анализе данных о технических изделиях, потребовавших гарантийного ремонта. '''Пример 19.''' Пусть, например, срок службы электрической лампочки — случайная величина с функцией распределения <math>F(t)</math>, а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента <math>t_0 = 100</math> часов. Пусть <math>G(t)</math> — функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда : <math>G(t) = \begin{cases}F(t),\ t \leqslant 100\\ 1,\ t > 100\end{cases}</math>. Функция <math>G(t)</math> имеет скачок в точке <math>t_0</math>, поскольку соответствующая случайная величина принимает значение <math>t_0</math> с вероятностью <math>1 - F(t_0) > 0</math>. === Характеристики случайных величин === В вероятностно-статистических методах используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей. ==== Квантили ==== При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях применяется такое понятие, как «квантиль порядка <math>p</math>», где <math>0 < p < 1</math> (иатробозначается <math>x_p</math>). Квантиль порядка <math>p</math> — значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение <math>p</math> или имеет место «скачок» со значения меньше <math>p</math> до значения больше <math>p</math> (рисунок 2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений <math>x</math>, принадлежащих этому интервалу (то есть функция распределения постоянна на этом интервале и равна <math>p</math>). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка <math>p</math>». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль <math>x_p</math> порядка <math>p</math> (рисунок 2), причём{{metka|15}} : <math>F(x_p) = p</math>. '''Пример 20.''' Найдём квантиль <math>x_p</math> порядка <math>p</math> для функции распределения <math>F(x)</math> из [[#metka 13|(13)]]. При <math>0 < p < 1</math> квантиль <math>x_p</math> находится из уравнения : <math>\frac{x - a}{b - a} = p</math>, то есть <math>x_p = a + p(b - a) = a(1 - p) + bp</math>. При <math>p = 0</math> любое <math>x \leqslant a</math> является квантилем порядка <math>p = 0</math>. Квантилем порядка <math>p = 1</math> является любое число <math>x \geqslant b</math>. Для дискретных распределений, как правило, не существует <math>x_p</math>, удовлетворяющих уравнению [[#metka 14|(14)]]. Точнее, если распределение случайной величины даётся [[#Таблица 2|таблицей 2]], где <math>x_1 < x_2 < \dots < x_k</math>, то равенство [[#metka 14|(14)]], рассматриваемое как уравнение относительно <math>x_p</math>, имеет решения только для <math>k</math> значений <math>p</math>, а именно <math>p = p_1</math>, <math>p = p_1 + p_2</math>, <math>p = p_1 + p_2 + p_3</math>, … <math>p = p_1 + p_2 + \dots + p_m</math>, <math>3 < m < k</math>, … <math>p = p_1 + p_2 + \dots + p_k</math>. {| class = "standard" id="Таблица 2" |+ Таблица 2. Распределение дискретной случайной величины |- |Значения <math>x</math> случайной величины <math>X</math>||<math>x_1</math>||<math>x_2</math>||rowspan = 2|…||<math>x_k</math> |- |Вероятности <math>P(X = x)</math>||<math>p_1</math>||<math>p_2</math>||<math>p_k</math> |} Для перечисленных <math>k</math> значений вероятности <math>p</math> решение <math>x_p</math> уравнения [[#metka 14|(14)]] неединственно, а именно : <math>F(x) = p_1 + p_2 + \dots + p_m</math> для всех <math>x</math> таких, что <math>x_m < x \leqslant x_{m + 1}</math>. То есть <math>x_p</math> — любое число из интервала <math>(x_m; x_{m + 1}]</math>. Для всех остальных <math>p</math> из промежутка <math>(0; 1)</math>, не входящих в перечень [[#metka 15|(15)]], имеет место «скачок» со значения меньше <math>p</math> до значения больше <math>p</math>. A именно, если : <math>p_1 + p_2 + \dots + p_m < p < p_1 + p_2 + p_2 + \dots + p_m + p_{m + 1}</math>, то : <math>x_p = x_{m + 1}</math>. Рассмотренное свойство дискретных распределений создаёт значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны. '''Характеристики положения''' указывают на «центр» распределения. Большое значение в статистике имеет квантиль порядка <math>p = \frac12</math>. Он называется [[w:Медиана (статистика)|медианой]] (случайной величины <math>X</math> или её функции распределения <math>F(x)</math>) и обозначается <math>Me(X)</math>. В [[w:Геометрия|геометрии]] есть понятие «[[w:Медиана треугольника|медиана]]» — [[w:Прямая|прямая]], проходящая через вершину [[w:Треугольник|треугольника]] и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство <math>F(x_{0{,}5}) = 0{,}5</math> означает, что вероятность попасть левее <math>x_{0,5}</math> и вероятность попасть правее <math>x_{0{,}5}</math> (или непосредственно в <math>x_{0{,}5}</math>) равны между собой и равны <math>\frac12</math>, то есть <math>P(X < x_{0{,}5}) = P(X \geqslant x_{0{,}5}) = \frac12</math>. Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций — теории устойчивых статистических процедур — медиана является лу́чшей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание. При обработке результатов измерений в порядковой шкале медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием — нельзя. Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как [[w:Мода (статистика)|мода]] — значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины. Если <math>x_0</math> есть мода случайной величины с плотностью <math>f(x)</math>, то, как известно из дифференциального исчисления, <math>\frac{df(x_0)}{dx} = 0</math>. У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения [[#metka 14|(14)]] каждая точка <math>x</math> такая, что <math>a < x < b</math>, является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными. Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в [[#События и множества|главе «События и множества»]]. Для непрерывной случайной величины <math>X</math> математическое ожидание <math>M(X)</math> удовлетворяет равенству : <math>M(X) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\, dx</math>, являющемуся аналогом формулы [[#metka 5|(5)]]. '''Пример 21.''' Математическое ожидание для равномерно распределённой случайной величины <math>X</math> равно : <math>M(X) = \int\limits_a^b \frac{x}{b - a}\, dx = \frac{1}{b - a} \frac{x^2}{2} \biggr |_a^b = \frac{1}{b - a} \left( \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right) = \frac{a + b}{2}</math>. Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений. ''Замечание.'' В этой книге сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, σ-алгебры событий и тому подобное. Желающим освоить эти понятия следует обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии<ref name="ver_mat_stat"/>. Каждая из трёх характеристик — математическое ожидание, медиана, мода — описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами, отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений — симметричных унимодальных — все три характеристики совпадают. Плотность распределения <math>f(x)</math> — плотность симметричного распределения, если найдётся число <math>x_0</math> такое, что{{metka|15}} : <math>f(x) = f(2x_0 - x)</math>. Равенство означает, что график функции <math>y = f(x)</math> симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии <math>x = x_0</math>. Из [[#metka 15|(15)]] следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению{{metka|16}} <math>F(x) = 1 - F(2x_0 - x)</math>. Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны <math>x_0</math>. Наиболее важен случай симметрии относительно нуля, то есть <math>x_0 = 0</math>. Тогда [[#metka 15|(15)]] и [[#metka 16|(16)]] переходят в равенства{{metka|17}} <math>f(x) = f(-x)</math> и{{metka|18}} <math>F(x) = 1 - F(-x)</math> соответственно. Приведённые соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех <math>x</math>, достаточно иметь таблицы при <math>x \geqslant x_0</math>. Отметим ещё одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения : <math>P(|X| \leqslant a) = P(-a \leqslant X \leqslant a) = F(a) - F(-a)</math>, где <math>F</math> — функция распределения случайной величины <math>X</math>. Если функция распределения <math>F</math> симметрична относительно нуля, то есть для неё справедлива формула [[#metka 18|(18)]], то : <math>P( |X| \leqslant a) = 2F(a) - 1</math>. Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если <math>1 - F(a) = \alpha</math>, то <math>P(|X| > a) = 2\alpha</math>. Если <math>x_\alpha</math> и <math>x_{1 - \alpha}</math> — квантили порядка <math>\alpha</math> и <math>1 - \alpha</math> соответственно (см. [[#metka 13|(13)]]) функции распределения, симметричной относительно нуля, то из [[#metka 18|(18)]] следует, что <math>x_\alpha = -x_{1 - \alpha}</math>. === Характеристики разброса === От характеристик положения — математического ожидания, медианы, моды — перейдём к характеристикам разброса случайной величины <math>X</math>: дисперсии <math>D(X) = \sigma^2</math>, среднеквадратичному отклонению <math>\sigma</math> и коэффициенту вариации <math>v</math>. Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин : <math>D(X) = M \left[ \Big( X - M(X) \Big)^2 \right] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Big( x - M(X) \Big)^2 f(x)\, dx</math>. Среднеквадратичное отклонение — это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии: <math>\sigma = +\sqrt{D(X)}</math> Коэффициент вариации — это отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию: <math>v = \frac{\sigma}{M(X)}</math>. Коэффициент вариации применяется при <math>M(X) > 0</math>. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднеквадратичное отклонение — в абсолютных. '''Пример 22.''' Для равномерно распределённой случайной величины <math>X</math> найдём дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна: : <math>D(X) = \int\limits_a^b \frac{1}{b - a} \left( x - \frac{a + b}{2} \right)^2\, dx</math>. Замена переменной <math>y = x - \frac{a + b}{2}</math> даёт возможность записать: : <math>D(X) = \frac{1}{b - a} \int\limits_{-c}^c y^2\, dy = \frac{1}{b - a} \frac{y^3}{3} \biggr|_{-c}^c = \frac{2c^3}{3(b - a)} = \frac{(b - a)^2}{12}</math>, где <math>c = \frac{b - a}{2}</math>. Следовательно, среднеквадратичное отклонение : <math>\sigma = \frac{b - a}{2 \sqrt 3}</math>, а коэффициент вариации таков: : <math>v = \frac{b - a}{\sqrt 3 (a + b)}</math>. === Преобразования случайных величин === По каждой случайной величине <math>X</math> определяют ещё три величины: центрированную <math>Y</math>, нормированную <math>V</math> и приведённую <math>U</math>. Центрированная случайная величина <math>Y</math> — это разность между данной случайной величиной <math>X</math> и её математическим ожиданием <math>M(X)</math>, то есть <math>Y = X - M(X)</math>. Математическое ожидание центрированной случайной величины <math>Y</math> равно нулю, а дисперсия — дисперсии данной случайной величины: <math>M(Y) = 0</math>, <math>D(Y) = D(X)</math>. Функция распределения <math>F_Y(x)</math> центрированной случайной величины <math>Y</math> связана с функцией распределения <math>F(x)</math> исходной случайной величины <math>X</math> соотношением : <math>F_Y(x) = F \Big( x + M(X) \Big)</math>. Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство : <math>f_Y(x) = f \Big( x + M(X) \Big)</math>. Нормированная случайная величина <math>V</math> — это отношение данной случайной величины <math>X</math> к её среднеквадратичному отклонению <math>\sigma</math>, то есть <math>V = \frac{X}{\sigma}</math>. Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины <math>V</math> выражаются через характеристики <math>X</math> так: : <math>M(V) = \frac{M(X)}{\sigma} = \frac{1}{v}</math>, <math>D(V) = 1</math>, где <math>v</math> — коэффициент вариации исходной случайной величины <math>X</math>. Для функции распределения <math>F_V(x)</math> и плотности <math>f_V(x)</math> нормированной случайной величины <math>V</math> имеем: : <math>F_V(x) = F(\sigma x)</math>, <math>f_V(x) = \sigma f(\sigma x)</math>, где <math>F(x)</math> — функция распределения исходной случайной величины <math>X</math>, а <math>f(x)</math>— её плотность вероятности. Приведённая случайная величина <math>U</math> — это центрированная и нормированная случайная величина: : <math>U = \frac{X - M(X)}{\sigma}</math>. Для приведённой случайной величины{{metka|19}} : <math>M(U) = 0</math>, <math>D(U) = 1</math>, <math>F_U(x) = F \Big( \sigma x + M(X) \Big)</math>, <math>f_U(x) = \sigma f \Big( \sigma x + M(X) \Big)</math>. Нормированные, центрированные и приведённые случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства <math>M(U) = 0</math>, <math>D(U) = 1</math> позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчётные формулы. Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если <math>Y = aX + b</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — некоторые числа, то{{metka|20}} : <math>M(Y) = aM(X) + b</math>, <math>D(Y) = a^2 D(X)</math>, <math>F_Y(x) = F\left( \frac{x - b}{a} \right)</math>, <math>f_Y(x) = \frac{1}{a}f \left( \frac{x - b}{a} \right)</math>. '''Пример 23.''' Если <math>a = \frac{1}{\sigma}</math>, <math>b = \frac{-M(X)}{\sigma}</math>, то <math>Y</math> — приведённая случайная величина, и формулы [[#metka_20|(20)]] переходят в формулы [[#metka_19|(19)]]. С каждой случайной величиной <math>X</math> можно связать множество случайных величин <math>Y</math>, заданных формулой <math>Y = aX + b</math> при различных <math>a > 0</math> и <math>b</math>. Это множество называют ''масштабно-сдвиговым семейством'', порождённым случайной величиной <math>X</math>. Функции распределения <math>F_Y(x)</math> составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порождённое функцией распределения <math>F(x)</math>. Вместо <math>Y = aX + b</math> часто используют запись{{metka|21}} : <math>Y = \frac{X - c}{d}</math>, где : <math>d = \frac{1}{a} > 0</math>, <math>c = -\frac{b}{a}</math>. Число <math>c</math> называют параметром сдвига, а число <math>d</math> — параметром масштаба. Формула [[#metka_21|(21)]] показывает, что <math>X</math> — результат измерения некоторой величины — переходит в <math>Y</math> — результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку <math>c</math>, а затем использовать новую единицу измерения, в <math>d</math> раз бо́льшую старой. Для масштабно-сдвигового семейства [[#metka_21|(21)]] распределение <math>X</math> называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и другие (см. ниже). Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины <math>X</math> рассматривают <math>Y = \lg X</math>, где <math>\lg X</math> — десятичный логарифм числа <math>X</math>. Цепочка равенств : <math>F_Y(x) = P(\lg X < x) = P(X < 10^x) = F(10^x)</math> связывает функции распределения <math>X</math> и <math>Y</math>. === Моменты случайных величин === При обработке данных используют такие характеристики случайной величины <math>X</math> как моменты порядка <math>q</math>, то есть математические ожидания случайной величины <math>X^q</math>, <math>q = 1, 2, \dots</math>. Так, само математическое ожидание — это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка <math>q</math> может быть рассчитан как : <math>m_q = M(X^q) = \sum_{i} x_i^q P(X = x_i)</math>. Для непрерывной случайной величины : <math>m_q = M(X^q) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^q f(x)\, dx</math>. Моменты порядка <math>q</math> называют также начальными моментами порядка <math>q</math>, в отличие от родственных характеристик — центральных моментов порядка <math>q</math>, задаваемых формулой : <math>\mu_q = M \left[ \Big( X - M(X) \Big)^q \right]</math>, <math>q = 2, 3, \dots</math>, Так, дисперсия — это центральный момент порядка 2. === Стандартное нормальное распределение и центральная предельная теорема === В вероятностно-статистических методах часто идёт речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными — см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчётные величины имеют распределения, близкие к нормальному. Пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_n, \dots</math> — независимые одинаково распределённые случайные величины с математическими ожиданиями <math>M(X_i) = m</math> и дисперсиями <math>D(X_i) = \sigma^2</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n, \dots</math>. Как следует из результатов предыдущей главы, : <math>M(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = nm</math>, <math>D(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = n \sigma^2</math>. Рассмотрим приведённую случайную величину <math>U_n</math> для суммы <math>X_1 + X_2 + \dots + X_n</math>, а именно : <math>U_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n - nm}{\sigma \sqrt n}</math>. Как следует из формул [[#metka_19|(19)]], <math>M(U_n) = 0</math>, <math>D(U_n) = 1</math>. ''Центральная предельная теорема'' (для одинаково распределённых слагаемых). Пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_n, \dots</math> — независимые одинаково распределённые случайные величины с математическими ожиданиями <math>M(X_i) = m</math> и дисперсиями <math>D(X_i) = \sigma^2</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n, \dots</math>. Тогда для любого <math>x</math> существует предел : <math>\lim_{n \to \infty} P \left( \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n - nm}{\sigma\sqrt n} < x \right) = \Phi(x)</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция стандартного нормального распределения. Подробнее о функции <math>\Phi(x)</math> — ниже (читается «фи от икс»; тут <math>\Phi</math> — греческая прописная [[w:Фи (буква)|буква «фи»]]). Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит своё название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет — с 1730 года, когда английский математик Абрахам де Муавр (1667—1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (см. ниже о [[w:Локальная теорема Муавра-Лапласа|теореме Муавра — Лапласа]]), до двадцатых — тридцатых годов ХХ века, когда финн Дж. У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886—1971), югослав В. Феллер (1906—1970), русский А. Я. Хинчин (1894—1959) и другие учёные получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы. Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось — изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, то есть те, для которых : <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\, dx = +\infty</math> (Гнеденко и другие), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (Ю. В. Прохоров, А. А. Боровков и их соратники), и так далее. Функция распределения <math>\Phi(x)</math> задаётся равенством : <math>\Phi(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \phi(y)\, dy</math>, где <math>\phi(y)</math> — плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение: : <math>\phi(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}</math>. Здесь <math>\pi = 3{,}1415925</math> — известная константа [[w:Пи (число)|пи]]. <math>e</math> — [[w:e (математическая константа)|основание натурального логарифма]]. Как известно из математического анализа, : <math>e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^n</math>. При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения в настоящее время уже́ не вычисляют по приведённым формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены Л. Н. Большевым и Н. В. Смирновым <ref name="tab_mat_stat">Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1965 (1-е изд.), 1968 (2-е изд.), 1983 (3-е изд.).</ref>. Вид плотности стандартного нормального распределения <math>\phi(y)</math> вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ. Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения <math>\Phi(x)</math> ([[#Таблица 3|таблица 3]]) и её квантилей ([[#Таблица 4|таблица 4]]). Функция <math>\Phi(x)</math> симметрична относительно нуля, что отражается в таблицах [[#Таблица 3|3]] и [[#Таблица 4|4]]. Если случайная величина <math>X</math> имеет функцию распределения <math>\Phi(x)</math>, то <math>M(X) = 0</math>, <math>D(X) = 1</math>. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей <math>\phi(y)</math>. Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведённой случайной величины <math>U_n</math>, что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения <math>U_n</math> стремится к функции стандартного нормального распределения <math>\Phi(x)</math>, причём этот предельный переход справедлив для любого числа <math>x</math>. {| class="standard" id="Таблица 3" |+ Таблица 3. Функция стандартного нормального распределения !<math>x</math>||<math>\Phi(x)</math> |- | -5,0||0,00000029 |- | -4,0||0,00003167 |- | -3,0||0,00134990 |- | -2,5||0,00620967 |- | -2,0||0,0227501 |- | -1,5||0,0668072 |- | -1,0||0,158655 |- | -0,5||0,308538 |- | 0,0||0,500000 |- | 0,5||0,691462 |- | 1,0||0,841345 |- | 1,5||0,9331928 |- | 2,0||0,9772499 |- | 2,5||0,99379033 |- | 3,0||0,99865010 |- | 4,0||0,99996833 |- | 5,0||0,99999971 |} {| class="standard" id="Таблица 4" |+ Таблица 4. Квантили стандартного нормального распределения. !<math>p</math>||Квантиль порядка <math>p</math> |- |0,01 ||-2,326348 |- |0,025||-1,959964 |- |0,05 ||-1,644854 |- |0,10 ||-1,281552 |- |0,30 ||-0,524401 |- |0,40 ||-0,253347 |- |0,50 || 0,000000 |- |0,60 || 0,253347 |- |0,70 || 0,524401 |- |0,80 || 0,841621 |- |0,90 || 1,281552 |- |0,95 || 1,644854 |- |0,975|| 1,959964 |- |0,99 || 2,326348 |} === Семейство нормальных распределений === Введём понятие семейства нормальных распределений. По определению нормальным распределением называется распределение случайной величины <math>x</math>, для которой распределение приведённой случайной величины есть <math>\Phi(x)</math>. Как следует из общих свойств масштабно-сдвиговых семейств распределений (см. выше), нормальное распределение — это распределение случайной величины : <math>Y = \sigma X + m</math>, где <math>X</math> — случайная величина с распределением <math>\Phi(x)</math>, причём <math>m = M(Y)</math>, <math>\sigma^2 = D(Y)</math>. Нормальное распределение с параметрами сдвига <math>m</math> и масштаба <math>\sigma</math> обычно обозначается <math>N(m, \sigma)</math> (иногда используется обозначение <math>N(m, \sigma^2)</math>). Как следует из [[#metka_20|(20)]], плотность вероятности нормального распределения <math>N(m, \sigma)</math> есть : <math>f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}}</math>. Нормальные распределения образуют масштабно-сдвиговое семейство. При этом параметром масштаба является <math>d = \frac{1}{\sigma}</math>, а параметром сдвига <math>c = -\frac{m}{\sigma}</math>. Для центральных моментов третьего и четвёртого порядка нормального распределения справедливы равенства : <math>\mu_3 = 0</math>, <math>\mu_4 = 3\sigma^4</math>. Эти равенства лежат в основе классических методов проверки того, что результаты наблюдений подчиняются нормальному распределению. В настоящее время нормальность обычно рекомендуется проверять по критерию <math>W</math> Шапиро — Уилка. Проблема проверки нормальности обсуждается ниже. Если случайные величины <math>X_1</math> и <math>X_2</math> имеют функции распределения <math>N(m_1, \sigma_1)</math> и <math>N(m_2, \sigma_2)</math> соответственно, то <math>X_1 + X_2</math> имеет распределение <math>N(m_1 + m_2; \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2})</math>. Следовательно, если случайные величины <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> независимы и имеют одно и тоже распределение <math>N(m, \sigma)</math>, то их среднее арифметическое : <math>\overline X = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}</math> имеет распределение <math>N \left( m, \frac{\sigma}{\sqrt n} \right)</math>. Эти свойства нормального распределения постоянно используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений, в частности, при статистическом регулировании технологических процессов и в статистическом приёмочном контроле по количественному признаку. === Распределения Пирсона (хи-квадрат, Стьюдента и Фишера) === С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти распределения. Распределение Пирсона <math>\chi^2</math> (хи-квадрат) — распределение случайной величины : <math>X = X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2</math>, где случайные величины <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> независимы и имеют одно и тоже распределение <math>N(0, 1)</math>. При этом число слагаемых, то есть <math>n</math>, называется «числом степеней свободы» распределения хи-квадрат. Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных <ref name="tab_mat_stat"/>, <ref name="kurs_tex_pril">Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. — 512 с.</ref>, <ref name="mat_met_stat">Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975. — 648 с.</ref>, <ref name="mat_vyv_sv">Кендалл М. Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. – 900 с.</ref>. Распределение <math>t</math> Стьюдента — это распределение случайной величины : <math>T = \frac{U \sqrt n}{\sqrt X}</math>, где случайные величины <math>U</math> и <math>X</math> независимы, <math>U</math> имеет стандартное нормальное распределение <math>N(0, 1)</math>, а <math>X</math> — распределение хи-квадрат с <math>n</math> степенями свободы. При этом <math>n</math> называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента. Распределение Стьюдента было введено в 1908 году английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому её руководство запрещало Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета — Стьюдента показывает, что ещё сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов. В настоящее время распределение Стьюдента — одно из наиболее известных распределений среди используемых при анализе реальных данных. Его применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости, гипотез однородности выборок и так далее <ref name="tab_mat_stat"/>, <ref name="kurs_tex_pril"/>, <ref name="mat_met_stat"/>. Распределение Фишера — это распределение случайной величины : <math>F = \frac{\frac{1}{k_1}X_1}{\frac{1}{k_2}X_2}</math>, где случайные величины <math>X_1</math> и <math>X_2</math> независимы и имеют распределения хи-квадрат с числом степеней свободы <math>k_1</math> и <math>k_2</math> соответственно. При этом пара <math>(k_1, k_2)</math> — пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, <math>k_1</math> — число степеней свободы числителя, а <math>k_2</math> — число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины <math>F</math> названо в честь великого английского статистика Р. Фишера (1890—1962), активно использовавшего его в своих работах. Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики <ref name="tab_mat_stat"/>, <ref name="kurs_tex_pril"/>, <ref name="mat_met_stat"/>. Выражения для функций распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, их плотностей и характеристик, а также таблицы, необходимые для их практического использования, можно найти в специальной литературе (например, <ref name="tab_mat_stat"/>). === Центральная предельная теорема (общий случай) === Как уже́ отмечалось, нормальные распределения в настоящее время часто используют в вероятностных моделях в различных прикладных областях. В чём причина такой широкой распространённости этого двухпараметрического семейства распределений? Она проясняется следующей теоремой. ''Центральная предельная теорема'' (для разнораспределённых слагаемых). Пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_n, \dots</math> — независимые случайные величины с математическими ожиданиями <math>M(X_1), M(X_2), \dots, M(X_n), \dots</math> и дисперсиями <math>D(X_1), D(X_2), \dots, D(X_n), \dots</math> соответственно. Пусть : <math>U_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n - M(X_1) - M(X_2) - \dots - M(X_n)} {\sqrt{D(X_1) + D(X_2) + \dots + D(X_n)}}</math>. Тогда при справедливости некоторых условий, обеспечивающих малость вклада любого из слагаемых в <math>U_n</math>, : <math>\lim_{n \to \infty}P(U_n < x) = \Phi(x)</math> для любого <math>x</math>. Условия, о которых идёт речь, не будем здесь формулировать. Их можно найти в специальной литературе (см., например, <ref name="gned_kurs"/>). «Выяснение условий, при которых действует ЦПТ, составляет заслугу выдающихся русских ученых А. А. Маркова (1857—1922) и, в особенности, А. М. Ляпунова (1857—1918)» (<ref name="kurs_tex_pril"/>, с. 197). Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих причин, причём каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется ''аддитивно'', то есть путем сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному. Иногда считают, что для нормальности распределения достаточно того, что результат измерения (наблюдения) <math>X</math> формируется под действием многих причин, каждая из которых оказывает малое воздействие. Это заключение неверно. Важно, как эти причины действуют. Если аддитивно, то <math>X</math> имеет приближённо нормальное распределение. Если ''мультипликативно'' (то есть действия отдельных причин перемножаются, а не складываются), то распределение <math>X</math> близко не к нормальному, а к так называемому логарифмически нормальному, то есть не <math>X</math>, а <math>\lg X</math> имеет приблизительно нормальное распределение. Если же нет оснований считать, что действует один из этих двух механизмов формирования итогового результата (или какой-либо иной вполне определённый механизм), то про распределение <math>X</math> ничего определённого сказать нельзя. Из сказанного вытекает, что в конкретной прикладной задаче нормальность результатов измерений (наблюдений), как правило, нельзя установить из общих соображений, её следует проверять с помощью статистических критериев. Или же использовать непараметрические статистические методы, не опирающиеся на предположения о принадлежности функций распределения результатов измерений (наблюдений) к тому или иному параметрическому семейству. === Непрерывные распределения, используемые в вероятностно-статистических методах === Кроме масштабно-сдвигового семейства нормальных распределений, широко используют ряд других семейств распределения — логарифмически нормальных, экспоненциальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений. Рассмотрим эти семейства. ==== Логарифмически нормальные распределения ==== Случайная величина <math>X</math> имеет логарифмически нормальное распределение, если случайная величина <math>Y = \lg X</math> имеет нормальное распределение. Тогда <math>Z = \ln X = 2{,}3026\dots Y</math> также имеет нормальное распределение <math>N(a_1, \sigma_1)</math>, где <math>\ln X</math> — натуральный логарифм <math>X</math>. Плотность логарифмически нормального распределения такова: : <math>f(x; a_1, \sigma_1) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sigma_1 \sqrt{2\pi}x} e^{-\frac{(\ln x - a_1)^2}{2\sigma_1^2}}, & x > 0 \\ 0, & x \leqslant 0. \end{matrix}\right.</math> Из центральной предельной теоремы следует, что произведение <math>X = X_1, X_2, \dots, X_n</math> независимых положительных случайных величин <math>X_i</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, при больши́х <math>n</math> можно аппроксимировать логарифмически нормальным распределением. В частности, мультипликативная модель формирования заработной платы или дохода приводит к рекомендации приближать распределения заработной платы и дохода логарифмически нормальными законами. Для России эта рекомендация оказалась обоснованной — статистические данные подтверждают её. Имеются и другие вероятностные модели, приводящие к логарифмически нормальному закону. Классический пример такой модели дан Колмогоровым <ref name="kolm_o_logarifm">Колмогоров А. Н. О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении / Доклады АН СССР. 1941. Т. 31. С. 99—101.</ref>, который из физически обоснованной системы постулатов вывел заключение о том, что размеры частиц при дроблении кусков руды, угля и тому подобного на шаровых мельницах имеют логарифмически нормальное распределение. ==== Экспоненциальные распределения ==== Перейдём к другому семейству распределений, широко используемому в различных вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, — семейству экспоненциальных распределений. <span id="Поток событий">Начнем с вероятностной модели, приводящей к таким распределениям. Для этого рассмотрим «поток событий», то есть последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток отказов оборудования в технологической цепочке; поток отказов изделий при испытаниях продукции; поток обращений клиентов в отделение банка; поток покупателей, обращающихся за товарами и услугами, и так далее.</span> В теории потоков событий справедлива теорема, аналогичная центральной предельной теореме, но в ней речь идёт не о суммировании случайных величин, а о суммировании потоков событий. Рассматривается суммарный поток, составленный из большого числа независимых потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, слагается из большого числа независимых потоков вызовов, исходящих от отдельных абонентов. Доказано <ref name="gned_kurs"/>, что в случае, когда характеристики потоков не зависят от времени, суммарный поток полностью описывается одним числом <math>\lambda</math> — интенсивностью потока. Для суммарного потока рассмотрим случайную величину <math>X</math> — длину промежутка времени между последовательными событиями. Её функция распределения имеет вид{{metka|22}} : <math>F(x; \lambda) = P(X \leqslant x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - e^{-\lambda x}, & x\geqslant 0 \\ 0, & x < 0. \end{matrix}\right.</math> Это распределение называется экспоненциальным распределением, так как в формуле [[#metka_22|(22)]] участвует экспоненциальная функция <math>e^{-\lambda x}</math>. Величина <math>\frac{1}{\lambda}</math> — масштабный параметр. Иногда вводят и параметр сдвига <math>c</math>, при этом экспоненциальным распределением называют распределение случайной величины <math>X + c</math>, где распределение <math>X</math> задаётся формулой [[#metka_22|(22)]]. В формуле [[#metka_22|(22)]] <math>e</math> — основание натурального логарифма. Функция экспоненциального распределения <math>F(x, \lambda)</math> и его плотность <math>f(x, \lambda)</math> связаны простым соотношением : <math>f(x, \lambda) = \lambda \Big( 1 - F(x, \lambda) \Big)</math>. Это соотношение имеет простую интерпретацию в терминах теории надёжности технических изделий и устройств. Оно означает, что интенсивность отказов (то есть интенсивность выхода изделий из строя) постоянна, другими словами, не зависит от того, сколько времени изделие уже́ проработало. Обычно интенсивность отказов постоянна на основном этапе эксплуатации, после того, как на начальном этапе выявлены скрытые дефекты, и до того, как из-за естественного старения материалов начинает происходить ускоренный износ с резким возрастанием интенсивности выхода изделия из строя. ==== Распределения Вейбулла — Гнеденко ==== Экспоненциальные распределения — частный случай так называемых распределений Вейбулла — Гнеденко. Они названы по фамилиям инженера В. Вейбулла, введшего эти распределения в практику анализа результатов усталостных испытаний, и математика [[w:Гнеденко, Борис Владимирович|Бориса Владимировича Гнеденко]] (1912—1995), получившего такие распределения в качестве предельных при изучении максимального из результатов испытаний. Пусть <math>X</math> — случайная величина, характеризующая длительность функционирования изделия, сложной системы, элемента (то есть ресурс, наработку до предельного состояния и тому подобное), длительность функционирования предприятия или жизни живого существа и так далее. Важную роль играет интенсивность отказа{{metka|23}} : <math>\lambda(x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)}</math>, где <math>F(x)</math> и <math>f(x)</math> — функция распределения и плотность случайной величины <math>X</math>. Опишем типичное поведение интенсивности отказа. Весь интервал времени можно разбить на три периода. На первом из них функция <math>\lambda(x)</math> имеет высокие значения и явную тенденцию к убыванию (чаще всего она монотонно убывает). Это можно объяснить наличием в рассматриваемой партии единиц продукции с явными и скрытыми дефектами, которые приводят к относительно быстрому выходу из строя этих единиц продукции. Первый период называют «периодом приработки» (или «обкатки»). Именно на него обычно распространяется гарантийный срок. Затем наступает период нормальной эксплуатации, характеризующийся приблизительно постоянной и сравнительно низкой интенсивностью отказов. Природа отказов в этот период носит внезапный характер (аварии, ошибки эксплуатационных работников и тому подобное) и не зависит от длительности эксплуатации единицы продукции. Наконец, последний период эксплуатации — период старения и износа. Природа отказов в этот период — в необратимых физико-механических и химических изменениях материалов, приводящих к прогрессирующему ухудшению качества единицы продукции и окончательному выходу её из строя. Каждому периоду соответствует свой вид функции <math>\lambda(x)</math>. Рассмотрим класс степенных зависимостей{{metka|24}} : <math>\lambda(x) = \lambda_0 bx^{b - 1}</math>, где <math>\lambda_0 > 0</math> и <math>b > 0</math> — некоторые числовые параметры. Значения <math>b < 1</math>, <math>b = 0</math> и <math>b > 1</math> отвечают виду интенсивности отказов в периоды приработки, нормальной эксплуатации и старения соответственно. Соотношение [[#metka_23|(23)]] при заданной интенсивности отказа <math>\lambda(x)</math> — дифференциальное уравнение относительно функции <math>F(x)</math>. Из теории дифференциальных уравнений следует, что{{metka|25}} : <math>F(x) = 1 - \exp \left( -\int\limits_0^x \lambda(t)\, dt \right)</math>. Подставив [[#metka_14|(14)]] в [[#metka_25|(25)]], получим, что{{metka|26}} : <math>f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \exp \left( -\lambda_0 x^b \right), & x \geqslant 0 \\ 0, & x < 0. \end{matrix}\right.</math>. Распределение, задаваемое формулой [[#metka_26|(26)]] называется распределением Вейбулла — Гнеденко. Поскольку : <math>\lambda_0 x^b = \left( \frac{x}{a} \right)^b</math>, где{{metka|27}} : <math>a = \lambda_0^{-\frac1b}</math>, то из формулы [[#metka_26|(26)]] следует, что величина <math>a</math>, задаваемая формулой [[#metka_27|(27)]], является масштабным параметром. Иногда вводят и параметр сдвига, то есть функциями распределения Вейбулла — Гнеденко называют <math>F(x - c)</math>, где <math>F(x)</math> задаётся формулой [[#metka_26|(26)]] при некоторых <math>\lambda_0</math> и <math>b</math>. Плотность распределения Вейбулла — Гнеденко имеет вид{{metka|28}} : <math>f(x;\, a, b, c) = \left\{ \begin{matrix} \frac{b}{a} \left( \frac{x - c}{a} \right)^{b-1} \exp\left( -\left( \frac{x - c}{a} \right)^b \right), & x \geqslant c \\ 0, & x < c \end{matrix}\right.</math> где <math>a > 0</math> — параметр масштаба, <math>b > 0</math> — параметр формы, <math>c</math> — параметр сдвига. При этом параметр <math>a</math> из формулы [[#metka_28|(28)]] связан с параметром <math>\lambda_0</math> из формулы [[#metka_26|(26)]] соотношением, указанным в формуле [[#metka_27|(27)]]. Экспоненциальное распределение — весьма частный случай распределения Вейбулла — Гнеденко, соответствующий значению параметра формы <math>b = 1</math>. Распределение Вейбулла — Гнеденко применяется также при построении вероятностных моделей ситуаций, в которых поведение объекта определяется «наиболее слабым звеном». Подразумевается аналогия с цепью, сохранность которой определяется тем её звеном, которое имеет наименьшую прочность. Другими словами, пусть <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> — независимые одинаково распределённые случайные величины, <math>X(1) = \min (X_1, X_2, \dots, X_n)</math>, <math>X(n) = \max (X_1, X_2, \dots, X_n)</math>. В ряде прикладных задач большу́ю роль играют <math>X(1)</math> и <math>X(n)</math>, в частности, при исследовании максимально возможных значений («рекордов») тех или иных значений, например, страховых выплат или потерь из-за коммерческих рисков, при изучении пределов упругости и выносливости [[w:Сталь|стали]], ряда характеристик надёжности и тому подобного. Показано, что при больши́х <math>n</math> распределения <math>X(1)</math> и <math>X(n)</math>, как правило, хорошо описываются распределениями Вейбулла — Гнеденко. Основополагающий вклад в изучение распределений <math>X(1)</math> и <math>X(n)</math> внёс Гнеденко. Использованию полученных результатов в экономике, менеджменте, технике и других областях посвящены труды Вейбулла, Э. Гумбеля, В. Б. Невзорова, Э. М. Кудлаева и многих иных специалистов. ==== Гамма-распределения ==== Перейдём к семейству [[w:Гамма-распределение|гамма-распределений]]. Они широко применяются в экономике и менеджменте, теории и практике надёжности и испытаний, в различных областях техники, метеорологии и так далее. В частности, гамма-распределению подчинены во многих ситуациях такие величины, как общий срок службы изделия, длина цепочки токопроводящих пылинок, время достижения изделием предельного состояния при коррозии, время наработки до <math>k</math>-го отказа, <math>k = 1, 2, \dots</math>, и так далее. Продолжительность жизни больных хроническими заболеваниями, время достижения определённого эффекта при лечении в ряде случаев имеют гамма-распределение. Это распределение наиболее адекватно для описания спроса в экономико-математических моделях управления запасами (логистики). Плотность гамма-распределения имеет вид{{metka|29}} : <math>f(x;\, a, b, c) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(a)}(x - c)^{a-1} b^{-a} e^{-\frac{x - c}{b}}, & x \geqslant c \\ 0, & x < c \end{matrix} \right.</math>. Плотность вероятности в формуле [[#metka_29|(29)]] определяется трёмя параметрами <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, где <math>a > 0</math>, <math>b > 0</math>. При этом <math>a</math> является параметром формы, <math>b</math> — параметром масштаба и <math>c</math> — параметром сдвига. Множитель <math>\frac{1}{\Gamma(a)}</math> является нормировочным, он введён, чтобы : <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x;\, a, b, c)\, dx = 1</math>. Здесь <math>\Gamma(a)</math> — одна из используемых в математике специальных функций, так называемая «гамма-функция», по которой названо и распределение, задаваемое формулой [[#metka_29|(17)]]: : <math>\Gamma(a) = \int\limits_{0}^{+\infty} x^{a-1} e^{-x}\, dx</math>. При фиксированном а формула [[#metka_29|(29)]] задает масштабно-сдвиговое семейство распределений, порождаемое распределением с плотностью{{metka|30}} : <math>f(x, a) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right.</math>. Распределение вида [[#metka_30|(30)]] называется стандартным гамма-распределением. Оно получается из формулы [[#metka_29|(29)]] при <math>b = 1</math> и <math>c = 0</math>. Частным случаем гамма-распределений при <math>a = 1</math> являются экспоненциальные распределения (с <math>\lambda = \frac1b</math>). При натуральном <math>a</math> и <math>c = 0</math> гамма-распределения называются распределениями Эрланга. С работ датского ученого [[Эрланг, Агнер Краруп|Агнера Крарупа Эрланга]] (1878—1929), сотрудника Копенгагенской телефонной компании, изучавшего в 1908—1922 годах функционирование телефонных сетей, началось развитие теории массового обслуживания. Эта теория занимается вероятностно-статистическим моделированием систем, в которых происходит обслуживание потока заявок, с целью принятия оптимальных решений. Распределения Эрланга используют в тех же прикладных областях, в которых применяют экспоненциальные распределения. Это основано на следующем математическом факте: сумма <math>k</math> независимых случайных величин, экспоненциально распределённых с одинаковыми параметрами <math>\lambda</math> и <math>c</math>, имеет гамма-распределение с параметром формы <math>a = k</math>, параметром масштаба <math>b = \frac1\lambda</math> и параметром сдвига <math>kc</math>. При <math>c = 0</math> получаем распределение Эрланга. Если случайная величина <math>X</math> имеет гамма-распределение с параметром формы <math>a</math> таким, что <math>d = 2a</math> — целое число, <math>b = 1</math> и <math>c = 0</math>, то <math>2X</math> имеет распределение хи-квадрат с <math>d</math> степенями свободы. Случайная величина <math>X</math> с гамма-распределением имеет следующие характеристики: * математическое ожидание <math>M(X) = ab + c</math>, * дисперсию <math>D(X) = \sigma^2 = ab^2</math>, * коэффициент вариации <math>\nu = \frac{b \sqrt a}{ab + c}</math>, * асимметрию <math>M \left[ \Big( X - M(X) \Big)^3 \right] = \frac{2}{\sqrt a}</math>, * эксцесс <math>\frac{M \left[ \Big( X - M(X) \Big)^4 \right]}{\sigma^4} - 3 = \frac6a</math>. Нормальное распределение — предельный случай гамма-распределения. Точнее, пусть <math>Z</math> — случайная величина, имеющая стандартное гамма-распределение, заданное формулой [[#metka_30|(30)]]. Тогда : <math>\lim_{a \to \infty} P \left\{ \frac{Z - a}{\sqrt a} < x \right\} = \Phi(x)</math> для любого действительного числа <math>x</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция стандартного нормального распределения <math>N(0, 1)</math>. В прикладных исследованиях используются и другие параметрические семейства распределений, из которых наиболее известны система кривых Пирсона, ряды Эджворта и Шарлье. Здесь они не рассматриваются. === Дискретные распределения, используемые в вероятностно-статистических методах === Наиболее часто используют три семейства дискретных распределений — [[w:Биномиальное распределение|биномиальных]], [[w:Гипергеометрическое распределение|гипергеометрических]] и [[w:Распределение Пуассона|Пуассона]], а также некоторые другие семейства — [[w:Геометрическое распределение|геометрических]], [[w:Отрицательное биномиальное распределение|отрицательных биномиальных]], мультиномиальных, отрицательных гипергеометрических и так далее. ==== Подробнее о биномиальном распределении ==== Как уже́ говорилось, биномиальное распределение имеет место при независимых испытаниях, в каждом из которых с вероятностью <math>p</math> появляется событие <math>A</math>. Если общее число испытаний <math>n</math> задано, то число испытаний <math>Y</math>, в которых появилось событие <math>A</math>, имеет биномиальное распределение. Для биномиального распределения вероятность принятия случайной величиной <math>Y</math> значения <math>y</math> определяется формулой [[#metka_31|(31)]] : <math>P(Y = y \;|\; p, n) = {n \choose y} p^y (1 - p)^{n-y}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots, n</math>, где <math>{n \choose y} = \frac{n!}{y!(n - y)!} = C_n^y</math> — число сочетаний из <math>n</math> элементов по <math>y</math>, известное из комбинаторики. Для всех <math>y</math>, кроме <math>0, 1, 2, \dots, n</math>, имеем <math>P(Y = y) = 0</math>. Биномиальное распределение при фиксированном объёме выборки <math>n</math> задаётся параметром <math>p</math>, то есть биномиальные распределения образуют однопараметрическое семейство. Они применяются при анализе данных выборочных исследований <ref name="orlov_ekon"/>, в частности, при изучении предпочтений потребителей, выборочном контроле качества продукции по планам одноступенчатого контроля, при испытаниях совокупностей индивидуумов в демографии, социологии, медицине, биологии и другом. Если <math>Y_1</math> и <math>Y_2</math> — независимые биномиальные случайные величины с одним и тем же параметром <math>p_0</math>, определённые по выборкам с объёмами <math>n_1</math> и <math>n_2</math> соответственно, то <math>Y_1 + Y_2</math> — биномиальная случайная величина, имеющая распределение [[#metka_31|(31)]] с <math>p = p_0</math> и <math>n = n_1 + n_2</math>. Это замечание расширяет область применимости биномиального распределения, позволяя объединять результаты нескольких групп испытаний, когда есть основания полагать, что всем этим группам соответствует один и тот же параметр. Характеристики биномиального распределения вычислены ранее: : <math>M(Y) = np</math>, <math>D(Y) = np(1 - p)</math>. В [[#События и множества|главе «События и множества»]] для биномиальной случайной величины доказан закон больши́х чисел: : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \left| \frac{Y}{n} - p \right| \geqslant \varepsilon\right\} = 0</math> для любого <math>\varepsilon > 0</math>. С помощью центральной предельной теоремы закон больши́х чисел можно уточнить, указав, насколько <math>\frac{Y}{n}</math> отличается от <math>p</math>. ===== Теорема Муавра — Лапласа ===== Для любых чисел <math>a</math> и <math>b</math>, <math>a < b</math>, имеем : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ a \leqslant \frac{Y - np}{\sqrt{np(1 - p)}} < b \right\} = \Phi(b) - \Phi(a)</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Для доказательства достаточно воспользоваться представлением <math>Y</math> в виде суммы независимых случайных величин, соответствующих исходам отдельных испытаний, формулами для <math>M(Y)</math> и <math>D(Y)</math> и центральной предельной теоремой. Эта теорема для случая <math>p = \frac12</math> доказана английским математиком Абрахамом де Муавром (1667—1754) в 1730 году. В приведённой выше формулировке она была доказана в 1810 году французским математиком Пьером-Симоном Лапласом (1749—1827). ==== Гипергеометрическое распределение ==== [[w:Гипергеометрическое распределение|Гипергеометрическое распределение]] имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объёма <math>N</math> по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком <math>A</math>, либо как не обладающий этим признаком. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина <math>Y</math>, равная числу объектов, обладающих признаком <math>A</math> в случайной выборке объёма <math>n</math>, где <math>n < N</math>. Например, число <math>Y</math> дефектных единиц продукции в случайной выборке объёма <math>n</math> из партии объёма <math>N</math> имеет гипергеометрическое распределение, если <math>n < N</math>. Другой пример — лотерея. Пусть признак <math>A</math> билета — это признак «быть выигрышным». Пусть всего билетов <math>N</math>, а некоторое лицо приобрело <math>n</math> из них. Тогда число выигрышных билетов у этого лица имеет гипергеометрическое распределение. Для гипергеометрического распределения вероятность принятия случайной величиной <math>Y</math> значения <math>y</math> имеет вид{{metka|32}} : <math>P(Y = y | N, d, n) = \frac{{n \choose y}{N - n \choose D - y}}{{N \choose D}}</math>, где <math>D</math> — число объектов, обладающих признаком <math>A</math>, в рассматриваемой совокупности объёма <math>N</math>. При этом <math>y</math> принимает значения от <math>\max \{0, n - (N - D) \}</math> до <math>\min \{n, D \}</math>, при прочих <math>y</math> вероятность в формуле [[#metka_32|(32)]] равна нулю. Таким образом, гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами — объёмом генеральной совокупности <math>N</math>, числом объектов <math>D</math> в ней, обладающих рассматриваемым признаком <math>A</math>, и объёмом выборки <math>n</math>. Простой случайной выборкой объёма <math>n</math> из совокупности объёма <math>N</math> называется выборка, полученная в результате случайного отбора, при котором любой из <math>N \choose n</math> наборов из <math>n</math> объектов имеет одну и ту же вероятность быть отобранным. Методы случайного отбора выборок респондентов (опрашиваемых) или единиц штучной продукции рассматриваются в инструктивно-методических и нормативно-технических документах. Один из методов отбора таков: объекты отбирают один из другим, причём на каждом шаге каждый из оставшихся в совокупности объектов имеет одинаковые шансы быть отобранным. В литературе для рассматриваемого типа выборок используются также термины «случайная выборка», «случайная выборка без возвращения». Поскольку объёмы генеральной совокупности (партии) <math>N</math> и выборки <math>n</math> обычно известны, то подлежащим оцениванию параметром гипергеометрического распределения является <math>D</math>. В статистических методах управления качеством продукции <math>D</math> — обычно число дефектных единиц продукции в партии. Представляет интерес также характеристика распределения <math>\frac DN</math> — уровень дефектности. Для гипергеометрического распределения : <math>M(Y) = n \frac{D}{N}</math>, <math>D(Y) = n\frac{D}{N} \left (1 - \frac{D}{N} \right)\left( 1 - \frac{n-1}{N-1} \right)</math>. Последний множитель в выражении для дисперсии близок к 1, если <math>N > 10n</math>. Если при этом сделать замену <math>p = \frac{D}{N}</math>, то выражения для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения перейдут в выражения для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения. Это не случайно. Можно показать, что : <math>P(Y = y \;|\; N, d, n) = \frac{{n \choose y}{N - n \choose D - y}}{{N \choose D}} \approx P(Y = y \;|\; p, n) = {n \choose y} p^y (1 - p)^{n-y}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots, n</math>, при <math>N > 10n</math>, где <math>p = \frac{D}{N}</math>. Точнее, справедливо предельное соотношение : <math>lim_{N \to \infty, \frac{D}{N} \to p} P(Y = y \;|\; N, d, n) = P(Y = y \;|\; p, n)</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots, n</math>, и этим предельным соотношением можно пользоваться при <math>N>10n</math>. ==== Распределение Пуассона ==== Третье широко используемое дискретное распределение — распределение Пуассона. Случайная величина <math>Y</math> имеет распределение Пуассона, если : <math>P(Y = y) = \frac{\lambda^y e^{-\lambda}}{y!}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots</math>, где <math>\lambda</math> — параметр распределения Пуассона, и <math>P(Y = y) = 0</math> для всех прочих <math>y</math> (при <math>y = 0</math> обозначено <math>0! = 1</math>). Для распределения Пуассона : <math>M(Y) = \lambda</math>, <math>D(Y) = \lambda</math>. Это распределение названо в честь французского математика [[w:Пуассон, Симеон Дени|Симеона-Дени Пуассона]] (1781—1840), впервые получившего его в 1837 году. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность <math>p</math> осуществления события мала, но число испытаний <math>n</math> велико, причём <math>np = \lambda</math>. Точнее, справедливо предельное соотношение : <math>\lim_{n \to \infty, np \to \lambda} P(Y = y | p, n) = \frac{\lambda^y e^{-\lambda}}{y!}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots</math>. Поэтому распределение Пуассона (в старой терминологии «закон распределения») часто называют также «законом редких событий». Распределение Пуассона возникает в теории потоков событий (см. [[#Поток событий|выше]]). Доказано, что для простейшего потока с постоянной интенсивностью <math>\Lambda</math> число событий (вызовов), происшедших за время <math>t</math>, имеет распределение Пуассона с параметром <math>\lambda = \Lambda t</math>. Следовательно, вероятность того, что за время <math>t</math> не произойдет ни одного события, равна <math>e^{\Lambda t}</math>, то есть функция распределения длины промежутка между событиями является экспоненциальной. Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных потребителей товара, расчёте оперативных характеристик планов статистического приёмочного контроля в случае малых значений приёмочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний, и так далее. Описание иных параметрических семейств дискретных распределений и возможности их практического использования рассматриваются в обширной (более миллиона названий статей и книг на десятках языков) литературе по вероятностно-статистическим методам. == Основные проблемы прикладной статистики — описание данных, оценивание и проверка гипотез == Выделяют три основные области статистических методов обработки результатов наблюдений — описание данных, оценивание (характеристик и параметров распределений, регрессионных зависимостей и другого) и проверка статистических гипотез. Рассмотрим основные понятия, применяемые в этих областях. === Основные понятия для описания данных === Описание данных — предварительный этап статистической обработки. Используемые при описании данных величины применяются при дальнейших этапах статистического анализа — оценивании и проверке гипотез, а также при решении иных задач, возникающих при применении вероятностно-статистических методов принятия решений, например, при статистическом контроле качества продукции и статистическом регулировании технологических процессов. Статистические данные — это результаты наблюдений (измерений, испытаний, опытов, анализов). Функции результатов наблюдений, используемые, в частности, для оценки параметров распределений и (или) для проверки статистических гипотез, называют «статистиками». (Для математиков надо добавить, что речь идёт об измеримых функциях.) Если в вероятностной модели результаты наблюдений рассматриваются как случайные величины (или случайные элементы), то статистики, как функции случайных величин (элементов), сами являются случайными величинами (элементами). Статистики, являющиеся выборочными аналогами характеристик случайных величин (математического ожидания, медианы, дисперсии, моментов и других) и используемые для оценивания этих характеристик, называют статистическими характеристиками. === Виды выборок === Основополагающее понятие в вероятностно-статистических методах принятия решений — выборка. Как уже́ говорилось, выборка — это набор наблюдаемых значений или множество объектов, отобранные из изучаемой совокупности. Например, единицы продукции, отобранные из контролируемой партии или потока продукции для контроля и принятия решений. Наблюдаемые значения обозначим <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> где <math>n</math> — объём выборки, то есть число наблюдаемых значений, составляющих выборку. О втором виде выборок уже́ шла речь при рассмотрении гипергеометрического распределения, когда под выборкой понимался набор единиц продукции, отобранных из партии. Там же обсуждалась вероятностная модель случайной выборки. В вероятностной модели выборки первого вида наблюдаемые значения обычно рассматривают как реализацию независимых одинаково распределённых случайных величин <math>X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_n(\omega)</math>, <math>\omega \in \Omega</math>. При этом считают, что полученные при наблюдениях конкретные значения <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> соответствуют определённому элементарному событию <math>\omega = \omega_0</math>, то есть <math>x_1 = X_1(\omega_0),\; x_2 = X_2(\omega_0),\; \dots,\; x_n = X_n(\omega_0)</math>, <math>\omega_0 \in \Omega</math>. При повторных наблюдениях будут получены иные наблюдаемые значения, соответствующие другому элементарному событию <math>\omega = \omega_1</math>. Цель обработки статистических данных состоит в том, чтобы по результатам наблюдений, соответствующим элементарному событию <math>\omega = \omega_0</math>, сделать выводы о вероятностной мере <math>P</math> и результатах наблюдений при различных возможных <math>\omega = \omega_1</math>. Применяют и другие, более сложные вероятностные модели выборок. Например, цензурированные выборки соответствуют испытаниям, проводящимся в течение определённого промежутка времени. При этом для части изделий удаётся замерить время наработки на отказ, а для остальных лишь констатируется, что наработки на отказ для них больше времени испытания. Для выборок второго вида отбор объектов может проводиться в несколько этапов. Например, для входного контроля сигарет могут сначала отбираться коробки, в отобранных коробках — блоки, в выбранных блоках — пачки, а в пачках — сигареты. Четыре ступени отбора. Ясно, что выборка будет обладать иными свойствами, чем простая случайная выборка из совокупности сигарет. === Часто́ты === Из приведённого выше определения математической статистики следует, что описание статистических данных даётся с помощью частот. Частота — это отношение числа <math>X</math> наблюдаемых единиц, которые принимают заданное значение или лежат в заданном интервале, к общему числу наблюдений <math>n</math>, то есть частота — это <math>\frac Xn</math>. (В более старой литературе иногда <math>\frac Xn</math> называется относительной частотой, а под частотой имеется в виду <math>X</math>. В старой терминологии можно сказать, что относительная частота — это отношение частоты к общему числу наблюдений.) Отметим, что обсуждаемое определение приспособлено к нуждам одномерной статистики. В случае многомерного статистического анализа, статистики случайных процессов и временны́х рядов, статистики объектов нечисловой природы нужны несколько иные определения понятия «статистические данные». Не считая нужным давать такие определения, отметим, что в подавляющем большинстве практических постановок исходные статистические данные — это выборка или несколько выборок. А выборка — это конечная совокупность соответствующих математических объектов (чисел, векторов, функций, объектов нечисловой природы). Число <math>X</math> имеет биномиальное распределение, задаваемое вероятностью <math>p</math> того, что случайная величина, с помощью которой моделируются результаты наблюдений, принимает заданное значение или лежит в заданном интервале, и общим числом наблюдений <math>n</math>. Из закона больши́х чисел (теорема Бернулли) следует, что <math>\frac Xn \to p</math> при <math>n \to \infty</math> (сходимость по вероятности), то есть частота сходится к вероятности. Теорема Муавра — Лапласа позволяет уточнить скорость сходимости в этом предельном соотношении. === Эмпирическая функция распределения === Чтобы от отдельных событий перейти к одновременному рассмотрению многих событий, используют накопленную частоту. Так называется отношение числа единиц, для которых результаты наблюдения меньше заданного значения, к общему числу наблюдений. (Это понятие используется, если результаты наблюдения — действительные числа, а не вектора, функции или объекты нечисловой природы.) Функция, которая выражает зависимость между значениями количественного признака и накопленной частотой, называется эмпирической функцией распределения. Итак, эмпирической функцией распределения <math>F_n(x)</math> называется доля элементов выборки, меньших <math>x</math>. Эмпирическая функция распределения содержит всю информацию о результатах наблюдений. Чтобы записать выражение для эмпирической функции распределения в виде формулы, введём функцию <math>c(x, y)</math> двух переменных: : <math>c(x,y) = \left\{\begin{matrix} 0, & x \leqslant y, \\ 1, & x > y. \end{matrix}\right.</math> Случайные величины, моделирующие результаты наблюдений, обозначим <math>X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_n(\omega)</math>, <math>\omega \in \Omega</math>. Тогда эмпирическая функция распределения <math>F_n(x)</math> имеет вид : <math>F_n(x) = F_n(x, \omega) = \frac1n \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} c \Big( x, X_i(\omega) \Big)</math>. Из закона больши́х чисел следует, что для каждого действительного числа <math>x</math> эмпирическая функция распределения <math>F_n(x)</math> сходится к функции распределения <math>F(x)</math> результатов наблюдений, то есть{{metka|33}} : <math>F_n(x) \to F(x)</math> при <math>n \to \infty</math>. Советский математик В. И. Гливенко (1897—1940) доказал в 1933 году более сильное утверждение: сходимость в [[#metka_33|(33)]] равномерна по <math>x</math>, то есть{{metka|34}} : <math>\sup_x |F_n(x) - F(x)| \to 0</math> при <math>n \to \infty</math> (сходимость по вероятности). В [[#metka_34|(34)]] использовано обозначение <math>\sup</math> (читается как «супремум»). Для функции <math>g(x)</math> под <math>\sup_x g(x)</math> понимают наименьшее из чисел <math>a</math> таких, что <math>g(x) \leqslant a</math> при всех <math>x</math>. Если функция <math>g(x)</math> достигает максимума в точке <math>x_0</math>, то <math>\sup_x g(x) = g(x_0)</math>. В таком случае вместо <math>\sup</math> пишут <math>\max</math>. Хорошо известно, что не все функции достигают максимума. В том же 1933 году Колмогоров усилил результат Гливенко для непрерывных функций распределения <math>F(x)</math>. Рассмотрим случайную величину : <math>D_n = \sqrt n \sup_x |F_n(x) - F_0(x)|</math> и её функцию распределения : <math>K_n(x) = P\{D_n \leqslant x\}</math>. По теореме Колмогорова : <math>\lim_{n \to \infty} K_n(x) = K(x)</math> при каждом <math>x</math>, где <math>K(x)</math> — так называемая функция распределения Колмогорова. Рассматриваемая работа Колмогорова породила одно из основных направлений математической статистики — так называемую непараметрическую статистику. И в настоящее время непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат широко используются. Они были разработаны для проверки согласия с ''полностью известным'' теоретическим распределением, то есть предназначены для проверки гипотезы <math>H_0{:}\; F(x) \equiv F_0(x)</math>. Основная идея критериев Колмогорова, омега-квадрат и аналогичных им состоит в измерении расстояния между функцией эмпирического распределения и функцией теоретического распределения. Различаются эти критерии видом расстояний в пространстве функций распределения. Аналитические выражения для предельных распределений статистик, расчётные формулы, таблицы распределений и критических значений широко распространены <ref name="tab_mat_stat"/>, поэтому не будем их приводить. === Выборочные характеристики распределения === Кроме эмпирической функции распределения, для описания данных используют и другие статистические характеристики. В качестве выборочных средних величин постоянно используют выборочное среднее арифметическое, то есть сумму значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, делённую на её объём: : <math>\overline x = \frac1n \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} x_i</math>, где <math>n</math> — объём выборки, <math>x_i</math> — результат измерения (испытания) <math>i</math>-го элемента выборки. Другой вид выборочного среднего — выборочная медиана. Она определяется через порядковые статистики. Порядковые статистики — это члены вариационного ряда, который получается, если элементы выборки <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> расположить в порядке неубывания: : <math>x(1) \leqslant x(2) \leqslant \dots \leqslant x(k) \leqslant \dots \leqslant x(n)</math>. '''Пример 24.''' Для выборки <math>x_1 = 1</math>, <math>x_2 = 7</math>, <math>x_3 = 4</math>, <math>x_4 = 2</math>, <math>x_5 = 8</math>, <math>x_6 = 0</math>, <math>x_7 = 5</math>, <math>x_8 = 7</math> вариационный ряд имеет вид 0, 1, 2, 4, 5, 7, 7, 8, то есть <math>x(1) = 0 = x_6,</math> <math>x(2) = 1 = x_1,</math> <math>x(3) = 2 = x_4,</math> <math>x(4) = 4 = x_3,</math> <math>x(5) = 5 = x_7,</math> <math>x(6) = x(7) = 7 = x_2 = x_8,</math> <math>x(8) = 8 = x_5</math>. В вариационном ряду элемент <math>x(k)</math> называется <math>k</math>-й порядковой статистикой. Порядковые статистики и функции от них широко используются в вероятностно-статистических методах принятия решений, в эконометрике и в других прикладных областях <ref name="orlov_ekon"/>. Выборочная медиана <math>\tilde x</math> — результат наблюдения, занимающий центральное место в вариационном ряду, построенном по выборке с нечётным числом элементов, или полусумма двух результатов наблюдений, занимающих два центральных места в вариационном ряду, построенном по выборке с чётным числом элементов. Таким образом, если объём выборки <math>n</math> — нечётное число, <math>n = 2k + 1</math>, то медиана <math>\tilde x = x(k + 1)</math>, если же <math>n</math> — чётное число, <math>n = 2k</math>, то медиана <math>\tilde x = \frac{x(k) + x(k + 1)}2</math>, где <math>x(k)</math> и <math>x(k + 1)</math> — порядковые статистики. В качестве выборочных показателей рассеивания результатов наблюдений чаще всего используют выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение и размах выборки. Согласно <ref name="tab_mat_stat"/>, выборочная дисперсия <math>s^2</math> — это сумма квадратов отклонений выборочных результатов наблюдений от их среднего арифметического, делённая на объём выборки: : <math>s^2 = \frac1n \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} (x_i - \overline x)^2</math>. Выборочное среднеквадратичное отклонение <math>s</math> — неотрицательный квадратный корень из дисперсии, то есть <math>s = +\sqrt{s^2}</math>. В некоторых литературных источниках выборочной дисперсией называют другую величину: : <math>s_0^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} (x_i - \overline x)^2</math>. Она отличается от <math>s^2</math> постоянным множителем: : <math>s^2 = \left( 1 - \frac1n \right) s_0^2</math>. Соответственно выборочным среднеквадратичным отклонением в этих литературных источниках называют величину <math>s_0 = +\sqrt{s_0^2}</math>. Тогда, очевидно, : <math>s = \sqrt{1 - \frac1n} s_0</math>. Различие в определениях приводит к различию в алгоритмах расчётов, правилах принятия решений и соответствующих таблицах. Поэтому при использовании тех или иных нормативно-технических и инструктивно-методических материалов, программных продуктов, таблиц, следует обращать внимание на способ определения выборочных характеристик. Выбор <math>s_0^2</math>, а не <math>s^2</math>, объясняется тем, что : <math>M(s_0^2) = D(X = \sigma^2)</math>, где <math>X</math> — случайная величина, имеющая такое же распределение, как и результаты наблюдений. В терминах теории статистического оценивания это означает, что <math>s_0^2</math> — несмещённая оценка дисперсии (см. ниже). В то же время статистика <math>s^2</math> не является несмещённой оценкой дисперсии результатов наблюдений, поскольку : <math>M(s^2) = \left( 1 - \frac1n \right) \sigma^2</math>. Однако у <math>s^2</math> есть другое свойство, оправдывающее использование этой статистики в качестве выборочного показателя рассеивания. Для известных результатов наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> рассмотрим случайную величину <math>Y</math> с распределением вероятностей : <math>P(Y = x_i) = \frac1n,</math> <math>i = 1,2, \dots,n</math> и <math>P(Y = x) = 0</math> для всех прочих <math>x</math>. Это распределение вероятностей называется эмпирическим. Тогда функция распределения <math>Y</math> — это эмпирическая функция распределения, построенная по результатам наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины <math>Y</math>: : <math>M(Y) = \overline x</math>, <math>D(Y) = s^2</math>. Второе из этих равенств и является основанием для использования <math>s^2</math> в качестве выборочного показателя рассеивания. Отметим, что математические ожидания выборочных среднеквадратичных отклонений <math>M(s)</math> и <math>M(s_0)</math>, вообще говоря, не равняются теоретическому среднеквадратичному отклонению <math>\sigma</math>. Например, если <math>X</math> имеет нормальное распределение, объём выборки <math>n = 3</math>, то : <math>M(s) = 0{,}724</math>, <math>\sigma M(s_0) = 0{,}887\sigma</math>. Кроме перечисленных выше статистических характеристик, в качестве выборочного показателя рассеивания используют размах <math>R</math> — разность между <math>n</math>-й и первой порядковыми статистиками в выборке объёма <math>n</math>, то есть разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке: <math>R = x(n) - x(1)</math>. В ряде вероятностно-статистических методов применяют и иные показатели рассеивания. В частности, в методах статистического регулирования процессов используют средний размах — среднее арифметическое размахов, полученных в определённом количестве выборок одинакового объёма. Популярно и межквартильное расстояние, то есть расстояние между выборочными квартилями <math>x \Big( [0{,}75n] \Big)</math> и <math>x \Big( [0{,}25n] \Big)</math> порядка 0,75 и 0,25 соответственно, где <math>[0{,}75n]</math> — целая часть числа <math>0{,}75n</math>, а <math>[0{,}25n]</math> — целая часть числа <math>0{,}25n</math>. === Основные понятия, используемые при оценивании === Оценивание — это определение приближённого значения неизвестной характеристики или параметра распределения (генеральной совокупности), иной оцениваемой составляющей математической модели реального (экономического, технического и других) явления или процесса по результатам наблюдений. Иногда формулируют более коротко: оценивание — это определение приближённого значения неизвестного параметра генеральной совокупности по результатам наблюдений. При этом параметром генеральной совокупности может быть либо число, либо набор чисел (вектор), либо функция, либо множество или иной объект нечисловой природы. Например, по результатам наблюдений, распределённых согласно биномиальному закону, оценивают число — параметр <math>p</math> (вероятность успеха). По результатам наблюдений, имеющих гамма-распределение, оценивают набор из трёх чисел — параметры формы <math>a</math>, масштаба <math>b</math> и сдвига <math>c</math>. Способ оценивания функции распределения даётся теоремами Гливенко и Колмогорова. Оценивают также плотности вероятности, функции, выражающие зависимости между переменными, включенными в вероятностные модели экономических, управленческих или технологических процессов, и так далее. Целью оценивания может быть нахождение упорядочения инвестиционных проектов по экономической эффективности или технических изделий (объектов) по качеству, формулировка правил технической или медицинской диагностики и так далее. (Упорядочения в математической статистике называют также ранжировками. Это — один из видов объектов нечисловой природы.) Оценивание проводят с помощью оценок — статистик, являющихся основой для оценивания неизвестного параметра распределения. В ряде литературных источников термин «оценка» встречается в качестве синонима термина «оценивание». Употреблять одно и то же слово для обозначения двух разных понятий нецелесообразно: оценивание — это действие, а оценка — статистика (функция от результатов наблюдений), используемая в процессе указанного действия или являющаяся его результатом. Оценивание бывает двух видов — точечное оценивание и оценивание с помощью доверительной области. ==== Точечное оценивание ==== Точечное оценивание — способ оценивания, заключающийся в том, что значение оценки принимается как неизвестное значение параметра распределения. '''Пример 25.''' Пусть результаты наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> рассматривают в вероятностной модели как случайную выборку из нормального распределения <math>N(m, \sigma)</math>. То есть считают, что результаты наблюдений моделируются как реализации <math>n</math> независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих функцию нормального распределения <math>N(m, \sigma)</math> с некоторыми математическим ожиданием <math>m</math> и среднеквадратичным отклонением <math>\sigma</math>, неизвестными статистику. Требуется оценить параметры <math>m</math> и <math>\sigma</math> (или <math>\sigma^2</math>) по результатам наблюдений. Оценки обозначим <math>m^*</math> и <math>(\sigma^2)^*</math> соответственно. Обычно в качестве оценки <math>m^*</math> математического ожидания <math>m</math> используют выборочное среднее арифметическое <math>\overline x</math>, а в качестве оценки <math>(\sigma^2)^*</math> дисперсии <math>\sigma^2</math> используют выборочную дисперсию <math>s^2</math>, то есть : <math>m^* = \overline x</math>, <math>(\sigma^2)^* = s^2</math>. Для оценивания математического ожидания m могут использоваться и другие статистики, например, выборочная медиана <math>\tilde x</math>, полусумма минимального и максимального членов вариационного ряда : <math>m^{**} = \frac{x(1) + x(n)}2</math> и другие. Для оценивания дисперсии <math>\sigma^2</math> также имеется ряд оценок, в частности, <math>s_0^2</math> (см. выше) и оценка, основанная на размахе <math>R</math>, имеющая вид : <math>(\sigma^2)^{**} = \Big( a(n)R \Big)^2</math>, где коэффициенты <math>a(n)</math> берут из специальных таблиц <ref name="tab_mat_stat"/>. Эти коэффициенты подобраны так, чтобы для выборок из нормального распределения : <math>M \Big( a(n)R \Big) = \sigma</math>. Наличие нескольких методов оценивания одних и тех же параметров приводит к необходимости выбора между этими методами. ===== Состоятельность, несмещённость и эффективность оценок ===== Как сравнивать методы оценивания между собой? Сравнение проводят на основе таких показателей качества методов оценивания, как состоятельность, несмещённость, эффективность и других. Рассмотрим оценку <math>\theta_n</math> числового параметра <math>\theta</math>, определённую при <math>n = 1, 2, \dots</math>. Оценка <math>\theta_n</math> называется ''состоятельной'', если она сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра <math>\theta</math> при безграничном возрастании объёма выборки. Выразим сказанное более подробно. Статистика <math>\theta_n</math> является состоятельной оценкой параметра <math>\theta</math> тогда и только тогда, когда для любого положительного числа <math>\varepsilon</math> справедливо предельное соотношение : <math>\lim_{n \to \infty} P \{|\theta_n - \theta| > \varepsilon\} = 0</math>. '''Пример 26.''' Из закона больши́х чисел следует, что <math>\theta_n = \overline x</math> является состоятельной оценкой <math>\theta = M(X)</math> (в приведённой выше теореме Чебышёва предполагалось существование дисперсии <math>D(X)</math>; однако, как доказал А. Я. Хинчин <ref name="gned_kurs"/>, достаточно выполнения более слабого условия — существования математического ожидания <math>M(X)</math>). '''Пример 27.''' Все указанные выше оценки параметров нормального распределения являются состоятельными. Вообще, все (за редчайшими исключениями) оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются состоятельными. '''Пример 28.''' Так, согласно теореме Гливенко, эмпирическая функция распределения <math>F_n(x)</math> является состоятельной оценкой функции распределения результатов наблюдений <math>F(x)</math>. При разработке новых методов оценивания следует в первую очередь проверять состоятельность предлагаемых методов. Второе важное свойство оценок — ''несмещённость''. Несмещённая оценка <math>\theta_n</math> — это оценка параметра <math>\theta</math>, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра: <math>M(\theta_n) = \theta</math>. '''Пример 29.''' Из приведённых выше результатов следует, что <math>\overline x</math> и <math>s_0^2</math> являются несмещёнными оценками параметров <math>m</math> и <math>\sigma^2</math> нормального распределения. Поскольку <math>M(\tilde x) = M(m^{**}) = m</math>, то выборочная медиана <math>\tilde x</math> и полусумма крайних членов вариационного ряда <math>m^{**}</math> — также несмещённые оценки математического ожидания <math>m</math> нормального распределения. Однако : <math>M(s^2) \ne \sigma^2</math>, <math>M[(\sigma^2)^{**}] \ne \sigma^2</math>, поэтому оценки <math>s^2</math> и <math>(\sigma^2)^{**}</math> не являются несмещёнными оценками дисперсии <math>\sigma^2</math> нормального распределения. Оценки, для которых соотношение <math>M(\theta_n) = \theta</math> неверно, называются смещёнными. При этом разность между математическим ожиданием оценки <math>\theta_n</math> и оцениваемым параметром <math>\theta</math>, то есть <math>M(\theta_n) - \theta</math>, называется смещением оценки. <div id="Пример 30"> '''Пример 30.''' Для оценки <math>s^2</math>, как следует из сказанного выше, смещение равно : <math>M(s^2) - \sigma^2 = -\frac{\sigma^2}{n}</math>. Смещение оценки <math>s^2</math> стремится к нулю при <math>n \to \infty</math>. </div> Оценка, для которой смещение стремится к нулю, когда объём выборки стремится к бесконечности, называется ''асимптотически несмещённой''. В [[#Пример 30|примере 30]] показано, что оценка <math>s^2</math> является асимптотически несмещённой. Практически все оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются либо несмещёнными, либо асимптотически несмещёнными. Для несмещённых оценок показателем точности оценки служит дисперсия — чем дисперсия меньше, тем оценка лучше. Для смещённых оценок показателем точности служит математическое ожидание квадрата оценки <math>M(\theta_n - \Theta)^2</math>. Как следует из основных свойств математического ожидания и дисперсии,{{metka|35}} : <math>d_n(\theta_n) = M \left( (\theta_n - \theta)^2 \right) = D(\theta_n) + \Big( M(\theta_n) - \theta \Big)^2</math>, то есть математическое ожидание квадрата ошибки складывается из дисперсии оценки и квадрата её смещения. Для подавляющего большинства оценок параметров, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений, дисперсия имеет порядок <math>\frac1n</math>, а смещение — не более чем <math>\frac1n</math>, где <math>n</math> — объём выборки. Для таких оценок при больши́х <math>n</math> второе слагаемое в правой части [[#metka_35|(35)]] пренебрежимо мало по сравнению с первым, и для них справедливо приближённое равенство{{metka|36}} : <math>d_n(\theta_n) = M \left( (\theta_n-\theta)^2 \right) \approx D(\theta_n) \approx \frac{c}{n}</math>, <math>c = c(\theta_n, \Theta)</math>, где <math>c</math> — число, определяемое методом вычисления оценок <math>\Theta_n</math> и истинным значением оцениваемого параметра <math>\theta</math>. С дисперсией оценки связано третье важное свойство метода оценивания — ''эффективность''. Эффективная оценка — это несмещённая оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещённых оценок данного параметра. Доказано <ref name="mat_met_stat"/>, что <math>\overline x</math> и <math>s_0^2</math> являются эффективными оценками параметров <math>m</math> и <math>\sigma^2</math> нормального распределения. В то же время для выборочной медианы <math>\tilde x</math> справедливо предельное соотношение : <math>\lim_{n \to \infty} \frac{D(\overline x)}{D(\tilde x)} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637</math>. Другими словами, эффективность выборочной медианы, то есть отношение дисперсии эффективной оценки <math>\overline x</math> параметра <math>m</math> к дисперсии несмещённой оценки <math>\tilde x</math> этого параметра при больши́х <math>n</math> близка к 0,637. Именно из-за сравнительно низкой эффективности выборочной медианы в качестве оценки математического ожидания нормального распределения обычно используют выборочное среднее арифметическое. Понятие эффективности вводится для несмещённых оценок, для которых <math>M(\theta_n) = \theta</math> для всех возможных значений параметра <math>\theta</math>. Если не требовать несмещённости, то можно указать оценки, при некоторых <math>\theta</math> имеющие меньшую дисперсию и средний квадрат ошибки, чем эффективные. '''Пример 31.''' Рассмотрим «оценку» математического ожидания <math>m_1 \equiv 0</math>. Тогда <math>D(m_1) = 0</math>, то есть всегда меньше дисперсии <math>D(\overline x)</math> эффективной оценки <math>\overline x</math>. Математическое ожидание среднего квадрата ошибки <math>d_n(m_1) = m^2</math>, то есть при <math>|m| < \frac{\sigma}{\sqrt n}</math> имеем <math>d_n(m_1) < d_n(\overline x)</math>. Ясно, однако, что статистику <math>m_1 \equiv 0</math> бессмысленно рассматривать в качестве оценки математического ожидания <math>m</math>. '''Пример 32.''' Более интересный пример рассмотрен американским математиком Дж. Ходжесом: : <math>T_n = \left\{\begin{matrix} \overline x, & |\overline x| > n^{-\frac14},\\ 0{,}5 \overline x, & |\overline x| \leqslant n^{-\frac14}.\end{matrix}\right.</math> Ясно, что <math>T_n</math> — состоятельная, асимптотически несмещённая оценка математического ожидания <math>m</math>, при этом, как нетрудно вычислить, : <math>\lim_{n \to \infty} nd_n(T_n) = \left\{\begin{matrix} \sigma^2, & m \ne 0, \\ \frac{\sigma^2}{4}, & m = 0. \end{matrix}\right.</math> Последняя формула показывает, что при <math>m \ne 0</math> оценка <math>T_n</math> не хуже <math>\overline x</math> (при сравнении по среднему квадрату ошибки <math>d_n</math>), а при <math>m = 0</math> — в четыре раза лучше. Подавляющее большинство оценок <math>\theta_n</math>, используемых в вероятностно-статистических методах, являются асимптотически нормальными, то есть для них справедливы предельные соотношения: : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \frac{\theta_n - M(\theta_n)}{\sqrt{D(\theta_n)}} < x\right\} = \Phi(x)</math>. для любого <math>x</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Это означает, что для больши́х объёмов выборок (практически — несколько десятков или сотен наблюдений) распределения оценок полностью описываются их математическими ожиданиями и дисперсиями, а качество оценок — значениями средних квадратов ошибок <math>d_n(\theta_n)</math>. ===== Наилучшие асимптотически нормальные оценки ===== Наилучшие асимптотически нормальные оценки, сокращенно НАН-оценки, — это оценки, для которых средний квадрат ошибки <math>d_n(\theta_n)</math> принимает при больши́х объёмах выборки наименьшее возможное значение, то есть величина <math>c = c(\theta_n, \theta)</math> в формуле [[#metka_36|(36)]] минимальна. Ряд видов оценок — так называемые одношаговые оценки и оценки максимального правдоподобия — являются НАН-оценками, именно они обычно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. ==== Доверительное оценивание ==== Какова точность оценки параметра? В каких границах он может лежать? В научных публикациях и учебной литературе, в нормативно-технической и инструктивно-методической документации, в таблицах и программных продуктах наряду с алгоритмами расчётов точечных оценок даются правила нахождения доверительных границ. Они и указывают точность точечной оценки. При этом используются такие термины, как доверительная вероятность, доверительный интервал. Если речь идёт об оценивании нескольких числовых параметров, или же функции, упорядочения и тому подобного, то говорят об оценивании с помощью доверительной области. ''Доверительная область'' — это область в пространстве параметров, в которую с заданной вероятностью входит неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. «Заданная вероятность» называется доверительной вероятностью и обычно обозначается <math>\gamma</math>. Пусть <math>\Theta</math> — пространство параметров. Рассмотрим статистику <math>\Theta_1 = \Theta_1(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> — функцию от результатов наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>, значениями которой являются подмножества пространства параметров <math>\Theta</math>. Так как результаты наблюдений — случайные величины, то <math>\Theta_1</math> — также случайная величина, значения которой — подмножества множества <math>\Theta</math>, то есть <math>\Theta_1</math> — случайное множество. Напомним, что множество — один из видов объектов нечисловой природы, случайные множества изучают в теории вероятностей и статистике объектов нечисловой природы. В ряде литературных источников, к настоящему времени во многом устаревших, под случайными величинами понимают только те из них, которые в качестве значений принимают действительные числа. Согласно справочнику Ю. В. Прохорова и Ю. А. Розанова <ref name="prox_roz">Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы.) – М.: Наука, 1973. — 496 с.</ref> случайные величины могут принимать значения из любого множества. Так, случайные вектора, случайные функции, случайные множества, случайные ранжировки (упорядочения) — это отдельные виды случайных величин. Используется и иная терминология: термин «случайная величина» сохраняется только за числовыми функциями, определёнными на пространстве элементарных событий, а в случае иных областей значений используется термин «случайный элемент». (Замечание для математиков: все рассматриваемые функции, определённые на пространстве элементарных событий, предполагаются измеримыми.) Статистика <math>\Theta_1</math> называется ''доверительной областью'', соответствующей доверительной вероятности <math>\gamma</math>, если{{metka|37}} : <math>P \{ \theta \in \Theta_1(x_1, x_2, \dots, x_n) \} = \gamma</math>. Ясно, что этому условию удовлетворяет, как правило, не одна, а много доверительных областей. Из них выбирают для практического применения какую-либо одну, исходя из дополнительных соображений, например, из соображений симметрии или минимизируя объём доверительной области, то есть меру множества <math>\Theta_1</math>. При оценке одного числового параметра в качестве доверительных областей обычно применяют доверительные интервалы (в том числе лучи), а не иные типа подмножеств прямой. Более того, для многих двухпараметрических и трёхпараметрических распределений (нормальных, логарифмически нормальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений и других) обычно используют точечные оценки и построенные на их основе доверительные границы для каждого из двух или трёх параметров отдельно. Это делают для удобства пользования результатами расчётов: доверительные интервалы легче применять, чем фигуры на плоскости или тела в трёхмерном пространстве. Как следует из сказанного выше, ''доверительный интервал'' — это интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. Границы доверительного интервала называют ''доверительными границами''. Доверительная вероятность <math>\gamma</math> — вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным. Оцениванием с помощью доверительного интервала называют способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала. Для числового параметра <math>\theta</math> рассматривают верхнюю доверительную границу <math>\theta_B</math>, нижнюю доверительную границу <math>\theta_H</math> и двусторонние доверительные границы — верхнюю <math>\theta_{1B}</math> и нижнюю <math>\theta_{1H}</math>. Все четыре доверительные границы — функции от результатов наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> и доверительной вероятности <math>\gamma</math>. Верхняя доверительная граница <math>\theta_B</math> — случайная величина <math>\theta_B = \theta_B(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma)</math>, для которой <math>P(\theta \leqslant \theta_B) = \gamma</math>, где <math>\theta</math> — истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид <math>(-\infty; \theta_B]</math>. Нижняя доверительная граница <math>\theta_H</math> — случайная величина <math>\theta_H = \theta_H(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma)</math>, для которой <math>P(\theta \geqslant \theta_H) = \gamma</math>, где <math>\theta</math> — истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид <math>[\theta_H; + \infty)</math>. Двусторонние доверительные границы — верхняя <math>\theta_{1B}</math> и нижняя <math>\theta_{1H}</math> — это случайные величины <math>\theta_{1B} = \theta_{1B}(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma)</math> и <math>\theta_{1H} = \theta_{1H}(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma)</math> такие, что <math>P(\theta_{1H} \leqslant \theta \leqslant \theta_{1B}) = \gamma</math>, где <math>\theta</math> — истинное значение оцениваемого параметра. Доверительный интервал в этом случае имеет вид <math>[\theta_{1H}; \theta_{1B}]</math>. Вероятности, связанные с доверительными границами, можно записать в виде частных случаев формулы [[#metka_37|(37)]]: : <math>P \{ \theta \in (-\infty; \theta_B] \} = \gamma</math>, <math>P \{\theta \in[\theta_H; +\infty) \} = \gamma</math>, <math>P\{ \theta \in [\theta_H; \theta_B] \} = \gamma</math>. В нормативно-технической и инструктивно-методической документации, научной и учебной литературе используют два типа правил определения доверительных границ — построенных на основе точного распределения и построенных на основе асимптотического распределения некоторой точечной оценки <math>\theta_n</math> параметра <math>\theta</math>. Рассмотрим примеры. <div id="Пример 33"> '''Пример 33.''' Пусть <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — выборка из нормального закона <math>N(m, \sigma)</math>, параметры <math>m</math> и <math>\sigma</math> неизвестны. Укажем доверительные границы для <math>m</math>. Известно <ref name="mat_met_stat"/>, что случайная величина : <math>Y = \sqrt n \frac{\overline x - m}{\sigma_0}</math> имеет распределение Стьюдента с <math>(n - 1)</math> степенью свободы, где <math>\overline x</math> — выборочное среднее арифметическое и <math>\sigma_0</math> — выборочное среднеквадратичное отклонение. Пусть <math>t_\gamma(n - 1)</math> и <math>t_{1 - \gamma}(n - 1)</math> — квантили указанного распределения порядка <math>\gamma</math> и <math>1 - \gamma</math> соответственно. Тогда : <math>P \{Y \leqslant t_\gamma(n - 1) \} = \gamma,</math> <math>P \{Y \geqslant t_{1 - \gamma}(n - 1) \} = \gamma</math>. Следовательно, : <math>P \{ m \geqslant \overline x - t_\gamma(n - 1) \frac{\sigma_0}{\sqrt n} \} = \gamma</math>, то есть в качестве нижней доверительной границы <math>\theta_H</math>, соответствующей доверительной вероятности <math>\gamma</math>, следует взять{{metka|38}} : <math>\theta_H(x_1, x_2, \dots,x_n; \gamma) = \overline x - t_\gamma(n - 1) \frac{\sigma_0}{\sqrt n}</math>. Аналогично получаем, что : <math>P \{m \leqslant \overline x - t_{1 - \gamma} (n - 1) \frac{\sigma_0}{\sqrt n} \} = \gamma</math>. Поскольку распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, то : <math>t_{1 - \gamma}(n - 1) = -t_{1 - \gamma}(n - 1) t_\gamma(n - 1)</math>. Следовательно, в качестве верхней доверительной границы <math>\gamma_B</math> для <math>m</math>, соответствующей доверительной вероятности <math>\gamma</math>, следует взять{{metka|39}} : <math>\theta_B(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma) = \overline x + t_\gamma(n - 1)\frac{\sigma_0}{\sqrt n}</math>. Как построить двусторонние доверительные границы? Положим : <math>\theta_{1H} = \theta_H(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma_1)</math>, <math>\theta_{1B} = \theta_B(x_1, x_2, \dots, x_n; \gamma_2)</math>, где <math>\theta_{1H}</math> и <math>\theta_{1B}</math> заданы формулами [[#metka_38|(38)]] и [[#metka_39|(39)]] соответственно. Поскольку неравенство <math>\theta_{1H} \leqslant m \leqslant \theta_{1B}</math> выполнено тогда и только тогда, когда : <math>t_{\gamma_{2}}(n - 1) \geqslant Y \geqslant t_{1 - \gamma_1}(n - 1)</math>, то : <math>P \{ \theta_{1H} \leqslant m \leqslant \theta_{1B} \} = \gamma_1 + \gamma_2 - 1</math>, (в предположении, что <math>\gamma_1 > 0{,}5</math>; <math>\gamma_2 > 0{,}5</math>). Следовательно, если <math>\gamma = \gamma_1 + \gamma_2 - 1</math>, то <math>\theta_{1H}</math> и <math>\theta_{1B}</math> — двусторонние доверительные границы для <math>m</math>, соответствующие доверительной вероятности <math>\gamma</math>. Обычно полагают <math>\gamma_1 = \gamma_2</math>, то есть в качестве двусторонних доверительных границ <math>\theta_{1H}</math> и <math>\theta_{1B}</math>, соответствующих доверительной вероятности <math>\gamma</math>, используют односторонние доверительные границы <math>\theta_H</math> и <math>\theta_B</math>, соответствующие доверительной вероятности <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math>. Другой вид правил построения доверительных границ для параметра <math>\theta</math> основан на асимптотической нормальности некоторой точечной оценки <math>\theta_n</math> этого параметра. В вероятностно-статистических методах принятия решений используют, как уже́ отмечалось, несмещённые или асимптотически несмещённые оценки <math>\theta_n</math>, для которых смещение либо равно нулю, либо при больш́их объёмах выборки пренебрежимо мало по сравнению со среднеквадратичным отклонением оценки <math>\theta_n</math>. Для таких оценок при всех <math>x</math> : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \frac{\theta_n - \theta}{\sqrt{D(\theta_n)}} \leqslant x \right\} = \Phi(x)</math>, где <math>\Phi(x)</math> — функция нормального распределения <math>N(0; 1)</math>. Пусть <math>u_\gamma</math> — квантиль порядка <math>\gamma</math> распределения <math>N(0; 1)</math>. Тогда{{metka|40}} : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \frac{\theta_n - \theta}{\sqrt{D(\theta_n)}} \leqslant u_\gamma \right\} = \gamma</math>. Поскольку неравенство : <math>\frac{\theta_n - \theta}{\sqrt{D(\theta_n)}} \leqslant u_\gamma</math> равносильно неравенству : <math>\theta_n - u_\gamma \sqrt{D(\theta_n)} \leqslant \theta</math>, то в качестве <math>\theta_H</math> можно было бы взять левую часть последнего неравенства. Однако точное значение дисперсии <math>D(\theta_n)</math> обычно неизвестно. Зато часто удаётся доказать, что дисперсия оценки имеет вид : <math>D(\theta_n) = \frac{h(\theta)}{n}</math> (с точностью до пренебрежимо малых при росте <math>n</math> слагаемых), где <math>h(\theta)</math> — некоторая функция от неизвестного параметра <math>\theta</math>. Справедлива теорема о наследовании сходимости (<ref name="orlov_ust">Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. – М.: Наука, 1979. — 296 с.</ref>, § 2.4), согласно которой при подстановке в <math>h(\theta)</math> оценки <math>\theta_n</math> вместо <math>\theta</math> соотношение [[#metka_40|(40)]] остается справедливым, то есть : <math>\lim_{n \to \infty} P \left\{ \theta_n - u_\gamma \frac{\sqrt{h(\theta_n)}}{\sqrt n}\leqslant \theta \right\} = \gamma</math>. Следовательно, в качестве приближённой нижней доверительной границы следует взять : <math>\theta_H = \theta_n - u_\gamma\frac{\sqrt{h(\theta_n}}{\sqrt n}</math>, а в качестве приближённой верхней доверительной границы — : <math>\theta_B = \theta_n + u_\gamma \frac{\sqrt{h(\theta_n)}}{\sqrt n}</math>. С ростом объёма выборки качество приближённых доверительных границ улучшается, так как вероятности событий <math>\{\theta \geqslant \theta_H \}</math> и <math>\{\theta \leqslant \theta_B \}</math> стремятся к <math>\gamma</math>. Для построения двусторонних доверительных границ поступают аналогично правилу, указанному выше в [[#Пример 33|примере 33]] для интервального оценивания параметра <math>m</math> нормального распределения. А именно, используют односторонние доверительные границы, соответствующие доверительной вероятности <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math>. При обработке экономических, управленческих или технических статистических данных обычно используют значение доверительной вероятности <math>\gamma = 0{,}95</math>. Применяют также значения <math>\gamma = 0{,}99</math> или <math>\gamma = 0{,}90</math>. Иногда встречаются значения <math>\gamma = 0{,}80</math>, <math>\gamma = 0{,}975</math>, <math>\gamma = 0{,}98</math> и другие. ==== Доверительное оценивание для дискретных распределений ==== Для дискретных распределений, таких как биномиальное, гипергеометрическое или распределение Пуассона (а также распределения статистики Колмогорова : <math>D_n = \sqrt n\, \sup_n |F_n(x) - F_0(x)|</math> и других непараметрических статистик), функции распределения имеют скачки. Поэтому для заданного заранее значения <math>\gamma</math>, например, <math>\gamma = 0{,}95</math>, нельзя указать доверительные границы, поскольку уравнения, с помощью которых вводятся доверительные границы, не имеют ни одного решения. Так, рассмотрим биномиальное распределение : <math>P(Y = y | p, n) = {n \choose y} p^y (1 - p)^{n - y}</math>, <math>y = 0, 1, 2, \dots, n</math>, где <math>Y</math> — число осуществлений события, <math>n</math> — объём выборки. Для него нельзя указать статистику <math>K(Y, n)</math> такую, что : <math>P \{p \leqslant K(Y, n) \} = \gamma</math>, поскольку <math>K(Y, n)</math> — функция от <math>Y</math> и может принимать не больше значений, чем принимает <math>Y</math>, то есть <math>n + 1</math>, а для <math>\gamma</math> имеется бесконечно много возможных значений — столько, сколько точек на отрезке. Сказанное означает, что верхней доверительной границы в случае биномиального распределения не существует. Для дискретных распределений приходится изменить определения доверительных границ. Покажем изменения на примере биномиального распределения. Так, в качестве верхней доверительной границы <math>\theta_B</math> используют наименьшее <math>K(Y, n)</math> такое, что : <math>P \{ p \leqslant K(Y, n) \} \geqslant \gamma</math>. Аналогичным образом поступают для других доверительных границ и других распределений. Необходимо иметь в виду, что при небольших <math>n</math> и <math>p</math> истинная доверительная вероятность <math>P \{p \leqslant K(Y, n) \}</math> может существенно отличаться от номинальной <math>\gamma</math>, как это подробно продемонстрировано в работе <ref name="ur_znach">Камень Ю. Э., Камень Я. Э., Орлов А. И. Реальные и номинальные уровни значимости в задачах проверки статистических гипотез. — Журнал «Заводская лаборатория», 1986. Т. 52. № 12. С. 55—57.</ref>. Поэтому наряду с величинами типа <math>K(Y, n)</math> (то есть доверительных границ) при разработке таблиц и компьютерных программ необходимо предусматривать возможность получения и величин типа <math>P \{p \leqslant K(Y, n) \}</math> (то есть достигаемых доверительных вероятностей). === Основные понятия, используемые при проверке гипотез === Статистическая гипотеза — любое предположение, касающееся неизвестного распределения случайных величин (элементов). Приведём формулировки нескольких статистических гипотез: <div id="Список гипотез"> # <span id="Гипотеза 1">Результаты наблюдений имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием.</span> # <span id="Гипотеза 2">Результаты наблюдений имеют функцию распределения <math>N(0, 1)</math>.</span> # <span id="Гипотеза 3">Результаты наблюдений имеют нормальное распределение.</span> # <span id="Гипотеза 4">Результаты наблюдений в двух независимых выборках имеют одно и то же нормальное распределение.</span> # <span id="Гипотеза 5">Результаты наблюдений в двух независимых выборках имеют одно и то же распределение.</span> </div> Различают нулевую и альтернативную гипотезы. Нулевая гипотеза — гипотеза, подлежащая проверке. Альтернативная гипотеза — каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой. Нулевую гипотезу обозначают <math>H_0</math>, альтернативную — <math>H_1</math> (от англ. Hypothesis — «гипотеза»). Выбор тех или иных нулевых или альтернативных гипотез определяется стоящими перед менеджером, экономистом, инженером, исследователем прикладными задачами. Рассмотрим примеры. <div id="Пример 34"> '''Пример 34.''' Пусть нулевая гипотеза — [[#Гипотеза 2|гипотеза 2]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а альтернативная — [[#Гипотеза 1|гипотеза 1]]. Сказанное означает, что реальная ситуация описывается вероятностной моделью, согласно которой результаты наблюдений рассматриваются как реализации независимых одинаково распределённых случайных величин с функцией распределения <math>N(0, \sigma)</math>, где параметр <math>\sigma</math> неизвестен статистику. В рамках этой модели нулевую гипотезу записывают так: : <math>H_0{:}\; \sigma = 1</math>, а альтернативную так: : <math>H_1{:}\; \sigma \ne 1</math>. </div> <div id="Пример 35"> '''Пример 35.''' Пусть нулевая гипотеза — по-прежнему [[#Гипотеза 2|гипотеза 2]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а альтернативная — [[#Гипотеза 3|гипотеза 3]] из того же списка. Тогда в вероятностной модели управленческой, экономической или производственной ситуации предполагается, что результаты наблюдений образуют выборку из нормального распределения <math>N(m, \sigma)</math> при некоторых значениях <math>m</math> и <math>\sigma</math>. Гипотезы записываются так: : <math>H_0{:}\; m = 0,\; \sigma = 1</math> (оба параметра принимают фиксированные значения); : <math>H_1{:}\; m \ne 0</math> и/или <math>\sigma \ne 1</math> (то есть либо <math>m \ne 0</math>, либо <math>\sigma \ne 1</math>, либо и <math>m \ne 0</math>, и <math>\sigma \ne 1</math>). </div> <div id="Пример 36"> '''Пример 36.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 1|гипотеза 1]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а <math>H_1</math> — [[#Гипотеза 3|гипотеза 3]] из того же списка. Тогда вероятностная модель — та же, что в примере [[#Пример 35|35]], : <math>H_0{:}\; m = 0</math>, <math>\sigma</math> произвольно;<br/> <math>H_1{:}\; m \ne 0</math>, <math>\sigma</math> произвольно. </div> <div id="Пример 37"> '''Пример 37.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 2|гипотеза 2]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а согласно <math>H_1</math> результаты наблюдений имеют функцию распределения <math>F(x)</math>, не совпадающую с функцией стандартного нормального распределения <math>\Phi(x)</math>. Тогда : <math>H_0{:}\; F(x) = \Phi(x)</math> при всех <math>x</math> (записывается как <math>F(x) \equiv \Phi(x)</math>); : <math>H_1{:}\; F(x_0) \ne \Phi(x_0)</math> при некотором <math>x_0</math> (то есть неверно, что <math>F(x) \equiv \Phi(x)</math>). </div> ''Примечание.'' Здесь <math>\equiv</math> — знак тождественного совпадения функций (то есть совпадения при всех возможных значениях аргумента <math>x</math>). <div id="Пример 38"> '''Пример 38.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 3|гипотеза 3]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], а согласно <math>H_1</math> результаты наблюдений имеют функцию распределения <math>F(x)</math>, не являющуюся нормальной. Тогда <math>H_0{:}\; F(x) \equiv \Phi \left( \frac{x - m}{\sigma} \right)</math> при некоторых <math>m, \sigma</math>; <math>H_1{:}</math> для любых <math>m, \sigma</math> найдётся <math>x_0 = x_0(m, \sigma)</math> такое, что <math>F(x_0) \ne \Phi \left( \frac{x_0 - m}{\sigma} \right)</math>. </div> <div id="Пример 39"> '''Пример 39.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 4|гипотеза 4]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], согласно вероятностной модели две выборки извлечены из совокупностей с функциями распределения <math>F(x)</math> и <math>G(x)</math>, являющихся нормальными с параметрами <math>m_1, \sigma_1</math> и <math>m_2, \sigma_2</math> соответственно, а <math>H_1</math> — отрицание <math>H_0</math>. Тогда : <math>H_0{:}\; m_1 = m_2,\; \sigma_1 = \sigma_2</math>, причём <math>m_1</math> и <math>\sigma_1</math> произвольны;<br /> <math>H_1{:}\; m_1 \ne m_2</math> и/или <math>\sigma_1 \ne \sigma_2</math>. : </div> <div id="Пример 40"> '''Пример 40.''' Пусть в условиях [[#Пример 39|примера 39]] дополнительно известно, что <math>\sigma_1 = \sigma_2</math>. Тогда <math>H_0{:}\; m_1 = m_2,\; \sigma > 0</math>, причём <math>m_1</math> и <math>\sigma</math> произвольны; <math>H_1{:}\; m_1 \ne m_2, \sigma > 0</math>. </div> <div id="Пример 41"> '''Пример 41.''' Пусть <math>H_0</math> — [[#Гипотеза 5|гипотеза 5]] из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]], согласно вероятностной модели две выборки извлечены из совокупностей с функциями распределения <math>F(x)</math> и <math>G(x)</math> соответственно, а <math>H_1</math> — отрицание <math>H_0</math>. Тогда <math>H_0{:}\; F(x) \equiv G(x)</math>, где <math>F(x)</math> — произвольная функция распределения; <math>H_1{:}\; F(x)</math> и <math>G(x)</math> — произвольные функции распределения, причём <math>F(x) \ne G(x)</math> при некоторых <math>x</math>. </div> <div id="Пример 42"> '''Пример 42.''' Пусть в условиях [[#Пример 40|примера 40]] дополнительно предполагается, что функции распределения <math>F(x)</math> и <math>G(x)</math> отличаются только сдвигом, то есть <math>G(x) = F(x - a)</math> при некотором <math>a</math>. Тогда <math>H_0{:}\; F(x) \equiv G(x)</math>, где <math>F(x)</math> — произвольная функция распределения; <math>H_1{:}\; G(x) = F(x - a),\; a \ne 0</math>, где <math>F(x)</math> — произвольная функция распределения. </div> <div id="Пример 43"> '''Пример 43.''' Пусть в условиях [[#Пример 37|примера 37]] дополнительно известно, что согласно вероятностной модели ситуации <math>F(x)</math> — функция нормального распределения с единичной дисперсией, то есть имеет вид <math>N(m, 1)</math>. Тогда : <math>H_0{:}\; m = 0</math> (то есть <math>F(x) = \Phi(x)</math> при всех <math>x</math>, записывается как <math>F(x) \equiv \Phi(x)</math>); : <math>H_1{:}\; m \ne 0</math> (то есть неверно, что <math>F(x) \equiv \Phi(x)</math>). </div> <div id="Пример 44"> '''Пример 44.''' При статистическом регулировании технологических, экономических, управленческих или иных процессов <ref name="orlov_ekon"/> рассматривают выборку, извлечённую из совокупности с нормальным распределением и известной дисперсией, и гипотезы <math>H_0{:}\; m = m_0</math>, <math>H_1{:}\; m = m_1</math>, где значение параметра <math>m = m_0</math> соответствует налаженному ходу процесса, а переход к <math>m = m_1</math> свидетельствует о разладке. </div> <div id="Пример 45"> '''Пример 45.''' При статистическом приёмочном контроле число дефектных единиц продукции в выборке подчиняется гипергеометрическому распределению, неизвестным параметром является <math>p = \frac{D}{N}</math> — уровень дефектности, где <math>N</math> — объём партии продукции, <math>D</math> — общее число дефектных единиц продукции в партии. Используемые в нормативно-технической и коммерческой документации (стандартах, договорах на поставку и другом) планы контроля часто нацелены на проверку гипотезы <math>H_0{:}\; p \leqslant \mathrm{AQL}</math> против альтернативной гипотезы : <math>H_1{:}\; p \geqslant \mathrm{LQ}</math>, где <math>\mathrm{AQL}</math> — приёмочный уровень дефектности, <math>\mathrm{LQ}</math> — браковочный уровень дефектности (очевидно, что <math>\mathrm{AQL} < \mathrm{LQ}</math>). </div> <div id="Пример 46"> '''Пример 46.''' В качестве показателей стабильности технологического, экономического, управленческого или иного процесса используют ряд характеристик распределений контролируемых показателей, в частности, коэффициент вариации <math>\nu = \frac{\sigma}{M(X)}</math>. Требуется проверить нулевую гипотезу <math>H_0{:}\; \nu \leqslant \nu_0</math> при альтернативной гипотезе <math>H_1{:}\; \nu > \nu_0</math>, где <math>\nu_0</math> — некоторое заранее заданное граничное значение. </div> <div id="Пример 47"> '''Пример 47.''' Пусть вероятностная модель двух выборок — та же, что в [[#Пример 41|примере 41]], математические ожидания результатов наблюдений в первой и второй выборках обозначим <math>M(X)</math> и <math>M(Y)</math> соответственно. В ряде ситуаций проверяют нулевую гипотезу <math>H_0{:}\; M(X) = M(Y)</math> против альтернативной гипотезы <math>H_1{:}\; M(X) \ne M(Y)</math>. </div> <div id="Пример 48"> '''Пример 48.''' Выше отмечалось большое значение в математической статистике функций распределения, симметричных относительно нуля, При проверке симметричности <math>H_0{:}\; F(-x) = 1 - F(x)</math> при всех <math>x</math>, в остальном <math>F</math> произвольна; <math>H_1{:}\; F(-x_0) \ne 1 - F(x_0)</math> при некотором <math>x_0</math>, в остальном <math>F</math> произвольна. </div> В вероятностно-статистических методах принятия решений используются и многие другие постановки задач проверки статистических гипотез. Некоторые из них рассматриваются ниже. Конкретная задача проверки статистической гипотезы полностью описана, если заданы нулевая и альтернативная гипотезы. Выбор метода проверки статистической гипотезы, свойства и характеристики методов определяются как нулевой, так и альтернативной гипотезами. Для проверки одной и той же нулевой гипотезы при различных альтернативных гипотезах следует использовать, вообще говоря, различные методы. Так, в примерах [[#Пример 37|37]] и [[#Пример 43|43]] нулевая гипотеза одна и та же, а альтернативные — различны. Поэтому в условиях [[#Пример 37|примера 37]] следует применять непараметрические критерии однородности (статистики Смирнова или типа омега-квадрат), а в условиях [[#Пример 43|примера 43]] — методы на основе критерия Стьюдента или критерия Крамера-Уэлча <ref name="orlov_ekon"/>, <ref name="mat_met_stat"/>. Если в условиях [[#Пример 37|примера 37]] использовать критерий Стьюдента, то он не будет решать поставленных задач. Если в условиях [[#Пример 43|примера 43]] использовать критерий согласия типа Колмогорова, то он, напротив, будет решать поставленные задачи, хотя, возможно, и хуже, чем специально приспособленный для этого случая критерий Стьюдента. При обработке реальных данных большое значение имеет правильный выбор гипотез <math>H_0</math> и <math>H_1</math>. Принимаемые предположения, например, нормальность распределения, должны быть тщательно обоснованы, в частности, статистическими методами. Отметим, что в подавляющем большинстве конкретных прикладных постановок распределение результатов наблюдений отлично от нормального. Часто возникает ситуация, когда вид нулевой гипотезы вытекает из постановки прикладной задачи, а вид альтернативной гипотезы не ясен. В таких случаях следует рассматривать альтернативную гипотезу наиболее общего вида и использовать методы, решающие поставленную задачу при всех возможных <math>H_1</math>. В частности при проверке [[#Гипотеза 2|гипотезы 2]] (из приведённого выше [[#Список гипотез|списка]]) как нулевой следует в качестве альтернативной гипотезы использовать <math>H_1</math> из [[#Пример 37|примера 37]], а не из [[#Пример 43|примера 43]], если нет специальных обоснований нормальности распределения результатов наблюдений при альтернативной гипотезе. === Параметрические и непараметрические гипотезы === Статистические гипотезы бывают параметрические и непараметрические. Предположение, которое касается неизвестного значения параметра распределения, входящего в некоторое параметрическое семейство распределений, называется параметрической гипотезой (напомним, что параметр может быть и многомерным). Предположение, при котором вид распределения неизвестен (то есть не предполагается, что оно входит в некоторое параметрическое семейство распределений), называется непараметрической гипотезой. Таким образом, если распределение <math>F(x)</math> результатов наблюдений в выборке согласно принятой вероятностной модели входит в некоторое параметрическое семейство <math>\{ F(x;\theta), \theta \in \Theta \}</math>, то есть <math>F(x) = F(x; \theta_0)</math> при некотором <math>\theta_0 \in \Theta</math>, то рассматриваемая гипотеза — параметрическая, в противном случае — непараметрическая. Если и <math>H_0</math> и <math>H_1</math> — параметрические гипотезы, то задача проверки статистической гипотезы параметрическая. Если хотя бы одна из гипотез <math>H_0</math> и <math>H_1</math> непараметрическая, то задача проверки статистической гипотезы непараметрическая. Другими словами, если вероятностная модель ситуации параметрическая, то есть полностью описывается в терминах того или иного параметрического семейства распределений вероятностей, то и задача проверки статистической гипотезы параметрическая. Если же вероятностная модель ситуации непараметрическая, то есть её нельзя полностью описать в терминах какого-либо параметрического семейства распределений вероятностей, то и задача проверки статистической гипотезы непараметрическая. В примерах [[#Пример 34|34]]—[[#Пример 34|36]], [[#Пример 39|39]], [[#Пример 40|40]], [[#Пример 43|43]]—[[#Пример 45|45]] даны постановки параметрических задач проверки гипотез, а в примерах [[#Пример 37|37]], [[#Пример 38|38]], [[#Пример 41|41]], [[#Пример 42|42]], [[#Пример 46|46]]—[[#Пример 48|48]] — непараметрических. Непараметрические задачи делятся на два класса: в одном из них речь идёт о проверке утверждений, касающихся функций распределения (примеры [[#Пример 37|37]], [[#Пример 38|38]], [[#Пример 41|41]], [[#Пример 42|42]], [[#Пример 48|48]]), во втором — о проверке утверждений, касающихся характеристик распределений (примеры [[#Пример 46|46]], [[#Пример 47|47]]). Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно задает распределение результатов наблюдений, вошедших в выборку. В противном случае статистическая гипотеза называется сложной. Гипотеза 2 из приведённого выше списка, нулевые гипотезы в примерах [[#Пример 34|34]], [[#Пример 35|35]], [[#Пример 37|37]], [[#Пример 43|43]], нулевая и альтернативная гипотезы в [[#Пример 44|примере 44]] — простые, все остальные упомянутые выше гипотезы — сложные. === Статистические критерии === Однозначно определённый способ проверки статистических гипотез называется статистическим критерием. Статистический критерий строится с помощью статистики <math>U(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> — функции от результатов наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>. В пространстве значений статистики <math>U</math> выделяют критическую область <math>\Psi</math>, то есть область со следующим свойством: если значения применяемой статистики принадлежат данной области, то отклоняют (иногда говорят — отвергают) нулевую гипотезу, в противном случае — не отвергают (то есть принимают). Статистику <math>U</math>, используемую при построении определённого статистического критерия, называют статистикой этого критерия. Например, в задаче проверки статистической гипотезы, приведённой в [[#Пример 37|примере 37]], применяют критерий Колмогорова, основанный на статистике : <math>D_n = \sqrt n\; \sup_n |F_n(x) - F_0(x)|</math>. При этом <math>D_n</math> называют статистикой критерия Колмогорова. Частным случаем статистики <math>U</math> является векторзначная функция результатов наблюдений <math>U_0(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_1, x_2, \dots, x_n)</math>, значения которой — набор результатов наблюдений. Если <math>x_i</math> — числа, то <math>U_0</math> — набор <math>n</math> чисел, то есть точка <math>n</math>-мерного пространства. Ясно, что статистика критерия <math>U</math> является функцией от <math>U_0</math>, то есть <math>U = f(U_0)</math>. Поэтому можно считать, что <math>\Psi</math> — область в том же <math>n</math>-мерном пространстве, нулевая гипотеза отвергается, если <math>(x_1, x_2, \dots, x_n) \in \Psi</math>, и принимается в противном случае. В вероятностно-статистических методах обработки данных и принятия решений статистические критерии, как правило, основаны на статистиках <math>U</math>, принимающих числовые значения, и критические области имеют вид{{metka|41}} : <math>\Psi = \{U(x_1, x_2, \dots, x_n) > C \}</math>, где <math>C</math> — некоторые числа. Статистические критерии делятся на параметрические и непараметрические. Параметрические критерии используются в параметрических задачах проверки статистических гипотез, а непараметрические — в непараметрических задачах. === Уровень значимости и мощность === При проверке статистической гипотезы возможны ошибки. Есть два рода ошибок. Ошибка первого рода заключается в том, что отвергают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза верна. Ошибка второго рода состоит в том, что принимают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза неверна. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается <math>\alpha</math>. Таким образом, <math>\alpha = P \{U \in \Psi | H_0 \}</math>, то есть уровень значимости <math>\alpha</math> — это вероятность события <math>\{U \in \alpha \}</math>, вычисленная в предположении, что верна нулевая гипотеза <math>H_0</math>. Уровень значимости однозначно определён, если <math>H_0</math> — простая гипотеза. Если же <math>H_0</math> — сложная гипотеза, то уровень значимости, вообще говоря, зависит от функции распределения результатов наблюдений, удовлетворяющей <math>H_0</math>. Статистику критерия <math>U</math> обычно строят так, чтобы вероятность события <math>\{ U \in \alpha \}</math> не зависела от того, какое именно распределение (из удовлетворяющих нулевой гипотезе <math>H_0</math>) имеют результаты наблюдений. Для статистик критерия <math>U</math> общего вида под уровнем значимости понимают максимально возможную ошибку первого рода. Максимум (точнее, супремум) берётся по всем возможным распределениям, удовлетворяющим нулевой гипотезе <math>H_0</math>, то есть <math>\alpha = \sup P \{U \in \Psi | H_0 \}</math>. Если критическая область имеет вид, указанный в формуле [[#metka_41|(41)]], то{{metka|42}} : <math>P \{U > C | H_0 \} = \alpha</math>. Если <math>C</math> задано, то из последнего соотношения определяют <math>\alpha</math>. Часто поступают по иному — задавая <math>\alpha</math> (обычно <math>\alpha = 0{,}05</math>, иногда <math>\alpha = 0{,}01</math> или <math>\alpha = 0{,}1</math>, другие значения <math>\alpha</math> используются гораздо реже), определяют <math>C</math> из уравнения [[#metka_42|(42)]], обозначая его <math>C_\alpha</math>, и используют критическую область <math>\Psi = \{U > C_\alpha \}</math> с заданным уровнем значимости <math>\alpha</math>. Вероятность ошибки второго рода есть <math>P \{U \notin \Psi | H_1 \}</math>. Обычно используют не эту вероятность, а её дополнение до единицы, то есть <math>P \{U \in \Psi | H_1 \} = 1 - P \{U \notin \Psi | H_1 \}</math>. Эта величина носит название мощности критерия. Итак, мощность критерия — это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, когда альтернативная гипотеза верна. Понятия уровня значимости и мощности критерия объединяются в понятии функции мощности критерия — функции, определяющей вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Функция мощности зависит от критической области <math>\Psi</math> и действительного распределения результатов наблюдений. В параметрической задаче проверки гипотез распределение результатов наблюдений задаётся параметром <math>\theta</math>. В этом случае функция мощности обозначается <math>M(\Psi, \theta)</math> и зависит от критической области <math>\Psi</math> и действительного значения исследуемого параметра <math>\theta</math>. Если : <math>H_0{:}\; \theta = \theta_0</math>, <math>H_1{:}\; \theta = \theta_1</math>, то : <math>M(\Psi, \theta_0) = \alpha</math>, <math>M(\Psi, \theta_1) = 1 - \beta</math>, где <math>\alpha</math> — вероятность ошибки первого рода, <math>\beta</math> — вероятность ошибки второго рода. В статистическом приёмочном контроле <math>\alpha</math> — риск изготовителя, <math>\beta</math> — риск потребителя. При статистическом регулировании технологического процесса <math>\alpha</math> — риск излишней наладки, <math>\beta</math> — риск незамеченной разладки. Функция мощности <math>M(\Psi, \theta)</math> в случае одномерного параметра <math>\theta</math> обычно достигает минимума, равного <math>\alpha</math>, при <math>\theta = \theta_0</math>, монотонно возрастает при удалении от <math>\theta_0</math> и приближается к единице при <math>|\theta - \theta_0| \to \infty</math>. В ряде вероятностно-статистических методов принятия решений используется оперативная характеристика <math>L(\Psi, \theta)</math> — вероятность принятия нулевой гипотезы в зависимости от критической области <math>\Psi</math> и действительного значения исследуемого параметра <math>\theta</math>. Ясно, что : <math>L(\Psi, \theta) = 1 - M(\Psi, \theta)</math>. === Состоятельность и несмещённость критериев === Основной характеристикой статистического критерия является функция мощности. Для многих задач проверки статистических гипотез разработан не один статистический критерий, а целый ряд. Чтобы выбрать из них определённый критерий для использования в конкретной практической ситуации, проводят сравнение критериев по различным показателям качества (<ref name="orlov_ekon"/>, приложение 3), прежде всего с помощью их функций мощности. В качестве примера рассмотрим лишь два показателя качества критерия проверки статистической гипотезы — состоятельность и несмещённость. Пусть объём выборки <math>n</math> растёт, а <math>U_n</math> и <math>\Psi_n</math> — статистики критерия и критические области соответственно. Критерий называется состоятельным, если : <math>\lim_{n \to \infty} P \{ U_n \in \Psi_n | H_1 \} = 1</math>, то есть вероятность отвергнуть нулевую гипотезу стремится к единице, если верна альтернативная гипотеза. Статистический критерий называется несмещённым, если для любого <math>\theta_0</math>, удовлетворяющего <math>H_0</math>, и любого <math>\theta_1</math>, удовлетворяющего <math>H_1</math>, справедливо неравенство : <math>P \{ U \in \Psi | \theta_0 \} < P \{ U \in \Psi | \theta_1 \}</math>, то есть при справедливости <math>H_0</math> вероятность отвергнуть <math>H_0</math> меньше, чем при справедливости <math>H_1</math>. При наличии нескольких статистических критериев в одной и той же задаче проверки статистических гипотез следует использовать состоятельные и несмещённые критерии. == Некоторые типовые задачи прикладной статистики == === Статистические данные и прикладная статистика === Под прикладной статистикой обычно понимают часть математической статистики, посвящённую методам обработки реальных статистических данных, а также соответствующее математическое и программное обеспечение. Таким образом, чисто математические задачи не включают в прикладную статистику. В последние десятилетия термин «математическая статистика» всё чаще применяют для обозначения чисто математической дисциплины, которая изучает свойства математических объектов и структур, введённых в классической статистике ранее середины ХХ века. При таком понимании прикладная статистика — самостоятельная научно-практическая дисциплина, не имеющая пересечения с математической статистикой. Прикладную статистику и статистические методы в целом можно отнести к кибернетике или прикладной математике. Под статистическими данными понимают числовые или нечисловые значения контролируемых параметров (признаков) исследуемых объектов, которые получены в результате наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов и так далее) определённого числа признаков, у каждой единицы, вошедшей в исследование. Способы получения статистических данных и объёмы выборок устанавливают, исходя из постановок конкретной прикладной задачи на основе методов математической теории планирования эксперимента. Результат наблюдения <math>x_i</math> исследуемого признака <math>X</math> (или совокупности исследуемых признаков <math>X</math>) у <math>i</math>-ой единицы выборки отражает количественные и/или качественные свойства обследованной единицы с номером <math>i</math> (здесь <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, где <math>n</math> — объём выборки). Деление прикладной статистики на направления соответственно виду обрабатываемых результатов наблюдений (то есть на статистику случайных величин, многомерный статистический анализ, статистику временны́х рядов и статистику объектов нечисловой природы) обсуждалось выше. Результаты наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>, где <math>x_i</math> — результат наблюдения <math>i</math>-ой единицы выборки, или результаты наблюдений для нескольких выборок, обрабатывают с помощью методов прикладной статистики, соответствующих поставленной задаче. Используют, как правило, аналитические методы, то есть методы, основанные на численных расчётах (объекты нечисловой природы при этом описывают с помощью чисел). В отдельных случаях допустимо применение графических методов (визуального анализа). Количество разработанных к настоящему времени методов обработки данных весьма велико. Они описаны в сотнях тысяч книг и статей, а также в стандартах и других нормативно-технических и инструктивно-методических документах. Многие методы прикладной статистики требуют проведения трудоемких расчётов, поэтому для их реализации нужны компьютеры. Программы расчётов на ЭВМ должны соответствовать современному научному уровню. Однако для единичных расчётов при отсутствии соответствующего программного обеспечения успешно используют микрокалькуляторы. === Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и качества продукции === Статистические методы используют, в частности, для анализа точности и стабильности технологических процессов и качества продукции. Цель — подготовка решений, обеспечивающих эффективное функционирование технологических единиц и повышение качества и конкурентоспособности выпускаемой продукции. Статистические методы следует применять во всех случаях, когда по результатам ограниченного числа наблюдений требуется установить причины улучшения или ухудшения точности и стабильности технологического оборудования. Под точностью технологического процесса понимают свойство технологического процесса, обусловливающее близость действительных и номинальных значений параметров производимой продукции. Под стабильностью технологического процесса понимают свойство технологического процесса, обусловливающее постоянство распределений вероятностей для его параметров в течение некоторого интервала времени без вмешательства извне. Целями применения статистических методов анализа точности и стабильности технологических процессов и качества продукции на стадиях разработки, производства и эксплуатации (потребления) продукции являются, в частности: * определение фактических показателей точности и стабильности технологического процесса, оборудования или качества продукции; * установление соответствия качества продукции требованиям нормативно-технической документации; * проверка соблюдения технологической дисциплины; * изучение случайных и систематических факторов, способных привести к появлению дефектов; * выявление резервов производства и технологии; * обоснование технических норм и допусков на продукцию; * оценка результатов испытаний опытных образцов при обосновании требований к продукции и нормативов на неё; * обоснование выбора технологического оборудования и средств измерений и испытаний; * сравнение различных образцов продукции; * обоснование замены сплошного контроля статистическим; * выявление возможности внедрения статистических методов управления качеством продукции, и так далее. Для достижения перечисленных выше целей применяют различные методы описания данных, оценивания и проверки гипотез. Приведём примеры постановок задач. === Задачи одномерной статистики (статистики случайных величин) === Сравнение математических ожиданий проводят в тех случаях, когда требуется установить соответствие показателей качества изготовленной продукции и эталонного образца. Это — задача проверки гипотезы: : <math>H_0{:}\; M(X) = m_0</math>, где <math>m_0</math> — значение, соответствующее эталонному образцу; <math>X</math> — случайная величина, моделирующая результаты наблюдений. В зависимости от формулировки вероятностной модели ситуации и альтернативной гипотезы сравнение математических ожиданий проводят либо параметрическими, либо непараметрическими методами. Сравнение дисперсий проводят тогда, когда требуется установить отличие рассеивания показателя качества от номинального. Для этого проверяют гипотезу: : <math>H_0{:}\; D(X) = \sigma_0^2</math>. Ряд иных постановок задач одномерной статистики приведён ниже. Не меньшее значение, чем задачи проверки гипотез, имеют задачи оценивания параметров. Они, как и задачи проверки гипотез, в зависимости от используемой вероятностной модели ситуации делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических задачах оценивания принимают вероятностную модель, согласно которой результаты наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> рассматривают как реализации <math>n</math> независимых случайных величин с функцией распределения <math>F(x; \theta)</math>. Здесь <math>\theta</math> — неизвестный параметр, лежащий в пространстве параметров <math>\Theta</math> заданном используемой вероятностной моделью. Задача оценивания состоит в определении точечной оценок и доверительных границ (либо доверительной области) для параметра <math>\theta</math>. Параметр <math>\theta</math> — либо число, либо вектор фиксированной конечной размерности. Так, для нормального распределения <math>\theta = (m, \sigma^2)</math> — двумерный вектор, для биномиального <math>\theta = p</math> — число, для гамма-распределения <math>\theta = (a, b, c)</math> — трёхмерный вектор, и так далее. В современной математической статистике разработан ряд общих методов определения оценок и доверительных границ — метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод одношаговых оценок, метод устойчивых (робастных) оценок, метод несмещённых оценок и другие. Кратко рассмотрим первые три из них. Теоретические основы различных методов оценивания и полученные с их помощью конкретные правила определения оценок и доверительных границ для тех или иных параметрических семейств распределений рассмотрены в специальной литературе, включены в нормативно-техническую и инструктивно-методическую документацию. Метод моментов основан на использовании выражений для моментов рассматриваемых случайных величин через параметры их функций распределения. Оценки метода моментов получают, подставляя выборочные моменты вместо теоретических в функции, выражающие параметры через моменты. В методе максимального правдоподобия, разработанном в основном Р. А. Фишером, в качестве оценки параметра <math>\theta</math> берут значение <math>\theta^*</math>, для которого максимальна так называемая функция правдоподобия : <math>f(x_1, \theta)\; f(x_2, \theta)\; \dots\; f(x_n, \theta)</math>, где <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — результаты наблюдений; <math>f(x, \theta)</math> — их плотность распределения, зависящая от параметра <math>\theta</math>, который нужно оценить. Оценки максимального правдоподобия, как правило, эффективны (или асимптотически эффективны) и имеют меньшую дисперсию, чем оценки метода моментов. В отдельных случаях формулы для них выписываются явно (нормальное распределение, экспоненциальное распределение без сдвига). Однако чаще для их нахождения надо численно решать систему трансцендентных уравнений (распределения Вейбулла-Гнеденко, гамма). В подобных случаях целесообразно использовать не оценки максимального правдоподобия, а другие виды оценок, прежде всего одношаговые оценки. В литературе их иногда не вполне точно называют «приближённые оценки максимального правдоподобия». При достаточно больши́х объёмах выборок они имеют столь же хорошие свойства, как и оценки максимального правдоподобия. Поэтому их следует рассматривать не как «приближённые», а как оценки, полученные по другому методу, не менее обоснованному и эффективному, чем метод максимального правдоподобия. Одношаговые оценки вычисляют по явным формулам (<ref name="orlov_necel">Орлов А. И. О нецелесообразности использования итеративных процедур нахождения оценок максимального правдоподобия. – Журнал «Заводская лаборатория», 1986, Т. 52. № 5. С. 67—69.</ref>). В непараметрических задачах оценивания принимают вероятностную модель, в которой результаты наблюдений <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> рассматривают как реализации <math>n</math> независимых случайных величин с функцией распределения <math>F(x)</math> общего вида. От <math>F(x)</math> требуют лишь выполнения некоторых условий типа непрерывности, существования математического ожидания и дисперсии и тому подобного. Подобные условия не являются столь жёсткими, как условие принадлежности к определённому параметрическому семейству. === Непараметрическое оценивание математического ожидания === В непараметрической постановке оценивают либо характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, коэффициент вариации), либо её функцию распределения, плотность и тому подобное. Так, в силу закона больши́х чисел выборочное среднее арифметическое <math>\overline x</math> является состоятельной оценкой математического ожидания <math>M(X)</math> (при любой функции распределения <math>F(x)</math> результатов наблюдений, для которой математическое ожидание существует). С помощью центральной предельной теоремы определяют асимптотические доверительные границы : <math>\Big( M(X) \Big)_H = \overline x - u \left( \frac{1 + \gamma}{2} \right) \frac{s}{\sqrt n}</math>, <math>\Big( M(X) \Big)_B = \overline x + u \left( \frac{1 + \gamma}{2} \right) \frac{s}{\sqrt n}</math>, где <math>\gamma</math> — доверительная вероятность, <math>u \frac{1 + \gamma}{2}</math> — квантиль порядка <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math> стандартного нормального распределения <math>N(0; 1)</math> с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, <math>\overline x</math> — выборочное среднее арифметическое, <math>s</math> — выборочное среднеквадратичное отклонение. Термин «асимптотические доверительные границы» означает, что вероятности <math>P \left\{ \Big( M(X) \Big)_H < M(X) \right\}</math>, <math>P \left\{ \Big( M(X) \Big)_B > M(X) \right\}</math>, <math>P \left\{\Big( M(X) \Big)_H < M(X) < \Big( M(X) \Big)_B\right\}</math> стремятся к <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math>, <math>\frac{1 + \gamma}{2}</math> и <math>\gamma</math> соответственно при <math>n \to \infty</math>, но, вообще говоря, не равны этим значениям при конечных <math>n</math>. Практически асимптотические доверительные границы дают достаточную точность при <math>n</math> порядка 10. === Непараметрическое оценивание функции распределения === Второй пример непараметрического оценивания — оценивание функции распределения. По теореме Гливенко эмпирическая функция распределения <math>F_n(x)</math> является состоятельной оценкой функции распределения <math>F(x)</math>. Если <math>F(x)</math> — непрерывная функция, то на основе теоремы Колмогорова доверительные границы для функции распределения <math>F(x)</math> задают в виде : <math>\Big( F(x) \Big)_H = \max \left\{ 0, F_n(x) - \frac{k(\gamma, n)}{\sqrt n} \right\}</math>, <math>\Big( F(x) \Big)_B = \min \left\{ 1, F_n(x) + \frac{k(\gamma, n)}{\sqrt n} \right\}</math>, где <math>k(\gamma, n)</math> — квантиль порядка <math>\gamma</math> распределения статистики Колмогорова при объёме выборки <math>n</math> (напомним, что распределение этой статистики не зависит от <math>F(x)</math>). Правила определения оценок и доверительных границ в параметрическом случае строятся на основе параметрического семейства распределений <math>F(x; \theta)</math>. При обработке реальных данных возникает вопрос — соответствуют ли эти данные принятой вероятностной модели? То есть статистической гипотезе о том, что результаты наблюдений имеют функцию распределения из семейства <math>\{ F(x; \theta),\, \theta \in \Theta \}</math> при некотором <math>\theta = \theta_0</math> Такие гипотезы называют гипотезами согласия, а критерии их проверки — критериями согласия. Если истинное значение параметра <math>\theta = \theta_0</math> известно, функция распределения <math>F(x; \theta_0)</math> непрерывна, то для проверки гипотезы согласия часто применяют критерий Колмогорова, основанный на статистике : <math>D_n = \sqrt n\, \sup_x |F_n(x) - F(x, \theta_0)|</math>, где <math>F_n(x)</math> — эмпирическая функция распределения. Если истинное значение параметра <math>\theta_0</math> неизвестно, например, при проверке гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдения (то есть при проверке принадлежности этого распределения к семейству нормальных распределений), то иногда используют статистику : <math>D_n(\theta^*) = \sqrt n\, \sup_x |F_n(x) - F(x, \theta^*)|</math>. Она отличается от статистики Колмогорова <math>D_n</math> тем, что вместо истинного значения параметра <math>\theta_0</math> подставлена его оценка <math>\theta^*</math>. Распределение статистики <math>D_n(\theta^*)</math> сильно отличается от распределения статистики <math>D_n</math>. В качестве примера рассмотрим проверку нормальности, когда <math>\theta = (m, \sigma^2)</math>, а <math>\sigma^* = (\overline x, \sigma^2)</math>. Для этого случая квантили распределений статистик <math>D_n</math> и <math>D_n(\theta^*)</math> приведены в [[#Таблица 5|таблице 5]] (см., например, <ref name="rasp_osh">Орлов А. И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат. – Журнал «Заводская лаборатория», 1985, т. 51, № 1, c. 60—62.</ref>). Таким образом, квантили отличаются примерно в 1,5 раза. {| class="standard" id="Таблица 5" |+ Таблица 5. Квантили статистик <math>D_n</math> и <math>D_n(\theta^*)</math> при проверке нормальности !<math>p</math>||0,85||0,90||0,95||0,975||0,99 |- |Квантили порядка <math>p</math> для <math>D_n</math> |1,138||1,224||1,358||1,480||1,626 |- |Квантили порядка <math>p</math> для <math>D_n(\theta^*)</math> |0,775||0,819||0,895||0,955||1,035 |} === Проблема исключения промахов === При первичной обработке статистических данных важной задачей является исключение результатов наблюдений, полученных в результате грубых погрешностей и промахов. Например, при просмотре данных о весе (в килограммах) новорожденных детей наряду с числами 3,500, 2,750, 4,200 может встретиться число 35,00. Ясно, что это промах, и получено ошибочное число при ошибочной записи — запятая сдвинута на один знак, в результате результат наблюдения ошибочно увеличен в 10 раз. Статистические методы исключения резко выделяющихся результатов наблюдений основаны на предположении, что подобные результаты наблюдений имеют распределения, резко отличающиеся от изучаемых, а потому их следует исключить из выборки. Простейшая вероятностная модель такова. При нулевой гипотезе результаты наблюдений рассматриваются как реализации независимых одинаково распределённых случайных величин <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math> с функцией распределения <math>F(x)</math>. При альтернативной гипотезе <math>X_1, X_2, \dots, X_{n-1}</math> — такие же, как и при нулевой гипотезе, а <math>X_n</math> соответствует грубой погрешности и имеет функцию распределения <math>G(x) = F(x - c)</math>, где <math>c</math> велико. Тогда с вероятностью, близкой к 1 (точнее, стремящейся к 1 при росте объёма выборки), : <math>X_n = \max \{ X_1, X_2, \dots, X_n \} = X_\max</math>, то есть при описании данных в качестве возможной грубой ошибки следует рассматривать <math>X_\max</math>. Критическая область имеет вид : <math>\Psi = \{x{:}\; x \geqslant d \}</math>. Критическое значение <math>d = d(\alpha, n)</math> выбирают в зависимости от уровня значимости <math>\alpha</math> и объёма выборки <math>n</math> из условия{{metka|43}} : <math>P \{ X_\max \geqslant d | H_0 \} = \alpha</math>. Условие [[#metka_43|(43)]] эквивалентно при больши́х <math>n</math> и малых <math>\alpha</math> следующему:{{metka|44}} : <math>F(d) = \sqrt[n]{1 - \alpha} \approx 1 - \frac{\alpha}{n}</math>. Если функция распределения результатов наблюдений <math>F(x)</math> известна, то критическое значение <math>d</math> находят из соотношения [[#metka_44|(44)]]. Если <math>F(x)</math> известна с точностью до параметров, например, известно, что <math>F(x)</math> — нормальная функция распределения, то также разработаны правила проверки рассматриваемой гипотезы <ref name="tab_mat_stat"/>. Однако часто вид функции распределения результатов наблюдений известен не абсолютно точно и не с точностью до параметров, а лишь с некоторой погрешностью. Тогда соотношение [[#metka_44|(44)]] становится практически бесполезным, поскольку малая погрешность в определении <math>F(x)</math>, как можно показать, приводит к большой погрешности при определении критического значения <math>d</math> из условия [[#metka_44|(44)]], а при фиксированном <math>d</math> уровень значимости критерия может существенно отличаться от номинального <ref name="orlov_ekon"/>. Поэтому в ситуации, когда о <math>F(x)</math> нет полной информации, однако известны математическое ожидание <math>M(X)</math> и дисперсия <math>\sigma^2 = D(X)</math> результатов наблюдений <math>X_1, X_2, \dots, X_n</math>, можно использовать непараметрические правила отбраковки, основанные на неравенстве Чебышёва. С помощью этого неравенства найдём критическое значение <math>d = d(\alpha, n)</math> такое, что{{metka|45}} : <math>P \left\{ \max_{1 \leqslant i \leqslant n}|X_i - M(X)| \geqslant d \right\}\leqslant \alpha</math>. Так как : <math>P \left\{ \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |X_i - M(X)| < d \right\} = \left[ P \Big\{ |X - M(X)| < d \Big\} \right]^n</math>, то соотношение [[#metka_45|(45)]] будет выполнено, если{{metka|46}} : <math>P \Big\{ |X - M(X)| \geqslant d \Big\} \leqslant 1 - \sqrt[n]{1 - \alpha} \approx \frac{\alpha}{n}</math>. По неравенству Чебышёва{{metka|47}} : <math>P \Big\{ |X - M(X)| \geqslant d \Big\} \leqslant \frac{\sigma^2}{d^2}</math>, поэтому для того, чтобы [[#metka_45|(45)]] было выполнено, достаточно приравнять правые части формул [[#metka_46|(46)]] и [[#metka_47|(47)]], то есть определить <math>d</math> из условия{{metka|48}} : <math>\frac{\sigma^2}{d^2} = \frac{\alpha}{n}</math>, <math>d = \frac{\sigma\sqrt n}{\sqrt\alpha}</math>. Правило отбраковки, основанное на критическом значении <math>d</math>, вычисленном по формуле [[#metka_48|(48)]], использует минимальную информацию о функции распределения <math>F(x)</math> и поэтому исключает лишь результаты наблюдений, весьма далеко отстоящие от основной массы. Другими словами, значение <math>d_1</math>, заданное соотношением [[#metka_43|(43)]], обычно много меньше, чем значение <math>d_2</math>, заданное соотношением [[#metka_48|(48)]]. === Многомерный статистический анализ === Перейдём к многомерному статистическому анализу. Его применяют при решении следующих задач: * исследование зависимости между признаками; * классификация объектов или признаков, заданных векторами; * снижение размерности пространства признаков. При этом результат наблюдений — вектор значений фиксированного числа количественных и иногда качественных признаков, измеренных у объекта. Напомним, что количественный признак — признак наблюдаемой единицы, который можно непосредственно выразить числом и единицей измерения. Количественный признак противопоставляется качественному — признаку наблюдаемой единицы, определяемому отнесением к одной из двух или более условных категорий (если имеется ровно две категории, то признак называется альтернативным). Статистический анализ качественных признаков — часть статистики объектов нечисловой природы. Количественные признаки делятся на признаки, измеренные в шкалах интервалов, отношений, разностей, абсолютной шкале. А качественные — на признаки, измеренные в шкале наименований и порядковой шкале. Методы обработки данных должны быть согласованы со шкалами, в которых измерены рассматриваемые признаки. === Корреляция и регрессия === Целями исследования зависимости между признаками являются доказательство наличия связи между признаками и изучение этой связи. Для доказательства наличия связи между двумя случайными величинами <math>X</math> и <math>Y</math> применяют корреляционный анализ. Если совместное распределение <math>X</math> и <math>Y</math> является нормальным, то статистические выводы основывают на выборочном коэффициенте линейной корреляции, в остальных случаях используют коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена, а для качественных признаков — критерий хи-квадрат. Регрессионный анализ применяют для изучения функциональной зависимости количественного признака <math>Y</math> от количественных признаков <math>x(1), x(2), \dots, x(k)</math>. Эту зависимость называют регрессионной или, кратко, регрессией. Простейшая вероятностная модель регрессионного анализа (в случае <math>k = 1</math>) использует в качестве исходной информации набор пар результатов наблюдений <math>(x_i, y_i)</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, и имеет вид : <math>y_i = ax_i + b + \varepsilon_i</math>, <math>i = 1, 2, \dots, n</math>, где <math>\varepsilon_i</math> — ошибки наблюдений. Иногда предполагают, что <math>\varepsilon_i</math> — независимые случайные величины с одним и тем же нормальным распределением <math>N(0, \sigma^2)</math>. Поскольку распределение ошибок наблюдения обычно отлично от нормального, то целесообразно рассматривать регрессионную модель в непараметрической постановке, то есть при произвольном распределении <math>\varepsilon_i</math>. Основная задача регрессионного анализа состоит в оценке неизвестных параметров <math>a</math> и <math>b</math>, задающих линейную зависимость <math>y</math> от <math>x</math>. Для решения этой задачи применяют разработанный ещё Гауссом в 1794 году метод наименьших квадратов, то есть находят оценки неизвестных параметров модели <math>a</math> и <math>b</math> из условия минимизации суммы квадратов : <math>\sum_{1 \leqslant i \leqslant n}(y_i - ax_i - b)^2</math> по переменным <math>a</math> и <math>b</math>. Теория регрессионного анализа описана, и расчётные формулы даны в специальной литературе <ref name="orlov_ekon"/>, <ref name="lin_reg_an">Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. — М.: Мир, 1980. — 456 с.</ref>. В этой теории разработаны методы точечного и интервального оценивания параметров, задающих функциональную зависимость, а также непараметрические методы оценивания этой зависимости, методы проверки различных гипотез, связанных с регрессионными зависимостями. Выбор планов эксперимента, то есть точек <math>x_i</math>, в которых будут проводиться эксперименты по наблюдению <math>y_i</math> — предмет теории планирования эксперимента <ref name="teo_plan_exp">Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С. М. Ермакова. — М.: Наука, 1983. – 392 с.</ref>. === Дисперсионный анализ === Дисперсионный анализ применяют для изучения влияния качественных признаков на количественную переменную. Например, пусть имеются <math>k</math> выборок результатов измерений количественного показателя качества единиц продукции, выпущенных на <math>k</math> станках, то есть набор чисел <math>\Big( x_1(j), x_2(j), \dots, x_n(j) \Big)</math>, где <math>j</math> — номер станка, <math>j = 1, 2, \dots, k</math>, а <math>n</math> — объём выборки. В распространённой постановке дисперсионного анализа предполагают, что результаты измерений независимы и в каждой выборке имеют нормальное распределение <math>N \Big( m(j), \sigma^2 \Big)</math> с одной и той же дисперсией. Хорошо разработаны и непараметрические постановки <ref name="neparam">Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983. — 518 с.</ref>. Проверка однородности качества продукции, то есть отсутствия влияния номера станка на качество продукции, сводится к проверке гипотезы : <math>H_0{:}\; m(1) = m(2) = \dots = m(k)</math>. В дисперсионном анализе разработаны методы проверки подобных гипотез. Теория дисперсионного анализа и расчётные формулы рассмотрены в специальной литературе <ref name="mnogom">Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временны́е ряды. — М.: Наука, 1976. – 736 с.</ref>. Гипотезу <math>H_0</math> проверяют против альтернативной гипотезы <math>H_1</math>, согласно которой хотя бы одно из указанных равенств не выполнено. Проверка этой гипотезы основана на следующем «разложении дисперсий», указанном Р. А. Фишером:{{metka|49}} : <math>(kn)\sigma^2 = n\sum_{j = 1}^k \sigma^2(j) + (kn)\sigma_1^2</math>, где <math>\sigma^2</math> — выборочная дисперсия в объединённой выборке, то есть : <math>\sigma^2 = \frac{1}{kn} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^k (x_i(j) - \overline x)^2</math>, <math>\overline x = \frac{1}{kn} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^k x_i(j)</math>. Далее, <math>\sigma^2(j)</math> — выборочная дисперсия в <math>j</math>-й группе, : <math>\sigma^2(j) = \frac1n \sum_{i = 1}^n \Big( x_i(j) - \overline x(j) \Big)^2</math>, <math>\overline x(j) = \frac1n \sum_{i = 1}^n x_i(j)</math>, <math>j = 1, 2, \dots, k</math>. Таким образом, первое слагаемое в правой части формулы [[#metka_49|(49)]] отражает внутригрупповую дисперсию. Наконец, <math>\sigma_1^2</math> — межгрупповая дисперсия: : <math>\sigma_1^2 = \frac1k \sum_{j = 1}^k \Big( \overline x(j) - \overline x \Big)^2</math>. Область прикладной статистики, связанную с разложениями дисперсии типа формулы [[#metka_49|(49)]], называют дисперсионным анализом. В качестве примера задачи дисперсионного анализа рассмотрим проверку приведённой выше гипотезы <math>H_0</math> в предположении, что результаты измерений независимы и в каждой выборке имеют нормальное распределение <math>N \Big( m(j), \sigma^2 \Big)</math> с одной и той же дисперсией. При справедливости <math>H_0</math> первое слагаемое в правой части формулы [[#metka_49|(49)]], делённое на <math>\sigma^2</math>, имеет распределение хи-квадрат с <math>k(n - 1)</math> степенями свободы, а второе слагаемое, делённое на <math>\sigma^2</math>, также имеет распределение хи-квадрат, но с <math>(k - 1)</math> степенями свободы, причём первое и второе слагаемые независимы как случайные величины. Поэтому случайная величина : <math>F = \frac{k(n - 1)}{k - 1} \frac{(kn)\sigma_i^2}{n\sum_{j = 1}^k \sigma^2(j)} = \frac{k^2(n - 1)\sigma_1^2}{(k - 1) \sum_{j = 1}^k \sigma^2(j)}</math> имеет распределение Фишера с <math>(k - 1)</math> степенями свободы числителя и <math>k(n - 1)</math> степенями свободы знаменателя. Гипотеза <math>H_0</math> принимается, если <math>F \leqslant F_{1 - \alpha}</math>, и отвергается в противном случае, где <math>F_{1 - \alpha}</math> — квантиль порядка <math>1 - \alpha</math> распределения Фишера с указанными числами степеней свободы. Такой выбор критической области определяется тем, что при <math>H_1</math> величина <math>F</math> безгранично увеличивается при росте объёма выборок <math>n</math>. Значения <math>F_{1 - \alpha}</math> берут из соответствующих таблиц <ref name="tab_mat_stat"/>. Разработаны непараметрические методы решения классических задач дисперсионного анализа <ref name="neparam"/>, в частности, проверки гипотезы <math>H_0</math>. === Методы классификации === Следующий тип задач многомерного статистического анализа — задачи классификации. Они согласно [2, 20] делятся на три принципиально различных вида — [[#Дискриминантный анализ|дискриминантный анализ]], [[#Кластерный анализ|кластерный анализ]], [[#Задачи группировки|задачи группировки]]. ==== Дискриминантный анализ ==== Задача [[w:Дискриминантный анализ|дискриминантного анализа]] состоит в нахождении правила отнесения наблюдаемого объекта к одному из ранее описанных классов. При этом объекты описывают в математической модели с помощью векторов, координаты которых — результаты наблюдения ряда признаков у каждого объекта. Классы описывают либо непосредственно в математических терминах, либо с помощью обучающих выборок. Обучающая выборка — это выборка, для каждого элемента которой указано, к какому классу он относится. Рассмотрим пример применения дискриминантного анализа для принятия решений в технической диагностике. Пусть по результатам измерения ряда параметров продукции требуется установить наличие или отсутствие дефектов. В этом случае для элементов обучающей выборки указаны дефекты, обнаруженные в ходе дополнительного исследования, например, провёденного после определённого периода эксплуатации. Дискриминантный анализ позволяет сократить объём контроля, а также предсказать будущее поведение продукции. Дискриминантный анализ сходен с регрессионным — первый позволяет предсказывать значение качественного признака, а второй — количественного. В статистике объектов нечисловой природы разработана математическая схема, частными случаями которой являются регрессионный и дискриминантный анализы <ref>Орлов А. И. Некоторые неклассические постановки в регрессионном анализе и теории классификации. — В сб.: Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях. — М.: Наука, 1987. С. 27—40.</ref>. ==== Кластерный анализ ==== [[w:Кластерный анализ|Кластерный анализ]] применяют, когда по статистическим данным нужно разделить элементы выборки на группы. Причём два элемента группы из одной и той же группы должны быть «близкими» по совокупности значений, измеренных у них признаков, а два элемента из разных групп должны быть «далёкими» в том же смысле. В отличие от дискриминантного анализа в кластерном анализе классы не заданы, а формируются в процессе обработки статистических данных. Например, кластерный анализ может быть применён для разбиения совокупности марок стали (или марок холодильников) на группы сходных между собой. Другой вид кластерного анализа — разбиение признаков на группы близких между собой. Показателем близости признаков может служить выборочный коэффициент корреляции. Цель кластерного анализа признаков может состоять в уменьшении числа контролируемых параметров, что позволяет существенно сократить затраты на контроль. Для этого из группы тесно связанных между собой признаков (у которых коэффициент корреляции близок к единице — своему максимальному значению) измеряют значение одного, а значения остальных рассчитывают с помощью регрессионного анализа. ==== Задачи группировки ==== Задачи группировки решают тогда, когда классы заранее не заданы и не обязаны быть «далёкими» друг от друга. Примером является группировка студентов по учебным группам. В технике решением задачи группировки часто является параметрический ряд — возможные типоразмеры группируются согласно элементам параметрического ряда. В литературе, нормативно-технических и инструктивно-методических документах по прикладной статистике также иногда используется группировка результатов наблюдений (например, при построении гистограмм). Задачи классификации решают не только в многомерном статистическом анализе, но и тогда, когда результатами наблюдений являются числа, функции или объекты нечисловой природы. Так, многие алгоритмы кластерного анализа используют только расстояния между объектами. Поэтому их можно применять и для классификации объектов нечисловой природы, лишь бы были заданы расстояния между ними. Простейшая задача классификации такова: даны две независимые выборки, требуется определить, представляют они два класса или один. В одномерной статистике эта задача сводится к проверке гипотезы однородности <ref name="orlov_ekon"/>. === Снижение размерности === Третий раздел многомерного статистического анализа — задачи снижения размерности с целью сжатия информации. Цель их решения состоит в определении набора производных показателей, полученных преобразованием исходных признаков, такого, что число производных показателей значительно меньше числа исходных признаков, но они содержат возможно бо́льшую часть информации, имеющейся в исходных статистических данных. Задачи снижения размерности решают с помощью методов многомерного шкалирования, главных компонент, факторного анализа и других. Например, в простейшей модели многомерного шкалирования исходные данные — попарные расстояния <math>\rho_{ij}</math>, <math>i,j = 1,2, \dots, k</math>, <math>i \ne j</math> между <math>k</math> объектами, а цель расчётов состоит в представлении объектов точками на плоскости. Это даёт возможность в буквальном смысле слова увидеть, как объекты соотносятся между собой. Для достижения этой цели необходимо каждому объекту поставить в соответствие точку на плоскости так, чтобы попарные расстояния <math>s_{ij}</math> между точками, соответствующими объектам с номерами <math>i</math> и <math>j</math>, возможно точнее воспроизводили расстояния <math>\rho_{ij}</math> между этими объектами. Согласно основной идее метода наименьших квадратов находят точки на плоскости так, чтобы величина : <math>\sum_{i = 1}^k\sum_{j = 1}^k(s_{ij}-\rho_{ij})^2</math> достигала своего наименьшего значения. Есть и многие другие постановки задач снижения размерности и визуализации данных. === Статистика случайных процессов и временны́х рядов === Методы статистики случайных процессов и временны́х рядов применяют для постановки и решения, в частности, следующих задач: * предсказание будущего развития случайного процесса или временно́го ряда; * управление случайным процессом (временны́м рядом) с целью достижения поставленных целей, например, заданных значений контролируемых параметров; * построение вероятностной модели реального процесса, обычно длящегося во времени, и изучение свойств этой модели. <div id="Пример 49"> '''Пример 49.''' При внедрении статистического регулирования технологического процесса нужно проверить, что в налаженном состоянии математическое ожидание контролируемого параметра не меняется со временем. Если подобное изменение будет обнаружено, то следует установить подналадочное устройство. </div> '''Пример 50.''' Следящие системы, например, входящие в состав автоматизированной системы управления технологическим процессом, должны выделять полезный сигнал на фоне шумов. Это — задача оценивания (полезного сигнала), в то время как в [[#Пример 49|примере 49]] речь шла о задаче проверки гипотезы. Методы статистики случайных процессов и временны́х рядов описаны в литературе <ref name="orlov_ekon"/>, <ref name="mnogom"/>. === Статистика объектов нечисловой природы === Методы статистики объектов нечисловой природы (статистики нечисловых данных, или нечисловой статистики) применяют всегда, когда результаты наблюдений являются объектами нечисловой природы. Например: * сообщениями о годности или дефектности единиц продукции, * информацией о сортности единиц продукции, * разбиениями единиц продукции на группы соответственно значения контролируемых параметров, * упорядочениями единиц продукции по качеству или инвестиционных проектов по предпочтительности, * фотографиями поверхности изделия, пораженной коррозией, и так далее. Итак, объекты нечисловой природы — это измерения по качественному признаку, множества, бинарные отношения (разбиения, упорядочения и другое) и многие другие математические объекты <ref name="orlov_ekon"/>. Они используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, в задачах управления качеством продукции, а также, например, в медицине и социологии, как для описания результатов приборных измерений, так и для анализа экспертных оценок. Для описания данных, являющихся объектами нечисловой природы, применяют, в частности, таблицы сопряжённости, а в качестве средних величин — решения оптимизационных задач <ref name="orlov_ekon"/>. В качестве выборочных средних для измерений в порядковой шкале используют медиану и моду, а в шкале наименований — только моду. О методах классификации нечисловых данных говорилось выше. Для решения параметрических задач оценивания используют оптимизационный подход, метод одношаговых оценок, метод максимального правдоподобия, метод устойчивых оценок. Для решения непараметрических задач оценивания наряду с оптимизационными подходами к оцениванию характеристик используют непараметрические оценки распределения случайного элемента, плотности распределения, функции, выражающей зависимость <ref name="orlov_ekon"/>. В качестве примера методов проверки статистических гипотез для объектов нечисловой природы рассмотрим критерий «хи-квадрат» (обозначают <math>\chi^2</math>), разработанный К. Пирсоном для проверки гипотезы однородности (другими словами, совпадения) распределений, соответствующих двум независимым выборкам. Рассматриваются две выборки объёмов <math>n_1</math> и <math>n_2</math>, состоящие из результатов наблюдений качественного признака, имеющего <math>k</math> градаций. Пусть <math>m_{1j}</math> и <math>m_{2j}</math> — количества элементов первой и второй выборок соответственно, для которых наблюдается <math>j</math>-я градация, а <math>p_{1j}</math> и <math>p_{2j}</math> — вероятности того, что эта градация будет принята, для элементов первой и второй выборок, <math>j = 1, 2, \dots, k</math>. Для проверки гипотезы однородности распределений, соответствующих двум независимым выборкам : <math>H_0{:}\; p_{1j} = p_{2j}, \quad j = 1, 2, \dots, k</math>, применяют критерий <math>\chi^2</math> со статистикой : <math>\chi^2 = n_1n_2 \sum_{j = 1}^k\frac{1}{m_{1j} + m_{2j}} \left( \frac{m_{1j}}{n_1}-\frac{m_{2j}}{n_2} \right)^2</math>. Установлено <ref name="kurs_tex_pril"/>, <ref name="mat_met_stat"/>, что статистика <math>\chi^2</math> при больши́х объёмах выборок <math>n_1</math> и <math>n_2</math> имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с <math>(k - 1)</math> степенью свободы. '''Пример 51.''' В таблице приведены данные о содержании [[w:Сера|серы]] в углеродистой стали, выплавляемой двумя металлургическими заводами. Проверим, можно ли считать распределения примеси серы в плавках стали этих двух заводов одинаковыми. {| class="standard" !colspan = 3|Распределения плавок стали по процентному содержанию серы |- !rowspan = 2|Содержание серы, в %||colspan = 2|Число плавок |- !Завод А||Завод Б |- |<math>0{,}00 \div 0{,}02</math>||82||63 |- |<math>0{,}02 \div 0{,}04</math>||535||429 |- |<math>0{,}04 \div 0{,}06</math>||1173||995 |- |<math>0{,}06 \div 0{,}08</math>||1714||1307 |} Расчёт по данным даёт <math>X^2 = 3{,}39</math>. Квантиль порядка 0,95 распределения хи-квадрат с <math>k - 1 = 3</math> степенями свободы равен <math>\chi_{0{,}95}^2(3) = 7{,}8</math>, поэтому гипотезу о совпадении функций распределения нельзя отклонить, а следует принять на уровне значимости <math>\alpha = 0{,}05</math>. Выше дано лишь краткое описание содержания прикладной статистики на современном этапе. Подробное изложение конкретных методов содержится в специальной литературе. == Литература == <references/> == Контрольные вопросы и задачи == 1. Расскажите о понятиях случайного события и его вероятности. 2. Почему закон больши́х чисел и центральная предельная теорема занимают центральное место в вероятностно-статистических методах? 3. Чем многомерный статистический анализ отличается от статистики объектов нечисловой природы? 4. Имеются три одинаковые с виду ящика. В первом <math>a</math> белых шаров и <math>b</math> чёрных; во втором <math>c</math> белых и <math>d</math> чёрных; в третьем только белые шары. Найдите вероятность случайного вытягивания белого шара. 5. Есть два трамвая с разными маршрутами. Один следует с интервалом <math>T_1</math>, другой — <math>T_2</math>. Пассажир может подойти к остановке в произвольное время. Какой может быть вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку, будет ждать не дольше <math>t</math>, где <math>0 < t < \min (T_1, T_2)</math>? 6. Два стрелка́ независимо один от другого делают по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка́ равна <math>p_1</math>, для второго — <math>p_2</math>. Выигравшим считается стрело́к, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность победы первого стрелка. 7. Колода из 52 [[w:Игральные карты|игральных карт]] делится на две равные стопки. Найти вероятности событий: * в каждой из пачек окажется по два туза; * в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой все четыре; * в одной из пачек будет один туз, а в другой три. <div id="Задача 8"> 8. Случайная величина <math>X</math> принимает значения 0 и 1, а случайная величина <math>Y</math> — значения -1, 0 и 1. Вероятности <math>P(X = i,\, Y = j)</math> задаются таблицей: {| ! !style="padding:.5em"|<math>Y = -1</math> !style="padding:.5em"|<math>Y = 0</math> !style="padding:.5em"|<math>Y = 1</math> |- !<math>X = 0</math> |style="text-align:center;padding:.5em"|<math>\frac{1}{16}</math> |style="text-align:center"|<math>\frac14</math> |style="text-align:center"|<math>\frac{1}{16}</math> |- !<math>X = 1</math> |style="text-align:center;padding:.5em"|<math>\frac{1}{16}</math> |style="text-align:center"|<math>\frac14</math> |style="text-align:center"|<math>\frac{5}{16}</math> |} Найдите распределение случайной величины <math>Z = XY</math>, её математическое ожидание и дисперсию. </div> 9. В условиях [[#Задача 8|задачи 8]] найдите распределение случайной величины <math>W = \frac{X}{Y + 3}</math>, её математическое ожидание и дисперсию. 10. Даны независимые случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> такие, что <math>M(X) = 1</math>, <math>D(X) = 3</math>, <math>M(Y) = -1</math>, <math>D(Y) = 2</math>. Найдите <math>M(aX + bY)</math> и <math>D(aX + bY)</math>, где <math>a = 3</math>, <math>b = -2</math>. == Темы докладов, рефератов, исследовательских работ == * Описание данных с помощью гистограмм и непараметрических оценок плотности. * Сравнительный анализ методов оценивания параметров и характеристик. * Преимущества одношаговых оценок по сравнению с оценками метода максимального правдоподобия. * Методы проверки однородности для независимых и связанных выборок. * Непараметрический регрессионный анализ. * Структура статистики нечисловых данных. * Аксиоматическое введение метрик и их использование в статистике объектов нечисловой природы. * Законы больши́х чисел в пространствах произвольной природы. * Непараметрические оценки плотности в пространствах произвольной природы, в том числе в дискретных пространствах. * Основные идеи статистики интервальных данных. * Оптимизационные постановки в вероятностно-статистических задачах принятия решений. == Приложение == === Темы задач прикладной статистики === Чтобы дать представление о богатом содержании теории рассматриваемых методов, приведём краткий перечень основных типов постановок задач прикладной статистики, широко используемых в практической деятельности и в научных исследованиях. Задачи рассмотрим в соответствии с описанной выше классификацией областей прикладной статистики. * Одномерная статистика. ** Описание материала. *** Расчёт выборочных характеристик распределения. *** Построение [[w:Гистограмма_(статистика)|гистограмм]] и [[w:Полигон_частот|полигонов частот]]. *** Приближение эмпирических распределений с помощью распределений из системы Пирсона и других систем. *** … ** Оценивание. *** Параметрическое оценивание. **** Правила определения оценок и доверительных границ для параметров [[w:Устойчивое_распределение|устойчивого распределения]]. **** Правила определения оценок и доверительных границ для параметров [[w:Логистическое_распределение|логистического распределения]]. **** Правила определения оценок и доверительных границ для параметров [[w:Экспоненциальное_распределение|экспоненциального распределения]] и смеси экспоненциальных распределений **** … (И так далее для различных семейств распределений.) *** Непараметрическое оценивание. **** Непараметрическое точечное и доверительное оценивание основных характеристик распределения — [[w:Математическое_ожидание|математического ожидания]], [[w:Дисперсия_случайной_величины|дисперсии]], [[w:Среднеквадратическое_отклонение|среднеквадратичного отклонения]], [[w:Коэффициент_вариации|коэффициента вариации]], [[w:Квантиль|квантилей]], прежде всего [[w:Медиана_(статистика)|медианы]]. **** Непараметрические оценки плотности и функции распределения. **** Непараметрическое оценивание параметра сдвига. **** … ** Проверка гипотез. *** Параметрические задачи проверки гипотез. **** Проверка равенства математических ожиданий для двух нормальных совокупностей. **** Проверка равенства дисперсий для двух нормальных совокупностей. **** Проверка равенства коэффициентов вариации для двух нормальных совокупностей. **** Проверка равенства математических ожиданий и дисперсий для двух нормальных совокупностей. **** Проверка равенства математического ожидания [[w:Нормальное_распределение|нормального распределения]] определённому значению. **** Проверка равенства дисперсии нормального распределения определённому значению **** … **** Проверка равенства параметров двух экспоненциальных совокупностей **** … (И так далее — проверка утверждений о параметрах для различных семейств распределений.) *** Непараметрические задачи проверки гипотез. **** Непараметрическая проверка равенства математических ожиданий для двух совокупностей. **** Непараметрическая проверка равенства дисперсий для двух совокупностей. **** Непараметрическая проверка равенства коэффициентов вариации для двух совокупностей. **** Непараметрическая проверка равенства математических ожиданий и дисперсий для двух совокупностей. **** Непараметрическая проверка равенства математического ожидания определённому значению. **** Непараметрическая проверка равенства дисперсии определённому значению. **** … **** Проверка гипотезы согласия с [[w:Равномерное_распределение|равномерным распределением]] по [[w:Критерий_согласия_Колмогорова|критерию Колмогорова]]. **** Проверка гипотезы согласия с равномерным распределением по критерию омега-квадрат (Крамера — Мизеса — Смирнова). **** Проверка гипотезы согласия с равномерным распределением по критерию Смирнова. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа Колмогорова при известной дисперсии. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа Колмогорова при известном математическом ожидании. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа Колмогорова (оба параметра неизвестны). **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа омега-квадрат при известной дисперсии. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа омега-квадрат при известном математическом ожидании. **** Проверка гипотезы согласия с нормальным семейством распределений по критерию типа омега-квадрат (оба параметра неизвестны). **** Проверка гипотезы согласия с экспоненциальным семейством распределений по критерию типа омега-квадрат **** … (И так далее для различных семейств распределений, тех или иных предположениях о параметрах, всевозможных критериев.) **** Проверка гипотезы однородности двух выборок методом Смирнова. **** Проверка гипотезы однородности двух выборок методом омега-квадрат. **** Проверка гипотезы однородности двух выборок с помощью [[w:Критерий_Уилкоксона|критерия Уилкоксона]]. **** Проверка гипотезы однородности двух выборок по критерию [[w:Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Вардена]]. **** Проверка гипотезы симметрии функции распределения относительно 0 методом Смирнова. **** Проверка гипотезы симметрии функции распределения относительно 0 с помощью критерия типа омега-квадрат (Орлова). **** Проверка гипотезы независимости элементов выборки. **** Проверка гипотезы одинаковой распределённости элементов выборки **** … (И так далее.) * Многомерный статистический анализ. ** Описание материала. *** Расчёт выборочных характеристик (вектора средних, [[w:Ковариационная_матрица|ковариационной]] и [[w:Корреляция|корреляционной]] матриц и других). *** Таблицы [[w:Сопряжённое_пространство|сопряжённости]]. *** Детерминированные методы приближения [[w:Функциональная_зависимость|функциональной зависимости]]. **** [[w:Метод_наименьших_квадратов|Метод наименьших квадратов]]. **** [[w:Метод_наименьших_модулей|Метод наименьших модулей]]. **** [[w:Сплайн|Сплайны]] и другие. *** Методы снижения [[w:Размерность_(значения)|размерности]]. **** Алгоритмы [[w:Факторный_анализ|факторного анализа]]. **** Алгоритмы [[w:Метод_главных_компонент|метода главных компонент]]. **** Алгоритмы многомерного метрического [[w:Шкалирование|шкалирования]]. **** Алгоритмы многомерного неметрического шкалирования. **** Методы оптимального [[w:Проецирование|проецирования]] и другие. *** Методы [[w:Классификация_(задача)|классификации]]. **** Методы [[w:Кластерный_анализ|кластерного анализа]] — [[w:Иерархическая_кластеризация|иерархические процедуры]]. **** Методы кластерного анализа — оптимизационный подход. **** Методы кластерного анализа — [[w:Итерация|итерационные]] процедуры. **** … **** Методы группировки. **** … ** Оценивание. *** Параметрическое оценивание. **** Оценивание параметров [[w:Многомерное_нормальное_распределение|многомерного нормального распределения]]. **** Оценивание параметров в нормальной модели линейной регрессии. **** Методы расщепления смесей. **** Оценивание компонент дисперсии в [[w:Дисперсионный_анализ|дисперсионном анализе]] (в нормальной модели). **** Оценивание размерности и структуры модели в [[w:Регрессионный_анализ|регрессионном анализе]] (в нормальной модели). **** Оценивание в [[w:Дискриминантный_анализ|дискриминантном анализе]] (в нормальной модели). **** Оценивание в методах снижения размерности (в нормальной модели). **** Нелинейная регрессия. **** Методы [[w:Планирование_эксперимента|планирования эксперимента]]. *** Непараметрическое оценивание. **** Непараметрические оценки многомерной плотности. **** Непараметрическая регрессия (с погрешностями наблюдений произвольного вида). **** Непараметрическая регрессия (на основе непараметрических оценок многомерной плотности). **** Монотонная регрессия. **** Непараметрический дискриминантный анализ. **** Непараметрический дисперсионный анализ. **** … ** [[w:Проверка_статистических_гипотез|Проверка гипотез]]. *** Параметрические задачи проверки гипотез. **** [[w:Корреляционный_анализ|Корреляционный анализ]] (нормальная модель). **** Проверка гипотез об отличии коэффициентов при [[w:Предиктор|предикторах]] от 0 в линейной регрессии при справедливости нормальной модели. **** Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий нормальных совокупностей (дисперсионный анализ). **** Проверка гипотезы о совпадении двух линий регрессии (нормальная модель). **** … (И так далее.) *** Непараметрические задачи проверки гипотез. **** Непараметрический корреляционный анализ. **** Проверка гипотез об отличии коэффициентов при предикторах от 0 в линейной регрессии (непараметрическая постановка). **** Проверка гипотез в непараметрическом дисперсионном анализе. **** Проверка гипотезы о совпадении двух линий регрессии (непараметрическая постановка). **** … Здесь остановимся, ибо продолжение содержало бы много сложных тем, не освещённых в этой книге. Приведённый перечень даёт первоначальное представление об обширности разработанных математической статистикой средств познания. == Авторство == Изначальный вариант текста учебника был электронной копией книги «Математика случая. Вероятность и статистика – основные факты. Учебное пособие», помещённой на сайте [http://ru.wikibooks.org Викиучебник] лично её автором — [[w:Орлов, Александр Иванович|Александром Ивановичем Орловым]]. Сама электронная книга также доступна с его личного сайта (http://orlovs.pp.ru/stat/matslu.zip, RTF-документ в zip-архиве). Рецензентами книги были доктор физико-математических наук, профессор Я. Ю. Никитин и кафедра «Анализ стохастических процессов в экономике» Российской экономической академии им. Г. В. Плеханова Книга причастна серии «Статистические методы», в редакционном совете которой: * Богданов Ю. И. * Вощинин А. П. * Горбачёв О. Г. * Горский В. Г. * Кудлаев Э. М. * Натан А. А. * Новиков Д. А. * Орлов А. И. (председатель). * Татарова Г. Г. * Толстова Ю. Н. * Фалько С. Г. * Шведовский В. А. iax0962wg0lzk5258vv5nosejwxrjlo 0 2377 267832 267489 2026-05-21T11:37:22Z EmausBot 37157 исправление двойного перенаправления на [[Решение систем гиперболических уравнений]] 267832 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Решение систем гиперболических уравнений]] 35tyi3sw7iytmn7imn3e8nmwmbwaq34 0 2404 267730 260357 2026-05-21T10:04:32Z AllaBuraya 79455 267730 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Лого = Журнал «Потенциал».gif | Описание = Сборник материалов по физике от журнала «Потенциал» | Категория = Физика, Математика | Готовность = 75% | Тип = Многостраничный }} {{Википедия|Потенциал_(журнал)}} [[w:Журнал «Потенциал»|Журнал «Потенциал»]] — научно-популярный журнал для школьников и учителей. Представлен в двух видах: <ul><li style="list-style:none;">[https://edu-potential.ru/ → Печатный ]</li><li style="list-style:none;">[[:Категория:Журнал «Потенциал»|→ Электронный]], публикуемый тут, в [[Викиучебник:Введение|Викиучебнике]]</li></ul> <div style="float:right;clear:both;margin:0.2em 0.7em 0em 1.3em;padding:0.7em;background:white;border:1px solid #aaa;"> <h2 style="border:none">Статьи и темы</h2> * [[Служебная:Поиск/опубликован потенциал]] * [[Служебная:Ссылки сюда/Журнал «Потенциал»]] </div> Редакция журнала и сообщество авторов журнала [http://potential.org.ru/bin/view/Home/PotentialOnWikibooks приняли решение] о создании в Интернете сети согласованных учебных материалов для школьников и студентов. Не все статьи печатной версии журнала «Потенциал» будут помещены в Викиучебнике: сюда не попадут статьи вре́менной важности (новости, объявления), обзоры технологий, информационные сообщения о прошедших и наступающих олимпиадах и методические материалы для абитуриентов, предназначенные для отработки известных алгоритмов решения задач. Здесь '''опубликованы:''' * учебные материалы вводного характера, которые знакомят читателя с фундаментальными понятиями в игровой живой форме; * обзоры тем, содержащие достаточно полную информацию о предмете; * разборы некоторых задач с олимпиад по физике, математике, информатике; * некоторые статьи из рубрики «Словарик Журнала „Потенциал“»; * многие статьи из раздела «Информатика – языки программирования и алгоритмы»; * многие статьи из раздела «Информатика – наука программирования». == Цели == Редакция журнала «Потенциал» надеется найти здесь сообщество людей, заинтересованных в создании качественных согласованных учебных материалов по естественным наукам. Предполагается создание архива наиболее интересных учебных материалов, печатаемых в журнале, и представление их согласно принятому в [[w:Вики|вики]] гипертекстовому способу: в виде сети связанных и классифицированных страниц. Редакция журнала заинтересована в авторах, готовых публиковать свои статьи в печатном журнале Потенциал, новых идеях и предложениях. == Авторское право == На все статьи, печатаемые сотрудниками журнала в Викиучебнике, было получено разрешение от авторов на публикацию. Авторы, давшие согласие на публикацию в Викиучебнике, автоматически принимают условия распространения по [[w:GNU FDL|«Лицензии свободной документации GNU»]]. {{Содержание |Тема=4 |width=100% | * Физика ** [[/Размер и размерность|Размер и размерность]] ** [[/Вода в решете|Вода в решете]] ** [[/Две лекции по теоретической физике для школьников|Две лекции по теоретической физике для школьников]] ** [[/Микромир, элементарные частицы, вакуум|Микромир, элементарные частицы, вакуум]] ** [[/Почему летает самолёт, или о потоках массы и импульса|Почему летает самолёт, или о потоках массы и импульса]] ** [[/Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии|Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии]] * Математика ** [[/Аффинные преобразования|Аффинные преобразования]] ** [[/Знакомство с методом математической индукции|Знакомство с методом математической индукции]] ** [[/Комплексные числа|Комплексные числа]] ** [[/Иррациональные уравнения|Иррациональные уравнения]] ** [[/Комбинаторы — это просто!|Комбинаторы — это просто!]] ** [[/Что такое вычислительная математика|Что такое вычислительная математика]] * Информатика ** [[/Машина Тьюринга|Машина Тьюринга]] ** [[/Метамоделирование|Метамоделирование]] ** [[/Метод дихотомии|Метод дихотомии]] ** [[/Рекурсия|Рекурсия]] ** [[/Слово «алгоритм»: происхождение и развитие|Слово «алгоритм»: происхождение и развитие]] ** [[/Чего не могут вычислительные машины|Чего не могут вычислительные машины]] ** [[/Что такое алгоритм|Что такое алгоритм]] ** [[/Языки программирования в школе|Языки программирования в школе]] ** [[/Reuse. Методология повторного использования|Reuse. Методология повторного использования]] ** [[/Методы Кристобаля Хунты|Методы Кристобаля Хунты]] ** [[/Теория чисел и язык Haskell|Теория чисел и язык Haskell]] * Игры ** [[/Игра Го|Игра Го]] }} e8ajt4rgb1xj8d3wurk0zto08ebodqp 0 2607 267786 103609 2026-05-21T11:02:04Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математическая физика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267786 wikitext text/x-wiki subroutine makestep_1d(U,U1,lambda,tau,h,MK) ! ! Подпрограмма вычисляет значение U на n+1-м слое по времени и ! сохраняет значение в массиве U1 ! Использована простейшая схема "левый уголок". ! implicit none integer :: MK real*8,dimension(MK) :: U,U1 real*8 :: lambda,tau,h integer :: m do m=2,MK U1(m)=U(m)-(tau*lambda/h)*(U(m)-U(m-1)) end do end subroutine [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Математическая физика]] assrcjz236kgrgaljzfkdlrwizbo5ub 14 2916 267704 118016 2026-05-21T09:08:39Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267704 wikitext text/x-wiki Материалы по '''[[Полка:Вычислительная математика |вычислительной математике]]''' — области математики, посвященной приближённому решению математических и физических задач, аналитическое решение которых представляется невозможным или затруднительным. [[Категория:Информатика]] rwvv2xp87ef9fwhdgxwlpjsj9e8mxry 267705 267704 2026-05-21T09:08:47Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Численные методы]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267705 wikitext text/x-wiki Материалы по '''[[Полка:Вычислительная математика |вычислительной математике]]''' — области математики, посвященной приближённому решению математических и физических задач, аналитическое решение которых представляется невозможным или затруднительным. [[Категория:Информатика]] [[Категория:Численные методы]] jdtqus0xxgoi0bqz79nmvmn8unf96k0 0 3255 267648 258299 2026-05-21T08:28:48Z AllaBuraya 79455 267648 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Одностраничный }} Скрытые марковские модели (СММ), спецификация которых была опубликована еще в конце 60-х годов, в последнее время стали очень популярны. Во-первых, математическая структура СММ очень богата и позволяет решать математические проблемы различных областей науки. Во-вторых, грамотно спроектированная модель дает на практике хорошие результаты работы. В этом руководстве мы рассмотрим скрытые марковские модели и их применение в отдельных аспектах распознавания речи. == Введение == Происходящие явления можно описывать как сигналы. Сигналы могут быть дискретными, как письменная речь, или непрерывными, как фонограмма или кардиограмма. Сигналы с постоянными статистическими свойствами называются стабильными (стационарными), а с меняющимися — нестабильными (нестационарными). Сигнал может быть чистым, а может и искаженным, с помехами или посторонними сигналами. Для описания сигналов часто нужны математические модели. В модели сигнала на основе его характеристик может быть предусмотрен определенный механизм обработки, который позволяет получить желаемый выход при анализе сигнала. Например, если надо очистить сигнал, искаженный и зашумлённый при передаче, мы можем смоделировать его и рассмотреть эту модель отвлечённо от искажений и шумов в сигнале. Модели позволяют также генерировать и исследовать сигнал без его источника. В этом случае, имея под рукой хорошую модель, мы можем имитировать сигнал и изучить его по этой имитации. Модели очень успешно применяются на практике, позволяя создавать эффективные рабочие системы: системы прогноза, распознавания, идентификации. Грубо все модели можно разделить на детерминистические и статистические. Детерминистические используются, если известны фундаментальные характеристики сигнала: что сигнал — это синусоидальная волна или, например, сумма экспонент. В таком случае достаточно просто описать подобную модель сигнала — для этого нужно всего лишь подобрать (вычислить) параметры этой модели: для синусоидальной волны — это амплитуда, частота, фаза. Второй класс — это вероятностные модели, для разработки которых возможно используются статистические характеристики сигнала. Эти модели описывают гауссовские, пуассоновские, марковские процессы, а также подобные им процессы. В общем, вероятностные модели описывают сигнал как определённый случайный процесс, параметры которого могут быть качественно определены. В области распознавания речи используются оба типа моделей, но в этом руководстве мы обсудим только одну, вероятностную модель, а именно — скрытую марковскую модель (СММ). Сначала рассмотрим цепи Маркова, ибо их понимание необходимо для успешного изучения СММ, затем перейдём к скрытым марковским моделям и к трём главным вопросам проектирования СММ, покажем, что эти три главных вопроса решаемы, а спроектированную СММ мы сможем применить в области распознавания речи. Теория скрытых марковских моделей не нова. Её основы опубликовал Баум и его коллеги в конце 60-х — начале 70-х годов. Тогда же, в начале 70-х, Бейкер и Джелинек с коллегами из IBM применили СММ в распознавании речи.<br /> Тем не менее, широкое распространение СММ получили совсем недавно: * основы теории скрытых марковских моделей были опубликованы в журналах для математиков, не очень популярных среди инженеров, занимающихся распознаванием речи; * опубликованная теория не содержала соответствующих обучающих материалов, которые бы объяснили возможности и способы применения СММ в различных прикладных областях. В результате несколько вышедших подробных обучающих материалов о скрытых марковских моделях инициировали исследования по их применению в области распознавания речи. В этом руководстве рассматриваются основы теории скрытых марковских моделей, общие вопросы практического применения СММ. Использование СММ обсуждается на примере распознавания речи. Это руководство, собранное по материалам различных источников, надеюсь, станет основой для различных исследований. Структура учебника следующая. В главе 2 мы обсудим теорию дискретных цепей Маркова и покажем пример эффективного применения концепции скрытых состояний, когда наблюдение является результатом текущего состояния и соответствующих вероятностей. Теория будет проиллюстрирована двумя простыми примерами: «подбрасыванием монеты» и классическим примером «шаров в урне». == Дискретные марковские процессы == Рассмотрим систему, которую в любой момент времени можно описать одним из <math>N</math> состояний, <math>S_1, S_2, \ldots S_N</math>, (рис. 1), где для простоты <math>N=5</math>. [[Файл:HMM_markov_chain.svg|thumb|400px|frame|Рис. 1. Цепь Маркова с 5 состояниями (обозначены <math>S_1 \ldots S_5</math>) с переходами между состояниями (обозначены <math>a_{ij}</math> где <math>i</math> - исходное состояние, <math>j</math> - конечное состояние))]] Через определенный промежуток времени система может изменить свое состояние или остаться в прежнем состоянии согласно вероятностям, указанным для данных состояний. Моменты времени, когда мы регистрируем состояние системы, обозначим как <math>t = 1, 2,\ldots</math>, а состояние в момент времени t обозначим <math>q_t</math>. Полное описание рассмотренной выше системы должно содержать текущее состояние (в момент времени t) и последовательность всех предыдущих состояний, через которые прошла система. В отдельных случаях описание системы сводится к указанию текущего и предыдущего состояния, то есть <math>P [ q_t = S_j | q_{t-1} = S_i , q_{t-2} = S_k , \ldots ] = P [ q_t = S_j | q_{t-1} = S_i ]\qquad(1)</math> Кроме того, мы также полагаем что процессы, протекающие в системе, не зависят от времени, о чем нам говорит правая часть формулы (1). Таким образом, систему можно описать множеством вероятностей <math>a_{ij}</math> в виде <math>a_{i j} = P [ q_t = S_j | q_{t-1} = S_i], \qquad 1 \le i, j \le N \qquad (2)</math> где <math>a_{i j}</math> — это вероятность перехода из состояния <math>S_i</math> в состояние <math>S_j</math> в данный момент времени. Поскольку эти вероятности характеризуют случайный процесс, они имеют обычные свойства, то есть <math>a_{i j} \ge 0 \qquad (3-1)</math> <math>\sum_{j=1}^N a_{i j} = 1 \qquad (3-2)</math> Описанный выше случайный процесс можно назвать открытой марковской моделью, поскольку выходной сигнал модели — это последовательность состояний, регистрируемых во времени. Каждое состояние соответствует определённому (наблюдаемому) событию. Для того, чтобы лучше понять все вышесказанное, рассмотрим простую марковскую модель погоды, у которой будет всего три состояния. Предполагается, что мы один раз в день (например, в полдень) смотрим в окно и регистрируем в журнале текущее состояние погоды. Мы условились, что лишь одно из трех ниженазванных состояний в день <math>t</math> мы записываем в журнал: * Состояние № 1: дождь (или снег) * Состояние № 2: пасмурно * Состояние № 3: ясно Матрица вероятностей изменения погоды <math>A</math> имеет вид <math>A = \left\{ a_{i j} \right\} = \begin{vmatrix} 0.4 & 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.1 & 0.8 \end{vmatrix}</math> ''Исходя'' из того, что погода в первый день (<math>t=1</math>) ясная (состояние 3), мы можем задать себе вопрос: какова вероятность (согласно нашей модели), что следующие 7 дней будет именно «ясно — ясно — дождь — дождь — ясно — пасмурно — ясно»? Точнее сказать, для данной последовательности состояний <math>O</math>, где <math>O = \left\{ S_3, S_3, S_3, S_1, S_1, S_3, S_2, S_3 \right\}</math> соответствует <math>t = 1, 2, \ldots ,8</math> , мы хотим на основе данной модели определить вероятность наблюдения последовательности <math>O</math>. Эта вероятность может быть выражена (и вычислена) следующим образом <math>P (O |Model) = P[S_3, S_3, S_3, S_1, S_1, S_3, S_2, S_3 | Model] = </math> <math>P[S_3] \cdot P[S_3|S_3] \cdot P[S_3|S_3] \cdot P[S_1|S_3] \cdot P[S_1|S_1] \cdot P[S_3|S_1] \cdot P[S_2|S_3] \cdot P[S_3|S_2] =</math> <math>\pi_3 \cdot a_{3 3} \cdot a_{3 3} \cdot a_{3 1} \cdot a_{1 1} \cdot a_{1 3} \cdot a_{3 2} \cdot a_{2 3} =</math> <math>1 \cdot (0.8)(0.8)(0.1)(0.4)(0.3)(0.1)(0.2) = 1,536 \times 10^{- 4},</math> где <math>\pi_i = P[ q_1 = S_i], \quad 1 \le i \le N \qquad (4),</math> это вероятность того, что начальное состояние системы будет <math>S_i</math>. Есть и другой интересный вопрос, ответ на который нам даст эта модель: какова вероятность того, что модель сохранит свое состояние в течение ровно <math>d</math> дней? Эта вероятность может быть вычислена как вероятность наблюдения следующей последовательности <math>O = \left\{ \begin{matrix} S_i, & S_i, & S_i, & \ldots , & S_i, & S_j & \ne S_i \\ 1 & 2 & 3 & & d & d+1 & \end{matrix} \right\}</math> дает модель, в которой <math>P(O|Model, q_1 = S_i) = (a_{ii})^{d-1}(1-a_{ii}) = p_i(d). \qquad (5)</math> Величина <math>p_i(d)</math> — это вероятность того, что система будет находиться в состоянии <math>i</math> ровно <math>d</math> раз подряд. Соответственно есть функция распределения вероятности для продолжительности пребывания системы в одном состоянии, которая является характеристикой сохранения состояния для марковской цепи. Зная величины <math>p_i(d)</math> мы можем вычислить среднее время, в течение которого система сохранит свое состояние (используем формулу математического ожидания): <math>\bar d_i = \sum_{d=1}^\infty d \cdot p_i(d) \qquad (6-1)</math> <math> = \sum_{d=1}^\infty d (a_{ii})^{d-1}(1-a_{ii}) = {1 \over 1-a_{ii}} \qquad (6-2) </math> Ожидается, что солнечная погода скорее всего простоит <math>{ 1 \over 0.2} = 5</math> дней, пасмурная — 2,5 дня, а вот дождливая погода, согласно нашей модели, вероятнее всего продержится 1,67 дня. === Переход к скрытым марковским моделям === В вышеописанной марковской модели каждому физическому явлению соответствовало определенное состояние модели. Эта модель, к сожалению, слишком ограничена и ей не под силу решение многих актуальных проблем. В этом разделе мы рассмотрим марковские модели, в которых наблюдаемая последовательность — это результат переходов в соответствии с обозначенными вероятностями. В данном случае модель (скрытая марковская модель) — это результат двух случайных процессов. Первый — скрытый процесс — его никак нельзя зарегистрировать, но его можно охарактеризовать с помощью другого случайного процесса, который предоставляет нам набор сигналов — наблюдаемую последовательность. Проиллюстрируем это описание на примере подбрасывания монеты. ''Пример подбрасываемой монеты.'' Действуем по следующему сценарию. Вы находитесь в комнате, а за перегородкой — в другой комнате — находится человек, который подбрасывает монету. Он не говорит, как именно он подбрасывает монету, а может он её вообще ленится подбрасывать. Он лишь говорит вам результат каждого падения монеты: орел или решка. В этом и заключается суть скрытого процесса (вы не знаете что происходит с монетой), когда о процессе вы можете судить лишь по наблюдаемой последовательности <math>O = O_1 O_2 O_3 \ldots O_T = \mathcal{H\;H\;T\;T\;T\;H\;T\;T\;H\; \ldots H\;} </math>, где <math>\mathcal{H}</math> — это орел, а <math>\mathcal{T}</math> — это решка. Как же построить скрытую марковскую модель, соответствующую этой ситуации? Первый вопрос: сколько состояний будет у модели и что означает каждое состояние такой модели? Предположим, что мы подбрасываем одну единственную монету и других у нас нет. Тогда выбор мы остановим на модели с двумя состояниями, где одно состояние означает выпадение орла, другое — решки. [[Файл:Three_possible_Markov_models.gif|frame|Рис. 2. Три примерных марковских модели, которые могут описать эксперимент со скрыто подбрасываемой монетой. (а) 1 монета участвует в подбрасвании, (2) 2 — монеты, (3) — три монеты.]] Эта модель изображена на рисунке 2(а). В этом случае марковская модель является ''открытой'' и единственное, что мы можем сделать с этой моделью — это оптимизировать вероятность смены состояния. Следует заметить, что скрытая марковская модель, являющаяся аналогом модели, изображенной на рис. 2(а), будет представлять собой модель одного состояния. В этой модели единственное состояние означает, что подбрасывается всего лишь одна монета. На следующем рисунке 2(б) изображена СММ двух состояний. В этом случае каждое состояние соответствует различным монетам, которые подбрасываются в ходе эксперимента (напр. 1 копейка и 5 рублей). Каждому состоянию соответствует ''распределение вероятностей'' между выпадением орла и решки, а также ''матрицей вероятностей переходов'' ('''матрицей переходов'''), указывающей вероятность перехода из одного состояния в другое. Переход из состояния в состояние согласно заданным вероятностям из ''матрицы переходов'' может осуществляется на основе того же подбрасывания монеты или на основе любого другого случайного события. На третьем рисунке 2(в) представлена модель, учитывающая тот факт, что подбрасываются три различных монеты, причем выбор между ними осуществляется опять же на основе какого-либо случайного события. Здесь, как и каждый раз при проектировании мы задаемся вопросом: какая из трех моделей наилучшим образом подходит для описания наблюдаемой последовательности? Хорошо видно, что первая модель (рис. 2(а)) имеет всего лишь 1 неизвестный параметр. Модель для двух монет (рис. 2(б)) имеет 4 неизвестных параметра. И наконец, модель для трех монет (рис. 3(в)) имеет 9 неизвестных параметров. Таким образом, СММ с большим количеством степеней свободы по существу более работоспособна, чем ее меньшие аналоги. Также теоретически доказано (и это мы увидим далее), что в современных условиях существуют ограничения на размер моделей. Более того, может оказаться, что в случае, когда человек за стеной подбрасывает одну единственную монету, мы выберем модель трех состояний. В таком случае выясняется, что состояния системы не соответствуют реальным состояниям за стеной; и, следовательно, мы используем избыточную модель. ''Пример шариков в вазах.'' Сейчас мы дополним СММ новыми структурными элементами, для того чтобы она могла решать ряд более сложных задач. Поможет нам в этом пример с шариками в вазах (рис. 3). [[Файл:Urn_and_ball_model.gif|frame|Рис. 3. Модель с N состояниями (вазами) и шариками, цвета которых обозначают элементы наблюдаемой последовательности.]] Допустим, у нас есть <math>N</math> стеклянных прозрачных ваз. В каждой вазе — большое число шариков разного цвета. Полагаем, что у нас в корзине лежат шарики <math>M</math> различных цветов. Физически это можно представить следующим образом. Человек находится в комнате с вазами. Каким-либо случайным образом он выбирает любую вазу, засовывает руку поглубже, и вытаскивает шар. Цвет шара записывается в журнал показаний — наблюдаемую последовательность, и человек кладет шар обратно в эту вазу. Потом наш человек выбирает новую корзину, идет к ней, и вытаскивает оттуда новый шар, и так далее. В результате мы получаем последовательность цветов — результат работы СММ — наблюдаемую последовательность. Очевидно, что пример шариков в вазах соответствует скрытой марковской модели, где каждое состояние модели — это выбранная ваза, причем у различных ваз различная вероятность вытащить шарик красного (или другого) цвета, что соответствует различному распределению вероятностей для каждого состояния. То, какая ваза будет выбрана следующей, зависит от матрицы переходов СММ, то есть зависит и от того, у какой вазы мы сейчас находимся. === Элементы скрытой марковской модели === Приведенные выше примеры дают неплохое представление о СММ, и о возможных сферах их применения. Сейчас мы дадим формальное определение элементам СММ и объясним, как модель генерирует наблюдаемую последовательность. СММ определяется следующими элементами: 1. <math>N</math> — общее количество ''состояний'' в модели. Несмотря на то что состояния в СММ являются скрытыми, во многих случаях есть соответствие между состоянием модели и реальным состоянием процесса. В примере с подбрасыванием монеты каждое состояние соответствовало выбранной монете, а в примере с шариками в вазах состояние модели соответствовало выбранной вазе. В общем, переход в любое выбранное состояние возможен из любого состояния всей системы (в том числе и само в себя); с другой стороны, и это мы увидим впоследствии, лишь определенные пути переходов представляют интерес в каждой конкретной модели. Мы обозначим совокупность состояний модели множеством <math>S = \left\{ S_1, S_2, \ldots S_N \right\}</math>, а текущее состояние в момент времени <math>t</math> как <math>q_t</math>. 2. <math>M</math>, количество возможных ''символов'' в наблюдаемой последовательности, размер ''алфавита наблюдаемой последовательности''. В случае с подбрасыванием монеты — это 2 символа: орел и решка; в случае с шариками — это количество цветов этих самых шариков. ''Алфавит наблюдаемой последовательности'' мы обозначим как <math>V = \left\{ v_1, v_2, \ldots , v_M \right\}</math>. 3. Матрица вероятностей переходов (или матрица переходов) <math>A = \left\{ a_{ij} \right\}</math>, где <math>a_{ij} = P \left[ q_{t+1} = S_j | q_t =S_i \right], \qquad 1 \le i, j \le N, \qquad (7)</math> то есть это вероятность того, что система, находящаяся в состоянии <math>S_i</math>, перейдет в состояние <math>S_j</math>. Если для любых двух состояний в модели возможен переход из одного состояние в другое, то <math>a_{ij} > 0</math> для любых <math>i, j</math>. В остальных СММ для некоторых <math>i,j</math> у нас вероятность перехода <math>a_{ij} = 0</math>. 4. Распределение вероятностей появления символов в j-том состоянии, <math>B = \left\{ b_j(k) \right\} </math>, где <math>b_j(k) = P \left[ v_k | q_t = S_j \right] \qquad 1 \ge j \ge N, \qquad 1 \ge k \ge M. \qquad (8)</math> <math>b_j(k)</math> — вероятность того, что в момент времени t, система, находящаяся в j-ом состоянии (состояние <math>S_j</math>), выдаст k-тый символ (символ <math>v_k</math>) в наблюдаемую последовательность. 5. Распределение вероятностей начального состояния <math>\pi = \left\{ \pi_i \right\}</math>, где <math>\pi_i = P[q_1 = S_i], \qquad 1 \le i \le N, \qquad (9)</math> то есть вероятность того, <math>S_i</math> — это начальное состояние модели. Совокупность значений <math>N, M, A, B</math> и <math>\pi</math> — это скрытая марковская модель, которая может сгенерировать ''наблюдаемую последовательность'' <math>O = O_1 O_2 \ldots O_T \qquad (10)</math> (где <math>O_t</math> — один из символов алфавита <math>V</math>, а <math>T</math> — это количество элементов в наблюдаемой последовательности. СММ строит наблюдаемую последовательность по следующему алгоритму # Выбираем начальное состояние <math>q_1 = S_i</math> в соответствии с распределением <math>\pi</math> # Устанавливаем <math>t = 1</math>. # Выбираем <math>O_t = v_k</math> в соответствии с распределением <math>b_j(k)</math> в состоянии (<math>S_i</math>). # Переводим модель в новое состояние <math>q_{t+1} = S_j</math> в соответствии с ''матрицей переходов'' <math>a_{ij}</math> с учетом текущего состояния <math>S_i</math>. # Устанавливаем время <math>t = t + 1</math>; возвращаемся к шагу 3, если <math>t < T</math>; иначе — заканчиваем выполнение. Подводя итог, заметим, что ''полное'' описание СММ состоит из двух параметров модели (<math>N</math> и <math>M</math>), описания символов наблюдаемой последовательности и трех массивов вероятностей — <math>A, B</math>, и <math>\pi</math>. Для удобства мы используем следующую запись <math>\lambda = (A, B, \pi) \qquad (11)</math> для обозначения ''достаточного'' описания параметров модели. === Три основных задачи СММ === Согласно описанию скрытой марковской модели, изложенному в предыдущем разделе, существует три основных задачи, которые должны быть решены для того, чтобы модель могла успешно решать поставленные перед ней задачи. '''Задача 1''' Дано: наблюдаемая последовательность <math>O = O_1, O_2, \ldots O_T</math> и модель <math>\lambda = (A, B, \pi)</math>. Необходимо вычислить вероятность <math>P(O|\lambda)</math> — вероятность того, что данная наблюдаемая последовательность построена именно для данной модели. '''Задача 2''' Дано: наблюдаемая последовательность <math>O = O_1, O_2, \ldots O_T</math> и модель <math>\lambda = (A, B, \pi)</math>. Необходимо подобрать последовательность состояний системы <math>Q = q_1, q_2, \ldots q_T</math>, которая лучше всего соответствует наблюдаемой последовательности, то есть «объясняет» наблюдаемую последовательность. '''Задача 3''' Подобрать параметры модели <math>\lambda = (A, B, \pi)</math> таким образом, чтобы максимизировать <math>P(O|\lambda)</math>. Задача 1 — это задача оценки модели, которая заключается в вычислении вероятности того, что модель соответствует заданной наблюдаемой последовательности. К сути этой задачи можно подойти и с другой стороны: насколько выбранная СММ соответствует заданной наблюдаемой последовательности. Такой подход имеет большую практическую ценность. Например, если у нас стоит вопрос выбора наилучшей модели из набора уже существующих, то решение первой задачи дает нам ответ на этот вопрос. Задача 2 — это задача, в которой мы пытаемся понять, что же происходит в скрытой части модели, то есть найти «правильную» последовательность, которую проходит модель. Совершенно ясно, что абсолютно точно нельзя определить эту последовательность. Здесь можно говорить лишь о предположениях с соответственной степенью достоверности. Тем не менее для приближенного решения этой проблемы мы обычно будем пользоваться некоторыми оптимальными показателями, критериями. Далее мы увидим, что, к сожалению, не существует единого критерия оценки для определения последовательности состояний. При решении второй задачи необходимо каждый раз принимать решение о том, какие показатели использовать. Данные, полученные при решении этой задачи используются для изучения поведения построенной модели, нахождения оптимальной последовательности её состояний, для статистики и т. п. Решение задачи 3 состоит в оптимизации модели таким образом, чтобы она как можно лучше описывала ''реальную'' наблюдаемую последовательность. Наблюдаемая последовательность, по которой оптимизируется СММ, принято называть обучающей последовательностью, поскольку с помощью нее мы «обучаем» модель. Задача обучения СММ — это важнейшая задача для большинства проектируемых СММ, поскольку она заключается в оптимизации параметров СММ на основе обучающей наблюдаемой последовательности, то есть создается модель, наилучшим образом описывающая реальные процессы. Для лучшего понимания рассмотрим все вышесказанное на примере системы, предназначенной для распознавания речи. Для каждого слова из словаря <math>W</math> мы спроектируем СММ с <math>N</math> состояниями. Каждое слово в частности мы представим как последовательность спектральных векторов. Обучение мы будем считать завершенным, когда модель с высокой точностью будет воспроизводить ту самую последовательность спектральных векторов, которая использовалась для обучения модели. Таким образом каждая отдельная СММ будет обучаться воспроизводить какое-либо одно слово, но обучать эту модель следует на нескольких вариантах произнесения этого слова; то есть например три человека (каждый по-своему) проговаривают слово «собака», а затем каждое сказанное слово конвертируется в упорядоченный по времени набор спектральных векторов, и модель обучается на основе этих трех наборов. Для каждого отдельного слова проектируются соответствующие модели. Сперва решается 3-я задача СММ: каждая модель настраивается на «произнесение» определенного слова из словаря <math>W</math>, согласно заданной точности. Для того чтобы интепретировать каждое состояние спроектированных моделей мы решаем 2-ую задачу, а затем выделяем те свойства спектральных векторов, которые имеют наибольший вес для определенного состояния. Это момент тонкой настройки модели. А уже после того, как набор моделей будет спроектирован, оптимизирован и обучен, следует оценить модель на предмет ее способности распознавать слова в реальной жизни. Здесь мы уже решаем 1-ую задачу СММ. Нам дается тестовое слово, представленное, разумеется, в виде наблюдаемой последовательности спектральных векторов. Далее мы вычисляем функцию соответствия этого тестового слова для каждой модели. Модель, для которой эта функция будет иметь наибольшее значение, будет считаться моделью названного слова. В следующем разделе мы дадим четкое формальное решение трем задачам СММ. == Решение трех задач СММ == === Решение 1-ой задачи === Нам необходимо вычислить вероятность того, что последовательность наблюдений <math>O = O_1, O_2, \ldots O_t</math> принадлежит модели <math>\lambda</math>, то есть вычислить <math>P(O|\lambda)</math> В первую очередь в голову приходит решение подсчитать вероятность появления последовательности наблюдений для каждой возможной последовательности состояний модели. Рассмотрим такой способ на примере одной последовательности состояний <math>Q = q_1, q_2, \ldots q_T \qquad (12)</math> где <math>q_1</math> — это начальное состояние модели. Вероятность появления последовательности наблюдений <math>O</math> для последовательности состояний (12) равна <math>P(O|Q,\lambda) = \prod_{t=1}^T P(O_t|q_t,\lambda) \qquad (13-1)</math> где мы подразумеваем статистическую независимость наблюдений. Отсюда получаем <math>P(O|Q,\lambda) = b_{q_1}(O_1) \cdot b_{q_2}(O_2) \ldots b_{q_T}(O_T) \qquad (13-2)</math> Вероятность, что в модели состояния пройдут последовательность <math>Q</math> равна <math>P(Q|\lambda) = \pi_{q_1} a_{q_1q_2} a_{q_2q_3} \ldots a_{q_{T-1}q_T} \qquad (14)</math> Вероятность совмещения <math>O</math> и <math>Q</math>, то есть вероятность одновременного их проявления, выражается произведением <math>P(O, Q|\lambda) = P(O|Q,\lambda) P(Q,\lambda) \qquad (15)</math> Вероятность появления <math>O</math> — это сумма вероятностей совмещения (15) по всем возможным комбинациям состояний состояний <math>q</math> системы: <math>P(O|\lambda) = \sum_{all Q} P(O|Q,\lambda)P(Q|\lambda) \qquad (16)</math> <math>= \sum_{q_1,q_2,\ldots,q_T} \pi_{q_1} b_{q_1}(O_1) a_{q_1q_2} b_{q_2}(O_2) \ldots a_{q_{T-1}q_T} b_{q_T}(O_T) \qquad (17)</math> Объяснить это можно так. Сперва (в момент времени <math>t=1</math>) мы выбираем начальное состояние <math>q_1</math> в соответствии с вероятностью <math>\pi_{q_1}</math>, и генерируем символ <math>O_1</math> (в этом состоянии) с вероятностью <math>b_{q_1}(O_1)</math>. Далее переходим к следующему моменту времени <math>t + 1 (t=2)</math> и выполняем переход в состояние <math>q_2</math> с вероятностью <math>a_{q_1q_2}</math>; после чего генерируем символ <math>O_2</math> с вероятностью <math>b_{q_2}(O_2)</math>. Этот процесс повторяется, пока мы не достигнем времени <math>t=T</math>. В конце мы переведем систему из состояния <math>q_{T-1}</math> в <math>q_T</math> с вероятностью <math>a_{q_{T-1}q_T}</math> и сгенерируем символ <math>O_T</math> с вероятностью <math>b_{q_T}(O_T)</math>. Следует отметить, что прямое вычисление <math>P(O|\lambda)</math> по формуле (17) требует произвести порядка <math>2T \cdot N^T</math> вычислений, поскольку для каждого времени <math>t = 1, 2, \ldots, T</math> существует <math>N</math> возможных состояний системы, то есть <math>N^T</math> возможных вариантов последовательности состояний; и для каждого варианта около <math>2T</math> вычислений — для каждого слагаемого суммы в формуле (17). Для абсолютной точности скажем, что нам необходимо произвести <math>(2T-1)N^T</math> умножений и <math>N^T-1</math> сложений. Подобные вычисления невыполнимы даже для малых значений <math>N</math> и <math>T</math>; то есть для <math>N=5</math> (состояний), <math>T=100</math> (наблюдений) количество вычислений будет порядка <math>2 \cdot 100 \cdot 5^{100} \approx 10^{72}</math>! Совершенно ясно, что для решения 1-ой задачи СММ требуется гораздо более эффективный алгоритм. К счастью существуют даже два таких алгоритма и называются они алгоритм прямого хода и алгоритм обратного хода. ''Алгоритмы прямого и обратного хода.''<ref>Строго говоря, только прямая часть процедуры прямого-обратного хода нужна для решения задачи 1. Однако обратная часть процедуры вводится в этом разделе, поскольку она используется для решения задачи 3.</ref> Введем прямую переменную <math>\alpha_t(i)</math> и определим ее как <math>\alpha_t(i) = P(O_1 O_2 \ldots O_t, q_t = S_i|\lambda) \qquad (18)</math> то есть вероятность того что для заданной модели <math>\lambda</math> к моменту времени <math>t</math> наблюдалась последовательность <math>O_1 O_2 \ldots O_T</math>, и в момент <math>t</math> система находится в состоянии <math>S_i</math>. Значение <math>\alpha_t(i)</math> мы можем найти методом индукции по следующему алгоритму: '''1) Инициализация:''' <math>\alpha_1(i) = \pi_i b_i(O_1), \qquad 1 \le i \le N. \qquad (19)</math> '''2) Индукция:''' <math>\alpha_{t+1}(j) = \left[ \sum_{i=1}^N \alpha_t(i)a_{ij}\right]b_j(O_{t+1}), \qquad 1 \le t \le T-1. \qquad 1 \le j \le N \qquad (20)</math> '''3) Завершение:''' <math>P(O|\lambda) = \sum_{i=1}^N \alpha_T(i). \qquad (21)</math> На шаге 1) подсчитываются вероятности совмещения состояния <math>S_j</math> и первого наблюдения <math>O_1</math>. Индукция является центральной частью вычисления; её схема показана на рис. 4 а). [[Файл:HMM_Computation_forward_variable.svg|thumb|400px|frame|Рис. 4. а) Иллюстрация последовательности действий требующейся для вычисления прямой переменной <math>\alpha_{t+1}(j)</math>. б) реализация вычисления <math>\alpha_t(i)</math> в виде сетки наблюдений <math>t</math> и состояний <math>i</math>]] На этой схеме видно, каким путем система в момент времени <math>t+1</math> приходит в состояние <math>S_j</math> из <math>N</math> возможных состояний, <math>S_i</math>, <math>1 \le i \le N</math>, предыдущего момента времени <math>t</math>. Поскольку <math>\alpha_t(i)</math> — совмещенная вероятность проявления наблюдений <math>O_1 O_2 \ldots O_t</math> и нахождения системы в состоянии <math>S_i</math> в момент времени <math>t</math>, то произведение <math>\alpha_t(i)a_{ij}</math> является совмещённой вероятностью наблюдения последовательности <math>O_1,O_2 \ldots O_t</math> и перехода системы в состояние <math>S_j</math> в момент времени <math>t+1</math> через состояние <math>S_i</math> в момент времени <math>t</math>. Суммирование этих произведений по всем <math>N</math> возможным состояниям <math>S_i</math>, <math>1 \le i \le N</math> в момент времени <math>t</math> даёт в результате вероятность нахождения в состоянии <math>S_j</math> в момент времени <math>t+1</math> со всеми сопутствующими частичными наблюдениями. Когда это выполнено и <math>S_j</math> известно, несложно увидеть, что <math>\alpha_{t+1}(j)</math> получается с учётом наблюдения <math>O_{t+1}</math> в состоянии <math>j</math>, т.е. умножением суммарного значения на вероятность <math>b_j(O_{t+1})</math>. Вычисление выражения (20) выполняется для всех состояний <math>j</math>, <math>1 \le j \le N </math> для данного <math>t</math>; дальше происходит итерация вычислений для <math>t = 1,2, \ldots , T-1</math>. Наконец, шаг 3) даёт искомое значение <math>P(O|\lambda)</math> как сумму терминальных прямых переменных <math>\alpha_T(i)</math>. Это так поскольку, по определению, <math>\alpha_t(i) = P(O1,O2, \ldots O_T, q_T = S_i| \lambda ) \qquad (22)</math> и следовательно <math>P(O|\lambda)</math> это просто сумма <math>\alpha_T(i)</math>. Если оценить вычисления, выполняемые при нахождении значений <math>\alpha_t(j), 1 \le t \le T, 1 \le j \le N </math>, можно увидеть, что они требуют порядка <math>N^2 T</math> операций вместо <math>2TN^T</math>, требуемых при прямом вычислении. (Вновь, чтобы быть точнее, необходимо <math>N(N+1)(T-1)+N</math> умножений и <math>N(N-1)(T-1)</math> сложений.) Для <math>N=5, T=100</math>, необходимо около 3000 операций методом прямого хода против <math>10^{72}</math> операций для прямого вычисления, экономия около 69 порядков. По сути, вычисление прямой вероятности базируется на структуре сетки, показанной на рисунке 4 б). Смысл в том, что поскольку есть только <math>N</math> состояний (узлов в каждом временном столбце сетки), все возможные последовательности состояний будут переобъединяться в эти <math>N</math> узлов, вне зависимости от длины последовательности наблюдений. В момент времени <math>t = 1</math> (первый временной столбец в сетке), необходимо вычислить значения <math>\alpha_1(i), 1 \le i \le N</math>. В моменты времени <math>2,3, \ldots , T</math> необходимо вычислять только <math>\alpha_t(j), 1 \le j \le N</math>, где каждое вычисление включает только <math>N</math> предыдущих значений <math>\alpha_{t-1}(i)</math> поскольку каждая из <math>N</math> точек сетки достижима из из тех же <math>N</math> точек предыдущего временного столбца. Подобным образом, <ref>Вновь напоминаем, что обратная процедура будет использоваться в решении задачи 3, и не нужна для решения задачи 1.</ref> можно ввести обратную переменную <math>\beta_t(i)</math>, определённую как<br> <math>\beta_t(i) = P(O_{t+1}, O_{t+2} \ldots O_T | q_t = S_i, \lambda) \qquad (23)</math><br> т.е. вероятность частичной последовательности наблюдений от <math>t+1</math> до конца, для заданного состояния <math>S_i</math> и модели <math>\lambda</math>. И вновь, решение для <math>\beta_t(i)</math> может быть получено индуктивно: # Инициализация:<br><math>\beta_T(1) = 1,\qquad 1 \le i \le N. \qquad (24)</math><br> # Индукция:<br><math>\beta_t(i) = \sum_{j=1}^N a_{ij} b_j (O_{t+1}) \beta_{t+1} (j), \qquad t = T - 1, T-2, \ldots , 1, \qquad 1 \le i \le N. \qquad (25)</math> == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs4758/2012sp/materials/hmm_paper_rabiner.pdf A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition] 51d2ebvk0219da2ane08mkosnmr3gxt 267773 267648 2026-05-21T10:48:20Z AllaBuraya 79455 267773 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный }} Скрытые марковские модели (СММ), спецификация которых была опубликована еще в конце 60-х годов, в последнее время стали очень популярны. Во-первых, математическая структура СММ очень богата и позволяет решать математические проблемы различных областей науки. Во-вторых, грамотно спроектированная модель дает на практике хорошие результаты работы. В этом руководстве мы рассмотрим скрытые марковские модели и их применение в отдельных аспектах распознавания речи. == Введение == Происходящие явления можно описывать как сигналы. Сигналы могут быть дискретными, как письменная речь, или непрерывными, как фонограмма или кардиограмма. Сигналы с постоянными статистическими свойствами называются стабильными (стационарными), а с меняющимися — нестабильными (нестационарными). Сигнал может быть чистым, а может и искаженным, с помехами или посторонними сигналами. Для описания сигналов часто нужны математические модели. В модели сигнала на основе его характеристик может быть предусмотрен определенный механизм обработки, который позволяет получить желаемый выход при анализе сигнала. Например, если надо очистить сигнал, искаженный и зашумлённый при передаче, мы можем смоделировать его и рассмотреть эту модель отвлечённо от искажений и шумов в сигнале. Модели позволяют также генерировать и исследовать сигнал без его источника. В этом случае, имея под рукой хорошую модель, мы можем имитировать сигнал и изучить его по этой имитации. Модели очень успешно применяются на практике, позволяя создавать эффективные рабочие системы: системы прогноза, распознавания, идентификации. Грубо все модели можно разделить на детерминистические и статистические. Детерминистические используются, если известны фундаментальные характеристики сигнала: что сигнал — это синусоидальная волна или, например, сумма экспонент. В таком случае достаточно просто описать подобную модель сигнала — для этого нужно всего лишь подобрать (вычислить) параметры этой модели: для синусоидальной волны — это амплитуда, частота, фаза. Второй класс — это вероятностные модели, для разработки которых возможно используются статистические характеристики сигнала. Эти модели описывают гауссовские, пуассоновские, марковские процессы, а также подобные им процессы. В общем, вероятностные модели описывают сигнал как определённый случайный процесс, параметры которого могут быть качественно определены. В области распознавания речи используются оба типа моделей, но в этом руководстве мы обсудим только одну, вероятностную модель, а именно — скрытую марковскую модель (СММ). Сначала рассмотрим цепи Маркова, ибо их понимание необходимо для успешного изучения СММ, затем перейдём к скрытым марковским моделям и к трём главным вопросам проектирования СММ, покажем, что эти три главных вопроса решаемы, а спроектированную СММ мы сможем применить в области распознавания речи. Теория скрытых марковских моделей не нова. Её основы опубликовал Баум и его коллеги в конце 60-х — начале 70-х годов. Тогда же, в начале 70-х, Бейкер и Джелинек с коллегами из IBM применили СММ в распознавании речи.<br /> Тем не менее, широкое распространение СММ получили совсем недавно: * основы теории скрытых марковских моделей были опубликованы в журналах для математиков, не очень популярных среди инженеров, занимающихся распознаванием речи; * опубликованная теория не содержала соответствующих обучающих материалов, которые бы объяснили возможности и способы применения СММ в различных прикладных областях. В результате несколько вышедших подробных обучающих материалов о скрытых марковских моделях инициировали исследования по их применению в области распознавания речи. В этом руководстве рассматриваются основы теории скрытых марковских моделей, общие вопросы практического применения СММ. Использование СММ обсуждается на примере распознавания речи. Это руководство, собранное по материалам различных источников, надеюсь, станет основой для различных исследований. Структура учебника следующая. В главе 2 мы обсудим теорию дискретных цепей Маркова и покажем пример эффективного применения концепции скрытых состояний, когда наблюдение является результатом текущего состояния и соответствующих вероятностей. Теория будет проиллюстрирована двумя простыми примерами: «подбрасыванием монеты» и классическим примером «шаров в урне». == Дискретные марковские процессы == Рассмотрим систему, которую в любой момент времени можно описать одним из <math>N</math> состояний, <math>S_1, S_2, \ldots S_N</math>, (рис. 1), где для простоты <math>N=5</math>. [[Файл:HMM_markov_chain.svg|thumb|400px|frame|Рис. 1. Цепь Маркова с 5 состояниями (обозначены <math>S_1 \ldots S_5</math>) с переходами между состояниями (обозначены <math>a_{ij}</math> где <math>i</math> - исходное состояние, <math>j</math> - конечное состояние))]] Через определенный промежуток времени система может изменить свое состояние или остаться в прежнем состоянии согласно вероятностям, указанным для данных состояний. Моменты времени, когда мы регистрируем состояние системы, обозначим как <math>t = 1, 2,\ldots</math>, а состояние в момент времени t обозначим <math>q_t</math>. Полное описание рассмотренной выше системы должно содержать текущее состояние (в момент времени t) и последовательность всех предыдущих состояний, через которые прошла система. В отдельных случаях описание системы сводится к указанию текущего и предыдущего состояния, то есть <math>P [ q_t = S_j | q_{t-1} = S_i , q_{t-2} = S_k , \ldots ] = P [ q_t = S_j | q_{t-1} = S_i ]\qquad(1)</math> Кроме того, мы также полагаем что процессы, протекающие в системе, не зависят от времени, о чем нам говорит правая часть формулы (1). Таким образом, систему можно описать множеством вероятностей <math>a_{ij}</math> в виде <math>a_{i j} = P [ q_t = S_j | q_{t-1} = S_i], \qquad 1 \le i, j \le N \qquad (2)</math> где <math>a_{i j}</math> — это вероятность перехода из состояния <math>S_i</math> в состояние <math>S_j</math> в данный момент времени. Поскольку эти вероятности характеризуют случайный процесс, они имеют обычные свойства, то есть <math>a_{i j} \ge 0 \qquad (3-1)</math> <math>\sum_{j=1}^N a_{i j} = 1 \qquad (3-2)</math> Описанный выше случайный процесс можно назвать открытой марковской моделью, поскольку выходной сигнал модели — это последовательность состояний, регистрируемых во времени. Каждое состояние соответствует определённому (наблюдаемому) событию. Для того, чтобы лучше понять все вышесказанное, рассмотрим простую марковскую модель погоды, у которой будет всего три состояния. Предполагается, что мы один раз в день (например, в полдень) смотрим в окно и регистрируем в журнале текущее состояние погоды. Мы условились, что лишь одно из трех ниженазванных состояний в день <math>t</math> мы записываем в журнал: * Состояние № 1: дождь (или снег) * Состояние № 2: пасмурно * Состояние № 3: ясно Матрица вероятностей изменения погоды <math>A</math> имеет вид <math>A = \left\{ a_{i j} \right\} = \begin{vmatrix} 0.4 & 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.1 & 0.8 \end{vmatrix}</math> ''Исходя'' из того, что погода в первый день (<math>t=1</math>) ясная (состояние 3), мы можем задать себе вопрос: какова вероятность (согласно нашей модели), что следующие 7 дней будет именно «ясно — ясно — дождь — дождь — ясно — пасмурно — ясно»? Точнее сказать, для данной последовательности состояний <math>O</math>, где <math>O = \left\{ S_3, S_3, S_3, S_1, S_1, S_3, S_2, S_3 \right\}</math> соответствует <math>t = 1, 2, \ldots ,8</math> , мы хотим на основе данной модели определить вероятность наблюдения последовательности <math>O</math>. Эта вероятность может быть выражена (и вычислена) следующим образом <math>P (O |Model) = P[S_3, S_3, S_3, S_1, S_1, S_3, S_2, S_3 | Model] = </math> <math>P[S_3] \cdot P[S_3|S_3] \cdot P[S_3|S_3] \cdot P[S_1|S_3] \cdot P[S_1|S_1] \cdot P[S_3|S_1] \cdot P[S_2|S_3] \cdot P[S_3|S_2] =</math> <math>\pi_3 \cdot a_{3 3} \cdot a_{3 3} \cdot a_{3 1} \cdot a_{1 1} \cdot a_{1 3} \cdot a_{3 2} \cdot a_{2 3} =</math> <math>1 \cdot (0.8)(0.8)(0.1)(0.4)(0.3)(0.1)(0.2) = 1,536 \times 10^{- 4},</math> где <math>\pi_i = P[ q_1 = S_i], \quad 1 \le i \le N \qquad (4),</math> это вероятность того, что начальное состояние системы будет <math>S_i</math>. Есть и другой интересный вопрос, ответ на который нам даст эта модель: какова вероятность того, что модель сохранит свое состояние в течение ровно <math>d</math> дней? Эта вероятность может быть вычислена как вероятность наблюдения следующей последовательности <math>O = \left\{ \begin{matrix} S_i, & S_i, & S_i, & \ldots , & S_i, & S_j & \ne S_i \\ 1 & 2 & 3 & & d & d+1 & \end{matrix} \right\}</math> дает модель, в которой <math>P(O|Model, q_1 = S_i) = (a_{ii})^{d-1}(1-a_{ii}) = p_i(d). \qquad (5)</math> Величина <math>p_i(d)</math> — это вероятность того, что система будет находиться в состоянии <math>i</math> ровно <math>d</math> раз подряд. Соответственно есть функция распределения вероятности для продолжительности пребывания системы в одном состоянии, которая является характеристикой сохранения состояния для марковской цепи. Зная величины <math>p_i(d)</math> мы можем вычислить среднее время, в течение которого система сохранит свое состояние (используем формулу математического ожидания): <math>\bar d_i = \sum_{d=1}^\infty d \cdot p_i(d) \qquad (6-1)</math> <math> = \sum_{d=1}^\infty d (a_{ii})^{d-1}(1-a_{ii}) = {1 \over 1-a_{ii}} \qquad (6-2) </math> Ожидается, что солнечная погода скорее всего простоит <math>{ 1 \over 0.2} = 5</math> дней, пасмурная — 2,5 дня, а вот дождливая погода, согласно нашей модели, вероятнее всего продержится 1,67 дня. === Переход к скрытым марковским моделям === В вышеописанной марковской модели каждому физическому явлению соответствовало определенное состояние модели. Эта модель, к сожалению, слишком ограничена и ей не под силу решение многих актуальных проблем. В этом разделе мы рассмотрим марковские модели, в которых наблюдаемая последовательность — это результат переходов в соответствии с обозначенными вероятностями. В данном случае модель (скрытая марковская модель) — это результат двух случайных процессов. Первый — скрытый процесс — его никак нельзя зарегистрировать, но его можно охарактеризовать с помощью другого случайного процесса, который предоставляет нам набор сигналов — наблюдаемую последовательность. Проиллюстрируем это описание на примере подбрасывания монеты. ''Пример подбрасываемой монеты.'' Действуем по следующему сценарию. Вы находитесь в комнате, а за перегородкой — в другой комнате — находится человек, который подбрасывает монету. Он не говорит, как именно он подбрасывает монету, а может он её вообще ленится подбрасывать. Он лишь говорит вам результат каждого падения монеты: орел или решка. В этом и заключается суть скрытого процесса (вы не знаете что происходит с монетой), когда о процессе вы можете судить лишь по наблюдаемой последовательности <math>O = O_1 O_2 O_3 \ldots O_T = \mathcal{H\;H\;T\;T\;T\;H\;T\;T\;H\; \ldots H\;} </math>, где <math>\mathcal{H}</math> — это орел, а <math>\mathcal{T}</math> — это решка. Как же построить скрытую марковскую модель, соответствующую этой ситуации? Первый вопрос: сколько состояний будет у модели и что означает каждое состояние такой модели? Предположим, что мы подбрасываем одну единственную монету и других у нас нет. Тогда выбор мы остановим на модели с двумя состояниями, где одно состояние означает выпадение орла, другое — решки. [[Файл:Three_possible_Markov_models.gif|frame|Рис. 2. Три примерных марковских модели, которые могут описать эксперимент со скрыто подбрасываемой монетой. (а) 1 монета участвует в подбрасвании, (2) 2 — монеты, (3) — три монеты.]] Эта модель изображена на рисунке 2(а). В этом случае марковская модель является ''открытой'' и единственное, что мы можем сделать с этой моделью — это оптимизировать вероятность смены состояния. Следует заметить, что скрытая марковская модель, являющаяся аналогом модели, изображенной на рис. 2(а), будет представлять собой модель одного состояния. В этой модели единственное состояние означает, что подбрасывается всего лишь одна монета. На следующем рисунке 2(б) изображена СММ двух состояний. В этом случае каждое состояние соответствует различным монетам, которые подбрасываются в ходе эксперимента (напр. 1 копейка и 5 рублей). Каждому состоянию соответствует ''распределение вероятностей'' между выпадением орла и решки, а также ''матрицей вероятностей переходов'' ('''матрицей переходов'''), указывающей вероятность перехода из одного состояния в другое. Переход из состояния в состояние согласно заданным вероятностям из ''матрицы переходов'' может осуществляется на основе того же подбрасывания монеты или на основе любого другого случайного события. На третьем рисунке 2(в) представлена модель, учитывающая тот факт, что подбрасываются три различных монеты, причем выбор между ними осуществляется опять же на основе какого-либо случайного события. Здесь, как и каждый раз при проектировании мы задаемся вопросом: какая из трех моделей наилучшим образом подходит для описания наблюдаемой последовательности? Хорошо видно, что первая модель (рис. 2(а)) имеет всего лишь 1 неизвестный параметр. Модель для двух монет (рис. 2(б)) имеет 4 неизвестных параметра. И наконец, модель для трех монет (рис. 3(в)) имеет 9 неизвестных параметров. Таким образом, СММ с большим количеством степеней свободы по существу более работоспособна, чем ее меньшие аналоги. Также теоретически доказано (и это мы увидим далее), что в современных условиях существуют ограничения на размер моделей. Более того, может оказаться, что в случае, когда человек за стеной подбрасывает одну единственную монету, мы выберем модель трех состояний. В таком случае выясняется, что состояния системы не соответствуют реальным состояниям за стеной; и, следовательно, мы используем избыточную модель. ''Пример шариков в вазах.'' Сейчас мы дополним СММ новыми структурными элементами, для того чтобы она могла решать ряд более сложных задач. Поможет нам в этом пример с шариками в вазах (рис. 3). [[Файл:Urn_and_ball_model.gif|frame|Рис. 3. Модель с N состояниями (вазами) и шариками, цвета которых обозначают элементы наблюдаемой последовательности.]] Допустим, у нас есть <math>N</math> стеклянных прозрачных ваз. В каждой вазе — большое число шариков разного цвета. Полагаем, что у нас в корзине лежат шарики <math>M</math> различных цветов. Физически это можно представить следующим образом. Человек находится в комнате с вазами. Каким-либо случайным образом он выбирает любую вазу, засовывает руку поглубже, и вытаскивает шар. Цвет шара записывается в журнал показаний — наблюдаемую последовательность, и человек кладет шар обратно в эту вазу. Потом наш человек выбирает новую корзину, идет к ней, и вытаскивает оттуда новый шар, и так далее. В результате мы получаем последовательность цветов — результат работы СММ — наблюдаемую последовательность. Очевидно, что пример шариков в вазах соответствует скрытой марковской модели, где каждое состояние модели — это выбранная ваза, причем у различных ваз различная вероятность вытащить шарик красного (или другого) цвета, что соответствует различному распределению вероятностей для каждого состояния. То, какая ваза будет выбрана следующей, зависит от матрицы переходов СММ, то есть зависит и от того, у какой вазы мы сейчас находимся. === Элементы скрытой марковской модели === Приведенные выше примеры дают неплохое представление о СММ, и о возможных сферах их применения. Сейчас мы дадим формальное определение элементам СММ и объясним, как модель генерирует наблюдаемую последовательность. СММ определяется следующими элементами: 1. <math>N</math> — общее количество ''состояний'' в модели. Несмотря на то что состояния в СММ являются скрытыми, во многих случаях есть соответствие между состоянием модели и реальным состоянием процесса. В примере с подбрасыванием монеты каждое состояние соответствовало выбранной монете, а в примере с шариками в вазах состояние модели соответствовало выбранной вазе. В общем, переход в любое выбранное состояние возможен из любого состояния всей системы (в том числе и само в себя); с другой стороны, и это мы увидим впоследствии, лишь определенные пути переходов представляют интерес в каждой конкретной модели. Мы обозначим совокупность состояний модели множеством <math>S = \left\{ S_1, S_2, \ldots S_N \right\}</math>, а текущее состояние в момент времени <math>t</math> как <math>q_t</math>. 