Wikibooks svwikibooks https://sv.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Huvudsida MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Media Special Diskussion Användare Användardiskussion Wikibooks Wikibooksdiskussion Fil Fildiskussion MediaWiki MediaWiki-diskussion Mall Malldiskussion Hjälp Hjälpdiskussion Kategori Kategoridiskussion TimedText TimedText talk Modul Moduldiskussion Event Event talk 0 8524 57985 49835 2026-08-01T16:21:59Z Д.Ильин 12763 57985 wikitext text/x-wiki [[Kategori:Matematik för årskurs 7-9]] [[File:Basic shapes.svg|400px|right]] {{Matematik för årskurs 7-9/Textruta|Används dm³ när man räknar blir svaret i liter. Används cm³ när man räknar blir svaret i ml.}} När man räknar volymer är det precis som när man räknar med areor viktigt att man använder samma måttenhet på alla mått. Så om en låda är 50 cm hög, 7 dm djup och 1 meter lång måste man välja vilken enhet man vill använda och göra om alla andra enheter till den INNAN man räknar ut volymen. En liter har man bestämt att det är samma sak som en dm³. Därför kan det vara smidigt att använda just dm eftersom svaret då blir i liter. På samma sätt blir svaret i ml om man i stället använder cm när man räknar. Enheten när man skriver ut volym har en liten upphöjd trea efter sig. Det är eftersom man har tagit enheten för lägnd och multiplicerat tre gånger. Då blir enheten upphöjd i tre. Mer om upphöjt i kan du läsa i [[Matematik för årskurs 7-9/Taluppfattning och räkning/Potensräkning|potenskapitlet]]. {| class="wikitable" |+ style="font-size:larger;font-weight:bold;"|Enheter ! Lägndenhet ! Volymenhet ! Alternativ volymenhet |- | kilometer (km) | kubikkilometer (km³) | |- | meter (m) | kubikmeter (m³) | |- | decimeter (dm) | kubikdecimeter (dm³) | liter (l) |- | centimeter (cm) | kubikcentimeter (cm³) | milliliter (ml) |- | millimeter (mm) | kubikmillimeter (mm³) | mikroliter (µl) |- |} {{innehållsförteckning|nivå=2}} ==Rätblock== [[File:Rendered Cuboids.png|right|300px]] [[File:Simple block with height and base.svg|Rätblock med basarean B och höjden h]] [[File:Simple block with sides.svg|Rätblock med sidorna a, b och c]] ===Volym=== <math>V = B \cdot h</math> <math>V = a \cdot b \cdot c</math> För att beräkna volymen av ett rätblock multiplicerar man bottenarean (B i formeln ovan) med höjden (h). Eftersom bottenarean är en rektangel på ett rätblock så kan man också räkna ut volymen genom att multiplicera alla sidorna med varandra (a, b och c). ===Area=== <math>A = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c = 2 ( a b + a c + b c)</math> För att beräkna arean på ett rätblock måste man beräkna arean på varje sida och sedan addera alla sidorna. ===Övningsuppgifter=== {{Matematik för årskurs 7-9/Uppgifter top}} ====Grund-nivå==== ;1. Beräkna volymen hos lådorna. : a) [[File:Box with size 5x5x5 cm.svg|none|200px]] : b) [[File:Box with size 3x5x4 dm.svg|none|200px]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 125 cm³ ; b) 60 dm³ }} ;2. En tärning är formad som en kub. Träningen är 2 cm på varje sida. Beräkna tärningens volym. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 8 cm³ }} ;3. En kartong är 4 dm bred, 5 dm lång och 4 dm djup. [[File:3 D-Box.jpg|right|200px]] : a) Beräkna arean på botten och toppen. : b) Beräkna arean på framsidan och baksidan. : c) Beräkna arean på kanterna. : d) Hur stor är hela arean? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 20 dm² ; b) 20 dm² ; c) 16 dm² ; d) 112 dm² }} ;4. Kuben är 2 cm x 2 cm x 2 cm. [[File:Hexahedron.svg|100px|none]] : a) Beräkna arean på en sida. : b) Beräkna hela kubens volym. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 4 cm² ; b) 24 cm² }} ;5. En låda är 3 dm bred, 4 dm lång och 2 dm hög. : a) Beräkna lådans volym. : b) Hur många liter rymmer lådan? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 24 dm³ ; b) 24 liter }} ;6. Ett gammalt rockband heter 10 cc. Ge förslag på längd, bredd och höjd som blir 10 cm³ (cc = '''c'''ubic '''c'''entimeters = cm³) {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Exempel: : 10 cm, 1 cm, 1 cm : 5 cm, 2 cm, 1 cm : 4 cm, 2,5 cm, 1 cm }} ====E-nivå==== ;7. Ett mjölkpaket är 7 cm x 7 cm x 20 cm. :a) Gör om måtten till dm. :b) beräkna volymen. :c) Hur många liter rymmer mjölkpaketet? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 0,7 dm x 0,7 dm x 2 dm ; a) 0,98 dm³ ; a) 0,98 liter }} ;8. Hur många liter rymmer ett akvarie som är 8 dm långt, 2,5 dm djupt och 2,5 dm högt? