Викиверситет ruwikiversity https://ru.wikiversity.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0 MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Медиа Служебная Обсуждение Участник Обсуждение участника Викиверситет Обсуждение Викиверситета Файл Обсуждение файла MediaWiki Обсуждение MediaWiki Шаблон Обсуждение шаблона Справка Обсуждение справки Категория Обсуждение категории Портал Обсуждение портала Факультет Обсуждения факультета TimedText TimedText talk Модуль Обсуждение модуля Event Event talk 102 287 166698 166692 2026-09-22T11:53:36Z AKA MBG 551 Отменена, для нумерации используйте символ решётка 166698 wikitext text/x-wiki {{Уровень}} '''Психология''' (от гр. psyche — «душа» + logos — «понятие», «учение») — буквально «наука о душе», область научного знания, исследующая закономерности происхождения, функционирования, развития и распада психики, её структур (сознания и бессознательного) и явлений (психических процессов, состояний, свойств и образований) как в процессе жизни живого организма (онтогенеза), так и исторически (филогенеза). '''Объектом психологии''' является психика, единого и точного определения которой нет. На этом основании психология не всегда признаётся наукой. '''Предмет психологии''' - исторические и биосоциальные закономерности возникновения, функционирования, развития и распада психики. == Занятия == * Введение в психологию * [[Факультет:Психология/Каталог курсов/Психологические парадигмы|Психологические парадигмы]] == Базовые отрасли == Психология как наука имеет своё деление на отрасли. Следует перечислить некоторые из них и дать им общее определение: * '''Общая психология''' - отрасль психологии, которая изучает общие закономерности функционирования психики и её структур. * '''Психология личности''' - отрасль психологии, изучающая закономерности формирования, функционирования и развития личности и её структур (например, темперамент, характер, способности и др.). * '''Возрастная психология''' - отрасль психологии, изучающая закономерности развития психики в процессе онтогенеза, т.е. в период от рождения до смерти человека. * '''Социальная психология''' - отрасль психологии, изучающая закономерности функционирования и развития психики в условиях общества в целом и в конкретных социальных группах, а также взаимодействие людей. * '''История психологии''' - отрасль психологии, которая изучает историю психологической мысли и исследований психики. * '''Педагогическая психология''' - отрасль психологии, которая изучает закономерности функционирования и развития психики в процессе образования, обучения и воспитания. * '''Зоопсихология''' - отрасль психологии, которая изучает закономерности возникновения, функционирования, развития и распада психики животных. * '''Психология труда''' - отрасль психологии, изучающая закономерности функционирования психики в процессе физического и/или умственного труда и влияние условий труда на психику работника. == Направления психологии == === Бихевиоризм === Это направление возникло в противовес психологии сознания, считавшей, что предметом научного исследования психологии должно быть ПОВЕДЕНИЕ. С точки зрения этого направления, предметом научного исследования может быть только то, что мы непосредственно можем наблюдать. Идея о том, что можно изучать только то, что мы можем непосредственно наблюдать, пришла к представителям этого направления из философии позитивизма. Основные методы — наблюдение, эксперимент. <br> Основатель — Уотсон, Джон Бродес. === Психоанализ === Направление, возникшее в результате работ Зигмунда Фрейда в конце XIX и началe XX века. Направлено на систематизированное объяснение бессознательных связей через ассоциативный процесс. === Гуманистическая психология === Это направление сформировалось в начале 60-х годов в США, как альтернатива бихевиоризму и психоанализу. В основе гуманистической психологии положен экзистенциализм. За отправную точку психологи-экзистенциалисты приняли смысл человеческой жизни. === Когнитивная психология === Возникает в США в 60-е годы, выступает против бихевиоризма. Согласно ее представлениям, решающую роль в поведении человека играет познание. Основная задача — исследование процессов приобретения, сохранения и использования человеком своих знаний. ''«Человек как поведенческая система также прост, как муравей. Кажущаяся сложность его поведения отражает сложность окружающей среды»' === Гештальт-психология === Гештальт-психология — это направление в психологии, основанное Максом Вертгеймером, была до некоторой степени восстанием против молекулярной программы Вундта для психологии, и приобрела приверженцев среди многих ученых, включая Уильяма Джеймса. Фактически, слово Гештальт означает объединенное или значащее целое, которое должно было быть центром психологического исследования. У этого течения психологии были свои корни в работах многих философов и психологов, работавших до появления Гештальтпсихологии. == Психика == '''Психика''' — это свойство нервной системы создавать субъективную реальность, основываясь на сенсорных данных и прошлом опыте. Психика позволяет воспринимать внешний мир «виртуально», то есть, воспринимать субъективный образ объективного мира. Психическое отражение не является пассивным копированием мира, оно связано с поиском, выбором и переработкой информации. Психическое отражение избирательно и зависит от потребностей человека. Психическое воображение активно, но субъективно. Субъективность человека зависит от пола, возраста, национальности, состояния здоровья, уровня интеллекта, воспитания, интересов, профессии, опыта и других факторов. Пищеварительная система является физиологической основой работы психики, но содержание психики (психическая жизнь человека) зависит от мышления и его скорости при воздействии окружающей среды. Мыслительный акт есть мгновенная реакция на внешнее воздействие. Психические свойства содержат все характеристики внешних объектов, и в зависимости от чувствительности индивида он осознаёт или не осознаёт объект полностью. Из внешнего мира сигналы поступают в организм, где они преобразуются (в том числе и головным мозгом), и таким образом человек воспринимает события и явления происходящие вне его. Психика человека дана ребёнку в готовом виде в момент зачатия, но может развиваться сама по себе, под воздействием родителей, родственников, далее по ходу жизни разные жизненные ситуации с необходимостью выживания формируют цельную личность. Собственно человеческие способности будут развиваться только среди других людей, стало быть, процесс социализации является основополагающим. Человеческая психика формируется в процессе усвоения человеческой культуры. Важным условием развития психики является активность человека, психика изначально развивалась как инструмент, помогающий адаптации тела к окружающей среде. === Функции психики === * Отражение — продукт психической деятельности напрямую будет зависеть от особенностей субъекта, темперамента и опыта. Отражающая функция имеет опережающий характер — способность предвидеть ситуацию и способы ее разрешения. * Регуляция — связана с изменением поведения человека. * Коммуникация — передача информации, развитие в общении. Условием развития, через общение, является качество последнего. Качественное общение сопровождается обменом знаниями и эмоциями. === Структура психики === Традиционно выделяют три пласта психики: * '''Бессознательное''' — информация об этом пласте, в принципе, не осознается. * '''Подсознание''' — содержит информацию, которая когда-то была в сознании, обобщенный «автоматический» опыт человека. Подсознание включает навыки, привычки, автоматизмы, интуицию. Подсознание является фильтром, пропускающим информацию из бессознательного в сознание и наоборот. Автоматизмы — это действия, когда-то усвоенные человеком и теперь повторяемые автоматически. Интуиция (инсайт, озарение) — процесс «выплывания» информации из подсознания на поверхность сознания. * '''Сознание''' — высший уровень развития психики, сфера знания, опыта и культуры. Благодаря сознанию формируется внутренняя модель внешнего мира, в следствие чего становится возможным его познание и преобразование. Сознание выполняет четыре основных функции: ** восприятие ** структурирование ** выбор реакции ** анализ опыта Благодаря сознанию, человек может построить модель своей личности и на этой основе строить взаимоотношения с другими людьми. === Уровни сознания === Сознание может находиться на одном из трех уровней: * Живое сознание — личность осознает себя, принимает ответственность за свою жизнь, не уходит от противоречий, принимает себя и других, воспринимает мир, как сложный и конфликтный, в котором окружающие не живут по вашему сценарию. * Фантомное сознание — иллюзорное состояние, при котором в сознании много необдуманного, неосмысленного, много стереотипов и психологических защит. Критерием поступков является поведение большинства. Жизненная стратегия — быть не хуже других, «быть как все». * Мертвое сознание — отсутствие смысла жизни, внешний локус контроль (перекладывание ответственности за себя и свою жизнь на других). Для таких людей характерна вера в идею-фикс, создание кумиров, желание сильной руки. == Психические явления == Психические явления условно разделяются на три (в некоторых источниках четыре) класса: 1. Психические процессы 2. Психические состояния 3. Психические свойства личности 4. Психические образования. Психические процессы, в свою очередь, можно разделить на познавательные (когнитивные) и эмоционально-волевые. == Ощущения == Простейшим из познавательных психических процессов является ощущение. Процесс ощущения возникает вследствие воздействия на органы чувств различных материальных факторов, которые называются раздражителями, а сам процесс этого воздействия — раздражением. В свою очередь, раздражение вызывает еще один процесс — возбуждение, которое по центростремительным, или афферентным, нервам переходит в кору головного мозга, где и возникают ощущения. Таким образом, ощущение является чувственным отображением объективной реальности. Суть ощущения состоит в отражении отдельных свойств предмета. Что означает «отдельных свойств»? Каждый раздражитель имеет свои характеристики, в зависимости от которых он может восприниматься определенными органами ЧУВСТВ. Например, мы можем слышать звук полета комара или ощутить его укус. В данном примере звук и укус являются раздражителями, воздействующими на ваши органы чувств. При этом следует