2. <math>M</math>, количество возможных ''символов'' в наблюдаемой последовательности, размер ''алфавита наблюдаемой последовательности''. В случае с подбрасыванием монеты — это 2 символа: орел и решка; в случае с шариками — это количество цветов этих самых шариков. ''Алфавит наблюдаемой последовательности'' мы обозначим как <math>V = \left\{ v_1, v_2, \ldots , v_M \right\}</math>. 3. Матрица вероятностей переходов (или матрица переходов) <math>A = \left\{ a_{ij} \right\}</math>, где <math>a_{ij} = P \left[ q_{t+1} = S_j | q_t =S_i \right], \qquad 1 \le i, j \le N, \qquad (7)</math> то есть это вероятность того, что система, находящаяся в состоянии <math>S_i</math>, перейдет в состояние <math>S_j</math>. Если для любых двух состояний в модели возможен переход из одного состояние в другое, то <math>a_{ij} > 0</math> для любых <math>i, j</math>. В остальных СММ для некоторых <math>i,j</math> у нас вероятность перехода <math>a_{ij} = 0</math>. 4. Распределение вероятностей появления символов в j-том состоянии, <math>B = \left\{ b_j(k) \right\} </math>, где <math>b_j(k) = P \left[ v_k | q_t = S_j \right] \qquad 1 \ge j \ge N, \qquad 1 \ge k \ge M. \qquad (8)</math> <math>b_j(k)</math> — вероятность того, что в момент времени t, система, находящаяся в j-ом состоянии (состояние <math>S_j</math>), выдаст k-тый символ (символ <math>v_k</math>) в наблюдаемую последовательность. 5. Распределение вероятностей начального состояния <math>\pi = \left\{ \pi_i \right\}</math>, где <math>\pi_i = P[q_1 = S_i], \qquad 1 \le i \le N, \qquad (9)</math> то есть вероятность того, <math>S_i</math> — это начальное состояние модели. Совокупность значений <math>N, M, A, B</math> и <math>\pi</math> — это скрытая марковская модель, которая может сгенерировать ''наблюдаемую последовательность'' <math>O = O_1 O_2 \ldots O_T \qquad (10)</math> (где <math>O_t</math> — один из символов алфавита <math>V</math>, а <math>T</math> — это количество элементов в наблюдаемой последовательности. СММ строит наблюдаемую последовательность по следующему алгоритму # Выбираем начальное состояние <math>q_1 = S_i</math> в соответствии с распределением <math>\pi</math> # Устанавливаем <math>t = 1</math>. # Выбираем <math>O_t = v_k</math> в соответствии с распределением <math>b_j(k)</math> в состоянии (<math>S_i</math>). # Переводим модель в новое состояние <math>q_{t+1} = S_j</math> в соответствии с ''матрицей переходов'' <math>a_{ij}</math> с учетом текущего состояния <math>S_i</math>. # Устанавливаем время <math>t = t + 1</math>; возвращаемся к шагу 3, если <math>t < T</math>; иначе — заканчиваем выполнение. Подводя итог, заметим, что ''полное'' описание СММ состоит из двух параметров модели (<math>N</math> и <math>M</math>), описания символов наблюдаемой последовательности и трех массивов вероятностей — <math>A, B</math>, и <math>\pi</math>. Для удобства мы используем следующую запись <math>\lambda = (A, B, \pi) \qquad (11)</math> для обозначения ''достаточного'' описания параметров модели. === Три основных задачи СММ === Согласно описанию скрытой марковской модели, изложенному в предыдущем разделе, существует три основных задачи, которые должны быть решены для того, чтобы модель могла успешно решать поставленные перед ней задачи. '''Задача 1''' Дано: наблюдаемая последовательность <math>O = O_1, O_2, \ldots O_T</math> и модель <math>\lambda = (A, B, \pi)</math>. Необходимо вычислить вероятность <math>P(O|\lambda)</math> — вероятность того, что данная наблюдаемая последовательность построена именно для данной модели. '''Задача 2''' Дано: наблюдаемая последовательность <math>O = O_1, O_2, \ldots O_T</math> и модель <math>\lambda = (A, B, \pi)</math>. Необходимо подобрать последовательность состояний системы <math>Q = q_1, q_2, \ldots q_T</math>, которая лучше всего соответствует наблюдаемой последовательности, то есть «объясняет» наблюдаемую последовательность. '''Задача 3''' Подобрать параметры модели <math>\lambda = (A, B, \pi)</math> таким образом, чтобы максимизировать <math>P(O|\lambda)</math>. Задача 1 — это задача оценки модели, которая заключается в вычислении вероятности того, что модель соответствует заданной наблюдаемой последовательности. К сути этой задачи можно подойти и с другой стороны: насколько выбранная СММ соответствует заданной наблюдаемой последовательности. Такой подход имеет большую практическую ценность. Например, если у нас стоит вопрос выбора наилучшей модели из набора уже существующих, то решение первой задачи дает нам ответ на этот вопрос. Задача 2 — это задача, в которой мы пытаемся понять, что же происходит в скрытой части модели, то есть найти «правильную» последовательность, которую проходит модель. Совершенно ясно, что абсолютно точно нельзя определить эту последовательность. Здесь можно говорить лишь о предположениях с соответственной степенью достоверности. Тем не менее для приближенного решения этой проблемы мы обычно будем пользоваться некоторыми оптимальными показателями, критериями. Далее мы увидим, что, к сожалению, не существует единого критерия оценки для определения последовательности состояний. При решении второй задачи необходимо каждый раз принимать решение о том, какие показатели использовать. Данные, полученные при решении этой задачи используются для изучения поведения построенной модели, нахождения оптимальной последовательности её состояний, для статистики и т. п. Решение задачи 3 состоит в оптимизации модели таким образом, чтобы она как можно лучше описывала ''реальную'' наблюдаемую последовательность. Наблюдаемая последовательность, по которой оптимизируется СММ, принято называть обучающей последовательностью, поскольку с помощью нее мы «обучаем» модель. Задача обучения СММ — это важнейшая задача для большинства проектируемых СММ, поскольку она заключается в оптимизации параметров СММ на основе обучающей наблюдаемой последовательности, то есть создается модель, наилучшим образом описывающая реальные процессы. Для лучшего понимания рассмотрим все вышесказанное на примере системы, предназначенной для распознавания речи. Для каждого слова из словаря <math>W</math> мы спроектируем СММ с <math>N</math> состояниями. Каждое слово в частности мы представим как последовательность спектральных векторов. Обучение мы будем считать завершенным, когда модель с высокой точностью будет воспроизводить ту самую последовательность спектральных векторов, которая использовалась для обучения модели. Таким образом каждая отдельная СММ будет обучаться воспроизводить какое-либо одно слово, но обучать эту модель следует на нескольких вариантах произнесения этого слова; то есть например три человека (каждый по-своему) проговаривают слово «собака», а затем каждое сказанное слово конвертируется в упорядоченный по времени набор спектральных векторов, и модель обучается на основе этих трех наборов. Для каждого отдельного слова проектируются соответствующие модели. Сперва решается 3-я задача СММ: каждая модель настраивается на «произнесение» определенного слова из словаря <math>W</math>, согласно заданной точности. Для того чтобы интепретировать каждое состояние спроектированных моделей мы решаем 2-ую задачу, а затем выделяем те свойства спектральных векторов, которые имеют наибольший вес для определенного состояния. Это момент тонкой настройки модели. А уже после того, как набор моделей будет спроектирован, оптимизирован и обучен, следует оценить модель на предмет ее способности распознавать слова в реальной жизни. Здесь мы уже решаем 1-ую задачу СММ. Нам дается тестовое слово, представленное, разумеется, в виде наблюдаемой последовательности спектральных векторов. Далее мы вычисляем функцию соответствия этого тестового слова для каждой модели. Модель, для которой эта функция будет иметь наибольшее значение, будет считаться моделью названного слова. В следующем разделе мы дадим четкое формальное решение трем задачам СММ. == Решение трех задач СММ == === Решение 1-ой задачи === Нам необходимо вычислить вероятность того, что последовательность наблюдений <math>O = O_1, O_2, \ldots O_t</math> принадлежит модели <math>\lambda</math>, то есть вычислить <math>P(O|\lambda)</math> В первую очередь в голову приходит решение подсчитать вероятность появления последовательности наблюдений для каждой возможной последовательности состояний модели. Рассмотрим такой способ на примере одной последовательности состояний <math>Q = q_1, q_2, \ldots q_T \qquad (12)</math> где <math>q_1</math> — это начальное состояние модели. Вероятность появления последовательности наблюдений <math>O</math> для последовательности состояний (12) равна <math>P(O|Q,\lambda) = \prod_{t=1}^T P(O_t|q_t,\lambda) \qquad (13-1)</math> где мы подразумеваем статистическую независимость наблюдений. Отсюда получаем <math>P(O|Q,\lambda) = b_{q_1}(O_1) \cdot b_{q_2}(O_2) \ldots b_{q_T}(O_T) \qquad (13-2)</math> Вероятность, что в модели состояния пройдут последовательность <math>Q</math> равна <math>P(Q|\lambda) = \pi_{q_1} a_{q_1q_2} a_{q_2q_3} \ldots a_{q_{T-1}q_T} \qquad (14)</math> Вероятность совмещения <math>O</math> и <math>Q</math>, то есть вероятность одновременного их проявления, выражается произведением <math>P(O, Q|\lambda) = P(O|Q,\lambda) P(Q,\lambda) \qquad (15)</math> Вероятность появления <math>O</math> — это сумма вероятностей совмещения (15) по всем возможным комбинациям состояний состояний <math>q</math> системы: <math>P(O|\lambda) = \sum_{all Q} P(O|Q,\lambda)P(Q|\lambda) \qquad (16)</math> <math>= \sum_{q_1,q_2,\ldots,q_T} \pi_{q_1} b_{q_1}(O_1) a_{q_1q_2} b_{q_2}(O_2) \ldots a_{q_{T-1}q_T} b_{q_T}(O_T) \qquad (17)</math> Объяснить это можно так. Сперва (в момент времени <math>t=1</math>) мы выбираем начальное состояние <math>q_1</math> в соответствии с вероятностью <math>\pi_{q_1}</math>, и генерируем символ <math>O_1</math> (в этом состоянии) с вероятностью <math>b_{q_1}(O_1)</math>. Далее переходим к следующему моменту времени <math>t + 1 (t=2)</math> и выполняем переход в состояние <math>q_2</math> с вероятностью <math>a_{q_1q_2}</math>; после чего генерируем символ <math>O_2</math> с вероятностью <math>b_{q_2}(O_2)</math>. Этот процесс повторяется, пока мы не достигнем времени <math>t=T</math>. В конце мы переведем систему из состояния <math>q_{T-1}</math> в <math>q_T</math> с вероятностью <math>a_{q_{T-1}q_T}</math> и сгенерируем символ <math>O_T</math> с вероятностью <math>b_{q_T}(O_T)</math>. Следует отметить, что прямое вычисление <math>P(O|\lambda)</math> по формуле (17) требует произвести порядка <math>2T \cdot N^T</math> вычислений, поскольку для каждого времени <math>t = 1, 2, \ldots, T</math> существует <math>N</math> возможных состояний системы, то есть <math>N^T</math> возможных вариантов последовательности состояний; и для каждого варианта около <math>2T</math> вычислений — для каждого слагаемого суммы в формуле (17). Для абсолютной точности скажем, что нам необходимо произвести <math>(2T-1)N^T</math> умножений и <math>N^T-1</math> сложений. Подобные вычисления невыполнимы даже для малых значений <math>N</math> и <math>T</math>; то есть для <math>N=5</math> (состояний), <math>T=100</math> (наблюдений) количество вычислений будет порядка <math>2 \cdot 100 \cdot 5^{100} \approx 10^{72}</math>! Совершенно ясно, что для решения 1-ой задачи СММ требуется гораздо более эффективный алгоритм. К счастью существуют даже два таких алгоритма и называются они алгоритм прямого хода и алгоритм обратного хода. ''Алгоритмы прямого и обратного хода.''<ref>Строго говоря, только прямая часть процедуры прямого-обратного хода нужна для решения задачи 1. Однако обратная часть процедуры вводится в этом разделе, поскольку она используется для решения задачи 3.</ref> Введем прямую переменную <math>\alpha_t(i)</math> и определим ее как <math>\alpha_t(i) = P(O_1 O_2 \ldots O_t, q_t = S_i|\lambda) \qquad (18)</math> то есть вероятность того что для заданной модели <math>\lambda</math> к моменту времени <math>t</math> наблюдалась последовательность <math>O_1 O_2 \ldots O_T</math>, и в момент <math>t</math> система находится в состоянии <math>S_i</math>. Значение <math>\alpha_t(i)</math> мы можем найти методом индукции по следующему алгоритму: '''1) Инициализация:''' <math>\alpha_1(i) = \pi_i b_i(O_1), \qquad 1 \le i \le N. \qquad (19)</math> '''2) Индукция:''' <math>\alpha_{t+1}(j) = \left[ \sum_{i=1}^N \alpha_t(i)a_{ij}\right]b_j(O_{t+1}), \qquad 1 \le t \le T-1. \qquad 1 \le j \le N \qquad (20)</math> '''3) Завершение:''' <math>P(O|\lambda) = \sum_{i=1}^N \alpha_T(i). \qquad (21)</math> На шаге 1) подсчитываются вероятности совмещения состояния <math>S_j</math> и первого наблюдения <math>O_1</math>. Индукция является центральной частью вычисления; её схема показана на рис. 4 а). [[Файл:HMM_Computation_forward_variable.svg|thumb|400px|frame|Рис. 4. а) Иллюстрация последовательности действий требующейся для вычисления прямой переменной <math>\alpha_{t+1}(j)</math>. б) реализация вычисления <math>\alpha_t(i)</math> в виде сетки наблюдений <math>t</math> и состояний <math>i</math>]] На этой схеме видно, каким путем система в момент времени <math>t+1</math> приходит в состояние <math>S_j</math> из <math>N</math> возможных состояний, <math>S_i</math>, <math>1 \le i \le N</math>, предыдущего момента времени <math>t</math>. Поскольку <math>\alpha_t(i)</math> — совмещенная вероятность проявления наблюдений <math>O_1 O_2 \ldots O_t</math> и нахождения системы в состоянии <math>S_i</math> в момент времени <math>t</math>, то произведение <math>\alpha_t(i)a_{ij}</math> является совмещённой вероятностью наблюдения последовательности <math>O_1,O_2 \ldots O_t</math> и перехода системы в состояние <math>S_j</math> в момент времени <math>t+1</math> через состояние <math>S_i</math> в момент времени <math>t</math>. Суммирование этих произведений по всем <math>N</math> возможным состояниям <math>S_i</math>, <math>1 \le i \le N</math> в момент времени <math>t</math> даёт в результате вероятность нахождения в состоянии <math>S_j</math> в момент времени <math>t+1</math> со всеми сопутствующими частичными наблюдениями. Когда это выполнено и <math>S_j</math> известно, несложно увидеть, что <math>\alpha_{t+1}(j)</math> получается с учётом наблюдения <math>O_{t+1}</math> в состоянии <math>j</math>, т.е. умножением суммарного значения на вероятность <math>b_j(O_{t+1})</math>. Вычисление выражения (20) выполняется для всех состояний <math>j</math>, <math>1 \le j \le N </math> для данного <math>t</math>; дальше происходит итерация вычислений для <math>t = 1,2, \ldots , T-1</math>. Наконец, шаг 3) даёт искомое значение <math>P(O|\lambda)</math> как сумму терминальных прямых переменных <math>\alpha_T(i)</math>. Это так поскольку, по определению, <math>\alpha_t(i) = P(O1,O2, \ldots O_T, q_T = S_i| \lambda ) \qquad (22)</math> и следовательно <math>P(O|\lambda)</math> это просто сумма <math>\alpha_T(i)</math>. Если оценить вычисления, выполняемые при нахождении значений <math>\alpha_t(j), 1 \le t \le T, 1 \le j \le N </math>, можно увидеть, что они требуют порядка <math>N^2 T</math> операций вместо <math>2TN^T</math>, требуемых при прямом вычислении. (Вновь, чтобы быть точнее, необходимо <math>N(N+1)(T-1)+N</math> умножений и <math>N(N-1)(T-1)</math> сложений.) Для <math>N=5, T=100</math>, необходимо около 3000 операций методом прямого хода против <math>10^{72}</math> операций для прямого вычисления, экономия около 69 порядков. По сути, вычисление прямой вероятности базируется на структуре сетки, показанной на рисунке 4 б). Смысл в том, что поскольку есть только <math>N</math> состояний (узлов в каждом временном столбце сетки), все возможные последовательности состояний будут переобъединяться в эти <math>N</math> узлов, вне зависимости от длины последовательности наблюдений. В момент времени <math>t = 1</math> (первый временной столбец в сетке), необходимо вычислить значения <math>\alpha_1(i), 1 \le i \le N</math>. В моменты времени <math>2,3, \ldots , T</math> необходимо вычислять только <math>\alpha_t(j), 1 \le j \le N</math>, где каждое вычисление включает только <math>N</math> предыдущих значений <math>\alpha_{t-1}(i)</math> поскольку каждая из <math>N</math> точек сетки достижима из из тех же <math>N</math> точек предыдущего временного столбца. Подобным образом, <ref>Вновь напоминаем, что обратная процедура будет использоваться в решении задачи 3, и не нужна для решения задачи 1.</ref> можно ввести обратную переменную <math>\beta_t(i)</math>, определённую как<br> <math>\beta_t(i) = P(O_{t+1}, O_{t+2} \ldots O_T | q_t = S_i, \lambda) \qquad (23)</math><br> т.е. вероятность частичной последовательности наблюдений от <math>t+1</math> до конца, для заданного состояния <math>S_i</math> и модели <math>\lambda</math>. И вновь, решение для <math>\beta_t(i)</math> может быть получено индуктивно: # Инициализация:<br><math>\beta_T(1) = 1,\qquad 1 \le i \le N. \qquad (24)</math><br> # Индукция:<br><math>\beta_t(i) = \sum_{j=1}^N a_{ij} b_j (O_{t+1}) \beta_{t+1} (j), \qquad t = T - 1, T-2, \ldots , 1, \qquad 1 \le i \le N. \qquad (25)</math> == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs4758/2012sp/materials/hmm_paper_rabiner.pdf A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition] d6gvv5dpjsqosc8dch8paej737xlxei 14 3663 267534 86755 2026-05-20T12:41:03Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Информатика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267534 wikitext text/x-wiki '''Комбинаторная логика''' — это математическая наука о применимости (комбинировании) одних объектов с другими. Данная категория содержит статьи, методические материалы и учебники, посвящённые этой замечательной науке. [[Категория:Математика]] 13h8z6y54yf53lyv2lcqymdwx5euxea 267535 267534 2026-05-20T12:41:07Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267535 wikitext text/x-wiki '''Комбинаторная логика''' — это математическая наука о применимости (комбинировании) одних объектов с другими. Данная категория содержит статьи, методические материалы и учебники, посвящённые этой замечательной науке. dllsd3ovfqarhewgervxzbykpkr1lhq 267536 267535 2026-05-20T12:41:20Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267536 wikitext text/x-wiki '''Комбинаторная логика''' — это математическая наука о применимости (комбинировании) одних объектов с другими. Данная категория содержит статьи, методические материалы и учебники, посвящённые этой замечательной науке. [[Категория:Математика]] 13h8z6y54yf53lyv2lcqymdwx5euxea 267537 267536 2026-05-20T12:41:58Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математическая логика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267537 wikitext text/x-wiki '''Комбинаторная логика''' — это математическая наука о применимости (комбинировании) одних объектов с другими. Данная категория содержит статьи, методические материалы и учебники, посвящённые этой замечательной науке. [[Категория:Математика]] [[Категория:Математическая логика]] 7pzhk97pg2p8dkahj9u9qeurmfhx9q2 267697 267537 2026-05-21T09:04:33Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267697 wikitext text/x-wiki '''Комбинаторная логика''' — это математическая наука о применимости (комбинировании) одних объектов с другими. Данная категория содержит статьи, методические материалы и учебники, посвящённые этой замечательной науке. [[Категория:Математическая логика]] ol5vaty07nmddh59wp7u4f2rsdi33fv 0 3824 267539 161760 2026-05-20T12:42:43Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267539 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} ==Векторы== ===Упорядоченные наборы чисел=== вектор а (1,2,0 ) вектор b (0,-1,1 ) вектор c (2,3,2 ) ===Сумма векторов и умножение вектора на скаляр=== ==Системы линейных уравнений== ===Метод Гаусса=== ====Задачи==== <OL> <LI>Дана система уравнений:<br><br><math>\begin{cases} \begin{array}{rcrcrcc} ax &+& y &+& z &=& 4 \\ x &+& by &+& z &=& 3 \\ x &+& 2by &+& z &=& 4 \end{array} \end{cases} </math><br><br>Для каких значений <math>\ a, b</math> существует: <ol type="a"> <li> единственное решение?</li> <li> бесконечное множество решений? В случае, если у системы имеется бесконечное множество решений, запишите его в общем виде.</li> </ol> </LI> <LI> Дана система уравнений:<br><br><math>\begin{cases} \begin{array}{rcrcc} ax &+& by &=& 0 \\ cx &+& dy &=& 0 \end{array} \end{cases} (*) </math><br><br> <OL type="a"> <LI>Докажите, что необходимым и достаточным условием того, что у системы имеется только тривиальное решение, является <math>\ ad-bc \neq 0</math>.</li> <li>Предположем, что <math>\ A \neq 0</math> и <math>\ ad - bc = 0</math>. <OL type="i"> <li>Докажите, что у системы есть бесконечное множество решений.</li> <li>Предположим, <math>\ (x_0,~y_0)</math> какое-то нетривиальное решение системы <math>\ (*)</math>. Докажите, что <math>S= \left\{ (\lambda x_0,~\lambda y_0) ~|~ \lambda \in \mathbb{R} \right\}</math> является множеством решений системы.</li> </OL> </LI> </OL> <LI> Предположим <math>u,v,w</math> линейно-независимые векторы в <math>\mathbb{R}^n</math>. В каждом из нижеперечисленных случаев покажите являются ли векторы линейно-независимыми: <OL type="i"> <LI><math> \ u-v-w, ~u+v-2w, ~u+w </math></LI> <LI><math> \ u+3v-w,~u+v-3w,~v+w </math>.</LI> </OL> </LI> </OL> ==Пространство <math>\mathbb{R}^n</math>== ====Задачи==== # Покажите, что линейная оболочка векторов <math>u_1=\left(1,~1,~1\right),u_2=\left(1,~2,~3\right),u_3=\left(1,~5,~8\right)</math> совпадает с пространством <math>\mathbb{R}^3</math>. #* Мы должны показать, что произвольный вектор <math>v=\left(a,~b,~c\right)</math> в <math>\mathbb{R}^3</math> — линейная комбинация векторов <math>\ ~u_1,~u_2,~u_3</math>, то есть <br><br> <math>\ v=xu_1 + yu_2 + zu_3</math> <br><br> или, другими словами,<br><br><math>\left(a~,b,~c\right)=x\left(1,~1,~1\right)+y\left(1,~2,~3\right)+z\left(1,~5,~8\right)=\left(x+y+z, ~x+2y+5z, ~x+3y+8z\right)</math><br><br>Составим эквивалентную систему и приведем её к треугольному виду:<br><br><math>\begin{cases} x+y+z=a\\ x+2y+5z=b \\ x+3y+8z=c \end{cases}~\longrightarrow ~ \begin{cases} x+y+z=a\\ y+4z=b-a \\ 2y+7z=c-a \end{cases}~\longrightarrow ~\begin{cases} x+y+z=a\\ y+4z=b-a \\ z=-c+2b-a= \end{cases}</math><br><br>Очевидно, что данная система совместна и имеет единственное решение: <math>\ x=-a+5b-3c,~y=3a-7b+4c, ~z=-a+2b-c</math>.<br><br>Следовательно, произвольный вектор из <math>\mathbb{R}^3</math> является линейной комбинацией векторов <math>\ ~u_1,~u_2,~u_3 ~</math>, т.е. линейная оболочка этих векторов совпадает со всем пространством. <!-- <rem>Что это вообще такое?..</rem> # <math>\ U~ = ~Sp \left(u_1,~u_2,~u_3 \right) = ~Sp{\left(1,3,-2,2,3 \right)}</math>4.53 --> ==Матрицы и детерминанты== ==Поле комплексных чисел== ↑====Задачи==== # Найти тригонометрическое представление комплексного числа <math> \ i-1 </math>. #* <p>Для начала запишем <math>\ i-1</math> в стандартном виде (<math>\ z = a + bi </math>).</p> <p>Используем формулу <math>\ r (\cos{\Theta} + i\sin{\Theta}) </math> для тригонометрического представление комплексного числа.</p>Используем формулу <math>\ r = \sqrt {a^2 + b^2}</math> и найдём <math>\ r</math>. <math>\ r = \sqrt {(-1)^2 + 1^2} = \sqrt {2}</math>. <math>\cos{\Theta} \ r = \ a</math>. <br><math>\cos{\Theta} * \sqrt{2} = -1</math> <br> <math>\cos{\Theta} = -\dfrac {1} {\sqrt{2}} = -\dfrac {\sqrt{2}} {2}</math> # Доказать <math> \begin{vmatrix} \dfrac{a+ib}{b+ia} \end{vmatrix} =1 </math>. # Доказать <math> \begin{vmatrix} \dfrac{a+ib}{a-ib} \end{vmatrix} =1 </math>. #* <math> \begin{vmatrix} \dfrac{a+ib}{a-ib} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac{(a+ib)(a+ib)}{(a+ib)(a-ib)} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac{a^2 + 2abi - b^2}{a^2 + b^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} + \dfrac{2ab}{a^2 + b^2}i \end{vmatrix} = </math><br><br><math> = \sqrt{ \dfrac{(a^2 - b^2)^2}{(a^2 + b^2)^2} + \dfrac{4a^2b^2}{(a^2 + b^2)^2}i } = \sqrt{ \dfrac{a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 +4 a^2b^2 }{(a^2 + b^2)^2} } = \sqrt{ \dfrac{ a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 }{ a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 } } = </math><br><br><math> = \sqrt{1} = 1 </math>. ==Линейные (векторные) пространства== ====Задачи==== # '''Докажите или опровергните: <math>\mathbb{R}_4\left[x\right]=Sp \big\{ x^2-x^3, x-x^3 \big\} \oplus Sp \big\{ x^2+1, x+2 \big\}</math>.''' #* Во-первых, ==Базис и размерность== {{Врезка|Заголовок=Теорема:|Содержание=Пусть К подмножество <br><br> *'''Доказательство''':<p>Первый способ</p>}} ===Линейная зависимость=== {{Врезка|Заголовок=Определение|Содержание=}} ===Базис линейного пространства=== {{Врезка|Заголовок=Определение|Содержание=}} ====Задачи==== # Найдите базис для пространства решений гомогенной системы уравнений:<br><br><math> \begin{cases} \begin{array} {rcrcrcrcc} x_1 &+& x_2 &+& x_3 &-& x_4 &=& 0 \\ x_1 &+& 2x_2 &+& x_3 &-& 2x_4 &=& 0 \\ 3x_1 &+& 4x_2 &+& 3x_3 &-& 4x_4 &=& 0 \\ 2x_1 &+& 3x_2 &+& 2x_3 &-& 3x_4 &=& 0 \end{array} \end{cases}</math> ===Размерность конечномерного линейного пространства=== {{Врезка|Заголовок=Определение|Содержание=}} ===Координаты=== {{Врезка|Заголовок=Определение|Содержание=}} ====Задачи==== # Пусть '''U''' и '''W''' следующие подпространства <math>\mathbb{R}_4[x]</math>:<br><br><math> \ U=Sp\{ x^3 + 4x^2 - x + 3, x^3 + 5x^2 + 5, 3x^3 + 10x^2 +5 \} </math><br><br><math> \ W = Sp \{ x^3 + 4x^2 + 6, x^3 + 2x^2 -x + 5, 2x^3 + 2x^2 - 3x + 9 \} </math><br><br><ol type="a"><li>Найдите базис и размерность для <math>\ U, W, U+W </math><br>.</li><li>Найдите <math>\dim{(U \cap W)}</math>. Найдите базис <math>U \cap W</math>.<br></li></ol> # Докажите, что множество <math>\mathrm{B}=\begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{Bmatrix}</math> является базисом для <math>M_{(2 \times 2)}^\mathbb{R}</math>.<br> #* Во-первых, докажем, что данное множество матриц <math>\mathrm{B}</math> линейно-независимо. Для этого исследуем линейную комбинацию матриц-членов '''В''' равную нуль-матрице:<br><br> <math>\lambda_1\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \lambda_2\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \lambda_3\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \lambda_4\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} </math> (*)<br><br>или<br><br><math>\begin{bmatrix} \lambda_1 + \lambda_2 & 2\lambda_1 + \lambda_3 \\ 2\lambda_2 + \lambda_3 & \lambda_2 + \lambda_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} </math>.<br><br>Полученное равенство равнозначно системе уравнений:<br><br><math>\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ 2\lambda_1 + \lambda_3 = 0 \\ 2\lambda_2 + \lambda_3 = 0 \\ \lambda_2 + \lambda_4 = 0 \end{cases}</math><br><br>У данной системы есть единственное и притом тривиальное решение, то есть множество '''В''', состоящее из четырёх членов, линейно-независимо в пространстве, размерность которого равна 4 (<math>\dim(M_{(2 \times 2)}^\mathbb{R}) = 4</math>). То есть, '''В''' является базисом <math>M_{(2 \times 2)}^\mathbb{R}</math>. # Найдите координаты матриц <math>\mathrm{M}_1=\begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}</math> и <math>\mathrm{M}_2=\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}</math> относительно упорядоченного базиса <math>\mathrm{B}=\begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{Bmatrix}</math>.<br> #* '''''a)''''' Найдем коэффициенты <math>\ ~\lambda_1, ~\lambda_2, ~\lambda_3, ~\lambda_4</math>, для которых<br><br><math>\mathrm{M}_2=\begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \lambda_1\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \lambda_2\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \lambda_3\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \lambda_4\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 + \lambda_2 & 2\lambda_1 + \lambda_3 \\ 2\lambda_2 + \lambda_3 & \lambda_2 + \lambda_4 \end{bmatrix}</math><br><br>Это равенство выполняется при условии, что:<br><br><math> \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcc} \lambda_1 &+& \lambda_2 &=& 1 \\ 2\lambda_1 &+& \lambda_3 &=& 7 \\ 2\lambda_2 &+& \lambda_3 &=& 1 \\ \lambda_2 &+& \lambda_4 &=& -1 \end{array} \end{cases} </math><br><br>Единственным решением данной системы будет <math>\left( 2, -1, 3, 0 \right)</math>. Следовательно, <math>\left[\mathrm{M}_1\right]_\mathrm{B} = \begin{bmatrix} 2 \\-1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}</math><br><br>'''''b)''''' Подобным способом представим матрицу <math>\mathrm{M}_2</math> как линейную комбинацию матриц-членов базиса '''В''':<br><br><math> \mathrm{M}_2= \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \lambda_1\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \lambda_2\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \lambda_3\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \lambda_4\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 + \lambda_2 & 2\lambda_1 + \lambda_3 \\ 2\lambda_2 + \lambda_3 & \lambda_2 + \lambda_4 \end{bmatrix}</math><br><br>Запишем систему:<br><br><math>\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 = 3 \\ 2\lambda_1 + \lambda_3 = 3 \\ 2\lambda_2 + \lambda_3 = 1 \\ \lambda_2 + \lambda_4 = -1 \end{cases}</math><br><br>Единственным решением данной системы будет <math>\left( 2, 1, -1, -2 \right)</math>. Следовательно, <math>\left[\mathrm{M}_2\right]_\mathrm{B} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}</math> .<br> ===Ранг матрицы=== {{Врезка|Заголовок=Определение|Содержание=}} ==Линейные трансформации== ====Задачи==== # Определим отображение <math>T:R^n \to R_n[x]</math> из пространства <math>\ R^n</math> в <math>\ R_n [x] ~ </math> :<p>для любого вектора <math>\ ~ \underline{a}=(\alpha _1, \cdots , \alpha _n) \in R^n ~</math>,</p> <p><math>\ T(\underline{a})=\alpha _1 + \alpha _2 x + \cdots + \alpha _n x^{n-1} ~</math>.</p><p>Докажите, что отображение <math>T:R^n \to R_n[x] ~</math> </p> ## <math>\underline{a},\underline{b} \in R^n</math> #* cj0qtnw4mo2hiyk1pabzy6kr7lfs69o 0 3926 267627 267421 2026-05-21T08:20:22Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267627 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} {{wikipedia|Линейная алгебра}} '''Линейная алгебра''' — это раздел математики, изучающий [[w:Вектор|векторы]], [[w:Линейное пространство|векторные пространства]], [[w:Линейное отображение|линейные преобразования]] и системы линейных уравнений. Линейная алгебра первоначально и возникла как наука о решении систем линейных алгебраических уравнений. Впоследствии её предмет расширился, и сейчас она представляет собой теорию линейных преобразований (операторов) в конечномерных векторных пространствах (точный смысл сказанного станет ясен в дальнейшем). == Содержание == * [[Инволюция]] [[Категория:Линейная алгебра]] 8srkxhkyk7citzs40ydda3tzltrop08 267734 267627 2026-05-21T10:07:42Z AllaBuraya 79455 267734 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} {{wikipedia|Линейная алгебра}} '''Линейная алгебра''' — это раздел математики, изучающий [[w:Вектор|векторы]], [[w:Линейное пространство|векторные пространства]], [[w:Линейное отображение|линейные преобразования]] и системы линейных уравнений. Линейная алгебра первоначально и возникла как наука о решении систем линейных алгебраических уравнений. Впоследствии её предмет расширился, и сейчас она представляет собой теорию линейных преобразований (операторов) в конечномерных векторных пространствах (точный смысл сказанного станет ясен в дальнейшем). == Содержание == * [[Инволюция]] [[Категория:Линейная алгебра]] 1ro2pahf5gsfyyzki11zriodcmylh2d 0 4505 267543 233688 2026-05-20T12:58:06Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267543 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} В этой главе будет рассмотрен формальный аппарат, используемый в линейной алгебре, — алгебра матриц. При таком «предварительном» введении понятий матричной алгебры определения могут выглядеть недостаточно мотивированными. Однако их смысл проясняется в дальнейшем изложении курса. == Действия над матрицами == === Определение матрицы === ''Определение'' Матрицей называют прямоугольную таблицу чисел (вещественных или комплексных). Эти числа<ref>Иногда рассматривают матрицы, составленные не из чисел, а из элементов другой природы.</ref> называют элементами матрицы. Матрицу будем записывать следующим способом: {{metka|1}}<center><math>A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}.</math></center> Элементы <math>a_{ij}</math> нумеруются двумя индексами; первый из них есть номер строки и меняется вдоль столбца, второй — номер столбца, который меняется вдоль строки. Для матрицы (1) употребляется также краткое обозначение, которое явно указывает на её размеры: {{metka|2}}<center><math>A=\{ a_{ij}\}_{i=1,\cdots ,m}^{j=1,\cdots ,n}.</math></center> Матрица, составленная из m строк и n столбцов, называется (m х n)-матрицей. Такая матрица возникнет, например, при последовательном выписывании коэффициентов при неизвестных в системе из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Множество всех (m х n)-матриц будем обозначать через <math>M^{m,n}</math>. В некоторых случаях будем обозначать элемент <math>a_{ij}</math> матрицы А, как <math>[A]_{i,j}</math> === Линейные действия над матрицами === Введем линейные действия над матрицами — сложение матриц и умножение матрицы на число. ''Сложение матриц'' определяется только для матриц совпадающих размеров: если <math>A\in M^{m,n},\ B\in M^{m,n}</math>, то <math>A+B \in M^{m,n}</math>, где {{metka|3}}<center><math>[A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}, \ \ \ \ i=1,\cdots ,m; j=1,\cdots ,n.</math></center> Таким образом, сложение матриц состоит в поэлементном сложении. ''Умножение матрицы'' на число состоит в умножении на это число каждого элемента матрицы. Для произведения матрицы А на число <math>\alpha</math> используется как обозначение <math>\alpha </math>A, так и обозначение A<math>\alpha</math>. Таким образом, {{metka|4}}<center><math>[\alpha A]_{ij}=[A\alpha]_{ij}=\alpha [A]_{ij}, \ \ \ \ i=1,\cdots ,m; j=1,\cdots ,n.</math></center> Ясно, что <math>[\alpha A]_{ij}\in M^{m,n}</math>, если <math>A\in M^{m,n}</math>. При этом предполагается, что в случае вещественных матриц их можно умножать на вещественные множители. В классе комплексных матриц подразумевается умножение на комплексные числа. Перечислим ''свойства линейных операций'' в классе матриц <math>M^{m,n}</math> === Действия транспонирования и сопряжения === http://www.pm298.ru/matr3.php == Примечания == {{примечания}} et60n4lrkqvdfvosnuobfjnb29hvjxi 0 5185 267503 254871 2026-05-20T12:21:57Z AllaBuraya 79455 267503 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности, * <math>\mathbb{R}</math> означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); * <math>\mathbb{N}</math> означает множество натуральных чисел <math>\{1;2;3;4;\dots\}</math>; * <math>\mathbb{Z}</math> означает множество всех целых чисел <math>\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}</math>; * <math>\varnothing</math> означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента; * <math>[a;b]</math>, <math>[a;b)</math>, <math>(a;b]</math> и <math>(a;b)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math>, соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается; * <math>(-\infty;b]</math>, <math>(-\infty;b)</math>, <math>(a;+\infty)</math> и <math>[a;+\infty)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math> — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки); * <math>(-\infty;+\infty)</math> — числовая прямая, то же, что и <math>\mathbb{R}</math>; * <math>A\cap B</math> — пересечение (общая часть) множеств <math>A</math> и <math>B</math>; * <math>A\cup B</math> — объединение множеств <math>A</math> и <math>B</math> (все точки из <math>A</math> и все точки из <math>B</math>); * <math>A\diagdown B</math> — множество тех элементов из <math>A</math>, которые не принадлежат <math>B</math>; * <math>A\subset B</math> — включение <math>A</math> в <math>B</math> (<math>A</math> — это часть <math>B</math>); * <math>x\in A</math> — принадлежность элемента <math>x</math> множеству <math>A</math> (<math>x</math> принадлежит <math>A</math>); * <math>x\notin A</math> — элемент <math>x</math> не принадлежит множеству <math>A</math>; * <math>\{a;b;\dots;z\}</math> — множество, состоящее из элементов <math>a,b,\dots,z</math>; в частности, <math>\{a\}</math> — множество из одного элемента <math>a</math>; * <math>\{x\in A: P(x)\}</math> — множество всех тех элементов <math>x</math> из <math>A</math>, для которых выполняется свойство <math>P(x)</math>. ;[[/Вещественные числа|Вещественные числа]] * Область рациональных чисел * Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел * Арифметические действия над вещественными числами * Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ;[[/Функции и их графики|Функции и их графики]] * Основные обозначения и определения * Первый способ задания функции: табличный * Второй способ задания функции: с помощью формулы * Обзор некоторых элементарных функций * Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления * Композиция функций * Обратная функция * Упражнения ;[[/Пределы|Пределы]] * Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи * Общее определение предела * Замена переменного и преобразование базы при такой замене * Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства * Общие свойства пределов * Первый и второй замечательные пределы * Бесконечно большие величины и бесконечные пределы * Использование непрерывности функций при вычислении пределов * Сравнение бесконечно малых * Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$ * Упражнения на вычисление пределов ; Непрерывность функций и точки разрыва * Определение непрерывности функции * Определение точек разрыва * Свойства функций, непрерывных в точке * Непрерывность функции на интервале и на отрезке * Равномерная непрерывность * Непрерывность обратной функции * Гиперболические функции и ареа-функции * Примеры и упражнения ; Производные и дифференциалы * Мгновенная скорость при прямолинейном движении * Касательная к кривой на плоскости * Производная * Свойства производных * Производные некоторых элементарных функций * Дифференциал * Производная композиции * Инвариантность дифференциала * Производная обратной функции * Производные некоторых элементарных функций (продолжение) * Сводка основных результатов о производных * Производные высших порядков * Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность * Производные функции, заданной параметрически * Производная функции, заданной неявно * Приближённое вычисление производных * Примеры и упражнения ; Свойства дифференцируемых функций * Четыре теоремы о дифференцируемых функциях * Правило Лопиталя * Сравнение бесконечно больших величин ; Формула Тейлора * Многочлен Тейлора * Остаток в формуле Тейлора и его оценка * Формула Тейлора для некоторых элементарных функций * Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования * Упражнения ; Исследование функций и построение графиков * Асимптоты графика функции * Возрастание и убывание функции * Экстремум функции и необходимое условие экстремума * Достаточные условия локального экстремума * Выпуклость функции * Общая схема исследования функции и построения её графика * Примеры исследования функций и построения графиков * Упражнения и задачи ; Кривизна плоской кривой * Кривизна графика функции * Вершины кривых * Радиус кривизны * Упражнения ; Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума * Отделение корней * Метод простого перебора * Метод половинного деления * Метод простых итераций * Метод секущих * Метод одной касательной * Метод Ньютона (метод касательных) * Метод хорд (метод линейной интерполяции) * Приближённое нахождение точки экстремума * Метод простого перебора * Метод почти половинного деления * Метод золотого сечения и метод Фибоначчи * Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной * Упражнения ; Векторная алгебра * Определение вектора * Операции над векторами * Разложение вектора по базису * Линейная зависимость векторов * Система координат и координаты вектора * Проекции вектора * Скалярное произведение * Векторное произведение * Выражение векторного произведения через координаты сомножителей * Смешанное произведение * Нахождение координат вектора в произвольном базисе ; Прямые линии и плоскости * Уравнение поверхности * Уравнение плоскости * Изображение плоскости ** Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля ** Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю ** Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю ** Два коэффициента при переменных равны нулю * Угол между плоскостями * Расстояние от точки до плоскости * Прямая на плоскости * Прямая в пространстве * Основные задачи на прямую и плоскость ; Кривые второго порядка * Окружность * Эллипс * Гипербола * Парабола * Параллельный перенос системы координат ; Поверхности второго порядка * Сфера * Эллипсоид * Гиперболоиды * Конус * Параболоиды * Цилиндры * Параллельный перенос системы координат ; Матрицы * Определение, обозначения и типы матриц * Сложение матриц и умножение на число * Символ суммирования * Умножение матриц * Транспонирование матрицы * Определители * Обратная матрица * Ранг матрицы ; Системы линейных уравнений * Правило Крамера * Существование решения системы линейных уравнений общего вида * Однородная система уравнений * Структура решений неоднородной системы линейных уравнений * Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) ; Алгебраические структуры * Группы * Кольца * Поля ; Комплексные числа * Построение поля комплексных чисел * Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами * Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа * Тригонометрическая форма комплексного числа * Показательная форма комплексного числа * Извлечение корня из комплексного числа * Корни многочленов ; Многомерные пространства * Линейные пространства ** Определение и примеры ** Базис и размерность пространства ** Координаты векторов ** Изменение координат вектора при изменении базиса * Евклидово пространство * Аффинное $ n$ -мерное пространство ; Линейные преобразования * Определение и примеры * Матрица линейного преобразования * Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса * Собственные числа и собственные векторы * Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц * Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов * Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду [[Категория:Высшая математика. Первый семестр|*]] [[Категория:Учебники без шаблона]] moc8uje80bl5xkd0zcv5mg0oguavs5c 267504 267503 2026-05-20T12:22:11Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267504 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности, * <math>\mathbb{R}</math> означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); * <math>\mathbb{N}</math> означает множество натуральных чисел <math>\{1;2;3;4;\dots\}</math>; * <math>\mathbb{Z}</math> означает множество всех целых чисел <math>\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}</math>; * <math>\varnothing</math> означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента; * <math>[a;b]</math>, <math>[a;b)</math>, <math>(a;b]</math> и <math>(a;b)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math>, соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается; * <math>(-\infty;b]</math>, <math>(-\infty;b)</math>, <math>(a;+\infty)</math> и <math>[a;+\infty)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math> — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки); * <math>(-\infty;+\infty)</math> — числовая прямая, то же, что и <math>\mathbb{R}</math>; * <math>A\cap B</math> — пересечение (общая часть) множеств <math>A</math> и <math>B</math>; * <math>A\cup B</math> — объединение множеств <math>A</math> и <math>B</math> (все точки из <math>A</math> и все точки из <math>B</math>); * <math>A\diagdown B</math> — множество тех элементов из <math>A</math>, которые не принадлежат <math>B</math>; * <math>A\subset B</math> — включение <math>A</math> в <math>B</math> (<math>A</math> — это часть <math>B</math>); * <math>x\in A</math> — принадлежность элемента <math>x</math> множеству <math>A</math> (<math>x</math> принадлежит <math>A</math>); * <math>x\notin A</math> — элемент <math>x</math> не принадлежит множеству <math>A</math>; * <math>\{a;b;\dots;z\}</math> — множество, состоящее из элементов <math>a,b,\dots,z</math>; в частности, <math>\{a\}</math> — множество из одного элемента <math>a</math>; * <math>\{x\in A: P(x)\}</math> — множество всех тех элементов <math>x</math> из <math>A</math>, для которых выполняется свойство <math>P(x)</math>. ;[[/Вещественные числа|Вещественные числа]] * Область рациональных чисел * Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел * Арифметические действия над вещественными числами * Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ;[[/Функции и их графики|Функции и их графики]] * Основные обозначения и определения * Первый способ задания функции: табличный * Второй способ задания функции: с помощью формулы * Обзор некоторых элементарных функций * Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления * Композиция функций * Обратная функция * Упражнения ;[[/Пределы|Пределы]] * Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи * Общее определение предела * Замена переменного и преобразование базы при такой замене * Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства * Общие свойства пределов * Первый и второй замечательные пределы * Бесконечно большие величины и бесконечные пределы * Использование непрерывности функций при вычислении пределов * Сравнение бесконечно малых * Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$ * Упражнения на вычисление пределов ; Непрерывность функций и точки разрыва * Определение непрерывности функции * Определение точек разрыва * Свойства функций, непрерывных в точке * Непрерывность функции на интервале и на отрезке * Равномерная непрерывность * Непрерывность обратной функции * Гиперболические функции и ареа-функции * Примеры и упражнения ; Производные и дифференциалы * Мгновенная скорость при прямолинейном движении * Касательная к кривой на плоскости * Производная * Свойства производных * Производные некоторых элементарных функций * Дифференциал * Производная композиции * Инвариантность дифференциала * Производная обратной функции * Производные некоторых элементарных функций (продолжение) * Сводка основных результатов о производных * Производные высших порядков * Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность * Производные функции, заданной параметрически * Производная функции, заданной неявно * Приближённое вычисление производных * Примеры и упражнения ; Свойства дифференцируемых функций * Четыре теоремы о дифференцируемых функциях * Правило Лопиталя * Сравнение бесконечно больших величин ; Формула Тейлора * Многочлен Тейлора * Остаток в формуле Тейлора и его оценка * Формула Тейлора для некоторых элементарных функций * Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования * Упражнения ; Исследование функций и построение графиков * Асимптоты графика функции * Возрастание и убывание функции * Экстремум функции и необходимое условие экстремума * Достаточные условия локального экстремума * Выпуклость функции * Общая схема исследования функции и построения её графика * Примеры исследования функций и построения графиков * Упражнения и задачи ; Кривизна плоской кривой * Кривизна графика функции * Вершины кривых * Радиус кривизны * Упражнения ; Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума * Отделение корней * Метод простого перебора * Метод половинного деления * Метод простых итераций * Метод секущих * Метод одной касательной * Метод Ньютона (метод касательных) * Метод хорд (метод линейной интерполяции) * Приближённое нахождение точки экстремума * Метод простого перебора * Метод почти половинного деления * Метод золотого сечения и метод Фибоначчи * Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной * Упражнения ; Векторная алгебра * Определение вектора * Операции над векторами * Разложение вектора по базису * Линейная зависимость векторов * Система координат и координаты вектора * Проекции вектора * Скалярное произведение * Векторное произведение * Выражение векторного произведения через координаты сомножителей * Смешанное произведение * Нахождение координат вектора в произвольном базисе ; Прямые линии и плоскости * Уравнение поверхности * Уравнение плоскости * Изображение плоскости ** Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля ** Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю ** Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю ** Два коэффициента при переменных равны нулю * Угол между плоскостями * Расстояние от точки до плоскости * Прямая на плоскости * Прямая в пространстве * Основные задачи на прямую и плоскость ; Кривые второго порядка * Окружность * Эллипс * Гипербола * Парабола * Параллельный перенос системы координат ; Поверхности второго порядка * Сфера * Эллипсоид * Гиперболоиды * Конус * Параболоиды * Цилиндры * Параллельный перенос системы координат ; Матрицы * Определение, обозначения и типы матриц * Сложение матриц и умножение на число * Символ суммирования * Умножение матриц * Транспонирование матрицы * Определители * Обратная матрица * Ранг матрицы ; Системы линейных уравнений * Правило Крамера * Существование решения системы линейных уравнений общего вида * Однородная система уравнений * Структура решений неоднородной системы линейных уравнений * Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) ; Алгебраические структуры * Группы * Кольца * Поля ; Комплексные числа * Построение поля комплексных чисел * Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами * Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа * Тригонометрическая форма комплексного числа * Показательная форма комплексного числа * Извлечение корня из комплексного числа * Корни многочленов ; Многомерные пространства * Линейные пространства ** Определение и примеры ** Базис и размерность пространства ** Координаты векторов ** Изменение координат вектора при изменении базиса * Евклидово пространство * Аффинное $ n$ -мерное пространство ; Линейные преобразования * Определение и примеры * Матрица линейного преобразования * Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса * Собственные числа и собственные векторы * Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц * Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов * Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду [[Категория:Высшая математика. Первый семестр|*]] [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Математика]] ozbghbfjbzsdkx5tc580c9oh0avb8cl 267510 267504 2026-05-20T12:29:57Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Высшая математика. Первый семестр]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267510 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности, * <math>\mathbb{R}</math> означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); * <math>\mathbb{N}</math> означает множество натуральных чисел <math>\{1;2;3;4;\dots\}</math>; * <math>\mathbb{Z}</math> означает множество всех целых чисел <math>\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}</math>; * <math>\varnothing</math> означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента; * <math>[a;b]</math>, <math>[a;b)</math>, <math>(a;b]</math> и <math>(a;b)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math>, соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается; * <math>(-\infty;b]</math>, <math>(-\infty;b)</math>, <math>(a;+\infty)</math> и <math>[a;+\infty)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math> — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки); * <math>(-\infty;+\infty)</math> — числовая прямая, то же, что и <math>\mathbb{R}</math>; * <math>A\cap B</math> — пересечение (общая часть) множеств <math>A</math> и <math>B</math>; * <math>A\cup B</math> — объединение множеств <math>A</math> и <math>B</math> (все точки из <math>A</math> и все точки из <math>B</math>); * <math>A\diagdown B</math> — множество тех элементов из <math>A</math>, которые не принадлежат <math>B</math>; * <math>A\subset B</math> — включение <math>A</math> в <math>B</math> (<math>A</math> — это часть <math>B</math>); * <math>x\in A</math> — принадлежность элемента <math>x</math> множеству <math>A</math> (<math>x</math> принадлежит <math>A</math>); * <math>x\notin A</math> — элемент <math>x</math> не принадлежит множеству <math>A</math>; * <math>\{a;b;\dots;z\}</math> — множество, состоящее из элементов <math>a,b,\dots,z</math>; в частности, <math>\{a\}</math> — множество из одного элемента <math>a</math>; * <math>\{x\in A: P(x)\}</math> — множество всех тех элементов <math>x</math> из <math>A</math>, для которых выполняется свойство <math>P(x)</math>. ;[[/Вещественные числа|Вещественные числа]] * Область рациональных чисел * Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел * Арифметические действия над вещественными числами * Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ;[[/Функции и их графики|Функции и их графики]] * Основные обозначения и определения * Первый способ задания функции: табличный * Второй способ задания функции: с помощью формулы * Обзор некоторых элементарных функций * Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления * Композиция функций * Обратная функция * Упражнения ;[[/Пределы|Пределы]] * Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи * Общее определение предела * Замена переменного и преобразование базы при такой замене * Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства * Общие свойства пределов * Первый и второй замечательные пределы * Бесконечно большие величины и бесконечные пределы * Использование непрерывности функций при вычислении пределов * Сравнение бесконечно малых * Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$ * Упражнения на вычисление пределов ; Непрерывность функций и точки разрыва * Определение непрерывности функции * Определение точек разрыва * Свойства функций, непрерывных в точке * Непрерывность функции на интервале и на отрезке * Равномерная непрерывность * Непрерывность обратной функции * Гиперболические функции и ареа-функции * Примеры и упражнения ; Производные и дифференциалы * Мгновенная скорость при прямолинейном движении * Касательная к кривой на плоскости * Производная * Свойства производных * Производные некоторых элементарных функций * Дифференциал * Производная композиции * Инвариантность дифференциала * Производная обратной функции * Производные некоторых элементарных функций (продолжение) * Сводка основных результатов о производных * Производные высших порядков * Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность * Производные функции, заданной параметрически * Производная функции, заданной неявно * Приближённое вычисление производных * Примеры и упражнения ; Свойства дифференцируемых функций * Четыре теоремы о дифференцируемых функциях * Правило Лопиталя * Сравнение бесконечно больших величин ; Формула Тейлора * Многочлен Тейлора * Остаток в формуле Тейлора и его оценка * Формула Тейлора для некоторых элементарных функций * Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования * Упражнения ; Исследование функций и построение графиков * Асимптоты графика функции * Возрастание и убывание функции * Экстремум функции и необходимое условие экстремума * Достаточные условия локального экстремума * Выпуклость функции * Общая схема исследования функции и построения её графика * Примеры исследования функций и построения графиков * Упражнения и задачи ; Кривизна плоской кривой * Кривизна графика функции * Вершины кривых * Радиус кривизны * Упражнения ; Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума * Отделение корней * Метод простого перебора * Метод половинного деления * Метод простых итераций * Метод секущих * Метод одной касательной * Метод Ньютона (метод касательных) * Метод хорд (метод линейной интерполяции) * Приближённое нахождение точки экстремума * Метод простого перебора * Метод почти половинного деления * Метод золотого сечения и метод Фибоначчи * Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной * Упражнения ; Векторная алгебра * Определение вектора * Операции над векторами * Разложение вектора по базису * Линейная зависимость векторов * Система координат и координаты вектора * Проекции вектора * Скалярное произведение * Векторное произведение * Выражение векторного произведения через координаты сомножителей * Смешанное произведение * Нахождение координат вектора в произвольном базисе ; Прямые линии и плоскости * Уравнение поверхности * Уравнение плоскости * Изображение плоскости ** Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля ** Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю ** Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю ** Два коэффициента при переменных равны нулю * Угол между плоскостями * Расстояние от точки до плоскости * Прямая на плоскости * Прямая в пространстве * Основные задачи на прямую и плоскость ; Кривые второго порядка * Окружность * Эллипс * Гипербола * Парабола * Параллельный перенос системы координат ; Поверхности второго порядка * Сфера * Эллипсоид * Гиперболоиды * Конус * Параболоиды * Цилиндры * Параллельный перенос системы координат ; Матрицы * Определение, обозначения и типы матриц * Сложение матриц и умножение на число * Символ суммирования * Умножение матриц * Транспонирование матрицы * Определители * Обратная матрица * Ранг матрицы ; Системы линейных уравнений * Правило Крамера * Существование решения системы линейных уравнений общего вида * Однородная система уравнений * Структура решений неоднородной системы линейных уравнений * Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) ; Алгебраические структуры * Группы * Кольца * Поля ; Комплексные числа * Построение поля комплексных чисел * Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами * Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа * Тригонометрическая форма комплексного числа * Показательная форма комплексного числа * Извлечение корня из комплексного числа * Корни многочленов ; Многомерные пространства * Линейные пространства ** Определение и примеры ** Базис и размерность пространства ** Координаты векторов ** Изменение координат вектора при изменении базиса * Евклидово пространство * Аффинное $ n$ -мерное пространство ; Линейные преобразования * Определение и примеры * Матрица линейного преобразования * Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса * Собственные числа и собственные векторы * Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц * Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов * Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Математика]] t7inxl03ioxk0nmlixq93nb3s2wb0bu 267512 267510 2026-05-20T12:30:17Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Высшая математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267512 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности, * <math>\mathbb{R}</math> означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); * <math>\mathbb{N}</math> означает множество натуральных чисел <math>\{1;2;3;4;\dots\}</math>; * <math>\mathbb{Z}</math> означает множество всех целых чисел <math>\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}</math>; * <math>\varnothing</math> означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента; * <math>[a;b]</math>, <math>[a;b)</math>, <math>(a;b]</math> и <math>(a;b)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math>, соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается; * <math>(-\infty;b]</math>, <math>(-\infty;b)</math>, <math>(a;+\infty)</math> и <math>[a;+\infty)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math> — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки); * <math>(-\infty;+\infty)</math> — числовая прямая, то же, что и <math>\mathbb{R}</math>; * <math>A\cap B</math> — пересечение (общая часть) множеств <math>A</math> и <math>B</math>; * <math>A\cup B</math> — объединение множеств <math>A</math> и <math>B</math> (все точки из <math>A</math> и все точки из <math>B</math>); * <math>A\diagdown B</math> — множество тех элементов из <math>A</math>, которые не принадлежат <math>B</math>; * <math>A\subset B</math> — включение <math>A</math> в <math>B</math> (<math>A</math> — это часть <math>B</math>); * <math>x\in A</math> — принадлежность элемента <math>x</math> множеству <math>A</math> (<math>x</math> принадлежит <math>A</math>); * <math>x\notin A</math> — элемент <math>x</math> не принадлежит множеству <math>A</math>; * <math>\{a;b;\dots;z\}</math> — множество, состоящее из элементов <math>a,b,\dots,z</math>; в частности, <math>\{a\}</math> — множество из одного элемента <math>a</math>; * <math>\{x\in A: P(x)\}</math> — множество всех тех элементов <math>x</math> из <math>A</math>, для которых выполняется свойство <math>P(x)</math>. ;[[/Вещественные числа|Вещественные числа]] * Область рациональных чисел * Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел * Арифметические действия над вещественными числами * Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ;[[/Функции и их графики|Функции и их графики]] * Основные обозначения и определения * Первый способ задания функции: табличный * Второй способ задания функции: с помощью формулы * Обзор некоторых элементарных функций * Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления * Композиция функций * Обратная функция * Упражнения ;[[/Пределы|Пределы]] * Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи * Общее определение предела * Замена переменного и преобразование базы при такой замене * Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства * Общие свойства пределов * Первый и второй замечательные пределы * Бесконечно большие величины и бесконечные пределы * Использование непрерывности функций при вычислении пределов * Сравнение бесконечно малых * Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$ * Упражнения на вычисление пределов ; Непрерывность функций и точки разрыва * Определение непрерывности функции * Определение точек разрыва * Свойства функций, непрерывных в точке * Непрерывность функции на интервале и на отрезке * Равномерная непрерывность * Непрерывность обратной функции * Гиперболические функции и ареа-функции * Примеры и упражнения ; Производные и дифференциалы * Мгновенная скорость при прямолинейном движении * Касательная к кривой на плоскости * Производная * Свойства производных * Производные некоторых элементарных функций * Дифференциал * Производная композиции * Инвариантность дифференциала * Производная обратной функции * Производные некоторых элементарных функций (продолжение) * Сводка основных результатов о производных * Производные высших порядков * Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность * Производные функции, заданной параметрически * Производная функции, заданной неявно * Приближённое вычисление производных * Примеры и упражнения ; Свойства дифференцируемых функций * Четыре теоремы о дифференцируемых функциях * Правило Лопиталя * Сравнение бесконечно больших величин ; Формула Тейлора * Многочлен Тейлора * Остаток в формуле Тейлора и его оценка * Формула Тейлора для некоторых элементарных функций * Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования * Упражнения ; Исследование функций и построение графиков * Асимптоты графика функции * Возрастание и убывание функции * Экстремум функции и необходимое условие экстремума * Достаточные условия локального экстремума * Выпуклость функции * Общая схема исследования функции и построения её графика * Примеры исследования функций и построения графиков * Упражнения и задачи ; Кривизна плоской кривой * Кривизна графика функции * Вершины кривых * Радиус кривизны * Упражнения ; Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума * Отделение корней * Метод простого перебора * Метод половинного деления * Метод простых итераций * Метод секущих * Метод одной касательной * Метод Ньютона (метод касательных) * Метод хорд (метод линейной интерполяции) * Приближённое нахождение точки экстремума * Метод простого перебора * Метод почти половинного деления * Метод золотого сечения и метод Фибоначчи * Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной * Упражнения ; Векторная алгебра * Определение вектора * Операции над векторами * Разложение вектора по базису * Линейная зависимость векторов * Система координат и координаты вектора * Проекции вектора * Скалярное произведение * Векторное произведение * Выражение векторного произведения через координаты сомножителей * Смешанное произведение * Нахождение координат вектора в произвольном базисе ; Прямые линии и плоскости * Уравнение поверхности * Уравнение плоскости * Изображение плоскости ** Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля ** Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю ** Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю ** Два коэффициента при переменных равны нулю * Угол между плоскостями * Расстояние от точки до плоскости * Прямая на плоскости * Прямая в пространстве * Основные задачи на прямую и плоскость ; Кривые второго порядка * Окружность * Эллипс * Гипербола * Парабола * Параллельный перенос системы координат ; Поверхности второго порядка * Сфера * Эллипсоид * Гиперболоиды * Конус * Параболоиды * Цилиндры * Параллельный перенос системы координат ; Матрицы * Определение, обозначения и типы матриц * Сложение матриц и умножение на число * Символ суммирования * Умножение матриц * Транспонирование матрицы * Определители * Обратная матрица * Ранг матрицы ; Системы линейных уравнений * Правило Крамера * Существование решения системы линейных уравнений общего вида * Однородная система уравнений * Структура решений неоднородной системы линейных уравнений * Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) ; Алгебраические структуры * Группы * Кольца * Поля ; Комплексные числа * Построение поля комплексных чисел * Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами * Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа * Тригонометрическая форма комплексного числа * Показательная форма комплексного числа * Извлечение корня из комплексного числа * Корни многочленов ; Многомерные пространства * Линейные пространства ** Определение и примеры ** Базис и размерность пространства ** Координаты векторов ** Изменение координат вектора при изменении базиса * Евклидово пространство * Аффинное $ n$ -мерное пространство ; Линейные преобразования * Определение и примеры * Матрица линейного преобразования * Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса * Собственные числа и собственные векторы * Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц * Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов * Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Математика]] [[Категория:Высшая математика]] smjbh1kv1nzm4asjiyzmo6h9nk7momy 267628 267512 2026-05-21T08:20:39Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267628 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности, * <math>\mathbb{R}</math> означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); * <math>\mathbb{N}</math> означает множество натуральных чисел <math>\{1;2;3;4;\dots\}</math>; * <math>\mathbb{Z}</math> означает множество всех целых чисел <math>\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}</math>; * <math>\varnothing</math> означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента; * <math>[a;b]</math>, <math>[a;b)</math>, <math>(a;b]</math> и <math>(a;b)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math>, соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается; * <math>(-\infty;b]</math>, <math>(-\infty;b)</math>, <math>(a;+\infty)</math> и <math>[a;+\infty)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math> — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки); * <math>(-\infty;+\infty)</math> — числовая прямая, то же, что и <math>\mathbb{R}</math>; * <math>A\cap B</math> — пересечение (общая часть) множеств <math>A</math> и <math>B</math>; * <math>A\cup B</math> — объединение множеств <math>A</math> и <math>B</math> (все точки из <math>A</math> и все точки из <math>B</math>); * <math>A\diagdown B</math> — множество тех элементов из <math>A</math>, которые не принадлежат <math>B</math>; * <math>A\subset B</math> — включение <math>A</math> в <math>B</math> (<math>A</math> — это часть <math>B</math>); * <math>x\in A</math> — принадлежность элемента <math>x</math> множеству <math>A</math> (<math>x</math> принадлежит <math>A</math>); * <math>x\notin A</math> — элемент <math>x</math> не принадлежит множеству <math>A</math>; * <math>\{a;b;\dots;z\}</math> — множество, состоящее из элементов <math>a,b,\dots,z</math>; в частности, <math>\{a\}</math> — множество из одного элемента <math>a</math>; * <math>\{x\in A: P(x)\}</math> — множество всех тех элементов <math>x</math> из <math>A</math>, для которых выполняется свойство <math>P(x)</math>. ;[[/Вещественные числа|Вещественные числа]] * Область рациональных чисел * Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел * Арифметические действия над вещественными числами * Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ;[[/Функции и их графики|Функции и их графики]] * Основные обозначения и определения * Первый способ задания функции: табличный * Второй способ задания функции: с помощью формулы * Обзор некоторых элементарных функций * Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления * Композиция функций * Обратная функция * Упражнения ;[[/Пределы|Пределы]] * Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи * Общее определение предела * Замена переменного и преобразование базы при такой замене * Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства * Общие свойства пределов * Первый и второй замечательные пределы * Бесконечно большие величины и бесконечные пределы * Использование непрерывности функций при вычислении пределов * Сравнение бесконечно малых * Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$ * Упражнения на вычисление пределов ; Непрерывность функций и точки разрыва * Определение непрерывности функции * Определение точек разрыва * Свойства функций, непрерывных в точке * Непрерывность функции на интервале и на отрезке * Равномерная непрерывность * Непрерывность обратной функции * Гиперболические функции и ареа-функции * Примеры и упражнения ; Производные и дифференциалы * Мгновенная скорость при прямолинейном движении * Касательная к кривой на плоскости * Производная * Свойства производных * Производные некоторых элементарных функций * Дифференциал * Производная композиции * Инвариантность дифференциала * Производная обратной функции * Производные некоторых элементарных функций (продолжение) * Сводка основных результатов о производных * Производные высших порядков * Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность * Производные функции, заданной параметрически * Производная функции, заданной неявно * Приближённое вычисление производных * Примеры и упражнения ; Свойства дифференцируемых функций * Четыре теоремы о дифференцируемых функциях * Правило Лопиталя * Сравнение бесконечно больших величин ; Формула Тейлора * Многочлен Тейлора * Остаток в формуле Тейлора и его оценка * Формула Тейлора для некоторых элементарных функций * Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования * Упражнения ; Исследование функций и построение графиков * Асимптоты графика функции * Возрастание и убывание функции * Экстремум функции и необходимое условие экстремума * Достаточные условия локального экстремума * Выпуклость функции * Общая схема исследования функции и построения её графика * Примеры исследования функций и построения графиков * Упражнения и задачи ; Кривизна плоской кривой * Кривизна графика функции * Вершины кривых * Радиус кривизны * Упражнения ; Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума * Отделение корней * Метод простого перебора * Метод половинного деления * Метод простых итераций * Метод секущих * Метод одной касательной * Метод Ньютона (метод касательных) * Метод хорд (метод линейной интерполяции) * Приближённое нахождение точки экстремума * Метод простого перебора * Метод почти половинного деления * Метод золотого сечения и метод Фибоначчи * Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной * Упражнения ; Векторная алгебра * Определение вектора * Операции над векторами * Разложение вектора по базису * Линейная зависимость векторов * Система координат и координаты вектора * Проекции вектора * Скалярное произведение * Векторное произведение * Выражение векторного произведения через координаты сомножителей * Смешанное произведение * Нахождение координат вектора в произвольном базисе ; Прямые линии и плоскости * Уравнение поверхности * Уравнение плоскости * Изображение плоскости ** Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля ** Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю ** Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю ** Два коэффициента при переменных равны нулю * Угол между плоскостями * Расстояние от точки до плоскости * Прямая на плоскости * Прямая в пространстве * Основные задачи на прямую и плоскость ; Кривые второго порядка * Окружность * Эллипс * Гипербола * Парабола * Параллельный перенос системы координат ; Поверхности второго порядка * Сфера * Эллипсоид * Гиперболоиды * Конус * Параболоиды * Цилиндры * Параллельный перенос системы координат ; Матрицы * Определение, обозначения и типы матриц * Сложение матриц и умножение на число * Символ суммирования * Умножение матриц * Транспонирование матрицы * Определители * Обратная матрица * Ранг матрицы ; Системы линейных уравнений * Правило Крамера * Существование решения системы линейных уравнений общего вида * Однородная система уравнений * Структура решений неоднородной системы линейных уравнений * Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) ; Алгебраические структуры * Группы * Кольца * Поля ; Комплексные числа * Построение поля комплексных чисел * Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами * Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа * Тригонометрическая форма комплексного числа * Показательная форма комплексного числа * Извлечение корня из комплексного числа * Корни многочленов ; Многомерные пространства * Линейные пространства ** Определение и примеры ** Базис и размерность пространства ** Координаты векторов ** Изменение координат вектора при изменении базиса * Евклидово пространство * Аффинное $ n$ -мерное пространство ; Линейные преобразования * Определение и примеры * Матрица линейного преобразования * Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса * Собственные числа и собственные векторы * Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц * Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов * Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Высшая математика]] q49b7w0wvvgh4cqd2wuwyxn3k0ki702 267754 267628 2026-05-21T10:40:12Z AllaBuraya 79455 267754 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 0% }} Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности, * <math>\mathbb{R}</math> означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); * <math>\mathbb{N}</math> означает множество натуральных чисел <math>\{1;2;3;4;\dots\}</math>; * <math>\mathbb{Z}</math> означает множество всех целых чисел <math>\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}</math>; * <math>\varnothing</math> означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента; * <math>[a;b]</math>, <math>[a;b)</math>, <math>(a;b]</math> и <math>(a;b)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math>, соответственно, — замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка — что не включается; * <math>(-\infty;b]</math>, <math>(-\infty;b)</math>, <math>(a;+\infty)</math> и <math>[a;+\infty)</math>, где <math>a\in\mathbb{R}</math>, <math>b\in\mathbb{R}</math> — замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки); * <math>(-\infty;+\infty)</math> — числовая прямая, то же, что и <math>\mathbb{R}</math>; * <math>A\cap B</math> — пересечение (общая часть) множеств <math>A</math> и <math>B</math>; * <math>A\cup B</math> — объединение множеств <math>A</math> и <math>B</math> (все точки из <math>A</math> и все точки из <math>B</math>); * <math>A\diagdown B</math> — множество тех элементов из <math>A</math>, которые не принадлежат <math>B</math>; * <math>A\subset B</math> — включение <math>A</math> в <math>B</math> (<math>A</math> — это часть <math>B</math>); * <math>x\in A</math> — принадлежность элемента <math>x</math> множеству <math>A</math> (<math>x</math> принадлежит <math>A</math>); * <math>x\notin A</math> — элемент <math>x</math> не принадлежит множеству <math>A</math>; * <math>\{a;b;\dots;z\}</math> — множество, состоящее из элементов <math>a,b,\dots,z</math>; в частности, <math>\{a\}</math> — множество из одного элемента <math>a</math>; * <math>\{x\in A: P(x)\}</math> — множество всех тех элементов <math>x</math> из <math>A</math>, для которых выполняется свойство <math>P(x)</math>. ;[[/Вещественные числа|Вещественные числа]] * Область рациональных чисел * Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел * Арифметические действия над вещественными числами * Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ;[[/Функции и их графики|Функции и их графики]] * Основные обозначения и определения * Первый способ задания функции: табличный * Второй способ задания функции: с помощью формулы * Обзор некоторых элементарных функций * Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления * Композиция функций * Обратная функция * Упражнения ;[[/Пределы|Пределы]] * Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи * Общее определение предела * Замена переменного и преобразование базы при такой замене * Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства * Общие свойства пределов * Первый и второй замечательные пределы * Бесконечно большие величины и бесконечные пределы * Использование непрерывности функций при вычислении пределов * Сравнение бесконечно малых * Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$ * Упражнения на вычисление пределов ; Непрерывность функций и точки разрыва * Определение непрерывности функции * Определение точек разрыва * Свойства функций, непрерывных в точке * Непрерывность функции на интервале и на отрезке * Равномерная непрерывность * Непрерывность обратной функции * Гиперболические функции и ареа-функции * Примеры и упражнения ; Производные и дифференциалы * Мгновенная скорость при прямолинейном движении * Касательная к кривой на плоскости * Производная * Свойства производных * Производные некоторых элементарных функций * Дифференциал * Производная композиции * Инвариантность дифференциала * Производная обратной функции * Производные некоторых элементарных функций (продолжение) * Сводка основных результатов о производных * Производные высших порядков * Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность * Производные функции, заданной параметрически * Производная функции, заданной неявно * Приближённое вычисление производных * Примеры и упражнения ; Свойства дифференцируемых функций * Четыре теоремы о дифференцируемых функциях * Правило Лопиталя * Сравнение бесконечно больших величин ; Формула Тейлора * Многочлен Тейлора * Остаток в формуле Тейлора и его оценка * Формула Тейлора для некоторых элементарных функций * Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования * Упражнения ; Исследование функций и построение графиков * Асимптоты графика функции * Возрастание и убывание функции * Экстремум функции и необходимое условие экстремума * Достаточные условия локального экстремума * Выпуклость функции * Общая схема исследования функции и построения её графика * Примеры исследования функций и построения графиков * Упражнения и задачи ; Кривизна плоской кривой * Кривизна графика функции * Вершины кривых * Радиус кривизны * Упражнения ; Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума * Отделение корней * Метод простого перебора * Метод половинного деления * Метод простых итераций * Метод секущих * Метод одной касательной * Метод Ньютона (метод касательных) * Метод хорд (метод линейной интерполяции) * Приближённое нахождение точки экстремума * Метод простого перебора * Метод почти половинного деления * Метод золотого сечения и метод Фибоначчи * Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной * Упражнения ; Векторная алгебра * Определение вектора * Операции над векторами * Разложение вектора по базису * Линейная зависимость векторов * Система координат и координаты вектора * Проекции вектора * Скалярное произведение * Векторное произведение * Выражение векторного произведения через координаты сомножителей * Смешанное произведение * Нахождение координат вектора в произвольном базисе ; Прямые линии и плоскости * Уравнение поверхности * Уравнение плоскости * Изображение плоскости ** Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля ** Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю ** Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю ** Два коэффициента при переменных равны нулю * Угол между плоскостями * Расстояние от точки до плоскости * Прямая на плоскости * Прямая в пространстве * Основные задачи на прямую и плоскость ; Кривые второго порядка * Окружность * Эллипс * Гипербола * Парабола * Параллельный перенос системы координат ; Поверхности второго порядка * Сфера * Эллипсоид * Гиперболоиды * Конус * Параболоиды * Цилиндры * Параллельный перенос системы координат ; Матрицы * Определение, обозначения и типы матриц * Сложение матриц и умножение на число * Символ суммирования * Умножение матриц * Транспонирование матрицы * Определители * Обратная матрица * Ранг матрицы ; Системы линейных уравнений * Правило Крамера * Существование решения системы линейных уравнений общего вида * Однородная система уравнений * Структура решений неоднородной системы линейных уравнений * Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) ; Алгебраические структуры * Группы * Кольца * Поля ; Комплексные числа * Построение поля комплексных чисел * Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами * Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа * Тригонометрическая форма комплексного числа * Показательная форма комплексного числа * Извлечение корня из комплексного числа * Корни многочленов ; Многомерные пространства * Линейные пространства ** Определение и примеры ** Базис и размерность пространства ** Координаты векторов ** Изменение координат вектора при изменении базиса * Евклидово пространство * Аффинное $ n$ -мерное пространство ; Линейные преобразования * Определение и примеры * Матрица линейного преобразования * Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса * Собственные числа и собственные векторы * Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц * Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов * Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Высшая математика]] ldqh1zv3mcz0fa1s3iifw87e80s5dk1 0 5186 267520 261440 2026-05-20T12:32:13Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Высшая математика. Первый семестр]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267520 wikitext text/x-wiki == Основные определения == === Функция === Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — два произвольных множества. Функцией <math>f</math> из <math>A</math> в <math>B</math> называется соответствие между элементами множества <math>A</math> и множества <math>B</math>, при котором каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется какой-либо один элемент <math>{y\in B}</math>. При этом <math>y</math> называется значением функции <math>f</math> на элементе <math>x</math>, что записывается как <math>{y=f(x)}</math> или <math>f\colon x\mapsto y</math>. Тот факт, что функция <math>f</math> переводит элементы <math>x\in A</math> в элементы <math>y\in B</math>, записывается так: <math>f\colon A\to B</math>. Множество <math>A</math> называется '''областью определения функции (ООФ)''' <math>f</math> и обозначается <math>\mathcal{D}(f)</math> или <math>\mathcal{D}_f</math>. [[Файл:math1.png|thumb|Множество <math>A</math> отображается функцией <math>f</math> в множество <math>B</math> ]] '''Пример:''' Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров <math>{A=\{1;2;\dots;20\}}</math> и множество <math>B</math> — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие <math>f</math>, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция <math>f:n\mapsto F</math>, где <math>n</math> — номер студента в группе (от 1 до 20) и <math>F</math> — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение <math>f(n)</math> определено для всех <math>n\in A</math>. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества <math>B</math> — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов <math>\in B</math> не будет значением <math>f(n)</math> ни при каком <math>n\in A</math>. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах <math>n_1\in A</math> и <math>n_2\in A</math> элемент Петров <math>\in B</math> будет значением функции <math>f</math>, то есть <math>f(n_1)=Petrov</math> и <math>f(n_2)=Petrov</math>. На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции <math>\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}</math> не обязано совпадать со всем множеством <math>B</math>, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие <math>x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)</math>, что <math>x_1\ne x_2</math>, но <math>f(x_1)=f(x_2)</math>. В таком случае часто говорят, что элементы <math>x_1</math> и <math>x_2</math> склеиваются при отображении <math>f</math>. === Отображение функции === Если <math>\mathcal{E}(f)=B</math>, то есть для любого элемента <math>y\in B</math> найдётся элемент <math>x\in A</math> такой, что <math>f(x)=y</math>, то функция <math>f</math> называется отображением <math>A</math> на <math>B</math> (напомним, что в общем случае <math>f</math> — это отображение из <math>A</math> в <math>B</math>). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией. Если для любых двух разных элементов <math>x_1,x_2\in A</math> (<math>x_1\ne x_2</math>) значения <math>f(x_1),f(x_2)\in B</math> тоже разные (<math>f(x_1)\ne f(x_2)</math>), то отображение <math>f</math> называется вложением множества <math>A</math> в множество <math>B</math>, или инъективным отображением (инъекцией). '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=[-1;1]</math> и отображение <math>f</math> для <math>x\in A</math> задано формулой <math>f(x)=\sin x</math>. Тогда <math>f</math> — сюръекция, так как любое число <math>y</math> из отрезка <math>[-1;1]</math> равно значению <math>\sin x</math> при некотором <math>x</math>. [[Файл:sinx.png|thumb|Все числа <math>y\in[-1;1]</math> — это значения функции <math>\sin x</math> ]] '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}</math> и отображение <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> задано при <math>x\in\mathbb{R}</math> формулой <math>f(x)=x^3</math>. Тогда отображение <math>f</math> одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение <math>y\in\mathbb{R}</math> есть значение <math>x^3</math> при некотором <math>x</math> (а именно, при <math>x=\sqrt[3]{y}</math>); 2) никакие два разных значения <math>x_1,x_2\in\mathbb{R}</math> не могут дать одинаковых значений <math>x_1^3=x_2^3</math>, так как из неравенства <math>x_1<x_2</math> следует неравенство <math>x_1^3<x_2^3</math>. [[Файл:cubediff.png|thumb|Кубы разных чисел не совпадают]] === Взаимно-однозначное соответствие === Отображение <math>f\colon A\to B</math>, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между <math>A</math> и <math>B</math>, или биекцией. Это означает, что каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется ровно один элемент <math>y\in B</math>, причём для каждого элемента <math>y\in B</math> имеется такой элемент <math>x\in A</math>, который сопоставлен этому <math>y</math>. '''Замечание:''' Если отображение <math>f\colon A\to B</math> — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества <math>A</math> и множеством значений функции <math>\mathcal{E}(f)</math>, то есть частью множества <math>B</math>. Пусть <math>\mathcal{E}(f)=B'</math>. Тогда функция <math>f</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами <math>A</math> и <math>B'</math>. (Более формально: функция <math>f_1 \colon A\to B'</math>, совпадающая с <math>f</math> при всех <math>x\in A</math>, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции <math>f</math> и <math>f_1</math> имеют одну и ту же область определения <math>A</math> и их значения совпадают при всех <math>x\in A</math>, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой <math>f</math>.) [[Файл:math2.png|thumb|Множество <math>\mathcal{D}(f)</math> взаимно-однозначно отображается на множество <math>\mathcal{E}(f)</math> ]] '''Пример 1:''' При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто <math>p</math> соответствует ровно один выданный номерок <math>n</math>. Таким образом, между множеством <math>P</math> сданных пальто и множеством выданных номерков <math>N'</math> (<math>N'</math> — это подмножество множества <math>N</math> всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция <math>f\colon p\mapsto n</math> (<math>p\in P</math>, <math>n\in N'</math>). === Обратная функция === Если <math>f:A\to B</math> — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому <math>y\in B</math> тот элемент <math>x\in A</math>, который переходит в этот самый <math>y</math> при отображении <math>f</math>, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению <math>f</math> и обозначается <math>f^{-1}</math>. Таким образом, <math>f^{-1}:B\to A</math>, и <math>f^{-1}(y)=x</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x)=y</math> (<math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>). '''Пример 1:''' В условиях примера 1.4 отображение <math>f:P\to N'</math> — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков <math>n\in N'</math> находят соответствующее номерку пальто <math>p\in P</math>. Соответствие <math>g:N'\to P</math>, <math>n\mapsto p</math> (<math>n\in N'</math>, <math>p\in P</math>) — это обратная функция к функции <math>f:P\to N'</math>, <math>p\mapsto n</math>, то есть <math>g=f^{-1}</math>. Очевидно, что в случае, если <math>f:A\to B</math> — биекция и <math>f^{-1}</math> — обратная к <math>f</math> функция, то <math>f^{-1}(f(x))=x</math> для всех <math>x\in A</math> и <math>f(f^{-1}(y))=y</math> для всех <math>y\in B</math>. Последнее равенство показывает, что <math>(f^{-1})^{-1}=f</math> и что функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны. (То есть если <math>g</math> — функция, обратная к <math>f</math>, то <math>f</math> — функция, обратная к <math>g</math>.) [[Файл:f-1.png|thumb|Функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны]] Итак, для того чтобы функция <math>f:A\to B</math> имела обратную функцию <math>f^{-1}:B\to A</math>, функция <math>f</math> должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда обратная функция <math>f^{-1}</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между <math>B</math> и <math>A</math>. '''Пример 2:''' Функция <math>f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)</math>, заданная формулой <math>y=f(x)=x^2</math>, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: <math>x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>. [[Файл:sqrtx.png|thumb|Функции <math>y=x^2</math> и <math>x=\sqrt{y}</math> — взаимно обратны]] В математическом анализе основную роль играют такие функции <math>f</math>, у которых значениями служат вещественные числа, то есть <math>\mathcal{E}(f)\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции <math>f</math> называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются. А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой. '''Пример 3:''' Пусть <math>A</math> — множество всевозможных отрезков <math>CD</math>, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки <math>C</math> и <math>D</math>) не совпадают. Пусть соответствие <math>f</math> сопоставляет каждому такому отрезку <math>CD</math> его длину <math>f(CD)=\vert CD\vert</math>. Так как длина отрезка — число, то <math>f</math> — числовая функция, <math>f:A\to\mathbb{R}</math>. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: <math>\mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}</math>. Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями <math>f</math>, область определения которых <math>\mathcal{D}(f)</math> также является подмножеством числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>, то есть такими функциями <math>f:A\to B</math>, где <math>A\subset\mathbb{R}</math> и <math>B\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, равном прямому произведению <math>n</math> экземпляров множества <math>\mathbb{R}</math> (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже). === График функции === Графиком функции <math>f:A\to B</math> называется множество пар <math>(x;y)</math> элементов <math>x\in A</math> и <math>y\in B</math>, такое, что в каждой паре <math>(x;y)</math> второй элемент <math>y</math> — это значение функции <math>f(x)</math>, соответствующее первому элементу пары, то есть <math>x</math>. Рассмотрим множество всевозможных пар <math>(x;y)</math>, где <math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества <math>A</math> на множество <math>B</math> и обозначается <math>A\times B</math>. Ясно, что график <math>{\Gamma}_f</math> функции <math>f</math> — это подмножество прямого произведения <math>A\times B</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\subset A\times B.</math> В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times[-1;1]</math> ; график примера 1.3 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> ; оба графика примера 1.6 — подмножества в <math>\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2</math> (здесь мы ввели обозначение <math>\mathbb{R}_+=[0;+\infty)</math>, которого будем придерживаться и далее). '''Пример 1:''' Пусть <math>A</math> — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости <math>\mathbb{R}^2</math> с координатами <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, с центром в точке <math>O(0;0)</math>. Функцию <math>f</math> в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки <math>(x_1;x_2)</math> до центра. Таким образом, <math>f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>, где <math>x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2</math>. Графиком <math>{\Gamma}_f</math> этой функции является подмножество прямого произведения <math>A\times\mathbb{R}</math>. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве <math>\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math>. Обозначим координаты точек в <math>\mathbb{R}^3</math> через <math>x_1,x_2,y</math>. Тогда графику <math>{\Gamma}_f</math> принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения <math>y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math> и <math>x_1^2+x_2^2\leqslant 1</math>. Множество <math>G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math>(0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1. [[Файл:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math>O</math> — это конус]] Как мы видим, в случае, когда <math>A</math> — подмножество плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>. Если же <math>A</math> — подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math>{\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math>A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math>{\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом. '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^3</math> и для каждой точки <math>x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3</math> значение функции <math>f</math> в этой точке — это квадрат расстояния от <math>x</math> до точки <math>O(0;0;0)</math>, то есть <math>f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2</math>. Тогда график <math>{\Gamma}_f</math> — это подмножество в <math>\mathbb{R}^4</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.</math> Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула <math>y=x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}</math> — это парабола <math>y=x_1^2</math> в плоскости <math>x_1Oy</math>, а сечение трёхмерным пространством <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}</math> — это одна точка <math>(0;0;0;0)</math>. Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах. Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида <math>{y=f(x)}</math>. Способ задания функции <math>f:A\to B</math> зависит от того, какова природа множеств <math>A</math> и <math>B</math> и как по заданному <math>x\in A</math> определяется <math>{y=f(x)\in B}</math>. Выделим основные из этих способов. == Способы описания функций == === Табличный === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> конечно и состоит из <math>N</math> элементов <math>x_1,x_2,\dots,x_N</math>, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе <math>x\in A</math>. Часто это делают в виде таблицы: {| border="1" width="150px" |<math>x</math> ||<math>x_1</math> ||<math>x_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>x_N</math> |- |<math>y</math> ||<math>y_1</math> ||<math>y_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>y_N</math> |} В верхней строке таблицы перечисляются все <math>N</math> элементов конечного множества <math>A</math>, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк. === С помощью формулы (аналитически) === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция <math>f:x\mapsto y</math> может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента <math>x</math> найти соответствующее ему значение <math>y</math>, например: * <math>f(x)=\arcsin x,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[-1;1];</math> * <math>f(x)=\sqrt[4]{x},</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[0;+\infty);</math> * <math>f(x)=\ln(1-x),</math> при <math>\mathcal{D}(f)=(-\infty;1);</math> * <math>f(x)=\ln x_1x_2,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\subset\mathbb{R}^2.</math> '''Замечание:''' Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах <math>A</math>, считаются различными. Так, функция <math>f(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[0;1]</math> и функция <math>g(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[-1;1]</math> — это две разные функции, так как функция <math>f</math> устанавливает соответствие между точками множества <math>[0;1]</math> и некоторыми точками числовой прямой, а функция <math>g</math> — между точками другого множества <math>[-1;1]</math> и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как <math>{f(x)=g(x)}</math> при всех <math>{x\in[0;1]}</math>. === Ограничение функции === Если дана функция <math>f:A\to B</math>, и <math>A\subset A</math>, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции <math>f</math> только на элементах <math>x\in A</math>. Эта функция <math>f: A\to B</math> определена равенством <math>f(x)=f(x)</math> при <math>x\in A</math>. Функция <math>f</math> называется ограничением функции <math>f</math> на подмножество <math>A\subset A</math> её области определения <math>A=\mathcal{D}(f)</math> и обозначается <math>f\vert _{A}</math>, то есть <math>f=f\vert _{A}</math>. '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}</math> — числовая плоскость и функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x;y)=x^2+2xy-y^2.</math> Рассмотрим на плоскости <math>A</math> подмножество — прямую линию <math>L</math>, заданную уравнением <math>x+y=1</math>. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции <math>f\vert _L</math> точки только прямой <math>L</math>. Ограничение <math>f\vert _L(x;y)</math> определено только при <math>x+y=1</math>, поэтому его, кроме исходной формулы <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,</math> можно задать такими формулами: <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1</math> (1.1) (так как <math>y=1-x</math> на прямой <math>L</math>), или <math>f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1</math> (1.2) (так как <math>x=1-y</math> на прямой <math>L</math>). Во всех точках <math>(x;y)</math> прямой <math>L</math> все три формулы дают одно и то же значение функции <math>f\vert _L</math>. Мы видим, что формула (1.1) даёт для <math>f\vert _L</math> те же значения, что функция одного переменного <math>x</math> : <math>f_1(x)=-2x^2+4x-1</math>, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного <math>y</math> : <math>f_2(y)=-2y^2+1</math>. Две последние функции называются параметризациями ограничения <math>f\vert _L</math>. '''Пример 2:''' Пусть <math>f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2</math> — функция, заданная во всех точках плоскости <math>\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}</math>. Пусть <math>A=l</math> — прямая <math>x_2=1</math> на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>. Тогда функция <math>f(x)=f\vert _l(x)</math> равна <math>x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2</math>. Формально ограничение зависит от точек <math>(x_1,x_2)</math> плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, но только таких, что <math>x_2=1</math>. Поэтому задание этого ограничения <math>f(x_1,x_2)</math> эквивалентно заданию числовой функции одного переменного <math>g(x_1)=x_1^2+2x_1+2</math>. Функция <math>g</math> — это одна из возможных параметризаций функции <math>f\vert _l</math>. '''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math> при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math> выражение <math>f(x)</math> имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость. '''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math> По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math> принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math> проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math> в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство. Если <math>\mathcal{D}(f)</math> — это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math> называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math> содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math> в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math> легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math> при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений. '''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math> при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math> и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>. '''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math> задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math>), а при <math>n\geqslant 3</math> вычисляют <math>f_n</math> по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math> и т. д. === Указание процедуры вычисления === Во многих случаях функцию <math>f</math> приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример. '''Пример:''' Пусть <math>a\in\mathbb{R}</math> и <math>f(a)</math> — это наибольший корень <math>x_{\max}</math> уравнения <math>ax^4+2x^2-3ax+a^2=0</math>. Этим условием задаётся некоторая функция <math>f:a\mapsto x_{\max}</math>. Её область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> не пуста, так как, например, при <math>a=0</math> получается уравнение <math>2x^2=0</math>, у которого имеется единственный корень <math>x_{\max}=0</math>, так что <math>f(0)=0</math> и, следовательно, <math>0\in\mathcal{D}(f)</math>. Однако ни выразить значение <math>f(a)</math> формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> функции <math>f</math> не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции <math>f</math> возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений <math>f(a)</math>, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению <math>a=a_0</math> определять значение <math>x_{\max}=f(a_0)</math> либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что <math>a_0</math> не принадлежит <math>\mathcal{D}(f)</math>. Изменяя число <math>a</math> в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения <math>f(a)</math> с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график <math>y=f(a)</math> по точкам. Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения. Если числовая функция <math>f(x)</math>, где <math>x\in A\subset\mathbb{R}</math>, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки <math>x_k\in A</math>, <math>k=1,\dots,N</math>, и нанося на координатную плоскость <math>xOy</math> точки вида <math>(x_k;f(x_k))</math> и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения <math>f(x)</math> через <math>x</math>. Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции <math>f(x)</math> по заданным <math>x</math>, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента <math>x</math> часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении <math>f</math>, вызванной тремя причинами: # приближённостью задания переменного <math>x</math> (погрешностью аргумента); # приближённостью способа получения значения <math>f(x)</math> (погрешностью метода); # приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений). Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления <math>f(x)</math>. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график <math>y=f(x)</math>, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией <math>f</math>, и по другим косвенным признакам. hh3piwk5ddi6ijmp6dthynob690qatw 267521 267520 2026-05-20T12:32:27Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267521 wikitext text/x-wiki == Основные определения == === Функция === Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — два произвольных множества. Функцией <math>f</math> из <math>A</math> в <math>B</math> называется соответствие между элементами множества <math>A</math> и множества <math>B</math>, при котором каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется какой-либо один элемент <math>{y\in B}</math>. При этом <math>y</math> называется значением функции <math>f</math> на элементе <math>x</math>, что записывается как <math>{y=f(x)}</math> или <math>f\colon x\mapsto y</math>. Тот факт, что функция <math>f</math> переводит элементы <math>x\in A</math> в элементы <math>y\in B</math>, записывается так: <math>f\colon A\to B</math>. Множество <math>A</math> называется '''областью определения функции (ООФ)''' <math>f</math> и обозначается <math>\mathcal{D}(f)</math> или <math>\mathcal{D}_f</math>. [[Файл:math1.png|thumb|Множество <math>A</math> отображается функцией <math>f</math> в множество <math>B</math> ]] '''Пример:''' Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров <math>{A=\{1;2;\dots;20\}}</math> и множество <math>B</math> — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие <math>f</math>, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция <math>f:n\mapsto F</math>, где <math>n</math> — номер студента в группе (от 1 до 20) и <math>F</math> — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение <math>f(n)</math> определено для всех <math>n\in A</math>. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества <math>B</math> — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов <math>\in B</math> не будет значением <math>f(n)</math> ни при каком <math>n\in A</math>. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах <math>n_1\in A</math> и <math>n_2\in A</math> элемент Петров <math>\in B</math> будет значением функции <math>f</math>, то есть <math>f(n_1)=Petrov</math> и <math>f(n_2)=Petrov</math>. На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции <math>\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}</math> не обязано совпадать со всем множеством <math>B</math>, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие <math>x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)</math>, что <math>x_1\ne x_2</math>, но <math>f(x_1)=f(x_2)</math>. В таком случае часто говорят, что элементы <math>x_1</math> и <math>x_2</math> склеиваются при отображении <math>f</math>. === Отображение функции === Если <math>\mathcal{E}(f)=B</math>, то есть для любого элемента <math>y\in B</math> найдётся элемент <math>x\in A</math> такой, что <math>f(x)=y</math>, то функция <math>f</math> называется отображением <math>A</math> на <math>B</math> (напомним, что в общем случае <math>f</math> — это отображение из <math>A</math> в <math>B</math>). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией. Если для любых двух разных элементов <math>x_1,x_2\in A</math> (<math>x_1\ne x_2</math>) значения <math>f(x_1),f(x_2)\in B</math> тоже разные (<math>f(x_1)\ne f(x_2)</math>), то отображение <math>f</math> называется вложением множества <math>A</math> в множество <math>B</math>, или инъективным отображением (инъекцией). '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=[-1;1]</math> и отображение <math>f</math> для <math>x\in A</math> задано формулой <math>f(x)=\sin x</math>. Тогда <math>f</math> — сюръекция, так как любое число <math>y</math> из отрезка <math>[-1;1]</math> равно значению <math>\sin x</math> при некотором <math>x</math>. [[Файл:sinx.png|thumb|Все числа <math>y\in[-1;1]</math> — это значения функции <math>\sin x</math> ]] '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}</math> и отображение <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> задано при <math>x\in\mathbb{R}</math> формулой <math>f(x)=x^3</math>. Тогда отображение <math>f</math> одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение <math>y\in\mathbb{R}</math> есть значение <math>x^3</math> при некотором <math>x</math> (а именно, при <math>x=\sqrt[3]{y}</math>); 2) никакие два разных значения <math>x_1,x_2\in\mathbb{R}</math> не могут дать одинаковых значений <math>x_1^3=x_2^3</math>, так как из неравенства <math>x_1<x_2</math> следует неравенство <math>x_1^3<x_2^3</math>. [[Файл:cubediff.png|thumb|Кубы разных чисел не совпадают]] === Взаимно-однозначное соответствие === Отображение <math>f\colon A\to B</math>, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между <math>A</math> и <math>B</math>, или биекцией. Это означает, что каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется ровно один элемент <math>y\in B</math>, причём для каждого элемента <math>y\in B</math> имеется такой элемент <math>x\in A</math>, который сопоставлен этому <math>y</math>. '''Замечание:''' Если отображение <math>f\colon A\to B</math> — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества <math>A</math> и множеством значений функции <math>\mathcal{E}(f)</math>, то есть частью множества <math>B</math>. Пусть <math>\mathcal{E}(f)=B'</math>. Тогда функция <math>f</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами <math>A</math> и <math>B'</math>. (Более формально: функция <math>f_1 \colon A\to B'</math>, совпадающая с <math>f</math> при всех <math>x\in A</math>, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции <math>f</math> и <math>f_1</math> имеют одну и ту же область определения <math>A</math> и их значения совпадают при всех <math>x\in A</math>, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой <math>f</math>.) [[Файл:math2.png|thumb|Множество <math>\mathcal{D}(f)</math> взаимно-однозначно отображается на множество <math>\mathcal{E}(f)</math> ]] '''Пример 1:''' При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто <math>p</math> соответствует ровно один выданный номерок <math>n</math>. Таким образом, между множеством <math>P</math> сданных пальто и множеством выданных номерков <math>N'</math> (<math>N'</math> — это подмножество множества <math>N</math> всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция <math>f\colon p\mapsto n</math> (<math>p\in P</math>, <math>n\in N'</math>). === Обратная функция === Если <math>f:A\to B</math> — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому <math>y\in B</math> тот элемент <math>x\in A</math>, который переходит в этот самый <math>y</math> при отображении <math>f</math>, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению <math>f</math> и обозначается <math>f^{-1}</math>. Таким образом, <math>f^{-1}:B\to A</math>, и <math>f^{-1}(y)=x</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x)=y</math> (<math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>). '''Пример 1:''' В условиях примера 1.4 отображение <math>f:P\to N'</math> — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков <math>n\in N'</math> находят соответствующее номерку пальто <math>p\in P</math>. Соответствие <math>g:N'\to P</math>, <math>n\mapsto p</math> (<math>n\in N'</math>, <math>p\in P</math>) — это обратная функция к функции <math>f:P\to N'</math>, <math>p\mapsto n</math>, то есть <math>g=f^{-1}</math>. Очевидно, что в случае, если <math>f:A\to B</math> — биекция и <math>f^{-1}</math> — обратная к <math>f</math> функция, то <math>f^{-1}(f(x))=x</math> для всех <math>x\in A</math> и <math>f(f^{-1}(y))=y</math> для всех <math>y\in B</math>. Последнее равенство показывает, что <math>(f^{-1})^{-1}=f</math> и что функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны. (То есть если <math>g</math> — функция, обратная к <math>f</math>, то <math>f</math> — функция, обратная к <math>g</math>.) [[Файл:f-1.png|thumb|Функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны]] Итак, для того чтобы функция <math>f:A\to B</math> имела обратную функцию <math>f^{-1}:B\to A</math>, функция <math>f</math> должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда обратная функция <math>f^{-1}</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между <math>B</math> и <math>A</math>. '''Пример 2:''' Функция <math>f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)</math>, заданная формулой <math>y=f(x)=x^2</math>, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: <math>x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>. [[Файл:sqrtx.png|thumb|Функции <math>y=x^2</math> и <math>x=\sqrt{y}</math> — взаимно обратны]] В математическом анализе основную роль играют такие функции <math>f</math>, у которых значениями служат вещественные числа, то есть <math>\mathcal{E}(f)\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции <math>f</math> называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются. А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой. '''Пример 3:''' Пусть <math>A</math> — множество всевозможных отрезков <math>CD</math>, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки <math>C</math> и <math>D</math>) не совпадают. Пусть соответствие <math>f</math> сопоставляет каждому такому отрезку <math>CD</math> его длину <math>f(CD)=\vert CD\vert</math>. Так как длина отрезка — число, то <math>f</math> — числовая функция, <math>f:A\to\mathbb{R}</math>. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: <math>\mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}</math>. Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями <math>f</math>, область определения которых <math>\mathcal{D}(f)</math> также является подмножеством числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>, то есть такими функциями <math>f:A\to B</math>, где <math>A\subset\mathbb{R}</math> и <math>B\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, равном прямому произведению <math>n</math> экземпляров множества <math>\mathbb{R}</math> (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже). === График функции === Графиком функции <math>f:A\to B</math> называется множество пар <math>(x;y)</math> элементов <math>x\in A</math> и <math>y\in B</math>, такое, что в каждой паре <math>(x;y)</math> второй элемент <math>y</math> — это значение функции <math>f(x)</math>, соответствующее первому элементу пары, то есть <math>x</math>. Рассмотрим множество всевозможных пар <math>(x;y)</math>, где <math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества <math>A</math> на множество <math>B</math> и обозначается <math>A\times B</math>. Ясно, что график <math>{\Gamma}_f</math> функции <math>f</math> — это подмножество прямого произведения <math>A\times B</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\subset A\times B.</math> В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times[-1;1]</math> ; график примера 1.3 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> ; оба графика примера 1.6 — подмножества в <math>\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2</math> (здесь мы ввели обозначение <math>\mathbb{R}_+=[0;+\infty)</math>, которого будем придерживаться и далее). '''Пример 1:''' Пусть <math>A</math> — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости <math>\mathbb{R}^2</math> с координатами <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, с центром в точке <math>O(0;0)</math>. Функцию <math>f</math> в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки <math>(x_1;x_2)</math> до центра. Таким образом, <math>f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>, где <math>x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2</math>. Графиком <math>{\Gamma}_f</math> этой функции является подмножество прямого произведения <math>A\times\mathbb{R}</math>. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве <math>\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math>. Обозначим координаты точек в <math>\mathbb{R}^3</math> через <math>x_1,x_2,y</math>. Тогда графику <math>{\Gamma}_f</math> принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения <math>y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math> и <math>x_1^2+x_2^2\leqslant 1</math>. Множество <math>G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math>(0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1. [[Файл:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math>O</math> — это конус]] Как мы видим, в случае, когда <math>A</math> — подмножество плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>. Если же <math>A</math> — подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math>{\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math>A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math>{\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом. '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^3</math> и для каждой точки <math>x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3</math> значение функции <math>f</math> в этой точке — это квадрат расстояния от <math>x</math> до точки <math>O(0;0;0)</math>, то есть <math>f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2</math>. Тогда график <math>{\Gamma}_f</math> — это подмножество в <math>\mathbb{R}^4</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.</math> Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула <math>y=x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}</math> — это парабола <math>y=x_1^2</math> в плоскости <math>x_1Oy</math>, а сечение трёхмерным пространством <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}</math> — это одна точка <math>(0;0;0;0)</math>. Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах. Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида <math>{y=f(x)}</math>. Способ задания функции <math>f:A\to B</math> зависит от того, какова природа множеств <math>A</math> и <math>B</math> и как по заданному <math>x\in A</math> определяется <math>{y=f(x)\in B}</math>. Выделим основные из этих способов. == Способы описания функций == === Табличный === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> конечно и состоит из <math>N</math> элементов <math>x_1,x_2,\dots,x_N</math>, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе <math>x\in A</math>. Часто это делают в виде таблицы: {| border="1" width="150px" |<math>x</math> ||<math>x_1</math> ||<math>x_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>x_N</math> |- |<math>y</math> ||<math>y_1</math> ||<math>y_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>y_N</math> |} В верхней строке таблицы перечисляются все <math>N</math> элементов конечного множества <math>A</math>, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк. === С помощью формулы (аналитически) === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция <math>f:x\mapsto y</math> может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента <math>x</math> найти соответствующее ему значение <math>y</math>, например: * <math>f(x)=\arcsin x,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[-1;1];</math> * <math>f(x)=\sqrt[4]{x},</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[0;+\infty);</math> * <math>f(x)=\ln(1-x),</math> при <math>\mathcal{D}(f)=(-\infty;1);</math> * <math>f(x)=\ln x_1x_2,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\subset\mathbb{R}^2.</math> '''Замечание:''' Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах <math>A</math>, считаются различными. Так, функция <math>f(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[0;1]</math> и функция <math>g(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[-1;1]</math> — это две разные функции, так как функция <math>f</math> устанавливает соответствие между точками множества <math>[0;1]</math> и некоторыми точками числовой прямой, а функция <math>g</math> — между точками другого множества <math>[-1;1]</math> и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как <math>{f(x)=g(x)}</math> при всех <math>{x\in[0;1]}</math>. === Ограничение функции === Если дана функция <math>f:A\to B</math>, и <math>A\subset A</math>, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции <math>f</math> только на элементах <math>x\in A</math>. Эта функция <math>f: A\to B</math> определена равенством <math>f(x)=f(x)</math> при <math>x\in A</math>. Функция <math>f</math> называется ограничением функции <math>f</math> на подмножество <math>A\subset A</math> её области определения <math>A=\mathcal{D}(f)</math> и обозначается <math>f\vert _{A}</math>, то есть <math>f=f\vert _{A}</math>. '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}</math> — числовая плоскость и функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x;y)=x^2+2xy-y^2.</math> Рассмотрим на плоскости <math>A</math> подмножество — прямую линию <math>L</math>, заданную уравнением <math>x+y=1</math>. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции <math>f\vert _L</math> точки только прямой <math>L</math>. Ограничение <math>f\vert _L(x;y)</math> определено только при <math>x+y=1</math>, поэтому его, кроме исходной формулы <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,</math> можно задать такими формулами: <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1</math> (1.1) (так как <math>y=1-x</math> на прямой <math>L</math>), или <math>f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1</math> (1.2) (так как <math>x=1-y</math> на прямой <math>L</math>). Во всех точках <math>(x;y)</math> прямой <math>L</math> все три формулы дают одно и то же значение функции <math>f\vert _L</math>. Мы видим, что формула (1.1) даёт для <math>f\vert _L</math> те же значения, что функция одного переменного <math>x</math> : <math>f_1(x)=-2x^2+4x-1</math>, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного <math>y</math> : <math>f_2(y)=-2y^2+1</math>. Две последние функции называются параметризациями ограничения <math>f\vert _L</math>. '''Пример 2:''' Пусть <math>f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2</math> — функция, заданная во всех точках плоскости <math>\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}</math>. Пусть <math>A=l</math> — прямая <math>x_2=1</math> на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>. Тогда функция <math>f(x)=f\vert _l(x)</math> равна <math>x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2</math>. Формально ограничение зависит от точек <math>(x_1,x_2)</math> плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, но только таких, что <math>x_2=1</math>. Поэтому задание этого ограничения <math>f(x_1,x_2)</math> эквивалентно заданию числовой функции одного переменного <math>g(x_1)=x_1^2+2x_1+2</math>. Функция <math>g</math> — это одна из возможных параметризаций функции <math>f\vert _l</math>. '''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math> при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math> выражение <math>f(x)</math> имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость. '''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math> По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math> принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math> проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math> в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство. Если <math>\mathcal{D}(f)</math> — это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math> называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math> содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math> в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math> легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math> при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений. '''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math> при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math> и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>. '''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math> задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math>), а при <math>n\geqslant 3</math> вычисляют <math>f_n</math> по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math> и т. д. === Указание процедуры вычисления === Во многих случаях функцию <math>f</math> приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример. '''Пример:''' Пусть <math>a\in\mathbb{R}</math> и <math>f(a)</math> — это наибольший корень <math>x_{\max}</math> уравнения <math>ax^4+2x^2-3ax+a^2=0</math>. Этим условием задаётся некоторая функция <math>f:a\mapsto x_{\max}</math>. Её область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> не пуста, так как, например, при <math>a=0</math> получается уравнение <math>2x^2=0</math>, у которого имеется единственный корень <math>x_{\max}=0</math>, так что <math>f(0)=0</math> и, следовательно, <math>0\in\mathcal{D}(f)</math>. Однако ни выразить значение <math>f(a)</math> формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> функции <math>f</math> не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции <math>f</math> возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений <math>f(a)</math>, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению <math>a=a_0</math> определять значение <math>x_{\max}=f(a_0)</math> либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что <math>a_0</math> не принадлежит <math>\mathcal{D}(f)</math>. Изменяя число <math>a</math> в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения <math>f(a)</math> с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график <math>y=f(a)</math> по точкам. Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения. Если числовая функция <math>f(x)</math>, где <math>x\in A\subset\mathbb{R}</math>, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки <math>x_k\in A</math>, <math>k=1,\dots,N</math>, и нанося на координатную плоскость <math>xOy</math> точки вида <math>(x_k;f(x_k))</math> и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения <math>f(x)</math> через <math>x</math>. Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции <math>f(x)</math> по заданным <math>x</math>, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента <math>x</math> часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении <math>f</math>, вызванной тремя причинами: # приближённостью задания переменного <math>x</math> (погрешностью аргумента); # приближённостью способа получения значения <math>f(x)</math> (погрешностью метода); # приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений). Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления <math>f(x)</math>. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график <math>y=f(x)</math>, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией <math>f</math>, и по другим косвенным признакам. [[Категория:Математика]] 1vc0zltlkat4z4o5o5044t4xhultigw 267523 267521 2026-05-20T12:32:40Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267523 wikitext text/x-wiki == Основные определения == === Функция === Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — два произвольных множества. Функцией <math>f</math> из <math>A</math> в <math>B</math> называется соответствие между элементами множества <math>A</math> и множества <math>B</math>, при котором каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется какой-либо один элемент <math>{y\in B}</math>. При этом <math>y</math> называется значением функции <math>f</math> на элементе <math>x</math>, что записывается как <math>{y=f(x)}</math> или <math>f\colon x\mapsto y</math>. Тот факт, что функция <math>f</math> переводит элементы <math>x\in A</math> в элементы <math>y\in B</math>, записывается так: <math>f\colon A\to B</math>. Множество <math>A</math> называется '''областью определения функции (ООФ)''' <math>f</math> и обозначается <math>\mathcal{D}(f)</math> или <math>\mathcal{D}_f</math>. [[Файл:math1.png|thumb|Множество <math>A</math> отображается функцией <math>f</math> в множество <math>B</math> ]] '''Пример:''' Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров <math>{A=\{1;2;\dots;20\}}</math> и множество <math>B</math> — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие <math>f</math>, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция <math>f:n\mapsto F</math>, где <math>n</math> — номер студента в группе (от 1 до 20) и <math>F</math> — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение <math>f(n)</math> определено для всех <math>n\in A</math>. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества <math>B</math> — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов <math>\in B</math> не будет значением <math>f(n)</math> ни при каком <math>n\in A</math>. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах <math>n_1\in A</math> и <math>n_2\in A</math> элемент Петров <math>\in B</math> будет значением функции <math>f</math>, то есть <math>f(n_1)=Petrov</math> и <math>f(n_2)=Petrov</math>. На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции <math>\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}</math> не обязано совпадать со всем множеством <math>B</math>, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие <math>x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)</math>, что <math>x_1\ne x_2</math>, но <math>f(x_1)=f(x_2)</math>. В таком случае часто говорят, что элементы <math>x_1</math> и <math>x_2</math> склеиваются при отображении <math>f</math>. === Отображение функции === Если <math>\mathcal{E}(f)=B</math>, то есть для любого элемента <math>y\in B</math> найдётся элемент <math>x\in A</math> такой, что <math>f(x)=y</math>, то функция <math>f</math> называется отображением <math>A</math> на <math>B</math> (напомним, что в общем случае <math>f</math> — это отображение из <math>A</math> в <math>B</math>). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией. Если для любых двух разных элементов <math>x_1,x_2\in A</math> (<math>x_1\ne x_2</math>) значения <math>f(x_1),f(x_2)\in B</math> тоже разные (<math>f(x_1)\ne f(x_2)</math>), то отображение <math>f</math> называется вложением множества <math>A</math> в множество <math>B</math>, или инъективным отображением (инъекцией). '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=[-1;1]</math> и отображение <math>f</math> для <math>x\in A</math> задано формулой <math>f(x)=\sin x</math>. Тогда <math>f</math> — сюръекция, так как любое число <math>y</math> из отрезка <math>[-1;1]</math> равно значению <math>\sin x</math> при некотором <math>x</math>. [[Файл:sinx.png|thumb|Все числа <math>y\in[-1;1]</math> — это значения функции <math>\sin x</math> ]] '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}</math> и отображение <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> задано при <math>x\in\mathbb{R}</math> формулой <math>f(x)=x^3</math>. Тогда отображение <math>f</math> одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение <math>y\in\mathbb{R}</math> есть значение <math>x^3</math> при некотором <math>x</math> (а именно, при <math>x=\sqrt[3]{y}</math>); 2) никакие два разных значения <math>x_1,x_2\in\mathbb{R}</math> не могут дать одинаковых значений <math>x_1^3=x_2^3</math>, так как из неравенства <math>x_1<x_2</math> следует неравенство <math>x_1^3<x_2^3</math>. [[Файл:cubediff.png|thumb|Кубы разных чисел не совпадают]] === Взаимно-однозначное соответствие === Отображение <math>f\colon A\to B</math>, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между <math>A</math> и <math>B</math>, или биекцией. Это означает, что каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется ровно один элемент <math>y\in B</math>, причём для каждого элемента <math>y\in B</math> имеется такой элемент <math>x\in A</math>, который сопоставлен этому <math>y</math>. '''Замечание:''' Если отображение <math>f\colon A\to B</math> — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества <math>A</math> и множеством значений функции <math>\mathcal{E}(f)</math>, то есть частью множества <math>B</math>. Пусть <math>\mathcal{E}(f)=B'</math>. Тогда функция <math>f</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами <math>A</math> и <math>B'</math>. (Более формально: функция <math>f_1 \colon A\to B'</math>, совпадающая с <math>f</math> при всех <math>x\in A</math>, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции <math>f</math> и <math>f_1</math> имеют одну и ту же область определения <math>A</math> и их значения совпадают при всех <math>x\in A</math>, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой <math>f</math>.) [[Файл:math2.png|thumb|Множество <math>\mathcal{D}(f)</math> взаимно-однозначно отображается на множество <math>\mathcal{E}(f)</math> ]] '''Пример 1:''' При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто <math>p</math> соответствует ровно один выданный номерок <math>n</math>. Таким образом, между множеством <math>P</math> сданных пальто и множеством выданных номерков <math>N'</math> (<math>N'</math> — это подмножество множества <math>N</math> всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция <math>f\colon p\mapsto n</math> (<math>p\in P</math>, <math>n\in N'</math>). === Обратная функция === Если <math>f:A\to B</math> — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому <math>y\in B</math> тот элемент <math>x\in A</math>, который переходит в этот самый <math>y</math> при отображении <math>f</math>, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению <math>f</math> и обозначается <math>f^{-1}</math>. Таким образом, <math>f^{-1}:B\to A</math>, и <math>f^{-1}(y)=x</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x)=y</math> (<math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>). '''Пример 1:''' В условиях примера 1.4 отображение <math>f:P\to N'</math> — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков <math>n\in N'</math> находят соответствующее номерку пальто <math>p\in P</math>. Соответствие <math>g:N'\to P</math>, <math>n\mapsto p</math> (<math>n\in N'</math>, <math>p\in P</math>) — это обратная функция к функции <math>f:P\to N'</math>, <math>p\mapsto n</math>, то есть <math>g=f^{-1}</math>. Очевидно, что в случае, если <math>f:A\to B</math> — биекция и <math>f^{-1}</math> — обратная к <math>f</math> функция, то <math>f^{-1}(f(x))=x</math> для всех <math>x\in A</math> и <math>f(f^{-1}(y))=y</math> для всех <math>y\in B</math>. Последнее равенство показывает, что <math>(f^{-1})^{-1}=f</math> и что функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны. (То есть если <math>g</math> — функция, обратная к <math>f</math>, то <math>f</math> — функция, обратная к <math>g</math>.) [[Файл:f-1.png|thumb|Функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны]] Итак, для того чтобы функция <math>f:A\to B</math> имела обратную функцию <math>f^{-1}:B\to A</math>, функция <math>f</math> должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда обратная функция <math>f^{-1}</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между <math>B</math> и <math>A</math>. '''Пример 2:''' Функция <math>f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)</math>, заданная формулой <math>y=f(x)=x^2</math>, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: <math>x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>. [[Файл:sqrtx.png|thumb|Функции <math>y=x^2</math> и <math>x=\sqrt{y}</math> — взаимно обратны]] В математическом анализе основную роль играют такие функции <math>f</math>, у которых значениями служат вещественные числа, то есть <math>\mathcal{E}(f)\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции <math>f</math> называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются. А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой. '''Пример 3:''' Пусть <math>A</math> — множество всевозможных отрезков <math>CD</math>, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки <math>C</math> и <math>D</math>) не совпадают. Пусть соответствие <math>f</math> сопоставляет каждому такому отрезку <math>CD</math> его длину <math>f(CD)=\vert CD\vert</math>. Так как длина отрезка — число, то <math>f</math> — числовая функция, <math>f:A\to\mathbb{R}</math>. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: <math>\mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}</math>. Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями <math>f</math>, область определения которых <math>\mathcal{D}(f)</math> также является подмножеством числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>, то есть такими функциями <math>f:A\to B</math>, где <math>A\subset\mathbb{R}</math> и <math>B\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, равном прямому произведению <math>n</math> экземпляров множества <math>\mathbb{R}</math> (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже). === График функции === Графиком функции <math>f:A\to B</math> называется множество пар <math>(x;y)</math> элементов <math>x\in A</math> и <math>y\in B</math>, такое, что в каждой паре <math>(x;y)</math> второй элемент <math>y</math> — это значение функции <math>f(x)</math>, соответствующее первому элементу пары, то есть <math>x</math>. Рассмотрим множество всевозможных пар <math>(x;y)</math>, где <math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества <math>A</math> на множество <math>B</math> и обозначается <math>A\times B</math>. Ясно, что график <math>{\Gamma}_f</math> функции <math>f</math> — это подмножество прямого произведения <math>A\times B</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\subset A\times B.</math> В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times[-1;1]</math> ; график примера 1.3 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> ; оба графика примера 1.6 — подмножества в <math>\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2</math> (здесь мы ввели обозначение <math>\mathbb{R}_+=[0;+\infty)</math>, которого будем придерживаться и далее). '''Пример 1:''' Пусть <math>A</math> — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости <math>\mathbb{R}^2</math> с координатами <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, с центром в точке <math>O(0;0)</math>. Функцию <math>f</math> в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки <math>(x_1;x_2)</math> до центра. Таким образом, <math>f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>, где <math>x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2</math>. Графиком <math>{\Gamma}_f</math> этой функции является подмножество прямого произведения <math>A\times\mathbb{R}</math>. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве <math>\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math>. Обозначим координаты точек в <math>\mathbb{R}^3</math> через <math>x_1,x_2,y</math>. Тогда графику <math>{\Gamma}_f</math> принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения <math>y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math> и <math>x_1^2+x_2^2\leqslant 1</math>. Множество <math>G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math>(0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1. [[Файл:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math>O</math> — это конус]] Как мы видим, в случае, когда <math>A</math> — подмножество плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>. Если же <math>A</math> — подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math>{\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math>A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math>{\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом. '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^3</math> и для каждой точки <math>x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3</math> значение функции <math>f</math> в этой точке — это квадрат расстояния от <math>x</math> до точки <math>O(0;0;0)</math>, то есть <math>f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2</math>. Тогда график <math>{\Gamma}_f</math> — это подмножество в <math>\mathbb{R}^4</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.</math> Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула <math>y=x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}</math> — это парабола <math>y=x_1^2</math> в плоскости <math>x_1Oy</math>, а сечение трёхмерным пространством <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}</math> — это одна точка <math>(0;0;0;0)</math>. Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах. Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида <math>{y=f(x)}</math>. Способ задания функции <math>f:A\to B</math> зависит от того, какова природа множеств <math>A</math> и <math>B</math> и как по заданному <math>x\in A</math> определяется <math>{y=f(x)\in B}</math>. Выделим основные из этих способов. == Способы описания функций == === Табличный === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> конечно и состоит из <math>N</math> элементов <math>x_1,x_2,\dots,x_N</math>, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе <math>x\in A</math>. Часто это делают в виде таблицы: {| border="1" width="150px" |<math>x</math> ||<math>x_1</math> ||<math>x_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>x_N</math> |- |<math>y</math> ||<math>y_1</math> ||<math>y_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>y_N</math> |} В верхней строке таблицы перечисляются все <math>N</math> элементов конечного множества <math>A</math>, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк. === С помощью формулы (аналитически) === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция <math>f:x\mapsto y</math> может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента <math>x</math> найти соответствующее ему значение <math>y</math>, например: * <math>f(x)=\arcsin x,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[-1;1];</math> * <math>f(x)=\sqrt[4]{x},</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[0;+\infty);</math> * <math>f(x)=\ln(1-x),</math> при <math>\mathcal{D}(f)=(-\infty;1);</math> * <math>f(x)=\ln x_1x_2,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\subset\mathbb{R}^2.</math> '''Замечание:''' Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах <math>A</math>, считаются различными. Так, функция <math>f(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[0;1]</math> и функция <math>g(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[-1;1]</math> — это две разные функции, так как функция <math>f</math> устанавливает соответствие между точками множества <math>[0;1]</math> и некоторыми точками числовой прямой, а функция <math>g</math> — между точками другого множества <math>[-1;1]</math> и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как <math>{f(x)=g(x)}</math> при всех <math>{x\in[0;1]}</math>. === Ограничение функции === Если дана функция <math>f:A\to B</math>, и <math>A\subset A</math>, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции <math>f</math> только на элементах <math>x\in A</math>. Эта функция <math>f: A\to B</math> определена равенством <math>f(x)=f(x)</math> при <math>x\in A</math>. Функция <math>f</math> называется ограничением функции <math>f</math> на подмножество <math>A\subset A</math> её области определения <math>A=\mathcal{D}(f)</math> и обозначается <math>f\vert _{A}</math>, то есть <math>f=f\vert _{A}</math>. '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}</math> — числовая плоскость и функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x;y)=x^2+2xy-y^2.</math> Рассмотрим на плоскости <math>A</math> подмножество — прямую линию <math>L</math>, заданную уравнением <math>x+y=1</math>. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции <math>f\vert _L</math> точки только прямой <math>L</math>. Ограничение <math>f\vert _L(x;y)</math> определено только при <math>x+y=1</math>, поэтому его, кроме исходной формулы <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,</math> можно задать такими формулами: <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1</math> (1.1) (так как <math>y=1-x</math> на прямой <math>L</math>), или <math>f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1</math> (1.2) (так как <math>x=1-y</math> на прямой <math>L</math>). Во всех точках <math>(x;y)</math> прямой <math>L</math> все три формулы дают одно и то же значение функции <math>f\vert _L</math>. Мы видим, что формула (1.1) даёт для <math>f\vert _L</math> те же значения, что функция одного переменного <math>x</math> : <math>f_1(x)=-2x^2+4x-1</math>, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного <math>y</math> : <math>f_2(y)=-2y^2+1</math>. Две последние функции называются параметризациями ограничения <math>f\vert _L</math>. '''Пример 2:''' Пусть <math>f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2</math> — функция, заданная во всех точках плоскости <math>\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}</math>. Пусть <math>A=l</math> — прямая <math>x_2=1</math> на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>. Тогда функция <math>f(x)=f\vert _l(x)</math> равна <math>x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2</math>. Формально ограничение зависит от точек <math>(x_1,x_2)</math> плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, но только таких, что <math>x_2=1</math>. Поэтому задание этого ограничения <math>f(x_1,x_2)</math> эквивалентно заданию числовой функции одного переменного <math>g(x_1)=x_1^2+2x_1+2</math>. Функция <math>g</math> — это одна из возможных параметризаций функции <math>f\vert _l</math>. '''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math> при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math> выражение <math>f(x)</math> имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость. '''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math> По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math> принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math> проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math> в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство. Если <math>\mathcal{D}(f)</math> — это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math> называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math> содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math> в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math> легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math> при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений. '''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math> при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math> и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>. '''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math> задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math>), а при <math>n\geqslant 3</math> вычисляют <math>f_n</math> по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math> и т. д. === Указание процедуры вычисления === Во многих случаях функцию <math>f</math> приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример. '''Пример:''' Пусть <math>a\in\mathbb{R}</math> и <math>f(a)</math> — это наибольший корень <math>x_{\max}</math> уравнения <math>ax^4+2x^2-3ax+a^2=0</math>. Этим условием задаётся некоторая функция <math>f:a\mapsto x_{\max}</math>. Её область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> не пуста, так как, например, при <math>a=0</math> получается уравнение <math>2x^2=0</math>, у которого имеется единственный корень <math>x_{\max}=0</math>, так что <math>f(0)=0</math> и, следовательно, <math>0\in\mathcal{D}(f)</math>. Однако ни выразить значение <math>f(a)</math> формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> функции <math>f</math> не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции <math>f</math> возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений <math>f(a)</math>, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению <math>a=a_0</math> определять значение <math>x_{\max}=f(a_0)</math> либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что <math>a_0</math> не принадлежит <math>\mathcal{D}(f)</math>. Изменяя число <math>a</math> в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения <math>f(a)</math> с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график <math>y=f(a)</math> по точкам. Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения. Если числовая функция <math>f(x)</math>, где <math>x\in A\subset\mathbb{R}</math>, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки <math>x_k\in A</math>, <math>k=1,\dots,N</math>, и нанося на координатную плоскость <math>xOy</math> точки вида <math>(x_k;f(x_k))</math> и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения <math>f(x)</math> через <math>x</math>. Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции <math>f(x)</math> по заданным <math>x</math>, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента <math>x</math> часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении <math>f</math>, вызванной тремя причинами: # приближённостью задания переменного <math>x</math> (погрешностью аргумента); # приближённостью способа получения значения <math>f(x)</math> (погрешностью метода); # приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений). Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления <math>f(x)</math>. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график <math>y=f(x)</math>, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией <math>f</math>, и по другим косвенным признакам. [[Категория:Математика]] [[Категория:Алгебра]] pln13y2riwd0h5nzgl7lehpf4d249th 267631 267523 2026-05-21T08:21:02Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267631 wikitext text/x-wiki == Основные определения == === Функция === Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — два произвольных множества. Функцией <math>f</math> из <math>A</math> в <math>B</math> называется соответствие между элементами множества <math>A</math> и множества <math>B</math>, при котором каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется какой-либо один элемент <math>{y\in B}</math>. При этом <math>y</math> называется значением функции <math>f</math> на элементе <math>x</math>, что записывается как <math>{y=f(x)}</math> или <math>f\colon x\mapsto y</math>. Тот факт, что функция <math>f</math> переводит элементы <math>x\in A</math> в элементы <math>y\in B</math>, записывается так: <math>f\colon A\to B</math>. Множество <math>A</math> называется '''областью определения функции (ООФ)''' <math>f</math> и обозначается <math>\mathcal{D}(f)</math> или <math>\mathcal{D}_f</math>. [[Файл:math1.png|thumb|Множество <math>A</math> отображается функцией <math>f</math> в множество <math>B</math> ]] '''Пример:''' Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров <math>{A=\{1;2;\dots;20\}}</math> и множество <math>B</math> — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие <math>f</math>, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция <math>f:n\mapsto F</math>, где <math>n</math> — номер студента в группе (от 1 до 20) и <math>F</math> — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение <math>f(n)</math> определено для всех <math>n\in A</math>. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества <math>B</math> — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов <math>\in B</math> не будет значением <math>f(n)</math> ни при каком <math>n\in A</math>. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах <math>n_1\in A</math> и <math>n_2\in A</math> элемент Петров <math>\in B</math> будет значением функции <math>f</math>, то есть <math>f(n_1)=Petrov</math> и <math>f(n_2)=Petrov</math>. На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции <math>\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}</math> не обязано совпадать со всем множеством <math>B</math>, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие <math>x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)</math>, что <math>x_1\ne x_2</math>, но <math>f(x_1)=f(x_2)</math>. В таком случае часто говорят, что элементы <math>x_1</math> и <math>x_2</math> склеиваются при отображении <math>f</math>. === Отображение функции === Если <math>\mathcal{E}(f)=B</math>, то есть для любого элемента <math>y\in B</math> найдётся элемент <math>x\in A</math> такой, что <math>f(x)=y</math>, то функция <math>f</math> называется отображением <math>A</math> на <math>B</math> (напомним, что в общем случае <math>f</math> — это отображение из <math>A</math> в <math>B</math>). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией. Если для любых двух разных элементов <math>x_1,x_2\in A</math> (<math>x_1\ne x_2</math>) значения <math>f(x_1),f(x_2)\in B</math> тоже разные (<math>f(x_1)\ne f(x_2)</math>), то отображение <math>f</math> называется вложением множества <math>A</math> в множество <math>B</math>, или инъективным отображением (инъекцией). '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=[-1;1]</math> и отображение <math>f</math> для <math>x\in A</math> задано формулой <math>f(x)=\sin x</math>. Тогда <math>f</math> — сюръекция, так как любое число <math>y</math> из отрезка <math>[-1;1]</math> равно значению <math>\sin x</math> при некотором <math>x</math>. [[Файл:sinx.png|thumb|Все числа <math>y\in[-1;1]</math> — это значения функции <math>\sin x</math> ]] '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}</math> и отображение <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> задано при <math>x\in\mathbb{R}</math> формулой <math>f(x)=x^3</math>. Тогда отображение <math>f</math> одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение <math>y\in\mathbb{R}</math> есть значение <math>x^3</math> при некотором <math>x</math> (а именно, при <math>x=\sqrt[3]{y}</math>); 2) никакие два разных значения <math>x_1,x_2\in\mathbb{R}</math> не могут дать одинаковых значений <math>x_1^3=x_2^3</math>, так как из неравенства <math>x_1<x_2</math> следует неравенство <math>x_1^3<x_2^3</math>. [[Файл:cubediff.png|thumb|Кубы разных чисел не совпадают]] === Взаимно-однозначное соответствие === Отображение <math>f\colon A\to B</math>, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между <math>A</math> и <math>B</math>, или биекцией. Это означает, что каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется ровно один элемент <math>y\in B</math>, причём для каждого элемента <math>y\in B</math> имеется такой элемент <math>x\in A</math>, который сопоставлен этому <math>y</math>. '''Замечание:''' Если отображение <math>f\colon A\to B</math> — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества <math>A</math> и множеством значений функции <math>\mathcal{E}(f)</math>, то есть частью множества <math>B</math>. Пусть <math>\mathcal{E}(f)=B'</math>. Тогда функция <math>f</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами <math>A</math> и <math>B'</math>. (Более формально: функция <math>f_1 \colon A\to B'</math>, совпадающая с <math>f</math> при всех <math>x\in A</math>, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции <math>f</math> и <math>f_1</math> имеют одну и ту же область определения <math>A</math> и их значения совпадают при всех <math>x\in A</math>, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой <math>f</math>.) [[Файл:math2.png|thumb|Множество <math>\mathcal{D}(f)</math> взаимно-однозначно отображается на множество <math>\mathcal{E}(f)</math> ]] '''Пример 1:''' При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто <math>p</math> соответствует ровно один выданный номерок <math>n</math>. Таким образом, между множеством <math>P</math> сданных пальто и множеством выданных номерков <math>N'</math> (<math>N'</math> — это подмножество множества <math>N</math> всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция <math>f\colon p\mapsto n</math> (<math>p\in P</math>, <math>n\in N'</math>). === Обратная функция === Если <math>f:A\to B</math> — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому <math>y\in B</math> тот элемент <math>x\in A</math>, который переходит в этот самый <math>y</math> при отображении <math>f</math>, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению <math>f</math> и обозначается <math>f^{-1}</math>. Таким образом, <math>f^{-1}:B\to A</math>, и <math>f^{-1}(y)=x</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x)=y</math> (<math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>). '''Пример 1:''' В условиях примера 1.4 отображение <math>f:P\to N'</math> — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков <math>n\in N'</math> находят соответствующее номерку пальто <math>p\in P</math>. Соответствие <math>g:N'\to P</math>, <math>n\mapsto p</math> (<math>n\in N'</math>, <math>p\in P</math>) — это обратная функция к функции <math>f:P\to N'</math>, <math>p\mapsto n</math>, то есть <math>g=f^{-1}</math>. Очевидно, что в случае, если <math>f:A\to B</math> — биекция и <math>f^{-1}</math> — обратная к <math>f</math> функция, то <math>f^{-1}(f(x))=x</math> для всех <math>x\in A</math> и <math>f(f^{-1}(y))=y</math> для всех <math>y\in B</math>. Последнее равенство показывает, что <math>(f^{-1})^{-1}=f</math> и что функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны. (То есть если <math>g</math> — функция, обратная к <math>f</math>, то <math>f</math> — функция, обратная к <math>g</math>.) [[Файл:f-1.png|thumb|Функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны]] Итак, для того чтобы функция <math>f:A\to B</math> имела обратную функцию <math>f^{-1}:B\to A</math>, функция <math>f</math> должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда обратная функция <math>f^{-1}</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между <math>B</math> и <math>A</math>. '''Пример 2:''' Функция <math>f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)</math>, заданная формулой <math>y=f(x)=x^2</math>, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: <math>x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>. [[Файл:sqrtx.png|thumb|Функции <math>y=x^2</math> и <math>x=\sqrt{y}</math> — взаимно обратны]] В математическом анализе основную роль играют такие функции <math>f</math>, у которых значениями служат вещественные числа, то есть <math>\mathcal{E}(f)\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции <math>f</math> называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются. А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой. '''Пример 3:''' Пусть <math>A</math> — множество всевозможных отрезков <math>CD</math>, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки <math>C</math> и <math>D</math>) не совпадают. Пусть соответствие <math>f</math> сопоставляет каждому такому отрезку <math>CD</math> его длину <math>f(CD)=\vert CD\vert</math>. Так как длина отрезка — число, то <math>f</math> — числовая функция, <math>f:A\to\mathbb{R}</math>. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: <math>\mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}</math>. Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями <math>f</math>, область определения которых <math>\mathcal{D}(f)</math> также является подмножеством числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>, то есть такими функциями <math>f:A\to B</math>, где <math>A\subset\mathbb{R}</math> и <math>B\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, равном прямому произведению <math>n</math> экземпляров множества <math>\mathbb{R}</math> (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже). === График функции === Графиком функции <math>f:A\to B</math> называется множество пар <math>(x;y)</math> элементов <math>x\in A</math> и <math>y\in B</math>, такое, что в каждой паре <math>(x;y)</math> второй элемент <math>y</math> — это значение функции <math>f(x)</math>, соответствующее первому элементу пары, то есть <math>x</math>. Рассмотрим множество всевозможных пар <math>(x;y)</math>, где <math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества <math>A</math> на множество <math>B</math> и обозначается <math>A\times B</math>. Ясно, что график <math>{\Gamma}_f</math> функции <math>f</math> — это подмножество прямого произведения <math>A\times B</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\subset A\times B.</math> В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times[-1;1]</math> ; график примера 1.3 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> ; оба графика примера 1.6 — подмножества в <math>\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2</math> (здесь мы ввели обозначение <math>\mathbb{R}_+=[0;+\infty)</math>, которого будем придерживаться и далее). '''Пример 1:''' Пусть <math>A</math> — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости <math>\mathbb{R}^2</math> с координатами <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, с центром в точке <math>O(0;0)</math>. Функцию <math>f</math> в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки <math>(x_1;x_2)</math> до центра. Таким образом, <math>f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>, где <math>x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2</math>. Графиком <math>{\Gamma}_f</math> этой функции является подмножество прямого произведения <math>A\times\mathbb{R}</math>. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве <math>\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math>. Обозначим координаты точек в <math>\mathbb{R}^3</math> через <math>x_1,x_2,y</math>. Тогда графику <math>{\Gamma}_f</math> принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения <math>y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math> и <math>x_1^2+x_2^2\leqslant 1</math>. Множество <math>G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math>(0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1. [[Файл:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math>O</math> — это конус]] Как мы видим, в случае, когда <math>A</math> — подмножество плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>. Если же <math>A</math> — подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math>{\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math>A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math>{\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом. '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^3</math> и для каждой точки <math>x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3</math> значение функции <math>f</math> в этой точке — это квадрат расстояния от <math>x</math> до точки <math>O(0;0;0)</math>, то есть <math>f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2</math>. Тогда график <math>{\Gamma}_f</math> — это подмножество в <math>\mathbb{R}^4</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.</math> Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула <math>y=x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}</math> — это парабола <math>y=x_1^2</math> в плоскости <math>x_1Oy</math>, а сечение трёхмерным пространством <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}</math> — это одна точка <math>(0;0;0;0)</math>. Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах. Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида <math>{y=f(x)}</math>. Способ задания функции <math>f:A\to B</math> зависит от того, какова природа множеств <math>A</math> и <math>B</math> и как по заданному <math>x\in A</math> определяется <math>{y=f(x)\in B}</math>. Выделим основные из этих способов. == Способы описания функций == === Табличный === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> конечно и состоит из <math>N</math> элементов <math>x_1,x_2,\dots,x_N</math>, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе <math>x\in A</math>. Часто это делают в виде таблицы: {| border="1" width="150px" |<math>x</math> ||<math>x_1</math> ||<math>x_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>x_N</math> |- |<math>y</math> ||<math>y_1</math> ||<math>y_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>y_N</math> |} В верхней строке таблицы перечисляются все <math>N</math> элементов конечного множества <math>A</math>, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк. === С помощью формулы (аналитически) === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция <math>f:x\mapsto y</math> может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента <math>x</math> найти соответствующее ему значение <math>y</math>, например: * <math>f(x)=\arcsin x,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[-1;1];</math> * <math>f(x)=\sqrt[4]{x},</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[0;+\infty);</math> * <math>f(x)=\ln(1-x),</math> при <math>\mathcal{D}(f)=(-\infty;1);</math> * <math>f(x)=\ln x_1x_2,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\subset\mathbb{R}^2.</math> '''Замечание:''' Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах <math>A</math>, считаются различными. Так, функция <math>f(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[0;1]</math> и функция <math>g(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[-1;1]</math> — это две разные функции, так как функция <math>f</math> устанавливает соответствие между точками множества <math>[0;1]</math> и некоторыми точками числовой прямой, а функция <math>g</math> — между точками другого множества <math>[-1;1]</math> и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как <math>{f(x)=g(x)}</math> при всех <math>{x\in[0;1]}</math>. === Ограничение функции === Если дана функция <math>f:A\to B</math>, и <math>A\subset A</math>, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции <math>f</math> только на элементах <math>x\in A</math>. Эта функция <math>f: A\to B</math> определена равенством <math>f(x)=f(x)</math> при <math>x\in A</math>. Функция <math>f</math> называется ограничением функции <math>f</math> на подмножество <math>A\subset A</math> её области определения <math>A=\mathcal{D}(f)</math> и обозначается <math>f\vert _{A}</math>, то есть <math>f=f\vert _{A}</math>. '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}</math> — числовая плоскость и функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x;y)=x^2+2xy-y^2.</math> Рассмотрим на плоскости <math>A</math> подмножество — прямую линию <math>L</math>, заданную уравнением <math>x+y=1</math>. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции <math>f\vert _L</math> точки только прямой <math>L</math>. Ограничение <math>f\vert _L(x;y)</math> определено только при <math>x+y=1</math>, поэтому его, кроме исходной формулы <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,</math> можно задать такими формулами: <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1</math> (1.1) (так как <math>y=1-x</math> на прямой <math>L</math>), или <math>f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1</math> (1.2) (так как <math>x=1-y</math> на прямой <math>L</math>). Во всех точках <math>(x;y)</math> прямой <math>L</math> все три формулы дают одно и то же значение функции <math>f\vert _L</math>. Мы видим, что формула (1.1) даёт для <math>f\vert _L</math> те же значения, что функция одного переменного <math>x</math> : <math>f_1(x)=-2x^2+4x-1</math>, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного <math>y</math> : <math>f_2(y)=-2y^2+1</math>. Две последние функции называются параметризациями ограничения <math>f\vert _L</math>. '''Пример 2:''' Пусть <math>f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2</math> — функция, заданная во всех точках плоскости <math>\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}</math>. Пусть <math>A=l</math> — прямая <math>x_2=1</math> на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>. Тогда функция <math>f(x)=f\vert _l(x)</math> равна <math>x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2</math>. Формально ограничение зависит от точек <math>(x_1,x_2)</math> плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, но только таких, что <math>x_2=1</math>. Поэтому задание этого ограничения <math>f(x_1,x_2)</math> эквивалентно заданию числовой функции одного переменного <math>g(x_1)=x_1^2+2x_1+2</math>. Функция <math>g</math> — это одна из возможных параметризаций функции <math>f\vert _l</math>. '''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math> при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math> выражение <math>f(x)</math> имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость. '''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math> По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math> принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math> проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math> в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство. Если <math>\mathcal{D}(f)</math> — это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math> называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math> содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math> в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math> легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math> при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений. '''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math> при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math> и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>. '''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math> задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math>), а при <math>n\geqslant 3</math> вычисляют <math>f_n</math> по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math> и т. д. === Указание процедуры вычисления === Во многих случаях функцию <math>f</math> приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример. '''Пример:''' Пусть <math>a\in\mathbb{R}</math> и <math>f(a)</math> — это наибольший корень <math>x_{\max}</math> уравнения <math>ax^4+2x^2-3ax+a^2=0</math>. Этим условием задаётся некоторая функция <math>f:a\mapsto x_{\max}</math>. Её область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> не пуста, так как, например, при <math>a=0</math> получается уравнение <math>2x^2=0</math>, у которого имеется единственный корень <math>x_{\max}=0</math>, так что <math>f(0)=0</math> и, следовательно, <math>0\in\mathcal{D}(f)</math>. Однако ни выразить значение <math>f(a)</math> формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> функции <math>f</math> не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции <math>f</math> возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений <math>f(a)</math>, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению <math>a=a_0</math> определять значение <math>x_{\max}=f(a_0)</math> либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что <math>a_0</math> не принадлежит <math>\mathcal{D}(f)</math>. Изменяя число <math>a</math> в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения <math>f(a)</math> с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график <math>y=f(a)</math> по точкам. Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения. Если числовая функция <math>f(x)</math>, где <math>x\in A\subset\mathbb{R}</math>, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки <math>x_k\in A</math>, <math>k=1,\dots,N</math>, и нанося на координатную плоскость <math>xOy</math> точки вида <math>(x_k;f(x_k))</math> и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения <math>f(x)</math> через <math>x</math>. Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции <math>f(x)</math> по заданным <math>x</math>, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента <math>x</math> часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении <math>f</math>, вызванной тремя причинами: # приближённостью задания переменного <math>x</math> (погрешностью аргумента); # приближённостью способа получения значения <math>f(x)</math> (погрешностью метода); # приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений). Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления <math>f(x)</math>. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график <math>y=f(x)</math>, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией <math>f</math>, и по другим косвенным признакам. [[Категория:Алгебра]] e506hc3noymmwby4d8kn29p45c4meu6 267666 267631 2026-05-21T08:40:15Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267666 wikitext text/x-wiki == Основные определения == === Функция === Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — два произвольных множества. Функцией <math>f</math> из <math>A</math> в <math>B</math> называется соответствие между элементами множества <math>A</math> и множества <math>B</math>, при котором каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется какой-либо один элемент <math>{y\in B}</math>. При этом <math>y</math> называется значением функции <math>f</math> на элементе <math>x</math>, что записывается как <math>{y=f(x)}</math> или <math>f\colon x\mapsto y</math>. Тот факт, что функция <math>f</math> переводит элементы <math>x\in A</math> в элементы <math>y\in B</math>, записывается так: <math>f\colon A\to B</math>. Множество <math>A</math> называется '''областью определения функции (ООФ)''' <math>f</math> и обозначается <math>\mathcal{D}(f)</math> или <math>\mathcal{D}_f</math>. [[Файл:math1.png|thumb|Множество <math>A</math> отображается функцией <math>f</math> в множество <math>B</math> ]] '''Пример:''' Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров <math>{A=\{1;2;\dots;20\}}</math> и множество <math>B</math> — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие <math>f</math>, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция <math>f:n\mapsto F</math>, где <math>n</math> — номер студента в группе (от 1 до 20) и <math>F</math> — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение <math>f(n)</math> определено для всех <math>n\in A</math>. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества <math>B</math> — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов <math>\in B</math> не будет значением <math>f(n)</math> ни при каком <math>n\in A</math>. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах <math>n_1\in A</math> и <math>n_2\in A</math> элемент Петров <math>\in B</math> будет значением функции <math>f</math>, то есть <math>f(n_1)=Petrov</math> и <math>f(n_2)=Petrov</math>. На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции <math>\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}</math> не обязано совпадать со всем множеством <math>B</math>, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие <math>x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)</math>, что <math>x_1\ne x_2</math>, но <math>f(x_1)=f(x_2)</math>. В таком случае часто говорят, что элементы <math>x_1</math> и <math>x_2</math> склеиваются при отображении <math>f</math>. === Отображение функции === Если <math>\mathcal{E}(f)=B</math>, то есть для любого элемента <math>y\in B</math> найдётся элемент <math>x\in A</math> такой, что <math>f(x)=y</math>, то функция <math>f</math> называется отображением <math>A</math> на <math>B</math> (напомним, что в общем случае <math>f</math> — это отображение из <math>A</math> в <math>B</math>). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией. Если для любых двух разных элементов <math>x_1,x_2\in A</math> (<math>x_1\ne x_2</math>) значения <math>f(x_1),f(x_2)\in B</math> тоже разные (<math>f(x_1)\ne f(x_2)</math>), то отображение <math>f</math> называется вложением множества <math>A</math> в множество <math>B</math>, или инъективным отображением (инъекцией). '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=[-1;1]</math> и отображение <math>f</math> для <math>x\in A</math> задано формулой <math>f(x)=\sin x</math>. Тогда <math>f</math> — сюръекция, так как любое число <math>y</math> из отрезка <math>[-1;1]</math> равно значению <math>\sin x</math> при некотором <math>x</math>. [[Файл:sinx.png|thumb|Все числа <math>y\in[-1;1]</math> — это значения функции <math>\sin x</math> ]] '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}</math> и отображение <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> задано при <math>x\in\mathbb{R}</math> формулой <math>f(x)=x^3</math>. Тогда отображение <math>f</math> одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение <math>y\in\mathbb{R}</math> есть значение <math>x^3</math> при некотором <math>x</math> (а именно, при <math>x=\sqrt[3]{y}</math>); 2) никакие два разных значения <math>x_1,x_2\in\mathbb{R}</math> не могут дать одинаковых значений <math>x_1^3=x_2^3</math>, так как из неравенства <math>x_1<x_2</math> следует неравенство <math>x_1^3<x_2^3</math>. [[Файл:cubediff.png|thumb|Кубы разных чисел не совпадают]] === Взаимно-однозначное соответствие === Отображение <math>f\colon A\to B</math>, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между <math>A</math> и <math>B</math>, или биекцией. Это означает, что каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется ровно один элемент <math>y\in B</math>, причём для каждого элемента <math>y\in B</math> имеется такой элемент <math>x\in A</math>, который сопоставлен этому <math>y</math>. '''Замечание:''' Если отображение <math>f\colon A\to B</math> — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества <math>A</math> и множеством значений функции <math>\mathcal{E}(f)</math>, то есть частью множества <math>B</math>. Пусть <math>\mathcal{E}(f)=B'</math>. Тогда функция <math>f</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами <math>A</math> и <math>B'</math>. (Более формально: функция <math>f_1 \colon A\to B'</math>, совпадающая с <math>f</math> при всех <math>x\in A</math>, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции <math>f</math> и <math>f_1</math> имеют одну и ту же область определения <math>A</math> и их значения совпадают при всех <math>x\in A</math>, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой <math>f</math>.) [[Файл:math2.png|thumb|Множество <math>\mathcal{D}(f)</math> взаимно-однозначно отображается на множество <math>\mathcal{E}(f)</math> ]] '''Пример 1:''' При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто <math>p</math> соответствует ровно один выданный номерок <math>n</math>. Таким образом, между множеством <math>P</math> сданных пальто и множеством выданных номерков <math>N'</math> (<math>N'</math> — это подмножество множества <math>N</math> всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция <math>f\colon p\mapsto n</math> (<math>p\in P</math>, <math>n\in N'</math>). === Обратная функция === Если <math>f:A\to B</math> — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому <math>y\in B</math> тот элемент <math>x\in A</math>, который переходит в этот самый <math>y</math> при отображении <math>f</math>, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению <math>f</math> и обозначается <math>f^{-1}</math>. Таким образом, <math>f^{-1}:B\to A</math>, и <math>f^{-1}(y)=x</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x)=y</math> (<math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>). '''Пример 1:''' В условиях примера 1.4 отображение <math>f:P\to N'</math> — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков <math>n\in N'</math> находят соответствующее номерку пальто <math>p\in P</math>. Соответствие <math>g:N'\to P</math>, <math>n\mapsto p</math> (<math>n\in N'</math>, <math>p\in P</math>) — это обратная функция к функции <math>f:P\to N'</math>, <math>p\mapsto n</math>, то есть <math>g=f^{-1}</math>. Очевидно, что в случае, если <math>f:A\to B</math> — биекция и <math>f^{-1}</math> — обратная к <math>f</math> функция, то <math>f^{-1}(f(x))=x</math> для всех <math>x\in A</math> и <math>f(f^{-1}(y))=y</math> для всех <math>y\in B</math>. Последнее равенство показывает, что <math>(f^{-1})^{-1}=f</math> и что функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны. (То есть если <math>g</math> — функция, обратная к <math>f</math>, то <math>f</math> — функция, обратная к <math>g</math>.) [[Файл:f-1.png|thumb|Функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны]] Итак, для того чтобы функция <math>f:A\to B</math> имела обратную функцию <math>f^{-1}:B\to A</math>, функция <math>f</math> должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда обратная функция <math>f^{-1}</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между <math>B</math> и <math>A</math>. '''Пример 2:''' Функция <math>f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)</math>, заданная формулой <math>y=f(x)=x^2</math>, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: <math>x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>. [[Файл:sqrtx.png|thumb|Функции <math>y=x^2</math> и <math>x=\sqrt{y}</math> — взаимно обратны]] В математическом анализе основную роль играют такие функции <math>f</math>, у которых значениями служат вещественные числа, то есть <math>\mathcal{E}(f)\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции <math>f</math> называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются. А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой. '''Пример 3:''' Пусть <math>A</math> — множество всевозможных отрезков <math>CD</math>, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки <math>C</math> и <math>D</math>) не совпадают. Пусть соответствие <math>f</math> сопоставляет каждому такому отрезку <math>CD</math> его длину <math>f(CD)=\vert CD\vert</math>. Так как длина отрезка — число, то <math>f</math> — числовая функция, <math>f:A\to\mathbb{R}</math>. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: <math>\mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}</math>. Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями <math>f</math>, область определения которых <math>\mathcal{D}(f)</math> также является подмножеством числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>, то есть такими функциями <math>f:A\to B</math>, где <math>A\subset\mathbb{R}</math> и <math>B\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, равном прямому произведению <math>n</math> экземпляров множества <math>\mathbb{R}</math> (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже). === График функции === Графиком функции <math>f:A\to B</math> называется множество пар <math>(x;y)</math> элементов <math>x\in A</math> и <math>y\in B</math>, такое, что в каждой паре <math>(x;y)</math> второй элемент <math>y</math> — это значение функции <math>f(x)</math>, соответствующее первому элементу пары, то есть <math>x</math>. Рассмотрим множество всевозможных пар <math>(x;y)</math>, где <math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества <math>A</math> на множество <math>B</math> и обозначается <math>A\times B</math>. Ясно, что график <math>{\Gamma}_f</math> функции <math>f</math> — это подмножество прямого произведения <math>A\times B</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\subset A\times B.</math> В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times[-1;1]</math> ; график примера 1.3 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> ; оба графика примера 1.6 — подмножества в <math>\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2</math> (здесь мы ввели обозначение <math>\mathbb{R}_+=[0;+\infty)</math>, которого будем придерживаться и далее). '''Пример 1:''' Пусть <math>A</math> — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости <math>\mathbb{R}^2</math> с координатами <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, с центром в точке <math>O(0;0)</math>. Функцию <math>f</math> в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки <math>(x_1;x_2)</math> до центра. Таким образом, <math>f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>, где <math>x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2</math>. Графиком <math>{\Gamma}_f</math> этой функции является подмножество прямого произведения <math>A\times\mathbb{R}</math>. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве <math>\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math>. Обозначим координаты точек в <math>\mathbb{R}^3</math> через <math>x_1,x_2,y</math>. Тогда графику <math>{\Gamma}_f</math> принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения <math>y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math> и <math>x_1^2+x_2^2\leqslant 1</math>. Множество <math>G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math>(0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1. [[Файл:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math>O</math> — это конус]] Как мы видим, в случае, когда <math>A</math> — подмножество плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>. Если же <math>A</math> — подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math>{\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math>A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math>{\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом. '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^3</math> и для каждой точки <math>x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3</math> значение функции <math>f</math> в этой точке — это квадрат расстояния от <math>x</math> до точки <math>O(0;0;0)</math>, то есть <math>f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2</math>. Тогда график <math>{\Gamma}_f</math> — это подмножество в <math>\mathbb{R}^4</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.</math> Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула <math>y=x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}</math> — это парабола <math>y=x_1^2</math> в плоскости <math>x_1Oy</math>, а сечение трёхмерным пространством <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}</math> — это одна точка <math>(0;0;0;0)</math>. Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах. Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида <math>{y=f(x)}</math>. Способ задания функции <math>f:A\to B</math> зависит от того, какова природа множеств <math>A</math> и <math>B</math> и как по заданному <math>x\in A</math> определяется <math>{y=f(x)\in B}</math>. Выделим основные из этих способов. == Способы описания функций == === Табличный === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> конечно и состоит из <math>N</math> элементов <math>x_1,x_2,\dots,x_N</math>, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе <math>x\in A</math>. Часто это делают в виде таблицы: {| border="1" width="150px" |<math>x</math> ||<math>x_1</math> ||<math>x_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>x_N</math> |- |<math>y</math> ||<math>y_1</math> ||<math>y_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>y_N</math> |} В верхней строке таблицы перечисляются все <math>N</math> элементов конечного множества <math>A</math>, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк. === С помощью формулы (аналитически) === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция <math>f:x\mapsto y</math> может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента <math>x</math> найти соответствующее ему значение <math>y</math>, например: * <math>f(x)=\arcsin x,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[-1;1];</math> * <math>f(x)=\sqrt[4]{x},</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[0;+\infty);</math> * <math>f(x)=\ln(1-x),</math> при <math>\mathcal{D}(f)=(-\infty;1);</math> * <math>f(x)=\ln x_1x_2,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\subset\mathbb{R}^2.</math> '''Замечание:''' Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах <math>A</math>, считаются различными. Так, функция <math>f(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[0;1]</math> и функция <math>g(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[-1;1]</math> — это две разные функции, так как функция <math>f</math> устанавливает соответствие между точками множества <math>[0;1]</math> и некоторыми точками числовой прямой, а функция <math>g</math> — между точками другого множества <math>[-1;1]</math> и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как <math>{f(x)=g(x)}</math> при всех <math>{x\in[0;1]}</math>. === Ограничение функции === Если дана функция <math>f:A\to B</math>, и <math>A\subset A</math>, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции <math>f</math> только на элементах <math>x\in A</math>. Эта функция <math>f: A\to B</math> определена равенством <math>f(x)=f(x)</math> при <math>x\in A</math>. Функция <math>f</math> называется ограничением функции <math>f</math> на подмножество <math>A\subset A</math> её области определения <math>A=\mathcal{D}(f)</math> и обозначается <math>f\vert _{A}</math>, то есть <math>f=f\vert _{A}</math>. '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}</math> — числовая плоскость и функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x;y)=x^2+2xy-y^2.</math> Рассмотрим на плоскости <math>A</math> подмножество — прямую линию <math>L</math>, заданную уравнением <math>x+y=1</math>. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции <math>f\vert _L</math> точки только прямой <math>L</math>. Ограничение <math>f\vert _L(x;y)</math> определено только при <math>x+y=1</math>, поэтому его, кроме исходной формулы <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,</math> можно задать такими формулами: <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1</math> (1.1) (так как <math>y=1-x</math> на прямой <math>L</math>), или <math>f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1</math> (1.2) (так как <math>x=1-y</math> на прямой <math>L</math>). Во всех точках <math>(x;y)</math> прямой <math>L</math> все три формулы дают одно и то же значение функции <math>f\vert _L</math>. Мы видим, что формула (1.1) даёт для <math>f\vert _L</math> те же значения, что функция одного переменного <math>x</math> : <math>f_1(x)=-2x^2+4x-1</math>, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного <math>y</math> : <math>f_2(y)=-2y^2+1</math>. Две последние функции называются параметризациями ограничения <math>f\vert _L</math>. '''Пример 2:''' Пусть <math>f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2</math> — функция, заданная во всех точках плоскости <math>\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}</math>. Пусть <math>A=l</math> — прямая <math>x_2=1</math> на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>. Тогда функция <math>f(x)=f\vert _l(x)</math> равна <math>x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2</math>. Формально ограничение зависит от точек <math>(x_1,x_2)</math> плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, но только таких, что <math>x_2=1</math>. Поэтому задание этого ограничения <math>f(x_1,x_2)</math> эквивалентно заданию числовой функции одного переменного <math>g(x_1)=x_1^2+2x_1+2</math>. Функция <math>g</math> — это одна из возможных параметризаций функции <math>f\vert _l</math>. '''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math> при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math> выражение <math>f(x)</math> имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость. '''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math> По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math> принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math> проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math> в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство. Если <math>\mathcal{D}(f)</math> — это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math> называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math> содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math> в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math> легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math> при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений. '''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math> при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math> и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>. '''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math> задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math>), а при <math>n\geqslant 3</math> вычисляют <math>f_n</math> по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math> и т. д. === Указание процедуры вычисления === Во многих случаях функцию <math>f</math> приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример. '''Пример:''' Пусть <math>a\in\mathbb{R}</math> и <math>f(a)</math> — это наибольший корень <math>x_{\max}</math> уравнения <math>ax^4+2x^2-3ax+a^2=0</math>. Этим условием задаётся некоторая функция <math>f:a\mapsto x_{\max}</math>. Её область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> не пуста, так как, например, при <math>a=0</math> получается уравнение <math>2x^2=0</math>, у которого имеется единственный корень <math>x_{\max}=0</math>, так что <math>f(0)=0</math> и, следовательно, <math>0\in\mathcal{D}(f)</math>. Однако ни выразить значение <math>f(a)</math> формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> функции <math>f</math> не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции <math>f</math> возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений <math>f(a)</math>, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению <math>a=a_0</math> определять значение <math>x_{\max}=f(a_0)</math> либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что <math>a_0</math> не принадлежит <math>\mathcal{D}(f)</math>. Изменяя число <math>a</math> в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения <math>f(a)</math> с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график <math>y=f(a)</math> по точкам. Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения. Если числовая функция <math>f(x)</math>, где <math>x\in A\subset\mathbb{R}</math>, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки <math>x_k\in A</math>, <math>k=1,\dots,N</math>, и нанося на координатную плоскость <math>xOy</math> точки вида <math>(x_k;f(x_k))</math> и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения <math>f(x)</math> через <math>x</math>. Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции <math>f(x)</math> по заданным <math>x</math>, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента <math>x</math> часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении <math>f</math>, вызванной тремя причинами: # приближённостью задания переменного <math>x</math> (погрешностью аргумента); # приближённостью способа получения значения <math>f(x)</math> (погрешностью метода); # приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений). Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления <math>f(x)</math>. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график <math>y=f(x)</math>, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией <math>f</math>, и по другим косвенным признакам. hh3piwk5ddi6ijmp6dthynob690qatw 267667 267666 2026-05-21T08:40:25Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Высшая математика. Первый семестр]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267667 wikitext text/x-wiki == Основные определения == === Функция === Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — два произвольных множества. Функцией <math>f</math> из <math>A</math> в <math>B</math> называется соответствие между элементами множества <math>A</math> и множества <math>B</math>, при котором каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется какой-либо один элемент <math>{y\in B}</math>. При этом <math>y</math> называется значением функции <math>f</math> на элементе <math>x</math>, что записывается как <math>{y=f(x)}</math> или <math>f\colon x\mapsto y</math>. Тот факт, что функция <math>f</math> переводит элементы <math>x\in A</math> в элементы <math>y\in B</math>, записывается так: <math>f\colon A\to B</math>. Множество <math>A</math> называется '''областью определения функции (ООФ)''' <math>f</math> и обозначается <math>\mathcal{D}(f)</math> или <math>\mathcal{D}_f</math>. [[Файл:math1.png|thumb|Множество <math>A</math> отображается функцией <math>f</math> в множество <math>B</math> ]] '''Пример:''' Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров <math>{A=\{1;2;\dots;20\}}</math> и множество <math>B</math> — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие <math>f</math>, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция <math>f:n\mapsto F</math>, где <math>n</math> — номер студента в группе (от 1 до 20) и <math>F</math> — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение <math>f(n)</math> определено для всех <math>n\in A</math>. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества <math>B</math> — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов <math>\in B</math> не будет значением <math>f(n)</math> ни при каком <math>n\in A</math>. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах <math>n_1\in A</math> и <math>n_2\in A</math> элемент Петров <math>\in B</math> будет значением функции <math>f</math>, то есть <math>f(n_1)=Petrov</math> и <math>f(n_2)=Petrov</math>. На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции <math>\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}</math> не обязано совпадать со всем множеством <math>B</math>, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие <math>x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)</math>, что <math>x_1\ne x_2</math>, но <math>f(x_1)=f(x_2)</math>. В таком случае часто говорят, что элементы <math>x_1</math> и <math>x_2</math> склеиваются при отображении <math>f</math>. === Отображение функции === Если <math>\mathcal{E}(f)=B</math>, то есть для любого элемента <math>y\in B</math> найдётся элемент <math>x\in A</math> такой, что <math>f(x)=y</math>, то функция <math>f</math> называется отображением <math>A</math> на <math>B</math> (напомним, что в общем случае <math>f</math> — это отображение из <math>A</math> в <math>B</math>). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией. Если для любых двух разных элементов <math>x_1,x_2\in A</math> (<math>x_1\ne x_2</math>) значения <math>f(x_1),f(x_2)\in B</math> тоже разные (<math>f(x_1)\ne f(x_2)</math>), то отображение <math>f</math> называется вложением множества <math>A</math> в множество <math>B</math>, или инъективным отображением (инъекцией). '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=[-1;1]</math> и отображение <math>f</math> для <math>x\in A</math> задано формулой <math>f(x)=\sin x</math>. Тогда <math>f</math> — сюръекция, так как любое число <math>y</math> из отрезка <math>[-1;1]</math> равно значению <math>\sin x</math> при некотором <math>x</math>. [[Файл:sinx.png|thumb|Все числа <math>y\in[-1;1]</math> — это значения функции <math>\sin x</math> ]] '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}</math> и отображение <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> задано при <math>x\in\mathbb{R}</math> формулой <math>f(x)=x^3</math>. Тогда отображение <math>f</math> одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение <math>y\in\mathbb{R}</math> есть значение <math>x^3</math> при некотором <math>x</math> (а именно, при <math>x=\sqrt[3]{y}</math>); 2) никакие два разных значения <math>x_1,x_2\in\mathbb{R}</math> не могут дать одинаковых значений <math>x_1^3=x_2^3</math>, так как из неравенства <math>x_1<x_2</math> следует неравенство <math>x_1^3<x_2^3</math>. [[Файл:cubediff.png|thumb|Кубы разных чисел не совпадают]] === Взаимно-однозначное соответствие === Отображение <math>f\colon A\to B</math>, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между <math>A</math> и <math>B</math>, или биекцией. Это означает, что каждому элементу <math>x\in A</math> сопоставляется ровно один элемент <math>y\in B</math>, причём для каждого элемента <math>y\in B</math> имеется такой элемент <math>x\in A</math>, который сопоставлен этому <math>y</math>. '''Замечание:''' Если отображение <math>f\colon A\to B</math> — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества <math>A</math> и множеством значений функции <math>\mathcal{E}(f)</math>, то есть частью множества <math>B</math>. Пусть <math>\mathcal{E}(f)=B'</math>. Тогда функция <math>f</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами <math>A</math> и <math>B'</math>. (Более формально: функция <math>f_1 \colon A\to B'</math>, совпадающая с <math>f</math> при всех <math>x\in A</math>, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции <math>f</math> и <math>f_1</math> имеют одну и ту же область определения <math>A</math> и их значения совпадают при всех <math>x\in A</math>, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой <math>f</math>.) [[Файл:math2.png|thumb|Множество <math>\mathcal{D}(f)</math> взаимно-однозначно отображается на множество <math>\mathcal{E}(f)</math> ]] '''Пример 1:''' При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто <math>p</math> соответствует ровно один выданный номерок <math>n</math>. Таким образом, между множеством <math>P</math> сданных пальто и множеством выданных номерков <math>N'</math> (<math>N'</math> — это подмножество множества <math>N</math> всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция <math>f\colon p\mapsto n</math> (<math>p\in P</math>, <math>n\in N'</math>). === Обратная функция === Если <math>f:A\to B</math> — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому <math>y\in B</math> тот элемент <math>x\in A</math>, который переходит в этот самый <math>y</math> при отображении <math>f</math>, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению <math>f</math> и обозначается <math>f^{-1}</math>. Таким образом, <math>f^{-1}:B\to A</math>, и <math>f^{-1}(y)=x</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x)=y</math> (<math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>). '''Пример 1:''' В условиях примера 1.4 отображение <math>f:P\to N'</math> — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков <math>n\in N'</math> находят соответствующее номерку пальто <math>p\in P</math>. Соответствие <math>g:N'\to P</math>, <math>n\mapsto p</math> (<math>n\in N'</math>, <math>p\in P</math>) — это обратная функция к функции <math>f:P\to N'</math>, <math>p\mapsto n</math>, то есть <math>g=f^{-1}</math>. Очевидно, что в случае, если <math>f:A\to B</math> — биекция и <math>f^{-1}</math> — обратная к <math>f</math> функция, то <math>f^{-1}(f(x))=x</math> для всех <math>x\in A</math> и <math>f(f^{-1}(y))=y</math> для всех <math>y\in B</math>. Последнее равенство показывает, что <math>(f^{-1})^{-1}=f</math> и что функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны. (То есть если <math>g</math> — функция, обратная к <math>f</math>, то <math>f</math> — функция, обратная к <math>g</math>.) [[Файл:f-1.png|thumb|Функции <math>f</math> и <math>f^{-1}</math> взаимно обратны]] Итак, для того чтобы функция <math>f:A\to B</math> имела обратную функцию <math>f^{-1}:B\to A</math>, функция <math>f</math> должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда обратная функция <math>f^{-1}</math> устанавливает взаимно-однозначное соответствие между <math>B</math> и <math>A</math>. '''Пример 2:''' Функция <math>f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)</math>, заданная формулой <math>y=f(x)=x^2</math>, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: <math>x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>. [[Файл:sqrtx.png|thumb|Функции <math>y=x^2</math> и <math>x=\sqrt{y}</math> — взаимно обратны]] В математическом анализе основную роль играют такие функции <math>f</math>, у которых значениями служат вещественные числа, то есть <math>\mathcal{E}(f)\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции <math>f</math> называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются. А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой. '''Пример 3:''' Пусть <math>A</math> — множество всевозможных отрезков <math>CD</math>, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки <math>C</math> и <math>D</math>) не совпадают. Пусть соответствие <math>f</math> сопоставляет каждому такому отрезку <math>CD</math> его длину <math>f(CD)=\vert CD\vert</math>. Так как длина отрезка — число, то <math>f</math> — числовая функция, <math>f:A\to\mathbb{R}</math>. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: <math>\mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}</math>. Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями <math>f</math>, область определения которых <math>\mathcal{D}(f)</math> также является подмножеством числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>, то есть такими функциями <math>f:A\to B</math>, где <math>A\subset\mathbb{R}</math> и <math>B\subset\mathbb{R}</math>. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, равном прямому произведению <math>n</math> экземпляров множества <math>\mathbb{R}</math> (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже). === График функции === Графиком функции <math>f:A\to B</math> называется множество пар <math>(x;y)</math> элементов <math>x\in A</math> и <math>y\in B</math>, такое, что в каждой паре <math>(x;y)</math> второй элемент <math>y</math> — это значение функции <math>f(x)</math>, соответствующее первому элементу пары, то есть <math>x</math>. Рассмотрим множество всевозможных пар <math>(x;y)</math>, где <math>x\in A</math>, <math>y\in B</math>. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества <math>A</math> на множество <math>B</math> и обозначается <math>A\times B</math>. Ясно, что график <math>{\Gamma}_f</math> функции <math>f</math> — это подмножество прямого произведения <math>A\times B</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\subset A\times B.</math> В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times[-1;1]</math> ; график примера 1.3 — подмножество в <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> ; оба графика примера 1.6 — подмножества в <math>\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2</math> (здесь мы ввели обозначение <math>\mathbb{R}_+=[0;+\infty)</math>, которого будем придерживаться и далее). '''Пример 1:''' Пусть <math>A</math> — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости <math>\mathbb{R}^2</math> с координатами <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, с центром в точке <math>O(0;0)</math>. Функцию <math>f</math> в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки <math>(x_1;x_2)</math> до центра. Таким образом, <math>f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math>, где <math>x=(x_1;x_2)\in A\subset R^2</math>. Графиком <math>{\Gamma}_f</math> этой функции является подмножество прямого произведения <math>A\times\mathbb{R}</math>. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве <math>\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math>. Обозначим координаты точек в <math>\mathbb{R}^3</math> через <math>x_1,x_2,y</math>. Тогда графику <math>{\Gamma}_f</math> принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения <math>y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}</math> и <math>x_1^2+x_2^2\leqslant 1</math>. Множество <math>G_f</math> представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке <math>(0;0;0)</math>, с высотой 1 и радиусом основания 1. [[Файл:konus.png|thumb|График расстояния до точки <math>O</math> — это конус]] Как мы видим, в случае, когда <math>A</math> — подмножество плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, график числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> — это подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>. Если же <math>A</math> — подмножество точек пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, то графиком числовой функции <math>f:A\to\mathbb{R}</math> будет подмножество <math>{\Gamma}_f</math> четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества <math>A\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4</math>. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график <math>{\Gamma}_f</math> описать каким-то иным способом. '''Пример 2:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^3</math> и для каждой точки <math>x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3</math> значение функции <math>f</math> в этой точке — это квадрат расстояния от <math>x</math> до точки <math>O(0;0;0)</math>, то есть <math>f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2</math>. Тогда график <math>{\Gamma}_f</math> — это подмножество в <math>\mathbb{R}^4</math> : <math>{\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.</math> Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула <math>y=x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}</math> — это парабола <math>y=x_1^2</math> в плоскости <math>x_1Oy</math>, а сечение трёхмерным пространством <math>\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}</math> — это одна точка <math>(0;0;0;0)</math>. Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах. Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида <math>{y=f(x)}</math>. Способ задания функции <math>f:A\to B</math> зависит от того, какова природа множеств <math>A</math> и <math>B</math> и как по заданному <math>x\in A</math> определяется <math>{y=f(x)\in B}</math>. Выделим основные из этих способов. == Способы описания функций == === Табличный === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> конечно и состоит из <math>N</math> элементов <math>x_1,x_2,\dots,x_N</math>, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе <math>x\in A</math>. Часто это делают в виде таблицы: {| border="1" width="150px" |<math>x</math> ||<math>x_1</math> ||<math>x_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>x_N</math> |- |<math>y</math> ||<math>y_1</math> ||<math>y_2</math> ||<math>\dots</math> ||<math>y_N</math> |} В верхней строке таблицы перечисляются все <math>N</math> элементов конечного множества <math>A</math>, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк. === С помощью формулы (аналитически) === Если множество <math>A=\mathcal{D}(f)</math> бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция <math>f:x\mapsto y</math> может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента <math>x</math> найти соответствующее ему значение <math>y</math>, например: * <math>f(x)=\arcsin x,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[-1;1];</math> * <math>f(x)=\sqrt[4]{x},</math> при <math>\mathcal{D}(f)=[0;+\infty);</math> * <math>f(x)=\ln(1-x),</math> при <math>\mathcal{D}(f)=(-\infty;1);</math> * <math>f(x)=\ln x_1x_2,</math> при <math>\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\subset\mathbb{R}^2.</math> '''Замечание:''' Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах <math>A</math>, считаются различными. Так, функция <math>f(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[0;1]</math> и функция <math>g(x)=\arcsin x</math> при <math>x\in[-1;1]</math> — это две разные функции, так как функция <math>f</math> устанавливает соответствие между точками множества <math>[0;1]</math> и некоторыми точками числовой прямой, а функция <math>g</math> — между точками другого множества <math>[-1;1]</math> и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как <math>{f(x)=g(x)}</math> при всех <math>{x\in[0;1]}</math>. === Ограничение функции === Если дана функция <math>f:A\to B</math>, и <math>A\subset A</math>, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции <math>f</math> только на элементах <math>x\in A</math>. Эта функция <math>f: A\to B</math> определена равенством <math>f(x)=f(x)</math> при <math>x\in A</math>. Функция <math>f</math> называется ограничением функции <math>f</math> на подмножество <math>A\subset A</math> её области определения <math>A=\mathcal{D}(f)</math> и обозначается <math>f\vert _{A}</math>, то есть <math>f=f\vert _{A}</math>. '''Пример 1:''' Пусть <math>A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}</math> — числовая плоскость и функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x;y)=x^2+2xy-y^2.</math> Рассмотрим на плоскости <math>A</math> подмножество — прямую линию <math>L</math>, заданную уравнением <math>x+y=1</math>. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции <math>f\vert _L</math> точки только прямой <math>L</math>. Ограничение <math>f\vert _L(x;y)</math> определено только при <math>x+y=1</math>, поэтому его, кроме исходной формулы <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,</math> можно задать такими формулами: <math>f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1</math> (1.1) (так как <math>y=1-x</math> на прямой <math>L</math>), или <math>f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1</math> (1.2) (так как <math>x=1-y</math> на прямой <math>L</math>). Во всех точках <math>(x;y)</math> прямой <math>L</math> все три формулы дают одно и то же значение функции <math>f\vert _L</math>. Мы видим, что формула (1.1) даёт для <math>f\vert _L</math> те же значения, что функция одного переменного <math>x</math> : <math>f_1(x)=-2x^2+4x-1</math>, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного <math>y</math> : <math>f_2(y)=-2y^2+1</math>. Две последние функции называются параметризациями ограничения <math>f\vert _L</math>. '''Пример 2:''' Пусть <math>f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2</math> — функция, заданная во всех точках плоскости <math>\mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}</math>. Пусть <math>A=l</math> — прямая <math>x_2=1</math> на плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>. Тогда функция <math>f(x)=f\vert _l(x)</math> равна <math>x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2</math>. Формально ограничение зависит от точек <math>(x_1,x_2)</math> плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, но только таких, что <math>x_2=1</math>. Поэтому задание этого ограничения <math>f(x_1,x_2)</math> эквивалентно заданию числовой функции одного переменного <math>g(x_1)=x_1^2+2x_1+2</math>. Функция <math>g</math> — это одна из возможных параметризаций функции <math>f\vert _l</math>. '''Замечание:''' Во многих учебных примерах при задании функции <math>f</math> при помощи формулы не указывают область определения <math>\mathcal{D}(f)</math>. При этом по умолчанию предполагается, что область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> — максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента <math>x</math>, для которых задающее функцию <math>f</math> выражение <math>f(x)</math> имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область <math>\mathcal{D}(f)</math>, если в этом возникнет необходимость. '''Пример 3:''' Пусть функция <math>f</math> задана формулой <math>f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\subset\mathbb{R}.</math> По умолчанию считается, что области <math>\mathcal{D}(f)</math> принадлежат все те точки <math>x\in\mathbb{R}</math>, что <math>{x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}</math>. Разумеется, для каждой заданной точки <math>x_0</math> проверить это условие несложно, однако описать множество <math>\mathcal{D}(f)</math> в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство. Если <math>\mathcal{D}(f)</math> — это множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>, то функция <math>f:\mathbb{N}\to B</math> называется последовательностью. Так как <math>\mathbb{N}</math> содержит бесконечное множество чисел <math>1,2,3,\dots</math>, то задать <math>f</math> в виде таблицы значений <math>y_n=f(n)</math>, где <math>n\in\mathbb{N}</math>, вообще говоря, нельзя. Однако если функция <math>f(n)</math> легко угадывается по своим значениям <math>y_n</math> при небольших <math>n</math>, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений. '''Пример 4:''' Пусть <math>y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots</math>. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что <math>f(n)=n^2</math> при любом <math>n\in\mathbb{N}</math>. Эта формула не противоречит выписанным значениям <math>f_1,f_2,f_3</math> и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения <math>f_1,f_2,f_3</math>, но, быть может, другие значения <math>f_4=f(4),f_5=f(5),\dots</math>. '''Пример 5:''' Последовательность чисел Фибоначчи <math>f_n</math> задаётся так: два первых члена полагают равными единице (<math>f_1=1,f_2=1</math>), а при <math>n\geqslant 3</math> вычисляют <math>f_n</math> по формуле <math>f_n=f_{n-1}+f_{n-2}</math>. Таким образом, <math>f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8</math> и т. д. === Указание процедуры вычисления === Во многих случаях функцию <math>f</math> приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример. '''Пример:''' Пусть <math>a\in\mathbb{R}</math> и <math>f(a)</math> — это наибольший корень <math>x_{\max}</math> уравнения <math>ax^4+2x^2-3ax+a^2=0</math>. Этим условием задаётся некоторая функция <math>f:a\mapsto x_{\max}</math>. Её область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> не пуста, так как, например, при <math>a=0</math> получается уравнение <math>2x^2=0</math>, у которого имеется единственный корень <math>x_{\max}=0</math>, так что <math>f(0)=0</math> и, следовательно, <math>0\in\mathcal{D}(f)</math>. Однако ни выразить значение <math>f(a)</math> формулой или иным «конечным» образом, ни полностью описать область определения <math>\mathcal{D}(f)</math> функции <math>f</math> не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции <math>f</math> возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений <math>f(a)</math>, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению <math>a=a_0</math> определять значение <math>x_{\max}=f(a_0)</math> либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что <math>a_0</math> не принадлежит <math>\mathcal{D}(f)</math>. Изменяя число <math>a</math> в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения <math>f(a)</math> с заданной наперёд точностью2 и, например, построить график <math>y=f(a)</math> по точкам. Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения. Если числовая функция <math>f(x)</math>, где <math>x\in A\subset\mathbb{R}</math>, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки <math>x_k\in A</math>, <math>k=1,\dots,N</math>, и нанося на координатную плоскость <math>xOy</math> точки вида <math>(x_k;f(x_k))</math> и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, — вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения <math>f(x)</math> через <math>x</math>. Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции <math>f(x)</math> по заданным <math>x</math>, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента <math>x</math> часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении <math>f</math>, вызванной тремя причинами: # приближённостью задания переменного <math>x</math> (погрешностью аргумента); # приближённостью способа получения значения <math>f(x)</math> (погрешностью метода); # приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений). Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления <math>f(x)</math>. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: «хорошо ли ведёт себя» полученный график <math>y=f(x)</math>, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией <math>f</math>, и по другим косвенным признакам. [[Категория:Высшая математика. Первый семестр]] 7t4eda735y2f6dp3ng7bftmpgemyp0e 0 5194 267544 145797 2026-05-20T12:58:10Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267544 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} Центральными понятиями линейной алгебры является [[w:вектор|вектор]] и [[w:векторное пространство|векторное пространство]]. При написании этой главы автор предполагает, что читатель знаком с курсом математики средней школы и помнит, как формулируется понятие вектора в курсе школьной геометрии в 9, 10 и 11 классах. Однако в линейной алгебре векторы изучаются с самой общей точки зрения. (Как говорил один мой преподаватель: «Забудьте, что вектор — это палка со стрелкой!!!» ☺) — ''примечание автора [[Служебная:Contributions/194.67.2.153|194.67.2.153]].'') Для того, чтобы '''понять, что такое вектор''', воспользуемся так называемым '''аксиоматическим методом'''. Вместо того, чтобы прямо дать определение, что такое вектор, перечислим свойства, которыми он должен обладать, и на основании этих свойств в дальнейшем будем строить нашу теорию. При таком подходе вектор как направленный отрезок — лишь частный случай, пример (модель — как говорят математики) этого понятия. Обычно при аксиоматическом методе описывают не что такое отдельно взятый объект (в нашем случае — «вектор»), а сразу всю их совокупность описанием их основных свойств, которые, в свою очередь, описываются в предложениях, именуемых аксиомами. В нашем случае совокупность, множество векторов назовём '''векторным пространством'''. Его и опишем с помощью перечисления аксиом. (Рекомендую прочитать об этом соответствующую статью в журнале «Квант»,1976 г., № 4 Башмаков М. , «Что такое вектор?», [http://kvant.mccme.ru/1976/04/chto_takoe_vektor.htm].) == Аксиомы векторного пространства == Пусть '''V''' — [[w:непустое множество|непустое]] [[w:множество|множество]], элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать <math>\vec a, \vec x, \vec y</math> … и т. д. Пусть на '''V''' заданы и определены́ каким-либо образом две операции. '''Первая операция''' — [[w:бинарная операция|бинарная]] [[w:аддитивная операция|аддитивная операция]] (или грубо говоря — операция сложения). Эту операцию обозначим знаком '''+''', (впрочем, необязательно, чтобы на все 100 % эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так: <math>\oplus </math> (<math>\vec a \oplus \vec b = \vec c</math>). '''Вторая''' операция — умножение вектора на какой-нибудь элемент <math>\alpha</math> такого множества, которое является [[w:поле (алгебра)|полем]], в результате которой получается новый вектор (<math>\alpha \cdot \vec a = \alpha \vec a</math>). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел). Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства. # a)сумма любых двух элементов из '''V''' и б)произведение скаляра и произвольного элемента из '''V''' являются некоторыми элементами из '''V''' (векторами). # сложение любых трёх элементов <math>\vec x, \vec y, \vec z</math> из '''V''' подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят — векторное сложение ассоциативно): <math>\vec x+ (\vec y + \vec z) = (\vec x+ \vec y) + \vec z</math> # сложение любых двух элементов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V''' подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): <math>\vec x + \vec y = \vec y + \vec x</math> . # существует такой элемент <math>\vec 0</math> из '''V''' (нулевой вектор), что для любого <math>\vec x \quad \vec x+ \vec 0= \vec x</math>. # для любого элемента из '''V''' существует такой элемент из '''V''', сумма которого с исходным элементом равна <math>\vec 0</math>, то есть (<math>\forall \vec x \in V) \quad (\exists (-\vec x)) \quad \vec x + (-\vec x) = \vec 0</math>. Для любых скаляров (чисел) <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> и для любых двух векторов <math>\vec x, \vec y</math> из '''V''' 6.<math>(\alpha \beta)\vec x = \alpha(\beta \vec x) </math> 7.<math>(\alpha + \beta)\vec x = \alpha\vec x+ \beta\vec x</math> 8.<math>\alpha(\vec x+\vec y) = \alpha\vec x+\alpha\vec y</math> 9.<math>1\vec x=\vec x</math> Замечание: аксиомы 1а,2,3,4 называют ещё аксиомами [[w:абелева группа|абелевой группы]]. === Примеры векторных пространств === * '''Конечномерное арифметическое пространство''' Пусть n-произвольное фиксированное натуральное число, а '''R''' — множество действительных чисел. Назовём арифметическим n-мерным вектором упорядоченную последовательность из n действительных чисел. Как правило такой вектор записывают в виде строки <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>, a числа <math>a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n</math> называют ещё первой, второй и т. д. координатой вектора. Множество всех арифметических n-мерных векторов обозначим '''Rⁿ'''. Введём операции сложения векторoв по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a</math>=(a₁, a₂, a₃, a₄,… a_n), а вектор <math>\vec b</math>=(b₁, b₂, b₃, b₄,… b_n). Тогда <math>\vec a + \vec b =(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3, a_4+b_4, ... a_n+b_n)</math>.</center> a yмножение на скаляр α (то есть на действительное число) по такой формуле: <center>Пусть вектор <math>\vec a =(a_1, a_2, a_3, a_4 ... a_n)</math>. Тогда вектор <math>\alpha\vec a =(\alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3, \alpha a_4 ...\alpha a_n)</math>,</center> то есть сложение и умножение векторов осуществляется покоординатно. Нетрудно видеть, что на множестве '''Rⁿ''' с только что определёнными выше операциями выполняются все 8 аксиом, то есть '''Rⁿ'''-векторное пространство. Действительно, пусть <math>\vec a </math> =(a₁, a₂, a₃,… a_n), <math>\vec b</math> =(b₁, b₂, b₃,… b_n),<math>\vec c</math> =(c₁, c₂, c₃,… c_n)- произвольные векторы из '''Rⁿ''', а α и β-произвольные числа (скаляры). Тогда # <math>\vec a +\vec b</math>=(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃,… a_n+b_n)<math>\in</math>'''V'''; <math>\alpha\vec a=</math>(αa₁, αa₂, αa₃,…αa_n) <math>\in</math>'''V'''. # <math>(\vec a+\vec b)+\vec c=</math> <big>(</big>(a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂,…(a_n+b_n)+c_n<big>)</big>=<big>(</big>a₁+(b₁+c₁), a₂+(b₂+c₂),…a_n+(b_n+c_n)<big>)</big>=<math>\vec a+ (\vec b+\vec c)</math> # <math>\vec a+\vec b</math>=(a₁+b₁, a₂+b₂,…a_n+b_n)=(b₁+a₁, b₂+a₂,…b_n+a_n)=<math>\vec b+\vec a</math>. # Примем за нулевой вектор <math>\vec 0</math> строку из n нулей <math>\vec 0=</math>(0,0,…0). Тогда <math>\vec a+\vec 0</math>=(a₁+0, a₂+0, a₃+0,… a_n+0)=<math>\vec 0+\vec a</math> # Найдём для вектора <math>\vec a (a_1, a_2,... a_n)</math> обратный ему вектор<math>\vec x(x_1,x_2,...x_n)</math> такой, что <math>\vec a+\vec x=\vec 0</math>. Поскольку сложение векторов осуществляется покоординатно, то <math>(a_1, a_2,... a_n)+(x_1,x_2,...x_n)=(a_1+x_1, a_2+x_2,...a_n+x_n)=(0,0,...0)</math>. Отсюда <math>x_1=-a_1, x_2=-a_2, x_n=-a_n</math>, и вектор <math>\vec x=(-a_1, -a_2,...-a_n)=-\vec a</math>. # Пусть α и β-произвольные числа. Тогда <center><math>(\alpha\beta)\cdot\vec a=(\alpha\beta)\cdot(a_1, a_2,... a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center><center>α<math>(\beta \vec a)=\alpha\cdot(\beta a_1, \beta a_2,...\beta a_n)=(\alpha\beta a_1, \alpha\beta a_2,...\alpha\beta a_n)</math></center>, то есть <math>(\alpha\beta)\vec a=\alpha(\beta \vec a).</math><p>Аксиомы 7, 8, 9 проверьте самостоятельно в виде несложного упражнения. * '''Бесконечномерное арифметическое пространство''' Назовём арифметическим бесконечномерным вектором бесконечную упорядоченную последовательность из действительных чисел, то есть <math>\vec a=</math><math>(a_1, a_2, a_3,...a_n...)</math>. Можно проверить, что множество таких последовательностей относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр образуют векторное пространство. Его обычно обозначают <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math>. * '''Пространство матриц''' Пусть m и n-два каких-то фиксированных натуральных числа. Можно также показать, что множество всех матриц совпадающих размеров относительно их сложения и умножения на число (см. [[Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Матрицы и определители|здесь]]) образуют векторное пространство. Проверьте, например, что матрица, у которой все элементы равны 0 играет роль нулевого вектора, а для матрицы A роль противоположного элемента играет матрица -A, у которой все соответствующие элементы из A взяты с противоположным знаком. * '''Ещё примеры''' Вводя понятие конечно- или бесконечномерного вектора, мы говорили что координаты и скаляры- действительные числа. Но нетрудно видеть, что упорядоченные последовательности из n комплексных чисел, (то есть координаты вектора будут комплексными числами), относительно покоординатного сложения и умножения на скаляр, являющегося тоже комплексным числом, тоже образуют векторное пространство (обозначим его '''Cⁿ''') и при этом '''Rⁿ'''<math>\subset </math>'''Cⁿ.''' Сказанное можно отнести и к матрицам, элементы которых комплексные числа. === Упражнения === # Проверьте, что множество всех векторов плоскости относительно их сложения по правилу параллелограма (или равносильного ему правила треугольника) и умножения на число образует векторное пространство. # Покажите, что множество комплексных чисел относительно сложения между собой и умножения на скаляр-действительное число образует векторное пространство. # Покажите, что множество всех функций, заданных на'''R''' проходящих через точку (0,0) относительно сложения функций и умножения на действительное число образует векторное пространство, а множество функций проходящих через точку (0,5) векторное пространство не образует. == Свойства векторных пространств == Приведённые ниже свойства кажутся в свете представленных выше примеров очевидны, но при аксиоматическом методе любой шаг должны быть логически обоснован, тем более, что векторные пространства вышеприведёнными примерами не исчерпываются.<p>Пусть '''V'''-произвольное векторное пространство а '''P'''▬произвольное множество, являющееся [[w:поле (алгебра)|полем]]. (В примерах, которые были рассмотрены выше, полями являлись множество действительных или комплексных чисел, но существуют и другие поля). Справедливы следующие утверждения: '''1''' <math>(\forall \vec x \in V)\quad 0\cdot\vec x=\vec 0</math><center>Доказательство</center>Согласно акс.4<math>\vec x+\vec 0=\vec x</math>. С другой стороны <math>\vec x+0\vec x=</math>(по акс.9)<math>1\vec x+0\vec x=</math>(по акс.7)<math>(1+0)\vec x=\vec x</math>. То есть <math>\vec x+\vec 0=\vec x+0\vec x</math>. Согласно [[Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Предварительные понятия|свойству 2 в группах]] последнее равенство равносильно <math>\vec 0=0\vec x</math>, ч.т.д. '''2''' <math>(\forall \alpha \in P)\quad \alpha\cdot\vec 0=\vec 0</math> '''3''' <math>(\forall \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha\vec x=\vec 0 \Rightarrow \alpha=0 \vee \vec x=\vec 0</math> '''4''' <math>(\forall \vec x \in V)\quad (-1)\vec x=-\vec x</math><center>Доказательство</center><math>\vec x +(-1)\vec x=</math>(по акс.9)<math>1\vec x+(-1)\vec x=</math>(по акс.7)<math>(1+(-1))\vec x=0\vec x=</math>(по св-ву 2 вект. пространства)<math>\vec 0</math> Т.о. с одной стороны <math>\vec x +(-1)\vec x=\vec 0</math>, с другой стороны по акс.4 <math>\vec x+(-\vec x )=\vec 0</math>. Отсюда, как и в свойстве 1, сокращая на <math>\vec x</math>, получаем <math>(-1)\vec x=-\vec x</math> '''5''' <math>(\forall \alpha \in P)\ (\forall \vec x \in V)\quad \alpha(-\vec x)=(-\alpha)\vec x=-(\alpha\vec x)</math> Свойства 2, 3, 5 докажите самостоятельно. joc93ywu8rtnqu2naqhyoe93jv0vvcq 0 5233 267541 106609 2026-05-20T12:57:43Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267541 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} В курсе школьной геометрии-10 доказывается, что 1)если вектор <math>\vec a=k\vec b</math>, то такие векторы коллинеарны 2)если вектор можно разложить по двум другим векторам, то такие векторы компланарны. Настоящий § является обобщением этих теорем для любого векторного пространства. == Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов == Пусть имеем векторное пространство '''V''' и систему векторов A={<math>\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3,...