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 50 liter }} ;9. Tärningarna är 1,5 cm stora. Beräkna deras volym. [[File:Stone Dice 17.JPG|100px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 3,4 cm³ }} ;10. Hur hög behöver en fyrkantig burk vara som ska rymma 4 liter om den har bottenarean 2 dm²? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 2 dm }} ;11. Ge förslag på mått till en låda som rymmer 6 liter. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Exempel: : 6 dm, 1 dm, 1 dm : 3 dm, 2 dm, 1 dm : 2 dm, 2 dm, 1,5 dm }} ;12. I bilden är a = 4 cm, b = 1,5 cm och c = 3 cm. [[File:Cuboid abc.svg|none|200px]] : a) Beräkna volymen. : b) Beräkna arean. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 18 cm³ ; b) 45 cm² }} ;13. Hur många tegelstenar behövs för att mura en 5 meter lång vägg som är 2,5 meter hög och 20 cm tjock? En tegelsten har måtten 5x10x20 cm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 2500 st. }} ;14. En vanlig svensk tegelsten brukar vara 250 x 120 x 62 mm. : a) Beräkna volymen i dm³. : b) Vad borde tegelstenen väga om den har en densitet på 2 kg/dm³. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 1,9 dm³ ; b) 3,7 kg }} ;15. Hur många kuber med sidlängden 2 cm kan man göra av en kub med sidlängden 6 cm? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 27 st. }} ;16. Bilden till höger visar en 2-tum-4 planka som är 2 m lång. Den har alltså måtten 2 tum x 4 tum x 2 meter. Beräkna plankans volym. (1 tum=2,54 cm) [[File:2 By 4 Clue Stick.jpg|right|200px]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 10 dm³ }} ;17. Hur många kulor består kuben på bilden av? [[File:NeoCube.jpg|none|200px]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 216 st }} ;18. Skriv en förklarande bildtext till bilden som förklarar de olika siffrorna. [[File:Fotothek df tg 0008297 Mathematik ^ Geometrie ^ Proportion ^ Würfel.jpg|none|200px]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 1 &sdot; 1 &sdot; 1 {{=}} 1 ; 2 &sdot; 2 &sdot; 2 {{=}} 8 ; 4 &sdot; 4 &sdot; 4 {{=}} 64 ; 8 &sdot; 8 &sdot; 8 {{=}} 512 }} ;19. Hur stor är en kub som har volymen 27 dm³? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Sida: 3 dm }} ;20. Beräkna area och volym. [[File:Simpele Kubus2 vector.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; A {{=}} 120 cm² ; V {{=}} 164 cm³ }} ;21. Beräkna volymen i följande figurer: : a) [[File:Block for calculations 2.svg|200px|none]] : b) [[File:Block for calculations 3.svg|200px|none]] : c) [[File:Block for calculations 1.svg|200px|none]] : d) [[File:Block for calculations 4.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 648 cm³ ; b) 552 cm³ ; c) 323 cm³ ; d) 24 cm³ }} ====C-nivå==== ;22. En järnvägsräls ser ut som nedan: [[File:Rusty rails.jpg|300px|right]] [[File:Rail1 perspective.svg|200px]] [[File:Rail1 cut.svg|200px]] : a) Beräkna dess volym : b) Järn har en densitet på 7,9 kg/dm³. Vad väger rälsen? ;23. Ett rum är 6 m x 8 m och det är 2,5 m till taket. : a) beräkna hur mycket luft som finns i rummet. : b) Hur länge räcker den luften tills all luft andats i medel en gång till en klass med 30 elever som tar ett andetag på en liter varannan sekund. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 120 m³ ; b) 2 timmar och 13 minuter }} ;24. A = 1 dm², l = 1,5 m. Beräkna volymen. [[File:Quader A l.png|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 15 dm³ }} ;25. Beräkna volymen av figuren på bilden. Antag att den är 1 meter och består av 20 cm tjocka delar. [[File:Fotothek df tg 0000851 Geometrie ^ Perspektive ^ Würfel.jpg|none|200px]] ;26. Arean på en av de små kuberna är 24 cm². Vad är arean på den stora kuben? [[File:Partial cubic honeycomb.svg|100px|none]] ;27. En kub har en area är 54 cm². Vad är dess volym? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 27 cm³ }} ;28. En kub har en volym på 8 cm³. Vad har den för area? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 24 cm³ }} ;29. Jämför följande figurs area och volym med en "hel" kub som är lika stor. [[File:Isometric cruciform box.svg|100px|none]] : a) Hur skiljer sig arean? : b) Hur skiljer sig volymen? ====A-nivå==== ;30. Hos en glasmästare tar de betalt per volym glas man köper. Antag att du ska köpa glas till ett akvarium som har yttermåtten 60 cm x 30 cm x 30 cm. Glaset ska vara 1 cm tjockt. : a) Hur mycket glas går åt? : b) Om måtten är innermått, hur mycket glas går då åt? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 8,5 dm³ ; b) 9,6 dm³ }} ;31. En låda görs av en kartongbit som bilden visar. Kantbitarna är dubbelt så breda som höga. Kartongen är 1 m x 80 cm. [[File:QuaderNetz.svg|none|200px]] : a) Beräkna lådans mått. : b) Beräkna lådans volym. ;32. Ett rätblock har förhållandet mellan sina sidor som 2:3:4. : a) om volymen är 192 cm³, vad är då dess mått? : b) om arean är 468 cm², vad är då dess mått? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 4 cm, 6 cm, 8 cm ; b) 6 cm, 9 cm, 12 cm }} ;33. En kub har utskärda hål likt den nedan. Kuben är 4 cm lång på alla sidor och hålet är 2 cm. [[File:3D Geometrical Figures 25.svg|200px|none]] : a) Beräkna Kubens volym. : b) Beräkna hur stor del av kuben utan utskärda hål som är kvar som ett bråk. : c) Bevisa att det blir samma bråk i c-uppgiften oavsett hur stor kuben är givet att hålet alltid är hälften så stort som hela sidan. (Använd 4x som lägnden på sidan) ;34. Ett rätblock är lika högt som brett och dubbelt så långt som brett. Arean är 40 cm². Beräkna volymen. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 16 cm³ }} ====Fördjupning==== ;35. Mengers tvättsvamp [[File:Menger_sponge_(Level_0-3).jpg|300px|none]] Mengers tvättsvamp skapas genom att man delar varje sida i tre delar så att den blir lik en rubiks kub. Sedan tar man bort den mittersta biten på varje sida och den biten i mitten av kuben. Sedan upprepar man detta med varje bit som är kvar så att det blir mindre och mindre bitar kvar. : a) Hur stor del av volymen från den ursprungliga kuben är kvar efter att man upprepat proceduren en gång? : b) Skriv ett uttryck med potens för hur stor del av kuben som är kvar efter man gjort proceduren n gånger. Tänk på att x⁰=1 och att x¹ ska bli svaret på a-uppgiften. : c) Hur stor area har den ursprungliga kuben om den har sidlägnden 1? : d) Hur stor area har kuben efter man gjort proceduren en gång? Mer om mengers tvättsvamp: [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mengers_tv%C3%A4ttsvamp wikipedia] ====Ej nivåsatt==== (Inga uppgifter här. Lägg gärna till några!) {{Matematik för årskurs 7-9/Göm slut}} ==Prismor== [[File:Rendered Prisms.png|right|300px]] [[File:Simple prism with height and base.svg|Prisma med höjden h och basen B]] ===Volym=== <math>V = B \cdot h</math> För att beräkna volymen av ett prisma multiplicerar man bottenarean (B i formeln ovan) med höjden (h). Denna formel gäller oavsett hur prismat är format så länge som den har samma form hela vägen från botten till toppen. Så ett prisma kan ha hur många sidor som hellst (inte bara tre som i figuren) och formeln fungerar ändå så länge man vet basarean. Samma formel gäller ju i specialfallet med ett rätblock också. ===Area=== Arean på ett prisma kan man inte ställa upp en färdig formel för eftersom den beror på hur prismat ser ut. Vad man måste göra är att beräkna arean på varje sida och sedan addera alla de areorna. ===Övningsuppgifter=== {{Matematik för årskurs 7-9/Uppgifter top}} ====Grund-nivå==== ;1. Prismat på bilden har en bottenarea på 10,4 cm² och är 2 cm hög. [[File:Hexagonal Prism BC.svg|200px|none]] : Beräkna dess volym. ====E-nivå==== ;2. Prismat på bilden har en bottenarea på 2.7 cm², är 3 cm hög och varje sida har en area på 7,5 cm². [[File:Prism-side-fs PNr°0117.jpg|200px|none]] : a) Beräkna dess volym. : b) Beräkna dess area ;3. Pentagonen på bilden har en bottenarea på 15,5 cm². Den är 2 cm hög. Beräkna dess volym. [[File:Pentagonal Prism.svg|200px|none]] ;4. Ett tält är triangelformat och är 2,20 m långt, 1,60 m brett och 1,20 m högt. : a) Hur många m² tältduk består tältet av? : b) Hur många m³ luft innehåller tältet? ;5. På bilden är ett prisma. Den skuggade arean är 2 cm2 och den är 2 cm hög. Beräkna volymen. [[File:Prisme ditrigonal.png|100px|none]] ;6. En hexagons area är ungefär dess sidlägnd i kvadrat multiplicerat med 2,6. Hexagonen på bilden har en sidlägnd och höjd på 3 cm. [[File:Hexagonal Prism.svg|200px|none]] : a) Beräkna volymen. : b) Beräkna arean. ====C-nivå==== ;7. Längs en väg ska ett dike grävas som är V-format. Diket ska vara 1,2 m brett och 80 cm djupt. Vägen är 400 meter lång. Hur mycket jord måste grävas bort? ;8. En järnvägsräls ser ut som nedan: [[File:Railroad tieswoodconcrete.jpg|300px|right]] [[File:Rail2 perspective.svg|200px]] [[File:Rail2 cut.svg|200px]] : a) Beräkna dess genomskärningsarea : b) Beräkna dess volym ;9. En