обратить внимание на то, что процесс ощущения отражает в сознании только звук и только укус, никак не связывая эти ощущения между собой, а следовательно, с комаром. Это и является процессом отражения отдельных свойств предмета. Физиологической основой ощущений является деятельность сложных комплексов анатомических структур, названных Иваном Петровичем Павловым анализаторами. Каждый анализатор состоит из трех частей: 1) периферического отдела, называемого рецептором (рецептор — это воспринимающая часть анализатора, его основная функция — трансформация внешней энергии в нервный процесс); 2) проводящих нервных путей; 3) корковых отделов анализатора (их еще по-другому называют центральными отделами анализаторов), в которых происходит переработка нервных импульсов, приходящих из периферических отделов. Корковая часть каждого анализатора включает в себя область, представляющую собой проекцию периферии (то есть проекцию органа чувств) в коре головного мозга, так как определенным рецепторам соответствуют определенные участки коры. Для возникновения ощущения необходимо задействовать все составные части анализатора. Если разрушить любую из частей анализатора, возникновение соответствующих ощущений становится невозможным. Так, зрительные ощущения прекращаются и при повреждении глаз, и при нарушении целостности зрительных нервов, и при разрушении затылочных долей обоих полушарий. Анализатор — это активный орган, рефлекторно перестраивающийся под воздействием раздражителей, поэтому ощущение не является пассивным процессом, что всегда включает в себя двигательные компоненты. Так, американский психолог Д. Нефф, наблюдая с помощью микроскопа за участком кожи, убедился, что при раздражении ее иглой момент возникновения ощущения сопровождается рефлекторными двигательными реакциями этого участка кожи. В дальнейшем многочисленными исследованиями было установлено, что ощущение тесно связано с движением, которое иногда проявляется в виде вегетативной реакции (сужение сосудов, кожно-гальванический рефлекс), иногда — в виде мышечных реакций поворот глаз, напряжение мышц шеи, двигательные реакции руки и т. д.). Таким образом, ощущения вовсе не являются пассивными процессами — они носят активный, или рефлекторный, характер. Следует отметить, что ощущения являются не только источником наших знаний о мире, но и наших чувств и эмоций. Простейшая форма эмоционального переживания — это так называемый чувственный, или эмоциональный, тон ощущения, то есть чувство, непосредственно связанное с ощущением. Например, хорошо известно, что некоторые цвета, звуки, запахи могут сами по себе, независимо от их значения, от воспоминаний и мыслей, связанных с ними, вызвать у нас приятное или неприятное чувство. Звук красивого голоса, вкус апельсина, запах розы — приятны, имеют положительный эмоциональный тон. Скрип ножа по стеклу, запах сероводорода, вкус хины — неприятны, имеют отрицательный эмоциональный тон. Такого рода простейшие эмоциональные переживания играют сравнительно незначительную роль в жизни взрослого человека, но с точки зрения происхождения и развития эмоций значение их очень велико. == Восприятие == '''Восприятие''' — отражение в коре головного мозга предметов и явлений в совокупности их свойств при непосредственном воздействии в данный момент на органы чувств. В основе восприятия лежат межполушарные связи между различными анализаторами. Сначала возникает субъективный образ предмета, явления или процесса, непосредственно воздействующего на анализатор или систему анализаторов. Затем идет процесс формирования этого образа. Если воспринимаемое явление по самой своей природе воздействует только на один анализатор (воспроизведение мелодии), то в основе восприятия лежат системы внутрианализаторных связей — связей в пределах одного анализатора. Это связи на отношение элементов. Образование таких связей в слуховом анализаторе дает возможность узнавать мелодию по соотношению входящих в нее звуков, хотя мелодия звучит и в голосе, и в исполнении на различных инструментах. Осмысленность восприятия связана с работой вторичных корковых полей анализаторов. В корковой области анализаторов различают первичные поля, возбуждение которых дает ощущение, и вторичные поля, работа которых заключается в объединении ощущений в целостный образ и осмыслении его. Различают виды восприятия: зрительное, слуховое, осязательное и т. д. === Особенности восприятия === Роль '''прошлого опыта''' восприятия тесно связано с прошлым опытом человека, прежними восприятиями. Под влиянием таких факторов как индивидуально-психологические особенности человека (потребности, склонности, интересы) знания, содержания и задачи выполняемой деятельности, создается характерная для каждого человека апперцепция- то есть свойство психики человека, выражающее зависимость восприятия предметов и явлений от предшествующего опыта данного человека. Апперцепция обуславливает различные различия при восприятии одних и тех же предметов различными людьми или же одним и тем же человеком в разное время. Восприятие: * Неспецифическое, когда человек определяет только род предметов, к которым относится данный предмет (это автомобиль, дом, человек). * Специфическое, человек узнает конкретный предмет (автомобиль моего брата). '''Избирательность восприятия''' — это преимущественное выделение одних объектов по сравнению с другими. То, что находится в центре внимания человека при восприятии, называют объектом восприятия, а все остальное — фон. Избирательность касается не только объектов, но и событий. Восприятие особо выделяет редкие и повторяющиеся события. Это позволяет подсознательно выявлять закономерности и объясняет «закон парности» — наблюдаемую людьми повторяемость крайне маловероятных событий. '''Иллюзии''' — неправильное, искаженное восприятие. Истинность восприятия проверяют практикой. Чайная ложка в стакане чая или весло, погруженное в воду, кажутся нам переломленными, но мы извлекая их из воды убеждаемся в их целостности. '''Наблюдение и наблюдательность'''. Наблюдательность — целенаправленное, планомерное восприятие. Наблюдательность, как свойство личности есть стремление и умение с наибольшей полнотой подмечать особенности предметов, явлений. Наблюдение — это восприятие, тесно связанное с деятельностью мышления — сравнением, анализом. Иначе его называют «думающим восприятием». Наблюдение всегда осуществляют с той или иной познавательной целью, связанной с ясным представлением задач и предварительной разработкой плана наблюдения. Наблюдательность тесно связана с любознательностью, живым, пытливым интересом к предметам и явлениям. == Представления == == Внимание == == Высшие психические функции == {| class="wikitable" border="1" |- ! вид внимания ! цель ! интерес |- | непроизвольное | - | - |- | произвольное | + | - |- | послепроизвольное | + | + |} == Память == Память — форма психического отражения, заключающаяся в закреплении, сохранении и последующем воспроизведении прошлого опыта, делающая возможным его повторное использование в деятельности или возвращение в сферу сознания. Память связывает прошлое субъекта с его настоящим и будущим и является важнейшей познавательной функцией, лежащей в основе развития и обучения. Рассмотрим основные виды памяти. '''Непроизвольная память''' (информация запоминается сама собой без специального заучивания, а в ходе выполнения деятельности, в ходе работы над информацией). Сильно развита в детстве, у взрослых ослабевает. '''Произвольная память''' (информация запоминается целенаправленно, с помощью специальных приемов). Эффективность произвольной памяти зависит: # От целей запоминания (насколько прочно, долго человек хочет запомнить). Если цель — выучить, чтобы сдать экзамен, то вскоре после экзамена многое забудется, если цель — выучить надолго, для будущей профессиональной деятельности, то информация мало забывается. # От приемов заучивания. Приемы заучивания: ## Механическое дословное многократное повторение — работает механическая память, тратится много сил, времени, а результаты низкие. Механическая память — это память, основанная на повторении материала без его осмысления; ## Логический пересказ, который включает: логическое осмысление материала, систематизацию, выделение главных логических компонентов информации, пересказ своими словами — работает логическая память (смысловая) — вид памяти, основанный на установлении в запоминаемом материале смысловых связей. Эффективность логической памяти в 20 раз выше, чем у механической; ## Образные приемы запоминания (перевод информации в образы, графики, схемы, картинки) — работает образная память. Образная память бывает разных типов: зрительная, слуховая, моторно-двигательная, вкусовая, осязательная, обонятельная, эмоциональная; ## Мнемотехнические приемы запоминания (специальные приемы для облегчения запоминания). Выделяют также кратковременную память, долговременную, оперативную, промежуточную память. '''Кратковременную память (КП)''' обеспечивает запоминание однократно предъявленной информации на короткое время (5-7 мин). После чего информация может забыться полностью либо перейти в долговременную память, но при условии 1-2-кратного повторения информации. КП ограничена по объему. При однократном предъявлении помещается в среднем 7 ± 2, то есть в среднем с одного раза человек может запомнить от 5 до 9 слов, цифр, чисел, фигур, картинок, кусков информации. '''Долговременная память (ДП)''' обеспечивает длительное сохранение информации. Бывает двух типов: # ДП с сознательным доступом (то есть человек может по своей воле извлечь, вспомнить нужную информацию); # ДП закрытая (человек в естественных условиях не имеет к ней доступа, а лишь при гипнозе, при раздражении участков мозга может получить к ней доступ и актуализировать во всех деталях образы, переживания, картины всей жизни человека). '''Оперативная память''' — вид памяти, проявляющийся в ходе выполнения определенной деятельности, обслуживающий эту деятельность благодаря сохранению информации, поступающей как из КП, так и из ДП, необходимой для выполнения текущей деятельности. '''Промежуточная память''' — обеспечивает сохранение информации в течение нескольких часов, накапливает информацию в течение дня, а время ночного сна отводится организмом для очищения промежуточной памяти и категоризации информации, накопленной за прошедший день, переводом ее в долговременную память. По окончании сна промежуточная память опять готова к приему новой информации. У человека, который