\vec a_k</math>} (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор <math>\vec p=\alpha_1\vec a_1+\alpha_2\vec a_2+\alpha_3\vec a_3...+\alpha_k\vec a_k </math> называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры <math>\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3...=\alpha_k=0</math>, то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и <math>\vec p=\vec 0</math>). Если хотя бы один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной. *'''Определение 1''': система векторов A называется линейно независимой, если <u>только</u> тривиальная линейная комбинация векторов системы равна <math>\vec 0</math>, (т.е. <math>\vec p=\alpha_1\vec a_1+\alpha_2\vec a_2+\alpha_3\vec a_3...+\alpha_k\vec a_k =\vec 0\;\Leftrightarrow \; \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3...=\alpha_k=0</math> ) *'''Определение 2''': система векторов A называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная <math>\vec 0</math>. <center>Упражнения и примеры</center> На практике, чтобы установить линейную зависимость системы векторов, нужно, зачастую установить истинность высказывания<math>\forall \alpha_i,\quad \sum_{i=1}^k \alpha_i\vec a_i=\vec 0\Rightarrow \;\forall i \quad \alpha_i=0</math> #Покажем, что A={<math>\vec a=(1,0), \vec b=(0,1)</math>}-линейно независимая система. :Решение: α(1,0)+β(0,1)=(0,0) &harr; (α,0)+(0,β)=(0,0) &harr; α=0, β=0, следовательно, A линейно независимая система. #Покажем, что A={<math>\vec a, -\vec a</math>} - линейно зависимая система. :Решение. Найдём нетривиальную комбинацию, равную <math>\vec 0</math>. <math>1\cdot\vec a+1\cdot(-\vec a)=\vec a-\vec a=\vec 0</math>, т.е. <math>\alpha_1=1\ne 0, \alpha_2=1\ne 0</math> #Элементами векторного пространства '''V''' являются линейные функции (т.е. вида y=kx+b). Установите, являются ли линейно зависимыми (независимыми) следующие системы: 1) A=(y=2x+3, y=x-√2) &nbsp;&nbsp;2) B=( y=2x+12, y=x-√3, y=x+6) == Свойства == #Cистема векторов A линейно зависима &harr; один из её векторов равен <math>\vec 0</math> или один из векторов есть линейная комбинация прочих векторов системы.<center>Доказательство</center> '''(→)''': если A линейно зависима, то, по определению, не все коэффициенты в <math>\alpha_1\vec a_1+\alpha_2\vec a_2+\alpha_3\vec a_3...+\alpha_k\vec a_k =\vec 0 </math>&nbsp;&nbsp;<font color="red">(1)</font> комбинации равны 0. (Для определённости запишем комбинацию так, чтобы сначала шли ненулевые коэффициенты, а потом нулевые). Возможны два случая: 1)только первый коэффициент не нулевой, 2)два и более коэффициента не нулевые. В первом случае получаем <math>\alpha_1\vec a_1=\vec 0</math>, откуда <math>\vec a_1=\vec 0</math>. Во втором случае равенство <font color="red">(1)</font> принимает вид <math>\alpha_1\vec a_1+\alpha_2\vec a_2...+\alpha_j\vec a_j =\vec 0\quad (j \le k)</math>&nbsp;&nbsp;<font color="red">(2)</font>. Т.к. все коэффициенты от <math>\alpha_1</math> до <math>\alpha_j</math>в <font color="red">(2)</font> не равны 0, то <font color="red">(2)</font> можно переписать так <math>\vec a_j=\left ( -\frac{\alpha_1}{\alpha_k} \right )\vec a_1+...=\left (- \frac{\alpha_{k-1}}{\alpha_k} \right )</math>, т.е. один из векторов линейно выражен через другие векторы.<br />Обратное '''(←)''' докажите самостоятельно. 2.&nbsp;&nbsp;Если система A содержит линейно зависимую подсистему, то и вся система A линейно зависима. В частности, система векторов линейно зависима, если она содержит нулевой вектор, или равные векторы, или пропорциональные (коллинеарные) векторы.(докажите самостоятельно) 3.&nbsp;&nbsp;Если A - линейно независимая система векторов, а система <math>A\cup (\vec x) </math> линейно зависима, то <math>\vec x</math> есть линейная комбинация системы векторов A.(докажите самостоятельно). 4.&nbsp;&nbsp;Пусть даны две системы A={<math>\vec a_1, \vec a_2, ...\vec a_k</math>} <font color="red">(3)</font>, B={<math>\vec b_1, \vec b_2,...\vec b_l</math>} <font color="red">(4)</font> при этом: 1) A - линейно независимая система векторов&nbsp;&nbsp;2) каждый вектор системы A линейно выражается через B. Тогда число векторов системы A не превосходит числа векторов системы B, т.е. k&le;i.<center>Доказательство</center>Прежде отметим, что 1) всякий вектор данной системы может быть линейно выражен через векторы этой же системы. Например, для системы A <font color="red">(3)</font> <math>\vec a_i=0\vec a_1+...0\vec a_{i-1}+\vec a_i+0\vec a_{i+1}+...+0\vec a_k \quad i=1,2...k</math> 2)Если некий <math>\vec x</math> линейно выражается через систему A, а A выражается через B, то <math>\vec x</math> можно выразить и через B, т.е. отношение "линейно выражаться через"для системы векторов является транзитивным (переходящим).<p>Перейдём теперь непосредственно к доказательству. Припишем к системе B слева вектор <math>\vec a_k</math>:<center><math>\vec a_k, \vec b_1, \vec b_2,...\vec b_l</math>&nbsp;&nbsp; <font color="red">(4)</font></center>.Т.к. <math>\vec a_k</math> линейно выражается через B, то B - линейно зависимая система. Поскольку <math>\vec a_k \ne 0</math> (иначе A линейно зависима), то один из векторов системы B, согласно свойству 1, линейная комбинация прочих векторов системы <font color="red">(4)</font>. Пусть для определённости это будет <math>\vec b_l</math>. Выбросим <math>\vec b_l</math> из <font color="red">(4)</font>: <center><math>\vec a_k, \vec b_1, \vec b_2,...\vec b_{l-1}</math>&nbsp;&nbsp;<font color="red">(5)</font></center>. Вектор <math>\vec b_l</math> линейно выражается через <font color="red">(5)</font>— он по этой причине выброшен из <font color="red">(4)</font>, остальные векторы из B входят в <font color="red">(5)</font>, а значит, согласно первому замечанию, тоже линейно выражаются через <font color="red">(4)</font>. Значит вся система B линейно выражается через <font color="red">(5)</font>, а по транзитивности через <font color="red">(5)</font> линейно выражается и система векторов A. Следовательно, если к <font color="red">(5)</font> приписать слева вектор <math>\vec a_{k-1}</math>, то получим линейно зависимую систему векторов: <center><math>\vec a_{k-1}, \vec a-k, \vec b_1, \vec b_2,...\vec b_{l-1}</math>&nbsp;&nbsp;<font color="red">(6)</font></center>. Т.к. <math>\vec a_{k-1} \ne 0</math>, то по свойству 1, один из векторов системы <font color="red">(6)</font> линейная комбинация прочих векторов системы <font color="red">(6)</font>. Пусть для определённости это будет <math>\vec b_l</math>. Выбросим <math>\vec b_l</math> из <font color="red">(6)</font>. Будем продолжать описанный выше процесс замещения векторов системы B векторами из A. Допустим, что k>l. Тогда после l-шага векторы системы B исчерпаются и мы получим систему векторов <math>\vec a_{k-l+1}...\vec a_k</math>, приписывая к которой вектор <math>\vec a_{k-l}</math>, мы получим линейно зависимую систему векторов, являющейся подсистемой системы A. Но тогда, по свойству 2, A-линейно зависима. Значит , неверно, что k>l, остаётся, что k &le; l, ч.т.д. 6tpwghpijmmmjphxhw72m6rd6xq44j6 0 5280 267517 122503 2026-05-20T12:31:27Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Высшая математика. Первый семестр]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267517 wikitext text/x-wiki Пусть задана некоторая меняющаяся величина <math>y</math>, зависящая от переменного <math>x</math>. Предположим, что это переменное <math>x</math> можно менять так, что выполняется некоторое условие <math>\mathcal{B}</math>: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина <math>y</math> каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу <math>L</math>. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины <math>y</math> при данном условии <math>\mathcal{B}</math> для <math>x</math> и обозначается <math>\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.</math> Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения. == Предел функции при x→x_{<small>0</small>} == [[Файл:limit1.png|thumb|Предел при <math>x\to x_0</math>]] Пусть <math>y=f(x)</math> — это функция вещественного переменного <math>x</math>, определённая во всех точках интервала <math>(a;b)</math>, кроме, быть может, точки <math>x_0\in(a;b)</math>. Дадим определение предела величины <math>y</math> при условии, что <math>x</math> стремится к точке <math>x_0</math>. Это условие кратко обозначается <math>x\rightarrow x_0</math>. Стремление <math>x</math> к <math>x_0</math> означает, что при своём изменении <math>x</math> оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку <math>x_0</math>, но не совпадает с <math>x_0</math>, то есть значение <math>\vert x-x_0\vert</math> становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие <math>x</math> значения <math>y=f(x)</math> становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу <math>y_0</math>, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа <math>y_0</math> можно указать, насколько близко <math>x</math> должен подойти к <math>x_0</math>, чтобы значения <math>y=f(x)</math> уже попадали в эту окрестность числа <math>y_0</math>. Тогда число <math>y_0</math> есть предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>, что записывается так: <math>\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).</math> Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки <math>y_0</math> (симметричная относительно <math>y_0</math>) характеризуется её полушириной <math>{\varepsilon}>0</math>, то есть имеет вид интервала <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math>. Если значение <math>y</math> попало в такую <math>{\varepsilon}</math>-окрестность, то это означает, что <math>\vert y-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Любая окрестность точки <math>x_0</math>, не содержащая самой точки <math>x_0</math> (и симметричная относительно <math>x_0</math>), — это объединение двух смежных интервалов3 <math>{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}</math>. Попадание точки <math>x</math> в эту окрестность означает, что выполнено неравенство <math>\vert x-x_0\vert<{\delta}</math> и <math>x\ne x_0</math>. Равенство <math>y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>{\delta}>0</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>\vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0</math> будет <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>y_0</math> называется пределом функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.</math> [[Файл:limit2.png|thumb|График <math>y=2\sin x+1</math>]] '''Пример 1:''' Пусть <math>x_0=0</math> и рассматривается функция <math>f(x)=2\sin x+1</math>. Покажем, что <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.</math> Для этого фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math>, задающее окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math>, и выясним, при каких <math>x</math> значения функции <math>f(x)</math> будут попадать в эту окрестность точки 1. Попадание значений <math>f(x)</math> в окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math> означает, что выполняется неравенство <math>{\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, то есть <math>{\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки <math>{x_0=0}</math>. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>{\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. Таким образом, если взять <math>{{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math> (это число больше 0), то при <math>{x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}</math> будет выполнено неравенство <math>{\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, что и означает, что предел равен числу 1: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1</math>, или <math>{2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}</math>. Рассмотрим теперь другой важный случай предела. == Предел последовательности при n→∞ == [[Файл:limit3.png|thumb|Последовательность и её предел]] Пусть дана бесконечная последовательность <math>\{y_n\}</math> чисел, занумерованных по порядку: <math>\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .</math> (Эту последовательность можно рассматривать как функцию <math>f(n)=y_n</math>, определённую при всех натуральных значениях аргумента <math>n</math>.) Дадим определение предела последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии, что номер <math>n</math> неограниченно растёт (это условие обозначается <math>n\rightarrow \infty</math>). Стремление <math>n</math> к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа <math>N\in\mathbb{N}</math>, то есть начинает выполняться неравенство <math>n>N</math>. Если при этом числа <math>y_n</math> становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу <math>L</math>, то это число — предел последовательности, что записывается так: <math>\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.</math> Формализуем сказанное. Множества чисел <math>n</math>, заданные условиями <math>n>N</math>, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство <math>L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>N</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>n>N</math> (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство <math>\vert y_n-L\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>L</math> называется пределом последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии <math>{n\rightarrow \infty}</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L</math>, записывают также в виде <math>\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.</math> [[Файл:limit4.png|thumb|Последовательность <math>\dfrac{1}{n^2}</math>]] '''Пример 2:''' Покажем, что предел последовательности <math>y_n=\dfrac{1}{n^2}</math> равен 0. Фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём число <math>N</math> в зависимости от <math>{\varepsilon}</math> так, чтобы при <math>n>N</math> выполнялось неравенство <math>\vert y_n-0\vert<{\varepsilon}</math>, то есть <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math>. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math>. Значит, достаточно выбрать в качестве <math>N</math> натуральное число, ближайшее к <math>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math> справа на вещественной оси4, то есть <math>N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil</math>, и тогда при любом <math>n>N</math> неравенство <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math> будет верным. Это означает, что <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,</math> или <math>\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0</math>. Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение. == Предел функции f(x) при условии x→+∞ == [[Файл:limit5.png|thumb|Предел при <math>x\to+\infty</math>]] Определим окрестности бесконечности как множества точек <math>x</math>, заданные неравенствами <math>x>a</math>, то есть лучи <math>(a;+\infty)</math>. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math> точки <math>y_0</math> можно было найти такую окрестность бесконечности <math>(a_{{\varepsilon}};+\infty)</math>, что при попадании <math>x</math> в эту окрестность, то есть при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math>, соответствующее значение <math>y=f(x)</math> попадает в заданную вначале окрестность точки <math>y_0</math>, то есть выполняется неравенство <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Выполнение этого требования будет означать, что <math>y_0</math> — предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow +\infty</math>, то есть <math>\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).</math> Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.</math> [[Файл:limit6.png|thumb|График функции <math>y=\dfrac{3x-2}{x+1}</math>]] '''Пример 3:''' Покажем, что предел функции <math>f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}</math> при <math>x\to+\infty</math> равен числу 3. Фиксируем <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём по этому числу <math>{\varepsilon}</math> такое число <math>a</math>, что при любом <math>x>a</math> выполняется неравенство <math>\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.</math> Сразу будем считать, что <math>a</math> — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде <math>\left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}</math> или <math>\vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>. Так как <math>x>a\geqslant 0</math>, то <math>x+1>0</math> и неравенство имеет вид <math>x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>, откуда <math>x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math>. Если теперь взять число <math>a_{{\varepsilon}}</math> равным <math>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math> (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math> будет выполняться неравенство <math>\left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}</math>; это означает, что <math>\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,</math> или <math>\dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3</math>. == Первый замечательный предел == При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1</math>, который называют '''Первым замечательным пределом''' '''Доказательство''' [[Файл:Sinx x limit proof.svg|right|300px]] Рассмотрим односторонние пределы <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x}</math> и <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x}</math> и докажем, что они равны 1. Пусть <math>x \in (0; \frac{\pi}{2})</math>. Отложим этот угол на единичной окружности (<math>R = 1</math>). Точка ''K'' — точка пересечения луча с окружностью, а точка ''L'' — с касательной к единичной окружности в точке <math>(1; 0)</math>. Точка ''H'' — проекция точки ''K'' на ось ''OX''. Очевидно, что: : <math>S_{\triangle OKA} < S_{sect OKA} < S_{\triangle OAL}</math> (1)<br /> (где <math>S_{sect OKA}</math> — площадь сектора <math>OKA</math>) : <math>S_{\triangle OKA} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |KH| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}</math> : <math>S_{sect OKA} = \frac{1}{2} R^2 x = \frac{x}{2}</math> : <math>S_{\triangle OAL} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |LA| = \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> (из <math>\triangle OAL</math>: <math>|LA| = \mathrm{tg} x</math>) Подставляя в (1), получим: : <math>\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> Так как при <math>x \to 0+: \sin x > 0, x > 0, \mathrm{tg} x > 0</math>: : <math>\frac{1}{\mathrm{tg} x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}</math> Умножаем на <math>\sin x</math>: : <math>\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1</math> Перейдём к пределу: : <math>\lim_{x \to 0+} \cos x \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>1 \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} = 1</math> Найдём левый односторонний предел: : <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = -x \\ x = -u \\ u \to 0+ \\ x \to 0- \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(-u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{-\sin(u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(u)}{u} = 1 </math> Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. '''Следствия''' * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arcsin}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{ \frac{x^2}{2} } = 1</math> '''Применение''': Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо. '''Пример''': Найти <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Имеем неопределенность <math>\dfrac{0}{0}</math>. Нельзя применить теорему о пределе дроби. Обозначим 4x=t; тогда при <math>{x\rightarrow 0}, {t\rightarrow 0}</math>. Преобразуем предел: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{3 \cdot \dfrac{t}{4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot 1=\dfrac{4}{3}</math> }} '''Пример''': <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Т.к. <math>\displaystyle \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}</math>, преобразуем выражение <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}=\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x}=1 \cdot \dfrac{1}{1}=1</math> }} == Второй замечательный предел == <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> или <math>\lim_{x \to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} = e</math> '''Доказательство второго замечательного предела:''' Докажем вначале теорему для случая последовательности <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> По формуле бинома Ньютона: <math>(a + b)^n = a^n~+~\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^2 ~+~ ... ~+~ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot n}\cdot b^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> Полагая <math>a=1;~b=\frac{1}{n}</math>, получим: :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1~+~\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot \frac{1}{n^2}~+~\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{1}{n^3}~+~...~+~\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^n} = </math> :<math> =1~+~1~+~\frac{1}{1\cdot2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)~+~ ... ~+~ \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{n-1}{n}\right) ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1) Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число <math>\frac{1}{n}</math> убывает, поэтому величины <math>\left(1 - \frac{1}{n}\right), \left(1-\frac{2}{n}\right), ...</math> возрастают. Поэтому последовательность <math>\{x_{n}\} = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}; n\mathcal{2}\Nu </math> — ''возрастающая'', при этом :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 2 ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2). Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 1+1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}~+~...~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdot n}</math> Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)</math>. Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: :<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2</math>. Поэтому <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+2=3~~~~~</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3). Итак, последовательность ограничена сверху, при этом <math>\mathcal{8} n\mathcal{2}~\mathbb N</math> выполняются неравенства (2) и (3): &nbsp; <math>2~<~\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~<~3</math>. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, n\mathcal{2}~\mathbb N </math> монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой '''[[e (математическая константа)|e]]'''. Т.е. <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math> }} <math></math>&nbsp;&nbsp; Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e;x\mathcal{2}~\mathbb R </math>. Рассмотрим два случая: 1. Пусть <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: <math>n\leqslant x<n+1</math>, где <math>~n = [x]</math> — это целая часть x. : Отсюда следует: <math>\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{n}~~\Longleftrightarrow~~1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}</math>, поэтому : <math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>. : Если <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>, то <math>n \rightarrow \mathcal{1}</math>. Поэтому, согласно пределу <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math>, имеем: : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)} = \frac{e}{1}=e</math> : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\cdot \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e</math>. : По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов <math>\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math>. 2. Пусть <math>x \to -\infty</math>. Сделаем подстановку <math>- x = t</math>, тогда : <math>\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to +\infty}\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{-t}= \lim_{t \to +\infty}\left(\frac{t}{t-1}\right)^t = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^t =</math> : <math> = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^{t-1}\cdot \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^1 = e\cdot1=e</math>. Из двух этих случаев вытекает, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> для вещественного x. &nbsp;&nbsp; '''Следствия''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1</math> для <math>a > 0 \,\!</math>, <math>a \neq 1 \,\!</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = 1</math> '''Доказательства следствий''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} = \left [ \begin{matrix} u = 1/x \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] =\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = \left [ \begin{matrix} u = x/k \\ x = k u \\ u \to \infty \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{ku} = \left(\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^k = e^k </math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \left [ \begin{matrix} u = e^x - 1 \\ x = \ln(1 + u) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1</math> # <math> \lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \left [ \begin{matrix} u = x \ln a \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = </math> :<math>=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)}\cdot 1 = \left [ \begin{matrix} u = \alpha \ln (1+x) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ]=\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: <math>S*(1+p/12)^{12}</math>. При неприрывной капитазизации получим: <math>S*\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{p}{x}\right)^x = S*e^p</math> '''Пример''' <math>\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2x} = |1^\infty| = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{x+5}{x-3}-1\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{8}{x-3}\right)^{2x} =</math><math> =\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{\frac{x-3}{8} \cdot \frac{8}{x-3} \cdot 2x} = \lim_{x \to \infty}e^{ \frac{16x}{x-3}} =e^{16} </math> <math>\lim_{x \to \infty}x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln\frac{x+1}{x}\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln(1+\frac{1}{x})\right)= \lim_{x \to \infty}\ln( 1+\frac{1}{x})^x=\ln e=1 </math> ==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x gf27948my4zb40hnbiedblgeuxuwhak 267518 267517 2026-05-20T12:31:39Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267518 wikitext text/x-wiki Пусть задана некоторая меняющаяся величина <math>y</math>, зависящая от переменного <math>x</math>. Предположим, что это переменное <math>x</math> можно менять так, что выполняется некоторое условие <math>\mathcal{B}</math>: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина <math>y</math> каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу <math>L</math>. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины <math>y</math> при данном условии <math>\mathcal{B}</math> для <math>x</math> и обозначается <math>\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.</math> Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения. == Предел функции при x→x_{<small>0</small>} == [[Файл:limit1.png|thumb|Предел при <math>x\to x_0</math>]] Пусть <math>y=f(x)</math> — это функция вещественного переменного <math>x</math>, определённая во всех точках интервала <math>(a;b)</math>, кроме, быть может, точки <math>x_0\in(a;b)</math>. Дадим определение предела величины <math>y</math> при условии, что <math>x</math> стремится к точке <math>x_0</math>. Это условие кратко обозначается <math>x\rightarrow x_0</math>. Стремление <math>x</math> к <math>x_0</math> означает, что при своём изменении <math>x</math> оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку <math>x_0</math>, но не совпадает с <math>x_0</math>, то есть значение <math>\vert x-x_0\vert</math> становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие <math>x</math> значения <math>y=f(x)</math> становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу <math>y_0</math>, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа <math>y_0</math> можно указать, насколько близко <math>x</math> должен подойти к <math>x_0</math>, чтобы значения <math>y=f(x)</math> уже попадали в эту окрестность числа <math>y_0</math>. Тогда число <math>y_0</math> есть предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>, что записывается так: <math>\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).</math> Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки <math>y_0</math> (симметричная относительно <math>y_0</math>) характеризуется её полушириной <math>{\varepsilon}>0</math>, то есть имеет вид интервала <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math>. Если значение <math>y</math> попало в такую <math>{\varepsilon}</math>-окрестность, то это означает, что <math>\vert y-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Любая окрестность точки <math>x_0</math>, не содержащая самой точки <math>x_0</math> (и симметричная относительно <math>x_0</math>), — это объединение двух смежных интервалов3 <math>{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}</math>. Попадание точки <math>x</math> в эту окрестность означает, что выполнено неравенство <math>\vert x-x_0\vert<{\delta}</math> и <math>x\ne x_0</math>. Равенство <math>y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>{\delta}>0</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>\vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0</math> будет <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>y_0</math> называется пределом функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.</math> [[Файл:limit2.png|thumb|График <math>y=2\sin x+1</math>]] '''Пример 1:''' Пусть <math>x_0=0</math> и рассматривается функция <math>f(x)=2\sin x+1</math>. Покажем, что <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.</math> Для этого фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math>, задающее окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math>, и выясним, при каких <math>x</math> значения функции <math>f(x)</math> будут попадать в эту окрестность точки 1. Попадание значений <math>f(x)</math> в окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math> означает, что выполняется неравенство <math>{\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, то есть <math>{\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки <math>{x_0=0}</math>. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>{\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. Таким образом, если взять <math>{{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math> (это число больше 0), то при <math>{x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}</math> будет выполнено неравенство <math>{\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, что и означает, что предел равен числу 1: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1</math>, или <math>{2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}</math>. Рассмотрим теперь другой важный случай предела. == Предел последовательности при n→∞ == [[Файл:limit3.png|thumb|Последовательность и её предел]] Пусть дана бесконечная последовательность <math>\{y_n\}</math> чисел, занумерованных по порядку: <math>\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .</math> (Эту последовательность можно рассматривать как функцию <math>f(n)=y_n</math>, определённую при всех натуральных значениях аргумента <math>n</math>.) Дадим определение предела последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии, что номер <math>n</math> неограниченно растёт (это условие обозначается <math>n\rightarrow \infty</math>). Стремление <math>n</math> к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа <math>N\in\mathbb{N}</math>, то есть начинает выполняться неравенство <math>n>N</math>. Если при этом числа <math>y_n</math> становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу <math>L</math>, то это число — предел последовательности, что записывается так: <math>\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.</math> Формализуем сказанное. Множества чисел <math>n</math>, заданные условиями <math>n>N</math>, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство <math>L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>N</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>n>N</math> (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство <math>\vert y_n-L\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>L</math> называется пределом последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии <math>{n\rightarrow \infty}</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L</math>, записывают также в виде <math>\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.</math> [[Файл:limit4.png|thumb|Последовательность <math>\dfrac{1}{n^2}</math>]] '''Пример 2:''' Покажем, что предел последовательности <math>y_n=\dfrac{1}{n^2}</math> равен 0. Фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём число <math>N</math> в зависимости от <math>{\varepsilon}</math> так, чтобы при <math>n>N</math> выполнялось неравенство <math>\vert y_n-0\vert<{\varepsilon}</math>, то есть <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math>. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math>. Значит, достаточно выбрать в качестве <math>N</math> натуральное число, ближайшее к <math>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math> справа на вещественной оси4, то есть <math>N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil</math>, и тогда при любом <math>n>N</math> неравенство <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math> будет верным. Это означает, что <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,</math> или <math>\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0</math>. Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение. == Предел функции f(x) при условии x→+∞ == [[Файл:limit5.png|thumb|Предел при <math>x\to+\infty</math>]] Определим окрестности бесконечности как множества точек <math>x</math>, заданные неравенствами <math>x>a</math>, то есть лучи <math>(a;+\infty)</math>. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math> точки <math>y_0</math> можно было найти такую окрестность бесконечности <math>(a_{{\varepsilon}};+\infty)</math>, что при попадании <math>x</math> в эту окрестность, то есть при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math>, соответствующее значение <math>y=f(x)</math> попадает в заданную вначале окрестность точки <math>y_0</math>, то есть выполняется неравенство <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Выполнение этого требования будет означать, что <math>y_0</math> — предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow +\infty</math>, то есть <math>\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).</math> Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.</math> [[Файл:limit6.png|thumb|График функции <math>y=\dfrac{3x-2}{x+1}</math>]] '''Пример 3:''' Покажем, что предел функции <math>f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}</math> при <math>x\to+\infty</math> равен числу 3. Фиксируем <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём по этому числу <math>{\varepsilon}</math> такое число <math>a</math>, что при любом <math>x>a</math> выполняется неравенство <math>\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.</math> Сразу будем считать, что <math>a</math> — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде <math>\left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}</math> или <math>\vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>. Так как <math>x>a\geqslant 0</math>, то <math>x+1>0</math> и неравенство имеет вид <math>x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>, откуда <math>x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math>. Если теперь взять число <math>a_{{\varepsilon}}</math> равным <math>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math> (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math> будет выполняться неравенство <math>\left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}</math>; это означает, что <math>\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,</math> или <math>\dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3</math>. == Первый замечательный предел == При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1</math>, который называют '''Первым замечательным пределом''' '''Доказательство''' [[Файл:Sinx x limit proof.svg|right|300px]] Рассмотрим односторонние пределы <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x}</math> и <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x}</math> и докажем, что они равны 1. Пусть <math>x \in (0; \frac{\pi}{2})</math>. Отложим этот угол на единичной окружности (<math>R = 1</math>). Точка ''K'' — точка пересечения луча с окружностью, а точка ''L'' — с касательной к единичной окружности в точке <math>(1; 0)</math>. Точка ''H'' — проекция точки ''K'' на ось ''OX''. Очевидно, что: : <math>S_{\triangle OKA} < S_{sect OKA} < S_{\triangle OAL}</math> (1)<br /> (где <math>S_{sect OKA}</math> — площадь сектора <math>OKA</math>) : <math>S_{\triangle OKA} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |KH| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}</math> : <math>S_{sect OKA} = \frac{1}{2} R^2 x = \frac{x}{2}</math> : <math>S_{\triangle OAL} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |LA| = \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> (из <math>\triangle OAL</math>: <math>|LA| = \mathrm{tg} x</math>) Подставляя в (1), получим: : <math>\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> Так как при <math>x \to 0+: \sin x > 0, x > 0, \mathrm{tg} x > 0</math>: : <math>\frac{1}{\mathrm{tg} x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}</math> Умножаем на <math>\sin x</math>: : <math>\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1</math> Перейдём к пределу: : <math>\lim_{x \to 0+} \cos x \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>1 \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} = 1</math> Найдём левый односторонний предел: : <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = -x \\ x = -u \\ u \to 0+ \\ x \to 0- \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(-u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{-\sin(u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(u)}{u} = 1 </math> Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. '''Следствия''' * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arcsin}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{ \frac{x^2}{2} } = 1</math> '''Применение''': Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо. '''Пример''': Найти <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Имеем неопределенность <math>\dfrac{0}{0}</math>. Нельзя применить теорему о пределе дроби. Обозначим 4x=t; тогда при <math>{x\rightarrow 0}, {t\rightarrow 0}</math>. Преобразуем предел: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{3 \cdot \dfrac{t}{4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot 1=\dfrac{4}{3}</math> }} '''Пример''': <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Т.к. <math>\displaystyle \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}</math>, преобразуем выражение <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}=\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x}=1 \cdot \dfrac{1}{1}=1</math> }} == Второй замечательный предел == <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> или <math>\lim_{x \to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} = e</math> '''Доказательство второго замечательного предела:''' Докажем вначале теорему для случая последовательности <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> По формуле бинома Ньютона: <math>(a + b)^n = a^n~+~\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^2 ~+~ ... ~+~ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot n}\cdot b^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> Полагая <math>a=1;~b=\frac{1}{n}</math>, получим: :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1~+~\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot \frac{1}{n^2}~+~\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{1}{n^3}~+~...~+~\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^n} = </math> :<math> =1~+~1~+~\frac{1}{1\cdot2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)~+~ ... ~+~ \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{n-1}{n}\right) ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1) Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число <math>\frac{1}{n}</math> убывает, поэтому величины <math>\left(1 - \frac{1}{n}\right), \left(1-\frac{2}{n}\right), ...</math> возрастают. Поэтому последовательность <math>\{x_{n}\} = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}; n\mathcal{2}\Nu </math> — ''возрастающая'', при этом :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 2 ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2). Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 1+1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}~+~...~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdot n}</math> Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)</math>. Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: :<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2</math>. Поэтому <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+2=3~~~~~</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3). Итак, последовательность ограничена сверху, при этом <math>\mathcal{8} n\mathcal{2}~\mathbb N</math> выполняются неравенства (2) и (3): &nbsp; <math>2~<~\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~<~3</math>. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, n\mathcal{2}~\mathbb N </math> монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой '''[[e (математическая константа)|e]]'''. Т.е. <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math> }} <math></math>&nbsp;&nbsp; Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e;x\mathcal{2}~\mathbb R </math>. Рассмотрим два случая: 1. Пусть <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: <math>n\leqslant x<n+1</math>, где <math>~n = [x]</math> — это целая часть x. : Отсюда следует: <math>\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{n}~~\Longleftrightarrow~~1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}</math>, поэтому : <math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>. : Если <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>, то <math>n \rightarrow \mathcal{1}</math>. Поэтому, согласно пределу <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math>, имеем: : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)} = \frac{e}{1}=e</math> : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\cdot \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e</math>. : По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов <math>\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math>. 2. Пусть <math>x \to -\infty</math>. Сделаем подстановку <math>- x = t</math>, тогда : <math>\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to +\infty}\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{-t}= \lim_{t \to +\infty}\left(\frac{t}{t-1}\right)^t = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^t =</math> : <math> = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^{t-1}\cdot \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^1 = e\cdot1=e</math>. Из двух этих случаев вытекает, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> для вещественного x. &nbsp;&nbsp; '''Следствия''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1</math> для <math>a > 0 \,\!</math>, <math>a \neq 1 \,\!</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = 1</math> '''Доказательства следствий''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} = \left [ \begin{matrix} u = 1/x \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] =\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = \left [ \begin{matrix} u = x/k \\ x = k u \\ u \to \infty \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{ku} = \left(\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^k = e^k </math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \left [ \begin{matrix} u = e^x - 1 \\ x = \ln(1 + u) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1</math> # <math> \lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \left [ \begin{matrix} u = x \ln a \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = </math> :<math>=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)}\cdot 1 = \left [ \begin{matrix} u = \alpha \ln (1+x) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ]=\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: <math>S*(1+p/12)^{12}</math>. При неприрывной капитазизации получим: <math>S*\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{p}{x}\right)^x = S*e^p</math> '''Пример''' <math>\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2x} = |1^\infty| = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{x+5}{x-3}-1\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{8}{x-3}\right)^{2x} =</math><math> =\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{\frac{x-3}{8} \cdot \frac{8}{x-3} \cdot 2x} = \lim_{x \to \infty}e^{ \frac{16x}{x-3}} =e^{16} </math> <math>\lim_{x \to \infty}x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln\frac{x+1}{x}\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln(1+\frac{1}{x})\right)= \lim_{x \to \infty}\ln( 1+\frac{1}{x})^x=\ln e=1 </math> ==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x [[Категория:Математика]] n46tk81mke5ebpajpie9qv3a7d2htno 267519 267518 2026-05-20T12:31:52Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267519 wikitext text/x-wiki Пусть задана некоторая меняющаяся величина <math>y</math>, зависящая от переменного <math>x</math>. Предположим, что это переменное <math>x</math> можно менять так, что выполняется некоторое условие <math>\mathcal{B}</math>: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина <math>y</math> каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу <math>L</math>. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины <math>y</math> при данном условии <math>\mathcal{B}</math> для <math>x</math> и обозначается <math>\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.</math> Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения. == Предел функции при x→x_{<small>0</small>} == [[Файл:limit1.png|thumb|Предел при <math>x\to x_0</math>]] Пусть <math>y=f(x)</math> — это функция вещественного переменного <math>x</math>, определённая во всех точках интервала <math>(a;b)</math>, кроме, быть может, точки <math>x_0\in(a;b)</math>. Дадим определение предела величины <math>y</math> при условии, что <math>x</math> стремится к точке <math>x_0</math>. Это условие кратко обозначается <math>x\rightarrow x_0</math>. Стремление <math>x</math> к <math>x_0</math> означает, что при своём изменении <math>x</math> оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку <math>x_0</math>, но не совпадает с <math>x_0</math>, то есть значение <math>\vert x-x_0\vert</math> становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие <math>x</math> значения <math>y=f(x)</math> становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу <math>y_0</math>, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа <math>y_0</math> можно указать, насколько близко <math>x</math> должен подойти к <math>x_0</math>, чтобы значения <math>y=f(x)</math> уже попадали в эту окрестность числа <math>y_0</math>. Тогда число <math>y_0</math> есть предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>, что записывается так: <math>\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).</math> Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки <math>y_0</math> (симметричная относительно <math>y_0</math>) характеризуется её полушириной <math>{\varepsilon}>0</math>, то есть имеет вид интервала <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math>. Если значение <math>y</math> попало в такую <math>{\varepsilon}</math>-окрестность, то это означает, что <math>\vert y-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Любая окрестность точки <math>x_0</math>, не содержащая самой точки <math>x_0</math> (и симметричная относительно <math>x_0</math>), — это объединение двух смежных интервалов3 <math>{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}</math>. Попадание точки <math>x</math> в эту окрестность означает, что выполнено неравенство <math>\vert x-x_0\vert<{\delta}</math> и <math>x\ne x_0</math>. Равенство <math>y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>{\delta}>0</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>\vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0</math> будет <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>y_0</math> называется пределом функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.</math> [[Файл:limit2.png|thumb|График <math>y=2\sin x+1</math>]] '''Пример 1:''' Пусть <math>x_0=0</math> и рассматривается функция <math>f(x)=2\sin x+1</math>. Покажем, что <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.</math> Для этого фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math>, задающее окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math>, и выясним, при каких <math>x</math> значения функции <math>f(x)</math> будут попадать в эту окрестность точки 1. Попадание значений <math>f(x)</math> в окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math> означает, что выполняется неравенство <math>{\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, то есть <math>{\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки <math>{x_0=0}</math>. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>{\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. Таким образом, если взять <math>{{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math> (это число больше 0), то при <math>{x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}</math> будет выполнено неравенство <math>{\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, что и означает, что предел равен числу 1: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1</math>, или <math>{2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}</math>. Рассмотрим теперь другой важный случай предела. == Предел последовательности при n→∞ == [[Файл:limit3.png|thumb|Последовательность и её предел]] Пусть дана бесконечная последовательность <math>\{y_n\}</math> чисел, занумерованных по порядку: <math>\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .</math> (Эту последовательность можно рассматривать как функцию <math>f(n)=y_n</math>, определённую при всех натуральных значениях аргумента <math>n</math>.) Дадим определение предела последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии, что номер <math>n</math> неограниченно растёт (это условие обозначается <math>n\rightarrow \infty</math>). Стремление <math>n</math> к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа <math>N\in\mathbb{N}</math>, то есть начинает выполняться неравенство <math>n>N</math>. Если при этом числа <math>y_n</math> становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу <math>L</math>, то это число — предел последовательности, что записывается так: <math>\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.</math> Формализуем сказанное. Множества чисел <math>n</math>, заданные условиями <math>n>N</math>, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство <math>L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>N</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>n>N</math> (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство <math>\vert y_n-L\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>L</math> называется пределом последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии <math>{n\rightarrow \infty}</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L</math>, записывают также в виде <math>\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.</math> [[Файл:limit4.png|thumb|Последовательность <math>\dfrac{1}{n^2}</math>]] '''Пример 2:''' Покажем, что предел последовательности <math>y_n=\dfrac{1}{n^2}</math> равен 0. Фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём число <math>N</math> в зависимости от <math>{\varepsilon}</math> так, чтобы при <math>n>N</math> выполнялось неравенство <math>\vert y_n-0\vert<{\varepsilon}</math>, то есть <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math>. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math>. Значит, достаточно выбрать в качестве <math>N</math> натуральное число, ближайшее к <math>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math> справа на вещественной оси4, то есть <math>N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil</math>, и тогда при любом <math>n>N</math> неравенство <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math> будет верным. Это означает, что <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,</math> или <math>\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0</math>. Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение. == Предел функции f(x) при условии x→+∞ == [[Файл:limit5.png|thumb|Предел при <math>x\to+\infty</math>]] Определим окрестности бесконечности как множества точек <math>x</math>, заданные неравенствами <math>x>a</math>, то есть лучи <math>(a;+\infty)</math>. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math> точки <math>y_0</math> можно было найти такую окрестность бесконечности <math>(a_{{\varepsilon}};+\infty)</math>, что при попадании <math>x</math> в эту окрестность, то есть при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math>, соответствующее значение <math>y=f(x)</math> попадает в заданную вначале окрестность точки <math>y_0</math>, то есть выполняется неравенство <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Выполнение этого требования будет означать, что <math>y_0</math> — предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow +\infty</math>, то есть <math>\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).</math> Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.</math> [[Файл:limit6.png|thumb|График функции <math>y=\dfrac{3x-2}{x+1}</math>]] '''Пример 3:''' Покажем, что предел функции <math>f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}</math> при <math>x\to+\infty</math> равен числу 3. Фиксируем <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём по этому числу <math>{\varepsilon}</math> такое число <math>a</math>, что при любом <math>x>a</math> выполняется неравенство <math>\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.</math> Сразу будем считать, что <math>a</math> — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде <math>\left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}</math> или <math>\vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>. Так как <math>x>a\geqslant 0</math>, то <math>x+1>0</math> и неравенство имеет вид <math>x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>, откуда <math>x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math>. Если теперь взять число <math>a_{{\varepsilon}}</math> равным <math>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math> (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math> будет выполняться неравенство <math>\left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}</math>; это означает, что <math>\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,</math> или <math>\dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3</math>. == Первый замечательный предел == При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1</math>, который называют '''Первым замечательным пределом''' '''Доказательство''' [[Файл:Sinx x limit proof.svg|right|300px]] Рассмотрим односторонние пределы <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x}</math> и <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x}</math> и докажем, что они равны 1. Пусть <math>x \in (0; \frac{\pi}{2})</math>. Отложим этот угол на единичной окружности (<math>R = 1</math>). Точка ''K'' — точка пересечения луча с окружностью, а точка ''L'' — с касательной к единичной окружности в точке <math>(1; 0)</math>. Точка ''H'' — проекция точки ''K'' на ось ''OX''. Очевидно, что: : <math>S_{\triangle OKA} < S_{sect OKA} < S_{\triangle OAL}</math> (1)<br /> (где <math>S_{sect OKA}</math> — площадь сектора <math>OKA</math>) : <math>S_{\triangle OKA} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |KH| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}</math> : <math>S_{sect OKA} = \frac{1}{2} R^2 x = \frac{x}{2}</math> : <math>S_{\triangle OAL} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |LA| = \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> (из <math>\triangle OAL</math>: <math>|LA| = \mathrm{tg} x</math>) Подставляя в (1), получим: : <math>\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> Так как при <math>x \to 0+: \sin x > 0, x > 0, \mathrm{tg} x > 0</math>: : <math>\frac{1}{\mathrm{tg} x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}</math> Умножаем на <math>\sin x</math>: : <math>\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1</math> Перейдём к пределу: : <math>\lim_{x \to 0+} \cos x \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>1 \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} = 1</math> Найдём левый односторонний предел: : <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = -x \\ x = -u \\ u \to 0+ \\ x \to 0- \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(-u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{-\sin(u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(u)}{u} = 1 </math> Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. '''Следствия''' * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arcsin}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{ \frac{x^2}{2} } = 1</math> '''Применение''': Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо. '''Пример''': Найти <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Имеем неопределенность <math>\dfrac{0}{0}</math>. Нельзя применить теорему о пределе дроби. Обозначим 4x=t; тогда при <math>{x\rightarrow 0}, {t\rightarrow 0}</math>. Преобразуем предел: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{3 \cdot \dfrac{t}{4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot 1=\dfrac{4}{3}</math> }} '''Пример''': <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Т.к. <math>\displaystyle \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}</math>, преобразуем выражение <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}=\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x}=1 \cdot \dfrac{1}{1}=1</math> }} == Второй замечательный предел == <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> или <math>\lim_{x \to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} = e</math> '''Доказательство второго замечательного предела:''' Докажем вначале теорему для случая последовательности <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> По формуле бинома Ньютона: <math>(a + b)^n = a^n~+~\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^2 ~+~ ... ~+~ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot n}\cdot b^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> Полагая <math>a=1;~b=\frac{1}{n}</math>, получим: :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1~+~\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot \frac{1}{n^2}~+~\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{1}{n^3}~+~...~+~\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^n} = </math> :<math> =1~+~1~+~\frac{1}{1\cdot2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)~+~ ... ~+~ \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{n-1}{n}\right) ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1) Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число <math>\frac{1}{n}</math> убывает, поэтому величины <math>\left(1 - \frac{1}{n}\right), \left(1-\frac{2}{n}\right), ...</math> возрастают. Поэтому последовательность <math>\{x_{n}\} = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}; n\mathcal{2}\Nu </math> — ''возрастающая'', при этом :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 2 ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2). Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 1+1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}~+~...~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdot n}</math> Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)</math>. Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: :<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2</math>. Поэтому <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+2=3~~~~~</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3). Итак, последовательность ограничена сверху, при этом <math>\mathcal{8} n\mathcal{2}~\mathbb N</math> выполняются неравенства (2) и (3): &nbsp; <math>2~<~\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~<~3</math>. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, n\mathcal{2}~\mathbb N </math> монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой '''[[e (математическая константа)|e]]'''. Т.е. <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math> }} <math></math>&nbsp;&nbsp; Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e;x\mathcal{2}~\mathbb R </math>. Рассмотрим два случая: 1. Пусть <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: <math>n\leqslant x<n+1</math>, где <math>~n = [x]</math> — это целая часть x. : Отсюда следует: <math>\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{n}~~\Longleftrightarrow~~1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}</math>, поэтому : <math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>. : Если <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>, то <math>n \rightarrow \mathcal{1}</math>. Поэтому, согласно пределу <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math>, имеем: : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)} = \frac{e}{1}=e</math> : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\cdot \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e</math>. : По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов <math>\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math>. 2. Пусть <math>x \to -\infty</math>. Сделаем подстановку <math>- x = t</math>, тогда : <math>\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to +\infty}\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{-t}= \lim_{t \to +\infty}\left(\frac{t}{t-1}\right)^t = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^t =</math> : <math> = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^{t-1}\cdot \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^1 = e\cdot1=e</math>. Из двух этих случаев вытекает, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> для вещественного x. &nbsp;&nbsp; '''Следствия''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1</math> для <math>a > 0 \,\!</math>, <math>a \neq 1 \,\!</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = 1</math> '''Доказательства следствий''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} = \left [ \begin{matrix} u = 1/x \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] =\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = \left [ \begin{matrix} u = x/k \\ x = k u \\ u \to \infty \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{ku} = \left(\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^k = e^k </math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \left [ \begin{matrix} u = e^x - 1 \\ x = \ln(1 + u) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1</math> # <math> \lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \left [ \begin{matrix} u = x \ln a \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = </math> :<math>=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)}\cdot 1 = \left [ \begin{matrix} u = \alpha \ln (1+x) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ]=\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: <math>S*(1+p/12)^{12}</math>. При неприрывной капитазизации получим: <math>S*\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{p}{x}\right)^x = S*e^p</math> '''Пример''' <math>\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2x} = |1^\infty| = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{x+5}{x-3}-1\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{8}{x-3}\right)^{2x} =</math><math> =\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{\frac{x-3}{8} \cdot \frac{8}{x-3} \cdot 2x} = \lim_{x \to \infty}e^{ \frac{16x}{x-3}} =e^{16} </math> <math>\lim_{x \to \infty}x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln\frac{x+1}{x}\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln(1+\frac{1}{x})\right)= \lim_{x \to \infty}\ln( 1+\frac{1}{x})^x=\ln e=1 </math> ==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x [[Категория:Математика]] [[Категория:Алгебра]] cb1dk4p042re073edyatet76au6up5w 267630 267519 2026-05-21T08:20:57Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267630 wikitext text/x-wiki Пусть задана некоторая меняющаяся величина <math>y</math>, зависящая от переменного <math>x</math>. Предположим, что это переменное <math>x</math> можно менять так, что выполняется некоторое условие <math>\mathcal{B}</math>: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина <math>y</math> каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу <math>L</math>. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины <math>y</math> при данном условии <math>\mathcal{B}</math> для <math>x</math> и обозначается <math>\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.</math> Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения. == Предел функции при x→x_{<small>0</small>} == [[Файл:limit1.png|thumb|Предел при <math>x\to x_0</math>]] Пусть <math>y=f(x)</math> — это функция вещественного переменного <math>x</math>, определённая во всех точках интервала <math>(a;b)</math>, кроме, быть может, точки <math>x_0\in(a;b)</math>. Дадим определение предела величины <math>y</math> при условии, что <math>x</math> стремится к точке <math>x_0</math>. Это условие кратко обозначается <math>x\rightarrow x_0</math>. Стремление <math>x</math> к <math>x_0</math> означает, что при своём изменении <math>x</math> оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку <math>x_0</math>, но не совпадает с <math>x_0</math>, то есть значение <math>\vert x-x_0\vert</math> становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие <math>x</math> значения <math>y=f(x)</math> становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу <math>y_0</math>, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа <math>y_0</math> можно указать, насколько близко <math>x</math> должен подойти к <math>x_0</math>, чтобы значения <math>y=f(x)</math> уже попадали в эту окрестность числа <math>y_0</math>. Тогда число <math>y_0</math> есть предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>, что записывается так: <math>\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).</math> Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки <math>y_0</math> (симметричная относительно <math>y_0</math>) характеризуется её полушириной <math>{\varepsilon}>0</math>, то есть имеет вид интервала <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math>. Если значение <math>y</math> попало в такую <math>{\varepsilon}</math>-окрестность, то это означает, что <math>\vert y-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Любая окрестность точки <math>x_0</math>, не содержащая самой точки <math>x_0</math> (и симметричная относительно <math>x_0</math>), — это объединение двух смежных интервалов3 <math>{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}</math>. Попадание точки <math>x</math> в эту окрестность означает, что выполнено неравенство <math>\vert x-x_0\vert<{\delta}</math> и <math>x\ne x_0</math>. Равенство <math>y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>{\delta}>0</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>\vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0</math> будет <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>y_0</math> называется пределом функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.</math> [[Файл:limit2.png|thumb|График <math>y=2\sin x+1</math>]] '''Пример 1:''' Пусть <math>x_0=0</math> и рассматривается функция <math>f(x)=2\sin x+1</math>. Покажем, что <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.</math> Для этого фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math>, задающее окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math>, и выясним, при каких <math>x</math> значения функции <math>f(x)</math> будут попадать в эту окрестность точки 1. Попадание значений <math>f(x)</math> в окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math> означает, что выполняется неравенство <math>{\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, то есть <math>{\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки <math>{x_0=0}</math>. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>{\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. Таким образом, если взять <math>{{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math> (это число больше 0), то при <math>{x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}</math> будет выполнено неравенство <math>{\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, что и означает, что предел равен числу 1: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1</math>, или <math>{2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}</math>. Рассмотрим теперь другой важный случай предела. == Предел последовательности при n→∞ == [[Файл:limit3.png|thumb|Последовательность и её предел]] Пусть дана бесконечная последовательность <math>\{y_n\}</math> чисел, занумерованных по порядку: <math>\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .</math> (Эту последовательность можно рассматривать как функцию <math>f(n)=y_n</math>, определённую при всех натуральных значениях аргумента <math>n</math>.) Дадим определение предела последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии, что номер <math>n</math> неограниченно растёт (это условие обозначается <math>n\rightarrow \infty</math>). Стремление <math>n</math> к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа <math>N\in\mathbb{N}</math>, то есть начинает выполняться неравенство <math>n>N</math>. Если при этом числа <math>y_n</math> становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу <math>L</math>, то это число — предел последовательности, что записывается так: <math>\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.</math> Формализуем сказанное. Множества чисел <math>n</math>, заданные условиями <math>n>N</math>, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство <math>L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>N</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>n>N</math> (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство <math>\vert y_n-L\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>L</math> называется пределом последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии <math>{n\rightarrow \infty}</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L</math>, записывают также в виде <math>\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.</math> [[Файл:limit4.png|thumb|Последовательность <math>\dfrac{1}{n^2}</math>]] '''Пример 2:''' Покажем, что предел последовательности <math>y_n=\dfrac{1}{n^2}</math> равен 0. Фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём число <math>N</math> в зависимости от <math>{\varepsilon}</math> так, чтобы при <math>n>N</math> выполнялось неравенство <math>\vert y_n-0\vert<{\varepsilon}</math>, то есть <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math>. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math>. Значит, достаточно выбрать в качестве <math>N</math> натуральное число, ближайшее к <math>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math> справа на вещественной оси4, то есть <math>N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil</math>, и тогда при любом <math>n>N</math> неравенство <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math> будет верным. Это означает, что <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,</math> или <math>\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0</math>. Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение. == Предел функции f(x) при условии x→+∞ == [[Файл:limit5.png|thumb|Предел при <math>x\to+\infty</math>]] Определим окрестности бесконечности как множества точек <math>x</math>, заданные неравенствами <math>x>a</math>, то есть лучи <math>(a;+\infty)</math>. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math> точки <math>y_0</math> можно было найти такую окрестность бесконечности <math>(a_{{\varepsilon}};+\infty)</math>, что при попадании <math>x</math> в эту окрестность, то есть при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math>, соответствующее значение <math>y=f(x)</math> попадает в заданную вначале окрестность точки <math>y_0</math>, то есть выполняется неравенство <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Выполнение этого требования будет означать, что <math>y_0</math> — предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow +\infty</math>, то есть <math>\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).</math> Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.</math> [[Файл:limit6.png|thumb|График функции <math>y=\dfrac{3x-2}{x+1}</math>]] '''Пример 3:''' Покажем, что предел функции <math>f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}</math> при <math>x\to+\infty</math> равен числу 3. Фиксируем <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём по этому числу <math>{\varepsilon}</math> такое число <math>a</math>, что при любом <math>x>a</math> выполняется неравенство <math>\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.</math> Сразу будем считать, что <math>a</math> — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде <math>\left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}</math> или <math>\vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>. Так как <math>x>a\geqslant 0</math>, то <math>x+1>0</math> и неравенство имеет вид <math>x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>, откуда <math>x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math>. Если теперь взять число <math>a_{{\varepsilon}}</math> равным <math>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math> (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math> будет выполняться неравенство <math>\left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}</math>; это означает, что <math>\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,</math> или <math>\dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3</math>. == Первый замечательный предел == При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1</math>, который называют '''Первым замечательным пределом''' '''Доказательство''' [[Файл:Sinx x limit proof.svg|right|300px]] Рассмотрим односторонние пределы <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x}</math> и <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x}</math> и докажем, что они равны 1. Пусть <math>x \in (0; \frac{\pi}{2})</math>. Отложим этот угол на единичной окружности (<math>R = 1</math>). Точка ''K'' — точка пересечения луча с окружностью, а точка ''L'' — с касательной к единичной окружности в точке <math>(1; 0)</math>. Точка ''H'' — проекция точки ''K'' на ось ''OX''. Очевидно, что: : <math>S_{\triangle OKA} < S_{sect OKA} < S_{\triangle OAL}</math> (1)<br /> (где <math>S_{sect OKA}</math> — площадь сектора <math>OKA</math>) : <math>S_{\triangle OKA} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |KH| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}</math> : <math>S_{sect OKA} = \frac{1}{2} R^2 x = \frac{x}{2}</math> : <math>S_{\triangle OAL} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |LA| = \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> (из <math>\triangle OAL</math>: <math>|LA| = \mathrm{tg} x</math>) Подставляя в (1), получим: : <math>\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> Так как при <math>x \to 0+: \sin x > 0, x > 0, \mathrm{tg} x > 0</math>: : <math>\frac{1}{\mathrm{tg} x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}</math> Умножаем на <math>\sin x</math>: : <math>\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1</math> Перейдём к пределу: : <math>\lim_{x \to 0+} \cos x \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>1 \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} = 1</math> Найдём левый односторонний предел: : <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = -x \\ x = -u \\ u \to 0+ \\ x \to 0- \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(-u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{-\sin(u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(u)}{u} = 1 </math> Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. '''Следствия''' * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arcsin}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{ \frac{x^2}{2} } = 1</math> '''Применение''': Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо. '''Пример''': Найти <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Имеем неопределенность <math>\dfrac{0}{0}</math>. Нельзя применить теорему о пределе дроби. Обозначим 4x=t; тогда при <math>{x\rightarrow 0}, {t\rightarrow 0}</math>. Преобразуем предел: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{3 \cdot \dfrac{t}{4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot 1=\dfrac{4}{3}</math> }} '''Пример''': <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Т.к. <math>\displaystyle \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}</math>, преобразуем выражение <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}=\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x}=1 \cdot \dfrac{1}{1}=1</math> }} == Второй замечательный предел == <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> или <math>\lim_{x \to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} = e</math> '''Доказательство второго замечательного предела:''' Докажем вначале теорему для случая последовательности <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> По формуле бинома Ньютона: <math>(a + b)^n = a^n~+~\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^2 ~+~ ... ~+~ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot n}\cdot b^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> Полагая <math>a=1;~b=\frac{1}{n}</math>, получим: :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1~+~\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot \frac{1}{n^2}~+~\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{1}{n^3}~+~...~+~\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^n} = </math> :<math> =1~+~1~+~\frac{1}{1\cdot2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)~+~ ... ~+~ \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{n-1}{n}\right) ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1) Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число <math>\frac{1}{n}</math> убывает, поэтому величины <math>\left(1 - \frac{1}{n}\right), \left(1-\frac{2}{n}\right), ...</math> возрастают. Поэтому последовательность <math>\{x_{n}\} = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}; n\mathcal{2}\Nu </math> — ''возрастающая'', при этом :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 2 ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2). Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 1+1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}~+~...~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdot n}</math> Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)</math>. Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: :<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2</math>. Поэтому <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+2=3~~~~~</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3). Итак, последовательность ограничена сверху, при этом <math>\mathcal{8} n\mathcal{2}~\mathbb N</math> выполняются неравенства (2) и (3): &nbsp; <math>2~<~\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~<~3</math>. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, n\mathcal{2}~\mathbb N </math> монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой '''[[e (математическая константа)|e]]'''. Т.е. <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math> }} <math></math>&nbsp;&nbsp; Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e;x\mathcal{2}~\mathbb R </math>. Рассмотрим два случая: 1. Пусть <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: <math>n\leqslant x<n+1</math>, где <math>~n = [x]</math> — это целая часть x. : Отсюда следует: <math>\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{n}~~\Longleftrightarrow~~1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}</math>, поэтому : <math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>. : Если <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>, то <math>n \rightarrow \mathcal{1}</math>. Поэтому, согласно пределу <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math>, имеем: : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)} = \frac{e}{1}=e</math> : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\cdot \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e</math>. : По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов <math>\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math>. 2. Пусть <math>x \to -\infty</math>. Сделаем подстановку <math>- x = t</math>, тогда : <math>\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to +\infty}\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{-t}= \lim_{t \to +\infty}\left(\frac{t}{t-1}\right)^t = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^t =</math> : <math> = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^{t-1}\cdot \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^1 = e\cdot1=e</math>. Из двух этих случаев вытекает, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> для вещественного x. &nbsp;&nbsp; '''Следствия''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1</math> для <math>a > 0 \,\!</math>, <math>a \neq 1 \,\!</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = 1</math> '''Доказательства следствий''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} = \left [ \begin{matrix} u = 1/x \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] =\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = \left [ \begin{matrix} u = x/k \\ x = k u \\ u \to \infty \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{ku} = \left(\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^k = e^k </math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \left [ \begin{matrix} u = e^x - 1 \\ x = \ln(1 + u) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1</math> # <math> \lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \left [ \begin{matrix} u = x \ln a \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = </math> :<math>=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)}\cdot 1 = \left [ \begin{matrix} u = \alpha \ln (1+x) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ]=\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: <math>S*(1+p/12)^{12}</math>. При неприрывной капитазизации получим: <math>S*\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{p}{x}\right)^x = S*e^p</math> '''Пример''' <math>\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2x} = |1^\infty| = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{x+5}{x-3}-1\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{8}{x-3}\right)^{2x} =</math><math> =\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{\frac{x-3}{8} \cdot \frac{8}{x-3} \cdot 2x} = \lim_{x \to \infty}e^{ \frac{16x}{x-3}} =e^{16} </math> <math>\lim_{x \to \infty}x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln\frac{x+1}{x}\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln(1+\frac{1}{x})\right)= \lim_{x \to \infty}\ln( 1+\frac{1}{x})^x=\ln e=1 </math> ==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x [[Категория:Алгебра]] 2zar6n6czng0b7kpqgpj5pokqsm5tku 267664 267630 2026-05-21T08:39:59Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Высшая математика. Первый семестр]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267664 wikitext text/x-wiki Пусть задана некоторая меняющаяся величина <math>y</math>, зависящая от переменного <math>x</math>. Предположим, что это переменное <math>x</math> можно менять так, что выполняется некоторое условие <math>\mathcal{B}</math>: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина <math>y</math> каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу <math>L</math>. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины <math>y</math> при данном условии <math>\mathcal{B}</math> для <math>x</math> и обозначается <math>\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.</math> Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения. == Предел функции при x→x_{<small>0</small>} == [[Файл:limit1.png|thumb|Предел при <math>x\to x_0</math>]] Пусть <math>y=f(x)</math> — это функция вещественного переменного <math>x</math>, определённая во всех точках интервала <math>(a;b)</math>, кроме, быть может, точки <math>x_0\in(a;b)</math>. Дадим определение предела величины <math>y</math> при условии, что <math>x</math> стремится к точке <math>x_0</math>. Это условие кратко обозначается <math>x\rightarrow x_0</math>. Стремление <math>x</math> к <math>x_0</math> означает, что при своём изменении <math>x</math> оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку <math>x_0</math>, но не совпадает с <math>x_0</math>, то есть значение <math>\vert x-x_0\vert</math> становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие <math>x</math> значения <math>y=f(x)</math> становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу <math>y_0</math>, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа <math>y_0</math> можно указать, насколько близко <math>x</math> должен подойти к <math>x_0</math>, чтобы значения <math>y=f(x)</math> уже попадали в эту окрестность числа <math>y_0</math>. Тогда число <math>y_0</math> есть предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>, что записывается так: <math>\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).</math> Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки <math>y_0</math> (симметричная относительно <math>y_0</math>) характеризуется её полушириной <math>{\varepsilon}>0</math>, то есть имеет вид интервала <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math>. Если значение <math>y</math> попало в такую <math>{\varepsilon}</math>-окрестность, то это означает, что <math>\vert y-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Любая окрестность точки <math>x_0</math>, не содержащая самой точки <math>x_0</math> (и симметричная относительно <math>x_0</math>), — это объединение двух смежных интервалов3 <math>{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}</math>. Попадание точки <math>x</math> в эту окрестность означает, что выполнено неравенство <math>\vert x-x_0\vert<{\delta}</math> и <math>x\ne x_0</math>. Равенство <math>y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>{\delta}>0</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>\vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0</math> будет <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>y_0</math> называется пределом функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.</math> [[Файл:limit2.png|thumb|График <math>y=2\sin x+1</math>]] '''Пример 1:''' Пусть <math>x_0=0</math> и рассматривается функция <math>f(x)=2\sin x+1</math>. Покажем, что <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.</math> Для этого фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math>, задающее окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math>, и выясним, при каких <math>x</math> значения функции <math>f(x)</math> будут попадать в эту окрестность точки 1. Попадание значений <math>f(x)</math> в окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math> означает, что выполняется неравенство <math>{\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, то есть <math>{\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки <math>{x_0=0}</math>. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>{\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. Таким образом, если взять <math>{{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math> (это число больше 0), то при <math>{x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}</math> будет выполнено неравенство <math>{\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, что и означает, что предел равен числу 1: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1</math>, или <math>{2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}</math>. Рассмотрим теперь другой важный случай предела. == Предел последовательности при n→∞ == [[Файл:limit3.png|thumb|Последовательность и её предел]] Пусть дана бесконечная последовательность <math>\{y_n\}</math> чисел, занумерованных по порядку: <math>\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .</math> (Эту последовательность можно рассматривать как функцию <math>f(n)=y_n</math>, определённую при всех натуральных значениях аргумента <math>n</math>.) Дадим определение предела последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии, что номер <math>n</math> неограниченно растёт (это условие обозначается <math>n\rightarrow \infty</math>). Стремление <math>n</math> к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа <math>N\in\mathbb{N}</math>, то есть начинает выполняться неравенство <math>n>N</math>. Если при этом числа <math>y_n</math> становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу <math>L</math>, то это число — предел последовательности, что записывается так: <math>\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.</math> Формализуем сказанное. Множества чисел <math>n</math>, заданные условиями <math>n>N</math>, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство <math>L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>N</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>n>N</math> (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство <math>\vert y_n-L\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>L</math> называется пределом последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии <math>{n\rightarrow \infty}</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L</math>, записывают также в виде <math>\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.</math> [[Файл:limit4.png|thumb|Последовательность <math>\dfrac{1}{n^2}</math>]] '''Пример 2:''' Покажем, что предел последовательности <math>y_n=\dfrac{1}{n^2}</math> равен 0. Фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём число <math>N</math> в зависимости от <math>{\varepsilon}</math> так, чтобы при <math>n>N</math> выполнялось неравенство <math>\vert y_n-0\vert<{\varepsilon}</math>, то есть <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math>. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math>. Значит, достаточно выбрать в качестве <math>N</math> натуральное число, ближайшее к <math>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math> справа на вещественной оси4, то есть <math>N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil</math>, и тогда при любом <math>n>N</math> неравенство <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math> будет верным. Это означает, что <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,</math> или <math>\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0</math>. Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение. == Предел функции f(x) при условии x→+∞ == [[Файл:limit5.png|thumb|Предел при <math>x\to+\infty</math>]] Определим окрестности бесконечности как множества точек <math>x</math>, заданные неравенствами <math>x>a</math>, то есть лучи <math>(a;+\infty)</math>. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math> точки <math>y_0</math> можно было найти такую окрестность бесконечности <math>(a_{{\varepsilon}};+\infty)</math>, что при попадании <math>x</math> в эту окрестность, то есть при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math>, соответствующее значение <math>y=f(x)</math> попадает в заданную вначале окрестность точки <math>y_0</math>, то есть выполняется неравенство <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Выполнение этого требования будет означать, что <math>y_0</math> — предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow +\infty</math>, то есть <math>\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).</math> Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.</math> [[Файл:limit6.png|thumb|График функции <math>y=\dfrac{3x-2}{x+1}</math>]] '''Пример 3:''' Покажем, что предел функции <math>f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}</math> при <math>x\to+\infty</math> равен числу 3. Фиксируем <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём по этому числу <math>{\varepsilon}</math> такое число <math>a</math>, что при любом <math>x>a</math> выполняется неравенство <math>\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.</math> Сразу будем считать, что <math>a</math> — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде <math>\left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}</math> или <math>\vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>. Так как <math>x>a\geqslant 0</math>, то <math>x+1>0</math> и неравенство имеет вид <math>x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>, откуда <math>x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math>. Если теперь взять число <math>a_{{\varepsilon}}</math> равным <math>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math> (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math> будет выполняться неравенство <math>\left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}</math>; это означает, что <math>\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,</math> или <math>\dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3</math>. == Первый замечательный предел == При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1</math>, который называют '''Первым замечательным пределом''' '''Доказательство''' [[Файл:Sinx x limit proof.svg|right|300px]] Рассмотрим односторонние пределы <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x}</math> и <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x}</math> и докажем, что они равны 1. Пусть <math>x \in (0; \frac{\pi}{2})</math>. Отложим этот угол на единичной окружности (<math>R = 1</math>). Точка ''K'' — точка пересечения луча с окружностью, а точка ''L'' — с касательной к единичной окружности в точке <math>(1; 0)</math>. Точка ''H'' — проекция точки ''K'' на ось ''OX''. Очевидно, что: : <math>S_{\triangle OKA} < S_{sect OKA} < S_{\triangle OAL}</math> (1)<br /> (где <math>S_{sect OKA}</math> — площадь сектора <math>OKA</math>) : <math>S_{\triangle OKA} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |KH| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}</math> : <math>S_{sect OKA} = \frac{1}{2} R^2 x = \frac{x}{2}</math> : <math>S_{\triangle OAL} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |LA| = \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> (из <math>\triangle OAL</math>: <math>|LA| = \mathrm{tg} x</math>) Подставляя в (1), получим: : <math>\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> Так как при <math>x \to 0+: \sin x > 0, x > 0, \mathrm{tg} x > 0</math>: : <math>\frac{1}{\mathrm{tg} x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}</math> Умножаем на <math>\sin x</math>: : <math>\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1</math> Перейдём к пределу: : <math>\lim_{x \to 0+} \cos x \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>1 \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} = 1</math> Найдём левый односторонний предел: : <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = -x \\ x = -u \\ u \to 0+ \\ x \to 0- \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(-u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{-\sin(u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(u)}{u} = 1 </math> Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. '''Следствия''' * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arcsin}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{ \frac{x^2}{2} } = 1</math> '''Применение''': Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо. '''Пример''': Найти <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Имеем неопределенность <math>\dfrac{0}{0}</math>. Нельзя применить теорему о пределе дроби. Обозначим 4x=t; тогда при <math>{x\rightarrow 0}, {t\rightarrow 0}</math>. Преобразуем предел: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{3 \cdot \dfrac{t}{4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot 1=\dfrac{4}{3}</math> }} '''Пример''': <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Т.к. <math>\displaystyle \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}</math>, преобразуем выражение <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}=\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x}=1 \cdot \dfrac{1}{1}=1</math> }} == Второй замечательный предел == <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> или <math>\lim_{x \to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} = e</math> '''Доказательство второго замечательного предела:''' Докажем вначале теорему для случая последовательности <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> По формуле бинома Ньютона: <math>(a + b)^n = a^n~+~\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^2 ~+~ ... ~+~ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot n}\cdot b^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> Полагая <math>a=1;~b=\frac{1}{n}</math>, получим: :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1~+~\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot \frac{1}{n^2}~+~\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{1}{n^3}~+~...~+~\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^n} = </math> :<math> =1~+~1~+~\frac{1}{1\cdot2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)~+~ ... ~+~ \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{n-1}{n}\right) ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1) Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число <math>\frac{1}{n}</math> убывает, поэтому величины <math>\left(1 - \frac{1}{n}\right), \left(1-\frac{2}{n}\right), ...</math> возрастают. Поэтому последовательность <math>\{x_{n}\} = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}; n\mathcal{2}\Nu </math> — ''возрастающая'', при этом :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 2 ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2). Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 1+1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}~+~...~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdot n}</math> Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)</math>. Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: :<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2</math>. Поэтому <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+2=3~~~~~</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3). Итак, последовательность ограничена сверху, при этом <math>\mathcal{8} n\mathcal{2}~\mathbb N</math> выполняются неравенства (2) и (3): &nbsp; <math>2~<~\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~<~3</math>. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, n\mathcal{2}~\mathbb N </math> монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой '''[[e (математическая константа)|e]]'''. Т.е. <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math> }} <math></math>&nbsp;&nbsp; Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e;x\mathcal{2}~\mathbb R </math>. Рассмотрим два случая: 1. Пусть <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: <math>n\leqslant x<n+1</math>, где <math>~n = [x]</math> — это целая часть x. : Отсюда следует: <math>\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{n}~~\Longleftrightarrow~~1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}</math>, поэтому : <math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>. : Если <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>, то <math>n \rightarrow \mathcal{1}</math>. Поэтому, согласно пределу <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math>, имеем: : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)} = \frac{e}{1}=e</math> : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\cdot \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e</math>. : По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов <math>\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math>. 2. Пусть <math>x \to -\infty</math>. Сделаем подстановку <math>- x = t</math>, тогда : <math>\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to +\infty}\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{-t}= \lim_{t \to +\infty}\left(\frac{t}{t-1}\right)^t = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^t =</math> : <math> = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^{t-1}\cdot \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^1 = e\cdot1=e</math>. Из двух этих случаев вытекает, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> для вещественного x. &nbsp;&nbsp; '''Следствия''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1</math> для <math>a > 0 \,\!</math>, <math>a \neq 1 \,\!</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = 1</math> '''Доказательства следствий''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} = \left [ \begin{matrix} u = 1/x \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] =\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = \left [ \begin{matrix} u = x/k \\ x = k u \\ u \to \infty \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{ku} = \left(\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^k = e^k </math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \left [ \begin{matrix} u = e^x - 1 \\ x = \ln(1 + u) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1</math> # <math> \lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \left [ \begin{matrix} u = x \ln a \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = </math> :<math>=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)}\cdot 1 = \left [ \begin{matrix} u = \alpha \ln (1+x) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ]=\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: <math>S*(1+p/12)^{12}</math>. При неприрывной капитазизации получим: <math>S*\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{p}{x}\right)^x = S*e^p</math> '''Пример''' <math>\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2x} = |1^\infty| = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{x+5}{x-3}-1\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{8}{x-3}\right)^{2x} =</math><math> =\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{\frac{x-3}{8} \cdot \frac{8}{x-3} \cdot 2x} = \lim_{x \to \infty}e^{ \frac{16x}{x-3}} =e^{16} </math> <math>\lim_{x \to \infty}x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln\frac{x+1}{x}\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln(1+\frac{1}{x})\right)= \lim_{x \to \infty}\ln( 1+\frac{1}{x})^x=\ln e=1 </math> ==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Высшая математика. Первый семестр]] 4mt43bqnjcndawuih03ysr5dtjwai2x 267665 267664 2026-05-21T08:40:06Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267665 wikitext text/x-wiki Пусть задана некоторая меняющаяся величина <math>y</math>, зависящая от переменного <math>x</math>. Предположим, что это переменное <math>x</math> можно менять так, что выполняется некоторое условие <math>\mathcal{B}</math>: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина <math>y</math> каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу <math>L</math>. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины <math>y</math> при данном условии <math>\mathcal{B}</math> для <math>x</math> и обозначается <math>\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.</math> Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения. == Предел функции при x→x_{<small>0</small>} == [[Файл:limit1.png|thumb|Предел при <math>x\to x_0</math>]] Пусть <math>y=f(x)</math> — это функция вещественного переменного <math>x</math>, определённая во всех точках интервала <math>(a;b)</math>, кроме, быть может, точки <math>x_0\in(a;b)</math>. Дадим определение предела величины <math>y</math> при условии, что <math>x</math> стремится к точке <math>x_0</math>. Это условие кратко обозначается <math>x\rightarrow x_0</math>. Стремление <math>x</math> к <math>x_0</math> означает, что при своём изменении <math>x</math> оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку <math>x_0</math>, но не совпадает с <math>x_0</math>, то есть значение <math>\vert x-x_0\vert</math> становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие <math>x</math> значения <math>y=f(x)</math> становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу <math>y_0</math>, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа <math>y_0</math> можно указать, насколько близко <math>x</math> должен подойти к <math>x_0</math>, чтобы значения <math>y=f(x)</math> уже попадали в эту окрестность числа <math>y_0</math>. Тогда число <math>y_0</math> есть предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>, что записывается так: <math>\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).</math> Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки <math>y_0</math> (симметричная относительно <math>y_0</math>) характеризуется её полушириной <math>{\varepsilon}>0</math>, то есть имеет вид интервала <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math>. Если значение <math>y</math> попало в такую <math>{\varepsilon}</math>-окрестность, то это означает, что <math>\vert y-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Любая окрестность точки <math>x_0</math>, не содержащая самой точки <math>x_0</math> (и симметричная относительно <math>x_0</math>), — это объединение двух смежных интервалов3 <math>{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}</math>. Попадание точки <math>x</math> в эту окрестность означает, что выполнено неравенство <math>\vert x-x_0\vert<{\delta}</math> и <math>x\ne x_0</math>. Равенство <math>y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>{\delta}>0</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>\vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0</math> будет <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>y_0</math> называется пределом функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow x_0</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.</math> [[Файл:limit2.png|thumb|График <math>y=2\sin x+1</math>]] '''Пример 1:''' Пусть <math>x_0=0</math> и рассматривается функция <math>f(x)=2\sin x+1</math>. Покажем, что <math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.</math> Для этого фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math>, задающее окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math>, и выясним, при каких <math>x</math> значения функции <math>f(x)</math> будут попадать в эту окрестность точки 1. Попадание значений <math>f(x)</math> в окрестность <math>(1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})</math> означает, что выполняется неравенство <math>{\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, то есть <math>{\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки <math>{x_0=0}</math>. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>{\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math>. Таким образом, если взять <math>{{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}</math> (это число больше 0), то при <math>{x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}</math> будет выполнено неравенство <math>{\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}</math>, что и означает, что предел равен числу 1: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1</math>, или <math>{2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}</math>. Рассмотрим теперь другой важный случай предела. == Предел последовательности при n→∞ == [[Файл:limit3.png|thumb|Последовательность и её предел]] Пусть дана бесконечная последовательность <math>\{y_n\}</math> чисел, занумерованных по порядку: <math>\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .</math> (Эту последовательность можно рассматривать как функцию <math>f(n)=y_n</math>, определённую при всех натуральных значениях аргумента <math>n</math>.) Дадим определение предела последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии, что номер <math>n</math> неограниченно растёт (это условие обозначается <math>n\rightarrow \infty</math>). Стремление <math>n</math> к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа <math>N\in\mathbb{N}</math>, то есть начинает выполняться неравенство <math>n>N</math>. Если при этом числа <math>y_n</math> становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу <math>L</math>, то это число — предел последовательности, что записывается так: <math>\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.</math> Формализуем сказанное. Множества чисел <math>n</math>, заданные условиями <math>n>N</math>, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство <math>L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n</math> означает тогда, что для любого, сколь угодно малого, числа <math>{\varepsilon}>0</math> можно найти такое число <math>N</math> (зависящее от <math>{\varepsilon}</math>), что при <math>n>N</math> (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство <math>\vert y_n-L\vert<{\varepsilon}</math>. При этом число <math>L</math> называется пределом последовательности <math>\{y_n\}</math> при условии <math>{n\rightarrow \infty}</math>. Тот факт, что <math>\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L</math>, записывают также в виде <math>\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.</math> [[Файл:limit4.png|thumb|Последовательность <math>\dfrac{1}{n^2}</math>]] '''Пример 2:''' Покажем, что предел последовательности <math>y_n=\dfrac{1}{n^2}</math> равен 0. Фиксируем произвольное число <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём число <math>N</math> в зависимости от <math>{\varepsilon}</math> так, чтобы при <math>n>N</math> выполнялось неравенство <math>\vert y_n-0\vert<{\varepsilon}</math>, то есть <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math>. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при <math>n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math>. Значит, достаточно выбрать в качестве <math>N</math> натуральное число, ближайшее к <math>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}</math> справа на вещественной оси4, то есть <math>N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil</math>, и тогда при любом <math>n>N</math> неравенство <math>\dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}</math> будет верным. Это означает, что <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,</math> или <math>\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0</math>. Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение. == Предел функции f(x) при условии x→+∞ == [[Файл:limit5.png|thumb|Предел при <math>x\to+\infty</math>]] Определим окрестности бесконечности как множества точек <math>x</math>, заданные неравенствами <math>x>a</math>, то есть лучи <math>(a;+\infty)</math>. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности <math>(y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})</math> точки <math>y_0</math> можно было найти такую окрестность бесконечности <math>(a_{{\varepsilon}};+\infty)</math>, что при попадании <math>x</math> в эту окрестность, то есть при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math>, соответствующее значение <math>y=f(x)</math> попадает в заданную вначале окрестность точки <math>y_0</math>, то есть выполняется неравенство <math>\vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}</math>. Выполнение этого требования будет означать, что <math>y_0</math> — предел функции <math>f(x)</math> при условии <math>x\rightarrow +\infty</math>, то есть <math>\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).</math> Тот факт, что <math>\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0</math>, записывают ещё в виде <math>\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.</math> [[Файл:limit6.png|thumb|График функции <math>y=\dfrac{3x-2}{x+1}</math>]] '''Пример 3:''' Покажем, что предел функции <math>f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}</math> при <math>x\to+\infty</math> равен числу 3. Фиксируем <math>{\varepsilon}>0</math> и подберём по этому числу <math>{\varepsilon}</math> такое число <math>a</math>, что при любом <math>x>a</math> выполняется неравенство <math>\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.</math> Сразу будем считать, что <math>a</math> — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде <math>\left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}</math> или <math>\vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>. Так как <math>x>a\geqslant 0</math>, то <math>x+1>0</math> и неравенство имеет вид <math>x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}</math>, откуда <math>x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math>. Если теперь взять число <math>a_{{\varepsilon}}</math> равным <math>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1</math> (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при <math>x>a_{{\varepsilon}}</math> будет выполняться неравенство <math>\left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}</math>; это означает, что <math>\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,</math> или <math>\dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3</math>. == Первый замечательный предел == При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1</math>, который называют '''Первым замечательным пределом''' '''Доказательство''' [[Файл:Sinx x limit proof.svg|right|300px]] Рассмотрим односторонние пределы <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x}</math> и <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x}</math> и докажем, что они равны 1. Пусть <math>x \in (0; \frac{\pi}{2})</math>. Отложим этот угол на единичной окружности (<math>R = 1</math>). Точка ''K'' — точка пересечения луча с окружностью, а точка ''L'' — с касательной к единичной окружности в точке <math>(1; 0)</math>. Точка ''H'' — проекция точки ''K'' на ось ''OX''. Очевидно, что: : <math>S_{\triangle OKA} < S_{sect OKA} < S_{\triangle OAL}</math> (1)<br /> (где <math>S_{sect OKA}</math> — площадь сектора <math>OKA</math>) : <math>S_{\triangle OKA} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |KH| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}</math> : <math>S_{sect OKA} = \frac{1}{2} R^2 x = \frac{x}{2}</math> : <math>S_{\triangle OAL} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |LA| = \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> (из <math>\triangle OAL</math>: <math>|LA| = \mathrm{tg} x</math>) Подставляя в (1), получим: : <math>\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\mathrm{tg} x}{2}</math> Так как при <math>x \to 0+: \sin x > 0, x > 0, \mathrm{tg} x > 0</math>: : <math>\frac{1}{\mathrm{tg} x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}</math> Умножаем на <math>\sin x</math>: : <math>\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1</math> Перейдём к пределу: : <math>\lim_{x \to 0+} \cos x \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>1 \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1</math> : <math>\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} = 1</math> Найдём левый односторонний предел: : <math>\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} = \left [ \begin{matrix} u = -x \\ x = -u \\ u \to 0+ \\ x \to 0- \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(-u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{-\sin(u)}{-u} = \lim_{u \to 0+}\frac{\sin(u)}{u} = 1 </math> Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. '''Следствия''' * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arcsin}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg}\, x}{x} = 1</math> * <math>\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{ \frac{x^2}{2} } = 1</math> '''Применение''': Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо. '''Пример''': Найти <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Имеем неопределенность <math>\dfrac{0}{0}</math>. Нельзя применить теорему о пределе дроби. Обозначим 4x=t; тогда при <math>{x\rightarrow 0}, {t\rightarrow 0}</math>. Преобразуем предел: <math>\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin 4x}{3x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{3 \cdot \dfrac{t}{4}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin t}{t}=\dfrac{4}{3} \cdot 1=\dfrac{4}{3}</math> }} '''Пример''': <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}</math> {{Hider| title = Решение | hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = Т.к. <math>\displaystyle \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}</math>, преобразуем выражение <math>\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}=\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x}=1 \cdot \dfrac{1}{1}=1</math> }} == Второй замечательный предел == <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> или <math>\lim_{x \to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} = e</math> '''Доказательство второго замечательного предела:''' Докажем вначале теорему для случая последовательности <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> По формуле бинома Ньютона: <math>(a + b)^n = a^n~+~\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^2 ~+~ ... ~+~ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot n}\cdot b^n; n\mathcal{2}~\mathbb N </math> Полагая <math>a=1;~b=\frac{1}{n}</math>, получим: :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1~+~\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot \frac{1}{n^2}~+~\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{1}{n^3}~+~...~+~\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^n} = </math> :<math> =1~+~1~+~\frac{1}{1\cdot2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)~+~ ... ~+~ \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{n-1}{n}\right) ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1) Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число <math>\frac{1}{n}</math> убывает, поэтому величины <math>\left(1 - \frac{1}{n}\right), \left(1-\frac{2}{n}\right), ...</math> возрастают. Поэтому последовательность <math>\{x_{n}\} = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}; n\mathcal{2}\Nu </math> — ''возрастающая'', при этом :<math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 2 ~~~~~</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2). Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 1+1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}~+~...~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdot n}</math> Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: :<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)</math>. Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: :<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2</math>. Поэтому <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+2=3~~~~~</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3). Итак, последовательность ограничена сверху, при этом <math>\mathcal{8} n\mathcal{2}~\mathbb N</math> выполняются неравенства (2) и (3): &nbsp; <math>2~<~\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~<~3</math>. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность <math>x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, n\mathcal{2}~\mathbb N </math> монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой '''[[e (математическая константа)|e]]'''. Т.е. <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math> }} <math></math>&nbsp;&nbsp; Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e;x\mathcal{2}~\mathbb R </math>. Рассмотрим два случая: 1. Пусть <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: <math>n\leqslant x<n+1</math>, где <math>~n = [x]</math> — это целая часть x. : Отсюда следует: <math>\frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{n}~~\Longleftrightarrow~~1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}</math>, поэтому : <math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>. : Если <math>x \rightarrow +\mathcal{1}</math>, то <math>n \rightarrow \mathcal{1}</math>. Поэтому, согласно пределу <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e</math>, имеем: : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)} = \frac{e}{1}=e</math> : <math>\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\cdot \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e</math>. : По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов <math>\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math>. 2. Пусть <math>x \to -\infty</math>. Сделаем подстановку <math>- x = t</math>, тогда : <math>\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to +\infty}\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{-t}= \lim_{t \to +\infty}\left(\frac{t}{t-1}\right)^t = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^t =</math> : <math> = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^{t-1}\cdot \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^1 = e\cdot1=e</math>. Из двух этих случаев вытекает, что <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e</math> для вещественного x. &nbsp;&nbsp; '''Следствия''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1</math> для <math>a > 0 \,\!</math>, <math>a \neq 1 \,\!</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = 1</math> '''Доказательства следствий''' # <math>\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} = \left [ \begin{matrix} u = 1/x \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] =\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x=e</math> # <math>\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = \left [ \begin{matrix} u = x/k \\ x = k u \\ u \to \infty \\ x \to \infty \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{ku} = \left(\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^k = e^k </math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = \left [ \begin{matrix} u = e^x - 1 \\ x = \ln(1 + u) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1</math> # <math> \lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} = \left [ \begin{matrix} u = x \ln a \\ u \to 0 \\ x \to 0 \end{matrix} \right ] = \lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> # <math>\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha x} = \lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = </math> :<math>=\lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha \ln(1+x)}\cdot 1 = \left [ \begin{matrix} u = \alpha \ln (1+x) \\ x \to 0 \\ u \to 0 \end{matrix} \right ]=\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1</math> Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: <math>S*(1+p/12)^{12}</math>. При неприрывной капитазизации получим: <math>S*\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{p}{x}\right)^x = S*e^p</math> '''Пример''' <math>\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+5}{x-3}\right)^{2x} = |1^\infty| = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{x+5}{x-3}-1\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{8}{x-3}\right)^{2x} =</math><math> =\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x-3}{8}}\right)^{\frac{x-3}{8} \cdot \frac{8}{x-3} \cdot 2x} = \lim_{x \to \infty}e^{ \frac{16x}{x-3}} =e^{16} </math> <math>\lim_{x \to \infty}x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln\frac{x+1}{x}\right)= \lim_{x \to \infty}x\left(\ln(1+\frac{1}{x})\right)= \lim_{x \to \infty}\ln( 1+\frac{1}{x})^x=\ln e=1 </math> ==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x [[Категория:Высшая математика. Первый семестр]] nsv3hwhk8d6s4mjqdoq192ch0ig48fb 0 5283 267542 133442 2026-05-20T12:57:47Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267542 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы. Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.). Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число. Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами. Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное (векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д. Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством. Свойства линейных пространств. 5lh3o2v8v6y7qxwnu79n3pkxdrcikfo 0 5377 267547 145380 2026-05-20T12:58:39Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267547 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} Содержание данного параграфа не относится напрямую к линейной алгебре, но в дальнейшем изложении рассмотренные здесь понятия будут часто использоваться . == Бинарные операции == Любому школьнику известны понятия операции (действия) сложения, вычитания, умножения и деления. Эти операции осуществляются над двумя числами, в результате чего получается какое-то третье число. Разные арифметические выражения являются сочетаниями этих операций (например: 3+2*3=9 — сочетание умножения (3*2) и сложения (3 складывается с результатом умножения 6). Обобщим теперь представление об операциях, осуществляемых над элементами какого-либо множества. Рассмотрим произвольное множество '''M''' и зададим на этом множестве некую операцию (действие), которой для своего совершения нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент (возможно, иногда и равный одному из исходных элементов). Если данная операция осуществима над '''любыми''' двумя элементами <math>x</math> и <math>y</math> множества '''M''' и в результате получается элемент z из того же самого множества, то такую операцию (действие) назовём '''бинарной''', при этом x и y называют операндами, а z — результатом. Строгое матопределение смотри [[w:Бинарная операция|здесь]]. Примеры: *операция сложения или вычитания на множестве действительных или комплексных чисел — бинарные операции (любые два числа из этого множества можно сложить/вычесть, в результате чего получится число из того же самого множества) *операция вычитания на множестве натуральных чисел не является бинарной (на множестве натуральных чисел из меньшего числа нельзя вычесть большее) *операция умножения на множестве и натуральных, и целых, и действительных чисел — бинарная операция. *операция деления на множестве действительных чисел не является бинарной (на 0 делить нельзя), но на множестве действительных чисел, из которого исключён 0, это бинарная операция. Существуют операции, которым для своего осуществления требуется один элемент, например <math>sin x</math>. Такие операции называются '''унарными''' (от лат. ''uno'' — один). == Группы == Пусть на некоем множестве '''G''' задана какая-то операция <math>\bullet</math>. Обозначение <math>(G, \bullet) </math>, где G — само множество, а <math>\bullet</math> — некая заданная на нём операция. <math>(G, \bullet) </math> называется группой, если: #<math>\bullet</math> — бинарная операция; #<math>(\forall x, y, z \in G) \quad (x\bullet y)\bullet z=x\bullet(y\bullet z)</math>, или, как говорят, операция ассоциативна (подчиняется сочетательному закону). Знак <math>\forall</math> обозначает «для любого», «для всех», «для каждого»; #<math>(\exists e \in G)\quad (\forall x\in\,G)\quad x \bullet e=e\bullet x=x </math> — в G существует нейтральный элемент; #<math>(\forall x \in G)\quad (\exists x' \in G)\quad x \bullet x'=e </math> — для каждого элемента можно найти элемент, ему обратный. Знак <math>\exists</math> обозначает «существует, можно найти»; Если от перестановки операндов результат не меняется, то такую группу называют коммутативной, или абелевой, т.е.: :5. <math>(\forall x, y \in G)\quad x \bullet y=y \bullet x</math> Отметим некоторые свойства групп: #Нейтральный элемент в группе всегда единственный. #Если <math>x=y</math>, то <math>x \bullet a=y \bullet a</math> для любого <math>a</math>. Верно и обратное. (То есть в группах можно сокращать.) #Уравнение <math>a \bullet x =b</math> всегда имеет единственный корень <math>x=a' \bullet b</math> == Поля == Пусть на некотором множестве '''P''' заданы какие-то две двуместные(т.е. для своего совершения каждой операции нужны два элемента из этого множества, в результате чего однозначно получается какой-то третий элемент) операции. Обозначение:<math>(P, \oplus , \bullet)</math>. Одну из них (пусть <math>\oplus</math>) назовём аддитивной, а другую(<math>\bullet</math>)- мультипликативной. Если: #'''P''' относительно <math>\oplus</math>-коммутативная группа, #Операция <math>\bullet</math> ассоциативна и коммутативна, имеет для себя нейтральный элемент. #Все элементы множества '''P''', кроме нейтрального элемента по аддитивной операции, обратимы по мультипликативной операции. #Операция <math>\oplus</math> относительно <math>\bullet</math> подчиняется распределительному закону (дистрибутивна):<math>(\forall x,y,z \in P)\quad (x \oplus y)\bullet z=(x \bullet z) \oplus (y \bullet z)</math>, то такое множество с заданными на нём операциями называют полем. Строгое матопределение смотри [[w:поле (алгебра)|здесь]]. Отметим некоторые дополнительные свойства полей: #Нейтральные элементы по двум заданным операциям ни в каком поле никогда не совпадают. Нейтральный элемент по аддитивной операции обозначают 0_P или просто 0, а по мультипликативной операции 1_P ( 1 ). Отметим, что "0" и "1" в общей теории полей -символы (можно придумать такое поле, где под 0 и 1 понимается совсем не числа 0 и 1). == Примеры групп и полей == *Множество целых чисел относительно операции сложения - группа *Множество векторов плоскости относительно операции векторного сложения - группа. *Множество действительных чисел относительно операции сложения (аддитивная) и умножения (мультипликативная)-поле. Действительно, нетрудно проверить, что <math>(\mathbb{R}, +) </math>-группа (усл.№1), умножение подчиняется сочетательному и переместительному закону, а число 1-нейтрально по умножению (усл.№2), на 0 делить нельзя (это и есть усл. №3), сложение относительно умножения подчиняется распределительному закону: (x+y)z=xz+yz. 7ibjt0pj0oc7fzl3lk7vi09512f91r3 0 5415 267650 258311 2026-05-21T08:29:41Z AllaBuraya 79455 267650 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Многостраничный }} {{Содержание «Теория функций действительного переменного»}} {{wikipedia|Теория функций вещественного переменного}} # Элементы теории множеств ## [[Теория функций действительного переменного/Эквивалентные множества|Эквивалентные множества]] ## [[Теория функций действительного переменного/Счётные множества|Счётные множества]] # Метрические пространства ## [[Теория функций действительного переменного/Метрическое пространство|Метрические пространства]] ## [[Теория функций действительного переменного/Множества в метрическом пространстве|Множества в метрическом пространстве]] ## [[Теория функций действительного переменного/Сходимость метрического пространства|Сходимость в метрическом пространстве]] ## [[Теория функций действительного переменного/Непрерывные отображения метрического пространства|Непрерывные отображения метрического пространства]] ## [[Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства|Полные метрические пространства]] ## [[Теория функций действительного переменного/Принцип сжимающиющихся отображений|Принцип сжимающихся отображений]] ## [[Теория функций действительного переменного/Применение принципа сжимающихся отображений|Применение принципа сжимающихся отображений]] # Линейные пространства ## [[Теория функций действительного переменного/Линейные пространства|Линейные пространства]] ## [[Теория функций действительного переменного/Линейные функционалы|Линейные функционалы]] ## [[Теория функций действительного переменного/Выпуклые множества и функционалы|Выпуклые множества и функционалы]] ## [[Теория функций действительного переменного/Нормированные и евклидовы пространства|Нормированные и евклидовы пространства]] # Линейные функционалы и операторы ## [[Теория функций действительного переменного/Непрерывные линейные функционалы|Непрерывные линейные функционалы]] ## [[Теория функций действительного переменного/Сопряжённое пространство|Сопряжённое пространство]] ## [[Теория функций действительного переменного/Слабая сходимость|Слабая сходимость]] ## [[Теория функций действительного переменного/Обобщённые функции|Обобщённые функции]] ## [[Теория функций действительного переменного/Линейные операторы|Линейные операторы]] ## [[Теория функций действительного переменного/Компактные операторы|Компактные операторы]] # Интеграл Лебега ## [[Теория функций действительного переменного/Системы множеств|Системы множеств]] ## [[Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции|Мера множеств, измеримые функции]] ## [[Теория функций действительного переменного/Интеграл Лебега|Интеграл Лебега]] ## [[Теория функций действительного переменного/Теория дифференцирования|Теория дифференцирования]] # Пространства суммируемых функций ## [[Теория функций действительного переменного/Пространства суммируемых функций|Пространства суммируемых функций]] ## [[Теория функций действительного переменного/Тригонометрические ряды|Тригонометрические ряды]] ## [[Теория функций действительного переменного/Ортогональные системы функций|Ортогональные системы функций]] ## [[Теория функций действительного переменного/Преобразование Фурье|Преобразование Фурье]] mgkgso82xkfn7tm9fj1l31w2ilkjbkx 267776 267650 2026-05-21T10:49:06Z AllaBuraya 79455 267776 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Многостраничный }} {{Содержание «Теория функций действительного переменного»}} {{wikipedia|Теория функций вещественного переменного}} # Элементы теории множеств ## [[Теория функций действительного переменного/Эквивалентные множества|Эквивалентные множества]] ## [[Теория функций действительного переменного/Счётные множества|Счётные множества]] # Метрические пространства ## [[Теория функций действительного переменного/Метрическое пространство|Метрические пространства]] ## [[Теория функций действительного переменного/Множества в метрическом пространстве|Множества в метрическом пространстве]] ## [[Теория функций действительного переменного/Сходимость метрического пространства|Сходимость в метрическом пространстве]] ## [[Теория функций действительного переменного/Непрерывные отображения метрического пространства|Непрерывные отображения метрического пространства]] ## [[Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства|Полные метрические пространства]] ## [[Теория функций действительного переменного/Принцип сжимающиющихся отображений|Принцип сжимающихся отображений]] ## [[Теория функций действительного переменного/Применение принципа сжимающихся отображений|Применение принципа сжимающихся отображений]] # Линейные пространства ## [[Теория функций действительного переменного/Линейные пространства|Линейные пространства]] ## [[Теория функций действительного переменного/Линейные функционалы|Линейные функционалы]] ## [[Теория функций действительного переменного/Выпуклые множества и функционалы|Выпуклые множества и функционалы]] ## [[Теория функций действительного переменного/Нормированные и евклидовы пространства|Нормированные и евклидовы пространства]] # Линейные функционалы и операторы ## [[Теория функций действительного переменного/Непрерывные линейные функционалы|Непрерывные линейные функционалы]] ## [[Теория функций действительного переменного/Сопряжённое пространство|Сопряжённое пространство]] ## [[Теория функций действительного переменного/Слабая сходимость|Слабая сходимость]] ## [[Теория функций действительного переменного/Обобщённые функции|Обобщённые функции]] ## [[Теория функций действительного переменного/Линейные операторы|Линейные операторы]] ## [[Теория функций действительного переменного/Компактные операторы|Компактные операторы]] # Интеграл Лебега ## [[Теория функций действительного переменного/Системы множеств|Системы множеств]] ## [[Теория функций действительного переменного/Мера множеств, измеримые функции|Мера множеств, измеримые функции]] ## [[Теория функций действительного переменного/Интеграл Лебега|Интеграл Лебега]] ## [[Теория функций действительного переменного/Теория дифференцирования|Теория дифференцирования]] # Пространства суммируемых функций ## [[Теория функций действительного переменного/Пространства суммируемых функций|Пространства суммируемых функций]] ## [[Теория функций действительного переменного/Тригонометрические ряды|Тригонометрические ряды]] ## [[Теория функций действительного переменного/Ортогональные системы функций|Ортогональные системы функций]] ## [[Теория функций действительного переменного/Преобразование Фурье|Преобразование Фурье]] bfjw8fuu8bquljjt1344h44wgn2k0n9 0 5544 267556 266251 2026-05-20T16:08:34Z ~2026-30312-21 79478 267556 wikitext text/x-wiki {{цитата|автор=[[w:Л. Н. Толстой|Л. Н. Толстой]]|Всегда кажется, что нас любят за то, что мы хороши.|А не догадываемся, что любят нас оттого, что хороши те, кто нас любит.}} Эта статья содержит признания в любви на сотнях естественных и искусственных языков мира. При машинном переводе часто возникают неточности, а найти перевод на некоторые языки нелегко. Видите ошибку — исправляйте. Знаете язык, которого в этой статье нет - добавляйте. Любите и будьте любимыми! :) <!-- # [[w:|язык]]: --> # [[Файл:Flag of Abazinia.svg|22px|border]] [[w:Абазинский язык|Абазинский]]: '''сара бара бзи бызбитӀ''' («сара бара бзи бызбит») - женщине; '''сара уара бзи уызбитӀ''' («сара уара бзи уызбит») - мужчине. # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:en:Abé language|Абе]]: '''mon ko lo fon''' («мон ко ло фон»). # [[Файл:Koasek Abenaki Nation, Official flag.jpg|22px|border]] [[w:Абенаки (язык)|Абенаки]]: '''k’kezalmel''' («къ(э)зальмъ(э)ль»). # [[Файл:Flag of the Province of Tarlac.svg|22px|border]] [[w:Абенлен|Абенлен]]: '''angkaaliket ako kamo''' («ангкаликет ако камо»).<p>[[w:Абенаки (язык)|Абнаки]]: см. Абенаки # [[Файл:Flag of Abruzzo.svg|22px|border]] [[w:Неаполитанский язык|Абруццский]]: '''t-vujie bbene''' («твуджэ ббэнэ»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:en:Abure language|Абуре]]: '''u'm wloloho''' («юм влолохо»). # [[Файл:Flag of the Republic of Abkhazia.svg|22px|border]] [[w:Абхазский язык|Абхазский]]: '''сара бара бзиа бызбоит''' («сара бара бзиа бызбоит») — женщине; '''сара уара бзиа узбоит''' («сара уара бзиа узбоит») — мужчине. # [[Файл:Flag of Awadh.svg|22px|border]] [[w:Авадхи|Авадхи]]: '''मइँ तोहसे पिरेम करत हउँ''' («май тохсе пирэм карат хау»).<p>[[w:Агуакатекский язык|Авакатек]]: см. Агуакатекский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Аваллаэн: '''vüväloiek dü quuo''' («вювялойек дю кууо»). # [[Файл:Flag of Avars.svg|22px|border]] [[w:Аварский язык|Аварский]]: '''дие мун йокъула''' («дие мун йокъула») — женщине; '''дие мун вокьула''' («дие мун вокьула») — мужчине. # [[Файл:Flag of Austria.svg|22px|border]] [[w:Австрийский вариант немецкого языка|Австрийский немецкий]]: '''i lieb di''' («и либ ди»), '''i mog di''' («и мог ди»), '''i hob di gern''' («и хоб ди гэрн»). # [[Файл:Faravahar-Gold.svg|22px|border]] [[w:Авестийский язык|Авестийский]]: '''𐬀𐬵𐬨𐬌 𐬯𐬙𐬀 𐬟𐬭𐬌''' («ахми ста фри»). # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:it:Dialetto agordino|Агординский ладинский]]: '''te voi ben''' («тэ вой бэн»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Агуакатекский язык|Агуакатекский]]: '''wachinpeq' tzawe'''' («уачинпек цауэ»). # [[Файл:Amazonas bandera.svg|22px|border]] [[w:Агуаруна|Агуаруна]]: '''wii pachit-ja-me''' («уии пачит йя ме»). # [[Файл:Flag of Aghuls.svg|22px|border]] [[w:Агульский язык|Агульский]]: '''зас вун канди''' («зас вун канди»). # [[Файл:Flag of Louisiana.svg|22px|border]] [[w:Адаи|Адаи]]: '''hekátœk kotán a enálœk''' («хэкаток котан а эналок»).<p>[[w:Адаи|Адайский]]: см. Адаи # [[Файл:Flag of Accra.svg|22px|border]] [[w:Адангме (язык)|Адангме]]: '''i suɔ mo''' («и суо мо»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:Аджукру|Аджукру]]: '''m'b'errourong''' («мбэрруронг»). # [[Файл:Flag of Adygea.svg|22px|border]] [[w:Адыгейский язык|Адыгейский]]: '''сэ шӏу усэлъэгъу''' («сэ ш'у усэл'эг'у»). # [[Файл:Flag of Azerbaijan.svg|22px|border]] [[w:Азербайджанский язык|Азербайджанский]]: '''mən səni sevirəm''' («мэн сэни севирэм»). # [[Файл:Banner of the Qulla Suyu (1979).svg|22px|border]] [[w:Аймара (язык)|Аймара]]: '''munsmawa''' («мунсмава»). # [[Файл:Flag of Ainu.svg|22px|border]] [[w:Айнский язык|Айнский]]: '''アエオマプ''' («аэомап»). # [[Файл:Flag of Ashanti.svg|22px|border]] [[w:Акан|Акан]]: '''mo dow''' («мо доу»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Акатекский язык|Акатекский]]: '''chachinkamk’ulnehan''' («чачинкамк ульнеан»). # [[Файл:Akkadian Empire Flag of Map (Year-2250 BC).png|22px|border]] [[w:Аккадский язык|Аккадский]]: '''𒀀𒊏𒀀𒄠𒆠''' («араамки») - женщине; '''𒀀𒊏𒀀𒄠𒅗''' («араамка») - мужчине.<p>[[w:Бабинский саамский язык|Аккала]]: см. Бабинский саамский<p>[[w:Бабинский саамский язык|Аккала-саамский]]: см. Бабинский саамский # [[Файл:PH-AKL Flag.png|22px|border]] [[w:en:Aklanon language|Акланонский]]: '''palangga ko ikaw''' («палангга ко икау»). # [[Файл:Flag of Astrakhan Oblast.svg|22px|border]] [[w:Алабугатско-татарский язык|Алабугатско-татарский]]: '''мен сені чаw болман''' («мэн сэни чау болман»). # [[Файл:Flag of North Sumatra.svg|22px|border]] [[w:en:Alas language|Алас-клуэт]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»). # [[Файл:Flag of Kosovo.svg|22px|border]] [[w:Гегский диалект албанского языка|Албанский (гегский)]]: '''unë të dua''' («ун тэ дуа»). # [[Файл:Flag of Albania.svg|22px|border]] [[w:Тоскский диалект албанского языка|Албанский (тоскский)]]: '''unë të dua''' («ун тэ дуа»).<p>[[w:Алгонквинский язык|Алгонквин]]: см. Алгонквинский # [[Файл:Flag of Quebec.svg|22px|border]] [[w:Алгонквинский язык|Алгонквинский]]: '''kiságiyán''' («кисагийан»), '''kuwumáras''' («куумадас»).<p>[[w:Алгонквинский язык|Алгонкинский]]: см. Алгонквинский # [[Файл:Proposed Alemannic flag.svg|22px|border]] [[w:Алеманнский диалект|Алеманнский]]: '''ich lieb dich''' («ихь лиэб дихь»), '''i liäbä di''' («и лиэбэ ди»), '''i ha di gärn''' («и ха ди гэрн»), '''ich han dich gärn''' («ихь хан дихь гэрн»). # [[Файл:Alentejo.gif|22px|border]] [[w:en:Alentejan Portuguese|Алентежанский португальский]]: '''gosto de ti''' («госту дже чи»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Алеутский язык|Алеутский]]: '''txin yaktakuq''' («тхин яктакук»). # [[Файл:Flag of Algeria.svg|22px|border]] [[w:Алжирский диалект арабского языка|Алжирский арабский]]: '''أحبك''' («ухыббуки») — женщине; '''أحبك''' («ухыббука») — мужчине. # [[Файл:Flag of Altai Republic.svg|22px|border]] [[w:Алтайский язык|Алтайский]]: '''мен сени сӱӱп jадым''' («мен сэни сююп ядым»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Alur language|Алур]]: '''ameri''' («амери»).<p>[[w:Арабский литературный язык|Ал-фусха]]: см. Арабский литературный<p>[[w:Арабский литературный язык|Аль-фусха]]: см. Арабский литературный<p>[[w:Алютикский язык|Алютик]]: см. Алютикский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Алютикский язык|Алютикский]]: '''qunukamken''' («кунукамкен»). # [[Файл:Flag of Olyutorsky rayon (Kamchatka krai).png|22px|border]] [[w:Алюторский язык|Алюторский]]: '''гыммы гытты гәму лэӈэкткэн''' («гыммы гытты гэму лэнэкткэн»). # [[Файл:POL Bielsko Biała flag.svg|22px|border]] [[w:en:Alzenau dialect|Альтцнерский]]: '''(e)ich ho dü gahn''' («эйхь хо дю ган»).<p>[[w:Арабский литературный язык|АЛЯ]]: см. Арабский литературный # [[Файл:Bandera de Ucayali.svg|22px|border]] [[w:Амавака|Амавака]]: '''hiya min cúunyovaquinu''' («хийя мин кууньёвакину»).<p>[[w:Ньенгату|Амазонский лингва-жерал]]: см. Ньенгату<p>[[w:Капампанганский язык|Аманунг-сисуан]]: см. Капампанганский<p>[[w:Амавака|Амауака]]: см. Амавака # [[Файл:Flag of Norway.svg|22px|border]] [[w:en:American Norwegian|Американский норвежский]]: '''elsker dæ''' («эльска дэ»).<p>[[w:Амисский язык|Амис]]: см. Амисский # [[Файл:阿米斯音乐节旗.svg|22px|border]] [[w:Амисский язык|Амисский]]: '''maolahay kako tisowanan''' («маолахай како тисованан»). # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:it:Dialetto ampezzano|Ампеццкий ладинский]]: '''te voi ben''' («тэ вой бэн»). # [[Файл:Flag of Ethiopia.svg|22px|border]] [[w:Амхарский язык|Амхарский]]: '''እወድሃለሁ''' («ивэдихалэху») — мужчине, '''እወድሻለሁ''' («ивэдишалэху») — женщине. # [[Файл:Flag of Armenia.svg|22px|border]] [[w:Амшенский диалект|Амшенский армянский]]: '''Ես քեզի հազ կ՛ընիմ/йес қези һаз г՛ыним''' («ес кези хаз гыним»), '''Ես քեզի սիրիմ կու''' («ес кэзи сирим гу»). # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:Ангами (язык)|Ангами]]: '''angu ani se ho''' («ангу ани сэ хо»). # [[Файл:Flag of the Cooch Bihar State.svg|22px|border]] [[w:Ангика|Ангика]]: '''hamme tohrā pyār kare chiye''' («хамме тохра пьяр каре чийе»). # [[Файл:Flag of North Sumatra.svg|22px|border]] [[w:Ангкола|Ангкола]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»). # [[Файл:Flag of England.svg|22px|border]] [[w:Английский язык|Английский]]: '''i love you''' («ай лав ю»).<p>[[w:Древнеанглийский|Англосаксонский]]: см. Древнеанглийский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Андийский язык|Андийский]]: '''дыё мен джилидо''' («дыё мен джилидó»). # [[Файл:Flag of CARICOM.svg|22px|border]] [[w:Антильский франко-креольский язык|Антильский франко-креольский]]: '''men ainmainw''' («ман энмэн»). # [[Файл:Flag of the Gambella Region.svg|22px|border]] [[w:Ануак (язык)|Ануак]]: '''a mëër ki ïïni''' («а мээр кы иины»).<p>[[w:Ануак (язык)|Аньва]]: см. Ануак # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:Ао (язык)|Ао]]: '''ni na meimer''' («ни на меимер»), '''nina mimar''' («нина мимар»). # [[Файл:Flag of Arunachal Pradesh.svg|22px|border]] [[w:en:Apatani language|Апатани]]: '''niimi ngo ano hendu''' («ными но ано хэнду»). # [[Файл:Bandeira do Tocantins.svg|22px|border]] [[w:Апинайе (язык)|Апинайе]]: '''iman a-mã anon''' («иман а мэ анон»). # [[Файл:Bandera Región Loreto.svg|22px|border]] [[w:Арабела|Арабела]]: '''quia pani-ya-nijia''' («киа пани йя нихья»). # [[Файл:Arabic-Language-Flag.svg|22px|border]] [[w:Арабский язык|Арабский]]: '''أُحِبُّكِ''' («ухыббуки») — женщине; '''أحبك''' («ухыббука») — мужчине. # [[Файл:Flag of the Arab League.svg|22px|border]] [[w:Арабский литературный язык|Арабский литературный]]: '''أحبك''' («ухиббуки») — женщине; '''أُحِبُّكَ''' («ухиббука») — мужчине. # [[Файл:Flag of the Cooperation Council for the Arab States of the Gulf.svg|22px|border]] [[w:Арабский диалект Персидского залива|Арабский Персидского залива]]: '''اَحِبِّچْ‎''' («эхиббич») — женщине; '''اَحِبِّكْ‎''' («эхиббик») — мужчине. # [[Файл:Flag of Aragon.svg|22px|border]] [[w:Арагонский язык|Арагонский]]: '''te quiero''' («тэ кьеро»), '''t'amo''' («тамо»). # [[Файл:Flag-Val d'Aran.svg|22px|border]] [[w:Аранский язык|Аранский]]: '''que t'aimi''' («кё тэми»). # [[Файл:Flag of Arapaho Nation.svg|22px|border]] [[w:Арапахо (язык)|Арапахо]]: '''biixoo3é3en''' («биихоосесэн»).<p>[[w:Мапуче (язык)|Арауканский]]: см. Мапуче # [[Файл:Flag of Piana degli Albanesi.svg|22px|border]] [[w:Арберешский диалект|Арберешский]]: '''të dua''' («тэ дуа»).<p>[[w:Кубачинский язык|Арбукский]]: см. Кубачинский # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan Sanjak.svg|22px|border]] [[w:Лазский язык|Ардешенский лазский]]: '''ma si maoropen''' («ма си маоропэн»). # [[Файл:Flag of Armenia.svg|22px|border]] [[w:Армянский язык|Армянский]]: '''ես քեզ սիրում եմ''' («ес кез сирум эм»).<p>[[w:Арумынский язык|Аромунский]]: см. Арумынский<p>[[w:Франкопровансальский язык|Арпитанский]]: см. Франкопровансальский # [[Файл:Aromanian flag.svg|22px|border]] [[w:Арумынский язык|Арумынский]]: '''ti voi''' («ти вой»). # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan Sanjak.svg|22px|border]] [[w:Лазский язык|Архавский лазский]]: '''ma si p'orom''' («ма сип ором»).<p>[[w:Карабахский диалект армянского языка|Арцахский]]: см. Карабахский армянский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Арчинский язык|Арчинский]]: '''зон ун кьӏан кер''' («зон ун къхан кер»). # [[Файл:Morning Star flag.svg|22px|border]] [[w:Асмат (язык)|Асмат]]: '''manám afpín''' («манам афпин»). # [[Файл:Flag of United Liberation Front of Asom.svg|22px|border]] [[w:Ассамский язык|Ассамский]]: '''মই তোমাক ভাল পাওঁ''' («мой тумак бхал пао»). # [[Файл:Flag of the Assyrians (gold and blue Assur).svg|22px|border]] [[w:Ассирийский новоарамейский язык|Ассирийский новоарамейский]]: '''ki bayyinakh''' («ки байинакх») - женщине, '''ki bayyanoukh''' («ки байяноукх») - мужчине, '''maghbinnakh''' («магхбиннакх») - женщине, '''makhbannoukh''' («макхбанноукх») - мужчине.<p>[[w:Аккадский язык|Ассиро-вавилонский]]: см. Аккадский<p>[[w:Астекские языки|Астекский]]: см. Науатль # [[Файл:Flag of Asturias.svg|22px|border]] [[w:Астурийский язык|Астурийский]]: '''quiérote''' («кьерути»), '''te quiero''' («те кьеро»). # [[Файл:Flag of Asturias.svg|22px|border]] [[w:Астурлеонский язык|Астурлеонский]]: '''quiérote''' («кьерути»).<p>[[w:Атаяльский язык|Атаял]]: см. Атаяльский # [[Файл:原權會會旗.svg|22px|border]] [[w:Атаяльский язык|Атаяльский]]: '''llungun misu balay''' («ллунгун мису балай»). # [[Файл:Flag of Quebec.svg|22px|border]] [[w:Атикамек (язык)|Атикамек]]: '''ki micta sakihitin''' («ки микта сакхитин»), '''kisakihitin''' («кисакихитин»). # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan Sanjak.svg|22px|border]] [[w:Лазский язык|Атинский лазский]]: '''ma si malimben''' («ма си малимбэн»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Атлантийский язык|Атлантийский]]: [[File:Atlantean K.png|20 px]][[File:Atlantean A.png|20 px]][[File:Atlantean H.png|20 px]][[File:Atlantean G.png|20 px]] [[File:Atlantean M.png|20 px]][[File:Atlantean O.png|20 px]][[File:Atlantean H.png|20 px]][[File:Atlantean K.png|20 px]] [[File:Atlantean M.png|20 px]][[File:Atlantean A.png|20 px]][[File:Atlantean H.png|20 px]][[File:Atlantean T.png|20 px]] («кахг мохк махт»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:Аттие (язык)|Аттие]]: '''min bou la yé''' («мин боу ла йе»).<p>[[w:Ассирийский новоарамейский язык|Атурая]]: см. Ассирийский новоарамейский<p>[[w:Ндюка|Аукан]]: см. Ндюка # [[Файл:Flag of the Afar Liberation Front.svg|22px|border]] [[w:Афарский язык|Афарский]]: '''ko kicinio''' («ко кисинио»).<p>[[w:Пушту|Афганский]]: см. Пушту<p>[[w:Дари|Афганско-персидский]]: см. Дари # [[Файл:Afrikaner Vryheidsvlag.svg|22px|border]] [[w:Африкаанс|Африкаанс]]: '''ek het jou lief''' («эк эт ю лиф») — повседневная форма, '''ek’s lief vir jou''' («экс лиф ви яу») — формальный вариант. # [[Файл:Flag of the African Union.svg|22px|border]] [[w:Африхили|Африхили]]: '''misopa wu''' («мисопа ву»). # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Ахвахский язык|Ахвахский]]: '''dibe mene kwiⁿl'iri''' («дибэ мэнэ квинлъири»).<p>[[w:Астекские языки|Ацтекский]]: см. Науатль<p>[[w:Ачехский язык|Ачех]]: см. Ачехский # [[Файл:Flag of Free Aceh Movement.svg|22px|border]] [[w:Ачехский язык|Ачехский]]: '''kaleuh gunci''' («калеух гунчи»). # [[Файл:Flag of Baja Verapaz Department.svg|22px|border]] [[w:Ачи (язык)|Ачи]]: '''k’ax katinna’o''' («к’аш катинна’о»). # [[Файл:Flag of Acholi.svg|22px|border]] [[w:Ачоли (язык)|Ачоли]]: '''amari''' («амари»). # [[Файл:Amazonas bandera.svg|22px|border]] [[w:Ачуар-шивиар|Ачуар-шивиар]]: '''anéajime''' («анеахиме»). # [[Файл:Flag of Junin.svg|22px|border]] [[w:Ашенинка (язык)|Ашенинка]]: '''no-cova-a-mi''' («но кова а ми»). # [[Файл:Flag of Ayacucho.svg|22px|border]] [[w:Аякучанский кечуа|Аякучанский кечуа]]: '''kuyaykim''' («куяйким»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Бабин-вицувитен|Бабин-вицувитен]]: '''nkests'iy''' («нкесций»). # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Бабинский саамский язык|Бабинский саамский]]: '''monn šop̄šam tū''' («монн шопшам туу»).<p>[[w:Астурийский язык|Бабле]]: см. Астурийский # [[Файл:Flag of Bavaria (lozengy).svg|22px|border]] [[w:Баварский язык|Баварский]]: '''i lieb di''' («и либ ди»).<p>[[w:Багвалинский язык|Багвалальский]]: см. Багвалинский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Багвалинский язык|Багвалинский]]: '''де̄ мен хелал''' («дэ мен хелал»).<p>[[w:Багвалинский язык|Багулальский]]: см. Багвалинский # [[Файл:..Madhya Pradesh Flag(INDIA).png|22px|border]] [[w:Багхели|Багхели]]: '''ham tohī cāhit ha''' («хам тохи кахит ха»). # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:it:Dialetto badioto|Бадийский ладинский]]: '''i t'ô bun''' («и то бун»).<p>[[w:Баварский язык|Баериш]]: см. Баварский # [[Файл:Flag of Canton of Basel.svg|22px|border]] [[w:Базельский диалект|Базельский немецкий]]: '''i ha di gärn''' («и ха ди гярн»).<p>[[w:Авадхи|Байсвари]]: см. Авадхи<p>[[w:Кого (язык)|Бакоко]]: см. Кого # [[Файл:Old Flag of Bali.svg|22px|border]] [[w:Балийский язык|Балийский]]: '''titiyang tresna sareng ragane''' («титиянг трэсна сарэн раганэ»).<p>[[w:Карачаево-балкарский язык|Балкарский]]: см. Карачаево-балкарский<p>[[w:Белуджский язык|Балочи]]: см. Белуджский<p>[[w:Белуджский язык|Балучи]]: см. Белуджский<p>[[w:Уолайта|Балта]]: см. Уолайта # [[Файл:Flag of Mali.svg|22px|border]] [[w:Бамана|Бамана]]: '''m’bi fe''' («мби фе»).<p>[[w:Бамана|Бамананкан]]: см. Бамана<p>[[w:Бамана|Бамбара]]: см. Бамана # [[Файл:Local flag of German controlled Bamum.jpg|22px|border]] [[w:Бамум (язык)|Бамум]]: '''me naa ngu nyu''' («мэ наа нгу нью»). # [[Файл:Proposed flag of Banat.svg|22px|border]] [[w:Банатско-болгарский язык|Банатско-болгарский]]: '''te milvam''' («тэ мылвам»), '''mi ij drágu za tébe''' («мий драг за тибэ»). # [[Файл:Banjar Sultanate Flag.svg|22px|border]] [[w:Банджарский язык|Банджарский]]: '''aku cinta dua ikam''' («аку чинта дуа икам»). # [[Файл:Flag of Banton, Romblon.png|22px|border]] [[w:en:Bantoanon language|Бантонский]]: '''palangga ka nako''' («палангга ка нако»). # [[Файл:Siberian Tatar Flag.svg|22px|border]] [[w:Барабинский диалект|Барабинский]]: '''мин сесне яратыдым/min sesne yaratıdım''' («мин сеснэ яратыдым»). # [[Файл:Flag of the Bari people.svg|22px|border]] [[w:en:Bari language|Бари]]: '''man nyanyar do''' («ман ньяньяр до»).<p>[[w:Уолайта|Бародда]]: см. Уолайта # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Баса (язык)|Баса]]: '''mengweswe''' («мэнгуэсуэ»). # [[Файл:Flag of the Basque Country.svg|22px|border]] [[w:Баскский язык|Баскский]]: '''maite zaitut''' («майтэ сайтуд»). # [[Файл:Flag of Liberia.svg|22px|border]] [[w:Басса (язык)|Басса]]: '''ḿ ɖɛ̀ɓɛ̀ m̀ mú''' («м денбе м му»).<p>[[w:Бетави (язык)|Батавский]]: см. Бетави<p>[[w:Ифугао (язык)|Батад]]: см. Ифугао # [[Файл:Flag of Batak.svg|22px|border]] [[w:en:Batak Karo language|Батакский каро]]: '''keleng ateku kam''' («келенг атэку кам»). # [[Файл:Flag of Batak.svg|22px|border]] [[w:en:Batak Simalungun language|Батакский сималунгун]]: '''holong do uhurhu bamu''' («холонг до ухурху баму»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:en:Baoulé language|Бауле]]: '''mi klôa''' («ми клооа»).<p>[[w:Чинский язык|Баунгше]]: см. Чинский # [[Файл:Flag of Bashkortostan (1918).svg|22px|border]] [[w:Башкирский язык|Башкирский]]: '''мин һине яратам''' («мин хине яратам»). # [[Файл:Flag of Kingdom of Kakheti.svg|22px|border]] [[w:Бацбийский язык|Бацбийский]]: '''ვეწ სო ჰ’ოჼ''' («вэць со хо») - мужчина, '''ჲეწ სო ჰ’ოჼ''' («йець со хо») - женщина.<p>[[w:Бежтинский язык|Бежитинский]]: см. Бежтинский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Бежтинский язык|Бежтинский]]: '''до ми ятӀца''' («до ми ятхца»). # [[Файл:Flag of England.svg|22px|border]] [[w:Бейсик-инглиш|Бейсик-инглиш]]: '''i love you''' («ай лав ю»).<p>[[w:Белорусский язык|Беларуский]]: см. Белорусский<p>[[w:Белорусский язык|Беларусский]]: см. Белорусский<p>[[w:Палауский язык|Белау]]: см. Палауский<p>[[w:Нухалк|Беллакула]]: см. Нухалк<p>[[w:Нухалк|Белла-кула]]: см. Нухалк # [[Файл:Flag of Belarus (1918, 1991-1995).svg|22px|border]] [[w:Белорусский язык|Белорусский]]: '''кахаю цябе''' («кахаю тябе») # [[Файл:Balochistan flag.svg|22px|border]] [[w:Белуджский язык|Белуджский]]: '''tu mana doost biyeh''' («ту мана доост бийех»). # [[Файл:Flag of the Bemba people.svg|22px|border]] [[w:Бемба (язык)|Бемба]]: '''nalikutemwa''' («наликутемва»). # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Bembe language (Kibembe)|Бембе]]: '''nauunda''' («науунда»). # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:en:Beng language|Бенг]]: '''mam vimini''' («мам вимини»). # [[Файл:Flag of Equatorial Guinea.svg|22px|border]] [[w:en:Benga language|Бенга]]: '''i tondoko nd'ovè''' («и тондоко ндове»).<p>[[w:Бенгальский язык|Бенгали]]: см. Бенгальский # [[Файл:Flag of Bangladesh.svg|22px|border]] [[w:Бенгальский язык|Бенгальский]]: '''আমি তোমাকে ভালবাসি''' («ами томаке бхалообаши»). # [[Файл:Flag of Bergamo.svg|22px|border]] [[w:Бергамский диалект ломбардского языка|Бергамский ломбардский]]: '''ta 'öre be''' («та эрэ бэ»). # [[Файл:Flag of Berlin.svg|22px|border]] [[w:Берлинский диалект|Берлинский немецкий]]: '''ick liebe dir''' («ик либэ диар»). # [[Файл:Flag of Yogyakarta.svg|22px|border]] [[w:Бетави (язык)|Бетави]]: '''gua cinte ame elu''' («гуа синтэ амэ элу»). # [[Файл:Bété People Flag.svg|22px|border]] [[w:Бете (языки)|Бете]]: '''djiba han djibameu ba''' («джиба хан джибамэу ба»). # [[Файл:POL województwo podkarpackie flag.svg|22px|border]] [[w:en:Beng language|Бечский польский]]: '''kôchom cie''' («куохом чи»).<p>[[w:Древнееврейский язык|Библейский иврит]]: см. Древнееврейский # [[Файл:Flag of the Katipuneros of Bicol.svg|22px|border]] [[w:Бикольский язык|Бикольский]]: '''namumutan ta ka''' («намумутан та ка»). # [[Файл:Flag of Sarangani.png|22px|border]] [[w:en:Blaan language|Билаан]]: '''kando ta ge’''' («кандо та ге»).<p>[[w:Билин (язык)|Билен]]: см. Билин # [[Файл:Flag of Eritrea.svg|22px|border]] [[w:Билин (язык)|Билин]]: '''ንኳአተካያ''' («нэкваʾэтэкайя»).<p>[[w:Тангале (язык)|Биллири]]: см. Тангале # [[Файл:Flag of Het Bildt.svg|22px|border]] [[w:en:Bildts|Билтский нидерландский]]: '''ich zien dich gan''' («их зьен дих ган»). # [[Файл:Bendera Kesultanan Bima.png|22px|border]] [[w:Бима (язык)|Бима]]: '''nahu ne’e nggomi''' («наху не э нгоми»).<p>[[w:Эдо (язык)|Бини]]: см. Эдо # [[Файл:Flag of Myanmar.svg|22px|border]] [[w:Бирманский язык|Бирманский]]: '''ချစ်ပါတယ်''' («чит па дэ»). # [[Файл:Flag of Burkina Faso.svg|22px|border]] [[w:Биса (язык)|Биса]]: '''mii nan''' («мии нан»). # [[Файл:Flag of Vanuatu.svg|22px|border]] [[w:Бислама|Бислама]]: '''mi lavèm yu''' («ми лавэм ю»).<p>[[w:Хо (язык)|Бихар-хо]]: см. Хо<p>[[w:Бишнуприя-манипури|Бишнуприя]]: см. Бишнуприя-манипури # [[Файл:Flag of Manipur (stripes variant).svg|22px|border]] [[w:Бишнуприя-манипури|Бишнуприя-манипури]]: '''mi tore hada paori''' («ми торе хада паори»). # [[Файл:Flag of Sarangani.png|22px|border]] [[w:en:Blaan language|Блаан]]: '''kando ta ge''' («кандо та ге»).<p>[[w:Билин (язык)|Блин]]: см. Билин # [[Файл:Flag of the Blackfoot Confederacy.jpg|22px|border]] [[w:Блэкфут (язык)|Блэкфут]]: '''kitsiikákomimmo''' («китсиикакомиммо»). # [[Файл:Flag of Burkina Faso.svg|22px|border]] [[w:en:Bobo language|Бобо]]: '''ma kia bé nà''' («ма киа бэ на»).<p>[[w:Билин (язык)|Богос]]: см. Билин # [[Файл:Bandera Bodoland.svg|22px|border]] [[w:Бодо (язык)|Бодо]]: '''आं नोंखौ मोजां मोनो''' («анг нвунгхоу гвусвусуиу»). # [[Файл:Flag of Bulgaria.svg|22px|border]] [[w:Болгарский язык|Болгарский]]: '''аз те обичам''' («аз тэ обичам») — формально, '''обичам те''' («обичам тэ») — неформально. # [[Файл:Flag of the Province of Pangasinan.svg|22px|border]] [[w:Болинао|Болинао]]: '''inado ta ka''' («инадо та ка»). # [[Файл:Flag of Amazonas (Colombia).svg|22px|border]] [[w:Бора (язык)|Бора]]: '''o wajyuóo uuké''' («о уайюоо ууке»).<p>[[w:Бодо (язык)|Боро]]: см. Бодо<p>[[w:Боснийский язык|Босанский]]: см. Боснийский # [[Файл:Flag of Bosnia and Herzegovina (1992-1998).svg|22px|border]] [[w:Боснийский язык|Боснийский]]: '''volim te''' («волим те»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Боснийско-хорватско-сербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сербохорватский язык|Боснийско-хорватско-черногорско-сербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Боснийский язык|Босняцкий]]: см. Боснийский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Ботлихский язык|Ботлихский]]: '''ди мин иде''' («ди мин идэ»). # [[Файл:Flag of Bohol Province, Philippines.svg|22px|border]] [[w:en:Boholano dialect|Бохолано]]: '''nahigugma ko nimu''' («нахигугма ко ниму»).<p>[[w:Боснийский язык|Бошняцкий]]: см. Боснийский # [[Файл:Flag of Brazil.svg|22px|border]] [[w:Бразильский вариант португальского языка|Бразильский португальский]]: '''eu te amo''' («эйю тчи аму»).<p>[[w:Брауи|Брагуи]]: см. Брауи<p>[[w:Брауи|Брагуйский]]: см. Брауи # [[Файл:Flag of the Brahui People.svg|22px|border]] [[w:Брауи|Брауи]]: '''nehton merve kewa''' («нэхтон мэрвэ кэва»), '''kane nehton merve arre''' («канэ нэхтон мэрвэ аррэ»).<p>[[w:Брауи|Брахуи]]: см. Брауи # [[Файл:Flag of Brittany.svg|22px|border]] [[w:Бретонский язык|Бретонский]]: '''da garout a ran''' («да гарут а ран»), '''c’hwant m’eus diouzhit''' («хван мэус дивит»).<p>[[w:Брешийский диалект ломбардского языка|Брешанский]]: см. Брешийский ломбардский<p>[[w:Брешийский диалект ломбардского языка|Брешианский]]: см. Брешийский ломбардский # [[Файл:Flag of Brescia.svg|22px|border]] [[w:Брешийский диалект ломбардского языка|Брешийский ломбардский]]: '''ta öle bhé''' («та эле бэ»). # [[Файл:Brithenig.png|22px|border]] [[w:Brithenig|Бритениг]]: '''eo dy af''' («эо ди ав»), '''eo dy af twy''' («эо ди ав туи»).<p>[[w:Brithenig|Бритеник]]: см. Бритениг<p>[[w:Brithenig|Брифениг]]: см. Бритениг<p>[[w:Будухский язык|Будугский]]: см. Будухский # [[Файл:Budukh flag.jpg|22px|border]] [[w:Будухский язык|Будухский]]: '''заз вын йикаджы''' («заз вын йикаджи»). # [[Файл:Flag of Kakamega County.gif|22px|border]] [[w:en:Bukusu dialect|Букусу]]: '''nakhusima''' («накусима»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Bulu language|Булу]]: '''ma nye'e wo''' («ма нье'е во»). # [[Файл:Flag of Madhya Pradesh.svg|22px|border]] [[w:Бундели|Бундели]]: '''hum tume chahat hain''' («хум туме чахат хаин»).<p>[[w:Бундели|Бунделкханди]]: см. Бундели<p>[[w:Африкаанс|Бурский]]: см. Африкаанс # [[Файл:Flag of Morobe.png|22px|border]] [[w:en:Burum language|Бурум]]: '''iripki nembi''' («ирипки нэмби»), '''sepki öröbi''' («сэпки эрэби»). # [[Файл:Flag of Hunza.svg|22px|border]] [[w:Бурушаски|Бурушаски]]: '''جا ان کا شل بلا/jaa un ka shul bila''' («джаа ун ка шул била»). # [[Файл:Flag of Buryatia.svg|22px|border]] [[w:Бурятский язык|Бурятский]]: '''би шамай дурлаха''' («би шамай дурлаха»). # [[Файл:Flag of Mayotte (local).svg|22px|border]] [[w:Буши (язык)|Буши]]: '''anaou tiakou''' («анау тьяку»), '''zahou mitiya anaou''' («заху мития анау»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:Бходжпури|Бходжпури]]: '''हम तोहसे प्यार करेलीं''' («хам тосе пьаар карила»).<p>[[w:Севернокитайский язык|Бэйфанхуа]]: см. Севернокитайский # [[Файл:Flag of Liberia.svg|22px|border]] [[w:Ваи (язык)|Ваи]]: '''na lia''' («на лиа»). # [[Файл:Flag of the Valencian Community (2x3).svg|22px|border]] [[w:Валенсийский диалект|Валенсийский]]: '''t’estime''' («тэстимэ»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:en:Vallader dialect|Валладерский романшский]]: '''eu t’am''' («эу тэм»). # [[Файл:Flag of Wales.svg|22px|border]] [[w:Валлийский язык|Валлийский]]: '''rwy`n dy garu di''' («руаин ды хару ди»). # [[Файл:Flag of Wallonia.svg|22px|border]] [[w:Валлонский язык|Валлонский]]: '''dji t`veû vol`tî''' («дит вё вёльти»).<p>[[w:Массачусетский язык|Вампаноаг]]: см. Массачусетский<p>[[w:Массачусетский язык|Вампаноаг-массачусетский]]: см. Массачусетский<p>[[w:Варайский язык|Варай-варай]]: см. Варайский # [[Файл:Vlag Fil Samar.gif|22px|border]] [[w:Варайский язык|Варайский]]: '''hinigugma ta ikaw''' («хинигугма та икау»). # [[Файл:Pamiri Flag.webp|22px|border]] [[w:Ваханский язык|Ваханский]]: '''wuz taw dust δorəm''' («ууз тау дуст дорэм»).<p>[[w:Гуахиро (язык)|Ваюу]]: см. Гуахиро<p>[[w:Гуахиро (язык)|Ваюунаики]]: см. Гуахиро<p>[[w:Юрок (язык)|Вейцпекан]]: см. Юрок<p>[[w:Далматинский язык|Вельотский]]: см. Далматинский # [[Файл:Flag of Hungary.svg|22px|border]] [[w:Венгерский язык|Венгерский]]: '''szeretlek''' («сэ́рэтлэк»). # [[Файл:Flag of Venda (1973–1994).svg|22px|border]] [[w:Венда (язык)|Венда]]: '''ndi a ni funa''' («нди а ни фуна»).<p>[[w:Нижнелужицкий язык|Вендский]]: см. Нижнелужицкий # [[Файл:Flag of RTC.gif|22px|border]] [[w:Wenedyk|Венедик]]: '''jo jemu cie''' («йо йему че»). # [[Файл:Flag of Veneto.svg|22px|border]] [[w:Современный венетский язык|Венетский]]: '''te amo''' («тэ амо»). # [[Файл:Flag of Vepsia.svg|22px|border]] [[w:Вепсский язык|Вепсский]]: '''minä armastan sindai''' («ми́ня а́рмастан си́ндай»).<p>[[w:Южноюкагирский язык|Верхнеколымский]]: см. Южноюкагирский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Верхнекускоквимский язык|Верхнекускоквимский]]: '''nughistsin'''' («нухистсин»). # [[Файл:Upper Sorbian Flag.gif|22px|border]] [[w:Верхнелужицкий язык|Верхнелужицкий]]: '''ja će lubuju''' («я че лубую»). # [[Файл:Flag of Saxony.svg|22px|border]] [[w:Верхнесаксонский диалект|Верхнесаксонский]]: '''isch hab dsch gerne''' («иш хаб дш гэрнэ»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Верхний танана|Верхний танана]]: '''naa dithistsįį''' («наа диистсин»), '''naa ihtsįį''' («наа итсин»). # [[Файл:Västerbottens län vapenflagga.svg|22px|border]] [[w:Диалекты шведского языка|Вестерботтенский шведский]]: '''ja elschke degg''' («я эльшке дэгг»).<p>[[w:Северо-западный марийский язык|Ветлужский марийский]]: см. Северо-западный марийский # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Vili language|Вили]]: '''mi be ku zole''' («ми бэ ку золе»). # [[Файл:POL Wilamowice COA.svg|14px|border]] [[w:Вилямовский язык|Вилямовский]]: '''yh ho dih gan''' («их хо дих ган»).<p>[[w:Варайский язык|Винарайский]]: см. Варайский # [[Файл:Pine Ridge Flag.svg|22px|border]] [[w:Виннебаго (язык)|Виннебаго]]: '''haipį́na''' («хаипинна»). # [[Файл:Flag of Vlachs in Serbia.svg|22px|border]] [[w:Влашский язык (Сербия)|Влашский]]: '''ti voi''' («ти вой»).<p>[[w:Мансийский язык|Вогульский]]: см. Мансийский # [[Файл:Votic Flag.svg|22px|border]] [[w:Водский язык|Водский]]: '''miä suvaan sinua''' («миа суваан синуа»).<p>[[w:Уолайта|Волайта]]: см. Уолайта<p>[[w:Уолайта|Воламо]]: см. Уолайта # [[Файл:Flag of Volapük.svg|22px|border]] [[w:Волапюк|Волапюк]]: '''löfob oli''' («лёфоб оли»). # [[Файл:Flag of Senegal.svg|22px|border]] [[w:Волоф (язык)|Волоф]]: '''sopp naa la''' («сопп наа ля»), '''nopp naa la''' («нопп наа ля»), '''dama la nob''' («дама ля ноб»).<p>[[w:Волапюк|Воляпюк]]: см. Волапюк<p>[[w:Кабардино-черкесский язык|Восточно-адыгский]]: см. Кабардино-черкесский # [[Файл:Flag of Armenia.svg|22px|border]] [[w:Восточноармянский язык|Восточноармянский]]: '''ես քեզ սիրում եմ''' («йес кез сирюм эм»). # [[Файл:Flag of New Mexico.svg|22px|border]] [[w:Кересские языки|Восточнокересский (кацтья)]]: '''shro-tse-mah''' («шро-тсе-ма»). # [[Файл:Berber flag.svg|22px|border]] [[w:en:Eastern Middle Atlas Berber|Восточносреднеатласский тамазигхт (варайни)]]: '''ⵍⵉⵖ ⵜⵜⵔⵉⵖⵉⵛ/liɣ ttriɣic''' («лиа триайш») - женщине.<p>[[w:Фиджийский язык|Восточнофиджийский]]: см. Фиджийский # [[Файл:Flag of Oost-Vlaanderen.svg|22px|border]] [[w:Восточнофламандские диалекты|Восточнофламандский]]: '''ik zie je graag''' («ик зие е рах»), '''ik zie u graag''' («ик зие у рах»). # [[Файл:Flag of East Frisia.svg|22px|border]] [[w:Восточнофризский язык|Восточнофризский]]: '''iek hääb die ljoo''' («ик хейб ди лийёо»).<p>[[w:Панджаби|Восточный панджаби]]: см. Панджаби<p>[[w:Фриульский язык|Восточный ретороманский]]: см. Фриульский # [[Файл:Flag of the Karen National Union.svg|22px|border]] [[w:Сго|Восточный сго]]: '''y'aif naz''' («й э на»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Вулканцы|Вулканский]]: '''wani ra yana ro aisha''' («вани ра яна ро аиша»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Vute language|Вуте]]: '''ma wou ndoune''' («ма ву ндуне»).<p>[[w:Выруский диалект|Выро]]: см. Выруский # [[Файл:Flag of the Võro People.svg|22px|border]] [[w:Выруский диалект|Выруский]]: '''(ma) armasta sinno''' («(ма) армаста синно»). # [[Файл:Flag of High Valyrian.svg|22px|border]] [[w:Валирийские языки|Высокий валирийский]]: '''avy jorrāelan''' («авю джоррааэлан»). # [[Файл:Flag of South Vietnam.svg|22px|border]] [[w:Вьетнамский язык|Вьетнамский]]: '''anh yêu em''' («ан йеу эм») — женщине; '''em yêu anh''' («эм йеу ан») — мужчине. # [[Файл:Flag of Accra.svg|22px|border]] [[w:Га (язык)|Га]]: '''miisumo bo''' («мийсумо бо»). # [[Файл:Kanaka Maoli flag.svg|22px|border]] [[w:Гавайский язык|Гавайский]]: '''aloha wau iâ 'oe''' («алоха уау иа ое»). # [[Файл:Flag of the Gagauz people.svg|22px|border]] [[w:Гагаузский язык|Гагаузский]]: '''bän seni severim''' («бянь сени северимь»). # [[Файл:PH-NUV Flag.png|22px|border]] [[w:en:Gaddang language|Гадданг]]: '''angganma cu icca''' («ангганма ку ика»). # [[Файл:Flag of Haiti.svg|22px|border]] [[w:Гаитянский креольский язык|Гаитянский креольский]]: '''mwen renmen’w''' («муен ренмен у»). # [[Файл:Flag of Guyana.svg|22px|border]] [[w:Гайанский креольский язык|Гайанский креольский]]: '''i love yuh''' («а лов ю»). # [[Файл:Flag of Galicia.svg|22px|border]] [[w:Галисийский язык|Галисийский]]: '''ámote''' («амотэ») — формально; '''quérote''' («кэротэ») — неформально.<p>[[w:Оромо (язык)|Галла]]: см. Оромо # [[Файл:Flag of Brittany (Gwenn ha du).svg|22px|border]] [[w:Галло (язык)|Галло]]: '''j'sea un diot do tae''' («жьсэа ан дьё до тэ»).<p>[[w:Гало (язык)|Галлонг]]: см. Гало # [[Файл:Flag of Arunachal Pradesh.svg|22px|border]] [[w:Гало (язык)|Гало]]: ''''qo nom mvvcvm duu''' («нго ном мэджам ду»), ''''qo nom mvvcom duu''' («нго ном мэджом ду»), ''''qo nom mwwsom duu''' («нго ном мыысом ду»). # [[Файл:Flag of Manipur (stripes variant).svg|22px|border]] [[w:en:Gangte language|Гангте]]: '''kahun lungsiet na hi''' («кахун лунгсиет на хи»), '''kahung lungsiet hi''' («кахунг лунгсиет хи»), '''kalungsiet na hi''' («калунгсиет на хи»).<p>[[w:Луганда|Ганда]]: см. Луганда<p>[[w:Уолайта|Ганта]]: см. Уолайта # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:it:Dialetto gardenese|Гарденский ладинский]]: '''ie te é gën''' («иэ тэ э джан»). # [[Файл:Flag of Garifuna.svg|22px|border]] [[w:Гарифуна (язык)|Гарифуна]]: '''hínsiñetibu nun''' («хинсиньетибу нун»). # [[Файл:In garoland.svg|22px|border]] [[w:Гаро (язык)|Гаро]]: '''anga nangna ka'sara''' («анга нангна ка'сара»). # [[Файл:Flag of South West State of Somalia.svg|22px|border]] [[w:en:Garre language|Гарре]]: '''si feda''' («си фэда»). # [[Файл:Flag of the Princely State of Tehri Garhwal.svg|22px|border]] [[w:en:Garhwali language|Гархвали]]: '''mithe twe batin agnaan chh''' («митхэ твэ батин агнаан кх»). # [[Файл:Gascogne drapeau.svg|22px|border]] [[w:Гасконский язык|Гасконский]]: '''que v's aimi''' («кё взэми») - формально, '''que t'aimi''' («ке тэми») - неформально.<p>[[w:Шотландский язык (кельтский)|Гаэльский]]: см. Шотландский (кельтский) # [[Файл:Flag of the Central African Republic.svg|22px|border]] [[w:en:Gbaya languages|Гбайя]]: '''mi ko me''' («ми ко мэ»). # [[Файл:Unofficial flag of Guadeloupe (local).svg|22px|border]] [[w:Антильский франко-креольский язык|Гваделупский франко-креольский]]: '''an enmé'w''' («ан эмэу»).<p>[[w:Сукума (язык)|Гве]]: см. Сукума # [[Файл:Flag of Guinea-Bissau.svg|22px|border]] [[w:Гвинейский креольский язык|Гвинейский креольский]]: '''n gosta di bo''' («н госта ди бо»). # [[Файл:Flag of the Northwest Territories.svg|22px|border]] [[w:Гвичин|Гвичин]]: '''neet’ihthan''' («неет’ихсан»).<p>[[w:Ген (язык)|Ге]]: см. Ген<p>[[w:Геэз|Геез]]: см. Геэз # [[Файл:Flag of Togo (3-2).svg|22px|border]] [[w:Ген (язык)|Ген]]: '''un lon o''' («ун лон о»).<p>[[w:Ген (язык)|Генгбе]]: см. Ген<p>[[w:Пуэльче (язык)|Геннакен]]: см. Пуэльче # [[Файл:Vlag van Gent.svg|22px|border]] [[w:nl:Gents|Гентский восточнофламандский]]: ''''k'ou van ui''' («к ау фан уй»). # [[Файл:Flag of Genoa.svg|22px|border]] [[w:Генуэзский диалект лигурского языка|Генуэзский лигурский]]: '''te ammu'''' («тэ амму»). # [[Файл:Flag of Hereroland.svg|22px|border]] [[w:Гереро (язык)|Гереро]]: '''mbeku suvera''' («мбэку сувэра»). # [[Файл:Flag of Guernsey.svg|22px|border]] [[w:Гернсийский диалект нормандского языка|Гернсийский нормандский]]: '''j’t’oïme''' («жьтойм»). # [[Файл:Flag of Guerrero.svg|22px|border]] [[w:Геррерский науатль|Геррерский науатль]]: '''nimitstlasojtla''' («нимитстласойтла»). # [[Файл:Flag of Hesse (state).svg|22px|border]] [[w:Гессенский диалект|Гессенский немецкий]]: '''isch habb disch libb''' («иш хабб диш либб»). # [[Файл:Ethiopian Pennants.svg|22px|border]] [[w:Геэз|Геэз]]: '''አፈቀረኪ''' («афекераки») - женщине, '''አፈቀረካ''' («афекерека») - мужчине.<p>[[w:Кикуйю (язык)|Гикуйю]]: см. Кикуйю<p>[[w:Кирибати (язык)|Гилбертский]]: см. Кирибати<p>[[w:Гилянский язык|Гиляки]]: см. Гилянский # [[Файл:Flag of Gilaks.svg|22px|border]] [[w:Гилянский язык|Гилянский]]: '''تی سرور دانم''' («ти сервире данам»).<p>[[w:Нивхский язык|Гиляцкий]]: см. Нивхский # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Гитксан|Гитксан]]: '''ansip'iny niin''' («ансип'ини ниин»). # [[Файл:POL Gliwice flag.svg|22px|border]] [[w:Силезский язык|Гливицкий силезский]]: '''przajã ci''' («пшая чи»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Глоса|Глоса]]: '''mi amo tu''' («ми амо ту»). # [[Файл:Flag of Goa.svg|22px|border]] [[w:Конкани (язык)|Гоанский конкани]]: '''हांव तुजेर मोग करता''' («ту магель мога чо»).<p>[[w:Гуахиро (язык)|Гоахиро]]: см. Гуахиро # [[Файл:Флаг годоберинцев.png|22px|border]] [[w:Годоберинский язык|Годоберинский]]: '''дилъи мин идалъида''' («дитли мин идатлида»).<p>[[w:Нидерландский язык|Голландский]]: см. Нидерландский # [[Файл:Flag of Bamileke National Movement.svg|22px|border]] [[w:Гомала|Гомала]]: '''me kwoh wu''' («мэ кво ву»). # [[Файл:Flag of Maharashtra Navnirman Sena.svg|22px|border]] [[w:Гонди (язык)|Гонди]]: '''ana nik pirem kiyatona''' («ана ник пирэм кийятона»). # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Горани|Горани]]: '''min waš(i)ma tu māy''' («мин ваш(и)ма ту маай»). # [[Файл:Flag of Gornomariysky rayon.svg|22px|border]] [[w:Горномарийский язык|Горномарийский]]: '''мый тыйым яратем''' («мынь тыньим яратэм»).<p>[[w:Димаса|Горный качари]]: см. Димаса # [[Файл:Flag of Gorontalo.svg|22px|border]] [[w:Горонтало (язык)|Горонтало]]: '''aku sayang kamu''' («аку саян каму»). # [[Файл:Ethnic flag of Tat people (Caucasus).svg|22px|border]] [[w:Горско-еврейский язык|Горско-еврейский]]: '''mə tyrə xosdənym''' («мэ тюрэ хосдэнюм»). # [[Файл:Gothic Sunrise Flag.jpg|22px|border]] [[w:Готский язык|Готский]]: '''𐌹𐌺 𐍆𐍂𐌹𐌾𐍉 𐌸𐌿𐌺''' («ик фри́йо сук»).<p>[[w:Нама|Готтентотский]]: см. Нама # [[Файл:Aromanian flag.svg|22px|border]] [[w:Грамостянские говоры|Грамостянский арумынский]]: '''ti voiu''' («ти вою»).<p>[[w:Романшский язык|Граубюнденский]]: см. Романшский<p>[[w:Романшский язык|Граубюндер]]: см. Романшский # [[Файл:Flag of Greenland.svg|22px|border]] [[w:Гренландский язык|Гренландский]]: '''asavakit''' («асавакит»). # [[Файл:Flag of Greece.svg|22px|border]] [[w:Греческий язык|Греческий]]: '''σ΄αγαπώ''' («сагапо») — неформально, '''σας αγαπώ''' («сас агапо») — формально. # [[Файл:Flag of Groningen.svg|22px|border]] [[w:Гронингенский диалект|Гронингенский]]: '''ik bin wies mit die''' («ик бин вис мит ди»), '''k hol van die''' («к хол ван ди»). # [[Файл:Flag of Georgia official.svg|22px|border]] [[w:Грузинский язык|Грузинский]]: '''მიყვარხარ''' («миквархар»).<p>[[w:Юэ (язык)|Гуандунский]]: см. Юэ<p>[[w:Кантонский диалект|Гуанчжоуский]]: см. Кантонский<p>[[w:Севернокитайский язык|Гуаньхуа]]: см. Севернокитайский # [[Файл:Guarani flag.svg|22px|border]] [[w:Гуарани (язык)|Гуарани]]: '''rojhayhû''' («рохаыху»). # [[Файл:Panteera Wayuu Aumentado.png|22px|border]] [[w:Гуахиро (язык)|Гуахиро]]: '''aisü pia tapüla''' («аисы пиа тапыра»). # [[Файл:Flag of the Gujarat Sultanate.svg|22px|border]] [[w:Гуджарати|Гуджарати]]: '''હું તને પ્રેમ કરું છુ''' («хум танээ прээма карум чу»).<p>[[w:Гуджарати|Гуджаратский]]: см. Гуджарати<p>[[w:Гусии (язык)|Гузии]]: см. Гусии # [[Файл:Flag of Benin.svg|22px|border]] [[w:Гун (язык)|Гун]]: '''n’yiwanna we''' («ньиванна вэ»). # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Гунзибский язык|Гунзибский]]: '''диъи дуго атӏ''' («дии дуго ата») - женщине, '''диъи дуго й-атӏ''' («дии дуго йата») - мужчине. # [[Файл:Flag of Kisii County.gif|22px|border]] [[w:Гусии (язык)|Гусии]]: '''nigwachete''' («нигвачэтэ»).<p>[[w:Пуэльче (язык)|Гынына-кынэ]]: см. Пуэльче<p>[[w:Пуэльче (язык)|Гынына-яхэч]]: см. Пуэльче<p>[[w:Геэз|Гыыз]]: см. Геэз<p>[[w:Шотландский язык (кельтский)|Гэльский]]: см. Шотландский (кельтский) # [[Файл:Flag of Taita Taveta County.png|22px|border]] [[w:Дабида (язык)|Дабида]]: '''nakukunde''' («накукунде»).<p>[[w:Дагбани (язык)|Дагбамба]]: см. Дагбани # [[Файл:Flag of Ghana.svg|22px|border]] [[w:Дагбани (язык)|Дагбани]]: '''mi ndigui''' («ми ндигуи»).<p>[[w:Дагбани (язык)|Дагомба]]: см. Дагбани<p>[[w:Румынский язык|Дако-румынский]]: см. Румынский # [[Файл:Pine Ridge Flag.svg|22px|border]] [[w:Дакота (сиуанский язык)|Дакота]]: '''thečhíȟiŋda''' («тхэчихинда»).<p>[[w:Эльвдальский диалект|Далекарлийский]]: см. Эльвдальский # [[Файл:Flag of the Kingdom of Dalmatia.svg|22px|border]] [[w:Далматинский язык|Далматинский]]: '''iu amúa te''' («иу амуа тэ»).<p>[[w:Далматинский язык|Далматский]]: см. Далматинский<p>[[w:Афарский язык|Данакильский]]: см. Афарский<p>[[w:Адангме (язык)|Дангме]]: см. Адангме # [[Файл:Даргинский флаг (неофициальный, одна из народных вариаций).jpg|22px|border]] [[w:Даргинский литературный язык|Даргинский]]: '''хӀу наб ригахъуре''' («хӀу наб ригахъуре»). # [[Файл:Flag of Afghanistan (2013-2021).svg|22px|border]] [[w:Дари|Дари]]: '''دوستت دارم''' («достат даарам»). # [[Файл:Flag of Denmark.svg|22px|border]] [[w:Датский язык|Датский]]: '''jeg elsker dig''' («я эльска да»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Дег-хитан (язык)|Дег-хитан]]: '''inga dist’a''' («инга дист'а»).<p>[[w:Чипевайан (язык)|Дене Сулин]]: см. Чипевайан # [[Файл:Flag of All Assam Tribal Sangha.svg|22px|border]] [[w:Деори (язык)|Деори]]: '''aa nona chu nimai''' («аа нона чу нимаи»). # [[Файл:Iles-Loyauté drapeau.svg|22px|border]] [[w:Деху|Деху]]: '''eni a hnimi eö''' («эни аними эё»). # [[Файл:Flag of Jambi.svg|22px|border]] [[w:Джамби (язык)|Джамби]]: '''aku sajaŋ dəŋan kaw''' («аку саян дэнан кау»).<p>[[w:Сефардский язык|Джудезмо]]: см. Сефардский<p>[[w:Сефардский язык|Джудекко]]: см. Сефардский<p>[[w:Ндюка|Джука]]: см. Ндюка<p>[[w:Горско-еврейский язык|Джуури]]: см. Горско-еврейский<p>[[w:Горско-еврейский язык|Джухури]]: см. Горско-еврейский<p>[[w:Дзонг-кэ|Дзонгкха]]: см. Дзонг-кэ # [[Файл:Flag of Bhutan.svg|22px|border]] [[w:Дзонг-кэ|Дзонг-кэ]]: '''ང་གིས་ཁྱོད་ལུ་བྱམས་པ་འབདཝ་ཨིན''' («нга ги че лу га»). # [[Файл:Flag of Guinea-Bissau.svg|22px|border]] [[w:en:Jahanka language|Джаханка]]: '''n’gné kanou''' («ннэ кану»).<p>[[w:Зарма (язык)|Джерма]]: см. Зарма # [[Файл:Flag of Jersey.svg|22px|border]] [[w:Джерсийский диалект нормандского языка|Джерсийский нормандский]]: '''j’t’aime''' («жьтэм»).<p>[[w:Мальдивский язык|Дивехи]]: см. Мальдивский<p>[[w:Цезский язык|Дидойский]]: см. Цезский # [[Файл:Flag of Kruishoutem.svg|22px|border]] [[w:Димаса (язык)|Димаса]]: '''ang ningkhe hamjaodu''' («анг нингкхе хамджаоду»).<p>[[w:Димаса|Димаса-качари]]: см. Димаса # [[Файл:Flag of Dinka people.svg|22px|border]] [[w:Динка (язык)|Динка]]: '''yin nhiar''' («йин ниар»). # [[Файл:Flag of Casamance (2012).svg|22px|border]] [[w:en:Jola-Fonyi language|Диола-фоньи]]: '''nifañifañ''' («нифаньифань»). # [[Файл:Flag of Casamance (2012).svg|22px|border]] [[w:en:Jola-Fonyi language|Диола-фоньи (булуф)]]: '''i mãnghy mãng''' («и манни манг»). # [[Файл:Dobrudscha logo.svg|14px|border]] [[w:Украинский язык|Добруджанский украинский]]: '''я тебе любу''' («я тэбэ любу»). # [[Файл:Dogra Flag.png|22px|border]] [[w:Догри|Догри]]: '''में तुगी हिरख करना''' («минджо тэрэ наал пьяр хэга»). # [[Файл:Flag of Taymyr Autonomous Okrug.svg|22px|border]] [[w:Долганский язык|Долганский]]: '''мин энигин таптыыбын''' («мин энигин таптыыбын»), '''мен эничан таптычан''' («мен эничан таптычан»).<p>[[w:Ладинский язык|Доломитский]]: см. Ладинский # [[Файл:Flag of Kisumu County.png|22px|border]] [[w:Долуо|Долуо]]: '''aheri''' («ахери»). # [[Файл:Flag of the Romani people.svg|22px|border]] [[w:Домари|Домари]]: '''ḥaskarmèré''' («хаскармере»), '''āmā tèrs ḥaskarmé''' («аамаа терс хаскарме»). # [[Файл:Dothraki flag.webp|22px|border]] [[w:Дотракийский язык|Дотракийский]]: '''anha zhilak yera''' («анха жилак йера»).<p>[[w:Дотракийский язык|Дотракин]]: см. Дотракийский # [[Файл:White Dragon Flag of England.png|22px|border]] [[w:Древнеанглийский язык|Древнеанглийский]]: '''ic lufie þe''' («ик луфи тэ»). # [[Файл:Banner of the Holy Roman Emperor with haloes (1400-1806).svg|22px|border]] [[w:Древневерхненемецкий язык|Древневерхненемецкий]]: '''ich minne dich''' («ихь миннэ дихь»).<p>[[w:Древнерусский|Древневосточнославянский]]: см. Древнерусский # [[Файл:Flag of Greek Macedonia.svg|22px|border]] [[w:Древнегреческий язык|Древнегреческий]]: '''σὲ φιλῶ''' («сэ фило»), '''σὲ ἀγαπῶ''' («сэ агапо»). # [[Файл:Flag Kingdom of Judah.png|22px|border]] [[w:Древнееврейский язык|Древнееврейский]]: '''אהבתיך''' («аhавти́х») - женщине; '''אהבתיך''' («аhaвти́ха») — мужчине. # [[Файл:Banner of the Lordship of Ireland.svg|22px|border]] [[w:Древнеирландский язык|Древнеирландский]]: '''notcharaim''' («нод харэйм»). # [[Файл:Flag of The Icelandic Commonwealth.svg|22px|border]] [[w:en:Old Norse#Old Icelandic|Древнеисландский]]: '''ann ek þér''' («анн эк сэр»).<p>[[w:Прусский язык|Древнепрусский]]: см. Прусский # [[Файл:Banner of the Novgorod Republic (c. 1385).svg|22px|border]] [[w:Древнерусский язык|Древнерусский]]: '''люблѭ тѧ''' («люблю тя»).<p>[[w:Древнескандинавский язык|Древнесеверный]]: см. Древнескандинавский # [[Файл:Raven Banner.svg|22px|border]] [[w:Древнескандинавский язык|Древнескандинавский]]: '''ek elska þik''' («эк эльска сик»), '''ek ann þér''' («эк анн сэр»).<p>[[w:Орхоно-енисейский язык|Древнетюркский]]: см. Орхоно-енисейский # [[Файл:Oriflamme of Charlemagne.png|22px|border]] [[w:Древнефранкский язык|Древнефранкский]]: '''ik minnon thigh''' («ик миннон тиг»). # [[Файл:Sweden-Flag-1562.svg|22px|border]] [[w:Древнешведский язык|Древнешведский]]: '''iak elski þik''' («як эльски сик»).<p>[[w:Геэз|Древнеэфиопский]]: см. Геэз<p>[[w:Древнееврейский язык|Древний иврит]]: см. Древнееврейский<p>[[w:Полабский язык|Древяно-полабский]]: см. Полабский # [[Файл:Flag of Drenthe.svg|22px|border]] [[w:en:Drèents dialects|Дрентский]]: '''ik hol van joe''' («ик хол фан ю»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Дуала (язык)|Дуала]]: '''na tondi wa''' («на тонди ва»). # [[Файл:ТУНГАНИСТАНСКИЙ ФЛАГ.png|22px|border]] [[w:Дунганский язык|Дунганский (ганьсуйский)]]: '''вә э ни''' («вэ ай ни»). # [[Файл:ТУНГАНИСТАНСКИЙ ФЛАГ.png|22px|border]] [[w:Дунганский язык|Дунганский (шэньсийский)]]: '''ңə э ни''' («нэ ай ни»). # [[Файл:Flag of Sabah.svg|22px|border]] [[w:en:Dusun language|Дусунский]]: '''siuhang oku dia''' («сиуханг оку диа»).<p>[[w:Мальдивский язык|Дхивехи]]: см. Мальдивский # [[Файл:Flag of Burkina Faso.svg|22px|border]] [[w:Дьюла (язык)|Дьюла]]: '''m'bi fê''' («мби фэ»).<p>[[w:Сефардский язык|Еврейско-испанский]]: см. Сефардский<p>[[w:Горско-еврейский язык|Еврейско-татский]]: см. Горско-еврейский # [[Файл:Ancient Egyptian Culture Flag.webp|22px|border]] [[w:Египетский язык|Египетский]]: '''𓌻𓂋𓀁𓀀𓍿𓈖''' («мери и чен») — женщине, '''𓌻𓂋𓀁𓁐𓍿𓅱''' («мери и чю») — мужчине. # [[Файл:Flag of Egypt.svg|22px|border]] [[w:Египетский диалект арабского языка|Египетский арабский]]: '''ٲنَا بحِبَّك''' («ана бахиббак») — мужчине, '''ٲنَا بَحِبِّك''' («ана бахиббик») — женщине. # [[Файл:Flag of Yenish people.svg|22px|border]] [[w:Енишский язык|Енишский]]: '''ketta jaan bettu''' («кэтта яан бэтту»). # [[Файл:Bandeira do Amazonas.svg|22px|border]] [[w:Жамамади|Жамамади]]: '''tera oka-nofi-beya''' («тэра ока нофи бэя»). # [[Файл:Flag of Žemaitija.svg|22px|border]] [[w:Жемайтское наречие|Жемайтский]]: '''aš tavi mīlu''' («аш тави миилю»). # [[Файл:Flag of Montreal.svg|22px|border]] [[w:Жуаль|Жуаль]]: '''sh’teme''' («щтэмэ»). # [[Файл:Flag of Zazaistan.svg|22px|border]] [[w:Зазаки|Зазаки]]: '''ez to has kenan''' («эз то хас кэнан»).<p>[[w:Адыгейский язык|Западноадыгский]]: см. Адыгейский # [[Файл:Flag of Arizona.svg|22px|border]] [[w:Западно-апачский язык|Западно-апачский]]: '''sheth she'n zho'n''' («шэз шэн жон»). # [[Файл:Flag of Western Armenia.svg|22px|border]] [[w:Западноармянский язык|Западноармянский]]: '''ես քեզ կը սիրեմ''' («йез кез гэсирем»). # [[Файл:Banner of the Duchy of Brabant.svg|22px|border]] [[w:Западнобрабантский диалект|Западнобрабантский]]: ''''k zien a gère''' («кзьен а херэ»).<p>[[w:Ительменский язык|Западноительменский]]: см. Ительменский # [[Файл:Flag of New Mexico.svg|22px|border]] [[w:Кересские языки|Западнокересский (ааку)]]: '''thro sii muu''' («сро сии муу»). # [[Файл:Flag of New Mexico.svg|22px|border]] [[w:Кересские языки|Западнокересский (каваик)]]: '''аmuu-thro-maa''' («амуу-сро-маа»). # [[Файл:Flag of Lombardy.svg|22px|border]] [[w:Западноломбардское наречие|Западноломбардский]]: '''mi te voeuri ben''' («ми тэ вёри бэн»).<p>[[w:Нижнесаксонские диалекты|Западнонижненемецкий]]: см. Нижнесаксонский # [[Файл:Touareg People Flag.svg|22px|border]] [[w:Западнотамахакский язык|Западнотамахакский]]: '''riɣ-kem''' («риг кем»). # [[Файл:Flag of West Flanders.svg|22px|border]] [[w:Западнофламандские диалекты|Западнофламандский]]: '''ik zie oe geerne''' («ик зие ое геерне»). # [[Файл:Frisian flag.svg|22px|border]] [[w:Западнофризский язык|Западнофризский]]: '''ik hâld fan dy''' («и холд фром тай»). # [[Файл:Flag of the Oromo Liberation Front.svg|22px|border]] [[w:Оромо (язык)|Западно-центральный оромо]]: '''si jaalladha''' («си джаалладха»). # [[Файл:Bandera Front Alliberament Cham.svg|22px|border]] [[w:Чамский язык|Западночамский]]: '''ai ranam dai''' («аи ранам даи») — женщине; '''dai ranam ai''' («даи ранам аи») — мужчине.<p>[[w:Адыгейский язык|Западночеркесский]]: см. Адыгейский # [[Файл:Piapot First Nation flag.svg|22px|border]] [[w:Западный кри|Западный кри]]: '''ᑭᓵᑭᐦᐃᑎᐣ''' («кисаакихитин»).<p>[[w:Бабин-вицувитен|Западный кэрриер]]: см. Бабин-вицувитен<p>[[w:Луба (язык)|Западный луба]]: см. Луба # [[Файл:Flag of Mali.svg|22px|border]] [[w:en:Kassonke language|Западный манинка]]: '''mbi fê''' («мби фэ»). # [[Файл:Flag of the Peguis First Nation.svg|22px|border]] [[w:Западный оджибве|Западный оджибве]]: '''kisawēnmin''' («кисавеенмин»). # [[Файл:Flag of Punjab.svg|22px|border]] [[w:Западный панджаби|Западный панджаби]]: '''main tainu pyar karda haan''' («майн тайну пьяр карда хаан») — женщине; '''main tainu pyar kardi haan''' («майн тайну пьяр карди хаан») — мужчине.<p>[[w:Западнотамахакский язык|Западный тамахак]]: см. Западнотамахакский # [[Файл:DEU Saterland Flag.svg|22px|border]] [[w:Затерландский фризский язык|Затерландский фризский]]: '''iek hääb die ljoo''' («иэ хээб ди йо»). # [[Файл:Flag of Niger.svg|22px|border]] [[w:Зарма (язык)|Зарма]]: '''aye ga banin''' («айе га банин»). # [[Файл:Флаг годоберинцев.png|22px|border]] [[w:Зибирхалинский диалект|Зибирхалинский]]: '''дилъи мини иделъиде''' («дитли мини идетлиде»).<p>[[w:Северный ндебеле|Зимбабвийский ндебеле]]: см. Северный ндебеле # [[Файл:Flag of Zulu.png|22px|border]] [[w:Зулу|Зулу]]: '''ngiyakuthanda''' («нийякутанда»).<p>[[w:Зулу|Зулусский]]: см. Зулу # [[Файл:Flag of Zuni.svg|22px|border]] [[w:Зуни (язык)|Зуни]]: '''tom ho’ ichema''' («том хо ичема»).<p>[[w:Зуни (язык)|Зуньи]]: см. Зуни # [[Файл:PH-BEN Flag.png|22px|border]] [[w:en:Ibaloi language|Ибалои]]: '''pip-piyan taha''' («пип-пийан таха»). # [[Файл:Flag of Cagayan.svg|22px|border]] [[w:en:Ibanag language|Ибанаг]]: '''iddu taka''' («идду така»). # [[Файл:Flag of Iban.svg|22px|border]] [[w:Ибанский язык|Ибанский]]: '''aku sayau ke nuan''' («аку сайяу ке нуан»). # [[Файл:Flag of Abia (before 2025).png|22px|border]] [[w:Ибибио (язык)|Ибибио]]: '''mma ma fi''' («мма ма фи»). # [[Файл:Flag of Batanes.svg|22px|border]] [[w:en:Ivatan language|Иватанский]]: '''chaddao kuymu''' («чаддао куйму»), '''ichaddao ko imu''' («ичаддао ко иму»).<p>[[w:Мегрельский язык|Иверский]]: см. Мегрельский # [[Файл:Flag of Israel.svg|22px|border]] [[w:Иврит|Иврит]]: '''אני אוהב אותך''' («ани оев отах») — женщине; '''אני אוהבת אותך''' («ани оевет отха») — мужчине. # [[Файл:Flag of Biafra.svg|22px|border]] [[w:Игбо (язык)|Игбо]]: '''m hụrụ gị n’anya''' («мхууруу гии н анья»).<p>[[w:Тиндинский язык|Идаринский]]: см. Тиндинский<p>[[w:Тиндинский язык|Идеринский]]: см. Тиндинский # [[Файл:Proposed Yiddish flag.svg|22px|border]] [[w:Идиш|Идиш]]: '''איך האָב דיך ליב''' («их об дих либ»). # [[Файл:Flag of Ido (new).svg|22px|border]] [[w:Идо|Идо]]: '''me amoras tu''' («мэ аморас ту»). # [[Файл:Flag igora.svg|22px|border]] [[w:Ижорский язык|Ижорский]]: '''miä suvvaan sinnua''' («миэ сувваан синнуа»). # [[Файл:Flag of Uganda.svg|22px|border]] [[w:Ик (язык)|Ик]]: '''tsamia bi''' («тсамиа би»).<p>[[w:Илоканский язык|Илокано]]: см. Илоканский # [[Файл:Flag of the Palaris revolt.svg|22px|border]] [[w:Илоканский язык|Илоканский]]: '''ayayatenka''' («айяйятэнка»), '''ipatpategka''' («ипатпатэгка»), '''ikarkarayoka''' («икаркарайока»).<p>[[w:Илоканский язык|Илоко]]: см. Илоканский<p>[[w:Хилигайнон|Илонгго]]: см. Хилигайнон # [[Файл:Flag of the Syriac-Aramaic People.svg|22px|border]] [[w:en:Imperial Aramaic|Имперский арамейский]]: '''ܟܠܐܢܐ ܡܝܪ''' («кльнь мир»). # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Инари-саамский язык|Инари-саамский]]: '''mun rähistâm tuu''' («мун ра́хистам туу»). # [[Файл:Flag of Ingushetia.svg|22px|border]] [[w:Ингушский язык|Ингушский]]: '''хьо сона еза''' («хо сона еза») — женщине; '''хьо сона веза''' («хо сона веза») — мужчине. # [[Файл:Flag of Indonesia.svg|22px|border]] [[w:Индонезийский язык|Индонезийский]]: '''aku cinta kamu''' («аку чинта камуу»).<p>[[w:Монтанье-наскапи (язык)|Инну]]: см. Монтанье-наскапи<p>[[w:Монтанье-наскапи (язык)|Инну-аймун]]: см. Монтанье-наскапи<p>[[w:Западноломбардское наречие|Инсубрический]]: см. Западноломбардский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Интерглосса|Интерглосса]]: '''mi amo tu''' («ми амо ту»), '''mi esthe philo tu''' («ми эстэ фило ту»). # [[Файл:Bandiera de Interlingua.svg|22px|border]] [[w:Интерлингва (IALA)|Интерлингва]]: '''io te ama''' («ио тэ ама»).<p>[[w:Окциденталь|Интерлингве]]: см. Окциденталь # [[Файл:Flag of Nunavut.svg|22px|border]] [[w:Инуиннактун|Инуиннактун]]: '''piqpagiyagin''' («пикпагийягин»). # [[Файл:Flag of Nunatsiavut.svg|22px|border]] [[w:Инуктитут|Инуктитут]]: '''ᓇᒡᓕᒋᕙᒋᑦ''' («наглигивагит»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:en:Iñupiaq language|Инупиак]]: '''nakuagigikpin''' («накуагигикпин»), '''nakuagikpakpin''' («накуагикпакпин»), '''piqpavagin''' («пикпавагин»). # [[Файл:Flag of Iraq.svg|22px|border]] [[w:Иракский диалект арабского языка|Иракский арабский]]: '''أحبك''' («ахэббич»), '''أحبج''' («ахэббак»). # [[Файл:Flag of Bangsamoro.svg|22px|border]] [[w:en:Iranun language|Иранун]]: '''kababayaan ku ska''' («кабабайаан ку ска»). # [[Файл:Flag of Ireland.svg|22px|border]] [[w:Ирландский язык|Ирландский]]: '''gráím thú''' («грэм ту»).<p>[[w:Ирландский язык|Ирландский гэльский]]: см. Ирландский # [[Файл:Flag of Khon Kaen province.png|22px|border]] [[w:Исанский язык|Исанский]]: '''ຂ້ອຍຮັກເຈົ້າ''' («кхёой хак чао»). # [[Файл:Flag of Iceland.svg|22px|border]] [[w:Исландский язык|Исландский]]: '''ég elska þig''' («эг эльска сиг»). # [[Файл:Flag of Delta State.gif|22px|border]] [[w:en:Isoko language|Исоко]]: '''me you owhai''' («мэ ю оухаи»). # [[Файл:Flag of Spain.svg|22px|border]] [[w:Испанский язык|Испанский]]: '''te quiero''' («тэ керо»). # [[Файл:'Gypsy colours of Spain' in the 1890s, according to Baron Lilford.svg|22px|border]] [[w:Испанский кало|Испанский кало]]: '''te camelo''' («тэ камэло»). # [[Файл:Flag of the Zapotec Peoples.svg|22px|border]] [[w:Истмусский сапотекский язык|Истмусский сапотекский]]: '''nadxieeʼ lii''' («наджиее лии»). # [[Файл:Flag of Istria (historical).svg|22px|border]] [[w:Истрорумынский язык|Истрорумынский]]: '''te iubeåć''' («тэ юбэач»). # [[Файл:Insignia-coatofarms-isfahan-province.png|22px|border]] [[w:en:Esfahani accent|Исфаханский персидский]]: '''شومارو دوس دارم''' («шума ру дус дарэм»). # [[Файл:Flag of Cagayan.svg|22px|border]] [[w:en:Itawis language|Итавис]]: '''ay-ayatan ta ka''' («ай аятан та ка»). # [[Файл:Flag of Italy.svg|22px|border]] [[w:Итальянский язык|Итальянский]]: '''ti amo''' («ти амо»). # [[Файл:Flag of Kamchatka Oblast.svg|22px|border]] [[w:Ительменский язык|Ительменский]]: '''кәмман кәзза тлфталакзусчэн''' («кымман кызза тлфталакзусчэн»). # [[Файл:Flag of Beni Department, Bolivia.svg|22px|border]] [[w:Итонама (язык)|Итонама]]: '''ka’k’isilo’ne’mo''' («ка к исило нэ мо») — женщине; '''a’k’isilo’ne’mo''' («а к исило нэ мо») — мужчине. # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Иульджи: '''я любюніаі а ято''' («я любюниаи а ято»), '''я любюніаі а ята''' («я любюниаи а ята»). # [[Файл:Ithkuil Flag.webp|22px|border]] [[w:Ифкуиль|Ифкуиль]]: '''ôžasi ükhi''' («ожаси юкхи»). # [[Файл:PH-IFU Flag.png|22px|border]] [[w:Ифугао (язык)|Ифугао]]: '''penpenhod cha-a''' («пэнпэнход ча а»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Ица (язык)|Ица]]: '''ink’atech''' («инкатэч»).<p>[[w:Ишильский язык|Ишиль]]: см. Ишильский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Ишильский язык|Ишильский]]: '''nikin sa' axh''' («никин са аш»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Иширкиан: '''nukisi''' («нукиси»). # [[Файл:Flag of Bamileke National Movement.svg|22px|border]] [[w:Йемба|Йемба]]: '''men nkon' wou''' («мэн нкон ву»). # [[Файл:Flag of Echague, Isabela (2022-present).png|22px|border]] [[w:en:Yogad language|Йогад]]: '''iddeddukan taka''' («иддэддукан така»).<p>[[w:Йоканьгско-саамский язык|Йоканьгский саамский]]: см. Йоканьгско-саамский # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Йоканьгско-саамский язык|Йоканьгско-саамский]]: '''мунн со̄бпам то̄ны''' («мунн со́бпам то́ны»). # [[Файл:Flag of county Wexford.svg|22px|border]] [[w:Йола (язык)|Йола]]: '''ich love thou''' («ихь лав зу»). # [[Файл:Flag of the Northern Territory.svg|22px|border]] [[w:en:Yolŋu languages|Йолнгу]]: '''ŋarra djäl nhuna''' («нгарра джал нхуна»). # [[Файл:Flag of Egbe Omo Yoruba.svg|22px|border]] [[w:Йоруба (язык)|Йоруба]]: '''mo nifẹẹ rẹ''' («мо нифеэ рэ»). # [[Файл:Flag of Kabardino-Balkaria.svg|22px|border]] [[w:Кабардино-черкесский язык|Кабардино-черкесский]]: '''сэ уэ лагун''' («сэ уэ лагун»). # [[Файл:Flag of the Republic of Kabylia.svg|22px|border]] [[w:Кабильский язык|Кабильский]]: '''hamlaɣkem''' («хамлагкем») — женщине, '''hamlaɣk''' («хамлагк») — мужчине.<p>[[w:Кабувердьяну|Кабо-вердианский креол]]: см. Кабувердьяну<p>[[w:Кабувердьяну|Кабо-вердиану]]: см. Кабувердьяну # [[Файл:Flag of Cape Verde.svg|22px|border]] [[w:Кабувердьяну|Кабувердьяну]]: '''`n crebu tcheu''' («нкребу тчу»).<p>[[w:Дари|Кабули]]: см. Дари # [[Файл:Flag of Acadiana.svg|22px|border]] [[w:Каджунский диалект французского языка|Каджунский французский]]: '''mi aime jou''' («ми эм жу»). # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:en:Cadorino dialect|Кадоринский ладинский]]: '''te voi bögn''' («тэ вой бон»). # [[Файл:Flag of Kazakhstan.svg|22px|border]] [[w:Казахский язык|Казахский]]: '''мен сені жақсы көремін'''' («мен сени жаксы коремин»). # [[Файл:Flag of the Iroquois Confederacy.svg|22px|border]] [[w:Кайюга (язык)|Кайюга]]: '''go-nóhkwa’'''' («го-нохква»). # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Кайтагский язык|Кайтагский]]: '''дами и риччихитте''' («дами и риччихитте»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Какчикельский язык|Какчикельский]]: '''yatinwajo'''' («йатинуахо»). # [[Файл:PH-NUV Flag.png|22px|border]] [[w:en:Kalanguya language|Калангуйя]]: '''pipiyan ta ka''' («пипиян тэ ка»). # [[Файл:PH-KAL Flag.png|22px|border]] [[w:Калинганский язык|Калинганский]]: '''pipiyok sika''' («пипийок сика»). # [[Файл:Flag of Montana.svg|22px|border]] [[w:Калиспел|Калиспел]]: '''kʷinχaménč''' («куинхаменч»). # [[Файл:Flag of the Congress of the Oirat-Kalmyk nation.png|22px|border]] [[w:Калмыцкий язык|Калмыцкий]]: '''би чамд дуртав''' («би чамд дуртав»). # [[Файл:Surigao del Sur Flag.png|22px|border]] [[w:en:Kamayo language|Камайо]]: '''inadyoan ta kaw''' («инаджёан та кау»). # [[Файл:Flag of Sayansky rayon (Krasnoyarsk krai).png|22px|border]] [[w:Камасинский язык|Камасинский]]: '''айи́рлӧм тәна́н''' («айи́рлём тэна́н»). # [[Файл:Flag of Machakos County.png|22px|border]] [[w:Камба (язык, Кения)|Камба]]: '''ningwemdete''' («нингвемдэтэ»). # [[Файл:Flag of Santa Cruz.svg|22px|border]] [[w:es:Español camba|Камба-испанский]]: '''te amo''' («тэ амо»). # [[Файл:Flag of the Province of Cagliari.svg|22px|border]] [[w:Кампиданский диалект|Кампиданский сардинский]]: '''deu t’amu''' («дэу тьяму»).<p>[[w:Ительменский язык|Камчадальский]]: см. Ительменский # [[Файл:Flag of Canada.svg|22px|border]] [[w:en:Canadian French|Канадский французский]]: '''je t’aime''' («штэм»). # [[Файл:Flag of Mountain Province.png|22px|border]] [[w:en:Kankanaey language|Канканаэйский]]: '''laylaydek sik-a''' («лайлайдэк сик-а»). # [[Файл:Flag of the Kannada people.svg|22px|border]] [[w:Каннада|Каннада]]: '''ನಾ ನಿನ್ನ ಪ್ರೀತಿಸ್ತೀನಿ''' («наа нинна преэтистээни»). # [[Файл:Flag of Osaka Prefecture.svg|22px|border]] [[w:Кансайский диалект|Кансайский]]: '''好いとんねん''' («суитоннэн»), '''好きやねん''' («сукиянэн»). # [[Файл:Great Cantonia Flag.svg|22px|border]] [[w:Кантонский диалект|Кантонский]]: '''我愛你''' («нго ой нэй»). # [[Файл:Flag of the Kanuri people.svg|22px|border]] [[w:Канури (язык)|Канури]]: '''nya raakna''' («нья раакна»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Канхобальский язык|Канхобальский]]: '''chwachwechej''' («чуачуэчех»).<p>[[w:Капампанганский язык|Капампанган]]: см. Капампанганский # [[Файл:Pampanga Flag.png|22px|border]] [[w:Капампанганский язык|Капампанганский]]: '''kaluguran daka''' («калугуран дака»). # [[Файл:Vlag Fil Capiz.gif|22px|border]] [[w:en:Capiznon language|Каписнон]]: '''ginahigugma ko ikaw''' («гинахигугма ко икау»).<p>[[w:Бежтинский язык|Капучинский]]: см. Бежтинский # [[Файл:Flag of Artsakh.svg|22px|border]] [[w:Карабахский диалект армянского языка|Карабахский армянский]]: '''ես քըզ սիրում ըմ''' («йес кз сирюмым»). # [[Файл:Karagash Nogay.svg|22px|border]] [[w:Карагашский язык|Карагашский]]: '''мен сени джаратам''' («мен сейны джяратам»), '''мен сизди джаратам''' («мен сызды джяратам»). # [[Файл:Flag of Crimean Karaites.svg|22px|border]] [[w:Караимский язык|Караимский]]: '''mień sieni siuviam''' («мень сени сювям»). # [[Файл:Flag of Karakalpakstan.svg|22px|border]] [[w:Каракалпакский язык|Каракалпакский]]: '''мен сени жақсы көремен''' («мен сени жаксы коремен»).<p>[[w:Шона (язык)|Каранга]]: см. Шона # [[Файл:Flag of Texas.svg|22px|border]] [[w:en:Karankawa language|Каранкава]]: '''ná'i áwa ka''' («най ауа ка»). # [[Файл:Karachay Flag.jpg|22px|border]] [[w:Карачаево-балкарский язык|Карачаево-балкарский]]: '''мен сени сюеме''' («мэн сэни сюэмэ»).<p>[[w:Карачаево-балкарский язык|Карачаевский]]: см. Карачаево-балкарский # [[Файл:Karelian National Flag.svg|22px|border]] [[w:Карельский язык|Карельский]]: '''mie šilma šuvačen''' («мие шилма шувачен»), '''minä armastan sindai''' («миня армастан синдаи»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Kari language|Кари]]: '''ni kou zololo''' («ни коу зололо»). # [[Файл:Flag of Venezuela.svg|22px|border]] [[w:Карибский язык|Карибский]]: '''kysiropimaya''' («кисиропимайя»). # [[Файл:Bandeira de Rondônia.svg|22px|border]] [[w:Каритиана (язык)|Каритиана]]: '''ÿn mã a'ak''' («юн маа а ак»).<p>[[w:Карук (язык)|Карок]]: см. Карук # [[Файл:Flag of California.svg|22px|border]] [[w:Карук (язык)|Карук]]: '''nu-'íimnih-tih''' («ну иимни ти»). # [[Файл:Flag of Casamance (2012).svg|22px|border]] [[w:en:Kasa language|Каса]]: '''lifañifañ''' («лифаньифань»), '''difañifañ''' («дифаньифань»). # [[Файл:Banner of Castile (Modern Design Variant).svg|22px|border]] [[w:Кастильский диалект|Кастильский]]: '''te amo''' («тэ амо»), '''te quiero''' («тэ керо»). # [[Файл:Estelada blava.svg|22px|border]] [[w:Каталанский язык|Каталанский]]: '''t’estimo''' («тэстимо»).<p>[[w:Каталанский язык|Каталонский]]: см. Каталанский # [[Файл:Kachin People Flag.svg|22px|border]] [[w:Качинский язык (цзинпо)|Качинский]]: '''nang hpe ngai tsaw ra ai''' («нэн пе най тсоо рэ ай»).<p>[[w:Кашубский язык|Кашебский]]: см. Кашубский<p>[[w:Кашмирский язык|Кашмири]]: см. Кашмирский # [[Файл:Jammu Kashmir Liberation Front flag.svg|22px|border]] [[w:Кашмирский язык|Кашмирский]]: '''مےٚ چھِ چٲنؠ ماے‎''' («мэ чи каань маай»). # [[Файл:POL Kaszuby flag.svg|22px|border]] [[w:Кашубский язык|Кашубский]]: '''jô cë kòchóm''' («е це квехом»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Квакиутл (язык)|Квакиутл]]: '''łaxwala nuxwan tłus''' («ляхьвала нухьван тлюс»).<p>[[w:Багвалинский язык|Кванадинский]]: см. Багвалинский # [[Файл:Flag of Namibia.svg|22px|border]] [[w:en:Kwangali language|Квангали]]: '''ame naku hara''' («амэ наку хара»). # [[Файл:Flag of the Kven people.svg|22px|border]] [[w:Квенский язык|Квенский]]: '''rakastan sinnuu''' («ракастан синнуу»). # [[Файл:Quenya flag.svg|22px|border]] [[w:Квенья|Квенья]]: '''melinyel''' («мэлиньел»), '''amin mela lle''' («амин мэла ллэ»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Кекчи (язык)|Кекчи]]: '''nakatinra''' («накатинра»). # [[Файл:Flag of Kerkrade.svg|22px|border]] [[w:en:Kerkrade dialect|Керкрадский]]: '''iech hoat va diech''' («ихь хоат фа дихь»). # [[Файл:Flag of Turukhansky rayon (Krasnoyarsk krai).png|22px|border]] [[w:Кетский язык|Кетский]]: '''иль укаӈт лювероӈавет''' («иль укант люверонавет»), '''ать у люверовет''' («ать у люверовет»).<p>[[w:Кечуанские языки|Кечва]]: см. Кечуа # [[Файл:Quechuas flag.svg|22px|border]] [[w:Кечуанские языки|Кечуа]]: '''canda munani''' («канда мунани»).<p>[[w:Аякучанский кечуа|Кечуа-чанка]]: см. Аякучанский кечуа # [[Файл:Flagge Köln.svg|22px|border]] [[w:Кёльнский диалект|Кёльнский]]: '''isch han dich leev''' («иш хан диш леев»), '''isch han dich jään''' («иш хан диш еен»). # [[Файл:Flag of Idaho.svg|22px|border]] [[w:Кёр-д’ален (язык)|Кёр-д'ален]]: '''ku nx̣amínč''' («кунхаминч»). # [[Файл:Bandera poble Batwa.svg|22px|border]] [[w:en:Kiga language|Кига]]: '''ninkukunda iwe''' («нинкукунда ивэ»).<p>[[w:Тамашек|Кидаль]]: см. Тамашек<p>[[w:Тамашек|Кидаль-тамашек]]: см. Тамашек # [[Файл:Flag of Kansas.svg|22px|border]] [[w:Кикапу (язык)|Кикапу]]: '''ketapaanene''' («кетупуунэнэ»).<p>[[w:Конго (язык)|Киконго]]: см. Конго # [[Файл:Kikuyu Flag (Mountain of Brightness).svg|22px|border]] [[w:Кикуйю (язык)|Кикуйю]]: '''nĩngwendete''' («нинкуэдете»). # [[Файл:Flag of Washington.svg|22px|border]] [[w:Килеут (язык)|Килеут]]: '''nayeli''' («найели»).<p>[[w:Луба-катанга|Килуба]]: см. Луба-катанга<p>[[w:Кильдинский саамский язык|Кильдин-саамский]]: см. Кильдинский саамский # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Кильдинский саамский язык|Кильдинский саамский]]: '''мунн то̄н шоа̄бша''' («мунн тоон шоа́бша»).<p>[[w:Северный мбунду|Кимбунду]]: см. Северный мбунду<p>[[w:Валлийский язык|Кимрский]]: см. Валлийский # [[Файл:Antique Flag.jpg|22px|border]] [[w:Кинарайский язык|Кинарайский]]: '''ginapalangga ta ikaw''' («гинапаланга та икау»).<p>[[w:Кинарайский язык|Кинарай-а]]: см. Кинарайский<p>[[w:Кинарайский язык|Кинарайя]]: см. Кинарайский<p>[[w:Руанда (язык)|Киньяруанда]]: см. Руанда # [[Файл:Semaia tes Kyprou.svg|22px|border]] [[w:Кипрский диалект греческого языка|Кипрский греческий]]: '''αγαπώ σε''' («агапо сэ»). # [[Файл:Flag of Cyprus.svg|22px|border]] [[w:Кипрско-арабский язык|Кипрско-арабский]]: '''uḥibbuk''' («ухиббук»). # [[Файл:Flag of Kericho County.gif|22px|border]] [[w:en:Kipsigis language|Кипсигис]]: '''achamin''' («ачамин»). # [[Файл:Flag of Kyrgyzstan.svg|22px|border]] [[w:Киргизский язык|Киргизский]]: '''мен сени сүйөм''' («мен сэни сюйом»). # [[Файл:Flag of Kiribati.svg|22px|border]] [[w:Кирибати (язык)|Кирибати]]: '''i tangiriko''' («и тангирико»).<p>[[w:Кирибати (язык)|Кирибатский]]: см. Кирибати<p>[[w:Рунди (язык)|Кирунди]]: см. Рунди<p>[[w:Гусии (язык)|Кисии]]: см. Гусии<p>[[w:Суахили|Кисуахили]]: см. Суахили<p>[[w:Сукума (язык)|Кисукума]]: см. Сукума # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Китайский язык|Китайский]]: '''我愛你''' («во ай ни»). # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:Китуба|Китуба]]: '''mu zola ngé''' («му зола нге»). # [[Файл:Flag of Viejšnoryja (Veyshnoria), fictional enemy republic for Zapad 2017 exercise.svg|22px|border]] Кихчексела: '''iðériscán''' («изэрискан»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Киче (язык)|Киче]]: '''katwaj''' («катуах»). # [[Файл:Flag of Ecuador.svg|22px|border]] [[w:Кичуа (язык)|Кичуа]]: '''juyanimi''' («хуяними»). # [[Файл:Flag of Washington.svg|22px|border]] [[w:Клаллам (язык)|Клаллам]]: '''nəsƛ̕éʔ cxʷ''' («нэслэтчх»).<p>[[w:Кламат-модокский язык|Кламат]]: см. Кламат-модокский<p>[[w:Кламат-модокский язык|Кламат-модок]]: см. Кламат-модокский # [[Файл:Flag of Oregon.svg|22px|border]] [[w:Кламат-модокский язык|Кламат-модокский]]: '''Moo ?ams ni stinta''' («моо амс ни стинта»).<p>[[w:Сирийский язык|Классический сирийский]]: см. Сирийский<p>[[w:Геэз|Классический эфиопский]]: см. Геэз # [[Файл:Flag Province of Davao del Sur.jpg|22px|border]] [[w:en:Klata language|Клата]]: '''dakkal ginawa kok nekku''' («даккаль гинауа кок нэкку»). # [[Файл:Klingon Empire Flag.svg|22px|border]] [[w:Клингонский язык|Клингонский]]: '''qamuSHa'''' («камуша»), '''bahng-WI' shokh''' («банг-ви шох»). # [[Файл:Brunssum vlag.svg|22px|border]] [[w:Диалекты нидерландского языка|Клингский нидерландский]]: '''ik zien ô gjèèren''' («ик зьен оо херээн»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Кого (язык)|Кого]]: '''ma din wa''' («ма дин ва»). # [[Файл:Flag of the National Liberation Front of Tripura.svg|22px|border]] [[w:Кокборок|Кокборок]]: '''ang nono hamjakgo''' («анг ноно хамджакго»). # [[Файл:Flag of the City of London.svg|22px|border]] [[w:Кокни|Кокни]]: '''you are my turtle dove''' («ю а май тортл дав»).<p>[[w:Тлингитский язык|Колошский]]: см. Тлингитский # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Колтта-саамский язык|Колтта-саамский]]: '''(mon) rääʹǩǩstam tuu''' («(мон) ра́кстам туу»).<p>[[w:Южноюкагирский язык|Колымский]]: см. Южноюкагирский # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:it:Dialetto livinallese|Кольский ладинский]]: '''te voi ben''' («тэ вой бен»).<p>[[w:Команчский язык|Команче]]: см. Команчский # [[Файл:Flag of Oklahoma.svg|22px|border]] [[w:Команчский язык|Команчский]]: '''ʉ kamakʉtʉ nʉ''' («э камакэт нэ»). # [[Файл:Flag of the Mexica Movement.svg|22px|border]] [[w:en:Comecrudo language|Комекрудо]]: '''ankuailam''' («анкуайлам»).<p>[[w:Коми язык|Коми]]: см. Коми-зырянский # [[Файл:Komi Nordic cross flag.svg|22px|border]] [[w:Коми язык|Коми-зырянский]]: '''ме тэнö радейта''' («ме тэ́нэ ра́дейта»), '''ме тэнö мусала''' («ме тэ́нэ му́сала»). # [[Файл:Flag of Izhemsky rayon (Komia).png|22px|border]] [[w:Ижемский диалект коми языка|Коми-ижемский]]: '''ме тэнэ радейта''' («ме тэ́нэ ра́дейта»), '''ме тэнэ любита''' («ме тэ́нэ лю́бита»). # [[Файл:Flag of Permyakia.svg|22px|border]] [[w:Коми-пермяцкий язык|Коми-пермяцкий]]: '''ме тэнӧ любита''' («ме тэнэ любита»), '''ме тэнӧ радейта''' («ме тэнэ радейта»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Комокс|Комокс]]: '''χaƛnomɛč''' («халномэч»). # [[Файл:Flag of Comoros.svg|22px|border]] [[w:Коморский язык|Коморский]]: '''n'game handzo''' («нгаме хандзо»). # [[Файл:Flag of Musikongo.svg|22px|border]] [[w:Конго (язык)|Конго]]: '''mono ke zola nge''' («моно кэ зола нге»), '''na lingui yo''' («на лингуи йо»). # [[Файл:Flag of Goa.svg|22px|border]] [[w:Конкани (язык)|Конкани]]: '''हांव तुजेर मोग करता''' («ту магель мога чо»). # [[Файл:Coptic cross.svg|22px|border]] [[w:Коптский язык|Коптский]]: '''Ϯⲙⲉ ⲙ︦ⲙⲟ''' («тимэ ммо») — женщине, '''Ϯⲙⲉ ⲙ︦ⲙⲟⲕ''' («тимэ ммок») — мужчине. # [[Файл:Flag of South Korea.svg|22px|border]] [[w:Корейский язык|Корейский]]: '''사랑해''' («саранхэ»). # [[Файл:Flag of Koryo-saram.jpg|22px|border]] [[w:Корё мар|Корё мар]]: '''노 코바 한다''' («нор коба ханда»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Кориезский: '''tenï eretemar''' («тэний эрэтэмар»).<p>[[w:Кипрско-арабский язык|Кормакити]]: см. Кипрско-арабский<p>[[w:Корнский язык|Корнваллийский]]: см. Корнский # [[Файл:Flag of Cornwall.svg|22px|border]] [[w:Корнский язык|Корнский]]: '''my a’th kar''' («ми афкар»).<p>[[w:Корнский язык|Корнуэльский]]: см. Корнский # [[Файл:Flag of Corsica.svg|22px|border]] [[w:Корсиканский язык|Корсиканский]]: '''ti tengu cara''' («ти тэнгу кара») — женщине; '''ti tengu caru''' («ти тэнгу кару») — мужчине. # [[Файл:Flag of Koryakia.svg|22px|border]] [[w:Корякский язык|Корякский]]: '''гмнан гъчи гаймо ткулн'ги''' («гы́мнан гы́чи гэ́ймо тку́лнги»), '''гымнан гыччи ылӈу тыкулӈыги''' («гымнан гыччи ылну тыкулныги»). # [[Файл:Flag of Transkei.svg|22px|border]] [[w:Коса (язык)|Коса]]: '''ndiyakuthanda''' («ндиякутанда»).<p>[[w:Авадхи|Косали]]: см. Авадхи<p>[[w:Гусии (язык)|Косова]]: см. Гусии # [[Файл:Flag of Kosrae.svg|22px|border]] [[w:Косяэ|Косяэ]]: '''nga lungse kom''' («на лунсэ ком»). # [[Файл:Flag of Gabon.svg|22px|border]] [[w:en:Kota language (Gabon)|Кота (Габон)]]: '''ma nono bè''' («ма ноно бе»). # [[Файл:Flag of Kotava.svg|22px|border]] [[w:avk:Котава|Котава]]: '''va rin rená''' («ва рин рэна»).<p>[[w:Тем (язык)|Котоколи]]: см. Тем # [[Файл:Flag of Tayshetsky District.png|22px|border]] [[w:Коттский язык|Коттский]]: '''hamaʔ-u-th-āk-ŋ''' («хамаъ-у-с-аак-н»). # [[Файл:Flag of the Mexica Movement.svg|22px|border]] [[w:Кочими (язык)|Кочими]]: '''b'gooso''' («б гоосо»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Коюкон|Коюкон]]: '''nʉgh estsen'''' («нох эстсен»). # [[Файл:Flag of Liberia.svg|22px|border]] [[w:Кпелле (язык)|Кпелле]]: '''iwalikana''' («иваликана»). # [[Файл:Flag of the Northwest Territories.svg|22px|border]] [[w:Кри (языки)|Кри]]: '''ᑮᓯᑲᐦᐄᐦᐃᑏᐣ''' («кисаакихитин»). # [[Файл:Flag of the Confederate States for the Muscogee (Creek) Nation.svg|22px|border]] [[w:Крикский язык|Крикский]]: '''ecenokecis''' («эценокецис»). # [[Файл:Flag of Sierra Leone.svg|22px|border]] [[w:Крио|Крио]]: '''а lɛk yu''' («а лек ю»).<p>[[w:Малайско-португальский креольский язык|Кристанг]]: см. Малайско-португальский креольский # [[Файл:Flag of Montana.svg|22px|border]] [[w:Кроу (язык)|Кроу]]: '''dii awátsišiky''' («дии ауатсишикь»).<p>[[w:Крымскотатарский язык|Крымский]]: см. Крымскотатарский # [[Файл:Flag of the Crimean Tatar people.svg|22px|border]] [[w:Крымскотатарский язык|Крымскотатарский]]: '''men seni sevem''' («мэн сэни сэвэм»).<p>[[w:Крымскотатарский язык|Крымтатарский]]: см. Крымскотатарский # [[Файл:Proposed flag of Krymchaks.svg|22px|border]] [[w:Крымчакский язык|Крымчакский]]: '''men seni sevem''' («мэн сэни сэвэм»). # [[Файл:Flag of Dahadaevsky rayon (Dagestan).png|22px|border]] [[w:Кубачинский язык|Кубачинский]]: '''у дамми йикIулда''' («у дамми йик улда»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:en:Kurmali language|Кудмали]]: '''môy tôke pôsôd kôrô''' («мой токе посод коро»). # [[Файл:Flag of Cuyo, Palawan.png|22px|border]] [[w:Куйонон (язык)|Куйонон]]: '''inggegegma ta kaw''' («инггегегма та кау»), '''gegma ta kaw''' («гэгма та кау»), '''mal ta kaw''' («мал та кау»).<p>[[w:Куйонон (язык)|Куйонский]]: см. Куйонон # [[Файл:Flag of Rarotonga 1858-1888.svg|22px|border]] [[w:Кукский язык|Кукский]]: '''inangaro au ia koe''' («инангаро ау иа коэ»).<p>[[w:Кукский язык|Кукский маори]]: см. Кукский # [[Файл:Flag of Côte d'Ivoire.svg|22px|border]] [[w:Куланго (язык)|Куланго]]: '''mi koriou''' («ми кориоу»). # [[Файл:Flag of Altai Krai.svg|22px|border]] [[w:Кумандинское наречие|Кумандинский]]: '''меҥ сени сӱӱп jадым''' («мен сэни сююп ядым»). # [[Файл:Flag of the Kumaon Kingdom.svg|22px|border]] [[w:Кумаони (язык)|Кумаони]]: '''mekai teri maya laagi chhoo''' («мэкай тэри майа лааги чхоо»). # [[Файл:Flag of Kumyks.svg|22px|border]] [[w:Кумыкский язык|Кумыкский]]: '''мен сени сюемен''' («мэн си сюэмэн»).<p>[[w:Романшский язык|Курваль]]: см. Романшский # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Курдский язык|Курдский]]: '''ez hej te dikim''' («эз хэдж тэ диким»). # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Курманджи (диалект курдского языка)|Курманджи]]: '''ez jite hezdikim''' («эз житэ хэздиким»). # [[Файл:Flag of Ghana.svg|22px|border]] [[w:Кусаал (язык)|Кусаал]]: '''m bood if''' («м бооди ф»).<p>[[w:Косяэ|Кусаеанский]]: см. Косяэ<p>[[w:Косяэ|Кусаие]]: см. Косяэ<p>[[w:Кусаал (язык)|Кусале]]: см. Кусаал<p>[[w:Кусаал (язык)|Кусаси]]: см. Кусаал # [[Файл:Flag of Cusco (2021).svg|22px|border]] [[w:Кусканский кечуа|Кусканский кечуа]]: '''munakuyki''' («мунакуйки»). # [[Файл:Cutch flag.svg|22px|border]] [[w:en:Kutchi language|Кутчи]]: '''આંઉ તોકે પ્રેમ કંઈયા તો''' («аау то-ке прем каийя то»).<p>[[w:Гвичин|Кучинский]]: см. Гвичин<p>[[w:Чхаттисгархи|Кхалтахи]]: см. Чхаттисгархи # [[Файл:Seng-Khasi.png|22px|border]] [[w:Кхаси (язык)|Кхаси]]: '''nga ieid ia phi''' («нга иеид иа пхи»). # [[Файл:Flag of Cambodia.svg|22px|border]] [[w:Кхмерский язык|Кхмерский]]: '''បងស្រឡាញ់អូន''' («бон сроланх оун») — женщине; '''អូនស្រឡាញ់បង''' («оун сроланх бон») — мужчине.<p>[[w:Коса (язык)|Кхоса]]: см. Коса<p>[[w:Косяэ|Косраэ]]: см. Косяэ<p>[[w:Киргизский язык|Кыргызский]]: см. Киргизский # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Кэрриер (язык)|Кэрриер]]: '''nyuk'enusi''' («ньюк энуси»). # [[Файл:Flag of Kyakhta (Buryatia).png|22px|border]] [[w:Кяхтинский язык|Кяхтинский]]: '''моя твоя люби''' («моя твоя люби»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Лаала: '''mm do da''' («мм до да»).<p>[[w:Сефардский язык|Ладино]]: см. Сефардский # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:Ладинский язык|Ладинский]]: '''te ei gen''' («тэ эй гэн»). # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan Sanjak.svg|22px|border]] [[w:Лазский язык|Лазский]]: '''მასიმაოროპენ''' («масимаоропэн»).<p>[[w:Чинский язык|Лай]]: см. Чинский # [[Файл:Pine Ridge Flag.svg|22px|border]] [[w:Лакота (язык)|Лакота]]: '''thečhíȟila''' («тхэчихила»). # [[Файл:نماد لک های داغستان.jpg|22px|border]] [[w:Лакский язык|Лакский]]: '''ттунина ххирара''' («тунина хирара»).<p>[[w:Эвенский язык|Ламутский]]: см. Эвенский # [[Файл:Flag of Piedmont.svg|22px|border]] [[w:Пьемонтский язык|Лангароло]]: '''ieu t’ame''' («ю тэм»).<p>[[w:Хо (язык)|Ланка-кол]]: см. Хо # [[Файл:Flag of Laos.svg|22px|border]] [[w:Лаосский язык|Лаосский]]: '''ຂ້ອຍຮັກເຈົ້າ''' («кхёой хак чао»).<p>[[w:Субанон (язык)|Лапуян]]: см. Южный субанон # [[Файл:Flag of Musikongo.svg|22px|border]] [[w:Конго (язык)|Лари]]: '''nge nzololo''' («нге нзололо»), '''nikuzololo''' («никузололо»).<p>[[w:Чхаттисгархи|Лариа]]: см. Чхаттисгархи # [[Файл:Official flag of Latgale.svg|22px|border]] [[w:Латгальский язык|Латгальский]]: '''es tevi miloju''' («ас теви меелою»). # [[Файл:Flag of the Roman Empire.svg|22px|border]] [[w:Латинский язык|Латинский]]: '''te amo''' («тэ амо»).<p>[[w:Латинский язык|Латынь]]: см. Латинский # [[Файл:Flag of Latvia.svg|22px|border]] [[w:Латышский язык|Латышский]]: '''es tevi mīlu''' («эс тэви миилу»). # [[Файл:Lahu flag.svg|22px|border]] [[w:Лаху (языки)|Лаху]]: '''nga naw hta ha ja''' («нга нау хта ха я»).<p>[[w:Урду|Лашкари]]: см. Урду<p>[[w:Лушуцид|Лашутсид]]: см. Лушуцид<p>[[w:Лингва де планета|ЛдП]]: см. Лингва де планета # [[Файл:Lezgian flag.svg|22px|border]] [[w:Лезгинский язык|Лезгинский]]: '''заз вун кӏанзава‎''' («заз вун къанзава»). # [[Файл:Flag of Dudinka, Krasnoyarsk Krai.svg|22px|border]] [[w:Лесной энецкий язык|Лесной энецкий]]: '''мо̂дь ууʼʼ комитазʼʼ''' («моодь уу́ комита́з»).<p>[[w:Древнееврейский язык|Лешон ха-кодеш]]: см. Древнееврейский # [[Файл:Flag of Lebanon.svg|22px|border]] [[w:Ливанский диалект арабского языка|Ливанский арабский]]: '''بهباك''' («бахибак»). # [[Файл:Flag of Libya.svg|22px|border]] [[w:Ливийский диалект арабского языка|Ливийский арабский]]: '''نحبك''' («нхэбэк»). # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:it:Dialetto livinallese|Ливиналлонгский ладинский]]: '''te voi ben''' («тэ вой бен»). # [[Файл:Flag of the Livonians.svg|22px|border]] [[w:Ливский язык|Ливский]]: '''minā ārmaztõb sinā''' («минаа аармазтыб синаа»). # [[Файл:Flag of Liguria.svg|22px|border]] [[w:Лигурский язык (современный)|Лигурский]]: '''mi te amo''' («ми тэ амо»), '''te véuggio bén''' («тэ веуджо бэн»).<p>[[w:Лингва де планета|Лидепла]]: см. Лингва де планета # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Лиллуэт|Лиллуэт]]: '''stexwkan tu7 xatmintsin''' («стэхукан ту хатминтсин»). # [[Файл:Flag of the Federal Republic of Southern Cameroons.svg|22px|border]] [[w:en:Limbum language|Лимбум]]: '''meh kong weh''' («мэ кон вэ»). # [[Файл:Flag of Limburg (Netherlands).svg|22px|border]] [[w:Лимбургский язык|Лимбургский]]: '''ik hald van dich''' («ик халд фан дихь»).<p>[[w:Лимбургский язык|Лимбуржский]]: см. Лимбургский # [[Файл:Flag of Lingala Language.png|22px|border]] [[w:Лингала|Лингала]]: '''nalingí yɔ̌''' («налинги йё»).<p>[[w:Тупи (язык)|Лингва бразилика]]: см. Тупи # [[Файл:Lidepla.jpg|22px|border]] [[w:Лингва де планета|Лингва де планета]]: '''me lubi yu''' («ме луби ю»).<p>[[w:Тупи (язык)|Лингва жерал]]: см. Тупи # [[Файл:Flag of Lingua Franca Nova.svg|22px|border]] [[w:Лингва франка нова|Лингва франка нова]]: '''me ama tu''' («мэ ама ту»). # [[Файл:Flag of Lisbon.svg|22px|border]] [[w:Португальский язык|Лиссабонский португальский]]: '''gramo-te''' («грамотэ»).<p>[[w:Арабский литературный язык|Литературный арабский]]: см. Арабский литературный # [[Файл:Flag of Lithuania.svg|22px|border]] [[w:Литовский язык|Литовский]]: '''aš tave myliu''' («аш тавя милю»). # [[Файл:Flag of Liechtenstein.svg|22px|border]] [[w:Лихтенштейнский диалект|Лихтенштейнский немецкий]]: '''i mag di''' («и маг ди»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Логлан|Логлан]]: '''mi cluva tu''' («ми шлува ту»). # [[Файл:Flag of the Province of Oristano.svg|22px|border]] [[w:Логудорский диалект|Логудорский сардинский]]: '''deo t’amo''' («дэо тьямо»). # [[Файл:Lojban logo.svg|22px|border]] [[w:Ложбан|Ложбан]]: '''mi do prami''' («ми до прами»). # [[Файл:Flag of Barotseland.svg|22px|border]] [[w:Лози (язык)|Лози]]: '''na ku lata''' («на ку лата»). # [[Файл:Flag of Lombardy.svg|22px|border]] [[w:Ломбардский язык|Ломбардский]]: '''te vòj ben''' («те вож бэн»), '''te veuli ben''' («тэ вэули бэн»). # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:en:Lotha language|Лотха]]: '''ana ni nzana la''' («ана ни нзана ла»). # [[Файл:Flag of South Kasai.svg|22px|border]] [[w:Луба (язык)|Луба]]: '''ndi musua wewe''' («нди мусуа вэвэ»).<p>[[w:Луба (язык)|Луба-касаи]]: см. Луба # [[Файл:Flag of Katanga.svg|22px|border]] [[w:Луба-катанга|Луба-катанга]]: '''ami nkuswele''' («ами нкусвеле»).<p>[[w:Луба (язык)|Луба-лулуа]]: см. Луба<p>[[w:Луба-катанга|Луба-шаба]]: см. Луба-катанга # [[Файл:Flag of Buganda.svg|22px|border]] [[w:Луганда|Луганда]]: '''nkwagala''' («нкуагала»).<p>[[w:Луговомарийский язык|Лугововосточный марийский]]: см. Луговомарийский # [[Файл:Mari Ushem flag.svg|22px|border]] [[w:Луговомарийский язык|Луговомарийский]]: '''мый тыйым йӧратем''' («мый тыйим ёратэм»).<p>[[w:Лужицкие языки|Лужицкий]]: см. Верхнелужицкий, нижнелужицкий # [[Файл:Louisiana Creole Flag.svg|22px|border]] [[w:Луизианский креольский язык|Луизианский креольский]]: '''mo laime toi''' («мо лэм туа»).<p>[[w:Каджунский диалект французского языка|Луизианский французский]]: см. Каджунский французский<p>[[w:Языки лухья|Луйя]]: см. Лухья # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Луле-саамский язык|Луле-саамский]]: '''mån æhtsáv duv''' («мон эхтсав дув»).<p>[[w:Долуо|Луо]]: см. Долуо<p>[[w:Чукотский язык|Луораветланский]]: см. Чукотский<p>[[w:Кламат-модокский язык|Лутуамийский]]: см. Кламат-модокский<p>[[w:Языки лухья|Лухиа]]: см. Лухья # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Языки лухья|Лухья]]: '''ndakhuyanza''' («ндакхуянза»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Языки лухья|Лухья (ванга)]]: '''ndakhuchama''' («ндахучама»), '''ndakhuyanza''' («ндахуянза»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Языки лухья|Лухья (мараголи)]]: '''nakuyanza''' («накуянза»). # [[Файл:Flag of Kenya.svg|22px|border]] [[w:Языки лухья|Лухья (марачи)]]: '''ndakhujama''' («ндахуджяма»), '''ndakhukhera''' («ндахухера»). # [[Файл:Flag of the Stillaguamish Tribe.png|22px|border]] [[w:Лушуцид|Лушуцид]]: '''ʔəsx̌aƛ̕tubicid čəd''' («эсшалтубицид чэд») - неромантически, '''cay čəxʷ dsx̌aƛ’''' («кай чэхв дсхау») - романтически.<p>[[w:Лингва франка нова|ЛФН]]: см. Лингва франка нова<p>[[w:Янито|Льянито]]: см. Янито # [[Файл:Flag of Luxembourg.svg|22px|border]] [[w:Люксембургский язык|Люксембургский]]: '''ech hunn dech gär''' («эш ун дэш геар»). # [[Файл:Flag of Canton of Lucerne.svg|22px|border]] [[w:Люцернский диалект|Люцернский немецкий]]: '''ech liebe dech''' («эх либэ дэх»). # [[Файл:Flag of Mauritius.svg|22px|border]] [[w:Маврикийский креольский язык|Маврикийский креольский]]: '''mo kontan twa''' («мо контан туа»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:Магахи|Магахи]]: '''हम तोरा से प्यार करऽऽ हियो।''' («хэм тоораа сээ пьяар кэрэ хийоо»). # [[Файл:Flag of Maguindanao.svg|22px|border]] [[w:Магинданао (язык)|Магинданао]]: '''kalinian ko seka''' («калиниан ко сэка»).<p>[[w:Магинданао (язык)|Магинданаон]]: см. Магинданао # [[Файл:Flag of Maghreb.svg|22px|border]] [[w:Магрибский арабский язык|Магрибский арабский]]: '''تنبغيك''' («танбгхик»). # [[Файл:Bandera de la ciudad de Madrid.svg|22px|border]] [[w:Мадридский диалект|Мадридский испанский]]: '''me molas''' («мэ молас»). # [[Файл:Flag of Various Autonomous Indonesian States.svg|22px|border]] [[w:Мадурский язык|Мадурский]]: '''kula tresna panjengan''' («кула трэсна пандженган»).<p>[[w:Венгерский язык|Мадьярский]]: см. Венгерский # [[Файл:Flag of Tapuria Mazandaran.jpg|22px|border]] [[w:Мазандеранский язык|Мазандеранский]]: '''tere del devesteme''' («тэрэ дэл дэвэстэмэ»). # [[Файл:Flag of Illinois.svg|22px|border]] [[w:Майами-иллинойс|Майами-иллинойс]]: '''teepaalilaani''' («тап а ли ланг»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:Майтхили|Майтхили]]: '''हम अहां सँ प्रेम करैत छी''' («хаум ахаам сэ прэм карэчи»).<p>[[w:Юкатекский язык|Майя]]: см. Юкатекский # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Makaa language|Макаа]]: '''me tchiel wo''' («мэ тчиэл уо»). # [[Файл:Flag of the Sultanate of Gowa.svg|22px|border]] [[w:Макасарский язык|Макасарский]]: '''ᨀᨘᨂᨁᨕᨗᨀᨚ''' («кунгаико»). # [[Файл:Flag of Macedonia (1992–1995).svg|22px|border]] [[w:Македонский язык|Македонский]]: '''те сакам''' («тэ сакам»).<p>[[w:Арумынский язык|Македо-румынский]]: см. Арумынский # [[Файл:Flag of Mozambique.svg|22px|border]] [[w:Макуа (язык)|Макуа]]: '''mim kinophenta''' («мим кинофента»), '''kinotunani''' («кинотунани»).<p>[[w:Макуа (язык)|Макхува]]: см. Макуа # [[Файл:Flag of Cagayan.svg|22px|border]] [[w:en:Malaweg language|Малавег]]: '''ayatan taka''' («аятан така»). # [[Файл:Flag of Madagascar.svg|22px|border]] [[w:Малагасийский язык|Малагасийский]]: '''tiako ianao''' («тьяко йанао»).<p>[[w:Малайский язык|Малайзийский]]: см. Малайский # [[Файл:Flag of Malaysia.svg|22px|border]] [[w:Малайский язык|Малайский]]: '''saya sayang awak''' («сайя сайянг авак»). # [[Файл:Flag of Malacca.svg|22px|border]] [[w:Малайско-португальский креольский язык|Малайско-португальский креольский]]: '''em t' amo’b''' («эм тьямуб»). # [[Файл:Malayali flag.svg|22px|border]] [[w:Малаялам|Малаялам]]: '''ഞാന്‍ നിന്നെ പ്രേമിക്കുന്നു''' («ньяан ниннэ премиккунну»).<p>[[w:Малаялам|Малаяльский]]: см. Малаялам # [[Файл:Wabanaki Emblem.svg|22px|border]] [[w:Малесит-пассамакводди|Малесит-пассамакводди]]: '''koselomol''' («кэсэлэмэл»).<p>[[w:Малесит-пассамакводди|Малисит-пассамакводди]]: см. Малесит-пассамакводди<p>[[w:Антильский франко-креольский язык|Малоантильский креольский]]: см. Антильский франко-креольский # [[Файл:POL województwo małopolskie flag.svg|22px|border]] [[w:Малопольский диалект|Малопольский польский]]: '''kochám cié''' («кохам че»).<p>[[w:Малагасийский язык|Мальгашский]]: см. Малагасийский # [[Файл:Flag of Maldives.svg|22px|border]] [[w:Мальдивский язык|Мальдивский]]: '''އަހަރެން ތިބާ ދެކެ ލޯބިވަން''' («ахарэн тхибаа дхэкэ лоабиван»). # [[Файл:Flag of Mallorca.svg|22px|border]] [[w:Балеарский диалект каталанского языка|Мальоркин]]: '''t`estim''' («тэстим»). # [[Файл:Flag of Malta.svg|22px|border]] [[w:Мальтийский язык|Мальтийский]]: '''inħobbok''' («инхоббок»). # [[Файл:Bandeira de Mato Grosso.svg|22px|border]] [[w:Мамаинде|Мамаинде]]: '''a-nu-dexexn''' («а ну дэшэшн»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Мамский язык|Мамский]]: '''at nk’ujleb’il''' («ат нкухлеб иль»). # [[Файл:Flag of North Sulawesi.svg|22px|border]] [[w:en:Manado Malay|Манадо-малайский]]: '''kita suka pa ngana''' («кита сука па нгана»). # [[Файл:Flag of North Sumatra.svg|22px|border]] [[w:en:Mandailing language|Мандаилинг]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»).<p>[[w:Севернокитайский язык|Мандарин]]: см. Севернокитайский<p>[[w:Севернокитайский язык|Мандаринский]]: см. Севернокитайский<p>[[w:Севернокитайский язык|Мандаринский китайский]]: см. Севернокитайский # [[Файл:Flag of Guinea-Bissau.svg|22px|border]] [[w:en:Manjak language|Манджак]]: '''ma ngal o''' («ма нгал о»).<p>[[w:Маньчжурский язык|Манджурский]]: см. Маньчжурский<p>[[w:Мандинка (язык)|Мандинго]]: см. Мандинка # [[Файл:Possible Flag of the Wassoulou Empire.svg|22px|border]] [[w:Мандинка (язык)|Мандинка]]: '''nye kanu laye''' («нье кану лайе»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:Манинка|Манинка]]: '''ni bi fe''' («ни би фэ»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:Манинка|Манинка (коньянка)]]: '''i diany gnè''' («и дьяни не»). # [[Файл:Flag of Manipur (stripes variant).svg|22px|border]] [[w:Манипури (язык)|Манипури]]: '''ꯑꯩꯅ ꯅꯪꯕꯨ ꯅꯨꯡꯁꯤ''' («эи нанг-бу нунгши»). # [[Файл:Flag of Yugra.svg|22px|border]] [[w:Мансийский язык|Мансийский]]: '''ам эруптэгум наӈын''' («ам эруптэгум нанын»). # [[Файл:Flag of Manchukuo.svg|22px|border]] [[w:Маньчжурский язык|Маньчжурский]]: '''bi shimbe hairambi''' («би шимбе хайрамби»). # [[Файл:Flag of Mayotte (local).svg|22px|border]] [[w:en:Maore dialect|Маоре]]: '''n'game handzo''' («н'гамэ хандзо»). # [[Файл:Tino Rangatiratanga Maori sovereignty movement flag.svg|22px|border]] [[w:Маори (язык)|Маори]]: '''kei te aroha au ki a koe''' («кей тэ ароха ау ки а коэ»).<p>[[w:Маори (язык)|Маорийский]]: см. Маори<p>[[w:Кукский язык|Маори островов Кука]]: см. Кукский<p>[[w:Мапуче (язык)|Мапудунгун]]: см. Мапуче # [[Файл:Flag of the Mapuches (1992).svg|22px|border]] [[w:Мапуче (язык)|Мапуче]]: '''inche poyekeyu''' («инче пойекейю»). # [[Файл:Flag of Bangsamoro.svg|22px|border]] [[w:Маранао (язык)|Маранао]]: '''pekababaya-an ko seka''' («пекабабайя ан ко сека»). # [[Файл:Marathi Flag.svg|22px|border]] [[w:Маратхи (язык)|Маратхи]]: '''माझ तुइयावर प्रेम आहे''' («мааджха туийяавар прем аахе»).<p>[[w:Марвари|Марвади]]: см. Марвари # [[Файл:Flag of Jodhpur.svg|22px|border]] [[w:Марвари|Марвари]]: '''main tanne pyaar karoon''' («маин танне пьяар кароон»). # [[Файл:Flag of Marquesas Islands.svg|22px|border]] [[w:Маркизский язык|Маркизский]]: '''ua hinenao au ia oe''' («уа хинэнао ау иа оэ»). # [[Файл:Flag of Morocco.svg|22px|border]] [[w:Марокканский диалект арабского языка|Марокканский арабский]]: '''كنبغيك''' («канэбгик») - женщине, '''كنموتعليك''' («канмутлик») - мужчине. # [[Файл:Flag Ceuta.svg|22px|border]] [[w:Марокканский диалект арабского языка|Марокканский арабский Сеуты]]: '''تنبغيك''' («танбгик»).<p>[[w:Кипрско-арабский язык|Маронитский кипрско-арабский]]: см. Кипрско-арабский # [[Файл:Flag-of-Martinique.svg|22px|border]] [[w:Антильский франко-креольский язык|Мартиникский франко-креольский]]: '''mwen enmen'w''' («муэн эмэнв»). # [[Файл:Flag of the Marshall Islands.svg|22px|border]] [[w:Маршалльский язык|Маршалльский]]: '''ij io̧kwe eok''' («ий иаквэ эок»).<p>[[w:Языки лухья|Масаба-луйя]]: см. Лухья # [[Файл:Flag of the Maasai National Movement (Nations Without States, 1996).svg|22px|border]] [[w:Масайский язык|Масайский]]: '''kanyor nanu''' («каньор нану»). # [[Файл:PH-MAS Flag.png|22px|border]] [[w:Масбатеньо|Масбатеньо]]: '''naila ako sa imo''' («наила ако са имо»).<p>[[w:Крикский язык|Маскоги]]: см. Крикский<p>[[w:Египетский диалект арабского языка|Масри]]: см. Египетский арабский<p>[[w:Массачусетский язык|Массачусет]]: см. Массачусетский<p>[[w:Массачусетский язык|Массачусетт]]: см. Массачусетский # [[Файл:Flag of Massachusetts.svg|22px|border]] [[w:Массачусетский язык|Массачусетский]]: '''kuwômônush''' («кэуаамаанэш»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Mafa language|Мафа]]: '''i way ka''' («и вай ка»). # [[Файл:Flag of Vermont.svg|22px|border]] [[w:Махикан|Махикан]]: '''ktaʔwãanin''' («кта ваанин»).<p>[[w:Итонама (язык)|Мачото]]: см. Итонама # [[Файл:Bandeira de Minas Gerais.svg|22px|border]] [[w:Машакали|Машакали]]: '''xate' ug-putuppax''' («шатэ уг путуппаш»). # [[Файл:Flag of the Cooperation Council for the Arab States of the Gulf.svg|22px|border]] [[w:en:Mashriqi Arabic|Машрикский арабский]]: '''bahebbik''' («бахеббик») - женщине,'''bahebbak''' («бахеббак») - мужчине. # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Mbama language|Мбама]]: '''bènan ndjala wè''' («бэнан нджала уэ»). # [[Файл:Flag of the Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Mbere language|Мбере]]: '''me na dialayè''' («мэ на диалайе»), '''me ngoua dialayè''' («мэ нгуа диалайе»). # [[Файл:Flag of the Federal Republic of Southern Cameroons.svg|22px|border]] [[w:fr:Mbo (langue du Cameroun)|Мбо]]: '''mi ding wo''' («ми динг уо»).<p>[[w:Мегленорумынский язык|Мегленитский]]: см. Мегленорумынский<p>[[w:Мегленорумынский язык|Мегленовлашский]]: см. Мегленорумынский<p>[[w:Мегленорумынский язык|Меглено-романский]]: см. Мегленорумынский # [[Файл:Megleno-Romanian flag.png|22px|border]] [[w:Мегленорумынский язык|Мегленорумынский]]: '''ti vói''' («ти вой»).<p>[[w:Мегленорумынский язык|Мегленский]]: см. Мегленорумынский # [[Файл:Flag of The Principality of Mingrelia (Portolan 1560).svg|22px|border]] [[w:Мегрельский язык|Мегрельский]]: '''მა სი მიორქ''' («ма си миорк»). # [[Файл:Flag of Bamileke National Movement.svg|22px|border]] [[w:en:Medumba language|Медумба]]: '''me ko ou''' («мэ ко у»).