verklig räl visas nedan [[File:DB Museum rail BVG Bochum 1926.jpg|200px|none]] : a) Skissa upp dess genomskärningsarea med "verkliga" mått : b) beräkna dess volym ;10. Göta älv är Sveriges största flod med ett medelflöde på 570 m³/s. Om Göta älv på ett ställe är 100 m bred på 60 m av de 100 är den 8 m djup. En ungefärlig skiss av dess genomskärning visas. Hur fort rinner vattnet där? (Antag att vattnet rinner lika fort vid bottnen som vid ytan) [[File:Trapezoid upsidedown.svg|200px|none]] ;11. Prismat på bilden är 5 cm lång, 4 cm bred och 3 cm hög. I toppen är den hälften så bred som i botten. Beräkna volymen. [[File:Trapec prizm.png|200px|none]] ====A-nivå==== ====Fördjupning==== [[File:Right and not-right prism.svg|300px|none]] Samma formel för att räkna på prismor som gäller oavsett hur basytan är formad gäller faktiskt också även om höjden inte går rakt upp så länge som genomskärningsytan är likadan hela vägen. Jämför med ett paralellogram där man kan räkna med basen gånger höjden trots att parallellogramet inte går rakt upp. Samma sak gäller här. Man kan också tänka att man skivar prismat i ''väldigt'' tunna skivor som man sedan lägger i en rak hög så att man får ett vanligt prisma. Den metoden kallas integration och kommer användas mycket mer i gymnasiets matematik. ;12. Beräkna volymen på följande figurer: : a) TODO [[File:Parallellopipedum.png|200px|none]] [[File:Geometri parallellepiped.png|100px|none]] [[File:Geometri romboeder.png|100px|none]] [[File:Parallelepiped.svg|200px|none]] [[File:Parallelepiped.svg|200px|none]] ====Ej nivåsatt==== Bilder till uppgifter: [[File:Triangular prism wedge.png|200px|none]] [[File:梯形柱.png|100px|none]] [[File:四角柱.png|100px|none]] [[File:凹鷂形柱.png|100px|none]] [[File:Prisme.svg|200px|none]] [[File:Prisma's.png|200px|none]] [[File:Prism 2 (PSF).png|100px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Göm slut}} ==Cylindrar== [[File:Rendered Cylinders.png|right|300px]] [[File:Simple cylinder with base and height.svg|Rör med basytan B och höjden h]] [[File:Simple cylinder with radii and height.svg|Rör med radien r och höjden h]] ===Volym=== <math>V = B \cdot h</math> <math>V = \pi \cdot r^2 \cdot h</math> För att beräkna volymen av en cylinder multiplicerar man bottenarean (B i formeln ovan) med höjden (h). Eftersom bottenarean är en cirkel på en cylinder så kan man också räkna ut volymen med den andra formeln där B är utbytt mot πr². ===Area=== <math>A = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h</math> Arean på sidan på en cylinder beräknas genom att man tänker sig att man rullar ut den. Då får man en rektangel med längden 2πr (omkretsen på cylindern) och höjden h. Vill man ha arean inklusive botten och toppen får man lägga till de areorna som är vanliga cirklar: <math>A = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2 = 2 \pi r (r + h)</math> ===Övningsuppgifter=== {{Matematik för årskurs 7-9/Uppgifter top}} ====Grund-nivå==== ;1. En cylinder har radien 5 cm och höjden 10 cm. : a) Beräkna bottenarean. : b) Beräkna volymen. : c) Beräkna diametern. : d) Beräkna omkretsen. : e) Beräkna sidans area. : f) Beräkna hela arean. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning| ; a) A &asymp; 78,5 cm² ; b) V &asymp; 785 cm³ ; c) D {{=}} 10 cm ; d) O &asymp; 31,4 cm ; e) A &asymp; 314 cm² ; e) A &asymp; 471 cm² {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Fullständig lösning| ;a) A {{=}} π &sdot; r² : A &asymp; 3,14 &sdot; 5 cm &sdot; 5 cm : A &asymp; 78,5 cm² ; b) V {{=}} A &sdot; h : V &asymp; 78,5 cm² &sdot; 10 cm : V &asymp; 785 cm³ ; c) D {{=}} 2 &sdot; r : O {{=}} 2 &sdot; 5 cm : O {{=}} 10 cm ; d) O {{=}} π &sdot; D : O &asymp; 3,14 &sdot; 10 cm : O &asymp; 31,4 cm ; e) A {{=}} O &sdot; h : A &asymp; 31,4 cm &sdot; 10 cm : A &asymp; 314 cm² ; f) A {{=}} A_botten + A_toppen + A_sidan : A &asymp; 78,5 cm² + 78,5 cm² + 314 cm² : A &asymp; 471 cm² }} }} [[File:Circular cylinder rh.svg|200px|none]] ;2. En cylinders har radien (r) 1 cm och höjden (h) 2 cm. : a) Beräkna bottenarean : b) Beräkna volymen : c) Beräkna omkretsen : d) Beräkna arean på sidan (det blå området) {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning| ; a) A &asymp; 3,14 cm² ; b) V &asymp; 6,28 cm³ ; c) O &asymp; 6,28 cm ; d) A &asymp; 12,56 cm² {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Fullständig lösning| ;a) A {{=}} π &sdot; r² : A &asymp; 3,14 &sdot; 1 cm &sdot; 1 cm : A &asymp; 3,14 cm² ; b) V {{=}} A &sdot; h : V &asymp; 3,14 cm² &sdot; 1 cm : V &asymp; 6,28 cm³ ; c) O {{=}} 2 &sdot; π &sdot; r : O &asymp; 2 &sdot; 3,14 &sdot; 1 cm : O &asymp; 6,28 cm ; d) A {{=}} O &sdot; h : A &asymp; 6,28 cm &sdot; 2 cm : A &asymp; 12,56 cm² }} }} ;3. En cylinder har radien 1 dm och är 2 dm hög. : a) Beräkna bottenarean. : b) Beräkna volymen. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning| ; a) A &asymp; 3,14 dm² ; b) V &asymp; 6,28 dm³ {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Fullständig lösning| ;a) A {{=}} π &sdot; r² : A &asymp; 3,14 &sdot; 1 dm &sdot; 1 dm : A &asymp; 3,14 dm² ; b) V {{=}} A &sdot; h : V &asymp; 3,14 dm² &sdot; 1 dm : V &asymp; 6,28 dm³ }} }} ;4. Beräkna volymen hos en cylinder med radien 2 cm och höjden 5 cm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning| ; V &asymp; 62,8 cm³ {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Fullständig lösning| ; V {{=}} A &sdot; h ; A {{=}} π &sdot; r² : A &asymp; 3,14 &sdot; 2 cm &sdot; 2 cm : A &asymp; 12,56 cm² : V &asymp; 12,56 cm² &sdot; 5 cm : V &asymp; 62,8 cm³ }} {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Alternativ lösning| ; V {{=}} A &sdot; h ; A {{=}} π &sdot; r² ; V {{=}} π &sdot; r² &sdot; h : V &asymp; 3,14 &sdot; 2 cm &sdot; 2 cm &sdot; 5 cm : V &asymp; 62,8 cm³ }} }} ====E-nivå==== [[File:Cylinder.svg|200px|none]] ;5. En cylinder som på bilden har diamtern 2 cm och höjden 3 cm. : a) Beräkna volymen : b) Beräkna arean på sidan : c) Beräkna hela arean (inklusive botten och toppen) {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning| ; a) V &asymp; 9,42 cm³ ; b) A_sida &asymp; 18,84 cm² ; c) A &asymp; 25,12 cm² {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Fullständig lösning| ;a) V {{=}} π &sdot; r² &sdot; h : r {{=}} 2 cm / 2 {{=}} 1 cm : V &asymp; 3,14 &sdot; 1 cm &sdot; 1 cm &sdot; 3 cm : V &asymp; 9,42 cm³ ; b) A {{=}} O &sdot; h ; O {{=}} π &sdot; D : O &asymp; 3,14 &sdot; 2 cm : O &asymp; 6,28 cm : A &asymp; 6,28 cm &sdot; 3 cm : A &asymp; 18,84 cm² ; c) A {{=}} A_botten + A_toppen + A_sidan : A_botten {{=}} A_toppen {{=}} π &sdot; r² : &asymp; 3,14 cm² : A &asymp; 3,14 cm² + 3,14 cm² + 18,84 cm² : A &asymp; 25,12 cm² }} }} ;6. Beräkna volymern hos en cylinder med diametern 25 mm och höjden 50 mm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V &asymp; 25 cm³ }} ;7. Hur mycket vatten rymmer en brunn som har diametern 1 m och där det är 3 m djupt? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V &asymp; 2,4 m³ }} ;8. Beräkna area och volym på en cylinder med radien 5 cm och höjden 5 cm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; A &asymp; 3 dm² ; V &asymp; 0,4 dm³ }} ;9. En cylinderformad läskburk är 6,3 cm i diameter och 10,5 cm hög. Hur många cl rymmer den? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V &asymp; 33 cl }} ;10. Hur hög ska en cylinderformad läskburk vara om den är 6,3 cm i diameter och ska rymma en halv liter? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; h &asymp; 16 cm }} ;11. Beräkna volym och area hos följande figur: : bredd = 2 cm : tjocklek = 0,5 cm : hålets diameter = 1 cm [[File:3D Geometrical Figures 27.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V &asymp; 1,6 cm³ ; A {{=}} 12 cm² }} ;12. Ungefär hur mycket hö är det i en sådan bal som på bilden? Du får själv uppskatta balens mått. [[File:Black cat sitting on a round straw bale.jpg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Mellan 200 och 1000 kg }} ;13. Beräkna area och volym på följande figur: : bredd = 4,0 cm : höjd = 3,0 cm : avfasning = 1,0 cm : hålets diameter = 2,0 cm <gallery> File:3D Geometrical Figures 18.png| File:3D Geometrical Figures 1.svg|perspektivbild File:3D Geometrical Figures 8.svg|framifrån File:3D Geometrical Figures 9.svg|från sidan File:3D Geometrical Figures 10.svg|uppifrån </gallery> {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V &asymp; 32 cm³ }} ;14. Ge förslag på mått till en hink som ska rymma 10 liter. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Exempel: D {{=}} 20 cm och h {{=}} 32 cm }} ;15. Hur hög ska en cylinder som har diametern 5 cm vara om den ska ha samma omkrets som höjd? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; h &asymp; 16 cm }} ====C-nivå och A-nivå==== ;16. Vid ett tunnelbygge genom ett berg sprängs ett hål med en diameter på 6 m som är 1,5 km lång. Hur många lastbilslass med sprängsten måste köras bort om varje lastbil kan lasta 20 m³? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Ungefär 2100 st. }} ;17. Då vattnet i ledningarna på natten blivit ljummet över natten vill man spola ur det på morgonen för att man ska kunna få kallt vatten att dricka. Ledningen till kranen är 20 meter lång och har en diameter på 15 mm. En kran med fullt blås spolar ut en liter på 5 sekunder. Hur länge måste man spola innan det kommer kallt vatten? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 18 sekunder. : I verkligheten tar det längre tid eftersom det rinner långsammare vid kanterna än i mitten av ledningarna. }} ;18. Beräkna volymen på mellanringen i bilden där d1=7,4 mm, d2=14 mm och H=1,6 mm. [[File:Washer quoted.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 180 mm³ }} [[File:Fernwärmeleitung Dü StPö mit Kraftwerk Dürnrohr.jpg|200px|right]] ;19. I en oljepipline flödar olja med en hastighet av 5 m/s. Röret har en diameter på 60 cm. Hur mycket olja rinner per sekund genom pipelinen? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 1,4 m³ }} ;20. Av vilket material tror du en cylinder med måtten &#8960; (diameter) = 25 mm, h = 50 mm är gjord om den väger 66 gram? Kolla på http://sv.wikipedia.org/wiki/Densitet för att se en tabell med några vanliga densiteter. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Aluminium }} ;21. Beräkna volym och area hos följande figur. Radien på den runda biten är precis halva avståndet till kanten. Tjockleken på biten är samma som radien. Antag att radien är r. [[File:3D Geometrical Figures 26.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V {{=}} <math>(8-{\pi\over 2})r^3</math> }} ;22. En Honda transalp har två cylindrar med en diameter på 75 mm. Den totala motorvolymen är 583 cc ('''c'''ubic '''c'''entimeters = cm³). Hur lång slaglängd har cylindrarna? [[File:Honda Transalp Madagaskar.jpg|200px|right]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 66 mm }} ;23. Beräkna volym och area hos följande figur (antag att radien är r): [[File:Sphericyl-ani.gif|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V {{=}} 2πr³ ; A {{=}} 6πr² : Både area och volym är oförändrade om understa halvan vrids ett kvarts varv så att formen blir som en vanlig cylinder. }} ;24. Beräkna följande figurs volym: hålet är precis lika stort som innermåtten som är 90 % av yttermåtten. Yttermåtten är en kub med sidan: ; a) 4 cm ; b) a [[File:3D Geometrical Figures 24.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 5,1 cm³ ; b) (0,271-0,06075π)a³ &asymp; 0,08a³ }} ;25. Om den större och den mindre skivan har samma densitet och den större väger 2 kg, Vad borde då den mindre väga? [[File:Dumbbell.jpg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Cirka 1 kg }} ====Fördjupning==== ; Beräkna area och volym på torusar (munkar/doughnuts). På Wikipedia finns mer information om torusar: https://sv.wikipedia.org/wiki/Torus Om :<math>R</math> är avståndet från ringens centrum till själva torusens centrum, och :<math>r</math> är ringens radie så följer för arean och volymen för en cirkulär torus: :<math>A = 4 \pi^2 R r</math> :<math>V = 2 \pi^2 R r^2.</math> ====Ej nivåsatt==== ; Hur mycket rymmer en cylinder som görs av ett kvadratiskt papper som har sidan 20 cm om pappret rullas till ett rör? ; En cylinder ska göras av ett A4-papper med måtten 20 cm x 30 cm genom att två delar klipps ut till topp och botten och en del rullas till sidan på cylindern. Sedan tejpas allt ihop. Vad är den maximala volymen man kan få? ; Hur mycket skiljer volymen på ett rör som görs av ett papper som rullas på längden jämfört med om det rullas på bredden om det görs av ett papper med måtten: ; l = 20 cm, b = 30 cm ; l = x, b = 2x {{Matematik för årskurs 7-9/Göm slut}} ==Pyramider och koner== [[File:Rendered Pyramids and Cones.png|right|300px]] [[File:Simple pyramid with height h.svg|Pyramid med höjden h]] [[File:Cone with height radii and side.svg|Kon/strut med höjden h, radien r och sidan s]] <math>s^2 = r^2 + h^2</math> (Pythagoras sats) [[File:Sortbroget dansk malkerace.jpg|thumb|Denna kon är svår att räkna med]] ===Volym=== När man ska beräkna volym måste man utgå ifrån basytan (B). Det är den area som är orangefärgad i dessa pyramiderna: [[File:Pyramide.svg|none|200px]] <math>V = \frac{B \cdot h}{3}</math> Denna formel gäller för alla volymer som går mot en spets oavsett hur basytan ser ut så länge som höjden mäts rakt upp fram basytan. Samma formel