спит менее трех часов в сутки, промежуточная память не успевает очищаться, в результате нарушается выполнение мыслительных, вычислительных операций, снижаются внимание, кратковременная память, появляются ошибки в речи, в действиях. == Мышление и речь == == Воображение == == Темперамент == '''Темперамент''' — это врожденные особенности человека, которые обусловливают динамические характеристики интенсивности и скорости реагирования, степени эмоциональной возбудимости и уравновешенности, особенности приспособления к окружающей среде. '''Характер''' — совокупность устойчивых индивидуальных особенностей личности, складывающаяся и проявляющаяся в деятельности и общении, обусловливая типичные для нее способы поведения. Понятие характера весьма различается в различных теоретических построениях. В современной зарубежной характеро-логии можно выделить три направления: # конституционно-биологическое (связано с именем Э. Кречмера. Характер, по существу сводится к сумме конституции и темперамента); # психоаналитическое (З. Фрейд, К. Г. Юнг, А. Адлер и т. д. Характер объясняется, исходя из бессознательных влечений человека); # идеологическое. Например: ## психоэтическая теория Робека: Характер заключается в торможении инстинктов, которое определяет этико-логическими санкциями. То, какие инстинкты и какими санкциями тормозятся, зависит от внутренних имманентных свойств личности. ## Бауд: характер определяется социальным положением человека В отечественной психологии исследование характера связано с именами Н. О. Лосского, П. Ф. Лесгафта, А. Ф. Лазурского, А. П. Нечаева, В. И. Страхова, Б. Г. Ананьева, Н. Д. Левитова и т. д.). Здесь также можно выделить различные направления: идеалистические, биологизаторские, материалистические. Опираясь на различные подходы к этой теме, можно отметить социально-оценочный оттенок при определении характера; ''значительную устойчивость психологических характеристик''. Характер формируется на основе темперамента под влиянием условий жизни. В характере черты темперамента содержатся в преобразованном виде. Они поняты и приняты либо не приняты человеком. === Структура характера === В структуре характера разные авторы выделяют различные свойства. Так, Б. Г. Ананьев считает характер выражением и условием цельности личности и к основным его свойствам относит направленность, привычки, коммуникативные свойства, эмоционально-динамические проявления, сформированные на основе темперамента. * уравновешенность — неуравновешенность; * сензитивность — агрессивность; * широту — узость; * глубину — поверхностность; * богатство, содержательность — бедность; * силу — слабость. Н. Д. Левитов выделяет определенность характера, его цельность, сложность, динамичность, оригинальность, силу, твердость. Эти и множество других попыток выделения структурных свойств характера требуют анализа и обобщения. Важное значение имеют характерологические качества (черты, свойства), обнаруживаемые человеком в различных видах отношений к окружающему миру: * в отношении к обществу (идейный или безидейный, активно участвующий в политике или аполитичный); * в отношении к деятельности (деятельный или бездеятельный, трудолюбивый или ленивый); * в отношении к другим людям (альтруист или эгоист, общительный или замкнутый); * в отношении к себе (имеющий адекватную или неадекватную самооценку, уверенный или неуверенный); * в отношении к вещам (щедрый или жадный). == Эмоции == '''Эмоция''' — это психофизиологический процесс внутренней регуляции деятельности человека или животного, отражающий субъективное оценочное отношение к существующим или возможным ситуациям или поведению. Несомненно, одной из причин возникновения человеческих эмоций в ходе эволюции была необходимость обеспечить социальную связь между матерью и ребенком. Экологическая ниша человеческого ребенка такова, что носителем всех когнитивных, социальных и физиологических навыков, необходимых для выживания младенца, является заботящийся о нем взрослый. Младенец просто не выжил бы, если бы его мать не испытывала мощной потребности держать его на руках. Ребенок во всем зависит от матери: она удовлетворяет его потребности в пище, тепле, уходе, защищает его от опасности. Не так давно мы поняли, что, кроме всего этого, ребенку для физического здоровья и психологического благополучия необходима также и родительская любовь. Даже взрослому человеку бывает трудно справиться с жизненными неурядицами, если он обделен любовью. Именно такого рода обделенность лежит в основе многих психологических нарушений, и особенно депрессии. Другой причиной возникновения эмоций была насущная необходимость в средствах коммуникации между матерью и ребенком, так же как и между взрослыми людьми. Многочисленные исследования, посвященные вопросам эмоционального развития ребенка, показывают, что задолго до того, как ребенок начинает понимать обращенную к нему речь и произносить отдельные слова, он уже может сообщать окружающим о своем внутреннем состоянии с помощью некоторого набора сигналов. Подобная система социальной коммуникации, базирующаяся на эмоциональной экспрессии, жизненно важна, ибо без нее связь между матерью и ребенком была бы невозможна. Исследования показывают, что родителей, дети которых страдают болезнью Дауна, очень огорчает и угнетает то обстоятельство, что дети не могут сообщать им о своих переживаниях посредством мимики и иных способов эмоциональной коммуникации. Эмоции необходимы для выживания и благополучия человека. Не обладая эмоциями, то есть не умея испытывать радость и печаль, гнев и вину, мы не были бы в полной мере людьми. Эмоции стали одним из признаков человечности. Не менее важна и наша способность сопереживать чужим эмоциям, способность к эмпатии, равно как и способность выразить эмоцию словами, рассказать о ней. Эволюционное значение эмоций состоит в том, что они обеспечили новый тип мотивации, новые поведенческие тенденции, большую вариативность поведения, необходимые для успешного взаимодействия индивида с окружающей средой и для успешной адаптации. == Литература == * ''Столяренко Л. Д., Самыгин С. И.'' 100 экзаменационных ответов по психологии — 2001 г. * ''Столяренко Л. Д.'' Основы психологии — Ростов н/Д Феникс — 2009 г. — ISBN 978-5-222-14925-6 ([http://www.koob.mhost.ru/books/common_psychology/osnovi_psihologii_stolyarenko.zip скачать]) * ''Зубовский Н''. Психология — Тропа Троянова — 2006 г. — ISBN 5-89798-044-6 * ''Мареев С''. Из истории советской философии. Лукач-Выготский-Ильенков — Культурная Революция — 2008 г. — ISBN 978-5-250-06035-6 * ''Гуревич П.С''. Психология — Юнити-Дана — 2005 г. — ISBN 5-238-00905-4 * ''Айзенк Г.Ю''. Психология: польза и вред. Психология: смысл и бессмыслица. Психология: факты и вымысел — Харвест — 2003 г. — ISBN 985-13-1705-5 [[Категория:Психология]] 05e4a4wj3s6biex6e97xktcxahzk5ow 0 8623 166696 64907 2026-09-22T07:13:20Z Vayvor 14904 [[Проекция вектора на подпространство (ортогональная)]] 166696 wikitext text/x-wiki ==[[Определители и их свойства]]== ==[[Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы]]== ==[[Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений]]== Вывод общего решения системы линейных алгебраических уравнений ==[[Линейные пространства. Базис]]== ==[[Евклидовы и унитарные пространства]]== ==[[Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор]]== ==[[Собственные значения и собственные векторы линейного оператора]]== ==[[Проекция вектора на подпространство (ортогональная)]]== [[Категория:Линейная алгебра]] [[Категория:Аналитическая геометрия]] bq8d1qek1zfgnhvotra157vajs937f3 166709 166696 2026-09-22T11:58:56Z AKA MBG 551 исправил ссылки 166709 wikitext text/x-wiki ==[[/Определители и их свойства]]== ==[[/Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы]]== ==[[/Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений]]== Вывод общего решения системы линейных алгебраических уравнений ==[[/Линейные пространства. Базис]]== ==[[/Евклидовы и унитарные пространства]]== ==[[/Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор]]== ==[[/Собственные значения и собственные векторы линейного оператора]]== ==[[/Проекция вектора на подпространство (ортогональная)]]== [[Категория:Линейная алгебра]] [[Категория:Аналитическая геометрия]] 85v681xcdoq6zvui8zamo56irpe1942 0 8624 166700 137383 2026-09-22T11:55:54Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Определители и их свойства]] в [[Линейная алгебра и геометрия/Определители и их свойства]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 137383 wikitext text/x-wiki ===Определение.=== <math>A = \bigl\| a_{i,j} \bigr\| </math> - матрица размера <math>n \times n</math>. Определителем называется сумма вида: :<math>|A| = \sum_{(\alpha_1,\alpha_2 \dots \alpha_n)} (-1)^{\rho(\alpha_1,\alpha_2 \dots \alpha_n)} a_{1,\alpha_1} a_{2,\alpha_2} \dots a_{n,\alpha_n} </math> где <math>\rho</math> - число инверсий (Инверсией в перестановке <math>\pi : X \to X</math> порядка <math>n</math> называется всякая пара индексов <math>i, j</math> такая, что <math>1 \le i < j \le n</math> и <math>\pi (i) > \pi (j)</math>) в перестановке <math>(\alpha_1,\alpha_2 \dots \alpha_n)</math>. ===Свойства определителей.=== * '''Перестановка строк меняет знак определителя.''' {{Доказательство|Если мы переставим i и j строки, потом возьмём <math>a_{1,\alpha_1} a_{2,\alpha_2} \dots a_{n,\alpha_n}</math> - член <math>|A|</math> , то все его множетели и в старом <math>|A|</math> остануться в разных строках и столбцах. таким образом определители состоят из одинаковых членов. члену <math>a_{1,\alpha_1} a_{2,\alpha_2} \dots a_{n,\alpha_n}</math> соответствует подстановка :<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & i & \dots & j & \dots & n \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_i & \dots & \alpha_j & \dots & \alpha_n \end{pmatrix},</math> а в старом подстановка :<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & j & \dots & i & \dots & n \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_j & \dots & \alpha_i & \dots & \alpha_n \end{pmatrix}.</math> Так, например элемент матрицы <math>a_{i,\alpha_i}</math> стоит теперь в j-ой строке, но в старом <math>|A|</math> остаётся в <math>\alpha_i</math>-ом столбце. но вторая подстановка получается из первой путём одной транспозиции в верхней строке, т.