<p>[[w:Манипури (язык)|Мейтейлион]]: см. Манипури<p>[[w:Манипури (язык)|Мейтхей]]: см. Манипури<p>[[w:Межславянский язык|Междуславянский]]: см. Межславянский # [[Файл:Flag of Interslavic.svg|22px|border]] [[w:Межславянский язык|Межславянский]]: '''ја љубју тебе/ja ljubju tebe''' («я любю тэбэ»), '''ја те љубју/ja tę ljubjų''' («я тэ любю»). # [[Файл:Flag of Mexico.svg|22px|border]] [[w:Испанский язык в Мексике|Мексиканский испанский]]: '''te amo''' («тэ амо»). # [[Файл:Flag of Sarawak.svg|22px|border]] [[w:Меланау (язык)|Меланау (даладский)]]: '''sayang kou gak kaau''' («саян ко гак кау»). # [[Файл:Flag of Sarawak.svg|22px|border]] [[w:Меланау (язык)|Меланау (мату-даро)]]: '''sayang kou tang mo''' («саян ко танг му»). # [[Файл:Flag of Sarawak.svg|22px|border]] [[w:Меланау (язык)|Меланау (сегалангский)]]: '''sayang kou bak kaan''' («саян ко бак кан»). # [[Файл:Flag of Sierra Leone.svg|22px|border]] [[w:Менде (язык)|Менде]]: '''cale sa duie ca upeif''' («кале са дуйе ка упеиф»). # [[Файл:Flag of Wisconsin.svg|22px|border]] [[w:Меномини (язык)|Меномини]]: '''ketapanen''' («кетапанен»). # [[Файл:Flag of Meru County.png|22px|border]] [[w:Меру (язык)|Меру]]: '''ikwendete''' («иквэндэтэ»).<p>[[w:Иракский диалект арабского языка|Месопотамский арабский]]: см. Иракский арабский # [[Файл:Bandera de Mizoram.svg|22px|border]] [[w:Мизо (язык)|Мизо]]: '''ka hmangaih che''' («ка нмангаих че»). # [[Файл:Flag of the Miccosukee Tribe of Indians of Florida.svg|22px|border]] [[w:Микасуки (язык)|Микасуки]]: '''cheh moka is cheh''' («чех мока ис чех»). # [[Файл:Mikmaq State Flag.svg|22px|border]] [[w:Микмак (язык)|Микмак]]: '''kesalul''' («кэсалул»).<p>[[w:Михе (язык)|Миксе]]: см. Михе # [[Файл:Flag of the Province of Milan.svg|22px|border]] [[w:Миланский диалект западноломбардского языка|Миланский ломбардский]]: '''te vöeri ben''' («тэ вээри бэн»).<p>[[w:Ген (язык)|Мина]]: см. Ген # [[Файл:Flag of Minang.svg|22px|border]] [[w:Минангкабау (язык)|Минангкабау]]: '''ambo cinto ka awak''' («амбо синто ка авак»). # [[Файл:Flag of the Iroquois Confederacy.svg|22px|border]] [[w:Минго (язык)|Минго]]: '''könuöhkwa''' («гоннуохгуа»).<p>[[w:Мегрельский язык|Мингрельский]]: см. Мегрельский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Мини: '''mi i amo a tu''' («ми и амо а ту»).<p>[[w:Мирандский язык|Мирандес]]: см. Мирандский # [[Файл:Mirandese flag.svg|22px|border]] [[w:Мирандский язык|Мирандский]]: '''amo-te''' («амотэ»). # [[Файл:Flag of Oaxaca.svg|22px|border]] [[w:Михе (язык)|Михе]]: '''ntsëj kypts mejts''' («нцэх кипц мэхц»). # [[Файл:Metis Blue.svg|22px|border]] [[w:Мичиф|Мичиф]]: '''keesha kee taen''' («киша ки тэн»).<p>[[w:Михе (язык)|Мише]]: см. Михе # [[Файл:Flag of the Mexica Movement.svg|22px|border]] [[w:Миштекские языки|Миштекский]]: '''ku toulló ñeloosí''' («ку тоулло ньелооси»).<p>[[w:Могаукский язык|Могаук]]: см. Могаукский # [[Файл:Flag of Mohawk Warrior Society.svg|22px|border]] [[w:Могаукский язык|Могаукский]]: '''konnorónhkhwa''' («конноронкуа»).<p>[[w:Махикан|Могиканский]]: см. Махикан # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:fr:Moye (langue)|Мои]]: '''gakakayo''' («гакакайо»). # [[Файл:Flag of Mwoakilloa.svg|22px|border]] [[w:Мокильский язык|Мокильский]]: '''ngoah mweoku kaua''' («нгоа муэоку кауа»).<p>[[w:Мокшанский язык|Мокша-мордовский]]: см. Мокшанский # [[Файл:Flag of the Moksha people.svg|22px|border]] [[w:Мокшанский язык|Мокшанский]]: '''мон кельктядязь тинь''' («мон кельктядязь тинь»). # [[Файл:Flag of Moldova.svg|22px|border]] [[w:Молдавский язык|Молдавский]]: '''te iubesc''' («тэ юбеск»). # [[Файл:Flag of Mongolia.svg|22px|border]] [[w:Монгольский язык|Монгольский]]: '''би чамд хайртай''' («би чамд хайртай»). # [[Файл:Flag of Monaco.svg|22px|border]] [[w:Монегаскский диалект|Монегаскский]]: '''te véuggio bén''' («тэ вэуджо бэн»).<p>[[w:Монегаскский диалект|Монегасский]]: см. Монегаскский<p>[[w:Ангами (язык)|Монр]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Labrador.svg|22px|border]] [[w:Монтанье-наскапи (язык)|Монтанье-наскапи]]: '''tshemenuadeden''' («тшэменуадэдэн»). # [[Файл:Flag of Burkina Faso.svg|22px|border]] [[w:Мооре|Мооре]]: '''mam nonga foo''' («мам нонга фоо»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Мопан (язык)|Мопан]]: '''ink’ateech''' («инкатэч»).<p>[[w:Мооре|Море]]: см. Мооре<p>[[w:Мооре|Мосси]]: см. Мооре<p>[[w:Могаукский язык|Мохавк]]: см. Могаукский<p>[[w:Могаукский язык|Мохаук]]: см. Могаукский # [[Файл:Montaukett Flag.png|22px|border]] [[w:Мохеган-пекот|Мохеган-пекот]]: '''kuwômôyush''' («кэуаамаайэш»).<p>[[w:Могаукский язык|Мохок]]: см. Могаукский<p>[[w:Мооре|Моши]]: см. Мооре # [[Файл:Bandera Región Loreto.svg|22px|border]] [[w:Муниче|Муниче]]: '''pjeñcamʷpʷ''' («пьенькамвпв»).<p>[[w:Северокорейский литературный язык|Мунхвао]]: см. Северокорейский # [[Файл:Flag of Gabon.svg|22px|border]] [[w:en:Myene language|Мьене]]: '''mi tonda wè''' («ми тонда ве»).<p>[[w:Бирманский язык|Мьянма]]: см. Бирманский<p>[[w:Бирманский язык|Мьянманский]]: см. Бирманский # [[Файл:Flag of the Isle of Man.svg|22px|border]] [[w:Мэнский язык|Мэнский]]: '''ta graih aym ort''' («та гра эморт»).<p>[[w:Мэнский|Мэнский гэльский]]: см. Мэнский<p>[[w:Хмонг (язык)|Мяо]]: см. Хмонг<p>[[w:Арагонский язык|Наваррско-арагонский]]: см. Арагонский # [[Файл:Navajo flag.svg|22px|border]] [[w:Навахо (язык)|Навахо]]: '''ayóóʼánííníshní''' («айёо аниинишни»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:На'ви (язык)|На'ви]]: '''ngari ’efu oe tunu''' («нгари эфу оэ туну») - романтически, '''nga yawne lu oer''' («нга ёнэ лу оэр»), '''nga yawne leiu oer''' («нга ёнэ лэю оэр») - неромантически. # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:en:Nagamese creole|Нагамский креольский]]: '''môi tôi ke môrôm kôre''' («мои тои ке мором корэ»). # [[Файл:Flag of the Princely State of Nagpur.svg|22px|border]] [[w:en:Nagpuri language|Нагпури]]: '''moe toke cāhonā''' («моэ токе кахона»).<p>[[w:Нигерийский креольский язык|Найджа]]: см. Нигерийский креольский # [[Файл:Flag of the Damara Confederation (1864).svg|22px|border]] [[w:Нама|Нама]]: '''INam si ta ge a''' («нам си та ге а») — женщине; '''INam tsi ta ge a''' («нам тси та ге а») — мужчине. # [[Файл:Flag of Nanaysky rayon (Khabarovsk kray).png|22px|border]] [[w:Нанайский язык|Нанайский]]: '''ми симбивэ улэсимби''' («ми симбивэ улэсимби»).<p>[[w:Астекские языки|Науа]]: см. Науатль<p>[[w:Пипиль (язык)|Науат]]: см. Пипиль # [[Файл:Flag of Nahuas.svg|22px|border]] [[w:Астекские языки|Науатль]]: '''ni mits neki''' («ни митс неки»).<p>[[w:Астекские языки|Науаский]]: см. Науатль # [[Файл:Flag of Nauru.svg|22px|border]] [[w:Науруанский язык|Науруанский]]: '''nga ebonu''' («нга эбону»).<p>[[w:Гунзибский язык|Нахадинский]]: см. Гунзибский<p>[[w:Лингала|Нгала]]: см. Лингала<p>[[w:Ангами (язык)|Нгами]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Taymyr Autonomous Okrug.svg|22px|border]] [[w:Нганасанский язык|Нганасанский]]: '''мәнә тәнә мәнюнтүм''' («мэнэ тэнэ мэнюнтум»). # [[Файл:Flag of Laos.svg|22px|border]] [[w:en:Ta'Oi language|Нгек]]: '''kaw ʔɛɛʔ maj''' («ко ээ май»). # [[Файл:Flag of Rhodesia (1968-1979).svg|22px|border]] [[w:en:Ndau language|Ндау]]: '''ndinokudisisa''' («ндинокудисиса»).<p>[[w:Ндебеле|Ндебеле]]: см. Северный ндебеле, южный ндебеле<p>[[w:Ндюка|Нджука]]: см. Ндюка # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:en:Ndombe language|Ндомбе]]: '''ndilakuyanda''' («ндилакуянда»). # [[Файл:Flag of Ovamboland.svg|22px|border]] [[w:Ндонга (язык)|Ндонга]]: '''ondi ku hole''' («онди ку холе»).<p>[[w:Ндонга (язык)|Ндунга]]: см. Ндонга<p>[[w:Ндюка|Ндьюка]]: см. Ндюка # [[Файл:Flag of Suriname.svg|22px|border]] [[w:Ндюка|Ндюка]]: '''mi lobi yu''' («ми лоби ю»). # [[Файл:Flag of Naples.svg|22px|border]] [[w:Неаполитанский язык|Неаполитанский]]: '''ti amo''' («ти амо»).<p>[[w:Неварский язык|Невари]]: см. Неварский # [[Файл:Newarashtriyamuktimorchayabanner.JPG|22px|border]] [[w:Неварский язык|Неварский]]: '''जितः छ नापं मतिना दु।''' («джит ча панам матина ду»).<p>[[w:Не-персе (язык)|Нез персэ]]: см. Не-персе # [[Файл:Flag of Germany.svg|22px|border]] [[w:Немецкий язык|Немецкий]]: '''ich liebe dich''' («ихь либэ дихь»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Nen language (Cameroon)|Нен]]: '''mi nou ong'o hiki''' («ми ноу онго хики»). # [[Файл:Proposed Flag of Unified Nenetsia.svg|22px|border]] [[w:Ненецкий язык|Ненецкий]]: '''мань хамзангав сит''' («мань хамзангав сит»). # [[Файл:Flag of Yamal-Nenets Autonomous District.svg|22px|border]] [[w:Ненецкий лесной язык|Ненецкий лесной]]: '''мань катаптангав пыт''' («мань катаптангав пыт»).<p>[[w:Пиджин Соломоновых Островов|Нео-соломоник]]: см. Пиджин Соломоновых Островов<p>[[w:Неварский язык|Непал-бхаса]]: см. Неварский<p>[[w:Непальский язык|Непали]]: см. Непальский # [[Файл:Flag of Nepal (white background, aspect ratio 3-2).svg|22px|border]] [[w:Непальский язык|Непальский]]: '''म तपाइलाइ माया गर्छु।''' («ма тапайнлай майя гарчу»). # [[Файл:Flag of Idaho.svg|22px|border]] [[w:Не-персе (язык)|Не-персе]]: '''in ‘ee hetewise''' («ин ээ хэтэвизэ»).<p>[[w:Ненецкий лесной язык|Нешанский]]: см. Ненецкий лесной<p>[[w:Ниасский язык|Ниас]]: см. Ниасский # [[Файл:Flag of North Sumatra.svg|22px|border]] [[w:Ниасский язык|Ниасский]]: '''omasido khömö''' («омасидо хомо») - романтически, '''u'omasi'ö ndra'ugö''' («у омаси ондра уго») - неромантически, '''u'omasi'ögö''' («у омаси ого») - неромантически. # [[Файл:Flag of Nivkh people.svg|22px|border]] [[w:Нивхский язык|Нивхский]]: '''ни чи эзмудь''' («ни чи эзмудь»). # [[Файл:Flag of Nigeria.svg|22px|border]] [[w:Нигерийский креольский язык|Нигерийский креольский]]: '''i love you''' («ай лав ю»).<p>[[w:Нигерийский креольский язык|Нигерийский пиджин]]: см. Нигерийский креольский # [[Файл:Flag of Nigeria.svg|22px|border]] [[w:en:Nigerian Fulfulde|Нигерийский фульфульде]]: '''mi yidima''' («ми йидима»). # [[Файл:Flag of the Netherlands.svg|22px|border]] [[w:Нидерландский язык|Нидерландский]]: '''ik houd van je''' («ик хау фан е»). # [[Файл:Vöärstelvlagge neadersassisk.svg|22px|border]] [[w:Нижнесаксонские диалекты Нидерландов|Нидерландский нижнесаксонский]]: '''ik hol van die''' («ик хол фан ди»). # [[Файл:Lower Sorbian Flag.gif|22px|border]] [[w:Нижнелужицкий язык|Нижнелужицкий]]: '''ja śi lubujom''' («я ши лубуйом»). # [[Файл:Flag igora.svg|22px|border]] [[w:Ижорский язык|Нижнелужский ижорский]]: '''miä suvvan sinno''' («мия сувван синно»). # [[Файл:Noordlandflagg.svg|22px|border]] [[w:Нижненемецкий язык|Нижненемецкий]]: '''ik hou van di''' («ик хау фан ди»), '''ik heff di leev''' («ик хэфф ди леев»). # [[Файл:Flag of Lower Saxony.svg|22px|border]] [[w:Нижнесаксонские диалекты|Нижнесаксонский]]: '''ik hou van ju''' («ик хау фан ю»).<p>[[w:Адыгейский язык|Нижнечеркесский]]: см. Адыгейский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Нижний танана|Нижний танана]]: '''neghw estsen'''' («нёху эстсен»). # [[Файл:Flag of Nicaragua.svg|22px|border]] [[w:Никарагуанский испанский|Никарагуанский испанский]]: ''' te amo''' («тэ амо»). # [[Файл:Flag of Massachusetts.svg|22px|border]] [[w:en:Loup language|Нипмук]]: '''keȣamanlis''' («кэуамалэс»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Нисгаа|Нисгаа]]: '''siip'iniy' n'iin''' («сиип иний ниин»). # [[Файл:Flag of Niue.svg|22px|border]] [[w:Ниуэ (язык)|Ниуэ]]: '''ke tohi nei au ki a koe''' («кэ тохи нэи ау ки а коэ»). # [[Файл:Flag of the County of Nice.svg|22px|border]] [[w:en:Niçard dialect|Ниццкий]]: '''ti vouòli ben''' («ти вуоли бэн»). # [[Файл:NKo-script.svg|22px|border]] [[w:en:N'Ko language|Нко]]: '''ߌ ߞߏ߫ ߞߊߘߌ߫ ߒ ߦߋ߫''' («и ко кади нг е»).<p>[[w:Ньянколе|Нколе]]: см. Ньянколе # [[Файл:Flag of the Chittagong Hill Tracts Shanti Bahini.svg|22px|border]] [[w:en:Noakhali language|Ноакхали]]: '''আই তরে ভালাবাষি''' («аай торе балабаши»).<p>[[w:Новиаль|Новиал]]: см. Новиаль # [[Файл:Flag of Novial.svg|22px|border]] [[w:Новиаль|Новиаль]]: '''me ama vu''' («ме ама ву»).<p>[[w:Новонорвежский язык|Новонорвежский]]: см. Норвежский (нюнорск)<p>[[w:Персидский язык|Новоперсидский]]: см. Персидский<p>[[w:Новояз|Новоречь]]: см. Новояз<p>[[w:Ягнобский язык|Новосогдийский]]: см. Ягнобский<p>[[w:Новояз|Новослов]]: см. Новояз # [[Файл:Ingsoc Oceania flag 1984.svg|22px|border]] [[w:Новояз|Новояз]]: '''pluslike you''' («плюслайк ю»). # [[Файл:Nogai Flag.jpg|22px|border]] [[w:Ногайский язык|Ногайский]]: '''мен сени суьемен''' («мэн сэни сюемэн»). # [[Файл:Flag of Junin.svg|22px|border]] [[w:Номацигенга|Номацигенга]]: '''ninintimíni''' («нининтимини»). # [[Файл:Flag of Norway.svg|22px|border]] [[w:Букмол|Норвежский (букмол)]]: '''jeg elsker deg''' («йя эльске дай»). # [[Файл:Flag of Norway.svg|22px|border]] [[w:Новонорвежский язык|Норвежский (нюнорск)]]: '''eg elskar deg''' («э эльске дай»). # [[Файл:Flag of Normandie.svg|22px|border]] [[w:Нормандский язык|Нормандский]]: '''jè t'anor''' («же танор»), '''j'syis anorta dè tei''' («жьсюи анорта дэ тэй»).<p>[[w:Нормандский язык|Нормандско-французский]]: см. Нормандский # [[Файл:Flag of the Norn language.svg|22px|border]] [[w:Норн|Норн]]: '''eg elske dig''' («эг эльшке диг»).<p>[[w:Северный стрейтс|Нортерн-стрейтс]]: см. Северный стрейтс # [[Файл:Flag of Northumbria.svg|22px|border]] [[w:en:Northumbrian Old English|Нортумбрийский древнеанглийский]]: '''ic lufie þec''' («ик луфиэ сэк»). # [[Файл:Flag of Norfolk Island.svg|22px|border]] [[w:Норфолкский язык|Норфолкский]]: '''i love yew''' («ай лав еу»). # [[Файл:Proposed Yi flag.svg|22px|border]] [[w:Носу|Носу]]: '''ꉢꆎꉂ''' («на нин му»). # [[Файл:Flag of the Federal Republic of Southern Cameroons.svg|22px|border]] [[w:en:Nso language|Нсо]]: '''m kong wo''' («мконгуо»). # [[Файл:Flag of Nupe.svg|22px|border]] [[w:en:Nupe language|Нупе]]: '''miye wawe''' («мийе уауэ»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Нутка (язык)|Нутка]]: '''yaʔakukʷah suw̕a''' («йяхакукуах суа»).<p>[[w:Нутка (язык)|Нуу-ча-нульт]]: см. Нутка # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Нухалк|Нухалк]]: '''lhkw'm ts i nu''' («искуимчину»). # [[Файл:Nuer White Army Flag.svg|22px|border]] [[w:Нуэр (язык)|Нуэр]]: '''nhɔa̱kä ji''' («ноако йи»). # [[Файл:Bandeira de São Gabriel da Cachoeira (AM).png|22px|border]] [[w:Ньенгату|Ньенгату]]: '''ihé uru-aîhu''' («ихе уру аиху»). # [[Файл:Flag of Tanzania.svg|22px|border]] [[w:en:Nyamwezi language|Ньямвези]]: '''itogwa benekele ne benekele''' («итогва бенекеле не бенекеле»). # [[Файл:Flag of Malawi.svg|22px|border]] [[w:Ньянджа|Ньянджа]]: '''ndimakukonda''' («ндимакуконда»). # [[Файл:Flag of Ankole.svg|22px|border]] [[w:Ньянколе|Ньянколе]]: '''ninkukunda''' («нинкукунда»).<p>[[w:Ньянколе|Ньянкоре]]: см. Ньянколе<p>[[w:Новонорвежский язык|Нюнорск]]: см. Норвежский (нюнорск)<p>[[w:Новонорвежский язык|Нюношк]]: см. Норвежский (нюнорск)<p>[[w:Древнерусский язык|Общевосточнославянский]]: см. Древнерусский<p>[[w:Праславянский язык|Общеславянский]]: см. Праславянский<p>[[w:Ошивамбо|Овамбо]]: см. Ошивамбо # [[Файл:Flag of the Peguis First Nation.svg|22px|border]] [[w:Оджибве (язык)|Оджибве]]: '''gizaagi’in''' («гизаги ин»).<p>[[w:Ория (язык)|Одия]]: см. Ория<p>[[w:Южноюкагирский язык|Одульский]]: см. Южноюкагирский<p>[[w:Алтайский язык|Ойротский]]: см. Алтайский # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Оканаган (язык)|Оканаган]]: '''kʷhin xmenč''' («кухин хмэнч»).<p>[[w:Ндюка|Оканиси]]: см. Ндюка # [[Файл:Flag of Okinawa Prefecture.svg|22px|border]] [[w:Окинавский язык|Окинавский]]: '''好ちゅさ''' («шичусаа»). # [[Файл:Flag of Okinawa Prefecture.svg|22px|border]] [[w:en:Okinawan Japanese|Окинавский японский]]: '''かなさん どお''' («канасан доо»). # [[Файл:Flag of Delta State.gif|22px|border]] [[w:en:Okpe language (Southwestern Edo)|Окпе (юго-западный эдо)]]: '''mi ji vwo ẹguọlọ kpahuọn''' («ми джи вуо эгуоло кпахуон»). # [[Файл:Flag of Occitania.svg|22px|border]] [[w:Окситанский язык|Окситанский]]: '''t’aimi''' («тэми»). # [[Файл:Flag de Occidental.svg|22px|border]] [[w:Окциденталь|Окциденталь]]: '''yo ama te''' («йо ама тэ»).<p>[[w:Языки лухья|Олулуйя]]: см. Лухья # [[Файл:Flag of Nebraska.svg|22px|border]] [[w:Омаха-понка|Омаха-понка]]: '''xcháwithe''' («хчавитхе»).<p>[[w:Уолайта|Омета]]: см. Уолайта # [[Файл:Bandera del pueblo Selknam.svg|22px|border]] [[w:Она (язык)|Она]]: '''mxaynįn ya''' («мхайнин я»).<p>[[w:Онейда (язык)|Онайда]]: см. Онейда # [[Файл:Flag of the Iroquois Confederacy.svg|22px|border]] [[w:Онейда (язык)|Онейда]]: '''kunolúkhwa̱’''' («кунолукхва»). # [[Файл:Bandera d'Orissa.svg|22px|border]] [[w:Ория (язык)|Ория]]: '''ମୁଁ ତୁମକୁ ଭଲପାଏ''' («муу тумаку бхалапааэ»). # [[Файл:Flag of the Oromo Liberation Front.svg|22px|border]] [[w:Оромо (язык)|Оромо]]: '''sin jaalladha''' («син джаалладха»).<p>[[w:Орочский язык|Ороченский]]: см. Орочский # [[Файл:Flag of Khabarovsk Krai.svg|22px|border]] [[w:Орочский язык|Орочский]]: '''би аяуме сино''' («би аяумэ сино»).<p>[[w:Ньянколе|Оруньянкоре]]: см. Ньянколе # [[Файл:Flag of the Göktürks Khaganate.svg|22px|border]] [[w:Орхоно-енисейский язык|Орхоно-енисейский]]: '''𐰾𐰃𐰤𐰃∶𐰾𐰋𐰼∶𐰢𐰤・''' («нм рбс инис»). # [[Файл:Flag of the Osage Nation 2025.svg|22px|border]] [[w:Осейдж (язык)|Осейдж]]: '''wíohta''' («уиота»). # [[Файл:Flag of North Ossetia.svg|22px|border]] [[w:Осетинский язык|Осетинский]]: '''æз дæ уарзын''' («аз да уарзын»). # [[Файл:Flag of the Ottoman Empire (1844–1922).svg|22px|border]] [[w:Османский язык|Османский]]: '''سنی سویورم''' («сани соёрам»).<p>[[w:Османский язык|Османско-турецкий]]: см. Османский<p>[[w:Селькупские языки|Остяко-самоедский]]: см. Селькупский<p>[[w:Хантыйский язык|Остяцкий]]: см. Хантыйский<p>[[w:Тетела (язык)|Отетела]]: см. Тетела # [[Файл:Otomi Nation flag.svg|22px|border]] [[w:Отоми (язык)|Отоми]]: '''hmädi''' («хмади»).<p>[[w:Гереро (язык)|Очигереро]]: см. Гереро # [[Файл:Flag of Ovamboland.svg|22px|border]] [[w:Ошивамбо|Ошивамбо]]: '''ondiku hole''' («ондику холе»).<p>[[w:Северный паюте|Павиотсо]]: см. Северный паюте<p>[[w:Юэ (язык)|Паква]]: см. Юэ<p>[[w:Покот (язык)|Пакот]]: см. Покот # [[Файл:Flag of Subulussalam City.png|22px|border]] [[w:en:Pakpak language|Пакпак]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»).<p>[[w:Палауский язык|Палау]]: см. Палауский # [[Файл:Flag of Palau.svg|22px|border]] [[w:Палауский язык|Палауский]]: '''ng betik a renguk er kau''' («нг бетик а ренгук эр кау»).<p>[[w:Капампанганский язык|Пампанго]]: см. Капампанганский<p>[[w:Капампанганский язык|Пампангуэно]]: см. Капампанганский # [[Файл:Toon pangasinan flag.svg|22px|border]] [[w:Пангасинанский язык|Пангасинанский]]: '''inaru taka''' («инару така»). # [[Файл:Flag of Punjab (Paired).png|22px|border]] [[w:Панджаби|Панджаби]]: '''ਮੈਂ ਤੈਨੂੰ ਪਿਆਰ ਕਰਦਾ ਹਾਂ''' («майм тайнуум пьяар кардаа хаам») — женщине; '''ਮੈਂ ਤੈਨੂੰ ਪਿਆਰ ਕਰਦੀ ਹਾਂ''' («майм тайнуум пьяар кардии хаам») — мужчине.<p>[[w:Панджаби|Панджабский]]: см. Панджаби<p>[[w:Межславянский язык|Панславянский]]: см. Межславянский # [[Файл:Flag of the Pa-O National Organisation.svg|22px|border]] [[w:en:Pa'O language|Пао]]: '''ခွေရက်ငါႏနာꩻ''' («хквайраатнгарнар»). # [[Файл:Flag of Veracruz.svg|22px|border]] [[w:Папантланский тотонакский язык|Папантланский тотонакский]]: '''kpaxkiyan''' («кпакскийан»).<p>[[w:Малайско-португальский креольский язык|Папия-кристанг]]: см. Малайско-португальский креольский # [[Файл:Flag of the Netherlands Antilles (1986-2010).svg|22px|border]] [[w:Папьяменто|Папьяменто]]: '''mi ta stima bo''' («ми та стима бо»).<p>[[w:Рапануйский язык|Пасхальский]]: см. Рапануйский # [[Файл:Bandeira do Amazonas.svg|22px|border]] [[w:Паумари|Паумари]]: '''o-nofi-ki 'ira''' («о нофи ки ира»).<p>[[w:Туамоту (язык)|Паумоту]]: см. Туамоту<p>[[w:Пушту|Пашто]]: см. Пушту<p>[[w:Северный сото|Педи]]: см. Северный сото # [[Файл:Flag of Beijing in the National Games of China.svg|22px|border]] [[w:Пекинский диалект|Пекинский]]: '''我爱你''' («во ай ни»).<p>[[w:Панджаби|Пенджаби]]: см. Панджаби<p>[[w:Панджаби|Пенджабский]]: см. Панджаби # [[Файл:Flag of the Pennsylvania German.png|22px|border]] [[w:Пенсильванско-немецкий диалект|Пенсильванско-немецкий]]: '''ich liebe dich’''' («ихь либэ дихь»). # [[Файл:State flag of Iran (1964–1980).svg|22px|border]] [[w:Персидский язык|Персидский]]: '''دوستت دارم''' («дустэт дорэм»). # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Пехлевани|Пехлевани]]: '''دوسد توام''' («дусд туам»).<p>[[w:Покот (язык)|Пёкоот]]: см. Покот<p>[[w:Покот (язык)|Пёкот]]: см. Покот<p>[[w:Хири-моту|Пиджин моту]]: см. Хири-моту # [[Файл:Flag of the Solomon Islands.svg|22px|border]] [[w:Пиджин Соломоновых Островов|Пиджин Соломоновых Островов]]: '''mi lovem iu''' («ми ловем ю»).<p>[[w:Блэкфут (язык)|Пикании]]: см. Блэкфут # [[Файл:Flag of Picardie.svg|22px|border]] [[w:Пикардский язык|Пикардский]]: '''j’t’ai ker''' («жьтэ кер»).<p>[[w:Филиппинский язык|Пилипино]]: см. Филиппинский # [[Файл:Flag of Pipil.svg|22px|border]] [[w:Пипиль (язык)|Пипиль]]: '''nimetzneki''' («нимэтцнэки»); '''nimetztasujta''' («нимэтцтасуйта»). # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Пите-саамский язык|Пите-саамский]]: '''mån iehtsáv duv''' («мон йехтсав дув»). # [[Файл:Flag of the Pitcairn Islands.svg|22px|border]] [[w:Питкэрнский язык|Питкэрнский]]: '''i love yew''' («ай лав еу»). # [[Файл:Anangu Traditional Owners Flag.svg|22px|border]] [[w:Питьянтьятьяра|Питьянтьятьяра]]: '''ngayulu nyuntumpa mukuringanyi''' («нгаюлу ньюнтумпа мукуринганьи»). # [[Файл:Flag of the Merina people.svg|22px|border]] [[w:Малагасийский язык|Плато]]: '''tiako ianao''' («тьяко йанао»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Покомам (язык)|Покомам]]: '''henwa tow hawach''' («энуа тоу ауач»). # [[Файл:Flag of West Pokot County.png|22px|border]] [[w:Покот (язык)|Покот]]: '''achaminyi''' («ачаминьи»). # [[Файл:Proposed Polabian Flag.jpg|22px|border]] [[w:Полабский язык|Полабский]]: '''liaibu tibë''' («льяйбу тибэ»).<p>[[w:Хири-моту|Полицейский моту]]: см. Хири-моту # [[Файл:Flag of Poland.svg|22px|border]] [[w:Польский язык|Польский]]: '''kocham cię''' («кохам че»). # [[Файл:Flag of the Republic of Tamrash.svg|22px|border]] [[w:Помакский язык|Помакский]]: '''gelyam te''' («гелям те»).<p>[[w:Понпейский язык|Понапе]]: см. Понпейский # [[Файл:Flag of Pohnpei.svg|22px|border]] [[w:Понпейский язык|Понпейский]]: '''i poakohng uhk''' («и покоон уук»). # [[Файл:Flag of Pontus.svg|22px|border]] [[w:Понтийский язык|Понтийский]]: '''αγαπώ σε''' («агапо сэ»).<p>[[w:Понтийский язык|Понтийский греческий]]: см. Понтийский # [[Файл:Flag of Portugal.svg|22px|border]] [[w:Португальский язык|Португальский]]: '''amo-te''' («амотэ»). # [[Файл:Xa-pokag.gif|22px|border]] [[w:Потаватоми (язык)|Потаватоми]]: '''ktabanIn''' («ктабанин»). # [[Файл:Flag of Germany.svg|22px|border]] [[w:Прагерманский язык|Прагерманский]]: '''*ek frijō þek''' («эк фрийоо сэк»). # [[Файл:Flag of Europe.svg|22px|border]] [[w:Праиндоевропейский язык|Праиндоевропейский]]: '''*éǵh₂om lubʰō tué''' («эгхом лубоо туэ»). # [[Файл:Flag of Italy.svg|22px|border]] [[w:Праиталийский язык|Праиталийский]]: '''*tē amāō''' («тээ амааоо»). # [[Файл:Banniel Keltia.svg|22px|border]] [[w:Пракельтский язык|Пракельтский]]: '''*tē karū''' («тээ каруу»). # [[Файл:World Flag (2004).svg|22px|border]] [[w:Праностратический язык|Праностратический]]: '''*mi ṭi q̣urE''' («ми ти курэ»). # [[Файл:Kolovrat flag.svg|22px|border]] [[w:Праславянский язык|Праславянский]]: '''*(j)azъ ľubľǫ tę''' («(я)азу люблён тэн»). # [[Файл:Flag of the Slovene Nation.svg|22px|border]] [[w:Прекмурско-словенский язык|Прекмурско-словенский]]: '''volim te''' («волим тэ»). # [[Файл:Flag of Abruzzo.svg|22px|border]] [[w:Претароло|Претароло]]: '''t'iamoij''' («тьямоидж»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Прибрежно-цимшианский язык|Прибрежно-цимшианский]]: '''nsiipn düüt nüün''' («нсиипн дюют нююн»). # [[Файл:Flag of Sabah.svg|22px|border]] [[w:en:Coastal Kadazan dialect|Прибрежный кадазанский]]: '''guminavo zou diau''' («гуминаво зоу диау»). # [[Файл:Flag of California.svg|22px|border]] [[w:Прибрежный мивокский язык|Прибрежный мивокский]]: '''kajómu ˀópu míi''' («кайому опу мии»). # [[Файл:Flag of Provence.svg|22px|border]] [[w:Провансальский диалект|Провансальский]]: '''t’ame''' («т’ам»). # [[Файл:Flag of England.svg|22px|border]] [[w:Простой английский язык|Простой английский]]: '''i love you''' («ай лав ю»). # [[Файл:Flag of Baltic Prussian revivalists.svg|22px|border]] [[w:Прусский язык|Прусский]]: '''as mīli tin''' («ас миили тин»), '''as tien milē''' («ас тьен милее»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Уроки фарси|Псевдофарси]]: '''il onai au''' («иль онай ау»). # [[Файл:Flag of Poitou.svg|22px|border]] [[w:Пуатевинское наречие|Пуатевинский]]: '''i t’aeme''' («и тэм»). # [[Файл:Flag of Senegal.svg|22px|border]] [[w:en:Pulaar language|Пулаар]]: '''mi yidi maa’''' («ми йиди маа»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:en:Pular language|Пулар]]: '''mbe de yid ma’''' («мбе де йид ма»).<p>[[w:Фула (язык)|Пулар-фульфульде]]: см. Фула # [[Файл:Flag of Gabon.svg|22px|border]] [[w:en:Punu language|Пуну]]: '''ni u rondi’''' («ни у ронди»).<p>[[w:Авадхи|Пурби]]: см. Авадхи # [[Файл:Bandera purépecha.svg|22px|border]] [[w:Пурепеча (язык)|Пурепеча]]: '''uémbekua''' («уэмбэкуа»). # [[Файл:Bandeira do estado do Rio de Janeiro.svg|22px|border]] [[w:Пури (язык)|Пури]]: '''ha tl'amatl'i dieh''' («ха тламатли диех»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:en:Putèr|Путерский романшский]]: '''eau t’am''' («эу тэм»). # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Путунхуа|Путунхуа]]: '''我愛你''' («уо ай ни»). # [[Файл:Pashtunistan Flag.svg|22px|border]] [[w:Пушту|Пушту]]: '''زه ستا سره مینه لرم''' («за ста сара мина ларам»). # [[Файл:Bandera del pueblo Günün a künä.svg|22px|border]] [[w:Пуэльче (язык)|Пуэльче]]: '''uük’ǘgü tsashkal''' («уюк'югю тсашкал»).<p>[[w:Северо-западный диалект корейского языка|Пхеньянский корейский]]: см. Северо-западный корейский # [[Файл:Flag of Piedmont.svg|22px|border]] [[w:Пьемонтский язык|Пьемонтский]]: '''t’veuj bin''' («твёй бин»).<p>[[w:Лушуцид|Пьюджетский салишский]]: см. Лушуцид<p>[[w:Лесной энецкий язык|Пэ-бай]]: см. Лесной энецкий<p>[[w:Покот (язык)|Пэкот]]: см. Покот # [[Файл:Flag of Rabhaland.svg|22px|border]] [[w:en:Rabha language|Рабха]]: '''nana ang pelem mana''' («нана анг пелем мана»). # [[Файл:Flag of Rabhaland.svg|22px|border]] [[w:en:Rabha language|Рабха (коч)]]: '''nwngo ang mwka''' («нвнго анг мвка»). # [[Файл:Flag of Rabhaland.svg|22px|border]] [[w:en:Rabha language|Рабха (рондани)]]: '''nango ang nemtata''' («нанго анг немтата»).<p>[[w:Западный кри|Равнинный кри]]: см. Западный кри<p>[[w:Эде (язык)|Раде]]: см. Эде # [[Файл:Flag of Rajasthan.webp|22px|border]] [[w:Раджастхани|Раджастхани]]: '''hu/mhey thaa-neh prem karu chu/hu''' («ху/мхей тхаа-нэх прэм кару чу/ху»). # [[Файл:Flag of the Kamtapur Liberation Organisation.svg|22px|border]] [[w:en:Rajbanshi language (Nepal)|Раджбанши]]: '''মুই তোক ভাল পাং''' («му и тока бхала пам»). # [[Файл:Flag of San Andrés y Providencia.svg|22px|border]] [[w:Райсальский креольский язык|Райсальский креольский]]: '''a lov yu''' («а лов ю»). # [[Файл:Flag of Rangpur.png|22px|border]] [[w:en:Rangpuri language|Рангпури]]: '''mui tok bhal paō''' («муи ток бхал пао»).<p>[[w:Рапануйский язык|Рапа-нуи]]: см. Рапануйский # [[Файл:Flag of Rapa Nui, Chile.svg|22px|border]] [[w:Рапануйский язык|Рапануйский]]: '''hanga rahi au kia koe''' («ханга рахи ау киа коэ»). # [[Файл:Proposed flag of Réunion (VAR).svg|22px|border]] [[w:en:Réunion Creole|Реюньонский креольский]]: '''mi aime a ou''' («ми эм а у»).<p>[[w:Русский жестовый язык|РЖЯ]]: см. Русский жестовый # [[Файл:Flag of Rome.svg|22px|border]] [[w:Римский диалект|Римский итальянский]]: '''te vòjo bbène''' («тэ воджо ббэнэ»). # [[Файл:Rinconada flag.svg|22px|border]] [[w:en:Rinconada Bikol language|Ринконада-бикол]]: '''payaba ta ika''' («паяба так ика»). # [[Файл:Hunsrik language flag.png|22px|border]] [[w:Риограндский хунсрюкский диалект|Риограндский хунсрюкский]]: '''ich lieve dich''' («ихь лиэвэ дихь»). # [[Файл:Rif Amazigh People Flag.svg|22px|border]] [[w:Рифский язык|Рифский]]: '''tekhsekhchek''' («тэхсэхчек») - мужчине, '''tekhsekhchem''' («тэхсэхчем») - женщине. # [[Файл:Flag of the Mexica Movement.svg|22px|border]] [[w:Кочими-юманские языки|Робиния]]: '''boahgosó''' («боахгосо»).<p>[[w:Лози (язык)|Рози]]: см. Лози<p>[[w:Римский диалект|Романеско]]: см. Римский итальянский<p>[[w:Цыганский язык|Романи]]: см. Цыганский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Романид|Романид]]: '''yo ama te''' («йо ама тэ»). # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] Романисо: '''mi amoran vi''' («ми аморан ви»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:Романшский язык|Романшский]]: '''jeu carezel tei''' («жэу карэзэль тэй»), '''jau hai tai gugent''' («жау хай тай гугэнт»).<p>[[w:Романьольский язык|Романьо]]: см. Романьольский # [[Файл:Flag of Romagna.svg|22px|border]] [[w:Романьольский язык|Романьольский]]: '''a t’ vöi bëin''' («а т вёй бэйн»). # [[Файл:PH-ROM Flag.png|22px|border]] [[w:en:Romblomanon language|Ромбломанонский]]: '''palangga ta ikaw''' («палангга та икау»).<p>[[w:Понтийский язык|Ромейка]]: см. Понтийский # [[Файл:Flag of Rotuma (1987-1988).svg|22px|border]] [[w:Ротуманский язык|Ротуманский]]: '''gou hanis ‘e ‘äea''' («гоу ханис э яэа»). # [[Файл:Rohingya flag.svg|22px|border]] [[w:Рохинджа (язык)|Рохинджа]]: '''𐴀𐴝𐴦𐴛 𐴃𐴡𐴌𐴠𐴥 𐴀𐴝𐴊𐴡𐴌 𐴒𐴡𐴌𐴞𐴥''' («анаи тоаре адоргори»). # [[Файл:Flag of Rwanda.svg|22px|border]] [[w:Руанда (язык)|Руанда]]: '''ndagukunda''' («ндагукунда»).<p>[[w:Романшский язык|Руманшский]]: см. Романшский # [[Файл:Flag of Romania.svg|22px|border]] [[w:Румынский язык|Румынский]]: '''te iubesc''' («тэ юбеск»). # [[Файл:Flag of Burundi.svg|22px|border]] [[w:Рунди (язык)|Рунди]]: '''ndagukunda''' («ндагукунда»).<p>[[w:Ньянколе|Руньянкоре]]: см. Ньянколе # [[Файл:Flag of Rusyns 2007.svg|22px|border]] [[w:Русинский язык|Русинский]]: '''любля тя''' («люблю тя»). # [[Файл:Flag of Russia (1991-1993).svg|22px|border]] [[w:Русский язык|Русский]]: '''я тебя люблю''' («я тебя люблю»). # [[Файл:Flag of Russia (1991-1993).svg|22px|border]] [[w:Русский жестовый язык|Русский жестовый]]: {{YouTube|TiuwnkK8Ejk|видео|start=0m10s}}.<p>[[w:Кяхтинский язык|Русско-китайский пиджин]]: см. Кяхтинский # [[Файл:Flag of the Rutul People.svg|22px|border]] [[w:Рутульский язык|Рутульский]]: '''зас ву къыргара''' («зас ву къыргара»). # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Ruund language|Руунд]]: '''nikukatin''' («никукатин»). # [[Файл:Flag of Savoie.svg|22px|border]] [[w:en:Savoyard dialect|Савойский франкопровансальский]]: '''jhe t’amo''' («жэ тьямо»). # [[Файл:Bandera de Sacapulas.png|22px|border]] [[w:Сакапультекский язык|Сакапультекский]]: '''otz katnwilan''' («оц катнуилан»).<p>[[w:Варайский язык|Самар-лейте]]: см. Варайский # [[Файл:Bandera d'Orissa.svg|22px|border]] [[w:en:Sambalpuri language|Самбалпури]]: '''muĩ tumku bhôl paesĩ''' («муи тумку бхол паэси»). # [[Файл:Flag of Samoa.svg|22px|border]] [[w:Самоанский язык|Самоанский]]: '''ou te alofa ia te oe ''' («оу тэ алофа иа тэ оэ»). # [[Файл:Flag of North Sulawesi.svg|22px|border]] [[w:en:Sangir language|Сангирский]]: '''iạ makěndagẹ̌ si kau''' («иан макэндаге си кау»). # [[Файл:Flag of the Central African Republic.svg|22px|border]] [[w:Санго|Санго]]: '''mbi yé mô''' («мби е моо»). # [[Файл:Flag of San Marino.svg|22px|border]] [[w:it:Dialetto sammarinese|Сан-маринский романьольский]]: '''a t' vöi bëin''' («а т вёй бэйн»). # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:Конго (язык)|Сан-сальвадорский конго]]: '''ni kou zololo''' («ни коу зололо»), '''zola ikuzolanga''' («зола икузоланга»), '''yitoma kuzolanga''' («йитома кузоланга»). # [[Файл:Hinduism Flag.webp|22px|border]] [[w:Санскрит|Санскрит]]: '''त्वां कामयामि''' («твам камайами»). # [[Файл:Santals (India) Flag.gif|22px|border]] [[w:Сантали|Сантали]]: '''ᱫᱩᱞᱟᱲ ᱢᱮ ᱚ ᱤᱝ''' («дулар мэ о инь»). # [[Файл:Flag of the Zapotec Peoples.svg|22px|border]] [[w:Сапотекские языки|Сапотекский]]: '''nadxiie lii''' («наджиие лии»). # [[Файл:Flag of Chad.svg|22px|border]] [[w:Сар (язык)|Сар]]: '''m'tari''' («мтари»). # [[Файл:Flag of Suriname.svg|22px|border]] [[w:Сарамакканский язык|Сарамакканский]]: '''mi lobi i e''' («ми лоби и э»). # [[Файл:Flag of Sardinia.svg|22px|border]] [[w:Сардинский язык|Сардинский]]: '''t’amo''' («тамо»).<p>[[w:Сардинский язык|Сардский]]: см. Сардинский<p>[[w:Суринамский хиндустани|Сарнами]]: см. Суринамский хиндустани<p>[[w:Суринамский хиндустани|Сарнами-хинди]]: см. Суринамский хиндустани<p>[[w:Суринамский хиндустани|Сарнами-хиндустани]]: см. Суринамский хиндустани # [[Файл:Flag of Sassari.svg|22px|border]] [[w:Сассарский язык|Сассарский]]: '''ti vogliu bè''' («ти волью бэ»). # [[Файл:Flag of Washington.svg|22px|border]] [[w:Сахаптин|Сахаптин (якима)]]: '''atawishamash''' («атавишамаш»). # [[Файл:Flag of the Saho People's Democratic Movement.svg|22px|border]] [[w:Сахо (язык)|Сахо]]: '''ku kixiniyo''' («ку кихинийо»).<p>[[w:Свати|Свази]]: см. Свати # [[Файл:Banner of the Principality of Svaneti.svg|22px|border]] [[w:Сванский язык|Сванский]]: '''მი სი მალატხი''' («ми си малатхи»). # [[Файл:Flag of Eswatini.svg|22px|border]] [[w:Свати|Свати]]: '''ngiyakutsandza''' («нгийякутсандза»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Сво|Сво]]: '''me ne tzale weu''' («мэ нэ кяле уо»). # [[Файл:Flag of the Karen National Union.svg|22px|border]] [[w:Сго|Сго]]: '''ယအဲၣ်နၤ''' («яэллуну»).<p>[[w:Себуанский язык|Себуано]]: см. Себуанский # [[Файл:Flag of Mindanao (Alexander Noble, 1990).svg|22px|border]] [[w:Себуанский язык|Себуанский]]: '''gihigugma ko ikaw''' («гихигугма ко икау»).<p>[[w:Билин (язык)|Северноагавский]]: см. Билин # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Севернокитайский язык|Севернокитайский]]: '''我愛你''' («уо ай ни»). # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Северносаамский язык|Северносаамский]]: '''(mun) ráhkistan du''' («(мун) ра́хкистан туу»). # [[Файл:Flag of Selkup people.svg|22px|border]] [[w:Северноселькупский язык|Северноселькупский]]: '''ман тащинты ӄыӄымпам''' («ман тащинты кхыкхымпам»). # [[Файл:Berber flag.svg|22px|border]] [[w:Среднеатласские тамазигхтские диалекты|Северносуксабтский среднеатласский тамазигхт]]: '''ⵍⴰⵛ ⵜⵜⵉⵔⵉⵖ/lac ttiriɣ''' («лэш тирех») - женщине, '''ⵍⴰⵛⵎ ⵜⵜⵉⵔⵉⵖ/lacm ttiriɣ''' («лэшм тирех») - мужчине. # [[Файл:Nordfriesischeflagge.svg|22px|border]] [[w:Севернофризский язык|Севернофризский]]: '''ik hääw de liif''' («ик хяав дэ лииф»).<p>[[w:Носу|Северный и]]: см. Носу<p>[[w:Бабин-вицувитен|Северный кэрриер]]: см. Бабин-вицувитен # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:Северный мбунду|Северный мбунду]]: '''ngakuzulu''' («нгакузулу»). # [[Файл:Flag of the Republic of Matabeleland.svg|22px|border]] [[w:Северный ндебеле|Северный ндебеле]]: '''ngiyakuthanda''' («гиякутанда»).<p>[[w:Северный паюте|Северный пайюте]]: см. Северный паюте # [[Файл:Flag of Nevada.svg|22px|border]] [[w:Северный паюте|Северный паюте]]: '''nu soopeda u''' («ну соопэда у»). # [[Файл:Flag of Lebowa.svg|22px|border]] [[w:Северный сото|Северный сото]]: '''ke a go rata''' («ке а го рата»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Северный стрейтс|Северный стрейтс]]: '''χaƛnomɛč''' («халномэч»).<p>[[w:Пуэльче (язык)|Северный теуэльче]]: см. Пуэльче # [[Файл:Flag of Haida Gwaii.svg|22px|border]] [[w:Хайда (язык)|Северный хайда]]: '''dáng díi ḵuyáadang''' («данг дии куйаданг»). # [[Файл:Flag of North Korea.svg|22px|border]] [[w:Северо-западный диалект корейского языка|Северо-западный корейский]]: '''사랑애''' («саранэ») - неформально, '''사랑애요''' («саранэйо») - формально, '''사란감니다''' («саранамнида») - очень формально. # [[Файл:Flag of Yaransky rayon (Kirov oblast).png|22px|border]] [[w:Северо-западный марийский язык|Северо-западный марийский]]: '''мӹнь тӹньӹм йоратем''' («мынь тыньым яратем»). # [[Файл:Flag of North Korea.svg|22px|border]] [[w:Северокорейский литературный язык|Северокорейский]]: '''사랑애''' («саранэ») - неформально, '''사랑애요''' («саранэйо») - формально, '''사란감니다''' («саранамнида») - очень формально.<p>[[w:Курманджи (диалект курдского языка)|Севернокурдский]]: см. Курманджи # [[Файл:Flag of Lower Saxony.svg|22px|border]] [[w:Северонижнесаксонский диалект|Северонижнесаксонский]]: '''ik heff di leev''' («ик хефф ди лиив»).<p>[[w:Северносаамский язык|Северосаамский]]: см. Северносаамский<p>[[w:Севернофризский язык|Северофризский]]: см. Севернофризский # [[Файл:Flag of Seychelles.svg|22px|border]] [[w:Сейшельский креольский язык|Сейшельский креольский]]: '''mon kontan ou''' («мон контан у»).<p>[[w:Она (язык)|Селькнам]]: см. Она<p>[[w:Она (язык)|Селькнамский]]: см. Она # [[Файл:Flag of Selkup people.svg|22px|border]] [[w:Селькупские языки|Селькупский]]: '''мат ташэнд надрам’''' («мат та́шэнд на́драм»). # [[Файл:Flag of Mozambique.svg|22px|border]] [[w:en:Sena language|Сена]]: '''ndisakufuna’''' («ндисакуфуна»). # [[Файл:Flag of the Iroquois Confederacy.svg|22px|border]] [[w:Сенека (язык)|Сенека]]: '''gönóöhgwa’''' («гоноохгуа»).<p>[[w:Сентонжское наречие|Сентонжонский]]: см. Сентонжский # [[Файл:Flag of Saintonge.svg|22px|border]] [[w:Сентонжское наречие|Сентонжский]]: '''jhe vous aimé''' («жо вуз эм»).<p>[[w:Северный сото|Сепеди]]: см. Северный сото # [[Файл:Flag of Yugoslavia (1918–1941).svg|22px|border]] [[w:Сербохорватский язык|Сербохорватский]]: '''волим те/volim te''' («волим тэ»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Сербо-хорватский]]: см. Сербохорватский # [[Файл:Flag of Serbia.svg|22px|border]] [[w:Сербский язык|Сербский]]: '''волим те/volim te''' («волим тэ»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Сербскохорватский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сербохорватский язык|Сербско-хорватский]]: см. Сербохорватский # [[Файл:Yooniir (Serer cosmological star).jpg|22px|border]] [[w:Серер (язык)|Серер]]: '''mi ngwinda''' («ми нгвинда»).<p>[[w:Серер (язык)|Серер-син]]: см. Серер # [[Файл:Flag of California.svg|22px|border]] [[w:Серрано (язык)|Серрано]]: '''pihan'in 'emey''' («пиханин эмэй»).<p>[[w:Сейшельский креольский язык|Сеселва]]: см. Сейшельский креольский # [[Файл:Flag of Lesotho.svg|22px|border]] [[w:Сесото|Сесото]]: '''ke a o rata''' («ке а о рата»), '''kea u rata''' («кеа у рата»).<p>[[w:Тсвана (язык)|Сетсвана]]: см. Тсвана # [[Файл:Flag of Setomaa.svg|22px|border]] [[w:Сету (диалект)|Сету]]: '''ma sinno sallin'''' («ма си́нно са́ллин»). # [[Файл:Sephardic Flag.png|22px|border]] [[w:Сефардский язык|Сефардский]]: '''טי אמו''' («тэ амо»).<p>[[w:Сейшельский креольский язык|Сешелва]]: см. Сейшельский креольский # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Сешельт|Сешельт]]: '''x̌áƛ’númičen''' («халнумичен»). # [[Файл:Flagge Kreis Nordfriesland.svg|22px|border]] [[w:Сёльринг|Сёльринг]]: '''ik haa di lef''' («ик хо ди леф»), '''ik hual fan di''' («ик хуаль фан ди»). # [[Файл:Flag of Siberia.svg|22px|border]] [[w:uk:Сибірська мова|Сибирский]]: '''я тя дружу''' («я тя дружу»). # [[Файл:Siberian Tatar Flag.svg|22px|border]] [[w:Сибирско-татарский язык|Сибирско-татарский]]: '''min sine sөyəm''' («мин синэ сойом»). # [[Файл:Drapeau de la Sidama.png|22px|border]] [[w:Сидамо (язык)|Сидамо]]: '''baxeemmohe''' («батеэммохэ»).<p>[[w:Блэкфут (язык)|Сиксика]]: см. Блэкфут # [[Файл:Flag of Oaxaca.svg|22px|border]] [[w:Силакайоапанский миштекский язык|Силакайоапанский миштекский]]: '''ku toulló ñeloosí''' («ку тоулло ньелооси»). # [[Файл:Flag of Upper Silesia.png|22px|border]] [[w:Силезский язык|Силезский]]: '''jo ci przaja''' («йо чи прзайя»).<p>[[w:Лози (язык)|СиЛози]]: см. Лози<p>[[w:Силхетский язык|Силоти]]: см. Силхетский <p>[[w:Силхетский язык|Силхети]]: см. Силхетский # [[Файл:The Flag of the Academy of the Sylheti Language in Bangladesh.png|22px|border]] [[w:Силхетский язык|Силхетский]]: '''ꠝꠥꠁ ꠔꠥꠝꠣꠞꠦ ꠝꠣꠄꠀ ꠇꠞꠤ''' («муи тумаре маэа шори»), '''ꠀꠝꠤ ꠔꠥꠝꠣꠞꠦ ꠝꠣꠄꠀ ꠇꠞꠤ''' («ами тумаре маэа шори»), '''ꠝꠥꠁ ꠔꠞꠦ ꠝꠣꠄꠀ ꠇꠞꠤ''' («муи торе маэа шори»), '''ꠀꠝꠤ ꠔꠞꠦ ꠝꠣꠄꠀ ꠇꠞꠤ''' («ами торе маэа шори»). <p>[[w:Сильбо гомеро|Сильбо-гомера]]: см. Сильбо гомеро # [[Файл:Flag of La Gomera.svg|22px|border]] [[w:Сильбо гомеро|Сильбо гомеро]]: {{YouTube|EskC5-FzXhA|видео|start=5m22s}}. # [[Файл:King of Kandy.svg|22px|border]] [[w:Сингальский язык|Сингальский]]: '''මම ඔයාට ආදරෙයි''' («мама ойяата аадарэйи»). # [[Файл:Flag of Singapore.svg|22px|border]] [[w:Сингапурский вариант английского языка|Сингапурский английский]]: '''i lurf you''' («ай лаф ю»).<p>[[w:Сингапурский вариант английского языка|Синглиш]]: см. Сингапурский английский # [[Файл:Tengwar.svg|22px|border]] [[w:Синдарин|Синдарин]]: '''gi melin''' («ги мэлин»), '''gen melin''' («гэн мэлин»), '''melon le''' («мэлон ле»), '''te melon''' («тэ мэлон»).<p>[[w:Северный ндебеле|Синдебеле]]: см. Северный ндебеле # [[Файл:Flag of Sindhudesh.svg|22px|border]] [[w:Синдхи (язык)|Синдхи (лари)]]: '''آئون تو سان پيار ڪيان ٿو''' («аон то сан пьяр кьян то»). # [[Файл:Flag of Sindhudesh.svg|22px|border]] [[w:Синдхи (язык)|Синдхи (утради)]]: '''مان تو سان پيار ڪيان ٿو''' («маан то сан пьяр кьян то»). # [[Файл:Flag of the Romani people.svg|22px|border]] [[w:Синти (язык)|Синти]]: '''kamao tut''' («камао тут»).<p>[[w:Сингальский язык|Синхала]]: см. Сингальский # [[Файл:Bandera de Sipacapa.png|22px|border]] [[w:Сипакапенский язык|Сипакапенский]]: '''katnlq’oj''' («катнль к ох»). # [[Файл:Pk seraiki mov.svg|22px|border]] [[w:Сирайки|Сирайки]]: '''میں تیں نل پیار کرینداں''' («мэн тэн пиар крэндан»).<p>[[w:Старосиреникский язык|Сиреникский]]: см. Старосиреникский # [[Файл:Flag of the Syriac-Aramaic People.svg|22px|border]] [[w:Сирийский язык|Сирийский]]: '''ܐܢܐ ܪܚܡ ܠܟ''' («ана рахэм лакх»). # [[Файл:Flag of Syria (2025-).svg|22px|border]] [[w:Сирийский диалект арабского языка|Сирийский арабский]]: '''بحبك''' («бэхиббэк»).<p>[[w:Сирийский язык|Сирский]]: см. Сирийский<p>[[w:Свати|Сисвати]]: см. Свати<p>[[w:Средневерхненемецкий язык|СВН]]: см. Средневерхненемецкий # [[Файл:State flag of Iran (1964–1980).svg|22px|border]] [[w:en:Sistani dialect|Систанский персидский]]: '''دل می‌باله ترا''' («дэл мэ-бале тора»). # [[Файл:Pine Ridge Flag.svg|22px|border]] [[w:Сиу (язык)|Сиу]]: '''techi 'hila''' («течи хила»).<p>[[w:Итонама (язык)|Сихнипадара]]: см. Итонама # [[Файл:Flag of Sicily.svg|22px|border]] [[w:Сицилийский язык|Сицилийский]]: '''ti vogghiu''' («ти воггю»), '''t’аmu''' («таму»).<p>[[w:Лушуцид|Скагит-нискволли]]: см. Лушуцид<p>[[w:Шотландский язык (германский)|Скотс]]: см. Шотландский (германский) # [[Файл:Flag of Slovakia.svg|22px|border]] [[w:Словацкий язык|Словацкий]]: '''ľúbim ťa''' («любим тя»). # [[Файл:Flag of Slovenia.svg|22px|border]] [[w:Словенский язык|Словенский]]: '''ljubim te''' («любим тэ»). # [[Файл:Flag of Slovio.svg|22px|border]] [[w:Словио|Словио]]: '''lubovijm te''' («лубовийм тэ»).<p>[[w:Прибрежно-цимшианский язык|Смалгах]]: см. Прибрежно-цимшианский<p>[[w:Прибрежно-цимшианский язык|Смалгиах]]: см. Прибрежно-цимшианский<p>[[w:Арабский литературный язык|Современный стандартный арабский]]: см. Арабский литературный # [[Файл:Flag of Busoga (royal standard).png|22px|border]] [[w:Сога (язык)|Сога]]: '''nkwendha''' («нквендха»), '''nkwagala''' («нквагала»). # [[Файл:Flag igora.svg|22px|border]] [[w:Ижорский язык|Сойкинский ижорский]]: '''miä suvvan sinnua''' («мия сувван синнуа»).<p>[[w:Пиджин Соломоновых Островов|Соломонский пиджин]]: см. Пиджин Соломоновых Островов # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:Сольресоль|Сольресоль]]: '''do-re mi-la-si do-mi''' («до-ре ми-ля-си до-ми»).<p>[[w:Сомалийский язык|Сомали]]: см. Сомалийский # [[Файл:Flag of Somalia.svg|22px|border]] [[w:Сомалийский язык|Сомалийский]]: '''waan ku jeclahay''' («уан ку джэклахай»).<p>[[w:Тундровый энецкий язык|Сомату]]: см. Тундровый энецкий # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:en:Songe language|Сонге]]: '''ne mukufule''' («нэ мукуфулэ»). # [[Файл:Flag of Mali.svg|22px|border]] [[w:Сонинке (язык)|Сонинке]]: '''n w'an mulla''' («на мулла»), '''nga m’afini''' («нга мафини»), '''nda xanu''' («нда шану»). # [[Файл:Flag of Kurdistan.svg|22px|border]] [[w:Сорани|Сорани]]: '''من عاشقتم''' («мэн ашкетэм») , '''xoştim dewê''' («хоштим дэуэ»).<p>[[w:Сусу (язык)|Сосо]]: см. Сусу<p>[[w:Сефардский язык|Спаньоль]]: см. Сефардский<p>[[w:Итонама (язык)|Срама]]: см. Итонама # [[Файл:Flag of Suriname.svg|22px|border]] [[w:Сранан-тонго|Сранан-тонго]]: '''mi lobi joe''' («ми лоби ю»).<p>[[w:Среднеатласские тамазигхтские диалекты|Среднеатласский]]: см. Среднеатласский тамазигхт # [[Файл:Berber flag.svg|22px|border]] [[w:Среднеатласские тамазигхтские диалекты|Среднеатласский тамазигхт]]: '''ⵍⴰⵛ ⵜⵉⵔⵉ/lac tirix''' («лэш тирих») - женщине, '''ⵍⴰⵛⵎ ⵜⵉⵔⵉⵅ/lacm tirix''' («лэшм тирих») - мужчине. # [[Файл:Berber flag.svg|22px|border]] [[w:Среднеатласские тамазигхтские диалекты|Среднеатласский тамазигхт (зайанский Аит Лахсен)]]: '''ⴷⴰ ⵛ ⵜⵜⵉⵔⵉⵅ/da c-ttirix''' («дэш тирих») - женщине, '''ⴷⴰ ⵛⵎ ⵜⵜⵉⵔⵉⵅ/da cem-ttirix''' («дэшм тирих») - мужчине. # [[Файл:Flag of Gwynedd.svg|22px|border]] [[w:Средневаллийский язык|Средневаллийский]]: '''mi a’th garaf''' («ми аф гараф»). # [[Файл:Flag of the First Zionist Congress 1897.svg|22px|border]] [[w:Средневековый иврит|Средневековый иврит]]: '''אני אוהב אותך''' («ани оев асах») — женщине; '''אני אוהבת אותך''' («ани оевес осха») — мужчине. # [[Файл:Heiliges Römisches Reich - Reichssturmfahne vor 1433 (Nimbierter Adler).svg|22px|border]] [[w:Средневерхненемецкий язык|Средневерхненемецкий]]: '''ich liebe dich''' («ихь лиебэ дихь»). # [[Файл:Berber flag.svg|22px|border]] [[w:Среднеатласские тамазигхтские диалекты|Среднесуксабтский среднеатласский тамазигхт]]: '''ⴷⴰ-ⴽ-ⵜⵜⵉⵔⵉⵖ/da-k-ttiriɣ''' («дак тирех») - женщине, '''ⴷⴰⴽⴻⵎ-ⵜⵜⵉⵔⵉⵖ/da-kem-ttiriɣ''' («дэкм тирех») - мужчине. # [[Файл:Berber flag.svg|22px|border]] [[w:Стандартный марокканский берберский язык|Стандартный марокканский берберский]]: '''ⵃⴰⵎⵍⴰⵖⴽⴻⵎ''' («хэмлэркэм»).<p>[[w:Османский язык|Староанатолийско-тюркский]]: см. Османский # [[Файл:Pendón heráldico de los Reyes Catolicos de 1475-1492.svg|22px|border]] [[w:Староиспанский язык|Староиспанский]]: '''amo te''' («амо тэ»).<p>[[w:Османский язык|Староосманский]]: см. Османский # [[Файл:Flag of Providensky rayon (Chukotka).png|22px|border]] [[w:Старосиреникский язык|Старосиреникский]]: '''акы́мыг'йукыск'ы̄́х'тымкын''' («акы́мыг йукыск ы́ы́х тымкын»). # [[Файл:Kolovrat_flag.svg|22px|border]] [[w:Старославянский язык|Старославянский]]: '''азъ люблю тѧ/ⰰⰸⱏ ⰾⱓⰱⰾⱓ ⱅⱔ''' («азу люблю тэн»). # [[Файл:Flag of France (XII-XIII).svg|22px|border]] [[w:Старофранцузский язык|Старофранцузский]]: '''aim te''' («эм тэ»).<p>[[w:Тупи (язык)|Старый тупи]]: см. Тупи # [[Файл:Flag of Swahili.gif|22px|border]] [[w:Суахили|Суахили]]: '''nakupenda''' («накупэнда»).<p>[[w:Субанон (язык)|Субанен]]: см. Субанон # [[Файл:Flag of the Subanon People.svg|22px|border]] [[w:Субанон (язык)|Субанон]]: '''dlelamen hu yaa''' («длеламен ху яа»).<p>[[w:Себуанский язык|Сугбу]]: см. Себуанский<p>[[w:Себуанский язык|Сугбуанон]]: см. Себуанский # [[Файл:Flag of Sudan.svg|22px|border]] [[w:Суданский диалект арабского языка|Суданский арабский]]: '''احبك''' («ахбк»).<p>[[w:Алютикский язык|Сук]]: см. Алютикский # [[Файл:Flag of Tanzania.svg|22px|border]] [[w:Сукума (язык)|Сукума]]: '''nakutogilwe''' («накутогилве»), '''itogwa benekele ne benekele’''' («итогва бенекеле не бенекеле»).<p>[[w:Ливийский диалект арабского языка|Сулаймитский арабский]]: см. Ливийский арабский # [[Файл:Late 19th Century Flag of Sulu.svg|22px|border]] [[w:Сулу (язык)|Сулу]]: '''kalasahan ta kaw''' («каласахан та кау»). # [[Файл:Unofficial flag of Nagaland.svg|22px|border]] [[w:en:Sümi language|Суми]]: '''niye no kimiye ani''' («нийе но кимийе ани»), '''nighi okikiye cheni''' («ниги окикийе чени»), '''niye no kimiyecheni''' («нийе но кимийечени»).<p>[[w:Тетела (язык)|Сунгу]]: см. Тетела # [[Файл:Flag of Pasundan.svg|22px|border]] [[w:Сунданский язык|Сунданский]]: '''abdi bogoh ka anjeun''' («абди богох ка анджеун») - романтически, '''abdi nyaah ka anjeun''' («абди ньяа ка анджеун») - неромантически.<p>[[w:Зуни (язык)|Суньи]]: см. Зуни # [[Файл:Bihar Government Banner.png|22px|border]] [[w:en:Surjapuri language|Сурджапури]]: '''mi tok pyār korchi''' («ми ток пьяр корчи»).<p>[[w:Ассирийский новоарамейский язык|Сурет]]: см. Ассирийский новоарамейский # [[Файл:Flag of Ukraine and Russia.png|22px|border]] [[w:Суржик|Суржик]]: '''я тебе люблю''' («я тэбэ люблю»). # [[Файл:Flag of Surigao del Norte.svg|22px|border]] [[w:en:Surigaonon language|Суригаонон]]: '''taghigugma ta kaw''' («тагхигугма та кау»).<p>[[w:Сранан-тонго|Суринамский]]: см. Сранан-тонго # [[Файл:Flag of Suriname.svg|22px|border]] [[w:Суринамский хиндустани|Суринамский хиндустани]]: '''hum toke chahila''' («хум токе чахила»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:en:Surmiran dialect|Сурмиранский романшский]]: '''ia at carez''' («йяат карэз»). # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:en:Sursilvan|Сурсильванский романшский]]: '''jeu carezel tei''' («жэу карэзэль тэй»). # [[Файл:Flag of Guinea.svg|22px|border]] [[w:Сусу (язык)|Сусу]]: '''ira fan ma''' («ира фан ма»).<p>[[w:Сесото|Суто]]: см. Сесото # [[Файл:Proposed Flag of Romanchia.svg|22px|border]] [[w:de:Sutselvische Sprache|Сутсильванский романшский]]: '''jou t’am''' («жу тэм»).<p>[[w:Алютикский язык|Сухпиак]]: см. Алютикский<p>[[w:Алютикский язык|Сухстстун]]: см. Алютикский<p>[[w:Носу|Сычуаньский и]]: см. Носу<p>[[w:Крио|Сьерра-леонский креольский]]: см. Крио # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Сян (язык)|Сян]]: '''你很好''' («ни хэн хао»). # [[Файл:Tabasaran National Movement flag.svg|22px|border]] [[w:Табасаранский язык|Табасаранский]]: '''узуз уву ккунжазуз''' («увуз уву ккунжазуз»).<p>[[w:Северный ндебеле|Табеле]]: см. Северный ндебеле<p>[[w:Нганасанский язык|Тавгийский]]: см. Нганасанский<p>[[w:Нганасанский язык|Тавгийско-самоедский]]: см. Нганасанский<p>[[w:Нганасанский язык|Тавгинский]]: см. Нганасанский<p>[[w:Тболи (язык)|Тагабили]]: см. Тболи<p>[[w:Тагальский язык|Тагалог]]: см. Тагальский<p>[[w:Тагальский язык|Тагалогский]]: см. Тагальский # [[Файл:Flag of the Tagalog people.svg|22px|border]] [[w:Тагальский язык|Тагальский]]: '''mahal kita''' («махаль кита») - неформально, '''iniibig kita''' («инибиг кита») - формально. # [[Файл:Flag of Sabah.svg|22px|border]] [[w:en:Tagol language|Тагол-мурут]]: '''asiha au riun''' («асиха ау риун»). # [[Файл:Flag of Tajikistan.svg|22px|border]] [[w:Таджикский язык|Таджикский]]: '''ман туро дӯст медорам''' («ман туро дёст медорам»).<p>[[w:Таджикский язык|Таджикский фарси]]: см. Таджикский # [[Файл:Flag of CARICOM.svg|22px|border]] [[w:Таино (языки)|Таино]]: '''dak'ro buk''' («дакро бук»).<p>[[w:Таитянский язык|Таити]]: см. Таитянский # [[Файл:Flag of French Polynesia.svg|22px|border]] [[w:Таитянский язык|Таитянский]]: '''ua here vau ia oe''' («уа херэ вау иа оэ»).<p>[[w:Тайваньский хокло|Тайваньский]]: см. Тайваньский хокло # [[Файл:Flag of the Republic of China.svg|22px|border]] [[w:Тайваньский хокло|Тайваньский хокло]]: '''我愛你''' («гоа ай ли»).<p>[[w:Шанский язык|Тай-дэхун]]: см. Шанский # [[Файл:Flag of Thailand.svg|22px|border]] [[w:Тайский язык|Тайский]]: '''ผมรักคุณ''' («пом рак кун») — женщине; '''ฉันรักคุณ''' («чан рак кун») — мужчине. # [[Файл:Flag of the Kingdom of Talossa.svg|22px|border]] [[w:Талосский язык|Талосский]]: '''t'améu''' («т'амэу»). # [[Файл:Tahltan Flag.jpg|22px|border]] [[w:Талтан|Талтан]]: '''nedishcha''' («нэдишча»). # [[Файл:Flag of the Talysh National Movement.svg|22px|border]] [[w:Талышский язык|Талышский]]: '''mı tıni pidәme''' («мы тыни пидамэ»), '''mı tibә pıdәm''' («мы тибэ пидэм»).<p>[[w:Стандартный марокканский берберский язык|Тамазигхт]]: см. Стандартный марокканский берберский<p>[[w:Западнотамахакский язык|Тамахак]]: см. Западнотамахакский # [[Файл:Touareg People Flag.svg|22px|border]] [[w:Тамашек|Тамашек]]: '''riqqim''' («рикким»).<p>[[w:Тамашек|Тамашекин]]: см. Тамашек # [[Файл:Bicolor flag of Tamil Eelam.svg|22px|border]] [[w:Тамильский язык|Тамильский]]: '''நான் உன்னை நேசிக்கிறேன்''' («наан уннай неесиккиреен»). # [[Файл:Flag of Gombe State.svg|22px|border]] [[w:Тангале (язык)|Тангале]]: '''ni lessigo''' («ни лессиго»).<p>[[w:Тангале (язык)|Тангле]]: см. Тангале<p>[[w:Тасе-нага|Тангса]]: см. Тасе-нага<p>[[w:Тараумара (язык)|Таракумара]]: см. Тараумара<p>[[w:Пурепеча (язык)|Тараскский]]: см. Пурепеча<p>[[w:Тараумара (язык)|Тарахумара]]: см. Тараумара # [[Файл:Bandera raramuri.svg|22px|border]] [[w:Тараумара (язык)|Тараумара]]: '''ni nígare''' («ни нигаре»). # [[Файл:Flag of Sagaing Region (2019).svg|22px|border]] [[w:Тасе-нага|Тасе-нага]]: '''ngiz räq ümznäq mäx lungvii täkängx''' («нгиз ряк юмзняк мякс лунгвии тякянгкс»). # [[Файл:Tatar Nationalist Flag.svg|22px|border]] [[w:Татарский язык|Татарский]]: '''мин сине яратам''' («мин сине яратам»). # [[Файл:Ethnic flag of Tat people (Caucasus).svg|22px|border]] [[w:Татский язык|Татский]]: '''мя туна мхостанум''' («мя туна мхостанум»), '''мя туря бахостанум''' («мя туря бахостанум»).<p>[[w:Сулу (язык)|Таусуг]]: см. Сулу<p>[[w:Западнотамахакский язык|Тахаггарк]]: см. Западнотамахакский<p>[[w:Атаяльский язык|Таял]]: см. Атаяльский # [[Файл:South Cotabato Flag.png|22px|border]] [[w:Тболи (язык)|Тболи]]: '''bungnawa hukon''' («буннава хокон»).<p>[[w:Чви|Тви]]: см. Чви<p>[[w:Северный ндебеле|Тебеле]]: см. Северный ндебеле # [[Файл:Flag of Zomi Re-unification Organisation.svg|22px|border]] [[w:Тедим-чин|Тедим-чин]]: '''ken nang hong ngai ing''' («кен нанг хонг ннай ин»).<p>[[w:Тектитекский язык|Теко]]: см. Тектитекский<p>[[w:Тектитекский язык|Тектитек]]: см. Тектитекский<p>[[w:Тектитекский язык|Тектитеко]]: см. Тектитекский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Тектитекский язык|Тектитекский]]: '''nwan a’ich''' («нуан а ич»). # [[Файл:Flag of Leninsk-Kuznetskii rayon (Kemerovsaya oblast).gif|22px|border]] [[w:Телеутское наречие|Телеутский]]: '''мен сени сӱӱп jадым''' («мен сэни сююп ядым»). # [[Файл:Flag of Telangana.svg|22px|border]] [[w:Телугу|Телугу]]: '''నేను నిన్ను ప్రేమిస్తున్నాను''' («неэну нинну преэмистуннаану»). # [[Файл:Flag of Togo (3-2).svg|22px|border]] [[w:Тем (язык)|Тем]]: '''mɔɔzɔɔlɛ́ɛ nya''' («моозоолеэ нья»). # [[Файл:Flag of Sierra Leone.svg|22px|border]] [[w:Темне (язык)|Темне]]: '''eborithimu''' («эборитхиму»). # [[Файл:Flag of Negeri Sembilan.svg|22px|border]] [[w:en:Temuan language|Темуанский]]: '''akuk sukak ajih''' («акук сукак аджих»).<p>[[w:Йоканьгско-саамский язык|Терский саамский]]: см. Йоканьгско-саамский<p>[[w:Йоканьгско-саамский язык|Терско-саамский]]: см. Йоканьгско-саамский # [[Файл:Flag of the Democratic Republic of the Congo.svg|22px|border]] [[w:Тетела (язык)|Тетела]]: '''dimi kolangaka''' («дими колангака»), '''dimi kokaka ngandji''' («дими кокака нганджи»), '''dimi nyolangaka''' («дими ньолангака»). # [[Файл:Flag of East Timor.svg|22px|border]] [[w:Тетум|Тетум]]: '''hau hadomi o''' («хау хадомио»).<p>[[w:Тетум|Тетун]]: см. Тетум # [[Файл:Flag of Dili.svg|22px|border]] [[w:Тетум|Тетун-дили]]: '''haʼu hadomi ó''' («ха у хадоми о»).<p>[[w:Тетум|Тетун-праса]]: см. Тетум # [[Файл:Flag of the Tehuelche People.svg|22px|border]] [[w:Теуэльче (язык)|Теуэльче]]: '''inchepoyeneimi''' («инчепойенэйми»). # [[Файл:Flag of Tibet.svg|22px|border]] [[w:Тибетский язык|Тибетский]]: '''ང་ཁྱེད་རང་ལ་དགའ་པོ་ཡོད་''' («нга каирангла гавпо йо»). # [[Файл:Flag of the Tiv People.svg|22px|border]] [[w:Тив|Тив]]: '''u doom ishima''' («у доом ишима»). # [[Файл:Flag of Eritrea.svg|22px|border]] [[w:Тигре (язык)|Тигре]]: '''ana enti efete''' («ана энти эфете»). # [[Файл:Flag of the Tigray Region.svg|22px|border]] [[w:Тигринья|Тигринья]]: '''ይፈትወካ`የ''' («йфетуэкайе») — женщине; '''ይፈትወኪ’የ''' («йфетуэкийе») — мужчине.<p>[[w:Тамашек|Тимбукту]]: см. Тамашек # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:en:Timerio|Тимерио]]: '''1-80-17''' («1-80-17»).<p>[[w:Тиндинский язык|Тиндальский]]: см. Тиндинский<p>[[w:Тиндинский язык|Тиндийский]]: см. Тиндинский # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Тиндинский язык|Тиндинский]]: '''де̄ мӣ гьелӯ''' («дэ ми гьелу»).<p>[[w:Ладинский язык|Тирольский ретороманский]]: см. Ладинский<p>[[w:Алютикский язык|Тихоокеанский юпик]]: см. Алютикский # [[Файл:Flag of Canton of Ticino.svg|22px|border]] [[w:Тичинский диалект ломбардского языка|Тичинский ломбардский]]: '''ta vöri ben''' («та вэри бэн»). # [[Файл:Flag of the Organized Village of Kake.svg|22px|border]] [[w:Тлингитский язык|Тлингитский]]: '''ixhsixhán''' («иххсиххан»).<p>[[w:Тлингитский язык|Тлинкитский]]: см. Тлингитский # [[Файл:Seal of Toba Regency (2020).svg|22px|border]] [[w:Тоба (язык)|Тоба]]: '''holong do rohangku tu ho''' («холонг до рохангку ту хо»).<p>[[w:Тоба (язык)|Тоба-батакский]]: см. Тоба # [[Файл:Toki Pona flag.svg|22px|border]] [[w:Токипона|Токипона]]: '''mi olin e sina''' («ми олин э сина»). # [[Файл:Flag of Papua New Guinea.svg|22px|border]] [[w:Ток-писин|Ток-писин]]: '''mi lavim yu''' («ми лавим ю»). # [[Файл:Flag of Tokelau.svg|22px|border]] [[w:Токелау (язык)|Токелау]]: '''ko au e alofa atu''' («ко ау э алофа ату»). # [[Файл:Nlakapamux Nation Flag.png|22px|border]] [[w:Томпсон (язык)|Томпсон]]: '''yaquindawe''' («якуиндауэ»). # [[Файл:Flag of Rhodesia (1968-1979).svg|22px|border]] [[w:en:Tonga language (Zambia and Zimbabwe)|Тонга (Замбия/Зимбабве)]]: '''ndilakuyanda''' («ндилакуйанда»). # [[Файл:Flag of Malawi.svg|22px|border]] [[w:en:Tonga language (Malawi)|Тонга (Малави)]]: '''nditikuyanja''' («ндитикуйанджа»). # [[Файл:Flag of Tonga.svg|22px|border]] [[w:Тонганский язык|Тонганский]]: ''''oku ou 'ofa 'ia koe''' («оку оу офа иа коэ»). # [[Файл:Flag of Los Angeles, California.svg|22px|border]] [[w:en:Tongva language|Тонгва]]: '''wiishmenokre''' («виишменокре»).<p>[[w:Туника (язык)|Тоника]]: см. Туника # [[Файл:Flag of Toro, Uganda.svg|22px|border]] [[w:en:Tooro language|Тооро]]: '''ninkugonza''' («нинкугонза»). # [[Файл:Flag of Nizhneudinsky District.png|22px|border]] [[w:Тофаларский язык|Тофаларский]]: '''мен сенi эъккісіндыр мен''' («мэн сэни эккисиндыр мэн»). # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Тохолабальский язык|Тохолабальский]]: '''wa xkʼanawa''' («ва шканава»). # [[Файл:Flag of Belarus (1918, 1991–1995).svg|22px|border]] [[w:Трасянка|Трасянка]]: '''я цябе люблю''' («я тябе люблю»).<p>[[w:Ладинский язык|Трентинский]]: см. Ладинский # [[Файл:Flag of Chuuk.svg|22px|border]] [[w:Трукский язык|Трукский]]: '''‘ai tong ngonuk''' («аи тонг нгонук») — формально, '''‘u pe reom''' («у пэ рэом») — неформально.<p>[[w:Ангами (язык)|Тсангло]]: см. Ангами<p>[[w:Цатский язык|Тсат]]: см. Цатский # [[Файл:Flag of Mozambique.svg|22px|border]] [[w:en:Tswa language|Тсва]]: '''nza ku ranza''' («нза ку ранза»). # [[Файл:Flag of Botswana.svg|22px|border]] [[w:Тсвана (язык)|Тсвана]]: '''ke a go rata''' («ке а го рата»).<p>[[w:Ангами (язык)|Тсогами]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Gazankulu.svg|22px|border]] [[w:Тсонга (язык)|Тсонга]]: '''ndza ku rhandza''' («ндза ку рандза»).<p>[[w:Ангами (язык)|Тсугуми]]: см. Ангами # [[Файл:Flag of Tuamotu Archipelago.svg|22px|border]] [[w:Туамоту (язык)|Туамоту]]: '''ua here au ia koe''' («уа херэ ау иа коэ»).<p>[[w:Туамоту (язык)|Туамотуанский]]: см. Туамоту # [[Файл:Flag of Tuvalu.svg|22px|border]] [[w:Тувалу (язык)|Тувалу]]: '''au e alofa ki a koe''' («ау э алофа ки а коэ»). # [[Файл:Flag of Tuva.svg|22px|border]] [[w:Тувинский язык|Тувинский]]: '''мен сенээ ынак мен''' («мэн сэнээ ынак мэн»). # [[Файл:Flag of Baringo County.svg|22px|border]] [[w:en:Tugen language|Туген]]: '''achamin''' («атшамин»).<p>[[w:Гвичин|Тукуд]]: см. Гвичин # [[Файл:Снимок экрана 2024-10-21 в 15.30.55.png|22px|border]] [[w:Тулу|Тулу]]: '''ಯಾನ್ ಈರೆನ್ ಮೋಕೆ ಮಲ್ಪುವೆ''' («яан иирэн мооке малпувэ»). # [[Файл:Flag of Malawi.svg|22px|border]] [[w:Тумбука (язык)|Тумбука]]: '''nkhukutemwa''' («нкукутэмуа»).<p>[[w:Эвенкийский язык|Тунгусский]]: см. Эвенкийский # [[Файл:Flag of Taymyr Autonomous Okrug.svg|22px|border]] [[w:Тундровый энецкий язык|Тундровый энецкий]]: '''модь тоди комитазʼʼ''' («модь тоди комита́з»). # [[Файл:Flag of Louisiana.svg|22px|border]] [[w:Туника (язык)|Туника]]: '''ma ihkmahka''' («ма ихкмахка») - мужчине, '''hɛma ihkmahka''' («хема ихкмахка») - женщине. # [[Файл:Flag of Tunisia.svg|22px|border]] [[w:Тунисский диалект арабского языка|Тунисский арабский]]: '''نحبك''' («нхэббик»). # [[Файл:Flag of Brazil.svg|22px|border]] [[w:Тупи (язык)|Тупи]]: '''oroaûsub''' («ороауусуб»).<p>[[w:Тупи (язык)|Тупинамба]]: см. Тупи # [[Файл:Flag of Chad.svg|22px|border]] [[w:en:Tupuri language|Тупури]]: '''ndi damo''' («нди дамо»). # [[Файл:Flag of Turkey.svg|22px|border]] [[w:Турецкий язык|Турецкий]]: '''seni seviyorum''' («сени севиёрум»). # [[Файл:Flag of Turin.svg|22px|border]] [[w:Пьемонтский язык|Туринский пьемонтский]]: '''ët veui bin''' («эт веуй бин»). # [[Файл:Flag of Turkmenistan.svg|22px|border]] [[w:Туркменский язык|Туркменский]]: '''men seni söýýärin''' («мэн сэни сёйярин»). # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:У (язык)|У]]: '''我爱侬''' («нгу э нон»). # [[Файл:Flag of the Isle of Wight.svg|22px|border]] Уайтский: '''íy ímbróðorlufu fa ðu''' («ий имбросорлуфу фа су»).<p>[[w:Уолайта|Уаламо]]: см. Уолайта # [[Файл:Flag of Veracruz.svg|22px|border]] [[w:Уастекский науатль|Уастекский науатль]]: '''nimitstlasotla''' («нимицтласотла»).<p>[[w:Уолайта|Уба]]: см. Уолайта # [[Файл:Ubykh banner.png|22px|border]] [[w:Убыхский язык|Убыхский]]: '''tʂʼanə wəzbja''' («тс ана уазбйа»).<p>[[w:Уоллисский язык|Увеа]]: см. Уоллисский<p>[[w:Эякский язык|Угаленцский]]: см. Эякский # [[Файл:Флаг удин.png|22px|border]] [[w:Удинский язык|Удинский]]: '''зу ва чуресса''' («зу ва чуресса»). # [[Файл:Flag of Udmurtia.svg|22px|border]] [[w:Удмуртский язык|Удмуртский]]: '''мон тонэ яратӥсько''' («мон тонэ яратыщко»). # [[Файл:Flag of Primorsky Krai.svg|22px|border]] [[w:Удэгейский язык|Удэгейский]]: '''би синова аюми''' («би синова аюми»).<p>[[w:Удэгейский язык|Удэйский]]: см. Удэгейский # [[Файл:Flag of Uzbekistan.svg|22px|border]] [[w:Узбекский язык|Узбекский]]: '''men sizni sevaman''' («мэн сизни сэваман»). # [[Файл:Kokbayraq flag.svg|22px|border]] [[w:Уйгурский язык|Уйгурский]]: '''مەن سېنى ياخشى كۆرىمەن''' («сизни яхши корман»). # [[Файл:Flag of Ukraine.svg|22px|border]] [[w:Украинский язык|Украинский]]: '''я тебе кохаю''' («я тэбэ кохаю»). # [[Файл:Flag of Khabarovsk Krai.svg|22px|border]] [[w:Ульчский язык|Ульчский]]: '''би симбэ улэсии''' («би симбэ улэсии»).<p>[[w:Южный мбунду|Умбунду]]: см. Южный мбунду # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Уме-саамский язык|Уме-саамский]]: '''månna ráhkistan du''' («монна рахкистан ду»). # [[Файл:Wolayta traditional pattern.png|22px|border]] [[w:Уолайта|Уолайта]]: '''ta nena siiqays''' («та нэна сиикайс»), '''taani nena siiqays''' («таани нэна сиикайс»). # [[Файл:Flag of Wallis and Futuna.svg|22px|border]] [[w:Уоллисский язык|Уоллисский]]: '''ʼe ʼau ʼofa ia koe''' («э ау офа иа коэ»). # [[Файл:Flag of Pakistan.svg|22px|border]] [[w:Урду|Урду]]: '''میں آپ سے محبت کَرتا ہوں''' («мэйн ап сай мухабат карта хун») — женщине; '''میں آپ سے محبت کرتی ہوں''' («мэйн ап сай мухабат карти хун») — мужчине. # [[Файл:Flag of Uropi.svg|22px|border]] [[w:en:Uropi|Уропи]]: '''i liam ta''' («и лиам та») - неформально; '''i liam va''' («и лиам ва») - формально. # [[Файл:Bandeira do Maranhão.svg|22px|border]] [[w:Урубу-каапор (язык)|Урубу-каапор]]: '''rê-putare dê''' («рээ путарэ дээ»). # [[Файл:Flag of the union of the Niger delta Republic.jpg|22px|border]] [[w:en:Urhobo language|Урхобо]]: '''mi vwo ẹguọnọ wẹn''' («ми вуо эгуоно вэн»).<p>[[w:Тувинский язык|Урянхайский]]: см. Тувинский<p>[[w:Успантекский язык|Успантек]]: см. Успантекский<p>[[w:Успантекский язык|Успантеко]]: см. Успантекский # [[Файл:Bandera de Uspantán.png|22px|border]] [[w:Успантекский язык|Успантекский]]: '''at chwaaj''' («ат чуах»).<p>[[w:Алабугатско-татарский язык|Утарский]]: см. Алабугатско-татарский<p>[[w:Цатский язык|Уцат]]: см. Цатский<p>[[w:Цатский язык|Уцатский]]: см. Цатский<p>[[w:Цатский язык|Уцульский]]: см. Цатский<p>[[w:Валлийский язык|Уэльский]]: см. Валлийский # [[Файл:FlagOfWessex.svg|22px|border]] [[w:Уэссекский диалект древнеанглийского языка|Уэссекский древнеанглийский]]: '''ic lufie þe''' («ик луфиэ сэ»).<p>[[w:Уоллисский язык|Фака'увеа]]: см. Уоллисский # [[Файл:Flag of Chin State.svg|22px|border]] [[w:en:Falam language|Фалам]]: '''ka lo duh tuk''' («ка ло дух тук»), '''ka lo ngai''' («ка ло нгаи»). # [[Файл:Flag of Equatorial Guinea.svg|22px|border]] [[w:Фанг (язык)|Фанг]]: '''ma dzing wa''' («ма дзинг ва»), '''ma gnôre wa''' («ма гноре ва»). # [[Файл:Flag of Ashanti.svg|22px|border]] [[w:en:Fante dialect|Фанте]]: '''me dowapaa''' («мэ довапаа»).<p>[[w:Фарерский язык|Фарейский]]: см. Фарерский # [[Файл:Flag of the Faroe Islands.svg|22px|border]] [[w:Фарерский язык|Фарерский]]: '''eg elski teg''' («э эльши тэ»).<p>[[w:Персидский язык|Фарси]]: см. Персидский<p>[[w:Дари|Фарси-кабули]]: см. Дари # [[Файл:Flag of Ladinia.svg|22px|border]] [[w:it:Dialetto fassano|Фассанский ладинский]]: '''te voi ben''' («тэ вой бэн»).<p>[[w:Фарерский язык|Ферейский]]: см. Фарерский # [[Файл:Bubi nationalist flag.svg|22px|border]] [[w:Фернандо-по (диалект)|Фернандо-по]]: '''mí lɛ́k yú''' («ми лэк ю»). # [[Файл:Flag of Fiji.svg|22px|border]] [[w:Фиджийский язык|Фиджийский]]: '''au domoni iko''' («ондомони ико»), '''au lomani iko''' («онломани ико»). # [[Файл:Flag of Fiji.svg|22px|border]] [[w:Фиджийский хинди|Фиджийский хинди]]: '''main bhi tumko pyaar karti hoon''' («маин бхи тумко пьяар карти хоон»).<p>[[w:Фиджийский хинди|Фиджийский хиндустани]]: см. Фиджийский хинди<p>[[w:Филиппинский язык|Филипино]]: см. Филиппинский # [[Файл:Flag of Philippines.svg|22px|border]] [[w:Филиппинский язык|Филиппинский]]: '''mahal kita''' («махал кита»). # [[Файл:Flag of Philippines.svg|22px|border]] [[w:Филиппинский хокло|Филиппинский хокло]]: '''guwa ya tia di''' («гуа я тья ди»). # [[Файл:Phoenician Language Flag.svg|22px|border]] [[w:Финикийский язык|Финикийский]]: '''𐤀𐤇𐤌𐤃𐤕𐤊''' («ахмдтк»). # [[Файл:Flag of Finland.svg|22px|border]] [[w:Финский язык|Финский]]: '''minä rakastan sinua''' («ми́ня ра́кастан си́нуа»).<p>[[w:Фламандские диалекты|Фламандский]]: см. Восточнофламандский, западнофламандский # [[Файл:Flag of Benin.svg|22px|border]] [[w:Фон (язык)|Фон]]: '''un yí wǎn nú we''' («уньи ван ну ве»). # [[Файл:Greek flag of Thrace (black cross).svg|22px|border]] [[w:Фракийский язык|Фракийский]]: '''az lopt ti''' («аз лопт ти»). # [[Файл:Drapeau arpitan.svg|22px|border]] [[w:Франкопровансальский язык|Франкопровансальский]]: '''je t’amo''' («жэ тьямо»). # [[Файл:Flag of France.svg|22px|border]] [[w:Французский язык|Французский]]: '''je t’aime''' («жё тэм») # [[Файл:Bandiere dal Friûl.svg|22px|border]] [[w:Фриульский язык|Фриульский]]: '''ti vuei ben''' («ти вуэй бэн»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Фула (язык)|Фула]]: '''mbe de yid ma''' («мбе дэ йид ма»). # [[Файл:Flag of Uganda.svg|22px|border]] [[w:en:Fuliiru language|Фулииру]]: '''nakusima''' («накусима»).<p>[[w:Фриульский язык|Фурланский]]: см. Фриульский # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Fut language|Фут]]: '''ma khoŋe gho''' («ма кхонэ гхо»). # [[Файл:Flag of Lesotho.svg|22px|border]] [[w:en:Phuthi language|Фути]]: '''giyakutshadza''' («гийякутшадза»).<p>[[w:Горани|Хаврами]]: см. Горани # [[Файл:Bandera de Meghalaya.svg|22px|border]] [[w:en:Hajong language|Хаджонг]]: '''môy tôge bhala pae''' («мой тоге бхала паэ»), '''moi toge mon khai''' («мой тоге мон кхай»). # [[Файл:Flag of Haida Gwaii.svg|22px|border]] [[w:Хайда (язык)|Хайда]]: '''dang dii kuyadang''' («данг дии куйаданг»).<p>[[w:Кайтагский язык|Хайдакский]]: см. Кайтагский<p>[[w:Цатский язык|Хайнаньско-чамский]]: см. Цатский<p>[[w:Кайтагский язык|Хайтакский]]: см. Кайтагский<p>[[w:Чинский язык|Хака]]: см. Чинский # [[Файл:Flag of Huehuetenango Department.svg|22px|border]] [[w:Хакальтекский язык|Хакальтекский]]: '''chach woche''' («чачуоче»). # [[Файл:Khakas ethnic flag.svg|22px|border]] [[w:Хакасский язык|Хакасский]]: '''мин син хынара''' («мин син хынара»).<p>[[w:Сефардский язык|Хакетия]]: см. Сефардский # [[Файл:Flag of Hakka Party.svg|22px|border]] [[w:Хакка (язык)|Хакка]]: '''𠊎愛你''' («на ой ни»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Халкомелем|Халкомелем (халкуминум)]]: '''nu stl’i’ ch''' («на стлич»). # [[Файл:Flag of Yugra.svg|22px|border]] [[w:Хантыйский язык|Хантыйский]]: '''ма ԓӑӊӄԓәм нӱӊат''' («ма ланклэм нунат»). # [[Файл:Occ. Mindoro Flag.png|22px|border]] [[w:en:Hanunoo language|Ханунуо]]: '''ᜫᜱᜮ᜴ ᜣᜯᜳ ᜨᜲᜣᜳ''' («махал каво нико»).<p>[[w:Хариани|Харианви]]: см. Хариани # [[Файл:Flag of Haryana.svg|22px|border]] [[w:Хариани|Хариани]]: '''ma tanna pyaar karun hun''' («ма танна пьяар карун хун»), '''tu mane ghane achi lage''' («ту манэ гханэ ачи лаге»). # [[Файл:Flag of Mauritania.svg|22px|border]] [[w:Хассания|Хассания]]: '''kanebgheek''' («канебгхеек»). # [[Файл:Flag of the Hausa people.svg|22px|border]] [[w:Хауса (язык)|Хауса]]: '''ina son ka''' («ина сон ка») - мужчине, '''ina son ki''' («ина сон ки») - женщине. # [[Файл:Flag of Dagestan.svg|22px|border]] [[w:Хваршинский язык|Хваршинский]]: '''дил мо гокъше''' («дил мо гокше»).<p>[[w:Хваршинский язык|Хваршинско-инхокваринский]]: см. Хваршинский<p>[[w:Сефардский язык|Хебронео]]: см. Сефардский # [[Файл:Hittite Culture Flag.webp|22px|border]] [[w:Хеттский язык|Хеттский]]: '''𒉡𒌓𒋫 𒀸𒅆𒅀𒈪''' («нуутта ассиями»). # [[Файл:Flag of Hejaz (1917).svg|22px|border]] [[w:Хиджазский диалект арабского языка|Хиджазский арабский]]: '''أحبك‎''' («ахуббак») — мужчине, '''أحبك‎''' («ахуббик») — женщине. # [[Файл:Flag of Ilolio (1886-1898).svg|22px|border]] [[w:Хилигайнон (язык)|Хилигайнон]]: '''palangga ta ka''' («палангга та ка»), '''palangga ko ikaw''' («палангга ко ико»), '''guina higugma ko ikaw''' («гуина хигугма ко ико»). # [[Файл:Flag of India.svg|22px|border]] [[w:Хинглиш|Хинглиш]]: '''mujhe aapako pasand hai''' («муджэ аапако пасанд хай»).<p>[[w:Хиндустани|Хиндави]]: см. Хиндустани # [[Файл:Flag of India.svg|22px|border]] [[w:Хинди|Хинди]]: '''मैं तुमसे प्यार करता हुँ''' («майн тумсе пьяар картаа хуун») — женщине; '''मैं तुमसे प्यार करती हुँ''' («майн тумсе пьяар картии хуун») — мужчине. # [[Файл:Flag of India.svg|22px|border]] [[w:Хиндустани|Хиндустани]]: '''मैं तुमसे प्यार करता हुँ''' («майн тумсе пьяар картаа хуун»), '''میں آپ سے محبت کَرتا ہوں''' («мэйн ап сай мухабат карта хун») — женщине; '''मैं तुमसे प्यार करती हुँ''' («майн тумсе пьяар картии хуун»), '''میں آپ سے محبت کرتی ہوں''' («мэйн ап сай мухабат карти хун») — мужчине. # [[Файл:Flag of Papua New Guinea.svg|22px|border]] [[w:Хири-моту|Хири-моту]]: '''oi lau lalokau henia''' («ои лау лалокау хэниа»).<p>[[w:Микасуки (язык)|Хитчити-микасуки]]: см. Микасуки # [[Файл:Bandeira do Amazonas.svg|22px|border]] [[w:Хишкарьяна (язык)|Хишкарьяна]]: '''kɨxirohimayaha''' («кышироимайяа»). # [[Файл:Hmong Flag (UNPO).svg|22px|border]] [[w:Хмонг (язык)|Хмонг]]: '''kuv hlub koj''' («кув хлуб кой»). # [[Файл:Hmong Flag (UNPO).svg|22px|border]] [[w:Хмонг (язык)|Хмонг-даы]]: '''kuv hlub koj''' («кув хлуб кой»). # [[Файл:Flag of Jharkhand.svg|22px|border]] [[w:Хо (язык)|Хо]]: '''amań sukua tana''' («аман сукуа тана»), '''abeneń sukua tana''' («абенен сукуа тана»).<p>[[w:Хокло (язык)|Хоккен]]: см. Хокло<p>[[w:Хокло (язык)|Хоккиен]]: см. Хокло # [[Файл:Flag of the Republic of China.svg|22px|border]] [[w:Хокло (язык)|Хокло]]: '''我爱你''' («гоа ай ли»). # [[Файл:Flag of Arizona.svg|22px|border]] [[w:Хопи (язык)|Хопи]]: '''nu’ umi unangwa’ta''' («ну уми унангуа та»). # [[Файл:Fictitious flag of Lazistan Sanjak.svg|22px|border]] [[w:Лазский язык|Хопский лазский]]: '''ma si p'qorop''' («ма сип гороп»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Хорватосербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сербохорватский язык|Хорвато-сербский]]: см. Сербохорватский # [[Файл:Flag of Croatia.svg|22px|border]] [[w:Хорватский язык|Хорватский]]: '''volim te''' («волим тэ»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Хорватскосербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сербохорватский язык|Хорватско-сербский]]: см. Сербохорватский<p>[[w:Сефардский язык|Худесмо]]: см. Сефардский<p>[[w:Сян (язык)|Хунаньский]]: см. Сян # [[Файл:Hunsrik language flag.png|22px|border]] [[w:Хунсрюкский диалект|Хунсрюкский]]: '''ich liipe tich''' («ихь лиэпэ тихь»).<p>[[w:Истмусский сапотекский язык|Хучитанский сапотекский]]: см. Истмусский сапотекский<p>[[w:Цатский язык|Хуэйхуэйский]]: см. Цатский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Хэн (язык)|Хэн]]: '''nihtsį̀'''' («нитси»). # [[Файл:Flag of Hainan in the National Games of China.svg|22px|border]] [[w:Цатский язык|Цатский]]: '''gå sio hå''' («го шио хо»). # [[Файл:Цахурский флаг Tsakhur flag علم تساخور.svg|22px|border]] [[w:Цахурский язык|Цахурский]]: '''зас гъу йикканна''' («зас г у йикканна») — женщине; '''зас гъу ыкканна''' («зас г у ыкканна») — мужчине. # [[Файл:Флаг дидойцев.svg|22px|border]] [[w:Цезский язык|Цезский]]: '''даьр ми йетих''' («дар ми етих») — женщине; '''даьр ми этих''' («дар ми этих») — мужчине.<p>[[w:Цельтальский язык|Цельталь]]: см. Цельтальский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Цельтальский язык|Цельтальский]]: '''kʼuxat ta koʼtan''' («кушат та котан»).<p>[[w:Сорани|Центральнокурдский]]: см. Сорани # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Центрально-юпикский язык|Центрально-юпикский (чупик)]]: '''piniqamken''' («беникаамкен»). # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Центрально-юпикский язык|Центрально-юпикский (юпик)]]: '''kenkamken''' («кенкамкен»). # [[Файл:Flag of the Katipuneros of Bicol.svg|22px|border]] [[w:Центральный бикольский язык|Центральный бикольский]]: '''namumutan ta ka''' («намумутан та ка»). # [[Файл:Flag of Mountain Province.png|22px|border]] [[w:en:Central Bontok language|Центральный бонтокский]]: '''laylaychek sik-a''' («лайлайчок сик а»).<p>[[w:Луба-катанга|Центральный луба]]: см. Луба-катанга<p>[[w:Качинский язык|Цзинпо]]: см. Качинский # [[Файл:Banner of the Federation of the Sette Comuni.svg|22px|border]] [[w:Цимбрский язык|Цимбрский]]: '''ich liibe-dich''' («ихь лиибэ-дихь»).<p>[[w:Бацбийский язык|Цоватский]]: см. Бацбийский<p>[[w:Бацбийский язык|Цова-тушинский]]: см. Бацбийский # [[Файл:Conlangflag.svg|22px|border]] [[w:en:Tsolyáni language|Цольяни]]: '''lúm tupmér tsámmeri''' («лум тупмэр цаммэри») - любовнику или любимому человеку; '''lúm tupmér eyúltùsmi''' («лум тупмэр эюлтусми») - мужу или жене; '''lúm tupmér ìluntsám''' («лум тупмэр илунцам») - наложнице; '''lúm tupmér tsinéntùsmi''' («лум тупмэр цинэнтусми») - отцу или матери. # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Цоциль (язык)|Цоциль]]: '''jk'anojot''' («джкханоджот»).<p>[[w:Цоциль (язык)|Цоцильский]]: см. Цоциль # [[Файл:Даргинский флаг (неофициальный, одна из народных вариаций).jpg|22px|border]] [[w:Цудахарский язык|Цудахарский]]: '''дам гIу риккутте''' («дам гу рикутэ»). # [[Файл:Bandera de Panajachel.png|22px|border]] [[w:Цутухильский язык|Цутухильский]]: '''natwajo'''' («натуахо»). # [[Файл:Flag of the Romani people.svg|22px|border]] [[w:Цыганский язык|Цыганский]]: '''kamav tut''' («камав тут»), '''me mangav tut''' («мэ мангав тут»). # [[Файл:Purported flag of the Republic of Zamboanga.svg|22px|border]] [[w:Чабакано|Чабакано (замбоангеньо)]]: '''ama yo contigo''' («ама йо контиго»). # [[Файл:Flag of Cavite City.svg|22px|border]] [[w:Чабакано|Чабакано (кавитеньо)]]: '''ta ama yo cuntigo''' («та ама йо кунтиго»).<p>[[w:Чабакано|Чавакано]]: см. Чабакано # [[Файл:Flag of Chad.svg|22px|border]] [[w:Чадский диалект арабского языка|Чадский арабский]]: '''ni ridiki''' («ни ридики»). # [[Файл:Chakma Flag.jpg|22px|border]] [[w:Чакма (язык)|Чакма]]: '''𑄟𑄪𑄭 𑄖𑄧𑄬𑄢 𑄇𑄮𑄌𑄴 𑄛𑄋𑄴''' («муи таре коц паань»). # [[Файл:Flag of Guam.svg|22px|border]] [[w:Чаморро (язык)|Чаморро]]: '''hu guiaya hao''' («ю куайца хуо»). # [[Файл:Bandera Front Alliberament Cham.svg|22px|border]] [[w:Чамский язык|Чамский]]: '''ai ranam dai''' («аи ранам даи») — женщине; '''dai ranam ai''' («даи ранам аи») — мужчине.<p>[[w:Лазский язык|Чанский]]: см. Лазский # [[Файл:Flag of the State of Amb.svg|22px|border]] [[w:en:Chachhi dialect|Чачхи]]: '''ਮੈਂ ਤੁਸਾਂ ਤੋਂ ਇਸ਼ਕ ਕਰਨਾ ਹੈ''' («мэ тусан то ишк карна ха»).<p>[[w:Тсвана (язык)|Чвана]]: см. Тсвана # [[Файл:Flag of Ashanti.svg|22px|border]] [[w:Чви|Чви]]: '''medɔ wo''' («медэ во»).<p>[[w:Акан|Чви-фанти]]: см. Акан<p>[[w:Ньянджа|Чева]]: см. Ньянджа<p>[[w:Шайенский язык|Чейенский]]: см. Шайенский # [[Файл:Flag of Altai Republic.svg|22px|border]] [[w:Челканское наречие|Челканский]]: '''мен сени колинтим''' («мен сэни колинтим»). # [[Файл:Flag of Montenegro.svg|22px|border]] [[w:Черногорский язык|Черногорский]]: '''volim te''' («волим тэ»). # [[Файл:Flag of the Cherokee Nation.svg|22px|border]] [[w:Чероки (язык)|Чероки]]: '''ᎬᎨᏳᎢ''' («гегею и»). # [[Файл:Flag of Chechen Republic of Ichkeria.svg|22px|border]] [[w:Чеченский язык|Чеченский]]: '''суна хьо йеза''' («суна хьо йеза») — женщине; '''суна хьо веза''' («суна хьо веза») — мужчине. # [[Файл:Flag of the Czech Republic.svg|22px|border]] [[w:Чешский язык|Чешский]]: '''miluji tě''' («милуйи те»). # [[Файл:Flag of the Zhuang people.svg|22px|border]] [[w:Чжуанский язык|Чжуанский]]: '''gou gyaez mwngz''' («гоу гьяэз мвунгз»). # [[Файл:Flag of Lordship of Butung (Buton).svg|22px|border]] [[w:Чиа-чиа|Чиа-чиа]]: '''indau pe`elu iso`o''' («индау пе элу исо о»).<p>[[w:Венда (язык)|Чивенда]]: см. Венда # [[Файл:Flag of the Chickasaw Nation.svg|22px|border]] [[w:Чикасавский язык|Чикасавский]]: '''chĩholloli''' («чинхоллоли»).<p>[[w:Чикасавский язык|Чикасо]]: см. Чикасавский<p>[[w:Луба (язык)|Чилуба]]: см. Луба # [[Файл:Flag of the Chin National Front.svg|22px|border]] [[w:Чинский язык|Чинский]]: '''kan dawt tuk''' («кан доут тук»). # [[Файл:Bandera chinook.svg|22px|border]] [[w:Чинукский жаргон|Чинукский]]: '''nayka tiki mayka ''' («найка тики майка»).<p>[[w:Ньянджа|Чиньянджа]]: см. Ньянджа # [[Файл:Flag of the Northwest Territories.svg|22px|border]] [[w:Чипевайан (язык)|Чипевайан]]: '''neghąnighitą''' («неганигтха»). # [[Файл:Flag of the Chittagong Hill Tracts Shanti Bahini.svg|22px|border]] [[w:en:Chittagonian language|Читтагонгский]]: '''আঁই তুয়ানরে বেশি গোম লাগে''' («аами туйяанарээ бееси гоома лаагеэ»).<p>[[w:Ньянджа|Чичева]]: см. Ньянджа # [[Файл:Flag of Lunda Tchokwe.svg|22px|border]] [[w:Чокве (язык)|Чокве]]: '''yami nakukuzanga''' («ями накукузанга»). # [[Файл:Choctaw flag.svg|22px|border]] [[w:Чоктавский язык|Чоктавский]]: '''chi hollo li''' («чи холло ли»).<p>[[w:Чоктавский язык|Чокто]]: см. Чоктавский # [[Файл:Flag of the Mayan People.svg|22px|border]] [[w:Чорти (язык)|Чорти]]: '''ink’anye’t''' («инк анье т»).<p>[[w:Тсвана (язык)|Чуана]]: см. Тсвана # [[Файл:Flag of Chuvashia 1918.jpg|22px|border]] [[w:Чувашский язык|Чувашский]]: '''эпĕ сана юрататăп''' («эбэ сана юрададэп»). # [[Файл:Flag of the Free State of Chutkotka.svg|22px|border]] [[w:Чукотский язык|Чукотский]]: '''гымнан гыт ыʼԓгу тыԓгыркынигыт''' («гымнан гыт ыьлгу тыьлгыркынигыт»). # [[Файл:Flag of the Chulym People.svg|22px|border]] [[w:Чулымский язык|Чулымский]]: '''мӓн сены қынывлым''' («мэн сены кынывлым»).<p>[[w:Трукский язык|Чуукский]]: см. Трукский<p>[[w:Чухский язык|Чух]]: см. Чухский # [[Файл:Flag of Huehuetenango Department.svg|22px|border]] [[w:Чухский язык|Чухский]]: '''tzach wochk’olej''' («цач уочк олех»). # [[Файл:..Chhattisgarh Flag(INDIA).png|22px|border]] [[w:Чхаттисгархи|Чхаттисгархи]]: '''main tor se maya karatho''' («маин тор се майя каратхо»). # [[Файл:Flag of Northern Cheyenne.svg|22px|border]] [[w:Шайенский язык|Шайенский]]: '''nemehotatse''' («немехотист»).<p>[[w:Тсонга (язык)|Шангаан]]: см. Тсонга # [[Файл:Flag of the Shan State.svg|22px|border]] [[w:Шанский язык|Шанский]]: '''ႁိဝ်းႁၵ်ႉသူ''' («хау ха су»). # [[Файл:Proposed National Flag of Shanghai.svg|22px|border]] [[w:Шанхайский диалект|Шанхайский]]: '''侬爱你''' («нгу э нон»).<p>[[w:Шауйя (язык)|Шауйа]]: см. Шауйя # [[Файл:Flag of Chaouia.svg|22px|border]] [[w:Шауйя (язык)|Шауйя]]: '''ttexseɣ-cem''' («ттэкссэх кем») - женщине, '''tehibighichek''' («тэхибигичек») - мужчине. # [[Файл:Flag of Baden-Württemberg (state, lesser arms).svg|22px|border]] [[w:Швабский диалект|Швабский]]: '''i mog di''' («и мог ди»), '''i han di oifach gern''' («и хан ди ойфах гэрн»). # [[Файл:Flag of Sweden.svg|22px|border]] [[w:Шведский язык|Шведский]]: '''jag älskar dig''' («я эльскар дэй»). # [[Файл:Civil Ensign of Switzerland.svg|22px|border]] [[w:Швейцарский диалект|Швейцарский немецкий]]: '''ich liib dich''' («ихь лииб дихь»), '''i ha di gärn''' («и ха ди герн»), '''i liäbä di ''' («и льебе ди»).<p>[[w:Романшский язык|Швейцарский ретороманский]]: см. Романшский<p>[[w:Шайенский язык|Шейенский]]: см. Шайенский # [[Файл:Irish Traveller Movement flag.svg|22px|border]] [[w:Шелта|Шелта]]: '''gra a mo gris''' («гра а мо грис»). # [[Файл:Flag of Shilha people. Drapeau chleuh.png|22px|border]] [[w:Шильхские языки|Шильхский]]: '''ar kʷn ttiriɣ''' («ар кун ттиригх»). # [[Файл:Flag of Azad Kashmir.svg|22px|border]] [[w:Шина (язык)|Шина]]: '''mas tut khush thamus''' («мас тут хуш тамус»).<p>[[w:Чадский диалект арабского языка|Шоа]]: см. Чадский арабский # [[Файл:Flag of Rhodesia (1968-1979).svg|22px|border]] [[w:Шона (язык)|Шона]]: '''ndinokuda''' («ндинокуда»). # [[Файл:Флаг Шорцев.svg|22px|border]] [[w:Шорский язык|Шорский]]: '''мен саға кӧленчам''' («мэн саха кёленчам»). # [[Файл:Flag of Scotland.svg|22px|border]] [[w:Шотландский язык (германский)|Шотландский (германский)]]: '''ah loove ye''' («ах лоов йе»). # [[Файл:Flag of Scotland.svg|22px|border]] [[w:Шотландский язык (кельтский)|Шотландский (кельтский)]]: '''tha gaol agam ort''' («хах геул ах-кум оршт»), '''tha gràdh agam dhuibh''' («хах грай ах-кум хуий»).<p>[[w:Пикардский язык|Шти]]: см. Пикардский<p>[[w:Чадский диалект арабского языка|Шува]]: см. Чадский арабский # [[Файл:Pamiri Flag.webp|22px|border]] [[w:Шугнанский язык|Шугнанский]]: '''uzum tu žīwj''' («узум ту живдьж»). # [[Файл:Ea (Babilonian) - EnKi (Sumerian).jpg|22px|border]] [[w:Шумерский язык|Шумерский]]: '''𒍝𒂊𒆠𒉘𒈬''' («за э(г) ки аг му»). # [[Файл:Flag of British Columbia.svg|22px|border]] [[w:Шусвап|Шусвап]]: '''xwexwistsín''' («хуохуистсин»).<p>[[w:Карабахский диалект армянского языка|Шушинский]]: см. Карабахский армянский # [[Файл:Flag of the Ewe people.svg|22px|border]] [[w:Эве (язык)|Эве]]: '''melɔ̃ wò''' («мэлэ во»). # [[Файл:Flag of Evenks.svg|22px|border]] [[w:Эвенкийский язык|Эвенкийский]]: '''би синэ аявдем''' («би синэ аявдем»).<p>[[w:Эвенкийский язык|Эвенкский]]: см. Эвенкийский # [[Файл:Flag of Eveno-Bytantaysky National District.png|22px|border]] [[w:Эвенский язык|Эвенский]]: '''би ину аяврым''' («би ину аяврым»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:Эвондо|Эвондо]]: '''ma ding wa''' («ма динг ва»).<p>[[w:Мегрельский язык|Эгерский]]: см. Мегрельский # [[Файл:Montagnard Degar Association (MDA) created in 1987 - Marko de Haeck.png|22px|border]] [[w:Эде (язык)|Эде]]: '''khăp ih''' («кхап их»). # [[Файл:Flag of Edo State.svg|22px|border]] [[w:Эдо (язык)|Эдо]]: '''i rue mwen we''' («и уэ муэн уэ»). # [[Файл:Elfdalian flag.png|22px|border]] [[w:Эльвдальский диалект|Эльвдальский]]: '''ig tyttjer um dig''' («иг тюттья ум дэй»), '''ig elsker dig''' («иг эльска дэй»). # [[Файл:Flag of Alsace.svg|22px|border]] [[w:Эльзасский диалект|Эльзасский]]: '''ich hàb lieb fir dich''' («ихь хаб либ фир дихь»).<p>[[w:Синдарин|Эльфийский]]: см. Синдарин # [[Файл:Flag of Emilia-Romagna (de facto).svg|22px|border]] [[w:Эмилиано-романьольский язык|Эмилиано-романьольский]]: '''a t vói bän''' («а т вои бэн»). # [[Файл:Emoji u1f3f3.svg|24px]] [[w:Эмодзи|Эмодзи]]: '''👤💖👆''' (один из множества вариантов).<p>[[w:Энецкие языки|Энецкий]]: см. Лесной энецкий, тундровый энецкий<p>[[w:Эрзянский язык|Эрзя-мордовский]]: см. Эрзянский # [[Файл:Erzya Flag.svg|22px|border]] [[w:Эрзянский язык|Эрзянский]]: '''мон тонь вечктян''' («мон тонь вечктян»). # [[Файл:Flag of Esperanto.svg|22px|border]] [[w:Эсперанто|Эсперанто]]: '''mi amas vin''' («ми амас вин»). # [[Файл:Flag of Estonia.svg|22px|border]] [[w:Эстонский язык|Эстонский]]: '''ma armastan sind''' («ма армастан син»). # [[Файл:Flag of Extremadura, Spain (with coat of arms).svg|22px|border]] [[w:Эстремадурский язык|Эстремадурский]]: '''te quieru''' («тэ куеру»). # [[Файл:Flag of Cameroon.svg|22px|border]] [[w:en:Eton language|Этон]]: '''me te wa ding''' («мэ тэ ва дин»). # [[Файл:Etruscan e peculiar form.svg|22px|border]] [[w:Этрусский язык|Этрусский]]: '''𐌕𐌄 𐌄𐌕𐌀''' («тэ эта»). # [[Файл:Cross River State Flag.svg|22px|border]] [[w:en:Efik language|Эфик]]: '''mme ama fi''' («мме ама фи»).<p>[[w:Геэз|Эфиопский]]: см. Геэз<p>[[w:Эякский язык|Эяк]]: см. Эякский # [[Файл:Flag of Alaska.svg|22px|border]] [[w:Эякский язык|Эякский]]: '''ilah qe`xleh''' («илах ке'шлех»). # [[Файл:Flag of Dinka people.svg|22px|border]] [[w:Динка (язык)|Юго-западный динка]]: '''yïn nhiaar''' («йиин ниаар»).<p>[[w:Сербохорватский язык|Югославский]]: см. Сербохорватский # [[Файл:Flag of South Azerbaijan.svg|22px|border]] [[w:Азербайджанский язык|Южноазербайджанский]]: '''من سنی سویرم''' («мэн сэны сэвырым»).<p>[[w:Алтайский язык|Южноалтайский]]: см. Алтайский # [[Файл:Flag of Madagascar.svg|22px|border]] [[w:Малагасийский язык|Южнобецимисаракский малагасийский]]: '''tiako iha''' («тьяко иха»). # [[Файл:Flag of Bolivia.svg|22px|border]] [[w:Южно-боливийский кечуа|Южно-боливийский кечуа]]: '''qanta munani''' («канта мунани»).<p>[[w:Чиа-чиа|Южно-бутонский]]: см. Чиа-чиа<p>[[w:Чиа-чиа|Южно-бутунгский]]: см. Чиа-чиа # [[Файл:Flag of South Yemen.svg|22px|border]] [[w:Южнойеменский диалект арабского языка|Южнойеменский арабский]]: '''احبك''' («ахибук»).<p>[[w:Пехлевани|Южнокурдский]]: см. Пехлевани # [[Файл:Flag of Israel.svg|22px|border]] [[w:en:South Levantine Arabic|Южнолевантийский арабский]]: '''بحبك''' («бихаббики»).<p>[[w:Хокло (язык)|Южноминьский]]: см. Хокло<p>[[w:Лимбургский язык|Южнонижнефранкский]]: см. Лимбургский # [[Файл:Sami flag.svg|22px|border]] [[w:Южносаамский язык|Южносаамский]]: '''manne datnem eahtsam''' («маннэ датнэм эхцам»). # [[Файл:Flag of Selkup people.svg|22px|border]] [[w:Селькупский язык|Южноселькупский (нарымский)]]: '''мат ташэнд надрам''' («мат та́шэнд на́драм»). # [[Файл:Flag of Selkup people.svg|22px|border]] [[w:Селькупский язык|Южноселькупский (чулымский)]]: '''ман ста суоранг''' («ман ста суоранг»). # [[Файл:Berber flag.svg|22px|border]] [[w:Среднеатласские тамазигхтские диалекты|Южносуксабтский среднеатласский тамазигхт]]: '''ⴷⴰ ⴽ ⵜⵜⵉⵔⵉⵖ/da k ttiriɣ''' («дак тирех») - женщине, '''ⴷⴰ ⴽⴻⵎ ⵜⵜⵉⵔⵉⵖ/da kem ttiriɣ''' («дакм тирех») - мужчине. # [[Файл:Флаг юкагиров 17-21 века.png|22px|border]] [[w:Южноюкагирский язык|Южноюкагирский]]: '''мэт тэтэк амудьиимэҥ''' («мэт тэтэк амудьиимэн»). # [[Файл:Flag of Sierra Leone.svg|22px|border]] [[w:en:Kissi language|Южный кисси]]: '''i kaala num''' («и каала нум»). # [[Файл:Flag of Angola.svg|22px|border]] [[w:Южный мбунду|Южный мбунду]]: '''ndu ku sole''' («нду ку соле»).<p>[[w:Мамаинде|Южный намбиквара]]: см. Мамаинде # [[Файл:Flag of KwaNdbele.svg|22px|border]] [[w:Южный ндебеле|Южный ндебеле]]: '''ngiyakuthanda''' («нгийякутханда»). # [[Файл:Flag of Khyber Pakhtunkhwa.svg|22px|border]] [[w:en:Southern Pashto|Южный пушту]]: '''زه له تا سره مينه لرم''' («за сатá сарá миналарáм»).<p>[[w:Сесото|Южный сото]]: см. Сесото # [[Файл:Flag of the Subanon People.svg|22px|border]] [[w:Субанон (язык)|Южный субанон]]: '''dlelamen hu yaa''' («длеламен ху яа»). # [[Файл:Flag of New Mexico.svg|22px|border]] [[w:Южный тива|Южный тива]]: '''еee-peinoom''' («эээ-пеиноом»). # [[Файл:Bandera Maya Peninsular.svg|22px|border]] [[w:Юкатекский язык|Юкатекский]]: '''in yaabilmech''' («ин яабилмэч»). # [[Файл:Flag of China.svg|22px|border]] [[w:Ю-мьен|Ю-мьен]]: '''yie hnamv meih''' («йиа хнум май»). # [[Файл:Flag of California.svg|22px|border]] [[w:Юрок (язык)|Юрок]]: '''pyerwerkseechek'''' («пьервэрксичек»).<p>[[w:Туника (язык)|Юрон]]: см. Туника<p>[[w:Юэ (язык)|Ютский]]: см. Юэ # [[Файл:Great Cantonia Flag.svg|22px|border]] [[w:Юэ (язык)|Юэ]]: '''我愛你''' («уо ай ни»).<p>[[w:Юэ (язык)|Юэский]]: см. Юэ # [[Файл:Flag of the Mataram Sultanate.svg|22px|border]] [[w:Яванский язык|Яванский]]: '''ꦏꦸꦭꦠꦽꦱ꧀ꦤꦥꦚ꧀ꦗꦼꦤꦼꦁꦔꦤ꧀''' («кула трэсна пандженган»), '''ꦲꦏꦸꦱꦼꦤꦼꦁꦏꦺꦴꦮꦺ''' («аку сэнэнг коуэ»).<p>[[w:Ямана|Яган]]: см. Ямана<p>[[w:Ямана|Яганский]]: см. Ямана<p>[[w:Ягнобский язык|Ягноби]]: см. Ягнобский # [[Файл:Flag of Gorno-Badakhshan.svg|22px|border]] [[w:Ягнобский язык|Ягнобский]]: '''ман таw азиз доромиште''' («ман тау азиз доромиште»). # [[Файл:Flag of Basilan.svg|22px|border]] [[w:en:Yakan language|Якан]]: '''mabaya ku si kau''' («мабая ку си кау»). # [[Файл:Flag of the Pascua Yaqui Tribe of Arizona.svg|22px|border]] [[w:Яки (язык)|Яки]]: '''inepo enchi ne waa’ta''' («инепо энчи не уаа та»). # [[Файл:Flag of Sakha.svg|22px|border]] [[w:Якутский язык|Якутский]]: '''мин эйиигин таптыыбын''' («мин эйиигин таптыбын»).<p>[[w:Ямайский креольский язык|Ямайский креол]]: см. Ямайский креольский # [[Файл:Flag of Jamaica.svg|22px|border]] [[w:Ямайский креольский язык|Ямайский креольский]]: '''mi love yuh''' («ми лав юх»).<p>[[w:Ямайский креольский язык|Ямайский патуа]]: см. Ямайский креольский # [[Файл:Flag of Yaghan people in Chile.png|22px|border]] [[w:Ямана|Ямана]]: '''hai kúru skä''' («хэй кур скэ»). # [[Файл:Flag of Gibraltar.svg|22px|border]] [[w:Янито|Янито]]: '''te quiero''' («тэ керо»). # [[Файл:Flag of Amazonas Indigenous State.svg|22px|border]] [[w:Яномами (язык)|Яномами]]: '''ya pihi irakema''' («я пихи иракема»). # [[Файл:Flag of Malawi.svg|22px|border]] [[w:en:Yao language|Яо]]: '''ngusamnonyela''' («нгусамноньела»). # [[Файл:Flag of Japan.svg|22px|border]] [[w:Японский язык|Японский]]: '''愛してる''' («айшитэру»).<p>[[w:Япский язык|Яп]]: см. Япский # [[Файл:Flag of Yap.svg|22px|border]] [[w:Япский язык|Япский]]: '''gab t’uf rog''' («габ туф рог»). # [[Файл:Sudovian Flag.png|22px|border]] [[w:Ятвяжский язык|Ятвяжский]]: '''aʃ tawi miłdu''' («аш тави милду»).<p>[[w:Эвондо|Яунде]]: см. Эвондо <!-- # [[w:|язык]]: --> [[Категория:Переводы]] [[Категория:Словари]] [[Категория:Языки]] [[Категория:Учебники без шаблона]] 8sat4bbqv9y90ct3m3mj0z73pnn236y 0 5615 267545 219799 2026-05-20T12:58:14Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267545 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} == Подпространство векторного пространства == Пусть задано векторное пространство '''V''' над полем '''P''' и <math>W \subset V</math>, причём <math>W \ne \varnothing</math>. <br />''Определение:''&nbsp; '''W''' называется подпространством пространства '''V''', если оно само является векторным пространством над полем '''P'''. <span style="color:brown;">''Теорема 1: Критерий подпространства.''</span> Непустое множество <math>W\subset V</math> является подпространством пространства '''V''' тогда и только тогда, когда '''W''' замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Иными словами, выполняются следующие два условия: #<math>\forall \vec x,\vec y \in W \quad \vec x+\vec y \in W</math> #<math>(\forall \alpha \in P) (\forall \vec x \in W)\quad \alpha\vec x \in W </math> <div class="center">Доказательство</div> Если '''W''' является подпространством '''V''', то оно само векторное пространство, поэтому и должно быть замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Обратно, пусть выполняются условия 1) и 2) критерия. По условию 2)&nbsp; <math>\forall \vec x \in W\quad (-1)\vec x=-\vec x \in W </math>, а значит <math>\vec 0=\vec x+(-\vec x)\in W</math>. Поскольку, к тому же, операция сложения векторов ассоциативна на <b>W</b>, то '''W'''- абелева группа относительно сложения векторов (выполняются аксиомы 1-5). Условие 2) также означает, что на '''W''' задана операция умножения векторов на скаляры из '''P'''. Ясно, что все остальные аксиомы векторного пространства для '''W''' выполняются, и поэтому оно является подпространством пространства '''V'''. ''Замечание:'' Условия 1) и 2) критерия можно было заменить следующим равносильным условием: <math>(\forall \alpha, \beta \in P)\quad(\forall \vec x,\vec y \in W)\quad \alpha\vec x+\beta\vec y \in W</math> '''Примеры подпространств:''' *Множество <math>\{\vec 0 \}</math> является подпространством в любом пространстве '''V'''. *Множество компланарных какой-нибудь плоскости α векторов- подпространство в пространстве трёхмерных векторов. *Докажите, применив критерий подпространства, что <math>S=\big\{(a_1,a_2,...a_n)\in P^n \big | \sum_{k=1}^n a_i=0\big\}</math>- подпространство арифметического пространства '''P'''ⁿ. <span style="color:brown;">''Теорема 2:''</span>&nbsp; Пересечение любого семейства подпространств данного пространства '''V''' вновь является подпространством постранства '''V'''. <div class="center">Доказательство</div> Пусть <math>\{V_i \}_{i \in I}</math>- произвольное семейство подпространств пространства '''V'''. Т.к. <math>\vec 0</math> принадлежит любому подпространтву (см. доказательство критерия), то пересечение всех подпространств из этого семейства- не пусто (т.е. <math>\bigcap_i V_i \ne \varnothing</math>). Возьмём произвольные скаляры α и β из поля '''P''' и произвольные векторы <math>\vec x</math> и <math>\vec y</math> из <math>\bigcap_i V_i</math>. Тогда, по критерию, <math>\forall i\quad \alpha\vec x+\beta\vec y \in V_i</math>, а значит <math>\alpha\vec x+\beta\vec y \in \bigcap_i V_i</math>, следовательно, <math>\bigcap_i V_i</math>- подпространство пространства '''V'''. == Линейная оболочка системы векторов == Пусть <math>A=\{\vec a_1,\vec a_2,...\vec a_k\}</math> - система векторов из векторного пространства '''V''' над полем '''P'''. ''Определение 2:''&nbsp; Линейной оболочкой '''L''' системы '''A''' называется множество всех линейных комбинаций векторов системы '''A'''. Обозначение '''L(A)'''. Можно показать, что для любых двух систем '''A''' и '''B''', #'''A''' линейно выражается через '''B''' тогда и только тогда, когда <math>L(A)\subset L(B)</math>.&nbsp;&nbsp; <span style="color:red;">(1)</span> #'''A''' эквивалентна '''B''' тогда и только тогда, когда '''L(A)=L(B)'''.&nbsp;&nbsp; <span style="color:red;">(2)</span><br /> Доказательство следует из предыдущего свойства :3&nbsp;&nbsp; Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства '''V'''. <div class="center">Доказательство</div> Возьмём любые два вектора <math>\vec x</math> и <math>\vec y</math> из '''L(A)''', имеющие следующие разложения по векторам из '''A''': <math>\vec x=\alpha_1 \vec a_1+\alpha_2\vec a_2+...\alpha_k\vec a_k,\;\; \vec y=\beta_1 \vec a_1+\beta_2\vec a_2+...\beta_k\vec a_k </math>. Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия: #<math>\vec x+\vec y=(\alpha_1+\beta_1)\vec a_1+(\alpha_2+\beta_2)\vec a_2+...(\alpha_k+\beta_k)\vec a_k \in L</math>, так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы '''A'''. #<math>(\forall \alpha \in P) (\forall \vec x \in L)\quad \alpha\vec x=\alpha\alpha_1 \vec a_1+\alpha\alpha_2\vec a_2+...\alpha\alpha_k\vec a_k\in L</math>, так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы '''A'''. Рассмотрим теперь матрицу <math>A\in M^{m,n}</math>. Линейная оболочка строк матрицы '''A''' называется строчечным пространством матрицы и обозначается '''L_r(A)'''. Линейная оболочка столбцов матрицы '''A''' называется столбцовым пространством и обозначается '''L_c(A)'''. Обратите внимание, что при <math>m\ne n</math> строчечное и столбцовое пространство матрицы '''A''' являются подпространствами разных арифметических пространств '''Pⁿ''' и '''P^m''' соответственно. Пользуясь утверждением <span style="color:red;">(2)</span>, можно придти к следующему выводу: <span style="color:brown;">''Теорема 3:''</span>&nbsp; Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают. 1z0pllsg24hjcmhvsmrn8zc136030k5 0 6934 267538 236203 2026-05-20T12:42:29Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267538 wikitext text/x-wiki № 1 Дано уравнение прямой: y = 2 x – 3{{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}}1. Построить график 2. Привести уравнение к общему виду 3. Привести уравнение к нормальной форме 4. Привести к уравнению в отрезках 5. Какой угол образует прямая с осью ОХ ? 6. Найти угол между данной прямой и прямой 7. Найти расстояние от (.) М (5; 1) до исходной прямой 2217uly37s1eq7df05qc7xx02fkmzv8 14 7022 267500 252047 2026-05-20T12:16:57Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267500 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Программное обеспечение]] [[Категория:Языки программирования]] 300gbqgsht3woaifpgo9ns4n8r4ctts 267501 267500 2026-05-20T12:17:02Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Программное обеспечение]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267501 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Языки программирования]] 1w093m7mrx9die6kdszl7ag3iszf81n 267502 267501 2026-05-20T12:18:14Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Программирование]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267502 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Языки программирования]] [[Категория:Программирование]] ekqmqymjj4mvpzbceyvdkxwlre5zul1 0 7065 267680 131575 2026-05-21T08:51:19Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Вступление]] в [[Элементарная геометрия/Вступление]] 131575 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх-старт|Book=Геометрия для средней школы|Curr=Вступление|Next=Наши инструменты: Линейка и циркуль}} <br /> == Почему геометрия? == Геометрия — одна из самых изящных областей в математике. Она имеет дело с фигурами, которые присутствуют в нашей повседневной жизни. Геометрия не требует каких-либо специальных навыков, которые бы понадобились человеку для её изучения. Следовательно, она подходит для введения в математику для начальной школы. == Кто должен использовать эту книгу? == Эта книга предназначена для использования родителями (или же учителем) и ребенком. Рекомендуется, что бы родители были знакомы с геометрией, но это не обязательно. Они могут прочитать главу прежде чем начнут объяснять её ребенку, а затем разобраться вместе. == Чем руководствуется книга? == Классическая книга о геометрии — "[[w:Начала_(Евклид)|Начала]]" [[w:Евклид|Евклида]] ([http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Euclid’s ''Elements'']). Эта книга помогала преподавать геометрию в течение сотен лет, поэтому мы чувствуем, что написание книги по "Началам" является правильным шагом. Мы приспособим части книги для детей и изменим некоторые темы, чтобы сделать книгу более понятной. Изучение будет основано на постройках и доказательствах. Построение — метод создания геометрического объекта (такого как треугольник) пользуясь рядом инструментов. В случае этой книги инструменты, которые мы будем использовать — это циркуль и линейка. Доказательство — логическая последовательность, которая позволяет доказать некоторый факт, исходя из некоторой информации и делая ряд заключений, основанных на этой информации. Чаще всего доказать результат труднее, чем найти сам результат. Построения полезны ребенку. Они позволяют испытывать геометрические идеи и получать видимые результаты. А доказательства — хороший способ понять геометрию и являются хорошей базой для будущего обучения логике. Так как книга предназначена для детей, мы опускаем некоторые из деталей доказательств и используем интуицию вместо точных определений. С другой стороны, мы настаиваем на правильных и изящных доказательствах. Точные определения и точные доказательства могут быть найдены в обычных книгах по геометрии и могут использоваться для более точного понимания материала. == Обозначения == Обозначения, используемые в книге, объясняются в тексте в тех местах, где они впервые используются. Но чтобы упростить их использование, краткое описание также дано [[Геометрия для начальной школы/Обозначения|в главе «Обозначения»]] в конце книги. == Euclid’s Elements онлайн == Есть замечательная сетевая версия Euclid’s Elements на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html этом вебсайте]. Сайт был создан David E. Joyce, Профессором Математики и Информатики при университете Clark. Данный сайт включает полный текст «Элементов», апплеты, которые демонстрируют построения, и много хороших комментариев. Мы даём ссылки в этой книге на оригинальные источники и предлагаем читателям просмотреть эти материалы самостоятельно. [[Категория:Геометрия для средней школы|Вступление]] e7duh6ae01sz6h8sh8we944vsymyk46 267682 267680 2026-05-21T08:51:45Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Элементарная геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267682 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх-старт|Book=Геометрия для средней школы|Curr=Вступление|Next=Наши инструменты: Линейка и циркуль}} <br /> == Почему геометрия? == Геометрия — одна из самых изящных областей в математике. Она имеет дело с фигурами, которые присутствуют в нашей повседневной жизни. Геометрия не требует каких-либо специальных навыков, которые бы понадобились человеку для её изучения. Следовательно, она подходит для введения в математику для начальной школы. == Кто должен использовать эту книгу? == Эта книга предназначена для использования родителями (или же учителем) и ребенком. Рекомендуется, что бы родители были знакомы с геометрией, но это не обязательно. Они могут прочитать главу прежде чем начнут объяснять её ребенку, а затем разобраться вместе. == Чем руководствуется книга? == Классическая книга о геометрии — "[[w:Начала_(Евклид)|Начала]]" [[w:Евклид|Евклида]] ([http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Euclid’s ''Elements'']). Эта книга помогала преподавать геометрию в течение сотен лет, поэтому мы чувствуем, что написание книги по "Началам" является правильным шагом. Мы приспособим части книги для детей и изменим некоторые темы, чтобы сделать книгу более понятной. Изучение будет основано на постройках и доказательствах. Построение — метод создания геометрического объекта (такого как треугольник) пользуясь рядом инструментов. В случае этой книги инструменты, которые мы будем использовать — это циркуль и линейка. Доказательство — логическая последовательность, которая позволяет доказать некоторый факт, исходя из некоторой информации и делая ряд заключений, основанных на этой информации. Чаще всего доказать результат труднее, чем найти сам результат. Построения полезны ребенку. Они позволяют испытывать геометрические идеи и получать видимые результаты. А доказательства — хороший способ понять геометрию и являются хорошей базой для будущего обучения логике. Так как книга предназначена для детей, мы опускаем некоторые из деталей доказательств и используем интуицию вместо точных определений. С другой стороны, мы настаиваем на правильных и изящных доказательствах. Точные определения и точные доказательства могут быть найдены в обычных книгах по геометрии и могут использоваться для более точного понимания материала. == Обозначения == Обозначения, используемые в книге, объясняются в тексте в тех местах, где они впервые используются. Но чтобы упростить их использование, краткое описание также дано [[Геометрия для начальной школы/Обозначения|в главе «Обозначения»]] в конце книги. == Euclid’s Elements онлайн == Есть замечательная сетевая версия Euclid’s Elements на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html этом вебсайте]. Сайт был создан David E. Joyce, Профессором Математики и Информатики при университете Clark. Данный сайт включает полный текст «Элементов», апплеты, которые демонстрируют построения, и много хороших комментариев. Мы даём ссылки в этой книге на оригинальные источники и предлагаем читателям просмотреть эти материалы самостоятельно. [[Категория:Геометрия для средней школы|Вступление]] [[Категория:Элементарная геометрия]] 9dwjf17o5l3zp33n2rxw6pkm4d5ge3k 267683 267682 2026-05-21T08:51:49Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Геометрия для средней школы]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267683 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх-старт|Book=Геометрия для средней школы|Curr=Вступление|Next=Наши инструменты: Линейка и циркуль}} <br /> == Почему геометрия? == Геометрия — одна из самых изящных областей в математике. Она имеет дело с фигурами, которые присутствуют в нашей повседневной жизни. Геометрия не требует каких-либо специальных навыков, которые бы понадобились человеку для её изучения. Следовательно, она подходит для введения в математику для начальной школы. == Кто должен использовать эту книгу? == Эта книга предназначена для использования родителями (или же учителем) и ребенком. Рекомендуется, что бы родители были знакомы с геометрией, но это не обязательно. Они могут прочитать главу прежде чем начнут объяснять её ребенку, а затем разобраться вместе. == Чем руководствуется книга? == Классическая книга о геометрии — "[[w:Начала_(Евклид)|Начала]]" [[w:Евклид|Евклида]] ([http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Euclid’s ''Elements'']). Эта книга помогала преподавать геометрию в течение сотен лет, поэтому мы чувствуем, что написание книги по "Началам" является правильным шагом. Мы приспособим части книги для детей и изменим некоторые темы, чтобы сделать книгу более понятной. Изучение будет основано на постройках и доказательствах. Построение — метод создания геометрического объекта (такого как треугольник) пользуясь рядом инструментов. В случае этой книги инструменты, которые мы будем использовать — это циркуль и линейка. Доказательство — логическая последовательность, которая позволяет доказать некоторый факт, исходя из некоторой информации и делая ряд заключений, основанных на этой информации. Чаще всего доказать результат труднее, чем найти сам результат. Построения полезны ребенку. Они позволяют испытывать геометрические идеи и получать видимые результаты. А доказательства — хороший способ понять геометрию и являются хорошей базой для будущего обучения логике. Так как книга предназначена для детей, мы опускаем некоторые из деталей доказательств и используем интуицию вместо точных определений. С другой стороны, мы настаиваем на правильных и изящных доказательствах. Точные определения и точные доказательства могут быть найдены в обычных книгах по геометрии и могут использоваться для более точного понимания материала. == Обозначения == Обозначения, используемые в книге, объясняются в тексте в тех местах, где они впервые используются. Но чтобы упростить их использование, краткое описание также дано [[Геометрия для начальной школы/Обозначения|в главе «Обозначения»]] в конце книги. == Euclid’s Elements онлайн == Есть замечательная сетевая версия Euclid’s Elements на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html этом вебсайте]. Сайт был создан David E. Joyce, Профессором Математики и Информатики при университете Clark. Данный сайт включает полный текст «Элементов», апплеты, которые демонстрируют построения, и много хороших комментариев. Мы даём ссылки в этой книге на оригинальные источники и предлагаем читателям просмотреть эти материалы самостоятельно. [[Категория:Элементарная геометрия]] e8vy2lgc5b769mk44zf4c78r14rjmiw 0 7066 267674 235135 2026-05-21T08:50:35Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Наши инструменты: Линейка и циркуль]] в [[Элементарная геометрия/Наши инструменты: Линейка и циркуль]] 59053 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Вступление|Curr=Наши инструменты: Линейка и циркуль|Next=Точки}} == Введение == Вот так выглядят линейка и циркуль: [[Файл:Geom_compass_ruler_(RUS).png|436 px|center]] == Как начертить прямую? == Прямую можно начертить при помощи линейки (основываясь на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post1.html Book I, Postulate 1]): [[Файл:Geom_draw_line.png|425 px|center]] Отрезок, соединяющий точки <math>A</math> и <math>B</math> будем обозначать как <math>AB</math>. Заметьте, у отрезка нет направления, поэтому отрезок <math>AB</math> — это то же самое, что и отрезок <math>BA</math>. Отрезок <math>AB</math> (он же <math>BA</math>): [[Файл:Geom_line_ab.png|center]] == Как начертить окружность? == Для этого используем циркуль (основываясь на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post3.html Book I, Postulate 3]). Окружность, центр которой находится в точке <math>A</math>, и радиус которой равен длине отрезка <math>AB</math> будем обозначать как <math>\circ A, AB</math>. [[Файл:Geom draw circle sequence.png|477 px|center]] Заметьте, что окружность можно однозначно описать любыми тремя точками, <math>ABC</math> ([http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI15.html Euclid's Elements]). Обозначение через центр и радиус было выбрано для возможности построения круга линейкой и циркулем. [[Категория:Геометрия для средней школы|Наши инструменты/Линейка и циркуль]] [[en:Geometry for Elementary School/Our tools: Ruler and compass]] [[it:Geometria per scuola elementare/I nostri strumenti: Riga e compasso]] [[pl:Geometria dla szkoły podstawowej/Przyrządy: cyrkiel i linijka]] [[pt:Matemática elementar/Geometria plana/Construções geométricas usando régua e compasso]] swvnbgc5gvd1n4be3twalzoezs0rmpe 267685 267674 2026-05-21T08:52:08Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Элементарная геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267685 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Вступление|Curr=Наши инструменты: Линейка и циркуль|Next=Точки}} == Введение == Вот так выглядят линейка и циркуль: [[Файл:Geom_compass_ruler_(RUS).png|436 px|center]] == Как начертить прямую? == Прямую можно начертить при помощи линейки (основываясь на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post1.html Book I, Postulate 1]): [[Файл:Geom_draw_line.png|425 px|center]] Отрезок, соединяющий точки <math>A</math> и <math>B</math> будем обозначать как <math>AB</math>. Заметьте, у отрезка нет направления, поэтому отрезок <math>AB</math> — это то же самое, что и отрезок <math>BA</math>. Отрезок <math>AB</math> (он же <math>BA</math>): [[Файл:Geom_line_ab.png|center]] == Как начертить окружность? == Для этого используем циркуль (основываясь на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post3.html Book I, Postulate 3]). Окружность, центр которой находится в точке <math>A</math>, и радиус которой равен длине отрезка <math>AB</math> будем обозначать как <math>\circ A, AB</math>. [[Файл:Geom draw circle sequence.png|477 px|center]] Заметьте, что окружность можно однозначно описать любыми тремя точками, <math>ABC</math> ([http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI15.html Euclid's Elements]). Обозначение через центр и радиус было выбрано для возможности построения круга линейкой и циркулем. [[Категория:Геометрия для средней школы|Наши инструменты/Линейка и циркуль]] [[Категория:Элементарная геометрия]] [[en:Geometry for Elementary School/Our tools: Ruler and compass]] [[it:Geometria per scuola elementare/I nostri strumenti: Riga e compasso]] [[pl:Geometria dla szkoły podstawowej/Przyrządy: cyrkiel i linijka]] [[pt:Matemática elementar/Geometria plana/Construções geométricas usando régua e compasso]] pjloqeqzxaa7a1jv6siw2esonh2cg06 267688 267685 2026-05-21T08:52:24Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Геометрия для средней школы]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267688 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Вступление|Curr=Наши инструменты: Линейка и циркуль|Next=Точки}} == Введение == Вот так выглядят линейка и циркуль: [[Файл:Geom_compass_ruler_(RUS).png|436 px|center]] == Как начертить прямую? == Прямую можно начертить при помощи линейки (основываясь на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post1.html Book I, Postulate 1]): [[Файл:Geom_draw_line.png|425 px|center]] Отрезок, соединяющий точки <math>A</math> и <math>B</math> будем обозначать как <math>AB</math>. Заметьте, у отрезка нет направления, поэтому отрезок <math>AB</math> — это то же самое, что и отрезок <math>BA</math>. Отрезок <math>AB</math> (он же <math>BA</math>): [[Файл:Geom_line_ab.png|center]] == Как начертить окружность? == Для этого используем циркуль (основываясь на [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post3.html Book I, Postulate 3]). Окружность, центр которой находится в точке <math>A</math>, и радиус которой равен длине отрезка <math>AB</math> будем обозначать как <math>\circ A, AB</math>. [[Файл:Geom draw circle sequence.png|477 px|center]] Заметьте, что окружность можно однозначно описать любыми тремя точками, <math>ABC</math> ([http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI15.html Euclid's Elements]). Обозначение через центр и радиус было выбрано для возможности построения круга линейкой и циркулем. [[Категория:Элементарная геометрия]] [[en:Geometry for Elementary School/Our tools: Ruler and compass]] [[it:Geometria per scuola elementare/I nostri strumenti: Riga e compasso]] [[pl:Geometria dla szkoły podstawowej/Przyrządy: cyrkiel i linijka]] [[pt:Matemática elementar/Geometria plana/Construções geométricas usando régua e compasso]] ex0mb14n4bo35i89515jierdshebuhw 0 7078 267678 59054 2026-05-21T08:50:59Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Точки]] в [[Элементарная геометрия/Точки]] 59054 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Наши инструменты: Линейка и циркуль|Curr=Точки|Next=Линии}} <br /> * Точка — это круг, с бесконечно убывающим размером. Вы можете быть удивлены, но это не точка: {| border="0" | [[Файл:Disc_Plain_black.svg|32px|center]] |Это не точка. |Можно рассудить что эта форма не является точкой, что она слишком большая и имеет площадь. Это — «Круг». |- |[[Файл:Disc_Plain_black.svg|16px|center]] |Это тоже не точка. |Даже беря размер круг, который в два раза меньше мы не получим точку. |- |[[Файл:Disc_Plain_black.svg|8px|center]] |Тоже не точка. |И этот круг так же слишком большой… |} Точка является настолько маленькой, что, даже если мы возьмем круг с размером в 100, 1 000 или 1 000 000 меньшем, то они все еще будут намного больше чем точка. Точку рассматривают как "бесконечно маленькую". Чтобы добраться до размера точки, мы должны продолжать уменьшать круг в два раза - бесконечно. Не пытайтесь проделать это дома. Точка, кажется, является слишком маленькой, чтобы быть полезной. К счастью, мы увидим, обсуждая линии, что она очень полезна. Почему «точка» определяется как «бесконечно малая окружность»? Потому что, с одной стороны, у неё должны быть очень точные координаты, не просто у центра приблизительной окружности, а у точки как таковой. Другая причина — при изменении размера рисунка, размер точки не должен меняться. Точка, будучи бесконечно малой окружностью, слишком мала, чтобы увидеть её, поэтому мы вынуждены использовать «старую большую видимую окружность» для того, чтобы изобразить её и её приблизительное расположение на бумаге. [[Категория:Геометрия для средней школы|Точки]] gj2vj2usbhu0hvkr7kc50tw96p012lj 267690 267678 2026-05-21T08:52:38Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Элементарная геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267690 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Наши инструменты: Линейка и циркуль|Curr=Точки|Next=Линии}} <br /> * Точка — это круг, с бесконечно убывающим размером. Вы можете быть удивлены, но это не точка: {| border="0" | [[Файл:Disc_Plain_black.svg|32px|center]] |Это не точка. |Можно рассудить что эта форма не является точкой, что она слишком большая и имеет площадь. Это — «Круг». |- |[[Файл:Disc_Plain_black.svg|16px|center]] |Это тоже не точка. |Даже беря размер круг, который в два раза меньше мы не получим точку. |- |[[Файл:Disc_Plain_black.svg|8px|center]] |Тоже не точка. |И этот круг так же слишком большой… |} Точка является настолько маленькой, что, даже если мы возьмем круг с размером в 100, 1 000 или 1 000 000 меньшем, то они все еще будут намного больше чем точка. Точку рассматривают как "бесконечно маленькую". Чтобы добраться до размера точки, мы должны продолжать уменьшать круг в два раза - бесконечно. Не пытайтесь проделать это дома. Точка, кажется, является слишком маленькой, чтобы быть полезной. К счастью, мы увидим, обсуждая линии, что она очень полезна. Почему «точка» определяется как «бесконечно малая окружность»? Потому что, с одной стороны, у неё должны быть очень точные координаты, не просто у центра приблизительной окружности, а у точки как таковой. Другая причина — при изменении размера рисунка, размер точки не должен меняться. Точка, будучи бесконечно малой окружностью, слишком мала, чтобы увидеть её, поэтому мы вынуждены использовать «старую большую видимую окружность» для того, чтобы изобразить её и её приблизительное расположение на бумаге. [[Категория:Геометрия для средней школы|Точки]] [[Категория:Элементарная геометрия]] dk8k7re661ak9o1mxoo838ksftwx4dz 267691 267690 2026-05-21T08:52:43Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Геометрия для средней школы]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267691 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Наши инструменты: Линейка и циркуль|Curr=Точки|Next=Линии}} <br /> * Точка — это круг, с бесконечно убывающим размером. Вы можете быть удивлены, но это не точка: {| border="0" | [[Файл:Disc_Plain_black.svg|32px|center]] |Это не точка. |Можно рассудить что эта форма не является точкой, что она слишком большая и имеет площадь. Это — «Круг». |- |[[Файл:Disc_Plain_black.svg|16px|center]] |Это тоже не точка. |Даже беря размер круг, который в два раза меньше мы не получим точку. |- |[[Файл:Disc_Plain_black.svg|8px|center]] |Тоже не точка. |И этот круг так же слишком большой… |} Точка является настолько маленькой, что, даже если мы возьмем круг с размером в 100, 1 000 или 1 000 000 меньшем, то они все еще будут намного больше чем точка. Точку рассматривают как "бесконечно маленькую". Чтобы добраться до размера точки, мы должны продолжать уменьшать круг в два раза - бесконечно. Не пытайтесь проделать это дома. Точка, кажется, является слишком маленькой, чтобы быть полезной. К счастью, мы увидим, обсуждая линии, что она очень полезна. Почему «точка» определяется как «бесконечно малая окружность»? Потому что, с одной стороны, у неё должны быть очень точные координаты, не просто у центра приблизительной окружности, а у точки как таковой. Другая причина — при изменении размера рисунка, размер точки не должен меняться. Точка, будучи бесконечно малой окружностью, слишком мала, чтобы увидеть её, поэтому мы вынуждены использовать «старую большую видимую окружность» для того, чтобы изобразить её и её приблизительное расположение на бумаге. [[Категория:Элементарная геометрия]] al0a50zhhxdk2cw800pa2wmhvfqbtfd 0 7150 267672 59055 2026-05-21T08:50:17Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Линии]] в [[Элементарная геометрия/Линии]] 59055 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Точки|Curr=Линии |Next=Построение правильного треугольника}} <br /> == Линии == [[Файл:Geom lines lines 01.png|351 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines lines 02.png|351 px|center]]<br /><br /> Линия - бесконечно тонкая совокупность бесконечного числа точек, простирается всегда в обоих направления. Две линии могут пересекаться только в одной точке. == Отрезки == [[Файл:Geom lines seg 01.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 02.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 03.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 04.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 05.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 06.png|486 px|center]]<br /><br /> Отрезок - это часть линии, которая ограничена двумя конечными точками. == Лучи == [[Файл:Geom lines ray 02.png|486 px|center]]<br /><br /> Луч имеет только одну конечную точку. == Аксиома: между двумя точками может проходить только одна прямая линия == * аксиома: между двумя точками может проходить только одна прямая линия<br /> [[Файл:Geom lines axiom 1.png|282 px]]<br /> [[Файл:Geom lines axiom 2.png|282 px]]<br /><br /> [[Категория:Геометрия для средней школы|Линии]] 1mseiqoiqlvuu99uy1pnrotix8erdsr 267684 267672 2026-05-21T08:52:03Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Элементарная геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267684 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Точки|Curr=Линии |Next=Построение правильного треугольника}} <br /> == Линии == [[Файл:Geom lines lines 01.png|351 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines lines 02.png|351 px|center]]<br /><br /> Линия - бесконечно тонкая совокупность бесконечного числа точек, простирается всегда в обоих направления. Две линии могут пересекаться только в одной точке. == Отрезки == [[Файл:Geom lines seg 01.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 02.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 03.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 04.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 05.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 06.png|486 px|center]]<br /><br /> Отрезок - это часть линии, которая ограничена двумя конечными точками. == Лучи == [[Файл:Geom lines ray 02.png|486 px|center]]<br /><br /> Луч имеет только одну конечную точку. == Аксиома: между двумя точками может проходить только одна прямая линия == * аксиома: между двумя точками может проходить только одна прямая линия<br /> [[Файл:Geom lines axiom 1.png|282 px]]<br /> [[Файл:Geom lines axiom 2.png|282 px]]<br /><br /> [[Категория:Геометрия для средней школы|Линии]] [[Категория:Элементарная геометрия]] jklt2v7jj4q5pg3e14ieovhbxp7i43f 267687 267684 2026-05-21T08:52:20Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Геометрия для средней школы]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267687 wikitext text/x-wiki {{Навигация-верх|Book=Геометрия для средней школы|Prev=Точки|Curr=Линии |Next=Построение правильного треугольника}} <br /> == Линии == [[Файл:Geom lines lines 01.png|351 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines lines 02.png|351 px|center]]<br /><br /> Линия - бесконечно тонкая совокупность бесконечного числа точек, простирается всегда в обоих направления. Две линии могут пересекаться только в одной точке. == Отрезки == [[Файл:Geom lines seg 01.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 02.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 03.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 04.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 05.png|308 px|center]]<br /> [[Файл:Geom lines seg 06.png|486 px|center]]<br /><br /> Отрезок - это часть линии, которая ограничена двумя конечными точками. == Лучи == [[Файл:Geom lines ray 02.png|486 px|center]]<br /><br /> Луч имеет только одну конечную точку. == Аксиома: между двумя точками может проходить только одна прямая линия == * аксиома: между двумя точками может проходить только одна прямая линия<br /> [[Файл:Geom lines axiom 1.png|282 px]]<br /> [[Файл:Geom lines axiom 2.png|282 px]]<br /><br /> [[Категория:Элементарная геометрия]] t007265w6xs8lq04keztu7xsfomxgrx 4 7236 267744 37537 2026-05-21T10:24:09Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267744 wikitext text/x-wiki {| cellspacing="10" cellpadding="0" style="width: 100%; background: #F9F9FD; padding-top: 10px" | colspan="2" | {{/блок-шапка|Википроект: Математика|Викиучебник:Проект:Математика/Вступление}} {{Викиучебник:Проект:Математика/Вступление}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-подвал|[[w:Математика|Подробнее о математике…]]}} |- | style="width: 50%; vertical-align: top" | {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-шапка|Совместная работа|Викиучебник:Проект:Математика/Совместная работа}} {{Викиучебник:Проект:Математика/Совместная работа}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-подвал|}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-шапка|Новые учебники|Викиучебник:Проект:Математика/Новые учебники}} {{Викиучебник:Проект:Математика/Новые учебники}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-подвал|}} | style="width: 50%; vertical-align: top" | {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-шапка|Чем помочь|Викиучебник:Проект:Математика/Учебники для внимания}} <!-- '''[[/nominate|Номинация]] учебников для этого блока''' --> {{Викиучебник:Проект:Математика/Учебники для внимания}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-подвал|}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-шапка|В помощь участнику|Викиучебник:Проект:Математика/Помощь участнику}} {{Викиучебник:Проект:Математика/Помощь участнику}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-подвал|}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-шапка|Категории|Викиучебник:Проект:Математика/Категории}} {{Викиучебник:Проект:Математика/Категории}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-подвал|}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-шапка|Участники проекта|Викиучебник:Проект:Математика/Участники}} {{Викиучебник:Проект:Математика/Участники}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-подвал|}} |} <div style="float:right; width:100%"> {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-шапка|Знаете ли вы...|Викиучебник:Проект:Математика/Знаете ли вы}} {{Викиучебник:Проект:Математика/Знаете ли вы}} {{Викиучебник:Проект:Математика/блок-подвал|}} </div> <br clear="all" /> <small>{{очистить кэш}}</small> [[Категория:Викиучебник:Проект:Математика|*]] [[Категория:Викиучебник:Проекты|Мат]] [[Категория:Математика]] 2e39rjgot2s9ox2jrrx5noep6ty7qwd 4 7255 267669 96444 2026-05-21T08:42:53Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Викиучебник:Проект:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267669 wikitext text/x-wiki <small>Если вы хотите участвовать в проекте — [[Викиучебник:Проект:Математика/Участники|добавьте]] себя в список участников!</small><br> {{·}} [[Участник:Iniquity|Iniquity]] {{·}} [[Участник:KleverI|KleverI]] {{·}} [[Участник:Arbnos|Arbnos]] {{·}} <small>См. также [[:Категория:Викиучебник:Участники проекта:Математика]]</small> [[Категория:Викиучебник:Проект:Математика]] 88q4utdwnptsd3qdpgd81p7wzjh0eof 4 7256 267670 96445 2026-05-21T08:44:36Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Викиучебник:Проект:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267670 wikitext text/x-wiki <span style="font-size:smaller;">Добавляйте сверху новые учебники, чтобы другие участники могли их проверить, дополнить, оценить или исправить, если потребуется. Добавляйте не только новые учебники, но и серьёзно переработанные.</span> <span style="font-size:90%;"> * [[Геометрия для средней школы]] — перевод с англовики * [[Интегральное исчисление]] </span> [[Категория:Викиучебник:Проект:Математика]] mwzapcmhsjyzmnaprpx60ljwj9bokrs 14 7261 267548 252145 2026-05-20T12:58:51Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267548 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 14 7262 267695 252203 2026-05-21T09:03:07Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267695 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 267696 267695 2026-05-21T09:03:15Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267696 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Алгебра]] cti33ort8zhg3gpa2ucb1828zu42tl3 267699 267696 2026-05-21T09:05:49Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267699 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 267700 267699 2026-05-21T09:05:57Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математический анализ]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267700 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Математический анализ]] gue6dwkj3yya00auczyuir66bk73a5f 0 8114 267626 267420 2026-05-21T08:20:08Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267626 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} {{wikipedia|Дифференциальные уравнения}} В данном учебнике раскрываются методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений. Объяснение основывается на примерах из физики. Для понимания текста необходимо знание понятий ''производная'', ''первообразная'', ''интеграл'', а также, умение вычислять производные элементарных функций и простейшие интегралы. Обо всем этом можно прочитать в учебнике для средней школы.<ref>''А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбург'' Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. — М.: Просвещение, 2007. — 384 с. ISBN 978-5-09-017286-8</ref> == Содержание == * [[Понятие дифференциального уравнения]] * [[Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными]] == Примечания == {{примечания}} == Литература == * ''Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В.'' Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — 4-е изд., исправл. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 352 с. ISBN 5-7038-2796-5. * ''Зельдович Я. Б.'' Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. — 6-е изд., испр. и доп. / Под общ. ред С.С. Герштейна. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 520 с. — ISBN 978-5-9221-0840-9. [[Категория:Дифференциальные уравнения]] 33ddhr7e2bam43nox56y9elu2yjivcd 267745 267626 2026-05-21T10:28:39Z AllaBuraya 79455 267745 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} {{wikipedia|Дифференциальные уравнения}} В данном учебнике раскрываются методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений. Объяснение основывается на примерах из физики. Для понимания текста необходимо знание понятий ''производная'', ''первообразная'', ''интеграл'', а также, умение вычислять производные элементарных функций и простейшие интегралы. Обо всем этом можно прочитать в учебнике для средней школы.<ref>''А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбург'' Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. — М.: Просвещение, 2007. — 384 с. ISBN 978-5-09-017286-8</ref> == Содержание == * [[Понятие дифференциального уравнения]] * [[Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными]] == Примечания == {{примечания}} == Литература == * ''Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В.'' Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — 4-е изд., исправл. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 352 с. ISBN 5-7038-2796-5. * ''Зельдович Я. Б.'' Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. — 6-е изд., испр. и доп. / Под общ. ред С.С. Герштейна. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 520 с. — ISBN 978-5-9221-0840-9. [[Категория:Дифференциальные уравнения]] mrz55xo1ju75x8tt7kpebkijq9b4wb3 0 8128 267633 267424 2026-05-21T08:22:04Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267633 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 25% | Тип = Многостраничный }}{{Wikipedia}} Данный учебник посвящён интегральному исчислению в том виде, в котором его обычно преподают в высших учебных заведениях. Учебник является самостоятельным пособием и при его изучении предполагается, что читатель обладает необходимыми познаниями в области дифференциального исчисления и других областей математики, в частности, теории дробно-рациональных функций. {{Содержание |width = 100% | : [[/Введение|Введение]] : [[/Понятие о неопределённом интеграле|Понятие о неопределённом интеграле]] : [[/Таблица интегралов|Таблица интегралов]] : [[/Основные свойства неопределённого интеграла|Основные свойства неопределённого интеграла]] : [[/Методы интегрирования|Методы интегрирования]] : [[/Интегрирование полиномиальных и рациональных функций|Интегрирование полиномиальных и рациональных функций]] == Дополнение == В «Дополнении» приведены краткие сведения, которые могут быть необходимы в ходе чтения основного материала учебника. : [[/Некоторые часто используемые формулы|Некоторые часто используемые формулы]] : [[/Краткие сведения о комплексных числах|Краткие сведения о комплексных числах]] }} [[Категория:Математический анализ]] 27h79uteyxw5bkw3lij3ra8iq8024bi 267746 267633 2026-05-21T10:29:33Z AllaBuraya 79455 267746 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 25% | Тип = Многостраничный }}{{Wikipedia}} Данный учебник посвящён интегральному исчислению в том виде, в котором его обычно преподают в высших учебных заведениях. Учебник является самостоятельным пособием и при его изучении предполагается, что читатель обладает необходимыми познаниями в области дифференциального исчисления и других областей математики, в частности, теории дробно-рациональных функций. {{Содержание |width = 100% | : [[/Введение|Введение]] : [[/Понятие о неопределённом интеграле|Понятие о неопределённом интеграле]] : [[/Таблица интегралов|Таблица интегралов]] : [[/Основные свойства неопределённого интеграла|Основные свойства неопределённого интеграла]] : [[/Методы интегрирования|Методы интегрирования]] : [[/Интегрирование полиномиальных и рациональных функций|Интегрирование полиномиальных и рациональных функций]] == Дополнение == В «Дополнении» приведены краткие сведения, которые могут быть необходимы в ходе чтения основного материала учебника. : [[/Некоторые часто используемые формулы|Некоторые часто используемые формулы]] : [[/Краткие сведения о комплексных числах|Краткие сведения о комплексных числах]] }} [[Категория:Математический анализ]] 9ijzotqa8vgi9h4b2i4crxuy1v86wq0 0 8170 267540 133441 2026-05-20T12:57:36Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267540 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} Комплексные числа - числа, вида y=a+bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, равная корню квадратному из минус единицы. a - дейтвительная часть bi - мнимая часть soyt9y8r2hgt0sf1wl0ileyay9f4265 0 8223 267676 59057 2026-05-21T08:50:51Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Теорема Пифагора]] в [[Элементарная геометрия/Теорема Пифагора]] 59057 wikitext text/x-wiki В этой главе мы рассмотрим теорему Пифагора. Она используется для нахождения длин сторон прямоугольного треугольника. Теорема формулируется так: ::''В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов'' Это значит, что если <math>\triangle ABC </math> это прямоугольный треугольник, длина гипотенузы c, возведенная в квадрат, равна сумме квадрата стороны a и квадрата стороны b. Или: : <math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math> Пример: В прямоугольном треугольнике a=5 см и b=12 см, чему равно c? : <math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math> : <math>c = \sqrt{ 5^2 + 12^2 }\,</math> : <math>c = \sqrt{ 25 + 144 }\,</math> : <math>c = \sqrt{ 169 }\,</math> : <math>c = 13 \,</math> Если c '''меньше''' чем a или b, то ответ не правильный. ==Упражнения== *В прямоугольном треугольнике c=5 см и b=12 см, чему равно a? [[it:geometria per scuola elementare/Il Teorema di Pitagora]] [[Категория:Геометрия для средней школы|Теорема Пифагора]] nnyoat04u7ne4e1a9asf5rbbqnxhboy 267686 267676 2026-05-21T08:52:13Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Элементарная геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267686 wikitext text/x-wiki В этой главе мы рассмотрим теорему Пифагора. Она используется для нахождения длин сторон прямоугольного треугольника. Теорема формулируется так: ::''В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов'' Это значит, что если <math>\triangle ABC </math> это прямоугольный треугольник, длина гипотенузы c, возведенная в квадрат, равна сумме квадрата стороны a и квадрата стороны b. Или: : <math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math> Пример: В прямоугольном треугольнике a=5 см и b=12 см, чему равно c? : <math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math> : <math>c = \sqrt{ 5^2 + 12^2 }\,</math> : <math>c = \sqrt{ 25 + 144 }\,</math> : <math>c = \sqrt{ 169 }\,</math> : <math>c = 13 \,</math> Если c '''меньше''' чем a или b, то ответ не правильный. ==Упражнения== *В прямоугольном треугольнике c=5 см и b=12 см, чему равно a? [[it:geometria per scuola elementare/Il Teorema di Pitagora]] [[Категория:Геометрия для средней школы|Теорема Пифагора]] [[Категория:Элементарная геометрия]] 5e08auzirbt9a855yp6f0pnp18bderr 267689 267686 2026-05-21T08:52:27Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Геометрия для средней школы]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267689 wikitext text/x-wiki В этой главе мы рассмотрим теорему Пифагора. Она используется для нахождения длин сторон прямоугольного треугольника. Теорема формулируется так: ::''В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов'' Это значит, что если <math>\triangle ABC </math> это прямоугольный треугольник, длина гипотенузы c, возведенная в квадрат, равна сумме квадрата стороны a и квадрата стороны b. Или: : <math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math> Пример: В прямоугольном треугольнике a=5 см и b=12 см, чему равно c? : <math>a^2 + b^2 = c^2 \,</math> : <math>c = \sqrt{ 5^2 + 12^2 }\,</math> : <math>c = \sqrt{ 25 + 144 }\,</math> : <math>c = \sqrt{ 169 }\,</math> : <math>c = 13 \,</math> Если c '''меньше''' чем a или b, то ответ не правильный. ==Упражнения== *В прямоугольном треугольнике c=5 см и b=12 см, чему равно a? [[it:geometria per scuola elementare/Il Teorema di Pitagora]] [[Категория:Элементарная геометрия]] 7cyy0l8wwnwvf67nj0gj334vfwie6ue 0 8268 267654 267439 2026-05-21T08:30:43Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267654 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Геометрия | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} {{ambox|text='''Данный учебник в процессе перевода}} {{ambox|text='''Данный учебник будет переводом [[:en:Geometry for elementary school|учебника]] с en.wikibooks.org.'''|text-small= Основными авторами которого являются [[:en:User:APH|APH]] и [[:en:User:Mcgill|Mcgill]]. }}{{Wikipedia}} == Главы учебника == <!-- {{версия для печати|Геометрия для начальной школы/Версия для печати}} {{PDF version}} --> ** [[Геометрия для средней школы/Вступление|Вступление]] ** [[Геометрия для средней школы/Наши инструменты: Линейка и циркуль|Наши инструменты: Линейка и циркуль]] ** [[Геометрия для средней школы/Точки|Точки]] ** [[Геометрия для средней школы/Линии|Линии]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение правильного треугольника|Построение равностороннего треугольника]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение равных отрезков|Построение равных отрезков]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение равных треугольников|Построение равных треугольников]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение равных углов|Построение равных углов]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение треугольника|Построение треугольника]] ** [[Геометрия для средней школы/Почему данные построения не верны?|Почему данные построения не верны?]] ** [[Геометрия для средней школы/Первый признак равенства треугольников|Первый признак равенства треугольников]] ** [[Геометрия для средней школы/Второй признак равенства треугольников|Второй признак равенства треугольников]] ** [[Геометрия для средней школы/Третий признак равенства треугольников|Третий признак равенства треугольников]] ** [[Геометрия для средней школы/Деление угла пополам|Деление угла пополам]] ** [[Геометрия для средней школы/Деление сегмента пополам|Деление сегмента пополам]] ** [[Геометрия для средней школы/Несколько возможных построений|Несколько возможных построений]] ** [[Геометрия для средней школы/Теорема Пифагора|Теорема Пифагора]] ** [[Геометрия для средней школы/Параллельные прямые|Параллельные прямые]] ** [[Геометрия для средней школы/Квадраты|Квадраты]] ** [[Геометрия для средней школы/Доказательство иррациональности|Доказательство иррациональности]] ** [[Геометрия для средней школы/Фракталы|Фракталы]] ** [[Геометрия для средней школы/Что дальше?|Что дальше?]] ** [[Геометрия для средней школы/Обозначения|Обозначения]] == Обратная связь == Обратная связь важна во многих темах, особенно при написании такой книги как эта. Мы хотим учиться на вашем опыте использования данной книги. Какой возраст ребенка, который использует данную книгу? Что ей/ему больше понравилось? Какие из тем были её/ему не понятны? Какие идеи для улучшения учебника имеете? == Помощь == === Вопросы и ответы === Есть вопрос? Почему бы не спросить учебник по которому вы учитесь? === См. дальше === {{Wikisource|:en:The Elements of Euclid}} * [[Геометрия]] <!--{{Subject|Geometry|Geometry for elementary school|Study guides|Math for primary school}} {{alphabetical|G}} {{shelf|Geometry}} {{DDC|500|516}} {{LOC|QA440|QA440}}--> ehd4io8xv3gk7g7b6gzedw3r43dc7dn 267728 267654 2026-05-21T10:03:07Z AllaBuraya 79455 267728 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} {{ambox|text='''Данный учебник в процессе перевода}} {{ambox|text='''Данный учебник будет переводом [[:en:Geometry for elementary school|учебника]] с en.wikibooks.org.'''|text-small= Основными авторами которого являются [[:en:User:APH|APH]] и [[:en:User:Mcgill|Mcgill]]. }}{{Wikipedia}} == Главы учебника == <!-- {{версия для печати|Геометрия для начальной школы/Версия для печати}} {{PDF version}} --> ** [[Геометрия для средней школы/Вступление|Вступление]] ** [[Геометрия для средней школы/Наши инструменты: Линейка и циркуль|Наши инструменты: Линейка и циркуль]] ** [[Геометрия для средней школы/Точки|Точки]] ** [[Геометрия для средней школы/Линии|Линии]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение правильного треугольника|Построение равностороннего треугольника]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение равных отрезков|Построение равных отрезков]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение равных треугольников|Построение равных треугольников]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение равных углов|Построение равных углов]] ** [[Геометрия для средней школы/Построение треугольника|Построение треугольника]] ** [[Геометрия для средней школы/Почему данные построения не верны?|Почему данные построения не верны?]] ** [[Геометрия для средней школы/Первый признак равенства треугольников|Первый признак равенства треугольников]] ** [[Геометрия для средней школы/Второй признак равенства треугольников|Второй признак равенства треугольников]] ** [[Геометрия для средней школы/Третий признак равенства треугольников|Третий признак равенства треугольников]] ** [[Геометрия для средней школы/Деление угла пополам|Деление угла пополам]] ** [[Геометрия для средней школы/Деление сегмента пополам|Деление сегмента пополам]] ** [[Геометрия для средней школы/Несколько возможных построений|Несколько возможных построений]] ** [[Геометрия для средней школы/Теорема Пифагора|Теорема Пифагора]] ** [[Геометрия для средней школы/Параллельные прямые|Параллельные прямые]] ** [[Геометрия для средней школы/Квадраты|Квадраты]] ** [[Геометрия для средней школы/Доказательство иррациональности|Доказательство иррациональности]] ** [[Геометрия для средней школы/Фракталы|Фракталы]] ** [[Геометрия для средней школы/Что дальше?|Что дальше?]] ** [[Геометрия для средней школы/Обозначения|Обозначения]] == Обратная связь == Обратная связь важна во многих темах, особенно при написании такой книги как эта. Мы хотим учиться на вашем опыте использования данной книги. Какой возраст ребенка, который использует данную книгу? Что ей/ему больше понравилось? Какие из тем были её/ему не понятны? Какие идеи для улучшения учебника имеете? == Помощь == === Вопросы и ответы === Есть вопрос? Почему бы не спросить учебник по которому вы учитесь? === См. дальше === {{Wikisource|:en:The Elements of Euclid}} * [[Геометрия]] <!--{{Subject|Geometry|Geometry for elementary school|Study guides|Math for primary school}} {{alphabetical|G}} {{shelf|Geometry}} {{DDC|500|516}} {{LOC|QA440|QA440}}--> eamdt64i7nr4tgkmlg8euiv2rfthn5z 14 8437 267592 267416 2026-05-21T07:57:18Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267592 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Математика]] kz48afznsz70hrkcrb4txxoowldb1xa 267708 267592 2026-05-21T09:09:43Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267708 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Алгебра]] cti33ort8zhg3gpa2ucb1828zu42tl3 267709 267708 2026-05-21T09:09:47Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267709 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 267710 267709 2026-05-21T09:09:55Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267710 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Математика]] mdw8raes3zfy0zrj52jxiwa6dm6yyjj 14 8438 267591 267468 2026-05-21T07:56:39Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267591 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Математика]] 7oue1e33onl8zr9p9nv7tgudlvkbeds 267711 267591 2026-05-21T09:10:20Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267711 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Математика]] ta9269zdpmsns1y7r9jteuqnpyf6ds4 14 8575 267692 252117 2026-05-21T08:52:58Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267692 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 14 8579 267715 267445 2026-05-21T09:12:10Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267715 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 267716 267715 2026-05-21T09:12:19Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математический анализ]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267716 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Математический анализ]] gue6dwkj3yya00auczyuir66bk73a5f 14 8593 267573 252201 2026-05-21T07:24:26Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267573 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Музыка]] fxuxkbi39e8mabsatg6rile63uq4kt6 267574 267573 2026-05-21T07:24:34Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Занимательная математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267574 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Музыка]] [[Категория:Занимательная математика]] cjq3arfjrox2ytjlfrz2ut2vezam6nt 267842 267574 2026-05-21T11:52:39Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Занимательная математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267842 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Музыка]] fxuxkbi39e8mabsatg6rile63uq4kt6 0 9320 267635 258221 2026-05-21T08:22:48Z AllaBuraya 79455 267635 wikitext text/x-wiki {{Название учебника |Категория = Геометрия |Тип = Одностраничный }} == Расстояние между скрещивающимися прямыми == ''Обычная геометрия'': в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми. ''Аналитическая геометрия'': Вводят декартовую систему координат <math>Oxyz</math>, находят направляющие вектора двух прямых <math>\vec{s_1} (a,b,c)</math> и <math>\vec{s_2} (d,e,f)</math> (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой <math>\vec {m}(g,h,l)</math>, где <math>a,b,c,d,e,f,g,h,l \in \mathbb R</math>. Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле: <math>d=\frac{\left| \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) \right|} {\left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| }</math>, где <math>\left| \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) \right|</math> — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно <math>\begin{vmatrix} g & h &l \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = gbf + chd + ale - dbl - ahf - gec</math>, а <math>\left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| </math> — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec {k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = bf\vec{i}+cd\vec{j}+ae\vec{k} - db\vec{k}- af\vec{j}-ce\vec{i} = (bf-ce,cd-af,ae-db)</math>, а сам модуль равен <math> \left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| = \sqrt{(bf-ce)^2+(cd-af)^2+(ae-db)^2}</math> === Пример === В кубе <math>ABCDA_1B_1C_1D_1</math> найти расстояние между прямыми <math>A_1D</math> и <math>CC_1</math>, если ребро куба равно 1. ==== Решение с использованием обычной геометрии ==== Найдём плоскость, перпендикулярную прямой <math>CC_1</math>. Это будет плоскость <math>(ABC)</math>. Проекцией прямой <math>A_1D</math> на плоскость <math>(ABC)</math> является прямая <math>AD</math>. Из точки С, как точки пересечения прямой <math>CC_1</math> и плоскости <math>ABC</math> опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая <math>CD</math>, длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1. Ответ: 1. ==== Решение с помощью аналитической геометрии ==== Введём в точке A декартовую систему координат так, что <math>\overrightarrow{AB}=\vec{i},\overrightarrow{AD}=\vec{j},\overrightarrow{AA_1}=\vec{k}</math>, тогда координаты интересующих нас точек равны <math>~A_1(0;0;1),D(0;1;0),C(1;1;0),C_1(1,1,1)</math>, а нужные нам вектора имеют координаты <math>\vec{m}=\overrightarrow{DC}(1;0;0),\vec{s_1}=\overrightarrow{CC_1}(0;0;1),\vec{s_2}=\overrightarrow{A_1D}(0;1;-1)</math>. Смешанное произведение трёх векторов равно <math> \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1</math>, а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно <math>\left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec {k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\vec{i}=(-1;0;0)</math>, а его модуль тогда равен <math>\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1</math>, и расстояние между прямыми равно <math>d = \frac{1} {1} = 1</math>. Ответ: 1. == Угол между двумя плоскостями == ''Обычная геометрия'': Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым. ''Аналитическая геометрия'': Вводят декартовую систему координат <math>Oxyz</math>, находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора <math>\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}</math> к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек <math>A(s,t,u),B(m,n,o),C(p,q,r)</math> находят уравнение плоскости согласно уравнению <math>\begin{vmatrix} x-s & y-t & z-u \\ m-s & n-t & o-u \\ p-s & q-t & r-u \end{vmatrix} = 0</math> и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле <math>\cos \varphi = \frac {(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})} {\left |\overrightarrow{n_1} \right | \cdot \left | \overrightarrow {n_2} \right |}</math>, где в числителе стоит скалярное произведение векторов. === Пример === В кубе <math>ABCDA_1B_1C_1D_1</math> найти угол между плоскостями <math>ACC_1</math> и <math>BB_1D_1</math>, если ребро куба равно <math>a</math>. ==== Решение методом обычной геометрии ==== 1. <math>BB_1D_1 \cap ACC_1 = OO_1</math>, где <math>O = B_1D_1 \cap A_1C_1, O_1 = BD \cap AC</math> 2. <math>OO_1 \perp ABC, ABC \cap ACC_1 = AC, ABC \cap BB_1D_1 = BD</math> 3. <math>\angle(AC,BD) = 90^{\circ }</math> (как угол между диагоналями квадрата, <math>ABCD</math> — квадрат, как одно из оснований куба. Ответ: <math>90^{\circ }</math> ==== Решение методом аналитической геометрии ==== Введём декартовую систему координат Oxyz так, что <math>\overrightarrow{AB}(a;0;0), \overrightarrow{AD} (0;a;0), \overrightarrow{AA_1} (0;0;a)</math>, тогда координаты интересующих нас точек равны <math>~A(0;0;0), A_1(0;0;a),C(a;a;0),B(a;0;0), B_1(a;0;a),D(0;a;0)</math>. Уравнение плоскости <math>AA_1C</math>: <math>\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow a^2y-a^2x=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_1}(-a^2;a^2;0)</math> Уравнение плоскости <math>BB_1D</math>: <math>\begin{vmatrix} x-a & y & z \\ 0 & 0 & a \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow -a^2y-a^2(x-a)=0 \Leftrightarrow -a^2x-a^2y+a^3=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_2} (-a^2;-a^2;0)</math> <math>\left (\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2} \right ) = -a^2\cdot (-a^2) - a^2\cdot a^2 = 0</math>. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен <math>90^{\circ }</math> Ответ: <math>90^{\circ}</math> cd7ugopuz6o1r8fpy0l2fwwaw3pmy8y 267693 267635 2026-05-21T08:53:47Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267693 wikitext text/x-wiki {{Название учебника |Категория = Геометрия |Тип = Одностраничный }} == Расстояние между скрещивающимися прямыми == ''Обычная геометрия'': в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми. ''Аналитическая геометрия'': Вводят декартовую систему координат <math>Oxyz</math>, находят направляющие вектора двух прямых <math>\vec{s_1} (a,b,c)</math> и <math>\vec{s_2} (d,e,f)</math> (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой <math>\vec {m}(g,h,l)</math>, где <math>a,b,c,d,e,f,g,h,l \in \mathbb R</math>. Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле: <math>d=\frac{\left| \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) \right|} {\left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| }</math>, где <math>\left| \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) \right|</math> — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно <math>\begin{vmatrix} g & h &l \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = gbf + chd + ale - dbl - ahf - gec</math>, а <math>\left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| </math> — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec {k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = bf\vec{i}+cd\vec{j}+ae\vec{k} - db\vec{k}- af\vec{j}-ce\vec{i} = (bf-ce,cd-af,ae-db)</math>, а сам модуль равен <math> \left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| = \sqrt{(bf-ce)^2+(cd-af)^2+(ae-db)^2}</math> === Пример === В кубе <math>ABCDA_1B_1C_1D_1</math> найти расстояние между прямыми <math>A_1D</math> и <math>CC_1</math>, если ребро куба равно 1. ==== Решение с использованием обычной геометрии ==== Найдём плоскость, перпендикулярную прямой <math>CC_1</math>. Это будет плоскость <math>(ABC)</math>. Проекцией прямой <math>A_1D</math> на плоскость <math>(ABC)</math> является прямая <math>AD</math>. Из точки С, как точки пересечения прямой <math>CC_1</math> и плоскости <math>ABC</math> опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая <math>CD</math>, длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1. Ответ: 1. ==== Решение с помощью аналитической геометрии ==== Введём в точке A декартовую систему координат так, что <math>\overrightarrow{AB}=\vec{i},\overrightarrow{AD}=\vec{j},\overrightarrow{AA_1}=\vec{k}</math>, тогда координаты интересующих нас точек равны <math>~A_1(0;0;1),D(0;1;0),C(1;1;0),C_1(1,1,1)</math>, а нужные нам вектора имеют координаты <math>\vec{m}=\overrightarrow{DC}(1;0;0),\vec{s_1}=\overrightarrow{CC_1}(0;0;1),\vec{s_2}=\overrightarrow{A_1D}(0;1;-1)</math>. Смешанное произведение трёх векторов равно <math> \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1</math>, а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно <math>\left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec {k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\vec{i}=(-1;0;0)</math>, а его модуль тогда равен <math>\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1</math>, и расстояние между прямыми равно <math>d = \frac{1} {1} = 1</math>. Ответ: 1. == Угол между двумя плоскостями == ''Обычная геометрия'': Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым. ''Аналитическая геометрия'': Вводят декартовую систему координат <math>Oxyz</math>, находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора <math>\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}</math> к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек <math>A(s,t,u),B(m,n,o),C(p,q,r)</math> находят уравнение плоскости согласно уравнению <math>\begin{vmatrix} x-s & y-t & z-u \\ m-s & n-t & o-u \\ p-s & q-t & r-u \end{vmatrix} = 0</math> и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле <math>\cos \varphi = \frac {(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})} {\left |\overrightarrow{n_1} \right | \cdot \left | \overrightarrow {n_2} \right |}</math>, где в числителе стоит скалярное произведение векторов. === Пример === В кубе <math>ABCDA_1B_1C_1D_1</math> найти угол между плоскостями <math>ACC_1</math> и <math>BB_1D_1</math>, если ребро куба равно <math>a</math>. ==== Решение методом обычной геометрии ==== 1. <math>BB_1D_1 \cap ACC_1 = OO_1</math>, где <math>O = B_1D_1 \cap A_1C_1, O_1 = BD \cap AC</math> 2. <math>OO_1 \perp ABC, ABC \cap ACC_1 = AC, ABC \cap BB_1D_1 = BD</math> 3. <math>\angle(AC,BD) = 90^{\circ }</math> (как угол между диагоналями квадрата, <math>ABCD</math> — квадрат, как одно из оснований куба. Ответ: <math>90^{\circ }</math> ==== Решение методом аналитической геометрии ==== Введём декартовую систему координат Oxyz так, что <math>\overrightarrow{AB}(a;0;0), \overrightarrow{AD} (0;a;0), \overrightarrow{AA_1} (0;0;a)</math>, тогда координаты интересующих нас точек равны <math>~A(0;0;0), A_1(0;0;a),C(a;a;0),B(a;0;0), B_1(a;0;a),D(0;a;0)</math>. Уравнение плоскости <math>AA_1C</math>: <math>\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow a^2y-a^2x=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_1}(-a^2;a^2;0)</math> Уравнение плоскости <math>BB_1D</math>: <math>\begin{vmatrix} x-a & y & z \\ 0 & 0 & a \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow -a^2y-a^2(x-a)=0 \Leftrightarrow -a^2x-a^2y+a^3=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_2} (-a^2;-a^2;0)</math> <math>\left (\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2} \right ) = -a^2\cdot (-a^2) - a^2\cdot a^2 = 0</math>. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен <math>90^{\circ }</math> Ответ: <math>90^{\circ}</math> [[Категория:Аналитическая геометрия]] pw528hd9fe3f2gcaqw3kcgtpdhu2zr9 267729 267693 2026-05-21T10:03:18Z AllaBuraya 79455 267729 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный }} == Расстояние между скрещивающимися прямыми == ''Обычная геометрия'': в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми. ''Аналитическая геометрия'': Вводят декартовую систему координат <math>Oxyz</math>, находят направляющие вектора двух прямых <math>\vec{s_1} (a,b,c)</math> и <math>\vec{s_2} (d,e,f)</math> (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой <math>\vec {m}(g,h,l)</math>, где <math>a,b,c,d,e,f,g,h,l \in \mathbb R</math>. Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле: <math>d=\frac{\left| \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) \right|} {\left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| }</math>, где <math>\left| \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) \right|</math> — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно <math>\begin{vmatrix} g & h &l \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = gbf + chd + ale - dbl - ahf - gec</math>, а <math>\left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| </math> — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec {k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix} = bf\vec{i}+cd\vec{j}+ae\vec{k} - db\vec{k}- af\vec{j}-ce\vec{i} = (bf-ce,cd-af,ae-db)</math>, а сам модуль равен <math> \left| \left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] \right| = \sqrt{(bf-ce)^2+(cd-af)^2+(ae-db)^2}</math> === Пример === В кубе <math>ABCDA_1B_1C_1D_1</math> найти расстояние между прямыми <math>A_1D</math> и <math>CC_1</math>, если ребро куба равно 1. ==== Решение с использованием обычной геометрии ==== Найдём плоскость, перпендикулярную прямой <math>CC_1</math>. Это будет плоскость <math>(ABC)</math>. Проекцией прямой <math>A_1D</math> на плоскость <math>(ABC)</math> является прямая <math>AD</math>. Из точки С, как точки пересечения прямой <math>CC_1</math> и плоскости <math>ABC</math> опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая <math>CD</math>, длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1. Ответ: 1. ==== Решение с помощью аналитической геометрии ==== Введём в точке A декартовую систему координат так, что <math>\overrightarrow{AB}=\vec{i},\overrightarrow{AD}=\vec{j},\overrightarrow{AA_1}=\vec{k}</math>, тогда координаты интересующих нас точек равны <math>~A_1(0;0;1),D(0;1;0),C(1;1;0),C_1(1,1,1)</math>, а нужные нам вектора имеют координаты <math>\vec{m}=\overrightarrow{DC}(1;0;0),\vec{s_1}=\overrightarrow{CC_1}(0;0;1),\vec{s_2}=\overrightarrow{A_1D}(0;1;-1)</math>. Смешанное произведение трёх векторов равно <math> \left( \vec {m}, \vec {s_1}, \vec {s_2} \right) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1</math>, а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно <math>\left[ \vec {s_1}, \vec {s_2} \right] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec {k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\vec{i}=(-1;0;0)</math>, а его модуль тогда равен <math>\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1</math>, и расстояние между прямыми равно <math>d = \frac{1} {1} = 1</math>. Ответ: 1. == Угол между двумя плоскостями == ''Обычная геометрия'': Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым. ''Аналитическая геометрия'': Вводят декартовую систему координат <math>Oxyz</math>, находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора <math>\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}</math> к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек <math>A(s,t,u),B(m,n,o),C(p,q,r)</math> находят уравнение плоскости согласно уравнению <math>\begin{vmatrix} x-s & y-t & z-u \\ m-s & n-t & o-u \\ p-s & q-t & r-u \end{vmatrix} = 0</math> и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле <math>\cos \varphi = \frac {(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})} {\left |\overrightarrow{n_1} \right | \cdot \left | \overrightarrow {n_2} \right |}</math>, где в числителе стоит скалярное произведение векторов. === Пример === В кубе <math>ABCDA_1B_1C_1D_1</math> найти угол между плоскостями <math>ACC_1</math> и <math>BB_1D_1</math>, если ребро куба равно <math>a</math>. ==== Решение методом обычной геометрии ==== 1. <math>BB_1D_1 \cap ACC_1 = OO_1</math>, где <math>O = B_1D_1 \cap A_1C_1, O_1 = BD \cap AC</math> 2. <math>OO_1 \perp ABC, ABC \cap ACC_1 = AC, ABC \cap BB_1D_1 = BD</math> 3. <math>\angle(AC,BD) = 90^{\circ }</math> (как угол между диагоналями квадрата, <math>ABCD</math> — квадрат, как одно из оснований куба. Ответ: <math>90^{\circ }</math> ==== Решение методом аналитической геометрии ==== Введём декартовую систему координат Oxyz так, что <math>\overrightarrow{AB}(a;0;0), \overrightarrow{AD} (0;a;0), \overrightarrow{AA_1} (0;0;a)</math>, тогда координаты интересующих нас точек равны <math>~A(0;0;0), A_1(0;0;a),C(a;a;0),B(a;0;0), B_1(a;0;a),D(0;a;0)</math>. Уравнение плоскости <math>AA_1C</math>: <math>\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow a^2y-a^2x=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_1}(-a^2;a^2;0)</math> Уравнение плоскости <math>BB_1D</math>: <math>\begin{vmatrix} x-a & y & z \\ 0 & 0 & a \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow -a^2y-a^2(x-a)=0 \Leftrightarrow -a^2x-a^2y+a^3=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_2} (-a^2;-a^2;0)</math> <math>\left (\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2} \right ) = -a^2\cdot (-a^2) - a^2\cdot a^2 = 0</math>. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен <math>90^{\circ }</math> Ответ: <math>90^{\circ}</math> [[Категория:Аналитическая геометрия]] 4l9narf667g3vxcs2ofkmqiisr4zxc3 0 9607 267642 267454 2026-05-21T08:26:28Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267642 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Геометрия | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }} {{Википедия}} '''Начертательная геометрия''' — инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов, для исследования свойств геометрических объектов. Практически, начертательная геометрия ограничивается исследованием объектов трёхмерного [[w:Евклидово пространство|евклидова пространства]]. Исходные данные должны быть представлены в виде двух независимых проекций. В большинстве задач и алгоритмов, используются две ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости. При обыкновенном способе изображения предметов линии, распространяющиеся вдаль от глаза наблюдателя, хотя и изображаются, соответственно с тем, какими они нам представляются, сокращёнными, но это сокращение определяется рисовальщиком обыкновенно на глаз, а фотографией оно хотя в известных случаях и достаточно точно может быть передано, но отношение, в каком потерпели сокращения разные линии изображаемого предмета, остаётся трудно определимым; вдобавок, во многих случаях и [[фотография]] ведёт к перспективным ошибкам. Всякий мастер, будет ли то плотник, слесарь, токарь, каменотёс и т. д., может только в том случае выполнить заказанный предмет согласно желанию заказчика, если ему будет дан или совершенно такой же предмет на образец, или его модель, или конструкторский чертёж, по которому легко и точно определялись бы размеры всех начерченных линий, хотя бы и таких, которые удаляются в глубь картины и потому изображаются сокращёнными. Начертательная геометрия учит изготовлению таких чертежей, в которых предмет изображается почти таким, как мы его видим, и притом так, что по начерченным линиям можно в точности определить размеры и истинный вид изображаемого. == Содержание == * Основные принципы * Стандартные приёмы * Длина отрезка прямой * Углы наклона прямой к плоскостям проекций * Перпендикулярность прямой и плоскости * Совмещение * Развёртка многогранников * Сечение цилиндра плоскостью * Пересечение прямой с поверхностью * Сечение конуса плоскостью * [[Построение разверток тел вращения]] * [[Построение эллипса]] == Основные принципы == [[Файл:descriptive geometry-orthogonal projection.png|thumb|200px|Рисунок 1]] Представим себе, что в точке ''O'' (рис. 1) находится глаз человека, смотрящего на предмет ''AB.'' Вообразим между глазом и предметом плоскость ''MN'', расположенную перпендикулярно к той линии, по которой глаз смотрит. Проведём из ''O'' прямые к тем точкам предмета, которые характеризуют его форму. Эти прямые, называемые ''проекционными лучами'', пересекут плоскость ''MN'' в различных точках. Совокупность таких точек ''ab'' и составит картину предмета ''AB'', служащую его изображением. Поэтому плоскость ''MN'' и называется ''плоскостью картины.'' Точка пересечения проекционного луча и плоскости картины называется ''центральной проекцией'' или ''перспективой'' той точки предмета, из которой исходит данный проекционный луч. Такой способ изображения предмета называется ''перспективой.'' Если вместо того, чтобы проводить проекционные лучи от точек предмета к глазу, мы будем опускать перпендикуляры из точек предмета на плоскость картины, то полученное изображение, представляемое совокупностью оснований этих перпендикуляров, будет сохранять некоторое сходство с перспективным. Действительно, чем больше точка ''O'' будет удалена от предмета, тем больше проекционные лучи будут приближаться к положению взаимно параллельному и перпендикулярному к плоскости картины. Такое изображение называется ''ортогональной проекцией.'' Итак, в ортогональной проекции каждая точка предмета изображается основанием перпендикуляра, опущенного из неё на плоскость картины. Получение по данному чертежу истинных размеров и другие построения несравненно проще выполняются при ортогональном проектировании, чем при [[Перспектива|перспективе]]. Основная идея Н. геометрии заключается в следующем: если имеются две ортогональные проекции предмета на две плоскости, различным образом относительно предмета расположенные, то, с помощью сравнительно несложных построений над этими двумя изображениями, можно получить истинные размеры предмета, истинный вид его плоских линий и ортогональную проекцию на любую заданную третью плоскость. Конечно, для этого необходимо нужно знать, в каком масштабе были даны заданные две ортогональные проекции, то есть в каком общем отношении весь чертёж был уменьшен или увеличен против действительности. Обыкновенно задают вид предмета его ортогональными проекциями на такие две плоскости, из которых одна горизонтальна и называется ''планом'', а другая вертикальна и называется ''фасадом''. Их также называют горизонтальной и вертикальной плоскостями проекции. Ортогональная проекция предмета на плоскость, перпендикулярную к плану и фасаду, называется ''боковым видом.'' Весьма важный приём Н. геометрии заключается в том, что плоскость фасада, бокового вида и всякие другие плоскости, на которые проектируется предмет, мысленно отгибают на плоскость плана поворотом около прямой, по которой план пересекается с отгибаемой плоскостью. Этот приём называется ''совмещением.'' Дальнейшие построения совершаются уже на таком ''совмещённом чертеже'', как это указано ниже. Так как всякий предмет представляет собой совокупность точек, то прежде всего необходимо познакомиться с изображением плана и фасада точки на совмещённом чертеже. [[Файл:descriptive geometry-3d.png|thumb|250px|Рисунок 2]] Пусть ''a'' (рис. 2) будет данная точка; ''P'' плоскость плана; ''Q'' плоскость фасада. Опустив из ''a'' перпендикуляр на план, получим план ''a' '' точки '' a''; опустив из ''a'' перпендикуляр на фасад, получим фасад ''b '' точки ''a''. Перпендикуляры ''aa' '' и ''ab'' называются проектирующими линиями. Плоскость ''bаa' '', определяемая проектирующими линиями, называется проектирующей плоскостью. Она перпендикулярна как к плану, так и к фасаду и, следовательно, перпендикулярна к пересечению плоскости плана и фасада, называемому ''общим прорезом.'' Пусть ''a'' _оесть та точка, в которой проектирующая плоскость пересекается с общим прорезом: ''a'' _о ''a' ''и ''a''_o''b '' будут перпендикулярны к общему прорезу. При данных плоскостях плана и фасада положение точки ''a'' вполне определяется её планом ''a' '' и фасадом ''b'', так как ''a'' находится на пересечении перпендикуляра, восставленного из ''a' '' к плоскости плана, с перпендикуляром, восставленным из ''b'' к плоскости фасада. Для получения совмещённого чертежа повернём плоскость ''Q'' фасада в направлении, указанном стрелкой, около общего прореза до совпадения с плоскостью плана. При этом точка ''b'' упадёт в ''a"''. Таким образом точка ''a"'', представляющая собой ''совмещённый фасад'' точки ''a'', будет лежать на продолжении перпендикуляра ''a’a''_o, опущенного из плана ''a' '' на общий прорез. [[Файл:descriptive geometry-compound.png|thumb|180px|left|Рисунок 3]] Таким образом получится совмещённый чертёж, изображённый на рис. 3, где ''MN'' есть общий прорез; ''a' '' — план и ''a"'' — совмещённый фасад точки ''a'', которая сама уже не изображается. Н. геометрия имеет дело только с совмещёнными чертежами; каждая точка даётся планом и совмещённым фасадом; к чертежам же, исполненным обыкновенными приёмами (каковы у нас рис. 1, 2 и 5), прибегают только в начале изучения этой науки. === Проекция прямой === [[Файл:descriptive geometry-line.png|thumb|180px|Рисунок 4]] Прямая определяется двумя точками. Следовательно, если имеется план и фасад (совмещённый) двух точек ''a'' и ''b'', лежащих на прямой, то прямая ''a’b' '', соединяющая планы точек ''a'' и ''b'', будет планом прямой ''ab'' и прямая ''a"b"'', соединяющая фасады точек ''a'' и ''b'', будет фасадом прямой ''ab''. На чертеже 4 изображена прямая ''ab '' своими планом и фасадом. == Стандартные приёмы == === Определение истинной длины прямолинейного отрезка заданного планом и проекцией === [[Файл:descriptive geometry-length.png|thumb|200px|Рисунок 5]] Воспользуемся чертежом, исполненным обыкновенным способом (рис. 5). Пусть ''ab'' есть данный прямолинейный отрезок, ''a’b' '' его план ''a"b"'' его фасад. Повернём плоскость ''a’abb' '' около прямой ''a’b' '' и отогнём её в положение ''a’b’BA''на плоскость плана. При этом отрезок ''ab'' примет положение ''AB. '' Следовательно: [[Файл:descriptive geometry-length compound.png|thumb|180px|left|Рисунок 6]] : ''Aа' = ''aa' = a"a''_o : ''Bb' = bb' = b"b''_o Перпендикулярность прямых ''a’a'' и ''b’b'' к ''a’b' '' не изменилась, следовательно, чтобы по данному плану и фасаду прямолинейного отрезка на совмещённом чертеже (рис. 6) определить истинную его длину, нужно: восставить из ''a' '' и ''b' '' к плану ''a’b' '' перпендикуляры и на них отложить: ''a’A=a_oa"''; ''b’B=b_ob"''. Прямая ''AB '' и будет равна истинной длине прямой ''ab''. На этом примере и видим, что на чертеже 5, исполненном обыкновенным способом, прямая ''ab'' изображена в укороченном виде соответственно тому, как мы её видим, и так как степень этого укорочения неизвестна, то по чертежу 5 нельзя определить истинного расстояния ''ab.'' Между тем на чертеже 6, хотя сама прямая ''ab'' и не изображена, а даны только её план ''a’b' '' и фасад ''a"b"'', то по ним можно совершенно точно определить представляемую ими прямую. === Определение бокового вида точки по данным её плану и фасаду === [[Файл:descriptive geometry-point.png|thumb|200px|Рисунок 7]] Пусть ''a' '' есть план и ''a"'' фасад заданной точки (рис. 7), плоскость же бокового вида пересекает плоскость плана по прямой ''on'' и плоскость фасада по прямой ''om.'' При совмещении плоскостей плана и фасада ''om'' и ''on'' окажутся лежащими на одной прямой ''mn'', перпендикулярной к ''MN'', так как мы предполагаем, что плоскость бокового вида перпендикулярна к плоскостям плана и фасада. Совмещение трёх плоскостей предполагаем происшедшим следующим образом: сначала плоскость бокового вида была совмещена вращением около ''om'' с плоскостью фасада; затем они обе вращением около ''MN'' были совмещены с плоскостью плана, которая и представляет собой плоскость чертежа. Не трудно видеть, что при этом расстояние ''a"s'' бокового вида ''a"''' точки ''a'' от '' MN'' будет равно ''a'' _о ''a"'' и расстояние ''а'«'' от ''om '' будет равно ''a''_o''a'.'' Отсюда получаем такое построение: когда заданы ''a' '' и ''a»'', то проводим к ''MN'' перпендикуляр ''mn'' и на него опускаем перпендикуляр ''a’q'' из ''a' ''; радиусом ''oq'' описываем из центра ''o'' дугу, которая пересечёт ''MN'' в точке ''s''; из ''s'' восставляем перпендикуляр к ''MN.'' Пересечение этого перпендикуляра с прямой, проведённой через фасад ''a"'' параллельно ''MN'', и будет боковым видом '' a'"''. === Определение бокового вида многоугольника === [[Файл:descriptive geometry-polygon.png|thumb|200px|Рисунок 8]] Если даны (рис. 8) план и фасад сторон многоугольника, а следовательно, и его вершин, то, строя боковые виды вершин, получим и боковой вид многоугольника. При множестве точек, с которыми имеем дело на чертеже, удобно их обозначать цифрами. Подобный прием построения «бокового вида» (точнее — профильной проекции или вида слева) с точки зрения конструктора не позволяет удачно скомпоновать чертеж. Для обеспечения последнего, использование осей координат нецелесообразно, так как ограничивает возможности компоновки чертежа, заставляя постоянно выдерживать одинаковые расстояния между видами спереди, сверху и слева, что чаще всего бывает нежелательно. Построить по двум любым видам оригинала третий, удобно скомпоновать чертеж, взамен осей координат помогут «базы отсчета» привязанные к изображениям (видам). === Проецирование параллелепипеда === Обыкновенно задаются таким положением плоскостей плана и фасада, при котором данный предмет проектируется на них простым чертежом и уже по этому плану и фасаду строят проекцию предмета на такую плоскость, на которой он изображается во всей своей сложности. Первоначальные план и фасад можно даже так выбрать, чтобы на них не искажались некоторые размеры предмета. Покажем это на следующем примере изображения параллелепипеда (рис. 9). [[Файл:descriptive geometry-parallelepiped.png|thumb|200px|left|Рисунок 9]] Представим себе, что параллелепипед лежит одним из своих рёбер на плоскости плана, а заднее и переднее его основания параллельны плоскости фасада. Тогда эти основания проектируются на фасад, налагаясь одно на другое (заслоняя одно другое), но в истинном виде. На плане получается проекция, в которой сохраняется величина рёбер, параллельных плану. Повернём мысленно параллелепипед около некоторой вертикали и отнесём его несколько в сторону. Тогда и план его повернётся на тот же угол и отнесётся в сторону. Чтобы получить план нового положения, проводим прямую 1’3', составляющую некоторый угол с направлением 1 3 прежнего плана, и на этой прямой строим приёмами обыкновенной геометрии фигуру, равную прежнему плану. Вершины фасада нового положения будут лежать на перпендикулярах, опущенных из вершин нового плана на общий прорез. Кроме того, они будут лежать на параллелях, проведённых из вершин прежнего фасада к общему прорезу, потому что при сказанном перемещении параллелепипеда его вершины остались на прежней высоте от плоскости плана. Итак, пересечения упомянутых перпендикуляров и параллелей и будут вершинами нового фасада. Соединяя их между собой и изображая более слабыми чертами линии, заслонённые параллелепипедом, получим такое его изображение, в котором видны уже все его 12 рёбер. Как для изображения параллелепипеда достаточно изобразить его рёбра, так и для изображения кривой поверхности достаточно изобразить её наиболее характеристичные линии, между которыми первенствующее значение имеет ''видимый контур'' — кривая, по которой проектирующие линии касаются поверхности. === Пересечение двух круглых цилиндров === Для уяснения способа изображения кривых поверхностей рассмотрим применение Н. геометрии к следующему практическому вопросу. Требуется соединить между собой две трубы, склёпанные из котельного листового железа, так, чтобы одна труба, будучи перпендикулярна другой, врезалась бы в неё более чем на половину своей толщины. Для этого в одной из труб (положим, в большей) должно быть проделано окошко, которое удобнее, конечно, проделать в листе, из которого делается большая труба, пока она ещё не склёпана. Требуется определить форму того окошка, которое должно быть прорезано в листе, служащем для приготовления большой трубы. [[Файл:descriptive geometry-cylinder.png|300px|right]] Пусть (рис. 10) плоскость плана будет перпендикулярна к большой трубе, а плоскость фасада параллельна осям обеих труб. Тогда план большой трубы будет окружность ''036'' и фасад её изобразится прямоугольником ''ABCD.'' План малой трубы будет ''mnpq'' и фасад ''abcd.'' Пусть ''HF'' будет фасад диаметральной и параллельной плану плоскости малой трубы. На ''nm'', как на диаметре, опишем дугу ''nsm.'' Зададимся какой-нибудь образующей ''h5'' малой трубы и определим фасад той точки взаимного пересечения труб, которая лежит на этой образующей и план которой есть, следовательно, точка 1. Искомый фасад точки, во-первых, должен лежать на перпендикуляре, опущенном на общий прорез из точки 1. Во-вторых, он будет лежать от ''HF'' на высоте ''HS'', равной ''hs.'' Итак, точка ''S'' есть искомый фасад. Задаваясь другими образующими и строя фасады точек взаимного пересечения труб, получают целый ряд точек, соединением которых получится фасад пересечения труб. Теперь развернём полуокружность ''036.'' [[Квадратура|Задача эта]] может быть исполнена только приближённо. Она решается с достаточным приближением, если принять длину полуокружности за сумму стороны вписанного квадрата и стороны правильного вписанного треугольника. Сторона вписанного квадрата будет хорда ''36'', сторона треугольника есть хорда '' 04'', если цифры обозначают деления полуокружности на 6 частей. Сумму этих хорд откладывают на особом чертеже (рис. 11) и делят её на 6 частей. Пусть ''PQ'' будет соответствовать упомянутой диаметральной плоскости малой трубы: она должна быть проведена параллельно прямой ''012…'' на расстоянии ''OP=AE.'' Восставляя из деления 1 перпендикуляр к прямой ''012…'' и откладывая на нём от пересечения его с ''PQ '' величину ''h’s'=hs=HS'', получим точку ''s' '' той искомой кривой, по которой должно быть вырезано в листе ''MN'' окошко. Получая таким же путём другие точки искомой кривой, определим и самую эту кривую, изображённую на чертеже (рис. 11). == Длина отрезка прямой == [[Отрезок]] [[Прямая линия|прямой]], расположенный в пространстве [[Параллельность|параллельно]] какой-либо [[Плоскость проекции|плоскости проекций]], проектируется на эту [[Плоскость (геометрия)|плоскость]] в действительную величину (то есть без искажения). [[Длина|Длину]] отрезка прямой по его [[проекция]]м определяют как [[Гипотенуза|гипотенузу]] [[Прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]], одним [[катет]]ом которого является одна из проекций данного отрезка, а другим катетом — абсолютная величина алгебраической разности [[Расстояние|расстояний]] от концов другой проекции отрезка до [[Ось проекций|оси проекций]]. === Пример 33 === <!--[[Файл:Fig33.jpg|200 px|right]] Определить действительную длину отрезка АВ<ref>Нумерация примеров дана по Х. А. Арустамову (см. лит.).</ref>. Решение см. [[Построение длины отрезка прямой]].--> [[Файл:Fig33.jpg|200 px|right]] Определить действительную длину отрезка АВ<ref>Нумерация примеров дана по Х. А. Арустамову (см. лит.).</ref>. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig33m.gif|200 px| right]] Длина отрезка [[Прямая линия|прямой]] по его [[проекция]]м определяется как [[гипотенуза]] [[Прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]], одним [[катет]]ом которого является одна из проекций данного отрезка, а другим катетом – алгебраическая разность [[Расстояние|расстояний]] от концов другой проекции отрезка до [[Ось проекций|оси проекций]]. Возможно два [[вариант]]а (см. рис.): # Проекция отрезка не пересекает ось проекций. Тогда расстояния от концов другой проекции суммируются. # Проекция отрезка пересекает ось проекций. Тогда из одного расстояния от конца другой проекции вычитается другое расстояние. В обоих случаях получается один и тот же [[результат]]. }} {{ - }} == Углы наклона прямой к плоскостям проекций == Если отрезок параллелен горизонтальной плоскости проекций, то [[угол]] между горизонтальной проекцией этого отрезка и [[ось]]ю проекций равен углу наклона самого отрезка к вертикальной плоскости проекций. Если отрезок параллелен вертикальной плоскости проекций, то угол между вертикальной проекцией этого отрезка и осью проекций равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций. Если построена действительная длина отрезка (см. раздел «Длина отрезка прямой»), то: * угол в [[треугольник]]е между катетом (горизонтальной проекцией отрезка) и гипотенузой (его действительной величиной) равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций. * угол в треугольнике между катетом (вертикальной проекцией отрезка) и гипотенузой (его действительной величиной) равен углу наклона самого отрезка к вертикальной плоскости проекций. === Пример 36 === <!--[[Файл:Fig36.jpg|200 px|right]] Определить углы наклона прямой АВ к плоскостям проекций. Решение см. [[Построение углов наклона прямой к плоскостям проекций]].--> [[Файл:Fig36.jpg|200 px|right]] Определить углы наклона прямой АВ к плоскостям проекций. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig36m.gif|200 px| right]] Строим на проекциях действительную [[Длина|длину]] прямой АВ. Пересечение действительной длины с проекциями прямой дают действительные углы наклона прямой к плоскостям проекций. Угол α является углом наклона данной прямой к горизонтальной плоскости проекций, а угол β – к фронтальной. Определение действительной длины отрезка см. также пример 33. }} {{ - }} == Перпендикулярность прямой и плоскости == Если прямая [[перпендикуляр]]на плоскости, заданной [[След плоскости|следами]], то проекции этой прямой перпендикулярны соответствующим следам плоскости. Вместе с тем горизонтальная проекция прямой перпендикулярна также горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна также вертикальной проекции фронтали. Этой особенностью проекций главных линий плоскости, перпендикулярной прямой, следует пользоваться для: * выяснения перпендикулярности прямой к плоскости, заданной не следами (без определения следов плоскости), * опускания перпендикуляра из точки на плоскость, заданную не следами. Исключение. Прямая перпендикулярна профильно-проектирующей плоскости, если дополнительно профильная проекция прямой перпендикулярна профильному следу плоскости Плоскость Р и Q взаимно перпендикулярны, если плоскость Р содержит прямую, перпендикулярную плоскости Q. === Пример 166 === <!--[[Файл:Fig166.jpg| 200 px| right]] Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку B перпендикуляр BS. Решение см. [[Построение плоскости перпендикулярной к прямой]].--> [[Файл:Fig166.jpg|200 px| right]] Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig166m.gif|200 px| right]] Поскольку фронтальная [[проекция]] прямой АВ [[Параллельность|параллельна]] [[оси проекций]] ОХ, искомая плоскость будет горизонтально-проецирующей – во фронтальной плоскости проекций [[след плоскости]] Р будет перпендикулярным оси ОХ. Поэтому построить надо только горизонтальный след плоскости Р, проходящий через горизонтальную проекцию точки С и перпендикулярный горизонтальной проекции прямой АВ. Фронтальный след плоскости Р – перпендикуляр из точки пересечения горизонтального следа плоскости Р с осью проекций. }} {{ - }} === Пример 168 === <!--[[Файл:Fig168.jpg| 200 px| right]] Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. Решение см. [[Построение плоскости перпендикулярной к прямой (2)]].--> [[Файл:Fig168.jpg|200 px| right]] Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left: left; | content = [[Файл:Fig168m.gif|200 px| right]] Поскольку и горизонтальная и вертикальная [[Проекция|проекции]] прямой АВ перпендикулярны [[Ось проекций|оси проекций]] ОХ, любая плоскость со [[След плоскости|следами]] перпендикулярными [[Ось|осям]] OZ и OY (или параллельная оси ОХ) будет перпендикулярна прямой АВ. Для решения задачи надо только соблюсти перпендикулярность в [[Профильная плоскость|профильной плоскости]]. Поэтому сначала строим профильные проекции прямой АВ и точки С. Затем из профильной проекции точки С опускаем перпендикуляр на профильную проекцию прямой АВ и продлеваем его до пересечения с осями OZ и OY. Получается профильный след PW искомой плоскости. Достраиваем вертикальный PV и горизонтальный PH следы этой плоскости. Построение закончено. }} {{ - }} == Совмещение == === Пример 221 === <!--[[Файл:Fig221.jpg| 200 px| right]] Даны плоскость Р и совмещенное положение ее точки А₀ на горизонтальной плоскости проекций. Найти проекции этой точки. Решение см. [[Построение проекции точки совмещенной с плоскостью]].--> [[Файл:Fig221.jpg|200 px| right]] Даны плоскость Р и совмещенное положение ее точки А0 на горизонтальной плоскости проекций. Найти проекции этой точки. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig221m.gif|200 px| right]] Сначала строим совмещенный вертикальный [[След плоскости|след]] (PV1) плоскости Р. Точка АО становится своей вертикальной проекцией на плоскости со следами PV1 – PX и PX – O. В этой вспомогательной плоскости строим горизонтальную проекцию (а) точки АО. Эта проекция является горизонтальной как во вспомогательной плоскости PV1 – PX – O, так и в исходной плоскости PV – PX – PH. Строим вертикальную проекцию (а') точки АО. Задача решена. }} {{ - }} == Развёртка многогранников == [[Развёртка|Развёрткой]] [[многогранник]]а называется плоская [[фигура]], полученная последовательным совмещением всех [[Грань|граней]] многогранника с плоскостью чертежа. [[Площадь]] полученной фигуры равна площади [[Поверхность|поверхности]] исходного многогранника На развёртке многогранника все его грани должны быть построены в натуральную величину. === Пример 270 === <!--[[Файл:Fig270.jpg| 200 px| right]] Дать полную развёртку поверхности четырёхугольной [[Призма|призмы]]. Решение см. [[Построение развёртки поверхности четырёхугольной призмы]].--> [[Файл:Fig270.jpg|200 px| right]] Дать полную развёртку поверхности четырёхугольной [[Призма|призмы]]. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = klm [[Файл:Fig270m.gif|200 px| right]] Продлеваем одну из [[Сторона|сторон]] и откладываем на нее остальные стороны. К развёртке [[четырёхугольник]]а [[Основание|основания]] добавляем [[Высота|высоту]] призмы. Получается развёртка боковых сторон призмы. Одна из [[Проекция|проекций]] основания уже на месте. Сносим ее копию вниз по боковой стороне и [[Симметрия|симметрично]] отражаем наружу [[Рисунок|рисунка]]. Полная развёртка четырёхугольной призмы готова. Задача решена. }} {{ - }} == Сечение цилиндра плоскостью == Для того чтобы построить линию пересечения любой поверхности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхности, так и плоскости, и затем эти точки соединить плавной кривой [[Линия|линией]]. Для того чтобы найти произвольную точку линии пересечения, поступают так: * проводят вспомогательную плоскость; * находят линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с заданной плоскостью; * на пересечении найденных линий получают искомые точки (чаще всего — две). Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек. Указание. Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линии пересечения с поверхностью проектировались на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или [[Окружность|окружности]]. Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то линию пересечения можно найти также следующим образом: * наносим на поверхность ряд образующих, * находим точки их пересечения с плоскостью и * соединяем эти точки плавной кривой линией. При решении задач иногда бывает нужно задавать точку на поверхности. Для этого поступают так: * проводят на поверхности вспомогательную линию (прямую, окружность), * на этой линии берут нужную точку. См. также [[Сечение цилиндра]]. === Пример 296 === <!-- Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[цилиндр]]а. Решение см. [[Построение линии пересечения плоскости с поверхностью цилиндра]].--> [[Файл:Fig296.jpg|200 px| right]] Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[цилиндр]]а. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig296m.gif|200 px| right]] В горизонтальной плоскости [[сечение]] любой плоскости (если она пересекает образующие цилиндра) будет [[окружность]] [[Основание|основания]]. В вертикальной плоскости любое сечение будет [[эллипс]]. Поэтому сначала выделяем на горизонтальной проекции основания цилиндра ряд [[Точка (геометрия)|точек]]. И строим их вертикальные проекции. Соединив вертикальные проекции точек, получаем искомый эллипс. Задача решена. Продолжением этой задачи может быть построение истинной [[Величина|величины]] эллипса. }} {{ - }} == Сечение конуса плоскостью == Для того чтобы построить линию пересечения любой поверхности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхности, так и плоскости, и затем эти точки соединить плавной кривой линией. Для того чтобы найти произвольную точку линии пересечения, поступают так: * проводят вспомогательную плоскость; * находят линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с заданной плоскостью; * на пересечении найденных линий получают искомые точки (чаще всего — две). Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек. Указание. Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линии пересечения с поверхностью проектировались на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или окружности. Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то линию пересечения можно найти также следующим образом: * наносим на поверхность ряд образующих, * находим точки их пересечения с плоскостью и * соединяем эти точки плавной кривой линией. При решении задач иногда бывает нужно задавать точку на поверхности. Для этого поступают так: * проводят на поверхности вспомогательную линию (прямую, окружность), * на этой линии берут нужную точку. См. также [[Сечение конуса]]. === Пример 297 === <!--[[Файл:Fig297.jpg| 200 px| right]] Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[конус]]а. Решение см. [[Построение линии пересечения плоскости с поверхностью конуса]].--> [[Файл:Fig297.jpg|200 px| right]] Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[конус]]а. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig297m.gif|200 px| right]] Поскольку горизонтальный [[след плоскости]] (PH) [[перпендикуляр]]ен [[Ось|оси]] ОХ, вертикальная проекция линии пересечения совпадает с пересечением вертикальной проекции конуса с вертикальным следом (PV) плоскости. Надо построить всего лишь горизонтальную линию пересечения, которая будет [[эллипс]]ом (поскольку вертикальный след пересекает все образующие конуса). На вертикальном [[Сечение|сечении]] задаем ряд [[Точка (геометрия)|точек]]. Каждая из этих точек находится на пересечении соответствующей образующей и горизонтального сечения, которое в этой плоскости будет в виде линии. Для каждой точки последовательно строим горизонтальные проекции образующих и их сечений, которые в горизонтальной плоскости будут уже в виде [[Окружность|окружностей]]. На их пересечениях будут горизонтальные проекции точек. Соединив точки, получаем искомый эллипс горизонтального сечения. Задача решена. Продолжением этой задачи может быть построение истинной величины эллипса. }} {{ - }} === Пример 298 === [[Файл:Fig298.jpg|200 px | right]] Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[конус]]а. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig298.gif|200 px| right]] Предварительные рассуждения. Плоскость Р не пересекает вертикальную [[ось]] конуса. Следовательно, ее [[сечение]]м в вертикальной плоскости будет [[Гипербола (математика)|гипербола]] (см. [[Cечение конуса]]). В горизонтальной плоскости линия пересечения совпадает с горизонтальным [[cлед]]ом секущей плоскости. Построение. На горизонтальной линии пересечения задаем ряд точек (желательно [[Симметрия|симметричных]] относительно вертикальной оси). Вертикальные проекции этих точек будут лежать на пересечениях соответствующих [[Высота|высот]] и [[Окружность|окружностей]], которые в вертикальной плоскости будут в виде [[Прямая линия|прямых линий]]. Соединив эти [[Точка (геометрия)|точки]], получаем искомую гиперболу. }} {{ - }} == Пересечение прямой с поверхностью == Для того чтобы найти [[Точка пересечения|точки пересечения]] [[Прямая|прямой]] с [[поверхность]]ю любого тела ([[призма]], [[пирамида]], [[цилиндр]], [[конус]], [[Шар (стереометрия)|шар]] и т. п.), поступают точно так же, как и при нахождении точки пересечения прямой с [[Плоскость (геометрия)|плоскостью]], а именно: # Заданную прямую заключают во [[Вспомогательная плоскость|вспомогательную плоскость]]. # Находят [[Линия|линию]] (прямую или кривую) пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью. # На пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки. В частном случае прямая линия может быть [[Касательная линия|касательной]] к поверхности. Указание. При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или [[Окружность|окружности]]. === Пример 319 === [[Файл:Fig319.jpg|200 px | right]] Найти точки пересечения поверхности пирамиды с прямой АВ. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig319.gif|200 px | right]] Заключаем прямую АВ в горизонтально-проектирующую [[Плоскость (геометрия)|плоскость]] R, которая пересекает поверхность пирамиды по [[четырёхугольник]]у. [[Проекция]] этого четырёхугольника в горизонтальной плоскости совпадает со [[след]]ом прямой АВ. Значит, горизонтальные проекции вершин четырёхугольника известны. Сначала строим вертикальные проекции сторон четырёхугольника. На пересечениях этих вертикальных сторон с вертикальной проекцией прямой и будут лежать искомые проекции точек пересечения поверхности пирамиды с прямой. Зная вертикальные проекции точек пересечения поверхности пирамиды с прямой, строим их горизонтальные проекции. Строим видимость-невидимость проекций отрезка прямой. В вертикальной плоскости (справа налево). Прямая видимая (сплошная линия) до ребра пирамиды. Потом от ребра пирамиды до точки пересечения с поверхностью пирамиды она невидима ([[пунктир]]), поскольку находится за боковой поверхностью пирамиды. От точки пересечения с поверхностью пирамиды и до следующей точки пересечения прямая невидима (пунктир), т.к. находится внутри пирамиды. И во второй точке пересечения прямая выходит наружу и становится видимой (сплошная линия). В горизонтальной плоскости все ясно (справа налево). Сначала идет видимый отрезок прямой до точки пересечения с поверхностью пирамиды. Потом прямая идет внутри пирамиды (пунктир) до следующей точки пересечения и выходит наружу. Становится видимой. Задача решена. }} == Примечание == <references /> == Литература == * Х. А. Арустамов «Сборник задач по начертательной геометрии», М., 1971 г. * В. О. Гордон, М. А. Семенов-Огиевский «Курс начертательной геометрии», М., 1971 г. * А. В. Потишко, Д. П. Крушевская «Справочник по инженерной графике», Киев, 1976 г. [[Категория:Начертательная геометрия]] tfkx09b2o10qj1c2rq6x0zpz1li8113 267727 267642 2026-05-21T10:02:56Z AllaBuraya 79455 267727 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }} {{Википедия}} '''Начертательная геометрия''' — инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов, для исследования свойств геометрических объектов. Практически, начертательная геометрия ограничивается исследованием объектов трёхмерного [[w:Евклидово пространство|евклидова пространства]]. Исходные данные должны быть представлены в виде двух независимых проекций. В большинстве задач и алгоритмов, используются две ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости. При обыкновенном способе изображения предметов линии, распространяющиеся вдаль от глаза наблюдателя, хотя и изображаются, соответственно с тем, какими они нам представляются, сокращёнными, но это сокращение определяется рисовальщиком обыкновенно на глаз, а фотографией оно хотя в известных случаях и достаточно точно может быть передано, но отношение, в каком потерпели сокращения разные линии изображаемого предмета, остаётся трудно определимым; вдобавок, во многих случаях и [[фотография]] ведёт к перспективным ошибкам. Всякий мастер, будет ли то плотник, слесарь, токарь, каменотёс и т. д., может только в том случае выполнить заказанный предмет согласно желанию заказчика, если ему будет дан или совершенно такой же предмет на образец, или его модель, или конструкторский чертёж, по которому легко и точно определялись бы размеры всех начерченных линий, хотя бы и таких, которые удаляются в глубь картины и потому изображаются сокращёнными. Начертательная геометрия учит изготовлению таких чертежей, в которых предмет изображается почти таким, как мы его видим, и притом так, что по начерченным линиям можно в точности определить размеры и истинный вид изображаемого. == Содержание == * Основные принципы * Стандартные приёмы * Длина отрезка прямой * Углы наклона прямой к плоскостям проекций * Перпендикулярность прямой и плоскости * Совмещение * Развёртка многогранников * Сечение цилиндра плоскостью * Пересечение прямой с поверхностью * Сечение конуса плоскостью * [[Построение разверток тел вращения]] * [[Построение эллипса]] == Основные принципы == [[Файл:descriptive geometry-orthogonal projection.png|thumb|200px|Рисунок 1]] Представим себе, что в точке ''O'' (рис. 1) находится глаз человека, смотрящего на предмет ''AB.'' Вообразим между глазом и предметом плоскость ''MN'', расположенную перпендикулярно к той линии, по которой глаз смотрит. Проведём из ''O'' прямые к тем точкам предмета, которые характеризуют его форму. Эти прямые, называемые ''проекционными лучами'', пересекут плоскость ''MN'' в различных точках. Совокупность таких точек ''ab'' и составит картину предмета ''AB'', служащую его изображением. Поэтому плоскость ''MN'' и называется ''плоскостью картины.'' Точка пересечения проекционного луча и плоскости картины называется ''центральной проекцией'' или ''перспективой'' той точки предмета, из которой исходит данный проекционный луч. Такой способ изображения предмета называется ''перспективой.'' Если вместо того, чтобы проводить проекционные лучи от точек предмета к глазу, мы будем опускать перпендикуляры из точек предмета на плоскость картины, то полученное изображение, представляемое совокупностью оснований этих перпендикуляров, будет сохранять некоторое сходство с перспективным. Действительно, чем больше точка ''O'' будет удалена от предмета, тем больше проекционные лучи будут приближаться к положению взаимно параллельному и перпендикулярному к плоскости картины. Такое изображение называется ''ортогональной проекцией.'' Итак, в ортогональной проекции каждая точка предмета изображается основанием перпендикуляра, опущенного из неё на плоскость картины. Получение по данному чертежу истинных размеров и другие построения несравненно проще выполняются при ортогональном проектировании, чем при [[Перспектива|перспективе]]. Основная идея Н. геометрии заключается в следующем: если имеются две ортогональные проекции предмета на две плоскости, различным образом относительно предмета расположенные, то, с помощью сравнительно несложных построений над этими двумя изображениями, можно получить истинные размеры предмета, истинный вид его плоских линий и ортогональную проекцию на любую заданную третью плоскость. Конечно, для этого необходимо нужно знать, в каком масштабе были даны заданные две ортогональные проекции, то есть в каком общем отношении весь чертёж был уменьшен или увеличен против действительности. Обыкновенно задают вид предмета его ортогональными проекциями на такие две плоскости, из которых одна горизонтальна и называется ''планом'', а другая вертикальна и называется ''фасадом''. Их также называют горизонтальной и вертикальной плоскостями проекции. Ортогональная проекция предмета на плоскость, перпендикулярную к плану и фасаду, называется ''боковым видом.'' Весьма важный приём Н. геометрии заключается в том, что плоскость фасада, бокового вида и всякие другие плоскости, на которые проектируется предмет, мысленно отгибают на плоскость плана поворотом около прямой, по которой план пересекается с отгибаемой плоскостью. Этот приём называется ''совмещением.'' Дальнейшие построения совершаются уже на таком ''совмещённом чертеже'', как это указано ниже. Так как всякий предмет представляет собой совокупность точек, то прежде всего необходимо познакомиться с изображением плана и фасада точки на совмещённом чертеже. [[Файл:descriptive geometry-3d.png|thumb|250px|Рисунок 2]] Пусть ''a'' (рис. 2) будет данная точка; ''P'' плоскость плана; ''Q'' плоскость фасада. Опустив из ''a'' перпендикуляр на план, получим план ''a' '' точки '' a''; опустив из ''a'' перпендикуляр на фасад, получим фасад ''b '' точки ''a''. Перпендикуляры ''aa' '' и ''ab'' называются проектирующими линиями. Плоскость ''bаa' '', определяемая проектирующими линиями, называется проектирующей плоскостью. Она перпендикулярна как к плану, так и к фасаду и, следовательно, перпендикулярна к пересечению плоскости плана и фасада, называемому ''общим прорезом.'' Пусть ''a'' _оесть та точка, в которой проектирующая плоскость пересекается с общим прорезом: ''a'' _о ''a' ''и ''a''_o''b '' будут перпендикулярны к общему прорезу. При данных плоскостях плана и фасада положение точки ''a'' вполне определяется её планом ''a' '' и фасадом ''b'', так как ''a'' находится на пересечении перпендикуляра, восставленного из ''a' '' к плоскости плана, с перпендикуляром, восставленным из ''b'' к плоскости фасада. Для получения совмещённого чертежа повернём плоскость ''Q'' фасада в направлении, указанном стрелкой, около общего прореза до совпадения с плоскостью плана. При этом точка ''b'' упадёт в ''a"''. Таким образом точка ''a"'', представляющая собой ''совмещённый фасад'' точки ''a'', будет лежать на продолжении перпендикуляра ''a’a''_o, опущенного из плана ''a' '' на общий прорез. [[Файл:descriptive geometry-compound.png|thumb|180px|left|Рисунок 3]] Таким образом получится совмещённый чертёж, изображённый на рис. 3, где ''MN'' есть общий прорез; ''a' '' — план и ''a"'' — совмещённый фасад точки ''a'', которая сама уже не изображается. Н. геометрия имеет дело только с совмещёнными чертежами; каждая точка даётся планом и совмещённым фасадом; к чертежам же, исполненным обыкновенными приёмами (каковы у нас рис. 1, 2 и 5), прибегают только в начале изучения этой науки. === Проекция прямой === [[Файл:descriptive geometry-line.png|thumb|180px|Рисунок 4]] Прямая определяется двумя точками. Следовательно, если имеется план и фасад (совмещённый) двух точек ''a'' и ''b'', лежащих на прямой, то прямая ''a’b' '', соединяющая планы точек ''a'' и ''b'', будет планом прямой ''ab'' и прямая ''a"b"'', соединяющая фасады точек ''a'' и ''b'', будет фасадом прямой ''ab''. На чертеже 4 изображена прямая ''ab '' своими планом и фасадом. == Стандартные приёмы == === Определение истинной длины прямолинейного отрезка заданного планом и проекцией === [[Файл:descriptive geometry-length.png|thumb|200px|Рисунок 5]] Воспользуемся чертежом, исполненным обыкновенным способом (рис. 5). Пусть ''ab'' есть данный прямолинейный отрезок, ''a’b' '' его план ''a"b"'' его фасад. Повернём плоскость ''a’abb' '' около прямой ''a’b' '' и отогнём её в положение ''a’b’BA''на плоскость плана. При этом отрезок ''ab'' примет положение ''AB. '' Следовательно: [[Файл:descriptive geometry-length compound.png|thumb|180px|left|Рисунок 6]] : ''Aа' = ''aa' = a"a''_o : ''Bb' = bb' = b"b''_o Перпендикулярность прямых ''a’a'' и ''b’b'' к ''a’b' '' не изменилась, следовательно, чтобы по данному плану и фасаду прямолинейного отрезка на совмещённом чертеже (рис. 6) определить истинную его длину, нужно: восставить из ''a' '' и ''b' '' к плану ''a’b' '' перпендикуляры и на них отложить: ''a’A=a_oa"''; ''b’B=b_ob"''. Прямая ''AB '' и будет равна истинной длине прямой ''ab''. На этом примере и видим, что на чертеже 5, исполненном обыкновенным способом, прямая ''ab'' изображена в укороченном виде соответственно тому, как мы её видим, и так как степень этого укорочения неизвестна, то по чертежу 5 нельзя определить истинного расстояния ''ab.'' Между тем на чертеже 6, хотя сама прямая ''ab'' и не изображена, а даны только её план ''a’b' '' и фасад ''a"b"'', то по ним можно совершенно точно определить представляемую ими прямую. === Определение бокового вида точки по данным её плану и фасаду === [[Файл:descriptive geometry-point.png|thumb|200px|Рисунок 7]] Пусть ''a' '' есть план и ''a"'' фасад заданной точки (рис. 7), плоскость же бокового вида пересекает плоскость плана по прямой ''on'' и плоскость фасада по прямой ''om.'' При совмещении плоскостей плана и фасада ''om'' и ''on'' окажутся лежащими на одной прямой ''mn'', перпендикулярной к ''MN'', так как мы предполагаем, что плоскость бокового вида перпендикулярна к плоскостям плана и фасада. Совмещение трёх плоскостей предполагаем происшедшим следующим образом: сначала плоскость бокового вида была совмещена вращением около ''om'' с плоскостью фасада; затем они обе вращением около ''MN'' были совмещены с плоскостью плана, которая и представляет собой плоскость чертежа. Не трудно видеть, что при этом расстояние ''a"s'' бокового вида ''a"''' точки ''a'' от '' MN'' будет равно ''a'' _о ''a"'' и расстояние ''а'«'' от ''om '' будет равно ''a''_o''a'.'' Отсюда получаем такое построение: когда заданы ''a' '' и ''a»'', то проводим к ''MN'' перпендикуляр ''mn'' и на него опускаем перпендикуляр ''a’q'' из ''a' ''; радиусом ''oq'' описываем из центра ''o'' дугу, которая пересечёт ''MN'' в точке ''s''; из ''s'' восставляем перпендикуляр к ''MN.'' Пересечение этого перпендикуляра с прямой, проведённой через фасад ''a"'' параллельно ''MN'', и будет боковым видом '' a'"''. === Определение бокового вида многоугольника === [[Файл:descriptive geometry-polygon.png|thumb|200px|Рисунок 8]] Если даны (рис. 8) план и фасад сторон многоугольника, а следовательно, и его вершин, то, строя боковые виды вершин, получим и боковой вид многоугольника. При множестве точек, с которыми имеем дело на чертеже, удобно их обозначать цифрами. Подобный прием построения «бокового вида» (точнее — профильной проекции или вида слева) с точки зрения конструктора не позволяет удачно скомпоновать чертеж. Для обеспечения последнего, использование осей координат нецелесообразно, так как ограничивает возможности компоновки чертежа, заставляя постоянно выдерживать одинаковые расстояния между видами спереди, сверху и слева, что чаще всего бывает нежелательно. Построить по двум любым видам оригинала третий, удобно скомпоновать чертеж, взамен осей координат помогут «базы отсчета» привязанные к изображениям (видам). === Проецирование параллелепипеда === Обыкновенно задаются таким положением плоскостей плана и фасада, при котором данный предмет проектируется на них простым чертежом и уже по этому плану и фасаду строят проекцию предмета на такую плоскость, на которой он изображается во всей своей сложности. Первоначальные план и фасад можно даже так выбрать, чтобы на них не искажались некоторые размеры предмета. Покажем это на следующем примере изображения параллелепипеда (рис. 9). [[Файл:descriptive geometry-parallelepiped.png|thumb|200px|left|Рисунок 9]] Представим себе, что параллелепипед лежит одним из своих рёбер на плоскости плана, а заднее и переднее его основания параллельны плоскости фасада. Тогда эти основания проектируются на фасад, налагаясь одно на другое (заслоняя одно другое), но в истинном виде. На плане получается проекция, в которой сохраняется величина рёбер, параллельных плану. Повернём мысленно параллелепипед около некоторой вертикали и отнесём его несколько в сторону. Тогда и план его повернётся на тот же угол и отнесётся в сторону. Чтобы получить план нового положения, проводим прямую 1’3', составляющую некоторый угол с направлением 1 3 прежнего плана, и на этой прямой строим приёмами обыкновенной геометрии фигуру, равную прежнему плану. Вершины фасада нового положения будут лежать на перпендикулярах, опущенных из вершин нового плана на общий прорез. Кроме того, они будут лежать на параллелях, проведённых из вершин прежнего фасада к общему прорезу, потому что при сказанном перемещении параллелепипеда его вершины остались на прежней высоте от плоскости плана. Итак, пересечения упомянутых перпендикуляров и параллелей и будут вершинами нового фасада. Соединяя их между собой и изображая более слабыми чертами линии, заслонённые параллелепипедом, получим такое его изображение, в котором видны уже все его 12 рёбер. Как для изображения параллелепипеда достаточно изобразить его рёбра, так и для изображения кривой поверхности достаточно изобразить её наиболее характеристичные линии, между которыми первенствующее значение имеет ''видимый контур'' — кривая, по которой проектирующие линии касаются поверхности. === Пересечение двух круглых цилиндров === Для уяснения способа изображения кривых поверхностей рассмотрим применение Н. геометрии к следующему практическому вопросу. Требуется соединить между собой две трубы, склёпанные из котельного листового железа, так, чтобы одна труба, будучи перпендикулярна другой, врезалась бы в неё более чем на половину своей толщины. Для этого в одной из труб (положим, в большей) должно быть проделано окошко, которое удобнее, конечно, проделать в листе, из которого делается большая труба, пока она ещё не склёпана. Требуется определить форму того окошка, которое должно быть прорезано в листе, служащем для приготовления большой трубы. [[Файл:descriptive geometry-cylinder.png|300px|right]] Пусть (рис. 10) плоскость плана будет перпендикулярна к большой трубе, а плоскость фасада параллельна осям обеих труб. Тогда план большой трубы будет окружность ''036'' и фасад её изобразится прямоугольником ''ABCD.'' План малой трубы будет ''mnpq'' и фасад ''abcd.'' Пусть ''HF'' будет фасад диаметральной и параллельной плану плоскости малой трубы. На ''nm'', как на диаметре, опишем дугу ''nsm.'' Зададимся какой-нибудь образующей ''h5'' малой трубы и определим фасад той точки взаимного пересечения труб, которая лежит на этой образующей и план которой есть, следовательно, точка 1. Искомый фасад точки, во-первых, должен лежать на перпендикуляре, опущенном на общий прорез из точки 1. Во-вторых, он будет лежать от ''HF'' на высоте ''HS'', равной ''hs.'' Итак, точка ''S'' есть искомый фасад. Задаваясь другими образующими и строя фасады точек взаимного пересечения труб, получают целый ряд точек, соединением которых получится фасад пересечения труб. Теперь развернём полуокружность ''036.'' [[Квадратура|Задача эта]] может быть исполнена только приближённо. Она решается с достаточным приближением, если принять длину полуокружности за сумму стороны вписанного квадрата и стороны правильного вписанного треугольника. Сторона вписанного квадрата будет хорда ''36'', сторона треугольника есть хорда '' 04'', если цифры обозначают деления полуокружности на 6 частей. Сумму этих хорд откладывают на особом чертеже (рис. 11) и делят её на 6 частей. Пусть ''PQ'' будет соответствовать упомянутой диаметральной плоскости малой трубы: она должна быть проведена параллельно прямой ''012…'' на расстоянии ''OP=AE.'' Восставляя из деления 1 перпендикуляр к прямой ''012…'' и откладывая на нём от пересечения его с ''PQ '' величину ''h’s'=hs=HS'', получим точку ''s' '' той искомой кривой, по которой должно быть вырезано в листе ''MN'' окошко. Получая таким же путём другие точки искомой кривой, определим и самую эту кривую, изображённую на чертеже (рис. 11). == Длина отрезка прямой == [[Отрезок]] [[Прямая линия|прямой]], расположенный в пространстве [[Параллельность|параллельно]] какой-либо [[Плоскость проекции|плоскости проекций]], проектируется на эту [[Плоскость (геометрия)|плоскость]] в действительную величину (то есть без искажения). [[Длина|Длину]] отрезка прямой по его [[проекция]]м определяют как [[Гипотенуза|гипотенузу]] [[Прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]], одним [[катет]]ом которого является одна из проекций данного отрезка, а другим катетом — абсолютная величина алгебраической разности [[Расстояние|расстояний]] от концов другой проекции отрезка до [[Ось проекций|оси проекций]]. === Пример 33 === <!--[[Файл:Fig33.jpg|200 px|right]] Определить действительную длину отрезка АВ<ref>Нумерация примеров дана по Х. А. Арустамову (см. лит.).</ref>. Решение см. [[Построение длины отрезка прямой]].--> [[Файл:Fig33.jpg|200 px|right]] Определить действительную длину отрезка АВ<ref>Нумерация примеров дана по Х. А. Арустамову (см. лит.).</ref>. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig33m.gif|200 px| right]] Длина отрезка [[Прямая линия|прямой]] по его [[проекция]]м определяется как [[гипотенуза]] [[Прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]], одним [[катет]]ом которого является одна из проекций данного отрезка, а другим катетом – алгебраическая разность [[Расстояние|расстояний]] от концов другой проекции отрезка до [[Ось проекций|оси проекций]]. Возможно два [[вариант]]а (см. рис.): # Проекция отрезка не пересекает ось проекций. Тогда расстояния от концов другой проекции суммируются. # Проекция отрезка пересекает ось проекций. Тогда из одного расстояния от конца другой проекции вычитается другое расстояние. В обоих случаях получается один и тот же [[результат]]. }} {{ - }} == Углы наклона прямой к плоскостям проекций == Если отрезок параллелен горизонтальной плоскости проекций, то [[угол]] между горизонтальной проекцией этого отрезка и [[ось]]ю проекций равен углу наклона самого отрезка к вертикальной плоскости проекций. Если отрезок параллелен вертикальной плоскости проекций, то угол между вертикальной проекцией этого отрезка и осью проекций равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций. Если построена действительная длина отрезка (см. раздел «Длина отрезка прямой»), то: * угол в [[треугольник]]е между катетом (горизонтальной проекцией отрезка) и гипотенузой (его действительной величиной) равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций. * угол в треугольнике между катетом (вертикальной проекцией отрезка) и гипотенузой (его действительной величиной) равен углу наклона самого отрезка к вертикальной плоскости проекций. === Пример 36 === <!--[[Файл:Fig36.jpg|200 px|right]] Определить углы наклона прямой АВ к плоскостям проекций. Решение см. [[Построение углов наклона прямой к плоскостям проекций]].--> [[Файл:Fig36.jpg|200 px|right]] Определить углы наклона прямой АВ к плоскостям проекций. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig36m.gif|200 px| right]] Строим на проекциях действительную [[Длина|длину]] прямой АВ. Пересечение действительной длины с проекциями прямой дают действительные углы наклона прямой к плоскостям проекций. Угол α является углом наклона данной прямой к горизонтальной плоскости проекций, а угол β – к фронтальной. Определение действительной длины отрезка см. также пример 33. }} {{ - }} == Перпендикулярность прямой и плоскости == Если прямая [[перпендикуляр]]на плоскости, заданной [[След плоскости|следами]], то проекции этой прямой перпендикулярны соответствующим следам плоскости. Вместе с тем горизонтальная проекция прямой перпендикулярна также горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна также вертикальной проекции фронтали. Этой особенностью проекций главных линий плоскости, перпендикулярной прямой, следует пользоваться для: * выяснения перпендикулярности прямой к плоскости, заданной не следами (без определения следов плоскости), * опускания перпендикуляра из точки на плоскость, заданную не следами. Исключение. Прямая перпендикулярна профильно-проектирующей плоскости, если дополнительно профильная проекция прямой перпендикулярна профильному следу плоскости Плоскость Р и Q взаимно перпендикулярны, если плоскость Р содержит прямую, перпендикулярную плоскости Q. === Пример 166 === <!--[[Файл:Fig166.jpg| 200 px| right]] Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку B перпендикуляр BS. Решение см. [[Построение плоскости перпендикулярной к прямой]].--> [[Файл:Fig166.jpg|200 px| right]] Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig166m.gif|200 px| right]] Поскольку фронтальная [[проекция]] прямой АВ [[Параллельность|параллельна]] [[оси проекций]] ОХ, искомая плоскость будет горизонтально-проецирующей – во фронтальной плоскости проекций [[след плоскости]] Р будет перпендикулярным оси ОХ. Поэтому построить надо только горизонтальный след плоскости Р, проходящий через горизонтальную проекцию точки С и перпендикулярный горизонтальной проекции прямой АВ. Фронтальный след плоскости Р – перпендикуляр из точки пересечения горизонтального следа плоскости Р с осью проекций. }} {{ - }} === Пример 168 === <!--[[Файл:Fig168.jpg| 200 px| right]] Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. Решение см. [[Построение плоскости перпендикулярной к прямой (2)]].--> [[Файл:Fig168.jpg|200 px| right]] Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left: left; | content = [[Файл:Fig168m.gif|200 px| right]] Поскольку и горизонтальная и вертикальная [[Проекция|проекции]] прямой АВ перпендикулярны [[Ось проекций|оси проекций]] ОХ, любая плоскость со [[След плоскости|следами]] перпендикулярными [[Ось|осям]] OZ и OY (или параллельная оси ОХ) будет перпендикулярна прямой АВ. Для решения задачи надо только соблюсти перпендикулярность в [[Профильная плоскость|профильной плоскости]]. Поэтому сначала строим профильные проекции прямой АВ и точки С. Затем из профильной проекции точки С опускаем перпендикуляр на профильную проекцию прямой АВ и продлеваем его до пересечения с осями OZ и OY. Получается профильный след PW искомой плоскости. Достраиваем вертикальный PV и горизонтальный PH следы этой плоскости. Построение закончено. }} {{ - }} == Совмещение == === Пример 221 === <!--[[Файл:Fig221.jpg| 200 px| right]] Даны плоскость Р и совмещенное положение ее точки А₀ на горизонтальной плоскости проекций. Найти проекции этой точки. Решение см. [[Построение проекции точки совмещенной с плоскостью]].--> [[Файл:Fig221.jpg|200 px| right]] Даны плоскость Р и совмещенное положение ее точки А0 на горизонтальной плоскости проекций. Найти проекции этой точки. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig221m.gif|200 px| right]] Сначала строим совмещенный вертикальный [[След плоскости|след]] (PV1) плоскости Р. Точка АО становится своей вертикальной проекцией на плоскости со следами PV1 – PX и PX – O. В этой вспомогательной плоскости строим горизонтальную проекцию (а) точки АО. Эта проекция является горизонтальной как во вспомогательной плоскости PV1 – PX – O, так и в исходной плоскости PV – PX – PH. Строим вертикальную проекцию (а') точки АО. Задача решена. }} {{ - }} == Развёртка многогранников == [[Развёртка|Развёрткой]] [[многогранник]]а называется плоская [[фигура]], полученная последовательным совмещением всех [[Грань|граней]] многогранника с плоскостью чертежа. [[Площадь]] полученной фигуры равна площади [[Поверхность|поверхности]] исходного многогранника На развёртке многогранника все его грани должны быть построены в натуральную величину. === Пример 270 === <!--[[Файл:Fig270.jpg| 200 px| right]] Дать полную развёртку поверхности четырёхугольной [[Призма|призмы]]. Решение см. [[Построение развёртки поверхности четырёхугольной призмы]].--> [[Файл:Fig270.jpg|200 px| right]] Дать полную развёртку поверхности четырёхугольной [[Призма|призмы]]. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = klm [[Файл:Fig270m.gif|200 px| right]] Продлеваем одну из [[Сторона|сторон]] и откладываем на нее остальные стороны. К развёртке [[четырёхугольник]]а [[Основание|основания]] добавляем [[Высота|высоту]] призмы. Получается развёртка боковых сторон призмы. Одна из [[Проекция|проекций]] основания уже на месте. Сносим ее копию вниз по боковой стороне и [[Симметрия|симметрично]] отражаем наружу [[Рисунок|рисунка]]. Полная развёртка четырёхугольной призмы готова. Задача решена. }} {{ - }} == Сечение цилиндра плоскостью == Для того чтобы построить линию пересечения любой поверхности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхности, так и плоскости, и затем эти точки соединить плавной кривой [[Линия|линией]]. Для того чтобы найти произвольную точку линии пересечения, поступают так: * проводят вспомогательную плоскость; * находят линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с заданной плоскостью; * на пересечении найденных линий получают искомые точки (чаще всего — две). Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек. Указание. Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линии пересечения с поверхностью проектировались на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или [[Окружность|окружности]]. Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то линию пересечения можно найти также следующим образом: * наносим на поверхность ряд образующих, * находим точки их пересечения с плоскостью и * соединяем эти точки плавной кривой линией. При решении задач иногда бывает нужно задавать точку на поверхности. Для этого поступают так: * проводят на поверхности вспомогательную линию (прямую, окружность), * на этой линии берут нужную точку. См. также [[Сечение цилиндра]]. === Пример 296 === <!-- Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[цилиндр]]а. Решение см. [[Построение линии пересечения плоскости с поверхностью цилиндра]].--> [[Файл:Fig296.jpg|200 px| right]] Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[цилиндр]]а. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig296m.gif|200 px| right]] В горизонтальной плоскости [[сечение]] любой плоскости (если она пересекает образующие цилиндра) будет [[окружность]] [[Основание|основания]]. В вертикальной плоскости любое сечение будет [[эллипс]]. Поэтому сначала выделяем на горизонтальной проекции основания цилиндра ряд [[Точка (геометрия)|точек]]. И строим их вертикальные проекции. Соединив вертикальные проекции точек, получаем искомый эллипс. Задача решена. Продолжением этой задачи может быть построение истинной [[Величина|величины]] эллипса. }} {{ - }} == Сечение конуса плоскостью == Для того чтобы построить линию пересечения любой поверхности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхности, так и плоскости, и затем эти точки соединить плавной кривой линией. Для того чтобы найти произвольную точку линии пересечения, поступают так: * проводят вспомогательную плоскость; * находят линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с заданной плоскостью; * на пересечении найденных линий получают искомые точки (чаще всего — две). Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек. Указание. Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линии пересечения с поверхностью проектировались на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или окружности. Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то линию пересечения можно найти также следующим образом: * наносим на поверхность ряд образующих, * находим точки их пересечения с плоскостью и * соединяем эти точки плавной кривой линией. При решении задач иногда бывает нужно задавать точку на поверхности. Для этого поступают так: * проводят на поверхности вспомогательную линию (прямую, окружность), * на этой линии берут нужную точку. См. также [[Сечение конуса]]. === Пример 297 === <!--[[Файл:Fig297.jpg| 200 px| right]] Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[конус]]а. Решение см. [[Построение линии пересечения плоскости с поверхностью конуса]].--> [[Файл:Fig297.jpg|200 px| right]] Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[конус]]а. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig297m.gif|200 px| right]] Поскольку горизонтальный [[след плоскости]] (PH) [[перпендикуляр]]ен [[Ось|оси]] ОХ, вертикальная проекция линии пересечения совпадает с пересечением вертикальной проекции конуса с вертикальным следом (PV) плоскости. Надо построить всего лишь горизонтальную линию пересечения, которая будет [[эллипс]]ом (поскольку вертикальный след пересекает все образующие конуса). На вертикальном [[Сечение|сечении]] задаем ряд [[Точка (геометрия)|точек]]. Каждая из этих точек находится на пересечении соответствующей образующей и горизонтального сечения, которое в этой плоскости будет в виде линии. Для каждой точки последовательно строим горизонтальные проекции образующих и их сечений, которые в горизонтальной плоскости будут уже в виде [[Окружность|окружностей]]. На их пересечениях будут горизонтальные проекции точек. Соединив точки, получаем искомый эллипс горизонтального сечения. Задача решена. Продолжением этой задачи может быть построение истинной величины эллипса. }} {{ - }} === Пример 298 === [[Файл:Fig298.jpg|200 px | right]] Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью [[конус]]а. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig298.gif|200 px| right]] Предварительные рассуждения. Плоскость Р не пересекает вертикальную [[ось]] конуса. Следовательно, ее [[сечение]]м в вертикальной плоскости будет [[Гипербола (математика)|гипербола]] (см. [[Cечение конуса]]). В горизонтальной плоскости линия пересечения совпадает с горизонтальным [[cлед]]ом секущей плоскости. Построение. На горизонтальной линии пересечения задаем ряд точек (желательно [[Симметрия|симметричных]] относительно вертикальной оси). Вертикальные проекции этих точек будут лежать на пересечениях соответствующих [[Высота|высот]] и [[Окружность|окружностей]], которые в вертикальной плоскости будут в виде [[Прямая линия|прямых линий]]. Соединив эти [[Точка (геометрия)|точки]], получаем искомую гиперболу. }} {{ - }} == Пересечение прямой с поверхностью == Для того чтобы найти [[Точка пересечения|точки пересечения]] [[Прямая|прямой]] с [[поверхность]]ю любого тела ([[призма]], [[пирамида]], [[цилиндр]], [[конус]], [[Шар (стереометрия)|шар]] и т. п.), поступают точно так же, как и при нахождении точки пересечения прямой с [[Плоскость (геометрия)|плоскостью]], а именно: # Заданную прямую заключают во [[Вспомогательная плоскость|вспомогательную плоскость]]. # Находят [[Линия|линию]] (прямую или кривую) пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью. # На пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки. В частном случае прямая линия может быть [[Касательная линия|касательной]] к поверхности. Указание. При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или [[Окружность|окружности]]. === Пример 319 === [[Файл:Fig319.jpg|200 px | right]] Найти точки пересечения поверхности пирамиды с прямой АВ. {{ - }} {{Hider| title = Построение| hidden = 1 | title-style = text-align: left; | content-style = text-align: left; | content = [[Файл:Fig319.gif|200 px | right]] Заключаем прямую АВ в горизонтально-проектирующую [[Плоскость (геометрия)|плоскость]] R, которая пересекает поверхность пирамиды по [[четырёхугольник]]у. [[Проекция]] этого четырёхугольника в горизонтальной плоскости совпадает со [[след]]ом прямой АВ. Значит, горизонтальные проекции вершин четырёхугольника известны. Сначала строим вертикальные проекции сторон четырёхугольника. На пересечениях этих вертикальных сторон с вертикальной проекцией прямой и будут лежать искомые проекции точек пересечения поверхности пирамиды с прямой. Зная вертикальные проекции точек пересечения поверхности пирамиды с прямой, строим их горизонтальные проекции. Строим видимость-невидимость проекций отрезка прямой. В вертикальной плоскости (справа налево). Прямая видимая (сплошная линия) до ребра пирамиды. Потом от ребра пирамиды до точки пересечения с поверхностью пирамиды она невидима ([[пунктир]]), поскольку находится за боковой поверхностью пирамиды. От точки пересечения с поверхностью пирамиды и до следующей точки пересечения прямая невидима (пунктир), т.к. находится внутри пирамиды. И во второй точке пересечения прямая выходит наружу и становится видимой (сплошная линия). В горизонтальной плоскости все ясно (справа налево). Сначала идет видимый отрезок прямой до точки пересечения с поверхностью пирамиды. Потом прямая идет внутри пирамиды (пунктир) до следующей точки пересечения и выходит наружу. Становится видимой. Задача решена. }} == Примечание == <references /> == Литература == * Х. А. Арустамов «Сборник задач по начертательной геометрии», М., 1971 г. * В. О. Гордон, М. А. Семенов-Огиевский «Курс начертательной геометрии», М., 1971 г. * А. В. Потишко, Д. П. Крушевская «Справочник по инженерной графике», Киев, 1976 г. [[Категория:Начертательная геометрия]] fwpmiertirq8s8eyxnwq4lacde3lx1x 0 10002 267655 258338 2026-05-21T08:31:06Z AllaBuraya 79455 267655 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Одностраничный }} Эпистемическая логика создана для изучения понятия знания и является направлением в модальной логике. Начнём с примера, который иллюстрирует понятие знания. =Задача о грязных детях= В песочнице играют <math>n\,\!</math> детей <math>(n \ge 1)\,\!</math>. Мама предупреждает их: "Если кто-нибудь из вас запачкается, у него будут большие проблемы". Предположим, что <math>k\,\!</math> детей <math>(k \le n)\,\!</math> запачкали свои лбы (и, следовательно, не знают, чистые они или нет). Чтобы как-то помочь детям, папа заявляет им: "Кое-кто из вас уже запачкался". Поскольку мама слышит всё, что произносится детьми и отцом (но не видит, так как, скажем, читает газету), то отцу не так просто намекнуть детям, кто из них запачкал лоб. Предположим, что отец -- математик или философ. Решение отца таково: задавать один и тот же вопрос: "Знает ли каждый из вас, грязен он или нет?" ровно столько раз, сколько грязных детей, т.е. <math>k\,\!</math> раз. (Он не смущается это делать, поскольку жена и без того считает его несколько сумасшедшим). Если предположить, что дети честны, гениальны (т.е. способны вывести все следствия из их знаний), видят других и слышат отца, то решение отца пройдёт! (Важно также, что дети отвечают хором, т.е. одновременно). Оказывается, что: 1) На первые <math>k-1\,\!</math> вопросов все дети ответят "Нет". 2) На <math>k\,\!</math>-й вопрос все грязные ответят "Да", а все чистые по-прежнему "Нет"! Например, если <math>k=2\,\!</math>, то картина такая: [[Файл:Иллюстрация к задаче о грязных детях.gif|left]] [[Файл:Иллюстрация к задаче о грязных детях 1.gif]] -- чистый -- грязный {{clear}} В этом случае, ответ на первый вопрос будет "Нет" для каждого ребёнка, поскольку каждый из них видит хотя бы одного грязного (ребёнок может ответить "Да" уже на первом шагу, только если видит перед собой всех чистыми). На втором шаге каждый из грязных рассуждает так: "я вижу только одного грязного, но он на предыдущем шаге ответил "Нет" и, значит, он видел перед собой хотя бы одного грязного, т.е. это грязный я!". Следовательно, на шаге <math>k=2\,\!</math> все грязные отвечают "Да". Чистые на втором шаге по-прежнему ответят "Нет" (проверьте!). Проверьте это для <math>k=1,2,3,4,5\,\!</math>. Обозначим утверждение отца "кое-кто из вас уже запачкался" через <math>p\,\!</math>. Через <math>Ep\,\!</math> обозначим тот факт, что все дети знают <math>p\,\!</math>. Аналогично <math>E^{k}p \equiv \underset{k}{\underbrace{E \ldots E}}p\,\!</math> т.е. все знают, что все знают, что все знают, и т.д. <math>k-1\,\!</math> раз, что все знают <math>p\,\!</math>. Пусть <math>k \ge 2\,\!</math>. Тогда и без утверждения отца каждый ребёнок видит перед собой хотя бы одного грязного. Т.е. все знали <math>p\,\!</math> и без утверждения отца. Так что же нового дало публичное заявление отцом факта <math>p\,\!</math> детям? Оно дало не только <math>Ep\,\!</math>, но и <math>EEp, EEEp, \ldots, E^kp\,\!</math>, для любого <math>k-1\,\!</math>! Т.е. отец сделал <math>p\,\!</math> общим знанием детей (common knowledge). Проверьте, что до утверждения отца имело место <math>E^{k-1}p\,\!</math>, но <b>не</b> <math>E^kp\,\!</math>! (возьмите <math>k=2,3,4,5\,\!</math>) <math>E^{k-1}p\,\!</math> не достаточно для того, чтобы дети определили на <math>k\,\!</math>-ом шаге, кто из них грязный, а <math>E^kp\,\!</math> уже достаточно! (Отец, конечно, сообщил им гораздо больше.) Кроме того, чтобы решение отца было решением, необходимо дополнительно предположить: <math>E^{k-1}\,\!</math>"все дети честны, гениальны, чувствительны и т.д." Например, если <math>k=2\,\!</math>, то после первого вопроса грязный не был бы уверен, что второй грязный, ответив "Нет" на первый вопрос, сказал правду. Вопрос: может ли отец сделать <math>p\,\!</math> общим знанием детей <b>не</b> заявляя <math>p\,\!</math> им публично? Носители знания в эпистемологии называются агентами. Агентами могут быть дети, роботы, программы (в этом случае знанием программы может быть память к которой у неё есть доступ) и т.д. Для описания и изучения ситуаций, при которых агенты, находясь в общих условиях, преобразовывают свои знания (как например в задаче "о грязных детях") разработан формальный язык -- эпистемическая логика. =Описание языка= ==Синтаксис== Мир, в котором находятся агенты, описывается свойствами (например, "снег белый" - свойство нашего мира). Для обозначения различных свойств различных миров используются пропозициональные буквы: <math>p_1, p_2, \ldots, p_k, \ldots\,\!</math> Для каждого агента (предположим, что их конечное число, n штук) с номером <math>i\,\!</math> вводится знак <math>K_i\,\!</math>. Интуитивно, если <math>\varphi\,\!</math> - некоторое свойство, то <math>K_i\varphi\,\!</math> означает "<math>i\,\!</math>-й агент знает <math>\varphi\,\!</math>". Отождествим агентов с их номерами <math>\{1, \ldots, n\}\,\!</math>. Пусть <math>G\subseteq\{1, \ldots, n\}\,\!</math> множество агентов. Для каждого такого G вводятся символы <math>E_G, C_G, D_G\,\!</math>. Интуитивно: <math>E_G\varphi\equiv\,\!</math> "Все агенты из <math>G\,\!</math> знают <math>\varphi\,\!</math>" <math>C_G\varphi\equiv\,\!</math> "<math>\varphi\,\!</math> - общее знание агентов из <math>G\,\!</math>" <math>\equiv E_G\varphi, E_GE_G\varphi, \ldots, E_G^k\varphi, \ldots\,\!</math> <math>D_G\varphi\equiv\,\!</math> "<math>\varphi\,\!</math> - дистрибутивное зание агентов из <math>G\,\!</math>" <math>\equiv\,\!</math> "<math>\varphi\,\!</math> это такое знание, которое может быть получено в результате опроса агентов из <math>G\,\!</math> (при этом каждый агент в отдельности может <b>не</b> знать <math>\varphi\,\!</math>" Логические связки: <math>\wedge\,\!</math> ("и"), <math>\neg\,\!</math> ("не"), <math>\vee\,\!</math> ("или") ... \mathfrak{M} \models \varphi\,\!</math> и <math>\mathfrak{M} \models \psi\,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s \models \neg\varphi \Leftrightarrow \mathfrak{M},s \not\models \varphi\,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s\models K_i\varphi \Leftrightarrow \forall t \in S \big( (s,t) \in K_i \Rightarrow \mathfrak{M},t \models \varphi \big) \,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s\models E_G\varphi \Leftrightarrow \forall i \in G:\mathfrak{M},s\models K_i\varphi \,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s\models C_G\varphi \Leftrightarrow \forall k \ge 1 :\mathfrak{M},s\models E_G^k\varphi \,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s\models D_G\varphi \Leftrightarrow \forall t \in S\big( (s,t) \in \underset{i \in G}{\cap} K_i \Rightarrow \mathfrak{M},t \models \varphi \big) \,\!</math> Итак, согласно пункту 4, агент, находясь в некотором состоянии <math>s\in S\,\!</math> знает <math>\varphi\,\!</math>, если <math>\varphi\,\!</math> истинно во всех для него состояниях. Пусть <math>\mathfrak{M}\,\!</math> - структура Крипке для трёх детей (см. выше). Проверьте, что: <math>\mathfrak{M}, 011\models K_2 p_3;\,\,\, \mathfrak{M}, 111\models \neg K_2 p_2;\,\,\,\mathfrak{M}, 010\models E_{\{2,3\}} \neg p_1;\,\,\, \mathfrak{M}, 110\models C_{\{2,3\}} p_1\,\!</math> <u><b>Определения</b></u> <math>\mathfrak{M}\models \varphi \equiv\forall s \in S: \mathfrak{M},s\models\varphi\,\!</math> <math>\models \varphi\,\!</math> (<math>\varphi\,\!</math> - универсально истинна) <math>\equiv\forall\mathfrak{M}:\mathfrak{M}\models \varphi\,\!</math> <math>\varphi\,\!</math> - выполнима <math>\equiv\exists\mathfrak{M}\,\exists s\in S: \mathfrak{M}, s\models \varphi\,\!</math> Проверьте, что следующие формулы универсально истинны для любого <math>i\,\!</math>: <math>K_i(\varphi \to \psi) \to (K_i\varphi \to K_i\psi)\,\!</math> (дистрибутивность) <math>K_i\varphi \to \varphi\,\!</math> (аксиома знания) <math>K_i\varphi \to K_i K_i\varphi\,\!</math> (позитивная интроспекция) <math>\neg K_i\varphi \to K_i \neg K_i\varphi\,\!</math> (негативная интроспекция) Проверьте, что если <math>\mathfrak{M}\models \varphi\,\!</math>, то <math>\mathfrak{M}\models K_i\varphi \,\!</math>. 8mul382yjhd96zjdaqs6tc8wwgsz6e4 267781 267655 2026-05-21T10:51:40Z AllaBuraya 79455 267781 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Логика | Тип = Одностраничный }} Эпистемическая логика создана для изучения понятия знания и является направлением в модальной логике. Начнём с примера, который иллюстрирует понятие знания. =Задача о грязных детях= В песочнице играют <math>n\,\!</math> детей <math>(n \ge 1)\,\!</math>. Мама предупреждает их: "Если кто-нибудь из вас запачкается, у него будут большие проблемы". Предположим, что <math>k\,\!</math> детей <math>(k \le n)\,\!</math> запачкали свои лбы (и, следовательно, не знают, чистые они или нет). Чтобы как-то помочь детям, папа заявляет им: "Кое-кто из вас уже запачкался". Поскольку мама слышит всё, что произносится детьми и отцом (но не видит, так как, скажем, читает газету), то отцу не так просто намекнуть детям, кто из них запачкал лоб. Предположим, что отец -- математик или философ. Решение отца таково: задавать один и тот же вопрос: "Знает ли каждый из вас, грязен он или нет?" ровно столько раз, сколько грязных детей, т.е. <math>k\,\!</math> раз. (Он не смущается это делать, поскольку жена и без того считает его несколько сумасшедшим). Если предположить, что дети честны, гениальны (т.е. способны вывести все следствия из их знаний), видят других и слышат отца, то решение отца пройдёт! (Важно также, что дети отвечают хором, т.е. одновременно). Оказывается, что: 1) На первые <math>k-1\,\!</math> вопросов все дети ответят "Нет". 2) На <math>k\,\!</math>-й вопрос все грязные ответят "Да", а все чистые по-прежнему "Нет"! Например, если <math>k=2\,\!</math>, то картина такая: [[Файл:Иллюстрация к задаче о грязных детях.gif|left]] [[Файл:Иллюстрация к задаче о грязных детях 1.gif]] -- чистый -- грязный {{clear}} В этом случае, ответ на первый вопрос будет "Нет" для каждого ребёнка, поскольку каждый из них видит хотя бы одного грязного (ребёнок может ответить "Да" уже на первом шагу, только если видит перед собой всех чистыми). На втором шаге каждый из грязных рассуждает так: "я вижу только одного грязного, но он на предыдущем шаге ответил "Нет" и, значит, он видел перед собой хотя бы одного грязного, т.е. это грязный я!". Следовательно, на шаге <math>k=2\,\!</math> все грязные отвечают "Да". Чистые на втором шаге по-прежнему ответят "Нет" (проверьте!). Проверьте это для <math>k=1,2,3,4,5\,\!</math>. Обозначим утверждение отца "кое-кто из вас уже запачкался" через <math>p\,\!</math>. Через <math>Ep\,\!</math> обозначим тот факт, что все дети знают <math>p\,\!</math>. Аналогично <math>E^{k}p \equiv \underset{k}{\underbrace{E \ldots E}}p\,\!</math> т.е. все знают, что все знают, что все знают, и т.д. <math>k-1\,\!</math> раз, что все знают <math>p\,\!</math>. Пусть <math>k \ge 2\,\!</math>. Тогда и без утверждения отца каждый ребёнок видит перед собой хотя бы одного грязного. Т.е. все знали <math>p\,\!</math> и без утверждения отца. Так что же нового дало публичное заявление отцом факта <math>p\,\!</math> детям? Оно дало не только <math>Ep\,\!</math>, но и <math>EEp, EEEp, \ldots, E^kp\,\!</math>, для любого <math>k-1\,\!</math>! Т.е. отец сделал <math>p\,\!</math> общим знанием детей (common knowledge). Проверьте, что до утверждения отца имело место <math>E^{k-1}p\,\!</math>, но <b>не</b> <math>E^kp\,\!</math>! (возьмите <math>k=2,3,4,5\,\!</math>) <math>E^{k-1}p\,\!</math> не достаточно для того, чтобы дети определили на <math>k\,\!</math>-ом шаге, кто из них грязный, а <math>E^kp\,\!</math> уже достаточно! (Отец, конечно, сообщил им гораздо больше.) Кроме того, чтобы решение отца было решением, необходимо дополнительно предположить: <math>E^{k-1}\,\!</math>"все дети честны, гениальны, чувствительны и т.д." Например, если <math>k=2\,\!</math>, то после первого вопроса грязный не был бы уверен, что второй грязный, ответив "Нет" на первый вопрос, сказал правду. Вопрос: может ли отец сделать <math>p\,\!</math> общим знанием детей <b>не</b> заявляя <math>p\,\!</math> им публично? Носители знания в эпистемологии называются агентами. Агентами могут быть дети, роботы, программы (в этом случае знанием программы может быть память к которой у неё есть доступ) и т.д. Для описания и изучения ситуаций, при которых агенты, находясь в общих условиях, преобразовывают свои знания (как например в задаче "о грязных детях") разработан формальный язык -- эпистемическая логика. =Описание языка= ==Синтаксис== Мир, в котором находятся агенты, описывается свойствами (например, "снег белый" - свойство нашего мира). Для обозначения различных свойств различных миров используются пропозициональные буквы: <math>p_1, p_2, \ldots, p_k, \ldots\,\!</math> Для каждого агента (предположим, что их конечное число, n штук) с номером <math>i\,\!</math> вводится знак <math>K_i\,\!</math>. Интуитивно, если <math>\varphi\,\!</math> - некоторое свойство, то <math>K_i\varphi\,\!</math> означает "<math>i\,\!</math>-й агент знает <math>\varphi\,\!</math>". Отождествим агентов с их номерами <math>\{1, \ldots, n\}\,\!</math>. Пусть <math>G\subseteq\{1, \ldots, n\}\,\!</math> множество агентов. Для каждого такого G вводятся символы <math>E_G, C_G, D_G\,\!</math>. Интуитивно: <math>E_G\varphi\equiv\,\!</math> "Все агенты из <math>G\,\!</math> знают <math>\varphi\,\!</math>" <math>C_G\varphi\equiv\,\!</math> "<math>\varphi\,\!</math> - общее знание агентов из <math>G\,\!</math>" <math>\equiv E_G\varphi, E_GE_G\varphi, \ldots, E_G^k\varphi, \ldots\,\!</math> <math>D_G\varphi\equiv\,\!</math> "<math>\varphi\,\!</math> - дистрибутивное зание агентов из <math>G\,\!</math>" <math>\equiv\,\!</math> "<math>\varphi\,\!</math> это такое знание, которое может быть получено в результате опроса агентов из <math>G\,\!</math> (при этом каждый агент в отдельности может <b>не</b> знать <math>\varphi\,\!</math>" Логические связки: <math>\wedge\,\!</math> ("и"), <math>\neg\,\!</math> ("не"), <math>\vee\,\!</math> ("или") ... \mathfrak{M} \models \varphi\,\!</math> и <math>\mathfrak{M} \models \psi\,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s \models \neg\varphi \Leftrightarrow \mathfrak{M},s \not\models \varphi\,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s\models K_i\varphi \Leftrightarrow \forall t \in S \big( (s,t) \in K_i \Rightarrow \mathfrak{M},t \models \varphi \big) \,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s\models E_G\varphi \Leftrightarrow \forall i \in G:\mathfrak{M},s\models K_i\varphi \,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s\models C_G\varphi \Leftrightarrow \forall k \ge 1 :\mathfrak{M},s\models E_G^k\varphi \,\!</math> # <math>\mathfrak{M},s\models D_G\varphi \Leftrightarrow \forall t \in S\big( (s,t) \in \underset{i \in G}{\cap} K_i \Rightarrow \mathfrak{M},t \models \varphi \big) \,\!</math> Итак, согласно пункту 4, агент, находясь в некотором состоянии <math>s\in S\,\!</math> знает <math>\varphi\,\!</math>, если <math>\varphi\,\!</math> истинно во всех для него состояниях. Пусть <math>\mathfrak{M}\,\!</math> - структура Крипке для трёх детей (см. выше). Проверьте, что: <math>\mathfrak{M}, 011\models K_2 p_3;\,\,\, \mathfrak{M}, 111\models \neg K_2 p_2;\,\,\,\mathfrak{M}, 010\models E_{\{2,3\}} \neg p_1;\,\,\, \mathfrak{M}, 110\models C_{\{2,3\}} p_1\,\!</math> <u><b>Определения</b></u> <math>\mathfrak{M}\models \varphi \equiv\forall s \in S: \mathfrak{M},s\models\varphi\,\!</math> <math>\models \varphi\,\!</math> (<math>\varphi\,\!</math> - универсально истинна) <math>\equiv\forall\mathfrak{M}:\mathfrak{M}\models \varphi\,\!</math> <math>\varphi\,\!</math> - выполнима <math>\equiv\exists\mathfrak{M}\,\exists s\in S: \mathfrak{M}, s\models \varphi\,\!</math> Проверьте, что следующие формулы универсально истинны для любого <math>i\,\!</math>: <math>K_i(\varphi \to \psi) \to (K_i\varphi \to K_i\psi)\,\!</math> (дистрибутивность) <math>K_i\varphi \to \varphi\,\!</math> (аксиома знания) <math>K_i\varphi \to K_i K_i\varphi\,\!</math> (позитивная интроспекция) <math>\neg K_i\varphi \to K_i \neg K_i\varphi\,\!</math> (негативная интроспекция) Проверьте, что если <math>\mathfrak{M}\models \varphi\,\!</math>, то <math>\mathfrak{M}\models K_i\varphi \,\!</math>. fm5kem4xwxe6czbghi09mq5nf0iahus 0 10007 267513 83776 2026-05-20T12:30:50Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Высшая математика. Первый семестр]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267513 wikitext text/x-wiki == Множество рациональных чисел == === Предварительные замечания === '''Определение'''. ''Рациональным числом'' будем называть дробь вида <math>\frac{p}{q}</math>, где ''p'' — целое число, ''q'' — натуральное число, причём p и q взаимно просты. Множество всех рациональных чисел будем обозначать '''Q'''. Из школьного курса хорошо знакомы рациональные числа. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из положительных (натуральных) чисел, например <math>\sqrt{2}</math>, то есть ''нет такой рациональной дроби <math>\frac{p}{q}</math> (где <math>p</math> и <math>q</math> — натуральные числа), квадрат которого был бы равен <math>2</math>''. Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь <math>\frac{p}{q}</math>, что <math>\left ( \frac{p}{q} \right )^2=2</math>. Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть <math>p</math> и <math>q</math> лишёнными общих множителей. Так как <math>p^2=2q^2</math>, то <math>p</math> есть число чётное: <math>p=2r</math> (<math>r</math> — целое)и, следовательно, <math>q</math> — нечётное. Подставляя вместо <math>p</math> его выражение, найдём: <math>q^2=2r</math>, откуда следует, что <math>q</math> — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. ''Его диагональ не может иметь рациональной длины <math>\frac{p}{q}</math>'', ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен <math>2</math>, что, как мы видели, невозможно. == Свойства множества рациональных чисел == # '''Замкнутость'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' их сумма <math>a+b</math>, разность <math>a-b</math>, произведение <math>a\cdot b</math>, а при <math>b\ne0</math> также и частное <math>a/b</math> также будет рациональным числом. # '''Плотность'''. Между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует хотя бы одно рациональное число ''c'', например, <math>\frac{a+b}{2}</math>. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. Поскольку между ''a'' и ''c'', а также между ''c'' и ''b'' тоже существует хотя бы одно рациональное число, отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует бесконечно много рациональных чисел. # '''Упорядоченность'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' выполняется одно и только одно из трёх соотношений: <math>a < b, a = b, a > b</math>. # '''Неограниченность'''. Не существует наибольшего и наименьшего рациональных чисел. Для любого рационального числа ''r'' найдутся (даже целые) числа ''m'' и ''n'' такие, что <math>m < r < n</math>. ahqq5npj3apbr8wqn2law7sooyiubq1 267515 267513 2026-05-20T12:31:01Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267515 wikitext text/x-wiki == Множество рациональных чисел == === Предварительные замечания === '''Определение'''. ''Рациональным числом'' будем называть дробь вида <math>\frac{p}{q}</math>, где ''p'' — целое число, ''q'' — натуральное число, причём p и q взаимно просты. Множество всех рациональных чисел будем обозначать '''Q'''. Из школьного курса хорошо знакомы рациональные числа. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из положительных (натуральных) чисел, например <math>\sqrt{2}</math>, то есть ''нет такой рациональной дроби <math>\frac{p}{q}</math> (где <math>p</math> и <math>q</math> — натуральные числа), квадрат которого был бы равен <math>2</math>''. Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь <math>\frac{p}{q}</math>, что <math>\left ( \frac{p}{q} \right )^2=2</math>. Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть <math>p</math> и <math>q</math> лишёнными общих множителей. Так как <math>p^2=2q^2</math>, то <math>p</math> есть число чётное: <math>p=2r</math> (<math>r</math> — целое)и, следовательно, <math>q</math> — нечётное. Подставляя вместо <math>p</math> его выражение, найдём: <math>q^2=2r</math>, откуда следует, что <math>q</math> — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. ''Его диагональ не может иметь рациональной длины <math>\frac{p}{q}</math>'', ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен <math>2</math>, что, как мы видели, невозможно. == Свойства множества рациональных чисел == # '''Замкнутость'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' их сумма <math>a+b</math>, разность <math>a-b</math>, произведение <math>a\cdot b</math>, а при <math>b\ne0</math> также и частное <math>a/b</math> также будет рациональным числом. # '''Плотность'''. Между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует хотя бы одно рациональное число ''c'', например, <math>\frac{a+b}{2}</math>. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. Поскольку между ''a'' и ''c'', а также между ''c'' и ''b'' тоже существует хотя бы одно рациональное число, отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует бесконечно много рациональных чисел. # '''Упорядоченность'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' выполняется одно и только одно из трёх соотношений: <math>a < b, a = b, a > b</math>. # '''Неограниченность'''. Не существует наибольшего и наименьшего рациональных чисел. Для любого рационального числа ''r'' найдутся (даже целые) числа ''m'' и ''n'' такие, что <math>m < r < n</math>. [[Категория:Математика]] huxulbwfq1it8cqwzkijep20j1msl16 267516 267515 2026-05-20T12:31:09Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267516 wikitext text/x-wiki == Множество рациональных чисел == === Предварительные замечания === '''Определение'''. ''Рациональным числом'' будем называть дробь вида <math>\frac{p}{q}</math>, где ''p'' — целое число, ''q'' — натуральное число, причём p и q взаимно просты. Множество всех рациональных чисел будем обозначать '''Q'''. Из школьного курса хорошо знакомы рациональные числа. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из положительных (натуральных) чисел, например <math>\sqrt{2}</math>, то есть ''нет такой рациональной дроби <math>\frac{p}{q}</math> (где <math>p</math> и <math>q</math> — натуральные числа), квадрат которого был бы равен <math>2</math>''. Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь <math>\frac{p}{q}</math>, что <math>\left ( \frac{p}{q} \right )^2=2</math>. Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть <math>p</math> и <math>q</math> лишёнными общих множителей. Так как <math>p^2=2q^2</math>, то <math>p</math> есть число чётное: <math>p=2r</math> (<math>r</math> — целое)и, следовательно, <math>q</math> — нечётное. Подставляя вместо <math>p</math> его выражение, найдём: <math>q^2=2r</math>, откуда следует, что <math>q</math> — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. ''Его диагональ не может иметь рациональной длины <math>\frac{p}{q}</math>'', ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен <math>2</math>, что, как мы видели, невозможно. == Свойства множества рациональных чисел == # '''Замкнутость'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' их сумма <math>a+b</math>, разность <math>a-b</math>, произведение <math>a\cdot b</math>, а при <math>b\ne0</math> также и частное <math>a/b</math> также будет рациональным числом. # '''Плотность'''. Между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует хотя бы одно рациональное число ''c'', например, <math>\frac{a+b}{2}</math>. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. Поскольку между ''a'' и ''c'', а также между ''c'' и ''b'' тоже существует хотя бы одно рациональное число, отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует бесконечно много рациональных чисел. # '''Упорядоченность'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' выполняется одно и только одно из трёх соотношений: <math>a < b, a = b, a > b</math>. # '''Неограниченность'''. Не существует наибольшего и наименьшего рациональных чисел. Для любого рационального числа ''r'' найдутся (даже целые) числа ''m'' и ''n'' такие, что <math>m < r < n</math>. [[Категория:Математика]] [[Категория:Алгебра]] 09kgz7qkuhbd72qxnj0sg9icq93szou 267629 267516 2026-05-21T08:20:52Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267629 wikitext text/x-wiki == Множество рациональных чисел == === Предварительные замечания === '''Определение'''. ''Рациональным числом'' будем называть дробь вида <math>\frac{p}{q}</math>, где ''p'' — целое число, ''q'' — натуральное число, причём p и q взаимно просты. Множество всех рациональных чисел будем обозначать '''Q'''. Из школьного курса хорошо знакомы рациональные числа. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из положительных (натуральных) чисел, например <math>\sqrt{2}</math>, то есть ''нет такой рациональной дроби <math>\frac{p}{q}</math> (где <math>p</math> и <math>q</math> — натуральные числа), квадрат которого был бы равен <math>2</math>''. Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь <math>\frac{p}{q}</math>, что <math>\left ( \frac{p}{q} \right )^2=2</math>. Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть <math>p</math> и <math>q</math> лишёнными общих множителей. Так как <math>p^2=2q^2</math>, то <math>p</math> есть число чётное: <math>p=2r</math> (<math>r</math> — целое)и, следовательно, <math>q</math> — нечётное. Подставляя вместо <math>p</math> его выражение, найдём: <math>q^2=2r</math>, откуда следует, что <math>q</math> — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. ''Его диагональ не может иметь рациональной длины <math>\frac{p}{q}</math>'', ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен <math>2</math>, что, как мы видели, невозможно. == Свойства множества рациональных чисел == # '''Замкнутость'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' их сумма <math>a+b</math>, разность <math>a-b</math>, произведение <math>a\cdot b</math>, а при <math>b\ne0</math> также и частное <math>a/b</math> также будет рациональным числом. # '''Плотность'''. Между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует хотя бы одно рациональное число ''c'', например, <math>\frac{a+b}{2}</math>. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. Поскольку между ''a'' и ''c'', а также между ''c'' и ''b'' тоже существует хотя бы одно рациональное число, отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует бесконечно много рациональных чисел. # '''Упорядоченность'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' выполняется одно и только одно из трёх соотношений: <math>a < b, a = b, a > b</math>. # '''Неограниченность'''. Не существует наибольшего и наименьшего рациональных чисел. Для любого рационального числа ''r'' найдутся (даже целые) числа ''m'' и ''n'' такие, что <math>m < r < n</math>. [[Категория:Алгебра]] p670b6d9p1mi662vi5l5mgdujg094j2 267662 267629 2026-05-21T08:39:45Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Высшая математика. Первый семестр]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267662 wikitext text/x-wiki == Множество рациональных чисел == === Предварительные замечания === '''Определение'''. ''Рациональным числом'' будем называть дробь вида <math>\frac{p}{q}</math>, где ''p'' — целое число, ''q'' — натуральное число, причём p и q взаимно просты. Множество всех рациональных чисел будем обозначать '''Q'''. Из школьного курса хорошо знакомы рациональные числа. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из положительных (натуральных) чисел, например <math>\sqrt{2}</math>, то есть ''нет такой рациональной дроби <math>\frac{p}{q}</math> (где <math>p</math> и <math>q</math> — натуральные числа), квадрат которого был бы равен <math>2</math>''. Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь <math>\frac{p}{q}</math>, что <math>\left ( \frac{p}{q} \right )^2=2</math>. Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть <math>p</math> и <math>q</math> лишёнными общих множителей. Так как <math>p^2=2q^2</math>, то <math>p</math> есть число чётное: <math>p=2r</math> (<math>r</math> — целое)и, следовательно, <math>q</math> — нечётное. Подставляя вместо <math>p</math> его выражение, найдём: <math>q^2=2r</math>, откуда следует, что <math>q</math> — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. ''Его диагональ не может иметь рациональной длины <math>\frac{p}{q}</math>'', ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен <math>2</math>, что, как мы видели, невозможно. == Свойства множества рациональных чисел == # '''Замкнутость'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' их сумма <math>a+b</math>, разность <math>a-b</math>, произведение <math>a\cdot b</math>, а при <math>b\ne0</math> также и частное <math>a/b</math> также будет рациональным числом. # '''Плотность'''. Между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует хотя бы одно рациональное число ''c'', например, <math>\frac{a+b}{2}</math>. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. Поскольку между ''a'' и ''c'', а также между ''c'' и ''b'' тоже существует хотя бы одно рациональное число, отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует бесконечно много рациональных чисел. # '''Упорядоченность'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' выполняется одно и только одно из трёх соотношений: <math>a < b, a = b, a > b</math>. # '''Неограниченность'''. Не существует наибольшего и наименьшего рациональных чисел. Для любого рационального числа ''r'' найдутся (даже целые) числа ''m'' и ''n'' такие, что <math>m < r < n</math>. [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Высшая математика. Первый семестр]] 10gvmlf1j1alej4p7yso9o444dv92ps 267663 267662 2026-05-21T08:39:49Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267663 wikitext text/x-wiki == Множество рациональных чисел == === Предварительные замечания === '''Определение'''. ''Рациональным числом'' будем называть дробь вида <math>\frac{p}{q}</math>, где ''p'' — целое число, ''q'' — натуральное число, причём p и q взаимно просты. Множество всех рациональных чисел будем обозначать '''Q'''. Из школьного курса хорошо знакомы рациональные числа. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из положительных (натуральных) чисел, например <math>\sqrt{2}</math>, то есть ''нет такой рациональной дроби <math>\frac{p}{q}</math> (где <math>p</math> и <math>q</math> — натуральные числа), квадрат которого был бы равен <math>2</math>''. Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь <math>\frac{p}{q}</math>, что <math>\left ( \frac{p}{q} \right )^2=2</math>. Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть <math>p</math> и <math>q</math> лишёнными общих множителей. Так как <math>p^2=2q^2</math>, то <math>p</math> есть число чётное: <math>p=2r</math> (<math>r</math> — целое)и, следовательно, <math>q</math> — нечётное. Подставляя вместо <math>p</math> его выражение, найдём: <math>q^2=2r</math>, откуда следует, что <math>q</math> — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. ''Его диагональ не может иметь рациональной длины <math>\frac{p}{q}</math>'', ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен <math>2</math>, что, как мы видели, невозможно. == Свойства множества рациональных чисел == # '''Замкнутость'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' их сумма <math>a+b</math>, разность <math>a-b</math>, произведение <math>a\cdot b</math>, а при <math>b\ne0</math> также и частное <math>a/b</math> также будет рациональным числом. # '''Плотность'''. Между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует хотя бы одно рациональное число ''c'', например, <math>\frac{a+b}{2}</math>. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. Поскольку между ''a'' и ''c'', а также между ''c'' и ''b'' тоже существует хотя бы одно рациональное число, отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами ''a'' и ''b'' существует бесконечно много рациональных чисел. # '''Упорядоченность'''. Для любых двух рациональных чисел ''a'' и ''b'' выполняется одно и только одно из трёх соотношений: <math>a < b, a = b, a > b</math>. # '''Неограниченность'''. Не существует наибольшего и наименьшего рациональных чисел. Для любого рационального числа ''r'' найдутся (даже целые) числа ''m'' и ''n'' такие, что <math>m < r < n</math>. [[Категория:Высшая математика. Первый семестр]] 9bzufz99k0euj16f5pduv2l2v7qxfte 14 10285 267524 252116 2026-05-20T12:33:04Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267524 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 0 10693 267546 64516 2026-05-20T12:58:35Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Линейная алгебра и аналитическая геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267546 wikitext text/x-wiki {{Содержание «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»}} В статьях по линейной алгебре могут совместно использоваться понятия точки, вектора и матрицы. Например, при описании [[wikipedia:ru:нелинейный метод сопряжённых градиентов|нелинейного метода сопряжённых градиентов]] часто применяются формулы вида :<math> \mathbf{x}_{new} = \mathbf{x}_{old} + \alpha \mathbf{d}, </math> где <math>\mathbf{x}_{new}</math> и <math>\mathbf{x}_{old}</math> соответствуют точкам в некотором пространстве, <math>\alpha</math> - просто число (скаляр), <math>\mathbf{d}</math> - вектор. Формула описывает, как осуществляется перемещение из точки <math>\mathbf{x}_{old}</math> в некотором пространстве в направлении вектора <math>\mathbf{d}</math>, причём длина шага зависит от <math>\alpha</math>. Перемещение приводит к новой точке <math>\mathbf{x}_{new}</math>: [[Файл:points_and_vectors.svg]] Операция умножения вектора на скаляр (<math>\alpha \mathbf{d}</math>) в математике определена, она даёт в результате вектор другой длины. Но может показаться странным, что точка <math>\mathbf{x}_{old}</math> (абстрактный объект в определённом месте пространства, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик) складывается с вектором <math>\alpha \mathbf{d}</math> (направленным отрезком). В математике не определена операция сложения точки с вектором. Дело в том, что в действительности в приведённой формуле используются матрицы, а не точки и вектора. <math>\mathbf{x}_{new}</math> - это матрица из одного столбца, в которую записаны координаты точки в Декартовой системе координат: :<math> \mathbf{x}_{new}= \begin{bmatrix} x_{new1} \\ x_{new2} \\ \vdots \\x_{newN} \\ \end{bmatrix} </math> Случай двух координат <math> \mathbf{x}_{new}= \begin{bmatrix} x_{new1} \\ x_{new2} \\ \end{bmatrix} </math> изображён на рисунке, приведённом выше. <math>\mathbf{d}</math> - это матрица из одного столбца, в которую записаны координаты конца вектора в Декартовой системе координат. При этом начало вектора устанавливается в начало координат. В случае двух координат: :<math> \mathbf{d}= \begin{bmatrix} d_{1} \\ d_{2} \\ \end{bmatrix} </math> Также <math>d_{1}</math> и <math>d_{2}</math> можно рассматривать как длины вектора вдоль соответствующих осей координат. Вектор можно изображать на координатной плоскости в любом месте. Где бы он ни был изображён - это будет один и тот же вектор (если его не поворачивать). Таким образом, для записи координат точек и векторов используются матрицы-столбцы, и в формулах производятся операции с координатами в матрицах, а не с точками и векторами непосредственно. Во многих статьях применяется запись координат в матрицах-столбцах, однако в других источниках может применяться запись в матрицах-строках. Это столь же правомерно. При необходимости применяется операция транспонирования. Она меняет в матрице строки на столбцы, переводит матрицу-строку в матрицу-столбец и наоборот: если <math> \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\x_{N} \\ \end{bmatrix} </math>, то <math> \mathbf{x}^{\top} = [x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}] </math>. 4xo65ehd955xhall2ob5rv494i7cjo0 0 10698 267638 267435 2026-05-21T08:24:03Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267638 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} == Аппроксимация Фогеля == При определении опорного плана [[w:Транспортная задача|транспортной задачи]] методом аппроксимации Фогеля на каждой итерации по всем столбцам и по всем строкам находят разность между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают максимальную. В строке (или в столбце), которой данная разность соответствует, определяют минимальный тариф. Клетку, в которой он записан, заполняют на данной итерации. Если минимальный тариф одинаков для нескольких клеток данной строки (столбца), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными тарифами, находящимися в данном столбце (строке). === Пример === Используя метод аппроксимации Фогеля, найти опорный план транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице (опорный план этой задачи ранее был найден методом минимального элемента). {| class="standard" |Пункты отправления |colspan="4" | Пункты назначения |Запасы |- | |B1 |B2 |B3 |B4 | |- |A1 |7 |8 |1 |2 |160 |- |A2 |4 |5 |9 |8 |140 |- |A3 |9 |2 |3 |6 |170 |- |Потребности |120 |50 |190 |110 |470 |} === Решение === Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строке или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или дополнительной строке таблица ниже. {| class="standard" |Пункты отправления |colspan="4" | Пункты назначения |Запасы | colspan="6" | Разности по строкам |- | |B1 |B2 |B3 |B4 | |- |A1 |7 |8 |1 |2 |160 |1 |6 | - | - | - | - |- |A2 |4 |5 |9 |8 |140 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |- |A3 |9 |2 |3 |6 |170 |1 |1 |1 |7 | - | - |- |Потребности |120 |50 |190 |110 |470 |- |Разности по столбцам |3 |3 |2 |4 |- | |3 |3 |2 | - |- | |5 |3 |6 | - |- | |5 |3 | - | - |- | |0 |0 | - | - |- | | - |0 | - | - |} Так, в строке А2 минимальный тариф равен 4, а следующий за ним равен 5, разность между ними 5-4=1. Точно так же разность между минимальными элементами в столбце В4 равна 6-2=4. Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу В4. В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки А1 и столбца В4. Таким образом, эту клетку следует заполнить. Заполнив ее, тем самым мы удовлетворим потребности пункта В4. Поэтому исключим из рассмотрения столбец В4 и будем считать запасы пункта А1 равными 160—110=50 ед. После этого определим следующую клетку для заполнения. Снова найдем разности между оставшимися двумя минимальными тарифами в каждой из строк и столбцов и запишем их во втором дополнительном столбце и во второй дополнительной строке таблицы. Как видно из этой таблицы, наибольшая указанная разность соответствует строке А1. Минимальный тариф в этой строке записан в клетке, которая находится на пересечении ее с столбцом В3. Следовательно, заполняем эту клетку. Поместив в нее число 50, тем самым предполагаем, что запасы в пункте А1 полностью исчерпаны, а потребности в пункте В3 стали равными 190-50=140 ед. Исключим из рассмотрения строку А1 и определим новую клетку для заполнения. Продолжая итерационный процесс, последовательно заполняем клетки, находящиеся на пересечении строки A3 и столбца B3, строки A3 и столбца B2, строки A2 и столбца B1, строки А2 и столбца B2. В результате получим опорный план: <math>X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 & 110 \\ 120 & 20 &0 & 0 \\ 0 & 30 & 140 & 0 \end{pmatrix}</math> При этом плане общая стоимость перевозок такова: <math>S = 1 \times 50 + 2 \times 110 + 4 \times 120 + 5 \times 20 + 2 \times 30 + 3 \times 140 = 1330 \, . </math> Как правило, применение метода аппроксимации Фогеля позволяет получить либо опорный план, близкий к оптимальному, либо сам оптимальный план. Кстати, найденный выше опорный план транспортной задачи является и оптимальным. == См. также == * [[w:Линейное программирование|Линейное программирование]] * [[w:Транспортная задача|Транспортная задача]] == Литература == * {{книга |автор = Акулич И.Л. |заглавие = Математическое программирование в примерах и задачах |место = М. |издательство = [[w:Высшая школа (издательство)|Высшая школа]] |год = 1986 |страниц = 319 |isbn = 5-06-002663-9 }} [[Категория:Линейное программирование]] [[Категория:Транспортная задача]] kcskkoi79idea8p4kmrkc6gt5mdtbuk 267732 267638 2026-05-21T10:06:44Z AllaBuraya 79455 267732 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} == Аппроксимация Фогеля == При определении опорного плана [[w:Транспортная задача|транспортной задачи]] методом аппроксимации Фогеля на каждой итерации по всем столбцам и по всем строкам находят разность между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают максимальную. В строке (или в столбце), которой данная разность соответствует, определяют минимальный тариф. Клетку, в которой он записан, заполняют на данной итерации. Если минимальный тариф одинаков для нескольких клеток данной строки (столбца), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными тарифами, находящимися в данном столбце (строке). === Пример === Используя метод аппроксимации Фогеля, найти опорный план транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице (опорный план этой задачи ранее был найден методом минимального элемента). {| class="standard" |Пункты отправления |colspan="4" | Пункты назначения |Запасы |- | |B1 |B2 |B3 |B4 | |- |A1 |7 |8 |1 |2 |160 |- |A2 |4 |5 |9 |8 |140 |- |A3 |9 |2 |3 |6 |170 |- |Потребности |120 |50 |190 |110 |470 |} === Решение === Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строке или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или дополнительной строке таблица ниже. {| class="standard" |Пункты отправления |colspan="4" | Пункты назначения |Запасы | colspan="6" | Разности по строкам |- | |B1 |B2 |B3 |B4 | |- |A1 |7 |8 |1 |2 |160 |1 |6 | - | - | - | - |- |A2 |4 |5 |9 |8 |140 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |- |A3 |9 |2 |3 |6 |170 |1 |1 |1 |7 | - | - |- |Потребности |120 |50 |190 |110 |470 |- |Разности по столбцам |3 |3 |2 |4 |- | |3 |3 |2 | - |- | |5 |3 |6 | - |- | |5 |3 | - | - |- | |0 |0 | - | - |- | | - |0 | - | - |} Так, в строке А2 минимальный тариф равен 4, а следующий за ним равен 5, разность между ними 5-4=1. Точно так же разность между минимальными элементами в столбце В4 равна 6-2=4. Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу В4. В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки А1 и столбца В4. Таким образом, эту клетку следует заполнить. Заполнив ее, тем самым мы удовлетворим потребности пункта В4. Поэтому исключим из рассмотрения столбец В4 и будем считать запасы пункта А1 равными 160—110=50 ед. После этого определим следующую клетку для заполнения. Снова найдем разности между оставшимися двумя минимальными тарифами в каждой из строк и столбцов и запишем их во втором дополнительном столбце и во второй дополнительной строке таблицы. Как видно из этой таблицы, наибольшая указанная разность соответствует строке А1. Минимальный тариф в этой строке записан в клетке, которая находится на пересечении ее с столбцом В3. Следовательно, заполняем эту клетку. Поместив в нее число 50, тем самым предполагаем, что запасы в пункте А1 полностью исчерпаны, а потребности в пункте В3 стали равными 190-50=140 ед. Исключим из рассмотрения строку А1 и определим новую клетку для заполнения. Продолжая итерационный процесс, последовательно заполняем клетки, находящиеся на пересечении строки A3 и столбца B3, строки A3 и столбца B2, строки A2 и столбца B1, строки А2 и столбца B2. В результате получим опорный план: <math>X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 & 110 \\ 120 & 20 &0 & 0 \\ 0 & 30 & 140 & 0 \end{pmatrix}</math> При этом плане общая стоимость перевозок такова: <math>S = 1 \times 50 + 2 \times 110 + 4 \times 120 + 5 \times 20 + 2 \times 30 + 3 \times 140 = 1330 \, . </math> Как правило, применение метода аппроксимации Фогеля позволяет получить либо опорный план, близкий к оптимальному, либо сам оптимальный план. Кстати, найденный выше опорный план транспортной задачи является и оптимальным. == См. также == * [[w:Линейное программирование|Линейное программирование]] * [[w:Транспортная задача|Транспортная задача]] == Литература == * {{книга |автор = Акулич И.Л. |заглавие = Математическое программирование в примерах и задачах |место = М. |издательство = [[w:Высшая школа (издательство)|Высшая школа]] |год = 1986 |страниц = 319 |isbn = 5-06-002663-9 }} [[Категория:Линейное программирование]] [[Категория:Транспортная задача]] on0oxszamlt7szxn7zo02qfywfyay57 0 11499 267651 258977 2026-05-21T08:29:50Z AllaBuraya 79455 267651 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Тип = Одностраничный | Категория = Алгебра }} ==Игры в математике== Человек принимает решения и их последствия могут сильно отличаться в разных условиях. А ведь следует учесть, что когда мы принимаем решения и пытаемся их воплотить в жизнь, то далеко не все этим могут быть довольны, даже более того некоторые могут начать активно заняться противодействием нашим планам.Все это весьма банальные истины, которые известны нам чуть ли не с самого рождения. Однако так же с рождения нам известно, что наши решения, принимаемые в разных условиях очень сильно могут различаться в своих последствиях:конечно неприятно ошибиться с погодой на завтра и выйти без зонта под дождь, но совсем другое дело, если, например, местные власти, зная об угрозе урагана, не предпримут необходимых мер.Математикам то же стало интересно разработать формальные методы нахождения оптимальных стратегий поведения в различных ситуациях, где есть несколько вариантов вашего решения и различные варианты того как сложится после этого ситуация. Очень яркий пример игровой задачи представляет собой [[w:Пари Паскаля|Пари Паскаля]]. Это весьма занимательный пример того как математику пытались привлечь в доказательства истинности веры. В дальнейшем это Пари будет рассмотрено, так как является довольно хорошим примером формализации проблемы для аппарата теории игр. Время шло и вот перед нами конец 19 века, а вместе с ними все большую роль в экономике играли монополии. У части экономистов (классики и неоклассики) исследования экономики строились на том, что человек ведет себя рационально, а значит принимает такие решения, которые были бы ему наиболее выгодны в данных условиях. Однако, исходя из этого, самые выгодные решения стремился принять и его контрагент в сделке. Самое важное здесь что экономисты считали, что каждый кто производит операции на рынке всегда будет действовать наиболее выгодно для себя. Исходя из таких соображений экономисты решили создать математические модели, которые описывали бы поведение монополий на рынке и их конкурентов. Эта задача решалась экономистами вполне в духе методов теории игр, где рассматривались различные алгоритмы действий игроков на рынке, проводилась оценка их полезности для каждой из сторон и на основе этого решался вопрос какую стратегию выберет каждый из участников рынка. Уже позже на методы, основанные на оценке полезности той или иной стратегии в конфликте для каждой из сторон обратили внимание военные. Фундаментальные результаты в области теории игр принадлежат и такому ученому как [[w:Нейман, Джон фон|Джон Фон Нейман]], который является автором принципов организации современных ЭВМ. Позже эту теорию на вооружение взяли опять же экономисты, управленцы, а так же социологи, психологи, работающие в области [[w:Конфликтология|конфликтологии]]. Теория игр рассматривает ситуации, где есть несколько сторон и каждая имеет свою цель в этом конфликте. Рассматриваются ситуации, когда игроки имеют строго противоположные интересы, но могут так же быть рассмотрены и те случаи, когда речь идет о том что у группы игроков могут быть сходные интересы и в результате они формируют коалицию, то есть группу с единой целью. Под игроками мы можем понимать: фирмы, противников в войне, обычных людей и т.д. Для достижения своих целей каждый игрок обладает набором стратегий и итогом ее применения является то что игрок может получить некоторую выгоду или наоборот понести потери. Задача решении игры найти оптимальное решение, исходя из того что: * Каждый противник будет применять самую эффективную стратегию для достижения своих целей * Каждый противник может располагать полным представлением о планах конкурента Кроме того в рамках теории игр можно рассматривать особый случай, когда мы вынуждены принимать решения в условиях, когда может быть разные состояния окружающей среды (например различная погода) естественно в зависимости от ситуации наши решения могут быть с разной степенью полезности. Такой случай называют теориейстатистических игр или игр с природой, он то же будет рассмотрен далее. ==Игра более формально== Итак, игра — это некий процесс, который описывает некоторую конфликтную ситуацию, которая вовлекает в себя 2 стороны или более. Мы будем называть их игроками. У каждого игрока есть некоторые ходы, действия в игре, и их мы назовем стратегиями. Каждая стратегия может принести нам некоторый выигрыш или наоборот, проигрыш. Важно отметить, что как это часто бывает и в жизни, проигрыш одной стороны — это выигрыш для другой. Численное значение проигрыша или выигрыша (иначе это можно назвать полезностью) от той или иной стратегии мы назовем ценой стратегии, а функцию, которая ставит стратегии ту или иную полезность (цену) мы назовем функцией полезности. Функция, как известно из курса [[Математический анализ|матанализа]], может быть задана в различных формах, в том числе матричной. Собственно говоря, функция полезности часто и задается как таблица, где различным стратегиям приписывается различная полезность. Рассмотрим пример построения модели процесса, который может быть описан методами теории игр. ====Боевая операция с точки зрения теории игр==== Итак, что нам нужно для начала исследования при помощи теории игр? Первое: определим сколько участников игры. Пусть будет только две стороны. Для удобства назовем одну из них Синие, а вторую Красные. Предположим что Синие наступают, а Красные находятся в обороне. Следующий вопрос: а какие есть стратегии у Красных и Синих? Предположим, что их у каждой стороны две. К примеру, за Синих: нанести удар по флангам или сосредоточить все силы для удара в центр позиций противника. А для Красных: создавать мощную оборону в несколько эшелонов, вторая стратегия — это, например, готовиться сразу же к контрнаступлению. Так как у каждой стороны две стратегии, то игру мы назовем "игра 2х2". Совершенно так же игра 4х3 это игра, где участвуют два игрока и у первого имеется 4 стратегии, а у второго 3. А теперь перед нами встает самая сложная задача: оценить полезность каждой из стратегий или иначе говоря стоимость каждой стратегии. Оценить ее можно в чем угодно: деньгах, объемах потраченного горючего, потерянных солдатах. Важно здесь, то что если мы, например, выбрали критерием оценки денежные затраты, то каждая стратегия должна оцениваться именно в деньгах, недопустимо следующее положение дел: одну стратегию вы оцениваете через затраты, а другую через потери. То есть для всех стратегий должна быть единая мера полезности. Сама теория игр не дает нам методов определения полезности, это сугубо наша проблема. Для оценки полезности придется привлекать либо другие науки, либо наш опыт и интуицию. От правильности оценок полезности зависит корректность всего анализа; если они будут даны неверно, то и итоги исследования при помощи теории игр. Как мы можем записать различные стратегии игроков и их цену? Можно при помощи дерева, что будет рассмотрено много позже, а можно при помощи таблицы (матрицы). Именно на таком варианте мы и остановимся. Что ж, предположим, что командование Красных рассматривает две своих стратегии и две стратегии Синих, направленных на отражение атаки Красных. Для ==Когда против нас играет Природа== ==Игры 2х2:игры между 2 противниками== 7d0cu8aub8riieb17zm61lj38gkp2dm 267775 267651 2026-05-21T10:48:56Z AllaBuraya 79455 267775 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Тип = Одностраничный | Категория = Математика }} ==Игры в математике== Человек принимает решения и их последствия могут сильно отличаться в разных условиях. А ведь следует учесть, что когда мы принимаем решения и пытаемся их воплотить в жизнь, то далеко не все этим могут быть довольны, даже более того некоторые могут начать активно заняться противодействием нашим планам.Все это весьма банальные истины, которые известны нам чуть ли не с самого рождения. Однако так же с рождения нам известно, что наши решения, принимаемые в разных условиях очень сильно могут различаться в своих последствиях:конечно неприятно ошибиться с погодой на завтра и выйти без зонта под дождь, но совсем другое дело, если, например, местные власти, зная об угрозе урагана, не предпримут необходимых мер.Математикам то же стало интересно разработать формальные методы нахождения оптимальных стратегий поведения в различных ситуациях, где есть несколько вариантов вашего решения и различные варианты того как сложится после этого ситуация. Очень яркий пример игровой задачи представляет собой [[w:Пари Паскаля|Пари Паскаля]]. Это весьма занимательный пример того как математику пытались привлечь в доказательства истинности веры. В дальнейшем это Пари будет рассмотрено, так как является довольно хорошим примером формализации проблемы для аппарата теории игр. Время шло и вот перед нами конец 19 века, а вместе с ними все большую роль в экономике играли монополии. У части экономистов (классики и неоклассики) исследования экономики строились на том, что человек ведет себя рационально, а значит принимает такие решения, которые были бы ему наиболее выгодны в данных условиях. Однако, исходя из этого, самые выгодные решения стремился принять и его контрагент в сделке. Самое важное здесь что экономисты считали, что каждый кто производит операции на рынке всегда будет действовать наиболее выгодно для себя. Исходя из таких соображений экономисты решили создать математические модели, которые описывали бы поведение монополий на рынке и их конкурентов. Эта задача решалась экономистами вполне в духе методов теории игр, где рассматривались различные алгоритмы действий игроков на рынке, проводилась оценка их полезности для каждой из сторон и на основе этого решался вопрос какую стратегию выберет каждый из участников рынка. Уже позже на методы, основанные на оценке полезности той или иной стратегии в конфликте для каждой из сторон обратили внимание военные. Фундаментальные результаты в области теории игр принадлежат и такому ученому как [[w:Нейман, Джон фон|Джон Фон Нейман]], который является автором принципов организации современных ЭВМ. Позже эту теорию на вооружение взяли опять же экономисты, управленцы, а так же социологи, психологи, работающие в области [[w:Конфликтология|конфликтологии]]. Теория игр рассматривает ситуации, где есть несколько сторон и каждая имеет свою цель в этом конфликте. Рассматриваются ситуации, когда игроки имеют строго противоположные интересы, но могут так же быть рассмотрены и те случаи, когда речь идет о том что у группы игроков могут быть сходные интересы и в результате они формируют коалицию, то есть группу с единой целью. Под игроками мы можем понимать: фирмы, противников в войне, обычных людей и т.д. Для достижения своих целей каждый игрок обладает набором стратегий и итогом ее применения является то что игрок может получить некоторую выгоду или наоборот понести потери. Задача решении игры найти оптимальное решение, исходя из того что: * Каждый противник будет применять самую эффективную стратегию для достижения своих целей * Каждый противник может располагать полным представлением о планах конкурента Кроме того в рамках теории игр можно рассматривать особый случай, когда мы вынуждены принимать решения в условиях, когда может быть разные состояния окружающей среды (например различная погода) естественно в зависимости от ситуации наши решения могут быть с разной степенью полезности. Такой случай называют теориейстатистических игр или игр с природой, он то же будет рассмотрен далее. ==Игра более формально== Итак, игра — это некий процесс, который описывает некоторую конфликтную ситуацию, которая вовлекает в себя 2 стороны или более. Мы будем называть их игроками. У каждого игрока есть некоторые ходы, действия в игре, и их мы назовем стратегиями. Каждая стратегия может принести нам некоторый выигрыш или наоборот, проигрыш. Важно отметить, что как это часто бывает и в жизни, проигрыш одной стороны — это выигрыш для другой. Численное значение проигрыша или выигрыша (иначе это можно назвать полезностью) от той или иной стратегии мы назовем ценой стратегии, а функцию, которая ставит стратегии ту или иную полезность (цену) мы назовем функцией полезности. Функция, как известно из курса [[Математический анализ|матанализа]], может быть задана в различных формах, в том числе матричной. Собственно говоря, функция полезности часто и задается как таблица, где различным стратегиям приписывается различная полезность. Рассмотрим пример построения модели процесса, который может быть описан методами теории игр. ====Боевая операция с точки зрения теории игр==== Итак, что нам нужно для начала исследования при помощи теории игр? Первое: определим сколько участников игры. Пусть будет только две стороны. Для удобства назовем одну из них Синие, а вторую Красные. Предположим что Синие наступают, а Красные находятся в обороне. Следующий вопрос: а какие есть стратегии у Красных и Синих? Предположим, что их у каждой стороны две. К примеру, за Синих: нанести удар по флангам или сосредоточить все силы для удара в центр позиций противника. А для Красных: создавать мощную оборону в несколько эшелонов, вторая стратегия — это, например, готовиться сразу же к контрнаступлению. Так как у каждой стороны две стратегии, то игру мы назовем "игра 2х2". Совершенно так же игра 4х3 это игра, где участвуют два игрока и у первого имеется 4 стратегии, а у второго 3. А теперь перед нами встает самая сложная задача: оценить полезность каждой из стратегий или иначе говоря стоимость каждой стратегии. Оценить ее можно в чем угодно: деньгах, объемах потраченного горючего, потерянных солдатах. Важно здесь, то что если мы, например, выбрали критерием оценки денежные затраты, то каждая стратегия должна оцениваться именно в деньгах, недопустимо следующее положение дел: одну стратегию вы оцениваете через затраты, а другую через потери. То есть для всех стратегий должна быть единая мера полезности. Сама теория игр не дает нам методов определения полезности, это сугубо наша проблема. Для оценки полезности придется привлекать либо другие науки, либо наш опыт и интуицию. От правильности оценок полезности зависит корректность всего анализа; если они будут даны неверно, то и итоги исследования при помощи теории игр. Как мы можем записать различные стратегии игроков и их цену? Можно при помощи дерева, что будет рассмотрено много позже, а можно при помощи таблицы (матрицы). Именно на таком варианте мы и остановимся. Что ж, предположим, что командование Красных рассматривает две своих стратегии и две стратегии Синих, направленных на отражение атаки Красных. Для ==Когда против нас играет Природа== ==Игры 2х2:игры между 2 противниками== 2t2b13m9jvot3klnpqa9q40wbtncwj8 0 12797 267645 258288 2026-05-21T08:27:32Z AllaBuraya 79455 267645 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Тип = Одностраничный }} ==Глава1== ===Введение=== О чём эта работа? Эта работа представляет собой теорию и практику численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Из чего же состоит эта работа? Во-первых, это само введение, которое вы сейчас и читаете. Оно призвано кратко объяснить суть работы. Во-вторых, это теоретическая часть. Здесь я определяю основные термины и рассказываю, что в принципе делается в третьей части — в практической части. В практической части объясняется, как применить изложенную теорию на практике, а если говорить конкретно, то я рассчитываю решение уравнения своего варианта с помощью программы, написанной на C# (код я приведу в примечаниях, так как считаю его полезным для понимания работы). Теперь я хотел бы сказать пару слов о тексте самой работы и перейти к изложению самой сути. Всегда и везде я пишу обычное предупреждение: если вы хотя бы теоретически можете быть в своей жизни оскорблены хоть чем-то, то читая данную работу далее этого предупреждения, вы принимаете на себя полную ответственность за это решение и отказываетесь от любых претензий к автору. Я, как автор данного реферата, заявляю о лицензировании работы под лицензией CC BY-SA. Это означает, что вы можете свободно распространять и/или изменять части работы так, как вам вздумается при соблюдении двух условий: ссылаться на авторскую работу и распространять продукт под той же лицензией, под которой вы его получили, то есть под CC BY-SA. В тексте я буду использовать фрагменты, взятые из открытых источников, в том числе и из русской Википедии, что прекрасно согласуется с условиями выбранной лицензии. Такие ссылки я буду обозначать буквой «w» и иным шрифтом, что будет означать ссылку на статью, одноимённую слову на момент написания реферата, то есть на 27.04.2013. Приступим. ==Теория== При исследовании стационарных процессов вроде явлений теплопроводности, диффузии и т. д. обычно получаются дифференциальные уравнения второго порядка, частным случаем которых является уравнение Лапласа. Так как в большинстве случаев нас интересуют численные оценки явления, то мы рассматриваем решение уравнение Лапласа на какой-то области, а следовательно, задаём некие граничные условия системы; а тогда исходная задача называется задачей Дирихле для уравнения Лапласа. : Примечание: :: [[Уравнение Лапласа]] — дифференциальное уравнение в частных производных: <math>\Delta u (x_1, x_2, \dots , x_n) = 0 , </math> а в трёхмерном пространстве уравнение Лапласа называется уравнением Гельмгольца. :: [[Задача Дирихле]] — задача отыскания в области <math>D</math> евклидова пространства гармонической функции, которая на границе <math>\mathfrak{U}</math> области <math>D</math> совпадает с наперёд заданной непрерывной функцией <math>f</math>. В целом ряде случаев дифференциальные уравнения не имеют полного аналитического решения, то есть вы не можете просто сесть и найти точное решение на бумаге, но можете «в лоб» высчитать нужную вам функцию на компьютере. Этот способ, называемый «численным решением уравнений» хорош своей быстротой и наглядностью, но в нём неизбежно присутствуют ошибки нескольких видов. Да простят меня математики за следующую фразу, но вещественных чисел «больше», чем рациональных, а если говорить точнее, то у множеств <math>\mathfrak{Q}</math> и <math>\mathfrak{R}</math> разные [[Мощность (множество)|мощности]]. Но так как компьютер оперирует только с числами с конечным количеством знаков после запятой, то он неизбежно сводит <math>\mathfrak{Q}</math> к <math>\mathfrak{R}</math>, а, следовательно, теряет все знаки после запятой начиная с энного, что приводит к погрешности. Второе, на что стоит обратить внимание — округление входящих данных самим пользователем. Никто не будет, например, прописывать огромное количество знаков числа <math>0,(3)</math>; обычно ограничиваются чем-то вроде «<math>0,333333333333</math>», что меньше <math>0,(3)</math>. Третье — не на всех компьютерах, находящихся в массовой продаже можно сделать достаточное число итераций из-за ограничений в размере жёсткого диска, оперативной памяти или — и это особенно важно — из-за ограничений в скорости работы процессора, а, значит, для того, чтобы получить решение уравнения раньше заката, нужно увеличивать и без того большие ошибки компьютера малой точностью вычислений. ==Практическая часть== Итак, задача. Решить методом сеток (я потом объясню, что это такое) двумерное уравнение Лапласа внутри области Ԇ, ограниченной двумя кривыми : <math>\mathfrak{U_1}</math>: <math>x^2 + y^2 - x = 16 (x^2 + y^2) ;</math> : <math>\mathfrak{U_2}</math>: <math>x^2 + y^2 = 1 ; </math> с граничными условиями : <math>\partial \mid u(\mathfrak{U_1}) = 0 ;</math> : <math>\partial \mid u(\mathfrak{U_2}) = \pi .</math> Я решил использовать декартову систему координат из-за простоты реализации. Я знаю, что можно решать и в сферических, но корректного решения мне получить в них не удалось. Для решения данной задачи Дирихле используется конечно-разностный метод, в котором (опуская промежуточные выкладки) уравнение Лапласа <math>\Delta u(x,y) = 0</math> записывается в виде <math> u(x+h,y) + u(x-h,y) + u(x,y+h) + u(x,y-h) = 4u(x,y) </math>. То есть значение функции в данной точке выражается через среднее значение её соседей по сетке. Для решение задачи методом сеток необходимо покрыть данную нам область <math>\mathfrak{U}</math> сеткой из прямых линий, при этом точки пересечений линий — узлы — могут лежать как в области <math>\mathfrak{U}</math>, так и вне неё. Сначала вычислим значение функции в точках на границе. Ну, то есть мы-то с вами их знаем, а компьютер — ещё нет; слово «вычислить», с вашего позволения, я иногда буду использовать в смысле «записать в память компьютера». После этого заполним массив значений функции внутри области некоей константой, пусть средним арифметическим всех точек границы, конкретное значение константы не так важно, как кажется на первый взгляд; важно, чтобы оно не сильно отличалось от порядка значений на границе. Назовём это распределение значений функции 0-системой. А теперь начинаем, собственно говоря, считать нашу функцию. Берём каждую и-житую точку, считаем в ней значение функции как среднее арифметическое её соседей. Делаем так для всех точек на области и получаем 1-систему. А теперь повторим эти подсчёты для области <math>\mathfrak{U}</math> ещё несколько раз до достижения нужной точности, получив в конце концов n-систему, где n — число повторов. Сходимость метода пропорциональна числу узлов сетки. ==Практическая задача== Поставленная задача решалась с помощью программы, написанной на C#. Количество итераций — 1500. Из-за ограничений в вычислительных мощностях у меня дома мне не удалось просчитать весь график целиком, но лишь часть его — один сектор. Графики строились с помощью gnuplot. * [https://www.dropbox.com/s/7vx9272dimmdikn/1.jpg Картинка раз]; * [https://www.dropbox.com/s/a7d1f4fcxelslhd/2.jpg Картинка два]; <!--* [https://www.dropbox.com/s/a7d1f4fcxelslhd/2.jpg Картинка три]; автор скопипастил ссылку и забыл поменять--> ==Вывод== В данной работе была дана теория одного из численных метод решения уравнений в частных производных эллиптического типа – метод сеток, а в частности метод конечных разностей. Была написана программа по реализации этого метода, получены и проанализированы результаты решения задачи Дирихле уравнения Лапласа в заданной области. ==Список литературы== # Положий Г.П. — Уравнения математической физики; # Корн Г., Корн Т. — Справочник по математике для научных работников и инженеров; # ru.wikipedia.org. == Приложение== <code> namespace DirichletProblem { public class Point { public double[] x = new double[2000]; public double[] y = new double[2000]; } public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void makeComputing(object sender, EventArgs e) { const Int64 sizeOfUArray = 2001; Point points = new Point(); double[,] u = new double[sizeOfUArray, sizeOfUArray]; double[,] uTemp = new double[sizeOfUArray, sizeOfUArray]; int i, j; int n = 1000; // итерации int k = -n; int sizeOfPointsArray; double h = 0.05; // шаг int iterationCount = 0; for (i = 0; i < 2 * n; i++) // заполняем узлы сетку { points.x[i] = k * h; points.y[i] = k * h; k++; } sizeOfPointsArray = points.x.Count(); for (i = 0; i < sizeOfPointsArray; i++) // отбираем точки, лежащие внутри области и на ее границе; считаем U { for (j = 0; j < sizeOfPointsArray; j++) { double x = points.x[j]; double y = points.y[i]; if (isInAreaIncludeBorders(x, y)) { u[j, i] = borders(x, y); } } } for (int g = 1; g <= 20; g++) { iterationCount++; for (i = 1; i < sizeOfPointsArray; i++) // отбираем точки, лежащие внутри области; считаем U для внутренних точек { for (j = 1; j < sizeOfPointsArray; j++) { double x = points.x[j]; double y = points.y[i]; if (isInAreaExcludeBorders(x, y)) { double u1, u2, u3, u4; u1 = u[j + 1, i]; u2 = u[j - 1, i]; u3 = u[j, i + 1]; u4 = u[j, i - 1]; u[j, i] = (u1 + u2 + u3 + u4) / 4; } } } } TextWriter tw = new StreamWriter("data.txt"); for (i = 0; i < sizeOfPointsArray; i++) { for (j = 0; j < sizeOfPointsArray; j++) { if (u[j, i] != 0) tw.WriteLine(points.x[j].ToString() + " " + points.y[i].ToString() + " " + u[j, i].ToString()); } } tw.Close(); } private double borders(double x, double y) { return Math.Sqrt(y); } private bool isInAreaIncludeBorders(double x, double y) { if (((y >= -Math.Sqrt(8 + x - x * x - 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y <= Math.Sqrt(8 + x - x * x - 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y >= -Math.Sqrt(8 + x - x * x + 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y <= Math.Sqrt(8 + x - x * x + 4 * Math.Sqrt(4 + x)))) && ((y >= Math.Sqrt(1 - x * x)) || (y >= Math.Sqrt(1 - x * x)))) { return true; } else { return false; } } private bool isInAreaExcludeBorders(double x, double y) { if (((y > -Math.Sqrt(8 + x - x * x - 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y < Math.Sqrt(8 + x - x * x - 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y > -Math.Sqrt(8 + x - x * x + 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y < Math.Sqrt(8 + x - x * x + 4 * Math.Sqrt(4 + x)))) && ((y > Math.Sqrt(1 - x * x)) || (y > Math.Sqrt(1 - x * x)))) // { return true; } else { return false; } } private void clearSquareArray(double[,] array) { int size = array.GetLength(0); for (int i = 0; i < size; i++) { for (int j = 0; j < size; j++) { array[i, j] = 0; } } } } } </code> 4gn309ds8cahe404ruwuwkrwlm9qmji 267771 267645 2026-05-21T10:47:48Z AllaBuraya 79455 267771 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный }} ==Глава1== ===Введение=== О чём эта работа? Эта работа представляет собой теорию и практику численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Из чего же состоит эта работа? Во-первых, это само введение, которое вы сейчас и читаете. Оно призвано кратко объяснить суть работы. Во-вторых, это теоретическая часть. Здесь я определяю основные термины и рассказываю, что в принципе делается в третьей части — в практической части. В практической части объясняется, как применить изложенную теорию на практике, а если говорить конкретно, то я рассчитываю решение уравнения своего варианта с помощью программы, написанной на C# (код я приведу в примечаниях, так как считаю его полезным для понимания работы). Теперь я хотел бы сказать пару слов о тексте самой работы и перейти к изложению самой сути. Всегда и везде я пишу обычное предупреждение: если вы хотя бы теоретически можете быть в своей жизни оскорблены хоть чем-то, то читая данную работу далее этого предупреждения, вы принимаете на себя полную ответственность за это решение и отказываетесь от любых претензий к автору. Я, как автор данного реферата, заявляю о лицензировании работы под лицензией CC BY-SA. Это означает, что вы можете свободно распространять и/или изменять части работы так, как вам вздумается при соблюдении двух условий: ссылаться на авторскую работу и распространять продукт под той же лицензией, под которой вы его получили, то есть под CC BY-SA. В тексте я буду использовать фрагменты, взятые из открытых источников, в том числе и из русской Википедии, что прекрасно согласуется с условиями выбранной лицензии. Такие ссылки я буду обозначать буквой «w» и иным шрифтом, что будет означать ссылку на статью, одноимённую слову на момент написания реферата, то есть на 27.04.2013. Приступим. ==Теория== При исследовании стационарных процессов вроде явлений теплопроводности, диффузии и т. д. обычно получаются дифференциальные уравнения второго порядка, частным случаем которых является уравнение Лапласа. Так как в большинстве случаев нас интересуют численные оценки явления, то мы рассматриваем решение уравнение Лапласа на какой-то области, а следовательно, задаём некие граничные условия системы; а тогда исходная задача называется задачей Дирихле для уравнения Лапласа. : Примечание: :: [[Уравнение Лапласа]] — дифференциальное уравнение в частных производных: <math>\Delta u (x_1, x_2, \dots , x_n) = 0 , </math> а в трёхмерном пространстве уравнение Лапласа называется уравнением Гельмгольца. :: [[Задача Дирихле]] — задача отыскания в области <math>D</math> евклидова пространства гармонической функции, которая на границе <math>\mathfrak{U}</math> области <math>D</math> совпадает с наперёд заданной непрерывной функцией <math>f</math>. В целом ряде случаев дифференциальные уравнения не имеют полного аналитического решения, то есть вы не можете просто сесть и найти точное решение на бумаге, но можете «в лоб» высчитать нужную вам функцию на компьютере. Этот способ, называемый «численным решением уравнений» хорош своей быстротой и наглядностью, но в нём неизбежно присутствуют ошибки нескольких видов. Да простят меня математики за следующую фразу, но вещественных чисел «больше», чем рациональных, а если говорить точнее, то у множеств <math>\mathfrak{Q}</math> и <math>\mathfrak{R}</math> разные [[Мощность (множество)|мощности]]. Но так как компьютер оперирует только с числами с конечным количеством знаков после запятой, то он неизбежно сводит <math>\mathfrak{Q}</math> к <math>\mathfrak{R}</math>, а, следовательно, теряет все знаки после запятой начиная с энного, что приводит к погрешности. Второе, на что стоит обратить внимание — округление входящих данных самим пользователем. Никто не будет, например, прописывать огромное количество знаков числа <math>0,(3)</math>; обычно ограничиваются чем-то вроде «<math>0,333333333333</math>», что меньше <math>0,(3)</math>. Третье — не на всех компьютерах, находящихся в массовой продаже можно сделать достаточное число итераций из-за ограничений в размере жёсткого диска, оперативной памяти или — и это особенно важно — из-за ограничений в скорости работы процессора, а, значит, для того, чтобы получить решение уравнения раньше заката, нужно увеличивать и без того большие ошибки компьютера малой точностью вычислений. ==Практическая часть== Итак, задача. Решить методом сеток (я потом объясню, что это такое) двумерное уравнение Лапласа внутри области Ԇ, ограниченной двумя кривыми : <math>\mathfrak{U_1}</math>: <math>x^2 + y^2 - x = 16 (x^2 + y^2) ;</math> : <math>\mathfrak{U_2}</math>: <math>x^2 + y^2 = 1 ; </math> с граничными условиями : <math>\partial \mid u(\mathfrak{U_1}) = 0 ;</math> : <math>\partial \mid u(\mathfrak{U_2}) = \pi .</math> Я решил использовать декартову систему координат из-за простоты реализации. Я знаю, что можно решать и в сферических, но корректного решения мне получить в них не удалось. Для решения данной задачи Дирихле используется конечно-разностный метод, в котором (опуская промежуточные выкладки) уравнение Лапласа <math>\Delta u(x,y) = 0</math> записывается в виде <math> u(x+h,y) + u(x-h,y) + u(x,y+h) + u(x,y-h) = 4u(x,y) </math>. То есть значение функции в данной точке выражается через среднее значение её соседей по сетке. Для решение задачи методом сеток необходимо покрыть данную нам область <math>\mathfrak{U}</math> сеткой из прямых линий, при этом точки пересечений линий — узлы — могут лежать как в области <math>\mathfrak{U}</math>, так и вне неё. Сначала вычислим значение функции в точках на границе. Ну, то есть мы-то с вами их знаем, а компьютер — ещё нет; слово «вычислить», с вашего позволения, я иногда буду использовать в смысле «записать в память компьютера». После этого заполним массив значений функции внутри области некоей константой, пусть средним арифметическим всех точек границы, конкретное значение константы не так важно, как кажется на первый взгляд; важно, чтобы оно не сильно отличалось от порядка значений на границе. Назовём это распределение значений функции 0-системой. А теперь начинаем, собственно говоря, считать нашу функцию. Берём каждую и-житую точку, считаем в ней значение функции как среднее арифметическое её соседей. Делаем так для всех точек на области и получаем 1-систему. А теперь повторим эти подсчёты для области <math>\mathfrak{U}</math> ещё несколько раз до достижения нужной точности, получив в конце концов n-систему, где n — число повторов. Сходимость метода пропорциональна числу узлов сетки. ==Практическая задача== Поставленная задача решалась с помощью программы, написанной на C#. Количество итераций — 1500. Из-за ограничений в вычислительных мощностях у меня дома мне не удалось просчитать весь график целиком, но лишь часть его — один сектор. Графики строились с помощью gnuplot. * [https://www.dropbox.com/s/7vx9272dimmdikn/1.jpg Картинка раз]; * [https://www.dropbox.com/s/a7d1f4fcxelslhd/2.jpg Картинка два]; <!--* [https://www.dropbox.com/s/a7d1f4fcxelslhd/2.jpg Картинка три]; автор скопипастил ссылку и забыл поменять--> ==Вывод== В данной работе была дана теория одного из численных метод решения уравнений в частных производных эллиптического типа – метод сеток, а в частности метод конечных разностей. Была написана программа по реализации этого метода, получены и проанализированы результаты решения задачи Дирихле уравнения Лапласа в заданной области. ==Список литературы== # Положий Г.П. — Уравнения математической физики; # Корн Г., Корн Т. — Справочник по математике для научных работников и инженеров; # ru.wikipedia.org. == Приложение== <code> namespace DirichletProblem { public class Point { public double[] x = new double[2000]; public double[] y = new double[2000]; } public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } private void makeComputing(object sender, EventArgs e) { const Int64 sizeOfUArray = 2001; Point points = new Point(); double[,] u = new double[sizeOfUArray, sizeOfUArray]; double[,] uTemp = new double[sizeOfUArray, sizeOfUArray]; int i, j; int n = 1000; // итерации int k = -n; int sizeOfPointsArray; double h = 0.05; // шаг int iterationCount = 0; for (i = 0; i < 2 * n; i++) // заполняем узлы сетку { points.x[i] = k * h; points.y[i] = k * h; k++; } sizeOfPointsArray = points.x.Count(); for (i = 0; i < sizeOfPointsArray; i++) // отбираем точки, лежащие внутри области и на ее границе; считаем U { for (j = 0; j < sizeOfPointsArray; j++) { double x = points.x[j]; double y = points.y[i]; if (isInAreaIncludeBorders(x, y)) { u[j, i] = borders(x, y); } } } for (int g = 1; g <= 20; g++) { iterationCount++; for (i = 1; i < sizeOfPointsArray; i++) // отбираем точки, лежащие внутри области; считаем U для внутренних точек { for (j = 1; j < sizeOfPointsArray; j++) { double x = points.x[j]; double y = points.y[i]; if (isInAreaExcludeBorders(x, y)) { double u1, u2, u3, u4; u1 = u[j + 1, i]; u2 = u[j - 1, i]; u3 = u[j, i + 1]; u4 = u[j, i - 1]; u[j, i] = (u1 + u2 + u3 + u4) / 4; } } } } TextWriter tw = new StreamWriter("data.txt"); for (i = 0; i < sizeOfPointsArray; i++) { for (j = 0; j < sizeOfPointsArray; j++) { if (u[j, i] != 0) tw.WriteLine(points.x[j].ToString() + " " + points.y[i].ToString() + " " + u[j, i].ToString()); } } tw.Close(); } private double borders(double x, double y) { return Math.Sqrt(y); } private bool isInAreaIncludeBorders(double x, double y) { if (((y >= -Math.Sqrt(8 + x - x * x - 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y <= Math.Sqrt(8 + x - x * x - 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y >= -Math.Sqrt(8 + x - x * x + 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y <= Math.Sqrt(8 + x - x * x + 4 * Math.Sqrt(4 + x)))) && ((y >= Math.Sqrt(1 - x * x)) || (y >= Math.Sqrt(1 - x * x)))) { return true; } else { return false; } } private bool isInAreaExcludeBorders(double x, double y) { if (((y > -Math.Sqrt(8 + x - x * x - 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y < Math.Sqrt(8 + x - x * x - 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y > -Math.Sqrt(8 + x - x * x + 4 * Math.Sqrt(4 + x))) || (y < Math.Sqrt(8 + x - x * x + 4 * Math.Sqrt(4 + x)))) && ((y > Math.Sqrt(1 - x * x)) || (y > Math.Sqrt(1 - x * x)))) // { return true; } else { return false; } } private void clearSquareArray(double[,] array) { int size = array.GetLength(0); for (int i = 0; i < size; i++) { for (int j = 0; j < size; j++) { array[i, j] = 0; } } } } } </code> iblxrr1k8wz1ynb32ckuidgoiciipye 14 13676 267661 252229 2026-05-21T08:38:24Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267661 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} {{wp|Mathematica}} [[Категория:Программное обеспечение]] rb7ar4g4ttajdeo40q4op2gupyr0sve 0 13694 267653 267436 2026-05-21T08:30:36Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267653 wikitext text/x-wiki {{wp}}{{Название учебника | Категория = Элементарная алгебра | Готовность = 0% }} == Содержание == * [[/Правило переноса слагаемого/]] {{Стадия кор|50%|2014-06-16}} * [[/Формулы сокращённого умножения/]] * [[/Линейные уравнения/]] * [[/Воссоздание минимального линейное уравнение/]] * [[/Линейные неравенства/]] * [[/Квадратные уравнения/]] {{Стадия кор|75%|2014-02-14}} * [[/Уравнения, сводящиеся к квадратным/]] {{Стадия кор|50%|2014-02-14}} * [[Иррациональные уравнения]] {{Стадия кор|75%|2015-01-05}} * [[/Двучленные уравнения/]] {{Стадия кор|50%|2014-02-18}} * [[/Дискриминант/]] {{Стадия кор|50%|2014-06-16}} * [[Тригонометрические функции]] [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Учебники без шаблона]] gmya5nzz40uh9g4yb86xrpov3cjkwgd 267777 267653 2026-05-21T10:49:30Z AllaBuraya 79455 267777 wikitext text/x-wiki {{wp}}{{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 0% }} == Содержание == * [[/Правило переноса слагаемого/]] {{Стадия кор|50%|2014-06-16}} * [[/Формулы сокращённого умножения/]] * [[/Линейные уравнения/]] * [[/Воссоздание минимального линейное уравнение/]] * [[/Линейные неравенства/]] * [[/Квадратные уравнения/]] {{Стадия кор|75%|2014-02-14}} * [[/Уравнения, сводящиеся к квадратным/]] {{Стадия кор|50%|2014-02-14}} * [[Иррациональные уравнения]] {{Стадия кор|75%|2015-01-05}} * [[/Двучленные уравнения/]] {{Стадия кор|50%|2014-02-18}} * [[/Дискриминант/]] {{Стадия кор|50%|2014-06-16}} * [[Тригонометрические функции]] [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Учебники без шаблона]] 3olq47pd5zwpdv1p2wri79f1pimuey0 14 13701 267660 252163 2026-05-21T08:38:10Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267660 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 0 14174 267498 257929 2026-05-20T12:15:56Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Программное обеспечение]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267498 wikitext text/x-wiki Взято с официального сайта [http://www.gnu.org/software/octave/ Octave]: <blockquote> <p>'''Octave''' – это высокоуровневый язык программирования, в первую очередь предназначенный для численных расчетов. Он предоставляет удобный консольный интерфейс для решения линейных и нелинейных задач численно, а также для проведения других численных экспериментов используя язык, большей частью совместимый с языком Matlab. Его также можно использовать как язык, ориентированый на [[w:Пакетное задание|пакетную обработку]] (batch-oriented language).</p> <p>В Octave есть обширный набор инструментов для решения общих проблем численной линейной алгебры, нахождения корней нелинейных уравнений, интегрирования стандартных функций, работы с полиномами и интегрирования обычных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. Он также легко расширяется пользовательскими функциями написанными на самом Octave или через динамически подключаемые модули, написанные на С++, С, Fortran или других языках.</p> </blockquote> Цель этого сборника уроков – дать базовые знания о большей части функциональности доступной в Octave. Существует более обширный и более продвинутый Викиучебник, связанный с программированием на Octave – это Викиучебник по [[:en:MATLAB Programming|программированию в MATLAB]]. Если вы уже знакомы с MATLAB, то для комфортного программирования на Octave, вам будет полезно прочитать о [[:en:MATLAB Programming/Differences between Octave and MATLAB|различиях между MATLAB и Octave]]. Octave является свободным ПО, распространяющимся под лицензией GNU GPL, и может во многих случаях заменить свой платный аналог. Так как синтаксис MATLAB практически полностью поддерживается в Octave, то в данных уроках будут описаны только основы Octave. Для получения более расширенных знаний обращайтесь к [[:en:MATLAB Programming|Викиучебнику по MATLAB]]. На данный момент доступны следующие уроки: Новичкам стоит начать с этих уроков: * [[/Основы Octave/]] * [[/Векторы и матрицы/]] * [[/Построение графиков/]] * [[/Текстовый и файловый вывод/]] * [[/Основные математические функции/]] * [[/Условия и циклы/]] * [[/Функции в Octave/]] * [[/Векторизация/]] А затем можно углубляться в более специализированные темы: * [[/Линейная алгебра/]] * [[/Дифференциальные уравнения/]] * [[/Полиномы/]] * [[/Множества/]] * [[/Разработка фильтров/]] == Автор учебника == * Henri Amuasi (updated by Carl Scheffler and Mike Pickles) [[:en:Octave Programming Tutorial]] == См. также == * [[GNU Octave]] — перевод документации. * [[commons:Category:Images with Octave source code]] * [//web.archive.org/web/20070607162216/http://www.aims.ac.za/wiki/index.php/Octave Octave] Большая часть англоязычного учебника была скопирована остюда. [[Категория:Программирование]] [[Категория:Учебники без шаблона]] dr1qnhu4wu248jnzqo8nlucqp50nfia 267499 267498 2026-05-20T12:16:06Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Языки программирования]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267499 wikitext text/x-wiki Взято с официального сайта [http://www.gnu.org/software/octave/ Octave]: <blockquote> <p>'''Octave''' – это высокоуровневый язык программирования, в первую очередь предназначенный для численных расчетов. Он предоставляет удобный консольный интерфейс для решения линейных и нелинейных задач численно, а также для проведения других численных экспериментов используя язык, большей частью совместимый с языком Matlab. Его также можно использовать как язык, ориентированый на [[w:Пакетное задание|пакетную обработку]] (batch-oriented language).</p> <p>В Octave есть обширный набор инструментов для решения общих проблем численной линейной алгебры, нахождения корней нелинейных уравнений, интегрирования стандартных функций, работы с полиномами и интегрирования обычных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. Он также легко расширяется пользовательскими функциями написанными на самом Octave или через динамически подключаемые модули, написанные на С++, С, Fortran или других языках.</p> </blockquote> Цель этого сборника уроков – дать базовые знания о большей части функциональности доступной в Octave. Существует более обширный и более продвинутый Викиучебник, связанный с программированием на Octave – это Викиучебник по [[:en:MATLAB Programming|программированию в MATLAB]]. Если вы уже знакомы с MATLAB, то для комфортного программирования на Octave, вам будет полезно прочитать о [[:en:MATLAB Programming/Differences between Octave and MATLAB|различиях между MATLAB и Octave]]. Octave является свободным ПО, распространяющимся под лицензией GNU GPL, и может во многих случаях заменить свой платный аналог. Так как синтаксис MATLAB практически полностью поддерживается в Octave, то в данных уроках будут описаны только основы Octave. Для получения более расширенных знаний обращайтесь к [[:en:MATLAB Programming|Викиучебнику по MATLAB]]. На данный момент доступны следующие уроки: Новичкам стоит начать с этих уроков: * [[/Основы Octave/]] * [[/Векторы и матрицы/]] * [[/Построение графиков/]] * [[/Текстовый и файловый вывод/]] * [[/Основные математические функции/]] * [[/Условия и циклы/]] * [[/Функции в Octave/]] * [[/Векторизация/]] А затем можно углубляться в более специализированные темы: * [[/Линейная алгебра/]] * [[/Дифференциальные уравнения/]] * [[/Полиномы/]] * [[/Множества/]] * [[/Разработка фильтров/]] == Автор учебника == * Henri Amuasi (updated by Carl Scheffler and Mike Pickles) [[:en:Octave Programming Tutorial]] == См. также == * [[GNU Octave]] — перевод документации. * [[commons:Category:Images with Octave source code]] * [//web.archive.org/web/20070607162216/http://www.aims.ac.za/wiki/index.php/Octave Octave] Большая часть англоязычного учебника была скопирована остюда. [[Категория:Программирование]] [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Языки программирования]] fq2uz6cb75pbuo4qfzfyuzd5vabz2ly 14 14192 267495 252170 2026-05-20T12:15:15Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267495 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Программное обеспечение]] [[Категория:Языки программирования]] 300gbqgsht3woaifpgo9ns4n8r4ctts 267496 267495 2026-05-20T12:15:20Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Программное обеспечение]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267496 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Языки программирования]] 1w093m7mrx9die6kdszl7ag3iszf81n 267497 267496 2026-05-20T12:15:24Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Языки программирования]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267497 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 4 15446 267492 267491 2026-05-20T12:06:48Z AllaBuraya 79455 /* Категоризация */ 267492 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедии]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситету]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки; * [[s: |Викитеке]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатнику]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению); * [[voy: |Викигиду]] — путеводители по городам и странам; * [[wikt: |Викисловарю]] — словарные статьи; <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. * Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> * Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li ><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li ><p >Создайте новую страницу с именем вида <code >Категория:<var >Название темы</var></code> по следующему образцу.</p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p > См. пример [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Алгебра Категория:Алгебра]. Для отнесения категории Алгебра к вышестоящей категории Математика используйте Править код: <pre> {{Категория|Полка|Математика}} </pre> <p > Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]]</p> <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским. (В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем.) </p> </p></li> <li ><p >Если речь идет о категоризации учебных пособий, создайте для данной темы страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>, взяв за основу следующий образец.</p> {{<nowiki />[[Шаблон:Страница темы |Страница темы]] | родитель = {{do wrap |Первая родительская тема| elt = var}} | родитель2 = {{do wrap |Вторая родительская тема| elt = var}} | описание = {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />w:<var >Статья</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} }}&lt;noinclude&gt; {{do wrap |&lt;!-- Пожалуйста добавляйте категории и ссылки на другие языковые разделы ниже. Спасибо. --&gt;}} &lt;/noinclude&gt; </li> См. пример [https://ru.wikibooks.org/w/index.php?search=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BA%D0%B0%3A%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F%3A%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA&wprov=acrw1_0 Полка:Алгебра]: <pre> {{Дополнительная Полка|родитель=Математика|описание=Учебники, посвященные алгебре}} </pre> <li ><p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц.</p></li> </ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник == После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] 4gvdj9kldz93xg5qq7vzokycagkn911 267493 267492 2026-05-20T12:09:14Z AllaBuraya 79455 /* Категоризация */ 267493 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедии]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситету]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки; * [[s: |Викитеке]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатнику]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению); * [[voy: |Викигиду]] — путеводители по городам и странам; * [[wikt: |Викисловарю]] — словарные статьи; <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. * Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> * Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li ><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li ><p >Создайте новую страницу с именем вида <code >Категория:<var >Название темы</var></code> по следующему образцу.</p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p > См. пример Категория:Пловы. Для отнесения категории к вышестоящей категории используйте Править код: <pre> [[Категория:Вторые блюда]] </pre> <p > Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]]</p> <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским. (В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем.) </p> </p></li> <li ><p >Если речь идет о категоризации учебных пособий, создайте для данной темы страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>, взяв за основу следующий образец.</p> {{<nowiki />[[Шаблон:Страница темы |Страница темы]] | родитель = {{do wrap |Первая родительская тема| elt = var}} | родитель2 = {{do wrap |Вторая родительская тема| elt = var}} | описание = {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />w:<var >Статья</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} }}&lt;noinclude&gt; {{do wrap |&lt;!-- Пожалуйста добавляйте категории и ссылки на другие языковые разделы ниже. Спасибо. --&gt;}} &lt;/noinclude&gt; </li> См. пример [https://ru.wikibooks.org/w/index.php?search=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BA%D0%B0%3A%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F%3A%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA&wprov=acrw1_0 Полка:Алгебра]: <pre> {{Дополнительная Полка|родитель=Математика|описание=Учебники, посвященные алгебре}} </pre> <li ><p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц.</p></li> </ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник == После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] rn3z6raf3abfz0dt1olfi9g9x14zto7 267494 267493 2026-05-20T12:11:35Z AllaBuraya 79455 /* Категоризация */ 267494 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедии]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситету]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки; * [[s: |Викитеке]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатнику]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению); * [[voy: |Викигиду]] — путеводители по городам и странам; * [[wikt: |Викисловарю]] — словарные статьи; <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. * Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> * Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li ><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li ><p >Создайте новую страницу с именем вида <code >Категория:<var >Название темы</var></code> по следующему образцу.</p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p > См. пример Категория:Пловы. Для отнесения категории к вышестоящей категории используйте Править код: <pre> [[Категория:Вторые блюда]] </pre> <p > Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]]</p> </p> </p></li> <li ><p >Если речь идет о категоризации учебных пособий, создайте для данной темы страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>, взяв за основу следующий образец.</p> {{<nowiki />[[Шаблон:Страница темы |Страница темы]] | родитель = {{do wrap |Первая родительская тема| elt = var}} | родитель2 = {{do wrap |Вторая родительская тема| elt = var}} | описание = {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />w:<var >Статья</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} }}&lt;noinclude&gt; {{do wrap |&lt;!-- Пожалуйста добавляйте категории и ссылки на другие языковые разделы ниже. Спасибо. --&gt;}} &lt;/noinclude&gt; </li> См. пример [https://ru.wikibooks.org/w/index.php?search=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BA%D0%B0%3A%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0&title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F%3A%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA&wprov=acrw1_0 Полка:Алгебра]: <pre> {{Дополнительная Полка|родитель=Математика|описание=Учебники, посвященные алгебре}} </pre> <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. (В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем.) <li ><p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц.</p></li> </ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник == После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] kqrxvuhp19mwdapn3qawj5cdd5wys64 267563 267494 2026-05-20T19:15:25Z AllaBuraya 79455 /* Категоризация */ 267563 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедии]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситету]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки; * [[s: |Викитеке]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатнику]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению); * [[voy: |Викигиду]] — путеводители по городам и странам; * [[wikt: |Викисловарю]] — словарные статьи; <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. * Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> * Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная полка:</p> <pre> {{Дополнительная полка | родитель1 = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. (В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем) <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p > См. пример Категория:Пловы. Для отнесения категории к вышестоящей категории используйте Править код: <pre> [[Категория:Вторые блюда]] </pre> <p > Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник == После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] o11dklao2znx4aosq4jx16hbxuk7h4b 267564 267563 2026-05-20T19:17:17Z AllaBuraya 79455 /* Категоризация */ 267564 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедии]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситету]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки; * [[s: |Викитеке]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатнику]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению); * [[voy: |Викигиду]] — путеводители по городам и странам; * [[wikt: |Викисловарю]] — словарные статьи; <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. * Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> * Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная полка:</p> <pre> {{Дополнительная полка | родитель1 = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. (В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем) <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p > См. пример Категория:Пловы. Для отнесения категории к вышестоящей категории используйте Править код: <pre> [[Категория:Вторые блюда]] </pre> <p > Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник == После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] 1hfo285u2svlja5zz2j551fwkoglp14 267570 267564 2026-05-21T06:59:33Z AllaBuraya 79455 /* Категоризация */ 267570 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедии]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситету]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки; * [[s: |Викитеке]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатнику]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению); * [[voy: |Викигиду]] — путеводители по городам и странам; * [[wikt: |Викисловарю]] — словарные статьи; <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. * Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> * Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник == После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] 4a2gzy28a4oxm14ujn7zx1n32ehjmyc 267571 267570 2026-05-21T07:22:31Z AllaBuraya 79455 267571 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. Учебные пособия и рецепты называются учебниками. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. * Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> * Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник == После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] g3porkd7ckecwiafw67jh6dsh4tm6f2 267572 267571 2026-05-21T07:23:14Z AllaBuraya 79455 /* Ссылка на Викиучебник */ 267572 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. Учебные пособия и рецепты называются учебниками. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. * Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> * Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник из других проектов== После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] 9t67zqmqs5jvk568est6voof3y8f6m8 267575 267572 2026-05-21T07:31:31Z AllaBuraya 79455 /* Одностраничный учебник */ 267575 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. Учебные пособия и рецепты называются учебниками. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. *Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. *Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Многостраничный учебник === Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебники, для чего подойдет следующий рецепт. * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник из других проектов== После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] dgifu651z5347d8xafxllwp1ic624um 267576 267575 2026-05-21T07:34:00Z AllaBuraya 79455 /* Многостраничный учебник */ 267576 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. Учебные пособия и рецепты называются учебниками. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. *Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. *Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Многостраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебник: * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник из других проектов== После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] 2mwnuu69qs8yk8kmgg68xxrb9bppq4m 267577 267576 2026-05-21T07:34:18Z AllaBuraya 79455 /* Одностраничный учебник */ 267577 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. Учебные пособия и рецепты называются учебниками. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. *Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. *Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Многостраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебник: * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности у учебника - Править, вставить/открыть Шаблон:Название учебника, заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник из других проектов== После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] 8jmfg8ipgumn79876gynf3vzml0xub7 267578 267577 2026-05-21T07:35:05Z AllaBuraya 79455 /* Степень готовности */ 267578 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. Учебные пособия и рецепты называются учебниками. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. *Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. *Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Многостраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебник: * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности учебного пособия - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник из других проектов== После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] qtkfibzol71q8wo10ir8wbyf4zv0k3l 267579 267578 2026-05-21T07:36:41Z AllaBuraya 79455 /* Типы страниц */ 267579 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, которые не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. *Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. *Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Многостраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебник: * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности учебного пособия - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник из других проектов== После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] 7mudm3hz9lkxri9652xk100625c77vs 267580 267579 2026-05-21T07:46:07Z AllaBuraya 79455 /* Категоризация */ 267580 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, которые не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. *Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. *Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Многостраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебник: * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности учебного пособия - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для классификации учебных пособий используются Категории и Полки. Для классификации рецептов используются только Категории. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для учебных пособий и рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник из других проектов== После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] 0qo470q28gwk4zgzkdwro4kjmgl754h 267694 267580 2026-05-21T09:02:27Z AllaBuraya 79455 /* Категоризация */ 267694 wikitext text/x-wiki {{Навигация}} {{Эссе}} {{Вкратце | Спешите поделиться собственной инструкцией по использованию новейшей JRH Foozilla 4.2 или решению линейных уравнений с одной неизвестной? [[#Создание нового учебника |Добро пожаловать!]] | Заметили ошибку в оформлении (орфографии, терминологии, …)? [[w:Википедия:Правьте смело |Правьте смело!]] | Очень нужная и полезная страница предложена к удалению? [[#Организационная деятельность |Примите участие в обсуждении!]] }} Принести пользу Викиучебнику по силам любому желающему. Здесь мы рассмотрим, <em >как именно</em> это можно сделать, — а заодно и как извлечь пользу <em >из</em> участия в проекте. == Два направления работы == Как и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа]], участие в Викиучебнике представлено двумя основными направлениями: * «тематическим» — [[#Создание нового учебника |созданием новых учебников]], дополнением существующих новым материалом (включая ссылки на ''авторитетные источники'' и иллюстрации), исправлением фактических ошибок; * «организационным» — выявлением и устранением существующих проблем в оформлении (и, в меньшей степени, — содержании) учебных материалов, поддержкой «вспомогательных» страниц, участием в обсуждениях, выполнением [[Викиучебник:Администраторы |административных действий]], {{lang |en|etc.}} Тем не менее, ''первичная цель'' в обоих случаях остается неизменной — сделать материалы проекта более ценными для читателей и создателей производных работ, а также сделать использование этих материалов и участие в работе над ними более удобным для тех, кому это может быть интересно. Участники, разумеется, могут преследовать собственные цели. В случае «тематического» направления, такой целью может быть получение критики на собственную работу, или же просто обеспечение к ней доступа всех заинтересованных лиц. Материалы, важные для профессиональной деятельности, конечно, можно опубликовать на «сетевых ресурсах» предприятия, но сколь прост будет к ним доступ «извне»? Напротив, материалы Викиучебника доступны едва ли не из любой точки мира и едва ли не с любого «сетевого» устройства. «Организационное» направление, по-видимому, будет наиболее интересным участникам-читателям, поскольку позволяет сделать поиск и чтение материалов более удобным, а также может привлечь к проекту новых авторов и, следовательно, — новый материал. == Типы страниц == В русском Викиучебнике существует несколько типов страниц: * учебные пособия, содержат [[Шаблон:Название учебника]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Каталог_учебников Каталоге учебников]. * рецепты, содержат [[Шаблон:Рецепт]]. Часть из них категоризированы - у них в шаблоне указана категория и их можно найти в [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Кулинарной книге]. * прочие страницы, которые не содержат данных шаблонов, поэтому не могут быть отнесены к Каталогу учебников или Кулинарной книге. == Создание нового учебника == Для создания нового учебника по конкретной теме крайне желательно наличие некоторого опыта в объяснении этой самой темы, — не важно, в «формальной обстановке» или «неформальной». Тем не менее, к созданию учебника можно приступить в любом случае, а в случае вопросов обратиться на [[Викиучебник:Общий форум|форум]]. === Новый учебник, или? === Перед внесением материала в проект следует проверить наличие близких по теме учебников или разделов — возможно, материал будет более уместен как новый раздел уже существующего учебника? Одновременно с этим можно будет выяснить название подходящих для нового учебника [[Викиучебник:Категоризация |тематических категорий.]] Удостоверьтесь также, что предлагаемый материал соответствует [[Викиучебник:Что такое Викиучебник |основным принципам]] именно <em >данного</em> проекта. Размещаемый здесь материал должен отвечать на вопрос «как?». В некоторых случаях, материал может подойти другим проектам [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]]: * [[w: |Википедия]] — если материал отвечает на вопрос «что такое?». Туда подойдут материалы описательного характера, описывающие какой-либо объект. * [[v: |Викиверситет]] — подойдут любые исследовательские и обучающие материалы: учебные курсы и методические указания, работы учащихся и требования к их оформлению, списки экзаменационных вопросов и списки литературы для подготовки * [[s: |Викитека]] — опубликованные («в печати») свободные работы — в том числе учебники и руководства, <em >а также их переводы</em> — не исключая и выполненные самими участниками Викитеки. Различие между Викитекой и Викиучебником прежде всего заключается в том, что в Викиучебнике изначально пишут свободные учебники. * [[q: |Викицитатник]] — сборники цитат (по авторству, теме, произведению) * [[voy: |Викигид]] — путеводители по городам и странам * [[wikt: |Викисловарь]] — словарные статьи <strong >Обратите внимание</strong>, что критерием освоения некоторых дисциплин (в частности, в сфере истории, филологии, философии) является знакомство ''с первоисточниками и критическими материалами'' по теме. ''Учебником'' по таким дисциплинам может оказаться, например, [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Что такое Викиучебник |собрание сочинений Шекспира]] (на правах ''первоисточника'') или сборник статей Википедии (как изложение идей, содержащихся ''в критике''.) Уместность материалов такого рода в Викиучебнике является предметом споров. По-видимому, первоисточники (в том числе аннотированные) следует в первую очередь предлагать Викитеке; обзор критики — Википедии; «практические задания» — Викиверситету. Викиучебник может служить разве что «инкубатором» для таких материалов. === Выбор названия === Название учебника указывается при его создании в [[ВУ:МС|мастере статей]]. Чтобы указать название учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Название. Чтобы указать название рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Название. Если поле Название в шаблоне пустое, то по умолчанию учебник/рецепт имеет название страницы, на которой он размещен. В названии учебника следует отразить конкретный ''предмет'' (умение, навык), которым (по мнению авторов) можно овладеть изучая его. Определенные усилия следует приложить к тому, чтобы название учебника не вводило в заблуждение — не использовало неоднозначных терминов и не было слишком уж общим. Так, название ''Ядро Linux'' будет уместно лишь для учебника, в котором рассмотрена сборка данного ядра, в деталях разобрано его внутреннее устройство, приведены примеры написания новых компонент и публикации разного рода изменений в рассылках разработчиков, использования команднострочных средств — а равно и файловых систем <code >/proc</code> и <code >/sys</code> — для настройки и извлечения разнообразной информации. <strong >Обратите внимание</strong>, что создание учебника автоматически резервирует [[Викиучебник:Категоризация#Категории страниц учебника |одноименную категорию]] для его страниц. Как следствие, создание учебника с названием, например, ''Бокрский язык'' сделает невозможным создание с таким названием <em >тематической</em> категории. Поэтому, для учебников следует использовать более развернутые названия (например: ''Разговорник бокрского языка''.). '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Например, [[Полка:Программирование]] - учебник [[Java]], [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Напитки Категория:Напитки] - рецепт [[Кофе]]. Если возникают сомнения относительно <em >названия</em> нового учебника или уместности нового материала в существующем учебнике, можно разместить материал [[Викиучебник:Личная страница участника |в «личном пространстве»]] и запросить мнение сообщества, — например, [[Викиучебник:Общий форум |на общем форуме.]]. Тем не менее, на данный момент рекомендуется все же создавать учебник сразу в основном пространстве. === Одностраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Готовые материалы небольшого объема (в пределах порядка 2000‒5000 слов) допустимо размещать «одной страницей». Для этого (предполагая использование «типового» ''пользовательского агента Всемирной паутины'') можно воспользоваться следующим рецептом. *Воспользуйтесь [[ВУ:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. *Разместите материал на странице согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению.) == Часть 1 == Текст == Часть 2 == Текст == Часть 3 == Текст == Примечания == {{tl |Примечания}} </pre> *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления нового материала. После внесения материала его желательно повторно просмотреть и устранить обнаруженные дефекты.</p></li> * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Многостраничный учебник === Учебные пособия могут быть одностраничными или многостраничными. <p>Для материалов (предполагаемого) объема порядка 2000 слов и более следует создавать многостраничные учебник: * Воспользуйтесь [[Викиучебник:МС|мастером статей]] для создания учебника. Там же вы можете выбрать название и ознакомится с основными правилами Викиучебника. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. * Создайте «главную страницу» учебника согласно следующему образцу. <pre> {{Название учебника |Категория = (Впишите сюда категорию/полку вашего учебника) |Описание = (Описание учебника одним предложением) |Готовность = (0%, 25%, 75% или 100% степени готовности) }} В данном учебнике мы рассмотрим… (краткое — в пределах 150 слов — описание предмета учебника, принятого автором подхода к изложению, {{lang |en|etc.}})</span> == Содержание == [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Глава 2|Глава 2]] [[/Глава 3|Глава 3]] [[/Глава 4|Глава 4]] [[/Глава 5|Глава 5]] или [[/Глава 1|Глава 1]] [[/Часть 1|Часть 1]] [[/Часть 2|Часть 2]] [[/Глава 2|Глава 2]] </pre> Если количество разделов — невелико, на ''главы'' материал можно не делить. С другой стороны, если материал достаточно дифференцирован, можно использовать ''двухуровневую'' систему наименования страниц учебника — <code >Название учебника/Главы́/Раздела</code>. Тем не менее, все же рекомендуется все главы писать как <code >Название учебника/Главы́</code> и добавляя подразделы только в содержании (см пример выше). *Используйте функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления страницы. *Воспользуйтесь ссылкой на какой-либо из несуществующих разделов учебника для его создания. Оформить страницу раздела можно соответственно данному выше [[#оформление страницы |образцу оформления]] одностраничного учебника, <em >обязательно используя,</em> {{tl |Готовность}}. «Аннотация» в начале страницы, разумеется, также должна относится к материалу данной отдельной страницы, а не учебника в целом. *После создания (дополнения) раздела — проверьте актуальность шаблона {{tl |Стадия кор}} в «Содержании» на «главной странице» учебника. * Чтобы указать, что учебник является одно- или многостраничным - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Тип - Одностраничный или Многостраничный. === Степень готовности === Чтобы указать степень готовности учебного пособия - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Готовность. ''Степень готовности'' учебников и составляющих их страниц указывается, с одной стороны, чтобы помочь читателю выбрать наиболее подходящий материал, с другой — как способ информирования участников о возможных направлениях улучшения материала. Определять степень готовности можно по-разному. Следующие соображения, однако, представляются применимыми в наиболее общем случае: # степень готовности должна прямо следовать из соответствия фактически представленного материала — заявленному в «аннотации»; предполагается, что <em >оценить</em> степень такого соответствия может любой знакомый с предметом участник проекта; # по-видимому, степень готовности учебника в целом <em >не должна превышать</em> степени готовности любого из ''основных разделов''; # решение о том, какие разделы считать «основными», принимается опять-таки на основании их соответствия «аннотации» к учебнику; в спорных случаях — решение остается за ''сообществом редакторов'' конкретного учебника. === Категоризация === : См. также: [[Викиучебник:Категоризация]], [[Викиучебник:Шаблоны]]. Для классификации учебных пособий используются Категории и Полки. Механизм полок работает на категориях, поэтому для учебного пособия нужна и полка, и категория. Для классификации рецептов используются только Категории. Для отнесения страниц основного пространства к тематическим и служебным категориям используется ряд шаблонов:<s>{{tl |Темы}}, {{tl |Готовность}} и {{tl |BookCat}}</s>, но так как {{tl|Название учебника}} теперь поддерживает всю катетеризацию внутри себя (включая все эти шаблоны), 3 этих шаблона теперь стали неактуальны - просьба, не использовать их при категоризации. Учебники размещаются на полках [[Викиучебник:Каталог учебников/Список]]. Чтобы указать полку для учебника - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Название учебника]], заполнить поле Категория (название полки). Рецепты размещаются в соответствующих категориях [https://ru.wikibooks.org/wiki/Викиучебник:Кулинарная_книга Викиучебник:Кулинарная книга]. Чтобы указать категорию для рецепта - Править, вставить/открыть [[Шаблон:Рецепт]], заполнить поле Категория. Раз в сутки проходит бот и размещает объекты в указанных полках/категориях. '''Важно''' - название учебника должно отличаться от названия полки, название рецепта должно отличаться от названия его категории, иначе объект будет некорректно категоризирован. Викиучебник постоянно развивается и накопленным материалам может стать «тесно» в рамках единой ''темы''. В таком случае, может быть полезно выделить часть из них в новую тему — для создания которой применима нижеследующая инструкция. Эта же инструкция будет полезна и в случае, когда для конкретной темы не создано ''категории всех учебников'' или страницы в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]]. (Что, отметим, весьма вероятно — коль скоро используемые на таких страницах шаблоны существуют в проекте лишь с декабря 2014 г.) <ol> <li><p >Воспользуйтесь [[Служебная:Поиск |поиском]], включив в него в том числе пространство имен [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] и [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не исключено, что подходящая или достаточно близкая тема уже существует.</p></li> <li> <p >Для учебных пособий для данной темы создайте страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code >Полка:<var >Название темы</var></code>. <p>Для полки, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Каталог учебников]], вставьте на страницу Шаблон:Основная полка: <pre> {{Основная полка | Описание = Описание темы со ссылкой на подходящую статью Википедии - '''''[[w:Статья |текст ссылки]]''''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Компьютеры]]. <p>Для полки, которая будет размещаться внутри основной полки, вставьте на страницу Шаблон:Дополнительная Полка:</p> <pre> {{Дополнительная Полка | родитель = Первая родительская тема | родитель2 = Вторая родительская тема | описание = Описание темы, со ссылкой на подходящую статью Википедии — '''[[w:Статья |текст ссылки]]''' }} </pre> <p>Например, [[Полка:Программирование]]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским полкам. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <li> <p >Для учебных пособий и рецептов для данной темы создайте новую страницу в пространстве [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]] - <code >Категория:<var >Название темы</var></code>. <p>Для категории, которая будет размещаться непосредственно на странице [[Викиучебник:Кулинарная книга]], укажите вышестоящую категорию [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Кулинарная_книга Кулинарная книга]. <p>Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Национальные_кухни Категория:Национальные кухни]. <p>Для категории, которая будет размещаться внутри основной категории, укажите ее вышестоящую категорию: </p> {{do wrap |Описание темы, со ссылкой на одноименную страницу в пространстве имен [[Special:PrefixIndex/Полка: |Полка:]] — <code ><nowiki >'''</nowiki>[[<nowiki />Полка:<var >Название темы</var> |<var >текст ссылки</var>]]<nowiki >'''</nowiki></code>.| elt = var}} [[<nowiki />Категория:<var >Первая родительская тема</var>]] [[<nowiki />Категория:<var >Вторая родительская тема</var>]] {{do wrap |Ссылки на данную категорию в других языковых разделах — если существуют.| elt = var}} <p >Например, [https://ru.wikibooks.org/wiki/Категория:Африканская_кухня Категория:Африканская кухня]. <p ><strong >Обратите внимание</strong>, что существующие в проекте шаблоны, поддерживающие пространство [[Special:PrefixIndex/Категория: |Категория:]], не позволяют отнести какую-либо тему более чем к двум родительским категориям. В случае необходимости, это ограничение можно обойти создав «дерево» или «цепь» тем. <p >Здесь же можно применить и шаблон {{tl |Нав}} — в случае, если аналогичные категории существуют и в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] <li> <p >На всех этапах выше полезно использовать функцию ''предварительного просмотра'' для проверки корректности оформления создаваемых страниц. </p> </li></ol> === Ссылка на Википедию === Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Википедии. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikipedia/Википедия - здесь указана статья [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[Шаблон:Wikipedia]] на страницу учебника, на странице появится плашка "В Википедии имеется статья по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[Аналитическая геометрия]]. Чтобы в учебнике сослаться на статью Википедии про блюдо, вставьте в учебник [[Шаблон:Рецепт]] (пример [[Плов]]). В карточку "Рецепт" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на страницу Википедии с текстом "в Википедии". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. === Перенос материала из других проектов === Содержание других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] также доступно (как правило) на условиях принятой в Викиучебнике лицензии [[:w:CC BY-SA|CC BY-SA]] 4.0 (или же на условиях менее строгих CC-BY или CC0), что позволяет сравнительно свободно ''заимствовать'' такой материал в данном проекте. Следует помнить, однако, что лицензии [[w:Creative Commons |Creative Commons]] требуют сохранения информации об ''авторстве'' материала. Для чего, в свою очередь, следует «взять на вооружение» следующие простые правила: # всегда указывать ''источник'' заимствования; ''желательно'' — в ''кратком описании'' соответствующего изменения (например: ''Перенесено из [[<nowiki />w:42 (число)]].''); если этого по какой-либо причине не было сделано, ''допустимо'' указать источник на «странице обсуждения»; # если переносимый материал подлежит удалению <em >из истории</em> исходного проекта (как, например, при удалении из проекта исходной страницы в целом), для сохранения авторства необходимо перенести ''полную историю изменений'' исходной страницы; сделать это может любой администратор по запросу участника на странице [[Викиучебник:Запросы к администраторам]]. Эти же правила применимы и при переносе материала между страницами Викиучебника, а равно и при заимствовании доступных на условиях CC BY-SA 4.0 (или менее строгих CC BY, CC0, {{lang |la|etc.}}) материалов любых других ресурсов Всемирной паутины; в последнем случае — с той лишь оговоркой, что необходимая информация об источнике и авторстве может оказаться слишком подробной для ''краткого описания.'' При этом, такую информацию ''необходимо'' привести на «странице обсуждения». Наконец, для заимствования материалов, условия распространения которых неизвестны или несовместимы с CC BY-SA 4.0, ''необходимо'' получить разрешение правообладателя [[w:Википедия:Получение разрешений |по форме OTRS]]. == Ссылка на Викиучебник из других проектов== После создания материала в Викиучебнике будет полезно установить его связь с другими проектами. Например, чтобы пользователи Википедии могли быстро перейти к инструкции либо рецепту, находящимся в Викиучебнике. Добавьте в объект Викиданных ссылку на статью в Викиучебнике. См. пример: [https://www.wikidata.org/wiki/Q134787 аналитическая геометрия], раздел Wikibooks/Викиучебники - здесь указана статья [[Аналитическая геометрия]]. Вставьте [[w:Шаблон:Викиучебник|Шаблон:Викиучебник]] в статью в Википедии, в ней появится плашка "Имеется Викиучебник по теме...". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. См. пример [[w:Аналитическая геометрия|Аналитическая геометрия]]. Одним из критериев для отнесения рецепта в Викиучебнике к [[Викиучебник:Кулинарная_книга/Хорошие_рецепты|категории хороших]] является наличие ссылки на него в Википедии. Чтобы сослаться на рецепт из Викиучебника в статье Википедии, вставьте в нее [[w:Шаблон:Блюдо|Шаблон:Блюдо]] (пример [[w:Плов|Плов]]). В карточку "Блюдо" в нижнюю часть карточки будет добавлена ссылка на викиучебник с текстом "Рецепт в Викиучебнике". Информация для шаблона будет извлечена из Викиданных. Чтобы сослаться на викиучебник '''в тексте статьи''' Википедии, нужно после выбранного утверждения создать ссылку (вверху Источник-Простая), вставить в нее шаблон [[w:Шаблон:Wikibooks-inline|Wikibooks-inline]], указать в шаблоне название статьи в викиучебнике. См. пример: [[w:Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]]. В Примечаниях появится ссылка "Книги по теме... в Викиучебнике". == Организационная деятельность == Любая «организационная деятельность» начинается с обсуждений. Тем участникам, которым она интересна, следует обратить внимание на следующие страницы. * [[Викиучебник:Общий форум]] * [[Викиучебник:К удалению]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения удаления страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К удалению/ |полный список]].) * [[Викиучебник:Запросы к администраторам]] * [[Викиучебник:К переименованию]] ([[:Категория:Викиучебник:Незакрытые обсуждения переименования страниц |текущие обсуждения]] '''·''' [[Special:PrefixIndex/Викиучебник:К переименованию/ |полный список]].) * [[Викиучебник:К восстановлению]] Следующие страницы также существуют в проекте, однако по различным причинам фактически не используются. * [[Викиучебник:Форум администраторов]] — коль скоро в проекте активны лишь два [[Викиучебник:Администраторы |администратора,]] для обсуждения возникающих между ними вопросов им вполне хватает личных «страниц обсуждения». * [[Викиучебник:Планы и заявки]] — изначально предназначалась для информирования сообщества о (планируемом) размещении нового материала и поиска заинтересованных в работе над ним. В настоящее время для этой цели, как правило, используется [[Викиучебник:Общий форум |общий форум.]] <strong >Обратите внимание</strong>, что ввиду сравнительно небольшой активности в проекте в целом, однотипные изменения количеством от пяти и более уже могут считаться ''массовыми'' и требовать предварительного согласования с сообществом Викиучебника (через [[Викиучебник:Общий форум |общий форум]]), — или ''сообществом редакторов учебника,'' если предполагаемые изменения затрагивают лишь один конкретный учебник. Разумеется, чтобы успешно применять и улучшать правила и руководства проекта, следует для начала их изучить, для чего будет полезно обратиться к странице [[Викиучебник:Список правил и руководств]] и категории [[:Категория:Викиучебник:Правила и руководства]]. Отметим отдельно, что хотя опыт участия в других проектах [[w:Фонд Викимедиа |Фонда]] может оказаться полезным и в Викиучебнике, отдельные правила, а равно и практика их применения, могут существенно отличаться. Так, например, правило [[w:Википедия:Чем не является Википедия#Не инструкция |«не инструкция»]] Википедии к Викиучебнику применимо [[Викиучебник:Что такое Викиучебник#Викиучебник — не энциклопедия |лишь с обратным знаком.]] Помочь решению «административных» вопросов может любой опытный участник — потратив собственное время и силы на оформление так называемого «предварительного итога» по конкретному обсуждению, а также, возможно, — устранив проблему или проблемы, явившиеся основанием для исходного запроса. Никаких особых «технических привилегий» («флагов») для этого не требуется. В некоторых случаях, [[Викиучебник:К удалению |запрос на удаление]] — или [[Викиучебник:Запросы к администраторам |запрос к администраторам]] в общем — может быть полностью исчерпан действиями непривилегированного участника. В таких случаях, администратору остается лишь формально «утвердить» итог и завершить обсуждение. Чтобы возразить против принятых администратором <em >действий,</em> следует переименовать раздел ''Итог'' в ''Оспоренный итог'' и привести собственный вариант разрешения проблемы и доводы в его пользу — <strong >обязательно подкрепив их</strong> ссылками на правила, принципы, или ''административную практику'' Викиучебника, или же (в отсутствие таковых) — других проектов [[w:Фонд Викимедиа |Фонда Викимедиа.]] С другой стороны, комментарии (пожелания, предложения) по использованной в «итоге» <em >формулировке</em> следует оставлять на «странице обсуждения» подводящего итог администратора. <strong >Обратите внимание</strong>, что обсуждение формально считается закрытым с момента подведения итога участником с соответствующими привилегиями; продолжить такое обсуждение можно лишь ''оспорив'' итог как указано выше. В некоторых случаях, подводящий итог участник может установить шаблон {{tl |закрыто}} — как напоминание о завершении обсуждения (в частности — при подведении итога после оспаривания.) В общем случае, однако, подобные шаблоны последовательно используются лишь для закрытия страниц в целом, а не отдельных обсуждений. Участникам, которым удается создавать новые запросы на выполнение административных действий чаще, чем администраторам удается подводить итоги по таким запросам, имеет смысл [[Викиучебник:Заявки на статус администратора |оформить заявку]] на получение привилегий администратора. == См. также == * [[Викиучебник:Что такое Викиучебник]] * [[Викиучебник:Справка]] * [[Викиучебник:Как использовать Викиучебник]] [[Категория:Викиучебник:Справка]] pmtki2fhwr57gt5eqn803mkgw4l0jn3 0 18169 267525 255000 2026-05-20T12:33:53Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267525 wikitext text/x-wiki {{Википедия}} Метод конечных элементов - это численный метод решения дифференциальных уравнений. В данной статье будет показан метод подсчёта и приведён код соответствующей программы на C++ (g++ 5.1.0; linux 4.0.x-ARCH). Для работы также потребуется MATLAB 4.0+ с возможностью вызова из терминала. ==Суть== Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение. Если говорить в матричных терминах, то собираются так называемые матрицы жёсткости (или матрица Дирихле) и масс. Далее на эти матрицы накладываются граничные условия (например, при условиях Неймана в матрицах не меняется ничего, а при условиях Дирихле из матриц вычёркиваются строки и столбцы, соответствующие граничным узлам, так как в силу краевых условий значение соответствующих компонент решения известно). Затем собирается система линейных уравнений и решается одним из известных методов. ==Матрица жёсткости== '''Матрица жёсткости (матрица Дирихле)''' — матрица особого вида, использующаяся в [[w:Метод конечных элементов |методе конечных элементов]] для решения [[w:Дифференциальное уравнение в частных производных |дифференциальных уравнений в частных производных]]. Она применяется при решениях задач электродинамики и механики. Обычно матрица жёсткости получается [[w:Разреженная матрица |разреженной]], то есть содержащая большое количество нулей. Для работы с подобным типом матриц созданы специальные библиотеки (''mtl4'', ''SparseLib++'', ''SPARSPAK'' и другие) ==== Определение ==== Элементы матрицы жёсткости <math>A^k</math> в общем случае равны : <math> A_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math> Например, если дано [[w:Уравнение Пуассона |уравнение Пуассона]] : <math> -\nabla^2 u = f</math> в пространстве <math>\Omega</math> и граничные условния — это <math>u = 0 . </math> Представим функцию как ряд: : <math> u \approx u^h = u_1\varphi_1+\cdots+u_n\varphi_n.</math> :: <math>u_i</math> — это известные значения функции в узлах, а <math>\varphi</math> — некие базисные функции то : <math> A^{[k]}_{ij} = \int_{triangle}\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math> === Создание матрицы === ==== Для одного треугольника ==== Пусть дан один конечный элемент, для простоты — треугольный. Матрица жёсткости, по сути, задаёт связи между узлами. Так как у элемента три узла (в локальной нумерации — 0, 1 и 2), то матрица будет иметь вид : <math> \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02}\\ S_{10} & S_{11} & S_{12}\\ S_{20} & S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} </math> В дальнейшем матрицу для одного треугольника будем называть ''локальной'', для всей сетки сразу - ''глобальной''. В общем случае, элементы <math>S_{ij}</math> определяются через линейные функции : <math>\alpha_1 = \cfrac {1} {4A} \big( (x_1y_2 + x_2y_1) \; + \; (y_1 - y_2)x \; + \; (x_2 - x_1)y \big) . </math> :: где ::: <math>A</math> — площадь треугольного элемента. <math>\alpha_2</math> и <math>\alpha_3</math> получаются из <math>\alpha_1</math> цикличной перестановкой индексов. Удобно искать <math>A</math> как определитель матрицы : <math> A = \det \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix} </math> Сами <math>S_{ij} = \int (\nabla \alpha_i) (\nabla \alpha_j) dS \;\;\;\;\; i, j = 0, 1, 2</math> В описываемом случае для каждого треугольника составляется такая матрица: : <math> \begin{bmatrix} S_{00} = 0 & S_{01} = \cfrac {(y_{1} - y_{2})(y_{2} - y_{0}) + (x_{2} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} {4A} & S_{02} = \cfrac {(y_{2} - y_{1})(y_{1} - y_{0}) + (x_{1} - x_{2})(x_{0} - x_{1})} {4A} \\ S_{10} = \cfrac {(y_{0} - y_{2})(y_{2} - y_{1}) + (x_{2} - x_{0})(x_{1} - x_{2})} {4A} & S_{11} = 0 & S_{12} = \cfrac {(y_{2} - y_{0})(y_{0} - y_{1}) + (x_{0} - x_{2})(x_{1} - x_{0})} {4A} \\ S_{20} = \cfrac {(y_{0} - y_{1})(y_{1} - y_{2}) + (x_{1} - x_{0})(x_{2} - x_{1})} {4A} & S_{21} = \cfrac {(y_{1} - y_{0})(y_{0} - y_{2}) + (x_{0} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} {4A} & S_{22} = 0 \end{bmatrix} </math> ==== Первый вид обобщения на несколько треугольников - сшивание ==== [[Файл:Stiffness matrix - adding triangles.png|thumb|right|350px]] Для того, чтобы сделать из многих раздельных матриц, полученных выше, одну большую матрицу, описывающую отношения между узлами ''всей'' области расчёта, необходимо произвести процедуру объединения матриц. Пусть символ <math>d</math> обозначает разделённые элементы (рис. а), а символ <math>c</math> — объединённые элементы (рис. б). Обозначим <math>u_d^T = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 \end{bmatrix}</math> — вектор-строку значений функции в вершинах двух треугольников (см.рис). Символ <math>u^T</math> обозначает [[Транспонированная матрица|транспонирование]] матрицы <math>u . </math> То есть, это вектор значений функции в шести узлах треугольников. Очевидно, что при объединении оных получится вектор <math>u_c</math>, содержащий только четыре компоненты. Преобразование происходит по схеме : <math> u_d = Cu_c \; \Leftrightarrow \; \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \end{bmatrix} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & 1 & & \\ & & & 1 \\ 1 & & & \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ \end{bmatrix} </math> Нумерация, конечно же, произвольная: необходимо равенство функции в соответствующих вершинах. Матрицу <math>C</math> называют матрицей преобразования, а само уравнение называют связанной системой. Запишем теперь матрицу жёсткости для двух треугольников: <math> S_d = \begin{bmatrix} S^{(1)} & 0 \\ 0 & S^{(2)} \end{bmatrix} \; \Leftrightarrow \; \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02} & & & \\ S_{10} & S_{11} & S_{12} & & & \\ S_{20} & S_{21} & S_{22} & & & \\ & & & S_{33} & S_{34} & S_{35} \\ & & & S_{43} & S_{44} & S_{45} \\ & & & S_{53} & S_{54} & S_{55} \\ \end{bmatrix} </math> Результирующая матрица <math>S_{global} = C^T S_d C = </math> : <math> = \begin{bmatrix} S_{00}^{(1)} + S_{55}^{(2)} & S_{01}^{(1)} + S_{53}^{(2)} & S_{02}^{(1)} & S_{54}^{(2)} \\ S_{10}^{(1)} + S_{35}^{(2)} & S_{11}^{(1)} + S_{33}^{(2)} & S_{12}^{(1)} & S_{34}^{(2)} \\ S_{20}^{(1)} & S_{20}^{(1)} & S_{22}^{(1)} & 0 \\ S_{45}^{(2)} & S_{43}^{(2)} & 0 & S_{44}^{(2)} \\ \end{bmatrix} </math> То есть, на каждом следующем шаге необходимо добавлять новые элементы к уже существующим. ==== Второй вид обобщения на несколько треугольников - дозаписывание ==== [[File:Mesh FEM.png|thumb|right|350px]] Пусть есть область, представленная и разбитая на треугольники так, как преставлено на рисунке. Пусть данная сетка содержит <math>N</math> узлов. Создадим глобальную матрицу <math>\mathfrak{S}</math> (размера, очевидно, <math>N \times N</math>) и заполним её нулями. Начнём строить локальные матрицы <math>S</math> для треугольников, например, для <math>\Delta 036 . </math> Введём локальную нумерацию для данного треугольника: пусть его верхняя вершина имеет локальный номер <math>0</math>, далее по часовой стрелке <math>1</math> и <math>2</math>. Иначе говоря, пусть ''глобальным'' номерам <math>0, 3, 6</math> соответствуют ''локальные'' номера <math>0, 1, 2</math> соответственно. Составим матрицу для этого треугольника так, как описано выше, получив что-то типа : <math> S = \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02} \\ S_{10} & S_{11} & S_{12} \\ S_{20} & S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} </math> Теперь заменим локальную нумерацию на глобальную. То есть запишем ''локальное'' число <math>S_{00}</math> как ''глобальное'' число <math>\mathfrak{S_{00}}</math>, <math>S_{01}</math> - как <math>\mathfrak{S_{03}}</math>, <math>S_{02}</math> - как <math>\mathfrak{S_{06}}</math> и так далее. Получим : <math> \mathfrak{S} = \begin{bmatrix} S_{00} & 0 & 0 & S_{03} & 0 & 0 & S_{06} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ S_{10} & 0 & 0 & S_{13} & 0 & 0 & S_{16} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ S_{20} & 0 & 0 & S_{23} & 0 & 0 & S_{26} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> С остальными треугольниками поступаем аналогично. Необходимо помнить, что надо "дописать" число в глобальную ячейку, то есть прибавить к уже существующему. ==Матрица масс== Матрица масс собирается по тем же правилам, но чуть по другим формулам. Создаётся матрица <math>S</math> размеров три на три, затем говорится, что : <math>C_1 = \cfrac {(x_2 - x_1) (x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1)} {4A} </math> : <math>C_2 = \cfrac {(x_3 - x_2) (x_1 - x_2) + (y_3 - y_2)(y_1 - y_2)} {4A} </math> : <math>C_3 = \cfrac {(x_1 - x_3) (x_2 - x_3) + (y_1 - y_3)(y_2 - y_3)} {4A} </math> :* <math>S_{22} = S_{22} + C_1 </math> :: <math>S_{23} = S_{23} - C_1 </math> :: <math>S_{32} = S_{32} - C_1 </math> :: <math>S_{33} = S_{33} + C_1 </math> :* <math>S_{33} = S_{33} + C_2 </math> :: <math>S_{31} = S_{31} - C_2 </math> :: <math>S_{13} = S_{13} - C_2 </math> :: <math>S_{11} = S_{11} + C_2 </math> :* <math>S_{11} = S_{11} + C_3 </math> :: <math>S_{12} = S_{12} - C_3 </math> :: <math>S_{21} = S_{21} - C_3 </math> :: <math>S_{22} = S_{22} + C_3 </math> :: где ::* <math>A</math> - площадь данного треугольника, которая считается, как в предыдущей главе. ::* <math>C_2</math> и <math>C_3</math> получаются из <math>C_1</math> циклической перестановкой, равно как второй и третий блок элементов матрицы из первого. После чего полученная матрица <math>S</math> записывается в матрицу <math>\mathfrak{S}</math> любым известным читателю способом. В коде используется метод дозаписи, приведённый выше. ==Учёт граничных условий== ===Условия Дирихле=== В случае [[w:Задача Дирихле |граничных условий первого рода]] необходимо изменить матрицу <math>\mathfrak{S} . </math> Граничное условие гласит, что функция в узлах на границе равна нулю. Для узла <math>u_{i,j}</math> необходимо вычеркнуть <math>i</math>-тый столбец и <math>j</math>-ую строку в матрице <math>\mathfrak{S} , </math> а также вычеркнуть сам узел из массива узлов решётки. ===Условия Неймана=== В случае [[w:Задача Неймана |граничных условий второго рода]] глобальная матрица не меняется. ==Код== Из-за большого объёма кода он был помещён на [[/Код|подстраницу]]. == Литература == * Zienkiewicz, K. Morgan — Finite elements and approximation, 1983. * P.P. Silvester, R.L. Ferrari — Finite elements for electrical engineers, 1986. * E. Suli — Finite Element Methods for Partial Differential Equations, 2011 * K.J. Bathe, E.L. Wilson — Numerical methods in finite element analysis, 1982 [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Математика]] ow4xbxhdtowkpfftj71dds62xh5zuml 267526 267525 2026-05-20T12:34:05Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267526 wikitext text/x-wiki {{Википедия}} Метод конечных элементов - это численный метод решения дифференциальных уравнений. В данной статье будет показан метод подсчёта и приведён код соответствующей программы на C++ (g++ 5.1.0; linux 4.0.x-ARCH). Для работы также потребуется MATLAB 4.0+ с возможностью вызова из терминала. ==Суть== Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение. Если говорить в матричных терминах, то собираются так называемые матрицы жёсткости (или матрица Дирихле) и масс. Далее на эти матрицы накладываются граничные условия (например, при условиях Неймана в матрицах не меняется ничего, а при условиях Дирихле из матриц вычёркиваются строки и столбцы, соответствующие граничным узлам, так как в силу краевых условий значение соответствующих компонент решения известно). Затем собирается система линейных уравнений и решается одним из известных методов. ==Матрица жёсткости== '''Матрица жёсткости (матрица Дирихле)''' — матрица особого вида, использующаяся в [[w:Метод конечных элементов |методе конечных элементов]] для решения [[w:Дифференциальное уравнение в частных производных |дифференциальных уравнений в частных производных]]. Она применяется при решениях задач электродинамики и механики. Обычно матрица жёсткости получается [[w:Разреженная матрица |разреженной]], то есть содержащая большое количество нулей. Для работы с подобным типом матриц созданы специальные библиотеки (''mtl4'', ''SparseLib++'', ''SPARSPAK'' и другие) ==== Определение ==== Элементы матрицы жёсткости <math>A^k</math> в общем случае равны : <math> A_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math> Например, если дано [[w:Уравнение Пуассона |уравнение Пуассона]] : <math> -\nabla^2 u = f</math> в пространстве <math>\Omega</math> и граничные условния — это <math>u = 0 . </math> Представим функцию как ряд: : <math> u \approx u^h = u_1\varphi_1+\cdots+u_n\varphi_n.</math> :: <math>u_i</math> — это известные значения функции в узлах, а <math>\varphi</math> — некие базисные функции то : <math> A^{[k]}_{ij} = \int_{triangle}\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math> === Создание матрицы === ==== Для одного треугольника ==== Пусть дан один конечный элемент, для простоты — треугольный. Матрица жёсткости, по сути, задаёт связи между узлами. Так как у элемента три узла (в локальной нумерации — 0, 1 и 2), то матрица будет иметь вид : <math> \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02}\\ S_{10} & S_{11} & S_{12}\\ S_{20} & S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} </math> В дальнейшем матрицу для одного треугольника будем называть ''локальной'', для всей сетки сразу - ''глобальной''. В общем случае, элементы <math>S_{ij}</math> определяются через линейные функции : <math>\alpha_1 = \cfrac {1} {4A} \big( (x_1y_2 + x_2y_1) \; + \; (y_1 - y_2)x \; + \; (x_2 - x_1)y \big) . </math> :: где ::: <math>A</math> — площадь треугольного элемента. <math>\alpha_2</math> и <math>\alpha_3</math> получаются из <math>\alpha_1</math> цикличной перестановкой индексов. Удобно искать <math>A</math> как определитель матрицы : <math> A = \det \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix} </math> Сами <math>S_{ij} = \int (\nabla \alpha_i) (\nabla \alpha_j) dS \;\;\;\;\; i, j = 0, 1, 2</math> В описываемом случае для каждого треугольника составляется такая матрица: : <math> \begin{bmatrix} S_{00} = 0 & S_{01} = \cfrac {(y_{1} - y_{2})(y_{2} - y_{0}) + (x_{2} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} {4A} & S_{02} = \cfrac {(y_{2} - y_{1})(y_{1} - y_{0}) + (x_{1} - x_{2})(x_{0} - x_{1})} {4A} \\ S_{10} = \cfrac {(y_{0} - y_{2})(y_{2} - y_{1}) + (x_{2} - x_{0})(x_{1} - x_{2})} {4A} & S_{11} = 0 & S_{12} = \cfrac {(y_{2} - y_{0})(y_{0} - y_{1}) + (x_{0} - x_{2})(x_{1} - x_{0})} {4A} \\ S_{20} = \cfrac {(y_{0} - y_{1})(y_{1} - y_{2}) + (x_{1} - x_{0})(x_{2} - x_{1})} {4A} & S_{21} = \cfrac {(y_{1} - y_{0})(y_{0} - y_{2}) + (x_{0} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} {4A} & S_{22} = 0 \end{bmatrix} </math> ==== Первый вид обобщения на несколько треугольников - сшивание ==== [[Файл:Stiffness matrix - adding triangles.png|thumb|right|350px]] Для того, чтобы сделать из многих раздельных матриц, полученных выше, одну большую матрицу, описывающую отношения между узлами ''всей'' области расчёта, необходимо произвести процедуру объединения матриц. Пусть символ <math>d</math> обозначает разделённые элементы (рис. а), а символ <math>c</math> — объединённые элементы (рис. б). Обозначим <math>u_d^T = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 \end{bmatrix}</math> — вектор-строку значений функции в вершинах двух треугольников (см.рис). Символ <math>u^T</math> обозначает [[Транспонированная матрица|транспонирование]] матрицы <math>u . </math> То есть, это вектор значений функции в шести узлах треугольников. Очевидно, что при объединении оных получится вектор <math>u_c</math>, содержащий только четыре компоненты. Преобразование происходит по схеме : <math> u_d = Cu_c \; \Leftrightarrow \; \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \end{bmatrix} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & 1 & & \\ & & & 1 \\ 1 & & & \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ \end{bmatrix} </math> Нумерация, конечно же, произвольная: необходимо равенство функции в соответствующих вершинах. Матрицу <math>C</math> называют матрицей преобразования, а само уравнение называют связанной системой. Запишем теперь матрицу жёсткости для двух треугольников: <math> S_d = \begin{bmatrix} S^{(1)} & 0 \\ 0 & S^{(2)} \end{bmatrix} \; \Leftrightarrow \; \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02} & & & \\ S_{10} & S_{11} & S_{12} & & & \\ S_{20} & S_{21} & S_{22} & & & \\ & & & S_{33} & S_{34} & S_{35} \\ & & & S_{43} & S_{44} & S_{45} \\ & & & S_{53} & S_{54} & S_{55} \\ \end{bmatrix} </math> Результирующая матрица <math>S_{global} = C^T S_d C = </math> : <math> = \begin{bmatrix} S_{00}^{(1)} + S_{55}^{(2)} & S_{01}^{(1)} + S_{53}^{(2)} & S_{02}^{(1)} & S_{54}^{(2)} \\ S_{10}^{(1)} + S_{35}^{(2)} & S_{11}^{(1)} + S_{33}^{(2)} & S_{12}^{(1)} & S_{34}^{(2)} \\ S_{20}^{(1)} & S_{20}^{(1)} & S_{22}^{(1)} & 0 \\ S_{45}^{(2)} & S_{43}^{(2)} & 0 & S_{44}^{(2)} \\ \end{bmatrix} </math> То есть, на каждом следующем шаге необходимо добавлять новые элементы к уже существующим. ==== Второй вид обобщения на несколько треугольников - дозаписывание ==== [[File:Mesh FEM.png|thumb|right|350px]] Пусть есть область, представленная и разбитая на треугольники так, как преставлено на рисунке. Пусть данная сетка содержит <math>N</math> узлов. Создадим глобальную матрицу <math>\mathfrak{S}</math> (размера, очевидно, <math>N \times N</math>) и заполним её нулями. Начнём строить локальные матрицы <math>S</math> для треугольников, например, для <math>\Delta 036 . </math> Введём локальную нумерацию для данного треугольника: пусть его верхняя вершина имеет локальный номер <math>0</math>, далее по часовой стрелке <math>1</math> и <math>2</math>. Иначе говоря, пусть ''глобальным'' номерам <math>0, 3, 6</math> соответствуют ''локальные'' номера <math>0, 1, 2</math> соответственно. Составим матрицу для этого треугольника так, как описано выше, получив что-то типа : <math> S = \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02} \\ S_{10} & S_{11} & S_{12} \\ S_{20} & S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} </math> Теперь заменим локальную нумерацию на глобальную. То есть запишем ''локальное'' число <math>S_{00}</math> как ''глобальное'' число <math>\mathfrak{S_{00}}</math>, <math>S_{01}</math> - как <math>\mathfrak{S_{03}}</math>, <math>S_{02}</math> - как <math>\mathfrak{S_{06}}</math> и так далее. Получим : <math> \mathfrak{S} = \begin{bmatrix} S_{00} & 0 & 0 & S_{03} & 0 & 0 & S_{06} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ S_{10} & 0 & 0 & S_{13} & 0 & 0 & S_{16} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ S_{20} & 0 & 0 & S_{23} & 0 & 0 & S_{26} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> С остальными треугольниками поступаем аналогично. Необходимо помнить, что надо "дописать" число в глобальную ячейку, то есть прибавить к уже существующему. ==Матрица масс== Матрица масс собирается по тем же правилам, но чуть по другим формулам. Создаётся матрица <math>S</math> размеров три на три, затем говорится, что : <math>C_1 = \cfrac {(x_2 - x_1) (x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1)} {4A} </math> : <math>C_2 = \cfrac {(x_3 - x_2) (x_1 - x_2) + (y_3 - y_2)(y_1 - y_2)} {4A} </math> : <math>C_3 = \cfrac {(x_1 - x_3) (x_2 - x_3) + (y_1 - y_3)(y_2 - y_3)} {4A} </math> :* <math>S_{22} = S_{22} + C_1 </math> :: <math>S_{23} = S_{23} - C_1 </math> :: <math>S_{32} = S_{32} - C_1 </math> :: <math>S_{33} = S_{33} + C_1 </math> :* <math>S_{33} = S_{33} + C_2 </math> :: <math>S_{31} = S_{31} - C_2 </math> :: <math>S_{13} = S_{13} - C_2 </math> :: <math>S_{11} = S_{11} + C_2 </math> :* <math>S_{11} = S_{11} + C_3 </math> :: <math>S_{12} = S_{12} - C_3 </math> :: <math>S_{21} = S_{21} - C_3 </math> :: <math>S_{22} = S_{22} + C_3 </math> :: где ::* <math>A</math> - площадь данного треугольника, которая считается, как в предыдущей главе. ::* <math>C_2</math> и <math>C_3</math> получаются из <math>C_1</math> циклической перестановкой, равно как второй и третий блок элементов матрицы из первого. После чего полученная матрица <math>S</math> записывается в матрицу <math>\mathfrak{S}</math> любым известным читателю способом. В коде используется метод дозаписи, приведённый выше. ==Учёт граничных условий== ===Условия Дирихле=== В случае [[w:Задача Дирихле |граничных условий первого рода]] необходимо изменить матрицу <math>\mathfrak{S} . </math> Граничное условие гласит, что функция в узлах на границе равна нулю. Для узла <math>u_{i,j}</math> необходимо вычеркнуть <math>i</math>-тый столбец и <math>j</math>-ую строку в матрице <math>\mathfrak{S} , </math> а также вычеркнуть сам узел из массива узлов решётки. ===Условия Неймана=== В случае [[w:Задача Неймана |граничных условий второго рода]] глобальная матрица не меняется. ==Код== Из-за большого объёма кода он был помещён на [[/Код|подстраницу]]. == Литература == * Zienkiewicz, K. Morgan — Finite elements and approximation, 1983. * P.P. Silvester, R.L. Ferrari — Finite elements for electrical engineers, 1986. * E. Suli — Finite Element Methods for Partial Differential Equations, 2011 * K.J. Bathe, E.L. Wilson — Numerical methods in finite element analysis, 1982 [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Математика]] [[Категория:Алгебра]] j67vab0pkq2v0yh5s8ohjf7xromjd6w 267640 267526 2026-05-21T08:24:47Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267640 wikitext text/x-wiki {{Википедия}} Метод конечных элементов - это численный метод решения дифференциальных уравнений. В данной статье будет показан метод подсчёта и приведён код соответствующей программы на C++ (g++ 5.1.0; linux 4.0.x-ARCH). Для работы также потребуется MATLAB 4.0+ с возможностью вызова из терминала. ==Суть== Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение. Если говорить в матричных терминах, то собираются так называемые матрицы жёсткости (или матрица Дирихле) и масс. Далее на эти матрицы накладываются граничные условия (например, при условиях Неймана в матрицах не меняется ничего, а при условиях Дирихле из матриц вычёркиваются строки и столбцы, соответствующие граничным узлам, так как в силу краевых условий значение соответствующих компонент решения известно). Затем собирается система линейных уравнений и решается одним из известных методов. ==Матрица жёсткости== '''Матрица жёсткости (матрица Дирихле)''' — матрица особого вида, использующаяся в [[w:Метод конечных элементов |методе конечных элементов]] для решения [[w:Дифференциальное уравнение в частных производных |дифференциальных уравнений в частных производных]]. Она применяется при решениях задач электродинамики и механики. Обычно матрица жёсткости получается [[w:Разреженная матрица |разреженной]], то есть содержащая большое количество нулей. Для работы с подобным типом матриц созданы специальные библиотеки (''mtl4'', ''SparseLib++'', ''SPARSPAK'' и другие) ==== Определение ==== Элементы матрицы жёсткости <math>A^k</math> в общем случае равны : <math> A_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math> Например, если дано [[w:Уравнение Пуассона |уравнение Пуассона]] : <math> -\nabla^2 u = f</math> в пространстве <math>\Omega</math> и граничные условния — это <math>u = 0 . </math> Представим функцию как ряд: : <math> u \approx u^h = u_1\varphi_1+\cdots+u_n\varphi_n.</math> :: <math>u_i</math> — это известные значения функции в узлах, а <math>\varphi</math> — некие базисные функции то : <math> A^{[k]}_{ij} = \int_{triangle}\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math> === Создание матрицы === ==== Для одного треугольника ==== Пусть дан один конечный элемент, для простоты — треугольный. Матрица жёсткости, по сути, задаёт связи между узлами. Так как у элемента три узла (в локальной нумерации — 0, 1 и 2), то матрица будет иметь вид : <math> \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02}\\ S_{10} & S_{11} & S_{12}\\ S_{20} & S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} </math> В дальнейшем матрицу для одного треугольника будем называть ''локальной'', для всей сетки сразу - ''глобальной''. В общем случае, элементы <math>S_{ij}</math> определяются через линейные функции : <math>\alpha_1 = \cfrac {1} {4A} \big( (x_1y_2 + x_2y_1) \; + \; (y_1 - y_2)x \; + \; (x_2 - x_1)y \big) . </math> :: где ::: <math>A</math> — площадь треугольного элемента. <math>\alpha_2</math> и <math>\alpha_3</math> получаются из <math>\alpha_1</math> цикличной перестановкой индексов. Удобно искать <math>A</math> как определитель матрицы : <math> A = \det \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix} </math> Сами <math>S_{ij} = \int (\nabla \alpha_i) (\nabla \alpha_j) dS \;\;\;\;\; i, j = 0, 1, 2</math> В описываемом случае для каждого треугольника составляется такая матрица: : <math> \begin{bmatrix} S_{00} = 0 & S_{01} = \cfrac {(y_{1} - y_{2})(y_{2} - y_{0}) + (x_{2} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} {4A} & S_{02} = \cfrac {(y_{2} - y_{1})(y_{1} - y_{0}) + (x_{1} - x_{2})(x_{0} - x_{1})} {4A} \\ S_{10} = \cfrac {(y_{0} - y_{2})(y_{2} - y_{1}) + (x_{2} - x_{0})(x_{1} - x_{2})} {4A} & S_{11} = 0 & S_{12} = \cfrac {(y_{2} - y_{0})(y_{0} - y_{1}) + (x_{0} - x_{2})(x_{1} - x_{0})} {4A} \\ S_{20} = \cfrac {(y_{0} - y_{1})(y_{1} - y_{2}) + (x_{1} - x_{0})(x_{2} - x_{1})} {4A} & S_{21} = \cfrac {(y_{1} - y_{0})(y_{0} - y_{2}) + (x_{0} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} {4A} & S_{22} = 0 \end{bmatrix} </math> ==== Первый вид обобщения на несколько треугольников - сшивание ==== [[Файл:Stiffness matrix - adding triangles.png|thumb|right|350px]] Для того, чтобы сделать из многих раздельных матриц, полученных выше, одну большую матрицу, описывающую отношения между узлами ''всей'' области расчёта, необходимо произвести процедуру объединения матриц. Пусть символ <math>d</math> обозначает разделённые элементы (рис. а), а символ <math>c</math> — объединённые элементы (рис. б). Обозначим <math>u_d^T = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 \end{bmatrix}</math> — вектор-строку значений функции в вершинах двух треугольников (см.рис). Символ <math>u^T</math> обозначает [[Транспонированная матрица|транспонирование]] матрицы <math>u . </math> То есть, это вектор значений функции в шести узлах треугольников. Очевидно, что при объединении оных получится вектор <math>u_c</math>, содержащий только четыре компоненты. Преобразование происходит по схеме : <math> u_d = Cu_c \; \Leftrightarrow \; \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \end{bmatrix} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & 1 & & \\ & & & 1 \\ 1 & & & \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ \end{bmatrix} </math> Нумерация, конечно же, произвольная: необходимо равенство функции в соответствующих вершинах. Матрицу <math>C</math> называют матрицей преобразования, а само уравнение называют связанной системой. Запишем теперь матрицу жёсткости для двух треугольников: <math> S_d = \begin{bmatrix} S^{(1)} & 0 \\ 0 & S^{(2)} \end{bmatrix} \; \Leftrightarrow \; \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02} & & & \\ S_{10} & S_{11} & S_{12} & & & \\ S_{20} & S_{21} & S_{22} & & & \\ & & & S_{33} & S_{34} & S_{35} \\ & & & S_{43} & S_{44} & S_{45} \\ & & & S_{53} & S_{54} & S_{55} \\ \end{bmatrix} </math> Результирующая матрица <math>S_{global} = C^T S_d C = </math> : <math> = \begin{bmatrix} S_{00}^{(1)} + S_{55}^{(2)} & S_{01}^{(1)} + S_{53}^{(2)} & S_{02}^{(1)} & S_{54}^{(2)} \\ S_{10}^{(1)} + S_{35}^{(2)} & S_{11}^{(1)} + S_{33}^{(2)} & S_{12}^{(1)} & S_{34}^{(2)} \\ S_{20}^{(1)} & S_{20}^{(1)} & S_{22}^{(1)} & 0 \\ S_{45}^{(2)} & S_{43}^{(2)} & 0 & S_{44}^{(2)} \\ \end{bmatrix} </math> То есть, на каждом следующем шаге необходимо добавлять новые элементы к уже существующим. ==== Второй вид обобщения на несколько треугольников - дозаписывание ==== [[File:Mesh FEM.png|thumb|right|350px]] Пусть есть область, представленная и разбитая на треугольники так, как преставлено на рисунке. Пусть данная сетка содержит <math>N</math> узлов. Создадим глобальную матрицу <math>\mathfrak{S}</math> (размера, очевидно, <math>N \times N</math>) и заполним её нулями. Начнём строить локальные матрицы <math>S</math> для треугольников, например, для <math>\Delta 036 . </math> Введём локальную нумерацию для данного треугольника: пусть его верхняя вершина имеет локальный номер <math>0</math>, далее по часовой стрелке <math>1</math> и <math>2</math>. Иначе говоря, пусть ''глобальным'' номерам <math>0, 3, 6</math> соответствуют ''локальные'' номера <math>0, 1, 2</math> соответственно. Составим матрицу для этого треугольника так, как описано выше, получив что-то типа : <math> S = \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02} \\ S_{10} & S_{11} & S_{12} \\ S_{20} & S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} </math> Теперь заменим локальную нумерацию на глобальную. То есть запишем ''локальное'' число <math>S_{00}</math> как ''глобальное'' число <math>\mathfrak{S_{00}}</math>, <math>S_{01}</math> - как <math>\mathfrak{S_{03}}</math>, <math>S_{02}</math> - как <math>\mathfrak{S_{06}}</math> и так далее. Получим : <math> \mathfrak{S} = \begin{bmatrix} S_{00} & 0 & 0 & S_{03} & 0 & 0 & S_{06} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ S_{10} & 0 & 0 & S_{13} & 0 & 0 & S_{16} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ S_{20} & 0 & 0 & S_{23} & 0 & 0 & S_{26} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> С остальными треугольниками поступаем аналогично. Необходимо помнить, что надо "дописать" число в глобальную ячейку, то есть прибавить к уже существующему. ==Матрица масс== Матрица масс собирается по тем же правилам, но чуть по другим формулам. Создаётся матрица <math>S</math> размеров три на три, затем говорится, что : <math>C_1 = \cfrac {(x_2 - x_1) (x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1)} {4A} </math> : <math>C_2 = \cfrac {(x_3 - x_2) (x_1 - x_2) + (y_3 - y_2)(y_1 - y_2)} {4A} </math> : <math>C_3 = \cfrac {(x_1 - x_3) (x_2 - x_3) + (y_1 - y_3)(y_2 - y_3)} {4A} </math> :* <math>S_{22} = S_{22} + C_1 </math> :: <math>S_{23} = S_{23} - C_1 </math> :: <math>S_{32} = S_{32} - C_1 </math> :: <math>S_{33} = S_{33} + C_1 </math> :* <math>S_{33} = S_{33} + C_2 </math> :: <math>S_{31} = S_{31} - C_2 </math> :: <math>S_{13} = S_{13} - C_2 </math> :: <math>S_{11} = S_{11} + C_2 </math> :* <math>S_{11} = S_{11} + C_3 </math> :: <math>S_{12} = S_{12} - C_3 </math> :: <math>S_{21} = S_{21} - C_3 </math> :: <math>S_{22} = S_{22} + C_3 </math> :: где ::* <math>A</math> - площадь данного треугольника, которая считается, как в предыдущей главе. ::* <math>C_2</math> и <math>C_3</math> получаются из <math>C_1</math> циклической перестановкой, равно как второй и третий блок элементов матрицы из первого. После чего полученная матрица <math>S</math> записывается в матрицу <math>\mathfrak{S}</math> любым известным читателю способом. В коде используется метод дозаписи, приведённый выше. ==Учёт граничных условий== ===Условия Дирихле=== В случае [[w:Задача Дирихле |граничных условий первого рода]] необходимо изменить матрицу <math>\mathfrak{S} . </math> Граничное условие гласит, что функция в узлах на границе равна нулю. Для узла <math>u_{i,j}</math> необходимо вычеркнуть <math>i</math>-тый столбец и <math>j</math>-ую строку в матрице <math>\mathfrak{S} , </math> а также вычеркнуть сам узел из массива узлов решётки. ===Условия Неймана=== В случае [[w:Задача Неймана |граничных условий второго рода]] глобальная матрица не меняется. ==Код== Из-за большого объёма кода он был помещён на [[/Код|подстраницу]]. == Литература == * Zienkiewicz, K. Morgan — Finite elements and approximation, 1983. * P.P. Silvester, R.L. Ferrari — Finite elements for electrical engineers, 1986. * E. Suli — Finite Element Methods for Partial Differential Equations, 2011 * K.J. Bathe, E.L. Wilson — Numerical methods in finite element analysis, 1982 [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] szy5uxcrfnk7v7k2drt4qfknd52bg0n 267765 267640 2026-05-21T10:45:56Z AllaBuraya 79455 267765 wikitext text/x-wiki {{Википедия}}{{Название учебника | Категория = Математика }} Метод конечных элементов - это численный метод решения дифференциальных уравнений. В данной статье будет показан метод подсчёта и приведён код соответствующей программы на C++ (g++ 5.1.0; linux 4.0.x-ARCH). Для работы также потребуется MATLAB 4.0+ с возможностью вызова из терминала. ==Суть== Суть метода следует из его названия. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение. Если говорить в матричных терминах, то собираются так называемые матрицы жёсткости (или матрица Дирихле) и масс. Далее на эти матрицы накладываются граничные условия (например, при условиях Неймана в матрицах не меняется ничего, а при условиях Дирихле из матриц вычёркиваются строки и столбцы, соответствующие граничным узлам, так как в силу краевых условий значение соответствующих компонент решения известно). Затем собирается система линейных уравнений и решается одним из известных методов. ==Матрица жёсткости== '''Матрица жёсткости (матрица Дирихле)''' — матрица особого вида, использующаяся в [[w:Метод конечных элементов |методе конечных элементов]] для решения [[w:Дифференциальное уравнение в частных производных |дифференциальных уравнений в частных производных]]. Она применяется при решениях задач электродинамики и механики. Обычно матрица жёсткости получается [[w:Разреженная матрица |разреженной]], то есть содержащая большое количество нулей. Для работы с подобным типом матриц созданы специальные библиотеки (''mtl4'', ''SparseLib++'', ''SPARSPAK'' и другие) ==== Определение ==== Элементы матрицы жёсткости <math>A^k</math> в общем случае равны : <math> A_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math> Например, если дано [[w:Уравнение Пуассона |уравнение Пуассона]] : <math> -\nabla^2 u = f</math> в пространстве <math>\Omega</math> и граничные условния — это <math>u = 0 . </math> Представим функцию как ряд: : <math> u \approx u^h = u_1\varphi_1+\cdots+u_n\varphi_n.</math> :: <math>u_i</math> — это известные значения функции в узлах, а <math>\varphi</math> — некие базисные функции то : <math> A^{[k]}_{ij} = \int_{triangle}\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, dx.</math> === Создание матрицы === ==== Для одного треугольника ==== Пусть дан один конечный элемент, для простоты — треугольный. Матрица жёсткости, по сути, задаёт связи между узлами. Так как у элемента три узла (в локальной нумерации — 0, 1 и 2), то матрица будет иметь вид : <math> \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02}\\ S_{10} & S_{11} & S_{12}\\ S_{20} & S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} </math> В дальнейшем матрицу для одного треугольника будем называть ''локальной'', для всей сетки сразу - ''глобальной''. В общем случае, элементы <math>S_{ij}</math> определяются через линейные функции : <math>\alpha_1 = \cfrac {1} {4A} \big( (x_1y_2 + x_2y_1) \; + \; (y_1 - y_2)x \; + \; (x_2 - x_1)y \big) . </math> :: где ::: <math>A</math> — площадь треугольного элемента. <math>\alpha_2</math> и <math>\alpha_3</math> получаются из <math>\alpha_1</math> цикличной перестановкой индексов. Удобно искать <math>A</math> как определитель матрицы : <math> A = \det \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix} </math> Сами <math>S_{ij} = \int (\nabla \alpha_i) (\nabla \alpha_j) dS \;\;\;\;\; i, j = 0, 1, 2</math> В описываемом случае для каждого треугольника составляется такая матрица: : <math> \begin{bmatrix} S_{00} = 0 & S_{01} = \cfrac {(y_{1} - y_{2})(y_{2} - y_{0}) + (x_{2} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} {4A} & S_{02} = \cfrac {(y_{2} - y_{1})(y_{1} - y_{0}) + (x_{1} - x_{2})(x_{0} - x_{1})} {4A} \\ S_{10} = \cfrac {(y_{0} - y_{2})(y_{2} - y_{1}) + (x_{2} - x_{0})(x_{1} - x_{2})} {4A} & S_{11} = 0 & S_{12} = \cfrac {(y_{2} - y_{0})(y_{0} - y_{1}) + (x_{0} - x_{2})(x_{1} - x_{0})} {4A} \\ S_{20} = \cfrac {(y_{0} - y_{1})(y_{1} - y_{2}) + (x_{1} - x_{0})(x_{2} - x_{1})} {4A} & S_{21} = \cfrac {(y_{1} - y_{0})(y_{0} - y_{2}) + (x_{0} - x_{1})(x_{0} - x_{2})} {4A} & S_{22} = 0 \end{bmatrix} </math> ==== Первый вид обобщения на несколько треугольников - сшивание ==== [[Файл:Stiffness matrix - adding triangles.png|thumb|right|350px]] Для того, чтобы сделать из многих раздельных матриц, полученных выше, одну большую матрицу, описывающую отношения между узлами ''всей'' области расчёта, необходимо произвести процедуру объединения матриц. Пусть символ <math>d</math> обозначает разделённые элементы (рис. а), а символ <math>c</math> — объединённые элементы (рис. б). Обозначим <math>u_d^T = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 \end{bmatrix}</math> — вектор-строку значений функции в вершинах двух треугольников (см.рис). Символ <math>u^T</math> обозначает [[Транспонированная матрица|транспонирование]] матрицы <math>u . </math> То есть, это вектор значений функции в шести узлах треугольников. Очевидно, что при объединении оных получится вектор <math>u_c</math>, содержащий только четыре компоненты. Преобразование происходит по схеме : <math> u_d = Cu_c \; \Leftrightarrow \; \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \end{bmatrix} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & 1 & & \\ & & & 1 \\ 1 & & & \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ \end{bmatrix} </math> Нумерация, конечно же, произвольная: необходимо равенство функции в соответствующих вершинах. Матрицу <math>C</math> называют матрицей преобразования, а само уравнение называют связанной системой. Запишем теперь матрицу жёсткости для двух треугольников: <math> S_d = \begin{bmatrix} S^{(1)} & 0 \\ 0 & S^{(2)} \end{bmatrix} \; \Leftrightarrow \; \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02} & & & \\ S_{10} & S_{11} & S_{12} & & & \\ S_{20} & S_{21} & S_{22} & & & \\ & & & S_{33} & S_{34} & S_{35} \\ & & & S_{43} & S_{44} & S_{45} \\ & & & S_{53} & S_{54} & S_{55} \\ \end{bmatrix} </math> Результирующая матрица <math>S_{global} = C^T S_d C = </math> : <math> = \begin{bmatrix} S_{00}^{(1)} + S_{55}^{(2)} & S_{01}^{(1)} + S_{53}^{(2)} & S_{02}^{(1)} & S_{54}^{(2)} \\ S_{10}^{(1)} + S_{35}^{(2)} & S_{11}^{(1)} + S_{33}^{(2)} & S_{12}^{(1)} & S_{34}^{(2)} \\ S_{20}^{(1)} & S_{20}^{(1)} & S_{22}^{(1)} & 0 \\ S_{45}^{(2)} & S_{43}^{(2)} & 0 & S_{44}^{(2)} \\ \end{bmatrix} </math> То есть, на каждом следующем шаге необходимо добавлять новые элементы к уже существующим. ==== Второй вид обобщения на несколько треугольников - дозаписывание ==== [[File:Mesh FEM.png|thumb|right|350px]] Пусть есть область, представленная и разбитая на треугольники так, как преставлено на рисунке. Пусть данная сетка содержит <math>N</math> узлов. Создадим глобальную матрицу <math>\mathfrak{S}</math> (размера, очевидно, <math>N \times N</math>) и заполним её нулями. Начнём строить локальные матрицы <math>S</math> для треугольников, например, для <math>\Delta 036 . </math> Введём локальную нумерацию для данного треугольника: пусть его верхняя вершина имеет локальный номер <math>0</math>, далее по часовой стрелке <math>1</math> и <math>2</math>. Иначе говоря, пусть ''глобальным'' номерам <math>0, 3, 6</math> соответствуют ''локальные'' номера <math>0, 1, 2</math> соответственно. Составим матрицу для этого треугольника так, как описано выше, получив что-то типа : <math> S = \begin{bmatrix} S_{00} & S_{01} & S_{02} \\ S_{10} & S_{11} & S_{12} \\ S_{20} & S_{21} & S_{22} \end{bmatrix} </math> Теперь заменим локальную нумерацию на глобальную. То есть запишем ''локальное'' число <math>S_{00}</math> как ''глобальное'' число <math>\mathfrak{S_{00}}</math>, <math>S_{01}</math> - как <math>\mathfrak{S_{03}}</math>, <math>S_{02}</math> - как <math>\mathfrak{S_{06}}</math> и так далее. Получим : <math> \mathfrak{S} = \begin{bmatrix} S_{00} & 0 & 0 & S_{03} & 0 & 0 & S_{06} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ S_{10} & 0 & 0 & S_{13} & 0 & 0 & S_{16} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ S_{20} & 0 & 0 & S_{23} & 0 & 0 & S_{26} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> С остальными треугольниками поступаем аналогично. Необходимо помнить, что надо "дописать" число в глобальную ячейку, то есть прибавить к уже существующему. ==Матрица масс== Матрица масс собирается по тем же правилам, но чуть по другим формулам. Создаётся матрица <math>S</math> размеров три на три, затем говорится, что : <math>C_1 = \cfrac {(x_2 - x_1) (x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1)} {4A} </math> : <math>C_2 = \cfrac {(x_3 - x_2) (x_1 - x_2) + (y_3 - y_2)(y_1 - y_2)} {4A} </math> : <math>C_3 = \cfrac {(x_1 - x_3) (x_2 - x_3) + (y_1 - y_3)(y_2 - y_3)} {4A} </math> :* <math>S_{22} = S_{22} + C_1 </math> :: <math>S_{23} = S_{23} - C_1 </math> :: <math>S_{32} = S_{32} - C_1 </math> :: <math>S_{33} = S_{33} + C_1 </math> :* <math>S_{33} = S_{33} + C_2 </math> :: <math>S_{31} = S_{31} - C_2 </math> :: <math>S_{13} = S_{13} - C_2 </math> :: <math>S_{11} = S_{11} + C_2 </math> :* <math>S_{11} = S_{11} + C_3 </math> :: <math>S_{12} = S_{12} - C_3 </math> :: <math>S_{21} = S_{21} - C_3 </math> :: <math>S_{22} = S_{22} + C_3 </math> :: где ::* <math>A</math> - площадь данного треугольника, которая считается, как в предыдущей главе. ::* <math>C_2</math> и <math>C_3</math> получаются из <math>C_1</math> циклической перестановкой, равно как второй и третий блок элементов матрицы из первого. После чего полученная матрица <math>S</math> записывается в матрицу <math>\mathfrak{S}</math> любым известным читателю способом. В коде используется метод дозаписи, приведённый выше. ==Учёт граничных условий== ===Условия Дирихле=== В случае [[w:Задача Дирихле |граничных условий первого рода]] необходимо изменить матрицу <math>\mathfrak{S} . </math> Граничное условие гласит, что функция в узлах на границе равна нулю. Для узла <math>u_{i,j}</math> необходимо вычеркнуть <math>i</math>-тый столбец и <math>j</math>-ую строку в матрице <math>\mathfrak{S} , </math> а также вычеркнуть сам узел из массива узлов решётки. ===Условия Неймана=== В случае [[w:Задача Неймана |граничных условий второго рода]] глобальная матрица не меняется. ==Код== Из-за большого объёма кода он был помещён на [[/Код|подстраницу]]. == Литература == * Zienkiewicz, K. Morgan — Finite elements and approximation, 1983. * P.P. Silvester, R.L. Ferrari — Finite elements for electrical engineers, 1986. * E. Suli — Finite Element Methods for Partial Differential Equations, 2011 * K.J. Bathe, E.L. Wilson — Numerical methods in finite element analysis, 1982 [[Категория:Вычислительная математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] b345kwg9v4vz0w3n5j9sjggiimgqdlu 100 18968 267742 260084 2026-05-21T10:21:47Z AllaBuraya 79455 267742 wikitext text/x-wiki {{Основная полка | Описание = На данной полке собраны все материалы по [[w:Компьтер|компьютерам]] из Русского Викиучебника. }} nd7utrrjus96o0ueouutphc1e78n64s 100 19015 267722 267441 2026-05-21T09:57:16Z AllaBuraya 79455 267722 wikitext text/x-wiki {{очистить кэш}} {{Дополнительная Полка | родитель = Формальные науки | описание = Полка посвящена материалам по математике |Лого = OOjs UI icon math.svg }} [[Категория:Математика]] okvsxh60ipa678b9m915h317bfuxjkp 100 19019 267723 242360 2026-05-21T09:59:56Z AllaBuraya 79455 267723 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная Полка | родитель = Формальные науки | описание = Материалы по [[w:Информатика|информатике]] }} 35jpgcozmlpehkwawxjuzsictja3ztx 100 19154 267586 267323 2026-05-21T07:51:26Z AllaBuraya 79455 267586 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная Полка |родитель=Математика |описание=Математический анализ }} cb941dz175lcml9duc5sxiq5xkrgwj7 0 19269 267506 267352 2026-05-20T12:26:16Z Taratarussia 77272 267506 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Название = Быстрое питание | Категория = Фастфуд | Лого = | Описание = Блюдо быстрого питания | Перевод = | Язык = | Автор = | Тип = Одностраничный }} '''Быстрое питание''', '''[[блюдо]] быстрого питания''', '''[[пищевой продукт]] быстрого [[Приготовление пищи|приготовления]]''', '''фастфуд''' ({{lang-en|fast}} «быстрый» и {{lang-en2|food}} «пища») — [[питание]] с уменьшенным временем употребления и приготовления пищи, с упрощёнными или упразднёнными [[Столовые приборы|столовыми приборами]] или вне [[стол]]а. Для [[Общественное питание|общественного]] быстрого питания предназначены [[Закусочная|закусочные]], разг. [[Кафе|забегаловки]]. == Блюда быстрого приготовления == <gallery perrow="4"> Файл:Hamburger sandwich.jpg|[[Рецепт:Гамбургер|Гамбургер]] Файл:Sandwich.jpg|[[Рецепт:Сэндвич|Сэндвич]] Файл:Hotdog too.jpg|[[Рецепт:Хот-дог|Хот-дог]] Файл:Corndog outside.jpg|[[Рецепт:Корн-дог|Корн-дог]] Файл:Leftovers pizza.jpg|[[Рецепт:Пицца|Пицца]] Файл:Ош самсасы2.jpg|[[Рецепт:Самса|Самса]] Файл:Pirozhki.jpg|[[Пирожок]] Файл:Dürüm Döner.jpg|[[Рецепт:Шаурма|Шаурма]] Файл:Döner kebab.jpg|[[Рецепт:Дёнер-кебаб|Дёнер-кебаб]] <br />(также «[[Рецепт:Шаурма|шаурма]]» или «[[шаверма]]») Файл:Burrito and Coke.jpg|[[Рецепт:Буррито|Буррито]] Файл:Blin1.jpg|[[Рецепт:Блины|Блины]] Файл:Pommes-1.jpg|[[Рецепт:Картофель фри|Картофель фри]] Файл:Fish and chips.jpg|[[Рецепт:Рыба и чипсы|Рыба и чипсы]] Файл:Falafel small.jpg|[[Рецепт:Фалафель|Фалафель]] </gallery> [[Категория:Общественное питание]] [[Категория:Фастфуд]] 9ovfidexu3gdo3ag6817bqpnq1gvrkn 0 19544 267551 254833 2026-05-20T13:31:54Z Taratarussia 77272 Викификация 267551 wikitext text/x-wiki {{WindowsBook}} == Введение == «Блокнот» — самый простой встроенный в «Windows» текстовый редактор. Набирать текст следует в многострочном поле ввода. == Меню == === Файл === <ol> <li>При нажатии на кнопку «Создать», в меню «Файл», создастся новый файл. Причем предыдущий файл, который Вы только что редактировали, закроется.</li> <li>«Открыть» - команда, позволяющая открывать файлы с расширением «.txt». (Новый файл откроется, а предыдущий - закроется.)</li> <li>Кнопки «Сохранить» и «Сохранить как» различаются только тем, что при нажатии на кнопку «Сохранить» приходится выбирать только один раз то место, куда Вы хотите сохранить файл (если файл еще не был сохранен никуда), а при нажатии на «Сохранить как» каждый раз будет открываться диалоговое окно с выбором пути для сохранения файла.</li> <li>Нажав на «Параметры страницы», Вы можете настроить параметры страницы при печати. <ol> <li>Параметр «Бумага» определяет размер бумаги, на которой будет печататься документ.</li> <li>«Подача» устанавливает как печатать документ - с полями или без. (Размеры полей можно установить ниже.)</li> <li>«Ориентация» бывает двух видов - книжная (вытянутая по вертикали) и альбомная (вытянутая по горизонтали).</li> <li>Параметр Верхний колонтитул определит что будет отображаться в качестве названия документа. <ol>Изначально стоит значение «&f». То есть названием будет имя файла, который будет напечатан.</ol></li> <li>В нижнем колонтитуле обычно отображается номер страницы (номер страницы определяется «&p»).</ol></li> </ol> === Правка === В меню «Правка» располагаются команды для изменения текста. <ol> <li>«Отменить» отменит последнее действие.</li> <li>А если надо что-то удалить из текста, скопировав в буфер обмена, то можно воспользоваться кнопкой «Вырезать», после выделения того отрывка текста, который нужно удалить и скопировать в буфер обмена.</li> <li>Команда «Копировать» скопирует выделенный отрывок текста.</li> <li>Нажимая на кнопку «Вставить», Вы вставляете имеющийся в буфере обмена отрывок текста.</li> <li>«Удалить» просто удалит выделенный отрывок текста.</li> <li>С помощью «Найти» Вы можете находить слова или предложения в тексте (при нахождении они будут выделяться, и курсор будет перемещаться к тому месту, где найден отрывок текста). Как только Вы щелкните на эту кнопку, откроется окно: <br> <br> <ol> <li>«Найти далее» позволит найти следующий фрагмент текста, который идентичен вписанному в поле «Что».</li> <li>Если Вы желаете, чтобы фрагмент текста считался найденным только в том случае, если регистры всех букв соответственно совпадают (например, «Abd» не равно «abd» с учетом регистра), то ставьте галочку «С учетом регистра».</li> <li>Кнопка «Вверх» - заставит программу искать отрывки текста, продвигаясь вверх по тексту относительно текущей позиции курсора, а «Вниз» - вниз текущей позиции курсора.</li></ol></li> <li>С помощью кнопки «Заменить» можно заменить найденный отрывок текста на другой. <br> <br> <ol> <li>«Что» определяет тот отрывок текста, который следует искать, а «Чем» - тот отрывок текста, на который следует заменить найденный отрывок текста.</li> <li>Поиск всегда идет вниз от текущей позиции курсора.</li> <li>Нажимая на кнопку «Найти далее», Вы подсвечиваете следующий найденный отрывок текста.</li> <li>«Заменить» - заменяет выделенный отрывок текста на тот, который написан в поле «Чем».</li> <li>Если нажать на «Заменить все», то заменятся все отрывки на тот, который написан в поле «Чем».</li> <li>Функция «С учетом регистра» работает так же как и для команды «Найти».</li></ol></li> <li>Если хотите вставить текущую дату и время в место курсора, то жмите на «Дата и Время».</li> </ol> === Формат === <ol> <li>Данное меню позволяет сделать так, чтобы слова переносились при достижении правой границы поля (включите «Перенос по словам»).</li> <li>Также можно настроить шрифт текста в документе через команду «Шрифт». <br> <br> <ol> <li>Из списка «Шрифт» Вы можете выбрать один из доступных шрифтов.</li> <li>«Начертание» бывает четырех типов: обычное, курсив (наклоненный вправо шрифт), плотный (жирный шрифт) и плотный курсив (наклоненный вправо и жирный шрифт).</li> <li>Из списка «Размер» можно выбрать размер шрифта для документа.</li> </ol> </li> </ol> === Вид === Здесь можно включить отображение строки состояния внизу. === Помощь === Через это меню можно посмотреть справку по этой программе. [[Категория:Учебники без шаблона]] qf70zdkjorq9kf980re0yfcz2jco4sg 267552 267551 2026-05-20T13:45:04Z Taratarussia 77272 267552 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Название = Блокнот для начинающих | Категория = | Лого = | Описание = | Перевод = | Язык = | Автор = | Тип = Одностраничный }} {{WindowsBook}} == Введение == «Блокнот» — самый простой встроенный в «Windows» текстовый редактор. Набирать текст следует в многострочном поле ввода. == Меню == === Файл === <ol> <li>При нажатии на кнопку «Создать», в меню «Файл», создастся новый файл. Причем предыдущий файл, который Вы только что редактировали, закроется.</li> <li>«Открыть» - команда, позволяющая открывать файлы с расширением «.txt». (Новый файл откроется, а предыдущий - закроется.)</li> <li>Кнопки «Сохранить» и «Сохранить как» различаются только тем, что при нажатии на кнопку «Сохранить» приходится выбирать только один раз то место, куда Вы хотите сохранить файл (если файл еще не был сохранен никуда), а при нажатии на «Сохранить как» каждый раз будет открываться диалоговое окно с выбором пути для сохранения файла.</li> <li>Нажав на «Параметры страницы», Вы можете настроить параметры страницы при печати. <ol> <li>Параметр «Бумага» определяет размер бумаги, на которой будет печататься документ.</li> <li>«Подача» устанавливает как печатать документ - с полями или без. (Размеры полей можно установить ниже.)</li> <li>«Ориентация» бывает двух видов - книжная (вытянутая по вертикали) и альбомная (вытянутая по горизонтали).</li> <li>Параметр Верхний колонтитул определит что будет отображаться в качестве названия документа. <ol>Изначально стоит значение «&f». То есть названием будет имя файла, который будет напечатан.</ol></li> <li>В нижнем колонтитуле обычно отображается номер страницы (номер страницы определяется «&p»).</ol></li> </ol> === Правка === В меню «Правка» располагаются команды для изменения текста. <ol> <li>«Отменить» отменит последнее действие.</li> <li>А если надо что-то удалить из текста, скопировав в буфер обмена, то можно воспользоваться кнопкой «Вырезать», после выделения того отрывка текста, который нужно удалить и скопировать в буфер обмена.</li> <li>Команда «Копировать» скопирует выделенный отрывок текста.</li> <li>Нажимая на кнопку «Вставить», Вы вставляете имеющийся в буфере обмена отрывок текста.</li> <li>«Удалить» просто удалит выделенный отрывок текста.</li> <li>С помощью «Найти» Вы можете находить слова или предложения в тексте (при нахождении они будут выделяться, и курсор будет перемещаться к тому месту, где найден отрывок текста). Как только Вы щелкните на эту кнопку, откроется окно: <br> <br> <ol> <li>«Найти далее» позволит найти следующий фрагмент текста, который идентичен вписанному в поле «Что».</li> <li>Если Вы желаете, чтобы фрагмент текста считался найденным только в том случае, если регистры всех букв соответственно совпадают (например, «Abd» не равно «abd» с учетом регистра), то ставьте галочку «С учетом регистра».</li> <li>Кнопка «Вверх» - заставит программу искать отрывки текста, продвигаясь вверх по тексту относительно текущей позиции курсора, а «Вниз» - вниз текущей позиции курсора.</li></ol></li> <li>С помощью кнопки «Заменить» можно заменить найденный отрывок текста на другой. <br> <br> <ol> <li>«Что» определяет тот отрывок текста, который следует искать, а «Чем» - тот отрывок текста, на который следует заменить найденный отрывок текста.</li> <li>Поиск всегда идет вниз от текущей позиции курсора.</li> <li>Нажимая на кнопку «Найти далее», Вы подсвечиваете следующий найденный отрывок текста.</li> <li>«Заменить» - заменяет выделенный отрывок текста на тот, который написан в поле «Чем».</li> <li>Если нажать на «Заменить все», то заменятся все отрывки на тот, который написан в поле «Чем».</li> <li>Функция «С учетом регистра» работает так же как и для команды «Найти».</li></ol></li> <li>Если хотите вставить текущую дату и время в место курсора, то жмите на «Дата и Время».</li> </ol> === Формат === <ol> <li>Данное меню позволяет сделать так, чтобы слова переносились при достижении правой границы поля (включите «Перенос по словам»).</li> <li>Также можно настроить шрифт текста в документе через команду «Шрифт». <br> <br> <ol> <li>Из списка «Шрифт» Вы можете выбрать один из доступных шрифтов.</li> <li>«Начертание» бывает четырех типов: обычное, курсив (наклоненный вправо шрифт), плотный (жирный шрифт) и плотный курсив (наклоненный вправо и жирный шрифт).</li> <li>Из списка «Размер» можно выбрать размер шрифта для документа.</li> </ol> </li> </ol> === Вид === Здесь можно включить отображение строки состояния внизу. === Помощь === Через это меню можно посмотреть справку по этой программе. [[Категория:Учебники без шаблона]] nmowb0s93vvjte1e5k0gn3v4qu36k5g 267553 267552 2026-05-20T13:45:18Z Taratarussia 77272 267553 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Название = Блокнот для начинающих | Категория = | Лого = | Описание = | Перевод = | Язык = | Автор = | Тип = Одностраничный }} {{WindowsBook}} == Введение == «Блокнот» — самый простой встроенный в «Windows» текстовый редактор. Набирать текст следует в многострочном поле ввода. == Меню == === Файл === <ol> <li>При нажатии на кнопку «Создать», в меню «Файл», создастся новый файл. Причем предыдущий файл, который Вы только что редактировали, закроется.</li> <li>«Открыть» - команда, позволяющая открывать файлы с расширением «.txt». (Новый файл откроется, а предыдущий - закроется.)</li> <li>Кнопки «Сохранить» и «Сохранить как» различаются только тем, что при нажатии на кнопку «Сохранить» приходится выбирать только один раз то место, куда Вы хотите сохранить файл (если файл еще не был сохранен никуда), а при нажатии на «Сохранить как» каждый раз будет открываться диалоговое окно с выбором пути для сохранения файла.</li> <li>Нажав на «Параметры страницы», Вы можете настроить параметры страницы при печати. <ol> <li>Параметр «Бумага» определяет размер бумаги, на которой будет печататься документ.</li> <li>«Подача» устанавливает как печатать документ - с полями или без. (Размеры полей можно установить ниже.)</li> <li>«Ориентация» бывает двух видов - книжная (вытянутая по вертикали) и альбомная (вытянутая по горизонтали).</li> <li>Параметр Верхний колонтитул определит что будет отображаться в качестве названия документа. <ol>Изначально стоит значение «&f». То есть названием будет имя файла, который будет напечатан.</ol></li> <li>В нижнем колонтитуле обычно отображается номер страницы (номер страницы определяется «&p»).</ol></li> </ol> === Правка === В меню «Правка» располагаются команды для изменения текста. <ol> <li>«Отменить» отменит последнее действие.</li> <li>А если надо что-то удалить из текста, скопировав в буфер обмена, то можно воспользоваться кнопкой «Вырезать», после выделения того отрывка текста, который нужно удалить и скопировать в буфер обмена.</li> <li>Команда «Копировать» скопирует выделенный отрывок текста.</li> <li>Нажимая на кнопку «Вставить», Вы вставляете имеющийся в буфере обмена отрывок текста.</li> <li>«Удалить» просто удалит выделенный отрывок текста.</li> <li>С помощью «Найти» Вы можете находить слова или предложения в тексте (при нахождении они будут выделяться, и курсор будет перемещаться к тому месту, где найден отрывок текста). Как только Вы щелкните на эту кнопку, откроется окно: <br> <br> <ol> <li>«Найти далее» позволит найти следующий фрагмент текста, который идентичен вписанному в поле «Что».</li> <li>Если Вы желаете, чтобы фрагмент текста считался найденным только в том случае, если регистры всех букв соответственно совпадают (например, «Abd» не равно «abd» с учетом регистра), то ставьте галочку «С учетом регистра».</li> <li>Кнопка «Вверх» - заставит программу искать отрывки текста, продвигаясь вверх по тексту относительно текущей позиции курсора, а «Вниз» - вниз текущей позиции курсора.</li></ol></li> <li>С помощью кнопки «Заменить» можно заменить найденный отрывок текста на другой. <br> <br> <ol> <li>«Что» определяет тот отрывок текста, который следует искать, а «Чем» - тот отрывок текста, на который следует заменить найденный отрывок текста.</li> <li>Поиск всегда идет вниз от текущей позиции курсора.</li> <li>Нажимая на кнопку «Найти далее», Вы подсвечиваете следующий найденный отрывок текста.</li> <li>«Заменить» - заменяет выделенный отрывок текста на тот, который написан в поле «Чем».</li> <li>Если нажать на «Заменить все», то заменятся все отрывки на тот, который написан в поле «Чем».</li> <li>Функция «С учетом регистра» работает так же как и для команды «Найти».</li></ol></li> <li>Если хотите вставить текущую дату и время в место курсора, то жмите на «Дата и Время».</li> </ol> === Формат === <ol> <li>Данное меню позволяет сделать так, чтобы слова переносились при достижении правой границы поля (включите «Перенос по словам»).</li> <li>Также можно настроить шрифт текста в документе через команду «Шрифт». <br> <br> <ol> <li>Из списка «Шрифт» Вы можете выбрать один из доступных шрифтов.</li> <li>«Начертание» бывает четырех типов: обычное, курсив (наклоненный вправо шрифт), плотный (жирный шрифт) и плотный курсив (наклоненный вправо и жирный шрифт).</li> <li>Из списка «Размер» можно выбрать размер шрифта для документа.</li> </ol> </li> </ol> === Вид === Здесь можно включить отображение строки состояния внизу. === Помощь === Через это меню можно посмотреть справку по этой программе. t0jtkr641ukm9kxpnpj7dglo693ytq4 0 19810 267739 267294 2026-05-21T10:11:49Z AllaBuraya 79455 267739 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Программирование, Математика | Тип = Одностраничный }} [[Файл:Mandelset hires.png|thumb|300px|Множество Мандельброта]]{{Wikipedia}} '''Мно́жество Мандельбро́та''' — это множество таких точек ''c'' на комплексной плоскости, для которых рекуррентное соотношение <math>z_{n+1} = {z_n}^2 + c</math> при <math>z_0 = 0</math> задаёт ограниченную последовательность. То есть, это множество таких ''c'', для которых существует такое действительное ''R'', что неравенство |''z''_''n''|<''R'' выполняется при всех натуральных ''n''. == Построение множества == Несложно доказать, что как только модуль ''z''_''n'' окажется больше 2 (или, в терминах действительной и мнимой частей, ''x''_''n''²+''y''_''n''²>4), последовательность станет стремиться к бесконечности. В случае |''c''|≤2 это можно доказать с помощью метода математической индукции. При |''c''|>2 точка ''c'' заведомо не принадлежит множеству Мандельброта, что также можно вывести методом индукции, используя равенство ''z''₀=0. (Хотя в этом случае может существовать другое ''z''₀, для которого соответствующая последовательность ограничена по модулю, но для некоторого ''n'' выполняется неравенство |''z''_''n''|>2.) Сравнение |''z''_''n''| с этим числом (в англоязычной литературе его называют «bail-out») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе. Изображение, полученное таким способом, является лишь приближением к реальному множеству Мандельброта. Более качественные результаты можно получать, увеличивая максимальное количество итераций, однако при этом пропорционально вырастает и время расчётов. === Примеры программ === ==== Пример программы построения множества (на языке программирования [[PHP]]) ==== <syntaxhighlight lang="php"> <?php /* Множество Мандельброта. */ /* Время создания */ set_time_limit(120); function re_microtime() { list($usec, $sec) = explode(" ", microtime()); return ((float)$usec + (float)$sec); } /* Засекаем */ $time_start = re_microtime(); /* Размер картинки */ $img_w = 900; $img_h = 600; /* Начало и конец чертежа */ $x_min = -2; $x_max = 1; $y_min = -1; $y_max = 1; /* Подсчёт шага */ if($x_min >= 0 && $x_max >= 0){ $step = ($x_min + $x_max)/$img_w; } elseif($x_min < 0 && $x_max >= 0) { $step = ($x_max - $x_min)/$img_w; } else { $step = (-$x_min + $x_max)/$img_w; } $img = imagecreatetruecolor($img_w,$img_h); $c = array(); $yy = 0; for($y = $y_min; $y < $y_max; $y = $y + $step){ $xx = 0; for($x = $x_min; $x < $x_max; $x = $x + $step){ $c['x'] = $x; $c['y'] = $y; $X = $x; $Y = $y; $ix=0; $iy=0; $n=0; while(($ix*$ix + $iy*$iy < 5) and ($n < 64)){ $ix = $X*$X - $Y*$Y + $c['x']; $iy = 2*$X*$Y + $c['y']; $X = $ix; $Y = $iy; $n++; } $col = imagecolorallocate($img, 255-$n*5, 0, 0); imagesetpixel($img, $xx, $yy, $col); $xx++; } $yy++; } $time_end = re_microtime(); header("Content-type: image/png"); /* выводим в заголовках время создания */ header ("X-Exec-Time: ".($time_end - $time_start)); imagepng($img); imagedestroy($img); ?> </syntaxhighlight> ==== Пример программы построения множества (на языке программирования [[C Sharp|C#]]) ==== <syntaxhighlight lang="csharp"> using System; namespace Mnoj { class Program { static void Main(string[] args) { double realCoord, imagCoord; double realTemp, imagTemp, realTemp2, arg; int iterations; for (imagCoord = 1.2; imagCoord >= -1.2; imagCoord -= 0.05) { for (realCoord = -0.6; realCoord <= 1.77; realCoord += 0.03) { iterations = 0; realTemp = realCoord; imagTemp = imagCoord; arg = (realCoord * realCoord) + (imagCoord * imagCoord); while ((arg < 4) && (iterations < 40)) { realTemp2 = (realTemp * realTemp) - (imagTemp * imagTemp) + realCoord; imagTemp = (2 * realTemp * imagTemp) + imagCoord; realTemp = realTemp2; arg = (realTemp * realTemp) + (imagTemp * imagTemp); iterations += 1; } switch (iterations % 4) { case 0: Console.Write("."); break; case 1: Console.Write("o"); break; case 2: Console.Write("0"); break; case 3: Console.Write("@"); break; } } Console.Write("\n"); } Console.ReadKey(); } } } </syntaxhighlight> ==== Пример программы построения множества (на языке программирования [[Паскаль (язык программирования)|паскаль]]) ==== <syntaxhighlight lang="pascal"> uses System.Drawing, System.Windows.Forms, System.Threading, FormsABC; procedure DrawMandelbrot(g: Graphics; w,h: integer; scale: real; dx,dy: integer); const max = 10; begin for var ix:=0 to w-1 do for var iy:=0 to h-1 do begin var x := 0.0; var y := 0.0; var cx := scale * (ix - dx); var cy := scale * (iy - dy); var i := 1; while i<255 do begin var x1 := x*x-y*y+cx; var y1 := 2*x*y+cy; x := x1; y := y1; if (abs(x)>max) and (abs(y)>max) then break; i += 1; end; if i>=255 then g.FillRectangle(Brushes.Red,ix,iy,1,1) else g.FillRectangle(new SolidBrush(Color.FromArgb(255,255-i,255-i)),ix,iy,1,1) end; end; var Scale := new RealField('Масштаб: '); l1 := new FlowBreak; dx := new IntegerField('dx: '); l2 := new FlowBreak; dy := new IntegerField('dy: '); l3 := new FlowBreak(20); b := new Button(' Нарисовать '); p: PaintBox; procedure Draw; begin var g := p.Graphics; DrawMandelbrot(g,p.Width,p.Height,Scale.Value,dx.Value,dy.Value); p.Invalidate; end; procedure My(o: Object); begin Draw; end; procedure Click; begin ThreadPool.QueueUserWorkItem(My); end; begin MainForm.Title := 'Множество Мандельброта'; MainForm.SetSize(700, 600); MainPanel.Dock := Dockstyle.Left; MainPanel.Width := 120; Scale.Value := 0.0035; dx.Value := 430; dy.Value := 280; b.Click += Click; ParentControl := MainForm; p := new PaintBox; p.Dock := DockStyle.Fill; ThreadPool.QueueUserWorkItem(My); end. </syntaxhighlight> ==== Пример программы построения множества (на языке программирования [[C++]] с использованием SFML) ==== <syntaxhighlight lang="c++"> ///Heared.hpp #pragma once #include <SFML\Graphics.hpp> //#include <boost\math\bindings\rr.hpp> typedef long double TYPE; template<typename T> struct Complex { T re; T im; Complex operator += (const Complex & other) { re += other.re; im += other.im; return *this; } Complex operator + (const Complex & other) { Complex c(*this); return c += other; } Complex operator *= (const Complex & other) { Complex c; c.re = re * other.re - im * other.im; c.im = re * other.im + im * other.re; *this = c; return *this; } Complex operator * (const Complex & other) { Complex c(*this); return c *= other; } Complex operator = (const Complex & other) { re = other.re; im = other.im; return *this; } Complex(): re((T)0), im((T)0) { } Complex(const Complex& other) : re(other.re), im(other.im) { } Complex(const T& re, const T& im) : re(re), im(im) { } Complex(const T& re) : re(re), im((T)0) { } T module_sqr()const { return re * re + im * im; } }; //void drawM(sf::Vector2<TYPE> x, sf::Vector2<TYPE> y); ///draw.cpp #include "Header.hpp" void step_clr(sf::Color & clr) { clr.r = clr.r + 5 < 0x100 ? clr.r + 5 : 0xff; clr.g = clr.g + 3 < 0x100 ? clr.g + 5 : 0xff; clr.b = clr.b + 2 < 0x100 ? clr.b + 5 : 0xff; } void drawM(sf::Vector2<TYPE> x, sf::Vector2<TYPE> y) { const TYPE epsilon = 0.005; sf::Vector2i sizewindow((int)((x.y - x.x) / epsilon), (int)((y.y - y.x) / epsilon)); sf::RenderWindow window(sf::VideoMode(sizewindow.x, sizewindow.y), "Mandelbroth"); sf::Image im; const int max_it = 250; const int infinity_sqr = 10000; im.create(sizewindow.x, sizewindow.y); sf::Color clr; int xim = 0, yim = 0; for (TYPE currx = x.x; currx <= x.y; currx += epsilon, ++xim) { yim = 0; while (xim >= sizewindow.x) --xim; for (TYPE curry = y.x; curry <= y.y; curry += epsilon, ++yim) { while (yim >= sizewindow.y) --yim; clr = sf::Color::Black; Complex<TYPE> curr; im.setPixel(xim, yim, sf::Color::Black); for (int i = 0; i < max_it; ++i) { if (curr.module_sqr() >= infinity_sqr) { im.setPixel(xim, yim, clr); break; } curr = curr * curr + Complex<TYPE>(currx, curry); step_clr(clr); } } } sf::Sprite s; sf::Texture t; t.loadFromImage(im); s.setTexture(t); while (window.isOpen()) { sf::Event event; while (window.pollEvent(event)) { if (event.type == sf::Event::Closed) window.close(); } window.clear(); window.draw(s); window.display(); } } ///main.cpp #include "Header.hpp" #include "draw.cpp" #include <iostream> int main() { TYPE x1, x2, y1, y2; //std::cin >> x1 >> x2 >> y1 >> y2; x1 = -2.5; x2 = 2; y1 = -1.5; y2 = 1.5; drawM(sf::Vector2<TYPE>(x1, x2), sf::Vector2<TYPE>(y1, y2)); } </syntaxhighlight> === Добавление цвета === [[Файл:Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|thumb|Фрагмент границы множества Мандельброта в цветном варианте]] Строго математически, изображения множеств Мандельброта и Жюлиа должны быть чёрно-белыми. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, соответствующий количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля. Порядок определения, попадает ли точка ''z''₀ внутрь множества (традиционно закрашиваемого чёрным цветом) или нет (закрашивается цветом, зависящим от скорости движения к бесконечности) следующий: на каждой итерации для ''z''_''n''=''x''_''n''+''y_''n''·i'' вычисляется значение модуля <math>|z_n| = \sqrt{x_n^2 + y_n^2}</math>, которое затем сравнивается с «границей бесконечности» (обычно берётся значение, равное 2). Здесь важно обратить внимание, что уже на данном этапе можно ввести определённую оптимизацию вычислений, если проверять не <math>\sqrt{x_n^2 + y_n^2} > 2</math>, а <math>x_n^2 + y_n^2 > 4</math>, что значительно снизит время расчётов. Таким образом, если |''z''_''n''|² ≤ 4 при любом числе итераций (на практике — при всех вычисленных итерациях), то цвет точки чёрный, в противном случае он зависит от последнего значения ''n'', при котором |''z''_''n''|² ≤ 4. Значение ''n'', фактически, обозначает скорость движения ''z''_''n'' в бесконечность, и может быть просто индексом в таблице цветов, или использоваться как параметр в более сложном алгоритме. Данный алгоритм определяет, что если точка удаляется больше чем на 2 от начала координат, то она лежит снаружи множества Мандельброта. Для того, чтобы определить, что точка лежит внутри множества есть много способов. Самое простое решение — ограничить количество итераций неким максимумом. Если точка не вышла за указанную границу, можно считать, что она находится внутри множества. Точкам около границы множества нужно больше итераций для ухода в бесконечность. Поэтому такие области прорисовываются заметно дольше. Чем дальше от границ множества, тем выше скорость ухода в бесконечность. Для таких точек требуется меньше итераций. ==== Пример добавления цвета (на PHP) ==== <syntaxhighlight lang="php"> <?php // Default: http://<host>/<dir>/<filename>.php?iter1=64&width=600&height=400&coef=32 function BN($n, $l, $r) {return $n>$l && $n<=$r;} function SQR($a) {return $a*$a;} define("COEF", $_GET["coef"]); $iter1 = $_GET["iter1"]; $width = $_GET["width"]; $height = $_GET["height"]; header("Content-type: image/png"); $img = imagecreatetruecolor($width, $height); $iter2 = 0.01/($width/300); $yy = -1; for ($y = -1; $y < 1; $y = $y + $iter2) { $yy++; $xx=-1; for($x = -2; $x < 1; $x = $x + $iter2) { $xx++; $Cx = $x; $Cy = $y; $X = $x; $Y = $y; $ix = 0; $iy = 0; $n = 0; while ((SQR($ix) + SQR($iy) < 4) and ($n < $iter1)) { $ix = SQR($X) - SQR($Y) + $Cx; $iy = 2*$X*$Y + $Cy; $X = $ix; $Y = $iy; $n++; } if(BN($n,0,7)) $col = imagecolorallocate($img,COEF*$n,0,0); elseif(BN($n,7,14)) $col = imagecolorallocate($img,COEF*$n,COEF*$n,0); elseif(BN($n,14,21))$col = imagecolorallocate($img,COEF*$n,0,COEF*$n); elseif(BN($n,21,28))$col = imagecolorallocate($img,0,COEF*$n,0); elseif(BN($n,28,35))$col = imagecolorallocate($img,COEF*$n,COEF*$n,0); elseif(BN($n,35,42))$col = imagecolorallocate($img,0,COEF*$n,COEF*$n); elseif(BN($n,42,49))$col = imagecolorallocate($img,0,0,COEF*$n); elseif(BN($n,49,56))$col = imagecolorallocate($img,COEF*$n,0,COEF*$n); elseif(BN($n,56,64))$col = imagecolorallocate($img,0,COEF*$n,COEF*$n); imagesetpixel($img, $xx, $yy, $col); } } imagepng($img); imagedestroy($img); ?> </syntaxhighlight> ==== Пример добавления цвета (на C++) ==== <syntaxhighlight lang="c++"> ///draw.cpp #include "Header.hpp" void step_clr(float & red, float & green, float & blue) { red = (int)(red + 5) < 0xff ? red + 5 : 0xff; if((int)red == 0xff) green = (int)(green + 3.5) < 0xff ? green + 3.5 : 0xff; if((int)green == 0xff) blue = (int)(blue + 2.2) < 0xff ? blue + 2.2 : 0xff; } void drawM(sf::Vector2<TYPE> x, sf::Vector2<TYPE> y) { const TYPE epsilon = 0.005; sf::Vector2i sizewindow((int)((x.y - x.x) / epsilon), (int)((y.y - y.x) / epsilon)); sf::RenderWindow window(sf::VideoMode(sizewindow.x, sizewindow.y), "Mandelbroth"); sf::Image im; const int max_it = 250; const int infinity_sqr = 10000; im.create(sizewindow.x, sizewindow.y); sf::Color clr; int xim = 0, yim = 0; for (TYPE currx = x.x; currx <= x.y; currx += epsilon, ++xim) { yim = 0; while (xim >= sizewindow.x) --xim; for (TYPE curry = y.x; curry <= y.y; curry += epsilon, ++yim) { while (yim >= sizewindow.y) --yim; clr = sf::Color::Black; Complex<TYPE> curr; float red = 0, green = 0, blue = 0; im.setPixel(xim, yim, sf::Color::Black); for (int i = 0; i < max_it; ++i) { if (curr.module_sqr() >= infinity_sqr) { clr = sf::Color(red, green, blue); im.setPixel(xim, yim, clr); break; } curr = curr * curr + Complex<TYPE>(currx, curry); step_clr(red, green, blue); } } } sf::Sprite s; sf::Texture t; t.loadFromImage(im); s.setTexture(t); while (window.isOpen()) { sf::Event event; while (window.pollEvent(event)) { if (event.type == sf::Event::Closed) window.close(); } window.clear(); window.draw(s); window.display(); } } </syntaxhighlight> ==== Пример добавления цвета (на Flat Assembler) ==== Ну что. Надо писать код. Программирование. А я пишу на языке Flat Assembler! Выбор именно этой среды разработки совсем необычен, но так уж сложилось. Как написано: "Это действие исключительно простое - нужно перетащить мышкой значок файла Mandelbrot.asm на значок FASM.EXE так, чтобы произошло действие "Открыть с помощью". В результате в папке немедленно появится приложение Mandelbrot.exe". https://flatassembler.net/download.php ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ Приложение Mandelbrot рисует во весь экран участок множества Мандельброта и показывает анимацию. Направление движения анимации можно менять стрелочными клавишами клавиатуры компьютера. Две разные палитры раскраски можно выбирать клавишами F6 и F7. Пять разных заранее выбранных интересных мест множества Мандельброта можно выбирать клавишами F1, F2, F3, F4, F5. Клик левой кнопкой мыши приближает (увеличивает) изображение в 2 раза, клик правой кнопкой мыши - отдаляет (уменьшает) изображение в 2 раза. Информацию о понравившемся изображении можно сохранить на будущее в файл клавишей End и потом загрузить из файла клавишей Ins. Чтобы выйти, нужно нажать клавишу Esc. <syntaxhighlight lang="nasm"> format PE GUI 4.0 entry start macro invoke proc,[arg] { common if ~ arg eq reverse pushd arg common end if call [proc] } macro proc [args] { common match name params, args> \{ define@proc name,<params \} } prologue@proc equ prologuedef macro prologuedef procname,flag,parmbytes,localbytes,reglist { if parmbytes | localbytes push ebp mov ebp,esp if localbytes sub esp,localbytes end if end if irps reg, reglist \{ push reg \} } epilogue@proc equ epiloguedef macro epiloguedef procname,flag,parmbytes,localbytes,reglist { irps reg, reglist \{ reverse pop reg \} if parmbytes | localbytes leave end if if flag and 10000b retn else retn parmbytes end if } macro define@proc name,statement { local params,flag,regs,parmbytes,localbytes,current if used name name: match =stdcall args, statement \{ params equ args flag = 11b \} match =stdcall, statement \{ params equ flag = 11b \} match =c args, statement \{ params equ args flag = 10001b \} match =c, statement \{ params equ flag = 10001b \} match =params, params \{ params equ statement flag = 0 \} virtual at ebp+8 match =uses reglist=,args, params \{ regs equ reglist params equ args \} match =regs =uses reglist, regs params \{ regs equ reglist params equ \} match =regs, regs \{ regs equ \} match =,args, params \{ defargs@proc args \} match =args@proc args, args@proc params \{ defargs@proc args \} parmbytes = $ - (ebp+8) end virtual name # % = parmbytes/4 all@vars equ current = 0 match prologue:reglist, prologue@proc:<regs> \{ prologue name,flag,parmbytes,localbytes,reglist \} macro locals \{ virtual at ebp-localbytes+current macro label def \\{ match . type,def> \\\{ deflocal@proc .,label,<type \\\} \\} struc db [val] \\{ \common deflocal@proc .,db,val \\} struc du [val] \\{ \common deflocal@proc .,du,val \\} struc dw [val] \\{ \common deflocal@proc .,dw,val \\} struc dp [val] \\{ \common deflocal@proc .,dp,val \\} struc dd [val] \\{ \common deflocal@proc .,dd,val \\} struc dt [val] \\{ \common deflocal@proc .,dt,val \\} struc dq [val] \\{ \common deflocal@proc .,dq,val \\} struc rb cnt \\{ deflocal@proc .,rb cnt, \\} struc rw cnt \\{ deflocal@proc .,rw cnt, \\} struc rp cnt \\{ deflocal@proc .,rp cnt, \\} struc rd cnt \\{ deflocal@proc .,rd cnt, \\} struc rt cnt \\{ deflocal@proc .,rt cnt, \\} struc rq cnt \\{ deflocal@proc .,rq cnt, \\} \} macro endl \{ purge label restruc db,du,dw,dp,dd,dt,dq restruc rb,rw,rp,rd,rt,rq current = $-(ebp-localbytes) end virtual \} macro ret operand \{ match any, operand \\{ retn operand \\} match , operand \\{ match epilogue:reglist, epilogue@proc:<regs> \\\{ epilogue name,flag,parmbytes,localbytes,reglist \\\} \\} \} macro finish@proc \{ localbytes = (((current-1) shr 2)+1) shl 2 end if \} } macro defargs@proc [arg] { common if ~ arg eq forward local ..arg,current@arg match argname:type, arg \{ current@arg equ argname label ..arg type argname equ ..arg if dqword eq type dd ?,?,?,? else if tbyte eq type dd ?,?,? else if qword eq type | pword eq type dd ?,? else dd ? end if \} match =current@arg,current@arg \{ current@arg equ arg arg equ ..arg ..arg dd ? \} common args@proc equ current@arg forward restore current@arg common end if } macro endp { purge ret,locals,endl finish@proc purge finish@proc restore regs@proc match all,args@proc \{ restore all \} restore args@proc match all,all@vars \{ restore all \} } macro library [name,string] { forward local _label if defined name#.redundant if ~ name#.redundant dd RVA name#.lookup,0,0,RVA _label,RVA name#.address end if end if name#.referred = 1 common dd 0,0,0,0,0 forward if defined name#.redundant if ~ name#.redundant _label db string,0 rb RVA $ and 1 end if end if } macro import name,[label,string] { common if defined name#.referred name#.lookup: forward if used label if string eqtype '' local _label dd RVA _label else dd 80000000h + string end if end if common if $ > name#.lookup name#.redundant = 0 dd 0 else name#.redundant = 1 end if name#.address: forward if used label if string eqtype '' label dd RVA _label else label dd 80000000h + string end if end if common if ~ name#.redundant dd 0 end if forward if used label & string eqtype '' _label dw 0 db string,0 rb RVA $ and 1 end if common end if } macro directory [type,label] { common local max,count count = 0 max = 0 forward count = count + 1 if type > max max = type end if common root@resource dd 0,%t,0,count shl 16 repeat max forward if % = type dd type,80000000h+label-root@resource end if common end repeat } macro resource dir,[id,lang,label] { common dir: local min,max,count,current forward min = id max = id common count = 0 forward count = count + 1 if id < min min = id else if id > max max = id end if common dd 0,%t,0,count shl 16 repeat max-min+1 current = $ forward if min+%-1 = id if current = $ dd id,80000000h+label#.directory-root@resource end if end if common end repeat repeat max-min+1 current = $ forward if min+%-1 = id if current = $ label#.directory dd 0,%t,0,10000h,lang,label-root@resource count = 1 else dd lang,label-root@resource count = count + 1 end if end if label#.resid = id common local x,y,z,v1,v2 if count > 1 store word count at current+0Eh x = count shr 1 while x > 0 y = x while y < count z = y while z-x >= 0 load v1 dword from current+10h+z*8 load v2 dword from current+10h+(z-x)*8 if v1<v2 store dword v1 at current+10h+(z-x)*8 store dword v2 at current+10h+z*8 load v1 dword from current+10h+z*8+4 load v2 dword from current+10h+(z-x)*8+4 store dword v1 at current+10h+(z-x)*8+4 store dword v2 at current+10h+z*8+4 else break end if z = z-x end while y = y+1 end while x = x shr 1 end while end if end repeat } section '.code' code readable executable start: mov [snam],0 invoke CreateMutex,0,0,mutexname invoke GetLastError cmp eax,ERROR_ALREADY_EXISTS jne willwork invoke ExitProcess,0 willwork: invoke EnumDisplaySettings,0,-1,dmDeviceName mov eax,[dmPelsWidth] shr eax,2 shl eax,2 mov [wi],eax mov [wwi],eax mov eax,[dmPelsHeight] mov [he],eax mov [whe],eax invoke GetCommandLine mov esi,eax cld zikl: lodsb cmp al,0 je worki cmp al,'/' jne zikl lodsb cmp al,'p' jne nofinti nofin: lodsb cmp al,0 jne nofin mov ebx,1 mov ecx,10 calcul: dec esi dec esi xor eax,eax lodsb cmp al,' ' je calend sub al,30h mul ebx add [ifparent],eax mov eax,ebx mul ecx mov ebx,eax jmp calcul calend: invoke GetWindowRect,[ifparent],spleft mov ebx,[spright] mov edx,[spleft] sub ebx,edx mov [wi],ebx mov [wwi],ebx mov eax,[spbottom] mov ecx,[sptop] sub eax,ecx mov [he],eax mov [whe],eax mul ebx mov [proizv],eax mov [wstyle],WS_CHILD+WS_VISIBLE jmp worki nofinti: cmp al,'c' jne worki mov [cflag],1 mov [wwi],640 mov eax,[dmPelsWidth] sub eax,[wwi] shr eax,1 mov [le],eax mov [whe],302 invoke GetSystemMetrics,SM_CYCAPTION add [whe],eax invoke GetSystemMetrics,SM_CYFIXEDFRAME shl eax,1 add [whe],eax mov eax,[dmPelsHeight] sub eax,[whe] shr eax,1 mov [to],eax mov [wi],452 mov [he],300 mov [wstyle],WS_VISIBLE+WS_SYSMENU worki: cld mov edi,palet mov esi,qalet finit fild [sds] ;127 fild [dtp] ;255 127 fldpi ;pi 255 127 splpal: fild [gbs] ;0 pi 255 127 fadd st0,st0 ;0*2 pi 255 127 fmul st0,st1 ;0*2*pi pi 255 127 fdiv st0,st2 ;0*2*pi/255 pi 255 127 fld st0 ;0*2*pi/255 0*2*pi/255 pi 255 127 fcos ;cos 0*2*pi/255 pi 255 127 fmul st0,st4 ;cos*127 0*2*pi/255 pi 255 127 fadd st0,st4 ;cos*127+127 0*2*pi/255 pi 255 127 fistp [valb] ;0*2*pi/255 pi 255 127 fsin ;sin pi 255 127 fmul st0,st3 ;sin*127 pi 255 127 fadd st0,st3 ;sin*127+127 pi 255 127 fistp [valg] ;pi 255 127 mov ax,[seed1] mov bx,[seed2] mov cx,ax mul [cont] shl cx,3 add ch,cl add dx,cx add dx,bx shl bx,2 add dx,bx add dh,bl shl bx,5 add dh,bl add ax,1 adc dx,0 mov [seed1],ax mov [seed2],dx mov cx,dx mov bx,256 mul bx mov ax,cx mov cx,dx mul bx add ax,cx adc dx,0 mov ax,dx and eax,0FFh shl eax,8 or eax,[valg] shl eax,8 or eax,[valb] stosd ror eax,8 xchg al,ah rol eax,8 mov [esi],eax add esi,4 inc [gbs] cmp edi,palet+1020 jb splpal fstp st0 fstp st0 fstp st0 mov eax,00FFFFFFh stosd mov [esi],eax invoke GetModuleHandle,0 mov [clsHInstance],eax invoke LoadIcon,eax,9758 mov [clsHIcon],eax invoke LoadCursor,0,IDC_CROSS mov [clsHCursor],eax invoke RegisterClass,clsStyle invoke CreateWindowEx,0,splclassname,spltitlename,[wstyle],[le],[to],[wwi],[whe],[ifparent],0,[clsHInstance],0 mov [newhwnd],eax cmp [cflag],1 jne noconfig invoke CreateWindowEx,0,stname,sabout,WS_CHILD+WS_VISIBLE,460,0,172,302,[newhwnd],3961,[clsHInstance],0 mov [hmess],eax invoke CreateWindowEx,0,stname,0,SS_BITMAP+SS_SUNKEN+WS_CHILD+WS_VISIBLE,0,0,454,302,[newhwnd],3962,[clsHInstance],0 mov [newhwnd],eax invoke CreateFontIndirect,lfHeight mov [HNewFont],eax invoke SendMessage,[hmess],WM_SETFONT,[HNewFont],1 noconfig: invoke GetDC,[newhwnd] mov [MyDC],eax invoke CreateDIBSection,[MyDC],bhead,0,tut,0,0 mov [HBitmap],eax invoke CreateCompatibleDC,[MyDC] mov [CoDC],eax invoke SelectObject,[CoDC],[HBitmap] mov [OBitmap],eax invoke CreateEvent,0,0,0,event1name mov [ehndl],eax invoke CreateEvent,0,0,0,event2name mov [chndl],eax invoke CreateEvent,0,0,0,event3name mov [dhndl],eax invoke CreateThread,0,0,Thr1Proc,0,0,Thr1ID mov [t1hndl],eax invoke CreateThread,0,0,Thr2Proc,0,0,Thr2ID mov [t2hndl],eax invoke CreateThread,0,0,Thr3Proc,0,0,Thr3ID mov [t3hndl],eax invoke GetCurrentProcess invoke SetPriorityClass,eax,REALTIME_PRIORITY_CLASS invoke SetThreadPriority,[t1hndl],THREAD_PRIORITY_TIME_CRITICAL call pusk msg_loop: invoke GetMessage,msHWND,0,0,0 or eax,eax jz end_loop invoke DispatchMessage,msHWND jmp msg_loop end_loop: invoke SelectObject,[CoDC],[OBitmap] invoke DeleteObject,[HBitmap] invoke DeleteDC,[CoDC] invoke ReleaseDC,[newhwnd],[MyDC] invoke CloseHandle,[ehndl] invoke CloseHandle,[chndl] invoke CloseHandle,[dhndl] invoke CloseHandle,[t1hndl] invoke CloseHandle,[t2hndl] invoke CloseHandle,[t3hndl] invoke DeleteObject,[HNewFont] invoke ExitProcess,0 proc WndProc, hwnd,wmsg,wparam,lparam push ebx esi edi cmp [wmsg],WM_DESTROY je wmdestroy cmp [wmsg],WM_LBUTTONDOWN je ldown cmp [wmsg],WM_RBUTTONDOWN je rdown cmp [wmsg],WM_KEYDOWN je keypressed invoke DefWindowProc,[hwnd],[wmsg],[wparam],[lparam] jmp finish ldown: call coords fdivp st1,st0 fstp [size] call pusk jmp my rdown: call coords fmulp st1,st0 fstp [size] call pusk jmp my coords: mov eax,[lparam] mov [tempx],ax shr eax,16 mov edx,[he] sub dx,ax mov [tempy],dx finit fld [step] fild [tempx] fmul st0,st1 fld [labsc] faddp st1,st0 fstp [absc] fild [tempy] fmulp st1,st0 fld [bordi] faddp st1,st0 fstp [ordi] fld [size] fld1 fadd st0,st0 retn pusk: cld finit fild [wi] ;wi fld [size] ;size wi fdivrp st1,st0 ;size/wi fld st0 ;step step fstp [step] ;step fld1 ;1 step fld1 ;1 1 step fadd st0,st1 ;2 1 step fild [wi] ;wi 2 1 step fsub st0,st2 ;wi-1 2 1 step fdiv st0,st1 ;(wi-1)/2 2 1 step fmul st0,st3 ;(wi-1)/2*step 2 1 step fld [absc] ;absc (wi-1)/2*step 2 1 step fsub st0,st1 ;labsc (wi-1)/2*step 2 1 step fstp [labsc] ;(wi-1)/2*step 2 1 step fstp st0 ;2 1 step fild [he] ;he 2 1 step fsub st0,st2 ;he-1 2 1 step fdiv st0,st1 ;(he-1)/2 2 1 step fmul st0,st3 ;(he-1)/2*step 2 1 step fld [ordi] ;ordi (he-1)/2*step 2 1 step fsub st0,st1 ;bordi (he-1)/2*step 2 1 step fstp [bordi] ;(he-1)/2*step 2 1 step finit invoke SetEvent,[chndl] invoke SetEvent,[dhndl] retn keypressed: cmp [wparam],VK_LEFT jne noleft mov [Direction],1 jmp my noleft: cmp [wparam],VK_RIGHT jne noright mov [Direction],2 jmp my noright: cmp [wparam],VK_F1 jne nof1 finit fld [absc1] fstp [absc] fld [ordi1] fstp [ordi] fld [size1] fstp [size] call pusk jmp my nof1: cmp [wparam],VK_F2 jne nof2 finit fld [absc2] fstp [absc] fld [ordi2] fstp [ordi] fld [size2] fstp [size] call pusk jmp my nof2: cmp [wparam],VK_F3 jne nof3 finit fld [absc3] fstp [absc] fld [ordi3] fstp [ordi] fld [size3] fstp [size] call pusk jmp my nof3: cmp [wparam],VK_F4 jne nof4 finit fld [absc4] fstp [absc] fld [ordi4] fstp [ordi] fld [size4] fstp [size] call pusk jmp my nof4: cmp [wparam],VK_F5 jne nof5 finit fld [absc5] fstp [absc] fld [ordi5] fstp [ordi] fld [size5] fstp [size] call pusk jmp my nof5: cmp [wparam],VK_F6 jne nof6 mov [whatpal],palet jmp my nof6: cmp [wparam],VK_F7 jne nof7 mov [whatpal],qalet jmp my nof7: cmp [wparam],VK_F12 jne nof12 mov [iter],1048560 invoke SetEvent,[chndl] invoke SetEvent,[dhndl] jmp my nof12: cmp [wparam],VK_INSERT jne noins invoke GetOpenFileName,ofn cmp eax,0 je my invoke CreateFile,snam,GENERIC_READ,FILE_SHARE_READ,0,OPEN_EXISTING,0,0 mov [hfile],eax invoke ReadFile,[hfile],absc,10,hows,0 invoke ReadFile,[hfile],ordi,10,hows,0 invoke ReadFile,[hfile],size,10,hows,0 invoke CloseHandle,[hfile] call pusk jmp my noins: cmp [wparam],VK_END jne noend invoke GetSaveFileName,ofn cmp eax,0 je my invoke CreateFile,snam,GENERIC_WRITE,0,0,CREATE_ALWAYS,FILE_ATTRIBUTE_NORMAL,0 mov [hfile],eax invoke WriteFile,[hfile],absc,10,hows,0 invoke WriteFile,[hfile],ordi,10,hows,0 invoke WriteFile,[hfile],size,10,hows,0 invoke CloseHandle,[hfile] jmp my noend: cmp [wparam],VK_ESCAPE jne my wmdestroy: invoke PostQuitMessage,0 my: xor eax,eax finish: pop edi esi ebx ret endp proc Thr1Proc,Paramx align 16 again: cmp [Direction],1 je revers cld mov esi,[whatpal] mov edi,esi lodsd mov ecx,254 repe movsd stosd jmp endchoice revers: std mov esi,[whatpal] add esi,1016 mov edi,esi lodsd mov ecx,254 repe movsd stosd cld endchoice: invoke SetDIBColorTable,[CoDC],0,256,[whatpal] ; invoke WaitForSingleObject,[ehndl],16 invoke DwmFlush invoke BitBlt,[MyDC],0,0,[wi],[he],[CoDC],0,0,SRCCOPY jmp again endp proc Thr2Proc, paramx align 16 agaj: invoke WaitForSingleObject,[chndl],-1 finit mov [y1],0 mov edi,[tut] mov ebx,255 fld [t] ;t fld [step] ;step t vertp: mov [x1],0 fld [bordi] ;ordi step t fild [y1] ;y ordi step t fmul st0,st2 ;y*step ordi step t faddp st1,st0 ;imc step t horip: fld [labsc] ;absc imc step t fild [x1] ;x absc imc step t fmul st0,st3 ;x*step absc imc step t faddp st1,st0 ;rec imc step t fld st1 ;im rec imc step t fld st1 ;re im rec imc step t mov ecx,[iter] align 16 iterat: fld st1 ;im re im rec imc step t fmul st2,st0 ;im re im*im rec imc step t fld st1 ;re im re im*im rec imc step t fmul st2,st0 ;re im re*re im*im rec imc step t fmulp st1,st0 ;im*re re*re im*im rec imc step t fld st1 ;re*re im*re re*re im*im rec imc step t fadd st0,st3 ;re*re+im*im im*re re*re im*im rec imc step t fcomip st7 ;im*re re*re im*im rec imc step t ja nook fadd st0,st0 ;im*re+im*re re*re im*im rec imc step t fadd st0,st4 ;imnew re*re im*im rec imc step t fxch st2 ;im*im re*re imnew rec imc step t fsubp st1,st0 ;re*re-im*im imnew rec imc step t fadd st0,st2 ;renew imnew rec imc step t loop iterat mov dl,255 jmp nexxt nook: fstp st0 mov eax,ecx xor edx,edx div ebx nexxt: mov al,dl stosb fstp st0 fstp st0 fstp st0 inc [x1] mov eax,[wi] cmp [x1],eax jb horip fstp st0 add edi,[wi] inc [y1] inc [y1] mov eax,[he] cmp [y1],eax jb vertp mov [iter],40080 jmp agaj endp proc Thr3Proc, paramx align 16 agaj2: invoke WaitForSingleObject,[dhndl],-1 finit mov [y2],1 mov edi,[tut] add edi,[wi] mov ebx,255 fld [t] ;t fld [step] ;step t vertp2: mov [x2],0 fld [bordi] ;ordi step t fild [y2] ;y ordi step t fmul st0,st2 ;y*step ordi step t faddp st1,st0 ;imc step t horip2: fld [labsc] ;absc imc step t fild [x2] ;x absc imc step t fmul st0,st3 ;x*step absc imc step t faddp st1,st0 ;rec imc step t fld st1 ;im rec imc step t fld st1 ;re im rec imc step t mov ecx,[iter] align 16 iterat2: fld st1 ;im re im rec imc step t fmul st2,st0 ;im re im*im rec imc step t fld st1 ;re im re im*im rec imc step t fmul st2,st0 ;re im re*re im*im rec imc step t fmulp st1,st0 ;im*re re*re im*im rec imc step t fld st1 ;re*re im*re re*re im*im rec imc step t fadd st0,st3 ;re*re+im*im im*re re*re im*im rec imc step t fcomip st7 ;im*re re*re im*im rec imc step t ja nook2 fadd st0,st0 ;im*re+im*re re*re im*im rec imc step t fadd st0,st4 ;imnew re*re im*im rec imc step t fxch st2 ;im*im re*re imnew rec imc step t fsubp st1,st0 ;re*re-im*im imnew rec imc step t fadd st0,st2 ;renew imnew rec imc step t loop iterat2 mov dl,255 jmp nexxt2 nook2: fstp st0 mov eax,ecx xor edx,edx div ebx nexxt2: mov al,dl stosb fstp st0 fstp st0 fstp st0 inc [x2] mov eax,[wi] cmp [x2],eax jb horip2 fstp st0 add edi,[wi] inc [y2] inc [y2] mov eax,[he] cmp [y2],eax jb vertp2 mov [iter],40080 jmp agaj2 endp section '.idata' import data readable writeable library kernel,'KERNEL32.DLL',\ user,'USER32.DLL',\ gdi,'GDI32.DLL',\ ddllgg,'COMDLG32.DLL',\ dwmapi,'DWMAPI.DLL' import kernel,\ GetModuleHandle,'GetModuleHandleA',\ GetCommandLine,'GetCommandLineA',\ CreateMutex,'CreateMutexA',\ CreateThread,'CreateThread',\ CreateEvent,'CreateEventA',\ SetEvent,'SetEvent',\ CreateFile,'CreateFileA',\ ReadFile,'ReadFile',\ WriteFile,'WriteFile',\ WaitForSingleObject,'WaitForSingleObject',\ CloseHandle,'CloseHandle',\ GetLastError,'GetLastError',\ GetCurrentProcess,'GetCurrentProcess',\ SetPriorityClass,'SetPriorityClass',\ SetThreadPriority,'SetThreadPriority',\ ExitProcess,'ExitProcess' import user,\ RegisterClass,'RegisterClassA',\ CreateWindowEx,'CreateWindowExA',\ DefWindowProc,'DefWindowProcA',\ GetMessage,'GetMessageA',\ SendMessage,'SendMessageA',\ DispatchMessage,'DispatchMessageA',\ LoadCursor,'LoadCursorA',\ LoadIcon,'LoadIconA',\ GetDC,'GetDC',\ ReleaseDC,'ReleaseDC',\ GetWindowRect,'GetWindowRect',\ EnumDisplaySettings,'EnumDisplaySettingsA',\ GetSystemMetrics,'GetSystemMetrics',\ PostQuitMessage,'PostQuitMessage' import gdi,\ CreateDIBSection,'CreateDIBSection',\ CreateCompatibleDC,'CreateCompatibleDC',\ SelectObject,'SelectObject',\ DeleteObject,'DeleteObject',\ DeleteDC,'DeleteDC',\ CreateFontIndirect,'CreateFontIndirectA',\ SetDIBColorTable,'SetDIBColorTable',\ BitBlt,'BitBlt' import ddllgg,\ GetOpenFileName,'GetOpenFileNameA',\ GetSaveFileName,'GetSaveFileNameA' import dwmapi,\ DwmFlush,'DwmFlush' section '.data' data readable writeable absc dt 0.23215767853857 ordi dt -0.54953856716295 size dt 0.000000000008 t dt 10000000000000.0 iter dd 40080 absc1 dt -0.8274339775534058 ordi1 dt 0.1863544535074837 size1 dt 0.000000000000023 absc2 dt -0.839415805050327289052 ordi2 dt 0.223484686429087973440 size2 dt -0.00000000000014 absc3 dt -0.7849958448296 ordi3 dt -0.14659449428125 size3 dt 0.000000000035 absc4 dt -1.1896303680411870529 ordi4 dt 0.304275733768362228928 size4 dt 0.0000000000000028 absc5 dt -0.737724728811921468701 ordi5 dt 0.289595161073595381255 size5 dt 0.00000000000024 whatpal dd palet clsStyle dd 0 clsLpfnWndProc dd WndProc clsCbClsExtra dd 0 clsCbWndExtra dd 0 clsHInstance dd ? clsHIcon dd ? clsHCursor dd ? clsHbrBackground dd COLOR_BTNFACE+1 clsLpszMenuName dd 0 clsLpszClassName dd splclassname wstyle dd WS_POPUP+WS_VISIBLE ifparent dd 0 mutexname db 'fdjfyyjdsjf',0 event1name db 'iidegfkdgpe',0 event2name db 'pyoupovppve',0 event3name db 'oyiotegfgwe',0 splclassname db 'ekjgddirkul',0 spltitlename db 'Spl Mandelbrot - Settings',0 stname db 'STATIC',0 sabout db 13,10,'Key:',13,10 db 'F1-F5 - Images',13,10 db 'F6,F7 - palettes',13,10 db 'arrows - direction',13,10 db 'Esc - Exit',13,10 db 'Ins - Loading',13,10 db 'End - preservation',13,10,13,10 db 'Mouse buttons:',13,10 db 'left - increase',13,10 db 'right - reduction',13,10,13,10 db 'Author site:',13,10 db 'https://splushka.narod.ru/',0 lfHeight dd -14 lfWidth dd 0 lfEscapement dd 0 lfOrientation dd 0 lfWeight dd FW_NORMAL lfItalic db 0 lfUnderline db 0 lfStrikeOut db 0 lfCharSet db RUSSIAN_CHARSET lfOutPrecision db OUT_TT_PRECIS lfClipPrecision db CLIP_DEFAULT_PRECIS lfQuality db PROOF_QUALITY lfPitchAndFamily db FIXED_PITCH+FF_MODERN lfFaceName db 'Courier New',0 Direction dd 1 seed1 dw 0 seed2 dw 0 cont dw 8405h gbs dd 0 sds dd 127 dtp dd 255 cflag dd 0 le dd 0 to dd 0 ofn dd 76 hWndOwner dd 0 hInstance dd 0 lpstrFilter dd sfilter lpstrCustomFilter dd 0 nMaxCustFilter dd 0 nFilterIndex dd 0 lpstrFile dd snam nMaxFile dd 1024 lpstrFileTitle dd 0 nMaxFileTitle dd 0 lpstrInitialDir dd 0 lpstrTitle dd 0 Flags dd OFN_LONGNAMES+OFN_HIDEREADONLY+OFN_OVERWRITEPROMPT+OFN_FILEMUSTEXIST+OFN_PATHMUSTEXIST nFileOffset dw 0 nFileExtension dw 0 lpstrDefExt dd exte lCustData dd 0 lpfnHook dd 0 lpTemplateName dd 0 sfilter db '*.plu params file \(^o^)/',0,'*.plu',0,0 exte db 'plu' bhead dd 40 wi dd ? he dd ? dw 1 dw 8 dd 0 proizv dd ? dd 2834 dd 2834 dd 0 dd 0 palet rd 256 qalet rd 256 HBitmap rd 1 OBitmap rd 1 MyDC rd 1 CoDC rd 1 Thr1ID rd 1 Thr2ID rd 1 Thr3ID rd 1 msHWND rd 1 msMESSAGE rd 1 msWPARAM rd 1 msLPARAM rd 1 msTIME rd 1 msPT rd 2 newhwnd rd 1 ehndl rd 1 chndl rd 1 dhndl rd 1 t1hndl rd 1 t2hndl rd 1 t3hndl rd 1 spleft rd 1 sptop rd 1 spright rd 1 spbottom rd 1 dmDeviceName rb 32 dmSpecVersion rw 1 dmDriverVersion rw 1 dmSize rw 1 dmDriverExtra rw 1 dmFields rd 1 dmOrientation rw 1 dmPaperSize rw 1 dmPaperLength rw 1 dmPaperWidth rw 1 dmScale rw 1 dmCopies rw 1 dmDefaultSource rw 1 dmPrintQuality rw 1 dmColor rw 1 dmDuplex rw 1 dmYResolution rw 1 dmTTOption rw 1 dmCollate rw 1 dmFormName rb 32 dmLogPixels rw 1 dmBitsPerPel rd 1 dmPelsWidth rd 1 dmPelsHeight rd 1 dmDisplayFlags rd 1 dmDisplayFrequency rd 1 wwi rd 1 whe rd 1 valg rd 1 valb rd 1 x1 rd 1 y1 rd 1 x2 rd 1 y2 rd 1 tut rd 1 step rt 1 labsc rt 1 bordi rt 1 HNewFont rd 1 hmess rd 1 snam rb 1024 hfile rd 1 hows rd 1 tempx rw 1 tempy rw 1 ERROR_ALREADY_EXISTS=183 SRCCOPY=00CC0020h IDI_ASTERISK=32516 IDC_CROSS=32515 WS_POPUP=080000000h WS_VISIBLE=010000000h WM_DESTROY=0002h VK_LEFT=025h VK_RIGHT=027h VK_ESCAPE=01Bh COLOR_BTNFACE=15 WS_CHILD=040000000h SM_CYCAPTION=4 SM_CXFIXEDFRAME=7 SM_CYFIXEDFRAME=8 WS_SYSMENU=000080000h SS_BITMAP=000Eh SS_SUNKEN=1000h WM_SETFONT=0030h REALTIME_PRIORITY_CLASS=100h THREAD_PRIORITY_TIME_CRITICAL=15 WM_LBUTTONDOWN=0201h WM_RBUTTONDOWN=0204h WM_KEYDOWN=0100h VK_F1=070h VK_F2=071h VK_F3=072h VK_F4=073h VK_F5=074h VK_F6=075h VK_F7=076h VK_F12=07Bh VK_INSERT=02Dh OPEN_EXISTING=3 FILE_SHARE_READ=00000001h GENERIC_READ=80000000h VK_END=023h FILE_ATTRIBUTE_NORMAL=080h CREATE_ALWAYS=2 GENERIC_WRITE=40000000h FW_NORMAL=400 RUSSIAN_CHARSET=204 OUT_TT_PRECIS=4 CLIP_DEFAULT_PRECIS=0 PROOF_QUALITY=2 FIXED_PITCH=1 FF_MODERN=30h OFN_LONGNAMES=200000h OFN_HIDEREADONLY=000004h OFN_OVERWRITEPROMPT=000002h OFN_FILEMUSTEXIST=001000h OFN_PATHMUSTEXIST=000800h RT_ICON=3 RT_GROUP_ICON=14 LANG_NEUTRAL=0 </syntaxhighlight> f46lm6r163a9e47obx11kcabwjkphuu 0 20064 267555 236322 2026-05-20T14:49:00Z Def2010 48479 исправление 267555 wikitext text/x-wiki '''Kodak IN-5''' — серебряный [[w:Усиление_фотоизображения#Типы_усилителей|пропорциональный усилитель]] для фотоплёнок, единственный из известных составов, который не изменяет цвет позитивной фильмокопии. Пригоден для усиления как негативных, так и позитивных материалов{{sfn|Crabtree|1938|с=317—318}}{{sfn|Гурлев|1988|с=149—150}}. == Требования к материалам и исходникам == Негативы должны быть правильно экспонированы и недопроявлены. == Состав == Готовят четыре стоковых раствора{{sfn|Crabtree|1938|с=317—318}}: === Раствор 1 === * [[w:Нитрат серебра|Нитрат серебра]] — 60 г; * Вода — до 1 л. === Раствор 2 === * [[w:Сульфит натрия|Сульфит натрия б/в]] — 60 г; * Вода — до 1 л. === Раствор 3 === * [[w:Тиосульфат натрия|Тиосульфат натрия]] — 105 г; * Вода — до 1 л. === Раствор 4 === * [[w:Метол|Метол]] — 8 г; * [[w:Сульфит натрия|Сульфит натрия б/в]] — 5 г; * Вода — до 1 л. Д. Гурлев в своём справочнике приводит несколько изменённый состав, содержащий 100 г тиосульфата натрия вместо 105 г и 12 г метола вместо 8 г{{sfn|Гурлев|1988|с=149—150}}. === Приготовление рабочего раствора === Рабочий раствор составляют из 1 + 1 + 1 + 3 частей соответствующих растворов{{sfn|Crabtree|1938|с=317—318}}. К раствору 1 при размешивании приливается раствор 2. Должен образоваться осадок. После этого приливают раствор 3. Необходимо подождать, пока раствор не станет прозрачным, после этого приливают раствор 4. Рабочий раствор используют немедленно{{sfn|Crabtree|1938|с=317—318}}. == Обработка == Перед обработкой рекомендуется провести дубление плёнки в составе [[Фоторецептурный справочник/Kodak SH-1|Kodak SH-1]]{{sfn|Crabtree|1938|с=317—318}}. Обработку в растворе усилителя ведут не более 25 мин. Если за это время изображение не усилилось до нужной степени, раствор выливают и готовят новый. Процесс повторяют до достижения нужной плотности. После обработки проводят фиксирование — 2 мин. в 30 % растворе тиосульфата натрия и промывают 20—25 мин. в проточной воде{{sfn|Crabtree|1938|с=317—318}}. == Замечания == Обработка вызовет дополнительную вуаль. Цвет изображения не изменяется{{sfn|Crabtree|1938|с=317—318}}{{sfn|Гурлев|1988|с=149—150}}. == Сохраняемость == Раствор сохраняется в течение 30—40 мин, после этого выпадает осадок металлического серебра, вызывающий вуаль{{sfn|Crabtree|1938|с=317—318}}{{sfn|Гурлев|1988|с=149—150}}. == Примечания == {{Примечания}} == Литература == * {{книга|автор=Гурлев Д. С.|заглавие=Справочник по фотографии (обработка фотоматериалов)|издательство=Тэхника|место=К.|год=1988|ref=Гурлев}} * {{книга | автор = Crabtree J. I., Matthews G. E. | заглавие = Photographic chemicals and solutions | издательство = American photographic publishing Co. | место = Boston, Massachusetts | год = 1938 | ref = Crabtree}} [[Категория:Усилители|IN-5]] mygdyo4sj9j1wpw8rwlgb3rp6g0va39 0 20319 267632 258215 2026-05-21T08:21:55Z AllaBuraya 79455 267632 wikitext text/x-wiki {{Название учебника |Категория = Занимательная математика |Тип = Одностраничный }} '''Флексагоны''' — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности, которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь. Тригексафлексагон — простейший из флексагонов. Его можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников, следующим образом: * Вырезать из бумаги ленту шириной в 4-7 см и разметить с двух сторон согласно рисунку: [[Файл:Развёртка тригексафлексагона.png|center|240px|Развертка тригексафлексагона (с двух сторон)]] * Перегнуть ленту по каждой из линий в обе стороны и снова разогнуть. * Перегнуть ленту по линиям ''a''-''b'' и ''c''-''d'' так, чтобы секторы с «двойками» совместились друг с другом: [[Файл:Изготовление тригексафлексагона 1.png|center|160px|Изготовление тригексафлексагона]] * Перегнуть ленту по линии ''e''-''f'' так, чтобы совместились последние две «двойки». * Намазать клеем секторы, помеченные звёздочкой, и склеить их: [[Файл:Изготовление тригексафлексагона 2.png|center|120px|Тригексафлексагон]] Поздравляем, флексагон готов! [[Файл:Flexagon.gif|Флексагон в процессе разворачивания.]] 87s0uhtyvb2we2591czb4e909r2plbi 267747 267632 2026-05-21T10:31:53Z AllaBuraya 79455 267747 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный }} '''Флексагоны''' — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности, которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь. Тригексафлексагон — простейший из флексагонов. Его можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников, следующим образом: * Вырезать из бумаги ленту шириной в 4-7 см и разметить с двух сторон согласно рисунку: [[Файл:Развёртка тригексафлексагона.png|center|240px|Развертка тригексафлексагона (с двух сторон)]] * Перегнуть ленту по каждой из линий в обе стороны и снова разогнуть. * Перегнуть ленту по линиям ''a''-''b'' и ''c''-''d'' так, чтобы секторы с «двойками» совместились друг с другом: [[Файл:Изготовление тригексафлексагона 1.png|center|160px|Изготовление тригексафлексагона]] * Перегнуть ленту по линии ''e''-''f'' так, чтобы совместились последние две «двойки». * Намазать клеем секторы, помеченные звёздочкой, и склеить их: [[Файл:Изготовление тригексафлексагона 2.png|center|120px|Тригексафлексагон]] Поздравляем, флексагон готов! [[Файл:Flexagon.gif|Флексагон в процессе разворачивания.]] a58ipbab6xqr2jk307hiijuea3a8kv6 0 20453 267641 260487 2026-05-21T08:25:00Z AllaBuraya 79455 267641 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра, Программирование | Тип = Одностраничный }} =Фрактал= Фрактал может быть нарисован, например, так: <syntaxhighlight lang="pascal"> procedure Draw({parameters}); begin {drawing...} if {condition} then Draw({new parameters}); end; begin Draw({parameters}); end. </syntaxhighlight> Например: <syntaxhighlight lang="pascal"> uses GraphABC; const Angle = -Pi / 4; procedure RLine(x, y, x1, y1: real):=Line(Round(x), Round(y), Round(x1), Round(y1)); procedure Draw(x, y, l: real; iterations: integer); begin {drawing} var lx := x + l * Cos(Angle); var ly := y + l * Sin(Angle); var angle1 := -Pi / 2 + Angle; var rx := x + l * Cos(angle1); var ry := y + l * Sin(angle1); RLine(x, y, lx, ly); RLine(x, y, rx, ry); {condition} if iterations > 0 then begin Dec(iterations); l := l / 2; Draw(lx, ly, l, iterations); {recursive call} Draw(rx, ry, l, iterations); {recursive call} end; end; begin Lockdrawing(); Draw(300, 300, 200, 7); Redraw(); end. </syntaxhighlight> =Формулы= ==Вращение точки== Узнать координаты точки B, которая повернулась на угол Angle относительно точки A можно так: <syntaxhighlight lang="pascal"> B.X := A.X + R * Cos(Angle); B.Y := A.Y + R * Sin(Angle); </syntaxhighlight> , где класс точки: <syntaxhighlight lang="pascal"> type TPoint = auto class X, Y: real; end; </syntaxhighlight> ==Интерполяция между числами== Интерполяция между числами a, b - нахождение промежуточных между ними (включая a, b) значений. Пусть '''a = 0, b = 100''', то интерполяция '''от a к b''' при проценте интерполяции '''20%''' выдаст ответ '''20'''. Но, при интерполяции '''от b к а''' результатом будем '''80'''. Формула: <syntaxhighlight lang="pascal"> A + (B - A) * Percent </syntaxhighlight> , где Percent - процент интерполяции. 2zdv2kzgbhb613cytfl9s35hsdld5qs 267761 267641 2026-05-21T10:43:56Z AllaBuraya 79455 267761 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика, Программирование | Тип = Одностраничный }} =Фрактал= Фрактал может быть нарисован, например, так: <syntaxhighlight lang="pascal"> procedure Draw({parameters}); begin {drawing...} if {condition} then Draw({new parameters}); end; begin Draw({parameters}); end. </syntaxhighlight> Например: <syntaxhighlight lang="pascal"> uses GraphABC; const Angle = -Pi / 4; procedure RLine(x, y, x1, y1: real):=Line(Round(x), Round(y), Round(x1), Round(y1)); procedure Draw(x, y, l: real; iterations: integer); begin {drawing} var lx := x + l * Cos(Angle); var ly := y + l * Sin(Angle); var angle1 := -Pi / 2 + Angle; var rx := x + l * Cos(angle1); var ry := y + l * Sin(angle1); RLine(x, y, lx, ly); RLine(x, y, rx, ry); {condition} if iterations > 0 then begin Dec(iterations); l := l / 2; Draw(lx, ly, l, iterations); {recursive call} Draw(rx, ry, l, iterations); {recursive call} end; end; begin Lockdrawing(); Draw(300, 300, 200, 7); Redraw(); end. </syntaxhighlight> =Формулы= ==Вращение точки== Узнать координаты точки B, которая повернулась на угол Angle относительно точки A можно так: <syntaxhighlight lang="pascal"> B.X := A.X + R * Cos(Angle); B.Y := A.Y + R * Sin(Angle); </syntaxhighlight> , где класс точки: <syntaxhighlight lang="pascal"> type TPoint = auto class X, Y: real; end; </syntaxhighlight> ==Интерполяция между числами== Интерполяция между числами a, b - нахождение промежуточных между ними (включая a, b) значений. Пусть '''a = 0, b = 100''', то интерполяция '''от a к b''' при проценте интерполяции '''20%''' выдаст ответ '''20'''. Но, при интерполяции '''от b к а''' результатом будем '''80'''. Формула: <syntaxhighlight lang="pascal"> A + (B - A) * Percent </syntaxhighlight> , где Percent - процент интерполяции. h6btnw4g5j8hqs47us9l40y455inok9 267762 267761 2026-05-21T10:44:12Z AllaBuraya 79455 267762 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Программирование | Тип = Одностраничный }} =Фрактал= Фрактал может быть нарисован, например, так: <syntaxhighlight lang="pascal"> procedure Draw({parameters}); begin {drawing...