е. имеет противоположную чётность <math>\Rightarrow</math> все члены <math>|A|</math> входят в новый с обратными знаками. }} * '''Если все элементы строки <math>|A|</math> умножить на число k, то сам <math>|A|</math> умножится на k.''' {{Доказательство|Пусть на k умножают элементы i-ой строки. каждый член определителя содержит ровно один элемент из i-ой строки, по этому всякий член приобретает множитель k, т.е. сам определитель умножается на k. }} * '''Если все элементы i-ой строки <math>|A|</math> представить в виде суммы двух слагаемых, то <math>|A| = |A_1| + |A_2|</math>.''' {{Доказательство|<math>|A| = \sum_{\alpha} (-1)^{\rho} a_{1,\alpha_1} \dots ( a_{i,\alpha_i}+b_{i,\alpha_i}) \dots a_{n,\alpha_n} = </math> :<math>= \sum_{\alpha} (-1)^{\rho} a_{1,\alpha_1} \dots a_{i,\alpha_i} \dots a_{n,\alpha_n} + \sum_{\alpha} (-1)^{\rho} a_{1,\alpha_1} \dots b_{i,\alpha_i} \dots a_{n,\alpha_n}</math> }} * '''Признаки равенства <math>|A|=0</math>.''' :* если одна из строк <math>|A|</math> состоит из 0, то <math>|A|=0</math>. :* если в <math>|A|</math> есть две одинаковые строки, то <math>|A|=0</math>. :* если в <math>|A|</math> две строки пропорциональны, то <math>|A|=0</math>. :* если в <math>|A|</math> какой-либо столбец является линейной комбинацией других столбцов, то <math>|A|=0</math>. * '''Прибавление одной строки к другой.''' :* если к какой-либо строке прибавить другую строку, умноженную на число, то <math>|A|</math> не изменится. :* <math>|A|</math> не изменится, если к какому либо столбцу прибавить линейную комбинацию других столбцов. [[Категория:Линейная алгебра]] llerswlgpof0pi91x6gsqreybxs5jmt 0 8626 166702 139862 2026-09-22T11:56:23Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы]] в [[Линейная алгебра и геометрия/Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 139862 wikitext text/x-wiki {{Определение|Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора (минор - определитель квадратной матрицы <math>k \times k, k \le n</math>). Обозначается <math>r_A</math>. }} {{Определение|Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, называются базисными строками и столбцами. }} {{Определение|Система столбцов <math>A_1,A_2 \dots A_k</math> называется линейно зависимой <math>\Leftrightarrow \exists</math> числа <math>\lambda_1 \dots \lambda_k</math>, не все равные нулю и такие что: <math>\lambda_1 A_1+ \dots + \lambda_k A_k = \Theta </math> }} {{МатТеорема|Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ. |о базисном миноре}} {{Доказательство|Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима <math>\Rightarrow</math> система коротких столбцов (входящих в длинные) <math>A_1,A_2 \dots A_r</math> линейно зависима (<math>r_A = r) \Rightarrow</math> по свойству определителя <math>A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & r \\ 1 & 2 & \dots & r \end{pmatrix} =</math>БМ<math>= 0.</math> Противоречие, т.к. БМ<math>\not = 0</math>. <!--Покажем, что <math>i</math>-ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ. Фиксируем <math>\forall j > r</math>. Раскладываем определитель по <math>i</math>-ой строке:--> <!--<math>%A %\sbmat{ %1 & 2 & \dots & r & r_j \\ %1 & 2 & \dots & r & r_j %} %=(-1)^{i+j}a_{i,j}M_0 + (-1)^{i+j}a_{i,r}\tilde A_r + (-1)^{i+j}a_{i,r-1}\tilde A_{r-1}+\dots+ (-1)^{i+j} a_{i,1}\tilde A_1=0</math> так как минор порядка <math>(r+1)</math> - нулевой (где <math>M_0</math> - БМ <math>\Rightarrow M_0 \not=0) </math>. Выражаем <math>a_{i,j}</math>:--> <!--<math>a_{i,j}=\alpha_1 a_{i,1}+\alpha_2 a_{i,2}+\dots+\alpha_r a_{i,r} \Rightarrow A_i = \alpha_1 A_{1} + \alpha_2 A_{2} +\dots+\alpha_r A_{r} </math> (так как <math>i</math> - любая)--> Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Покажем, что <math>i</math>-ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ. <math>i > r</math> (иначе он сам является столбцом из БМ). Рассмотрим минор порядка на один больше, он будет нулевой. Фиксируем <math>\forall j > r</math>. Раскладываем определитель по <math>j</math>-ой строке: <math>A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & r & j \\ 1 & 2 & \dots & r & i \end{pmatrix} =(-1)^{j+i} a_{j,i} M_0 + (-1)^{j+r} a_{j,r} \tilde{A_r} + (-1)^{j+r-1} a_{j,r-1} \tilde{A_{r-1}} + \dots+ (-1)^{j+1} a_{j,1} \tilde{A_1} = 0</math> так как минор порядка <math>(r+1)</math> - нулевой (где <math>M_0</math> - БМ <math>\Rightarrow M_0 \ne 0) </math>. Выражаем <math>a_{j,i}</math>: <math>a_{j,i} = \alpha_1 a_{j,1}+\alpha_2 a_{j,2}+\dots+\alpha_r a_{j,r} </math> Получены коэффициенты <math>\alpha_1, ..., \alpha_r</math>. Для любого <math>k</math>: <math>a_{k,i} = \alpha_1 a_{k,1}+\alpha_2 a_{k,2}+\dots+\alpha_r a_{k,r} \Rightarrow A_i = \alpha_1 A_{1} + \alpha_2 A_{2} +\dots+\alpha_r A_{r} </math> (так как <math>k</math> - любое) }} {{Следствие|Если все столбцы матрицы А линейно выражаются через r столбцов <math>A_{i_1}, A_{i_2} \dots A_{i_r}</math>, которые образуют линейно независимую систему, то <math>r_A=r</math>. }} {{Доказательство|Столбцы, входящие в максимальную линейно независимую систему (в кол-ве <math>r_A</math> штук), линейно выражаются через <math>A_{i_1}, A_{i_2} \dots A_{i_r} \Rightarrow r_A \leqslant r</math>. Столбцы <math>A_{i_1}, A_{i_2} \dots A_{i_r}</math> (в кол-ве r штук) линейно выражаются через максимальную линейно независимую систему в кол-ве <math>r_A \Rightarrow r \leqslant r_A \Rightarrow r=r_A </math>. }} {{МатТеорема|Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А). |о ранге матрицы}} {{Доказательство|Пусть <math>r_A=r. \exists A_{i_1} \dots A_{i_m}</math> - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов <math>= m</math> (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему) <math>\Rightarrow</math> по утверждению 1 (если система линейно независима (количество <math>k</math>) и выражается через другую (количество <math>l</math>), то <math>k \leqslant l</math>) <math>m \leqslant r</math>, по утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы <math>\Rightarrow r\leqslant m \Rightarrow r=m.</math> }} [[Категория:Линейная алгебра]] sgpx9apy7r2fzlfjxzp3izsp2cnduwf 0 8628 166703 135833 2026-09-22T11:56:40Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений]] в [[Линейная алгебра и геометрия/Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 135833 wikitext text/x-wiki ===Однородные СЛАУ. Базисные и свободные неизвестные. Условие нетривиальной совместимости.=== Однородная СЛАУ: <math>\begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,r}x_r+a_{1,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{1,n}x_n=0 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,r}x_r+a_{2,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{2,n}x_n=0 \\ \dots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,r}x_r+a_{n,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{n,n}x_n=0 \end{cases}</math> <math>x_1,x_2 \dots x_r</math> - базисные неизвестные. <math>x_{r+1},x_{r+2} \dots x_n</math> - свободные неизвестные (если <math>r_A<n</math>) Условие нетривиальной совместимости (наличия решений): <math>\begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,r}x_r=-a_{1,r+1}x_{r+1}-\dots-a_{1,n}x_n \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,r}x_r=-a_{2,r+1}x_{r+1}-\dots+a_{2,n}x_n \\ \dots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,r}x_r=-a_{n,r+1}x_{r+1}-\dots+a_{n,n}x_n \end{cases}</math> <math>x_1,x_2 \dots x_r</math> - найдутся однозначно. <math>x_{r+1},x_{r+2} \dots x_n</math> - можно задать любыми. <math>r_A = n \Rightarrow</math> только тривиальное решение. ===Cвойства решений однородных СЛАУ.=== * Если Х - решение матричного уравнения <math>AX=\Theta</math>, то <math>\forall \lambda \in R^1, </math> <math>\lambda X = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \dots \\ \lambda x_n \end{pmatrix}</math> снова будет решением. * <math>X_1</math> и <math>X_2</math> - решения, то <math>(X_1 + X_2)</math> - тоже будет решением. * Если <math>X_1 \dots X_k</math> - решение системы, то для <math>\forall</math> чисел <math>\lambda_1 \dots \lambda_k \in R^1</math>, <math>z=\sum\limits_{i=1}^{k} \lambda_i X_i</math> - будет решением системы. ===Формула общего решения однородных СЛАУ=== {{Определение|Cистема решений СЛАУ <math>X_1 \dots X_{n-r}</math> называется фундаментальной системой решений <math>\Leftrightarrow</math> система <math>X_1 \dots X_{n-r}</math> линейно независима. }} {{МатТеорема|Пусть <math>r_A<n</math>; <math>X_1 \dots X_{n-r}</math> - ФСР для СЛАУ, тогда <math>\sum\limits_{j=1}^{n-r}C_j X_j</math> - является общим решением СЛАУ. т.е. : # <math>\forall (C_1 \dots C_{n-r}) \in R^1 </math> сумма <math>\sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j X_j</math> - является решением СЛАУ # <math>\forall X^*</math> - решения системы <math>\exists !</math> числа <math>C_1^* ,C_2^* , \dots ,C_{n-r}^*</math> : <math>X^* = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j^* X_j</math> }} {{Доказательство|Cистему запишем в матричной форме; <math>X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \dots \\ x_n \end{pmatrix} , \Theta = \begin{pmatrix} 0 \\ \dots \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow A X = \Theta, \Rightarrow</math> поскольку <math>X_j</math> является решением <math>\Rightarrow A X_j = \Theta, (j= 1,2 \dots ,n-r).</math> Докажем выполнение условия <math>A(\sum\limits_{j=1}^{n-r}C_j X_j) = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j (A X_j) = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j (\Theta) = \Theta.</math> \\2) пусть <math>X^*</math> произвольное решение системы. <math>X^* = (\beta_1, \dots , \beta_r, \beta_{r+1}, \dots ,\beta_n)</math>. Cоставим матрицу: :<math> \begin{pmatrix} & X_1 & & X_r & X_{r+1} & & X_n \\ X^* & \beta_1 & \dots & \beta_r & \beta_{r+1} & \dots & \beta_n \\ X_1 & \alpha_{1,1} & \dots & \alpha_{1,r} &\alpha_{1,r+1} & \dots & \alpha_{1,n} \\ & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ X_{n-r} & \alpha_{n-r,1}& \dots & \alpha_{n-r,r}&\alpha_{n-r,r+1}& \dots & \alpha_{n-r,n} \\ \end{pmatrix} =D ; </math> <math>(n-r) \leqslant r_D \leqslant (n-r), \Rightarrow r_D = (n-r)</math> покажем единственность. <math>\tilde C_1 X_1 + \tilde C_2 X_2 + \dots + \tilde C_{n-r} X_{n-r} = X^* = C_1^* X_1 + C_2^* X_2 + \dots + C_{n-r}^* X_{n-r} </math> <math>( \tilde C_1 - C_1^*) X_1+( \tilde C_2 - C_2^*) X_2+\dots + ( \tilde C_{n-r} - C_{n-r}^*) X_{n-r} = \Theta </math> }} ===Формула общего решения неоднородных СЛАУ=== Неоднородная СЛАУ: :<math>\begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,r}x_r+a_{1,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{1,n}x_n=b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,r}x_r+a_{2,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{2,n}x_n=b_2 \\ \dots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+a_{n,r}x_r+a_{n,r+1}x_{r+1}+\dots+a_{n,n}x_n=b_n \end{cases}</math> {{МатТеорема|<math>X_{OH} = X_{OO}+X_{4H}</math> (общее решение однородной системы + частное решение неоднородной.) }} {{Доказательство|1) покажем что <math>\sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j X_j + X_{4H}</math> является решением при любых <math>C_1, \dots ,C_{n-r}</math>. <math>{ } A(\sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j X_j + X_{4H}) = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j A X_j + A X_{4H} = \Theta +B</math>. 