} if {condition} then Draw({new parameters}); end; begin Draw({parameters}); end. </syntaxhighlight> Например: <syntaxhighlight lang="pascal"> uses GraphABC; const Angle = -Pi / 4; procedure RLine(x, y, x1, y1: real):=Line(Round(x), Round(y), Round(x1), Round(y1)); procedure Draw(x, y, l: real; iterations: integer); begin {drawing} var lx := x + l * Cos(Angle); var ly := y + l * Sin(Angle); var angle1 := -Pi / 2 + Angle; var rx := x + l * Cos(angle1); var ry := y + l * Sin(angle1); RLine(x, y, lx, ly); RLine(x, y, rx, ry); {condition} if iterations > 0 then begin Dec(iterations); l := l / 2; Draw(lx, ly, l, iterations); {recursive call} Draw(rx, ry, l, iterations); {recursive call} end; end; begin Lockdrawing(); Draw(300, 300, 200, 7); Redraw(); end. </syntaxhighlight> =Формулы= ==Вращение точки== Узнать координаты точки B, которая повернулась на угол Angle относительно точки A можно так: <syntaxhighlight lang="pascal"> B.X := A.X + R * Cos(Angle); B.Y := A.Y + R * Sin(Angle); </syntaxhighlight> , где класс точки: <syntaxhighlight lang="pascal"> type TPoint = auto class X, Y: real; end; </syntaxhighlight> ==Интерполяция между числами== Интерполяция между числами a, b - нахождение промежуточных между ними (включая a, b) значений. Пусть '''a = 0, b = 100''', то интерполяция '''от a к b''' при проценте интерполяции '''20%''' выдаст ответ '''20'''. Но, при интерполяции '''от b к а''' результатом будем '''80'''. Формула: <syntaxhighlight lang="pascal"> A + (B - A) * Percent </syntaxhighlight> , где Percent - процент интерполяции. sakpqz9n5cdf2509s9205noknfhhwnj 0 21489 267625 267437 2026-05-21T08:19:56Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267625 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Геометрия | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} {{Содержание «Аналитическая геометрия»}} {{wikipedia|Аналитическая геометрия}} '''Аналитическая геометрия''' — раздел [[w:Геометрия|геометрии]], в котором [[w:Фигура (геометрия)|геометрические фигуры]] и их свойства исследуются средствами [[w:Алгебра|алгебры]]. Как правило, аналитическая геометрия используется на плоскости (<math>R^2</math>) и пространстве(<math>R^3</math>). Её методы применяются в иных разделах математики, а также физики, техники, программировании и во многих других областях. == Литература == * «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», А.Е. Умнов, 3-е изд., М.: МФТИ, 2011. * «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ. * «ЛЕКЦИИ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ, ПОПОЛНЕННЫЕ НЕОБХОДИМЫМИ СВЕДЕНИЯМИ ИЗ АЛГЕБРЫ», П.С. Александров, М., изд. «НАУКА», 1968. qz9scihjjebizq6utcz1312sdhpfxq7 267725 267625 2026-05-21T10:02:12Z AllaBuraya 79455 267725 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Многостраничный | Готовность = 0% }} {{Содержание «Аналитическая геометрия»}} {{wikipedia|Аналитическая геометрия}} '''Аналитическая геометрия''' — раздел [[w:Геометрия|геометрии]], в котором [[w:Фигура (геометрия)|геометрические фигуры]] и их свойства исследуются средствами [[w:Алгебра|алгебры]]. Как правило, аналитическая геометрия используется на плоскости (<math>R^2</math>) и пространстве(<math>R^3</math>). Её методы применяются в иных разделах математики, а также физики, техники, программировании и во многих других областях. == Литература == * «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», А.Е. Умнов, 3-е изд., М.: МФТИ, 2011. * «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ. * «ЛЕКЦИИ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ, ПОПОЛНЕННЫЕ НЕОБХОДИМЫМИ СВЕДЕНИЯМИ ИЗ АЛГЕБРЫ», П.С. Александров, М., изд. «НАУКА», 1968. 7tyyevmj4ne7m3pck7qmsdmuk0kgxph 14 21491 267837 267453 2026-05-21T11:49:10Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267837 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Геометрия]] 76iggjess8hhxu08mlyjb6xsmwgd0ax 0 26463 267636 258222 2026-05-21T08:23:27Z AllaBuraya 79455 267636 wikitext text/x-wiki {{Название учебника |Категория = Занимательная математика |Тип = Одностраничный }} Автор курса: профессор, доктор физико-математических наук '''[[:w:Савватеев, Алексей Владимирович|Алексей Владимирович Савватеев]]''' «[https://www.youtube.com/playlist?list=PLH3NNipqeM1uNlTpQ0aw5u7VoVxQO3g7N Вехи математики: от Евклида до Галуа]» == Содержание == {| class="standard" !Конспекты !Видеолекции |- |[https://savvateev.xyz/vehi/1 Лекция 1.] [[:w:История математики|История математических задач]] |[[Файл:1.История математических задач.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/2 Лекция 2.] [[:w:Построение с помощью циркуля и линейки|Построения с помощью циркуля и линейки]] | [[Файл:2. Построения с помощью циркуля и линейки.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/3 Лекция 3.] Математическая техника | [[Файл:3. Математическая техника.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/4 Лекция 4.] [[:w:Число|Работа с числами]] | [[Файл:4. Работа с числами.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/5 Лекция 5.] [[:w:Умножение|Построение умножения]] | [[Файл:5.Построение умножения.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/6 Лекция 6.] [[:w:Деление (математика)|Умножение и деление]] | [[Файл:6.Умножение и деление.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/7 Лекция 7.] Делители натуральных чисел | [[Файл:7.Делители натуральных чисел.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/8 Лекция 8.] [[:w:Основная теорема арифметики|ОТА (начало)]] | [[Файл:8.ОТА начало.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/9 Лекция 9.] [[:w:Основная теорема арифметики|ОТА (продолжение)]] | [[Файл:9.ОТА продолжение.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/10 Лекция 10.] Описание всех делителей натурального числа | [[Файл:10.Описание всех делителей натурального числа.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/11 Лекция 11.] Следствия из ОТА | [[Файл:11. Следствия из ОТА.ogv|200px]] |- |} == См. также == * [[Популярная математика]] * [[Принципы математического мышления]] dpcs42hh8xp5d7og9bt3ipesubwtwhy 267748 267636 2026-05-21T10:32:06Z AllaBuraya 79455 267748 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный }} Автор курса: профессор, доктор физико-математических наук '''[[:w:Савватеев, Алексей Владимирович|Алексей Владимирович Савватеев]]''' «[https://www.youtube.com/playlist?list=PLH3NNipqeM1uNlTpQ0aw5u7VoVxQO3g7N Вехи математики: от Евклида до Галуа]» == Содержание == {| class="standard" !Конспекты !Видеолекции |- |[https://savvateev.xyz/vehi/1 Лекция 1.] [[:w:История математики|История математических задач]] |[[Файл:1.История математических задач.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/2 Лекция 2.] [[:w:Построение с помощью циркуля и линейки|Построения с помощью циркуля и линейки]] | [[Файл:2. Построения с помощью циркуля и линейки.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/3 Лекция 3.] Математическая техника | [[Файл:3. Математическая техника.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/4 Лекция 4.] [[:w:Число|Работа с числами]] | [[Файл:4. Работа с числами.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/5 Лекция 5.] [[:w:Умножение|Построение умножения]] | [[Файл:5.Построение умножения.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/6 Лекция 6.] [[:w:Деление (математика)|Умножение и деление]] | [[Файл:6.Умножение и деление.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/7 Лекция 7.] Делители натуральных чисел | [[Файл:7.Делители натуральных чисел.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/8 Лекция 8.] [[:w:Основная теорема арифметики|ОТА (начало)]] | [[Файл:8.ОТА начало.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/9 Лекция 9.] [[:w:Основная теорема арифметики|ОТА (продолжение)]] | [[Файл:9.ОТА продолжение.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/10 Лекция 10.] Описание всех делителей натурального числа | [[Файл:10.Описание всех делителей натурального числа.ogv|200px]] |- | [https://savvateev.xyz/vehi/11 Лекция 11.] Следствия из ОТА | [[Файл:11. Следствия из ОТА.ogv|200px]] |- |} == См. также == * [[Популярная математика]] * [[Принципы математического мышления]] 30td113opitxhallfwqzegdv6kb4sxl 0 26519 267643 258273 2026-05-21T08:27:09Z AllaBuraya 79455 267643 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Занимательная математика | Тип = Одностраничный }} Автор курса: профессор, доктор физико-математических наук '''[[:w:Савватеев, Алексей Владимирович|Алексей Владимирович Савватеев]]''' [[Файл:Алексей Савватеев.jpg|thumb|Алексей Савватеев на пресс-конференции в Университете Дмитрия Пожарского]] «[https://www.youtube.com/playlist?list=PLH3NNipqeM1toUuR1an_IP0DrHPqqQcA0 Популярная математика]» == Содержание == {| class="standard" !Конспекты !Видеолекции |- | Лекция 1. [[:w:Бином Ньютона|Бином Ньютона]] (при n=3) | [[Файл:Binomial theorem (n=3).ogv|200px]] |- |Лекция 2. [[:w:Теорема Пифагора|Теорема Пифагора]] | [[Файл:2.Теорема Пифагора.ogv|200px]] |- | Лекция 3. [[:w:Точка Штейнера|Линейка Штейнера]] |[[Файл:3.Линейка Штейнера.ogv|200px]] |- | Лекция 4. [[:w:Компактное пространство|Теорема о неподвижной точке]] | [[Файл:4.Теорема о неподвижной точке.ogv|200px]] |- | Лекция 5. Удлинение железной дороги: выход в комплексную плоскость | [[Файл:5.Удлинение железной дороги.ogv|200px]] |- | Лекция 6. [[:w:Сет (игра)|Карточная игра СЕТ]] | [[Файл:6.Настольная игра CET.ogv|200px]] |- | Лекция 7. Задача про циклический поезд | [[Файл:7.Задача про циклический поезд.ogv|200px]] |- | Лекция 8. [[:w:Кубик Рубика|Кубик Рубика]],<br>[[:w:Математика кубика Рубика|Математика кубика Рубика]],<br>[[:w:Группа кубика Рубика|Группа кубика Рубика]] | [[Файл:Rubik's Cube.ogv|200px]] |- | Лекция 9. Савватеев и шахматы |[[Файл:Савватеев и шахматы.ogv|200px]] |- | Лекция 10. Одно уравнение x^(x-1)=2 | [[Файл:Equation x^(x-1)=2.ogv|200px]] |- |} == См. также == * [[История математики]] * [[Принципы математического мышления]] bktemuqi8t88y9jc6up98kjof3td1f0 267749 267643 2026-05-21T10:32:16Z AllaBuraya 79455 267749 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный }} Автор курса: профессор, доктор физико-математических наук '''[[:w:Савватеев, Алексей Владимирович|Алексей Владимирович Савватеев]]''' [[Файл:Алексей Савватеев.jpg|thumb|Алексей Савватеев на пресс-конференции в Университете Дмитрия Пожарского]] «[https://www.youtube.com/playlist?list=PLH3NNipqeM1toUuR1an_IP0DrHPqqQcA0 Популярная математика]» == Содержание == {| class="standard" !Конспекты !Видеолекции |- | Лекция 1. [[:w:Бином Ньютона|Бином Ньютона]] (при n=3) | [[Файл:Binomial theorem (n=3).ogv|200px]] |- |Лекция 2. [[:w:Теорема Пифагора|Теорема Пифагора]] | [[Файл:2.Теорема Пифагора.ogv|200px]] |- | Лекция 3. [[:w:Точка Штейнера|Линейка Штейнера]] |[[Файл:3.Линейка Штейнера.ogv|200px]] |- | Лекция 4. [[:w:Компактное пространство|Теорема о неподвижной точке]] | [[Файл:4.Теорема о неподвижной точке.ogv|200px]] |- | Лекция 5. Удлинение железной дороги: выход в комплексную плоскость | [[Файл:5.Удлинение железной дороги.ogv|200px]] |- | Лекция 6. [[:w:Сет (игра)|Карточная игра СЕТ]] | [[Файл:6.Настольная игра CET.ogv|200px]] |- | Лекция 7. Задача про циклический поезд | [[Файл:7.Задача про циклический поезд.ogv|200px]] |- | Лекция 8. [[:w:Кубик Рубика|Кубик Рубика]],<br>[[:w:Математика кубика Рубика|Математика кубика Рубика]],<br>[[:w:Группа кубика Рубика|Группа кубика Рубика]] | [[Файл:Rubik's Cube.ogv|200px]] |- | Лекция 9. Савватеев и шахматы |[[Файл:Савватеев и шахматы.ogv|200px]] |- | Лекция 10. Одно уравнение x^(x-1)=2 | [[Файл:Equation x^(x-1)=2.ogv|200px]] |- |} == См. также == * [[История математики]] * [[Принципы математического мышления]] eh84pxgs69gu3gtv98wkdjxp95z6irl 0 26531 267644 258280 2026-05-21T08:27:19Z AllaBuraya 79455 267644 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Занимательная математика | Тип = Одностраничный }} Автор курса: профессор, доктор физико-математических наук '''[[:w:Савватеев, Алексей Владимирович|Алексей Владимирович Савватеев]]''' «[https://www.youtube.com/playlist?list=PLH3NNipqeM1uyGrWR6jwgjnVi2ZX-NjoS Принципы математического мышления]» == Содержание == {| class="standard" ![https://docs.google.com/document/d/1hwmbVJ92Ps1q07p8XjR4FZXhw2zX3roblcNIXRUzDNo Конспекты] {{deadlink}} !Видеолекции |- | Лекция 1. [[:w:Математика|Язык математики]] | [[Файл:Язык математики.webm|200px]] |- |Лекция 2. [[:w:Математическая логика|Логика]] | [[Файл:Логика.webm|200px]] |- | Лекция 3. [[:w:Функция (математика)|Функции]] |[[Файл:Функции.webm|200px]] |- | Лекция 4. [[:w:Математическое доказательство|Доказательство]] | [[Файл:Доказательство.webm|200px]] |- | Лекция 5. [[:w:Теорема Кантора|Множества]] | [[Файл:Множества.webm|200px]] |- |} == См. также == * [[История математики]] * [[Популярная математика]] nic1silgvzy8c8govl202llnrevvx9l 267750 267644 2026-05-21T10:32:26Z AllaBuraya 79455 267750 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Тип = Одностраничный }} Автор курса: профессор, доктор физико-математических наук '''[[:w:Савватеев, Алексей Владимирович|Алексей Владимирович Савватеев]]''' «[https://www.youtube.com/playlist?list=PLH3NNipqeM1uyGrWR6jwgjnVi2ZX-NjoS Принципы математического мышления]» == Содержание == {| class="standard" ![https://docs.google.com/document/d/1hwmbVJ92Ps1q07p8XjR4FZXhw2zX3roblcNIXRUzDNo Конспекты] {{deadlink}} !Видеолекции |- | Лекция 1. [[:w:Математика|Язык математики]] | [[Файл:Язык математики.webm|200px]] |- |Лекция 2. [[:w:Математическая логика|Логика]] | [[Файл:Логика.webm|200px]] |- | Лекция 3. [[:w:Функция (математика)|Функции]] |[[Файл:Функции.webm|200px]] |- | Лекция 4. [[:w:Математическое доказательство|Доказательство]] | [[Файл:Доказательство.webm|200px]] |- | Лекция 5. [[:w:Теорема Кантора|Множества]] | [[Файл:Множества.webm|200px]] |- |} == См. также == * [[История математики]] * [[Популярная математика]] 3whqin4wkxkfx29r92ffnmtbx5hv48y 0 28153 267656 258031 2026-05-21T08:31:43Z AllaBuraya 79455 267656 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Описание = Свободная система компьютерной алгебры | Категория = Программирование, Алгебра | Тип = Многостраничный }} {{Содержание | Тема = 10 | * [[/Быстрый старт|Быстрый старт]] * [[/Линейная алгебра|Линейная алгебра]] * [[/Графики|Графики]] }} == Документация == На официальном сайте Yacas [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/index.html доступна документация] на английском языке. {| | * [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/tutorial/index.html Туториал]. Быстрый старт в Yacas и синтаксис. * [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/reference_manual/index.html Справочное руководство]. * [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/programming_in_yacas/index.html Программирование в Yacas]. ** [http://yacas.sourceforge.net/coding.book.pdf Программирование в Yacas для версии 1.3.6]. * [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/book_of_algorithms/index.html Описание задач символьного вычисления для Yacas]. |} == Ссылки == * [https://github.com/sympy/sympy/wiki/SymPy-vs.-Yacas Сравнение с SymPy]. * [https://progi.pro/yacas-t31309 Форум с вопросами/ответами]. baai05803odqiay7ghiwhpeo1d3o56i 267668 267656 2026-05-21T08:41:17Z AllaBuraya 79455 267668 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Описание = Свободная система компьютерной алгебры | Категория = Программирование | Тип = Многостраничный }} {{Содержание | Тема = 10 | * [[/Быстрый старт|Быстрый старт]] * [[/Линейная алгебра|Линейная алгебра]] * [[/Графики|Графики]] }} == Документация == На официальном сайте Yacas [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/index.html доступна документация] на английском языке. {| | * [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/tutorial/index.html Туториал]. Быстрый старт в Yacas и синтаксис. * [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/reference_manual/index.html Справочное руководство]. * [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/programming_in_yacas/index.html Программирование в Yacas]. ** [http://yacas.sourceforge.net/coding.book.pdf Программирование в Yacas для версии 1.3.6]. * [https://yacas.readthedocs.io/en/latest/book_of_algorithms/index.html Описание задач символьного вычисления для Yacas]. |} == Ссылки == * [https://github.com/sympy/sympy/wiki/SymPy-vs.-Yacas Сравнение с SymPy]. * [https://progi.pro/yacas-t31309 Форум с вопросами/ответами]. s4exxg8cvngsootmyiamwwdyesd2eam 0 28677 267507 258649 2026-05-20T12:27:21Z Taratarussia 77272 267507 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Шаблон:Пустой шаблон]]{{К удалению|2026-05-20}} '''Биографический метод''', один из ме­то­дов гу­ма­ни­тар­ных на­ук, в ко­то­ром ис­точ­ни­ка­ми эм­пи­рических дан­ных слу­жат лич­ные до­ку­мен­ты ([[днев­ни­ки]], [[пись­ма]], [[ав­то­био­гра­фии]], [[ме­муа­ры]]), а так­же специальные био­гра­фические (нар­ра­тив­ные) ин­тер­вью. В ка­ж­дой на­уке биографический метод име­ет свою спе­ци­фи­ку. == [[/В психологии|В психологии]] == == [[/В социологии|В социологии]] == == [[Биографический метод в литературоведении]] == == [[Биографический метод в педагогике]] == == [[Биографический метод в истории]] == == [[Биографический метод в медицине]] == == [[Биографический метод в спорте]] == [[Категория:Учебники без шаблона]] 182nknn9uwakt19v1abrcwdz6x34pqz 267550 267507 2026-05-20T13:25:12Z Taratarussia 77272 Удалено перенаправление на [[Шаблон:Пустой шаблон]] 267550 wikitext text/x-wiki {{К удалению|2026-05-20}} '''Биографический метод''', один из ме­то­дов гу­ма­ни­тар­ных на­ук, в ко­то­ром ис­точ­ни­ка­ми эм­пи­рических дан­ных слу­жат лич­ные до­ку­мен­ты ([[днев­ни­ки]], [[пись­ма]], [[ав­то­био­гра­фии]], [[ме­муа­ры]]), а так­же специальные био­гра­фические (нар­ра­тив­ные) ин­тер­вью. В ка­ж­дой на­уке биографический метод име­ет свою спе­ци­фи­ку. == [[/В психологии|В психологии]] == == [[/В социологии|В социологии]] == == [[Биографический метод в литературоведении]] == == [[Биографический метод в педагогике]] == == [[Биографический метод в истории]] == == [[Биографический метод в медицине]] == == [[Биографический метод в спорте]] == [[Категория:Учебники без шаблона]] pc8q5102hk5t3d4vth87bl3nsafvfz8 0 30038 267735 267393 2026-05-21T10:08:29Z AllaBuraya 79455 267735 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia}}{{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 0% }} '''Инволю́ция''' (от {{lang-la|involutio}} — свёртывание, завиток) — нетождественное преобразование, которое является [[w:обратная функция|обратным]] самому себе, то есть своей собственной [[w:обратная функция|инверсией]]. Это [[w:унарная операция|унарная операция]]. В более конкретном смысле можно говорить про '''инволюционную функцию''' или '''инволюционное преобразование'''. Формально, функция <math>f</math> называется '''''инволюцией''''', если <math>f(f(x)) = x</math> для всякого <math>x</math> из [[w:Область определения функции|области определения функции]] <math>f</math>. Итак, определение таково: [[File:Scale 1200 (1).png|thumb|]] Иногда пишут: <math>f\circ f= {f}^{2}=id</math>, где <math>id</math> обозначает тождественное преобразование. Вместо <math>id(x)</math> используют запись: <math>e(x)=x</math>. Таким образом, двойное применение функции <math>f</math> даёт исходное значение. == Свойства == Любая инволюция — это [[w:биекция|биекция]]. Если преобразование <math>f</math> инволютивное, то для любого выражения <math>A</math> и его образа <math>B=f(A)</math> имеем <math>f(B)=A</math>. В самом деле, <math>f(B)= f(f(A))=id(A)={id}_{A}=A</math>. '''''Критерий инволюции'''''. Функция <math>f</math> является инволюцией тогда и только тогда, когда для всякого выражения <math>A</math> существует такое выражение <math>B</math>, что <math>f(A)=B\neq A</math> и <math>f(B)=A</math>. Другими словами, преобразование является инволюцией в том и только в том случае, когда оно меняет местами какие-либо два выражения. ---- Если <math>f</math> — инволюция, то имеют место следующие соотношения: # <math>\forall a \in D_{f}: f^{-1}(a) = f(a)</math> [основное свойство] # <math>D_{f} = E_{f}</math> # <math>\forall a : f(f(a)) = a</math> # <math>\forall a, \exists b : f(a) = b \land f(b) = a</math> [критерий] # Для всякой инволюции выполняется тождество: <math>\left(f'\circ f\right) \cdot f'\equiv1</math>. == Примеры == Теперь можно привести несколько примеров инволюции, причем многие из которых будут до боли простыми. Примеры инволюций: * <math>f(x) = -x</math>, заданная на множестве [[w:целое число|целых]] <math>\mathbb{Z}</math>, [[w:рациональное число|рациональных]] <math>\mathbb{Q}</math> или [[w:Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>. Понятно, что последовательное умножение на <math>-1</math>, например, в поле вещественных чисел, приводит к изначальному результату:[[File:Scale 1200 (2).png|thumb|]] * простейшие инволюции на множестве [[w:Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>: *: <math>\dfrac{a}{x}</math>, <math>a-x</math>, <math>\dfrac{x}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x-2}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x+1}{x-1}</math>, <math>\dfrac{x-1}{x+1}</math>, <math>\dfrac{1-x}{x+1}</math>, <math> \frac{b-x}{1+cx}</math>, <math> \dfrac{ax+b}{cx-a}</math>, <math>\sqrt{1-x^2}</math>, <math>1-\sqrt{1-{\left(x-1\right)}^2}</math>; * инволюция <math>f(x) = \dfrac{b}{x-a} + a</math> при <math>x\in \mathbb{R} \setminus \left\{a\right\}</math> и <math>b\neq 0</math>; * <math>\nu(x) = \begin{cases} \dfrac{\gamma - 1}{\gamma}x+1, & x\in\left[0;\, \gamma\right] \\ \dfrac{\gamma}{\gamma - 1}\left(x-1\right), & x\in\left[\gamma;\, 1\right] \end{cases},\,\text{где }\gamma < \dfrac{1}{2}.</math> Функция <math>\nu\left(x\right)</math> непрерывна, монотонно убывает, <math>\nu\left(0\right)=1</math>, <math>\nu\left(1\right)=0</math>, <math>{\nu}^{2}\left(x\right)=\nu\left(\nu\left(x\right)\right) = x</math>. То есть <math>\nu\left(x\right)</math> есть инволюция, производная которой имеет разрыв в точке <math>x=\gamma</math>; * <math>f(x)= \bar{x}</math> — [[w:дополнение множества|дополнение множества]], заданная для подмножеств некоторого универсального множества <math>U</math>; * <math>f(x)= \neg x</math> — [[w:логическое отрицание|логическое отрицание]] [[w:булева алгебра|булевой алгебры]]: двойное применение этого унарного оператора оставляет высказывание "на месте", а значит является инволюцией для элементов булева множества; [[File:Scale 1200 (6).png|thumb|]] * [[w:Симметрия|симметрии]]: [[w:Центральная симметрия|центральная]], [[w:Осевая симметрия|осевая]], [[w:Зеркальная симметрия|зеркальная]]; * [[w:инверсия (геометрия)|инверсия]]; * [[w:комплексное сопряжение|комплексное сопряжение]]; * [[w:преобразование Лежандра|преобразование Лежандра]] * при факторизации обычного тора (точнее, одномерного комплексного тора, ещё точнее, эллиптической кривой) <math>E</math> по инволюции вида <math>x\mapsto -x</math> получается сфера; * Если представить, что <math>f</math> — нажатие на клавишу [[w:выключатель бытовой| бытового накладного выключателя]] (т. е. включить либо выключить свет), то <math>f</math> будет инволюцией. <u>'''''Задача'''''</u>. Привести примеры: # аналитической инволюции в <math>\mathbb{R}</math>; # инволюции в геометрии; # свой пример инволюции (например, из таких дисциплин, как информатика, техника, риторика и т. п., а также личный опыт). ''Воможное решение''. # производная <math>f'</math> функции <math>f(x)=\log_{a} {x}</math>, где <math>a>0, a\neq 1</math>; # поворот полуокружности на <math>180^\circ</math>: [[File:Поворот полуокружности.png|thumb|]] Очевидно, что такая операция является инволюцией, возвращая точку на окружности в исходное положение. # Предложим сразу два варианта ответа на этот пункт. ## Явление в лингвистике: любой [[w: палиндром| палиндром]] (''палиндром'' — это последовательность символов, которая слева-направо и справа-налево пишется одинаково; напр.: «АБА» или «АББ ББА»). Например, написание таких слов, как «''доход''», «''шалаш''» и «''топот''», чисел <math>1001</math> и <math>123454321</math>, а также предложение «''А роза упала на лапу Азора''» [[w: Фет, Афанасий Афанасьевич|Афанасия Фета]] — инволюции. ## Повседневный опыт: выворачивание ткани или одежды обратной стороной (по отношению к лицевой) наизнанку. Пример: выворачивание наизнанку панамы. <u>'''Упражнение 1'''</u>. Выполните предыдущую задачу самостоятельно со своими примерами. == Важнейшие факты == === '''Теорема 1''' === : Композиция <math>{f}\circ{g}</math> двух инволюций <math>f</math> и <math>g</math> является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: <math>{f}\circ{g} =g\circ f</math>. {{Доказательство|теоремы 1|Пусть дана композиция <math>{f}\circ{g}</math>, в которой <math>f</math>, <math>g</math> — инволюции. Это означает, что <math>f^{-1} = f</math> и <math>g^{-1}=g</math>, а также <math>{f}\circ{g}={\left({f}\circ{g}\right)}^{-1}</math>. Имеем: <center><math>{f}\circ{g}= {\left({f}\circ{g}\right)}^{-1}={g^{-1}}\circ {f^{-1}}={g}\circ{f}.</math></center> Если <math>{f}\circ{g}</math> — инволюция, то двигаемся слева направо. Обратно, если выполняется равенство <math>{f}\circ{g} =g\circ f</math>, то справа налево.}} {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': инволютивные функции <math>f</math>, <math>g</math>, равенство <math>{f}\circ{g} = {g}\circ{f} </math>. <br />Доказать, что <math>{f}\circ{g}</math> — инволюция. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Напишем <math>{f}\circ{g} = {g}\circ{f}</math>. || Условие. |- | '''2''' || Далее <math>{f}\circ{g}={\left({g}^{-1}\circ{f}^{-1}\right)}</math>. || Пункт 1, условие, определение и основное свойство инволюции <ref>Функция, обратная к инволюции, совпадает с самой инволюцией</ref>, симметричность отношения равенства, подстановка в формулу. |- | '''3''' || Тогда <math>{f}\circ{g}={\left({f}\circ{g}\right)}^{-1}</math>. || Пункт 2, условие, определение и свойство композиции двух функций. |- | '''4''' || Теперь получим следующее: <math>{\left({f}\circ{g}\right)}^{-1} = {f}\circ{g}</math>. || Пункт 3, определение композиции двух функций, симметричность отношения равенства. |- | '''5''' || Наконец, приходим к тому, что <math>{f}\circ{g}</math> — инволюция, что и требовалось доказать. || Пункт 4, определение функции, признак инволюции. |} |} <code>Пример 1</code>. Такая композиция <math>\left(f_{1} \circ f_{2}\right) (x) = \left(f_{2} \circ f_{1} \right) (x) = {f_{3}} (x) = -{\dfrac{1}{x}}</math> есть инволюция. Аналогично, если <math>f={g}\circ{h}\circ{k}= {k}\circ{h}\circ{g}</math> и <math>g</math>, <math>h</math>, <math>k</math> — инволюции, то и <math>f</math> — инволюция. <code>Пример 2</code>. <math>k(x) = -x</math>, <math>h(x) = \dfrac{x+1}{x-1}</math>, <math>g(x) = \dfrac{1}{x}</math>. === '''Теорема 2''' === : Если <math>{f}</math> — монотонно возрастающая функция, то уравнения <math>{f}(x)=x</math> и <math>f(f(x))=x</math> равносильны. Рассмотрим следующую задачу. {{Пример|Решить уравнение <math>\sqrt{1+\sqrt{x}}=x-1</math>. Перепишем данное уравнение в виде: <center><math>1+\sqrt{1+\sqrt{x}}=x.</math></center> Рассмотрим теперь функцию <center><math>f(x)=1+\sqrt{x}.</math></center> Тогда полученное уравнение примет вид: <center><math>f(f(x))=x.</math></center> Для решений уравнений такого вида применим '''теорему 2'''. Но сначала следует убедиться, что введённая функция <math>f</math> действительно монотонно возрастает. Для того чтобы <math>f(x)</math> была строго возрастающей, достаточно (но не является необходимым условием), чтобы <math>f'(x)>0</math>. В нашем случае получается <center><math>f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0.</math></center> В соответствии с приведённой '''теоремой 2''' приходим к равносильному уравнению <math>{f}(x)=x</math>, или <math>1+\sqrt{x}=x</math>, решение которого уже не сложно. Ответ: <math>x = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.</math>}} {{Теорема|Функция вида <math>f={h}\circ{g}\circ{h^{-1}}</math> (где <math>h</math> — некоторое биективное отображение) будет инволюцией в том и только в том случае, если функция <math>g</math> — инволюция.|3}} {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! Доказательство |- | Имеем следующее: <math>f=f^{-1} \Longleftrightarrow {h}\circ{g}\circ{h^{-1}} = {\left({h}\circ{g}\circ{h^{-1}}\right)}^{-1} \Longleftrightarrow {h}\circ{g}\circ{h^{-1}} = {{h}\circ{g^{-1}}\circ{h^{-1}}} \mid { \circ h} \Longleftrightarrow {h}\circ{g}={h}\circ{g^{-1}} \Longleftrightarrow {h^{-1} \circ } \mid {{h}\circ{g}={h}\circ{g^{-1}}} \Longleftrightarrow g = g^{-1}.</math> Если <math>{f}</math> является инволюцией, то двигаемся слева-направо. Обратно, если <math>{g}</math> — инволюция, то справа-налево. Теорема доказана. |} ''Замечание''. Ясно, что '''теорема 3''' сохраняет свою силу, если <math>f={h^{-1}}\circ{g}\circ{h}</math>, где <math>h</math> — биекция. <code>Пример 3</code>. В положительных числах такая функция будет как раз инволюцией по доказанной выше теореме: : <center><math>f(x) = ln\left(\dfrac{e^x+1}{e^x-1}\right).</math></center> [[File:Scale 1200 (3).png|thumb|]] Интересно будет посмотреть на график этой инволюции, чтобы заметить его симметричность относительно прямой <math>y=x</math>: [[File:Scale 1200 (4).png|thumb|]] <math>\mathcal{P. S.}</math> В более общем случае инволюцией на плоскости является симметричное отражение относительно прямой. И это не удивительно! Если функция является инволюцией, то она является обратной самой себе. На нашем примере это можно легко показать, если поменять местами x и y: [[File:Scale 1200 (5).png|thumb|]] ==== '''Следствие 1''' ==== : [[Файл:Involution4.png|мини]]Пусть <math>f</math> — инволюция на множестве <math>E</math>. Тогда если <math>h</math> — взаимно-однозначное отображение [биекция] множества <math>E</math> на <math>F</math> с обратной биекцией <math>h^{-1}</math>, то композиция <math>h\circ f\circ h^{-1}</math> — инволюция на множестве <math>F</math>. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! Доказательство |- | Утверждение очевидно по предыдущему. ''Указание''. Воспользоваться '''теоремой 3'''. |} === '''Теорема 4''' === : Пусть <math>f</math> — инволюция на множестве <math>E</math>. Если <math>h</math> — такое отображение из <math>E</math> в <math>E</math>, что <math>h\circ f\circ h = f</math>, то <math>h\circ f</math> и <math>f\circ h</math> — инволюции на <math>E</math>. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! Доказательство |- | Покажем, что из исходного равенства <math>h\circ f\circ h = f</math> и условия <math>f=f^{-1}</math> получается инволютивная функция <math>h\circ f</math>. Итак, : <math>h\circ f\circ h = f \mid { \circ h^{-1}} \Longrightarrow h\circ f = f \circ h^{-1} \Longrightarrow h \circ f = {\left(h \circ f^{-1}\right)}^{-1} \Longrightarrow h \circ f = {\left(h \circ f \right)}^{-1} \mid {\circ {\left(h \circ f \right)}} \Longrightarrow {\left(h \circ f \right)}^{2} = e.</math> Таким образом, композиция <math>h\circ f</math> по определению является инволюцией. Аналогично проводится доказательство для <math>f\circ h</math>. |} ==== '''Следствие 2''' ==== : Если <math>h</math> — такое отображение из <math>E</math> в <math>E</math>, что <math>h\circ f\circ h = f</math>, причём <math>h\circ f</math> и <math>f\circ h</math> — инволюции на <math>E</math>. Тогда <math>f</math> — инволюция на множестве <math>E</math>. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! Пусть дана функция <math>f=h\circ g\circ h\circ g^{-1}</math>, где <math>g</math> — биекция, а <math>h=h^{-1}</math>. Выяснить, при каком условии <math>f</math> будет инволютивной. |- | <u>''Решение''</u>. Во-первых, функция <math>f</math> будет инволюцией, если выполняется равенство: <math>f=f^{-1}</math>. Во-вторых, стоит заметить, что <math>h \circ f = g\circ h\circ g^{-1} = f^{-1} \circ h </math>. Поэтому <math>f=f^{-1} \Longleftrightarrow f = h \circ f \circ h</math>. Но по '''следствию''' композиция <math>g \circ h \circ g^{-1}</math> является инволюцией, а значит, и <math>h \circ f</math> — тоже инволюция. Наконец, <center><math> h\circ \mid f = h \circ f \circ h \Longleftrightarrow h\circ f = f \circ h</math>, то есть <math>f=f^{-1} \Longleftrightarrow f \circ h = h \circ f = g\circ h\circ g^{-1}.</math></center> ''Ответ'': <math>f=f^{-1} \Longleftrightarrow f \circ h = h \circ f = g\circ h\circ g^{-1}.</math> |} <code>Пример 4</code>. Функция <math>f(x)= -ln\left(-e^{x}\right)</math>. <u>'''Упражнение 2'''</u>. Убедитесь, что представленная функция действительно обладает таким свойством. ''Схемой'', или ''строением'', функции <math>f</math> назовём последовательность функций <math>f_{1}, f_{2}, ... , f_{n-1}, f_{n}</math> так, что каждая из них является либо элементарной, либо инволюцией и <math>f=f_{n} \circ f_{n-1} \circ ... \circ f_{2} \circ f_{1}</math>. <code>Пример 5</code>. Пусть <math>k(x) = -x</math>, <math>h(x) = \dfrac{x+1}{x-1}</math>, <math>g(x) = \dfrac{1}{x}</math>. Тогда схемой функции <math>f</math> будет <math>f={g}\circ{h}\circ{k}= {k}\circ{h}\circ{g}</math>. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! Пусть функции <math>f</math>, <math>g</math>, <math>h</math>, а также сумма <math>\left(g+h\right)</math> — инволюции. Докажите, что тогда выполняется равенство: <center><math>{f}{\left(g+h\right)} = f{\left(g\right)} + f{\left(h\right)}.</math></center> |- | <u>''Решение''</u>. Пользуясь условием, что каждая из подфункций, а именно: <math>f</math> и <math>{\left(g+h\right)}</math>, инволютивны, можем написать в силу '''теоремы 1''' следующее равенство: <center><math>{f}\circ{\left(g+h\right)} = {\left(g+h\right)} \circ f.</math></center> Далее следует правую часть преобразовать: <center><math>{f}\circ{\left(g+h\right)} = {g}\circ {f} + {h}\circ {f}.</math></center> Поскольку верны равенства: <math>{f}\circ{g} = g\circ f</math> и <math>{f}\circ{h} = h\circ f</math>, то <center><math>{f}\circ{\left(g+h\right)} = {f}\circ {g} + {f}\circ {h}.</math></center> Задача решена. |} Наконец, доказательство последнего и довольно важного утверждения в качестве упражнения проведите самостоятельно. <u>'''Упражнение 3'''</u>. Докажите, что если <math>{f}\circ{\varphi} = {\varphi}\circ {f^{-1}}</math> и <math>{\varphi} = {\varphi}^{-1}</math>, то <math>{f}\circ{\varphi}</math> — инволюция. Специальную функцию <math>\varphi</math> назовём ''вспомогательной'' для функции <math>f</math>, если <math>\varphi</math> существует, причём она инволютивна, и выполняется равенство: <center><math>{f^{-1}} = {\varphi}\circ {f} \circ {\varphi}.</math></center> <code>Пример 6</code>. Для любой функции вида <math>f(x)= x-a, a\in{\mathbb{R}}</math>, вспомогательной функцией <math>\varphi</math> будет <math>\varphi(x)= C-x</math>, где <math>C</math> — некоторая константа. Ну действительно <center><math>{f^{-1}} \left(x\right) = C - \left(\left(C-x\right)-a\right) = x + a.</math></center> <code>Пример 7</code>. Функция <math>\varphi(x)= \dfrac{1}{x}</math> — вспомогательная для <math>f(x)=ax</math>, где <math>a</math> — любое действительное, отличное от нуля, число; поскольку <center><math>{f^{-1}} \left(x\right) = \dfrac{1}{a\cdot \dfrac{1}{x}} = \dfrac{x}{a}.</math></center> === '''Теорема 5''' === : Пусть для функции <math>{f}</math> существует такая функция <math>\wp</math>, что обе эти функции коммутируют: <math>{f}\circ{\wp} = {\wp}\circ f</math>. Для того чтобы выполнялось равенство <math>{f^{-1}}\circ{\wp} ={\wp}\circ {f^{-1}}</math>, верное для обратной функции <math>f^{-1}</math>, необходимо и достаточно, чтобы <math>\wp</math> было инволюцией. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! Доказательство |- | Пусть дана композиция <math>{f}\circ{\wp} = {\wp}\circ f</math>. Имеем: <center><math>{f}\circ{\wp}= {\wp}\circ {f} \Longleftrightarrow {\left({f}\circ{\wp}\right)}^{-1} = {\left({\wp}\circ{f}\right)}^{-1} \Longleftrightarrow {{\wp}^{-1}}\circ {f^{-1}} = {f^{-1}}\circ{{\wp}^{-1}}.</math></center> Если <math>\wp</math> — инволюция, то <math>{\wp}^{-1} = \wp</math> и двигаемся слева направо. Обратно, если выполняется равенство <math>{{\wp}}\circ {f^{-1}} = {f^{-1}}\circ{{\wp}}</math>, то справа налево. |} === '''Теорема 6''' === : Первообразная <math>\mathcal{F} \left(x\right) = \int{f\left(x\right)} dx</math> (другими словами, функция <math>{f\left(x\right)}</math> есть производная от функции <math>\mathcal{F}\left(x\right)</math>), причём константа <math>C = 0</math>, является '''''инволюцией''''', если и только если выполняется равенство: <math>\mathcal{F} \left(x\right) ={f}^{-1} \left(\dfrac{1}{f\left(x\right)}\right)</math>. <u>'''Упражнение 4'''</u>. Докажите этот факт самостоятельно. <u>'''Упражнение 5'''</u>. Найдите ошибки в решении следующей задачи. Исправьте их. Сформулируйте по-новому задачу и решите её. <u>'''''Задача'''''</u>. Доказать, что первообразная функции <math>\delta \left(x\right)= -\dfrac{1}{x+1}</math> является инволюцией. ''Решение''. # Найдём <math>\delta^{-1} \left(x\right)</math>. Имеем:<center><math>x = -\dfrac{1}{\delta^{-1} \left(x\right)+1} \Longleftrightarrow \delta^{-1} \left(x\right)+1= -\dfrac{1}{x} \Longleftrightarrow \delta^{-1} \left(x\right)= -\dfrac{1}{x} -1.</math></center> # Дробь, обратная <math>\delta \left(x\right)</math>, равна разности <math>-x-1</math>. # Наконец, подставим <math>\dfrac{1}{\delta \left(x\right)}</math> в <math>\delta^{-1} \left(x\right)</math>:<center><math>{\delta}^{-1} \left(\dfrac{1}{\delta\left(x\right)}\right)= -\dfrac{1}{-x-1} -1 = \dfrac{1}{x+1} -1 = \dfrac{1-\left(x+1\right)}{x+1} = -\dfrac{x}{x+1}.</math></center> # Легко убедиться в том, что для полученной в предыдущем пункте функции верно равенство:<center><math>{\delta}^{-1} \left(\dfrac{1}{\delta\left(x\right)}\right) = \int{\delta\left(x\right)} dx.</math></center>Действительно, <center><math>\delta\left(x\right) = \left[-\dfrac{x}{x+1}\right]' = \dfrac{-\left(x+1\right)-\left(-x\right)}{x+1} = -\dfrac{1}{x+1}.</math></center> # Проверим, что искомая функция инволютивна. Итак,<center><math>-\dfrac{-\dfrac{x}{x+1}}{-\dfrac{x}{x+1}+1} = -\dfrac{x}{x-\left(x+1\right)} = x.</math></center> ==== '''Следствие 3''' ==== <center><math>\left(f'\circ \mathcal{F}\right)\left(x\right) = -\dfrac{f'\left(x\right)}{{\left[f\left(x\right)\right]}^3}.</math></center> == Фокус == {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! Целое общество гостей, непосвящённых в арифметические тайны, вы можете поразить следующим фокусом. |- | Фокусник просит одного человека написать на бумажке, секретно от него, трёхзначное число, какое этот человек хочет, и затем просит приписать к нему ещё раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трёх повторяющихся цифр. Фокусник предлагает тому же товарищу или его соседу разделить — секретно от него — это число на 7; при этом фокусник заранее предсказывает, что остатка не получится. Результат деления передаётся соседу, который, по предложению ведущего, делит его на 11; и хотя фокусник не знает делимого, он всё же смело утверждает, что и оно разделится без остатка. Полученный результат фокусник направляет следующему соседу, которого просит разделить это число на 13 — деление снова выполняется без остатка, о чём он заранее предупреждает. Результат третьего деления фокусник, не глядя на полученное число, вручает первому товарищу со словами: — Вот число, которое вы задумали! — Так и есть: вы угадали. |} <u>'''Упражнение 6'''</u>. <code>Какова разгадка этого фокуса?</code> ''Указание''. Возьмите за функцию <math>f</math> алгоритм приписывания к числу <math>x\rightleftharpoons \overline{abc}</math>, то есть <math>f(x)= \overline{abcabc}</math>. Так как результат совпадает с исходным числом <math>x\rightleftharpoons \overline{abc}</math>, то <math>f^{-1}</math> над числом — это умножение его на 7, 11 и 13. Осталось найти связь <math>f</math> и <math>f^{-1}</math>. == Инвариантные точки инволюции == Бывает так, что у некоторого отображения (функции) есть так называемая инвариантная, или неподвижная, точка. Допустим, что некоторый шар заполнен песком. Если мы встряхнем этот шар, то все песчинки немного изменят своё положение. Но, оказывается, что есть такая песчинка, которая останется неподвижной. <code>Определение.</code> Точка <math>x^{\ast}</math> — '''неподвижная''' у данного отображения <math>f</math> <math>\Longleftrightarrow</math> выполняется ''условие инвариантности'': <math>f\left(x^{\ast}\right) = x^{\ast}</math>. Если <math>f</math> — инволюция, то для неё возможны три случая: # имеет ровно 2 различные неподвижные точки; # имеет только 1 неподвижную точку; # не имеет неподвижных точек. ❗ Решить инвариантную задачу о неподвижных точках — значит найти (предъявить) все неподвижные точки функции или доказать, что их нет. '''Утверждение 1'''. Если <math>f</math> на рассматриваемом множестве <math>A</math> имеет <math>n</math> неподвижных точек, то на его любом подмножестве <math>f</math> имеет не больше, чем <math>n</math>, неподвижных точек. '''Утверждение 2'''. Если <math>f</math> на рассматриваемом множестве <math>A'</math> имеет <math>n</math> неподвижных точек и <math>A' \subset A</math>, то на множестве <math>A</math> отображение <math>f</math> имеет не меньше, чем <math>n</math>, неподвижных точек. '''Утверждение 3'''. Если <math>f</math> — инволюция с областью определения <math>D_f</math>, то функция <math>f^2 = f\circ f</math> имеет счётное число неподвижных точек. <u>'''Упражнение 7'''</u>. Докажите, что функция <math>f\left(x\right) = -x</math> имеет одну неподвижную точку [''Какую?'']. <u>'''''Задача'''''</u>. Решить инвариантную задачу для функции <math>f\left(x\right) = \dfrac{x-1}{x+1}</math>. Решение. Пусть <math>x^{\ast}</math> — неподвижная точка, тогда должно выполняться условие инвариантности: <math>f\left(x^{\ast}\right) = x^{\ast}</math>, то есть <math>\dfrac{x^{\ast}-1}{x^{\ast}+1} = x^{\ast}</math>. Иными словами, решим уравнение <math>x^{\ast}-1 = {\left(x^{\ast}\right)}^2 + x^{\ast}</math> при <math>x^{\ast} \in \mathbb{R} \setminus\left\{-1\right\}</math>. Ясно, что <math>{\left(x^{\ast}\right)}^2 = -1\Longleftrightarrow\varnothing</math>. ''Ответ:'' функция <math>f\left(x\right) = \dfrac{x-1}{x+1}</math> в <math>\mathbb R</math> не имеет неподвижных точек. <u>'''''Задача'''''</u>. Решить инвариантную задачу для функции <math>f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx-a}</math>. Решение. Заранее скажем, что <math>x \neq \dfrac{a}{c}, \, a\neq 0, \, c \neq 0</math>. Положим: <math>x^{\ast}</math> — неподвижная точка. Решим уравнение <math>ax^{\ast}+b = c{\left(x^{\ast}\right)}^2 -ax^{\ast}</math>. Преобразуем его: <math>c{\left(x^{\ast}\right)}^2 - 2ax^{\ast} -b = 0</math>; это квадратное уравнение с чётным средним коэффициентом. Поэтому решения таковы: <center><math>x^{\ast}_{\pm} = \dfrac{a \pm \sqrt{a^2+bc}}{c}.</math></center> Здесь 2 ситуации: * если <math>bc < 0</math> и <math>\left|bc\right| > a^2</math>, то неподвижных точек нет; * если же хотя бы одно из предыдущих неравенств не выполняется (т. е. верно <math>bc \geq 0</math> или <math> a^2 > bc</math>), то функция имеет ровно 2 неподвижные точки, которые вычисляются по вышенаписанной формуле. <u>'''Упражнение 8'''</u>. В разделе «Примеры» решите инвариантные задачи для оставшихся функций. Ответьте на вопросы: # Какие из них: ## имеют 2 неподвижные точки; ## имеют 1 неподвижную точку; ## не имеют таковых? # Подумайте: с чем это может быть связано? # Найдите неподвижные точки функции <math>\nu (x)</math>. Сколько их? # Какая приходит Вам в голову ассоциация, связанная с неподвижными точками? Приведите соответствующий пример из своего жизненного опыта. <u>'''Упражнение 9'''</u>. Дано уравнение <math>\sqrt{1+\sqrt{x}}=x-1</math>. * В чём заключается функциональная особенность данного уравнения? * Какую функцию необходимо выделить, чтобы обосновать Ваш ответ на предыдущий вопрос? * Найдите неподвижную точку этой функции. * Какой теоретический факт связан с такого рода уравнениями и соответствующими функциями? <u>'''Упражнение 10'''</u>. Для квадратичной иррациональности ( <math>a+b\sqrt{x}, \, b\neq 0, a,b \in \mathbb R</math>) найдите неподвижные точки. ''Указание''. Примите её за функцию. ''Ответ:'' <math>x^{\ast}_{\pm} = \dfrac{b^2+2a \pm b\sqrt{b^2+4a}}{2}.</math> ====== Теорема о переходе ====== Уравнение <math>{f}(x)={f^{-1}}(x)</math> эквивалентно совокупности двух уравнений <math>f\left ( x \right ) = x</math> и <math>f\left ( x \right ) = \varphi\left ( x \right )</math>, где <math>\varphi</math> — инволюция. <code>Пример 8</code>. Уравнение <math>\sqrt{x+4}= x^2 -4</math> как бы "распадается" на два уравнения: <math>x^2 -4 = x</math> или <math>x^2 -4 = -1 - x</math>. == Лирическое отступление == === Пример функции такой, что <math>f^3\equiv e</math>. === Приведём пример композиции двух инволюций, которая не будет уже инволюцией. <code>Пример</code>. Функция <math>\tau(x)=\dfrac{1}{1-x}</math> не является инволюцией; её строение таково: <math>\tau=\alpha \circ \beta</math>, где <math>\alpha (x) = \dfrac{1}{x}</math> и <math>\beta (x) = 1-x</math> у нас — обе инволюции. <u>'''Упражнение 11'''</u>. Докажите: для <math>\tau(x)=\dfrac{1}{1-x}</math> верно, что <math>\tau \neq {\tau}^{-1}</math>. ''Замечание''. Функция <math>{{\tau}^{-1}}{\left(x\right)}=1-{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{x-1}{x}</math> со схемой <math>{\tau}^{-1}=\beta \circ \alpha</math> также не есть инволюция. Легко видеть, что <math>\alpha \circ {{\tau}^{-1}}</math> — инволюция. Делаем вывод, что композиция инволюции и неинволютивной функции может давать инволюцию в результате. Вопрос: ''в каком случае это происходит?'' Перед тем, как ответить на этот вопрос, сперва-наперво выясним, а каким свойством, в принципе, обладает введённая функция <math>\tau(x)=\dfrac{1}{1-x}</math>. Вычислим <math>{\tau}^{2}(x)</math>. У нас получится: : <math>{\tau}^{2}(x)=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-x}} = \dfrac{1-x}{1-x-1}=\dfrac{x-1}{x}={\tau}^{-1}(x).</math> Значит, <math>{\tau}^{3} (x) =x</math>. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! Решить уравнение <math>f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\dfrac{1}{1-x}\right)}}=\dfrac{1-x}{x}</math>. |- |<code>Шаг 0</code> Введём в рассмотрение функцию <math>\tau(x)=\dfrac{1}{1-x}</math>. Вычислим <math>{\tau}^{2}(x)</math>. У нас получится: : <math>{\tau}^{2}(x)=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-x}} = \dfrac{1-x}{1-x-1}=\dfrac{x-1}{x}={\tau}^{-1}(x).</math> Значит, <math>{\tau}^{3} (x) =x</math>. <code>Шаг 1</code> Уравнение перепишется в виде: <math>f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau(x)\right)}}=-{\tau}^{-1}(x)</math>. <code>Шаг 2</code> Подставим везде, где есть <math>x</math>, функцию <math>{\tau}^{-1}(x)</math>. Получим: : <center><math>f{\left({\tau}^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(\tau({\tau}^{-1}(x))\right)}}=-{\tau}^{-1}({\tau}^{-1}(x)) \Longrightarrow f{\left({\tau}^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}=-{\tau}^{-2}(x).</math></center> Но так как <math>{\tau}^{2}(x)={\tau}^{-1}(x)</math>, то <math>{\tau}^{-2}(x)={\tau}(x)</math>. Поэтому <math>f{\left({\tau}^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}=-{\tau}(x)</math>. <code>Шаг 3</code> Теперь из результатов <code>Шага 1</code> и <code>Шага 2</code> делаем простой вывод: : <center><math>f(x)=\dfrac{-{\tau(x)}}{f{\left({\tau}^{-1}(x)\right)}} = \dfrac{{-{\tau}}^{-1}(x)}{f{\left({\tau}(x)\right)}}.</math></center> <code>Шаг 4</code> Подставим везде, где есть <math>x</math>, функцию <math>{\tau}(x)</math>. Имеем: : <center><math>f{\left({\tau}^{-1}(x)\right)}=\dfrac{-x}{f{\left({\tau}(x)\right)}}=\dfrac{{-{\tau}}(x)}{f{\left(x\right)}}.</math></center> <code>Шаг 5</code> Наконец-то, мы <br><br><math> \begin{cases} \begin{array} {rcrcc} \dfrac{-x}{f{\left({\tau}(x)\right)}} = \dfrac{{-{\tau}}(x)}{f{\left(x\right)}}, \\ f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau(x)\right)}} = -{\tau}^{-1}(x) \end{array} \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} \begin{array} {rcrcc} {f{\left({\tau}(x)\right)}} = \dfrac{{\left(-x\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}}{{-{\tau}}(x)}, \\ f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau(x)\right)}} = -{\tau}^{-1}(x) \end{array} \end{cases}.</math> <code>Шаг 6</code> Подставим выражение <math>{f{\left({\tau}(x)\right)}}</math> во вторую строчку системы. Итак, : <math>f{\left(x\right)}\cdot \dfrac{{\left(-x\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}}{{-{\tau}}(x)} = -{\tau}^{-1}(x) \Longleftrightarrow f{\left(x\right)}\cdot f{\left(x\right)} = \dfrac{{-{\tau}}(x) \cdot {{\tau}^{-1}{\left(x\right)}}}{x}.</math> <u>'''Ответ'''</u>: <math>f{\left(x\right)} = \pm{\sqrt{\dfrac{{-{\tau}}(x) \cdot {{\tau}^{-1}{\left(x\right)}}}{x}}} = \pm{\dfrac{1}{x}}</math>, или <math>f{\left(x\right)} = \dfrac{1}{x} \, \& \, x\neq 0.</math> |} <u>'''Упражнение 12'''</u>. Решить уравнение <math>f{\left(x\right)}=2x- {f{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}}</math>. <code>Другой способ</code>. Рассмотрим правило <math>f{\left(\mathcal{A}\right)}=2\cdot \mathcal{A} - {f{\left(1-\dfrac{1}{\mathcal{A}}\right)}}</math>, где <math>\mathcal{A}</math> — произвольное математическое выражение. Продолжим "цепочку": <math>f{\left(x\right)}=2x- {f{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}}=2x-\left[2\cdot\left(1-\dfrac{1}{x}\right)-{f{\left(1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}}\right)}}\right] \Longleftrightarrow f{\left(x\right)}=2x-2+ \dfrac{2}{x}+{f{\left(\dfrac{1}{x}\right)}}</math>. Или: <math>f{\left(x\right)}=2x-2+ \dfrac{2}{x}+{f{\left(\dfrac{1}{x}\right)}} = 2x-2+ \dfrac{2}{x}+\left\{2\cdot\dfrac{1}{1-x}-{f{\left(1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{1-x}}\right)}}\right\} \Longleftrightarrow f{\left(x\right)}=2x-2+ \dfrac{2}{x}+ \dfrac{2}{1-x}-{f{\left(x\right)}}</math>. Последнее эквивалентно равенству <math>f{\left(x\right)}=x-1+ \dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x-1}</math> при <math>x\notin \left\{0;\, 1\right\}</math>, причём <math>f{\left(0\right)}=\mathcal{C} \;\And \; f{\left(1\right)}=2-\mathcal{C}</math>, где <math> \mathcal{C}\in \mathbb{R}</math>. ''Ответ:'' <math>f{\left(x\right)}=x+\dfrac{1}{1-x} -\dfrac{x-1}{x},\; x\neq 0 \;\And \; x\neq 1; f{\left(0\right)}=\mathcal{C} \;\And \; f{\left(1\right)}=2-\mathcal{C},\, \mathcal{C}\in \mathbb{R}</math>. === Пример функции, обладающей удивительным свойством === Рассмотрим следующую функцию: <math>\sigma\left(x\right)=-{\tau}^{-1}\left(x\right)=-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{-x+1}{x}</math>. Тогда её обратная равна <math>{\sigma}^{-1}\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}={\tau}\left(-x\right)</math>. Функция <math>\sigma</math> обладает удивительным свойством для её коэффициентов дроби в числителе и знаменателе. ==== Задание последовательности ==== Пусть дана в таблице последовательность <math>\left \{ w_{n} \right \}_{n}:\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline w_{i} & 0 & 1 & -1 & 2 & -3 & 5 & -8 & 13 & -21 \end{array}</math>. Её можно продолжать и далее, а формула общего члена такая: <math>w_{n}=w_{n-2}-w_{n-1}</math>. {{Важное|текст=Легко доказать тот факт, что если <math>n=k+l+1=r+s-1</math>, то есть * <math>k+l</math> — число, предшествующее числу <math>n</math>, а * <math>r+s</math> — число, последующее за <math>n</math>, то <math>w_{n}=w_{k}\cdot w_{l} + w_{r}\cdot w_{s}</math>.<br>Проверить это можно так: <center><math>w_{8}=w_{6}-w_{7} = w_{4}-w_{5} - \left(w_{5}-w_{6}\right) = \ldots = 2w_{4}- 3w_{5} = 5w_{2}- 8w_{3} = 13w_{0}- 21w_{1} = 13\cdot 0 - 21\cdot 1 = -21.</math></center> Поэтому <math>w_{n}= w_{1}\cdot w_{n-2}- w_{2}\cdot w_{n-1}</math>, что верно. Заметим также, что <math>w_{1}= w_{-1}-w_{0} = 1-0= 1</math>, а <math>w_{0}= w_{-2}-w_{1} = 1-1= 0</math>.}} ==== Числитель и знаменатель дроби ==== Введём обозначения: # <math>\mathcal{P}_{n}\left(x\right)\rightleftharpoons w_{n+1}\cdot x + w_{n}</math> # <math>\mathcal{Q}_{n}\left(x\right)\rightleftharpoons w_{n}\cdot x + w_{n-1}</math> Составим дробь <math>\dfrac{\mathcal{P}_{n}\left(x\right)}{\mathcal{Q}_{n}\left(x\right)}= \dfrac{w_{n+1}\cdot x + w_{n}}{w_{n}\cdot x + w_{n-1}}</math> и её обозначим как <math>\sigma_{n}\left(x\right)</math>. В дальнейшем будет показано объяснение такого обозначения. <u>'''Упражнение 13'''</u>. Найдите <math>\sigma_{n}\left(x\right)</math> при <math>n=0,\,1,\,2</math>. Сделайте вывод. {{Теорема|<math>\prod_{i=k}^n {\sigma_i} = \dfrac{\mathcal{P}_n \left(x\right)}{\mathcal{Q}_k \left(x\right)}</math>, где <math>k\leqslant n</math>.|1}}<u>'''Упражнение 14'''</u>. Докажите '''теорему 1'''. Напишите формулу из этой теоремы при <math>k=0</math> [это следствие]. ==== Основной факт ==== {{Теорема|<math>{\sigma}^{n}\left (x \right )\equiv \sigma_n \left(x\right)</math>, где <math>{\sigma}^{n}\left (x \right )\;\, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\;\,\underbrace{ \Bigl(\sigma \circ \sigma \circ\; \cdots \; \circ \sigma \Bigr) }_{n\text{ раз}}\left (x \right )</math>.|2}} == Инволюция в алгебре == [[w:Перестановка|Перестановка]] <math>\tau</math> является инволюцией, если <math>\tau\circ\tau=id</math>, каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например: : <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2,7)(3,4)(6,8)</math>. Число инволюций в [[w:Группа перестановок|группе перестановок]] порядка <math>n</math> определяется по формулам: * <math> a(0) = 1,\ a(1) = 1,\ a(n) = a(n-1) + (n-1)a(n-2),\ n>1</math> (рекуррентная формула), * <math>a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!}}</math>, (первые значения <math>a(n)</math>: 1, {{w:nums|link=nrl|1|2|4|10|26|76|232|764|2620|9496|35696|140152}}<ref>{{OEIS long|A000085|lc=1}}</ref>). Свойства инволюции обеспечивают ей широкое применение в различных приложения, например, инволютивные преобразования над пространством булевых векторов используются в различных схемах построения симметричных [[w:криптоалгоритм|криптоалгоритм]]ов, таких как [[w:Сеть Фейстеля|сети Фейстеля]] и [[w:SP-сеть|подстановочно-перестановочные сети]]. == Примечания == qiofgrzjb8ja7u89f7sf0raxynde3ui 0 30420 267619 254986 2026-05-21T08:17:34Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267619 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это == Образцы ЛМА теоремы == === Алгебра === ==== Логарифм ==== ==== Прогрессии ==== ====== ''Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны'' ====== <ol type="I" start="1"> <li>Теорема сформулирована в '''категоричной форме'''. </li> <li>В '''импликативной форме''' теорема будет иметь вид: «''Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны''». '''Символьная формулировка''': «Если <math>n+m=k+l</math>, то <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>».</li> <li>Структура теоремы. # Разъяснительная часть: "". # Условие: "". # Требование: "".</li> <li>Доказательство. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>n+m=k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Найдём <math>n</math>-й член арифметической прогрессии по известной формуле: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Аналогично можно найти <math>a_m</math>: <math>a_m=a_1+(m-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу. |- | '''3''' || Тогда их сумма равна: <math>a_n+a_m=2a_1+(n+m-2)d</math>. || Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых. |- | '''4''' || Заменив сумму <math>n+m</math> в правой части на сумму <math>k+l</math>, получим следующее: <math>a_n+a_m=2a_1+(k+l-2)d</math>. || Подстановка в формулу, условие: <math>n+m=k+l</math>. |- | '''5''' || Далее имеем: <math>a_n+a_m=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Раскрытие скобок, группировка слагаемых. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, что и требовалось доказать. || Подстановка в формулу, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |} |} </li> <li>Формулировки утверждений: <ol type="a"> <li>'''обратного данному''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m=k+l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Преобразуем равенство <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Имеем:<math>a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Условие, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Или, что то же самое: <math>(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d</math>. || Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения. |- | '''3''' || Далее получаем: <math>n-1+m-1=k-1+l-1</math>. || Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения. |- | '''4''' || Наконец, приходим к равенству: <math>n+m=k+l</math>, что и требовалось доказать. || Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения. |} |} <li>'''противоположное данному''': «''Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>n+m \neq k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>. |- | # Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: <math>n+m=k+l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать. |} <li>'''обратное противоположному (контрапозитивное)''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m \neq k+l</math>. |- | # Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>n+m=k+l</math>. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать. |} </ol></li> <li> Математические и общенаучные методы. * Математические: метод тождественных преобразований. * Общенаучные: анализ и синтез.</li> <li>Область применения: '''задачи, где дана арифметическая прогрессия'''.</li> </ol> === Геометрия === ==== Планиметрия ==== ===== Треугольник ===== ====== ''Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в <math>30^\circ</math>, равен половине гипотенузы'' <ref>https://uroki.me/logiko--matematicheskiy-analiz-teoremy-3740.html?ysclid=ldkn87y729657576859</ref> ====== ===== Трапеция ===== ====== ''Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме'' <ref>https://studfile.net/preview/8656202/</ref>====== # Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то"; # Вид суждения: сложное (есть 2 заключения) ===== Многоугольник ===== ====== ''Cумма углов выпуклого <math>n</math>-угольника равна <math>\left(n-2\right)\cdot 180^\circ</math>'' ====== [[Категория:Учебники без шаблона]] mjkbubrfp7d5oy04ycizuz5l7oim6o3 267620 267619 2026-05-21T08:17:46Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267620 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это == Образцы ЛМА теоремы == === Алгебра === ==== Логарифм ==== ==== Прогрессии ==== ====== ''Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны'' ====== <ol type="I" start="1"> <li>Теорема сформулирована в '''категоричной форме'''. </li> <li>В '''импликативной форме''' теорема будет иметь вид: «''Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны''». '''Символьная формулировка''': «Если <math>n+m=k+l</math>, то <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>».</li> <li>Структура теоремы. # Разъяснительная часть: "". # Условие: "". # Требование: "".</li> <li>Доказательство. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>n+m=k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Найдём <math>n</math>-й член арифметической прогрессии по известной формуле: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Аналогично можно найти <math>a_m</math>: <math>a_m=a_1+(m-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу. |- | '''3''' || Тогда их сумма равна: <math>a_n+a_m=2a_1+(n+m-2)d</math>. || Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых. |- | '''4''' || Заменив сумму <math>n+m</math> в правой части на сумму <math>k+l</math>, получим следующее: <math>a_n+a_m=2a_1+(k+l-2)d</math>. || Подстановка в формулу, условие: <math>n+m=k+l</math>. |- | '''5''' || Далее имеем: <math>a_n+a_m=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Раскрытие скобок, группировка слагаемых. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, что и требовалось доказать. || Подстановка в формулу, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |} |} </li> <li>Формулировки утверждений: <ol type="a"> <li>'''обратного данному''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m=k+l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Преобразуем равенство <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Имеем:<math>a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Условие, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Или, что то же самое: <math>(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d</math>. || Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения. |- | '''3''' || Далее получаем: <math>n-1+m-1=k-1+l-1</math>. || Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения. |- | '''4''' || Наконец, приходим к равенству: <math>n+m=k+l</math>, что и требовалось доказать. || Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения. |} |} <li>'''противоположное данному''': «''Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>n+m \neq k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>. |- | # Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: <math>n+m=k+l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать. |} <li>'''обратное противоположному (контрапозитивное)''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m \neq k+l</math>. |- | # Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>n+m=k+l</math>. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать. |} </ol></li> <li> Математические и общенаучные методы. * Математические: метод тождественных преобразований. * Общенаучные: анализ и синтез.</li> <li>Область применения: '''задачи, где дана арифметическая прогрессия'''.</li> </ol> === Геометрия === ==== Планиметрия ==== ===== Треугольник ===== ====== ''Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в <math>30^\circ</math>, равен половине гипотенузы'' <ref>https://uroki.me/logiko--matematicheskiy-analiz-teoremy-3740.html?ysclid=ldkn87y729657576859</ref> ====== ===== Трапеция ===== ====== ''Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме'' <ref>https://studfile.net/preview/8656202/</ref>====== # Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то"; # Вид суждения: сложное (есть 2 заключения) ===== Многоугольник ===== ====== ''Cумма углов выпуклого <math>n</math>-угольника равна <math>\left(n-2\right)\cdot 180^\circ</math>'' ====== [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] l3rjy1apy7trh9enaa1o5qa4f2wq5vu 267760 267620 2026-05-21T10:43:23Z AllaBuraya 79455 267760 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это == Образцы ЛМА теоремы == === Алгебра === ==== Логарифм ==== ==== Прогрессии ==== ====== ''Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны'' ====== <ol type="I" start="1"> <li>Теорема сформулирована в '''категоричной форме'''. </li> <li>В '''импликативной форме''' теорема будет иметь вид: «''Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны''». '''Символьная формулировка''': «Если <math>n+m=k+l</math>, то <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>».</li> <li>Структура теоремы. # Разъяснительная часть: "". # Условие: "". # Требование: "".</li> <li>Доказательство. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>n+m=k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Найдём <math>n</math>-й член арифметической прогрессии по известной формуле: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Аналогично можно найти <math>a_m</math>: <math>a_m=a_1+(m-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу. |- | '''3''' || Тогда их сумма равна: <math>a_n+a_m=2a_1+(n+m-2)d</math>. || Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых. |- | '''4''' || Заменив сумму <math>n+m</math> в правой части на сумму <math>k+l</math>, получим следующее: <math>a_n+a_m=2a_1+(k+l-2)d</math>. || Подстановка в формулу, условие: <math>n+m=k+l</math>. |- | '''5''' || Далее имеем: <math>a_n+a_m=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Раскрытие скобок, группировка слагаемых. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, что и требовалось доказать. || Подстановка в формулу, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |} |} </li> <li>{{Название учебника | Категория = Математика }} Формулировки утверждений: <ol type="a"> <li>'''обратного данному''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m=k+l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Преобразуем равенство <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Имеем:<math>a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Условие, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Или, что то же самое: <math>(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d</math>. || Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения. |- | '''3''' || Далее получаем: <math>n-1+m-1=k-1+l-1</math>. || Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения. |- | '''4''' || Наконец, приходим к равенству: <math>n+m=k+l</math>, что и требовалось доказать. || Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения. |} |} <li>'''противоположное данному''': «''Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>n+m \neq k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>. |- | # Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: <math>n+m=k+l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать. |} <li>'''обратное противоположному (контрапозитивное)''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m \neq k+l</math>. |- | # Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>n+m=k+l</math>. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать. |} </ol></li> <li> Математические и общенаучные методы. * Математические: метод тождественных преобразований. * Общенаучные: анализ и синтез.</li> <li>Область применения: '''задачи, где дана арифметическая прогрессия'''.</li> </ol> === Геометрия === ==== Планиметрия ==== ===== Треугольник ===== ====== ''Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в <math>30^\circ</math>, равен половине гипотенузы'' <ref>https://uroki.me/logiko--matematicheskiy-analiz-teoremy-3740.html?ysclid=ldkn87y729657576859</ref> ====== ===== Трапеция ===== ====== ''Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме'' <ref>https://studfile.net/preview/8656202/</ref>====== # Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то"; # Вид суждения: сложное (есть 2 заключения) ===== Многоугольник ===== ====== ''Cумма углов выпуклого <math>n</math>-угольника равна <math>\left(n-2\right)\cdot 180^\circ</math>'' ====== [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 7bnjybzmyq68pjpi7xvjpy4yd2g6rct 267798 267760 2026-05-21T11:24:47Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Логико-математический анализ теоремы]] в [[Методика обучения математике/Логико-математический анализ теоремы]] 267760 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это == Образцы ЛМА теоремы == === Алгебра === ==== Логарифм ==== ==== Прогрессии ==== ====== ''Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны'' ====== <ol type="I" start="1"> <li>Теорема сформулирована в '''категоричной форме'''. </li> <li>В '''импликативной форме''' теорема будет иметь вид: «''Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны''». '''Символьная формулировка''': «Если <math>n+m=k+l</math>, то <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>».</li> <li>Структура теоремы. # Разъяснительная часть: "". # Условие: "". # Требование: "".</li> <li>Доказательство. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>n+m=k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Найдём <math>n</math>-й член арифметической прогрессии по известной формуле: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Аналогично можно найти <math>a_m</math>: <math>a_m=a_1+(m-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу. |- | '''3''' || Тогда их сумма равна: <math>a_n+a_m=2a_1+(n+m-2)d</math>. || Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых. |- | '''4''' || Заменив сумму <math>n+m</math> в правой части на сумму <math>k+l</math>, получим следующее: <math>a_n+a_m=2a_1+(k+l-2)d</math>. || Подстановка в формулу, условие: <math>n+m=k+l</math>. |- | '''5''' || Далее имеем: <math>a_n+a_m=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Раскрытие скобок, группировка слагаемых. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, что и требовалось доказать. || Подстановка в формулу, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |} |} </li> <li>{{Название учебника | Категория = Математика }} Формулировки утверждений: <ol type="a"> <li>'''обратного данному''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m=k+l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Преобразуем равенство <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Имеем:<math>a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Условие, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Или, что то же самое: <math>(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d</math>. || Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения. |- | '''3''' || Далее получаем: <math>n-1+m-1=k-1+l-1</math>. || Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения. |- | '''4''' || Наконец, приходим к равенству: <math>n+m=k+l</math>, что и требовалось доказать. || Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения. |} |} <li>'''противоположное данному''': «''Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>n+m \neq k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>. |- | # Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: <math>n+m=k+l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать. |} <li>'''обратное противоположному (контрапозитивное)''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m \neq k+l</math>. |- | # Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>n+m=k+l</math>. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать. |} </ol></li> <li> Математические и общенаучные методы. * Математические: метод тождественных преобразований. * Общенаучные: анализ и синтез.</li> <li>Область применения: '''задачи, где дана арифметическая прогрессия'''.</li> </ol> === Геометрия === ==== Планиметрия ==== ===== Треугольник ===== ====== ''Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в <math>30^\circ</math>, равен половине гипотенузы'' <ref>https://uroki.me/logiko--matematicheskiy-analiz-teoremy-3740.html?ysclid=ldkn87y729657576859</ref> ====== ===== Трапеция ===== ====== ''Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме'' <ref>https://studfile.net/preview/8656202/</ref>====== # Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то"; # Вид суждения: сложное (есть 2 заключения) ===== Многоугольник ===== ====== ''Cумма углов выпуклого <math>n</math>-угольника равна <math>\left(n-2\right)\cdot 180^\circ</math>'' ====== [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 7bnjybzmyq68pjpi7xvjpy4yd2g6rct 267805 267798 2026-05-21T11:26:13Z AllaBuraya 79455 267805 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это == Образцы ЛМА теоремы == === Алгебра === ==== Логарифм ==== ==== Прогрессии ==== ====== ''Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны'' ====== <ol type="I" start="1"> <li>Теорема сформулирована в '''категоричной форме'''. </li> <li>В '''импликативной форме''' теорема будет иметь вид: «''Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны''». '''Символьная формулировка''': «Если <math>n+m=k+l</math>, то <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>».</li> <li>Структура теоремы. # Разъяснительная часть: "". # Условие: "". # Требование: "".</li> <li>Доказательство. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>n+m=k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Найдём <math>n</math>-й член арифметической прогрессии по известной формуле: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Аналогично можно найти <math>a_m</math>: <math>a_m=a_1+(m-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу. |- | '''3''' || Тогда их сумма равна: <math>a_n+a_m=2a_1+(n+m-2)d</math>. || Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых. |- | '''4''' || Заменив сумму <math>n+m</math> в правой части на сумму <math>k+l</math>, получим следующее: <math>a_n+a_m=2a_1+(k+l-2)d</math>. || Подстановка в формулу, условие: <math>n+m=k+l</math>. |- | '''5''' || Далее имеем: <math>a_n+a_m=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Раскрытие скобок, группировка слагаемых. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, что и требовалось доказать. || Подстановка в формулу, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |} |} </li> <li><ol type="a"> <li>'''обратного данному''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m=k+l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Преобразуем равенство <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Имеем:<math>a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Условие, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Или, что то же самое: <math>(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d</math>. || Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения. |- | '''3''' || Далее получаем: <math>n-1+m-1=k-1+l-1</math>. || Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения. |- | '''4''' || Наконец, приходим к равенству: <math>n+m=k+l</math>, что и требовалось доказать. || Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения. |} |} <li>'''противоположное данному''': «''Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>n+m \neq k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>. |- | # Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: <math>n+m=k+l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать. |} <li>'''обратное противоположному (контрапозитивное)''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m \neq k+l</math>. |- | # Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>n+m=k+l</math>. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать. |} </ol></li> <li> Математические и общенаучные методы. * Математические: метод тождественных преобразований. * Общенаучные: анализ и синтез.</li> <li>Область применения: '''задачи, где дана арифметическая прогрессия'''.</li> </ol> === Геометрия === ==== Планиметрия ==== ===== Треугольник ===== ====== ''Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в <math>30^\circ</math>, равен половине гипотенузы'' <ref>https://uroki.me/logiko--matematicheskiy-analiz-teoremy-3740.html?ysclid=ldkn87y729657576859</ref> ====== ===== Трапеция ===== ====== ''Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме'' <ref>https://studfile.net/preview/8656202/</ref>====== # Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то"; # Вид суждения: сложное (есть 2 заключения) ===== Многоугольник ===== ====== ''Cумма углов выпуклого <math>n</math>-угольника равна <math>\left(n-2\right)\cdot 180^\circ</math>'' ====== [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 1smy1tzw0uxi6szszjjjsgwovg46iub 267806 267805 2026-05-21T11:26:19Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267806 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это == Образцы ЛМА теоремы == === Алгебра === ==== Логарифм ==== ==== Прогрессии ==== ====== ''Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны'' ====== <ol type="I" start="1"> <li>Теорема сформулирована в '''категоричной форме'''. </li> <li>В '''импликативной форме''' теорема будет иметь вид: «''Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны''». '''Символьная формулировка''': «Если <math>n+m=k+l</math>, то <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>».</li> <li>Структура теоремы. # Разъяснительная часть: "". # Условие: "". # Требование: "".</li> <li>Доказательство. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>n+m=k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Найдём <math>n</math>-й член арифметической прогрессии по известной формуле: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Аналогично можно найти <math>a_m</math>: <math>a_m=a_1+(m-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу. |- | '''3''' || Тогда их сумма равна: <math>a_n+a_m=2a_1+(n+m-2)d</math>. || Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых. |- | '''4''' || Заменив сумму <math>n+m</math> в правой части на сумму <math>k+l</math>, получим следующее: <math>a_n+a_m=2a_1+(k+l-2)d</math>. || Подстановка в формулу, условие: <math>n+m=k+l</math>. |- | '''5''' || Далее имеем: <math>a_n+a_m=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Раскрытие скобок, группировка слагаемых. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, что и требовалось доказать. || Подстановка в формулу, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |} |} </li> <li><ol type="a"> <li>'''обратного данному''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m=k+l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Преобразуем равенство <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Имеем:<math>a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Условие, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Или, что то же самое: <math>(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d</math>. || Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения. |- | '''3''' || Далее получаем: <math>n-1+m-1=k-1+l-1</math>. || Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения. |- | '''4''' || Наконец, приходим к равенству: <math>n+m=k+l</math>, что и требовалось доказать. || Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения. |} |} <li>'''противоположное данному''': «''Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>n+m \neq k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>. |- | # Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: <math>n+m=k+l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать. |} <li>'''обратное противоположному (контрапозитивное)''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m \neq k+l</math>. |- | # Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>n+m=k+l</math>. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать. |} </ol></li> <li> Математические и общенаучные методы. * Математические: метод тождественных преобразований. * Общенаучные: анализ и синтез.</li> <li>Область применения: '''задачи, где дана арифметическая прогрессия'''.</li> </ol> === Геометрия === ==== Планиметрия ==== ===== Треугольник ===== ====== ''Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в <math>30^\circ</math>, равен половине гипотенузы'' <ref>https://uroki.me/logiko--matematicheskiy-analiz-teoremy-3740.html?ysclid=ldkn87y729657576859</ref> ====== ===== Трапеция ===== ====== ''Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме'' <ref>https://studfile.net/preview/8656202/</ref>====== # Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то"; # Вид суждения: сложное (есть 2 заключения) ===== Многоугольник ===== ====== ''Cумма углов выпуклого <math>n</math>-угольника равна <math>\left(n-2\right)\cdot 180^\circ</math>'' ====== [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Методика обучения математике]] a6utsg6g580klq6lrsu5mhpczd9s72d 267807 267806 2026-05-21T11:26:23Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267807 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это == Образцы ЛМА теоремы == === Алгебра === ==== Логарифм ==== ==== Прогрессии ==== ====== ''Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны'' ====== <ol type="I" start="1"> <li>Теорема сформулирована в '''категоричной форме'''. </li> <li>В '''импликативной форме''' теорема будет иметь вид: «''Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны''». '''Символьная формулировка''': «Если <math>n+m=k+l</math>, то <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>».</li> <li>Структура теоремы. # Разъяснительная часть: "". # Условие: "". # Требование: "".</li> <li>Доказательство. {| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>n+m=k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Найдём <math>n</math>-й член арифметической прогрессии по известной формуле: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Аналогично можно найти <math>a_m</math>: <math>a_m=a_1+(m-1)d</math>. || Формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу. |- | '''3''' || Тогда их сумма равна: <math>a_n+a_m=2a_1+(n+m-2)d</math>. || Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых. |- | '''4''' || Заменив сумму <math>n+m</math> в правой части на сумму <math>k+l</math>, получим следующее: <math>a_n+a_m=2a_1+(k+l-2)d</math>. || Подстановка в формулу, условие: <math>n+m=k+l</math>. |- | '''5''' || Далее имеем: <math>a_n+a_m=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Раскрытие скобок, группировка слагаемых. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, что и требовалось доказать. || Подстановка в формулу, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |} |} </li> <li><ol type="a"> <li>'''обратного данному''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m=k+l</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Преобразуем равенство <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Имеем:<math>a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=a_1+(k-1)d+a_1+(l-1)d</math>. || Условие, формула <math>n</math>-го члена арифметической прогрессии. |- | '''2''' || Или, что то же самое: <math>(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d</math>. || Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения. |- | '''3''' || Далее получаем: <math>n-1+m-1=k-1+l-1</math>. || Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения. |- | '''4''' || Наконец, приходим к равенству: <math>n+m=k+l</math>, что и требовалось доказать. || Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения. |} |} <li>'''противоположное данному''': «''Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>n+m \neq k+l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>. |- | # Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: <math>n+m=k+l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать. |} <li>'''обратное противоположному (контрапозитивное)''': «''Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов''».</li> {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> методом '''от противного''': ''Дано'': <math>a_n+a_m \neq a_k+a_l</math>, где <math>\left(n,\, m,\, k,\, l\right)\in \mathbb N</math> и <math>\left\{ {a_n}\right\}</math> — <math>\div</math>. <br>Доказать, что <math>n+m \neq k+l</math>. |- | # Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть <math>n+m=k+l</math>. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: <math>a_n+a_m=a_k+a_l</math>. # Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать. |} </ol></li> <li> Математические и общенаучные методы. * Математические: метод тождественных преобразований. * Общенаучные: анализ и синтез.</li> <li>Область применения: '''задачи, где дана арифметическая прогрессия'''.</li> </ol> === Геометрия === ==== Планиметрия ==== ===== Треугольник ===== ====== ''Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в <math>30^\circ</math>, равен половине гипотенузы'' <ref>https://uroki.me/logiko--matematicheskiy-analiz-teoremy-3740.html?ysclid=ldkn87y729657576859</ref> ====== ===== Трапеция ===== ====== ''Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме'' <ref>https://studfile.net/preview/8656202/</ref>====== # Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то"; # Вид суждения: сложное (есть 2 заключения) ===== Многоугольник ===== ====== ''Cумма углов выпуклого <math>n</math>-угольника равна <math>\left(n-2\right)\cdot 180^\circ</math>'' ====== [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] 45dwkug3gmjilyj8u6ej65qy4x6f6ot 0 30421 267621 260974 2026-05-21T08:18:00Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267621 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это == Образцы ЛМА понятий == === Алгебра === ==== ''Неправильная дробь'' ==== ==== ''Модуль числа'' ==== Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya ==== ''Арифметическая прогрессия'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: арифметическая прогрессия.</li> <li>Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».</li> <li>Род: числовая последовательность.</li> <li>В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>характеристическое свойство;</li> <li>комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;</li> <li>комплементарное свойство сумм;</li> <li>характер монотонности;</li> <li>число членов прогрессии.</li> </ol></li> <li></li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Функция'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: функция.</li> <li>Определение: «Соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math> называют ''функцией'' между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>), если каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Род: зависимость (соответствие).</li> <li>Функция — это # соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math>; # между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>); # каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>область определения и множество значений функции;</li> <li>наибольшее и наименьшее значения;</li> <li>нули функции;</li> <li>периодичность функции;</li> <li>непрерывность и разрывность функции в точке;</li> <li>дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;</li> <li>чётность и нечётность функции;</li> <li>промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);</li> <li>наличие либо отсутствие обратной функции;</li> <li>области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;</li> <li>экстремумы (минимум и максимум) функции.</li> </ol></li> <li>Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.</li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Уравнение'' ==== === Геометрия === ==== ''Угол'' ==== ==== ''Треугольник'' ==== ==== ''Медиана треугольника'' ==== Отрезок в треугольнике, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ==== ''Параллелограмм'' ==== === Математический анализ === [[Категория:Учебники без шаблона]] ka4h5bzg8n8v2pxi5wyaye2ygc5uyep 267622 267621 2026-05-21T08:18:10Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267622 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это == Образцы ЛМА понятий == === Алгебра === ==== ''Неправильная дробь'' ==== ==== ''Модуль числа'' ==== Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya ==== ''Арифметическая прогрессия'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: арифметическая прогрессия.</li> <li>Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».</li> <li>Род: числовая последовательность.</li> <li>В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>характеристическое свойство;</li> <li>комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;</li> <li>комплементарное свойство сумм;</li> <li>характер монотонности;</li> <li>число членов прогрессии.</li> </ol></li> <li></li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Функция'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: функция.</li> <li>Определение: «Соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math> называют ''функцией'' между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>), если каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Род: зависимость (соответствие).</li> <li>Функция — это # соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math>; # между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>); # каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>область определения и множество значений функции;</li> <li>наибольшее и наименьшее значения;</li> <li>нули функции;</li> <li>периодичность функции;</li> <li>непрерывность и разрывность функции в точке;</li> <li>дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;</li> <li>чётность и нечётность функции;</li> <li>промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);</li> <li>наличие либо отсутствие обратной функции;</li> <li>области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;</li> <li>экстремумы (минимум и максимум) функции.</li> </ol></li> <li>Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.</li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Уравнение'' ==== === Геометрия === ==== ''Угол'' ==== ==== ''Треугольник'' ==== ==== ''Медиана треугольника'' ==== Отрезок в треугольнике, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ==== ''Параллелограмм'' ==== === Математический анализ === [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 1g0am391306qs20xxyfq94rghjgkff5 267759 267622 2026-05-21T10:43:01Z AllaBuraya 79455 267759 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это == Образцы ЛМА понятий == === Алгебра === ==== ''Неправильная дробь'' ==== ==== ''Модуль числа'' ==== Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya ==== ''Арифметическая прогрессия'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: арифметическая прогрессия.</li> <li>Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».</li> <li>Род: числовая последовательность.</li> <li>В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>характеристическое свойство;</li> <li>комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;</li> <li>комплементарное свойство сумм;</li> <li>характер монотонности;</li> <li>число членов прогрессии.</li> </ol></li> <li></li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Функция'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: функция.</li> <li>Определение: «Соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math> называют ''функцией'' между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>), если каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Род: зависимость (соответствие).</li> <li>Функция — это # соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math>; # между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>); # каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>область определения и множество значений функции;</li> <li>наибольшее и наименьшее значения;</li> <li>нули функции;</li> <li>периодичность функции;</li> <li>непрерывность и разрывность функции в точке;</li> <li>дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;</li> <li>чётность и нечётность функции;</li> <li>промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);</li> <li>наличие либо отсутствие обратной функции;</li> <li>области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;</li> <li>экстремумы (минимум и максимум) функции.</li> </ol></li> <li>Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.</li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Уравнение'' ==== === Геометрия === ==== ''Угол'' ==== ==== ''Треугольник'' ==== ==== ''Медиана треугольника'' ==== Отрезок в треугольнике, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ==== ''Параллелограмм'' ==== === Математический анализ === [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] sr4zkf60ph7p6so5gy7p55nwb2etxiq 267800 267759 2026-05-21T11:25:05Z AllaBuraya 79455 267800 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это == Образцы ЛМА понятий == === Алгебра === ==== ''Неправильная дробь'' ==== ==== ''Модуль числа'' ==== Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya ==== ''Арифметическая прогрессия'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: арифметическая прогрессия.</li> <li>Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».</li> <li>Род: числовая последовательность.</li> <li>В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>характеристическое свойство;</li> <li>комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;</li> <li>комплементарное свойство сумм;</li> <li>характер монотонности;</li> <li>число членов прогрессии.</li> </ol></li> <li></li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Функция'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: функция.</li> <li>Определение: «Соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math> называют ''функцией'' между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>), если каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Род: зависимость (соответствие).</li> <li>Функция — это # соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math>; # между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>); # каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>область определения и множество значений функции;</li> <li>наибольшее и наименьшее значения;</li> <li>нули функции;</li> <li>периодичность функции;</li> <li>непрерывность и разрывность функции в точке;</li> <li>дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;</li> <li>чётность и нечётность функции;</li> <li>промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);</li> <li>наличие либо отсутствие обратной функции;</li> <li>области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;</li> <li>экстремумы (минимум и максимум) функции.</li> </ol></li> <li>Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.</li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Уравнение'' ==== === Геометрия === ==== ''Угол'' ==== ==== ''Треугольник'' ==== ==== ''Медиана треугольника'' ==== Отрезок в треугольнике, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ==== ''Параллелограмм'' ==== === Математический анализ === [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 1g0am391306qs20xxyfq94rghjgkff5 267801 267800 2026-05-21T11:25:15Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Логико-математический анализ (ЛМА) понятия]] в [[Методика обучения математике/Логико-математический анализ (ЛМА) понятия]] 267800 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это == Образцы ЛМА понятий == === Алгебра === ==== ''Неправильная дробь'' ==== ==== ''Модуль числа'' ==== Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya ==== ''Арифметическая прогрессия'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: арифметическая прогрессия.</li> <li>Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».</li> <li>Род: числовая последовательность.</li> <li>В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>характеристическое свойство;</li> <li>комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;</li> <li>комплементарное свойство сумм;</li> <li>характер монотонности;</li> <li>число членов прогрессии.</li> </ol></li> <li></li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Функция'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: функция.</li> <li>Определение: «Соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math> называют ''функцией'' между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>), если каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Род: зависимость (соответствие).</li> <li>Функция — это # соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math>; # между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>); # каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>область определения и множество значений функции;</li> <li>наибольшее и наименьшее значения;</li> <li>нули функции;</li> <li>периодичность функции;</li> <li>непрерывность и разрывность функции в точке;</li> <li>дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;</li> <li>чётность и нечётность функции;</li> <li>промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);</li> <li>наличие либо отсутствие обратной функции;</li> <li>области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;</li> <li>экстремумы (минимум и максимум) функции.</li> </ol></li> <li>Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.</li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Уравнение'' ==== === Геометрия === ==== ''Угол'' ==== ==== ''Треугольник'' ==== ==== ''Медиана треугольника'' ==== Отрезок в треугольнике, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ==== ''Параллелограмм'' ==== === Математический анализ === [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 1g0am391306qs20xxyfq94rghjgkff5 267803 267801 2026-05-21T11:25:27Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267803 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это == Образцы ЛМА понятий == === Алгебра === ==== ''Неправильная дробь'' ==== ==== ''Модуль числа'' ==== Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya ==== ''Арифметическая прогрессия'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: арифметическая прогрессия.</li> <li>Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».</li> <li>Род: числовая последовательность.</li> <li>В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>характеристическое свойство;</li> <li>комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;</li> <li>комплементарное свойство сумм;</li> <li>характер монотонности;</li> <li>число членов прогрессии.</li> </ol></li> <li></li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Функция'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: функция.</li> <li>Определение: «Соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math> называют ''функцией'' между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>), если каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Род: зависимость (соответствие).</li> <li>Функция — это # соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math>; # между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>); # каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>область определения и множество значений функции;</li> <li>наибольшее и наименьшее значения;</li> <li>нули функции;</li> <li>периодичность функции;</li> <li>непрерывность и разрывность функции в точке;</li> <li>дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;</li> <li>чётность и нечётность функции;</li> <li>промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);</li> <li>наличие либо отсутствие обратной функции;</li> <li>области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;</li> <li>экстремумы (минимум и максимум) функции.</li> </ol></li> <li>Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.</li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Уравнение'' ==== === Геометрия === ==== ''Угол'' ==== ==== ''Треугольник'' ==== ==== ''Медиана треугольника'' ==== Отрезок в треугольнике, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ==== ''Параллелограмм'' ==== === Математический анализ === [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Методика обучения математике]] oqwlbpf6owzu0f1zs9q56lnwnrn5uy6 267804 267803 2026-05-21T11:25:33Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267804 wikitext text/x-wiki Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это == Образцы ЛМА понятий == === Алгебра === ==== ''Неправильная дробь'' ==== ==== ''Модуль числа'' ==== Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya ==== ''Арифметическая прогрессия'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: арифметическая прогрессия.</li> <li>Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».</li> <li>Род: числовая последовательность.</li> <li>В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>характеристическое свойство;</li> <li>комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;</li> <li>комплементарное свойство сумм;</li> <li>характер монотонности;</li> <li>число членов прогрессии.</li> </ol></li> <li></li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Функция'' ==== <ol type="I" start="1"> <li>Термин: функция.</li> <li>Определение: «Соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math> называют ''функцией'' между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>), если каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Род: зависимость (соответствие).</li> <li>Функция — это # соответствие (правило, закон) <math>y = f\left(x\right)</math>; # между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>); # каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>)».</li> <li>Свойства: <ol type="a"> <li>область определения и множество значений функции;</li> <li>наибольшее и наименьшее значения;</li> <li>нули функции;</li> <li>периодичность функции;</li> <li>непрерывность и разрывность функции в точке;</li> <li>дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;</li> <li>чётность и нечётность функции;</li> <li>промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);</li> <li>наличие либо отсутствие обратной функции;</li> <li>области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;</li> <li>экстремумы (минимум и максимум) функции.</li> </ol></li> <li>Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.</li> <li>Контрпримеры: {| class="wikitable" |+ Функциями ''НЕ являются'' следующие зависимости |- ! Порядковый номер !! Контрпример !! Объяснение !! Номер пункта <ref>Номера пунктов '''совпадают''' с номерами <u>существенных признаков</u> в «''IV. Функция —— это ...''».</ref> |- | '''1''' || <math>x^2+y^2=1</math> || значению <math>x=0</math> соответствует ровно два значения || ''3'' |- | '''2''' || Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра || это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3 || ''3'' |- | '''3''' || * <math>\dfrac{x}{10}</math> * <math>5+y=30</math> || отсутствует зависимость <math>y</math> от <math>x</math> || ''1'' |- | '''4''' || Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей (<math>X</math>) и их хобби (<math>Y</math>):[[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-56-34_what_is_01_2.png_(Изображение_PNG_473_×_347_пикселов).png|thumb]] || Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет. || ''3'' |- | '''5''' || Сумма членов арифметической прогрессии <math>S=1+3+5+\cdots+(2n-1)</math> есть функция числа членов <math>n</math>; она выражается формулой <math>S=n^2</math>. Сама по себе эта формула имеет смысл <ref>Пусть функция <math>f\left(x\right)</math> задана формулой без указания области определения. Говорят, что формула имеет смысл, если область определения есть множество всех значений аргумента <math>x</math>.</ref> для любого <math>n</math>. Но в данном вопросе аргумент <math>n</math> может принимать лишь значения <math>1, 2, 3, 4, \ldots </math> . Область определения есть множество всех натуральных чисел. || Если рассматривать значения <math>n=\dfrac{1}{2}</math>, <math>n=-5</math>, <math>n=\sqrt{3}</math> и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество <math>X</math>) и множеством значений переменной <math>S</math> (множество <math>Y</math>) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для <math>X\equiv \mathbb N</math> и <math>Y = \left\{1;\, 4;\, 9;\, 16;\, \ldots \right\}</math>. || ''2'' |- | '''6''' || Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции [[Файл:Screenshot_2023-02-03_at_12-51-50_what_is_new.png_(Изображение_PNG_765_×_440_пикселов).png|thumb]] || нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению <math>x</math> соответствует не одно, а целых три значения <math>y</math>. || ''3'' |} </li> <li>Ведущее действие: ''Исследование функций''.</li> {{Комментарий|Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия: <ul> <li>''Построение графика функции'';</li> <li> ''Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций''.</li> </ul> Однако выбрать надо только одно!}} <li>Алгоритм исследования функции: <ol> <li>Находим область определения (<math>\mathcal{D}_f</math>) функции <math>y = f\left(x\right)</math>;</li> <li> Если ООФ симметрична относительно нуля <ref>То есть для любого значения <math>x</math> из <math>\mathcal{D}_f</math> значение <math>-x</math> также принадлежит <math>\mathcal{D}_f</math>.</ref>, то проверяем функцию на чётность. <ol type="a"> <li>Если <math>f\left(-x\right) = f\left(x\right)</math>, то функция чётная. <br>Вывод: график симметричен относительно оси <math>OY</math>.</li> <li>Если <math>f\left(-x\right) = -f\left(x\right)</math>, то функция нечётная. <br>Вывод: график симметричен относительно начала координат.</li> </ol></li> <li>Пример 3</li> <li>Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства <math>f\left(x\right) >0 </math> и <math>f\left(x\right) < 0 </math>.</li> </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует. </li> <li>Область применения понятия «функция»:</li> </ol> ==== ''Уравнение'' ==== === Геометрия === ==== ''Угол'' ==== ==== ''Треугольник'' ==== ==== ''Медиана треугольника'' ==== Отрезок в треугольнике, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны ==== ''Параллелограмм'' ==== === Математический анализ === [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] dntr5rs23mhnp7g5fbee2c2dxzwkekx 0 30431 267639 267434 2026-05-21T08:24:38Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267639 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Тип = Одностраничный | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} <small>В статье обсуждаются вопросы: что такое математическое доказатель­ство и как оно устроено (какова его логическая структура)? Вводится на интуитивном уровне понятие математического доказательства в виде дере­ва. Выявлены преимущества подхода к уточнению понятия доказательства в виде дерева по сравнению с традиционным линейным доказательством.</small> == Введение == В математике мы постоянно имеем дело с доказательствами. Однако редко за­даём себе следующие вопросы (и ещё реже пытаемся ответить на них): Что такое ''математическое доказательство''? В чём его сущность? Как устроено математическое доказательство? Как выявить его структуру? Представьте себе следующую ситуацию. На письменном экзамене по геометрии учащийся должен был доказать теорему Пифагора. Написав работу, ученик сдал её преподавателю. Преподаватель, прочитав работу, возвратил её с комментари­ем: «Это не доказательство!». На что ученик возразил: «Почему Вы считаете, что написанное мною —— не доказательство? Что такое доказательство? Вы на уро­ках геометрии давали определения многих понятий, но среди них не было понятия ''доказательства''. На каком основании Вы можете утверждать, будто то, что я на­ писал, —— не доказательство? Как Вы можете ''доказать'', что моё доказательство не является доказательством?!». У этой истории возможны два финала. Если преподаватель обладает широтой взглядов и не лишен творческого начала, то он может повысить на балл оценку ученику, у которого возникают столь неординарные во­просы. Если преподаватель —— педант, лишённый чувства юмора, то он, скорее всего, снизит оценку за непочтительность. Эта весьма правдоподобная и поучительная история рассказана замечательным американским логиком [[w:Раймонд Смаллиан|Раймондом Смаллианом]] в одной из его великолепных, пол­ных юмора популярных книг по математической логике <ref>Смаллиан Р. М. Принцесса или тигр? — М.: Мир, 1985. — 221 с</ref>.{{Цитата|Я прочитала её много лет назад и с тех пор всегда пересказываю эту историю своим студентам на математическом факультете МПГУ в самом начале курса математической логики. Мне кажется, она блестяще объясняет, что будущему учителю математики изучать математическую логику совершенно необходимо хотя бы для того, чтобы прояснить для себя, что такое доказательство. (И. Л. Тимофеева)}} Так что же такое математическое доказательство? Может ли математика ответить на этот вопрос? Могут ли математические доказательства быть объектом изучения в математике? Можно ли изучать понятие математического доказатель­ства с помощью математических средств и методов? На последние три вопроса ответ положительный. Математические доказательства являются главным объек­том изучения ''теории доказательств'', которая представляет собой основной раздел математической логики. Для того чтобы понятие математического доказательства стало объектом изучения в математике, необходимо это понятие уточнить. == Уточнение понятия «математическое доказатель­ство» == Сначала надо договориться, что понимать под математическим доказатель­ством на интуитивном уровне. Для краткости в дальнейшем будем говорить про­сто ''доказательство'' вместо слов ''математическое доказательство'' <ref>Понятие доказательства (в широком смысле), используемое вне математики, мы не обсу­ждаем. В частности, не затрагиваем психологические и социально-исторические аспекты этого понятия [7]. Речь идёт только о понятии математического доказательства, причём в его совре­менном понимании. Жертвуем в дальнейшем словом «математическое» лишь для краткости.</ref>. Прежде всего, под доказательством будем понимать не ''процесс'' обоснования какого-либо математического утверждения, а его '''результат''', представленный в виде некоторого текста. Итак, доказательство представляет собой некоторый <u>текст, состоящий из отдельных предложений</u>. Особенность этого текста заключается в том, что составляющие его предложения '''логически взаимосвязаны''' друг с другом. Обычно эта связь выражается словами «предложение такое-то логически следует из предшествующих предложений таких-то». При кратком изложении доказатель­ства используется лишь слово «следовательно» (или равнозначное слово), а из каких именно посылок следует данное предложение (делается вывод) часто явно не ука­зано, да и сами посылки даже не всегда сформулированы. А что значит, ''логически следует''? Обычно это никак не уточняется. При уточнении этого словосочетания предложение «Из <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> ''логически следует'' <math>\mathcal {B}</math>» можно понимать следующим образом: переход от предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math> происходит по некоторому '''правилу вывода''' (логическому правилу), разумеется, если восстановле­ны все пропущенные шаги. Однако на практике, в неформальном доказательстве обычно не уточняется, в соответствии с каким логическим правилом делается тот или иной вывод. В доказательстве должны быть ''исходные'' предложения, которые не являются следствиями предыдущих предложений (ведь текст конечен!). Такими исходными предложениями могут служить '''аксиомы''' той математической теории, в рамках которой проводится доказательство. Исходными могут быть и предложения, име­ющие место в силу '''определения'''. В некотором смысле такие предложения добавляются к аксиомам. В качестве исходных предложений могут также выступать вспомогательные '''допущения'''. В самом деле, в доказательствах очень часто встре­чаются слова «''допустим, что . . .'' » . Отношение ''логического следования'', как бы мы ни уточняли это понятие, опре­делённым образом упорядочивает члены доказательства. Более того, этот порядок древовиден (имеет вид дерева с корнем — наименьшим элементом), поскольку на каждом шаге рассуждения происходит переход от некоторых предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к некоторому единственному предложению <math>\mathcal {B}</math>, непосредственно следующему из них по какому-либо правилу логики. === Доказательство в виде дерева === Итак, приходим к следующему описанию понятия доказательства в виде дерева. Под '''''доказательством в виде дерева''''' будем понимать упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является аксиомой или допущением, или имеет место в силу определения, а каждое из осталь­ных предложений следует из непосредственно предшествующих ему предложений по какому-либо правилу вывода (логическому правилу). Заметим, что на практике только для самых простых утверждений приводится доказательство в указанном (уточненном) выше смысле. Обычные математиче­ские доказательства, как правило, носят ''относительный характер'', когда наряду с аксиомами используются также утверждения, доказанные ранее или про которые известно, что они доказуемы. Для каждого такого предложения теоретически можно вставить в текст его собственное доказательство, устранив тем самым относительный характер доказательства, т. е. сведя всё к аксиомам. Кроме того, на практике, в кратком доказательстве, часто пропускаются не­которые посылки в умозаключениях. Они подразумеваются, но явно не оговарива­ются в рассуждении. Как правило, это известные, ранее доказанные утверждения. Эти неявно используемые посылки всегда при желании можно восстановить. Для более точного описания понятия доказательства теперь нужно выявить и описать ''логические правила'', используемые в рассуждениях и обеспечивающие элементарные шаги (логические переходы) в доказательстве. ==== Рассмотрение примера ==== Прежде чем перейти к этому описанию, сначала рассмотрим в качестве ''примера'' обычное несложное доказательство следующего утверждения: ''если натуральное число не делится на 6 и делится на 9, то оно нечётно.''<ref><math> {\underline\underline{\mathcal {B}}} \over {67} \stackrel{\triangle \bigtriangleup}{=}</math></ref> <br>Запишем это утверждение, используя логическую символику: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n \longrightarrow 2 \nmid n .</math></center> В дальнейшем, при символической записи содержательных (неформальных) пред­ложений, будем использовать символы <math>\And</math> (и), <math>\lor</math> (или), <math>\longrightarrow</math> (если то), <math>\lnot</math> (не). Если <math>m</math> не делится на <math>n</math>, наряду с записью <math>\lnot \;\left(m\mid n\right)</math> будем использовать запись <math>m\nmid n</math>. В кратком виде традиционное доказательство этого утверждения представляет собой следующее рассуждение: «Согласно условию, <math>n</math> не делится на 6 и делится на 9. Поскольку <math>n</math> делится на 9, то <math>n</math> делится и на 3. Кроме того, <math>n</math> не делится на 6, а значит, <math>n</math> не делится на 2 или на 3. Следовательно, <math>n</math> не делится на 2». Перечислим в виде последовательности предложения — члены этого краткого рассуждения, для обозримости предварительно записав их с помощью логической символики: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n; \quad 9\mid n; \quad 3\mid n; \quad 6\nmid n; \quad 2\nmid n \lor 3\nmid n; \quad 2 \nmid n .</math></center> При такой форме доказательства, т. е. в виде цепочки утверждений, абсолют­но неясно, какое утверждение из какого следует. Таким образом, совершенно не просматриваются логические связи между членами этой цепочки. Теперь то же самое краткое рассуждение представим в виде дерева, выявив все логические связи между членами рассуждения, сделав сразу наглядным и понятным, какое предложение из каких следует. Если предложение <math>\mathcal {B}</math> непосредственно следует из предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> по какому-либо правилу логики, будем привычным образом записывать это так: :<center><math>\dfrac{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}{\mathcal {B}}.</math></center> Если же на каком-то шаге рассуждения сделан сокращенный переход от предло­жений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math>, который не является результатом применения какого-то логического правила, записывать это будем с помощью двойной черты следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}}\\ \mathcal{B} \end{matrix}.</math></center> Каждый такой сокращенный переход обычно возникает в результате пропуска посылки, являющейся общеизвестным утверждением, а также логических умоза­ключений, связанных с этой посылкой. Двойная черта означает, что эту пропу­щенную посылку и логические переходы можно восстановить. Краткое рассуждение, приведённое выше, если его представить в виде дерева, имеет следующий вид (справа изображён граф, отражающий структуру дерева как частично упорядоченного множества): :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{2 \nmid n}.\qquad\begin{matrix} \left(1\right)\\ \;\\ \;\\ \; \end{matrix}</math></center> Выявим теперь те логические правила, в соответствии с которыми проведены отдельные шаги рассуждения. Другими словами, выявим форму каждого логиче­ского перехода, отмеченного одной горизонтальной чертой. С этой целью обозна­чим буквами простые (элементарные) предложения, входящие в рассуждение. Два первых (верхних) шага осуществлены согласно двум правилам, которые называются правилами удаления конъюнкции: <center><math>\dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {A}} \quad \text{и} \quad \dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {B}}.</math></center> Последний шаг, соответствующий самой нижней черте, осуществлён согласно следующему логическому правилу, являющемуся вариантом правила исключения возможных случаев: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\lnot \mathcal {A}}.</math></center> Двойная черта в дереве (1), согласно договоренности, означает, что на этом шаге осуществлен сокращенный переход, который не является результатом приме­нения какого-то логического правила. Восстановим пропущенную посылку и логические переходы в обоих случаях. Рассмотрим сначала сокращенный переход, отраженный следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\qquad 6\nmid n\qquad}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix}.</math></center> Восстановив подразумеваемую посылку <math>2\mid n\; \And \; 3\mid n \longrightarrow 6 \mid n</math>, а также пропущен­ные логические переходы (умозаключения), получим более подробный вариант рассуждения. Представив восстановленную часть рассуждения в виде дерева (1), получим следующую картину: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> [[Категория:Геометрия]] sqgiyz7cg3rrdbk1i0ytv9ir4aqbgvm 267671 267639 2026-05-21T08:49:04Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Геометрия]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267671 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Тип = Одностраничный | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} <small>В статье обсуждаются вопросы: что такое математическое доказатель­ство и как оно устроено (какова его логическая структура)? Вводится на интуитивном уровне понятие математического доказательства в виде дере­ва. Выявлены преимущества подхода к уточнению понятия доказательства в виде дерева по сравнению с традиционным линейным доказательством.</small> == Введение == В математике мы постоянно имеем дело с доказательствами. Однако редко за­даём себе следующие вопросы (и ещё реже пытаемся ответить на них): Что такое ''математическое доказательство''? В чём его сущность? Как устроено математическое доказательство? Как выявить его структуру? Представьте себе следующую ситуацию. На письменном экзамене по геометрии учащийся должен был доказать теорему Пифагора. Написав работу, ученик сдал её преподавателю. Преподаватель, прочитав работу, возвратил её с комментари­ем: «Это не доказательство!». На что ученик возразил: «Почему Вы считаете, что написанное мною —— не доказательство? Что такое доказательство? Вы на уро­ках геометрии давали определения многих понятий, но среди них не было понятия ''доказательства''. На каком основании Вы можете утверждать, будто то, что я на­ писал, —— не доказательство? Как Вы можете ''доказать'', что моё доказательство не является доказательством?!». У этой истории возможны два финала. Если преподаватель обладает широтой взглядов и не лишен творческого начала, то он может повысить на балл оценку ученику, у которого возникают столь неординарные во­просы. Если преподаватель —— педант, лишённый чувства юмора, то он, скорее всего, снизит оценку за непочтительность. Эта весьма правдоподобная и поучительная история рассказана замечательным американским логиком [[w:Раймонд Смаллиан|Раймондом Смаллианом]] в одной из его великолепных, пол­ных юмора популярных книг по математической логике <ref>Смаллиан Р. М. Принцесса или тигр? — М.: Мир, 1985. — 221 с</ref>.{{Цитата|Я прочитала её много лет назад и с тех пор всегда пересказываю эту историю своим студентам на математическом факультете МПГУ в самом начале курса математической логики. Мне кажется, она блестяще объясняет, что будущему учителю математики изучать математическую логику совершенно необходимо хотя бы для того, чтобы прояснить для себя, что такое доказательство. (И. Л. Тимофеева)}} Так что же такое математическое доказательство? Может ли математика ответить на этот вопрос? Могут ли математические доказательства быть объектом изучения в математике? Можно ли изучать понятие математического доказатель­ства с помощью математических средств и методов? На последние три вопроса ответ положительный. Математические доказательства являются главным объек­том изучения ''теории доказательств'', которая представляет собой основной раздел математической логики. Для того чтобы понятие математического доказательства стало объектом изучения в математике, необходимо это понятие уточнить. == Уточнение понятия «математическое доказатель­ство» == Сначала надо договориться, что понимать под математическим доказатель­ством на интуитивном уровне. Для краткости в дальнейшем будем говорить про­сто ''доказательство'' вместо слов ''математическое доказательство'' <ref>Понятие доказательства (в широком смысле), используемое вне математики, мы не обсу­ждаем. В частности, не затрагиваем психологические и социально-исторические аспекты этого понятия [7]. Речь идёт только о понятии математического доказательства, причём в его совре­менном понимании. Жертвуем в дальнейшем словом «математическое» лишь для краткости.</ref>. Прежде всего, под доказательством будем понимать не ''процесс'' обоснования какого-либо математического утверждения, а его '''результат''', представленный в виде некоторого текста. Итак, доказательство представляет собой некоторый <u>текст, состоящий из отдельных предложений</u>. Особенность этого текста заключается в том, что составляющие его предложения '''логически взаимосвязаны''' друг с другом. Обычно эта связь выражается словами «предложение такое-то логически следует из предшествующих предложений таких-то». При кратком изложении доказатель­ства используется лишь слово «следовательно» (или равнозначное слово), а из каких именно посылок следует данное предложение (делается вывод) часто явно не ука­зано, да и сами посылки даже не всегда сформулированы. А что значит, ''логически следует''? Обычно это никак не уточняется. При уточнении этого словосочетания предложение «Из <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> ''логически следует'' <math>\mathcal {B}</math>» можно понимать следующим образом: переход от предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math> происходит по некоторому '''правилу вывода''' (логическому правилу), разумеется, если восстановле­ны все пропущенные шаги. Однако на практике, в неформальном доказательстве обычно не уточняется, в соответствии с каким логическим правилом делается тот или иной вывод. В доказательстве должны быть ''исходные'' предложения, которые не являются следствиями предыдущих предложений (ведь текст конечен!). Такими исходными предложениями могут служить '''аксиомы''' той математической теории, в рамках которой проводится доказательство. Исходными могут быть и предложения, име­ющие место в силу '''определения'''. В некотором смысле такие предложения добавляются к аксиомам. В качестве исходных предложений могут также выступать вспомогательные '''допущения'''. В самом деле, в доказательствах очень часто встре­чаются слова «''допустим, что . . .'' » . Отношение ''логического следования'', как бы мы ни уточняли это понятие, опре­делённым образом упорядочивает члены доказательства. Более того, этот порядок древовиден (имеет вид дерева с корнем — наименьшим элементом), поскольку на каждом шаге рассуждения происходит переход от некоторых предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к некоторому единственному предложению <math>\mathcal {B}</math>, непосредственно следующему из них по какому-либо правилу логики. === Доказательство в виде дерева === Итак, приходим к следующему описанию понятия доказательства в виде дерева. Под '''''доказательством в виде дерева''''' будем понимать упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является аксиомой или допущением, или имеет место в силу определения, а каждое из осталь­ных предложений следует из непосредственно предшествующих ему предложений по какому-либо правилу вывода (логическому правилу). Заметим, что на практике только для самых простых утверждений приводится доказательство в указанном (уточненном) выше смысле. Обычные математиче­ские доказательства, как правило, носят ''относительный характер'', когда наряду с аксиомами используются также утверждения, доказанные ранее или про которые известно, что они доказуемы. Для каждого такого предложения теоретически можно вставить в текст его собственное доказательство, устранив тем самым относительный характер доказательства, т. е. сведя всё к аксиомам. Кроме того, на практике, в кратком доказательстве, часто пропускаются не­которые посылки в умозаключениях. Они подразумеваются, но явно не оговарива­ются в рассуждении. Как правило, это известные, ранее доказанные утверждения. Эти неявно используемые посылки всегда при желании можно восстановить. Для более точного описания понятия доказательства теперь нужно выявить и описать ''логические правила'', используемые в рассуждениях и обеспечивающие элементарные шаги (логические переходы) в доказательстве. ==== Рассмотрение примера ==== Прежде чем перейти к этому описанию, сначала рассмотрим в качестве ''примера'' обычное несложное доказательство следующего утверждения: ''если натуральное число не делится на 6 и делится на 9, то оно нечётно.''<ref><math> {\underline\underline{\mathcal {B}}} \over {67} \stackrel{\triangle \bigtriangleup}{=}</math></ref> <br>Запишем это утверждение, используя логическую символику: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n \longrightarrow 2 \nmid n .</math></center> В дальнейшем, при символической записи содержательных (неформальных) пред­ложений, будем использовать символы <math>\And</math> (и), <math>\lor</math> (или), <math>\longrightarrow</math> (если то), <math>\lnot</math> (не). Если <math>m</math> не делится на <math>n</math>, наряду с записью <math>\lnot \;\left(m\mid n\right)</math> будем использовать запись <math>m\nmid n</math>. В кратком виде традиционное доказательство этого утверждения представляет собой следующее рассуждение: «Согласно условию, <math>n</math> не делится на 6 и делится на 9. Поскольку <math>n</math> делится на 9, то <math>n</math> делится и на 3. Кроме того, <math>n</math> не делится на 6, а значит, <math>n</math> не делится на 2 или на 3. Следовательно, <math>n</math> не делится на 2». Перечислим в виде последовательности предложения — члены этого краткого рассуждения, для обозримости предварительно записав их с помощью логической символики: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n; \quad 9\mid n; \quad 3\mid n; \quad 6\nmid n; \quad 2\nmid n \lor 3\nmid n; \quad 2 \nmid n .</math></center> При такой форме доказательства, т. е. в виде цепочки утверждений, абсолют­но неясно, какое утверждение из какого следует. Таким образом, совершенно не просматриваются логические связи между членами этой цепочки. Теперь то же самое краткое рассуждение представим в виде дерева, выявив все логические связи между членами рассуждения, сделав сразу наглядным и понятным, какое предложение из каких следует. Если предложение <math>\mathcal {B}</math> непосредственно следует из предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> по какому-либо правилу логики, будем привычным образом записывать это так: :<center><math>\dfrac{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}{\mathcal {B}}.</math></center> Если же на каком-то шаге рассуждения сделан сокращенный переход от предло­жений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math>, который не является результатом применения какого-то логического правила, записывать это будем с помощью двойной черты следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}}\\ \mathcal{B} \end{matrix}.</math></center> Каждый такой сокращенный переход обычно возникает в результате пропуска посылки, являющейся общеизвестным утверждением, а также логических умоза­ключений, связанных с этой посылкой. Двойная черта означает, что эту пропу­щенную посылку и логические переходы можно восстановить. Краткое рассуждение, приведённое выше, если его представить в виде дерева, имеет следующий вид (справа изображён граф, отражающий структуру дерева как частично упорядоченного множества): :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{2 \nmid n}.\qquad\begin{matrix} \left(1\right)\\ \;\\ \;\\ \; \end{matrix}</math></center> Выявим теперь те логические правила, в соответствии с которыми проведены отдельные шаги рассуждения. Другими словами, выявим форму каждого логиче­ского перехода, отмеченного одной горизонтальной чертой. С этой целью обозна­чим буквами простые (элементарные) предложения, входящие в рассуждение. Два первых (верхних) шага осуществлены согласно двум правилам, которые называются правилами удаления конъюнкции: <center><math>\dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {A}} \quad \text{и} \quad \dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {B}}.</math></center> Последний шаг, соответствующий самой нижней черте, осуществлён согласно следующему логическому правилу, являющемуся вариантом правила исключения возможных случаев: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\lnot \mathcal {A}}.</math></center> Двойная черта в дереве (1), согласно договоренности, означает, что на этом шаге осуществлен сокращенный переход, который не является результатом приме­нения какого-то логического правила. Восстановим пропущенную посылку и логические переходы в обоих случаях. Рассмотрим сначала сокращенный переход, отраженный следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\qquad 6\nmid n\qquad}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix}.</math></center> Восстановив подразумеваемую посылку <math>2\mid n\; \And \; 3\mid n \longrightarrow 6 \mid n</math>, а также пропущен­ные логические переходы (умозаключения), получим более подробный вариант рассуждения. Представив восстановленную часть рассуждения в виде дерева (1), получим следующую картину: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> op27zu107yfi04pkgund8eney90ufty 267733 267671 2026-05-21T10:06:57Z AllaBuraya 79455 267733 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Тип = Одностраничный | Категория = Математика | Готовность = 0% }}{{Wikipedia}} <small>В статье обсуждаются вопросы: что такое математическое доказатель­ство и как оно устроено (какова его логическая структура)? Вводится на интуитивном уровне понятие математического доказательства в виде дере­ва. Выявлены преимущества подхода к уточнению понятия доказательства в виде дерева по сравнению с традиционным линейным доказательством.</small> == Введение == В математике мы постоянно имеем дело с доказательствами. Однако редко за­даём себе следующие вопросы (и ещё реже пытаемся ответить на них): Что такое ''математическое доказательство''? В чём его сущность? Как устроено математическое доказательство? Как выявить его структуру? Представьте себе следующую ситуацию. На письменном экзамене по геометрии учащийся должен был доказать теорему Пифагора. Написав работу, ученик сдал её преподавателю. Преподаватель, прочитав работу, возвратил её с комментари­ем: «Это не доказательство!». На что ученик возразил: «Почему Вы считаете, что написанное мною —— не доказательство? Что такое доказательство? Вы на уро­ках геометрии давали определения многих понятий, но среди них не было понятия ''доказательства''. На каком основании Вы можете утверждать, будто то, что я на­ писал, —— не доказательство? Как Вы можете ''доказать'', что моё доказательство не является доказательством?!». У этой истории возможны два финала. Если преподаватель обладает широтой взглядов и не лишен творческого начала, то он может повысить на балл оценку ученику, у которого возникают столь неординарные во­просы. Если преподаватель —— педант, лишённый чувства юмора, то он, скорее всего, снизит оценку за непочтительность. Эта весьма правдоподобная и поучительная история рассказана замечательным американским логиком [[w:Раймонд Смаллиан|Раймондом Смаллианом]] в одной из его великолепных, пол­ных юмора популярных книг по математической логике <ref>Смаллиан Р. М. Принцесса или тигр? — М.: Мир, 1985. — 221 с</ref>.{{Цитата|Я прочитала её много лет назад и с тех пор всегда пересказываю эту историю своим студентам на математическом факультете МПГУ в самом начале курса математической логики. Мне кажется, она блестяще объясняет, что будущему учителю математики изучать математическую логику совершенно необходимо хотя бы для того, чтобы прояснить для себя, что такое доказательство. (И. Л. Тимофеева)}} Так что же такое математическое доказательство? Может ли математика ответить на этот вопрос? Могут ли математические доказательства быть объектом изучения в математике? Можно ли изучать понятие математического доказатель­ства с помощью математических средств и методов? На последние три вопроса ответ положительный. Математические доказательства являются главным объек­том изучения ''теории доказательств'', которая представляет собой основной раздел математической логики. Для того чтобы понятие математического доказательства стало объектом изучения в математике, необходимо это понятие уточнить. == Уточнение понятия «математическое доказатель­ство» == Сначала надо договориться, что понимать под математическим доказатель­ством на интуитивном уровне. Для краткости в дальнейшем будем говорить про­сто ''доказательство'' вместо слов ''математическое доказательство'' <ref>Понятие доказательства (в широком смысле), используемое вне математики, мы не обсу­ждаем. В частности, не затрагиваем психологические и социально-исторические аспекты этого понятия [7]. Речь идёт только о понятии математического доказательства, причём в его совре­менном понимании. Жертвуем в дальнейшем словом «математическое» лишь для краткости.</ref>. Прежде всего, под доказательством будем понимать не ''процесс'' обоснования какого-либо математического утверждения, а его '''результат''', представленный в виде некоторого текста. Итак, доказательство представляет собой некоторый <u>текст, состоящий из отдельных предложений</u>. Особенность этого текста заключается в том, что составляющие его предложения '''логически взаимосвязаны''' друг с другом. Обычно эта связь выражается словами «предложение такое-то логически следует из предшествующих предложений таких-то». При кратком изложении доказатель­ства используется лишь слово «следовательно» (или равнозначное слово), а из каких именно посылок следует данное предложение (делается вывод) часто явно не ука­зано, да и сами посылки даже не всегда сформулированы. А что значит, ''логически следует''? Обычно это никак не уточняется. При уточнении этого словосочетания предложение «Из <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> ''логически следует'' <math>\mathcal {B}</math>» можно понимать следующим образом: переход от предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math> происходит по некоторому '''правилу вывода''' (логическому правилу), разумеется, если восстановле­ны все пропущенные шаги. Однако на практике, в неформальном доказательстве обычно не уточняется, в соответствии с каким логическим правилом делается тот или иной вывод. В доказательстве должны быть ''исходные'' предложения, которые не являются следствиями предыдущих предложений (ведь текст конечен!). Такими исходными предложениями могут служить '''аксиомы''' той математической теории, в рамках которой проводится доказательство. Исходными могут быть и предложения, име­ющие место в силу '''определения'''. В некотором смысле такие предложения добавляются к аксиомам. В качестве исходных предложений могут также выступать вспомогательные '''допущения'''. В самом деле, в доказательствах очень часто встре­чаются слова «''допустим, что . . .'' » . Отношение ''логического следования'', как бы мы ни уточняли это понятие, опре­делённым образом упорядочивает члены доказательства. Более того, этот порядок древовиден (имеет вид дерева с корнем — наименьшим элементом), поскольку на каждом шаге рассуждения происходит переход от некоторых предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к некоторому единственному предложению <math>\mathcal {B}</math>, непосредственно следующему из них по какому-либо правилу логики. === Доказательство в виде дерева === Итак, приходим к следующему описанию понятия доказательства в виде дерева. Под '''''доказательством в виде дерева''''' будем понимать упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является аксиомой или допущением, или имеет место в силу определения, а каждое из осталь­ных предложений следует из непосредственно предшествующих ему предложений по какому-либо правилу вывода (логическому правилу). Заметим, что на практике только для самых простых утверждений приводится доказательство в указанном (уточненном) выше смысле. Обычные математиче­ские доказательства, как правило, носят ''относительный характер'', когда наряду с аксиомами используются также утверждения, доказанные ранее или про которые известно, что они доказуемы. Для каждого такого предложения теоретически можно вставить в текст его собственное доказательство, устранив тем самым относительный характер доказательства, т. е. сведя всё к аксиомам. Кроме того, на практике, в кратком доказательстве, часто пропускаются не­которые посылки в умозаключениях. Они подразумеваются, но явно не оговарива­ются в рассуждении. Как правило, это известные, ранее доказанные утверждения. Эти неявно используемые посылки всегда при желании можно восстановить. Для более точного описания понятия доказательства теперь нужно выявить и описать ''логические правила'', используемые в рассуждениях и обеспечивающие элементарные шаги (логические переходы) в доказательстве. ==== Рассмотрение примера ==== Прежде чем перейти к этому описанию, сначала рассмотрим в качестве ''примера'' обычное несложное доказательство следующего утверждения: ''если натуральное число не делится на 6 и делится на 9, то оно нечётно.''<ref><math> {\underline\underline{\mathcal {B}}} \over {67} \stackrel{\triangle \bigtriangleup}{=}</math></ref> <br>Запишем это утверждение, используя логическую символику: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n \longrightarrow 2 \nmid n .</math></center> В дальнейшем, при символической записи содержательных (неформальных) пред­ложений, будем использовать символы <math>\And</math> (и), <math>\lor</math> (или), <math>\longrightarrow</math> (если то), <math>\lnot</math> (не). Если <math>m</math> не делится на <math>n</math>, наряду с записью <math>\lnot \;\left(m\mid n\right)</math> будем использовать запись <math>m\nmid n</math>. В кратком виде традиционное доказательство этого утверждения представляет собой следующее рассуждение: «Согласно условию, <math>n</math> не делится на 6 и делится на 9. Поскольку <math>n</math> делится на 9, то <math>n</math> делится и на 3. Кроме того, <math>n</math> не делится на 6, а значит, <math>n</math> не делится на 2 или на 3. Следовательно, <math>n</math> не делится на 2». Перечислим в виде последовательности предложения — члены этого краткого рассуждения, для обозримости предварительно записав их с помощью логической символики: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n; \quad 9\mid n; \quad 3\mid n; \quad 6\nmid n; \quad 2\nmid n \lor 3\nmid n; \quad 2 \nmid n .</math></center> При такой форме доказательства, т. е. в виде цепочки утверждений, абсолют­но неясно, какое утверждение из какого следует. Таким образом, совершенно не просматриваются логические связи между членами этой цепочки. Теперь то же самое краткое рассуждение представим в виде дерева, выявив все логические связи между членами рассуждения, сделав сразу наглядным и понятным, какое предложение из каких следует. Если предложение <math>\mathcal {B}</math> непосредственно следует из предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> по какому-либо правилу логики, будем привычным образом записывать это так: :<center><math>\dfrac{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}{\mathcal {B}}.</math></center> Если же на каком-то шаге рассуждения сделан сокращенный переход от предло­жений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math>, который не является результатом применения какого-то логического правила, записывать это будем с помощью двойной черты следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}}\\ \mathcal{B} \end{matrix}.</math></center> Каждый такой сокращенный переход обычно возникает в результате пропуска посылки, являющейся общеизвестным утверждением, а также логических умоза­ключений, связанных с этой посылкой. Двойная черта означает, что эту пропу­щенную посылку и логические переходы можно восстановить. Краткое рассуждение, приведённое выше, если его представить в виде дерева, имеет следующий вид (справа изображён граф, отражающий структуру дерева как частично упорядоченного множества): :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{2 \nmid n}.\qquad\begin{matrix} \left(1\right)\\ \;\\ \;\\ \; \end{matrix}</math></center> Выявим теперь те логические правила, в соответствии с которыми проведены отдельные шаги рассуждения. Другими словами, выявим форму каждого логиче­ского перехода, отмеченного одной горизонтальной чертой. С этой целью обозна­чим буквами простые (элементарные) предложения, входящие в рассуждение. Два первых (верхних) шага осуществлены согласно двум правилам, которые называются правилами удаления конъюнкции: <center><math>\dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {A}} \quad \text{и} \quad \dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {B}}.</math></center> Последний шаг, соответствующий самой нижней черте, осуществлён согласно следующему логическому правилу, являющемуся вариантом правила исключения возможных случаев: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\lnot \mathcal {A}}.</math></center> Двойная черта в дереве (1), согласно договоренности, означает, что на этом шаге осуществлен сокращенный переход, который не является результатом приме­нения какого-то логического правила. Восстановим пропущенную посылку и логические переходы в обоих случаях. Рассмотрим сначала сокращенный переход, отраженный следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\qquad 6\nmid n\qquad}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix}.</math></center> Восстановив подразумеваемую посылку <math>2\mid n\; \And \; 3\mid n \longrightarrow 6 \mid n</math>, а также пропущен­ные логические переходы (умозаключения), получим более подробный вариант рассуждения. Представив восстановленную часть рассуждения в виде дерева (1), получим следующую картину: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> czo7a5qsu8tpx4fpu3osk4jwlfgpe7o 267813 267733 2026-05-21T11:29:02Z AllaBuraya 79455 267813 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia}} <small>В статье обсуждаются вопросы: что такое математическое доказатель­ство и как оно устроено (какова его логическая структура)? Вводится на интуитивном уровне понятие математического доказательства в виде дере­ва. Выявлены преимущества подхода к уточнению понятия доказательства в виде дерева по сравнению с традиционным линейным доказательством.</small> == Введение == В математике мы постоянно имеем дело с доказательствами. Однако редко за­даём себе следующие вопросы (и ещё реже пытаемся ответить на них): Что такое ''математическое доказательство''? В чём его сущность? Как устроено математическое доказательство? Как выявить его структуру? Представьте себе следующую ситуацию. На письменном экзамене по геометрии учащийся должен был доказать теорему Пифагора. Написав работу, ученик сдал её преподавателю. Преподаватель, прочитав работу, возвратил её с комментари­ем: «Это не доказательство!». На что ученик возразил: «Почему Вы считаете, что написанное мною —— не доказательство? Что такое доказательство? Вы на уро­ках геометрии давали определения многих понятий, но среди них не было понятия ''доказательства''. На каком основании Вы можете утверждать, будто то, что я на­ писал, —— не доказательство? Как Вы можете ''доказать'', что моё доказательство не является доказательством?!». У этой истории возможны два финала. Если преподаватель обладает широтой взглядов и не лишен творческого начала, то он может повысить на балл оценку ученику, у которого возникают столь неординарные во­просы. Если преподаватель —— педант, лишённый чувства юмора, то он, скорее всего, снизит оценку за непочтительность. Эта весьма правдоподобная и поучительная история рассказана замечательным американским логиком [[w:Раймонд Смаллиан|Раймондом Смаллианом]] в одной из его великолепных, пол­ных юмора популярных книг по математической логике <ref>Смаллиан Р. М. Принцесса или тигр? — М.: Мир, 1985. — 221 с</ref>.{{Цитата|Я прочитала её много лет назад и с тех пор всегда пересказываю эту историю своим студентам на математическом факультете МПГУ в самом начале курса математической логики. Мне кажется, она блестяще объясняет, что будущему учителю математики изучать математическую логику совершенно необходимо хотя бы для того, чтобы прояснить для себя, что такое доказательство. (И. Л. Тимофеева)}} Так что же такое математическое доказательство? Может ли математика ответить на этот вопрос? Могут ли математические доказательства быть объектом изучения в математике? Можно ли изучать понятие математического доказатель­ства с помощью математических средств и методов? На последние три вопроса ответ положительный. Математические доказательства являются главным объек­том изучения ''теории доказательств'', которая представляет собой основной раздел математической логики. Для того чтобы понятие математического доказательства стало объектом изучения в математике, необходимо это понятие уточнить. == Уточнение понятия «математическое доказатель­ство» == Сначала надо договориться, что понимать под математическим доказатель­ством на интуитивном уровне. Для краткости в дальнейшем будем говорить про­сто ''доказательство'' вместо слов ''математическое доказательство'' <ref>Понятие доказательства (в широком смысле), используемое вне математики, мы не обсу­ждаем. В частности, не затрагиваем психологические и социально-исторические аспекты этого понятия [7]. Речь идёт только о понятии математического доказательства, причём в его совре­менном понимании. Жертвуем в дальнейшем словом «математическое» лишь для краткости.</ref>. Прежде всего, под доказательством будем понимать не ''процесс'' обоснования какого-либо математического утверждения, а его '''результат''', представленный в виде некоторого текста. Итак, доказательство представляет собой некоторый <u>текст, состоящий из отдельных предложений</u>. Особенность этого текста заключается в том, что составляющие его предложения '''логически взаимосвязаны''' друг с другом. Обычно эта связь выражается словами «предложение такое-то логически следует из предшествующих предложений таких-то». При кратком изложении доказатель­ства используется лишь слово «следовательно» (или равнозначное слово), а из каких именно посылок следует данное предложение (делается вывод) часто явно не ука­зано, да и сами посылки даже не всегда сформулированы. А что значит, ''логически следует''? Обычно это никак не уточняется. При уточнении этого словосочетания предложение «Из <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> ''логически следует'' <math>\mathcal {B}</math>» можно понимать следующим образом: переход от предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math> происходит по некоторому '''правилу вывода''' (логическому правилу), разумеется, если восстановле­ны все пропущенные шаги. Однако на практике, в неформальном доказательстве обычно не уточняется, в соответствии с каким логическим правилом делается тот или иной вывод. В доказательстве должны быть ''исходные'' предложения, которые не являются следствиями предыдущих предложений (ведь текст конечен!). Такими исходными предложениями могут служить '''аксиомы''' той математической теории, в рамках которой проводится доказательство. Исходными могут быть и предложения, име­ющие место в силу '''определения'''. В некотором смысле такие предложения добавляются к аксиомам. В качестве исходных предложений могут также выступать вспомогательные '''допущения'''. В самом деле, в доказательствах очень часто встре­чаются слова «''допустим, что . . .'' » . Отношение ''логического следования'', как бы мы ни уточняли это понятие, опре­делённым образом упорядочивает члены доказательства. Более того, этот порядок древовиден (имеет вид дерева с корнем — наименьшим элементом), поскольку на каждом шаге рассуждения происходит переход от некоторых предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к некоторому единственному предложению <math>\mathcal {B}</math>, непосредственно следующему из них по какому-либо правилу логики. === Доказательство в виде дерева === Итак, приходим к следующему описанию понятия доказательства в виде дерева. Под '''''доказательством в виде дерева''''' будем понимать упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является аксиомой или допущением, или имеет место в силу определения, а каждое из осталь­ных предложений следует из непосредственно предшествующих ему предложений по какому-либо правилу вывода (логическому правилу). Заметим, что на практике только для самых простых утверждений приводится доказательство в указанном (уточненном) выше смысле. Обычные математиче­ские доказательства, как правило, носят ''относительный характер'', когда наряду с аксиомами используются также утверждения, доказанные ранее или про которые известно, что они доказуемы. Для каждого такого предложения теоретически можно вставить в текст его собственное доказательство, устранив тем самым относительный характер доказательства, т. е. сведя всё к аксиомам. Кроме того, на практике, в кратком доказательстве, часто пропускаются не­которые посылки в умозаключениях. Они подразумеваются, но явно не оговарива­ются в рассуждении. Как правило, это известные, ранее доказанные утверждения. Эти неявно используемые посылки всегда при желании можно восстановить. Для более точного описания понятия доказательства теперь нужно выявить и описать ''логические правила'', используемые в рассуждениях и обеспечивающие элементарные шаги (логические переходы) в доказательстве. ==== Рассмотрение примера ==== Прежде чем перейти к этому описанию, сначала рассмотрим в качестве ''примера'' обычное несложное доказательство следующего утверждения: ''если натуральное число не делится на 6 и делится на 9, то оно нечётно.''<ref><math> {\underline\underline{\mathcal {B}}} \over {67} \stackrel{\triangle \bigtriangleup}{=}</math></ref> <br>Запишем это утверждение, используя логическую символику: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n \longrightarrow 2 \nmid n .</math></center> В дальнейшем, при символической записи содержательных (неформальных) пред­ложений, будем использовать символы <math>\And</math> (и), <math>\lor</math> (или), <math>\longrightarrow</math> (если то), <math>\lnot</math> (не). Если <math>m</math> не делится на <math>n</math>, наряду с записью <math>\lnot \;\left(m\mid n\right)</math> будем использовать запись <math>m\nmid n</math>. В кратком виде традиционное доказательство этого утверждения представляет собой следующее рассуждение: «Согласно условию, <math>n</math> не делится на 6 и делится на 9. Поскольку <math>n</math> делится на 9, то <math>n</math> делится и на 3. Кроме того, <math>n</math> не делится на 6, а значит, <math>n</math> не делится на 2 или на 3. Следовательно, <math>n</math> не делится на 2». Перечислим в виде последовательности предложения — члены этого краткого рассуждения, для обозримости предварительно записав их с помощью логической символики: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n; \quad 9\mid n; \quad 3\mid n; \quad 6\nmid n; \quad 2\nmid n \lor 3\nmid n; \quad 2 \nmid n .</math></center> При такой форме доказательства, т. е. в виде цепочки утверждений, абсолют­но неясно, какое утверждение из какого следует. Таким образом, совершенно не просматриваются логические связи между членами этой цепочки. Теперь то же самое краткое рассуждение представим в виде дерева, выявив все логические связи между членами рассуждения, сделав сразу наглядным и понятным, какое предложение из каких следует. Если предложение <math>\mathcal {B}</math> непосредственно следует из предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> по какому-либо правилу логики, будем привычным образом записывать это так: :<center><math>\dfrac{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}{\mathcal {B}}.</math></center> Если же на каком-то шаге рассуждения сделан сокращенный переход от предло­жений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math>, который не является результатом применения какого-то логического правила, записывать это будем с помощью двойной черты следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}}\\ \mathcal{B} \end{matrix}.</math></center> Каждый такой сокращенный переход обычно возникает в результате пропуска посылки, являющейся общеизвестным утверждением, а также логических умоза­ключений, связанных с этой посылкой. Двойная черта означает, что эту пропу­щенную посылку и логические переходы можно восстановить. Краткое рассуждение, приведённое выше, если его представить в виде дерева, имеет следующий вид (справа изображён граф, отражающий структуру дерева как частично упорядоченного множества): :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{2 \nmid n}.\qquad\begin{matrix} \left(1\right)\\ \;\\ \;\\ \; \end{matrix}</math></center> Выявим теперь те логические правила, в соответствии с которыми проведены отдельные шаги рассуждения. Другими словами, выявим форму каждого логиче­ского перехода, отмеченного одной горизонтальной чертой. С этой целью обозна­чим буквами простые (элементарные) предложения, входящие в рассуждение. Два первых (верхних) шага осуществлены согласно двум правилам, которые называются правилами удаления конъюнкции: <center><math>\dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {A}} \quad \text{и} \quad \dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {B}}.</math></center> Последний шаг, соответствующий самой нижней черте, осуществлён согласно следующему логическому правилу, являющемуся вариантом правила исключения возможных случаев: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\lnot \mathcal {A}}.</math></center> Двойная черта в дереве (1), согласно договоренности, означает, что на этом шаге осуществлен сокращенный переход, который не является результатом приме­нения какого-то логического правила. Восстановим пропущенную посылку и логические переходы в обоих случаях. Рассмотрим сначала сокращенный переход, отраженный следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\qquad 6\nmid n\qquad}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix}.</math></center> Восстановив подразумеваемую посылку <math>2\mid n\; \And \; 3\mid n \longrightarrow 6 \mid n</math>, а также пропущен­ные логические переходы (умозаключения), получим более подробный вариант рассуждения. Представив восстановленную часть рассуждения в виде дерева (1), получим следующую картину: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> h68rplidql6bujjh08033mfacrzjfl7 267814 267813 2026-05-21T11:29:20Z AllaBuraya 79455 267814 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia}} <small>В статье обсуждаются вопросы: что такое математическое доказатель­ство и как оно устроено (какова его логическая структура)? Вводится на интуитивном уровне понятие математического доказательства в виде дере­ва. Выявлены преимущества подхода к уточнению понятия доказательства в виде дерева по сравнению с традиционным линейным доказательством.</small> == Введение == В математике мы постоянно имеем дело с доказательствами. Однако редко за­даём себе следующие вопросы (и ещё реже пытаемся ответить на них): Что такое ''математическое доказательство''? В чём его сущность? Как устроено математическое доказательство? Как выявить его структуру? Представьте себе следующую ситуацию. На письменном экзамене по геометрии учащийся должен был доказать теорему Пифагора. Написав работу, ученик сдал её преподавателю. Преподаватель, прочитав работу, возвратил её с комментари­ем: «Это не доказательство!». На что ученик возразил: «Почему Вы считаете, что написанное мною —— не доказательство? Что такое доказательство? Вы на уро­ках геометрии давали определения многих понятий, но среди них не было понятия ''доказательства''. На каком основании Вы можете утверждать, будто то, что я на­ писал, —— не доказательство? Как Вы можете ''доказать'', что моё доказательство не является доказательством?!». У этой истории возможны два финала. Если преподаватель обладает широтой взглядов и не лишен творческого начала, то он может повысить на балл оценку ученику, у которого возникают столь неординарные во­просы. Если преподаватель —— педант, лишённый чувства юмора, то он, скорее всего, снизит оценку за непочтительность. Эта весьма правдоподобная и поучительная история рассказана замечательным американским логиком [[w:Раймонд Смаллиан|Раймондом Смаллианом]] в одной из его великолепных, пол­ных юмора популярных книг по математической логике <ref>Смаллиан Р. М. Принцесса или тигр? — М.: Мир, 1985. — 221 с</ref>.{{Цитата|Я прочитала её много лет назад и с тех пор всегда пересказываю эту историю своим студентам на математическом факультете МПГУ в самом начале курса математической логики. Мне кажется, она блестяще объясняет, что будущему учителю математики изучать математическую логику совершенно необходимо хотя бы для того, чтобы прояснить для себя, что такое доказательство. (И. Л. Тимофеева)}} Так что же такое математическое доказательство? Может ли математика ответить на этот вопрос? Могут ли математические доказательства быть объектом изучения в математике? Можно ли изучать понятие математического доказатель­ства с помощью математических средств и методов? На последние три вопроса ответ положительный. Математические доказательства являются главным объек­том изучения ''теории доказательств'', которая представляет собой основной раздел математической логики. Для того чтобы понятие математического доказательства стало объектом изучения в математике, необходимо это понятие уточнить. == Уточнение понятия «математическое доказатель­ство» == Сначала надо договориться, что понимать под математическим доказатель­ством на интуитивном уровне. Для краткости в дальнейшем будем говорить про­сто ''доказательство'' вместо слов ''математическое доказательство'' <ref>Понятие доказательства (в широком смысле), используемое вне математики, мы не обсу­ждаем. В частности, не затрагиваем психологические и социально-исторические аспекты этого понятия [7]. Речь идёт только о понятии математического доказательства, причём в его совре­менном понимании. Жертвуем в дальнейшем словом «математическое» лишь для краткости.</ref>. Прежде всего, под доказательством будем понимать не ''процесс'' обоснования какого-либо математического утверждения, а его '''результат''', представленный в виде некоторого текста. Итак, доказательство представляет собой некоторый <u>текст, состоящий из отдельных предложений</u>. Особенность этого текста заключается в том, что составляющие его предложения '''логически взаимосвязаны''' друг с другом. Обычно эта связь выражается словами «предложение такое-то логически следует из предшествующих предложений таких-то». При кратком изложении доказатель­ства используется лишь слово «следовательно» (или равнозначное слово), а из каких именно посылок следует данное предложение (делается вывод) часто явно не ука­зано, да и сами посылки даже не всегда сформулированы. А что значит, ''логически следует''? Обычно это никак не уточняется. При уточнении этого словосочетания предложение «Из <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> ''логически следует'' <math>\mathcal {B}</math>» можно понимать следующим образом: переход от предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math> происходит по некоторому '''правилу вывода''' (логическому правилу), разумеется, если восстановле­ны все пропущенные шаги. Однако на практике, в неформальном доказательстве обычно не уточняется, в соответствии с каким логическим правилом делается тот или иной вывод. В доказательстве должны быть ''исходные'' предложения, которые не являются следствиями предыдущих предложений (ведь текст конечен!). Такими исходными предложениями могут служить '''аксиомы''' той математической теории, в рамках которой проводится доказательство. Исходными могут быть и предложения, име­ющие место в силу '''определения'''. В некотором смысле такие предложения добавляются к аксиомам. В качестве исходных предложений могут также выступать вспомогательные '''допущения'''. В самом деле, в доказательствах очень часто встре­чаются слова «''допустим, что . . .'' » . Отношение ''логического следования'', как бы мы ни уточняли это понятие, опре­делённым образом упорядочивает члены доказательства. Более того, этот порядок древовиден (имеет вид дерева с корнем — наименьшим элементом), поскольку на каждом шаге рассуждения происходит переход от некоторых предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к некоторому единственному предложению <math>\mathcal {B}</math>, непосредственно следующему из них по какому-либо правилу логики. === Доказательство в виде дерева === Итак, приходим к следующему описанию понятия доказательства в виде дерева. Под '''''доказательством в виде дерева''''' будем понимать упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является аксиомой или допущением, или имеет место в силу определения, а каждое из осталь­ных предложений следует из непосредственно предшествующих ему предложений по какому-либо правилу вывода (логическому правилу). Заметим, что на практике только для самых простых утверждений приводится доказательство в указанном (уточненном) выше смысле. Обычные математиче­ские доказательства, как правило, носят ''относительный характер'', когда наряду с аксиомами используются также утверждения, доказанные ранее или про которые известно, что они доказуемы. Для каждого такого предложения теоретически можно вставить в текст его собственное доказательство, устранив тем самым относительный характер доказательства, т. е. сведя всё к аксиомам. Кроме того, на практике, в кратком доказательстве, часто пропускаются не­которые посылки в умозаключениях. Они подразумеваются, но явно не оговарива­ются в рассуждении. Как правило, это известные, ранее доказанные утверждения. Эти неявно используемые посылки всегда при желании можно восстановить. Для более точного описания понятия доказательства теперь нужно выявить и описать ''логические правила'', используемые в рассуждениях и обеспечивающие элементарные шаги (логические переходы) в доказательстве. ==== Рассмотрение примера ==== Прежде чем перейти к этому описанию, сначала рассмотрим в качестве ''примера'' обычное несложное доказательство следующего утверждения: ''если натуральное число не делится на 6 и делится на 9, то оно нечётно.''<ref><math> {\underline\underline{\mathcal {B}}} \over {67} \stackrel{\triangle \bigtriangleup}{=}</math></ref> <br>Запишем это утверждение, используя логическую символику: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n \longrightarrow 2 \nmid n .</math></center> В дальнейшем, при символической записи содержательных (неформальных) пред­ложений, будем использовать символы <math>\And</math> (и), <math>\lor</math> (или), <math>\longrightarrow</math> (если то), <math>\lnot</math> (не). Если <math>m</math> не делится на <math>n</math>, наряду с записью <math>\lnot \;\left(m\mid n\right)</math> будем использовать запись <math>m\nmid n</math>. В кратком виде традиционное доказательство этого утверждения представляет собой следующее рассуждение: «Согласно условию, <math>n</math> не делится на 6 и делится на 9. Поскольку <math>n</math> делится на 9, то <math>n</math> делится и на 3. Кроме того, <math>n</math> не делится на 6, а значит, <math>n</math> не делится на 2 или на 3. Следовательно, <math>n</math> не делится на 2». Перечислим в виде последовательности предложения — члены этого краткого рассуждения, для обозримости предварительно записав их с помощью логической символики: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n; \quad 9\mid n; \quad 3\mid n; \quad 6\nmid n; \quad 2\nmid n \lor 3\nmid n; \quad 2 \nmid n .</math></center> При такой форме доказательства, т. е. в виде цепочки утверждений, абсолют­но неясно, какое утверждение из какого следует. Таким образом, совершенно не просматриваются логические связи между членами этой цепочки. Теперь то же самое краткое рассуждение представим в виде дерева, выявив все логические связи между членами рассуждения, сделав сразу наглядным и понятным, какое предложение из каких следует. Если предложение <math>\mathcal {B}</math> непосредственно следует из предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> по какому-либо правилу логики, будем привычным образом записывать это так: :<center><math>\dfrac{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}{\mathcal {B}}.</math></center> Если же на каком-то шаге рассуждения сделан сокращенный переход от предло­жений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math>, который не является результатом применения какого-то логического правила, записывать это будем с помощью двойной черты следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}}\\ \mathcal{B} \end{matrix}.</math></center> Каждый такой сокращенный переход обычно возникает в результате пропуска посылки, являющейся общеизвестным утверждением, а также логических умоза­ключений, связанных с этой посылкой. Двойная черта означает, что эту пропу­щенную посылку и логические переходы можно восстановить. Краткое рассуждение, приведённое выше, если его представить в виде дерева, имеет следующий вид (справа изображён граф, отражающий структуру дерева как частично упорядоченного множества): :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{2 \nmid n}.\qquad\begin{matrix} \left(1\right)\\ \;\\ \;\\ \; \end{matrix}</math></center> Выявим теперь те логические правила, в соответствии с которыми проведены отдельные шаги рассуждения. Другими словами, выявим форму каждого логиче­ского перехода, отмеченного одной горизонтальной чертой. С этой целью обозна­чим буквами простые (элементарные) предложения, входящие в рассуждение. Два первых (верхних) шага осуществлены согласно двум правилам, которые называются правилами удаления конъюнкции: <center><math>\dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {A}} \quad \text{и} \quad \dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {B}}.</math></center> Последний шаг, соответствующий самой нижней черте, осуществлён согласно следующему логическому правилу, являющемуся вариантом правила исключения возможных случаев: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\lnot \mathcal {A}}.</math></center> Двойная черта в дереве (1), согласно договоренности, означает, что на этом шаге осуществлен сокращенный переход, который не является результатом приме­нения какого-то логического правила. Восстановим пропущенную посылку и логические переходы в обоих случаях. Рассмотрим сначала сокращенный переход, отраженный следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\qquad 6\nmid n\qquad}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix}.</math></center> Восстановив подразумеваемую посылку <math>2\mid n\; \And \; 3\mid n \longrightarrow 6 \mid n</math>, а также пропущен­ные логические переходы (умозаключения), получим более подробный вариант рассуждения. Представив восстановленную часть рассуждения в виде дерева (1), получим следующую картину: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> <references /> [[Категория:Методика обучения математике]] 25bvyutmflhpgauw3pvatl21u4qdwia 267815 267814 2026-05-21T11:29:30Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Математическое доказательство]] в [[Методика обучения математике/Математическое доказательство]] 267814 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia}} <small>В статье обсуждаются вопросы: что такое математическое доказатель­ство и как оно устроено (какова его логическая структура)? Вводится на интуитивном уровне понятие математического доказательства в виде дере­ва. Выявлены преимущества подхода к уточнению понятия доказательства в виде дерева по сравнению с традиционным линейным доказательством.</small> == Введение == В математике мы постоянно имеем дело с доказательствами. Однако редко за­даём себе следующие вопросы (и ещё реже пытаемся ответить на них): Что такое ''математическое доказательство''? В чём его сущность? Как устроено математическое доказательство? Как выявить его структуру? Представьте себе следующую ситуацию. На письменном экзамене по геометрии учащийся должен был доказать теорему Пифагора. Написав работу, ученик сдал её преподавателю. Преподаватель, прочитав работу, возвратил её с комментари­ем: «Это не доказательство!». На что ученик возразил: «Почему Вы считаете, что написанное мною —— не доказательство? Что такое доказательство? Вы на уро­ках геометрии давали определения многих понятий, но среди них не было понятия ''доказательства''. На каком основании Вы можете утверждать, будто то, что я на­ писал, —— не доказательство? Как Вы можете ''доказать'', что моё доказательство не является доказательством?!». У этой истории возможны два финала. Если преподаватель обладает широтой взглядов и не лишен творческого начала, то он может повысить на балл оценку ученику, у которого возникают столь неординарные во­просы. Если преподаватель —— педант, лишённый чувства юмора, то он, скорее всего, снизит оценку за непочтительность. Эта весьма правдоподобная и поучительная история рассказана замечательным американским логиком [[w:Раймонд Смаллиан|Раймондом Смаллианом]] в одной из его великолепных, пол­ных юмора популярных книг по математической логике <ref>Смаллиан Р. М. Принцесса или тигр? — М.: Мир, 1985. — 221 с</ref>.{{Цитата|Я прочитала её много лет назад и с тех пор всегда пересказываю эту историю своим студентам на математическом факультете МПГУ в самом начале курса математической логики. Мне кажется, она блестяще объясняет, что будущему учителю математики изучать математическую логику совершенно необходимо хотя бы для того, чтобы прояснить для себя, что такое доказательство. (И. Л. Тимофеева)}} Так что же такое математическое доказательство? Может ли математика ответить на этот вопрос? Могут ли математические доказательства быть объектом изучения в математике? Можно ли изучать понятие математического доказатель­ства с помощью математических средств и методов? На последние три вопроса ответ положительный. Математические доказательства являются главным объек­том изучения ''теории доказательств'', которая представляет собой основной раздел математической логики. Для того чтобы понятие математического доказательства стало объектом изучения в математике, необходимо это понятие уточнить. == Уточнение понятия «математическое доказатель­ство» == Сначала надо договориться, что понимать под математическим доказатель­ством на интуитивном уровне. Для краткости в дальнейшем будем говорить про­сто ''доказательство'' вместо слов ''математическое доказательство'' <ref>Понятие доказательства (в широком смысле), используемое вне математики, мы не обсу­ждаем. В частности, не затрагиваем психологические и социально-исторические аспекты этого понятия [7]. Речь идёт только о понятии математического доказательства, причём в его совре­менном понимании. Жертвуем в дальнейшем словом «математическое» лишь для краткости.</ref>. Прежде всего, под доказательством будем понимать не ''процесс'' обоснования какого-либо математического утверждения, а его '''результат''', представленный в виде некоторого текста. Итак, доказательство представляет собой некоторый <u>текст, состоящий из отдельных предложений</u>. Особенность этого текста заключается в том, что составляющие его предложения '''логически взаимосвязаны''' друг с другом. Обычно эта связь выражается словами «предложение такое-то логически следует из предшествующих предложений таких-то». При кратком изложении доказатель­ства используется лишь слово «следовательно» (или равнозначное слово), а из каких именно посылок следует данное предложение (делается вывод) часто явно не ука­зано, да и сами посылки даже не всегда сформулированы. А что значит, ''логически следует''? Обычно это никак не уточняется. При уточнении этого словосочетания предложение «Из <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> ''логически следует'' <math>\mathcal {B}</math>» можно понимать следующим образом: переход от предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math> происходит по некоторому '''правилу вывода''' (логическому правилу), разумеется, если восстановле­ны все пропущенные шаги. Однако на практике, в неформальном доказательстве обычно не уточняется, в соответствии с каким логическим правилом делается тот или иной вывод. В доказательстве должны быть ''исходные'' предложения, которые не являются следствиями предыдущих предложений (ведь текст конечен!). Такими исходными предложениями могут служить '''аксиомы''' той математической теории, в рамках которой проводится доказательство. Исходными могут быть и предложения, име­ющие место в силу '''определения'''. В некотором смысле такие предложения добавляются к аксиомам. В качестве исходных предложений могут также выступать вспомогательные '''допущения'''. В самом деле, в доказательствах очень часто встре­чаются слова «''допустим, что . . .'' » . Отношение ''логического следования'', как бы мы ни уточняли это понятие, опре­делённым образом упорядочивает члены доказательства. Более того, этот порядок древовиден (имеет вид дерева с корнем — наименьшим элементом), поскольку на каждом шаге рассуждения происходит переход от некоторых предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к некоторому единственному предложению <math>\mathcal {B}</math>, непосредственно следующему из них по какому-либо правилу логики. === Доказательство в виде дерева === Итак, приходим к следующему описанию понятия доказательства в виде дерева. Под '''''доказательством в виде дерева''''' будем понимать упорядоченную в виде дерева систему предложений, в которой каждое исходное предложение является аксиомой или допущением, или имеет место в силу определения, а каждое из осталь­ных предложений следует из непосредственно предшествующих ему предложений по какому-либо правилу вывода (логическому правилу). Заметим, что на практике только для самых простых утверждений приводится доказательство в указанном (уточненном) выше смысле. Обычные математиче­ские доказательства, как правило, носят ''относительный характер'', когда наряду с аксиомами используются также утверждения, доказанные ранее или про которые известно, что они доказуемы. Для каждого такого предложения теоретически можно вставить в текст его собственное доказательство, устранив тем самым относительный характер доказательства, т. е. сведя всё к аксиомам. Кроме того, на практике, в кратком доказательстве, часто пропускаются не­которые посылки в умозаключениях. Они подразумеваются, но явно не оговарива­ются в рассуждении. Как правило, это известные, ранее доказанные утверждения. Эти неявно используемые посылки всегда при желании можно восстановить. Для более точного описания понятия доказательства теперь нужно выявить и описать ''логические правила'', используемые в рассуждениях и обеспечивающие элементарные шаги (логические переходы) в доказательстве. ==== Рассмотрение примера ==== Прежде чем перейти к этому описанию, сначала рассмотрим в качестве ''примера'' обычное несложное доказательство следующего утверждения: ''если натуральное число не делится на 6 и делится на 9, то оно нечётно.''<ref><math> {\underline\underline{\mathcal {B}}} \over {67} \stackrel{\triangle \bigtriangleup}{=}</math></ref> <br>Запишем это утверждение, используя логическую символику: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n \longrightarrow 2 \nmid n .</math></center> В дальнейшем, при символической записи содержательных (неформальных) пред­ложений, будем использовать символы <math>\And</math> (и), <math>\lor</math> (или), <math>\longrightarrow</math> (если то), <math>\lnot</math> (не). Если <math>m</math> не делится на <math>n</math>, наряду с записью <math>\lnot \;\left(m\mid n\right)</math> будем использовать запись <math>m\nmid n</math>. В кратком виде традиционное доказательство этого утверждения представляет собой следующее рассуждение: «Согласно условию, <math>n</math> не делится на 6 и делится на 9. Поскольку <math>n</math> делится на 9, то <math>n</math> делится и на 3. Кроме того, <math>n</math> не делится на 6, а значит, <math>n</math> не делится на 2 или на 3. Следовательно, <math>n</math> не делится на 2». Перечислим в виде последовательности предложения — члены этого краткого рассуждения, для обозримости предварительно записав их с помощью логической символики: :<center><math>6\nmid n\; \And \; 9\mid n; \quad 9\mid n; \quad 3\mid n; \quad 6\nmid n; \quad 2\nmid n \lor 3\nmid n; \quad 2 \nmid n .</math></center> При такой форме доказательства, т. е. в виде цепочки утверждений, абсолют­но неясно, какое утверждение из какого следует. Таким образом, совершенно не просматриваются логические связи между членами этой цепочки. Теперь то же самое краткое рассуждение представим в виде дерева, выявив все логические связи между членами рассуждения, сделав сразу наглядным и понятным, какое предложение из каких следует. Если предложение <math>\mathcal {B}</math> непосредственно следует из предложений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> по какому-либо правилу логики, будем привычным образом записывать это так: :<center><math>\dfrac{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}{\mathcal {B}}.</math></center> Если же на каком-то шаге рассуждения сделан сокращенный переход от предло­жений <math>\mathcal {A}_{1},\, \ldots ,\, \mathcal {A}_{n}</math> к предложению <math>\mathcal {B}</math>, который не является результатом применения какого-то логического правила, записывать это будем с помощью двойной черты следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\mathcal {A}_{1}\, \ldots \, \mathcal {A}_{n}}}\\ \mathcal{B} \end{matrix}.</math></center> Каждый такой сокращенный переход обычно возникает в результате пропуска посылки, являющейся общеизвестным утверждением, а также логических умоза­ключений, связанных с этой посылкой. Двойная черта означает, что эту пропу­щенную посылку и логические переходы можно восстановить. Краткое рассуждение, приведённое выше, если его представить в виде дерева, имеет следующий вид (справа изображён граф, отражающий структуру дерева как частично упорядоченного множества): :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{2 \nmid n}.\qquad\begin{matrix} \left(1\right)\\ \;\\ \;\\ \; \end{matrix}</math></center> Выявим теперь те логические правила, в соответствии с которыми проведены отдельные шаги рассуждения. Другими словами, выявим форму каждого логиче­ского перехода, отмеченного одной горизонтальной чертой. С этой целью обозна­чим буквами простые (элементарные) предложения, входящие в рассуждение. Два первых (верхних) шага осуществлены согласно двум правилам, которые называются правилами удаления конъюнкции: <center><math>\dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {A}} \quad \text{и} \quad \dfrac{\mathcal {A}\;\And \; \mathcal {B}}{\mathcal {B}}.</math></center> Последний шаг, соответствующий самой нижней черте, осуществлён согласно следующему логическому правилу, являющемуся вариантом правила исключения возможных случаев: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\lnot \mathcal {A}}.</math></center> Двойная черта в дереве (1), согласно договоренности, означает, что на этом шаге осуществлен сокращенный переход, который не является результатом приме­нения какого-то логического правила. Восстановим пропущенную посылку и логические переходы в обоих случаях. Рассмотрим сначала сокращенный переход, отраженный следующим образом: :<center><math>\begin{matrix} {\underline\underline{\qquad 6\nmid n\qquad}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix}.</math></center> Восстановив подразумеваемую посылку <math>2\mid n\; \And \; 3\mid n \longrightarrow 6 \mid n</math>, а также пропущен­ные логические переходы (умозаключения), получим более подробный вариант рассуждения. Представив восстановленную часть рассуждения в виде дерева (1), получим следующую картину: :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} \lnot \mathcal {A} \; \lor \,\lnot \mathcal {B} \end{matrix} && \begin{matrix} \mathcal {B} \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> :<center><math>\dfrac{\begin{matrix} \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{6\nmid n}}}\\ 2\nmid n \lor 3\nmid n \end{matrix} && \begin{matrix} {\underline\underline{\dfrac{6\nmid n\; \And \; 9\mid n}{9\mid n}}}\\ 3\mid n \end{matrix} \end{matrix}}{\dfrac{\lnot\left(2\mid n \; \And \; 3\mid n\right)}{2\nmid n \lor 3\nmid n}}.</math></center> <references /> [[Категория:Методика обучения математике]] 25bvyutmflhpgauw3pvatl21u4qdwia 14 30468 267701 228861 2026-05-21T09:07:15Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267701 wikitext text/x-wiki Принятие решений всегда было и остается наиважнейшим аспектом человеческой деятельности. Существуют различные подходы к принятию решений: на основе предшествующего опыта; на основе здравого смысла; на основе метода аналогий; интуитивный и др. Однако практика управления во всех областях и на всех уровнях нуждается в широком и эффективном использовании математических методов. Создание систем управления невозможно без разработки соответствующей теории принятия решений, отвечающей практическим запросам. Математическая теория принятия оптимальных (рациональных, целенаправленных) решений называется '''теорией исследования операций'''. Задачей теории исследования операций является построение количественных методов анализа процессов принятия решений во всех областях человеческой деятельности. Эта деятельность должна быть, во-первых, целенаправленна, т. е. направлена на достижение определенной цели или целей, и, во-вторых, при предварительном анализе должны быть использованы количественные методы, т. е. формализованные (математические) модели. С точки зрения математического описания под ''принятием решений'' понимается <u>выбор определённого элемента из некоторого множества</u>. При этом определяется правило выбора, целесообразность выбора и понятие оптимальности решения. Исследование операций — это раздел прикладной математики, который занимается построением математических моделей анализа реальных задач и процессов управления и принятия решений (экономических, социальных, технических, военных и др.). Он структурно оформился в период второй мировой войны и включает в себя ряд разделов, отличающихся друг от друга различными математическими моделями задач поиска оптимальных решений. Математическая модель нужна для детального предварительного анализа реального явления. Математика проводит количественный и качественный анализ модели, помогает предсказать, как поведёт себя система в различных условиях и даёт рекомендации для принятия «наилучшего» решения. Перед теорией исследования операций стоят следующие проблемы: * разработка математических моделей процессов принятия решений, включая определение принципов оптимальности решений; * исследование вопросов существования оптимальных решений для различных классов задач; * получение необходимых и достаточных условий оптимальности решений для различных классов задач; * разработка численных методов определения оптимальных решений. Предлагаемое учебное пособие посвящено изложению теоретических основ исследования операций и методов нахождения оптимальных решений. Наряду со сведениями теоретического характера в каждой главе разбираются примеры и задачи, цель которых — уяснение основных понятий и математических методов. Задачи для самостоятельной работы даются в конце каждой главы в рубрике «Задачи и упражнения». Они подобраны так, чтобы проиллюстрировать применение изложенного материала. Ответы к этим задачам приведены в конце пособия. Данный курс должен дать студентам достаточное представление о математическом аппарате исследования операций, а также показать сферы приложений методов исследования операций. Дополнительные теоретические сведения для более глубокого изучения того или иного раздела можно получить из книг, приведённых в списке литературы [1-12]. Настоящее пособие адресовано студентам педагогических вузов, обучающимся по специальности 050100 «Информатика» (квалификация «бакалавр»), учебные планы которой включают дисциплину «Исследование операций и методы оптимизации», а также оно может найти применение в обучении студентов и по специальности «Прикладная математика». 428hx585l8tzfd7t28bosmyv2gwgqk4 267702 267701 2026-05-21T09:07:34Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математическое моделирование]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267702 wikitext text/x-wiki Принятие решений всегда было и остается наиважнейшим аспектом человеческой деятельности. Существуют различные подходы к принятию решений: на основе предшествующего опыта; на основе здравого смысла; на основе метода аналогий; интуитивный и др. Однако практика управления во всех областях и на всех уровнях нуждается в широком и эффективном использовании математических методов. Создание систем управления невозможно без разработки соответствующей теории принятия решений, отвечающей практическим запросам. Математическая теория принятия оптимальных (рациональных, целенаправленных) решений называется '''теорией исследования операций'''. Задачей теории исследования операций является построение количественных методов анализа процессов принятия решений во всех областях человеческой деятельности. Эта деятельность должна быть, во-первых, целенаправленна, т. е. направлена на достижение определенной цели или целей, и, во-вторых, при предварительном анализе должны быть использованы количественные методы, т. е. формализованные (математические) модели. С точки зрения математического описания под ''принятием решений'' понимается <u>выбор определённого элемента из некоторого множества</u>. При этом определяется правило выбора, целесообразность выбора и понятие оптимальности решения. Исследование операций — это раздел прикладной математики, который занимается построением математических моделей анализа реальных задач и процессов управления и принятия решений (экономических, социальных, технических, военных и др.). Он структурно оформился в период второй мировой войны и включает в себя ряд разделов, отличающихся друг от друга различными математическими моделями задач поиска оптимальных решений. Математическая модель нужна для детального предварительного анализа реального явления. Математика проводит количественный и качественный анализ модели, помогает предсказать, как поведёт себя система в различных условиях и даёт рекомендации для принятия «наилучшего» решения. Перед теорией исследования операций стоят следующие проблемы: * разработка математических моделей процессов принятия решений, включая определение принципов оптимальности решений; * исследование вопросов существования оптимальных решений для различных классов задач; * получение необходимых и достаточных условий оптимальности решений для различных классов задач; * разработка численных методов определения оптимальных решений. Предлагаемое учебное пособие посвящено изложению теоретических основ исследования операций и методов нахождения оптимальных решений. Наряду со сведениями теоретического характера в каждой главе разбираются примеры и задачи, цель которых — уяснение основных понятий и математических методов. Задачи для самостоятельной работы даются в конце каждой главы в рубрике «Задачи и упражнения». Они подобраны так, чтобы проиллюстрировать применение изложенного материала. Ответы к этим задачам приведены в конце пособия. Данный курс должен дать студентам достаточное представление о математическом аппарате исследования операций, а также показать сферы приложений методов исследования операций. Дополнительные теоретические сведения для более глубокого изучения того или иного раздела можно получить из книг, приведённых в списке литературы [1-12]. Настоящее пособие адресовано студентам педагогических вузов, обучающимся по специальности 050100 «Информатика» (квалификация «бакалавр»), учебные планы которой включают дисциплину «Исследование операций и методы оптимизации», а также оно может найти применение в обучении студентов и по специальности «Прикладная математика». [[Категория:Математическое моделирование]] eczt9gpcueapjpscjc9hc97x6mey49r 0 30572 267616 262182 2026-05-21T08:17:03Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267616 wikitext text/x-wiki Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики. == Понятие «метод» == {{основной источник|<ref>{{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/511718|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=Раздел III. Основные содержательно-методические линии школьного курса математики и методика их изучения (продолжение). Глава 23. Обучение математическим методам в курсе математики средней школы (п. 23.1. Понятие «метод»)|ссылка часть=https://urait.ru/viewer/metodika-obucheniya-matematike-v-2-ch-chast-2-512419#page/233|язык=ru|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страницы=233–235|страниц=299|isbn=978-5-534-08768-0, ББК 74.202.5я73}}</ref>}} '''<u>Метод</u>''' есть ''система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели''. Метод является способом познания и способом практической деятельности. В методе можно выделить две стороны: * '''объективная''' — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности; * '''субъективная''' — связана с деятельностью по применению метода. Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: <u>гносеологические компоненты</u>, связанные с объективной стороной, и <u>деятельностные компоненты</u>, связанные с субъективной стороной метода. Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать: # исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями); # знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств); # знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.); # знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения. Деятельностные компоненты метода включают: # определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели; # средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). == Алгебраические методы == === Метод уравнений и неравенств === '''''Метод уравнений и неравенств''''' — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. === Метод тождественных преобразований === ===Метод математической индукции=== Оформим данную тему структурировано в виде таблицы. {| class="wikitable" |+Математические: !ОБЪЕКТЫ !ЯВЛЕНИЯ !ВЕЛИЧИНЫ !ЗАКОНЫ !МЕТОДЫ |- |Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) |Индукция, дедукция, доказательство, логический переход | |Законы логики (логические переходы) |Метод от противного |- |Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции) |Математическая индукция, полная и неполная индукция |Параметр, «пробегающий» натуральные числа |Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции |Метод математической индукци |} === Векторно-координатный метод === === Функционально-графический метод === Суть метода: ''использование свойств функций''. == Геометрические методы == === Метод «цепочки треугольников» === '''Суть метода''': рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи. '''Объективная сторона метода [теория]''': # определение треугольника, # классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла), # определение равных треугольников и признаки равенства треугольников, # определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников, # теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.), # признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного), # определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др. '''Деятельностная сторона [компоненты]''': * распознавание вида треугольника; * доказательство равенства (подобия) треугольников; * установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников; * построение треугольников. '''Формы реализации метода''' зависят от ''типа задачи'': *на вычисление; *на доказательство; *на построение. '''Примеры задач''', которые можно решить при помощи ''метода «цепочки треугольников»'': *[7 класс] В остроугольном треугольнике <math>\mathcal{ABC}</math> высоты пересекаются в точке <math>\mathcal{H}</math>. Известно, что <math>\mathcal{CH=AB}</math>. Найти величину угла <math>\mathcal{C}</math>. *Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины». *На построение: **Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне. **Построить ромб по высоте и диагонали. **Построить треугольник, если даны его периметр и два угла. === Метод геометрических преобразований === Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов). ==== Метод поворота ==== ==== Метод параллельного переноса ==== ==== Метод осевой симметрии ==== Покажем возможность применения геометрических преобразований для широкого круга задач, решения которых существенно упрощаются. {{Задача|1. |[[Файл:Применение осевой симметрия.png|мини]] ''Докажем, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.''<ref>{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-formirovanii-bazovyh-ponyatiy-matematiki|автор=Чекмарев Г. Е., Фоминых С. О.|заглавие=К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ|год=2022|издание=Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева|тип=журнал|номер=4 (117)}}</ref> '''Решение:''' # Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырёхугольнике из противоположных сторон сделать смежные. # Отобразим сторону <math>{\mathcal{AD}}</math> относительно серединного перпендикуляра <math>{p}</math> к диагонали <math>{\mathcal{AC}}</math>. Точка <math>{\mathcal{D}}</math> перейдет в <math>{\mathcal{D'}}</math>, <math>\mathcal{AD \longmapsto CD'}</math>, <math>\mathcal{CD \longmapsto AD'}</math>. # <math>{\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD'}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BAD'}}+{\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BCD'}} \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{AD'}}+ \dfrac{1}{2}{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{CD'}} = \dfrac{1}{2}\left({\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{CD}}+{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{AD}}\right)</math>.}} Используя преобразования и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма. === Метод геометрических мест точек (ГМТ) === Сущность метода '''''ГМТ''''' состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: <math>\mathcal{P}_1\left ( X \right )</math> '''и''' <math>\mathcal{P}_2\left ( X \right )</math>, то есть задача состоит в отыскании множества <math>\left \{ X \mid \mathcal{P}_1\left ( X \right )\text{ и }\mathcal{P}_2\left ( X \right ) \right \}</math>. === Метод дополнительных построений === == Методы математического анализа == === Метод производной === == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [[Построение с помощью циркуля и линейки#Методы построений циркулем и линейкой|Методы построений циркулем и линейкой]] == Литература == * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515381|автор={{nobr|Далингер В. А.}}|заглавие=Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов|ответственный=В. А. Далингер|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=338|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)|isbn2=978-5-534-06731-6}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515116|автор={{nobr|Капкаева Л. С.}}|заглавие=Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов|ответственный=Л. С. Капкаева|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=264|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73|isbn2=978-5-534-04942-8}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/512419|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=299|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73|isbn2=}} * {{Книга|автор={{nobr|Столяр А. А.}}|заглавие=Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов|ответственный=А. А. Столяр|год=1986|место=Минск|издательство=Вышэйшая школа|страниц=414}} * {{Статья|автор={{nobr|Фирстова Н. И.}}|заглавие=ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ|год=2013|ответственный=под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой.|место=М.|издание=СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ|издательство=Эйдос (Санкт-Петербург)|тип=статья в сборнике статей|страницы=144-146|issn=978-5-905697-85-2}} {{ВС}} [[Категория:Математика]] [[Категория:Учебники без шаблона]] 2fkwds1915ks9bbo2latrv7xpil0n8z 267617 267616 2026-05-21T08:17:11Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267617 wikitext text/x-wiki Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики. == Понятие «метод» == {{основной источник|<ref>{{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/511718|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=Раздел III. Основные содержательно-методические линии школьного курса математики и методика их изучения (продолжение). Глава 23. Обучение математическим методам в курсе математики средней школы (п. 23.1. Понятие «метод»)|ссылка часть=https://urait.ru/viewer/metodika-obucheniya-matematike-v-2-ch-chast-2-512419#page/233|язык=ru|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страницы=233–235|страниц=299|isbn=978-5-534-08768-0, ББК 74.202.5я73}}</ref>}} '''<u>Метод</u>''' есть ''система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели''. Метод является способом познания и способом практической деятельности. В методе можно выделить две стороны: * '''объективная''' — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности; * '''субъективная''' — связана с деятельностью по применению метода. Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: <u>гносеологические компоненты</u>, связанные с объективной стороной, и <u>деятельностные компоненты</u>, связанные с субъективной стороной метода. Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать: # исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями); # знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств); # знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.); # знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения. Деятельностные компоненты метода включают: # определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели; # средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). == Алгебраические методы == === Метод уравнений и неравенств === '''''Метод уравнений и неравенств''''' — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. === Метод тождественных преобразований === ===Метод математической индукции=== Оформим данную тему структурировано в виде таблицы. {| class="wikitable" |+Математические: !ОБЪЕКТЫ !ЯВЛЕНИЯ !ВЕЛИЧИНЫ !ЗАКОНЫ !МЕТОДЫ |- |Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) |Индукция, дедукция, доказательство, логический переход | |Законы логики (логические переходы) |Метод от противного |- |Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции) |Математическая индукция, полная и неполная индукция |Параметр, «пробегающий» натуральные числа |Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции |Метод математической индукци |} === Векторно-координатный метод === === Функционально-графический метод === Суть метода: ''использование свойств функций''. == Геометрические методы == === Метод «цепочки треугольников» === '''Суть метода''': рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи. '''Объективная сторона метода [теория]''': # определение треугольника, # классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла), # определение равных треугольников и признаки равенства треугольников, # определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников, # теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.), # признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного), # определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др. '''Деятельностная сторона [компоненты]''': * распознавание вида треугольника; * доказательство равенства (подобия) треугольников; * установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников; * построение треугольников. '''Формы реализации метода''' зависят от ''типа задачи'': *на вычисление; *на доказательство; *на построение. '''Примеры задач''', которые можно решить при помощи ''метода «цепочки треугольников»'': *[7 класс] В остроугольном треугольнике <math>\mathcal{ABC}</math> высоты пересекаются в точке <math>\mathcal{H}</math>. Известно, что <math>\mathcal{CH=AB}</math>. Найти величину угла <math>\mathcal{C}</math>. *Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины». *На построение: **Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне. **Построить ромб по высоте и диагонали. **Построить треугольник, если даны его периметр и два угла. === Метод геометрических преобразований === Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов). ==== Метод поворота ==== ==== Метод параллельного переноса ==== ==== Метод осевой симметрии ==== Покажем возможность применения геометрических преобразований для широкого круга задач, решения которых существенно упрощаются. {{Задача|1. |[[Файл:Применение осевой симметрия.png|мини]] ''Докажем, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.''<ref>{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-formirovanii-bazovyh-ponyatiy-matematiki|автор=Чекмарев Г. Е., Фоминых С. О.|заглавие=К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ|год=2022|издание=Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева|тип=журнал|номер=4 (117)}}</ref> '''Решение:''' # Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырёхугольнике из противоположных сторон сделать смежные. # Отобразим сторону <math>{\mathcal{AD}}</math> относительно серединного перпендикуляра <math>{p}</math> к диагонали <math>{\mathcal{AC}}</math>. Точка <math>{\mathcal{D}}</math> перейдет в <math>{\mathcal{D'}}</math>, <math>\mathcal{AD \longmapsto CD'}</math>, <math>\mathcal{CD \longmapsto AD'}</math>. # <math>{\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD'}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BAD'}}+{\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BCD'}} \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{AD'}}+ \dfrac{1}{2}{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{CD'}} = \dfrac{1}{2}\left({\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{CD}}+{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{AD}}\right)</math>.}} Используя преобразования и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма. === Метод геометрических мест точек (ГМТ) === Сущность метода '''''ГМТ''''' состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: <math>\mathcal{P}_1\left ( X \right )</math> '''и''' <math>\mathcal{P}_2\left ( X \right )</math>, то есть задача состоит в отыскании множества <math>\left \{ X \mid \mathcal{P}_1\left ( X \right )\text{ и }\mathcal{P}_2\left ( X \right ) \right \}</math>. === Метод дополнительных построений === == Методы математического анализа == === Метод производной === == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [[Построение с помощью циркуля и линейки#Методы построений циркулем и линейкой|Методы построений циркулем и линейкой]] == Литература == * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515381|автор={{nobr|Далингер В. А.}}|заглавие=Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов|ответственный=В. А. Далингер|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=338|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)|isbn2=978-5-534-06731-6}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515116|автор={{nobr|Капкаева Л. С.}}|заглавие=Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов|ответственный=Л. С. Капкаева|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=264|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73|isbn2=978-5-534-04942-8}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/512419|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=299|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73|isbn2=}} * {{Книга|автор={{nobr|Столяр А. А.}}|заглавие=Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов|ответственный=А. А. Столяр|год=1986|место=Минск|издательство=Вышэйшая школа|страниц=414}} * {{Статья|автор={{nobr|Фирстова Н. И.}}|заглавие=ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ|год=2013|ответственный=под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой.|место=М.|издание=СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ|издательство=Эйдос (Санкт-Петербург)|тип=статья в сборнике статей|страницы=144-146|issn=978-5-905697-85-2}} {{ВС}} [[Категория:Учебники без шаблона]] 4xlbm8bctie96rx46ah3wac2njomon1 267618 267617 2026-05-21T08:17:21Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267618 wikitext text/x-wiki Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики. == Понятие «метод» == {{основной источник|<ref>{{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/511718|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=Раздел III. Основные содержательно-методические линии школьного курса математики и методика их изучения (продолжение). Глава 23. Обучение математическим методам в курсе математики средней школы (п. 23.1. Понятие «метод»)|ссылка часть=https://urait.ru/viewer/metodika-obucheniya-matematike-v-2-ch-chast-2-512419#page/233|язык=ru|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страницы=233–235|страниц=299|isbn=978-5-534-08768-0, ББК 74.202.5я73}}</ref>}} '''<u>Метод</u>''' есть ''система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели''. Метод является способом познания и способом практической деятельности. В методе можно выделить две стороны: * '''объективная''' — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности; * '''субъективная''' — связана с деятельностью по применению метода. Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: <u>гносеологические компоненты</u>, связанные с объективной стороной, и <u>деятельностные компоненты</u>, связанные с субъективной стороной метода. Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать: # исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями); # знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств); # знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.); # знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения. Деятельностные компоненты метода включают: # определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели; # средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). == Алгебраические методы == === Метод уравнений и неравенств === '''''Метод уравнений и неравенств''''' — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. === Метод тождественных преобразований === ===Метод математической индукции=== Оформим данную тему структурировано в виде таблицы. {| class="wikitable" |+Математические: !ОБЪЕКТЫ !ЯВЛЕНИЯ !ВЕЛИЧИНЫ !ЗАКОНЫ !МЕТОДЫ |- |Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) |Индукция, дедукция, доказательство, логический переход | |Законы логики (логические переходы) |Метод от противного |- |Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции) |Математическая индукция, полная и неполная индукция |Параметр, «пробегающий» натуральные числа |Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции |Метод математической индукци |} === Векторно-координатный метод === === Функционально-графический метод === Суть метода: ''использование свойств функций''. == Геометрические методы == === Метод «цепочки треугольников» === '''Суть метода''': рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи. '''Объективная сторона метода [теория]''': # определение треугольника, # классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла), # определение равных треугольников и признаки равенства треугольников, # определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников, # теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.), # признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного), # определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др. '''Деятельностная сторона [компоненты]''': * распознавание вида треугольника; * доказательство равенства (подобия) треугольников; * установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников; * построение треугольников. '''Формы реализации метода''' зависят от ''типа задачи'': *на вычисление; *на доказательство; *на построение. '''Примеры задач''', которые можно решить при помощи ''метода «цепочки треугольников»'': *[7 класс] В остроугольном треугольнике <math>\mathcal{ABC}</math> высоты пересекаются в точке <math>\mathcal{H}</math>. Известно, что <math>\mathcal{CH=AB}</math>. Найти величину угла <math>\mathcal{C}</math>. *Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины». *На построение: **Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне. **Построить ромб по высоте и диагонали. **Построить треугольник, если даны его периметр и два угла. === Метод геометрических преобразований === Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов). ==== Метод поворота ==== ==== Метод параллельного переноса ==== ==== Метод осевой симметрии ==== Покажем возможность применения геометрических преобразований для широкого круга задач, решения которых существенно упрощаются. {{Задача|1. |[[Файл:Применение осевой симметрия.png|мини]] ''Докажем, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.''<ref>{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-formirovanii-bazovyh-ponyatiy-matematiki|автор=Чекмарев Г. Е., Фоминых С. О.|заглавие=К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ|год=2022|издание=Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева|тип=журнал|номер=4 (117)}}</ref> '''Решение:''' # Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырёхугольнике из противоположных сторон сделать смежные. # Отобразим сторону <math>{\mathcal{AD}}</math> относительно серединного перпендикуляра <math>{p}</math> к диагонали <math>{\mathcal{AC}}</math>. Точка <math>{\mathcal{D}}</math> перейдет в <math>{\mathcal{D'}}</math>, <math>\mathcal{AD \longmapsto CD'}</math>, <math>\mathcal{CD \longmapsto AD'}</math>. # <math>{\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD'}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BAD'}}+{\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BCD'}} \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{AD'}}+ \dfrac{1}{2}{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{CD'}} = \dfrac{1}{2}\left({\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{CD}}+{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{AD}}\right)</math>.}} Используя преобразования и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма. === Метод геометрических мест точек (ГМТ) === Сущность метода '''''ГМТ''''' состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: <math>\mathcal{P}_1\left ( X \right )</math> '''и''' <math>\mathcal{P}_2\left ( X \right )</math>, то есть задача состоит в отыскании множества <math>\left \{ X \mid \mathcal{P}_1\left ( X \right )\text{ и }\mathcal{P}_2\left ( X \right ) \right \}</math>. === Метод дополнительных построений === == Методы математического анализа == === Метод производной === == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [[Построение с помощью циркуля и линейки#Методы построений циркулем и линейкой|Методы построений циркулем и линейкой]] == Литература == * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515381|автор={{nobr|Далингер В. А.}}|заглавие=Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов|ответственный=В. А. Далингер|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=338|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)|isbn2=978-5-534-06731-6}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515116|автор={{nobr|Капкаева Л. С.}}|заглавие=Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов|ответственный=Л. С. Капкаева|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=264|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73|isbn2=978-5-534-04942-8}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/512419|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=299|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73|isbn2=}} * {{Книга|автор={{nobr|Столяр А. А.}}|заглавие=Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов|ответственный=А. А. Столяр|год=1986|место=Минск|издательство=Вышэйшая школа|страниц=414}} * {{Статья|автор={{nobr|Фирстова Н. И.}}|заглавие=ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ|год=2013|ответственный=под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой.|место=М.|издание=СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ|издательство=Эйдос (Санкт-Петербург)|тип=статья в сборнике статей|страницы=144-146|issn=978-5-905697-85-2}} {{ВС}} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 88tbx1trbvnwzxtvuxt32rl7y4kn3p8 267763 267618 2026-05-21T10:45:09Z AllaBuraya 79455 267763 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики. == Понятие «метод» == {{основной источник|<ref>{{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/511718|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=Раздел III. Основные содержательно-методические линии школьного курса математики и методика их изучения (продолжение). Глава 23. Обучение математическим методам в курсе математики средней школы (п. 23.1. Понятие «метод»)|ссылка часть=https://urait.ru/viewer/metodika-obucheniya-matematike-v-2-ch-chast-2-512419#page/233|язык=ru|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страницы=233–235|страниц=299|isbn=978-5-534-08768-0, ББК 74.202.5я73}}</ref>}} '''<u>Метод</u>''' есть ''система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели''. Метод является способом познания и способом практической деятельности. В методе можно выделить две стороны: * '''объективная''' — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности; * '''субъективная''' — связана с деятельностью по применению метода. Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: <u>гносеологические компоненты</u>, связанные с объективной стороной, и <u>деятельностные компоненты</u>, связанные с субъективной стороной метода. Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать: # исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями); # знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств); # знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.); # знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения. Деятельностные компоненты метода включают: # определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели; # средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). == Алгебраические методы == === Метод уравнений и неравенств === '''''Метод уравнений и неравенств''''' — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. === Метод тождественных преобразований === ===Метод математической индукции=== Оформим данную тему структурировано в виде таблицы. {| class="wikitable" |+Математические: !ОБЪЕКТЫ !ЯВЛЕНИЯ !ВЕЛИЧИНЫ !ЗАКОНЫ !МЕТОДЫ |- |Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) |Индукция, дедукция, доказательство, логический переход | |Законы логики (логические переходы) |Метод от противного |- |Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции) |Математическая индукция, полная и неполная индукция |Параметр, «пробегающий» натуральные числа |Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции |Метод математической индукци |} === Векторно-координатный метод === === Функционально-графический метод === Суть метода: ''использование свойств функций''. == Геометрические методы == === Метод «цепочки треугольников» === '''Суть метода''': рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи. '''Объективная сторона метода [теория]''': # определение треугольника, # классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла), # определение равных треугольников и признаки равенства треугольников, # определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников, # теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.), # признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного), # определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др. '''Деятельностная сторона [компоненты]''': * распознавание вида треугольника; * доказательство равенства (подобия) треугольников; * установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников; * построение треугольников. '''Формы реализации метода''' зависят от ''типа задачи'': *на вычисление; *на доказательство; *на построение. '''Примеры задач''', которые можно решить при помощи ''метода «цепочки треугольников»'': *[7 класс] В остроугольном треугольнике <math>\mathcal{ABC}</math> высоты пересекаются в точке <math>\mathcal{H}</math>. Известно, что <math>\mathcal{CH=AB}</math>. Найти величину угла <math>\mathcal{C}</math>. *Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины». *На построение: **Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне. **Построить ромб по высоте и диагонали. **Построить треугольник, если даны его периметр и два угла. === Метод геометрических преобразований === Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов). ==== Метод поворота ==== ==== Метод параллельного переноса ==== ==== Метод осевой симметрии ==== Покажем возможность применения геометрических преобразований для широкого круга задач, решения которых существенно упрощаются. {{Задача|1. |[[Файл:Применение осевой симметрия.png|мини]] ''Докажем, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.''<ref>{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-formirovanii-bazovyh-ponyatiy-matematiki|автор=Чекмарев Г. Е., Фоминых С. О.|заглавие=К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ|год=2022|издание=Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева|тип=журнал|номер=4 (117)}}</ref> '''Решение:''' # Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырёхугольнике из противоположных сторон сделать смежные. # Отобразим сторону <math>{\mathcal{AD}}</math> относительно серединного перпендикуляра <math>{p}</math> к диагонали <math>{\mathcal{AC}}</math>. Точка <math>{\mathcal{D}}</math> перейдет в <math>{\mathcal{D'}}</math>, <math>\mathcal{AD \longmapsto CD'}</math>, <math>\mathcal{CD \longmapsto AD'}</math>. # <math>{\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD'}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BAD'}}+{\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BCD'}} \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{AD'}}+ \dfrac{1}{2}{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{CD'}} = \dfrac{1}{2}\left({\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{CD}}+{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{AD}}\right)</math>.}} Используя преобразования и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма. === Метод геометрических мест точек (ГМТ) === Сущность метода '''''ГМТ''''' состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: <math>\mathcal{P}_1\left ( X \right )</math> '''и''' <math>\mathcal{P}_2\left ( X \right )</math>, то есть задача состоит в отыскании множества <math>\left \{ X \mid \mathcal{P}_1\left ( X \right )\text{ и }\mathcal{P}_2\left ( X \right ) \right \}</math>. === Метод дополнительных построений === == Методы математического анализа == === Метод производной === == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [[Построение с помощью циркуля и линейки#Методы построений циркулем и линейкой|Методы построений циркулем и линейкой]] == Литература == * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515381|автор={{nobr|Далингер В. А.}}|заглавие=Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов|ответственный=В. А. Далингер|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=338|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)|isbn2=978-5-534-06731-6}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515116|автор={{nobr|Капкаева Л. С.}}|заглавие=Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов|ответственный=Л. С. Капкаева|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=264|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73|isbn2=978-5-534-04942-8}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/512419|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=299|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73|isbn2=}} * {{Книга|автор={{nobr|Столяр А. А.}}|заглавие=Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов|ответственный=А. А. Столяр|год=1986|место=Минск|издательство=Вышэйшая школа|страниц=414}} * {{Статья|автор={{nobr|Фирстова Н. И.}}|заглавие=ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ|год=2013|ответственный=под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой.|место=М.|издание=СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ|издательство=Эйдос (Санкт-Петербург)|тип=статья в сборнике статей|страницы=144-146|issn=978-5-905697-85-2}} {{ВС}} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] fnnqni5sctfqh11zpnkmxncnt22dxi3 267795 267763 2026-05-21T11:16:21Z AllaBuraya 79455 267795 wikitext text/x-wiki Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики. == Понятие «метод» == {{основной источник|<ref>{{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/511718|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=Раздел III. Основные содержательно-методические линии школьного курса математики и методика их изучения (продолжение). Глава 23. Обучение математическим методам в курсе математики средней школы (п. 23.1. Понятие «метод»)|ссылка часть=https://urait.ru/viewer/metodika-obucheniya-matematike-v-2-ch-chast-2-512419#page/233|язык=ru|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страницы=233–235|страниц=299|isbn=978-5-534-08768-0, ББК 74.202.5я73}}</ref>}} '''<u>Метод</u>''' есть ''система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели''. Метод является способом познания и способом практической деятельности. В методе можно выделить две стороны: * '''объективная''' — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности; * '''субъективная''' — связана с деятельностью по применению метода. Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: <u>гносеологические компоненты</u>, связанные с объективной стороной, и <u>деятельностные компоненты</u>, связанные с субъективной стороной метода. Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать: # исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями); # знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств); # знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.); # знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения. Деятельностные компоненты метода включают: # определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели; # средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). == Алгебраические методы == === Метод уравнений и неравенств === '''''Метод уравнений и неравенств''''' — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. === Метод тождественных преобразований === ===Метод математической индукции=== Оформим данную тему структурировано в виде таблицы. {| class="wikitable" |+Математические: !ОБЪЕКТЫ !ЯВЛЕНИЯ !ВЕЛИЧИНЫ !ЗАКОНЫ !МЕТОДЫ |- |Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) |Индукция, дедукция, доказательство, логический переход | |Законы логики (логические переходы) |Метод от противного |- |Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции) |Математическая индукция, полная и неполная индукция |Параметр, «пробегающий» натуральные числа |Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции |Метод математической индукци |} === Векторно-координатный метод === === Функционально-графический метод === Суть метода: ''использование свойств функций''. == Геометрические методы == === Метод «цепочки треугольников» === '''Суть метода''': рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи. '''Объективная сторона метода [теория]''': # определение треугольника, # классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла), # определение равных треугольников и признаки равенства треугольников, # определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников, # теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.), # признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного), # определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др. '''Деятельностная сторона [компоненты]''': * распознавание вида треугольника; * доказательство равенства (подобия) треугольников; * установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников; * построение треугольников. '''Формы реализации метода''' зависят от ''типа задачи'': *на вычисление; *на доказательство; *на построение. '''Примеры задач''', которые можно решить при помощи ''метода «цепочки треугольников»'': *[7 класс] В остроугольном треугольнике <math>\mathcal{ABC}</math> высоты пересекаются в точке <math>\mathcal{H}</math>. Известно, что <math>\mathcal{CH=AB}</math>. Найти величину угла <math>\mathcal{C}</math>. *Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины». *На построение: **Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне. **Построить ромб по высоте и диагонали. **Построить треугольник, если даны его периметр и два угла. === Метод геометрических преобразований === Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов). ==== Метод поворота ==== ==== Метод параллельного переноса ==== ==== Метод осевой симметрии ==== Покажем возможность применения геометрических преобразований для широкого круга задач, решения которых существенно упрощаются. {{Задача|1. |[[Файл:Применение осевой симметрия.png|мини]] ''Докажем, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.''<ref>{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-formirovanii-bazovyh-ponyatiy-matematiki|автор=Чекмарев Г. Е., Фоминых С. О.|заглавие=К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ|год=2022|издание=Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева|тип=журнал|номер=4 (117)}}</ref> '''Решение:''' # Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырёхугольнике из противоположных сторон сделать смежные. # Отобразим сторону <math>{\mathcal{AD}}</math> относительно серединного перпендикуляра <math>{p}</math> к диагонали <math>{\mathcal{AC}}</math>. Точка <math>{\mathcal{D}}</math> перейдет в <math>{\mathcal{D'}}</math>, <math>\mathcal{AD \longmapsto CD'}</math>, <math>\mathcal{CD \longmapsto AD'}</math>. # <math>{\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD'}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BAD'}}+{\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BCD'}} \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{AD'}}+ \dfrac{1}{2}{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{CD'}} = \dfrac{1}{2}\left({\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{CD}}+{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{AD}}\right)</math>.}} Используя преобразования и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма. === Метод геометрических мест точек (ГМТ) === Сущность метода '''''ГМТ''''' состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: <math>\mathcal{P}_1\left ( X \right )</math> '''и''' <math>\mathcal{P}_2\left ( X \right )</math>, то есть задача состоит в отыскании множества <math>\left \{ X \mid \mathcal{P}_1\left ( X \right )\text{ и }\mathcal{P}_2\left ( X \right ) \right \}</math>. === Метод дополнительных построений === == Методы математического анализа == === Метод производной === == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [[Построение с помощью циркуля и линейки#Методы построений циркулем и линейкой|Методы построений циркулем и линейкой]] == Литература == * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515381|автор={{nobr|Далингер В. А.}}|заглавие=Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов|ответственный=В. А. Далингер|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=338|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)|isbn2=978-5-534-06731-6}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515116|автор={{nobr|Капкаева Л. С.}}|заглавие=Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов|ответственный=Л. С. Капкаева|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=264|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73|isbn2=978-5-534-04942-8}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/512419|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=299|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73|isbn2=}} * {{Книга|автор={{nobr|Столяр А. А.}}|заглавие=Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов|ответственный=А. А. Столяр|год=1986|место=Минск|издательство=Вышэйшая школа|страниц=414}} * {{Статья|автор={{nobr|Фирстова Н. И.}}|заглавие=ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ|год=2013|ответственный=под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой.|место=М.|издание=СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ|издательство=Эйдос (Санкт-Петербург)|тип=статья в сборнике статей|страницы=144-146|issn=978-5-905697-85-2}} {{ВС}} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 88tbx1trbvnwzxtvuxt32rl7y4kn3p8 267796 267795 2026-05-21T11:16:30Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Математические методы]] в [[Методика обучения математике/Математические методы]] 267795 wikitext text/x-wiki Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики. == Понятие «метод» == {{основной источник|<ref>{{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/511718|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=Раздел III. Основные содержательно-методические линии школьного курса математики и методика их изучения (продолжение). Глава 23. Обучение математическим методам в курсе математики средней школы (п. 23.1. Понятие «метод»)|ссылка часть=https://urait.ru/viewer/metodika-obucheniya-matematike-v-2-ch-chast-2-512419#page/233|язык=ru|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страницы=233–235|страниц=299|isbn=978-5-534-08768-0, ББК 74.202.5я73}}</ref>}} '''<u>Метод</u>''' есть ''система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели''. Метод является способом познания и способом практической деятельности. В методе можно выделить две стороны: * '''объективная''' — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности; * '''субъективная''' — связана с деятельностью по применению метода. Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: <u>гносеологические компоненты</u>, связанные с объективной стороной, и <u>деятельностные компоненты</u>, связанные с субъективной стороной метода. Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать: # исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями); # знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств); # знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.); # знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения. Деятельностные компоненты метода включают: # определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели; # средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). == Алгебраические методы == === Метод уравнений и неравенств === '''''Метод уравнений и неравенств''''' — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. === Метод тождественных преобразований === ===Метод математической индукции=== Оформим данную тему структурировано в виде таблицы. {| class="wikitable" |+Математические: !ОБЪЕКТЫ !ЯВЛЕНИЯ !ВЕЛИЧИНЫ !ЗАКОНЫ !