2) покажем что для любого решения системы <math>\exists ! C_1^*, \dots ,C_{n-r}^*</math> такие что <math>\tilde X = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j^* X_j + X_{4H}</math>. возьмём <math>Z = \tilde X - X_{4H}, \Rightarrow Z</math> удовлетворяет однородной системе и <math>\exists ! C_1^*, \dots ,C_{n-r}^* : Z = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j^* X_j \Rightarrow \tilde X = \sum\limits_{j=1}^{n-r} C_j^* X_j + X_{4H}.</math> }} [[Категория:Линейная алгебра]] 9gxyx9thk0ai7zuyu9l0rbsvt8oc6h1 0 8629 166704 64924 2026-09-22T11:56:57Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Линейные пространства. Базис]] в [[Линейная алгебра и геометрия/Линейные пространства. Базис]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 64924 wikitext text/x-wiki ===Линейные пространства=== Пространство L - множество элементов - векторов, которые обозначаются <math>\vec a, \vec b, \dots</math>, в котором определены две операции: сложение и умножение на число. эти операции подчиняются аксиомам: <math>\textbf{1. } \vec a + \vec b = \vec b + \vec a ; </math> <math>\textbf{2. } (\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c) ; </math> <math>\textbf{3. } \exists \vec 0 : \forall \vec a, \vec a + \vec 0 = \vec a ; </math> <math>\textbf{4. } \forall \vec a \exists (-\vec a) : \vec a + (-\vec a) = \vec 0; </math> <math>\textbf{5. } \alpha(\beta \vec a) = (\alpha \beta) \vec a; </math> <math>\textbf{6. } 1 \vec a = \vec a; </math> <math>\textbf{7. } \alpha(\vec a + \vec b ) = \alpha \vec a + \alpha \vec b; </math> <math>\textbf{8. } (\alpha + \beta) \vec a = \alpha \vec a + \beta \vec a.</math> ===Базис=== {{Определение|система <math>\vec e_1, \dots ,\vec e_n</math> - базис в L <math>\Leftrightarrow </math> система линейно независима и <math>\forall \vec x \in L : \vec x = \sum\limits_{j=1}^{n} x_j \vec e_j</math> }} {{Определение|Размерностью пространства называется число <math>dim(L) = n \Leftrightarrow </math> 1) в L <math>\exists</math> линейно независимая система из n векторов. 2) <math>\forall</math> система векторов в количестве большем чем n линейно зависима. }} {{МатТеорема|<math>dim(L) = n \Leftrightarrow </math> в L <math>\exists </math> базис из n векторов. }} {{Доказательство|<math>(\Rightarrow)</math> : <math>dim(L) = n \Rightarrow </math> по определению <math>\exists</math> линейно независимая система из n векторов <math>\vec e_1, \dots ,\vec e_n</math>. Докажем, что это базис. Линейная независимость дана. докажем, что <math>\forall \vec x \in L : \vec x = \sum\limits_{j=1}^n x_j \vec e_j</math>. рассмотрим систему (<math>\vec e_1, \dots ,\vec e_n, \vec x</math>). она линейно зависима (по определению размерности) т.е. <math>\exists \lambda_1, \dots ,\lambda_n, \mu </math> не все равные 0 и такие что: <math>\lambda_1 \vec e_1 + \lambda_2 \vec e_2 + \dots + \lambda_n \vec e_n + \mu \vec x = \vec 0 .</math> заметим, что <math>\mu \not= 0 \Rightarrow \vec x = \sum\limits_{j=1}^n(\frac{-\lambda_j}{\mu})\vec e_j</math> <math>(\Leftarrow )</math>: <math>\exists </math> базис из n векторов: <math>\vec e_1 \dots \vec e_n </math> докажем, что <math>dim(L) = n</math>. т.к. <math>\vec e_1 \dots \vec e_n </math> - базис, то система линейно независима. докажем, что любая система из n+1 векторов линейно зависима: <math>\begin{matrix} & \lambda_1 | \vec y_1 = \alpha_{11}\vec e_1 + \dots + \alpha_{1n}\vec e_n \\ & \lambda_2 | \vec y_2 = \alpha_{21}\vec e_1 + \dots + \alpha_{2n}\vec e_n \\ &\dots \\ & \lambda_{n+1} | \vec y_{n+1} = \alpha_{n+1,1}\vec e_1 + \dots + \alpha_{n+1,n}\vec e_n \end{matrix}</math> <math>A= \bigl\| \alpha_{i,j} \bigr\|</math> размера <math>(n+1)</math>x<math>n</math>. строки линейно зависимы <math>\Rightarrow \exists \lambda</math>: умножив на <math>\lambda</math> систему из <math>\vec y</math> и просуммировав получим: <math>\sum\limits_{j=1}^{n+1}\lambda_j \vec y_j = (\sum\limits_{j=1}^n \lambda_j \alpha_{j1})\vec e_1+(\sum\limits_{j=1}^n \lambda_j \alpha_{j2})\vec e_2+ \dots +(\sum\limits_{j=1}^n \lambda_j \alpha_{jn})\vec e_n = 0 \vec e_1 +\dots + 0 \vec e_n = \vec 0 . \Rightarrow </math> система линейно зависима. }} {{Следствие| # Все базисы в линейном пространстве L (<math>dim(L) = n</math>) имеют n векторов. # Любая линейно независимая система из n векторов образует базис. }} ===Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.=== Линейное пространство L, dim(L) = n &gt; 0, <math>\vec e_1, \dots , \vec e_n</math> - базис в L. <math>\Rightarrow \forall \vec x \in L \exists ! x_1, \dots ,x_n \in R^1 (C^1) : \vec x = \sum\limits_{j=1}^n x_j \vec e_j . \vec X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \dots \\ x_n \end{pmatrix} .</math> возьмём новый базис в L : <math>\vec f_1,\dots,\vec f_n \Rightarrow \vec f_1 = \sum\limits_{j=1}^n t_{j1} \vec e_j ,\dots, \vec f_n = \sum\limits_{j=1}^n t_{jn} \vec e_j .</math> <math>T = \bigl\| t_{i,j} \bigr\| =\begin{pmatrix} t_{11} & t_{12} &\dots& t_{1n} \\ \dots& \dots& \dots& \dots \\ t_{n1} & t_{n2} &\dots& t_{nn} \end{pmatrix} </math> - матрица перехода от базиса <math>\vec e_1, \dots , \vec e_n</math> к базису <math>\vec f_1,\dots,\vec f_n</math> <math>\vec x = \sum\limits_{j=1}^n x_j \vec e_j = \sum\limits_{j=1}^n x'_j \vec f_j= \sum\limits_{i=1}^n x'_i( \sum\limits_{j=1}^n t_{ij} \vec e_j); x_j = \sum\limits_{i=1}^n t_{ji} x'_i</math> <math>\vec X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \dots \\ x_n \end{pmatrix}, \vec X' = \begin{pmatrix} x'_1 \\ \dots \\ x'_n \end{pmatrix}. </math> <math>\vec X = T \vec X', \vec X' = T^{-1} \vec X </math> [[Категория:Линейная алгебра]] jwt0hft1pqg9h35lcy0gs524oqch26c 0 8630 166705 123156 2026-09-22T11:57:11Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Евклидовы и унитарные пространства]] в [[Линейная алгебра и геометрия/Евклидовы и унитарные пространства]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 123156 wikitext text/x-wiki ===Определения=== {{Определение|'''E''' - евклидово пространство <math>\overset{def}{\Leftrightarrow} </math> * Е - конечномерное линейное пространство над полем <math>R^1</math>. * <math>\forall \vec x, \vec y \in E \Rightarrow (\vec x,\vec y) \in R^1 :</math> :* <math>(\vec x,\vec y)= (\vec y,\vec x)</math> :* <math>\forall \lambda \in R^1, \forall \vec x, \vec y : (\lambda \vec x,\vec y)=\lambda (\vec x,\vec y)</math> :* <math>(\vec x+\vec y,\vec z) = (\vec x,\vec z)+(\vec y,\vec z)</math> :* <math>\forall \vec x \not= 0 : (\vec x,\vec x) > 0</math> }} {{Определение|'''U''' - унитарное пространство <math>\overset{def}{\Leftrightarrow} </math> * U - конечномерное линейное пространство над полем <math>C^1</math>. * <math>\forall \vec x, \vec y \in U \Rightarrow (\vec x,\vec y) \in C^1 :</math> :* <math>(\vec x,\vec y)= \overline{(\vec y,\vec x)}</math> :* <math>\forall \lambda \in C^1, \forall \vec x, \vec y : (\lambda \vec x,\vec y)=\lambda (\vec x,\vec y)</math> :* <math>(\vec x+\vec y,\vec z) = (\vec x,\vec z)+(\vec y,\vec z)</math> :* <math>\forall \vec x \not= 0 : (\vec x,\vec x) > 0</math> }} {{Утверждение|<math>(\vec x,\lambda \vec y)=\overline{\lambda} (\vec x,\vec y)</math> }} ===Неравенство треугольника.=== * Е - евклидово пространство. {{Утверждение|<math>\forall \vec x, \vec y \in E \Rightarrow ||\vec x + \vec y||\leqslant ||\vec x|| + ||\vec y|| </math> }} {{Доказательство|<math>||\vec x + \vec y||^2 = (\vec x + \vec y,\vec x + \vec y)=(\vec x,\vec x)+(\vec y,\vec y)+2(\vec x,\vec y) \leqslant ||\vec x||^2 + 2||\vec x||||\vec y||+||\vec y||^2=(||\vec x||+||\vec y||)^2.</math> }} * U - унитарное пространство. {{Утверждение|<math>\forall \vec x, \vec y \in U \Rightarrow ||\vec x + \vec y||\leqslant ||\vec x|| + ||\vec y|| </math> }} {{Доказательство|<math>||\vec x + \vec y||^2 = (\vec x + \vec y,\vec x + \vec y)=(\vec x,\vec x)+(\vec y,\vec y)+(\vec x,\vec y)+(\vec y,\vec x)</math>, где <math>(\vec x,\vec y)+(\vec y,\vec x)= 2Re(\vec x,\vec y); 2Re(\vec x,\vec y)\leqslant 2|(\vec x,\vec y)|\leqslant 2||\vec x||||\vec y||</math> по неравенству К-Б. <math>||\vec x + \vec y||^2 \leqslant ||\vec x||^2 + 2||\vec x||||\vec y||+||\vec y||^2=(||\vec x||+||\vec y||)^2.</math> }} ===Неравенство Коши-Буняковского=== <math>(f,g) =\int\limits_a^b f(x)g(x)dx \leqslant (\int\limits_a^b f(x)^2)^{\frac12} (\int\limits_a^b g(x)^2)^{\frac12}</math> - неравенство Буняковского. <math>(\vec x,\vec y) = \sum\limits_{i=1}^n x_i y_i \leqslant (\sum\limits_{i=1}^n x_i^2)^{\frac12} (\sum\limits_{i=1}^n y_i^2)^{\frac12}</math> - неравенство Коши. * Е - евклидово пространство. {{Утверждение|\\<math>\forall \vec x, \vec y \in E : |(\vec x,\vec y)|\leqslant ||\vec x|| ||\vec y||</math>, где <math>||\vec x|| = \sqrt{(\vec x,\vec x)}, ||\vec y||=\sqrt{(\vec y,\vec y)}.</math> }} {{Доказательство|Если <math>\vec y = 0</math>, то <math>(\vec x, \vec y) = (\vec x, 0\vec z)=0(\vec x, \vec z)=0; \vec 0 = 0\vec z, ||\vec y||= \sqrt{(\vec y, \vec y)}=0 \text{при} \vec y = \vec 0.</math> пусть <math>\vec y \not= 0</math> <math>0 \leqslant (\vec x-\lambda\vec y,\vec x-\lambda \vec y)=(\vec x, \vec x) -2 \lambda(\vec x, \vec y) +\lambda^2(\vec y, \vec y); \lambda = \lambda_0 = \frac{(\vec x, \vec y)}{(\vec y, \vec y)}.</math> <math>(\vec x, \vec x) -2 \frac{(\vec x, \vec y)}{(\vec y, \vec y)}(\vec x, \vec y) +\frac{(\vec x, \vec y)}{(\vec y, \vec y)}\frac{(\vec x, \vec y)}{(\vec y, \vec y)}(\vec y, \vec y) \Rightarrow 0 \leqslant (\vec x, \vec x)(\vec y, \vec y) - (\vec x, \vec y)(\vec x, \vec y) \Rightarrow |(\vec x, \vec y)| \leqslant ||\vec x|| || \vec y||</math> }} * U -унитарное пространство. {{Утверждение|<math>\forall \vec x, \vec y \in U : |(\vec x,\vec y)|\leqslant ||\vec x|| ||\vec y||</math> }} {{Доказательство|Если <math>\vec y = 0</math>, то нер-во выполняется. пусть <math>\vec y \not= 0</math> <math>0 \leqslant (\vec x-\lambda\vec y,\vec x-\lambda \vec y)=(\vec x, \vec x) - \lambda(\vec x, \vec y) - \overline{\lambda}(\vec x, \vec y)+|\lambda|^2(\vec y, \vec y); \lambda(\vec y, \vec x)+\overline{\lambda(\vec y, \vec x)}= 2Re(\vec y, \vec x). \lambda = \lambda_0 = \frac{(\vec x, \vec y)}{(\vec y, \vec y)}.