МЕТОДЫ |- |Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) |Индукция, дедукция, доказательство, логический переход | |Законы логики (логические переходы) |Метод от противного |- |Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции) |Математическая индукция, полная и неполная индукция |Параметр, «пробегающий» натуральные числа |Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции |Метод математической индукци |} === Векторно-координатный метод === === Функционально-графический метод === Суть метода: ''использование свойств функций''. == Геометрические методы == === Метод «цепочки треугольников» === '''Суть метода''': рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи. '''Объективная сторона метода [теория]''': # определение треугольника, # классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла), # определение равных треугольников и признаки равенства треугольников, # определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников, # теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.), # признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного), # определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др. '''Деятельностная сторона [компоненты]''': * распознавание вида треугольника; * доказательство равенства (подобия) треугольников; * установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников; * построение треугольников. '''Формы реализации метода''' зависят от ''типа задачи'': *на вычисление; *на доказательство; *на построение. '''Примеры задач''', которые можно решить при помощи ''метода «цепочки треугольников»'': *[7 класс] В остроугольном треугольнике <math>\mathcal{ABC}</math> высоты пересекаются в точке <math>\mathcal{H}</math>. Известно, что <math>\mathcal{CH=AB}</math>. Найти величину угла <math>\mathcal{C}</math>. *Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины». *На построение: **Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне. **Построить ромб по высоте и диагонали. **Построить треугольник, если даны его периметр и два угла. === Метод геометрических преобразований === Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов). ==== Метод поворота ==== ==== Метод параллельного переноса ==== ==== Метод осевой симметрии ==== Покажем возможность применения геометрических преобразований для широкого круга задач, решения которых существенно упрощаются. {{Задача|1. |[[Файл:Применение осевой симметрия.png|мини]] ''Докажем, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.''<ref>{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-formirovanii-bazovyh-ponyatiy-matematiki|автор=Чекмарев Г. Е., Фоминых С. О.|заглавие=К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ|год=2022|издание=Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева|тип=журнал|номер=4 (117)}}</ref> '''Решение:''' # Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырёхугольнике из противоположных сторон сделать смежные. # Отобразим сторону <math>{\mathcal{AD}}</math> относительно серединного перпендикуляра <math>{p}</math> к диагонали <math>{\mathcal{AC}}</math>. Точка <math>{\mathcal{D}}</math> перейдет в <math>{\mathcal{D'}}</math>, <math>\mathcal{AD \longmapsto CD'}</math>, <math>\mathcal{CD \longmapsto AD'}</math>. # <math>{\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD'}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BAD'}}+{\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BCD'}} \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{AD'}}+ \dfrac{1}{2}{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{CD'}} = \dfrac{1}{2}\left({\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{CD}}+{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{AD}}\right)</math>.}} Используя преобразования и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма. === Метод геометрических мест точек (ГМТ) === Сущность метода '''''ГМТ''''' состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: <math>\mathcal{P}_1\left ( X \right )</math> '''и''' <math>\mathcal{P}_2\left ( X \right )</math>, то есть задача состоит в отыскании множества <math>\left \{ X \mid \mathcal{P}_1\left ( X \right )\text{ и }\mathcal{P}_2\left ( X \right ) \right \}</math>. === Метод дополнительных построений === == Методы математического анализа == === Метод производной === == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [[Построение с помощью циркуля и линейки#Методы построений циркулем и линейкой|Методы построений циркулем и линейкой]] == Литература == * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515381|автор={{nobr|Далингер В. А.}}|заглавие=Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов|ответственный=В. А. Далингер|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=338|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)|isbn2=978-5-534-06731-6}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515116|автор={{nobr|Капкаева Л. С.}}|заглавие=Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов|ответственный=Л. С. Капкаева|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=264|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73|isbn2=978-5-534-04942-8}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/512419|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=299|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73|isbn2=}} * {{Книга|автор={{nobr|Столяр А. А.}}|заглавие=Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов|ответственный=А. А. Столяр|год=1986|место=Минск|издательство=Вышэйшая школа|страниц=414}} * {{Статья|автор={{nobr|Фирстова Н. И.}}|заглавие=ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ|год=2013|ответственный=под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой.|место=М.|издание=СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ|издательство=Эйдос (Санкт-Петербург)|тип=статья в сборнике статей|страницы=144-146|issn=978-5-905697-85-2}} {{ВС}} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 88tbx1trbvnwzxtvuxt32rl7y4kn3p8 267826 267796 2026-05-21T11:32:30Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267826 wikitext text/x-wiki Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики. == Понятие «метод» == {{основной источник|<ref>{{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/511718|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=Раздел III. Основные содержательно-методические линии школьного курса математики и методика их изучения (продолжение). Глава 23. Обучение математическим методам в курсе математики средней школы (п. 23.1. Понятие «метод»)|ссылка часть=https://urait.ru/viewer/metodika-obucheniya-matematike-v-2-ch-chast-2-512419#page/233|язык=ru|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страницы=233–235|страниц=299|isbn=978-5-534-08768-0, ББК 74.202.5я73}}</ref>}} '''<u>Метод</u>''' есть ''система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели''. Метод является способом познания и способом практической деятельности. В методе можно выделить две стороны: * '''объективная''' — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности; * '''субъективная''' — связана с деятельностью по применению метода. Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: <u>гносеологические компоненты</u>, связанные с объективной стороной, и <u>деятельностные компоненты</u>, связанные с субъективной стороной метода. Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать: # исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями); # знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств); # знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.); # знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения. Деятельностные компоненты метода включают: # определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели; # средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). == Алгебраические методы == === Метод уравнений и неравенств === '''''Метод уравнений и неравенств''''' — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. === Метод тождественных преобразований === ===Метод математической индукции=== Оформим данную тему структурировано в виде таблицы. {| class="wikitable" |+Математические: !ОБЪЕКТЫ !ЯВЛЕНИЯ !ВЕЛИЧИНЫ !ЗАКОНЫ !МЕТОДЫ |- |Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) |Индукция, дедукция, доказательство, логический переход | |Законы логики (логические переходы) |Метод от противного |- |Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции) |Математическая индукция, полная и неполная индукция |Параметр, «пробегающий» натуральные числа |Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции |Метод математической индукци |} === Векторно-координатный метод === === Функционально-графический метод === Суть метода: ''использование свойств функций''. == Геометрические методы == === Метод «цепочки треугольников» === '''Суть метода''': рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи. '''Объективная сторона метода [теория]''': # определение треугольника, # классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла), # определение равных треугольников и признаки равенства треугольников, # определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников, # теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.), # признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного), # определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др. '''Деятельностная сторона [компоненты]''': * распознавание вида треугольника; * доказательство равенства (подобия) треугольников; * установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников; * построение треугольников. '''Формы реализации метода''' зависят от ''типа задачи'': *на вычисление; *на доказательство; *на построение. '''Примеры задач''', которые можно решить при помощи ''метода «цепочки треугольников»'': *[7 класс] В остроугольном треугольнике <math>\mathcal{ABC}</math> высоты пересекаются в точке <math>\mathcal{H}</math>. Известно, что <math>\mathcal{CH=AB}</math>. Найти величину угла <math>\mathcal{C}</math>. *Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины». *На построение: **Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне. **Построить ромб по высоте и диагонали. **Построить треугольник, если даны его периметр и два угла. === Метод геометрических преобразований === Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов). ==== Метод поворота ==== ==== Метод параллельного переноса ==== ==== Метод осевой симметрии ==== Покажем возможность применения геометрических преобразований для широкого круга задач, решения которых существенно упрощаются. {{Задача|1. |[[Файл:Применение осевой симметрия.png|мини]] ''Докажем, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.''<ref>{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-formirovanii-bazovyh-ponyatiy-matematiki|автор=Чекмарев Г. Е., Фоминых С. О.|заглавие=К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ|год=2022|издание=Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева|тип=журнал|номер=4 (117)}}</ref> '''Решение:''' # Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырёхугольнике из противоположных сторон сделать смежные. # Отобразим сторону <math>{\mathcal{AD}}</math> относительно серединного перпендикуляра <math>{p}</math> к диагонали <math>{\mathcal{AC}}</math>. Точка <math>{\mathcal{D}}</math> перейдет в <math>{\mathcal{D'}}</math>, <math>\mathcal{AD \longmapsto CD'}</math>, <math>\mathcal{CD \longmapsto AD'}</math>. # <math>{\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD'}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BAD'}}+{\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BCD'}} \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{AD'}}+ \dfrac{1}{2}{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{CD'}} = \dfrac{1}{2}\left({\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{CD}}+{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{AD}}\right)</math>.}} Используя преобразования и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма. === Метод геометрических мест точек (ГМТ) === Сущность метода '''''ГМТ''''' состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: <math>\mathcal{P}_1\left ( X \right )</math> '''и''' <math>\mathcal{P}_2\left ( X \right )</math>, то есть задача состоит в отыскании множества <math>\left \{ X \mid \mathcal{P}_1\left ( X \right )\text{ и }\mathcal{P}_2\left ( X \right ) \right \}</math>. === Метод дополнительных построений === == Методы математического анализа == === Метод производной === == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [[Построение с помощью циркуля и линейки#Методы построений циркулем и линейкой|Методы построений циркулем и линейкой]] == Литература == * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515381|автор={{nobr|Далингер В. А.}}|заглавие=Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов|ответственный=В. А. Далингер|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=338|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)|isbn2=978-5-534-06731-6}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515116|автор={{nobr|Капкаева Л. С.}}|заглавие=Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов|ответственный=Л. С. Капкаева|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=264|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73|isbn2=978-5-534-04942-8}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/512419|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=299|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73|isbn2=}} * {{Книга|автор={{nobr|Столяр А. А.}}|заглавие=Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов|ответственный=А. А. Столяр|год=1986|место=Минск|издательство=Вышэйшая школа|страниц=414}} * {{Статья|автор={{nobr|Фирстова Н. И.}}|заглавие=ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ|год=2013|ответственный=под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой.|место=М.|издание=СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ|издательство=Эйдос (Санкт-Петербург)|тип=статья в сборнике статей|страницы=144-146|issn=978-5-905697-85-2}} {{ВС}} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Методика обучения математике]] q84ikb6kpiibwuz40ktyqkz3ioy47s3 267827 267826 2026-05-21T11:32:35Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267827 wikitext text/x-wiki Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики. == Понятие «метод» == {{основной источник|<ref>{{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/511718|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=Раздел III. Основные содержательно-методические линии школьного курса математики и методика их изучения (продолжение). Глава 23. Обучение математическим методам в курсе математики средней школы (п. 23.1. Понятие «метод»)|ссылка часть=https://urait.ru/viewer/metodika-obucheniya-matematike-v-2-ch-chast-2-512419#page/233|язык=ru|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страницы=233–235|страниц=299|isbn=978-5-534-08768-0, ББК 74.202.5я73}}</ref>}} '''<u>Метод</u>''' есть ''система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели''. Метод является способом познания и способом практической деятельности. В методе можно выделить две стороны: * '''объективная''' — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности; * '''субъективная''' — связана с деятельностью по применению метода. Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: <u>гносеологические компоненты</u>, связанные с объективной стороной, и <u>деятельностные компоненты</u>, связанные с субъективной стороной метода. Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать: # исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями); # знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств); # знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.); # знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения. Деятельностные компоненты метода включают: # определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели; # средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). == Алгебраические методы == === Метод уравнений и неравенств === '''''Метод уравнений и неравенств''''' — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система. === Метод тождественных преобразований === ===Метод математической индукции=== Оформим данную тему структурировано в виде таблицы. {| class="wikitable" |+Математические: !ОБЪЕКТЫ !ЯВЛЕНИЯ !ВЕЛИЧИНЫ !ЗАКОНЫ !МЕТОДЫ |- |Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) |Индукция, дедукция, доказательство, логический переход | |Законы логики (логические переходы) |Метод от противного |- |Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции) |Математическая индукция, полная и неполная индукция |Параметр, «пробегающий» натуральные числа |Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции |Метод математической индукци |} === Векторно-координатный метод === === Функционально-графический метод === Суть метода: ''использование свойств функций''. == Геометрические методы == === Метод «цепочки треугольников» === '''Суть метода''': рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи. '''Объективная сторона метода [теория]''': # определение треугольника, # классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла), # определение равных треугольников и признаки равенства треугольников, # определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников, # теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.), # признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного), # определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др. '''Деятельностная сторона [компоненты]''': * распознавание вида треугольника; * доказательство равенства (подобия) треугольников; * установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников; * построение треугольников. '''Формы реализации метода''' зависят от ''типа задачи'': *на вычисление; *на доказательство; *на построение. '''Примеры задач''', которые можно решить при помощи ''метода «цепочки треугольников»'': *[7 класс] В остроугольном треугольнике <math>\mathcal{ABC}</math> высоты пересекаются в точке <math>\mathcal{H}</math>. Известно, что <math>\mathcal{CH=AB}</math>. Найти величину угла <math>\mathcal{C}</math>. *Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины». *На построение: **Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне. **Построить ромб по высоте и диагонали. **Построить треугольник, если даны его периметр и два угла. === Метод геометрических преобразований === Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов). ==== Метод поворота ==== ==== Метод параллельного переноса ==== ==== Метод осевой симметрии ==== Покажем возможность применения геометрических преобразований для широкого круга задач, решения которых существенно упрощаются. {{Задача|1. |[[Файл:Применение осевой симметрия.png|мини]] ''Докажем, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.''<ref>{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-formirovanii-bazovyh-ponyatiy-matematiki|автор=Чекмарев Г. Е., Фоминых С. О.|заглавие=К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ|год=2022|издание=Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева|тип=журнал|номер=4 (117)}}</ref> '''Решение:''' # Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырёхугольнике из противоположных сторон сделать смежные. # Отобразим сторону <math>{\mathcal{AD}}</math> относительно серединного перпендикуляра <math>{p}</math> к диагонали <math>{\mathcal{AC}}</math>. Точка <math>{\mathcal{D}}</math> перейдет в <math>{\mathcal{D'}}</math>, <math>\mathcal{AD \longmapsto CD'}</math>, <math>\mathcal{CD \longmapsto AD'}</math>. # <math>{\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{ABCD'}} = {\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BAD'}}+{\mathtt {S}}_{\mathcal{\triangle BCD'}} \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{AD'}}+ \dfrac{1}{2}{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{CD'}} = \dfrac{1}{2}\left({\mathcal{AB}}\cdot {\mathcal{CD}}+{\mathcal{BC}}\cdot {\mathcal{AD}}\right)</math>.}} Используя преобразования и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма. === Метод геометрических мест точек (ГМТ) === Сущность метода '''''ГМТ''''' состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: <math>\mathcal{P}_1\left ( X \right )</math> '''и''' <math>\mathcal{P}_2\left ( X \right )</math>, то есть задача состоит в отыскании множества <math>\left \{ X \mid \mathcal{P}_1\left ( X \right )\text{ и }\mathcal{P}_2\left ( X \right ) \right \}</math>. === Метод дополнительных построений === == Методы математического анализа == === Метод производной === == Примечания == {{примечания}} == Ссылки == * [[Построение с помощью циркуля и линейки#Методы построений циркулем и линейкой|Методы построений циркулем и линейкой]] == Литература == * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515381|автор={{nobr|Далингер В. А.}}|заглавие=Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов|ответственный=В. А. Далингер|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=338|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)|isbn2=978-5-534-06731-6}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/515116|автор={{nobr|Капкаева Л. С.}}|заглавие=Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов|ответственный=Л. С. Капкаева|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=264|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73|isbn2=978-5-534-04942-8}} * {{Книга|ссылка=https://urait.ru/bcode/512419|автор={{nobr|Подходова Н. С. [и др.]}}|заглавие=Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов|ответственный=под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой|год=2023|часть=|ссылка часть=|язык=ru|издание=|место=М.|издательство=Издательство Юрайт|страниц=299|серия=Высшее образование|isbn=978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73|isbn2=}} * {{Книга|автор={{nobr|Столяр А. А.}}|заглавие=Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов|ответственный=А. А. Столяр|год=1986|место=Минск|издательство=Вышэйшая школа|страниц=414}} * {{Статья|автор={{nobr|Фирстова Н. И.}}|заглавие=ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ|год=2013|ответственный=под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой.|место=М.|издание=СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ|издательство=Эйдос (Санкт-Петербург)|тип=статья в сборнике статей|страницы=144-146|issn=978-5-905697-85-2}} {{ВС}} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] rnkvaa3gca1jcf3myg6c9147xvpbga9 0 30984 267834 254964 2026-05-21T11:42:36Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Теория исследования операций]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267834 wikitext text/x-wiki == § 2.1. Основные понятия теории экстремальных задач == При наличии только фиксированных неконтролируемых факторовзадача поиска оптимальных решений сводится к экстремальной задаче. Если при этом на выбор стратегии не накладывается ограничений (что на практике встречается редко) или ограничения имеют видтолько равенств, то применимы классические методы оптимизацииЭти методы и рассматриваются в данной главеИсходными данными при постановке задачи поиска экстремумаявляется множествоX и определенная на нем функция f (x). Мы будем рассматривать конечномерные задачи, поэтомуx является вектором произвольной размерностиn, т. е. x= (x1, …, xn), а множествоX — подмножеством евклидова пространства R n (возможно совпадающим со всем пространством). Помимо заданияX (его называютдопустимым множеством) иf (x) (ее называют целевой функциейнеобходимо определить, что понимается под решением задачи. Во первых, речь может идти о нахождении точек максимума (одной иливсех), минимума (одной или всех) или тех и других. Во-вторых, необходимо уточнить само понятие максимума (минимума), так как ономожет пониматься в глобальном и локальном смыслеОпределение 2.1. Точка x∈ X называется точкой глобального(абсолютногомаксимума функции f (x) на множестве X, еслиfxfxXXОпределение 2.2. Точка x∈ X называется точкой локальногомаксимума функции f (x) на множестве X, если∃ε > 0 такое, чтоfxfxXX UxгдеUε(x*) — ε-окрестность точки x* (шар радиусом ε с центромвxОпределения глобального и локального минимумов получаютсязаменой в (2.1) и (2.2) знаков неравенств на противоположныеГлобальные максимумы и минимумы называют глобальнымиэкстремумами функции, локальные максимумы и минимумы — ло [[Категория:Учебники без шаблона]] 6cjatnfbfx5a0pji1hevjm3havxbn41 267835 267834 2026-05-21T11:42:48Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Теория экстремальных задач]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267835 wikitext text/x-wiki == § 2.1. Основные понятия теории экстремальных задач == При наличии только фиксированных неконтролируемых факторовзадача поиска оптимальных решений сводится к экстремальной задаче. Если при этом на выбор стратегии не накладывается ограничений (что на практике встречается редко) или ограничения имеют видтолько равенств, то применимы классические методы оптимизацииЭти методы и рассматриваются в данной главеИсходными данными при постановке задачи поиска экстремумаявляется множествоX и определенная на нем функция f (x). Мы будем рассматривать конечномерные задачи, поэтомуx является вектором произвольной размерностиn, т. е. x= (x1, …, xn), а множествоX — подмножеством евклидова пространства R n (возможно совпадающим со всем пространством). Помимо заданияX (его называютдопустимым множеством) иf (x) (ее называют целевой функциейнеобходимо определить, что понимается под решением задачи. Во первых, речь может идти о нахождении точек максимума (одной иливсех), минимума (одной или всех) или тех и других. Во-вторых, необходимо уточнить само понятие максимума (минимума), так как ономожет пониматься в глобальном и локальном смыслеОпределение 2.1. Точка x∈ X называется точкой глобального(абсолютногомаксимума функции f (x) на множестве X, еслиfxfxXXОпределение 2.2. Точка x∈ X называется точкой локальногомаксимума функции f (x) на множестве X, если∃ε > 0 такое, чтоfxfxXX UxгдеUε(x*) — ε-окрестность точки x* (шар радиусом ε с центромвxОпределения глобального и локального минимумов получаютсязаменой в (2.1) и (2.2) знаков неравенств на противоположныеГлобальные максимумы и минимумы называют глобальнымиэкстремумами функции, локальные максимумы и минимумы — ло [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Теория экстремальных задач]] ks1m9v27bbqsuhtc6pbtif65cxtxw84 0 31011 267601 255001 2026-05-21T08:09:51Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267601 wikitext text/x-wiki {{Готовность|25%}} Методика преподавания математики развивается на базе определённой психологической теории обучения, т. е. методика преподавания математики представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в методике преподавания математики должна отражаться специфика предмета обучения — математики. [[Категория:Учебники без шаблона]] 9wi9ri1b7asv443smgtpey45pwgkpkv 267602 267601 2026-05-21T08:10:00Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267602 wikitext text/x-wiki {{Готовность|25%}} Методика преподавания математики развивается на базе определённой психологической теории обучения, т. е. методика преподавания математики представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в методике преподавания математики должна отражаться специфика предмета обучения — математики. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 8n0xxgvocgg12hv7pgxmifpfas75m8w 267767 267602 2026-05-21T10:46:32Z AllaBuraya 79455 267767 wikitext text/x-wiki {{Готовность|25%}}{{Название учебника | Категория = Математика }} Методика преподавания математики развивается на базе определённой психологической теории обучения, т. е. методика преподавания математики представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в методике преподавания математики должна отражаться специфика предмета обучения — математики. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] c6ttmg8i42sb86971w8sip1htlr9qez 267828 267767 2026-05-21T11:33:41Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267828 wikitext text/x-wiki {{Готовность|25%}}{{Название учебника | Категория = Математика }} Методика преподавания математики развивается на базе определённой психологической теории обучения, т. е. методика преподавания математики представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в методике преподавания математики должна отражаться специфика предмета обучения — математики. [[Категория:Учебники без шаблона]] izfsldxekgf4dva9y9qw4w3ucjny2gk 267829 267828 2026-05-21T11:33:50Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267829 wikitext text/x-wiki {{Готовность|25%}}{{Название учебника | Категория = Математика }} Методика преподавания математики развивается на базе определённой психологической теории обучения, т. е. методика преподавания математики представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в методике преподавания математики должна отражаться специфика предмета обучения — математики. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Математика]] 6hff5w5kopf12u9rvx6kh8bge27z83s 0 31012 267610 255002 2026-05-21T08:15:11Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267610 wikitext text/x-wiki Существенный момент состоит во введении термина — через определение<ref>Другие варианты: описание, демонстрация.</ref>. Важно для учащихся противопоставить аксиому и теорему друг другу. [[Категория:Учебники без шаблона]] l1l2m6tltsvpm9lu3iblbljv64twz9x 267611 267610 2026-05-21T08:15:19Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267611 wikitext text/x-wiki Существенный момент состоит во введении термина — через определение<ref>Другие варианты: описание, демонстрация.</ref>. Важно для учащихся противопоставить аксиому и теорему друг другу. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] t48ok3lgrimwh61v5n3kdwh3lwzgtxi 267768 267611 2026-05-21T10:46:48Z AllaBuraya 79455 267768 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Существенный момент состоит во введении термина — через определение<ref>Другие варианты: описание, демонстрация.</ref>. Важно для учащихся противопоставить аксиому и теорему друг другу. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] bh64z6d447hdf1okowddo7ikm4fmz1h 267817 267768 2026-05-21T11:29:48Z AllaBuraya 79455 267817 wikitext text/x-wiki Существенный момент состоит во введении термина — через определение<ref>Другие варианты: описание, демонстрация.</ref>. Важно для учащихся противопоставить аксиому и теорему друг другу. [[Категория:Учебники без шаблона]] <references /> [[Категория:Методика обучения математике]] tiuy642elhu5idixlqqwqeqd23aik10 267818 267817 2026-05-21T11:29:55Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Методика формирования понятия "теорема"]] в [[Методика обучения математике/Методика формирования понятия "теорема"]] 267817 wikitext text/x-wiki Существенный момент состоит во введении термина — через определение<ref>Другие варианты: описание, демонстрация.</ref>. Важно для учащихся противопоставить аксиому и теорему друг другу. [[Категория:Учебники без шаблона]] <references /> [[Категория:Методика обучения математике]] tiuy642elhu5idixlqqwqeqd23aik10 14 31013 267603 230443 2026-05-21T08:11:42Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267603 wikitext text/x-wiki [[Категория:Образование]][[Категория:Математика]] {{Готовность|25%}} essf4d2tacekedkphxzon6srmw2f08v 267623 267603 2026-05-21T08:18:51Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267623 wikitext text/x-wiki [[Категория:Образование]] {{Готовность|25%}} mo0svpl1fbonnzvmebkl5uq5uuuzyay 267624 267623 2026-05-21T08:19:01Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267624 wikitext text/x-wiki [[Категория:Образование]] [[Категория:Алгебра]] {{Готовность|25%}} q4h3f1jaz6n4j91scts6nsf0gqwxtpb 267658 267624 2026-05-21T08:37:47Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267658 wikitext text/x-wiki [[Категория:Образование]] {{Готовность|25%}} mo0svpl1fbonnzvmebkl5uq5uuuzyay 267659 267658 2026-05-21T08:37:50Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Образование]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267659 wikitext text/x-wiki {{Готовность|25%}} 59gsnylquf1ddwn7wdz69jwymia6kej 0 31014 267595 261096 2026-05-21T08:06:02Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267595 wikitext text/x-wiki == Применение геометрии в курсе алгебры == Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6476|title=Математика в школе|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref>{{Определение|<code>Алгебраизацией геометрии</code> будем называть <u>применение методов алгебры в решении геометрической задачи</u>.|«Алгебраизация геометрии»}}Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «[https://djvu.online/file/bgu56igXIB3gf Геометрия помогает арифметике]» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.{{Определение|<code>Геометризация алгебры</code> есть <u>применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры</u>.|«Геометризация алгебры»}}{{Важное|текст=Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен. Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах. P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.}} Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет '''повторить и систематизировать знания''' обоих предметных областей. === Повторение приёмов работы с задачей === Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.{{Кстати|Приёмы работы после задачи|Приёмы основываются на составлении:|А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами; Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются; В) другого способа решения задачи.}} Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии. == Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией == {| class="wikitable" |+ !Темы по алгебре и началам анализа !Теория по геометрии |- |{{По центру|Вычисление значения алгебраического<ref>В основной школе под '''алгебраическим выражением''' понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.</ref> выражения}} |{{По центру|Подобные треугольники}} |- |{{По центру|Тригонометрия:}} 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство) |1) векторный метод<ref>Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.</ref> 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея<ref>Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.</ref> 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников |- |{{По центру|Алгебраические уравнения, неравенства и их системы:}} 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений |1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод<ref>В данном случае вектор задаётся <u>координатами</u>.</ref> 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников” |- |{{По центру|Сюжетные задачи}} |{{По центру|подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей}} |} == Образцы оформления задач == === Пример 1. Решение уравнения === {{Пример|Решить уравнение :<math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5.</math>}} {{По центру|'''Этап I. Выделение структуры задачи'''}} ''Дано'': <math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5</math>, где <math>\left(x,\, y\right)\in \mathbb {R^2}</math>. ''Найти'': <math>x</math>, <math>y</math>. {{По центру|'''Этап II. Поиск решения, или анализ задачи'''}} <code>Особенности уравнения</code>: оно ''иррациональное'', а также содержит ''две переменные'' (<math>x</math> и <math>y</math>). Решить уравнение <u>сложно</u>, попробуем подойти с геометрической точки зрения. {{По центру|'''Этап III. Выбор метода решения задачи'''}} <code>Признаки выбора теории по геометрии</code>: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов<ref><u>Формулировка</u>: в треугольнике ''сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны''.</ref>.<ol type="a"> <li>Рассмотрим выражение <math>9+x^2-3x \sqrt 3</math>. Оно равно <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{red}{9+x^2-3x \sqrt 3 = 3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 1.png|мини|Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>x^2+y^2-xy \sqrt 3</math>. Оно равно <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{blue}{x^2+y^2-xy \sqrt 3= x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 2.png|мини|Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>16+y^2- 4y \sqrt 3</math>. Оно равно <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{green}{16+y^2- 4y \sqrt 3= 4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Рисунок3.png|мини|Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов]] </ol> <code>Теоретическая основа метода</code>: * метод „цепочки треугольников” * тема: «Решение треугольников» м [[Файл:Первичное моделирование.png|мини|Чертёж 1. '''Пятиугольник''']] а [[Категория:Учебники без шаблона]] bd10ine5p2bp9goz07hfosxf331z3yk 267596 267595 2026-05-21T08:06:15Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267596 wikitext text/x-wiki == Применение геометрии в курсе алгебры == Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6476|title=Математика в школе|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref>{{Определение|<code>Алгебраизацией геометрии</code> будем называть <u>применение методов алгебры в решении геометрической задачи</u>.|«Алгебраизация геометрии»}}Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «[https://djvu.online/file/bgu56igXIB3gf Геометрия помогает арифметике]» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.{{Определение|<code>Геометризация алгебры</code> есть <u>применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры</u>.|«Геометризация алгебры»}}{{Важное|текст=Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен. Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах. P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.}} Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет '''повторить и систематизировать знания''' обоих предметных областей. === Повторение приёмов работы с задачей === Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.{{Кстати|Приёмы работы после задачи|Приёмы основываются на составлении:|А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами; Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются; В) другого способа решения задачи.}} Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии. == Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией == {| class="wikitable" |+ !Темы по алгебре и началам анализа !Теория по геометрии |- |{{По центру|Вычисление значения алгебраического<ref>В основной школе под '''алгебраическим выражением''' понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.</ref> выражения}} |{{По центру|Подобные треугольники}} |- |{{По центру|Тригонометрия:}} 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство) |1) векторный метод<ref>Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.</ref> 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея<ref>Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.</ref> 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников |- |{{По центру|Алгебраические уравнения, неравенства и их системы:}} 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений |1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод<ref>В данном случае вектор задаётся <u>координатами</u>.</ref> 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников” |- |{{По центру|Сюжетные задачи}} |{{По центру|подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей}} |} == Образцы оформления задач == === Пример 1. Решение уравнения === {{Пример|Решить уравнение :<math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5.</math>}} {{По центру|'''Этап I. Выделение структуры задачи'''}} ''Дано'': <math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5</math>, где <math>\left(x,\, y\right)\in \mathbb {R^2}</math>. ''Найти'': <math>x</math>, <math>y</math>. {{По центру|'''Этап II. Поиск решения, или анализ задачи'''}} <code>Особенности уравнения</code>: оно ''иррациональное'', а также содержит ''две переменные'' (<math>x</math> и <math>y</math>). Решить уравнение <u>сложно</u>, попробуем подойти с геометрической точки зрения. {{По центру|'''Этап III. Выбор метода решения задачи'''}} <code>Признаки выбора теории по геометрии</code>: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов<ref><u>Формулировка</u>: в треугольнике ''сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны''.</ref>.<ol type="a"> <li>Рассмотрим выражение <math>9+x^2-3x \sqrt 3</math>. Оно равно <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{red}{9+x^2-3x \sqrt 3 = 3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 1.png|мини|Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>x^2+y^2-xy \sqrt 3</math>. Оно равно <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{blue}{x^2+y^2-xy \sqrt 3= x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 2.png|мини|Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>16+y^2- 4y \sqrt 3</math>. Оно равно <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{green}{16+y^2- 4y \sqrt 3= 4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Рисунок3.png|мини|Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов]] </ol> <code>Теоретическая основа метода</code>: * метод „цепочки треугольников” * тема: «Решение треугольников» м [[Файл:Первичное моделирование.png|мини|Чертёж 1. '''Пятиугольник''']] а [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] pmtc74pz2cc1k1exa9alcxe84jpo2k5 267753 267596 2026-05-21T10:39:49Z AllaBuraya 79455 267753 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} == Применение геометрии в курсе алгебры == Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6476|title=Математика в школе|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref>{{Определение|<code>Алгебраизацией геометрии</code> будем называть <u>применение методов алгебры в решении геометрической задачи</u>.|«Алгебраизация геометрии»}}Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «[https://djvu.online/file/bgu56igXIB3gf Геометрия помогает арифметике]» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.{{Определение|<code>Геометризация алгебры</code> есть <u>применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры</u>.|«Геометризация алгебры»}}{{Важное|текст=Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен. Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах. P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.}} Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет '''повторить и систематизировать знания''' обоих предметных областей. === Повторение приёмов работы с задачей === Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.{{Кстати|Приёмы работы после задачи|Приёмы основываются на составлении:|А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами; Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются; В) другого способа решения задачи.}} Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии. == Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией == {| class="wikitable" |+ !Темы по алгебре и началам анализа !Теория по геометрии |- |{{По центру|Вычисление значения алгебраического<ref>В основной школе под '''алгебраическим выражением''' понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.</ref> выражения}} |{{По центру|Подобные треугольники}} |- |{{По центру|Тригонометрия:}} 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство) |1) векторный метод<ref>Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.</ref> 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея<ref>Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.</ref> 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников |- |{{По центру|Алгебраические уравнения, неравенства и их системы:}} 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений |1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод<ref>В данном случае вектор задаётся <u>координатами</u>.</ref> 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников” |- |{{По центру|Сюжетные задачи}} |{{По центру|подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей}} |} == Образцы оформления задач == === Пример 1. Решение уравнения === {{Пример|Решить уравнение :<math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5.</math>}} {{По центру|'''Этап I. Выделение структуры задачи'''}} ''Дано'': <math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5</math>, где <math>\left(x,\, y\right)\in \mathbb {R^2}</math>. ''Найти'': <math>x</math>, <math>y</math>. {{По центру|'''Этап II. Поиск решения, или анализ задачи'''}} <code>Особенности уравнения</code>: оно ''иррациональное'', а также содержит ''две переменные'' (<math>x</math> и <math>y</math>). Решить уравнение <u>сложно</u>, попробуем подойти с геометрической точки зрения. {{По центру|'''Этап III. Выбор метода решения задачи'''}} <code>Признаки выбора теории по геометрии</code>: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов<ref><u>Формулировка</u>: в треугольнике ''сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны''.</ref>.<ol type="a"> <li>Рассмотрим выражение <math>9+x^2-3x \sqrt 3</math>. Оно равно <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{red}{9+x^2-3x \sqrt 3 = 3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 1.png|мини|Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>x^2+y^2-xy \sqrt 3</math>. Оно равно <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{blue}{x^2+y^2-xy \sqrt 3= x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 2.png|мини|Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>16+y^2- 4y \sqrt 3</math>. Оно равно <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{green}{16+y^2- 4y \sqrt 3= 4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Рисунок3.png|мини|Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов]] </ol> <code>Теоретическая основа метода</code>: * метод „цепочки треугольников” * тема: «Решение треугольников» м [[Файл:Первичное моделирование.png|мини|Чертёж 1. '''Пятиугольник''']] а [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 04wdoo0hw6t8ospydqd1gdt8936bkie 267787 267753 2026-05-21T11:06:25Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267787 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} == Применение геометрии в курсе алгебры == Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6476|title=Математика в школе|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref>{{Определение|<code>Алгебраизацией геометрии</code> будем называть <u>применение методов алгебры в решении геометрической задачи</u>.|«Алгебраизация геометрии»}}Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «[https://djvu.online/file/bgu56igXIB3gf Геометрия помогает арифметике]» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.{{Определение|<code>Геометризация алгебры</code> есть <u>применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры</u>.|«Геометризация алгебры»}}{{Важное|текст=Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен. Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах. P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.}} Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет '''повторить и систематизировать знания''' обоих предметных областей. === Повторение приёмов работы с задачей === Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.{{Кстати|Приёмы работы после задачи|Приёмы основываются на составлении:|А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами; Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются; В) другого способа решения задачи.}} Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии. == Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией == {| class="wikitable" |+ !Темы по алгебре и началам анализа !Теория по геометрии |- |{{По центру|Вычисление значения алгебраического<ref>В основной школе под '''алгебраическим выражением''' понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.</ref> выражения}} |{{По центру|Подобные треугольники}} |- |{{По центру|Тригонометрия:}} 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство) |1) векторный метод<ref>Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.</ref> 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея<ref>Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.</ref> 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников |- |{{По центру|Алгебраические уравнения, неравенства и их системы:}} 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений |1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод<ref>В данном случае вектор задаётся <u>координатами</u>.</ref> 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников” |- |{{По центру|Сюжетные задачи}} |{{По центру|подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей}} |} == Образцы оформления задач == === Пример 1. Решение уравнения === {{Пример|Решить уравнение :<math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5.</math>}} {{По центру|'''Этап I. Выделение структуры задачи'''}} ''Дано'': <math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5</math>, где <math>\left(x,\, y\right)\in \mathbb {R^2}</math>. ''Найти'': <math>x</math>, <math>y</math>. {{По центру|'''Этап II. Поиск решения, или анализ задачи'''}} <code>Особенности уравнения</code>: оно ''иррациональное'', а также содержит ''две переменные'' (<math>x</math> и <math>y</math>). Решить уравнение <u>сложно</u>, попробуем подойти с геометрической точки зрения. {{По центру|'''Этап III. Выбор метода решения задачи'''}} <code>Признаки выбора теории по геометрии</code>: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов<ref><u>Формулировка</u>: в треугольнике ''сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны''.</ref>.<ol type="a"> <li>Рассмотрим выражение <math>9+x^2-3x \sqrt 3</math>. Оно равно <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{red}{9+x^2-3x \sqrt 3 = 3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 1.png|мини|Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>x^2+y^2-xy \sqrt 3</math>. Оно равно <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{blue}{x^2+y^2-xy \sqrt 3= x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 2.png|мини|Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>16+y^2- 4y \sqrt 3</math>. Оно равно <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{green}{16+y^2- 4y \sqrt 3= 4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Рисунок3.png|мини|Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов]] </ol> <code>Теоретическая основа метода</code>: * метод „цепочки треугольников” * тема: «Решение треугольников» м [[Файл:Первичное моделирование.png|мини|Чертёж 1. '''Пятиугольник''']] а [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Методика обучения математике]] 9vnfd7ceybsz8a390sq43od0ztkgs7r 267788 267787 2026-05-21T11:07:11Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Внутрипредметные связи]] в [[Методика обучения математике/Внутрипредметные связи]] 267787 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} == Применение геометрии в курсе алгебры == Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6476|title=Математика в школе|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref>{{Определение|<code>Алгебраизацией геометрии</code> будем называть <u>применение методов алгебры в решении геометрической задачи</u>.|«Алгебраизация геометрии»}}Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «[https://djvu.online/file/bgu56igXIB3gf Геометрия помогает арифметике]» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.{{Определение|<code>Геометризация алгебры</code> есть <u>применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры</u>.|«Геометризация алгебры»}}{{Важное|текст=Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен. Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах. P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.}} Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет '''повторить и систематизировать знания''' обоих предметных областей. === Повторение приёмов работы с задачей === Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.{{Кстати|Приёмы работы после задачи|Приёмы основываются на составлении:|А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами; Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются; В) другого способа решения задачи.}} Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии. == Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией == {| class="wikitable" |+ !Темы по алгебре и началам анализа !Теория по геометрии |- |{{По центру|Вычисление значения алгебраического<ref>В основной школе под '''алгебраическим выражением''' понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.</ref> выражения}} |{{По центру|Подобные треугольники}} |- |{{По центру|Тригонометрия:}} 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство) |1) векторный метод<ref>Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.</ref> 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея<ref>Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.</ref> 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников |- |{{По центру|Алгебраические уравнения, неравенства и их системы:}} 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений |1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод<ref>В данном случае вектор задаётся <u>координатами</u>.</ref> 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников” |- |{{По центру|Сюжетные задачи}} |{{По центру|подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей}} |} == Образцы оформления задач == === Пример 1. Решение уравнения === {{Пример|Решить уравнение :<math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5.</math>}} {{По центру|'''Этап I. Выделение структуры задачи'''}} ''Дано'': <math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5</math>, где <math>\left(x,\, y\right)\in \mathbb {R^2}</math>. ''Найти'': <math>x</math>, <math>y</math>. {{По центру|'''Этап II. Поиск решения, или анализ задачи'''}} <code>Особенности уравнения</code>: оно ''иррациональное'', а также содержит ''две переменные'' (<math>x</math> и <math>y</math>). Решить уравнение <u>сложно</u>, попробуем подойти с геометрической точки зрения. {{По центру|'''Этап III. Выбор метода решения задачи'''}} <code>Признаки выбора теории по геометрии</code>: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов<ref><u>Формулировка</u>: в треугольнике ''сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны''.</ref>.<ol type="a"> <li>Рассмотрим выражение <math>9+x^2-3x \sqrt 3</math>. Оно равно <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{red}{9+x^2-3x \sqrt 3 = 3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 1.png|мини|Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>x^2+y^2-xy \sqrt 3</math>. Оно равно <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{blue}{x^2+y^2-xy \sqrt 3= x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 2.png|мини|Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>16+y^2- 4y \sqrt 3</math>. Оно равно <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{green}{16+y^2- 4y \sqrt 3= 4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Рисунок3.png|мини|Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов]] </ol> <code>Теоретическая основа метода</code>: * метод „цепочки треугольников” * тема: «Решение треугольников» м [[Файл:Первичное моделирование.png|мини|Чертёж 1. '''Пятиугольник''']] а [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Методика обучения математике]] 9vnfd7ceybsz8a390sq43od0ztkgs7r 267790 267788 2026-05-21T11:07:24Z AllaBuraya 79455 267790 wikitext text/x-wiki == Применение геометрии в курсе алгебры == Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6476|title=Математика в школе|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref>{{Определение|<code>Алгебраизацией геометрии</code> будем называть <u>применение методов алгебры в решении геометрической задачи</u>.|«Алгебраизация геометрии»}}Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «[https://djvu.online/file/bgu56igXIB3gf Геометрия помогает арифметике]» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.{{Определение|<code>Геометризация алгебры</code> есть <u>применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры</u>.|«Геометризация алгебры»}}{{Важное|текст=Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен. Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах. P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.}} Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет '''повторить и систематизировать знания''' обоих предметных областей. === Повторение приёмов работы с задачей === Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.{{Кстати|Приёмы работы после задачи|Приёмы основываются на составлении:|А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами; Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются; В) другого способа решения задачи.}} Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии. == Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией == {| class="wikitable" |+ !Темы по алгебре и началам анализа !Теория по геометрии |- |{{По центру|Вычисление значения алгебраического<ref>В основной школе под '''алгебраическим выражением''' понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.</ref> выражения}} |{{По центру|Подобные треугольники}} |- |{{По центру|Тригонометрия:}} 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство) |1) векторный метод<ref>Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.</ref> 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея<ref>Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.</ref> 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников |- |{{По центру|Алгебраические уравнения, неравенства и их системы:}} 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений |1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод<ref>В данном случае вектор задаётся <u>координатами</u>.</ref> 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников” |- |{{По центру|Сюжетные задачи}} |{{По центру|подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей}} |} == Образцы оформления задач == === Пример 1. Решение уравнения === {{Пример|Решить уравнение :<math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5.</math>}} {{По центру|'''Этап I. Выделение структуры задачи'''}} ''Дано'': <math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5</math>, где <math>\left(x,\, y\right)\in \mathbb {R^2}</math>. ''Найти'': <math>x</math>, <math>y</math>. {{По центру|'''Этап II. Поиск решения, или анализ задачи'''}} <code>Особенности уравнения</code>: оно ''иррациональное'', а также содержит ''две переменные'' (<math>x</math> и <math>y</math>). Решить уравнение <u>сложно</u>, попробуем подойти с геометрической точки зрения. {{По центру|'''Этап III. Выбор метода решения задачи'''}} <code>Признаки выбора теории по геометрии</code>: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов<ref><u>Формулировка</u>: в треугольнике ''сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны''.</ref>.<ol type="a"> <li>Рассмотрим выражение <math>9+x^2-3x \sqrt 3</math>. Оно равно <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{red}{9+x^2-3x \sqrt 3 = 3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 1.png|мини|Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>x^2+y^2-xy \sqrt 3</math>. Оно равно <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{blue}{x^2+y^2-xy \sqrt 3= x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 2.png|мини|Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>16+y^2- 4y \sqrt 3</math>. Оно равно <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{green}{16+y^2- 4y \sqrt 3= 4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Рисунок3.png|мини|Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов]] </ol> <code>Теоретическая основа метода</code>: * метод „цепочки треугольников” * тема: «Решение треугольников» м [[Файл:Первичное моделирование.png|мини|Чертёж 1. '''Пятиугольник''']] а [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Методика обучения математике]] o8nq5yewqp8b4lnt5klq5rrpgte18nd 267823 267790 2026-05-21T11:32:07Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267823 wikitext text/x-wiki == Применение геометрии в курсе алгебры == Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6476|title=Математика в школе|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref>{{Определение|<code>Алгебраизацией геометрии</code> будем называть <u>применение методов алгебры в решении геометрической задачи</u>.|«Алгебраизация геометрии»}}Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «[https://djvu.online/file/bgu56igXIB3gf Геометрия помогает арифметике]» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.{{Определение|<code>Геометризация алгебры</code> есть <u>применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры</u>.|«Геометризация алгебры»}}{{Важное|текст=Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен. Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах. P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.}} Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет '''повторить и систематизировать знания''' обоих предметных областей. === Повторение приёмов работы с задачей === Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.{{Кстати|Приёмы работы после задачи|Приёмы основываются на составлении:|А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами; Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются; В) другого способа решения задачи.}} Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии. == Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией == {| class="wikitable" |+ !Темы по алгебре и началам анализа !Теория по геометрии |- |{{По центру|Вычисление значения алгебраического<ref>В основной школе под '''алгебраическим выражением''' понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.</ref> выражения}} |{{По центру|Подобные треугольники}} |- |{{По центру|Тригонометрия:}} 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство) |1) векторный метод<ref>Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.</ref> 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея<ref>Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.</ref> 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников |- |{{По центру|Алгебраические уравнения, неравенства и их системы:}} 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений |1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод<ref>В данном случае вектор задаётся <u>координатами</u>.</ref> 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников” |- |{{По центру|Сюжетные задачи}} |{{По центру|подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей}} |} == Образцы оформления задач == === Пример 1. Решение уравнения === {{Пример|Решить уравнение :<math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5.</math>}} {{По центру|'''Этап I. Выделение структуры задачи'''}} ''Дано'': <math>\sqrt{9+x^2-3x \sqrt 3}+\sqrt{x^2+y^2-xy \sqrt 3}+\sqrt{16+y^2-4y \sqrt 3}=5</math>, где <math>\left(x,\, y\right)\in \mathbb {R^2}</math>. ''Найти'': <math>x</math>, <math>y</math>. {{По центру|'''Этап II. Поиск решения, или анализ задачи'''}} <code>Особенности уравнения</code>: оно ''иррациональное'', а также содержит ''две переменные'' (<math>x</math> и <math>y</math>). Решить уравнение <u>сложно</u>, попробуем подойти с геометрической точки зрения. {{По центру|'''Этап III. Выбор метода решения задачи'''}} <code>Признаки выбора теории по геометрии</code>: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов<ref><u>Формулировка</u>: в треугольнике ''сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны''.</ref>.<ol type="a"> <li>Рассмотрим выражение <math>9+x^2-3x \sqrt 3</math>. Оно равно <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{red}{9+x^2-3x \sqrt 3 = 3^2+x^2-2\cdot 3\cdot x \cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 1.png|мини|Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>x^2+y^2-xy \sqrt 3</math>. Оно равно <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{blue}{x^2+y^2-xy \sqrt 3= x^2+y^2-2\cdot x \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Треугольник 2.png|мини|Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.]] <li>Рассмотрим выражение <math>16+y^2- 4y \sqrt 3</math>. Оно равно <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf\dfrac{\sqrt 3}{2}}</math>, или, что то же самое, <math>4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot {\bf \cos{30^\circ}}</math>.<br>Итак, имеет место равенство <math>\color{green}{16+y^2- 4y \sqrt 3= 4^2+y^2-2\cdot 4 \cdot y\cdot \cos{30^\circ}}</math>. </li>[[Файл:Рисунок3.png|мини|Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов]] </ol> <code>Теоретическая основа метода</code>: * метод „цепочки треугольников” * тема: «Решение треугольников» м [[Файл:Первичное моделирование.png|мини|Чертёж 1. '''Пятиугольник''']] а [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] kjbn3nik34htj0jawkv06cmj1xy305d 0 31015 267604 267297 2026-05-21T08:12:43Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267604 wikitext text/x-wiki {{Готовность|50%}} Ведущая методическая проблема, которая касается тригонометрии, выражается в формировании понятий тригонометрических функций („синус”, „косинус”, „тангенс” и „котангенс”) в соответствии с ''методикой обучения понятий либо методикой обучения действий''. Изучение тригонометрических функций, разумеется, должно начинаться с их определения. Это определение может быть дано многими способами. А именно: как решение некоторого дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию; при помощи степенных рядов; наконец, третье определение — '''геометрическое'''. Это — то определение, которое даётся в школьных учебниках. Оно может иметь различные модификации (например, можно определять тригонометрические функции как отношение сторон прямоугольного треугольника или при помощи тригонометрического круга). Оставляя пока методические соображения, зададимся вопросом: ''являются ли приведённые выше способы определения тригонометрических функций '''равноценными''' с научной точки зрения''? На этот вопрос следует ответить <code>отрицательно</code>: <u>геометрическое определение хуже</u>. Первый недостаток связан с тем, что свойства этих функций ставятся в зависимость от некоторых положений, имеющих место только в евклидовой геометрии; в действительности же ''свойства тригонометрических функций вовсе НЕ зависят от того, какой геометрией мы пользуемся''. Второй недостаток геометрического определения заключается в том, что по этому определению тригонометрические функции являются обязательно ''функциями угла''. Это обстоятельство в глазах школьника отличает тригонометрические функции от всех других функций. Школьник смотрит совсем по-разному на функции <math>\lg{x}</math> и <math>\sin{x}</math>; он понимает, чтó значит логарифм числа, но не понимает, чтó значит синус числа. Даже если углы измеряются в так называемой отвлечённой мере и рассматривается <math>\sin{2}</math>, то всё-таки под этим символом понимается синус ''угла'', равного двум радианам.{{sfn|Бескин|Глава I. Содержание школьного курса тригонометрии: §1. Критика сложившегося школьного курса тригонометрии|с=5—10}} Напомним, что любая методика состоит из '''этапов''' формирования понятий (либо действий). Будем нумеровать так: «Шаг I. ...; Шаг II. ... ». == Шаг I. Тригонометрические функции острого угла == {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Атанасяна{{sfn|Атанасян|Глава VII: §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (66. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника)|с=156}} |Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. | rowspan="2" |Через отношение сторон прямоугольного треугольника | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла) | rowspan="2" |От <math>0^\circ</math> до <math>90^\circ</math> |Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов |Неявно |- |Смирновых{{sfn|Смирнов|Глава II. Тригонометрия (1. Тригонометрические функции острого угла)|с=35—36}} |Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к гипотенузе называется '''''синусом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\sin{A}</math>. Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к гипотенузе называется '''''косинусом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\cos{A}</math>. Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к прилежащему называется '''''тангенсом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\mathrm{tg}\, {A}</math>. Отношение прилежащего к углу <math>A</math> катета к противолежащему называется '''''котангенсом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\mathrm{ctg}\, {A}</math>. |Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, сравнение величин углов, доказательство тождеств, вывод простейших формул приведения для аргументов вида <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>. |Явно оформляется в теореме |} === Подготовительный этап === Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём. === Мотивационный этап === На мотивационном этапе следует внедрять задачи с практическим содержанием, соответствующие субъективному опыту ученику. К этим задачам необходимо вернуться по завершению темы: “Тригонометрические функции острого угла”. Объясняется тем, что учащиеся теперь смогут решить задачи, поставленные вначале указанной темы. === Ориентировочный этап === На этом этапе определения тригонометрических функций даются конструктивно (генетически). Следовательно, основное внимание уделяется формированию ведущих действий: * построение угла по заданным значениям тригонометрических функций; * вычисление значений тригонометрических функций при помощи непосредственных измерений. {{Важное|текст=Функциональная природа выявлена неявно, то есть термин «функция» не используется в определении тригонометрических функций. Почему? Дело в том, что авторы учебников акцентируют внимание учащихся на геометрическом аспекте тригонометрии. А именно её приложении в геометрии, что в основе своей рассматривается в теме: “Решение треугольников”.}} === Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий === ''Под выведением следствий'' понимается доказательство теорем о <u>свойствах тригонометрических функций</u>. Данный этап зависит во многом от учебника. {{Пример| ''Косинусом'' острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла <math>\alpha</math> обозначается так: <math>\cos{\alpha}</math>. Оказывается, что это отношение зависит только градусной меры угла, но не зависит от размеров треугольника и его расположения, т. е. у двух треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны. {{Теорема|'''Косинус угла зависит только от градусной меры угла.'''}} Источник: {{sfn|Погорелов|7 класс: §7. Теорема Пифагора (39. Косинус угла)|с=81}}}} В учебнике А. В. Погорелова написано утверждение в виде теоремы-свойства котангенса, в котором функция (вернее, функциональная природа котангенса) «спрятана», то есть указаны компоненты определения термина “функция” (а именно: <u>зависимость одной величины от другой</u>). Аналогично для синуса, тангенса (и котангенса). Кроме того, в указанной формулировке теоремы «спрятано» свойство, характеризующее саму функцию — свойство монотонности функции. Такое свойство тригонометрической функции позволяет объяснить «устройство» таблиц (например, [[w:Таблицы_Брадиса|таблиц Брадиса]]). === Обучение применению тригонометрических понятий === Этот этап подразумевает: # <code>Непосредственное применение понятий</code> — ''выражение неизвестного элемента треугольника через известное''; # <code>Установление внутрипредметных связей</code> — ''решение прямоугольных треугольников''. {{Совет|Учащимся можно предложить так называемые “неполные задачи”. К задаче в форме вопроса: «Дана гипотенуза. Что нужно знать, чтобы найти синус острого угла?» — ответ «катет» будет ошибочным.}} {{Внимание|На <code>I-м шаге</code> основную нагрузку несёт вычислительная линия. Поэтому следует обратить внимание на совершенствование вычислительных навыков. Частично на этом же этапе реализуется линия тождественных преобразований. Другими словами, ученики также работают с тождественными преобразованиями в задачах по алгебре и геометрии, где применяются начала тригонометрии. Так, представляя по определению тангенс острого угла как отношение противолежащего катета к прилежащему применительно к данному углу в прямоугольном треугольнике, иногда приходится выражать знаменатель указанной дроби, что требует дополнительных усилий в преобразовании равенства. Ещё один момент первого шага связан с пропедевтикой решения тригонометрических уравнений. Пропедевтика заложена в ведущем действии и, следовательно, проявляется в построении углов.}} == Шаг II. Тригонометрические функции угла от <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> == {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Атанасяна{{sfn|Атанасян|Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника: §1. Синус, косинус и тангенс угла (93. Синус, косинус, тангенс)|с=252—252}} |Для любого угла <math>\alpha</math> из промежутка <math>0^\circ\leqslant {\alpha}\leqslant 180^\circ</math> синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината <math>y</math> точки <math>M</math>, а косинусом угла <math>\alpha</math> — абсцисса <math>x</math> точки <math>M</math>. Тангенсом угла <math>\alpha</math> (<math>\alpha\neq 90^\circ</math>) называется отношение <math>\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}</math>. |С помощью координатной плоскости, в которую помещена полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат. | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла) | rowspan="2" |От <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> для синуса и косинуса, а для тангенса исключается угол в <math>90^\circ</math>. |Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, вывод простейших формул приведения для аргументов: * <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>, * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. | rowspan="2" |Неявно |- |Смирновых{{sfn|Смирнов|Глава II. Тригонометрия (9. Тригонометрические функции прямого и тупого углов)|с=45—47}} |Синусом тупого угла <math>A</math> будем называть отношение <math>BC</math> [длины перпендикуляра] к <math>AB</math> [длине наклонной], т. е. <math>\sin{A}=\frac{BC}{AB}</math>. Иначе говоря, синус тупого угла <math>A</math> равен синусу угла, смежного с углом <math>A</math>, т. е. <math>\sin{A}=\sin{\left(180^\circ-A\right)}</math>. Косинусом тупого угла <math>A</math> называют отношение <math>AC</math> [длины проекции наклонной] к <math>AB</math> [длине наклонной], взятое со знаком «минус», т. е. <math>\cos{A}=-\frac{AC}{AB}</math>. Иначе говоря, косинус тупого угла <math>A</math> равен косинусу угла, смежного с углом <math>A</math>, взятым со знаком «минус», т. е. <math>\cos{A}=-\cos{\left(180^\circ-A\right)}</math>. Тангенс и котангенс тупого угла <math>A</math> определяются равенствами <math>\mathrm{tg}\, {A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}</math>, <math>\mathrm{ctg}\, {A}=\dfrac{\cos{A}}{\sin{A}}</math>. |Отношение длины перпендикуляра либо длины проекции наклонной к длине самой наклонной. Также даётся эквивалентная формулировка через смежные углы. |Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, доказательство тождеств, упрощение выражений, вывод простейших формул приведения для аргументов: * <math>90^\circ + \alpha^\circ</math>, * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. Доказательство теоремы синусов и теоремы косинусов. Введение скалярного произведения двух ненулевых векторов в векторной форме записи. |} === Подготовительный этап === Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём. === Мотивационный этап === На мотивационном этапе предлагаются также практикоориентированные задачи либо исторические сведения. К последнему можно отнести такие факты из различных областей знания, где применяется тригонометрия (сферическая геометрия, биология и медицина, география, искусство и архитектура и пр.). === Ориентировочный этап === Аналогично тому, что [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Ориентировочный этап|здесь]]. {{Внимание|Построение углов происходит на '''полуокружности''', поэтому следует помнить следующие обстоятельства: # Расчётное значение <math>0\leqslant \sin{\alpha^\circ}\leqslant 1</math>; # Расчётное значение <math>-1\leqslant \cos{\alpha^\circ}\leqslant 1</math>; # Eсли <math>\sin{\alpha^\circ} = m</math>, где <math>m\in \left[0,1\right]</math>, то в качестве ответа указываются два значения <math>\alpha^\circ</math>; # При переходе от <math> \sin{\alpha^\circ}</math> к <math> \cos{\alpha^\circ}</math> следует помнить, что <math> \cos{\alpha^\circ} = \pm \sqrt{1-\sin^2{\alpha^\circ}}</math>, и в этом случае задача может иметь два решения!}} === Этап выведения следствий (в виде формул) === В частности, доказываются «первые» формулы приведения. Грубо говоря, это тригонометрические функции, аргумент которых имеет вид<ref>Формула, которая „приводит” тригонометрическую функцию, содержащую в качестве аргумента разность <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>, к тригонометрической функции острого угла <math>\alpha^\circ</math>, верна для '''острых углов''', а не тупых. Поэтому её рациональнее давать на <code>I-м шаге</code>.</ref>: * <math>90^\circ + \alpha^\circ</math>; * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. Также изучаются теоремы синусов, косинусов и их следствия. Ведущее действие: <u>решение косоугольных треугольников</u>. == Шаг III. Тригонометрические функции произвольного угла == Ранее эта тема изучалась также в 9-м классе. Найти можно только в учебниках по геометрии с углублённым изучением предмета. Однако потом тему внесли в тригонометрию 10-го класса. На этом шаге выводятся все формулы тригонометрии. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Колягина{{sfn|Колягин и др.|Глава VIII. Тригонометрические формулы: §3. Определение синуса, косинуса и тангенс угла|с=269—271}} |Синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината точки, полученной поворотом точки <math>\left ( 1;\,0 \right )</math> вокруг начала координат на угол <math>\alpha</math> (обозначается <math>\sin{\alpha}</math>). Косинусом угла <math>\alpha</math> называется абсцисса точки, полученной поворотом точки <math>\left ( 1;\,0 \right )</math> вокруг начала координат на угол <math>\alpha</math> (обозначается <math>\cos \alpha</math>). Тангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}</math>). В преобразованиях иногда используется котангенс угла <math>\alpha</math> (и обозначается <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}</math>), который определяется формулой <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}</math>. |С помощью помещённой в координатную плоскость окружности единичного радиуса с центром в начале координат. | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол поворота (мера поворота/вращения). Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. | rowspan="2" |Для синуса и косинуса могут быть любые градусные меры угла поворота, для тангенса исключается величина угла поворота вида <math>90^\circ + 180^{\circ}\cdot n\mid n\in \mathbb{Z}</math>, а для котангенса величина угла поворота (в градусах) принимает все действительные значения, кроме <math>180^{\circ}\cdot t\mid t\in \mathbb{Z}</math>. | rowspan="2" |Решение простейших тригонометрических уравнений, доказательство тождеств, вычисление значений тригонометрических функций, упрощение выражений, решение тригонометрических неравенств, вывод формул приведения | rowspan="2" |Явно, поскольку изучаются свойства функций. |- |Нелина{{sfn|Нелин|Раздел 2. Тригонометрические функции: §3. Тригонометрические функции угла и числового аргумента|с=152—157}} |''Синусом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её радиусу: <math>\sin{\alpha}=\dfrac{y}{R}</math>. ''Косинусом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её радиусу: <math>\cos{\alpha}=\dfrac{x}{R}</math>. ''Тангенсом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её абсциссе: <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}=\dfrac{y}{x}</math> (конечно, при <math>x\neq 0</math>). ''Котангенсом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её ординате: <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}=\dfrac{x}{y}</math> (при <math>y\neq 0</math>). |С помощью помещённой в координатную плоскость окружности произвольного радиуса с центром в начале координат. В частности, рассматривается единичная окружность для упрощения приведённых определений тригонометрических функций. |} {{Задание|Найдите определения тригонометрических функций в учебнике Е. П. Нелина, сформулированные для единичной окружности.}} === Подготовительный этап === Повторить и сформировать понятие “'''угол поворота'''”. Действия, необходимые для формирования этого понятия: # построение на окружности точек, соответствующие углу поворота; # запись угла поворота, соответствующее точкам на окружности. === Мотивационный этап === Данный этап вызван потребностями практики. Необходимо привести примеры из физики. Скажем, уравнения, задающие вращательное движение. === Ориентировочный этап === Аналогично тому, что [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Ориентировочный этап|здесь]]. На этой стадии изучения основная область применения — тождественные преобразования, содержащие тригонометрические функции. Ввести понятие “радиана”. === Этап формирования других свойств === Тут уже изучаются свойства функций: * знаки по четвертям; * чётность/нечётность; * периодичность (неявно, т. е. без введения определения периодичности функции). Обосновываются основные действия над тригонометрическими функциями — так называемые ''формулы тригонометрии''. Перечислим их. ==== Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента ==== Данный блок представляет собой взаимоотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, записанные в виде алгебраических соотношений, или формул. <ol type="I" start="1"> <li>[[w:Основное_тригонометрическое_тождество|Основное тригонометрическое тождество]]: «''Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента постоянна и равна единице''». Символьная формулировка: <math>\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1</math>. Формула доказывается при помощи [[w:Теорема_Пифагора|теоремы Пифагора]]. Из этой формулы выводятся следствия: <li>Квадрат синуса есть разность единицы и квадрата косинуса того же аргумента, т. е. <math>\sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha}</math>. Цель: применение в преобразованиях выражений. </li> <li>Формула <math>\sin{\alpha}=\pm\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}</math>, справедливая для любого аргумента <math>\alpha</math>. Цель: для вычисления тригонометрической функции. </li> <li>Зависимость тангенса и котангенса: «''Произведение тангенса и котангенса одного аргумента постоянно и равно единице''». '''Символьная формулировка''': <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}\cdot\mathrm{ctg}\, {\alpha}=1</math>, кроме аргументов <math>\alpha = 90^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>.</li> <li>Зависимость тангенса и косинуса. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': выражение <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}</math>, где <math>\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>. <br />Доказать, что <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Напишем <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}</math>. || Условие, рефлексивность отношения равенства. |- | '''2''' || Далее <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+ \left[\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\right]^2</math>. || Пункт 1, определение тангенса произвольного угла. |- | '''3''' || Тогда <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+ \dfrac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 2, определение и свойство степени <ref>Квадрат частного двух выражений равен частному квадратов этих выражений</ref>. |- | '''4''' || Теперь получим следующее: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 3, определение дроби, приведение к общему знаменателю числа и дроби. |- | '''5''' || Или: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 4, коммутативный (переместительный) закон сложения. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>, что и требовалось доказать. || Пункт 5, основное тригонометрическое тождество.. |} |}</li> <li>Зависимость котангенса и синуса. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>\alpha \in \mathbb R</math>. <br />Доказать, что <math>1+\mathrm{ctg}^2\, {\alpha}=\dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Напишем <math>\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1</math>. || Условие, основное тригонометрическое тождество. |- | '''2''' || Далее <math> \left.\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \;\right\vert : \sin^2{\alpha} \neq 0</math>. || Пункт 1, определение и свойство тождественного равенства, определения ОДЗ выражения и равносильного перехода на некоторой области. |- | '''3''' || Тогда <math>\dfrac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункт 2, равносильный переход на области. |- | '''4''' || Теперь получим следующее: <math>\dfrac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}+\dfrac{\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункт 3, определение и свойство алгебраической дроби. |- | '''5''' || Или: <math>1+\left[\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\right]^2 = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункты 2 и 4, основное свойство дроби, определение и свойство степени. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>1+\mathrm{ctg}^2\, {\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>, которое выполняется при <math>\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>. || Пункт 5, определение котангенса произвольного угла. |} |}</li> <li>Определения секанса и косеканса произвольного угла, следствия из определений. </ol> ==== Блок Б. Формулы сложения и вычитания ==== {{Смотрите также| *[[Внутрипредметные связи#Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией|Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией]]. *[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D0%B8%D0%BB%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B5.pdf Теоремы сложения и разности двух аргументов].}} ==== Блок В. Формулы двойного аргумента ==== ==== Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций ==== ==== Блок Д. Произведение тригонометрических функций ==== ==== Блок Е. Формулы приведения ==== '''Блок Ё. Введение вспомогательного аргумента''' === Методы доказательства тождеств и неравенств === Поскольку на этапе формирования других <code>III</code>-го шага речь идёт о выведении следствий, то формируются умения, входящие в '''метод тождественных преобразований'''. <code>Компоненты метода</code>: перенос общих приёмов тождественных преобразований алгебраических выражений на тригонометрические. Поэтому свойства введённых тригонометрических функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений. Так, необходимо прояснить, какие и{{Ударение}}менно преобразования дети могут выполнять, чтобы не случались '''ошибки''' вроде этой: <math>\operatorname{ctg}{x}+\mathrm{ctg}\,{4x} = \operatorname{ctg}{5x}</math>. Если введены новые понятия, то появляются и новые операции над ними. О правилах действий над понятиями «говорят» формулы, которые необходимо раз за разом отрабатывать! ==== Доказательство непосредственной проверкой ==== ==== На основании определения равных числовых выражений ==== ==== Метод нисходящего и восходящего анализа ==== ==== Метод «от противного» ==== <u><code>Суть</code></u>: ''предполагаем, что требование неверно и после преобразований получаем противоречие с условием либо с истинным неравенством.'' == Шаг IV. Тригонометрические функции числового аргумента == === Подготовительный этап === Повторить предыдущие определения и все свойства функций. === Мотивационный этап === Тут обращаем внимание школьников на область определения аргумента. На предыдущих шагах область определения аргумента — это множества, обладающие размерностью [градусное исчисление угловых мер]. Также предлагаем задачи с практическим содержанием. Подводим детей к гармоническим колебаниям как к внутренней потребности математики. === Ориентировочный этап === На этом этапе ведущие действия: * построение точек, углов и графиков; * вычисление значений тригонометрических функций. Формируем понятия: ордината и абсцисса точки. {{Внимание|Важно разрушить представление об измерении аргументов, то есть аргумент принимает не только значения градусных мер, но и любые другие величины. Например, под знаком тригонометрической функции может стоять параметр, пробегающий временны́е значения.}} === Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий === # Исследование и построение графиков функций; # Решение уравнений, неравенств и их систем (предварительно введя арк-функции). === Методы решения тригонометрических уравнений === Метод появляется тогда, когда уравнение не сводится к простейшему (линейное, квадратное и сводящееся к ним). Напомним некоторые методы решения уравнений в алгебре: # Разложение на множители # Замена переменной # Переход # Функциональный # Графический Для каждого метода можно выделить его формы и способы реализации. ==== Простейшие тригонометрические уравнения (ПТУ) ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |ПТУ и сводящиеся к ним |По определению, используя тригонометрическую окружность (построение точек и применение определения тригонометрчиеской функции) | |- |Графический (построение графика функции) | |- |По формулам (общая формула корней соответствующего тригонометрического уравнения) | |- |<math>k\cdot f\left(x\right)=m</math> |Решение линейного уравнения относительно <math>f\left(x\right)</math>, а затем соответствующего тригонометрического | |- |<math> f\left(ax+b\right)=m</math>, <math> f\left(x^2\right)=m</math> |Решение соответствующего тригонометрического уравнения, а затем алгебраического |<math>\cos{\left ( 3x+\dfrac{\pi}{4} \right )}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math> |- | rowspan="2" |<math>f^2\left(x\right)=m,\,m>0</math> |Формулы понижения степени и решение уравнение, сводящееся к ПТУ относительно нового аргумента<ref>Понижая степень, мы получаем одно тригонометрическое уравнение и сразу же объединённые корни.</ref> |<math>\sin^2{x}=\dfrac{1}{4}</math>, т. к. <math>\dfrac{1-\cos{2x}}{2}=\dfrac{1}{4}</math> |- |Решение квадратного уравнения относительно <math>f\left(x\right)</math>, а далее решить ПТУ<ref>Если мы решаем уравнение как квадратное, то на выходе придётся решать два тригонометрических уравнения, объединённых квадратной скобкой. К тому же, будем иметь два семейства корней, которые дополнительно надо объединять. И не обязательно, что явятся нам табличные значения тригонометрических функций!!!</ref> |<math>\sin^2{x}=\dfrac{1}{4}</math>, т. к. <math>\sin^2{x}-\dfrac{1}{4}=0</math> |} ==== Метод замены переменной ==== <u><code>Суть метода замены</code></u>: ''сведение к одноимённой тригонометрической функции одного аргумента''. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- |Алгебраические уравнения относительно одноимённой тригонометрической функции одного аргумента. А также уравнения к ним сводящиеся |Решение соответствующего алгебраического уравнения, а затем решение ПТУ. |<math>\sin^2{x}-5\cos{x}+1=0</math> |- | rowspan="2" |Однородные уравнения<ref>{{Определение|Уравнение называется <code>однородным</code>, если все его члены имеют одну и ту же степень.|1}}{{Определение|<code>Однородным тригонометрическим уравнением</code> <math>n</math>-й степени называется уравнение вида <math>A_{0}\sin^{n}{x} + A_{1}\sin^{n-1}{x}\cos{x} + A_{2}\sin^{n-2}{x}\cos^{2}{x} + \ldots + A_{n}\cos^{n}{x}=0.</math>|2}}</ref> (I, II и III степени) относительно синуса и косинуса, а также к ним сводящиеся: * <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=c</math>; * <math>a\cdot\sin^2{x}+b\cdot\sin{x}\cdot\cos{x}+c\cdot \cos^2{x}=d</math> |Сведение к тангенсу и котангенсу, а затем решение ПТУ | |- |Для уравнения <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=c</math> вводим вспомогательный аргумент (например, <math>\varphi = \mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}</math>) и используем формулу <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left\{x+\mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}\right\}</math>. Получаем уравнение <math>\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left\{x+\mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}\right\} = c</math>.{{Совет|Также можно решать сведением к однородному уравнению II-й степени, переходя к половинному аргументу. Теоретическая база: основное тригонометрическое тождество, формулы синуса и косинуса двойного аргумента.}} | |- |Уравнения, содержащие одновременно сумму (разность) и произведение синуса и косинуса, т. е. они имеют вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm \cos{x},\; \sin{x}\cdot \cos{x} \right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных. |Заменой (подстановкой) <math>t=\sin{x}\pm \cos{x}</math> сводится к рациональному уравнению <math>\mathcal{R}\left ( t,\; \pm\dfrac{t^2-1}{2} \right) = 0</math>. Тем самым решается квадратное уравнение относительно <math>t</math>, далее решается уравнение вида <math>\sin{x}\pm \cos{x} = t_{1,2}</math>, где <math>t_{1,2}</math> — корни квадратного уравнения. |<math>3\left ( \sin{x} + \cos{x} \right ) + 2\sin{x} \cos{x}+1 =0</math><math>\dfrac{1}{\cos{x}}-\dfrac{1}{\sin{x}} + \dfrac{1}{\sin{x}\cdot \cos{x}} = 4</math> |- |Уравнения, содержащие одновременно сумму синуса и косинуса и синус двойного аргумента, т. е. они имеют вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm\cos{x},{\;} \sin{2x}\right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных. |Заменой (подстановкой) <math>t=\sin{x}\pm\cos{x}</math> сводится к рациональному уравнению <math>\mathcal{R}\left ( t,{\;} {\pm}\left[{t^2-1}\right] \right) = 0</math>. Тем самым решается квадратное уравнение относительно <math>t</math>, далее решается уравнение вида <math>\sin{x}\pm \cos{x} = t_{1,2}</math>, где <math>t_{1,2}</math> — корни квадратного уравнения. |<math>2\left ( 1- \sin{2x} \right ) - 5\left ( \sin{x} - \cos{x} \right ) + 3 = 0</math><ref>Можно применить эвристическое соображение: «Если для объектов <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> найдутся такие ненулевые числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, что выполняется равенство <math>\alpha A + \beta B = \left(\alpha + \beta \right)C</math>, тогда <math>A=B=C</math> либо же <math>\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{C-B}{A-C}</math> (<math>\alpha \neq \beta</math>)», в истинности которого несложно убедиться.</ref> |- | rowspan="2" |Уравнения, содержащие различные тригонометрические функции одного и того же аргумента |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента|Блока А]]. |<math>2\left ( \cos^4{x} - \sin^{4}{x} \right )=1</math> |- |Использование '''универсальных тригонометрических подстановок''' ('''УТП''').{{Внимание|Применение УТП часто приводит к достаточно сложным алгебраическим уравнениям. Поэтому её используют только в том случае, когда нет других методов решения тригонометрического уравнения.}} |<math>\cos{x}+\dfrac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=1</math> |- |Уравнения, содержащие одноимённые тригонометрические функции от разных аргументов |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] и [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Д. Произведение тригонометрических функций|Блока Д]]. |<math>\cos 3x + \cos x = 0,2</math><math>\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x = 0</math><math>\cos {x} \cos{3x} = \cos{5x} \cos {7x}</math> |- |Уравнения, содержащие разноимённые тригонометрические функции от разных аргументов |Использование '''УТП'''. В общем случае, это применение формул тригонометрии. |<math>3\sin{2x}-\cos{2x}-2\mathrm{tg}\, {x} + 5\mathrm{ctg}\, {x} = 4</math> |} {{Вопрос|Какие формулы нужно применить, чтобы уравнения вида <math>\mathcal{F}\left(\sin{t};\,\cos^{2}{t}\right)=0</math> и <math>\mathcal{F}\left(\operatorname{tg}\,{t};\,\operatorname{ctg}\,{t}\right)=0</math> свести к квадратному тригонометрическому уравнению?}} Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений. {{Важное|Если в уравнение неизвестная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с неизвестной обозначить одной буквой (новой переменной)}} {{Пример|Решите уравнение <math>2\sin^2{x}- 7\sin{x}+3=0</math>. {{Комментарий}} Анализируя вид этого уравнения, замечаем, что в его запись входит только одна тригонометрическая функция <math>\sin x</math>. Поэтому удобно ввести новую переменную <math>t \rightleftharpoons\sin x</math>. После решения квадратного уравнения необходимо выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения.<ref>'''Замечание'''. Записывая решение данного примера, можно при введении замены <math>t \rightleftharpoons\sin x</math> учесть, что <math>\left\vert \sin x \right\vert \leqslant 1</math>, и записать ограничения <math>\left\vert t \right\vert \leqslant 1</math>, а далее заметить, что один из корней <math>t = 3</math> не удовлетворяет неравенству <math>\left\vert t \right\vert \leqslant 1</math>, и после этого обратную замену выполнять только для <math>t = \dfrac{1}{2}</math>.</ref> '''Ответ:''' <math>\left \{ \left .\left ( -1 \right )^{n}\dfrac{\pi}{6} + \pi n\;\right\vert\,n\in \mathbb{Z} \right \}</math>.}} Решим следующую задачу разными приёмами. {{Задача| <math>\cos{x}+\sin{x}=0</math>.|<code>Приём 1</code>: применение основного тригонометрического тождества (ОТТ). Компоненты: # Выразить <math>\cos{x}</math> через <math>\sin{x}</math>. # Уединить радикал <math>\pm\sqrt{1-\sin^2{x}}</math>. # Возвести в квадрат полученное уравнение. # Привести подобные члены. # Решить уравнение: <math>\cos^2{x}=\dfrac{1}{2}</math>. # Проверить подстановкой в исходное (учёт появления посторонних корней, поскольку попутно было решено уравнение <math>\cos{x}=\sin{x}</math>). <code>Приём 2</code>: применение формулы синуса двойного аргумента. Компоненты: # Написать формулу <math>\sin{2x}=\left(\cos{x}+\sin{x}\right)^2-1</math>. # Воспользоваться условием <math>\cos{x}+\sin{x}=0</math>, то есть подставить значение суммы, равное нулю, в формулу. # Решить уравнение: <math>\sin{2x}=-1</math> <code>Приём 3</code>: применение определения и свойства ОТУ I-й степени. Компоненты: # Распознать ОТУ I-й степени. # Перенести <math>\cos{x}</math> либо <math>\sin{x}</math> в одну часть равенства. # Разделить уравнение на <math>\cos{x}</math> либо <math>\sin{x}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\operatorname{tg}\,{x} = -1</math> либо <math>\operatorname{ctg}\,{x} = -1</math>. <code>Приём 4</code>: применение УТП. Компоненты: # Вместо <math>\cos{x}</math> и <math>\sin{x}</math> подставить выражения <math>\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}{1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}</math> и соответственно <math>\dfrac{2\operatorname{tg}\,{\dfrac{x}{2}}}{1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}</math>. # Учесть ОДЗ переменной <math>x \neq \pi +2\pi k</math>, где <math>k\in \mathbb Z</math>. # Умножить полученное уравнение на <math>1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}} \neq 0</math>. # Решить квадратное тригонометрическое уравнение: <math>-\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}} + 2\operatorname{tg}\,{\dfrac{x}{2}} +1= 0</math>. <code>Приём 5</code>: применение формулы дополнительных аргументов<ref>{{Определение|Два аргумента называют <code>дополнительными</code>, если их сумма равна <math>\dfrac{\pi}{2}</math>.}} Так, аргументы <math>{x}</math> и <math>\dfrac{\pi}{2} - {x}</math> являются дополнительными друг к другу. Дополнительные аргументы обладают следующим свойством.{{Теорема|Взаимные кофункции дополнительных аргументов равны между собой.}} Также можно доказать, что '''сумма одноимённых тригонометрических функций дополнительных аргументов <math>{x}</math> и <math>\dfrac{\pi}{2} - {x}</math> всегда выражается через <math>\sin{2x}</math>'''.</ref> (частный случай формулы приведения), формулы суммы косинусов двух аргументов. Компоненты: # Вместо <math>\sin{x}</math> подставить выражение <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}</math>. # Воспользоваться формулой <math>\cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2\cos{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}</math>. # Разделить полученное уравнение на <math>2\cos{\dfrac{\pi}{4}}</math>. # Решить ПТУ: <math>\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)} = 0</math>. <code>Приём 6</code>: применение определения синуса и косинуса некоторого аргумента, нечётности синуса. Компоненты: # Уединить <math>\cos{x}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\cos{x} = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Нарисовать тригонометрическую окружность. # Применить определения синуса и косинуса. # Получить на окружности две точки, для которых выполняется требуемое равенство. # Записать аналитически семейство этих решений. <code>Приём 7</code>: применение формулы косинуса разности (либо же синуса суммы). Компоненты: # „Домножить” обе части исходного равенства на <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x}=0</math>. # Воспользоваться табличными значениями для синуса и косинуса от аргумента <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # «Свернуть» либо по формуле <math>\cos{\alpha - \beta} = \cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}</math>, либо по формуле <math>\sin{\alpha + \beta} = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)} = 0</math> либо <math>\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)} = 0</math>. <code>Приём 8</code>: применение формулы введения вспомогательного аргумента. Компоненты: # Применить одну из формул: <math>\cos{x} +\sin{x}= \sqrt{2}\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}</math> либо <math>\cos{x} +\sin{x}= \sqrt{2}\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}</math>. # Заменить левую часть на выражение, стоя́щее в правой части одной из формул. # Разделить обе части уравнения на <math>\sqrt{2}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}= 0</math> либо <math>\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)} = 0</math>. <code>Приём 9</code>: построение графиков функций <math>y = \cos{x}</math> и <math>y =\sin{\left(-x\right)}</math>. Компоненты: # Уединить <math>\cos{x}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\cos{x} = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Построить графики функций <math>y = \cos{x}</math> и <math>y = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Пересечение обоих графиков даст искомые решения, указать их. # Записать аналитически семейство этих решений. <code>Приём 10</code>: применение МЗФ функций синуса и косинуса. Компоненты: # Воспользоваться тем, что <math>\cos{x} \in \left[-1,\,1\right]</math> и <math>\sin{x} \in \left[-1,\,1\right]</math>. # А также вспомнить, что обе функции одновременно не обращаются в нуль ни при каком аргументе (проверьте!). # Так как по модулю <math>\cos{x}</math> равен <math>\sin{x}</math>, то их квадраты равны. # Поэтому <math>\cos^2{x} + \sin^2{x} = 2\cdot \cos^2{x} =1</math>, т. е. <math>\left\vert\cos{x}\right\vert = \left\vert\sin{x}\right\vert =\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # Следовательно, <math>\begin{cases} \cos{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}</math> либо же <math>\begin{cases} \cos{x} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}</math>. # Решить совокупность двух систем уравнений. # Записать аналитически семейство этих решений. '''Ответ:''' <math>\left \{ \left .-\dfrac{\pi}{4} + \pi n\;\right\vert\,n\in \mathbb{Z} \right \}</math>. }}{{Задание|Рассортировать все приёмы, которые описаны в задаче, по методам решения.}} Переходим ко второму довольно известному методу. ==== Метод разложения на множители ==== <u><code>Суть метода разложения на множители</code></u>: ''исходное уравнение привести к виду <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )\cdot \ldots \cdot f_{n}\left ( x \right )=0</math>''. Решение таких уравнений основано на следующем теоретическом положении. {{Правило в рамке/Алгебра|текст=Если левая часть уравнения является произведением нескольких сомножителей, а правая часть равна нулю, то корнями такого уравнения служат те и только те значения неизвестной, при которых обращается в нуль хотя бы один из сомножителей, но ни один из остальных НЕ теряет числового смысла.}} Это положение подчёркивает важность предварительного нахождения ОДЗ неизвестной.{{sfn|Абрамович, Стародубцев|Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства: §1. Уравнения|с=98—99}} {{Теорема|Уравнение <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )=0</math> равносильно совокупности двух систем <math>\begin{cases} f_{1}\left ( x \right ) = 0,\\ x\in \mathcal{D}_{f_{2}} \end{cases}</math> и <math>\begin{cases} f_{2}\left ( x \right ) = 0,\\ x\in \mathcal{D}_{f_{1}} \end{cases}</math>.}}Другими словами, множество решений уравнения <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )=0</math> есть объединение множеств решений двух вышенаписанных систем. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |Разложение на множители при помощи приёмов алгебры |Вынесение общего множителя<ref>''Теоретическая основа'' приёма: '''распределительный закон умножения'''.</ref> |<math>2\color{brown}\cos^2{x}\color{black}- \color{brown}{\cos x}\color{black} \cdot \sin x = 0</math> |- |Группировка слагаемых |<math>\color{red}1\color{black}-{\sin{x}}\cdot \color{blue}{\cos{x}}\color{black} +\color{black}\color{red}\sin{x}\color{black} - \color{blue}{\cos{x}}\color{black}=0</math><ref>'''''Другой метод'''''. Применение подстановки, так как уравнение имеет вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm \cos{x},\; \sin{x}\cdot \cos{x} \right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных.</ref> |- |Формулы сокращённого умножения | |- | rowspan="2" |Разложение на множители при помощи формул тригонометрии |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] |<math>2\sin{17x}+\sqrt{3}\cos{5x}+\sin{5x}=0</math>, т. к. <math>\sin{17x}+\sin{\left\{5x+\dfrac{\pi}{3}\right\}}=0</math> |- |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Е. Формулы приведения|Блока Е]] |<math>\sin{5x}+\cos{x}=0</math>, т. к. <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-5x\right)}+\cos{x} = 0</math> |- |Комбинация алгебры и тригонометрии |Формулы из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок В. Формулы двойного аргумента|Блока В]], [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] и [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Е. Формулы приведения|Блока Е]] |<math>3\sin{2x}+\cos{x}=0</math>, т. к. <math>\cos{x}\left(6\sin{x}+1\right)=0</math> |} {{Пример|Решите уравнение <math>\operatorname{tg}^3{2x}- \operatorname{tg}\,{2x}=0</math>. {{Комментарий}} В заданное уравнение переменная входит только в виде <math>\operatorname{tg}\,{2x}</math>. Необязательно вводить новую переменную, а достаточно разложить на множители левую часть методами алгебры: определение и вынесение общего множителя, формула разности квадратов. Ответ записывается трёхточечным множеством.}} {{Пример|Решите уравнение <math>\sin{7x} = \sin{5x}</math>. {{Комментарий}} Достаточно трудно все тригонометрические функции в этом уравнении привести к одному аргументу. В таком случае приходится ''переносить все члены уравнения в одну сторону и пробовать получить произведение, равное нулю''. Для этого воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: :<math>\sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \sin{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}.</math> ''Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл''. В данном случае все данные и полученные выражения имеют смысл на всём множестве действительных чисел. В конце учитываем, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений <math>\sin{x} = 0</math> или <math>\cos{6x} = 0</math>, и поэтому в ответе должны быть записаны все корни каждого из этих уравнений.}} {{Пример|Решите уравнение <math>\sin{x} + \sin{3x}= \sin{4x}</math>. {{Комментарий}} Сразу ''переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, которое равно нулю''. Для этого применим формулу преобразования суммы синусов, стоя́щей в левой части уравнения, в произведение: :<math>\sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}</math> :(учтём, что <math>\cos {\left(-x\right)} = \cos{x}</math>). Для того чтобы вынести какое-то выражение за скобки и получить произведение, достаточно записать <math>\sin{4x}</math> как синус двойного аргумента (тогда за скобки выносится <math>\sin{2x}</math>). ''Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл''. Во втором из полученных уравнений преобразуем разность косинусов в произведение. действительных чисел. В конце учитываем, что все данные и полученные выражения существуют на всём множестве действительных чисел. Таким образом, данное уравнение на этом множестве равносильно совокупности уравнений: <math>\sin{2x} = 0</math>, или <math>\sin{\dfrac{3x}{2}} = 0</math>, или <math>\sin{\dfrac{x}{2}} = 0</math>, и поэтому в ответ необходимо записать все корни каждого из этих уравнений.<ref>'''Замечание'''. Запись ответа можно сократить. Так, если изобразить все найденные решения на единичной окружности, то можно увидеть, что решение <math>x=2\pi k</math> даёт те же точки, что и формула <math>x=\dfrac{\pi n}{2}</math> при <math>n</math>, кратном <math>4</math> (<math>n=4k</math>), или формула <math>x=\dfrac{2\pi m}{3}</math> при <math>m</math>, кратном <math>3</math> (<math>m = 3k</math>). Таким образом, формула <math>x=2\pi k</math> не даёт новых корней в сравнении с формулами <math>x=\dfrac{\pi n}{2}</math> или <math>x=\dfrac{2\pi m}{3}</math>, и поэтому ответ может быть записан в виде только двух последних формул. Но такое сокращение ответа не является обязательным.</ref>}} Рассмотрим следующий мтеод. ==== Метод перехода ==== <u><code>Суть метода перехода</code></u>: ''переход от равенства, связывающему функции, к равенству, связывающему аргументы этих функций''. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |Уравнение вида <math>\mathcal{F}\left(A\right)=\mathcal{F}\left(B\right)</math> |Аркфункции |<math>\sin{A}=\sin{B}</math> |- |ПТУ |<math>\mathrm{tg}\,{x}=-\sqrt{3}</math> |- |По “готовой” формуле |<math>\sin{A}=\sin{B}</math> |} Зачастую уравнение можно решать разложением на множители, а не методом перехода. ==== Функциональный метод ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="5" |Использование свойств функции |Область определения функции | |- |Множество значений функции | |- |Ограниченность функции (метод мажорант<ref>{{Определение|<code>Мажорантой</code> данной функции <math>f\left ( x \right )</math> на множестве <math>\mathcal{P}</math> (или множества <math>\mathcal{A}</math> чисел) называется такое число <math>\mathcal{M}</math>, что либо <math>f\left ( x \right )\leqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in \mathcal{P}</math>, либо <math>f\left ( x \right )\geqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in \mathcal{P}</math> (соответственно, <math>x\leqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x</math> из <math>\mathcal{A}</math>, или <math>x\geqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in\mathcal{A}</math>).}} Например, любое число, большее или равное <math>1</math>, будет мажорантой для функций <math>\sin x</math> и <math>\cos x</math> на любом множестве. <code>Суть метода мажорант</code>: если для функций <math>f\left ( x \right )</math> и <math>g\left ( x \right )</math> уравнения <math>f\left ( x \right ) = g\left ( x \right )</math> существует такое число <math>\mathcal{M}</math>, что для любого <math>x</math> из области определения <math>f\left ( x \right )</math> и <math>g\left ( x \right )</math> имеем <math>f\left ( x \right )\leqslant\mathcal{M}</math> и <math>g\left ( x \right )\geqslant\mathcal{M}</math>, тогда уравнение <math>f\left ( x \right ) = g\left ( x \right )</math> эквивалентно системе <math>\begin{cases} f\left ( x \right ) = \mathcal{M},\\ g\left ( x \right ) = \mathcal{M}.\end{cases}</math></ref>) |<math>\cos{2x}+\cos{x}=2</math>, т. к. <math>\forall \theta \in \mathbb{R}: \cos{\theta} \leqslant 1</math> <math>\sin{x}\sin{5x}=1</math> |- |Монотонность функции | |- |Отсутствие решений (вообще либо на промежутке) | |} ==== Графический метод ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- |Слева и справа от знака равенства разные функции по природе |Построение двух графиков функций на одной координатной плоскости |<math>\mathrm{ctg}\,{x}=\log_2{x}</math>, т. к. можно рассмотреть графики функций <math>y=\mathrm{ctg}\,{x}</math> и <math>y=\log_2{x}</math> |} === Методы решения тригонометрических неравенств === Данный тип задача частично содержит методы решения тригонометрических уравнений и пополняется новым списком методов. Например, геометрический метод. == Задания == {{Задание|Проанализировать тригонометрические формулы выбранного учебника по схеме, представленной в таблице ниже. }} {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+Пример оформления !Тригонометрическая формула !Наличие/отсутствие доказательства !Метод доказательства |- |Косинус разности аргументов |Имеется |Векторный метод |- |Косинус суммы аргументов |Да |Метод тождественных преобразований |- |Сумма синусов двух аргументов |Есть |Метод тождественных преобразований |- |Формула введения вспомогательного аргумента через синус |Доказывается, применяя лемму |Лемма: координатный. Формула: тождественные преобразования<ref>''Другой способ доказательства'' базируется на '''методе “цепочки треугольников”''' (в частности, <u>метод “ключевого” треугольника</u>) и '''методе тождественных преобразований''' выражений. То есть рассматривается прямоугольный треугольник с заданными катетами. Далее легко получить длину гипотенузы, а затем вынести «общий» множитель в виде радикала суммы квадратов катетов из выражения <math>a\sin{x} + b\cos{x}</math>. Получим <math>a\sin{x} + b\cos{x} = \sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x} + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}\right)</math>. Применяем определения синуса либо косинуса острого угла прямоугольного треугольника (введение угла). Наконец, по формула синуса суммы либо косинуса разности соответственно сворачиваем.</ref>{{sfn|Нелин_геометрия_10|Раздел 1. Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии : §1. Логическое построение школьного курса планиметрии (1.2. Методы решения планиметрических задач)|с=17}} |- |Формула введения вспомогательного аргумента через косинус | colspan="2" |{{По центру|Таковая не упоминается вовсе.}} |- |{{По центру|...}} |{{По центру|...}} |{{По центру|...}} |} == Примечания == {{примечания}} == Литература == * {{книга | автор = [[w:Бескин, Николай Михайлович|Бескин Н. М.]] | место = М. | издательство = Учпедгиз | год = 1950 | страниц = 140 | ref = Бескин |заглавие=Вопросы тригонометрии и её преподавания }} * {{книга | автор = [[w:Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]], [[w:Бутузов, Валентин Фёдорович|Бутузов В. Ф.]], [[w:Кадомцев, Сергей Борисович|Кадомцев С. Б.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2008 | страниц = 384 | isbn = 978-5-7853-0953-1 | ref = Атанасян |издание=18-е изд |заглавие=Геометрия, 7—9: учеб. для обшеобразоват. учреждений |тираж=3 735 000 }} * {{книга | автор = [[w:Смирнов, Владимир Алексеевич|Смирнов В. А.]], [[w:Смирнова, Ирина Михайловна|Смирнова И. М.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2022 | страниц = 176 | isbn = 978-5-09-093187-8 | ref = Смирнов |издание=2-е изд., стер |заглавие=Геометрия: 9-й класс : учебник |тираж=300 }} * {{книга | автор = [[w:Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 1988 | страниц = 303 | isbn = | ref = Погорелов |издание=7-е изд |заглавие=Геометрия: Учеб. пособие для 6—10 кл. сред. шк. |тираж=3 735 000 }} * {{книга | автор = [[w:Колягин, Юрий Михайлович|Колягин Ю. М.]], Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2011 | страниц = 368 | isbn = 978-5-09-025401-4 | ref = Колягин и др. |издание=4-е изд |заглавие=Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни |тираж=40 000 |ссылка=https://file.11klasov.net/1388-algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-klass-bazovyy-i-prof-urovni-kolyagin-yum-i-dr.html}} * {{книга | автор = [[w:Нелин, Евгений Петрович|Нелин Е. П.]], Лазарев В. А. | место = М. | издательство = Илекса | год = 2011 | страниц = 480 | isbn = 978-5-89237-336-4 | ref = Нелин |заглавие=Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни |тираж=5 000 }} * {{книга | автор = [[w:Нелин, Евгений Петрович|Нелин Е. П.]] | место = Х. | издательство = Гимназия | год = 2010 | страниц = 240 | isbn = 978-966-474-100-9 | ref = Нелин_геометрия_10 |заглавие= Геометрия : двухуров. учеб. для 10-го кл. общеобразоват. учеб. заведений : академ. и профил. уровни |тираж=3 000 }} * {{книга | автор = {{nobr|Абрамович М. И.}}, {{nobr|Стародубцев М. Т.}} | место = М. | издательство = Высшая школа | год = 1976 | страниц = 304 | ref = Абрамович, Стародубцев |заглавие= Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учеб. пособие для подготовит. отделений втузов |тираж=280 000 }} fgide8u68zbl1m90h3bevex95n86geh 267605 267604 2026-05-21T08:12:58Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267605 wikitext text/x-wiki {{Готовность|50%}} Ведущая методическая проблема, которая касается тригонометрии, выражается в формировании понятий тригонометрических функций („синус”, „косинус”, „тангенс” и „котангенс”) в соответствии с ''методикой обучения понятий либо методикой обучения действий''. Изучение тригонометрических функций, разумеется, должно начинаться с их определения. Это определение может быть дано многими способами. А именно: как решение некоторого дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию; при помощи степенных рядов; наконец, третье определение — '''геометрическое'''. Это — то определение, которое даётся в школьных учебниках. Оно может иметь различные модификации (например, можно определять тригонометрические функции как отношение сторон прямоугольного треугольника или при помощи тригонометрического круга). Оставляя пока методические соображения, зададимся вопросом: ''являются ли приведённые выше способы определения тригонометрических функций '''равноценными''' с научной точки зрения''? На этот вопрос следует ответить <code>отрицательно</code>: <u>геометрическое определение хуже</u>. Первый недостаток связан с тем, что свойства этих функций ставятся в зависимость от некоторых положений, имеющих место только в евклидовой геометрии; в действительности же ''свойства тригонометрических функций вовсе НЕ зависят от того, какой геометрией мы пользуемся''. Второй недостаток геометрического определения заключается в том, что по этому определению тригонометрические функции являются обязательно ''функциями угла''. Это обстоятельство в глазах школьника отличает тригонометрические функции от всех других функций. Школьник смотрит совсем по-разному на функции <math>\lg{x}</math> и <math>\sin{x}</math>; он понимает, чтó значит логарифм числа, но не понимает, чтó значит синус числа. Даже если углы измеряются в так называемой отвлечённой мере и рассматривается <math>\sin{2}</math>, то всё-таки под этим символом понимается синус ''угла'', равного двум радианам.{{sfn|Бескин|Глава I. Содержание школьного курса тригонометрии: §1. Критика сложившегося школьного курса тригонометрии|с=5—10}} Напомним, что любая методика состоит из '''этапов''' формирования понятий (либо действий). Будем нумеровать так: «Шаг I. ...; Шаг II. ... ». == Шаг I. Тригонометрические функции острого угла == {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Атанасяна{{sfn|Атанасян|Глава VII: §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (66. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника)|с=156}} |Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. | rowspan="2" |Через отношение сторон прямоугольного треугольника | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла) | rowspan="2" |От <math>0^\circ</math> до <math>90^\circ</math> |Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов |Неявно |- |Смирновых{{sfn|Смирнов|Глава II. Тригонометрия (1. Тригонометрические функции острого угла)|с=35—36}} |Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к гипотенузе называется '''''синусом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\sin{A}</math>. Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к гипотенузе называется '''''косинусом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\cos{A}</math>. Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к прилежащему называется '''''тангенсом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\mathrm{tg}\, {A}</math>. Отношение прилежащего к углу <math>A</math> катета к противолежащему называется '''''котангенсом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\mathrm{ctg}\, {A}</math>. |Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, сравнение величин углов, доказательство тождеств, вывод простейших формул приведения для аргументов вида <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>. |Явно оформляется в теореме |} === Подготовительный этап === Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём. === Мотивационный этап === На мотивационном этапе следует внедрять задачи с практическим содержанием, соответствующие субъективному опыту ученику. К этим задачам необходимо вернуться по завершению темы: “Тригонометрические функции острого угла”. Объясняется тем, что учащиеся теперь смогут решить задачи, поставленные вначале указанной темы. === Ориентировочный этап === На этом этапе определения тригонометрических функций даются конструктивно (генетически). Следовательно, основное внимание уделяется формированию ведущих действий: * построение угла по заданным значениям тригонометрических функций; * вычисление значений тригонометрических функций при помощи непосредственных измерений. {{Важное|текст=Функциональная природа выявлена неявно, то есть термин «функция» не используется в определении тригонометрических функций. Почему? Дело в том, что авторы учебников акцентируют внимание учащихся на геометрическом аспекте тригонометрии. А именно её приложении в геометрии, что в основе своей рассматривается в теме: “Решение треугольников”.}} === Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий === ''Под выведением следствий'' понимается доказательство теорем о <u>свойствах тригонометрических функций</u>. Данный этап зависит во многом от учебника. {{Пример| ''Косинусом'' острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла <math>\alpha</math> обозначается так: <math>\cos{\alpha}</math>. Оказывается, что это отношение зависит только градусной меры угла, но не зависит от размеров треугольника и его расположения, т. е. у двух треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны. {{Теорема|'''Косинус угла зависит только от градусной меры угла.'''}} Источник: {{sfn|Погорелов|7 класс: §7. Теорема Пифагора (39. Косинус угла)|с=81}}}} В учебнике А. В. Погорелова написано утверждение в виде теоремы-свойства котангенса, в котором функция (вернее, функциональная природа котангенса) «спрятана», то есть указаны компоненты определения термина “функция” (а именно: <u>зависимость одной величины от другой</u>). Аналогично для синуса, тангенса (и котангенса). Кроме того, в указанной формулировке теоремы «спрятано» свойство, характеризующее саму функцию — свойство монотонности функции. Такое свойство тригонометрической функции позволяет объяснить «устройство» таблиц (например, [[w:Таблицы_Брадиса|таблиц Брадиса]]). === Обучение применению тригонометрических понятий === Этот этап подразумевает: # <code>Непосредственное применение понятий</code> — ''выражение неизвестного элемента треугольника через известное''; # <code>Установление внутрипредметных связей</code> — ''решение прямоугольных треугольников''. {{Совет|Учащимся можно предложить так называемые “неполные задачи”. К задаче в форме вопроса: «Дана гипотенуза. Что нужно знать, чтобы найти синус острого угла?» — ответ «катет» будет ошибочным.}} {{Внимание|На <code>I-м шаге</code> основную нагрузку несёт вычислительная линия. Поэтому следует обратить внимание на совершенствование вычислительных навыков. Частично на этом же этапе реализуется линия тождественных преобразований. Другими словами, ученики также работают с тождественными преобразованиями в задачах по алгебре и геометрии, где применяются начала тригонометрии. Так, представляя по определению тангенс острого угла как отношение противолежащего катета к прилежащему применительно к данному углу в прямоугольном треугольнике, иногда приходится выражать знаменатель указанной дроби, что требует дополнительных усилий в преобразовании равенства. Ещё один момент первого шага связан с пропедевтикой решения тригонометрических уравнений. Пропедевтика заложена в ведущем действии и, следовательно, проявляется в построении углов.}} == Шаг II. Тригонометрические функции угла от <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> == {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Атанасяна{{sfn|Атанасян|Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника: §1. Синус, косинус и тангенс угла (93. Синус, косинус, тангенс)|с=252—252}} |Для любого угла <math>\alpha</math> из промежутка <math>0^\circ\leqslant {\alpha}\leqslant 180^\circ</math> синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината <math>y</math> точки <math>M</math>, а косинусом угла <math>\alpha</math> — абсцисса <math>x</math> точки <math>M</math>. Тангенсом угла <math>\alpha</math> (<math>\alpha\neq 90^\circ</math>) называется отношение <math>\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}</math>. |С помощью координатной плоскости, в которую помещена полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат. | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла) | rowspan="2" |От <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> для синуса и косинуса, а для тангенса исключается угол в <math>90^\circ</math>. |Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, вывод простейших формул приведения для аргументов: * <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>, * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. | rowspan="2" |Неявно |- |Смирновых{{sfn|Смирнов|Глава II. Тригонометрия (9. Тригонометрические функции прямого и тупого углов)|с=45—47}} |Синусом тупого угла <math>A</math> будем называть отношение <math>BC</math> [длины перпендикуляра] к <math>AB</math> [длине наклонной], т. е. <math>\sin{A}=\frac{BC}{AB}</math>. Иначе говоря, синус тупого угла <math>A</math> равен синусу угла, смежного с углом <math>A</math>, т. е. <math>\sin{A}=\sin{\left(180^\circ-A\right)}</math>. Косинусом тупого угла <math>A</math> называют отношение <math>AC</math> [длины проекции наклонной] к <math>AB</math> [длине наклонной], взятое со знаком «минус», т. е. <math>\cos{A}=-\frac{AC}{AB}</math>. Иначе говоря, косинус тупого угла <math>A</math> равен косинусу угла, смежного с углом <math>A</math>, взятым со знаком «минус», т. е. <math>\cos{A}=-\cos{\left(180^\circ-A\right)}</math>. Тангенс и котангенс тупого угла <math>A</math> определяются равенствами <math>\mathrm{tg}\, {A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}</math>, <math>\mathrm{ctg}\, {A}=\dfrac{\cos{A}}{\sin{A}}</math>. |Отношение длины перпендикуляра либо длины проекции наклонной к длине самой наклонной. Также даётся эквивалентная формулировка через смежные углы. |Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, доказательство тождеств, упрощение выражений, вывод простейших формул приведения для аргументов: * <math>90^\circ + \alpha^\circ</math>, * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. Доказательство теоремы синусов и теоремы косинусов. Введение скалярного произведения двух ненулевых векторов в векторной форме записи. |} === Подготовительный этап === Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём. === Мотивационный этап === На мотивационном этапе предлагаются также практикоориентированные задачи либо исторические сведения. К последнему можно отнести такие факты из различных областей знания, где применяется тригонометрия (сферическая геометрия, биология и медицина, география, искусство и архитектура и пр.). === Ориентировочный этап === Аналогично тому, что [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Ориентировочный этап|здесь]]. {{Внимание|Построение углов происходит на '''полуокружности''', поэтому следует помнить следующие обстоятельства: # Расчётное значение <math>0\leqslant \sin{\alpha^\circ}\leqslant 1</math>; # Расчётное значение <math>-1\leqslant \cos{\alpha^\circ}\leqslant 1</math>; # Eсли <math>\sin{\alpha^\circ} = m</math>, где <math>m\in \left[0,1\right]</math>, то в качестве ответа указываются два значения <math>\alpha^\circ</math>; # При переходе от <math> \sin{\alpha^\circ}</math> к <math> \cos{\alpha^\circ}</math> следует помнить, что <math> \cos{\alpha^\circ} = \pm \sqrt{1-\sin^2{\alpha^\circ}}</math>, и в этом случае задача может иметь два решения!}} === Этап выведения следствий (в виде формул) === В частности, доказываются «первые» формулы приведения. Грубо говоря, это тригонометрические функции, аргумент которых имеет вид<ref>Формула, которая „приводит” тригонометрическую функцию, содержащую в качестве аргумента разность <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>, к тригонометрической функции острого угла <math>\alpha^\circ</math>, верна для '''острых углов''', а не тупых. Поэтому её рациональнее давать на <code>I-м шаге</code>.</ref>: * <math>90^\circ + \alpha^\circ</math>; * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. Также изучаются теоремы синусов, косинусов и их следствия. Ведущее действие: <u>решение косоугольных треугольников</u>. == Шаг III. Тригонометрические функции произвольного угла == Ранее эта тема изучалась также в 9-м классе. Найти можно только в учебниках по геометрии с углублённым изучением предмета. Однако потом тему внесли в тригонометрию 10-го класса. На этом шаге выводятся все формулы тригонометрии. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Колягина{{sfn|Колягин и др.|Глава VIII. Тригонометрические формулы: §3. Определение синуса, косинуса и тангенс угла|с=269—271}} |Синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината точки, полученной поворотом точки <math>\left ( 1;\,0 \right )</math> вокруг начала координат на угол <math>\alpha</math> (обозначается <math>\sin{\alpha}</math>). Косинусом угла <math>\alpha</math> называется абсцисса точки, полученной поворотом точки <math>\left ( 1;\,0 \right )</math> вокруг начала координат на угол <math>\alpha</math> (обозначается <math>\cos \alpha</math>). Тангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}</math>). В преобразованиях иногда используется котангенс угла <math>\alpha</math> (и обозначается <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}</math>), который определяется формулой <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}</math>. |С помощью помещённой в координатную плоскость окружности единичного радиуса с центром в начале координат. | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол поворота (мера поворота/вращения). Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. | rowspan="2" |Для синуса и косинуса могут быть любые градусные меры угла поворота, для тангенса исключается величина угла поворота вида <math>90^\circ + 180^{\circ}\cdot n\mid n\in \mathbb{Z}</math>, а для котангенса величина угла поворота (в градусах) принимает все действительные значения, кроме <math>180^{\circ}\cdot t\mid t\in \mathbb{Z}</math>. | rowspan="2" |Решение простейших тригонометрических уравнений, доказательство тождеств, вычисление значений тригонометрических функций, упрощение выражений, решение тригонометрических неравенств, вывод формул приведения | rowspan="2" |Явно, поскольку изучаются свойства функций. |- |Нелина{{sfn|Нелин|Раздел 2. Тригонометрические функции: §3. Тригонометрические функции угла и числового аргумента|с=152—157}} |''Синусом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её радиусу: <math>\sin{\alpha}=\dfrac{y}{R}</math>. ''Косинусом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её радиусу: <math>\cos{\alpha}=\dfrac{x}{R}</math>. ''Тангенсом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её абсциссе: <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}=\dfrac{y}{x}</math> (конечно, при <math>x\neq 0</math>). ''Котангенсом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её ординате: <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}=\dfrac{x}{y}</math> (при <math>y\neq 0</math>). |С помощью помещённой в координатную плоскость окружности произвольного радиуса с центром в начале координат. В частности, рассматривается единичная окружность для упрощения приведённых определений тригонометрических функций. |} {{Задание|Найдите определения тригонометрических функций в учебнике Е. П. Нелина, сформулированные для единичной окружности.}} === Подготовительный этап === Повторить и сформировать понятие “'''угол поворота'''”. Действия, необходимые для формирования этого понятия: # построение на окружности точек, соответствующие углу поворота; # запись угла поворота, соответствующее точкам на окружности. === Мотивационный этап === Данный этап вызван потребностями практики. Необходимо привести примеры из физики. Скажем, уравнения, задающие вращательное движение. === Ориентировочный этап === Аналогично тому, что [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Ориентировочный этап|здесь]]. На этой стадии изучения основная область применения — тождественные преобразования, содержащие тригонометрические функции. Ввести понятие “радиана”. === Этап формирования других свойств === Тут уже изучаются свойства функций: * знаки по четвертям; * чётность/нечётность; * периодичность (неявно, т. е. без введения определения периодичности функции). Обосновываются основные действия над тригонометрическими функциями — так называемые ''формулы тригонометрии''. Перечислим их. ==== Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента ==== Данный блок представляет собой взаимоотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, записанные в виде алгебраических соотношений, или формул. <ol type="I" start="1"> <li>[[w:Основное_тригонометрическое_тождество|Основное тригонометрическое тождество]]: «''Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента постоянна и равна единице''». Символьная формулировка: <math>\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1</math>. Формула доказывается при помощи [[w:Теорема_Пифагора|теоремы Пифагора]]. Из этой формулы выводятся следствия: <li>Квадрат синуса есть разность единицы и квадрата косинуса того же аргумента, т. е. <math>\sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha}</math>. Цель: применение в преобразованиях выражений. </li> <li>Формула <math>\sin{\alpha}=\pm\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}</math>, справедливая для любого аргумента <math>\alpha</math>. Цель: для вычисления тригонометрической функции. </li> <li>Зависимость тангенса и котангенса: «''Произведение тангенса и котангенса одного аргумента постоянно и равно единице''». '''Символьная формулировка''': <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}\cdot\mathrm{ctg}\, {\alpha}=1</math>, кроме аргументов <math>\alpha = 90^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>.</li> <li>Зависимость тангенса и косинуса. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': выражение <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}</math>, где <math>\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>. <br />Доказать, что <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Напишем <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}</math>. || Условие, рефлексивность отношения равенства. |- | '''2''' || Далее <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+ \left[\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\right]^2</math>. || Пункт 1, определение тангенса произвольного угла. |- | '''3''' || Тогда <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+ \dfrac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 2, определение и свойство степени <ref>Квадрат частного двух выражений равен частному квадратов этих выражений</ref>. |- | '''4''' || Теперь получим следующее: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 3, определение дроби, приведение к общему знаменателю числа и дроби. |- | '''5''' || Или: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 4, коммутативный (переместительный) закон сложения. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>, что и требовалось доказать. || Пункт 5, основное тригонометрическое тождество.. |} |}</li> <li>Зависимость котангенса и синуса. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>\alpha \in \mathbb R</math>. <br />Доказать, что <math>1+\mathrm{ctg}^2\, {\alpha}=\dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Напишем <math>\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1</math>. || Условие, основное тригонометрическое тождество. |- | '''2''' || Далее <math> \left.\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \;\right\vert : \sin^2{\alpha} \neq 0</math>. || Пункт 1, определение и свойство тождественного равенства, определения ОДЗ выражения и равносильного перехода на некоторой области. |- | '''3''' || Тогда <math>\dfrac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункт 2, равносильный переход на области. |- | '''4''' || Теперь получим следующее: <math>\dfrac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}+\dfrac{\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункт 3, определение и свойство алгебраической дроби. |- | '''5''' || Или: <math>1+\left[\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\right]^2 = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункты 2 и 4, основное свойство дроби, определение и свойство степени. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>1+\mathrm{ctg}^2\, {\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>, которое выполняется при <math>\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>. || Пункт 5, определение котангенса произвольного угла. |} |}</li> <li>Определения секанса и косеканса произвольного угла, следствия из определений. </ol> ==== Блок Б. Формулы сложения и вычитания ==== {{Смотрите также| *[[Внутрипредметные связи#Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией|Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией]]. *[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D0%B8%D0%BB%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B5.pdf Теоремы сложения и разности двух аргументов].}} ==== Блок В. Формулы двойного аргумента ==== ==== Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций ==== ==== Блок Д. Произведение тригонометрических функций ==== ==== Блок Е. Формулы приведения ==== '''Блок Ё. Введение вспомогательного аргумента''' === Методы доказательства тождеств и неравенств === Поскольку на этапе формирования других <code>III</code>-го шага речь идёт о выведении следствий, то формируются умения, входящие в '''метод тождественных преобразований'''. <code>Компоненты метода</code>: перенос общих приёмов тождественных преобразований алгебраических выражений на тригонометрические. Поэтому свойства введённых тригонометрических функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений. Так, необходимо прояснить, какие и{{Ударение}}менно преобразования дети могут выполнять, чтобы не случались '''ошибки''' вроде этой: <math>\operatorname{ctg}{x}+\mathrm{ctg}\,{4x} = \operatorname{ctg}{5x}</math>. Если введены новые понятия, то появляются и новые операции над ними. О правилах действий над понятиями «говорят» формулы, которые необходимо раз за разом отрабатывать! ==== Доказательство непосредственной проверкой ==== ==== На основании определения равных числовых выражений ==== ==== Метод нисходящего и восходящего анализа ==== ==== Метод «от противного» ==== <u><code>Суть</code></u>: ''предполагаем, что требование неверно и после преобразований получаем противоречие с условием либо с истинным неравенством.'' == Шаг IV. Тригонометрические функции числового аргумента == === Подготовительный этап === Повторить предыдущие определения и все свойства функций. === Мотивационный этап === Тут обращаем внимание школьников на область определения аргумента. На предыдущих шагах область определения аргумента — это множества, обладающие размерностью [градусное исчисление угловых мер]. Также предлагаем задачи с практическим содержанием. Подводим детей к гармоническим колебаниям как к внутренней потребности математики. === Ориентировочный этап === На этом этапе ведущие действия: * построение точек, углов и графиков; * вычисление значений тригонометрических функций. Формируем понятия: ордината и абсцисса точки. {{Внимание|Важно разрушить представление об измерении аргументов, то есть аргумент принимает не только значения градусных мер, но и любые другие величины. Например, под знаком тригонометрической функции может стоять параметр, пробегающий временны́е значения.}} === Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий === # Исследование и построение графиков функций; # Решение уравнений, неравенств и их систем (предварительно введя арк-функции). === Методы решения тригонометрических уравнений === Метод появляется тогда, когда уравнение не сводится к простейшему (линейное, квадратное и сводящееся к ним). Напомним некоторые методы решения уравнений в алгебре: # Разложение на множители # Замена переменной # Переход # Функциональный # Графический Для каждого метода можно выделить его формы и способы реализации. ==== Простейшие тригонометрические уравнения (ПТУ) ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |ПТУ и сводящиеся к ним |По определению, используя тригонометрическую окружность (построение точек и применение определения тригонометрчиеской функции) | |- |Графический (построение графика функции) | |- |По формулам (общая формула корней соответствующего тригонометрического уравнения) | |- |<math>k\cdot f\left(x\right)=m</math> |Решение линейного уравнения относительно <math>f\left(x\right)</math>, а затем соответствующего тригонометрического | |- |<math> f\left(ax+b\right)=m</math>, <math> f\left(x^2\right)=m</math> |Решение соответствующего тригонометрического уравнения, а затем алгебраического |<math>\cos{\left ( 3x+\dfrac{\pi}{4} \right )}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math> |- | rowspan="2" |<math>f^2\left(x\right)=m,\,m>0</math> |Формулы понижения степени и решение уравнение, сводящееся к ПТУ относительно нового аргумента<ref>Понижая степень, мы получаем одно тригонометрическое уравнение и сразу же объединённые корни.</ref> |<math>\sin^2{x}=\dfrac{1}{4}</math>, т. к. <math>\dfrac{1-\cos{2x}}{2}=\dfrac{1}{4}</math> |- |Решение квадратного уравнения относительно <math>f\left(x\right)</math>, а далее решить ПТУ<ref>Если мы решаем уравнение как квадратное, то на выходе придётся решать два тригонометрических уравнения, объединённых квадратной скобкой. К тому же, будем иметь два семейства корней, которые дополнительно надо объединять. И не обязательно, что явятся нам табличные значения тригонометрических функций!!!</ref> |<math>\sin^2{x}=\dfrac{1}{4}</math>, т. к. <math>\sin^2{x}-\dfrac{1}{4}=0</math> |} ==== Метод замены переменной ==== <u><code>Суть метода замены</code></u>: ''сведение к одноимённой тригонометрической функции одного аргумента''. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- |Алгебраические уравнения относительно одноимённой тригонометрической функции одного аргумента. А также уравнения к ним сводящиеся |Решение соответствующего алгебраического уравнения, а затем решение ПТУ. |<math>\sin^2{x}-5\cos{x}+1=0</math> |- | rowspan="2" |Однородные уравнения<ref>{{Определение|Уравнение называется <code>однородным</code>, если все его члены имеют одну и ту же степень.|1}}{{Определение|<code>Однородным тригонометрическим уравнением</code> <math>n</math>-й степени называется уравнение вида <math>A_{0}\sin^{n}{x} + A_{1}\sin^{n-1}{x}\cos{x} + A_{2}\sin^{n-2}{x}\cos^{2}{x} + \ldots + A_{n}\cos^{n}{x}=0.</math>|2}}</ref> (I, II и III степени) относительно синуса и косинуса, а также к ним сводящиеся: * <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=c</math>; * <math>a\cdot\sin^2{x}+b\cdot\sin{x}\cdot\cos{x}+c\cdot \cos^2{x}=d</math> |Сведение к тангенсу и котангенсу, а затем решение ПТУ | |- |Для уравнения <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=c</math> вводим вспомогательный аргумент (например, <math>\varphi = \mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}</math>) и используем формулу <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left\{x+\mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}\right\}</math>. Получаем уравнение <math>\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left\{x+\mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}\right\} = c</math>.{{Совет|Также можно решать сведением к однородному уравнению II-й степени, переходя к половинному аргументу. Теоретическая база: основное тригонометрическое тождество, формулы синуса и косинуса двойного аргумента.}} | |- |Уравнения, содержащие одновременно сумму (разность) и произведение синуса и косинуса, т. е. они имеют вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm \cos{x},\; \sin{x}\cdot \cos{x} \right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных. |Заменой (подстановкой) <math>t=\sin{x}\pm \cos{x}</math> сводится к рациональному уравнению <math>\mathcal{R}\left ( t,\; \pm\dfrac{t^2-1}{2} \right) = 0</math>. Тем самым решается квадратное уравнение относительно <math>t</math>, далее решается уравнение вида <math>\sin{x}\pm \cos{x} = t_{1,2}</math>, где <math>t_{1,2}</math> — корни квадратного уравнения. |<math>3\left ( \sin{x} + \cos{x} \right ) + 2\sin{x} \cos{x}+1 =0</math><math>\dfrac{1}{\cos{x}}-\dfrac{1}{\sin{x}} + \dfrac{1}{\sin{x}\cdot \cos{x}} = 4</math> |- |Уравнения, содержащие одновременно сумму синуса и косинуса и синус двойного аргумента, т. е. они имеют вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm\cos{x},{\;} \sin{2x}\right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных. |Заменой (подстановкой) <math>t=\sin{x}\pm\cos{x}</math> сводится к рациональному уравнению <math>\mathcal{R}\left ( t,{\;} {\pm}\left[{t^2-1}\right] \right) = 0</math>. Тем самым решается квадратное уравнение относительно <math>t</math>, далее решается уравнение вида <math>\sin{x}\pm \cos{x} = t_{1,2}</math>, где <math>t_{1,2}</math> — корни квадратного уравнения. |<math>2\left ( 1- \sin{2x} \right ) - 5\left ( \sin{x} - \cos{x} \right ) + 3 = 0</math><ref>Можно применить эвристическое соображение: «Если для объектов <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> найдутся такие ненулевые числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, что выполняется равенство <math>\alpha A + \beta B = \left(\alpha + \beta \right)C</math>, тогда <math>A=B=C</math> либо же <math>\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{C-B}{A-C}</math> (<math>\alpha \neq \beta</math>)», в истинности которого несложно убедиться.</ref> |- | rowspan="2" |Уравнения, содержащие различные тригонометрические функции одного и того же аргумента |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента|Блока А]]. |<math>2\left ( \cos^4{x} - \sin^{4}{x} \right )=1</math> |- |Использование '''универсальных тригонометрических подстановок''' ('''УТП''').{{Внимание|Применение УТП часто приводит к достаточно сложным алгебраическим уравнениям. Поэтому её используют только в том случае, когда нет других методов решения тригонометрического уравнения.}} |<math>\cos{x}+\dfrac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=1</math> |- |Уравнения, содержащие одноимённые тригонометрические функции от разных аргументов |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] и [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Д. Произведение тригонометрических функций|Блока Д]]. |<math>\cos 3x + \cos x = 0,2</math><math>\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x = 0</math><math>\cos {x} \cos{3x} = \cos{5x} \cos {7x}</math> |- |Уравнения, содержащие разноимённые тригонометрические функции от разных аргументов |Использование '''УТП'''. В общем случае, это применение формул тригонометрии. |<math>3\sin{2x}-\cos{2x}-2\mathrm{tg}\, {x} + 5\mathrm{ctg}\, {x} = 4</math> |} {{Вопрос|Какие формулы нужно применить, чтобы уравнения вида <math>\mathcal{F}\left(\sin{t};\,\cos^{2}{t}\right)=0</math> и <math>\mathcal{F}\left(\operatorname{tg}\,{t};\,\operatorname{ctg}\,{t}\right)=0</math> свести к квадратному тригонометрическому уравнению?}} Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений. {{Важное|Если в уравнение неизвестная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с неизвестной обозначить одной буквой (новой переменной)}} {{Пример|Решите уравнение <math>2\sin^2{x}- 7\sin{x}+3=0</math>. {{Комментарий}} Анализируя вид этого уравнения, замечаем, что в его запись входит только одна тригонометрическая функция <math>\sin x</math>. Поэтому удобно ввести новую переменную <math>t \rightleftharpoons\sin x</math>. После решения квадратного уравнения необходимо выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения.<ref>'''Замечание'''. Записывая решение данного примера, можно при введении замены <math>t \rightleftharpoons\sin x</math> учесть, что <math>\left\vert \sin x \right\vert \leqslant 1</math>, и записать ограничения <math>\left\vert t \right\vert \leqslant 1</math>, а далее заметить, что один из корней <math>t = 3</math> не удовлетворяет неравенству <math>\left\vert t \right\vert \leqslant 1</math>, и после этого обратную замену выполнять только для <math>t = \dfrac{1}{2}</math>.</ref> '''Ответ:''' <math>\left \{ \left .\left ( -1 \right )^{n}\dfrac{\pi}{6} + \pi n\;\right\vert\,n\in \mathbb{Z} \right \}</math>.}} Решим следующую задачу разными приёмами. {{Задача| <math>\cos{x}+\sin{x}=0</math>.|<code>Приём 1</code>: применение основного тригонометрического тождества (ОТТ). Компоненты: # Выразить <math>\cos{x}</math> через <math>\sin{x}</math>. # Уединить радикал <math>\pm\sqrt{1-\sin^2{x}}</math>. # Возвести в квадрат полученное уравнение. # Привести подобные члены. # Решить уравнение: <math>\cos^2{x}=\dfrac{1}{2}</math>. # Проверить подстановкой в исходное (учёт появления посторонних корней, поскольку попутно было решено уравнение <math>\cos{x}=\sin{x}</math>). <code>Приём 2</code>: применение формулы синуса двойного аргумента. Компоненты: # Написать формулу <math>\sin{2x}=\left(\cos{x}+\sin{x}\right)^2-1</math>. # Воспользоваться условием <math>\cos{x}+\sin{x}=0</math>, то есть подставить значение суммы, равное нулю, в формулу. # Решить уравнение: <math>\sin{2x}=-1</math> <code>Приём 3</code>: применение определения и свойства ОТУ I-й степени. Компоненты: # Распознать ОТУ I-й степени. # Перенести <math>\cos{x}</math> либо <math>\sin{x}</math> в одну часть равенства. # Разделить уравнение на <math>\cos{x}</math> либо <math>\sin{x}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\operatorname{tg}\,{x} = -1</math> либо <math>\operatorname{ctg}\,{x} = -1</math>. <code>Приём 4</code>: применение УТП. Компоненты: # Вместо <math>\cos{x}</math> и <math>\sin{x}</math> подставить выражения <math>\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}{1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}</math> и соответственно <math>\dfrac{2\operatorname{tg}\,{\dfrac{x}{2}}}{1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}</math>. # Учесть ОДЗ переменной <math>x \neq \pi +2\pi k</math>, где <math>k\in \mathbb Z</math>. # Умножить полученное уравнение на <math>1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}} \neq 0</math>. # Решить квадратное тригонометрическое уравнение: <math>-\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}} + 2\operatorname{tg}\,{\dfrac{x}{2}} +1= 0</math>. <code>Приём 5</code>: применение формулы дополнительных аргументов<ref>{{Определение|Два аргумента называют <code>дополнительными</code>, если их сумма равна <math>\dfrac{\pi}{2}</math>.}} Так, аргументы <math>{x}</math> и <math>\dfrac{\pi}{2} - {x}</math> являются дополнительными друг к другу. Дополнительные аргументы обладают следующим свойством.{{Теорема|Взаимные кофункции дополнительных аргументов равны между собой.}} Также можно доказать, что '''сумма одноимённых тригонометрических функций дополнительных аргументов <math>{x}</math> и <math>\dfrac{\pi}{2} - {x}</math> всегда выражается через <math>\sin{2x}</math>'''.</ref> (частный случай формулы приведения), формулы суммы косинусов двух аргументов. Компоненты: # Вместо <math>\sin{x}</math> подставить выражение <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}</math>. # Воспользоваться формулой <math>\cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2\cos{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}</math>. # Разделить полученное уравнение на <math>2\cos{\dfrac{\pi}{4}}</math>. # Решить ПТУ: <math>\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)} = 0</math>. <code>Приём 6</code>: применение определения синуса и косинуса некоторого аргумента, нечётности синуса. Компоненты: # Уединить <math>\cos{x}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\cos{x} = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Нарисовать тригонометрическую окружность. # Применить определения синуса и косинуса. # Получить на окружности две точки, для которых выполняется требуемое равенство. # Записать аналитически семейство этих решений. <code>Приём 7</code>: применение формулы косинуса разности (либо же синуса суммы). Компоненты: # „Домножить” обе части исходного равенства на <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x}=0</math>. # Воспользоваться табличными значениями для синуса и косинуса от аргумента <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # «Свернуть» либо по формуле <math>\cos{\alpha - \beta} = \cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}</math>, либо по формуле <math>\sin{\alpha + \beta} = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)} = 0</math> либо <math>\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)} = 0</math>. <code>Приём 8</code>: применение формулы введения вспомогательного аргумента. Компоненты: # Применить одну из формул: <math>\cos{x} +\sin{x}= \sqrt{2}\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}</math> либо <math>\cos{x} +\sin{x}= \sqrt{2}\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}</math>. # Заменить левую часть на выражение, стоя́щее в правой части одной из формул. # Разделить обе части уравнения на <math>\sqrt{2}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}= 0</math> либо <math>\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)} = 0</math>. <code>Приём 9</code>: построение графиков функций <math>y = \cos{x}</math> и <math>y =\sin{\left(-x\right)}</math>. Компоненты: # Уединить <math>\cos{x}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\cos{x} = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Построить графики функций <math>y = \cos{x}</math> и <math>y = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Пересечение обоих графиков даст искомые решения, указать их. # Записать аналитически семейство этих решений. <code>Приём 10</code>: применение МЗФ функций синуса и косинуса. Компоненты: # Воспользоваться тем, что <math>\cos{x} \in \left[-1,\,1\right]</math> и <math>\sin{x} \in \left[-1,\,1\right]</math>. # А также вспомнить, что обе функции одновременно не обращаются в нуль ни при каком аргументе (проверьте!). # Так как по модулю <math>\cos{x}</math> равен <math>\sin{x}</math>, то их квадраты равны. # Поэтому <math>\cos^2{x} + \sin^2{x} = 2\cdot \cos^2{x} =1</math>, т. е. <math>\left\vert\cos{x}\right\vert = \left\vert\sin{x}\right\vert =\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # Следовательно, <math>\begin{cases} \cos{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}</math> либо же <math>\begin{cases} \cos{x} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}</math>. # Решить совокупность двух систем уравнений. # Записать аналитически семейство этих решений. '''Ответ:''' <math>\left \{ \left .-\dfrac{\pi}{4} + \pi n\;\right\vert\,n\in \mathbb{Z} \right \}</math>. }}{{Задание|Рассортировать все приёмы, которые описаны в задаче, по методам решения.}} Переходим ко второму довольно известному методу. ==== Метод разложения на множители ==== <u><code>Суть метода разложения на множители</code></u>: ''исходное уравнение привести к виду <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )\cdot \ldots \cdot f_{n}\left ( x \right )=0</math>''. Решение таких уравнений основано на следующем теоретическом положении. {{Правило в рамке/Алгебра|текст=Если левая часть уравнения является произведением нескольких сомножителей, а правая часть равна нулю, то корнями такого уравнения служат те и только те значения неизвестной, при которых обращается в нуль хотя бы один из сомножителей, но ни один из остальных НЕ теряет числового смысла.}} Это положение подчёркивает важность предварительного нахождения ОДЗ неизвестной.{{sfn|Абрамович, Стародубцев|Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства: §1. Уравнения|с=98—99}} {{Теорема|Уравнение <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )=0</math> равносильно совокупности двух систем <math>\begin{cases} f_{1}\left ( x \right ) = 0,\\ x\in \mathcal{D}_{f_{2}} \end{cases}</math> и <math>\begin{cases} f_{2}\left ( x \right ) = 0,\\ x\in \mathcal{D}_{f_{1}} \end{cases}</math>.}}Другими словами, множество решений уравнения <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )=0</math> есть объединение множеств решений двух вышенаписанных систем. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |Разложение на множители при помощи приёмов алгебры |Вынесение общего множителя<ref>''Теоретическая основа'' приёма: '''распределительный закон умножения'''.</ref> |<math>2\color{brown}\cos^2{x}\color{black}- \color{brown}{\cos x}\color{black} \cdot \sin x = 0</math> |- |Группировка слагаемых |<math>\color{red}1\color{black}-{\sin{x}}\cdot \color{blue}{\cos{x}}\color{black} +\color{black}\color{red}\sin{x}\color{black} - \color{blue}{\cos{x}}\color{black}=0</math><ref>'''''Другой метод'''''. Применение подстановки, так как уравнение имеет вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm \cos{x},\; \sin{x}\cdot \cos{x} \right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных.</ref> |- |Формулы сокращённого умножения | |- | rowspan="2" |Разложение на множители при помощи формул тригонометрии |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] |<math>2\sin{17x}+\sqrt{3}\cos{5x}+\sin{5x}=0</math>, т. к. <math>\sin{17x}+\sin{\left\{5x+\dfrac{\pi}{3}\right\}}=0</math> |- |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Е. Формулы приведения|Блока Е]] |<math>\sin{5x}+\cos{x}=0</math>, т. к. <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-5x\right)}+\cos{x} = 0</math> |- |Комбинация алгебры и тригонометрии |Формулы из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок В. Формулы двойного аргумента|Блока В]], [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] и [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Е. Формулы приведения|Блока Е]] |<math>3\sin{2x}+\cos{x}=0</math>, т. к. <math>\cos{x}\left(6\sin{x}+1\right)=0</math> |} {{Пример|Решите уравнение <math>\operatorname{tg}^3{2x}- \operatorname{tg}\,{2x}=0</math>. {{Комментарий}} В заданное уравнение переменная входит только в виде <math>\operatorname{tg}\,{2x}</math>. Необязательно вводить новую переменную, а достаточно разложить на множители левую часть методами алгебры: определение и вынесение общего множителя, формула разности квадратов. Ответ записывается трёхточечным множеством.}} {{Пример|Решите уравнение <math>\sin{7x} = \sin{5x}</math>. {{Комментарий}} Достаточно трудно все тригонометрические функции в этом уравнении привести к одному аргументу. В таком случае приходится ''переносить все члены уравнения в одну сторону и пробовать получить произведение, равное нулю''. Для этого воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: :<math>\sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \sin{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}.</math> ''Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл''. В данном случае все данные и полученные выражения имеют смысл на всём множестве действительных чисел. В конце учитываем, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений <math>\sin{x} = 0</math> или <math>\cos{6x} = 0</math>, и поэтому в ответе должны быть записаны все корни каждого из этих уравнений.}} {{Пример|Решите уравнение <math>\sin{x} + \sin{3x}= \sin{4x}</math>. {{Комментарий}} Сразу ''переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, которое равно нулю''. Для этого применим формулу преобразования суммы синусов, стоя́щей в левой части уравнения, в произведение: :<math>\sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}</math> :(учтём, что <math>\cos {\left(-x\right)} = \cos{x}</math>). Для того чтобы вынести какое-то выражение за скобки и получить произведение, достаточно записать <math>\sin{4x}</math> как синус двойного аргумента (тогда за скобки выносится <math>\sin{2x}</math>). ''Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл''. Во втором из полученных уравнений преобразуем разность косинусов в произведение. действительных чисел. В конце учитываем, что все данные и полученные выражения существуют на всём множестве действительных чисел. Таким образом, данное уравнение на этом множестве равносильно совокупности уравнений: <math>\sin{2x} = 0</math>, или <math>\sin{\dfrac{3x}{2}} = 0</math>, или <math>\sin{\dfrac{x}{2}} = 0</math>, и поэтому в ответ необходимо записать все корни каждого из этих уравнений.<ref>'''Замечание'''. Запись ответа можно сократить. Так, если изобразить все найденные решения на единичной окружности, то можно увидеть, что решение <math>x=2\pi k</math> даёт те же точки, что и формула <math>x=\dfrac{\pi n}{2}</math> при <math>n</math>, кратном <math>4</math> (<math>n=4k</math>), или формула <math>x=\dfrac{2\pi m}{3}</math> при <math>m</math>, кратном <math>3</math> (<math>m = 3k</math>). Таким образом, формула <math>x=2\pi k</math> не даёт новых корней в сравнении с формулами <math>x=\dfrac{\pi n}{2}</math> или <math>x=\dfrac{2\pi m}{3}</math>, и поэтому ответ может быть записан в виде только двух последних формул. Но такое сокращение ответа не является обязательным.</ref>}} Рассмотрим следующий мтеод. ==== Метод перехода ==== <u><code>Суть метода перехода</code></u>: ''переход от равенства, связывающему функции, к равенству, связывающему аргументы этих функций''. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |Уравнение вида <math>\mathcal{F}\left(A\right)=\mathcal{F}\left(B\right)</math> |Аркфункции |<math>\sin{A}=\sin{B}</math> |- |ПТУ |<math>\mathrm{tg}\,{x}=-\sqrt{3}</math> |- |По “готовой” формуле |<math>\sin{A}=\sin{B}</math> |} Зачастую уравнение можно решать разложением на множители, а не методом перехода. ==== Функциональный метод ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="5" |Использование свойств функции |Область определения функции | |- |Множество значений функции | |- |Ограниченность функции (метод мажорант<ref>{{Определение|<code>Мажорантой</code> данной функции <math>f\left ( x \right )</math> на множестве <math>\mathcal{P}</math> (или множества <math>\mathcal{A}</math> чисел) называется такое число <math>\mathcal{M}</math>, что либо <math>f\left ( x \right )\leqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in \mathcal{P}</math>, либо <math>f\left ( x \right )\geqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in \mathcal{P}</math> (соответственно, <math>x\leqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x</math> из <math>\mathcal{A}</math>, или <math>x\geqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in\mathcal{A}</math>).}} Например, любое число, большее или равное <math>1</math>, будет мажорантой для функций <math>\sin x</math> и <math>\cos x</math> на любом множестве. <code>Суть метода мажорант</code>: если для функций <math>f\left ( x \right )</math> и <math>g\left ( x \right )</math> уравнения <math>f\left ( x \right ) = g\left ( x \right )</math> существует такое число <math>\mathcal{M}</math>, что для любого <math>x</math> из области определения <math>f\left ( x \right )</math> и <math>g\left ( x \right )</math> имеем <math>f\left ( x \right )\leqslant\mathcal{M}</math> и <math>g\left ( x \right )\geqslant\mathcal{M}</math>, тогда уравнение <math>f\left ( x \right ) = g\left ( x \right )</math> эквивалентно системе <math>\begin{cases} f\left ( x \right ) = \mathcal{M},\\ g\left ( x \right ) = \mathcal{M}.\end{cases}</math></ref>) |<math>\cos{2x}+\cos{x}=2</math>, т. к. <math>\forall \theta \in \mathbb{R}: \cos{\theta} \leqslant 1</math> <math>\sin{x}\sin{5x}=1</math> |- |Монотонность функции | |- |Отсутствие решений (вообще либо на промежутке) | |} ==== Графический метод ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- |Слева и справа от знака равенства разные функции по природе |Построение двух графиков функций на одной координатной плоскости |<math>\mathrm{ctg}\,{x}=\log_2{x}</math>, т. к. можно рассмотреть графики функций <math>y=\mathrm{ctg}\,{x}</math> и <math>y=\log_2{x}</math> |} === Методы решения тригонометрических неравенств === Данный тип задача частично содержит методы решения тригонометрических уравнений и пополняется новым списком методов. Например, геометрический метод. == Задания == {{Задание|Проанализировать тригонометрические формулы выбранного учебника по схеме, представленной в таблице ниже. }} {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+Пример оформления !Тригонометрическая формула !Наличие/отсутствие доказательства !Метод доказательства |- |Косинус разности аргументов |Имеется |Векторный метод |- |Косинус суммы аргументов |Да |Метод тождественных преобразований |- |Сумма синусов двух аргументов |Есть |Метод тождественных преобразований |- |Формула введения вспомогательного аргумента через синус |Доказывается, применяя лемму |Лемма: координатный. Формула: тождественные преобразования<ref>''Другой способ доказательства'' базируется на '''методе “цепочки треугольников”''' (в частности, <u>метод “ключевого” треугольника</u>) и '''методе тождественных преобразований''' выражений. То есть рассматривается прямоугольный треугольник с заданными катетами. Далее легко получить длину гипотенузы, а затем вынести «общий» множитель в виде радикала суммы квадратов катетов из выражения <math>a\sin{x} + b\cos{x}</math>. Получим <math>a\sin{x} + b\cos{x} = \sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x} + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}\right)</math>. Применяем определения синуса либо косинуса острого угла прямоугольного треугольника (введение угла). Наконец, по формула синуса суммы либо косинуса разности соответственно сворачиваем.</ref>{{sfn|Нелин_геометрия_10|Раздел 1. Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии : §1. Логическое построение школьного курса планиметрии (1.2. Методы решения планиметрических задач)|с=17}} |- |Формула введения вспомогательного аргумента через косинус | colspan="2" |{{По центру|Таковая не упоминается вовсе.}} |- |{{По центру|...}} |{{По центру|...}} |{{По центру|...}} |} == Примечания == {{примечания}} == Литература == * {{книга | автор = [[w:Бескин, Николай Михайлович|Бескин Н. М.]] | место = М. | издательство = Учпедгиз | год = 1950 | страниц = 140 | ref = Бескин |заглавие=Вопросы тригонометрии и её преподавания }} * {{книга | автор = [[w:Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]], [[w:Бутузов, Валентин Фёдорович|Бутузов В. Ф.]], [[w:Кадомцев, Сергей Борисович|Кадомцев С. Б.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2008 | страниц = 384 | isbn = 978-5-7853-0953-1 | ref = Атанасян |издание=18-е изд |заглавие=Геометрия, 7—9: учеб. для обшеобразоват. учреждений |тираж=3 735 000 }} * {{книга | автор = [[w:Смирнов, Владимир Алексеевич|Смирнов В. А.]], [[w:Смирнова, Ирина Михайловна|Смирнова И. М.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2022 | страниц = 176 | isbn = 978-5-09-093187-8 | ref = Смирнов |издание=2-е изд., стер |заглавие=Геометрия: 9-й класс : учебник |тираж=300 }} * {{книга | автор = [[w:Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 1988 | страниц = 303 | isbn = | ref = Погорелов |издание=7-е изд |заглавие=Геометрия: Учеб. пособие для 6—10 кл. сред. шк. |тираж=3 735 000 }} * {{книга | автор = [[w:Колягин, Юрий Михайлович|Колягин Ю. М.]], Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2011 | страниц = 368 | isbn = 978-5-09-025401-4 | ref = Колягин и др. |издание=4-е изд |заглавие=Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни |тираж=40 000 |ссылка=https://file.11klasov.net/1388-algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-klass-bazovyy-i-prof-urovni-kolyagin-yum-i-dr.html}} * {{книга | автор = [[w:Нелин, Евгений Петрович|Нелин Е. П.]], Лазарев В. А. | место = М. | издательство = Илекса | год = 2011 | страниц = 480 | isbn = 978-5-89237-336-4 | ref = Нелин |заглавие=Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни |тираж=5 000 }} * {{книга | автор = [[w:Нелин, Евгений Петрович|Нелин Е. П.]] | место = Х. | издательство = Гимназия | год = 2010 | страниц = 240 | isbn = 978-966-474-100-9 | ref = Нелин_геометрия_10 |заглавие= Геометрия : двухуров. учеб. для 10-го кл. общеобразоват. учеб. заведений : академ. и профил. уровни |тираж=3 000 }} * {{книга | автор = {{nobr|Абрамович М. И.}}, {{nobr|Стародубцев М. Т.}} | место = М. | издательство = Высшая школа | год = 1976 | страниц = 304 | ref = Абрамович, Стародубцев |заглавие= Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учеб. пособие для подготовит. отделений втузов |тираж=280 000 }} [[Категория:Алгебра]] qpapom2n0f5030fvai20shn36446ty4 267731 267605 2026-05-21T10:06:27Z AllaBuraya 79455 267731 wikitext text/x-wiki {{Готовность|50%}}{{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 0% }} Ведущая методическая проблема, которая касается тригонометрии, выражается в формировании понятий тригонометрических функций („синус”, „косинус”, „тангенс” и „котангенс”) в соответствии с ''методикой обучения понятий либо методикой обучения действий''. Изучение тригонометрических функций, разумеется, должно начинаться с их определения. Это определение может быть дано многими способами. А именно: как решение некоторого дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию; при помощи степенных рядов; наконец, третье определение — '''геометрическое'''. Это — то определение, которое даётся в школьных учебниках. Оно может иметь различные модификации (например, можно определять тригонометрические функции как отношение сторон прямоугольного треугольника или при помощи тригонометрического круга). Оставляя пока методические соображения, зададимся вопросом: ''являются ли приведённые выше способы определения тригонометрических функций '''равноценными''' с научной точки зрения''? На этот вопрос следует ответить <code>отрицательно</code>: <u>геометрическое определение хуже</u>. Первый недостаток связан с тем, что свойства этих функций ставятся в зависимость от некоторых положений, имеющих место только в евклидовой геометрии; в действительности же ''свойства тригонометрических функций вовсе НЕ зависят от того, какой геометрией мы пользуемся''. Второй недостаток геометрического определения заключается в том, что по этому определению тригонометрические функции являются обязательно ''функциями угла''. Это обстоятельство в глазах школьника отличает тригонометрические функции от всех других функций. Школьник смотрит совсем по-разному на функции <math>\lg{x}</math> и <math>\sin{x}</math>; он понимает, чтó значит логарифм числа, но не понимает, чтó значит синус числа. Даже если углы измеряются в так называемой отвлечённой мере и рассматривается <math>\sin{2}</math>, то всё-таки под этим символом понимается синус ''угла'', равного двум радианам.{{sfn|Бескин|Глава I. Содержание школьного курса тригонометрии: §1. Критика сложившегося школьного курса тригонометрии|с=5—10}} Напомним, что любая методика состоит из '''этапов''' формирования понятий (либо действий). Будем нумеровать так: «Шаг I. ...; Шаг II. ... ». == Шаг I. Тригонометрические функции острого угла == {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Атанасяна{{sfn|Атанасян|Глава VII: §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (66. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника)|с=156}} |Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. | rowspan="2" |Через отношение сторон прямоугольного треугольника | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла) | rowspan="2" |От <math>0^\circ</math> до <math>90^\circ</math> |Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов |Неявно |- |Смирновых{{sfn|Смирнов|Глава II. Тригонометрия (1. Тригонометрические функции острого угла)|с=35—36}} |Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к гипотенузе называется '''''синусом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\sin{A}</math>. Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к гипотенузе называется '''''косинусом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\cos{A}</math>. Отношение противолежащего углу <math>A</math> катета к прилежащему называется '''''тангенсом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\mathrm{tg}\, {A}</math>. Отношение прилежащего к углу <math>A</math> катета к противолежащему называется '''''котангенсом''''' угла <math>A</math>, обозначается <math>\mathrm{ctg}\, {A}</math>. |Решение прямоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, сравнение величин углов, доказательство тождеств, вывод простейших формул приведения для аргументов вида <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>. |Явно оформляется в теореме |} === Подготовительный этап === Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём. === Мотивационный этап === На мотивационном этапе следует внедрять задачи с практическим содержанием, соответствующие субъективному опыту ученику. К этим задачам необходимо вернуться по завершению темы: “Тригонометрические функции острого угла”. Объясняется тем, что учащиеся теперь смогут решить задачи, поставленные вначале указанной темы. === Ориентировочный этап === На этом этапе определения тригонометрических функций даются конструктивно (генетически). Следовательно, основное внимание уделяется формированию ведущих действий: * построение угла по заданным значениям тригонометрических функций; * вычисление значений тригонометрических функций при помощи непосредственных измерений. {{Важное|текст=Функциональная природа выявлена неявно, то есть термин «функция» не используется в определении тригонометрических функций. Почему? Дело в том, что авторы учебников акцентируют внимание учащихся на геометрическом аспекте тригонометрии. А именно её приложении в геометрии, что в основе своей рассматривается в теме: “Решение треугольников”.}} === Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий === ''Под выведением следствий'' понимается доказательство теорем о <u>свойствах тригонометрических функций</u>. Данный этап зависит во многом от учебника. {{Пример| ''Косинусом'' острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла <math>\alpha</math> обозначается так: <math>\cos{\alpha}</math>. Оказывается, что это отношение зависит только градусной меры угла, но не зависит от размеров треугольника и его расположения, т. е. у двух треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны. {{Теорема|'''Косинус угла зависит только от градусной меры угла.'''}} Источник: {{sfn|Погорелов|7 класс: §7. Теорема Пифагора (39. Косинус угла)|с=81}}}} В учебнике А. В. Погорелова написано утверждение в виде теоремы-свойства котангенса, в котором функция (вернее, функциональная природа котангенса) «спрятана», то есть указаны компоненты определения термина “функция” (а именно: <u>зависимость одной величины от другой</u>). Аналогично для синуса, тангенса (и котангенса). Кроме того, в указанной формулировке теоремы «спрятано» свойство, характеризующее саму функцию — свойство монотонности функции. Такое свойство тригонометрической функции позволяет объяснить «устройство» таблиц (например, [[w:Таблицы_Брадиса|таблиц Брадиса]]). === Обучение применению тригонометрических понятий === Этот этап подразумевает: # <code>Непосредственное применение понятий</code> — ''выражение неизвестного элемента треугольника через известное''; # <code>Установление внутрипредметных связей</code> — ''решение прямоугольных треугольников''. {{Совет|Учащимся можно предложить так называемые “неполные задачи”. К задаче в форме вопроса: «Дана гипотенуза. Что нужно знать, чтобы найти синус острого угла?» — ответ «катет» будет ошибочным.}} {{Внимание|На <code>I-м шаге</code> основную нагрузку несёт вычислительная линия. Поэтому следует обратить внимание на совершенствование вычислительных навыков. Частично на этом же этапе реализуется линия тождественных преобразований. Другими словами, ученики также работают с тождественными преобразованиями в задачах по алгебре и геометрии, где применяются начала тригонометрии. Так, представляя по определению тангенс острого угла как отношение противолежащего катета к прилежащему применительно к данному углу в прямоугольном треугольнике, иногда приходится выражать знаменатель указанной дроби, что требует дополнительных усилий в преобразовании равенства. Ещё один момент первого шага связан с пропедевтикой решения тригонометрических уравнений. Пропедевтика заложена в ведущем действии и, следовательно, проявляется в построении углов.}} == Шаг II. Тригонометрические функции угла от <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> == {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Атанасяна{{sfn|Атанасян|Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника: §1. Синус, косинус и тангенс угла (93. Синус, косинус, тангенс)|с=252—252}} |Для любого угла <math>\alpha</math> из промежутка <math>0^\circ\leqslant {\alpha}\leqslant 180^\circ</math> синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината <math>y</math> точки <math>M</math>, а косинусом угла <math>\alpha</math> — абсцисса <math>x</math> точки <math>M</math>. Тангенсом угла <math>\alpha</math> (<math>\alpha\neq 90^\circ</math>) называется отношение <math>\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}</math>. |С помощью координатной плоскости, в которую помещена полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат. | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол как геометрическая фигура (мера угла) | rowspan="2" |От <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> для синуса и косинуса, а для тангенса исключается угол в <math>90^\circ</math>. |Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, построение углов, вывод простейших формул приведения для аргументов: * <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>, * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. | rowspan="2" |Неявно |- |Смирновых{{sfn|Смирнов|Глава II. Тригонометрия (9. Тригонометрические функции прямого и тупого углов)|с=45—47}} |Синусом тупого угла <math>A</math> будем называть отношение <math>BC</math> [длины перпендикуляра] к <math>AB</math> [длине наклонной], т. е. <math>\sin{A}=\frac{BC}{AB}</math>. Иначе говоря, синус тупого угла <math>A</math> равен синусу угла, смежного с углом <math>A</math>, т. е. <math>\sin{A}=\sin{\left(180^\circ-A\right)}</math>. Косинусом тупого угла <math>A</math> называют отношение <math>AC</math> [длины проекции наклонной] к <math>AB</math> [длине наклонной], взятое со знаком «минус», т. е. <math>\cos{A}=-\frac{AC}{AB}</math>. Иначе говоря, косинус тупого угла <math>A</math> равен косинусу угла, смежного с углом <math>A</math>, взятым со знаком «минус», т. е. <math>\cos{A}=-\cos{\left(180^\circ-A\right)}</math>. Тангенс и котангенс тупого угла <math>A</math> определяются равенствами <math>\mathrm{tg}\, {A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}</math>, <math>\mathrm{ctg}\, {A}=\dfrac{\cos{A}}{\sin{A}}</math>. |Отношение длины перпендикуляра либо длины проекции наклонной к длине самой наклонной. Также даётся эквивалентная формулировка через смежные углы. |Решение косоугольных треугольников, вычисление значений тригонометрических функций, доказательство тождеств, упрощение выражений, вывод простейших формул приведения для аргументов: * <math>90^\circ + \alpha^\circ</math>, * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. Доказательство теоремы синусов и теоремы косинусов. Введение скалярного произведения двух ненулевых векторов в векторной форме записи. |} === Подготовительный этап === Каждый учитель по данному этапу сориентируется сам. Заострять внимание не будем на нём. === Мотивационный этап === На мотивационном этапе предлагаются также практикоориентированные задачи либо исторические сведения. К последнему можно отнести такие факты из различных областей знания, где применяется тригонометрия (сферическая геометрия, биология и медицина, география, искусство и архитектура и пр.). === Ориентировочный этап === Аналогично тому, что [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Ориентировочный этап|здесь]]. {{Внимание|Построение углов происходит на '''полуокружности''', поэтому следует помнить следующие обстоятельства: # Расчётное значение <math>0\leqslant \sin{\alpha^\circ}\leqslant 1</math>; # Расчётное значение <math>-1\leqslant \cos{\alpha^\circ}\leqslant 1</math>; # Eсли <math>\sin{\alpha^\circ} = m</math>, где <math>m\in \left[0,1\right]</math>, то в качестве ответа указываются два значения <math>\alpha^\circ</math>; # При переходе от <math> \sin{\alpha^\circ}</math> к <math> \cos{\alpha^\circ}</math> следует помнить, что <math> \cos{\alpha^\circ} = \pm \sqrt{1-\sin^2{\alpha^\circ}}</math>, и в этом случае задача может иметь два решения!}} === Этап выведения следствий (в виде формул) === В частности, доказываются «первые» формулы приведения. Грубо говоря, это тригонометрические функции, аргумент которых имеет вид<ref>Формула, которая „приводит” тригонометрическую функцию, содержащую в качестве аргумента разность <math>90^\circ - \alpha^\circ</math>, к тригонометрической функции острого угла <math>\alpha^\circ</math>, верна для '''острых углов''', а не тупых. Поэтому её рациональнее давать на <code>I-м шаге</code>.</ref>: * <math>90^\circ + \alpha^\circ</math>; * <math>180^\circ - \alpha^\circ</math>. Также изучаются теоремы синусов, косинусов и их следствия. Ведущее действие: <u>решение косоугольных треугольников</u>. == Шаг III. Тригонометрические функции произвольного угла == Ранее эта тема изучалась также в 9-м классе. Найти можно только в учебниках по геометрии с углублённым изучением предмета. Однако потом тему внесли в тригонометрию 10-го класса. На этом шаге выводятся все формулы тригонометрии. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Учебник !Определения !Подход к определениям !Природа образования аргумента !Область значений аргумента !Область применения тригонометрических функций !Функциональная природа |- |Колягина{{sfn|Колягин и др.|Глава VIII. Тригонометрические формулы: §3. Определение синуса, косинуса и тангенс угла|с=269—271}} |Синусом угла <math>\alpha</math> называется ордината точки, полученной поворотом точки <math>\left ( 1;\,0 \right )</math> вокруг начала координат на угол <math>\alpha</math> (обозначается <math>\sin{\alpha}</math>). Косинусом угла <math>\alpha</math> называется абсцисса точки, полученной поворотом точки <math>\left ( 1;\,0 \right )</math> вокруг начала координат на угол <math>\alpha</math> (обозначается <math>\cos \alpha</math>). Тангенсом угла <math>\alpha</math> называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}</math>). В преобразованиях иногда используется котангенс угла <math>\alpha</math> (и обозначается <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}</math>), который определяется формулой <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}</math>. |С помощью помещённой в координатную плоскость окружности единичного радиуса с центром в начале координат. | rowspan="2" |Под аргументом понимается угол поворота (мера поворота/вращения). Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. | rowspan="2" |Для синуса и косинуса могут быть любые градусные меры угла поворота, для тангенса исключается величина угла поворота вида <math>90^\circ + 180^{\circ}\cdot n\mid n\in \mathbb{Z}</math>, а для котангенса величина угла поворота (в градусах) принимает все действительные значения, кроме <math>180^{\circ}\cdot t\mid t\in \mathbb{Z}</math>. | rowspan="2" |Решение простейших тригонометрических уравнений, доказательство тождеств, вычисление значений тригонометрических функций, упрощение выражений, решение тригонометрических неравенств, вывод формул приведения | rowspan="2" |Явно, поскольку изучаются свойства функций. |- |Нелина{{sfn|Нелин|Раздел 2. Тригонометрические функции: §3. Тригонометрические функции угла и числового аргумента|с=152—157}} |''Синусом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её радиусу: <math>\sin{\alpha}=\dfrac{y}{R}</math>. ''Косинусом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её радиусу: <math>\cos{\alpha}=\dfrac{x}{R}</math>. ''Тангенсом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение ординаты точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её абсциссе: <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}=\dfrac{y}{x}</math> (конечно, при <math>x\neq 0</math>). ''Котангенсом угла'' <math>\alpha</math> называется отношение абсциссы точки <math>P_{\alpha}\left(x;\, y\right)</math> окружности к её ординате: <math>\mathrm{ctg}\, {\alpha}=\dfrac{x}{y}</math> (при <math>y\neq 0</math>). |С помощью помещённой в координатную плоскость окружности произвольного радиуса с центром в начале координат. В частности, рассматривается единичная окружность для упрощения приведённых определений тригонометрических функций. |} {{Задание|Найдите определения тригонометрических функций в учебнике Е. П. Нелина, сформулированные для единичной окружности.}} === Подготовительный этап === Повторить и сформировать понятие “'''угол поворота'''”. Действия, необходимые для формирования этого понятия: # построение на окружности точек, соответствующие углу поворота; # запись угла поворота, соответствующее точкам на окружности. === Мотивационный этап === Данный этап вызван потребностями практики. Необходимо привести примеры из физики. Скажем, уравнения, задающие вращательное движение. === Ориентировочный этап === Аналогично тому, что [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Ориентировочный этап|здесь]]. На этой стадии изучения основная область применения — тождественные преобразования, содержащие тригонометрические функции. Ввести понятие “радиана”. === Этап формирования других свойств === Тут уже изучаются свойства функций: * знаки по четвертям; * чётность/нечётность; * периодичность (неявно, т. е. без введения определения периодичности функции). Обосновываются основные действия над тригонометрическими функциями — так называемые ''формулы тригонометрии''. Перечислим их. ==== Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента ==== Данный блок представляет собой взаимоотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, записанные в виде алгебраических соотношений, или формул. <ol type="I" start="1"> <li>[[w:Основное_тригонометрическое_тождество|Основное тригонометрическое тождество]]: «''Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента постоянна и равна единице''». Символьная формулировка: <math>\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1</math>. Формула доказывается при помощи [[w:Теорема_Пифагора|теоремы Пифагора]]. Из этой формулы выводятся следствия: <li>Квадрат синуса есть разность единицы и квадрата косинуса того же аргумента, т. е. <math>\sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha}</math>. Цель: применение в преобразованиях выражений. </li> <li>Формула <math>\sin{\alpha}=\pm\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}</math>, справедливая для любого аргумента <math>\alpha</math>. Цель: для вычисления тригонометрической функции. </li> <li>Зависимость тангенса и котангенса: «''Произведение тангенса и котангенса одного аргумента постоянно и равно единице''». '''Символьная формулировка''': <math>\mathrm{tg}\, {\alpha}\cdot\mathrm{ctg}\, {\alpha}=1</math>, кроме аргументов <math>\alpha = 90^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>.</li> <li>Зависимость тангенса и косинуса. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': выражение <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}</math>, где <math>\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>. <br />Доказать, что <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Напишем <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha}</math>. || Условие, рефлексивность отношения равенства. |- | '''2''' || Далее <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+ \left[\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\right]^2</math>. || Пункт 1, определение тангенса произвольного угла. |- | '''3''' || Тогда <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = 1+ \dfrac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 2, определение и свойство степени <ref>Квадрат частного двух выражений равен частному квадратов этих выражений</ref>. |- | '''4''' || Теперь получим следующее: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 3, определение дроби, приведение к общему знаменателю числа и дроби. |- | '''5''' || Или: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}</math>. || Пункт 4, коммутативный (переместительный) закон сложения. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>1+\mathrm{tg}^2\, {\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>, что и требовалось доказать. || Пункт 5, основное тригонометрическое тождество.. |} |}</li> <li>Зависимость котангенса и синуса. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" ! <u>Доказательство</u> по схеме '''УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ''' |- | {| class="wikitable" |+ ''Дано'': <math>\alpha \in \mathbb R</math>. <br />Доказать, что <math>1+\mathrm{ctg}^2\, {\alpha}=\dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. |- ! Шаг !! Утверждение !! Обоснование |- | '''1''' || Напишем <math>\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1</math>. || Условие, основное тригонометрическое тождество. |- | '''2''' || Далее <math> \left.\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \;\right\vert : \sin^2{\alpha} \neq 0</math>. || Пункт 1, определение и свойство тождественного равенства, определения ОДЗ выражения и равносильного перехода на некоторой области. |- | '''3''' || Тогда <math>\dfrac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункт 2, равносильный переход на области. |- | '''4''' || Теперь получим следующее: <math>\dfrac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}+\dfrac{\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункт 3, определение и свойство алгебраической дроби. |- | '''5''' || Или: <math>1+\left[\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\right]^2 = \dfrac{1}{\sin^2{\alpha}}</math>. || Пункты 2 и 4, основное свойство дроби, определение и свойство степени. |- | '''6''' || Наконец, приходим к равенству: <math>1+\mathrm{ctg}^2\, {\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}</math>, которое выполняется при <math>\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ \cdot n\mid n \in \mathbb Z</math>. || Пункт 5, определение котангенса произвольного угла. |} |}</li> <li>Определения секанса и косеканса произвольного угла, следствия из определений. </ol> ==== Блок Б. Формулы сложения и вычитания ==== {{Смотрите также| *[[Внутрипредметные связи#Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией|Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией]]. *[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D0%B8%D0%BB%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B5.pdf Теоремы сложения и разности двух аргументов].}} ==== Блок В. Формулы двойного аргумента ==== ==== Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций ==== ==== Блок Д. Произведение тригонометрических функций ==== ==== Блок Е. Формулы приведения ==== '''Блок Ё. Введение вспомогательного аргумента''' === Методы доказательства тождеств и неравенств === Поскольку на этапе формирования других <code>III</code>-го шага речь идёт о выведении следствий, то формируются умения, входящие в '''метод тождественных преобразований'''. <code>Компоненты метода</code>: перенос общих приёмов тождественных преобразований алгебраических выражений на тригонометрические. Поэтому свойства введённых тригонометрических функций выделяют особенности преобразований неалгебраических выражений. Так, необходимо прояснить, какие и{{Ударение}}менно преобразования дети могут выполнять, чтобы не случались '''ошибки''' вроде этой: <math>\operatorname{ctg}{x}+\mathrm{ctg}\,{4x} = \operatorname{ctg}{5x}</math>. Если введены новые понятия, то появляются и новые операции над ними. О правилах действий над понятиями «говорят» формулы, которые необходимо раз за разом отрабатывать! ==== Доказательство непосредственной проверкой ==== ==== На основании определения равных числовых выражений ==== ==== Метод нисходящего и восходящего анализа ==== ==== Метод «от противного» ==== <u><code>Суть</code></u>: ''предполагаем, что требование неверно и после преобразований получаем противоречие с условием либо с истинным неравенством.'' == Шаг IV. Тригонометрические функции числового аргумента == === Подготовительный этап === Повторить предыдущие определения и все свойства функций. === Мотивационный этап === Тут обращаем внимание школьников на область определения аргумента. На предыдущих шагах область определения аргумента — это множества, обладающие размерностью [градусное исчисление угловых мер]. Также предлагаем задачи с практическим содержанием. Подводим детей к гармоническим колебаниям как к внутренней потребности математики. === Ориентировочный этап === На этом этапе ведущие действия: * построение точек, углов и графиков; * вычисление значений тригонометрических функций. Формируем понятия: ордината и абсцисса точки. {{Внимание|Важно разрушить представление об измерении аргументов, то есть аргумент принимает не только значения градусных мер, но и любые другие величины. Например, под знаком тригонометрической функции может стоять параметр, пробегающий временны́е значения.}} === Выведение следствий как формирование других (неведущих) действий === # Исследование и построение графиков функций; # Решение уравнений, неравенств и их систем (предварительно введя арк-функции). === Методы решения тригонометрических уравнений === Метод появляется тогда, когда уравнение не сводится к простейшему (линейное, квадратное и сводящееся к ним). Напомним некоторые методы решения уравнений в алгебре: # Разложение на множители # Замена переменной # Переход # Функциональный # Графический Для каждого метода можно выделить его формы и способы реализации. ==== Простейшие тригонометрические уравнения (ПТУ) ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |ПТУ и сводящиеся к ним |По определению, используя тригонометрическую окружность (построение точек и применение определения тригонометрчиеской функции) | |- |Графический (построение графика функции) | |- |По формулам (общая формула корней соответствующего тригонометрического уравнения) | |- |<math>k\cdot f\left(x\right)=m</math> |Решение линейного уравнения относительно <math>f\left(x\right)</math>, а затем соответствующего тригонометрического | |- |<math> f\left(ax+b\right)=m</math>, <math> f\left(x^2\right)=m</math> |Решение соответствующего тригонометрического уравнения, а затем алгебраического |<math>\cos{\left ( 3x+\dfrac{\pi}{4} \right )}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math> |- | rowspan="2" |<math>f^2\left(x\right)=m,\,m>0</math> |Формулы понижения степени и решение уравнение, сводящееся к ПТУ относительно нового аргумента<ref>Понижая степень, мы получаем одно тригонометрическое уравнение и сразу же объединённые корни.</ref> |<math>\sin^2{x}=\dfrac{1}{4}</math>, т. к. <math>\dfrac{1-\cos{2x}}{2}=\dfrac{1}{4}</math> |- |Решение квадратного уравнения относительно <math>f\left(x\right)</math>, а далее решить ПТУ<ref>Если мы решаем уравнение как квадратное, то на выходе придётся решать два тригонометрических уравнения, объединённых квадратной скобкой. К тому же, будем иметь два семейства корней, которые дополнительно надо объединять. И не обязательно, что явятся нам табличные значения тригонометрических функций!!!</ref> |<math>\sin^2{x}=\dfrac{1}{4}</math>, т. к. <math>\sin^2{x}-\dfrac{1}{4}=0</math> |} ==== Метод замены переменной ==== <u><code>Суть метода замены</code></u>: ''сведение к одноимённой тригонометрической функции одного аргумента''. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- |Алгебраические уравнения относительно одноимённой тригонометрической функции одного аргумента. А также уравнения к ним сводящиеся |Решение соответствующего алгебраического уравнения, а затем решение ПТУ. |<math>\sin^2{x}-5\cos{x}+1=0</math> |- | rowspan="2" |Однородные уравнения<ref>{{Определение|Уравнение называется <code>однородным</code>, если все его члены имеют одну и ту же степень.|1}}{{Определение|<code>Однородным тригонометрическим уравнением</code> <math>n</math>-й степени называется уравнение вида <math>A_{0}\sin^{n}{x} + A_{1}\sin^{n-1}{x}\cos{x} + A_{2}\sin^{n-2}{x}\cos^{2}{x} + \ldots + A_{n}\cos^{n}{x}=0.</math>|2}}</ref> (I, II и III степени) относительно синуса и косинуса, а также к ним сводящиеся: * <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=c</math>; * <math>a\cdot\sin^2{x}+b\cdot\sin{x}\cdot\cos{x}+c\cdot \cos^2{x}=d</math> |Сведение к тангенсу и котангенсу, а затем решение ПТУ | |- |Для уравнения <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=c</math> вводим вспомогательный аргумент (например, <math>\varphi = \mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}</math>) и используем формулу <math>a\cdot\sin{x}+b\cdot\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left\{x+\mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}\right\}</math>. Получаем уравнение <math>\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left\{x+\mathrm{arctg}\, {\dfrac{b}{a}}\right\} = c</math>.{{Совет|Также можно решать сведением к однородному уравнению II-й степени, переходя к половинному аргументу. Теоретическая база: основное тригонометрическое тождество, формулы синуса и косинуса двойного аргумента.}} | |- |Уравнения, содержащие одновременно сумму (разность) и произведение синуса и косинуса, т. е. они имеют вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm \cos{x},\; \sin{x}\cdot \cos{x} \right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных. |Заменой (подстановкой) <math>t=\sin{x}\pm \cos{x}</math> сводится к рациональному уравнению <math>\mathcal{R}\left ( t,\; \pm\dfrac{t^2-1}{2} \right) = 0</math>. Тем самым решается квадратное уравнение относительно <math>t</math>, далее решается уравнение вида <math>\sin{x}\pm \cos{x} = t_{1,2}</math>, где <math>t_{1,2}</math> — корни квадратного уравнения. |<math>3\left ( \sin{x} + \cos{x} \right ) + 2\sin{x} \cos{x}+1 =0</math><math>\dfrac{1}{\cos{x}}-\dfrac{1}{\sin{x}} + \dfrac{1}{\sin{x}\cdot \cos{x}} = 4</math> |- |Уравнения, содержащие одновременно сумму синуса и косинуса и синус двойного аргумента, т. е. они имеют вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm\cos{x},{\;} \sin{2x}\right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных. |Заменой (подстановкой) <math>t=\sin{x}\pm\cos{x}</math> сводится к рациональному уравнению <math>\mathcal{R}\left ( t,{\;} {\pm}\left[{t^2-1}\right] \right) = 0</math>. Тем самым решается квадратное уравнение относительно <math>t</math>, далее решается уравнение вида <math>\sin{x}\pm \cos{x} = t_{1,2}</math>, где <math>t_{1,2}</math> — корни квадратного уравнения. |<math>2\left ( 1- \sin{2x} \right ) - 5\left ( \sin{x} - \cos{x} \right ) + 3 = 0</math><ref>Можно применить эвристическое соображение: «Если для объектов <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> найдутся такие ненулевые числа <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, что выполняется равенство <math>\alpha A + \beta B = \left(\alpha + \beta \right)C</math>, тогда <math>A=B=C</math> либо же <math>\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{C-B}{A-C}</math> (<math>\alpha \neq \beta</math>)», в истинности которого несложно убедиться.</ref> |- | rowspan="2" |Уравнения, содержащие различные тригонометрические функции одного и того же аргумента |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок А. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и то же аргумента|Блока А]]. |<math>2\left ( \cos^4{x} - \sin^{4}{x} \right )=1</math> |- |Использование '''универсальных тригонометрических подстановок''' ('''УТП''').{{Внимание|Применение УТП часто приводит к достаточно сложным алгебраическим уравнениям. Поэтому её используют только в том случае, когда нет других методов решения тригонометрического уравнения.}} |<math>\cos{x}+\dfrac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=1</math> |- |Уравнения, содержащие одноимённые тригонометрические функции от разных аргументов |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] и [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Д. Произведение тригонометрических функций|Блока Д]]. |<math>\cos 3x + \cos x = 0,2</math><math>\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x = 0</math><math>\cos {x} \cos{3x} = \cos{5x} \cos {7x}</math> |- |Уравнения, содержащие разноимённые тригонометрические функции от разных аргументов |Использование '''УТП'''. В общем случае, это применение формул тригонометрии. |<math>3\sin{2x}-\cos{2x}-2\mathrm{tg}\, {x} + 5\mathrm{ctg}\, {x} = 4</math> |} {{Вопрос|Какие формулы нужно применить, чтобы уравнения вида <math>\mathcal{F}\left(\sin{t};\,\cos^{2}{t}\right)=0</math> и <math>\mathcal{F}\left(\operatorname{tg}\,{t};\,\operatorname{ctg}\,{t}\right)=0</math> свести к квадратному тригонометрическому уравнению?}} Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений. {{Важное|Если в уравнение неизвестная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с неизвестной обозначить одной буквой (новой переменной)}} {{Пример|Решите уравнение <math>2\sin^2{x}- 7\sin{x}+3=0</math>. {{Комментарий}} Анализируя вид этого уравнения, замечаем, что в его запись входит только одна тригонометрическая функция <math>\sin x</math>. Поэтому удобно ввести новую переменную <math>t \rightleftharpoons\sin x</math>. После решения квадратного уравнения необходимо выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения.<ref>'''Замечание'''. Записывая решение данного примера, можно при введении замены <math>t \rightleftharpoons\sin x</math> учесть, что <math>\left\vert \sin x \right\vert \leqslant 1</math>, и записать ограничения <math>\left\vert t \right\vert \leqslant 1</math>, а далее заметить, что один из корней <math>t = 3</math> не удовлетворяет неравенству <math>\left\vert t \right\vert \leqslant 1</math>, и после этого обратную замену выполнять только для <math>t = \dfrac{1}{2}</math>.</ref> '''Ответ:''' <math>\left \{ \left .\left ( -1 \right )^{n}\dfrac{\pi}{6} + \pi n\;\right\vert\,n\in \mathbb{Z} \right \}</math>.}} Решим следующую задачу разными приёмами. {{Задача| <math>\cos{x}+\sin{x}=0</math>.|<code>Приём 1</code>: применение основного тригонометрического тождества (ОТТ). Компоненты: # Выразить <math>\cos{x}</math> через <math>\sin{x}</math>. # Уединить радикал <math>\pm\sqrt{1-\sin^2{x}}</math>. # Возвести в квадрат полученное уравнение. # Привести подобные члены. # Решить уравнение: <math>\cos^2{x}=\dfrac{1}{2}</math>. # Проверить подстановкой в исходное (учёт появления посторонних корней, поскольку попутно было решено уравнение <math>\cos{x}=\sin{x}</math>). <code>Приём 2</code>: применение формулы синуса двойного аргумента. Компоненты: # Написать формулу <math>\sin{2x}=\left(\cos{x}+\sin{x}\right)^2-1</math>. # Воспользоваться условием <math>\cos{x}+\sin{x}=0</math>, то есть подставить значение суммы, равное нулю, в формулу. # Решить уравнение: <math>\sin{2x}=-1</math> <code>Приём 3</code>: применение определения и свойства ОТУ I-й степени. Компоненты: # Распознать ОТУ I-й степени. # Перенести <math>\cos{x}</math> либо <math>\sin{x}</math> в одну часть равенства. # Разделить уравнение на <math>\cos{x}</math> либо <math>\sin{x}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\operatorname{tg}\,{x} = -1</math> либо <math>\operatorname{ctg}\,{x} = -1</math>. <code>Приём 4</code>: применение УТП. Компоненты: # Вместо <math>\cos{x}</math> и <math>\sin{x}</math> подставить выражения <math>\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}{1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}</math> и соответственно <math>\dfrac{2\operatorname{tg}\,{\dfrac{x}{2}}}{1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}}}</math>. # Учесть ОДЗ переменной <math>x \neq \pi +2\pi k</math>, где <math>k\in \mathbb Z</math>. # Умножить полученное уравнение на <math>1+\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}} \neq 0</math>. # Решить квадратное тригонометрическое уравнение: <math>-\operatorname{tg}^2\,{\dfrac{x}{2}} + 2\operatorname{tg}\,{\dfrac{x}{2}} +1= 0</math>. <code>Приём 5</code>: применение формулы дополнительных аргументов<ref>{{Определение|Два аргумента называют <code>дополнительными</code>, если их сумма равна <math>\dfrac{\pi}{2}</math>.}} Так, аргументы <math>{x}</math> и <math>\dfrac{\pi}{2} - {x}</math> являются дополнительными друг к другу. Дополнительные аргументы обладают следующим свойством.{{Теорема|Взаимные кофункции дополнительных аргументов равны между собой.}} Также можно доказать, что '''сумма одноимённых тригонометрических функций дополнительных аргументов <math>{x}</math> и <math>\dfrac{\pi}{2} - {x}</math> всегда выражается через <math>\sin{2x}</math>'''.</ref> (частный случай формулы приведения), формулы суммы косинусов двух аргументов. Компоненты: # Вместо <math>\sin{x}</math> подставить выражение <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}</math>. # Воспользоваться формулой <math>\cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2\cos{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}</math>. # Разделить полученное уравнение на <math>2\cos{\dfrac{\pi}{4}}</math>. # Решить ПТУ: <math>\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)} = 0</math>. <code>Приём 6</code>: применение определения синуса и косинуса некоторого аргумента, нечётности синуса. Компоненты: # Уединить <math>\cos{x}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\cos{x} = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Нарисовать тригонометрическую окружность. # Применить определения синуса и косинуса. # Получить на окружности две точки, для которых выполняется требуемое равенство. # Записать аналитически семейство этих решений. <code>Приём 7</code>: применение формулы косинуса разности (либо же синуса суммы). Компоненты: # „Домножить” обе части исходного равенства на <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x}=0</math>. # Воспользоваться табличными значениями для синуса и косинуса от аргумента <math>\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # «Свернуть» либо по формуле <math>\cos{\alpha - \beta} = \cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}</math>, либо по формуле <math>\sin{\alpha + \beta} = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)} = 0</math> либо <math>\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)} = 0</math>. <code>Приём 8</code>: применение формулы введения вспомогательного аргумента. Компоненты: # Применить одну из формул: <math>\cos{x} +\sin{x}= \sqrt{2}\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}</math> либо <math>\cos{x} +\sin{x}= \sqrt{2}\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}</math>. # Заменить левую часть на выражение, стоя́щее в правой части одной из формул. # Разделить обе части уравнения на <math>\sqrt{2}</math>. # Решить одно из уравнений: <math>\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}= 0</math> либо <math>\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)} = 0</math>. <code>Приём 9</code>: построение графиков функций <math>y = \cos{x}</math> и <math>y =\sin{\left(-x\right)}</math>. Компоненты: # Уединить <math>\cos{x}</math>. # Получить уравнение-следствие <math>\cos{x} = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Построить графики функций <math>y = \cos{x}</math> и <math>y = \sin{\left(-x\right)}</math>. # Пересечение обоих графиков даст искомые решения, указать их. # Записать аналитически семейство этих решений. <code>Приём 10</code>: применение МЗФ функций синуса и косинуса. Компоненты: # Воспользоваться тем, что <math>\cos{x} \in \left[-1,\,1\right]</math> и <math>\sin{x} \in \left[-1,\,1\right]</math>. # А также вспомнить, что обе функции одновременно не обращаются в нуль ни при каком аргументе (проверьте!). # Так как по модулю <math>\cos{x}</math> равен <math>\sin{x}</math>, то их квадраты равны. # Поэтому <math>\cos^2{x} + \sin^2{x} = 2\cdot \cos^2{x} =1</math>, т. е. <math>\left\vert\cos{x}\right\vert = \left\vert\sin{x}\right\vert =\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>. # Следовательно, <math>\begin{cases} \cos{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}</math> либо же <math>\begin{cases} \cos{x} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}</math>. # Решить совокупность двух систем уравнений. # Записать аналитически семейство этих решений. '''Ответ:''' <math>\left \{ \left .-\dfrac{\pi}{4} + \pi n\;\right\vert\,n\in \mathbb{Z} \right \}</math>. }}{{Задание|Рассортировать все приёмы, которые описаны в задаче, по методам решения.}} Переходим ко второму довольно известному методу. ==== Метод разложения на множители ==== <u><code>Суть метода разложения на множители</code></u>: ''исходное уравнение привести к виду <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )\cdot \ldots \cdot f_{n}\left ( x \right )=0</math>''. Решение таких уравнений основано на следующем теоретическом положении. {{Правило в рамке/Алгебра|текст=Если левая часть уравнения является произведением нескольких сомножителей, а правая часть равна нулю, то корнями такого уравнения служат те и только те значения неизвестной, при которых обращается в нуль хотя бы один из сомножителей, но ни один из остальных НЕ теряет числового смысла.}} Это положение подчёркивает важность предварительного нахождения ОДЗ неизвестной.{{sfn|Абрамович, Стародубцев|Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства: §1. Уравнения|с=98—99}} {{Теорема|Уравнение <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )=0</math> равносильно совокупности двух систем <math>\begin{cases} f_{1}\left ( x \right ) = 0,\\ x\in \mathcal{D}_{f_{2}} \end{cases}</math> и <math>\begin{cases} f_{2}\left ( x \right ) = 0,\\ x\in \mathcal{D}_{f_{1}} \end{cases}</math>.}}Другими словами, множество решений уравнения <math>f_{1}\left ( x \right )\cdot f_{2}\left ( x \right )=0</math> есть объединение множеств решений двух вышенаписанных систем. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |Разложение на множители при помощи приёмов алгебры |Вынесение общего множителя<ref>''Теоретическая основа'' приёма: '''распределительный закон умножения'''.</ref> |<math>2\color{brown}\cos^2{x}\color{black}- \color{brown}{\cos x}\color{black} \cdot \sin x = 0</math> |- |Группировка слагаемых |<math>\color{red}1\color{black}-{\sin{x}}\cdot \color{blue}{\cos{x}}\color{black} +\color{black}\color{red}\sin{x}\color{black} - \color{blue}{\cos{x}}\color{black}=0</math><ref>'''''Другой метод'''''. Применение подстановки, так как уравнение имеет вид <math>\mathcal{R}\left ( \sin{x}\pm \cos{x},\; \sin{x}\cdot \cos{x} \right) = 0</math>, где <math>\mathcal{R}</math> — рациональная функция двух переменных.</ref> |- |Формулы сокращённого умножения | |- | rowspan="2" |Разложение на множители при помощи формул тригонометрии |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] |<math>2\sin{17x}+\sqrt{3}\cos{5x}+\sin{5x}=0</math>, т. к. <math>\sin{17x}+\sin{\left\{5x+\dfrac{\pi}{3}\right\}}=0</math> |- |Применение формул из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Е. Формулы приведения|Блока Е]] |<math>\sin{5x}+\cos{x}=0</math>, т. к. <math>\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-5x\right)}+\cos{x} = 0</math> |- |Комбинация алгебры и тригонометрии |Формулы из [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок В. Формулы двойного аргумента|Блока В]], [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Г. Формулы суммы/разности одноимённых тригонометрических функций|Блока Г]] и [[Тригонометрические функции в курсе математики средней школы#Блок Е. Формулы приведения|Блока Е]] |<math>3\sin{2x}+\cos{x}=0</math>, т. к. <math>\cos{x}\left(6\sin{x}+1\right)=0</math> |} {{Пример|Решите уравнение <math>\operatorname{tg}^3{2x}- \operatorname{tg}\,{2x}=0</math>. {{Комментарий}} В заданное уравнение переменная входит только в виде <math>\operatorname{tg}\,{2x}</math>. Необязательно вводить новую переменную, а достаточно разложить на множители левую часть методами алгебры: определение и вынесение общего множителя, формула разности квадратов. Ответ записывается трёхточечным множеством.}} {{Пример|Решите уравнение <math>\sin{7x} = \sin{5x}</math>. {{Комментарий}} Достаточно трудно все тригонометрические функции в этом уравнении привести к одному аргументу. В таком случае приходится ''переносить все члены уравнения в одну сторону и пробовать получить произведение, равное нулю''. Для этого воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: :<math>\sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2 \sin{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}.</math> ''Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл''. В данном случае все данные и полученные выражения имеют смысл на всём множестве действительных чисел. В конце учитываем, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений <math>\sin{x} = 0</math> или <math>\cos{6x} = 0</math>, и поэтому в ответе должны быть записаны все корни каждого из этих уравнений.}} {{Пример|Решите уравнение <math>\sin{x} + \sin{3x}= \sin{4x}</math>. {{Комментарий}} Сразу ''переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, которое равно нулю''. Для этого применим формулу преобразования суммы синусов, стоя́щей в левой части уравнения, в произведение: :<math>\sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \sin{\dfrac{\alpha + \beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha - \beta}{2}}</math> :(учтём, что <math>\cos {\left(-x\right)} = \cos{x}</math>). Для того чтобы вынести какое-то выражение за скобки и получить произведение, достаточно записать <math>\sin{4x}</math> как синус двойного аргумента (тогда за скобки выносится <math>\sin{2x}</math>). ''Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл''. Во втором из полученных уравнений преобразуем разность косинусов в произведение. действительных чисел. В конце учитываем, что все данные и полученные выражения существуют на всём множестве действительных чисел. Таким образом, данное уравнение на этом множестве равносильно совокупности уравнений: <math>\sin{2x} = 0</math>, или <math>\sin{\dfrac{3x}{2}} = 0</math>, или <math>\sin{\dfrac{x}{2}} = 0</math>, и поэтому в ответ необходимо записать все корни каждого из этих уравнений.<ref>'''Замечание'''. Запись ответа можно сократить. Так, если изобразить все найденные решения на единичной окружности, то можно увидеть, что решение <math>x=2\pi k</math> даёт те же точки, что и формула <math>x=\dfrac{\pi n}{2}</math> при <math>n</math>, кратном <math>4</math> (<math>n=4k</math>), или формула <math>x=\dfrac{2\pi m}{3}</math> при <math>m</math>, кратном <math>3</math> (<math>m = 3k</math>). Таким образом, формула <math>x=2\pi k</math> не даёт новых корней в сравнении с формулами <math>x=\dfrac{\pi n}{2}</math> или <math>x=\dfrac{2\pi m}{3}</math>, и поэтому ответ может быть записан в виде только двух последних формул. Но такое сокращение ответа не является обязательным.</ref>}} Рассмотрим следующий мтеод. ==== Метод перехода ==== <u><code>Суть метода перехода</code></u>: ''переход от равенства, связывающему функции, к равенству, связывающему аргументы этих функций''. {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="3" |Уравнение вида <math>\mathcal{F}\left(A\right)=\mathcal{F}\left(B\right)</math> |Аркфункции |<math>\sin{A}=\sin{B}</math> |- |ПТУ |<math>\mathrm{tg}\,{x}=-\sqrt{3}</math> |- |По “готовой” формуле |<math>\sin{A}=\sin{B}</math> |} Зачастую уравнение можно решать разложением на множители, а не методом перехода. ==== Функциональный метод ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- | rowspan="5" |Использование свойств функции |Область определения функции | |- |Множество значений функции | |- |Ограниченность функции (метод мажорант<ref>{{Определение|<code>Мажорантой</code> данной функции <math>f\left ( x \right )</math> на множестве <math>\mathcal{P}</math> (или множества <math>\mathcal{A}</math> чисел) называется такое число <math>\mathcal{M}</math>, что либо <math>f\left ( x \right )\leqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in \mathcal{P}</math>, либо <math>f\left ( x \right )\geqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in \mathcal{P}</math> (соответственно, <math>x\leqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x</math> из <math>\mathcal{A}</math>, или <math>x\geqslant\mathcal{M}</math> для всех <math>x\in\mathcal{A}</math>).}} Например, любое число, большее или равное <math>1</math>, будет мажорантой для функций <math>\sin x</math> и <math>\cos x</math> на любом множестве. <code>Суть метода мажорант</code>: если для функций <math>f\left ( x \right )</math> и <math>g\left ( x \right )</math> уравнения <math>f\left ( x \right ) = g\left ( x \right )</math> существует такое число <math>\mathcal{M}</math>, что для любого <math>x</math> из области определения <math>f\left ( x \right )</math> и <math>g\left ( x \right )</math> имеем <math>f\left ( x \right )\leqslant\mathcal{M}</math> и <math>g\left ( x \right )\geqslant\mathcal{M}</math>, тогда уравнение <math>f\left ( x \right ) = g\left ( x \right )</math> эквивалентно системе <math>\begin{cases} f\left ( x \right ) = \mathcal{M},\\ g\left ( x \right ) = \mathcal{M}.\end{cases}</math></ref>) |<math>\cos{2x}+\cos{x}=2</math>, т. к. <math>\forall \theta \in \mathbb{R}: \cos{\theta} \leqslant 1</math> <math>\sin{x}\sin{5x}=1</math> |- |Монотонность функции | |- |Отсутствие решений (вообще либо на промежутке) | |} ==== Графический метод ==== {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+ !Формы метода !Способы реализации !Примеры |- |Слева и справа от знака равенства разные функции по природе |Построение двух графиков функций на одной координатной плоскости |<math>\mathrm{ctg}\,{x}=\log_2{x}</math>, т. к. можно рассмотреть графики функций <math>y=\mathrm{ctg}\,{x}</math> и <math>y=\log_2{x}</math> |} === Методы решения тригонометрических неравенств === Данный тип задача частично содержит методы решения тригонометрических уравнений и пополняется новым списком методов. Например, геометрический метод. == Задания == {{Задание|Проанализировать тригонометрические формулы выбранного учебника по схеме, представленной в таблице ниже. }} {| class="wikitable collapsible collapsed" width="100%" |+Пример оформления !Тригонометрическая формула !Наличие/отсутствие доказательства !Метод доказательства |- |Косинус разности аргументов |Имеется |Векторный метод |- |Косинус суммы аргументов |Да |Метод тождественных преобразований |- |Сумма синусов двух аргументов |Есть |Метод тождественных преобразований |- |Формула введения вспомогательного аргумента через синус |Доказывается, применяя лемму |Лемма: координатный. Формула: тождественные преобразования<ref>''Другой способ доказательства'' базируется на '''методе “цепочки треугольников”''' (в частности, <u>метод “ключевого” треугольника</u>) и '''методе тождественных преобразований''' выражений. То есть рассматривается прямоугольный треугольник с заданными катетами. Далее легко получить длину гипотенузы, а затем вынести «общий» множитель в виде радикала суммы квадратов катетов из выражения <math>a\sin{x} + b\cos{x}</math>. Получим <math>a\sin{x} + b\cos{x} = \sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x} + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}\right)</math>. Применяем определения синуса либо косинуса острого угла прямоугольного треугольника (введение угла). Наконец, по формула синуса суммы либо косинуса разности соответственно сворачиваем.</ref>{{sfn|Нелин_геометрия_10|Раздел 1. Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии : §1. Логическое построение школьного курса планиметрии (1.2. Методы решения планиметрических задач)|с=17}} |- |Формула введения вспомогательного аргумента через косинус | colspan="2" |{{По центру|Таковая не упоминается вовсе.}} |- |{{По центру|...}} |{{По центру|...}} |{{По центру|...}} |} == Примечания == {{примечания}} == Литература == * {{книга | автор = [[w:Бескин, Николай Михайлович|Бескин Н. М.]] | место = М. | издательство = Учпедгиз | год = 1950 | страниц = 140 | ref = Бескин |заглавие=Вопросы тригонометрии и её преподавания }} * {{книга | автор = [[w:Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]], [[w:Бутузов, Валентин Фёдорович|Бутузов В. Ф.]], [[w:Кадомцев, Сергей Борисович|Кадомцев С. Б.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2008 | страниц = 384 | isbn = 978-5-7853-0953-1 | ref = Атанасян |издание=18-е изд |заглавие=Геометрия, 7—9: учеб. для обшеобразоват. учреждений |тираж=3 735 000 }} * {{книга | автор = [[w:Смирнов, Владимир Алексеевич|Смирнов В. А.]], [[w:Смирнова, Ирина Михайловна|Смирнова И. М.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2022 | страниц = 176 | isbn = 978-5-09-093187-8 | ref = Смирнов |издание=2-е изд., стер |заглавие=Геометрия: 9-й класс : учебник |тираж=300 }} * {{книга | автор = [[w:Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]] | место = М. | издательство = Просвещение | год = 1988 | страниц = 303 | isbn = | ref = Погорелов |издание=7-е изд |заглавие=Геометрия: Учеб. пособие для 6—10 кл. сред. шк. |тираж=3 735 000 }} * {{книга | автор = [[w:Колягин, Юрий Михайлович|Колягин Ю. М.]], Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. | место = М. | издательство = Просвещение | год = 2011 | страниц = 368 | isbn = 978-5-09-025401-4 | ref = Колягин и др. |издание=4-е изд |заглавие=Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни |тираж=40 000 |ссылка=https://file.11klasov.net/1388-algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-klass-bazovyy-i-prof-urovni-kolyagin-yum-i-dr.html}} * {{книга | автор = [[w:Нелин, Евгений Петрович|Нелин Е. П.]], Лазарев В. А. | место = М. | издательство = Илекса | год = 2011 | страниц = 480 | isbn = 978-5-89237-336-4 | ref = Нелин |заглавие=Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для обшеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни |тираж=5 000 }} * {{книга | автор = [[w:Нелин, Евгений Петрович|Нелин Е. П.]] | место = Х. | издательство = Гимназия | год = 2010 | страниц = 240 | isbn = 978-966-474-100-9 | ref = Нелин_геометрия_10 |заглавие= Геометрия : двухуров. учеб. для 10-го кл. общеобразоват. учеб. заведений : академ. и профил. уровни |тираж=3 000 }} * {{книга | автор = {{nobr|Абрамович М. И.}}, {{nobr|Стародубцев М. Т.}} | место = М. | издательство = Высшая школа | год = 1976 | страниц = 304 | ref = Абрамович, Стародубцев |заглавие= Математика (геометрия и тригонометрические функции). Учеб. пособие для подготовит. отделений втузов |тираж=280 000 }} [[Категория:Алгебра]] 44moqnn1h0fz8iz6nc8bxn2koilgsks 0 31048 267597 262658 2026-05-21T08:08:11Z AllaBuraya 79455 267597 wikitext text/x-wiki Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др. Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы: # математические объекты; # математические явления; # математические величины; # математические законы. Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп. == Математические объекты == {{Определение|<code>Объектами</code> принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.|“Объект”}} По сути, объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения и воздействия. {{Определение|<code>Математический объект</code> — объект математического исследования и его применения на практике.|“Математический объект”}}Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть <u>идеализированы</u>.{{Важное||текст=Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией. Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), [[w:Модельные организмы|модельные организмы]] (биология). В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.}}В математике используют <u>объекты, вводимые для математического описания</u> явлений: ''натуральное число'' <code>‘результат счёта предметов’</code>, ''матрица'' <code>‘прямоугольная таблица действительных чисел’</code>, ''угол'' <code>‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’</code>, ''график функции'' <code>‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’</code> и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).{{Пример|''Перпендикулярные прямые'' — прямые, которые имеют разноименные положения. Если одну прямую принять за горизонтальное положение, то другая будет иметь вертикальное, и наоборот.}}{{Пример|''Параллельная прямая к данной'' — прямая, которая может быть получена с помощью сдвига на плоскости другой (данной) прямой на определённое расстояние от неё.}} === Математические выражения === == Математические явления == На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление ''параллельности''], «Выпуклые многоугольники» [явление ''выпуклости''], «Подобие фигур» [явление ''подобия''], «Числовые последовательности» [явление ''последовательности''], «Отношения и пропорции» [явление ''пропорции''], «Уравнения с одной неизвестной» [явление ''уравнения''], «Множества и операции над ними» [изучаются явления ''объединения'', ''пересечения'', ''дополнения'', ''разбиения''] и др. Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов. Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.{{Определение|Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (первое)}}Рассмотрим ещё один пример.{{Пример|''Функция'' — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) <math>y = f \left( x \right)</math> между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>). Объясняется тем, что элементы <math>y</math> множества <math>Y</math> как '''переменные величины''' становятся <u>зависимыми от элементов</u> <math>x</math> множества <math>X</math>. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (элемент множества <math>Y</math>), '''характере этих изменений''' (связь зависимостью/соответствием), '''воздействующем объекте''' (элемент множества <math>X</math>) и '''условиях взаимодействия''' (каждому элементу множества <math>X</math> соответствует единственный элемент множества <math>Y</math>). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (элемент <math>y</math> рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (элемент <math>x</math> — тоже переменная величина, принимающая ''различные'' значения из заданного множества <math>X</math>).}}{{Пример|''Параллельность'' фигур (одной природы) — геометрическое явление, при котором две и более фигуры располагаются в одном положении. Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что любая из данных фигур может быть получена путём движения-переноса другой в нужном направлении на конкретное расстояние.}}{{Пример|''Плоский угол'' — планиметрическое явление, заключающееся в образовании положения двух лучей, имеющих общую вершину. Устанавливается такое расположение при условии вращения какого-нибудь луча. Объясняется тем, что один луч движется относительно неподвижного (фиксированного) вокруг их общей точки; в результате остановки активного (движущегося) луча в конкретный момент образуется угол, т. е. геометрическая фигура. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (движущийся луч), '''характере этих изменений''' (связь вращением), '''воздействующем объекте''' (неподвижный луч) и '''условиях взаимодействия''' (вершина принадлежит обоим лучам). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (какой-то луч рассматривается как подвижный, который меняет своё положение по отношению к другому) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (другой луч — неподвижный, на плоскости как бы зафиксирован).}}{{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}}{{Определение|Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (второе)}}В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия. Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью]. С понятием математического явления тесно связано понятие '''математического процесса'''. Термин «процесс» (от ''лат''. processos — продвижение) означает последовательную смену состояний объекта. Для процесса существенным фактором является время. Одной из характеристик процесса может быть ''длительность'' его. {{Пример|''Решение математической задачи'' — деятельность человека (процесс), направленная на отыскание такой последовательности общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче — её ответ. Процесс решения задачи зависит в первую очередь от характером самой задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.}} Пример: счёт предметов — процесс установления количества этих предметов посредством их нумерации (т. е. путём определения порядка их следования). Арифметическое вычисление — процесс перехода / изменения математического объекта (напр., выражения, величины) от ... к ... путём выполнения арифметических преобразований. Измерение тоже процесс по установлению количественной оценки некоторой величины; нахождению значения физической величины опытны путём. Измерить физ. величину означает сравнить её с однородной физ. величиной, принятой за единицу (меры), т. е. эталон. Так, измерить массу тела означает сравнить её с другой массой, которая принята за единицу (напр., 1 кг). Округление числа до какого-то разряда также является процессом, цель которого установить, сколько единиц этого разряда содержится в данном числе.{{Пример|''Сложение'' — арифметическое действие, отражающее реальную операцию соединения (объединения) нескольких множеств при условии, если известно, сколько элементов содержит каждое из этих множеств, т. е. их количество.}}{{Пример|''Арифметическое действие умножение'' есть отражение (модель) реальной операции перехода от счёта (измерения) крупными единицами к счёту (измерению) мелкими единицами, когда известно, сколько мелких единиц содержит каждая крупная единица.}}Скажем, из 12 байт перевести в биты. Отметим, что обратная операция, которую мы выполняем при переводе из мелкой единицы в более крупную, называется делением. Например, из 24 бита перевести в байты: так как в 1 байте содержится 8 битов, то 24 бита, деля на 8, получаем 3 байта. == Математические величины == Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство <u>количественно</u>, вводят понятие о '''''математической величине'''''. Например: ''мощность'' — величина, показывающая число элементов множества; ''объём'' — величина, показывающая расположение (заполняемость) фигуры в пространстве; ''разность'' — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении; ''длина'' — величина протяжённости предмета; ''скорость'' — величина, показывающая быстроту изменения (смену расположения) предмета в пространстве; ''температура'' — величина нагретости тела; величина, показывающая чем придётся жертвовать (уплачивать) и есть ''цена'' того, что мы хотим получить; ''время'' — величина, характеризующая длительность процесса; ''координата'' объекта (точки) — величина, отвечающая за расположение этого объекта, которая выражена числом.{{Определение|''Математическая величина'' — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.|“Математическая величина”}}Различают скалярные и векторные математические величины.{{Пример|''Натуральными числами'' называются числа, которые определяют количество предметов (элементов) того или иного множества.}} == Математические законы == Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты. Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.{{Определение|Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется <code>математическим законом</code>.|“Математический закон”}}Познание математических законов составляет основную задачу математики.{{Определение|<code>Научным фактом</code> называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.|“Научный факт”}}Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др. Примеры правил (договорённостей, для которых можно обосновать удобство/рациональность): правило Шаля для векторов, правило академика А. Н. Крылова, правило треугольника/параллелограмма для векторов, правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей, правило/схема Горнера, правила округления/приближения чисел. === Математические предложения === === Понятие формулы === {{Определение|<code>Формулой</code> называют такой математический факт, который может быть записан в виде равенства или неравенства, связывающие математические величины. Запись этого факт обозначает какое-то утверждение. Причём каждая входящая буква в формулу должна пониматься нами (интерпретироваться) как некоторая величина.|“Формула”}}Формула есть предложение, точнее высказывательная форма! Говорят, что формула справедлива, если в заданных условиях при подстановки конкретных чисел на место букв высказывательная формула обращается в тождественно истинную высказывательную форму. Примеры: * <math>a\cdot b = b\cdot a</math> (формула, выражающее переместительное свойство умножения); * <math>k=2n-1</math> (формула нечётного числа, гласящая о том, что всякое нечётное число можно задать, т. е. представимо, с помощью другого натурального числа); * неравенство треугольника, неравенство Бернулли, неравенство Чебышёва (формулы в виде неравенств); * формула связи температур по различным шкалам <math>F=1,8\cdot C+32</math> перестаёт быть формулой (иметь определённый статус и выделяться на фоне других равенств), если буквами <math>C</math> и <math>F</math> обозначены иного рода величины: например, координаты точек на луче. {{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}} == Пример == === Математические объекты, изучаемые в теме === {| class="wikitable" |+Математические объекты, изучаемые в теме !Математические объекты !Идеализированные объекты !Объекты, вводимые для математического описания |- |Треугольник |Точка, прямая, плоскость |Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза |} === Математические явления === Изучается одно математическое явление — '''равенство геометрических фигур'''. Треугольник называется '''равным''' другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. {| class="wikitable" |+Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» !Математические ОБЪЕКТЫ !Математические ЯВЛЕНИЯ !Математические ВЕЛИЧИНЫ !Математические ЗАКОНЫ |- |Треугольник | | | |- | | | | |- | | | | |} [[Категория:Учебники без шаблона]] aya8bo08u9bhpkbfkpxhpxj817dz2tk 267598 267597 2026-05-21T08:08:22Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267598 wikitext text/x-wiki Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др. Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы: # математические объекты; # математические явления; # математические величины; # математические законы. Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп. == Математические объекты == {{Определение|<code>Объектами</code> принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.|“Объект”}} По сути, объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения и воздействия. {{Определение|<code>Математический объект</code> — объект математического исследования и его применения на практике.|“Математический объект”}}Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть <u>идеализированы</u>.{{Важное||текст=Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией. Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), [[w:Модельные организмы|модельные организмы]] (биология). В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.}}В математике используют <u>объекты, вводимые для математического описания</u> явлений: ''натуральное число'' <code>‘результат счёта предметов’</code>, ''матрица'' <code>‘прямоугольная таблица действительных чисел’</code>, ''угол'' <code>‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’</code>, ''график функции'' <code>‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’</code> и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).{{Пример|''Перпендикулярные прямые'' — прямые, которые имеют разноименные положения. Если одну прямую принять за горизонтальное положение, то другая будет иметь вертикальное, и наоборот.}}{{Пример|''Параллельная прямая к данной'' — прямая, которая может быть получена с помощью сдвига на плоскости другой (данной) прямой на определённое расстояние от неё.}} === Математические выражения === == Математические явления == На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление ''параллельности''], «Выпуклые многоугольники» [явление ''выпуклости''], «Подобие фигур» [явление ''подобия''], «Числовые последовательности» [явление ''последовательности''], «Отношения и пропорции» [явление ''пропорции''], «Уравнения с одной неизвестной» [явление ''уравнения''], «Множества и операции над ними» [изучаются явления ''объединения'', ''пересечения'', ''дополнения'', ''разбиения''] и др. Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов. Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.{{Определение|Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (первое)}}Рассмотрим ещё один пример.{{Пример|''Функция'' — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) <math>y = f \left( x \right)</math> между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>). Объясняется тем, что элементы <math>y</math> множества <math>Y</math> как '''переменные величины''' становятся <u>зависимыми от элементов</u> <math>x</math> множества <math>X</math>. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (элемент множества <math>Y</math>), '''характере этих изменений''' (связь зависимостью/соответствием), '''воздействующем объекте''' (элемент множества <math>X</math>) и '''условиях взаимодействия''' (каждому элементу множества <math>X</math> соответствует единственный элемент множества <math>Y</math>). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (элемент <math>y</math> рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (элемент <math>x</math> — тоже переменная величина, принимающая ''различные'' значения из заданного множества <math>X</math>).}}{{Пример|''Параллельность'' фигур (одной природы) — геометрическое явление, при котором две и более фигуры располагаются в одном положении. Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что любая из данных фигур может быть получена путём движения-переноса другой в нужном направлении на конкретное расстояние.}}{{Пример|''Плоский угол'' — планиметрическое явление, заключающееся в образовании положения двух лучей, имеющих общую вершину. Устанавливается такое расположение при условии вращения какого-нибудь луча. Объясняется тем, что один луч движется относительно неподвижного (фиксированного) вокруг их общей точки; в результате остановки активного (движущегося) луча в конкретный момент образуется угол, т. е. геометрическая фигура. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (движущийся луч), '''характере этих изменений''' (связь вращением), '''воздействующем объекте''' (неподвижный луч) и '''условиях взаимодействия''' (вершина принадлежит обоим лучам). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (какой-то луч рассматривается как подвижный, который меняет своё положение по отношению к другому) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (другой луч — неподвижный, на плоскости как бы зафиксирован).}}{{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}}{{Определение|Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (второе)}}В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия. Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью]. С понятием математического явления тесно связано понятие '''математического процесса'''. Термин «процесс» (от ''лат''. processos — продвижение) означает последовательную смену состояний объекта. Для процесса существенным фактором является время. Одной из характеристик процесса может быть ''длительность'' его. {{Пример|''Решение математической задачи'' — деятельность человека (процесс), направленная на отыскание такой последовательности общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче — её ответ. Процесс решения задачи зависит в первую очередь от характером самой задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.}} Пример: счёт предметов — процесс установления количества этих предметов посредством их нумерации (т. е. путём определения порядка их следования). Арифметическое вычисление — процесс перехода / изменения математического объекта (напр., выражения, величины) от ... к ... путём выполнения арифметических преобразований. Измерение тоже процесс по установлению количественной оценки некоторой величины; нахождению значения физической величины опытны путём. Измерить физ. величину означает сравнить её с однородной физ. величиной, принятой за единицу (меры), т. е. эталон. Так, измерить массу тела означает сравнить её с другой массой, которая принята за единицу (напр., 1 кг). Округление числа до какого-то разряда также является процессом, цель которого установить, сколько единиц этого разряда содержится в данном числе.{{Пример|''Сложение'' — арифметическое действие, отражающее реальную операцию соединения (объединения) нескольких множеств при условии, если известно, сколько элементов содержит каждое из этих множеств, т. е. их количество.}}{{Пример|''Арифметическое действие умножение'' есть отражение (модель) реальной операции перехода от счёта (измерения) крупными единицами к счёту (измерению) мелкими единицами, когда известно, сколько мелких единиц содержит каждая крупная единица.}}Скажем, из 12 байт перевести в биты. Отметим, что обратная операция, которую мы выполняем при переводе из мелкой единицы в более крупную, называется делением. Например, из 24 бита перевести в байты: так как в 1 байте содержится 8 битов, то 24 бита, деля на 8, получаем 3 байта. == Математические величины == Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство <u>количественно</u>, вводят понятие о '''''математической величине'''''. Например: ''мощность'' — величина, показывающая число элементов множества; ''объём'' — величина, показывающая расположение (заполняемость) фигуры в пространстве; ''разность'' — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении; ''длина'' — величина протяжённости предмета; ''скорость'' — величина, показывающая быстроту изменения (смену расположения) предмета в пространстве; ''температура'' — величина нагретости тела; величина, показывающая чем придётся жертвовать (уплачивать) и есть ''цена'' того, что мы хотим получить; ''время'' — величина, характеризующая длительность процесса; ''координата'' объекта (точки) — величина, отвечающая за расположение этого объекта, которая выражена числом.{{Определение|''Математическая величина'' — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.|“Математическая величина”}}Различают скалярные и векторные математические величины.{{Пример|''Натуральными числами'' называются числа, которые определяют количество предметов (элементов) того или иного множества.}} == Математические законы == Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты. Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.{{Определение|Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется <code>математическим законом</code>.|“Математический закон”}}Познание математических законов составляет основную задачу математики.{{Определение|<code>Научным фактом</code> называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.|“Научный факт”}}Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др. Примеры правил (договорённостей, для которых можно обосновать удобство/рациональность): правило Шаля для векторов, правило академика А. Н. Крылова, правило треугольника/параллелограмма для векторов, правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей, правило/схема Горнера, правила округления/приближения чисел. === Математические предложения === === Понятие формулы === {{Определение|<code>Формулой</code> называют такой математический факт, который может быть записан в виде равенства или неравенства, связывающие математические величины. Запись этого факт обозначает какое-то утверждение. Причём каждая входящая буква в формулу должна пониматься нами (интерпретироваться) как некоторая величина.|“Формула”}}Формула есть предложение, точнее высказывательная форма! Говорят, что формула справедлива, если в заданных условиях при подстановки конкретных чисел на место букв высказывательная формула обращается в тождественно истинную высказывательную форму. Примеры: * <math>a\cdot b = b\cdot a</math> (формула, выражающее переместительное свойство умножения); * <math>k=2n-1</math> (формула нечётного числа, гласящая о том, что всякое нечётное число можно задать, т. е. представимо, с помощью другого натурального числа); * неравенство треугольника, неравенство Бернулли, неравенство Чебышёва (формулы в виде неравенств); * формула связи температур по различным шкалам <math>F=1,8\cdot C+32</math> перестаёт быть формулой (иметь определённый статус и выделяться на фоне других равенств), если буквами <math>C</math> и <math>F</math> обозначены иного рода величины: например, координаты точек на луче. {{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}} == Пример == === Математические объекты, изучаемые в теме === {| class="wikitable" |+Математические объекты, изучаемые в теме !Математические объекты !Идеализированные объекты !Объекты, вводимые для математического описания |- |Треугольник |Точка, прямая, плоскость |Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза |} === Математические явления === Изучается одно математическое явление — '''равенство геометрических фигур'''. Треугольник называется '''равным''' другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. {| class="wikitable" |+Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» !Математические ОБЪЕКТЫ !Математические ЯВЛЕНИЯ !Математические ВЕЛИЧИНЫ !Математические ЗАКОНЫ |- |Треугольник | | | |- | | | | |- | | | | |} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] lfd98oz85txm3frxuk5i16771j1l1uz 267755 267598 2026-05-21T10:41:18Z AllaBuraya 79455 267755 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др. Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы: # математические объекты; # математические явления; # математические величины; # математические законы. Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп. == Математические объекты == {{Определение|<code>Объектами</code> принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.|“Объект”}} По сути, объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения и воздействия. {{Определение|<code>Математический объект</code> — объект математического исследования и его применения на практике.|“Математический объект”}}Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть <u>идеализированы</u>.{{Важное||текст=Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией. Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), [[w:Модельные организмы|модельные организмы]] (биология). В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.}}В математике используют <u>объекты, вводимые для математического описания</u> явлений: ''натуральное число'' <code>‘результат счёта предметов’</code>, ''матрица'' <code>‘прямоугольная таблица действительных чисел’</code>, ''угол'' <code>‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’</code>, ''график функции'' <code>‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’</code> и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).{{Пример|''Перпендикулярные прямые'' — прямые, которые имеют разноименные положения. Если одну прямую принять за горизонтальное положение, то другая будет иметь вертикальное, и наоборот.}}{{Пример|''Параллельная прямая к данной'' — прямая, которая может быть получена с помощью сдвига на плоскости другой (данной) прямой на определённое расстояние от неё.}} === Математические выражения === == Математические явления == На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление ''параллельности''], «Выпуклые многоугольники» [явление ''выпуклости''], «Подобие фигур» [явление ''подобия''], «Числовые последовательности» [явление ''последовательности''], «Отношения и пропорции» [явление ''пропорции''], «Уравнения с одной неизвестной» [явление ''уравнения''], «Множества и операции над ними» [изучаются явления ''объединения'', ''пересечения'', ''дополнения'', ''разбиения''] и др. Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов. Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.{{Определение|Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (первое)}}Рассмотрим ещё один пример.{{Пример|''Функция'' — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) <math>y = f \left( x \right)</math> между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>). Объясняется тем, что элементы <math>y</math> множества <math>Y</math> как '''переменные величины''' становятся <u>зависимыми от элементов</u> <math>x</math> множества <math>X</math>. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (элемент множества <math>Y</math>), '''характере этих изменений''' (связь зависимостью/соответствием), '''воздействующем объекте''' (элемент множества <math>X</math>) и '''условиях взаимодействия''' (каждому элементу множества <math>X</math> соответствует единственный элемент множества <math>Y</math>). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (элемент <math>y</math> рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (элемент <math>x</math> — тоже переменная величина, принимающая ''различные'' значения из заданного множества <math>X</math>).}}{{Пример|''Параллельность'' фигур (одной природы) — геометрическое явление, при котором две и более фигуры располагаются в одном положении. Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что любая из данных фигур может быть получена путём движения-переноса другой в нужном направлении на конкретное расстояние.}}{{Пример|''Плоский угол'' — планиметрическое явление, заключающееся в образовании положения двух лучей, имеющих общую вершину. Устанавливается такое расположение при условии вращения какого-нибудь луча. Объясняется тем, что один луч движется относительно неподвижного (фиксированного) вокруг их общей точки; в результате остановки активного (движущегося) луча в конкретный момент образуется угол, т. е. геометрическая фигура. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (движущийся луч), '''характере этих изменений''' (связь вращением), '''воздействующем объекте''' (неподвижный луч) и '''условиях взаимодействия''' (вершина принадлежит обоим лучам). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (какой-то луч рассматривается как подвижный, который меняет своё положение по отношению к другому) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (другой луч — неподвижный, на плоскости как бы зафиксирован).}}{{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}}{{Определение|Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (второе)}}В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия. Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью]. С понятием математического явления тесно связано понятие '''математического процесса'''. Термин «процесс» (от ''лат''. processos — продвижение) означает последовательную смену состояний объекта. Для процесса существенным фактором является время. Одной из характеристик процесса может быть ''длительность'' его. {{Пример|''Решение математической задачи'' — деятельность человека (процесс), направленная на отыскание такой последовательности общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче — её ответ. Процесс решения задачи зависит в первую очередь от характером самой задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.}} Пример: счёт предметов — процесс установления количества этих предметов посредством их нумерации (т. е. путём определения порядка их следования). Арифметическое вычисление — процесс перехода / изменения математического объекта (напр., выражения, величины) от ... к ... путём выполнения арифметических преобразований. Измерение тоже процесс по установлению количественной оценки некоторой величины; нахождению значения физической величины опытны путём. Измерить физ. величину означает сравнить её с однородной физ. величиной, принятой за единицу (меры), т. е. эталон. Так, измерить массу тела означает сравнить её с другой массой, которая принята за единицу (напр., 1 кг). Округление числа до какого-то разряда также является процессом, цель которого установить, сколько единиц этого разряда содержится в данном числе.{{Пример|''Сложение'' — арифметическое действие, отражающее реальную операцию соединения (объединения) нескольких множеств при условии, если известно, сколько элементов содержит каждое из этих множеств, т. е. их количество.}}{{Пример|''Арифметическое действие умножение'' есть отражение (модель) реальной операции перехода от счёта (измерения) крупными единицами к счёту (измерению) мелкими единицами, когда известно, сколько мелких единиц содержит каждая крупная единица.}}Скажем, из 12 байт перевести в биты. Отметим, что обратная операция, которую мы выполняем при переводе из мелкой единицы в более крупную, называется делением. Например, из 24 бита перевести в байты: так как в 1 байте содержится 8 битов, то 24 бита, деля на 8, получаем 3 байта. == Математические величины == Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство <u>количественно</u>, вводят понятие о '''''математической величине'''''. Например: ''мощность'' — величина, показывающая число элементов множества; ''объём'' — величина, показывающая расположение (заполняемость) фигуры в пространстве; ''разность'' — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении; ''длина'' — величина протяжённости предмета; ''скорость'' — величина, показывающая быстроту изменения (смену расположения) предмета в пространстве; ''температура'' — величина нагретости тела; величина, показывающая чем придётся жертвовать (уплачивать) и есть ''цена'' того, что мы хотим получить; ''время'' — величина, характеризующая длительность процесса; ''координата'' объекта (точки) — величина, отвечающая за расположение этого объекта, которая выражена числом.{{Определение|''Математическая величина'' — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.|“Математическая величина”}}Различают скалярные и векторные математические величины.{{Пример|''Натуральными числами'' называются числа, которые определяют количество предметов (элементов) того или иного множества.}} == Математические законы == Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты. Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.{{Определение|Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется <code>математическим законом</code>.|“Математический закон”}}Познание математических законов составляет основную задачу математики.{{Определение|<code>Научным фактом</code> называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.|“Научный факт”}}Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др. Примеры правил (договорённостей, для которых можно обосновать удобство/рациональность): правило Шаля для векторов, правило академика А. Н. Крылова, правило треугольника/параллелограмма для векторов, правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей, правило/схема Горнера, правила округления/приближения чисел. === Математические предложения === === Понятие формулы === {{Определение|<code>Формулой</code> называют такой математический факт, который может быть записан в виде равенства или неравенства, связывающие математические величины. Запись этого факт обозначает какое-то утверждение. Причём каждая входящая буква в формулу должна пониматься нами (интерпретироваться) как некоторая величина.|“Формула”}}Формула есть предложение, точнее высказывательная форма! Говорят, что формула справедлива, если в заданных условиях при подстановки конкретных чисел на место букв высказывательная формула обращается в тождественно истинную высказывательную форму. Примеры: * <math>a\cdot b = b\cdot a</math> (формула, выражающее переместительное свойство умножения); * <math>k=2n-1</math> (формула нечётного числа, гласящая о том, что всякое нечётное число можно задать, т. е. представимо, с помощью другого натурального числа); * неравенство треугольника, неравенство Бернулли, неравенство Чебышёва (формулы в виде неравенств); * формула связи температур по различным шкалам <math>F=1,8\cdot C+32</math> перестаёт быть формулой (иметь определённый статус и выделяться на фоне других равенств), если буквами <math>C</math> и <math>F</math> обозначены иного рода величины: например, координаты точек на луче. {{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}} == Пример == === Математические объекты, изучаемые в теме === {| class="wikitable" |+Математические объекты, изучаемые в теме !Математические объекты !Идеализированные объекты !Объекты, вводимые для математического описания |- |Треугольник |Точка, прямая, плоскость |Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза |} === Математические явления === Изучается одно математическое явление — '''равенство геометрических фигур'''. Треугольник называется '''равным''' другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. {| class="wikitable" |+Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» !Математические ОБЪЕКТЫ !Математические ЯВЛЕНИЯ !Математические ВЕЛИЧИНЫ !Математические ЗАКОНЫ |- |Треугольник | | | |- | | | | |- | | | | |} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 8mdloa2u5my49d2yz0tmnouw0i82feu 267792 267755 2026-05-21T11:13:31Z AllaBuraya 79455 267792 wikitext text/x-wiki Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др. Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы: # математические объекты; # математические явления; # математические величины; # математические законы. Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп. == Математические объекты == {{Определение|<code>Объектами</code> принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.|“Объект”}} По сути, объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения и воздействия. {{Определение|<code>Математический объект</code> — объект математического исследования и его применения на практике.|“Математический объект”}}Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть <u>идеализированы</u>.{{Важное||текст=Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией. Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), [[w:Модельные организмы|модельные организмы]] (биология). В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.}}В математике используют <u>объекты, вводимые для математического описания</u> явлений: ''натуральное число'' <code>‘результат счёта предметов’</code>, ''матрица'' <code>‘прямоугольная таблица действительных чисел’</code>, ''угол'' <code>‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’</code>, ''график функции'' <code>‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’</code> и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).{{Пример|''Перпендикулярные прямые'' — прямые, которые имеют разноименные положения. Если одну прямую принять за горизонтальное положение, то другая будет иметь вертикальное, и наоборот.}}{{Пример|''Параллельная прямая к данной'' — прямая, которая может быть получена с помощью сдвига на плоскости другой (данной) прямой на определённое расстояние от неё.}} === Математические выражения === == Математические явления == На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление ''параллельности''], «Выпуклые многоугольники» [явление ''выпуклости''], «Подобие фигур» [явление ''подобия''], «Числовые последовательности» [явление ''последовательности''], «Отношения и пропорции» [явление ''пропорции''], «Уравнения с одной неизвестной» [явление ''уравнения''], «Множества и операции над ними» [изучаются явления ''объединения'', ''пересечения'', ''дополнения'', ''разбиения''] и др. Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов. Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.{{Определение|Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (первое)}}Рассмотрим ещё один пример.{{Пример|''Функция'' — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) <math>y = f \left( x \right)</math> между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>). Объясняется тем, что элементы <math>y</math> множества <math>Y</math> как '''переменные величины''' становятся <u>зависимыми от элементов</u> <math>x</math> множества <math>X</math>. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (элемент множества <math>Y</math>), '''характере этих изменений''' (связь зависимостью/соответствием), '''воздействующем объекте''' (элемент множества <math>X</math>) и '''условиях взаимодействия''' (каждому элементу множества <math>X</math> соответствует единственный элемент множества <math>Y</math>). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (элемент <math>y</math> рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (элемент <math>x</math> — тоже переменная величина, принимающая ''различные'' значения из заданного множества <math>X</math>).}}{{Пример|''Параллельность'' фигур (одной природы) — геометрическое явление, при котором две и более фигуры располагаются в одном положении. Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что любая из данных фигур может быть получена путём движения-переноса другой в нужном направлении на конкретное расстояние.}}{{Пример|''Плоский угол'' — планиметрическое явление, заключающееся в образовании положения двух лучей, имеющих общую вершину. Устанавливается такое расположение при условии вращения какого-нибудь луча. Объясняется тем, что один луч движется относительно неподвижного (фиксированного) вокруг их общей точки; в результате остановки активного (движущегося) луча в конкретный момент образуется угол, т. е. геометрическая фигура. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (движущийся луч), '''характере этих изменений''' (связь вращением), '''воздействующем объекте''' (неподвижный луч) и '''условиях взаимодействия''' (вершина принадлежит обоим лучам). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (какой-то луч рассматривается как подвижный, который меняет своё положение по отношению к другому) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (другой луч — неподвижный, на плоскости как бы зафиксирован).}}{{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}}{{Определение|Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (второе)}}В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия. Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью]. С понятием математического явления тесно связано понятие '''математического процесса'''. Термин «процесс» (от ''лат''. processos — продвижение) означает последовательную смену состояний объекта. Для процесса существенным фактором является время. Одной из характеристик процесса может быть ''длительность'' его. {{Пример|''Решение математической задачи'' — деятельность человека (процесс), направленная на отыскание такой последовательности общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче — её ответ. Процесс решения задачи зависит в первую очередь от характером самой задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.}} Пример: счёт предметов — процесс установления количества этих предметов посредством их нумерации (т. е. путём определения порядка их следования). Арифметическое вычисление — процесс перехода / изменения математического объекта (напр., выражения, величины) от ... к ... путём выполнения арифметических преобразований. Измерение тоже процесс по установлению количественной оценки некоторой величины; нахождению значения физической величины опытны путём. Измерить физ. величину означает сравнить её с однородной физ. величиной, принятой за единицу (меры), т. е. эталон. Так, измерить массу тела означает сравнить её с другой массой, которая принята за единицу (напр., 1 кг). Округление числа до какого-то разряда также является процессом, цель которого установить, сколько единиц этого разряда содержится в данном числе.{{Пример|''Сложение'' — арифметическое действие, отражающее реальную операцию соединения (объединения) нескольких множеств при условии, если известно, сколько элементов содержит каждое из этих множеств, т. е. их количество.}}{{Пример|''Арифметическое действие умножение'' есть отражение (модель) реальной операции перехода от счёта (измерения) крупными единицами к счёту (измерению) мелкими единицами, когда известно, сколько мелких единиц содержит каждая крупная единица.}}Скажем, из 12 байт перевести в биты. Отметим, что обратная операция, которую мы выполняем при переводе из мелкой единицы в более крупную, называется делением. Например, из 24 бита перевести в байты: так как в 1 байте содержится 8 битов, то 24 бита, деля на 8, получаем 3 байта. == Математические величины == Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство <u>количественно</u>, вводят понятие о '''''математической величине'''''. Например: ''мощность'' — величина, показывающая число элементов множества; ''объём'' — величина, показывающая расположение (заполняемость) фигуры в пространстве; ''разность'' — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении; ''длина'' — величина протяжённости предмета; ''скорость'' — величина, показывающая быстроту изменения (смену расположения) предмета в пространстве; ''температура'' — величина нагретости тела; величина, показывающая чем придётся жертвовать (уплачивать) и есть ''цена'' того, что мы хотим получить; ''время'' — величина, характеризующая длительность процесса; ''координата'' объекта (точки) — величина, отвечающая за расположение этого объекта, которая выражена числом.{{Определение|''Математическая величина'' — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.|“Математическая величина”}}Различают скалярные и векторные математические величины.{{Пример|''Натуральными числами'' называются числа, которые определяют количество предметов (элементов) того или иного множества.}} == Математические законы == Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты. Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.{{Определение|Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется <code>математическим законом</code>.|“Математический закон”}}Познание математических законов составляет основную задачу математики.{{Определение|<code>Научным фактом</code> называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.|“Научный факт”}}Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др. Примеры правил (договорённостей, для которых можно обосновать удобство/рациональность): правило Шаля для векторов, правило академика А. Н. Крылова, правило треугольника/параллелограмма для векторов, правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей, правило/схема Горнера, правила округления/приближения чисел. === Математические предложения === === Понятие формулы === {{Определение|<code>Формулой</code> называют такой математический факт, который может быть записан в виде равенства или неравенства, связывающие математические величины. Запись этого факт обозначает какое-то утверждение. Причём каждая входящая буква в формулу должна пониматься нами (интерпретироваться) как некоторая величина.|“Формула”}}Формула есть предложение, точнее высказывательная форма! Говорят, что формула справедлива, если в заданных условиях при подстановки конкретных чисел на место букв высказывательная формула обращается в тождественно истинную высказывательную форму. Примеры: * <math>a\cdot b = b\cdot a</math> (формула, выражающее переместительное свойство умножения); * <math>k=2n-1</math> (формула нечётного числа, гласящая о том, что всякое нечётное число можно задать, т. е. представимо, с помощью другого натурального числа); * неравенство треугольника, неравенство Бернулли, неравенство Чебышёва (формулы в виде неравенств); * формула связи температур по различным шкалам <math>F=1,8\cdot C+32</math> перестаёт быть формулой (иметь определённый статус и выделяться на фоне других равенств), если буквами <math>C</math> и <math>F</math> обозначены иного рода величины: например, координаты точек на луче. {{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}} == Пример == === Математические объекты, изучаемые в теме === {| class="wikitable" |+Математические объекты, изучаемые в теме !Математические объекты !Идеализированные объекты !Объекты, вводимые для математического описания |- |Треугольник |Точка, прямая, плоскость |Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза |} === Математические явления === Изучается одно математическое явление — '''равенство геометрических фигур'''. Треугольник называется '''равным''' другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. {| class="wikitable" |+Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» !Математические ОБЪЕКТЫ !Математические ЯВЛЕНИЯ !Математические ВЕЛИЧИНЫ !Математические ЗАКОНЫ |- |Треугольник | | | |- | | | | |- | | | | |} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] lfd98oz85txm3frxuk5i16771j1l1uz 267793 267792 2026-05-21T11:13:40Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Иная методическая точка зрения]] в [[Методика обучения математике/Иная методическая точка зрения]] 267792 wikitext text/x-wiki Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др. Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы: # математические объекты; # математические явления; # математические величины; # математические законы. Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп. == Математические объекты == {{Определение|<code>Объектами</code> принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.|“Объект”}} По сути, объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения и воздействия. {{Определение|<code>Математический объект</code> — объект математического исследования и его применения на практике.|“Математический объект”}}Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть <u>идеализированы</u>.{{Важное||текст=Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией. Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), [[w:Модельные организмы|модельные организмы]] (биология). В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.}}В математике используют <u>объекты, вводимые для математического описания</u> явлений: ''натуральное число'' <code>‘результат счёта предметов’</code>, ''матрица'' <code>‘прямоугольная таблица действительных чисел’</code>, ''угол'' <code>‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’</code>, ''график функции'' <code>‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’</code> и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).{{Пример|''Перпендикулярные прямые'' — прямые, которые имеют разноименные положения. Если одну прямую принять за горизонтальное положение, то другая будет иметь вертикальное, и наоборот.}}{{Пример|''Параллельная прямая к данной'' — прямая, которая может быть получена с помощью сдвига на плоскости другой (данной) прямой на определённое расстояние от неё.}} === Математические выражения === == Математические явления == На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление ''параллельности''], «Выпуклые многоугольники» [явление ''выпуклости''], «Подобие фигур» [явление ''подобия''], «Числовые последовательности» [явление ''последовательности''], «Отношения и пропорции» [явление ''пропорции''], «Уравнения с одной неизвестной» [явление ''уравнения''], «Множества и операции над ними» [изучаются явления ''объединения'', ''пересечения'', ''дополнения'', ''разбиения''] и др. Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов. Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.{{Определение|Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (первое)}}Рассмотрим ещё один пример.{{Пример|''Функция'' — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) <math>y = f \left( x \right)</math> между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>). Объясняется тем, что элементы <math>y</math> множества <math>Y</math> как '''переменные величины''' становятся <u>зависимыми от элементов</u> <math>x</math> множества <math>X</math>. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (элемент множества <math>Y</math>), '''характере этих изменений''' (связь зависимостью/соответствием), '''воздействующем объекте''' (элемент множества <math>X</math>) и '''условиях взаимодействия''' (каждому элементу множества <math>X</math> соответствует единственный элемент множества <math>Y</math>). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (элемент <math>y</math> рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (элемент <math>x</math> — тоже переменная величина, принимающая ''различные'' значения из заданного множества <math>X</math>).}}{{Пример|''Параллельность'' фигур (одной природы) — геометрическое явление, при котором две и более фигуры располагаются в одном положении. Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что любая из данных фигур может быть получена путём движения-переноса другой в нужном направлении на конкретное расстояние.}}{{Пример|''Плоский угол'' — планиметрическое явление, заключающееся в образовании положения двух лучей, имеющих общую вершину. Устанавливается такое расположение при условии вращения какого-нибудь луча. Объясняется тем, что один луч движется относительно неподвижного (фиксированного) вокруг их общей точки; в результате остановки активного (движущегося) луча в конкретный момент образуется угол, т. е. геометрическая фигура. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (движущийся луч), '''характере этих изменений''' (связь вращением), '''воздействующем объекте''' (неподвижный луч) и '''условиях взаимодействия''' (вершина принадлежит обоим лучам). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (какой-то луч рассматривается как подвижный, который меняет своё положение по отношению к другому) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (другой луч — неподвижный, на плоскости как бы зафиксирован).}}{{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}}{{Определение|Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (второе)}}В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия. Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью]. С понятием математического явления тесно связано понятие '''математического процесса'''. Термин «процесс» (от ''лат''. processos — продвижение) означает последовательную смену состояний объекта. Для процесса существенным фактором является время. Одной из характеристик процесса может быть ''длительность'' его. {{Пример|''Решение математической задачи'' — деятельность человека (процесс), направленная на отыскание такой последовательности общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче — её ответ. Процесс решения задачи зависит в первую очередь от характером самой задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.}} Пример: счёт предметов — процесс установления количества этих предметов посредством их нумерации (т. е. путём определения порядка их следования). Арифметическое вычисление — процесс перехода / изменения математического объекта (напр., выражения, величины) от ... к ... путём выполнения арифметических преобразований. Измерение тоже процесс по установлению количественной оценки некоторой величины; нахождению значения физической величины опытны путём. Измерить физ. величину означает сравнить её с однородной физ. величиной, принятой за единицу (меры), т. е. эталон. Так, измерить массу тела означает сравнить её с другой массой, которая принята за единицу (напр., 1 кг). Округление числа до какого-то разряда также является процессом, цель которого установить, сколько единиц этого разряда содержится в данном числе.{{Пример|''Сложение'' — арифметическое действие, отражающее реальную операцию соединения (объединения) нескольких множеств при условии, если известно, сколько элементов содержит каждое из этих множеств, т. е. их количество.}}{{Пример|''Арифметическое действие умножение'' есть отражение (модель) реальной операции перехода от счёта (измерения) крупными единицами к счёту (измерению) мелкими единицами, когда известно, сколько мелких единиц содержит каждая крупная единица.}}Скажем, из 12 байт перевести в биты. Отметим, что обратная операция, которую мы выполняем при переводе из мелкой единицы в более крупную, называется делением. Например, из 24 бита перевести в байты: так как в 1 байте содержится 8 битов, то 24 бита, деля на 8, получаем 3 байта. == Математические величины == Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство <u>количественно</u>, вводят понятие о '''''математической величине'''''. Например: ''мощность'' — величина, показывающая число элементов множества; ''объём'' — величина, показывающая расположение (заполняемость) фигуры в пространстве; ''разность'' — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении; ''длина'' — величина протяжённости предмета; ''скорость'' — величина, показывающая быстроту изменения (смену расположения) предмета в пространстве; ''температура'' — величина нагретости тела; величина, показывающая чем придётся жертвовать (уплачивать) и есть ''цена'' того, что мы хотим получить; ''время'' — величина, характеризующая длительность процесса; ''координата'' объекта (точки) — величина, отвечающая за расположение этого объекта, которая выражена числом.{{Определение|''Математическая величина'' — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.|“Математическая величина”}}Различают скалярные и векторные математические величины.{{Пример|''Натуральными числами'' называются числа, которые определяют количество предметов (элементов) того или иного множества.}} == Математические законы == Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты. Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.{{Определение|Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется <code>математическим законом</code>.|“Математический закон”}}Познание математических законов составляет основную задачу математики.{{Определение|<code>Научным фактом</code> называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.|“Научный факт”}}Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др. Примеры правил (договорённостей, для которых можно обосновать удобство/рациональность): правило Шаля для векторов, правило академика А. Н. Крылова, правило треугольника/параллелограмма для векторов, правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей, правило/схема Горнера, правила округления/приближения чисел. === Математические предложения === === Понятие формулы === {{Определение|<code>Формулой</code> называют такой математический факт, который может быть записан в виде равенства или неравенства, связывающие математические величины. Запись этого факт обозначает какое-то утверждение. Причём каждая входящая буква в формулу должна пониматься нами (интерпретироваться) как некоторая величина.|“Формула”}}Формула есть предложение, точнее высказывательная форма! Говорят, что формула справедлива, если в заданных условиях при подстановки конкретных чисел на место букв высказывательная формула обращается в тождественно истинную высказывательную форму. Примеры: * <math>a\cdot b = b\cdot a</math> (формула, выражающее переместительное свойство умножения); * <math>k=2n-1</math> (формула нечётного числа, гласящая о том, что всякое нечётное число можно задать, т. е. представимо, с помощью другого натурального числа); * неравенство треугольника, неравенство Бернулли, неравенство Чебышёва (формулы в виде неравенств); * формула связи температур по различным шкалам <math>F=1,8\cdot C+32</math> перестаёт быть формулой (иметь определённый статус и выделяться на фоне других равенств), если буквами <math>C</math> и <math>F</math> обозначены иного рода величины: например, координаты точек на луче. {{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}} == Пример == === Математические объекты, изучаемые в теме === {| class="wikitable" |+Математические объекты, изучаемые в теме !Математические объекты !Идеализированные объекты !Объекты, вводимые для математического описания |- |Треугольник |Точка, прямая, плоскость |Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза |} === Математические явления === Изучается одно математическое явление — '''равенство геометрических фигур'''. Треугольник называется '''равным''' другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. {| class="wikitable" |+Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» !Математические ОБЪЕКТЫ !Математические ЯВЛЕНИЯ !Математические ВЕЛИЧИНЫ !Математические ЗАКОНЫ |- |Треугольник | | | |- | | | | |- | | | | |} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] lfd98oz85txm3frxuk5i16771j1l1uz 267824 267793 2026-05-21T11:32:13Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267824 wikitext text/x-wiki Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др. Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы: # математические объекты; # математические явления; # математические величины; # математические законы. Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп. == Математические объекты == {{Определение|<code>Объектами</code> принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.|“Объект”}} По сути, объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения и воздействия. {{Определение|<code>Математический объект</code> — объект математического исследования и его применения на практике.|“Математический объект”}}Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть <u>идеализированы</u>.{{Важное||текст=Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией. Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), [[w:Модельные организмы|модельные организмы]] (биология). В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.}}В математике используют <u>объекты, вводимые для математического описания</u> явлений: ''натуральное число'' <code>‘результат счёта предметов’</code>, ''матрица'' <code>‘прямоугольная таблица действительных чисел’</code>, ''угол'' <code>‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’</code>, ''график функции'' <code>‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’</code> и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).{{Пример|''Перпендикулярные прямые'' — прямые, которые имеют разноименные положения. Если одну прямую принять за горизонтальное положение, то другая будет иметь вертикальное, и наоборот.}}{{Пример|''Параллельная прямая к данной'' — прямая, которая может быть получена с помощью сдвига на плоскости другой (данной) прямой на определённое расстояние от неё.}} === Математические выражения === == Математические явления == На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление ''параллельности''], «Выпуклые многоугольники» [явление ''выпуклости''], «Подобие фигур» [явление ''подобия''], «Числовые последовательности» [явление ''последовательности''], «Отношения и пропорции» [явление ''пропорции''], «Уравнения с одной неизвестной» [явление ''уравнения''], «Множества и операции над ними» [изучаются явления ''объединения'', ''пересечения'', ''дополнения'', ''разбиения''] и др. Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов. Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.{{Определение|Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (первое)}}Рассмотрим ещё один пример.{{Пример|''Функция'' — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) <math>y = f \left( x \right)</math> между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>). Объясняется тем, что элементы <math>y</math> множества <math>Y</math> как '''переменные величины''' становятся <u>зависимыми от элементов</u> <math>x</math> множества <math>X</math>. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (элемент множества <math>Y</math>), '''характере этих изменений''' (связь зависимостью/соответствием), '''воздействующем объекте''' (элемент множества <math>X</math>) и '''условиях взаимодействия''' (каждому элементу множества <math>X</math> соответствует единственный элемент множества <math>Y</math>). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (элемент <math>y</math> рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (элемент <math>x</math> — тоже переменная величина, принимающая ''различные'' значения из заданного множества <math>X</math>).}}{{Пример|''Параллельность'' фигур (одной природы) — геометрическое явление, при котором две и более фигуры располагаются в одном положении. Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что любая из данных фигур может быть получена путём движения-переноса другой в нужном направлении на конкретное расстояние.}}{{Пример|''Плоский угол'' — планиметрическое явление, заключающееся в образовании положения двух лучей, имеющих общую вершину. Устанавливается такое расположение при условии вращения какого-нибудь луча. Объясняется тем, что один луч движется относительно неподвижного (фиксированного) вокруг их общей точки; в результате остановки активного (движущегося) луча в конкретный момент образуется угол, т. е. геометрическая фигура. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (движущийся луч), '''характере этих изменений''' (связь вращением), '''воздействующем объекте''' (неподвижный луч) и '''условиях взаимодействия''' (вершина принадлежит обоим лучам). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (какой-то луч рассматривается как подвижный, который меняет своё положение по отношению к другому) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (другой луч — неподвижный, на плоскости как бы зафиксирован).}}{{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}}{{Определение|Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (второе)}}В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия. Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью]. С понятием математического явления тесно связано понятие '''математического процесса'''. Термин «процесс» (от ''лат''. processos — продвижение) означает последовательную смену состояний объекта. Для процесса существенным фактором является время. Одной из характеристик процесса может быть ''длительность'' его. {{Пример|''Решение математической задачи'' — деятельность человека (процесс), направленная на отыскание такой последовательности общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче — её ответ. Процесс решения задачи зависит в первую очередь от характером самой задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.}} Пример: счёт предметов — процесс установления количества этих предметов посредством их нумерации (т. е. путём определения порядка их следования). Арифметическое вычисление — процесс перехода / изменения математического объекта (напр., выражения, величины) от ... к ... путём выполнения арифметических преобразований. Измерение тоже процесс по установлению количественной оценки некоторой величины; нахождению значения физической величины опытны путём. Измерить физ. величину означает сравнить её с однородной физ. величиной, принятой за единицу (меры), т. е. эталон. Так, измерить массу тела означает сравнить её с другой массой, которая принята за единицу (напр., 1 кг). Округление числа до какого-то разряда также является процессом, цель которого установить, сколько единиц этого разряда содержится в данном числе.{{Пример|''Сложение'' — арифметическое действие, отражающее реальную операцию соединения (объединения) нескольких множеств при условии, если известно, сколько элементов содержит каждое из этих множеств, т. е. их количество.}}{{Пример|''Арифметическое действие умножение'' есть отражение (модель) реальной операции перехода от счёта (измерения) крупными единицами к счёту (измерению) мелкими единицами, когда известно, сколько мелких единиц содержит каждая крупная единица.}}Скажем, из 12 байт перевести в биты. Отметим, что обратная операция, которую мы выполняем при переводе из мелкой единицы в более крупную, называется делением. Например, из 24 бита перевести в байты: так как в 1 байте содержится 8 битов, то 24 бита, деля на 8, получаем 3 байта. == Математические величины == Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство <u>количественно</u>, вводят понятие о '''''математической величине'''''. Например: ''мощность'' — величина, показывающая число элементов множества; ''объём'' — величина, показывающая расположение (заполняемость) фигуры в пространстве; ''разность'' — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении; ''длина'' — величина протяжённости предмета; ''скорость'' — величина, показывающая быстроту изменения (смену расположения) предмета в пространстве; ''температура'' — величина нагретости тела; величина, показывающая чем придётся жертвовать (уплачивать) и есть ''цена'' того, что мы хотим получить; ''время'' — величина, характеризующая длительность процесса; ''координата'' объекта (точки) — величина, отвечающая за расположение этого объекта, которая выражена числом.{{Определение|''Математическая величина'' — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.|“Математическая величина”}}Различают скалярные и векторные математические величины.{{Пример|''Натуральными числами'' называются числа, которые определяют количество предметов (элементов) того или иного множества.}} == Математические законы == Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты. Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.{{Определение|Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется <code>математическим законом</code>.|“Математический закон”}}Познание математических законов составляет основную задачу математики.{{Определение|<code>Научным фактом</code> называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.|“Научный факт”}}Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др. Примеры правил (договорённостей, для которых можно обосновать удобство/рациональность): правило Шаля для векторов, правило академика А. Н. Крылова, правило треугольника/параллелограмма для векторов, правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей, правило/схема Горнера, правила округления/приближения чисел. === Математические предложения === === Понятие формулы === {{Определение|<code>Формулой</code> называют такой математический факт, который может быть записан в виде равенства или неравенства, связывающие математические величины. Запись этого факт обозначает какое-то утверждение. Причём каждая входящая буква в формулу должна пониматься нами (интерпретироваться) как некоторая величина.|“Формула”}}Формула есть предложение, точнее высказывательная форма! Говорят, что формула справедлива, если в заданных условиях при подстановки конкретных чисел на место букв высказывательная формула обращается в тождественно истинную высказывательную форму. Примеры: * <math>a\cdot b = b\cdot a</math> (формула, выражающее переместительное свойство умножения); * <math>k=2n-1</math> (формула нечётного числа, гласящая о том, что всякое нечётное число можно задать, т. е. представимо, с помощью другого натурального числа); * неравенство треугольника, неравенство Бернулли, неравенство Чебышёва (формулы в виде неравенств); * формула связи температур по различным шкалам <math>F=1,8\cdot C+32</math> перестаёт быть формулой (иметь определённый статус и выделяться на фоне других равенств), если буквами <math>C</math> и <math>F</math> обозначены иного рода величины: например, координаты точек на луче. {{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}} == Пример == === Математические объекты, изучаемые в теме === {| class="wikitable" |+Математические объекты, изучаемые в теме !Математические объекты !Идеализированные объекты !Объекты, вводимые для математического описания |- |Треугольник |Точка, прямая, плоскость |Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза |} === Математические явления === Изучается одно математическое явление — '''равенство геометрических фигур'''. Треугольник называется '''равным''' другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. {| class="wikitable" |+Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» !Математические ОБЪЕКТЫ !Математические ЯВЛЕНИЯ !Математические ВЕЛИЧИНЫ !Математические ЗАКОНЫ |- |Треугольник | | | |- | | | | |- | | | | |} [[Категория:Учебники без шаблона]] aya8bo08u9bhpkbfkpxhpxj817dz2tk 267825 267824 2026-05-21T11:32:21Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267825 wikitext text/x-wiki Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др. Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы: # математические объекты; # математические явления; # математические величины; # математические законы. Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп. == Математические объекты == {{Определение|<code>Объектами</code> принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.|“Объект”}} По сути, объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения и воздействия. {{Определение|<code>Математический объект</code> — объект математического исследования и его применения на практике.|“Математический объект”}}Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть <u>идеализированы</u>.{{Важное||текст=Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией. Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), [[w:Модельные организмы|модельные организмы]] (биология). В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.}}В математике используют <u>объекты, вводимые для математического описания</u> явлений: ''натуральное число'' <code>‘результат счёта предметов’</code>, ''матрица'' <code>‘прямоугольная таблица действительных чисел’</code>, ''угол'' <code>‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’</code>, ''график функции'' <code>‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’</code> и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).{{Пример|''Перпендикулярные прямые'' — прямые, которые имеют разноименные положения. Если одну прямую принять за горизонтальное положение, то другая будет иметь вертикальное, и наоборот.}}{{Пример|''Параллельная прямая к данной'' — прямая, которая может быть получена с помощью сдвига на плоскости другой (данной) прямой на определённое расстояние от неё.}} === Математические выражения === == Математические явления == На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление ''параллельности''], «Выпуклые многоугольники» [явление ''выпуклости''], «Подобие фигур» [явление ''подобия''], «Числовые последовательности» [явление ''последовательности''], «Отношения и пропорции» [явление ''пропорции''], «Уравнения с одной неизвестной» [явление ''уравнения''], «Множества и операции над ними» [изучаются явления ''объединения'', ''пересечения'', ''дополнения'', ''разбиения''] и др. Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов. Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.{{Определение|Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (первое)}}Рассмотрим ещё один пример.{{Пример|''Функция'' — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) <math>y = f \left( x \right)</math> между элементами двух множеств (<math>X</math> и <math>Y</math>). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества <math>X</math> (<math>x\in X</math>) соответствует единственный элемент множества <math>Y</math> (<math>y\in Y</math>). Объясняется тем, что элементы <math>y</math> множества <math>Y</math> как '''переменные величины''' становятся <u>зависимыми от элементов</u> <math>x</math> множества <math>X</math>. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (элемент множества <math>Y</math>), '''характере этих изменений''' (связь зависимостью/соответствием), '''воздействующем объекте''' (элемент множества <math>X</math>) и '''условиях взаимодействия''' (каждому элементу множества <math>X</math> соответствует единственный элемент множества <math>Y</math>). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (элемент <math>y</math> рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (элемент <math>x</math> — тоже переменная величина, принимающая ''различные'' значения из заданного множества <math>X</math>).}}{{Пример|''Параллельность'' фигур (одной природы) — геометрическое явление, при котором две и более фигуры располагаются в одном положении. Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что любая из данных фигур может быть получена путём движения-переноса другой в нужном направлении на конкретное расстояние.}}{{Пример|''Плоский угол'' — планиметрическое явление, заключающееся в образовании положения двух лучей, имеющих общую вершину. Устанавливается такое расположение при условии вращения какого-нибудь луча. Объясняется тем, что один луч движется относительно неподвижного (фиксированного) вокруг их общей точки; в результате остановки активного (движущегося) луча в конкретный момент образуется угол, т. е. геометрическая фигура. Это определение содержит информацию о '''математическом объекте, с которым происходят изменения''' (движущийся луч), '''характере этих изменений''' (связь вращением), '''воздействующем объекте''' (неподвижный луч) и '''условиях взаимодействия''' (вершина принадлежит обоим лучам). Определение дополнено '''объяснением''', которое базируется на <u>'''моделях''' объекта</u> (какой-то луч рассматривается как подвижный, который меняет своё положение по отношению к другому) и <u>'''моделях''' воздействующего объекта</u> (другой луч — неподвижный, на плоскости как бы зафиксирован).}}{{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}}{{Определение|Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется <code>математическим явлением</code>.|“Математическое явление” (второе)}}В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия. Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью]. С понятием математического явления тесно связано понятие '''математического процесса'''. Термин «процесс» (от ''лат''. processos — продвижение) означает последовательную смену состояний объекта. Для процесса существенным фактором является время. Одной из характеристик процесса может быть ''длительность'' его. {{Пример|''Решение математической задачи'' — деятельность человека (процесс), направленная на отыскание такой последовательности общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче — её ответ. Процесс решения задачи зависит в первую очередь от характером самой задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.}} Пример: счёт предметов — процесс установления количества этих предметов посредством их нумерации (т. е. путём определения порядка их следования). Арифметическое вычисление — процесс перехода / изменения математического объекта (напр., выражения, величины) от ... к ... путём выполнения арифметических преобразований. Измерение тоже процесс по установлению количественной оценки некоторой величины; нахождению значения физической величины опытны путём. Измерить физ. величину означает сравнить её с однородной физ. величиной, принятой за единицу (меры), т. е. эталон. Так, измерить массу тела означает сравнить её с другой массой, которая принята за единицу (напр., 1 кг). Округление числа до какого-то разряда также является процессом, цель которого установить, сколько единиц этого разряда содержится в данном числе.{{Пример|''Сложение'' — арифметическое действие, отражающее реальную операцию соединения (объединения) нескольких множеств при условии, если известно, сколько элементов содержит каждое из этих множеств, т. е. их количество.}}{{Пример|''Арифметическое действие умножение'' есть отражение (модель) реальной операции перехода от счёта (измерения) крупными единицами к счёту (измерению) мелкими единицами, когда известно, сколько мелких единиц содержит каждая крупная единица.}}Скажем, из 12 байт перевести в биты. Отметим, что обратная операция, которую мы выполняем при переводе из мелкой единицы в более крупную, называется делением. Например, из 24 бита перевести в байты: так как в 1 байте содержится 8 битов, то 24 бита, деля на 8, получаем 3 байта. == Математические величины == Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство <u>количественно</u>, вводят понятие о '''''математической величине'''''. Например: ''мощность'' — величина, показывающая число элементов множества; ''объём'' — величина, показывающая расположение (заполняемость) фигуры в пространстве; ''разность'' — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении; ''длина'' — величина протяжённости предмета; ''скорость'' — величина, показывающая быстроту изменения (смену расположения) предмета в пространстве; ''температура'' — величина нагретости тела; величина, показывающая чем придётся жертвовать (уплачивать) и есть ''цена'' того, что мы хотим получить; ''время'' — величина, характеризующая длительность процесса; ''координата'' объекта (точки) — величина, отвечающая за расположение этого объекта, которая выражена числом.{{Определение|''Математическая величина'' — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.|“Математическая величина”}}Различают скалярные и векторные математические величины.{{Пример|''Натуральными числами'' называются числа, которые определяют количество предметов (элементов) того или иного множества.}} == Математические законы == Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты. Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.{{Определение|Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется <code>математическим законом</code>.|“Математический закон”}}Познание математических законов составляет основную задачу математики.{{Определение|<code>Научным фактом</code> называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.|“Научный факт”}}Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др. Примеры правил (договорённостей, для которых можно обосновать удобство/рациональность): правило Шаля для векторов, правило академика А. Н. Крылова, правило треугольника/параллелограмма для векторов, правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей, правило/схема Горнера, правила округления/приближения чисел. === Математические предложения === === Понятие формулы === {{Определение|<code>Формулой</code> называют такой математический факт, который может быть записан в виде равенства или неравенства, связывающие математические величины. Запись этого факт обозначает какое-то утверждение. Причём каждая входящая буква в формулу должна пониматься нами (интерпретироваться) как некоторая величина.|“Формула”}}Формула есть предложение, точнее высказывательная форма! Говорят, что формула справедлива, если в заданных условиях при подстановки конкретных чисел на место букв высказывательная формула обращается в тождественно истинную высказывательную форму. Примеры: * <math>a\cdot b = b\cdot a</math> (формула, выражающее переместительное свойство умножения); * <math>k=2n-1</math> (формула нечётного числа, гласящая о том, что всякое нечётное число можно задать, т. е. представимо, с помощью другого натурального числа); * неравенство треугольника, неравенство Бернулли, неравенство Чебышёва (формулы в виде неравенств); * формула связи температур по различным шкалам <math>F=1,8\cdot C+32</math> перестаёт быть формулой (иметь определённый статус и выделяться на фоне других равенств), если буквами <math>C</math> и <math>F</math> обозначены иного рода величины: например, координаты точек на луче. {{Пример|''Уравнение'' — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).}} == Пример == === Математические объекты, изучаемые в теме === {| class="wikitable" |+Математические объекты, изучаемые в теме !Математические объекты !Идеализированные объекты !Объекты, вводимые для математического описания |- |Треугольник |Точка, прямая, плоскость |Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза |} === Математические явления === Изучается одно математическое явление — '''равенство геометрических фигур'''. Треугольник называется '''равным''' другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны. {| class="wikitable" |+Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ» !Математические ОБЪЕКТЫ !Математические ЯВЛЕНИЯ !Математические ВЕЛИЧИНЫ !Математические ЗАКОНЫ |- |Треугольник | | | |- | | | | |- | | | | |} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] pmxwl2934pi83dd2o7fe632to1czzff 0 31070 267599 261093 2026-05-21T08:08:46Z AllaBuraya 79455 267599 wikitext text/x-wiki Рассмотрим основные методы решения иррациональных уравнений и приёмы решения иррациональных уравнений определённого вида.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=72472|title=Колодкина|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref> Формирование полноценной учебной деятельности предполагает овладение обобщёнными подходами к решению достаточно широких классов задач. При обучении решению уравнений чаще всего рассматриваются специальные приёмы решения отдельно для каждого вида уравнений. Однако при решении самых разных уравнений применяются, в сущности, всего четыре метода: разложение на множители; замена переменной; переход от равенства функций к равенству аргументов; функционально-графический. Рассмотрим подробнее каждый из названных методов применительно к решению иррациональных уравнений. В школьных учебниках иррациональные уравнения представлены не очень богатым набором. Пропедевтический этап их изучения включает в себя, в частности, формирование понятия арифметического квадратного корня. Именно на этой базе решается вопрос о существовании и способах нахождения решений уравнений вида <math>\sqrt{f\left ( x \right )}=a</math>. При решении уравнений вида <math>\sqrt{f\left ( x \right )}=\sqrt{g\left ( x \right )}</math> рассматривается один из основных приёмов решения иррациональных уравнений — возведение обеих его частей в одну и ту же степень. Здесь у учителя впервые появляется возможность вести полноценный разговор о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений. == Метод перехода == <code>Суть метода перехода</code>: ''переход от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы''. '''Способы реализации''' ====== Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. ====== Задание 1. Решите уравнение ====== Использование формулы <math>\sqrt[2n]{{\left (f\left ( x \right )\right )}^{2n}}=\left\vert f\left ( x \right ) \right\vert</math>. ====== Задание 1. Решите уравнение [[Категория:Учебники без шаблона]] 91to0lvuexd9qg1qxlsg65ytyjodlt2 267600 267599 2026-05-21T08:08:54Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267600 wikitext text/x-wiki Рассмотрим основные методы решения иррациональных уравнений и приёмы решения иррациональных уравнений определённого вида.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=72472|title=Колодкина|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref> Формирование полноценной учебной деятельности предполагает овладение обобщёнными подходами к решению достаточно широких классов задач. При обучении решению уравнений чаще всего рассматриваются специальные приёмы решения отдельно для каждого вида уравнений. Однако при решении самых разных уравнений применяются, в сущности, всего четыре метода: разложение на множители; замена переменной; переход от равенства функций к равенству аргументов; функционально-графический. Рассмотрим подробнее каждый из названных методов применительно к решению иррациональных уравнений. В школьных учебниках иррациональные уравнения представлены не очень богатым набором. Пропедевтический этап их изучения включает в себя, в частности, формирование понятия арифметического квадратного корня. Именно на этой базе решается вопрос о существовании и способах нахождения решений уравнений вида <math>\sqrt{f\left ( x \right )}=a</math>. При решении уравнений вида <math>\sqrt{f\left ( x \right )}=\sqrt{g\left ( x \right )}</math> рассматривается один из основных приёмов решения иррациональных уравнений — возведение обеих его частей в одну и ту же степень. Здесь у учителя впервые появляется возможность вести полноценный разговор о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений. == Метод перехода == <code>Суть метода перехода</code>: ''переход от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы''. '''Способы реализации''' ====== Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. ====== Задание 1. Решите уравнение ====== Использование формулы <math>\sqrt[2n]{{\left (f\left ( x \right )\right )}^{2n}}=\left\vert f\left ( x \right ) \right\vert</math>. ====== Задание 1. Решите уравнение [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] co9syke0nvylyuiulvq4f1fwv5jf2x6 267757 267600 2026-05-21T10:41:59Z AllaBuraya 79455 267757 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Рассмотрим основные методы решения иррациональных уравнений и приёмы решения иррациональных уравнений определённого вида.<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=72472|title=Колодкина|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref> Формирование полноценной учебной деятельности предполагает овладение обобщёнными подходами к решению достаточно широких классов задач. При обучении решению уравнений чаще всего рассматриваются специальные приёмы решения отдельно для каждого вида уравнений. Однако при решении самых разных уравнений применяются, в сущности, всего четыре метода: разложение на множители; замена переменной; переход от равенства функций к равенству аргументов; функционально-графический. Рассмотрим подробнее каждый из названных методов применительно к решению иррациональных уравнений. В школьных учебниках иррациональные уравнения представлены не очень богатым набором. Пропедевтический этап их изучения включает в себя, в частности, формирование понятия арифметического квадратного корня. Именно на этой базе решается вопрос о существовании и способах нахождения решений уравнений вида <math>\sqrt{f\left ( x \right )}=a</math>. При решении уравнений вида <math>\sqrt{f\left ( x \right )}=\sqrt{g\left ( x \right )}</math> рассматривается один из основных приёмов решения иррациональных уравнений — возведение обеих его частей в одну и ту же степень. Здесь у учителя впервые появляется возможность вести полноценный разговор о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений. == Метод перехода == <code>Суть метода перехода</code>: ''переход от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы''. '''Способы реализации''' ====== Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. ====== Задание 1. Решите уравнение ====== Использование формулы <math>\sqrt[2n]{{\left (f\left ( x \right )\right )}^{2n}}=\left\vert f\left ( x \right ) \right\vert</math>. ====== Задание 1. Решите уравнение [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] spsbzhn4wadt9o6jg89jcljvjtwe1su 0 31071 267614 261087 2026-05-21T08:16:12Z AllaBuraya 79455 267614 wikitext text/x-wiki Одним из эффективных способов решения геометрических<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=27730#page_13|title=Одна задача|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref> задач является метод дополнительных построений. Часто встречаются задачи, при решении которых простой анализ свойств не приводит к решению. Тогда вводятся «дополнительные элементы», а для этого, как правило, выполняются «дополнительные построения», которые позволяют свести задачу к задачам, решения которых хорошо известны или относительно легко могут быть получены.<ref name=":0">{{Статья|автор=Фирстова Н. И.|выпуск=17|год=2021|страницы=55―68|заглавие=Дополнительные построения в курсе планиметрии // Научно-методический сборник «Архимед»}}</ref> <code>Суть метода:</code> ''чертёж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными''. Таким образом, устанавливается связь между известными и неизвестными элементами геометрической фигуры. Дополнительные построение составляет основу поиска решения задачи. Метод дополнительных построений при решении геометрических задач является непростым, так как требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться, какие дополнительные построения провести. Вместе с тем существуют достаточно типичные дополнительные построения, к выполнению которых обучающихся можно подготовить.<ref name=":0" /> ''И. Ф. Шарыгин'' выделил три основных приёма дополнительных построения: # удвоение медианы # проведение прямой, параллельной данной # соединение точек — это либо вершины треугольника, либо построение отрезков в самом треугольнике (медиана, высота, биссектриса, средняя линия, отрезок, делящий сторону в некотором отношении) Компоненты метода: # '''Построение вспомогательной окружности'''. Использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче. Как правило, это условия, при которых многоугольник (в частности, четырёхугольник<ref>Далее будем рассматривать только четырёхугольники.</ref>) является вписанным или описанным — условия существования окружности. # '''Проведение параллельной прямой либо параллельных прямых'''. # '''Продолжение отрезка (луча либо прямой) на определённое расстояние''' # '''Соединение точек отрезком (лучом либо прямой)''' == Пример == Некоторые теоремы школьного курса геометрии можно доказать разными приёмами дополнительных построений. Приведём способы доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе (в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы). Данное свойство можно использовать при обучении дополнительным построениям, показывая на примере различные способы дополнительных построений. {{Задача|1. Свойство медианы прямоугольного треугольника.| {{Новая задача|формулировка=Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы|условие=# <math>\triangle ABC</math> — прямоугольный (<math>\angle C = 90^\circ</math>); # <math>CM</math> — медиана.|требование=Доказать: <math>CM=\dfrac{1}{2}AB</math>.|решение= {{Навигационная таблица | имя = Метод дополнительных построений{{подст:пустой шаблон|Не меняйте ничего на этой строке. Она изменится сама при сохранении.}} | заголовок = Способ 1. ''Проведение прямой, параллельной медиане треугольника''. | state = {{{state|autocollapse|state}}} | класс_списков = hlist hlist-items-nowrap | вверху = Доказательство | изображение = [[Файл:Свойство медианы прямоугольного треугольника 1.png|мини]] | группа1 =1 | список1 = '''Проведём <math>AK \parallel CM</math>, где <math>\left ( \cdot \right )K = {AK}\cap {\left ( BC \right )}</math>''' — ''условия 1 и 2, дополнительное построение''. | группа2 =2 | список2 = '''<math>\left [ BC \right ] = \left [ CK \right ]</math>''' — ''пункт 1, условие 2, теорема Фалеса, определение медианы треугольника''. | группа3 =3 | список3 = '''Отрезок <math>AC</math> есть высота и медиана <math>\triangle ABK</math>''' — ''пункт 2, условие 1, определение прямоугольного треугольника, определение высоты треугольника, определение медианы треугольника''. | группа4 =4 | список4 = '''<math>\triangle ABK</math> является равнобедренным с основанием <math>BK</math>''' — ''пункт 3, признак равнобедренного треугольника''. | группа5 =5 | список5 = '''<math>\triangle ABK</math>: <math>AK = BK</math>''' — ''пункт 4, определение равнобедренного треугольника''. | группа6 =6 | список6 = '''Отрезок <math>CM</math> есть средняя линия <math>\triangle ABK</math>''' — ''пункт 2, условие 2, определение средней линии треугольника''. | группа7 =7 | список7 = <math>CM=\dfrac{1}{2}AK</math>. {{Подсказка|Обоснование|Пункт 6, свойство средней линии треугольника}} | группа8 =8 | список8 = <math>CM=\dfrac{1}{2}AB</math>. {{Подсказка|Обоснование|Пункты 5 и 7, подстановка}} | внизу = Задача решена. }}<noinclude> </noinclude> }}}} == Вспомогательная окружность == щ == Примечания == {{Примечания}} [[Категория:Учебники без шаблона]] o5o1aaiz5r4q29xgrtg9ei8bwnizayg 267615 267614 2026-05-21T08:16:24Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267615 wikitext text/x-wiki Одним из эффективных способов решения геометрических<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=27730#page_13|title=Одна задача|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref> задач является метод дополнительных построений. Часто встречаются задачи, при решении которых простой анализ свойств не приводит к решению. Тогда вводятся «дополнительные элементы», а для этого, как правило, выполняются «дополнительные построения», которые позволяют свести задачу к задачам, решения которых хорошо известны или относительно легко могут быть получены.<ref name=":0">{{Статья|автор=Фирстова Н. И.|выпуск=17|год=2021|страницы=55―68|заглавие=Дополнительные построения в курсе планиметрии // Научно-методический сборник «Архимед»}}</ref> <code>Суть метода:</code> ''чертёж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными''. Таким образом, устанавливается связь между известными и неизвестными элементами геометрической фигуры. Дополнительные построение составляет основу поиска решения задачи. Метод дополнительных построений при решении геометрических задач является непростым, так как требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться, какие дополнительные построения провести. Вместе с тем существуют достаточно типичные дополнительные построения, к выполнению которых обучающихся можно подготовить.<ref name=":0" /> ''И. Ф. Шарыгин'' выделил три основных приёма дополнительных построения: # удвоение медианы # проведение прямой, параллельной данной # соединение точек — это либо вершины треугольника, либо построение отрезков в самом треугольнике (медиана, высота, биссектриса, средняя линия, отрезок, делящий сторону в некотором отношении) Компоненты метода: # '''Построение вспомогательной окружности'''. Использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче. Как правило, это условия, при которых многоугольник (в частности, четырёхугольник<ref>Далее будем рассматривать только четырёхугольники.</ref>) является вписанным или описанным — условия существования окружности. # '''Проведение параллельной прямой либо параллельных прямых'''. # '''Продолжение отрезка (луча либо прямой) на определённое расстояние''' # '''Соединение точек отрезком (лучом либо прямой)''' == Пример == Некоторые теоремы школьного курса геометрии можно доказать разными приёмами дополнительных построений. Приведём способы доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе (в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы). Данное свойство можно использовать при обучении дополнительным построениям, показывая на примере различные способы дополнительных построений. {{Задача|1. Свойство медианы прямоугольного треугольника.| {{Новая задача|формулировка=Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы|условие=# <math>\triangle ABC</math> — прямоугольный (<math>\angle C = 90^\circ</math>); # <math>CM</math> — медиана.|требование=Доказать: <math>CM=\dfrac{1}{2}AB</math>.|решение= {{Навигационная таблица | имя = Метод дополнительных построений{{подст:пустой шаблон|Не меняйте ничего на этой строке. Она изменится сама при сохранении.}} | заголовок = Способ 1. ''Проведение прямой, параллельной медиане треугольника''. | state = {{{state|autocollapse|state}}} | класс_списков = hlist hlist-items-nowrap | вверху = Доказательство | изображение = [[Файл:Свойство медианы прямоугольного треугольника 1.png|мини]] | группа1 =1 | список1 = '''Проведём <math>AK \parallel CM</math>, где <math>\left ( \cdot \right )K = {AK}\cap {\left ( BC \right )}</math>''' — ''условия 1 и 2, дополнительное построение''. | группа2 =2 | список2 = '''<math>\left [ BC \right ] = \left [ CK \right ]</math>''' — ''пункт 1, условие 2, теорема Фалеса, определение медианы треугольника''. | группа3 =3 | список3 = '''Отрезок <math>AC</math> есть высота и медиана <math>\triangle ABK</math>''' — ''пункт 2, условие 1, определение прямоугольного треугольника, определение высоты треугольника, определение медианы треугольника''. | группа4 =4 | список4 = '''<math>\triangle ABK</math> является равнобедренным с основанием <math>BK</math>''' — ''пункт 3, признак равнобедренного треугольника''. | группа5 =5 | список5 = '''<math>\triangle ABK</math>: <math>AK = BK</math>''' — ''пункт 4, определение равнобедренного треугольника''. | группа6 =6 | список6 = '''Отрезок <math>CM</math> есть средняя линия <math>\triangle ABK</math>''' — ''пункт 2, условие 2, определение средней линии треугольника''. | группа7 =7 | список7 = <math>CM=\dfrac{1}{2}AK</math>. {{Подсказка|Обоснование|Пункт 6, свойство средней линии треугольника}} | группа8 =8 | список8 = <math>CM=\dfrac{1}{2}AB</math>. {{Подсказка|Обоснование|Пункты 5 и 7, подстановка}} | внизу = Задача решена. }}<noinclude> </noinclude> }}}} == Вспомогательная окружность == щ == Примечания == {{Примечания}} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] p248ewvn4e2ermjmgwq0st2eiep7qfy 267764 267615 2026-05-21T10:45:29Z AllaBuraya 79455 267764 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Одним из эффективных способов решения геометрических<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=27730#page_13|title=Одна задача|website=elib.mpgu.info|access-date=2025-06-05}}</ref> задач является метод дополнительных построений. Часто встречаются задачи, при решении которых простой анализ свойств не приводит к решению. Тогда вводятся «дополнительные элементы», а для этого, как правило, выполняются «дополнительные построения», которые позволяют свести задачу к задачам, решения которых хорошо известны или относительно легко могут быть получены.<ref name=":0">{{Статья|автор=Фирстова Н. И.|выпуск=17|год=2021|страницы=55―68|заглавие=Дополнительные построения в курсе планиметрии // Научно-методический сборник «Архимед»}}</ref> <code>Суть метода:</code> ''чертёж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными''. Таким образом, устанавливается связь между известными и неизвестными элементами геометрической фигуры. Дополнительные построение составляет основу поиска решения задачи. Метод дополнительных построений при решении геометрических задач является непростым, так как требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться, какие дополнительные построения провести. Вместе с тем существуют достаточно типичные дополнительные построения, к выполнению которых обучающихся можно подготовить.<ref name=":0" /> ''И. Ф. Шарыгин'' выделил три основных приёма дополнительных построения: # удвоение медианы # проведение прямой, параллельной данной # соединение точек — это либо вершины треугольника, либо построение отрезков в самом треугольнике (медиана, высота, биссектриса, средняя линия, отрезок, делящий сторону в некотором отношении) Компоненты метода: # '''Построение вспомогательной окружности'''. Использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче. Как правило, это условия, при которых многоугольник (в частности, четырёхугольник<ref>Далее будем рассматривать только четырёхугольники.</ref>) является вписанным или описанным — условия существования окружности. # '''Проведение параллельной прямой либо параллельных прямых'''. # '''Продолжение отрезка (луча либо прямой) на определённое расстояние''' # '''Соединение точек отрезком (лучом либо прямой)''' == Пример == Некоторые теоремы школьного курса геометрии можно доказать разными приёмами дополнительных построений. Приведём способы доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе (в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы). Данное свойство можно использовать при обучении дополнительным построениям, показывая на примере различные способы дополнительных построений. {{Задача|1. Свойство медианы прямоугольного треугольника.| {{Новая задача|формулировка=Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы|условие=# <math>\triangle ABC</math> — прямоугольный (<math>\angle C = 90^\circ</math>); # <math>CM</math> — медиана.|требование=Доказать: <math>CM=\dfrac{1}{2}AB</math>.|решение= {{Навигационная таблица | имя = Метод дополнительных построений{{подст:пустой шаблон|Не меняйте ничего на этой строке. Она изменится сама при сохранении.}} | заголовок = Способ 1. ''Проведение прямой, параллельной медиане треугольника''. | state = {{{state|autocollapse|state}}} | класс_списков = hlist hlist-items-nowrap | вверху = Доказательство | изображение = [[Файл:Свойство медианы прямоугольного треугольника 1.png|мини]] | группа1 =1 | список1 = '''Проведём <math>AK \parallel CM</math>, где <math>\left ( \cdot \right )K = {AK}\cap {\left ( BC \right )}</math>''' — ''условия 1 и 2, дополнительное построение''. | группа2 =2 | список2 = '''<math>\left [ BC \right ] = \left [ CK \right ]</math>''' — ''пункт 1, условие 2, теорема Фалеса, определение медианы треугольника''. | группа3 =3 | список3 = '''Отрезок <math>AC</math> есть высота и медиана <math>\triangle ABK</math>''' — ''пункт 2, условие 1, определение прямоугольного треугольника, определение высоты треугольника, определение медианы треугольника''. | группа4 =4 | список4 = '''<math>\triangle ABK</math> является равнобедренным с основанием <math>BK</math>''' — ''пункт 3, признак равнобедренного треугольника''. | группа5 =5 | список5 = '''<math>\triangle ABK</math>: <math>AK = BK</math>''' — ''пункт 4, определение равнобедренного треугольника''. | группа6 =6 | список6 = '''Отрезок <math>CM</math> есть средняя линия <math>\triangle ABK</math>''' — ''пункт 2, условие 2, определение средней линии треугольника''. | группа7 =7 | список7 = <math>CM=\dfrac{1}{2}AK</math>. {{Подсказка|Обоснование|Пункт 6, свойство средней линии треугольника}} | группа8 =8 | список8 = <math>CM=\dfrac{1}{2}AB</math>. {{Подсказка|Обоснование|Пункты 5 и 7, подстановка}} | внизу = Задача решена. }}<noinclude> </noinclude> }}}} == Вспомогательная окружность == щ == Примечания == {{Примечания}} [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 96eckt4mbt8xdkw4qd4vzyhgvmlrarz 14 32089 267533 243493 2026-05-20T12:40:35Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267533 wikitext text/x-wiki Этот учебник для тех, кто хочет более глубоко изучить математику, понять её происхождение и роль в современном мире, а также развить свои способности и умения. nluhmukgszt4ufgniujv5s3mm3ns60t 0 32090 267531 260877 2026-05-20T12:40:22Z AllaBuraya 79455 267531 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} == 1. Из истории счёта и натуральных чисел == Чтобы понять, откуда взялись натуральные числа и что они собой представляют, надо разобраться в том, что такое счёт предметов и измерение величин. {{Важное|Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи: 1) установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти количественную оценку этого множества 2) установить определённый порядок между предметами этого множества.|alt=|текст=Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи: 1) установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти количественную оценку этого множества 2) установить определённый порядок между предметами этого множества.}} Счёт, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы пересчитываемого множества сопоставляются, т. е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определённой совокупности (её называют ''стандартной''). У большинства народов такой стандартной совокупностью служили пальцы рук, а иногда пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки на деревьях, узелки на верёвках, применялись некоторые предметы, например, раковины, бобы и т. д.[[Файл:1992. Марка России 2.jpg|мини|Выдающийся русский учёный-путешественник [[w:Миклухо-Маклай,_Николай_Николаевич|Н. Н. Миклухо-Маклай]] (1846–1888) описывает, как производили счёт папуасы, жившие на островах Новой Гвинеи, так: «''Излюбленный способ счёта состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например "бе, бе, бе, ...". Досчитав до пяти, он говорит "ибон-бе"'' (‘рука’)''. Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет "бе, бе, ...", пока не доходит до "ибон-али"'' (‘две руки’)''. Затем он идёт дальше, проговаривая "бе, бе, ...", пока не доходит до "самба-бе" и "самба-али"'' (‘одна нога, две ноги’)''. Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого''».]]Первобытный человек мог подсчитать лишь небольшую совокупность предметов. Так, например, индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т. е. до числа пальцев на одной руке. А всё, что больше пяти, они называли «''много''». При этом они не осознавали, что есть общего, например, между двумя зайцами, двумя лодками, двумя рыбами и т. д. Вот почему для называния числа «''два''» или «''три''» <u>использовались разные слова</u> в зависимости от того, о каких двух или трёх предметах шла речь. Однако постепенно, на протяжении многих веков, в процессе совершенствования счёта, человек начал осознавать то '''общее''', что имеют «три человека» «три палки», вообще любые множества, имеющие три предмета. В результате образовались отвлечённые понятия «''один''», «''два''», «''три''» и т. д. Тем самым было создано отвлечённое стандартное множество натуральных чисел <math>1,\,2,\,3,\,\ldots,</math> служащее для счёта любых множеств. <span style="color:red">{{Определение|Число называется '''отвлечённым''', если <u>не указана (не названа) единица счёта или измерения</u>, в результате которого получено это число. Совокупность отвлечённого числа и названия (наименования, обычно сокращённого) единицы счёта или измерения называется '''именованным числом'''.}}</span>Значит, <math>3</math> — это <code>отвлечённое число</code>, а <math>3</math> шт. (штуки) или <math>3</math> м (метра) — это уже <code>именованные числа</code>. {{Вопрос}} У русского народа имеется много пословиц, в которых используется число семь: «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> раз отмерь, один раз отрежь''», «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> бед, один ответ''», «''У <span style="background-color:yellow">семи</span> нянек дитя без глазу''», «''Один с сошкой, а <span style="background-color:yellow">семеро</span> с ложкой''», «''Лук — от <span style="background-color:yellow">семи</span> недуг''», «''На <span style="background-color:yellow">семи</span> ветрах''», «''За <span style="background-color:yellow">семью</span> печатями''», «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> потов сошло''» и др. Как вы думаете, какое слово в этих пословицах заменяет число '''''семь'''''? О чём это говорит? === Для тех, кто хочет знать больше... === ==== Множество и его элементы. ==== Людям всё время приходится иметь дело с различными собраниями вещей, или, как говорят, с их ''множествами''. == 2. Количественный и порядковый счёт предметов == == 3. Измерение величин и счёт == == 4. Устная нумерация == [[Категория:Изучаем математику (5-6 классы)]] {{Определение|Натуральными числами называются числа, используемые при счёте.}} {{Задание|Какие из следующих чисел: <math>6</math>; <math>0</math>; <math>4709</math>; <math>\dfrac{1}{9}</math>; <math>1</math> — являются натуральными, а какие нет? Объясните ответы, ссылаясь на определение натурального числа.}} == 5. Письменная нумерация == == Литература == {{Книга|ссылка=https://psv4.userapi.com/s/v1/d/7Hxn70TqMEaoU-y2dwcoFWDbqBoJ4PzaBdKCJB9ui1hWyX5Nn3WUIl-BDVUUFUP33AHMXPVBlpUdT_GP3l4yRoKepS2iJNmZ3qsBG85DI5OQAGXSVu9lgw/Matematika_5_klass_Chast_1_-_Kuznetsova_E_P-_2013g.pdf|автор={{nobr|Кузнецова Е. Б. [и др.]}}|заглавие=Математика : учеб. пособие для 5-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения : в 2 ч.|ответственный=под ред. Л. Б. Шнепермана|год=2013|издание=2-е изд., пересм. и доп|место=Минск|издательство=Нац. ин-т образования (издательство)|страниц=224|isbn=978-985-559-198-7}} [[Категория:Учебники без шаблона]] i1g43hn0gixsu706mrg4s7nw3sjqals 267532 267531 2026-05-20T12:40:26Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Изучаем математику (5-6 классы)]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267532 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% }} == 1. Из истории счёта и натуральных чисел == Чтобы понять, откуда взялись натуральные числа и что они собой представляют, надо разобраться в том, что такое счёт предметов и измерение величин. {{Важное|Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи: 1) установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти количественную оценку этого множества 2) установить определённый порядок между предметами этого множества.|alt=|текст=Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи: 1) установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти количественную оценку этого множества 2) установить определённый порядок между предметами этого множества.}} Счёт, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы пересчитываемого множества сопоставляются, т. е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определённой совокупности (её называют ''стандартной''). У большинства народов такой стандартной совокупностью служили пальцы рук, а иногда пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки на деревьях, узелки на верёвках, применялись некоторые предметы, например, раковины, бобы и т. д.[[Файл:1992. Марка России 2.jpg|мини|Выдающийся русский учёный-путешественник [[w:Миклухо-Маклай,_Николай_Николаевич|Н. Н. Миклухо-Маклай]] (1846–1888) описывает, как производили счёт папуасы, жившие на островах Новой Гвинеи, так: «''Излюбленный способ счёта состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например "бе, бе, бе, ...". Досчитав до пяти, он говорит "ибон-бе"'' (‘рука’)''. Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет "бе, бе, ...", пока не доходит до "ибон-али"'' (‘две руки’)''. Затем он идёт дальше, проговаривая "бе, бе, ...", пока не доходит до "самба-бе" и "самба-али"'' (‘одна нога, две ноги’)''. Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого''».]]Первобытный человек мог подсчитать лишь небольшую совокупность предметов. Так, например, индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т. е. до числа пальцев на одной руке. А всё, что больше пяти, они называли «''много''». При этом они не осознавали, что есть общего, например, между двумя зайцами, двумя лодками, двумя рыбами и т. д. Вот почему для называния числа «''два''» или «''три''» <u>использовались разные слова</u> в зависимости от того, о каких двух или трёх предметах шла речь. Однако постепенно, на протяжении многих веков, в процессе совершенствования счёта, человек начал осознавать то '''общее''', что имеют «три человека» «три палки», вообще любые множества, имеющие три предмета. В результате образовались отвлечённые понятия «''один''», «''два''», «''три''» и т. д. Тем самым было создано отвлечённое стандартное множество натуральных чисел <math>1,\,2,\,3,\,\ldots,</math> служащее для счёта любых множеств. <span style="color:red">{{Определение|Число называется '''отвлечённым''', если <u>не указана (не названа) единица счёта или измерения</u>, в результате которого получено это число. Совокупность отвлечённого числа и названия (наименования, обычно сокращённого) единицы счёта или измерения называется '''именованным числом'''.}}</span>Значит, <math>3</math> — это <code>отвлечённое число</code>, а <math>3</math> шт. (штуки) или <math>3</math> м (метра) — это уже <code>именованные числа</code>. {{Вопрос}} У русского народа имеется много пословиц, в которых используется число семь: «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> раз отмерь, один раз отрежь''», «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> бед, один ответ''», «''У <span style="background-color:yellow">семи</span> нянек дитя без глазу''», «''Один с сошкой, а <span style="background-color:yellow">семеро</span> с ложкой''», «''Лук — от <span style="background-color:yellow">семи</span> недуг''», «''На <span style="background-color:yellow">семи</span> ветрах''», «''За <span style="background-color:yellow">семью</span> печатями''», «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> потов сошло''» и др. Как вы думаете, какое слово в этих пословицах заменяет число '''''семь'''''? О чём это говорит? === Для тех, кто хочет знать больше... === ==== Множество и его элементы. ==== Людям всё время приходится иметь дело с различными собраниями вещей, или, как говорят, с их ''множествами''. == 2. Количественный и порядковый счёт предметов == == 3. Измерение величин и счёт == == 4. Устная нумерация == {{Определение|Натуральными числами называются числа, используемые при счёте.}} {{Задание|Какие из следующих чисел: <math>6</math>; <math>0</math>; <math>4709</math>; <math>\dfrac{1}{9}</math>; <math>1</math> — являются натуральными, а какие нет? Объясните ответы, ссылаясь на определение натурального числа.}} == 5. Письменная нумерация == == Литература == {{Книга|ссылка=https://psv4.userapi.com/s/v1/d/7Hxn70TqMEaoU-y2dwcoFWDbqBoJ4PzaBdKCJB9ui1hWyX5Nn3WUIl-BDVUUFUP33AHMXPVBlpUdT_GP3l4yRoKepS2iJNmZ3qsBG85DI5OQAGXSVu9lgw/Matematika_5_klass_Chast_1_-_Kuznetsova_E_P-_2013g.pdf|автор={{nobr|Кузнецова Е. Б. [и др.]}}|заглавие=Математика : учеб. пособие для 5-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения : в 2 ч.|ответственный=под ред. Л. Б. Шнепермана|год=2013|издание=2-е изд., пересм. и доп|место=Минск|издательство=Нац. ин-т образования (издательство)|страниц=224|isbn=978-985-559-198-7}} [[Категория:Учебники без шаблона]] sbcw75u7anryvfwi5hoiv69fd6k2iqb 267770 267532 2026-05-21T10:47:38Z AllaBuraya 79455 267770 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 0% }} == 1. Из истории счёта и натуральных чисел == Чтобы понять, откуда взялись натуральные числа и что они собой представляют, надо разобраться в том, что такое счёт предметов и измерение величин. {{Важное|Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи: 1) установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти количественную оценку этого множества 2) установить определённый порядок между предметами этого множества.|alt=|текст=Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи: 1) установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти количественную оценку этого множества 2) установить определённый порядок между предметами этого множества.}} Счёт, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы пересчитываемого множества сопоставляются, т. е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определённой совокупности (её называют ''стандартной''). У большинства народов такой стандартной совокупностью служили пальцы рук, а иногда пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки на деревьях, узелки на верёвках, применялись некоторые предметы, например, раковины, бобы и т. д.[[Файл:1992. Марка России 2.jpg|мини|Выдающийся русский учёный-путешественник [[w:Миклухо-Маклай,_Николай_Николаевич|Н. Н. Миклухо-Маклай]] (1846–1888) описывает, как производили счёт папуасы, жившие на островах Новой Гвинеи, так: «''Излюбленный способ счёта состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например "бе, бе, бе, ...". Досчитав до пяти, он говорит "ибон-бе"'' (‘рука’)''. Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет "бе, бе, ...", пока не доходит до "ибон-али"'' (‘две руки’)''. Затем он идёт дальше, проговаривая "бе, бе, ...", пока не доходит до "самба-бе" и "самба-али"'' (‘одна нога, две ноги’)''. Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого''».]]Первобытный человек мог подсчитать лишь небольшую совокупность предметов. Так, например, индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т. е. до числа пальцев на одной руке. А всё, что больше пяти, они называли «''много''». При этом они не осознавали, что есть общего, например, между двумя зайцами, двумя лодками, двумя рыбами и т. д. Вот почему для называния числа «''два''» или «''три''» <u>использовались разные слова</u> в зависимости от того, о каких двух или трёх предметах шла речь. Однако постепенно, на протяжении многих веков, в процессе совершенствования счёта, человек начал осознавать то '''общее''', что имеют «три человека» «три палки», вообще любые множества, имеющие три предмета. В результате образовались отвлечённые понятия «''один''», «''два''», «''три''» и т. д. Тем самым было создано отвлечённое стандартное множество натуральных чисел <math>1,\,2,\,3,\,\ldots,</math> служащее для счёта любых множеств. <span style="color:red">{{Определение|Число называется '''отвлечённым''', если <u>не указана (не названа) единица счёта или измерения</u>, в результате которого получено это число. Совокупность отвлечённого числа и названия (наименования, обычно сокращённого) единицы счёта или измерения называется '''именованным числом'''.}}</span>Значит, <math>3</math> — это <code>отвлечённое число</code>, а <math>3</math> шт. (штуки) или <math>3</math> м (метра) — это уже <code>именованные числа</code>. {{Вопрос}} У русского народа имеется много пословиц, в которых используется число семь: «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> раз отмерь, один раз отрежь''», «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> бед, один ответ''», «''У <span style="background-color:yellow">семи</span> нянек дитя без глазу''», «''Один с сошкой, а <span style="background-color:yellow">семеро</span> с ложкой''», «''Лук — от <span style="background-color:yellow">семи</span> недуг''», «''На <span style="background-color:yellow">семи</span> ветрах''», «''За <span style="background-color:yellow">семью</span> печатями''», «''<span style="background-color:yellow">Семь</span> потов сошло''» и др. Как вы думаете, какое слово в этих пословицах заменяет число '''''семь'''''? О чём это говорит? === Для тех, кто хочет знать больше... === ==== Множество и его элементы. ==== Людям всё время приходится иметь дело с различными собраниями вещей, или, как говорят, с их ''множествами''. == 2. Количественный и порядковый счёт предметов == == 3. Измерение величин и счёт == == 4. Устная нумерация == {{Определение|Натуральными числами называются числа, используемые при счёте.}} {{Задание|Какие из следующих чисел: <math>6</math>; <math>0</math>; <math>4709</math>; <math>\dfrac{1}{9}</math>; <math>1</math> — являются натуральными, а какие нет? Объясните ответы, ссылаясь на определение натурального числа.}} == 5. Письменная нумерация == == Литература == {{Книга|ссылка=https://psv4.userapi.com/s/v1/d/7Hxn70TqMEaoU-y2dwcoFWDbqBoJ4PzaBdKCJB9ui1hWyX5Nn3WUIl-BDVUUFUP33AHMXPVBlpUdT_GP3l4yRoKepS2iJNmZ3qsBG85DI5OQAGXSVu9lgw/Matematika_5_klass_Chast_1_-_Kuznetsova_E_P-_2013g.pdf|автор={{nobr|Кузнецова Е. Б. [и др.]}}|заглавие=Математика : учеб. пособие для 5-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения : в 2 ч.|ответственный=под ред. Л. Б. Шнепермана|год=2013|издание=2-е изд., пересм. и доп|место=Минск|издательство=Нац. ин-т образования (издательство)|страниц=224|isbn=978-985-559-198-7}} [[Категория:Учебники без шаблона]] ge75vpop7zwuo2xw5c41kk1gdcuev7o 0 33489 267505 254816 2026-05-20T12:25:37Z Taratarussia 77272 267505 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Название = Арифметические задачи | Категория = Изучаем математику (5-6 классы) | Лого = | Описание = Арифметические задачи для пятиклассников и шестиклассников | Перевод = | Язык = | Автор = | Тип = Одностраничный }} == Простые задачи == Если арифметическая задача решается одним действием, то такая задача называется простой. {{Задача|1|''Ученик купил тетради в клетку и в линейку, причём тетрадей в клетку он купил на 25 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько надо израсходовать тетрадей в клетку, чтобы их осталось на 10 меньше, чем тетрадей в линейку?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: 35 тетрадей. }} {{Задача|2|''Отец старше матери на 3 года и старше дочери на 20 лет. На сколько лет дочь моложе матери?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|3|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|4|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|5|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|6|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|7|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|8|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|9|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|10|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} == Составные (сложные) задачи == Разберём несколько задач, так называемых чисто арифметических, не требующих особых приёмов решения. {{Задача|11|''Турист, ехавший на велосипеде, наметил проезжать в день по 100 км. В первый день он не выполнил маршрута на 24,5 км, зато во второй день проехал больше, че в первый день, на 6,5 км. Сколько километров проехал турист во второй день?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} [[Категория:Изучаем математику (5-6 классы)]] e201wh1p017aqd8a799x0c0y4fufn5v 267529 267505 2026-05-20T12:38:47Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Изучаем математику (5-6 классы)]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267529 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Название = Арифметические задачи | Категория = Изучаем математику (5-6 классы) | Лого = | Описание = Арифметические задачи для пятиклассников и шестиклассников | Перевод = | Язык = | Автор = | Тип = Одностраничный }} == Простые задачи == Если арифметическая задача решается одним действием, то такая задача называется простой. {{Задача|1|''Ученик купил тетради в клетку и в линейку, причём тетрадей в клетку он купил на 25 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько надо израсходовать тетрадей в клетку, чтобы их осталось на 10 меньше, чем тетрадей в линейку?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: 35 тетрадей. }} {{Задача|2|''Отец старше матери на 3 года и старше дочери на 20 лет. На сколько лет дочь моложе матери?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|3|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|4|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|5|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|6|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|7|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|8|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|9|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|10|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} == Составные (сложные) задачи == Разберём несколько задач, так называемых чисто арифметических, не требующих особых приёмов решения. {{Задача|11|''Турист, ехавший на велосипеде, наметил проезжать в день по 100 км. В первый день он не выполнил маршрута на 24,5 км, зато во второй день проехал больше, че в первый день, на 6,5 км. Сколько километров проехал турист во второй день?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} 6xzqk7osoue9xqae4zzfxz0fjcwclzr 267530 267529 2026-05-20T12:39:40Z AllaBuraya 79455 267530 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Описание = Арифметические задачи для пятиклассников и шестиклассников | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }} == Простые задачи == Если арифметическая задача решается одним действием, то такая задача называется простой. {{Задача|1|''Ученик купил тетради в клетку и в линейку, причём тетрадей в клетку он купил на 25 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько надо израсходовать тетрадей в клетку, чтобы их осталось на 10 меньше, чем тетрадей в линейку?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: 35 тетрадей. }} {{Задача|2|''Отец старше матери на 3 года и старше дочери на 20 лет. На сколько лет дочь моложе матери?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|3|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|4|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|5|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|6|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|7|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|8|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|9|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|10|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} == Составные (сложные) задачи == Разберём несколько задач, так называемых чисто арифметических, не требующих особых приёмов решения. {{Задача|11|''Турист, ехавший на велосипеде, наметил проезжать в день по 100 км. В первый день он не выполнил маршрута на 24,5 км, зато во второй день проехал больше, че в первый день, на 6,5 км. Сколько километров проехал турист во второй день?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} hp75w1yobdwumu38gns415d9tkmc78p 267752 267530 2026-05-21T10:38:33Z AllaBuraya 79455 267752 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Описание = Арифметические задачи для пятиклассников и шестиклассников | Тип = Одностраничный | Готовность = 0% }} == Простые задачи == Если арифметическая задача решается одним действием, то такая задача называется простой. {{Задача|1|''Ученик купил тетради в клетку и в линейку, причём тетрадей в клетку он купил на 25 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько надо израсходовать тетрадей в клетку, чтобы их осталось на 10 меньше, чем тетрадей в линейку?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: 35 тетрадей. }} {{Задача|2|''Отец старше матери на 3 года и старше дочери на 20 лет. На сколько лет дочь моложе матери?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|3|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|4|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|5|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|6|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|7|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|8|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|9|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} {{Задача|10|''В семье взрослых меньше, чем девочек, на одного человека и больше, чем мальчиков, на 3 человека. На сколько в семье девочек больше, чем мальчиков?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} == Составные (сложные) задачи == Разберём несколько задач, так называемых чисто арифметических, не требующих особых приёмов решения. {{Задача|11|''Турист, ехавший на велосипеде, наметил проезжать в день по 100 км. В первый день он не выполнил маршрута на 24,5 км, зато во второй день проехал больше, че в первый день, на 6,5 км. Сколько километров проехал турист во второй день?'' {{Решение задачи|Решение=Разность чисел 25 должна уменьшиться на 25+10=35; вычитаемое не изменится, уменьшаемое уменьшается на 35.|С решением = 0}} <u>Ответ</u>: на 17 лет. }} tuldbrfw8w54tbihpcllnj7l753e3se 0 34079 267647 258559 2026-05-21T08:28:38Z AllaBuraya 79455 267647 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра, Физика | Описание = Сборник олимпиад по различным наукам разного уровня. | Тип = Многостраничный }} Данный учебник представляет из себя сборник различных задач международного, городского, вузовского уровня. Учебник был создан путем объединения других учебников, а вернее - текста олимпиад. {{Содержание |width=100% | Математика * [[/46-я Международная математическая олимпиада|46-я Международная математическая олимпиада]] * [[/54-ая Национальная олимпиада Болгарии по математике|54-ая Национальная олимпиада Болгарии по математике]] * [[/Международная олимпиада школьников по математике «Туймаада-2005»|Международная олимпиада школьников по математике «Туймаада-2005»]] * [[/Московская олимпиада по информатике - 2005|Московская олимпиада по информатике - 2005]] Физика * [[/Районно-городской этап XXXIX Всероссийской олимпиады школьников по физике|Районно-городской этап XXXIX Всероссийской олимпиады школьников по физике]] * [[/Теоретические задачи с XXXV международной физической олимпиады в Корее|Теоретические задачи с XXXV международной физической олимпиады в Корее]] * [[/IX отраслевая олимпиада школьников по физике СарФТИ-РФЯЦ-ВНИИЭФ-2005|IX отраслевая олимпиада школьников по физике СарФТИ-РФЯЦ-ВНИИЭФ-2005]] * [[/Олимпиадные задачи по физике|Олимпиадные задачи по физике]] }} 4enhzt07gu44cb9yly95tuz5tmz89rr 267772 267647 2026-05-21T10:48:03Z AllaBuraya 79455 267772 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика, Физика | Описание = Сборник олимпиад по различным наукам разного уровня. | Тип = Многостраничный }} Данный учебник представляет из себя сборник различных задач международного, городского, вузовского уровня. Учебник был создан путем объединения других учебников, а вернее - текста олимпиад. {{Содержание |width=100% | Математика * [[/46-я Международная математическая олимпиада|46-я Международная математическая олимпиада]] * [[/54-ая Национальная олимпиада Болгарии по математике|54-ая Национальная олимпиада Болгарии по математике]] * [[/Международная олимпиада школьников по математике «Туймаада-2005»|Международная олимпиада школьников по математике «Туймаада-2005»]] * [[/Московская олимпиада по информатике - 2005|Московская олимпиада по информатике - 2005]] Физика * [[/Районно-городской этап XXXIX Всероссийской олимпиады школьников по физике|Районно-городской этап XXXIX Всероссийской олимпиады школьников по физике]] * [[/Теоретические задачи с XXXV международной физической олимпиады в Корее|Теоретические задачи с XXXV международной физической олимпиады в Корее]] * [[/IX отраслевая олимпиада школьников по физике СарФТИ-РФЯЦ-ВНИИЭФ-2005|IX отраслевая олимпиада школьников по физике СарФТИ-РФЯЦ-ВНИИЭФ-2005]] * [[/Олимпиадные задачи по физике|Олимпиадные задачи по физике]] }} 0aopnxrpd0s2220dj024wxgzdv5ymk3 4 34750 267717 267350 2026-05-21T09:26:23Z AllaBuraya 79455 267717 wikitext text/x-wiki {{Викиучебник:Каталог учебников/Шапка}} * [[Файл:Black computer icon.png|14px]] [[Полка:Компьютеры|Компьютеры]] ** [[Файл:Code file icon.png|14px]] [[Полка:Программирование|Программирование]] ** [[Полка:Программное обеспечение|Программное обеспечение]] ** [[Полка:Операционные системы|Операционные системы]] ** [[Файл:Web icon.png|14px]] [[Полка:Веб-разработка|Веб-разработка]] ** [[Файл:Mathematik Informatik.png|14px]] [[Полка:Информатика|Информатика]] ** [[Файл:Paint palette icon from the Noun Project.svg|14px]] [[Полка:Компьютерная графика|Компьютерная графика]] * [[Полка:Естественные науки|Естественные науки]] ** [[Файл:Atom - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Физика|Физика]] ** [[Файл:WikiJournal of Medicine logo (flat black).svg|14px]] [[Полка:Медицина|Медицина]] ** [[Файл:Flask-vial-solid.svg|14px]] [[Полка:Химия|Химия]] ** [[Файл:Biology - The Noun Project.svg|14px]] [[Полка:Биология|Биология]] ** [[Файл:Geography icon.svg|14px]] [[Полка:География|География]] ** [[Файл:Noun project 528.svg|14px]] [[Полка:Геология|Геология]] * [[Полка:Языки|Языки]] ** [[Полка:Языки Европы|Языки Европы]] ** [[Полка:Искусственные языки|Искусственные языки]] ** [[Полка:Другие языки|Другие языки]] ** [[Полка:Древние языки|Древние языки]] ** [[Полка:Языки Восточной Азии|Языки Восточной Азии]] ** [[Файл:Telugu Translation icon - 01.svg|14px]] [[Полка:Лингвистика|Лингвистика]] ** [[Полка:Семитские языки|Семитские языки]] ** [[Полка:Языки Юго-Восточной Азии|Языки Юго-Восточной Азии]] * [[Полка:Досуг|Досуг]] ** [[Файл:Gamepad - Delapouite - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Компьютерные игры|Компьютерные игры]] ** [[Полка:Туризм|Туризм]] ** [[Файл:Round-table - Delapouite - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Настольные игры|Настольные игры]] ** [[Полка:Коллекционирование|Коллекционирование]] * [[Файл:OOjs UI icon math.svg|14px]] [[Полка:Математика|Математика]] ** [[Полка:Алгебра|Алгебра]] ** [[Файл:Geometry tools - Noun project 108271.svg|14px]] [[Полка:Геометрия|Геометрия]] * [[Полка:Техника|Техника]] ** [[Файл:Big guy 637's Car icon.svg|14px]] [[Полка:Автомобили|Автомобили]] ** [[Файл:Building icon Metal.png|14px]] [[Полка:Строительство|Строительство]] ** [[Файл:Plane-icon.png|14px]] [[Полка:Авиация|Авиация]] ** [[Полка:История техники|История техники]] ** [[Полка:Транспорт|Транспорт]] * [[Полка:Социальные науки|Социальные науки]] ** [[Полка:Экономика|Экономика]] ** [[Полка:Психология|Психология]] ** [[Полка:Социология|Социология]] * [[Полка:Гуманитарные науки|Гуманитарные науки]] ** [[Файл:PICOL icon News.svg|14px]] [[Полка:Журналистика|Журналистика]] ** [[Файл:201807 book C.svg|14px]] [[Полка:Литература|Литература]] ** [[Полка:Философия|Философия]] * [[Файл:Culture icon.png|14px]] [[Полка:Культура|Культура]] ** [[Файл:Deepin Icon Theme – folder-music-symbolic (3).svg|14px]] [[Полка:Музыка|Музыка]] ** [[Полка:Фотография|Фотография]] ccv4fx283vuf4e3ke9gl62y518r4px8 267724 267717 2026-05-21T10:00:34Z AllaBuraya 79455 267724 wikitext text/x-wiki {{Викиучебник:Каталог учебников/Шапка}} * [[Файл:Black computer icon.png|14px]] [[Полка:Компьютеры|Компьютеры]] ** [[Файл:Code file icon.png|14px]] [[Полка:Программирование|Программирование]] ** [[Полка:Программное обеспечение|Программное обеспечение]] ** [[Полка:Операционные системы|Операционные системы]] ** [[Файл:Web icon.png|14px]] [[Полка:Веб-разработка|Веб-разработка]] ** [[Файл:Paint palette icon from the Noun Project.svg|14px]] [[Полка:Компьютерная графика|Компьютерная графика]] * [[Полка:Естественные науки|Естественные науки]] ** [[Файл:Atom - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Физика|Физика]] ** [[Файл:WikiJournal of Medicine logo (flat black).svg|14px]] [[Полка:Медицина|Медицина]] ** [[Файл:Flask-vial-solid.svg|14px]] [[Полка:Химия|Химия]] ** [[Файл:Biology - The Noun Project.svg|14px]] [[Полка:Биология|Биология]] ** [[Файл:Geography icon.svg|14px]] [[Полка:География|География]] ** [[Файл:Noun project 528.svg|14px]] [[Полка:Геология|Геология]] * [[Полка:Языки|Языки]] ** [[Полка:Языки Европы|Языки Европы]] ** [[Полка:Искусственные языки|Искусственные языки]] ** [[Полка:Другие языки|Другие языки]] ** [[Полка:Древние языки|Древние языки]] ** [[Полка:Языки Восточной Азии|Языки Восточной Азии]] ** [[Файл:Telugu Translation icon - 01.svg|14px]] [[Полка:Лингвистика|Лингвистика]] ** [[Полка:Семитские языки|Семитские языки]] ** [[Полка:Языки Юго-Восточной Азии|Языки Юго-Восточной Азии]] * [[Полка:Досуг|Досуг]] ** [[Файл:Gamepad - Delapouite - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Компьютерные игры|Компьютерные игры]] ** [[Полка:Туризм|Туризм]] ** [[Файл:Round-table - Delapouite - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Настольные игры|Настольные игры]] ** [[Полка:Коллекционирование|Коллекционирование]] * [[Полка:Формальные науки|Формальные науки]] ** [[Файл:OOjs UI icon math.svg|14px]] [[Полка:Математика|Математика]] ** [[Файл:Mathematik Informatik.png|14px]] [[Полка:Информатика|Информатика]] * [[Полка:Техника|Техника]] ** [[Файл:Big guy 637's Car icon.svg|14px]] [[Полка:Автомобили|Автомобили]] ** [[Файл:Building icon Metal.png|14px]] [[Полка:Строительство|Строительство]] ** [[Файл:Plane-icon.png|14px]] [[Полка:Авиация|Авиация]] ** [[Полка:История техники|История техники]] ** [[Полка:Транспорт|Транспорт]] * [[Полка:Социальные науки|Социальные науки]] ** [[Полка:Экономика|Экономика]] ** [[Полка:Психология|Психология]] ** [[Полка:Социология|Социология]] * [[Полка:Гуманитарные науки|Гуманитарные науки]] ** [[Файл:PICOL icon News.svg|14px]] [[Полка:Журналистика|Журналистика]] ** [[Файл:201807 book C.svg|14px]] [[Полка:Литература|Литература]] ** [[Полка:Философия|Философия]] * [[Файл:Culture icon.png|14px]] [[Полка:Культура|Культура]] ** [[Файл:Deepin Icon Theme – folder-music-symbolic (3).svg|14px]] [[Полка:Музыка|Музыка]] ** [[Полка:Фотография|Фотография]] gm6dyc8nvc4pmoibjz468n1jnpd6fyo 267782 267724 2026-05-21T10:52:58Z AllaBuraya 79455 267782 wikitext text/x-wiki {{Викиучебник:Каталог учебников/Шапка}} * [[Файл:Black computer icon.png|14px]] [[Полка:Компьютеры|Компьютеры]] ** [[Файл:Code file icon.png|14px]] [[Полка:Программирование|Программирование]] ** [[Полка:Программное обеспечение|Программное обеспечение]] ** [[Полка:Операционные системы|Операционные системы]] ** [[Файл:Web icon.png|14px]] [[Полка:Веб-разработка|Веб-разработка]] ** [[Файл:Paint palette icon from the Noun Project.svg|14px]] [[Полка:Компьютерная графика|Компьютерная графика]] * [[Полка:Естественные науки|Естественные науки]] ** [[Файл:Atom - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Физика|Физика]] ** [[Файл:WikiJournal of Medicine logo (flat black).svg|14px]] [[Полка:Медицина|Медицина]] ** [[Файл:Flask-vial-solid.svg|14px]] [[Полка:Химия|Химия]] ** [[Файл:Biology - The Noun Project.svg|14px]] [[Полка:Биология|Биология]] ** [[Файл:Geography icon.svg|14px]] [[Полка:География|География]] ** [[Файл:Noun project 528.svg|14px]] [[Полка:Геология|Геология]] * [[Полка:Языки|Языки]] ** [[Полка:Языки Европы|Языки Европы]] ** [[Полка:Искусственные языки|Искусственные языки]] ** [[Полка:Другие языки|Другие языки]] ** [[Полка:Древние языки|Древние языки]] ** [[Полка:Языки Восточной Азии|Языки Восточной Азии]] ** [[Файл:Telugu Translation icon - 01.svg|14px]] [[Полка:Лингвистика|Лингвистика]] ** [[Полка:Семитские языки|Семитские языки]] ** [[Полка:Языки Юго-Восточной Азии|Языки Юго-Восточной Азии]] * [[Полка:Досуг|Досуг]] ** [[Файл:Gamepad - Delapouite - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Компьютерные игры|Компьютерные игры]] ** [[Полка:Туризм|Туризм]] ** [[Файл:Round-table - Delapouite - game-icons.svg|14px]] [[Полка:Настольные игры|Настольные игры]] ** [[Полка:Коллекционирование|Коллекционирование]] * [[Полка:Формальные науки|Формальные науки]] ** [[Файл:OOjs UI icon math.svg|14px]] [[Полка:Математика|Математика]] ** [[Полка:Логика|Логика]] ** [[Файл:Mathematik Informatik.png|14px]] [[Полка:Информатика|Информатика]] * [[Полка:Техника|Техника]] ** [[Файл:Big guy 637's Car icon.svg|14px]] [[Полка:Автомобили|Автомобили]] ** [[Файл:Building icon Metal.png|14px]] [[Полка:Строительство|Строительство]] ** [[Файл:Plane-icon.png|14px]] [[Полка:Авиация|Авиация]] ** [[Полка:История техники|История техники]] ** [[Полка:Транспорт|Транспорт]] * [[Полка:Социальные науки|Социальные науки]] ** [[Полка:Экономика|Экономика]] ** [[Полка:Психология|Психология]] ** [[Полка:Социология|Социология]] * [[Полка:Гуманитарные науки|Гуманитарные науки]] ** [[Файл:PICOL icon News.svg|14px]] [[Полка:Журналистика|Журналистика]] ** [[Файл:201807 book C.svg|14px]] [[Полка:Литература|Литература]] ** [[Полка:Философия|Философия]] * [[Файл:Culture icon.png|14px]] [[Полка:Культура|Культура]] ** [[Файл:Deepin Icon Theme – folder-music-symbolic (3).svg|14px]] [[Полка:Музыка|Музыка]] ** [[Полка:Фотография|Фотография]] clasb5sfj83hws46ci4fedsk08fos4i 0 35018 267612 261118 2026-05-21T08:15:34Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267612 wikitext text/x-wiki [[Категория:Учебники без шаблона]] Метод неравенств<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6458&type=middle/fast|website=elib.mpgu.info|title=Метод неравенств|access-date=2025-06-05}}</ref> относится к алгебраическому методу решения уравнений. === Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств === В школьном курсе математики выделены четыре основных метода решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, переход от равенства функций к равенству аргументов, функционально-графический. Помимо перечисленных методов существуют и специальные. Как правила, они используются лишь в том случае, когда уравнение весьма затруднительно решить общими подходами. Рассмотрим один из таких специальных методов, в основе которого лежит применение алгебраических неравенств. ==== Применение неравенства Коши ==== {{Задача|1.| Решить уравнение: <math>\sqrt[3]{25x\left(2x^2+9\right)}=4x+\dfrac{3}{x}</math>. {{Решение задачи|Решение=Сразу учтём область определения неизвестного: <math>x\in \mathbb R</math>, <math>x\neq 0</math>.|С решением=е}}|и}} ==== Применение неравенства Бернулли ==== [[Категория:Учебники без шаблона]] hdng0874hkwgrvxbmotiknkvdbq9e6f 267613 267612 2026-05-21T08:15:43Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267613 wikitext text/x-wiki [[Категория:Учебники без шаблона]] Метод неравенств<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6458&type=middle/fast|website=elib.mpgu.info|title=Метод неравенств|access-date=2025-06-05}}</ref> относится к алгебраическому методу решения уравнений. === Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств === В школьном курсе математики выделены четыре основных метода решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, переход от равенства функций к равенству аргументов, функционально-графический. Помимо перечисленных методов существуют и специальные. Как правила, они используются лишь в том случае, когда уравнение весьма затруднительно решить общими подходами. Рассмотрим один из таких специальных методов, в основе которого лежит применение алгебраических неравенств. ==== Применение неравенства Коши ==== {{Задача|1.| Решить уравнение: <math>\sqrt[3]{25x\left(2x^2+9\right)}=4x+\dfrac{3}{x}</math>. {{Решение задачи|Решение=Сразу учтём область определения неизвестного: <math>x\in \mathbb R</math>, <math>x\neq 0</math>.|С решением=е}}|и}} ==== Применение неравенства Бернулли ==== [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] odwdsdroqscuf10amv1xssd3wtc0yv3 267766 267613 2026-05-21T10:46:13Z AllaBuraya 79455 267766 wikitext text/x-wiki [[Категория:Учебники без шаблона]] {{Название учебника | Категория = Математика }} Метод неравенств<ref>{{Cite web|url=http://elib.mpgu.info/elib/view.php?id=6458&type=middle/fast|website=elib.mpgu.info|title=Метод неравенств|access-date=2025-06-05}}</ref> относится к алгебраическому методу решения уравнений. === Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств === В школьном курсе математики выделены четыре основных метода решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, переход от равенства функций к равенству аргументов, функционально-графический. Помимо перечисленных методов существуют и специальные. Как правила, они используются лишь в том случае, когда уравнение весьма затруднительно решить общими подходами. Рассмотрим один из таких специальных методов, в основе которого лежит применение алгебраических неравенств. ==== Применение неравенства Коши ==== {{Задача|1.| Решить уравнение: <math>\sqrt[3]{25x\left(2x^2+9\right)}=4x+\dfrac{3}{x}</math>. {{Решение задачи|Решение=Сразу учтём область определения неизвестного: <math>x\in \mathbb R</math>, <math>x\neq 0</math>.|С решением=е}}|и}} ==== Применение неравенства Бернулли ==== [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] ctytujptyw5501wyibvl2dkdrmju3uk 0 35066 267554 264747 2026-05-20T14:02:10Z ~2026-30315-42 79477 267554 wikitext text/x-wiki {{Внимание|Данный ФАП имеет также альтерантивное название [[АОН/ФАП-149|ФАП-183]] и имеет в названии "Часть 183", что указывает на его связь с зарубежным Part-183.) и может упоминаться под этим именем}} ФАП-149 определяет порядок создания организаций (они в ФАП-148 именуются "[[АОН/Аккредитованная организация|аккредитованная организация]]"), которые выдают "заключение о соответствии конструкции экземпляра ВС утвержденной типовой конструкции ВС" для [[АОН/Типовое ВС|типовых воздушных судов]]. Данный акт требуется для выдачи в свою очередь СЛГ (по [[АОН/ФАП-148|ФАП-148]]) либо продления действия уже имеющегося СЛГ. == История == ФАП вступил в силу 1 сентября 2025 г. == Список организаций == {{Основная статья|АОН/Аккредитованная организация/Список}} == Аттестат аккредитации == Организации выдается аттестат аккредитации, который действует 5 лет. Согласно п.6 аккредитованная организация должна осуществлять деятельность в пределах перечня типов ВС, указанного в приложении к аттестату аккредитации (далее - область аккредитации). {{Цитата|5. Эксплуатант или владелец легкого ВС авиации общего назначения либо сверхлегкого ВС авиации общего назначения при подтверждении соответствия конструкции экземпляра ВС утвержденной типовой конструкции ВС не должен привлекать для оформления заключения аккредитованную организацию, являющуюся его аффилированным лицом.}} == Требования к персоналу == Персонал делится на две категории и представители каждой категории не могут присутствовать во второй категории. {{Цитата|12. Аккредитованная организация не должна:<BR> включать работников одновременно в перечень работников, обладающих правом проведения документарной проверки и оформления заключения, и перечень работников, обладающих правом проведения осмотра ВС.}} === Проводящие документарную проверку === {{Цитата|10. Аккредитованная организация должна иметь работников, обладающих правом проведения документарной проверки и оформления заключения, соответствующих следующим требованиям исходя из области аккредитации:<BR> .. опущено<BR> 2) наличие высшего технического образования в области гражданской авиации;<BR> 3) наличие не менее 5 лет стажа работы в области поддержания летной годности ВС и (или) контроля поддержания летной годности ВС; .. опущено}} === Осматривающие ВС === {{Цитата|11. Аккредитованная организация должна иметь работников, обладающих правом проведения осмотра ВС, соответствующих следующим требованиям исходя из области аккредитации:<BR> 1) наличие свидетельства специалиста по техническому обслуживанию ВС с квалификационной отметкой ;<BR> 2) наличие не менее 5 лет стажа работы в области технического обслуживания ВС и (или) контроля технического обслуживания ВС;<BR> опущены пункты}} Нельзя является сотрудником двух аккредитованных по ФАП-149 организаций: {{Цитата|12. Аккредитованная организация не должна:<BR> включать работников в перечни работников, обладающих правом проведения осмотра ВС, документарной проверки, если они включены в перечни работников иной аккредитованной организации;}} == Выдача СЛГ == Выдача непосредственного СЛГ на типовые ВС определена в [[АОН/ФАП-148|ФАП-148]]. Т.е. организация создается по ФАП-149 (описанной на настоящей странице), а работает она (выдает СЛГ) по ФАП-148. == Полное название == Приказ Министерства транспорта Российской Федерации от 05.05.2025 № 149 "Об утверждении Федеральных авиационных правил "Порядок аккредитации юридических лиц, указанных в пункте 1 статьи 36-1 Воздушного кодекса Российской Федерации, а также требования к ним. Часть 183" (Зарегистрирован 30.05.2025 № 82457) == См. также == *[[АОН/Аккредитованная организация|Аккредитованная организация]] *[[АОН/Аккредитованная организация/Список|Список организаций, сертифицированных по ФАП-149]] == Ссылки == *[https://ivo.garant.ru/#/document/412107336 ФАП-149] в виде текста в правовой базе *[http://publication.pravo.gov.ru/document/0001202506020012 ФАП-149] в виде PDF на pravo.gov.ru == Примечания == {{Примечания}} {{АОН}} owmf1yacb6p223jo7bw0ek7f9y0tupy 0 35080 267606 262170 2026-05-21T08:13:55Z AllaBuraya 79455 267606 wikitext text/x-wiki Многие математические предложения содержат слова ''любой'', ''существует'' или их аналоги. Эти слова называют '''кванторными словами''' или просто '''[https://www.dissercat.com/content/kvantory-v-obuchenii-matematike-v-shkole-5-11-klassy кванторами]''' (общности и существования соответственно)<ref>От лат. ''quantum'' — «сколько».</ref>. Кванторные слова играют важную роль при обучении математике — их правильное употребление влияет на правильность понимания тех предложений, где они используются. При изучении математики многие учащиеся испытывают большие затруднения, которые, по сути, связаны именно с непониманием конструкций математического языка, содержащих кванторные слова. К сожалению, большинство школьных учебников по математике не помогают преодолеть эти трудности: кванторные слова, хотя и используются их авторами, но остаются «в тени», без обсуждения. Однако в некоторых учебниках все же идёт речь об элементах логики и обсуждаются роль, значение и особенности использования кванторных слов (см., например, [2, 5, 9]). Но в школьном курсе математики, в целом, этим вопросам уделяется значительно меньше внимания, чем они того заслуживают. === Кванторные слова и обороты. === Как известно, все кванторные слова и обороты можно разделить на две группы. К первой группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение общности: «любой», «всякий», «каждый», «каким бы ни был», «все». Все они взаимозаменяемы (иногда при определенной перестройке предложения). Приведём примеры их использования: «Любое кратное четырём число является четным»; «Всякое кратное четырем число является четным»; «Каждое кратное четырем число является четным»; «Каким бы ни было кратное четырем число, оно является четным»; «Все кратные четырем числа являются четными». Ко второй группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение существования: «существует», «хотя бы один», «по крайней мере один», «по меньшей мере один», «некоторый», а также слова «найдется» и «имеется». Все они также взаимозаменяемы. Приведем примеры их использования: «Существует простое число, являющееся четным»; «Хотя бы одно простое число является четным»; «По крайней мере одно простое число является четным»; «По меньшей мере одно простое число является четным»; «Найдется простое число, которое является четным»; «Имеется простое число, которое является четным». Роль кванторных слов в обучении математике часто недооценивается. Эти слова нередко опускают, считая «лишними» в теоремах и определениях. Многие учителя полагают, что, опуская кванторные слова в предложении, они упрощают это предложение, делают его более понятным. Однако это не всегда так. Опускание кванторных слов в предложении может привести к неоднозначности его понимания, искажению или даже потере его смысла, что отмечается во многих публикациях (см., например, [6, 8, 10]). Особенно опасно, когда кванторные слова опускают ученики. Например, когда ученик говорит «Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом», неясно, что он имеет в виду: то ли «Любой четырехугольник...», то ли «Некоторый четырехугольник...». Отметим, что допустимо опускание лишь кванторов общности в начале теоремы (внешних) и недопустимо опускание кванторов существования, где бы они ни находились [10]. Отметим некоторые '''''особенности''''' '''''употребления''''' кванторных слов со значением <code>существования</code>. # Слово «найдется» по смыслу близко к слову «существует» и может быть заменено словом «существует». Однако слово «найдется» чаще употребляют в тех предложениях, в которых утверждается существование объекта, найти (указать) который можно, но не совсем просто, например в предложении «Найдется функция, имеющая бесконечно много нулей на отрезке [0; 1]». В то же время некоторое удивление вызывает, например, такое предложение: «Найдется четное число, кратное четырем» (Чего же тут искать? Его и искать не надо!). Также слово «найдется» часто употребляют в вопросах типа «Найдется ли объект, обладающий данным свойством?», ответ на которые либо отрицательный, либо положительный, но требующий размышлений, чтобы привести пример такого объекта. # Кванторный оборот «по крайней мере один», смысл которого хотя и близок смыслу слова «существует», чаще употребляют тогда, когда говорящему известен только один пример, подтверждающий существование. При употреблении этого оборота в том случае, когда обладающий рассматриваемым свойством объект не является единственным, ощущается дискомфорт. К примеру, естественным кажется предложение «По крайней мере одно простое число четно» (поскольку такое число только одно) и не вполне естественным — предложение «По крайней мере одно действительное число является рациональным». Отметим, что кванторный оборот «по крайней мере один» используется также в ответах на вопросы вида «Существует ли объект, обладающий данным свойством?» в том случае, когда отвечающий не уверен, есть ли другие объекты, обладающие данным свойством, кроме объекта, указанного им в подтверждение положительного ответа на поставленный вопрос. Обычно к кванторным словам со значением существования относят также слово «некоторый». Однако это слово занимает особое положение, поскольку оно имеет разный смысл в зависимости от контекста. С одной стороны, в определенных контекстах слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «существует». Однако эти слова не взаимозаменяемы. При замене в предложении одного слова другим обычно происходит частичная перестройка этого предложения. Например, предложения «Пусть функция / возрастает на некотором промежутке» и «Квадрат некоторого числа больше его куба» означают соответственно: «Пусть существует такой промежуток, на котором функция / возрастает» и «Существует число, квадрат которого больше его куба». Рассмотрим признак параллельности двух прямых: «Если две данные прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны». Здесь слова «некоторой прямой» означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если существует прямая, параллельная двум данным прямым, то эти прямые параллельны». Заметим, что если в предложении слово «некоторый» имеет значение существования, его обычно можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо» (и наоборот): «Если две данные прямые параллельны какой-нибудь (какой-либо) прямой, то они параллельны». Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». Здесь слова «некоторой прямой» также означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если прямая а не лежит в плоскости а и существует параллельная ей прямая, лежащая в плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а». И в этом случае слово «некоторый» можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо»: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь (какой-либо) прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». С другой стороны, в математическом языке слово «некоторый» имеет в определенных контекстах тот же смысл, что и слово «произвольный», а именно, если оно используется при фиксировании объекта, обладающего данным свойством. В предложениях «Рассмотрим (зафиксируем) на прямой а некоторую точку А» и «Пусть х — некоторое число, делящееся на 4» слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «произвольный», и эти слова взаимозаменяемы (без перестройки предложения): «Рассмотрим на прямой а произвольную точку А» и «Пусть х — произвольное число, делящееся на 4» соответственно. В таких предложениях слово «некоторый» по-прежнему можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо», но с другим смыслом, а именно со смыслом «произвольный»: «Рассмотрим на прямой а какую-нибудь (какую-либо) точку А» и «Пусть х — какое-нибудь (какое-либо) число, делящееся на 4» соответственно. Полагаем, что в этом случае слово «некоторый» нежелательно заменять словом «любой» и никак нельзя заменить словом «всякий», т. е. его нельзя считать полным аналогом кванторных слов со значением общности. Таким образом, слово «некоторый», а также слова «какой-нибудь» и «какой-либо» следует отнести к словам, имеющим разный смысл в зависимости от контекста. Отметим, что если слово «некоторый» использовано в предложении с предлогом «для» («для некоторого»), оно обычно имеет значение существования. Например, предложение «Для некоторого числа х верно неравенство -х > х» означает следующее: «Существует такое число х, для которого верно неравенство —х > л». Здесь слова «для некоторого» уже нельзя заменить словами «для какого-нибудь» или «для какого-либо». Наконец, отметим отличие в использовании слова «некоторый» в естественном языке вне математики (в обыденном языке) и в современном математическом языке. В естественном языке за пределами математики слово «некоторый», хотя в определенном контексте и близко по смыслу слову «существует», но все же оно ближе к обороту «существуют, но не все». Например, когда мы говорим: «Некоторые дни в сентябре были пасмурными», мы подразумеваем следующее: «В сентябре были пасмурные дни, но не все дни в сентябре были пасмурными». В современном математическом языке слово «некоторый» при использовании в смысле «существует» такого смысла не имеет [4, 7]. Так, предложение «Некоторые кратные четырем числа являются четными» ничуть не исключает, что все кратные четырем числа являются четными. === Обороты с кванторным смыслом. === Помимо кванторных оборотов в математическом языке часто встречаются устойчивые обороты, смысл которых можно раскрыть и уточнить с помощью кванторного слова «существует». Такие обороты будем называть '''оборотами с кванторным''' '''смыслом'''. Например, в геометрии часто используют следующие обороты, имеющие кванторный смысл: # «Точки А, В и С лежат на одной прямой», «Точки А, В и С не лежат на одной прямой»; # «Через точки А, В и С можно провести прямую», «Через точки А, В и С нельзя провести прямую»; # «Прямые а и Ъ лежат в одной плоскости», «Прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости»; # «Через прямые а и 6 можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ нельзя провести плоскость». Предложения «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости», «Через прямые а и Ъ можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ проходит плоскость» означают следующее: «Существует плоскость, в которой лежат прямые а и 6». Правда, в этих предложениях можно усмотреть значение не только существования, но и единственности. Кванторный смысл также имеют часто используемые в алгебре такие обороты, как: 1) «Данное число можно представить (представимо) в виде»; «Данное число нельзя представить (непредставимо) в виде»; 2) «Данное число можно разложить (нельзя разложить)». Например, предложения «Число 36 можно представить в виде 2k, где k - натуральное число» и «Число 36 нельзя представить в виде 2k, где k - натуральное число» имеют следующий смысл: [[Категория:Учебники без шаблона]] okhwbb10egvc5hpjuq8nncsj0dl8vvy 267607 267606 2026-05-21T08:14:07Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267607 wikitext text/x-wiki Многие математические предложения содержат слова ''любой'', ''существует'' или их аналоги. Эти слова называют '''кванторными словами''' или просто '''[https://www.dissercat.com/content/kvantory-v-obuchenii-matematike-v-shkole-5-11-klassy кванторами]''' (общности и существования соответственно)<ref>От лат. ''quantum'' — «сколько».</ref>. Кванторные слова играют важную роль при обучении математике — их правильное употребление влияет на правильность понимания тех предложений, где они используются. При изучении математики многие учащиеся испытывают большие затруднения, которые, по сути, связаны именно с непониманием конструкций математического языка, содержащих кванторные слова. К сожалению, большинство школьных учебников по математике не помогают преодолеть эти трудности: кванторные слова, хотя и используются их авторами, но остаются «в тени», без обсуждения. Однако в некоторых учебниках все же идёт речь об элементах логики и обсуждаются роль, значение и особенности использования кванторных слов (см., например, [2, 5, 9]). Но в школьном курсе математики, в целом, этим вопросам уделяется значительно меньше внимания, чем они того заслуживают. === Кванторные слова и обороты. === Как известно, все кванторные слова и обороты можно разделить на две группы. К первой группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение общности: «любой», «всякий», «каждый», «каким бы ни был», «все». Все они взаимозаменяемы (иногда при определенной перестройке предложения). Приведём примеры их использования: «Любое кратное четырём число является четным»; «Всякое кратное четырем число является четным»; «Каждое кратное четырем число является четным»; «Каким бы ни было кратное четырем число, оно является четным»; «Все кратные четырем числа являются четными». Ко второй группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение существования: «существует», «хотя бы один», «по крайней мере один», «по меньшей мере один», «некоторый», а также слова «найдется» и «имеется». Все они также взаимозаменяемы. Приведем примеры их использования: «Существует простое число, являющееся четным»; «Хотя бы одно простое число является четным»; «По крайней мере одно простое число является четным»; «По меньшей мере одно простое число является четным»; «Найдется простое число, которое является четным»; «Имеется простое число, которое является четным». Роль кванторных слов в обучении математике часто недооценивается. Эти слова нередко опускают, считая «лишними» в теоремах и определениях. Многие учителя полагают, что, опуская кванторные слова в предложении, они упрощают это предложение, делают его более понятным. Однако это не всегда так. Опускание кванторных слов в предложении может привести к неоднозначности его понимания, искажению или даже потере его смысла, что отмечается во многих публикациях (см., например, [6, 8, 10]). Особенно опасно, когда кванторные слова опускают ученики. Например, когда ученик говорит «Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом», неясно, что он имеет в виду: то ли «Любой четырехугольник...», то ли «Некоторый четырехугольник...». Отметим, что допустимо опускание лишь кванторов общности в начале теоремы (внешних) и недопустимо опускание кванторов существования, где бы они ни находились [10]. Отметим некоторые '''''особенности''''' '''''употребления''''' кванторных слов со значением <code>существования</code>. # Слово «найдется» по смыслу близко к слову «существует» и может быть заменено словом «существует». Однако слово «найдется» чаще употребляют в тех предложениях, в которых утверждается существование объекта, найти (указать) который можно, но не совсем просто, например в предложении «Найдется функция, имеющая бесконечно много нулей на отрезке [0; 1]». В то же время некоторое удивление вызывает, например, такое предложение: «Найдется четное число, кратное четырем» (Чего же тут искать? Его и искать не надо!). Также слово «найдется» часто употребляют в вопросах типа «Найдется ли объект, обладающий данным свойством?», ответ на которые либо отрицательный, либо положительный, но требующий размышлений, чтобы привести пример такого объекта. # Кванторный оборот «по крайней мере один», смысл которого хотя и близок смыслу слова «существует», чаще употребляют тогда, когда говорящему известен только один пример, подтверждающий существование. При употреблении этого оборота в том случае, когда обладающий рассматриваемым свойством объект не является единственным, ощущается дискомфорт. К примеру, естественным кажется предложение «По крайней мере одно простое число четно» (поскольку такое число только одно) и не вполне естественным — предложение «По крайней мере одно действительное число является рациональным». Отметим, что кванторный оборот «по крайней мере один» используется также в ответах на вопросы вида «Существует ли объект, обладающий данным свойством?» в том случае, когда отвечающий не уверен, есть ли другие объекты, обладающие данным свойством, кроме объекта, указанного им в подтверждение положительного ответа на поставленный вопрос. Обычно к кванторным словам со значением существования относят также слово «некоторый». Однако это слово занимает особое положение, поскольку оно имеет разный смысл в зависимости от контекста. С одной стороны, в определенных контекстах слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «существует». Однако эти слова не взаимозаменяемы. При замене в предложении одного слова другим обычно происходит частичная перестройка этого предложения. Например, предложения «Пусть функция / возрастает на некотором промежутке» и «Квадрат некоторого числа больше его куба» означают соответственно: «Пусть существует такой промежуток, на котором функция / возрастает» и «Существует число, квадрат которого больше его куба». Рассмотрим признак параллельности двух прямых: «Если две данные прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны». Здесь слова «некоторой прямой» означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если существует прямая, параллельная двум данным прямым, то эти прямые параллельны». Заметим, что если в предложении слово «некоторый» имеет значение существования, его обычно можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо» (и наоборот): «Если две данные прямые параллельны какой-нибудь (какой-либо) прямой, то они параллельны». Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». Здесь слова «некоторой прямой» также означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если прямая а не лежит в плоскости а и существует параллельная ей прямая, лежащая в плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а». И в этом случае слово «некоторый» можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо»: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь (какой-либо) прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». С другой стороны, в математическом языке слово «некоторый» имеет в определенных контекстах тот же смысл, что и слово «произвольный», а именно, если оно используется при фиксировании объекта, обладающего данным свойством. В предложениях «Рассмотрим (зафиксируем) на прямой а некоторую точку А» и «Пусть х — некоторое число, делящееся на 4» слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «произвольный», и эти слова взаимозаменяемы (без перестройки предложения): «Рассмотрим на прямой а произвольную точку А» и «Пусть х — произвольное число, делящееся на 4» соответственно. В таких предложениях слово «некоторый» по-прежнему можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо», но с другим смыслом, а именно со смыслом «произвольный»: «Рассмотрим на прямой а какую-нибудь (какую-либо) точку А» и «Пусть х — какое-нибудь (какое-либо) число, делящееся на 4» соответственно. Полагаем, что в этом случае слово «некоторый» нежелательно заменять словом «любой» и никак нельзя заменить словом «всякий», т. е. его нельзя считать полным аналогом кванторных слов со значением общности. Таким образом, слово «некоторый», а также слова «какой-нибудь» и «какой-либо» следует отнести к словам, имеющим разный смысл в зависимости от контекста. Отметим, что если слово «некоторый» использовано в предложении с предлогом «для» («для некоторого»), оно обычно имеет значение существования. Например, предложение «Для некоторого числа х верно неравенство -х > х» означает следующее: «Существует такое число х, для которого верно неравенство —х > л». Здесь слова «для некоторого» уже нельзя заменить словами «для какого-нибудь» или «для какого-либо». Наконец, отметим отличие в использовании слова «некоторый» в естественном языке вне математики (в обыденном языке) и в современном математическом языке. В естественном языке за пределами математики слово «некоторый», хотя в определенном контексте и близко по смыслу слову «существует», но все же оно ближе к обороту «существуют, но не все». Например, когда мы говорим: «Некоторые дни в сентябре были пасмурными», мы подразумеваем следующее: «В сентябре были пасмурные дни, но не все дни в сентябре были пасмурными». В современном математическом языке слово «некоторый» при использовании в смысле «существует» такого смысла не имеет [4, 7]. Так, предложение «Некоторые кратные четырем числа являются четными» ничуть не исключает, что все кратные четырем числа являются четными. === Обороты с кванторным смыслом. === Помимо кванторных оборотов в математическом языке часто встречаются устойчивые обороты, смысл которых можно раскрыть и уточнить с помощью кванторного слова «существует». Такие обороты будем называть '''оборотами с кванторным''' '''смыслом'''. Например, в геометрии часто используют следующие обороты, имеющие кванторный смысл: # «Точки А, В и С лежат на одной прямой», «Точки А, В и С не лежат на одной прямой»; # «Через точки А, В и С можно провести прямую», «Через точки А, В и С нельзя провести прямую»; # «Прямые а и Ъ лежат в одной плоскости», «Прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости»; # «Через прямые а и 6 можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ нельзя провести плоскость». Предложения «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости», «Через прямые а и Ъ можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ проходит плоскость» означают следующее: «Существует плоскость, в которой лежат прямые а и 6». Правда, в этих предложениях можно усмотреть значение не только существования, но и единственности. Кванторный смысл также имеют часто используемые в алгебре такие обороты, как: 1) «Данное число можно представить (представимо) в виде»; «Данное число нельзя представить (непредставимо) в виде»; 2) «Данное число можно разложить (нельзя разложить)». Например, предложения «Число 36 можно представить в виде 2k, где k - натуральное число» и «Число 36 нельзя представить в виде 2k, где k - натуральное число» имеют следующий смысл: [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] a8c9r33mu9gtlysi4e3tkltccu8ccah 267758 267607 2026-05-21T10:42:32Z AllaBuraya 79455 267758 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Многие математические предложения содержат слова ''любой'', ''существует'' или их аналоги. Эти слова называют '''кванторными словами''' или просто '''[https://www.dissercat.com/content/kvantory-v-obuchenii-matematike-v-shkole-5-11-klassy кванторами]''' (общности и существования соответственно)<ref>От лат. ''quantum'' — «сколько».</ref>. Кванторные слова играют важную роль при обучении математике — их правильное употребление влияет на правильность понимания тех предложений, где они используются. При изучении математики многие учащиеся испытывают большие затруднения, которые, по сути, связаны именно с непониманием конструкций математического языка, содержащих кванторные слова. К сожалению, большинство школьных учебников по математике не помогают преодолеть эти трудности: кванторные слова, хотя и используются их авторами, но остаются «в тени», без обсуждения. Однако в некоторых учебниках все же идёт речь об элементах логики и обсуждаются роль, значение и особенности использования кванторных слов (см., например, [2, 5, 9]). Но в школьном курсе математики, в целом, этим вопросам уделяется значительно меньше внимания, чем они того заслуживают. === Кванторные слова и обороты. === Как известно, все кванторные слова и обороты можно разделить на две группы. К первой группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение общности: «любой», «всякий», «каждый», «каким бы ни был», «все». Все они взаимозаменяемы (иногда при определенной перестройке предложения). Приведём примеры их использования: «Любое кратное четырём число является четным»; «Всякое кратное четырем число является четным»; «Каждое кратное четырем число является четным»; «Каким бы ни было кратное четырем число, оно является четным»; «Все кратные четырем числа являются четными». Ко второй группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение существования: «существует», «хотя бы один», «по крайней мере один», «по меньшей мере один», «некоторый», а также слова «найдется» и «имеется». Все они также взаимозаменяемы. Приведем примеры их использования: «Существует простое число, являющееся четным»; «Хотя бы одно простое число является четным»; «По крайней мере одно простое число является четным»; «По меньшей мере одно простое число является четным»; «Найдется простое число, которое является четным»; «Имеется простое число, которое является четным». Роль кванторных слов в обучении математике часто недооценивается. Эти слова нередко опускают, считая «лишними» в теоремах и определениях. Многие учителя полагают, что, опуская кванторные слова в предложении, они упрощают это предложение, делают его более понятным. Однако это не всегда так. Опускание кванторных слов в предложении может привести к неоднозначности его понимания, искажению или даже потере его смысла, что отмечается во многих публикациях (см., например, [6, 8, 10]). Особенно опасно, когда кванторные слова опускают ученики. Например, когда ученик говорит «Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом», неясно, что он имеет в виду: то ли «Любой четырехугольник...», то ли «Некоторый четырехугольник...». Отметим, что допустимо опускание лишь кванторов общности в начале теоремы (внешних) и недопустимо опускание кванторов существования, где бы они ни находились [10]. Отметим некоторые '''''особенности''''' '''''употребления''''' кванторных слов со значением <code>существования</code>. # Слово «найдется» по смыслу близко к слову «существует» и может быть заменено словом «существует». Однако слово «найдется» чаще употребляют в тех предложениях, в которых утверждается существование объекта, найти (указать) который можно, но не совсем просто, например в предложении «Найдется функция, имеющая бесконечно много нулей на отрезке [0; 1]». В то же время некоторое удивление вызывает, например, такое предложение: «Найдется четное число, кратное четырем» (Чего же тут искать? Его и искать не надо!). Также слово «найдется» часто употребляют в вопросах типа «Найдется ли объект, обладающий данным свойством?», ответ на которые либо отрицательный, либо положительный, но требующий размышлений, чтобы привести пример такого объекта. # Кванторный оборот «по крайней мере один», смысл которого хотя и близок смыслу слова «существует», чаще употребляют тогда, когда говорящему известен только один пример, подтверждающий существование. При употреблении этого оборота в том случае, когда обладающий рассматриваемым свойством объект не является единственным, ощущается дискомфорт. К примеру, естественным кажется предложение «По крайней мере одно простое число четно» (поскольку такое число только одно) и не вполне естественным — предложение «По крайней мере одно действительное число является рациональным». Отметим, что кванторный оборот «по крайней мере один» используется также в ответах на вопросы вида «Существует ли объект, обладающий данным свойством?» в том случае, когда отвечающий не уверен, есть ли другие объекты, обладающие данным свойством, кроме объекта, указанного им в подтверждение положительного ответа на поставленный вопрос. Обычно к кванторным словам со значением существования относят также слово «некоторый». Однако это слово занимает особое положение, поскольку оно имеет разный смысл в зависимости от контекста. С одной стороны, в определенных контекстах слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «существует». Однако эти слова не взаимозаменяемы. При замене в предложении одного слова другим обычно происходит частичная перестройка этого предложения. Например, предложения «Пусть функция / возрастает на некотором промежутке» и «Квадрат некоторого числа больше его куба» означают соответственно: «Пусть существует такой промежуток, на котором функция / возрастает» и «Существует число, квадрат которого больше его куба». Рассмотрим признак параллельности двух прямых: «Если две данные прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны». Здесь слова «некоторой прямой» означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если существует прямая, параллельная двум данным прямым, то эти прямые параллельны». Заметим, что если в предложении слово «некоторый» имеет значение существования, его обычно можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо» (и наоборот): «Если две данные прямые параллельны какой-нибудь (какой-либо) прямой, то они параллельны». Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». Здесь слова «некоторой прямой» также означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если прямая а не лежит в плоскости а и существует параллельная ей прямая, лежащая в плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а». И в этом случае слово «некоторый» можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо»: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь (какой-либо) прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». С другой стороны, в математическом языке слово «некоторый» имеет в определенных контекстах тот же смысл, что и слово «произвольный», а именно, если оно используется при фиксировании объекта, обладающего данным свойством. В предложениях «Рассмотрим (зафиксируем) на прямой а некоторую точку А» и «Пусть х — некоторое число, делящееся на 4» слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «произвольный», и эти слова взаимозаменяемы (без перестройки предложения): «Рассмотрим на прямой а произвольную точку А» и «Пусть х — произвольное число, делящееся на 4» соответственно. В таких предложениях слово «некоторый» по-прежнему можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо», но с другим смыслом, а именно со смыслом «произвольный»: «Рассмотрим на прямой а какую-нибудь (какую-либо) точку А» и «Пусть х — какое-нибудь (какое-либо) число, делящееся на 4» соответственно. Полагаем, что в этом случае слово «некоторый» нежелательно заменять словом «любой» и никак нельзя заменить словом «всякий», т. е. его нельзя считать полным аналогом кванторных слов со значением общности. Таким образом, слово «некоторый», а также слова «какой-нибудь» и «какой-либо» следует отнести к словам, имеющим разный смысл в зависимости от контекста. Отметим, что если слово «некоторый» использовано в предложении с предлогом «для» («для некоторого»), оно обычно имеет значение существования. Например, предложение «Для некоторого числа х верно неравенство -х > х» означает следующее: «Существует такое число х, для которого верно неравенство —х > л». Здесь слова «для некоторого» уже нельзя заменить словами «для какого-нибудь» или «для какого-либо». Наконец, отметим отличие в использовании слова «некоторый» в естественном языке вне математики (в обыденном языке) и в современном математическом языке. В естественном языке за пределами математики слово «некоторый», хотя в определенном контексте и близко по смыслу слову «существует», но все же оно ближе к обороту «существуют, но не все». Например, когда мы говорим: «Некоторые дни в сентябре были пасмурными», мы подразумеваем следующее: «В сентябре были пасмурные дни, но не все дни в сентябре были пасмурными». В современном математическом языке слово «некоторый» при использовании в смысле «существует» такого смысла не имеет [4, 7]. Так, предложение «Некоторые кратные четырем числа являются четными» ничуть не исключает, что все кратные четырем числа являются четными. === Обороты с кванторным смыслом. === Помимо кванторных оборотов в математическом языке часто встречаются устойчивые обороты, смысл которых можно раскрыть и уточнить с помощью кванторного слова «существует». Такие обороты будем называть '''оборотами с кванторным''' '''смыслом'''. Например, в геометрии часто используют следующие обороты, имеющие кванторный смысл: # «Точки А, В и С лежат на одной прямой», «Точки А, В и С не лежат на одной прямой»; # «Через точки А, В и С можно провести прямую», «Через точки А, В и С нельзя провести прямую»; # «Прямые а и Ъ лежат в одной плоскости», «Прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости»; # «Через прямые а и 6 можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ нельзя провести плоскость». Предложения «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости», «Через прямые а и Ъ можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ проходит плоскость» означают следующее: «Существует плоскость, в которой лежат прямые а и 6». Правда, в этих предложениях можно усмотреть значение не только существования, но и единственности. Кванторный смысл также имеют часто используемые в алгебре такие обороты, как: 1) «Данное число можно представить (представимо) в виде»; «Данное число нельзя представить (непредставимо) в виде»; 2) «Данное число можно разложить (нельзя разложить)». Например, предложения «Число 36 можно представить в виде 2k, где k - натуральное число» и «Число 36 нельзя представить в виде 2k, где k - натуральное число» имеют следующий смысл: [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] 5w6f0uoxgq1ywev4a4g1ptdq41yelmk 267808 267758 2026-05-21T11:27:47Z AllaBuraya 79455 267808 wikitext text/x-wiki Многие математические предложения содержат слова ''любой'', ''существует'' или их аналоги. Эти слова называют '''кванторными словами''' или просто '''[https://www.dissercat.com/content/kvantory-v-obuchenii-matematike-v-shkole-5-11-klassy кванторами]''' (общности и существования соответственно)<ref>От лат. ''quantum'' — «сколько».</ref>. Кванторные слова играют важную роль при обучении математике — их правильное употребление влияет на правильность понимания тех предложений, где они используются. При изучении математики многие учащиеся испытывают большие затруднения, которые, по сути, связаны именно с непониманием конструкций математического языка, содержащих кванторные слова. К сожалению, большинство школьных учебников по математике не помогают преодолеть эти трудности: кванторные слова, хотя и используются их авторами, но остаются «в тени», без обсуждения. Однако в некоторых учебниках все же идёт речь об элементах логики и обсуждаются роль, значение и особенности использования кванторных слов (см., например, [2, 5, 9]). Но в школьном курсе математики, в целом, этим вопросам уделяется значительно меньше внимания, чем они того заслуживают. === Кванторные слова и обороты. === Как известно, все кванторные слова и обороты можно разделить на две группы. К первой группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение общности: «любой», «всякий», «каждый», «каким бы ни был», «все». Все они взаимозаменяемы (иногда при определенной перестройке предложения). Приведём примеры их использования: «Любое кратное четырём число является четным»; «Всякое кратное четырем число является четным»; «Каждое кратное четырем число является четным»; «Каким бы ни было кратное четырем число, оно является четным»; «Все кратные четырем числа являются четными». Ко второй группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение существования: «существует», «хотя бы один», «по крайней мере один», «по меньшей мере один», «некоторый», а также слова «найдется» и «имеется». Все они также взаимозаменяемы. Приведем примеры их использования: «Существует простое число, являющееся четным»; «Хотя бы одно простое число является четным»; «По крайней мере одно простое число является четным»; «По меньшей мере одно простое число является четным»; «Найдется простое число, которое является четным»; «Имеется простое число, которое является четным». Роль кванторных слов в обучении математике часто недооценивается. Эти слова нередко опускают, считая «лишними» в теоремах и определениях. Многие учителя полагают, что, опуская кванторные слова в предложении, они упрощают это предложение, делают его более понятным. Однако это не всегда так. Опускание кванторных слов в предложении может привести к неоднозначности его понимания, искажению или даже потере его смысла, что отмечается во многих публикациях (см., например, [6, 8, 10]). Особенно опасно, когда кванторные слова опускают ученики. Например, когда ученик говорит «Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом», неясно, что он имеет в виду: то ли «Любой четырехугольник...», то ли «Некоторый четырехугольник...». Отметим, что допустимо опускание лишь кванторов общности в начале теоремы (внешних) и недопустимо опускание кванторов существования, где бы они ни находились [10]. Отметим некоторые '''''особенности''''' '''''употребления''''' кванторных слов со значением <code>существования</code>. # Слово «найдется» по смыслу близко к слову «существует» и может быть заменено словом «существует». Однако слово «найдется» чаще употребляют в тех предложениях, в которых утверждается существование объекта, найти (указать) который можно, но не совсем просто, например в предложении «Найдется функция, имеющая бесконечно много нулей на отрезке [0; 1]». В то же время некоторое удивление вызывает, например, такое предложение: «Найдется четное число, кратное четырем» (Чего же тут искать? Его и искать не надо!). Также слово «найдется» часто употребляют в вопросах типа «Найдется ли объект, обладающий данным свойством?», ответ на которые либо отрицательный, либо положительный, но требующий размышлений, чтобы привести пример такого объекта. # Кванторный оборот «по крайней мере один», смысл которого хотя и близок смыслу слова «существует», чаще употребляют тогда, когда говорящему известен только один пример, подтверждающий существование. При употреблении этого оборота в том случае, когда обладающий рассматриваемым свойством объект не является единственным, ощущается дискомфорт. К примеру, естественным кажется предложение «По крайней мере одно простое число четно» (поскольку такое число только одно) и не вполне естественным — предложение «По крайней мере одно действительное число является рациональным». Отметим, что кванторный оборот «по крайней мере один» используется также в ответах на вопросы вида «Существует ли объект, обладающий данным свойством?» в том случае, когда отвечающий не уверен, есть ли другие объекты, обладающие данным свойством, кроме объекта, указанного им в подтверждение положительного ответа на поставленный вопрос. Обычно к кванторным словам со значением существования относят также слово «некоторый». Однако это слово занимает особое положение, поскольку оно имеет разный смысл в зависимости от контекста. С одной стороны, в определенных контекстах слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «существует». Однако эти слова не взаимозаменяемы. При замене в предложении одного слова другим обычно происходит частичная перестройка этого предложения. Например, предложения «Пусть функция / возрастает на некотором промежутке» и «Квадрат некоторого числа больше его куба» означают соответственно: «Пусть существует такой промежуток, на котором функция / возрастает» и «Существует число, квадрат которого больше его куба». Рассмотрим признак параллельности двух прямых: «Если две данные прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны». Здесь слова «некоторой прямой» означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если существует прямая, параллельная двум данным прямым, то эти прямые параллельны». Заметим, что если в предложении слово «некоторый» имеет значение существования, его обычно можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо» (и наоборот): «Если две данные прямые параллельны какой-нибудь (какой-либо) прямой, то они параллельны». Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». Здесь слова «некоторой прямой» также означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если прямая а не лежит в плоскости а и существует параллельная ей прямая, лежащая в плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а». И в этом случае слово «некоторый» можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо»: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь (какой-либо) прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». С другой стороны, в математическом языке слово «некоторый» имеет в определенных контекстах тот же смысл, что и слово «произвольный», а именно, если оно используется при фиксировании объекта, обладающего данным свойством. В предложениях «Рассмотрим (зафиксируем) на прямой а некоторую точку А» и «Пусть х — некоторое число, делящееся на 4» слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «произвольный», и эти слова взаимозаменяемы (без перестройки предложения): «Рассмотрим на прямой а произвольную точку А» и «Пусть х — произвольное число, делящееся на 4» соответственно. В таких предложениях слово «некоторый» по-прежнему можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо», но с другим смыслом, а именно со смыслом «произвольный»: «Рассмотрим на прямой а какую-нибудь (какую-либо) точку А» и «Пусть х — какое-нибудь (какое-либо) число, делящееся на 4» соответственно. Полагаем, что в этом случае слово «некоторый» нежелательно заменять словом «любой» и никак нельзя заменить словом «всякий», т. е. его нельзя считать полным аналогом кванторных слов со значением общности. Таким образом, слово «некоторый», а также слова «какой-нибудь» и «какой-либо» следует отнести к словам, имеющим разный смысл в зависимости от контекста. Отметим, что если слово «некоторый» использовано в предложении с предлогом «для» («для некоторого»), оно обычно имеет значение существования. Например, предложение «Для некоторого числа х верно неравенство -х > х» означает следующее: «Существует такое число х, для которого верно неравенство —х > л». Здесь слова «для некоторого» уже нельзя заменить словами «для какого-нибудь» или «для какого-либо». Наконец, отметим отличие в использовании слова «некоторый» в естественном языке вне математики (в обыденном языке) и в современном математическом языке. В естественном языке за пределами математики слово «некоторый», хотя в определенном контексте и близко по смыслу слову «существует», но все же оно ближе к обороту «существуют, но не все». Например, когда мы говорим: «Некоторые дни в сентябре были пасмурными», мы подразумеваем следующее: «В сентябре были пасмурные дни, но не все дни в сентябре были пасмурными». В современном математическом языке слово «некоторый» при использовании в смысле «существует» такого смысла не имеет [4, 7]. Так, предложение «Некоторые кратные четырем числа являются четными» ничуть не исключает, что все кратные четырем числа являются четными. === Обороты с кванторным смыслом. === Помимо кванторных оборотов в математическом языке часто встречаются устойчивые обороты, смысл которых можно раскрыть и уточнить с помощью кванторного слова «существует». Такие обороты будем называть '''оборотами с кванторным''' '''смыслом'''. Например, в геометрии часто используют следующие обороты, имеющие кванторный смысл: # «Точки А, В и С лежат на одной прямой», «Точки А, В и С не лежат на одной прямой»; # «Через точки А, В и С можно провести прямую», «Через точки А, В и С нельзя провести прямую»; # «Прямые а и Ъ лежат в одной плоскости», «Прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости»; # «Через прямые а и 6 можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ нельзя провести плоскость». Предложения «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости», «Через прямые а и Ъ можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ проходит плоскость» означают следующее: «Существует плоскость, в которой лежат прямые а и 6». Правда, в этих предложениях можно усмотреть значение не только существования, но и единственности. Кванторный смысл также имеют часто используемые в алгебре такие обороты, как: 1) «Данное число можно представить (представимо) в виде»; «Данное число нельзя представить (непредставимо) в виде»; 2) «Данное число можно разложить (нельзя разложить)». Например, предложения «Число 36 можно представить в виде 2k, где k - натуральное число» и «Число 36 нельзя представить в виде 2k, где k - натуральное число» имеют следующий смысл: [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] a8c9r33mu9gtlysi4e3tkltccu8ccah 267809 267808 2026-05-21T11:27:51Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267809 wikitext text/x-wiki Многие математические предложения содержат слова ''любой'', ''существует'' или их аналоги. Эти слова называют '''кванторными словами''' или просто '''[https://www.dissercat.com/content/kvantory-v-obuchenii-matematike-v-shkole-5-11-klassy кванторами]''' (общности и существования соответственно)<ref>От лат. ''quantum'' — «сколько».</ref>. Кванторные слова играют важную роль при обучении математике — их правильное употребление влияет на правильность понимания тех предложений, где они используются. При изучении математики многие учащиеся испытывают большие затруднения, которые, по сути, связаны именно с непониманием конструкций математического языка, содержащих кванторные слова. К сожалению, большинство школьных учебников по математике не помогают преодолеть эти трудности: кванторные слова, хотя и используются их авторами, но остаются «в тени», без обсуждения. Однако в некоторых учебниках все же идёт речь об элементах логики и обсуждаются роль, значение и особенности использования кванторных слов (см., например, [2, 5, 9]). Но в школьном курсе математики, в целом, этим вопросам уделяется значительно меньше внимания, чем они того заслуживают. === Кванторные слова и обороты. === Как известно, все кванторные слова и обороты можно разделить на две группы. К первой группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение общности: «любой», «всякий», «каждый», «каким бы ни был», «все». Все они взаимозаменяемы (иногда при определенной перестройке предложения). Приведём примеры их использования: «Любое кратное четырём число является четным»; «Всякое кратное четырем число является четным»; «Каждое кратное четырем число является четным»; «Каким бы ни было кратное четырем число, оно является четным»; «Все кратные четырем числа являются четными». Ко второй группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение существования: «существует», «хотя бы один», «по крайней мере один», «по меньшей мере один», «некоторый», а также слова «найдется» и «имеется». Все они также взаимозаменяемы. Приведем примеры их использования: «Существует простое число, являющееся четным»; «Хотя бы одно простое число является четным»; «По крайней мере одно простое число является четным»; «По меньшей мере одно простое число является четным»; «Найдется простое число, которое является четным»; «Имеется простое число, которое является четным». Роль кванторных слов в обучении математике часто недооценивается. Эти слова нередко опускают, считая «лишними» в теоремах и определениях. Многие учителя полагают, что, опуская кванторные слова в предложении, они упрощают это предложение, делают его более понятным. Однако это не всегда так. Опускание кванторных слов в предложении может привести к неоднозначности его понимания, искажению или даже потере его смысла, что отмечается во многих публикациях (см., например, [6, 8, 10]). Особенно опасно, когда кванторные слова опускают ученики. Например, когда ученик говорит «Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом», неясно, что он имеет в виду: то ли «Любой четырехугольник...», то ли «Некоторый четырехугольник...». Отметим, что допустимо опускание лишь кванторов общности в начале теоремы (внешних) и недопустимо опускание кванторов существования, где бы они ни находились [10]. Отметим некоторые '''''особенности''''' '''''употребления''''' кванторных слов со значением <code>существования</code>. # Слово «найдется» по смыслу близко к слову «существует» и может быть заменено словом «существует». Однако слово «найдется» чаще употребляют в тех предложениях, в которых утверждается существование объекта, найти (указать) который можно, но не совсем просто, например в предложении «Найдется функция, имеющая бесконечно много нулей на отрезке [0; 1]». В то же время некоторое удивление вызывает, например, такое предложение: «Найдется четное число, кратное четырем» (Чего же тут искать? Его и искать не надо!). Также слово «найдется» часто употребляют в вопросах типа «Найдется ли объект, обладающий данным свойством?», ответ на которые либо отрицательный, либо положительный, но требующий размышлений, чтобы привести пример такого объекта. # Кванторный оборот «по крайней мере один», смысл которого хотя и близок смыслу слова «существует», чаще употребляют тогда, когда говорящему известен только один пример, подтверждающий существование. При употреблении этого оборота в том случае, когда обладающий рассматриваемым свойством объект не является единственным, ощущается дискомфорт. К примеру, естественным кажется предложение «По крайней мере одно простое число четно» (поскольку такое число только одно) и не вполне естественным — предложение «По крайней мере одно действительное число является рациональным». Отметим, что кванторный оборот «по крайней мере один» используется также в ответах на вопросы вида «Существует ли объект, обладающий данным свойством?» в том случае, когда отвечающий не уверен, есть ли другие объекты, обладающие данным свойством, кроме объекта, указанного им в подтверждение положительного ответа на поставленный вопрос. Обычно к кванторным словам со значением существования относят также слово «некоторый». Однако это слово занимает особое положение, поскольку оно имеет разный смысл в зависимости от контекста. С одной стороны, в определенных контекстах слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «существует». Однако эти слова не взаимозаменяемы. При замене в предложении одного слова другим обычно происходит частичная перестройка этого предложения. Например, предложения «Пусть функция / возрастает на некотором промежутке» и «Квадрат некоторого числа больше его куба» означают соответственно: «Пусть существует такой промежуток, на котором функция / возрастает» и «Существует число, квадрат которого больше его куба». Рассмотрим признак параллельности двух прямых: «Если две данные прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны». Здесь слова «некоторой прямой» означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если существует прямая, параллельная двум данным прямым, то эти прямые параллельны». Заметим, что если в предложении слово «некоторый» имеет значение существования, его обычно можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо» (и наоборот): «Если две данные прямые параллельны какой-нибудь (какой-либо) прямой, то они параллельны». Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». Здесь слова «некоторой прямой» также означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если прямая а не лежит в плоскости а и существует параллельная ей прямая, лежащая в плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а». И в этом случае слово «некоторый» можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо»: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь (какой-либо) прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». С другой стороны, в математическом языке слово «некоторый» имеет в определенных контекстах тот же смысл, что и слово «произвольный», а именно, если оно используется при фиксировании объекта, обладающего данным свойством. В предложениях «Рассмотрим (зафиксируем) на прямой а некоторую точку А» и «Пусть х — некоторое число, делящееся на 4» слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «произвольный», и эти слова взаимозаменяемы (без перестройки предложения): «Рассмотрим на прямой а произвольную точку А» и «Пусть х — произвольное число, делящееся на 4» соответственно. В таких предложениях слово «некоторый» по-прежнему можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо», но с другим смыслом, а именно со смыслом «произвольный»: «Рассмотрим на прямой а какую-нибудь (какую-либо) точку А» и «Пусть х — какое-нибудь (какое-либо) число, делящееся на 4» соответственно. Полагаем, что в этом случае слово «некоторый» нежелательно заменять словом «любой» и никак нельзя заменить словом «всякий», т. е. его нельзя считать полным аналогом кванторных слов со значением общности. Таким образом, слово «некоторый», а также слова «какой-нибудь» и «какой-либо» следует отнести к словам, имеющим разный смысл в зависимости от контекста. Отметим, что если слово «некоторый» использовано в предложении с предлогом «для» («для некоторого»), оно обычно имеет значение существования. Например, предложение «Для некоторого числа х верно неравенство -х > х» означает следующее: «Существует такое число х, для которого верно неравенство —х > л». Здесь слова «для некоторого» уже нельзя заменить словами «для какого-нибудь» или «для какого-либо». Наконец, отметим отличие в использовании слова «некоторый» в естественном языке вне математики (в обыденном языке) и в современном математическом языке. В естественном языке за пределами математики слово «некоторый», хотя в определенном контексте и близко по смыслу слову «существует», но все же оно ближе к обороту «существуют, но не все». Например, когда мы говорим: «Некоторые дни в сентябре были пасмурными», мы подразумеваем следующее: «В сентябре были пасмурные дни, но не все дни в сентябре были пасмурными». В современном математическом языке слово «некоторый» при использовании в смысле «существует» такого смысла не имеет [4, 7]. Так, предложение «Некоторые кратные четырем числа являются четными» ничуть не исключает, что все кратные четырем числа являются четными. === Обороты с кванторным смыслом. === Помимо кванторных оборотов в математическом языке часто встречаются устойчивые обороты, смысл которых можно раскрыть и уточнить с помощью кванторного слова «существует». Такие обороты будем называть '''оборотами с кванторным''' '''смыслом'''. Например, в геометрии часто используют следующие обороты, имеющие кванторный смысл: # «Точки А, В и С лежат на одной прямой», «Точки А, В и С не лежат на одной прямой»; # «Через точки А, В и С можно провести прямую», «Через точки А, В и С нельзя провести прямую»; # «Прямые а и Ъ лежат в одной плоскости», «Прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости»; # «Через прямые а и 6 можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ нельзя провести плоскость». Предложения «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости», «Через прямые а и Ъ можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ проходит плоскость» означают следующее: «Существует плоскость, в которой лежат прямые а и 6». Правда, в этих предложениях можно усмотреть значение не только существования, но и единственности. Кванторный смысл также имеют часто используемые в алгебре такие обороты, как: 1) «Данное число можно представить (представимо) в виде»; «Данное число нельзя представить (непредставимо) в виде»; 2) «Данное число можно разложить (нельзя разложить)». Например, предложения «Число 36 можно представить в виде 2k, где k - натуральное число» и «Число 36 нельзя представить в виде 2k, где k - натуральное число» имеют следующий смысл: [[Категория:Учебники без шаблона]] okhwbb10egvc5hpjuq8nncsj0dl8vvy 267810 267809 2026-05-21T11:28:05Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Методика обучения математике]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267810 wikitext text/x-wiki Многие математические предложения содержат слова ''любой'', ''существует'' или их аналоги. Эти слова называют '''кванторными словами''' или просто '''[https://www.dissercat.com/content/kvantory-v-obuchenii-matematike-v-shkole-5-11-klassy кванторами]''' (общности и существования соответственно)<ref>От лат. ''quantum'' — «сколько».</ref>. Кванторные слова играют важную роль при обучении математике — их правильное употребление влияет на правильность понимания тех предложений, где они используются. При изучении математики многие учащиеся испытывают большие затруднения, которые, по сути, связаны именно с непониманием конструкций математического языка, содержащих кванторные слова. К сожалению, большинство школьных учебников по математике не помогают преодолеть эти трудности: кванторные слова, хотя и используются их авторами, но остаются «в тени», без обсуждения. Однако в некоторых учебниках все же идёт речь об элементах логики и обсуждаются роль, значение и особенности использования кванторных слов (см., например, [2, 5, 9]). Но в школьном курсе математики, в целом, этим вопросам уделяется значительно меньше внимания, чем они того заслуживают. === Кванторные слова и обороты. === Как известно, все кванторные слова и обороты можно разделить на две группы. К первой группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение общности: «любой», «всякий», «каждый», «каким бы ни был», «все». Все они взаимозаменяемы (иногда при определенной перестройке предложения). Приведём примеры их использования: «Любое кратное четырём число является четным»; «Всякое кратное четырем число является четным»; «Каждое кратное четырем число является четным»; «Каким бы ни было кратное четырем число, оно является четным»; «Все кратные четырем числа являются четными». Ко второй группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение существования: «существует», «хотя бы один», «по крайней мере один», «по меньшей мере один», «некоторый», а также слова «найдется» и «имеется». Все они также взаимозаменяемы. Приведем примеры их использования: «Существует простое число, являющееся четным»; «Хотя бы одно простое число является четным»; «По крайней мере одно простое число является четным»; «По меньшей мере одно простое число является четным»; «Найдется простое число, которое является четным»; «Имеется простое число, которое является четным». Роль кванторных слов в обучении математике часто недооценивается. Эти слова нередко опускают, считая «лишними» в теоремах и определениях. Многие учителя полагают, что, опуская кванторные слова в предложении, они упрощают это предложение, делают его более понятным. Однако это не всегда так. Опускание кванторных слов в предложении может привести к неоднозначности его понимания, искажению или даже потере его смысла, что отмечается во многих публикациях (см., например, [6, 8, 10]). Особенно опасно, когда кванторные слова опускают ученики. Например, когда ученик говорит «Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом», неясно, что он имеет в виду: то ли «Любой четырехугольник...», то ли «Некоторый четырехугольник...». Отметим, что допустимо опускание лишь кванторов общности в начале теоремы (внешних) и недопустимо опускание кванторов существования, где бы они ни находились [10]. Отметим некоторые '''''особенности''''' '''''употребления''''' кванторных слов со значением <code>существования</code>. # Слово «найдется» по смыслу близко к слову «существует» и может быть заменено словом «существует». Однако слово «найдется» чаще употребляют в тех предложениях, в которых утверждается существование объекта, найти (указать) который можно, но не совсем просто, например в предложении «Найдется функция, имеющая бесконечно много нулей на отрезке [0; 1]». В то же время некоторое удивление вызывает, например, такое предложение: «Найдется четное число, кратное четырем» (Чего же тут искать? Его и искать не надо!). Также слово «найдется» часто употребляют в вопросах типа «Найдется ли объект, обладающий данным свойством?», ответ на которые либо отрицательный, либо положительный, но требующий размышлений, чтобы привести пример такого объекта. # Кванторный оборот «по крайней мере один», смысл которого хотя и близок смыслу слова «существует», чаще употребляют тогда, когда говорящему известен только один пример, подтверждающий существование. При употреблении этого оборота в том случае, когда обладающий рассматриваемым свойством объект не является единственным, ощущается дискомфорт. К примеру, естественным кажется предложение «По крайней мере одно простое число четно» (поскольку такое число только одно) и не вполне естественным — предложение «По крайней мере одно действительное число является рациональным». Отметим, что кванторный оборот «по крайней мере один» используется также в ответах на вопросы вида «Существует ли объект, обладающий данным свойством?» в том случае, когда отвечающий не уверен, есть ли другие объекты, обладающие данным свойством, кроме объекта, указанного им в подтверждение положительного ответа на поставленный вопрос. Обычно к кванторным словам со значением существования относят также слово «некоторый». Однако это слово занимает особое положение, поскольку оно имеет разный смысл в зависимости от контекста. С одной стороны, в определенных контекстах слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «существует». Однако эти слова не взаимозаменяемы. При замене в предложении одного слова другим обычно происходит частичная перестройка этого предложения. Например, предложения «Пусть функция / возрастает на некотором промежутке» и «Квадрат некоторого числа больше его куба» означают соответственно: «Пусть существует такой промежуток, на котором функция / возрастает» и «Существует число, квадрат которого больше его куба». Рассмотрим признак параллельности двух прямых: «Если две данные прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны». Здесь слова «некоторой прямой» означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если существует прямая, параллельная двум данным прямым, то эти прямые параллельны». Заметим, что если в предложении слово «некоторый» имеет значение существования, его обычно можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо» (и наоборот): «Если две данные прямые параллельны какой-нибудь (какой-либо) прямой, то они параллельны». Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». Здесь слова «некоторой прямой» также означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если прямая а не лежит в плоскости а и существует параллельная ей прямая, лежащая в плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а». И в этом случае слово «некоторый» можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо»: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь (какой-либо) прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». С другой стороны, в математическом языке слово «некоторый» имеет в определенных контекстах тот же смысл, что и слово «произвольный», а именно, если оно используется при фиксировании объекта, обладающего данным свойством. В предложениях «Рассмотрим (зафиксируем) на прямой а некоторую точку А» и «Пусть х — некоторое число, делящееся на 4» слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «произвольный», и эти слова взаимозаменяемы (без перестройки предложения): «Рассмотрим на прямой а произвольную точку А» и «Пусть х — произвольное число, делящееся на 4» соответственно. В таких предложениях слово «некоторый» по-прежнему можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо», но с другим смыслом, а именно со смыслом «произвольный»: «Рассмотрим на прямой а какую-нибудь (какую-либо) точку А» и «Пусть х — какое-нибудь (какое-либо) число, делящееся на 4» соответственно. Полагаем, что в этом случае слово «некоторый» нежелательно заменять словом «любой» и никак нельзя заменить словом «всякий», т. е. его нельзя считать полным аналогом кванторных слов со значением общности. Таким образом, слово «некоторый», а также слова «какой-нибудь» и «какой-либо» следует отнести к словам, имеющим разный смысл в зависимости от контекста. Отметим, что если слово «некоторый» использовано в предложении с предлогом «для» («для некоторого»), оно обычно имеет значение существования. Например, предложение «Для некоторого числа х верно неравенство -х > х» означает следующее: «Существует такое число х, для которого верно неравенство —х > л». Здесь слова «для некоторого» уже нельзя заменить словами «для какого-нибудь» или «для какого-либо». Наконец, отметим отличие в использовании слова «некоторый» в естественном языке вне математики (в обыденном языке) и в современном математическом языке. В естественном языке за пределами математики слово «некоторый», хотя в определенном контексте и близко по смыслу слову «существует», но все же оно ближе к обороту «существуют, но не все». Например, когда мы говорим: «Некоторые дни в сентябре были пасмурными», мы подразумеваем следующее: «В сентябре были пасмурные дни, но не все дни в сентябре были пасмурными». В современном математическом языке слово «некоторый» при использовании в смысле «существует» такого смысла не имеет [4, 7]. Так, предложение «Некоторые кратные четырем числа являются четными» ничуть не исключает, что все кратные четырем числа являются четными. === Обороты с кванторным смыслом. === Помимо кванторных оборотов в математическом языке часто встречаются устойчивые обороты, смысл которых можно раскрыть и уточнить с помощью кванторного слова «существует». Такие обороты будем называть '''оборотами с кванторным''' '''смыслом'''. Например, в геометрии часто используют следующие обороты, имеющие кванторный смысл: # «Точки А, В и С лежат на одной прямой», «Точки А, В и С не лежат на одной прямой»; # «Через точки А, В и С можно провести прямую», «Через точки А, В и С нельзя провести прямую»; # «Прямые а и Ъ лежат в одной плоскости», «Прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости»; # «Через прямые а и 6 можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ нельзя провести плоскость». Предложения «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости», «Через прямые а и Ъ можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ проходит плоскость» означают следующее: «Существует плоскость, в которой лежат прямые а и 6». Правда, в этих предложениях можно усмотреть значение не только существования, но и единственности. Кванторный смысл также имеют часто используемые в алгебре такие обороты, как: 1) «Данное число можно представить (представимо) в виде»; «Данное число нельзя представить (непредставимо) в виде»; 2) «Данное число можно разложить (нельзя разложить)». Например, предложения «Число 36 можно представить в виде 2k, где k - натуральное число» и «Число 36 нельзя представить в виде 2k, где k - натуральное число» имеют следующий смысл: [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] ttc34zll9qa7xs6usb5sfgbudovqe01 267811 267810 2026-05-21T11:28:12Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Кванторные слова и обороты]] в [[Методика обучения математике/Кванторные слова и обороты]] 267810 wikitext text/x-wiki Многие математические предложения содержат слова ''любой'', ''существует'' или их аналоги. Эти слова называют '''кванторными словами''' или просто '''[https://www.dissercat.com/content/kvantory-v-obuchenii-matematike-v-shkole-5-11-klassy кванторами]''' (общности и существования соответственно)<ref>От лат. ''quantum'' — «сколько».</ref>. Кванторные слова играют важную роль при обучении математике — их правильное употребление влияет на правильность понимания тех предложений, где они используются. При изучении математики многие учащиеся испытывают большие затруднения, которые, по сути, связаны именно с непониманием конструкций математического языка, содержащих кванторные слова. К сожалению, большинство школьных учебников по математике не помогают преодолеть эти трудности: кванторные слова, хотя и используются их авторами, но остаются «в тени», без обсуждения. Однако в некоторых учебниках все же идёт речь об элементах логики и обсуждаются роль, значение и особенности использования кванторных слов (см., например, [2, 5, 9]). Но в школьном курсе математики, в целом, этим вопросам уделяется значительно меньше внимания, чем они того заслуживают. === Кванторные слова и обороты. === Как известно, все кванторные слова и обороты можно разделить на две группы. К первой группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение общности: «любой», «всякий», «каждый», «каким бы ни был», «все». Все они взаимозаменяемы (иногда при определенной перестройке предложения). Приведём примеры их использования: «Любое кратное четырём число является четным»; «Всякое кратное четырем число является четным»; «Каждое кратное четырем число является четным»; «Каким бы ни было кратное четырем число, оно является четным»; «Все кратные четырем числа являются четными». Ко второй группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение существования: «существует», «хотя бы один», «по крайней мере один», «по меньшей мере один», «некоторый», а также слова «найдется» и «имеется». Все они также взаимозаменяемы. Приведем примеры их использования: «Существует простое число, являющееся четным»; «Хотя бы одно простое число является четным»; «По крайней мере одно простое число является четным»; «По меньшей мере одно простое число является четным»; «Найдется простое число, которое является четным»; «Имеется простое число, которое является четным». Роль кванторных слов в обучении математике часто недооценивается. Эти слова нередко опускают, считая «лишними» в теоремах и определениях. Многие учителя полагают, что, опуская кванторные слова в предложении, они упрощают это предложение, делают его более понятным. Однако это не всегда так. Опускание кванторных слов в предложении может привести к неоднозначности его понимания, искажению или даже потере его смысла, что отмечается во многих публикациях (см., например, [6, 8, 10]). Особенно опасно, когда кванторные слова опускают ученики. Например, когда ученик говорит «Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом», неясно, что он имеет в виду: то ли «Любой четырехугольник...», то ли «Некоторый четырехугольник...». Отметим, что допустимо опускание лишь кванторов общности в начале теоремы (внешних) и недопустимо опускание кванторов существования, где бы они ни находились [10]. Отметим некоторые '''''особенности''''' '''''употребления''''' кванторных слов со значением <code>существования</code>. # Слово «найдется» по смыслу близко к слову «существует» и может быть заменено словом «существует». Однако слово «найдется» чаще употребляют в тех предложениях, в которых утверждается существование объекта, найти (указать) который можно, но не совсем просто, например в предложении «Найдется функция, имеющая бесконечно много нулей на отрезке [0; 1]». В то же время некоторое удивление вызывает, например, такое предложение: «Найдется четное число, кратное четырем» (Чего же тут искать? Его и искать не надо!). Также слово «найдется» часто употребляют в вопросах типа «Найдется ли объект, обладающий данным свойством?», ответ на которые либо отрицательный, либо положительный, но требующий размышлений, чтобы привести пример такого объекта. # Кванторный оборот «по крайней мере один», смысл которого хотя и близок смыслу слова «существует», чаще употребляют тогда, когда говорящему известен только один пример, подтверждающий существование. При употреблении этого оборота в том случае, когда обладающий рассматриваемым свойством объект не является единственным, ощущается дискомфорт. К примеру, естественным кажется предложение «По крайней мере одно простое число четно» (поскольку такое число только одно) и не вполне естественным — предложение «По крайней мере одно действительное число является рациональным». Отметим, что кванторный оборот «по крайней мере один» используется также в ответах на вопросы вида «Существует ли объект, обладающий данным свойством?» в том случае, когда отвечающий не уверен, есть ли другие объекты, обладающие данным свойством, кроме объекта, указанного им в подтверждение положительного ответа на поставленный вопрос. Обычно к кванторным словам со значением существования относят также слово «некоторый». Однако это слово занимает особое положение, поскольку оно имеет разный смысл в зависимости от контекста. С одной стороны, в определенных контекстах слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «существует». Однако эти слова не взаимозаменяемы. При замене в предложении одного слова другим обычно происходит частичная перестройка этого предложения. Например, предложения «Пусть функция / возрастает на некотором промежутке» и «Квадрат некоторого числа больше его куба» означают соответственно: «Пусть существует такой промежуток, на котором функция / возрастает» и «Существует число, квадрат которого больше его куба». Рассмотрим признак параллельности двух прямых: «Если две данные прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны». Здесь слова «некоторой прямой» означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если существует прямая, параллельная двум данным прямым, то эти прямые параллельны». Заметим, что если в предложении слово «некоторый» имеет значение существования, его обычно можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо» (и наоборот): «Если две данные прямые параллельны какой-нибудь (какой-либо) прямой, то они параллельны». Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». Здесь слова «некоторой прямой» также означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если прямая а не лежит в плоскости а и существует параллельная ей прямая, лежащая в плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а». И в этом случае слово «некоторый» можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо»: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь (какой-либо) прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». С другой стороны, в математическом языке слово «некоторый» имеет в определенных контекстах тот же смысл, что и слово «произвольный», а именно, если оно используется при фиксировании объекта, обладающего данным свойством. В предложениях «Рассмотрим (зафиксируем) на прямой а некоторую точку А» и «Пусть х — некоторое число, делящееся на 4» слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «произвольный», и эти слова взаимозаменяемы (без перестройки предложения): «Рассмотрим на прямой а произвольную точку А» и «Пусть х — произвольное число, делящееся на 4» соответственно. В таких предложениях слово «некоторый» по-прежнему можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо», но с другим смыслом, а именно со смыслом «произвольный»: «Рассмотрим на прямой а какую-нибудь (какую-либо) точку А» и «Пусть х — какое-нибудь (какое-либо) число, делящееся на 4» соответственно. Полагаем, что в этом случае слово «некоторый» нежелательно заменять словом «любой» и никак нельзя заменить словом «всякий», т. е. его нельзя считать полным аналогом кванторных слов со значением общности. Таким образом, слово «некоторый», а также слова «какой-нибудь» и «какой-либо» следует отнести к словам, имеющим разный смысл в зависимости от контекста. Отметим, что если слово «некоторый» использовано в предложении с предлогом «для» («для некоторого»), оно обычно имеет значение существования. Например, предложение «Для некоторого числа х верно неравенство -х > х» означает следующее: «Существует такое число х, для которого верно неравенство —х > л». Здесь слова «для некоторого» уже нельзя заменить словами «для какого-нибудь» или «для какого-либо». Наконец, отметим отличие в использовании слова «некоторый» в естественном языке вне математики (в обыденном языке) и в современном математическом языке. В естественном языке за пределами математики слово «некоторый», хотя в определенном контексте и близко по смыслу слову «существует», но все же оно ближе к обороту «существуют, но не все». Например, когда мы говорим: «Некоторые дни в сентябре были пасмурными», мы подразумеваем следующее: «В сентябре были пасмурные дни, но не все дни в сентябре были пасмурными». В современном математическом языке слово «некоторый» при использовании в смысле «существует» такого смысла не имеет [4, 7]. Так, предложение «Некоторые кратные четырем числа являются четными» ничуть не исключает, что все кратные четырем числа являются четными. === Обороты с кванторным смыслом. === Помимо кванторных оборотов в математическом языке часто встречаются устойчивые обороты, смысл которых можно раскрыть и уточнить с помощью кванторного слова «существует». Такие обороты будем называть '''оборотами с кванторным''' '''смыслом'''. Например, в геометрии часто используют следующие обороты, имеющие кванторный смысл: # «Точки А, В и С лежат на одной прямой», «Точки А, В и С не лежат на одной прямой»; # «Через точки А, В и С можно провести прямую», «Через точки А, В и С нельзя провести прямую»; # «Прямые а и Ъ лежат в одной плоскости», «Прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости»; # «Через прямые а и 6 можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ нельзя провести плоскость». Предложения «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости», «Через прямые а и Ъ можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ проходит плоскость» означают следующее: «Существует плоскость, в которой лежат прямые а и 6». Правда, в этих предложениях можно усмотреть значение не только существования, но и единственности. Кванторный смысл также имеют часто используемые в алгебре такие обороты, как: 1) «Данное число можно представить (представимо) в виде»; «Данное число нельзя представить (непредставимо) в виде»; 2) «Данное число можно разложить (нельзя разложить)». Например, предложения «Число 36 можно представить в виде 2k, где k - натуральное число» и «Число 36 нельзя представить в виде 2k, где k - натуральное число» имеют следующий смысл: [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] ttc34zll9qa7xs6usb5sfgbudovqe01 0 35156 267608 263117 2026-05-21T08:14:50Z AllaBuraya 79455 267608 wikitext text/x-wiki Содержательно-методические линии учебного предмета "Математика" === Понятие СМЛ === Содержательно-методические линии: «числовые системы, уравнения и неравенства, функции, алгоритмы и вычисления, логическое строение геометрии, геометрические фигуры и их построение, измерение геометрических величин, геометрические преобразования, векторы и координаты» › Основой для выделения содержательно-методических линий служат «крупные блоки математического знания и те фрагменты учебного материала, к которым эти блоки особенно удачно применимы с целью их методического изучения» (А.Я. Блох) Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Составитель В. И. Мишин, 1987 г. [[Категория:Учебники без шаблона]] esid7fp4lbg8owtvjuouh4s6nw9pv2i 267609 267608 2026-05-21T08:14:59Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267609 wikitext text/x-wiki Содержательно-методические линии учебного предмета "Математика" === Понятие СМЛ === Содержательно-методические линии: «числовые системы, уравнения и неравенства, функции, алгоритмы и вычисления, логическое строение геометрии, геометрические фигуры и их построение, измерение геометрических величин, геометрические преобразования, векторы и координаты» › Основой для выделения содержательно-методических линий служат «крупные блоки математического знания и те фрагменты учебного материала, к которым эти блоки особенно удачно применимы с целью их методического изучения» (А.Я. Блох) Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Составитель В. И. Мишин, 1987 г. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] absk20v5qnfuy17tqniiwgg5pcluba5 267774 267609 2026-05-21T10:48:36Z AllaBuraya 79455 267774 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика }} Содержательно-методические линии учебного предмета "Математика" === Понятие СМЛ === Содержательно-методические линии: «числовые системы, уравнения и неравенства, функции, алгоритмы и вычисления, логическое строение геометрии, геометрические фигуры и их построение, измерение геометрических величин, геометрические преобразования, векторы и координаты» › Основой для выделения содержательно-методических линий служат «крупные блоки математического знания и те фрагменты учебного материала, к которым эти блоки особенно удачно применимы с целью их методического изучения» (А.Я. Блох) Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Составитель В. И. Мишин, 1987 г. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Алгебра]] jlw30u5t7p63rx8xrbcs8fvx6mesji3 267820 267774 2026-05-21T11:30:25Z AllaBuraya 79455 267820 wikitext text/x-wiki Содержательно-методические линии учебного предмета "Математика" === Понятие СМЛ === Содержательно-методические линии: «числовые системы, уравнения и неравенства, функции, алгоритмы и вычисления, логическое строение геометрии, геометрические фигуры и их построение, измерение геометрических величин, геометрические преобразования, векторы и координаты» › Основой для выделения содержательно-методических линий служат «крупные блоки математического знания и те фрагменты учебного материала, к которым эти блоки особенно удачно применимы с целью их методического изучения» (А.Я. Блох) Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Составитель В. И. Мишин, 1987 г. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] 5ig4o8ajqlb1v14q5pyvtv9bg3636tp 267821 267820 2026-05-21T11:30:32Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Содержательно-методические линии]] в [[Методика обучения математике/Содержательно-методические линии]] 267820 wikitext text/x-wiki Содержательно-методические линии учебного предмета "Математика" === Понятие СМЛ === Содержательно-методические линии: «числовые системы, уравнения и неравенства, функции, алгоритмы и вычисления, логическое строение геометрии, геометрические фигуры и их построение, измерение геометрических величин, геометрические преобразования, векторы и координаты» › Основой для выделения содержательно-методических линий служат «крупные блоки математического знания и те фрагменты учебного материала, к которым эти блоки особенно удачно применимы с целью их методического изучения» (А.Я. Блох) Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Составитель В. И. Мишин, 1987 г. [[Категория:Учебники без шаблона]] [[Категория:Методика обучения математике]] 5ig4o8ajqlb1v14q5pyvtv9bg3636tp 0 35571 267649 267362 2026-05-21T08:29:26Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267649 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Алгебра | Готовность = 0% | Тип = Многостраничный }} {{wikipedia|Теория чисел}} В данном учебнике рассматривается '''теория чисел''', которая занимается изучением свойств [[w:Целое_число|целых чисел]]. Целыми называются не только числа [[w:Натуральное_число|натурального]] ряда 1, 2, 3, ... (положительные целые), но также нуль и отрицательные целые -1, -2, -3, ... == Содержание == * Теория делимости * Простые числа ** [[/Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]] * Функции в теории чисел * Сравнения * Первообразные корни * Индексы * Логарифмы * Характеры == Литература == * {{Книга|ref=Виноградов|автор=И. М. Виноградов|заглавие=Основы теории чисел. Учебное пособие|год=2009|место=Санкт-Петербург|издательство=Лань|страниц=176|isbn=978-5-8114-0535-0}} * {{Книга|ref=Панкратова|автор=И. А. Панкратова|заглавие=Введение в теорию чисел. Учебное пособие|год=2018|место=Томск|издательство=Издательский дом Томского государственного университета|страниц=86}} * {{Книга|ref=Зенкин|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|место=Калининград|страниц=158}} [[Категория:Теория чисел]] [[Категория:Учебники без шаблона]] ncosyfjob9mjtug7i54iplebif7jati 267740 267649 2026-05-21T10:18:08Z AllaBuraya 79455 267740 wikitext text/x-wiki {{Название учебника | Категория = Математика | Готовность = 0% | Тип = Многостраничный }} {{wikipedia|Теория чисел}} В данном учебнике рассматривается '''теория чисел''', которая занимается изучением свойств [[w:Целое_число|целых чисел]]. Целыми называются не только числа [[w:Натуральное_число|натурального]] ряда 1, 2, 3, ... (положительные целые), но также нуль и отрицательные целые -1, -2, -3, ... == Содержание == * Теория делимости * Простые числа ** [[/Постулат Бертрана|Постулат Бертрана]] * Функции в теории чисел * Сравнения * Первообразные корни * Индексы * Логарифмы * Характеры == Литература == * {{Книга|ref=Виноградов|автор=И. М. Виноградов|заглавие=Основы теории чисел. Учебное пособие|год=2009|место=Санкт-Петербург|издательство=Лань|страниц=176|isbn=978-5-8114-0535-0}} * {{Книга|ref=Панкратова|автор=И. А. Панкратова|заглавие=Введение в теорию чисел. Учебное пособие|год=2018|место=Томск|издательство=Издательский дом Томского государственного университета|страниц=86}} * {{Книга|ref=Зенкин|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|место=Калининград|страниц=158}} [[Категория:Теория чисел]] [[Категория:Учебники без шаблона]] c7m726gvket6ozp7pr5n33dr49pthaj 100 35573 267587 267322 2026-05-21T07:52:01Z AllaBuraya 79455 267587 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная Полка |родитель=Математика |описание=Теория чисел }} on1r0tisri2cx3m3pnk2z01fu2gfw8w 14 35574 267527 267465 2026-05-20T12:34:54Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267527 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Алгебра]] [[Категория:Математика]] 7oue1e33onl8zr9p9nv7tgudlvkbeds 267528 267527 2026-05-20T12:34:58Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267528 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Математика]] ta9269zdpmsns1y7r9jteuqnpyf6ds4 100 35578 267581 267174 2026-05-21T07:47:01Z AllaBuraya 79455 Полностью удалено содержимое страницы 267581 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 267582 267581 2026-05-21T07:47:12Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Полки]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267582 wikitext text/x-wiki [[Категория:Полки]] q6hysxj9gsc707j8p3pss3ecxl97wxc 267583 267582 2026-05-21T07:47:57Z AllaBuraya 79455 267583 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная Полка | родитель = Математика }} [[Категория:Полки]] rzsf723xgu9n11budhbjl2kf9brc39p 267584 267583 2026-05-21T07:48:12Z AllaBuraya 79455 267584 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная Полка | родитель = Дифференциальные уравнения }} [[Категория:Полки]] l6b6869lwm6lpi6t1f7le5d2w5fx2nx 267585 267584 2026-05-21T07:48:42Z AllaBuraya 79455 267585 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная Полка | родитель = Математика | описание = Дифференциальные уравнения }} [[Категория:Полки]] p9eeyulv53txkmc0he4na2ms9dkyt5k 14 35627 267706 267464 2026-05-21T09:08:55Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267706 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 267707 267706 2026-05-21T09:09:02Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267707 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Математика]] mdw8raes3zfy0zrj52jxiwa6dm6yyjj 14 35629 267712 267467 2026-05-21T09:11:09Z AllaBuraya 79455 removed [[Category:Алгебра]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267712 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} 7j7zxlvrzna9m22g5z7req0zcumg2i1 267713 267712 2026-05-21T09:11:21Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Математическое программирование]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267713 wikitext text/x-wiki {{Категория|Учебник}} [[Категория:Математическое программирование]] t0309edh18fwy5iljg9tf052rm2jkzc 4 35636 267511 2026-05-20T12:30:03Z Taratarussia 77272 Новая страница: «== [[Биографический метод]] == Не учебник, пустые разделы, только определение, там и {{tl|Название учебника}} как-то не к месту. С ув., ~~~~ === За === === Против === === Итог ===» 267511 wikitext text/x-wiki == [[Биографический метод]] == Не учебник, пустые разделы, только определение, там и {{tl|Название учебника}} как-то не к месту. С ув., [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:30, 20 мая 2026 (UTC) === За === === Против === === Итог === 3u8aj6674ecj8uv3w5v1zz9w6bsjcwn 267561 267511 2026-05-20T19:11:04Z Leksey 3027 /* Биографический метод */ ответ ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]]) 267561 wikitext text/x-wiki == [[Биографический метод]] == Не учебник, пустые разделы, только определение, там и {{tl|Название учебника}} как-то не к месту. С ув., [[Участник:Taratarussia|СССР]] ([[Обсуждение участника:Taratarussia|обсуждение]]) 12:30, 20 мая 2026 (UTC) : Я вижу по истории, что это спасали материалы из Википедии. А что не так? Два раздела то есть все же. Можно удалить пустые, если глаз сильно мозолят. Но вроде каши то не просят. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 19:11, 20 мая 2026 (UTC) === За === === Против === === Итог === nx2ln3iyvnwnsvm8o2ab401tw7m5khk 100 35637 267565 2026-05-21T06:26:42Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «{{Дополнительная полка | родитель = Математика }}» 267565 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная полка | родитель = Математика }} p1n9m2orfoh9tb5ng0180fq0lhchv0i 267566 267565 2026-05-21T06:28:44Z AllaBuraya 79455 267566 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная Полка | родитель = Математика }} 32ccurqf33wr3ifxy7ak873og6eci1o 267567 267566 2026-05-21T06:29:19Z AllaBuraya 79455 267567 wikitext text/x-wiki {{Дополнительная Полка | родитель = Математика | описание = Занимательная математика }} hp8syknb1b1uowsjrz6amnodhw4uxou 14 35638 267569 2026-05-21T06:32:36Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Математика]]» 267569 wikitext text/x-wiki [[Категория:Математика]] q972ghhif59d292m1jlv26tr3lcvbmw 0 35639 267673 2026-05-21T08:50:17Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Линии]] в [[Элементарная геометрия/Линии]] 267673 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Элементарная геометрия/Линии]] iscdom68an102lvi74slcap54dbvmgy 0 35640 267675 2026-05-21T08:50:35Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Наши инструменты: Линейка и циркуль]] в [[Элементарная геометрия/Наши инструменты: Линейка и циркуль]] 267675 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Элементарная геометрия/Наши инструменты: Линейка и циркуль]] 0r1j2oi1cp6361zbesx6mlh443ksygj 0 35641 267677 2026-05-21T08:50:51Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Теорема Пифагора]] в [[Элементарная геометрия/Теорема Пифагора]] 267677 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Элементарная геометрия/Теорема Пифагора]] iq4lzjc08jyx9gf8oco5av4b93onhb4 0 35642 267679 2026-05-21T08:50:59Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Точки]] в [[Элементарная геометрия/Точки]] 267679 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Элементарная геометрия/Точки]] 0qfu38w1grc9gzs6zut7pmdiiueanf4 0 35643 267681 2026-05-21T08:51:19Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Геометрия для средней школы/Вступление]] в [[Элементарная геометрия/Вступление]] 267681 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Элементарная геометрия/Вступление]] 9xlp677yn04cfgtl2pd0ee6mf5fyn9h 14 35644 267698 2026-05-21T09:04:51Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Математика]]» 267698 wikitext text/x-wiki [[Категория:Математика]] q972ghhif59d292m1jlv26tr3lcvbmw 14 35645 267703 2026-05-21T09:07:50Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Математика]]» 267703 wikitext text/x-wiki [[Категория:Математика]] q972ghhif59d292m1jlv26tr3lcvbmw 14 35646 267714 2026-05-21T09:11:36Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Математика]]» 267714 wikitext text/x-wiki [[Категория:Математика]] q972ghhif59d292m1jlv26tr3lcvbmw 100 35647 267719 2026-05-21T09:53:05Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «{{Основная полка | Описание = Математика, логика, информатика, кибернетика }}» 267719 wikitext text/x-wiki {{Основная полка | Описание = Математика, логика, информатика, кибернетика }} 08aszrv12paqis9srmeuhsjwg0rn64p 14 35648 267720 2026-05-21T09:56:40Z AllaBuraya 79455 Создана пустая страница 267720 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 267721 267720 2026-05-21T09:56:49Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Полки]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267721 wikitext text/x-wiki [[Категория:Полки]] q6hysxj9gsc707j8p3pss3ecxl97wxc 14 35649 267778 2026-05-21T10:50:43Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Формальные науки]]» 267778 wikitext text/x-wiki [[Категория:Формальные науки]] 7hup8ihv36oecyo2p20aycloit5b7mi 100 35650 267779 2026-05-21T10:51:15Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «{{очистить кэш}} {{Дополнительная Полка | родитель = Формальные науки | описание = Логика }}» 267779 wikitext text/x-wiki {{очистить кэш}} {{Дополнительная Полка | родитель = Формальные науки | описание = Логика }} mokwxu693wfyp15ueiptk82n8bluf87 267780 267779 2026-05-21T10:51:26Z AllaBuraya 79455 added [[Category:Логика]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 267780 wikitext text/x-wiki {{очистить кэш}} {{Дополнительная Полка | родитель = Формальные науки | описание = Логика }} [[Категория:Логика]] hp33pt8midvxavupis8b5lwny7snivk 14 35651 267785 2026-05-21T11:01:43Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Математика]]» 267785 wikitext text/x-wiki [[Категория:Математика]] q972ghhif59d292m1jlv26tr3lcvbmw 0 35652 267789 2026-05-21T11:07:11Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Внутрипредметные связи]] в [[Методика обучения математике/Внутрипредметные связи]] 267789 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Внутрипредметные связи]] s6khwmtc72sg4lx91uxfplt5qs8ehcj 0 35653 267794 2026-05-21T11:13:40Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Иная методическая точка зрения]] в [[Методика обучения математике/Иная методическая точка зрения]] 267794 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Иная методическая точка зрения]] gsqt5gvjcp0258x9o8zj4hkrmvu9rlp 0 35654 267797 2026-05-21T11:16:30Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Математические методы]] в [[Методика обучения математике/Математические методы]] 267797 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Математические методы]] fcrg43qygemgixl4hinzv73i97wfbgo 0 35655 267799 2026-05-21T11:24:47Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Логико-математический анализ теоремы]] в [[Методика обучения математике/Логико-математический анализ теоремы]] 267799 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Логико-математический анализ теоремы]] rv3zbvu31a3ss2f3uv7l35g89f0pw41 0 35656 267802 2026-05-21T11:25:15Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Логико-математический анализ (ЛМА) понятия]] в [[Методика обучения математике/Логико-математический анализ (ЛМА) понятия]] 267802 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Логико-математический анализ (ЛМА) понятия]] 6vrt4ylidrjzdeiq5cfyt7raj7mgvkw 0 35657 267812 2026-05-21T11:28:12Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Кванторные слова и обороты]] в [[Методика обучения математике/Кванторные слова и обороты]] 267812 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Кванторные слова и обороты]] 772eqnuur4895w6wvy9oaxcolom0f2u 0 35658 267816 2026-05-21T11:29:31Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Математическое доказательство]] в [[Методика обучения математике/Математическое доказательство]] 267816 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Математическое доказательство]] aovqewxorxm7edjgvy2mi3kwm75q5ea 0 35659 267819 2026-05-21T11:29:55Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Методика формирования понятия "теорема"]] в [[Методика обучения математике/Методика формирования понятия "теорема"]] 267819 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Методика формирования понятия "теорема"]] mp2fqsyo8qjzuzxdr7949f7i4i0y20e 0 35660 267822 2026-05-21T11:30:32Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Содержательно-методические линии]] в [[Методика обучения математике/Содержательно-методические линии]] 267822 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Методика обучения математике/Содержательно-методические линии]] 6979ynv1qh8mtnefibkikv4vgpfib9c 0 35661 267831 2026-05-21T11:36:56Z AllaBuraya 79455 AllaBuraya переименовала страницу [[Системы дифференциальных уравнений]] в [[Решение систем гиперболических уравнений]] 267831 wikitext text/x-wiki #перенаправление [[Решение систем гиперболических уравнений]] 35tyi3sw7iytmn7imn3e8nmwmbwaq34 14 35662 267836 2026-05-21T11:43:03Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Математика]]» 267836 wikitext text/x-wiki [[Категория:Математика]] q972ghhif59d292m1jlv26tr3lcvbmw 14 35663 267844 2026-05-21T11:57:22Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Математика]]» 267844 wikitext text/x-wiki [[Категория:Математика]] q972ghhif59d292m1jlv26tr3lcvbmw 14 35664 267845 2026-05-21T11:58:39Z AllaBuraya 79455 Новая страница: «[[Категория:Геометрия]]» 267845 wikitext text/x-wiki [[Категория:Геометрия]] ifkrnngk0agla2r6n6jp9emfp45slv3