</math> <math>(\vec x, \vec x) - \frac{(\vec x, \vec y)}{(\vec y, \vec y)}(\vec x, \vec y) -\frac{(\vec y, \vec x)}{(\vec y, \vec y)}(\vec x, \vec y) +\frac{(\vec x, \vec y)}{(\vec y, \vec y)}\frac{\overline{(\vec x, \vec y)}}{(\vec y, \vec y)}(\vec y, \vec y) \Rightarrow |(\vec x, \vec y)| \leqslant ||\vec x|| || \vec y|| </math> }} [[Категория:Линейная алгебра]] [[Категория:Функциональный анализ]] 31eujtll0gy463s6r3vvbe1tupmrt0v 0 8631 166706 64927 2026-09-22T11:57:30Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор]] в [[Линейная алгебра и геометрия/Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 64927 wikitext text/x-wiki ===Линейные операторы.=== Оператор <math>A: X \rightarrow Y</math> называется линейным, если: # <math>A(\vec x + \vec y) = A(\vec x) + A(\vec y);</math> # <math>A(\lambda \vec x) = \lambda A(\vec x).</math> <math>\Theta: \forall \vec x : \Theta \vec x = \vec 0_y</math> - нулевой оператор. <math>I: X \rightarrow X; \forall \vec x : I\vec x = \vec x </math> -тождественный оператор. <math>(A_1+A_2)\vec x \overset{def}{=} A_1\vec x + A_2\vec x</math> - сумма двух операторов. <math>A^2\vec x \overset{def}{=} A(A(\vec x)) ; A^{k}\vec x = A(A^{k-1}(\vec x)) </math> - степень оператора. <math>A: X \rightarrow Y, B: Y \rightarrow Z; (AB)\vec x \overset{def}{=} B(A\vec x) </math> - умножение операторов. ===Матрица линейного оператора.=== <math>A: X \rightarrow Y, dim(X) = m, dim(Y) = n.</math> Возьмём базис <math>\vec e_1, \dots ,\vec e_m</math> в X,\, <math>\vec f_1,\dots,\vec f_n</math> базис в Y. Покажем, что если известны результаты действия оператора А на базис, то оператор А полностью определён: <math>A(\vec e_i) = \vec h_i \in Y, i=1\dots m.</math> <math>\forall \vec x \in X: \vec x = \sum\limits_{j=1}^m x_j \vec e_j \Rightarrow A(\vec x) = A(\sum\limits_{j=1}^m x_j \vec e_j)=\sum\limits_{j=1}^m x_j A(\vec e_j) = \sum\limits_{j=1}^m x_j \vec h_j.</math> Матрица оператора <math>A_{ef} = ||a_{ij}||_{n\times m} =\left( \begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots& a_{1m} \\ \dots& \dots& \dots& \dots \\ a_{n1} & a_{n2} &\dots& a_{nm} \end{smallmatrix}\right)</math> <math>A\vec e_1 = a_{11}\vec f_1 +\dots +a_{n1}\vec f_n</math> <math>\dots</math> <math>A\vec e_m = a_{1m}\vec f_1 +\dots +a_{nm}\vec f_n</math> {{Утверждение|Если матрица <math>B=||b_{ij}||_{m \times n} </math> осуществляет действие оператора А, то В является матрицей оператора А. }} {{Доказательство|в базисе <math>\vec e_1,\dots,\vec e_n \text{вектору} \vec e_1 \text{соответствует} \left(\begin{smallmatrix} 1 \\0\\ \vdots \\ 0 \end{smallmatrix}\right) \Rightarrow B\left(\begin{smallmatrix} 1 \\0\\ \vdots \\ 0 \end{smallmatrix}\right) = \left(\begin{smallmatrix} a_{11} \\a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{smallmatrix}\right)</math> <math>\left( \begin{smallmatrix} b_{11} & b_{12} &\dots& b_{1m} \\ \dots& \dots& \dots& \dots \\ b_{n1} & b_{n2} &\dots& b_{nm} \end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix} 1 \\0\\ \vdots \\ 0 \end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix} b_{11} \\b_{21}\\ \vdots \\ b_{m1} \end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix} a_{11} \\a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{smallmatrix}\right) \Rightarrow</math> первый столбец В совпадает с первым столбцом <math>A_{ef}</math>, аналогично все остальные тоже совпадают <math>\Rightarrow B=A_{ef}</math> }} {{Утверждение|Если оператор <math>C = A + B.</math> \\ <math>\left( A : L \rightarrow M; B : L \rightarrow M; C : L \rightarrow M \right)</math>, то <math>C_{ef}=A_{ef}+B_{ef}</math> (матрица оператора С равна сумме матриц оператора А и В) }} {{Доказательство|<math>\left(A_{ef}+B_{ef}\right) \left(\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right)= A_{ef} \left(\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right) + B_{ef} \left(\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right)= A(\vec x) + B(\vec x) = (A+B)(\vec x) = C(\vec x)=C_{ef} \left(\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right)</math> }} ===Обратный оператор=== <math>A : L \rightarrow M</math> Если А - изоморфизм, то: <math>\vec y \rightarrow \vec x , \forall \vec y \in M \exists ! \vec x : A\vec x = \vec y \Rightarrow</math> возникает некоторое отображение <math>A^{-1} : A^{-1}(\vec y) = \vec x.</math> Покажем, что <math>A^{-1}</math> линейный оператор: 1) <math>A^{-1}(\vec y) \rightarrow \vec x; A^{-1}(\vec y_1) \rightarrow \vec x_1</math> :<math>A^{-1}(\vec y+\vec y_1) = \vec x + \vec x_1 = A^{-1}(\vec y) +A^{-1}(\vec y_1) , (\text{т.к.} A(\vec x + \vec x_1) =A(\vec x) + A(\vec x_1) = \vec y + \vec y_1).</math> 2) <math>A^{-1}(\lambda \vec y) = \lambda \vec x = \lambda A^{-1}(\vec y), (\text{т.к.} A(\lambda \vec x) =\lambda A(\vec x) = \lambda \vec y ).</math> Условие обратимости: <math>A : L \rightarrow M</math> - оператор обратим <math>\Leftrightarrow </math> оператор А осуществляет изоморфизм. '''Матрица обратного оператора''' <math>A : L \rightarrow M</math> осуществляет изоморфизм (Ограниченный линейный оператор <math>A</math> между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число <math>c</math> такое, что <math>||Ax|| \ge c||x||</math> для всех векторов <math>x</math>) <math>(n = m)</math> тогда <math>\exists A^{-1} : M \rightarrow L</math>. Возьмём<math>\vec e_1,\dots,\vec e_n </math> - базис в L, <math>\vec f_1,\dots,\vec f_n </math>- базис в M, тогда: <!--\left(\begin{smallmatrix}--><!--\end{smallmatrix}\right)--> :<math>\forall \vec x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n x_i \vec e_i; \forall \vec y=A(\vec x) = \begin{pmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n y_i \vec f_i</math> <math>Y=A_{ef}X \Leftrightarrow A_{ef}^{-1}Y=A_{ef}^{-1}A_{ef}X \Leftrightarrow A_{ef}^{-1}Y=X \Rightarrow </math> матрица <math>A_{ef}^{-1} </math> осуществляет действие оператора <math>A^{-1} \Rightarrow A_{ef}^{-1} </math> - матрица обратного оператора. [[Категория:Линейная алгебра]] slj0fh8wlvdxceh6enohvupeovlmfan 0 8632 166707 157747 2026-09-22T11:57:46Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Собственные значения и собственные векторы линейного оператора]] в [[Линейная алгебра и геометрия/Собственные значения и собственные векторы линейного оператора]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 157747 wikitext text/x-wiki ===Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.=== <math>A : L \rightarrow L</math> (для комплексных пространств). {{Определение|<math>\vec x \not= \vec 0 : A\vec x = \lambda \vec x </math>, где<math>x</math> — это некоторое число, которое называют собственным вектором оператора А, а <math>\lambda</math> - собственным значением. }} <math>A\vec x = \lambda \vec x, A\vec x = \mu \vec x \Rightarrow \vec 0 = (\lambda - \mu)\vec x \Rightarrow \lambda = \mu </math> - каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение. В пространстве L введём базис:<math>\vec e_1,\dots,\vec e_n \vec x = \sum\limits_{i=1}^n x_i \vec e_i \leftrightarrow X=\left(\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right),</math> если<math>A_e</math> -матрица оператора А, то<math>A_e X=\lambda X.</math> <math>\begin{cases} a_{1,1}x_1+\dots+a_{1,n}x_n=\lambda x_1 \\ \dots \\ a_{n,1}x_1+\dots+a_{n,n}x_n=\lambda x_n \end{cases} \rightarrow \begin{cases} (a_{1,1}-\lambda)x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,n}x_n=0 \\ \dots \\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots+(a_{n,n}-\lambda)x_n=0 \end{cases} </math> <math>\begin{vmatrix} (a_{1,1}-\lambda) & \dots & a_{1,n} \\ \dots\\ a_{n,1} & \dots & (a_{n,n}-\lambda) \end{vmatrix}= F_A(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+\dots </math> <math>F_A(\lambda)=det\left(A_e-\lambda E\right) </math>- характеристический многочлен оператора А. Условие наличия собственных векторов: <math>F_A(\lambda)=0 </math> - хар-е ур-е (<math>\lambda_1,\dots,\lambda_n </math> - корни ур-я, подставляем в систему и находим собственные векторы.) {{МатТеорема|\\<math>det\left(A_e-\lambda E\right)=det\left(A_f-\lambda E\right)</math> |о независимости характеристического многочлена от выбора базиса}} {{Доказательство|<math>\vec e_1,\dots,\vec e_n \overset{T}{\rightarrow}\vec f_1,\dots,\vec f_n ; A_f=T^{-1}A_eT; E =T^{-1}T=T^{-1}ET</math> <math>det\left(A_f-\lambda E\right)=det\left(T^{-1}A_eT-\lambda E\right)=det\left(T^{-1}A_eT-T^{-1}(\lambda E)T\right) = det(T^{-1})det(A_e-\lambda E)det(T) = det(A_e-\lambda E).</math> }} ===Свойства собственных векторов=== # <math>\vec x </math> - собственный вектор оператора А. после умножения его на любое число не равное нулю, снова получится собственный вектор. # если <math>\vec x_1 </math> и <math>\vec x_2 </math> - два собственных вектора соответствующих собственному значению <math>\lambda </math>, то любая их линейная комбинация <math>\alpha\vec x_1+\beta\vec x_2 \not= \vec 0 </math>- будет снова собственным вектором. # если<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k </math> - характерестические корни, причём <math>\lambda_i \not= \lambda_j </math> при <math>i \not= j </math>, каждому соответствует собственный вектор <math>\lambda_1 \rightarrow \vec x_1, \lambda_2 \rightarrow \vec x_2, \dots </math>, то система <math>\vec x_1,\dots,\vec x_k </math> линейно независима. {{Доказательство|Предположим противное: <math>(\ast) \exists \mu_1,\dots,\mu_k </math> - числа не все равные нулю и такие что: <math>\mu_1\vec x_1+\dots+\mu_k \vec x_k = \vec 0.</math> <math>A(\mu_1\vec x_1+\dots+\mu_k \vec x_k) = \mu_1A(\vec x_1)+\dots+\mu_k A(\vec x_k)=\mu_1\lambda_1\vec x_1+\dots+\mu_k\lambda_k \vec x_k=\vec 0 (\ast\ast)</math> для <math>k = 1</math> - верно, т.к. собственный вектор не может быть нулевым. Пусть верно для <math>k - 1</math> Докажем, что верно для <math>k</math> : <math>(\ast)\rightarrow </math>пусть<math>\mu_1 \not= 0; </math> <math>\mu_1\lambda_1\vec x_1+\mu_2\lambda_1\vec x_2+\dots+\mu_k\lambda_1 \vec x_k = \vec 0 </math>(вычтем из <math>(\ast\ast)</math>) <math>\mu_2(\lambda_2-\lambda_1)\vec x_2+\dots+\mu_k(\lambda_k-\lambda_1)\vec x_k = \vec 0 \Rightarrow </math> система из k - 1 собственных векторов линейно зависима <math>\Rightarrow</math>получили противоречие <math>\Rightarrow \mu_2,\dots,\mu_k =0 \Rightarrow \mu_1\vec x_1 = \vec 0 \Rightarrow \vec x_1 = \vec 0 </math>-получили противоречие <math>\Rightarrow</math>система <math>\vec x_1,\dots,\vec x_k</math> линейно независима. }} ===Оператор простой структуры=== {{Определение|Оператором простой структуры называется оператор, из собственных векторов которого можно построить базис. }} {{МатТеорема|<math>A : L \rightarrow L ; A_e = \left(\begin{smallmatrix} \lambda_1 &\dots&0 \\ \vdots&\ddots&\vdots \\0&\dots&\lambda_n \end{smallmatrix}\right) \Leftrightarrow \vec e_1,\dots,\vec e_n</math>-базис из собственных векторов оператора А. }} {{Доказательство|''В обратную сторону:'' :<math>\left. \begin{matrix} A(\vec e_1) =& \lambda_1 \vec e_1 = \lambda \vec e_1+0 \vec e_2+\dots+0 \vec e_n \\A(\vec e_2) =& \lambda_2 \vec e_2 = 0 \vec e_1+\lambda_2 \vec e_2+\dots+0 \vec e_n \\&\dots \\A(\vec e_n) =& \lambda_n \vec e_n = 0 \vec e_1+0 \vec e_2+\dots+\lambda_n \vec e_n \end{matrix} \right\} \Rightarrow A_e = \left(\begin{smallmatrix} \lambda_1 &\dots&0 \\ \vdots&\ddots&\vdots \\0&\dots&\lambda_n \end{smallmatrix}\right)</math> ''В прямую сторону:'' в базисе <math>\vec e_1,\dots,\vec e_n</math> матрица оператора имеет вид <math>A_e = \left(\begin{smallmatrix} \lambda_1 &\dots&0 \\ \vdots&\ddots&\vdots \\0&\dots&\lambda_n \end{smallmatrix}\right) \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow A(\vec e_1) = \lambda_1 \vec e_1+0 \vec e_2+\dots+0 \vec e_n = \lambda_1 \vec e_1 \Rightarrow \vec e_1 </math>- собственный вектор <math>\vdots</math> <math>\Rightarrow A(\vec e_n) = 0 \vec e_1+0 \vec e_2+\dots+\lambda_n \vec e_n = \lambda_n \vec e_n \Rightarrow \vec e_n </math>- собственный вектор <math>\Rightarrow \vec e_1,\dots,\vec e_n </math> - базис из собственных векторов оператора А. }} [[Категория:Линейная алгебра]] [[Категория:Аналитическая геометрия]] ce96rkmsqar725jggm0695bjib8waxr 1 29657 166701 164189 2026-09-22T11:55:54Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Обсуждение:Определители и их свойства]] в [[Обсуждение:Линейная алгебра и геометрия/Определители и их свойства]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 164189 wikitext text/x-wiki == pi в определителе == я проходил определители, но там не использовалось pi. Еще нехватает обьяснений. для человека которий решит учится тут, не сможет єтого зделать. Еще очень важно под єтими формулами и правилами, приводить примери готовие и не решенние, для домашнего задания [[Участник:11armatur|11armatur]] ([[Обсуждение участника:11armatur|обсуждение]]) 16:57, 16 августа 2025 (UTC) h13m1hzythq5ogc1646zjltcvdtfe1e 0 30499 166697 2026-09-22T07:14:13Z Vayvor 14904 Создание статьи 166697 wikitext text/x-wiki '''Проекция вектора на подпространство''' — вектор, разность которого с исходным вектором лежит в ортогональном дополнении данного [[Евклидово пространство|евклидова подпространства]]{{sfn| Математический анализ |1969|с=257}}. Задача о нахождении проекции вектора на подпространство имеет широкий спектр применения в математике: в [[Процесс Грама ― Шмидта|методе ортогонализации Грама ― Шмидта]] (к примеру, при построении [[Ортогональные многочлены|ортогональных многочленов]]), [[Метод наименьших квадратов |методе наименьших квадратов]], [[Обобщённый метод наименьших квадратов| обобщённом методе наименьших квадратов]], [[Метод сопряжённых градиентов|методе сопряженных градиентов]], [[Анализ Фурье| анализе Фурье]]. == Нахождении проекции вектора на подпространство == Рассмотрим конечномерное подпространство <math>R^{\prime}</math> евклидова пространства <math>R</math> и произвольный вектор <math>f \in R</math>. Тогда существует и единственно разложение: :<math>f = g + h</math>, (1) где вектор <math>g\in R^{\prime}</math>, а вектор <math>h</math> ортогонален подпространству <math>R^{\prime}</math>. В разложении (1) вектор <math>g\in R^{\prime}</math> именуется проекцией вектора <math>f</math> на подпространство <math> R^{\prime}</math>, а вектор <math>h</math> — перпендикуляром, опущенным из конца вектора <math>f</math> на подпространство <math> R^{\prime}</math>{{sfn| Математический анализ |1969|с=257}}. <blockquote><math>^*</math>) Наличие (1) показывает, что все пространство <math> R </math> есть прямая сумма подпространства <math> R^{\prime}</math> и его ортогонального дополнения <math>R^{\prime\prime}</math>{{sfn| Математический анализ |1969|с=257}}. Пусть размерности <math> R </math> и <math>R^{\prime}</math> соответственно равны: <math>n</math> и <math>k</math>, тогда размерность <math>R^{\prime\prime}</math> равна: <math>n-k</math></blockquote> Пусть в подпространстве <math>R^{\prime}</math> дан базис <math>\{b\}</math> <math>=</math> <math>\{b_1, b_2,\dots,b_k\}</math>. Найдем вектор <math>g\in R^{\prime}</math>. Разложим искомый вектор <math>g</math> по базису <math>\{b_1, b_2,\dots,b_k\}</math>: <math>g = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k,</math> где <math>a_i</math> — коэффициенты, где <math>i=1,\ldots,k</math> Найдем <math>a_i</math> Согласно Лемме{{sfn| Математический анализ |1969|с=254}}, подчиним вектор <math>h</math> условию ортогональности векторам <math>\{b_1, b_2,\dots,b_k\}</math>. Получим систему уравнений: : <math> \begin{cases} (h_,b_1) = 0\\ (h_,b_2) = 0\\ \dots\\ (h_,b_k) = 0\\ \end{cases} </math> где <math>(h,b_i)</math> — скалярное произведение, где <math>i=1,\ldots,k</math> <math>h=f-g</math>, имеем: : <math> \begin{cases} (f-g,b_1) = 0\\ (f-g,b_2) = 0\\ \dots\\ (f-g,b_k) = 0\\ \end{cases} </math> Учитывая, что <math>g = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k,</math> имеем: : <math> \begin{cases} (f-(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k),b_1) = 0\\ (f-(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k),b_2) = 0\\ \dots\\ (f-(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k),b_k) = 0\\ \end{cases} </math> Получим систему линейных алгебраических уравнений : : <math> \begin{cases} a_1(b_1,b_1) + a_2(b_2,b_1) + \dots + a_k(b_k,b_1) = (f,b_1)\\ a_1(b_1,b_2) + a_2(b_2,b_2) + \dots + a_k(b_k,b_2) = (f,b_2)\\ \dots\\ a_1(b_1,b_k) + a_2(b_2,b_k) + \dots + a_k(b_k,b_k) = (f,b_k)\\ \end{cases} </math> Разрешая систему, к примеру, по [[Метод Гаусса| методу Гаусса]], получим выражения для искомых коэффициентов <math>a_i</math>, где <math>i=1,\ldots,k</math> == Решение несовместных систем линейных уравнений == Дана система линейных алгебраических уравнений : : <math> \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases} </math> Систему уравнений представим в матричной форме : : <math> \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} x_1 + \begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} x_2 + \dots + \begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} x_n = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} </math> Получим линейную комбинацию вектор-столбцов: <math> A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n = B </math> , где <math>x_i</math> — неизвестные (коэффициенты), где <math>i=1,\ldots,n</math> Пусть <math>m > n </math>. Число уравнений в системе больше числа неизвестных. Система несовместна. Не существуют <math>x_i</math>: <math> A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n = B </math>. Неизвестные <math>x_i</math> определим из условия{{sfn| Математический анализ |1969|с=254}} ортогональности вектора невязки <math>H</math> <math>=</math> <math> B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)</math> вектор-столбцам <math> A_1 , A_2 ,..., A_n </math> подпространства <math>L</math> — совокупности всех линейных комбинаций <math> A_i </math>{{sfn| Математический анализ |1969|с=273}}, где вектор-столбец <math>B\notin L</math>. Разложение <math> B = (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n) + H </math> существует и единственно. Вектор <math> (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n) </math> — проекция вектора <math>B</math> на подпространство <math>L</math>. Найденные неизвестные <math>x_i</math> будут доставлять минимум{{sfn| Линейная алгебра |1980|с=136}}{{sfn| Математический анализ |1969|с=273}}{{sfn| Регрессия |1977|с=22}} <math> \|H\|^2</math><math>=</math> <math> (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n))^T </math><math> (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n))</math>. Подчиним вектор невязки <math>H</math> <math>=</math> <math> B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)</math> условию ортогональности подпространству <math>L</math>. Согласно Лемме{{sfn| Математический анализ |1969|с=254}}, имеем: : <math> \begin{cases} (H_,A_1) = 0\\ (H_,A_2) = 0\\ \dots\\ (H_,A_n) = 0\\ \end{cases} </math> где <math>(H,A_i)</math> — скалярное произведение, где <math>i=1,\ldots,n</math> <math>H</math> <math>=</math> <math> B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)</math>, имеем : : <math> \begin{cases} (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)),A_1) = 0\\ (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)),A_2) = 0\\ \dots\\ (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)),A_n) = 0\\ \end{cases} </math> Следуя аксиомам скалярного произведения{{sfn| Математический анализ |1969|с=248}}, получим систему линейных алгебраических уравнений (согласно{{sfn| Линейная алгебра |1980|с=137}} — систему нормальных уравнений): : <math> \begin{cases} (A_1,A_1)x_1 + (A_2,A_1)x_2 + \dots + (A_n,A_1)x_n = (B,A_1)\\ (A_1,A_2)x_1 + (A_2,A_2)x_2 + \dots + (A_n,A_2)x_n = (B,A_2)\\ \dots\\ (A_1,A_n)x_1 + (A_2,A_n)x_2 + \dots + (A_n,A_n)x_n = (B,A_n)\\ \end{cases} </math> Разрешая систему, к примеру, по методу Гаусса, получим <math>x_i</math> — коэффициенты и вектор проекции <math> (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)</math>, который доставляет минимум <math> \|H\|^2</math>. <blockquote><math>^*</math>) Пусть <math> \quad A = \begin{pmatrix} A_1 , A_2 ,..., A_n \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\\ \end{pmatrix} </math>. Тогда выражение для вектора <math>p</math> <math>=</math> <math> (A_1 x_1 + A_2 x_2 +...+ A_n x_n ) </math> (проекция вектора <math>B</math> на подпространство <math>L</math>) примет вид : <math>p</math> <math>=</math> <math>A</math><math>x</math><math>(2)</math>. Cоответственно система нормальных уравнений примет вид: <math>A^TAx=A^TB</math>, откуда <math>x=(A^TA)^{-1}A^TB</math> <math>(3)</math>. Подставляя <math>(3)</math> в <math>(2)</math>, получим <math>p =A(A^TA)^{-1}A^TB</math>, где согласно{{sfn| Линейная алгебра |1980|с=139}} матрица <math>P=A(A^TA)^{-1}A^T</math> называется матрицей проектирования.</blockquote> == Примечания == {{примечания}} == Литературв == * {{книга |автор = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г.Е.]] |заглавие = Математический анализ (конечномерные линейные пространства) |ссылка = |место = Москва |издательство = Наука |год = 1969 |том = |страниц = 432 |ref = Математический анализ }} * {{книга |автор = [[Стрэнг, Гилберт|Стрэнг Г.]] |заглавие = Линейная алгебра и её применение |ссылка = |место = Москва |издательство = Мир |год = 1980 |том = |страниц = 454 |ref = Линейная алгебра }} * {{книга |автор = А. Альберт |заглавие = Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание |ссылка = |место = Москва |издательство = Наука |год = 1977 |том = |страниц = 224 |ref = Регрессия }} [[Категория:Линейная алгебра]] [[Категория:Функциональный анализ]] d9d6g1n6pvfayxyj5kweg55bhb4tp3a 166708 166697 2026-09-22T11:58:00Z AKA MBG 551 AKA MBG переименовал страницу [[Проекция вектора на подпространство (ортогональная)]] в [[Линейная алгебра и геометрия/Проекция вектора на подпространство (ортогональная)]] без оставления перенаправления: Является частью курса/исследования 166697 wikitext text/x-wiki '''Проекция вектора на подпространство''' — вектор, разность которого с исходным вектором лежит в ортогональном дополнении данного [[Евклидово пространство|евклидова подпространства]]{{sfn| Математический анализ |1969|с=257}}. Задача о нахождении проекции вектора на подпространство имеет широкий спектр применения в математике: в [[Процесс Грама ― Шмидта|методе ортогонализации Грама ― Шмидта]] (к примеру, при построении [[Ортогональные многочлены|ортогональных многочленов]]), [[Метод наименьших квадратов |методе наименьших квадратов]], [[Обобщённый метод наименьших квадратов| обобщённом методе наименьших квадратов]], [[Метод сопряжённых градиентов|методе сопряженных градиентов]], [[Анализ Фурье| анализе Фурье]]. == Нахождении проекции вектора на подпространство == Рассмотрим конечномерное подпространство <math>R^{\prime}</math> евклидова пространства <math>R</math> и произвольный вектор <math>f \in R</math>. Тогда существует и единственно разложение: :<math>f = g + h</math>, (1) где вектор <math>g\in R^{\prime}</math>, а вектор <math>h</math> ортогонален подпространству <math>R^{\prime}</math>. В разложении (1) вектор <math>g\in R^{\prime}</math> именуется проекцией вектора <math>f</math> на подпространство <math> R^{\prime}</math>, а вектор <math>h</math> — перпендикуляром, опущенным из конца вектора <math>f</math> на подпространство <math> R^{\prime}</math>{{sfn| Математический анализ |1969|с=257}}. <blockquote><math>^*</math>) Наличие (1) показывает, что все пространство <math> R </math> есть прямая сумма подпространства <math> R^{\prime}</math> и его ортогонального дополнения <math>R^{\prime\prime}</math>{{sfn| Математический анализ |1969|с=257}}. Пусть размерности <math> R </math> и <math>R^{\prime}</math> соответственно равны: <math>n</math> и <math>k</math>, тогда размерность <math>R^{\prime\prime}</math> равна: <math>n-k</math></blockquote> Пусть в подпространстве <math>R^{\prime}</math> дан базис <math>\{b\}</math> <math>=</math> <math>\{b_1, b_2,\dots,b_k\}</math>. Найдем вектор <math>g\in R^{\prime}</math>. Разложим искомый вектор <math>g</math> по базису <math>\{b_1, b_2,\dots,b_k\}</math>: <math>g = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k,</math> где <math>a_i</math> — коэффициенты, где <math>i=1,\ldots,k</math> Найдем <math>a_i</math> Согласно Лемме{{sfn| Математический анализ |1969|с=254}}, подчиним вектор <math>h</math> условию ортогональности векторам <math>\{b_1, b_2,\dots,b_k\}</math>. Получим систему уравнений: : <math> \begin{cases} (h_,b_1) = 0\\ (h_,b_2) = 0\\ \dots\\ (h_,b_k) = 0\\ \end{cases} </math> где <math>(h,b_i)</math> — скалярное произведение, где <math>i=1,\ldots,k</math> <math>h=f-g</math>, имеем: : <math> \begin{cases} (f-g,b_1) = 0\\ (f-g,b_2) = 0\\ \dots\\ (f-g,b_k) = 0\\ \end{cases} </math> Учитывая, что <math>g = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k,</math> имеем: : <math> \begin{cases} (f-(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k),b_1) = 0\\ (f-(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k),b_2) = 0\\ \dots\\ (f-(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_kb_k),b_k) = 0\\ \end{cases} </math> Получим систему линейных алгебраических уравнений : : <math> \begin{cases} a_1(b_1,b_1) + a_2(b_2,b_1) + \dots + a_k(b_k,b_1) = (f,b_1)\\ a_1(b_1,b_2) + a_2(b_2,b_2) + \dots + a_k(b_k,b_2) = (f,b_2)\\ \dots\\ a_1(b_1,b_k) + a_2(b_2,b_k) + \dots + a_k(b_k,b_k) = (f,b_k)\\ \end{cases} </math> Разрешая систему, к примеру, по [[Метод Гаусса| методу Гаусса]], получим выражения для искомых коэффициентов <math>a_i</math>, где <math>i=1,\ldots,k</math> == Решение несовместных систем линейных уравнений == Дана система линейных алгебраических уравнений : : <math> \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases} </math> Систему уравнений представим в матричной форме : : <math> \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} x_1 + \begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} x_2 + \dots + \begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} x_n = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} </math> Получим линейную комбинацию вектор-столбцов: <math> A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n = B </math> , где <math>x_i</math> — неизвестные (коэффициенты), где <math>i=1,\ldots,n</math> Пусть <math>m > n </math>. Число уравнений в системе больше числа неизвестных. Система несовместна. Не существуют <math>x_i</math>: <math> A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n = B </math>. Неизвестные <math>x_i</math> определим из условия{{sfn| Математический анализ |1969|с=254}} ортогональности вектора невязки <math>H</math> <math>=</math> <math> B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)</math> вектор-столбцам <math> A_1 , A_2 ,..., A_n </math> подпространства <math>L</math> — совокупности всех линейных комбинаций <math> A_i </math>{{sfn| Математический анализ |1969|с=273}}, где вектор-столбец <math>B\notin L</math>. Разложение <math> B = (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n) + H </math> существует и единственно. Вектор <math> (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n) </math> — проекция вектора <math>B</math> на подпространство <math>L</math>. Найденные неизвестные <math>x_i</math> будут доставлять минимум{{sfn| Линейная алгебра |1980|с=136}}{{sfn| Математический анализ |1969|с=273}}{{sfn| Регрессия |1977|с=22}} <math> \|H\|^2</math><math>=</math> <math> (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n))^T </math><math> (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n))</math>. Подчиним вектор невязки <math>H</math> <math>=</math> <math> B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)</math> условию ортогональности подпространству <math>L</math>. Согласно Лемме{{sfn| Математический анализ |1969|с=254}}, имеем: : <math> \begin{cases} (H_,A_1) = 0\\ (H_,A_2) = 0\\ \dots\\ (H_,A_n) = 0\\ \end{cases} </math> где <math>(H,A_i)</math> — скалярное произведение, где <math>i=1,\ldots,n</math> <math>H</math> <math>=</math> <math> B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)</math>, имеем : : <math> \begin{cases} (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)),A_1) = 0\\ (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)),A_2) = 0\\ \dots\\ (B - (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)),A_n) = 0\\ \end{cases} </math> Следуя аксиомам скалярного произведения{{sfn| Математический анализ |1969|с=248}}, получим систему линейных алгебраических уравнений (согласно{{sfn| Линейная алгебра |1980|с=137}} — систему нормальных уравнений): : <math> \begin{cases} (A_1,A_1)x_1 + (A_2,A_1)x_2 + \dots + (A_n,A_1)x_n = (B,A_1)\\ (A_1,A_2)x_1 + (A_2,A_2)x_2 + \dots + (A_n,A_2)x_n = (B,A_2)\\ \dots\\ (A_1,A_n)x_1 + (A_2,A_n)x_2 + \dots + (A_n,A_n)x_n = (B,A_n)\\ \end{cases} </math> Разрешая систему, к примеру, по методу Гаусса, получим <math>x_i</math> — коэффициенты и вектор проекции <math> (A_1 x_1 + A_2 x_2+\dots + A_n x_n)</math>, который доставляет минимум <math> \|H\|^2</math>. <blockquote><math>^*</math>) Пусть <math> \quad A = \begin{pmatrix} A_1 , A_2 ,..., A_n \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\\ \end{pmatrix} </math>. Тогда выражение для вектора <math>p</math> <math>=</math> <math> (A_1 x_1 + A_2 x_2 +...+ A_n x_n ) </math> (проекция вектора <math>B</math> на подпространство <math>L</math>) примет вид : <math>p</math> <math>=</math> <math>A</math><math>x</math><math>(2)</math>. Cоответственно система нормальных уравнений примет вид: <math>A^TAx=A^TB</math>, откуда <math>x=(A^TA)^{-1}A^TB</math> <math>(3)</math>. Подставляя <math>(3)</math> в <math>(2)</math>, получим <math>p =A(A^TA)^{-1}A^TB</math>, где согласно{{sfn| Линейная алгебра |1980|с=139}} матрица <math>P=A(A^TA)^{-1}A^T</math> называется матрицей проектирования.</blockquote> == Примечания == {{примечания}} == Литературв == * {{книга |автор = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г.Е.]] |заглавие = Математический анализ (конечномерные линейные пространства) |ссылка = |место = Москва |издательство = Наука |год = 1969 |том = |страниц = 432 |ref = Математический анализ }} * {{книга |автор = [[Стрэнг, Гилберт|Стрэнг Г.]] |заглавие = Линейная алгебра и её применение |ссылка = |место = Москва |издательство = Мир |год = 1980 |том = |страниц = 454 |ref = Линейная алгебра }} * {{книга |автор = А. Альберт |заглавие = Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание |ссылка = |место = Москва |издательство = Наука |год = 1977 |том = |страниц = 224 |ref = Регрессия }} [[Категория:Линейная алгебра]] [[Категория:Функциональный анализ]] d9d6g1n6pvfayxyj5kweg55bhb4tp3a 3 30500 166699 2026-09-22T11:55:18Z AKA MBG 551 Новая страница: «{{hello}} -- ~~~~» 166699 wikitext text/x-wiki {{hello}} -- [[Участник:AKA MBG|Andrew Krizhanovsky]] ([[Обсуждение участника:AKA MBG|обсуждение]]) 11:55, 22 сентября 2026 (UTC) dtuwnx7b9poeonq6yoe6kfupd7xy1bf