gäller till och med så KONstiga koner som i denna bilden (så länge som höjden (h) mäts rakt upp): [[File:Coneirr3.svg|none|200px]] ===Area=== För pyramider Måste man beräkna arean på varje sida för sig. För koner kan arean på struten beräknas med formeln: <math>A = \pi \cdot r \cdot s</math> (Endast koner) ===Övningsuppgifter=== {{Matematik för årskurs 7-9/Uppgifter top}} ====Grund-nivå==== [[File:Cone (geometry).svg|none|200px]] ;1. Beräkna volymen på konen. r = 1 cm, h = 4 cm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 4,2 cm³ }} ;2. Beräkna mantelarean på en kon med radien 2 cm och sidan 5 cm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 30 cm² }} ====E-nivå==== ;3. Ge förslag på mått på en kon som har en volym på ungefär 1 dl. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Exempel : Radie: 10 cm, höjd: 1 cm : Radie: 5 cm, höjd: 4 cm : Radie: 2 cm, höjd: 25 cm : Radie: 1 cm, höjd: 100 cm }} ;4. Beräkna volymen på en kon med bottendiametern 20 cm och höjden 40 cm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 4,2 dm³ }} ;5. Hur stor del av en kon är fylld om den är fylld till halva höjden? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 1/8 }} ;6. Figuren är 10 cm hög och har en diameter på 4 cm. Beräkna volym och area. [[File:Bicone.svg|none|100px]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V &asymp; 42 ³ ; A &asymp; 68 ² }} ====C-nivå och A-nivå==== ;7. En elefantpall är formad som bilden visar. R = 5 dm, r = 3 dm, h = 3 dm. [[File:Truncated cone.svg|none|200px]] : a) Beräkna pallens sidoarea. : b) Beräkna pallens volym. ;8. En trafikkon är 50 cm hög och har bottendiametern 20 cm. Innerdiametern är 18 cm och väggarna är lika tjocka hela vägen. Beräkna vad den väger. Den är gjord av gummi som har en densitet på ca 1 g/cm³. ;9. Om man ska fylla en kon till hälften, hur högt i den ska man då fylla? ;10. En bubbelpool är formad som en uppochnedvänd kon som är avkapad. Badkarets radie är 60 cm vid bottnen och 80 cm längst upp. Badkaret är 40 cm djupt. Beräkna hur många liter badkaret rymmer. ;11. Beräkna figurernas volym (Bilderna är ifrån ett tyskt uppslagsverk från 1800-talet): : a) [[File:Quadratische Kombination Prisma mit Pyramide.png|none]] : b) [[File:Tesserale Kombination Oktaeder und Würfel im Gleichgewicht.png|none]] ;12. Beräkna volym och area hos följande figur: [[File:Sphericon-ani.gif|none]] ;13. Ett prisma är format som bilden visar. Beräkna volymen. (a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm, v = 5 cm) [[File:Klin.svg|none|100px]] ====Fördjupning==== ====Ej nivåsatt==== ;14. Beräkna pyramiden i bildens volym. Basen är 3 cm och höjden 2 cm. [[File:Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary b53 079-2.jpg|none|100px]] ;15. Beräkna volymerna för de olika pyramiderna. [[File:Fotothek df tg 0008274 Mathematik ^ Geometrie ^ Körper.jpg|none|200px]] : a) Basyta 1 cm², Höjd 5,5 cm. : b) Basyta 2 cm², Höjd 5 cm. : c) Basyta 1,5 cm², Höjd 6 cm. ;16. Pyramider kan också vara snea som den här. Basytan är 4 cm² och höjden 3 cm. Beräkna volymen. [[File:Pyramid1.svg|none|200px]] ;17. Beräkna volymen hos denna toppade pyramid. [[File:Pyramide-tronquée-papyrus-Moscou 14.jpg|none|200px]] ;18. En pyramid ska vara ha kvadratisk bottenyta och vara dubbelt så hög som bred. Beräkna pyramidens bredd för följande volymer: : a) 18 cm³ : b) 1 liter : c) a cm³ ;19. Basens sidlängd är 10 cm och höjden är roten ur två gånger så hög. Beräkna volymen. [[File:Pyramide max hc.JPG|none|200px]] ;20. Följande figur är lika hög som bred. Varje kant är 2 cm lång. Beräkna volymen. [[File:Elongated hexagonal dipyramid.png|none|100px]] ;21. Beräkna volymen av den gula figuren. [[File:Tetraeder animation with cube.gif|none]] ;22. Följande figur är 1 cm bred och 3 cm hög. Beräkna volymen. [[File:Quadratische Pyramide.png|none]] ;23. Kuben har sidlängden a cm. [[File:CubeAndStel.svg|none]] : a) Ställ upp ett uttryck för kubens volym. : b) Ställ upp ett uttryck för figurens volym. : c) Ställ upp och förenkla andelen som figuren är av hela kuben. ;24. Vilken sidlängd ska en pyramid med kvadratisk basyta ha för att: : a) Ha samma area som en lika hög kon? : b) Ha samma volym som en kon? {{Matematik för årskurs 7-9/Göm slut}} ==Klot== [[File:Rendered Spheres.png|right|300px]] [[File:Simple sphere with radii.svg|Klor med radien r]] ===Volym=== <math>V = \frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{3}</math> ===Area=== <math>A = 4 \cdot \pi \cdot r^2</math> ===Övningsuppgifter=== {{Matematik för årskurs 7-9/Uppgifter top}} ====Grund-nivå==== [[File:PlainSphere.svg|none|200px]] ;1. Beräkna volymen på ett klot som har radien 2 cm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 34 cm³ }} ;2. Ett klot har diametern 2 cm : a) Beräkna radien. : b) beräkna volymen {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 1 cm ; b) 4,2 cm³ }} ;3. Beräkna arean på ett klot med radien 2 cm. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 50 cm² }} ====E-nivå==== ;4. Beräkna volymen hos kulan i bilden. [[File:Silicon nitride Si3N4 bearing ball 20 mm G28.jpg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 4,2 cm³ }} ;5. En burk är cylinderformad och har höjden och bredden 10 cm. :a) Beräkna burkens volym. I den burken läggs ett klot som är lika brett och högt som burken så att klotet precis får plats. :b) Beräkna klotets volym. :c) Hur många procent av burkens volym är fyllt av klotet. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 790 cm³ ; b) 520 cm³ ; 66 % }} ;6. Vilken av följande himlakroppar har högst medeldensitet: {| class="wikitable" ! Namn ! Radie ! Massa |- | Jorden | 637 mil | 6,0{{e|24}} kg |- | Månen | 174 mil | 7,3{{e|22}} kg |- | Solen | 69600 mil | 2,0{{e|30}} kg |- |} {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Jorden : Jorden: 5500 kg/m³ : Månen: 3300 kg/m³ : Solen: 1400 kg/m³ }} ;7. Hur mycket kan en varmluftsballong lyfta som har diametern 28 m. Densiteten på den varma luften i ballongen är 0,9 kg/m³ och densiteten på luften utanför är 1,2 kg/m³. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 3,4 ton }} ;8. I ett hagelskott används 32 gram bly som är formade som små kulor med diamtern 3 mm. Hur många kulor är det i varje skott? (Bly har en densitet på 11,34 g/cm³) {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 200 st }} ;9. Vad väger en glaskula med diametern 1 cm? Glas har en densitet på 2,5 g/cm³. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 1,3 gram }} ;10. Vilken radie har ett klot som har volymen 33,5 cm³? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 2,00 cm }} ====C-nivå och A-nivå==== ;11. En varmluftsballong är klotformad. Om den behöver kunna lyfta 800 kg, vilken diameter måste den då ha? Kall luft har en densitet på 1,2 kg/m³. Varm luft har en densitet på ca 0,9 kg/m³. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 9 meter : 8,6 m plus lite marginal. 9 meter ger en lyftkraft på ca 900 kg }} ;12. En cylinder omsluter exakt ett klot. Hur stor del av cylinderns volym upptas av klotet? Beräkna exakt. [[File:Esfera Arquímedes.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 2/3 }} ;13. Hur mycket större är ett havlklot än en kon om de har samma radie och konens höjd också är samma. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Dubbelt }} ;14. Vad har störst volym, ett klot eller den form som blir där tre cylindrar genomskär varandra? [[File:Tricylinder Steinmetz solid.gif|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Den form som blir där tre cylindrar genomskär varandra. }} ;15. Beräkna volymen av den kub där ett åttondels klot har skurits ut som visas på bilden. [[File:3D Geometrical Figures 28.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; <math>(1-{\pi\over 6})r^3</math> }} ;16. På ett glasblåseri säljer de glas som är formade som ett halvklot som rymmer ca 20 cl. Nu vill de göra glas formade som koner med samma radie och som rymmer lika mycket. Hur höga bör de glasen vara? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 4,4 cm }} ;17. I ett hagelskott ska användas 32 gram bly som ska formas till 200 små kulor. Hur stora ska kulorna vara? (Bly har en densitet på 11,34 g/cm³) {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Diameter: 3 mm }} ====Fördjupning==== Nått om packning av kulor... Typ: ;18. Hur många 1 cm (diameter) kulor får plats i en låda med måtten 8x8x8 cm? Till hur många % är lådan fylld beroende på hur kulorna packas? Länk: http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing Några olika packningssätt ger för oändligt stora lådor packningsgrader på <math>\frac{\pi}{\sqrt{18}} \simeq 0.74048.</math>(bäst), <math>\frac{\pi}{6}</math>, <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math> och <math>\frac{\pi\sqrt{3}}{16}</math>. Detta är viktigt när man studerar kristaller. När man studerar hur mycket grus eller malm man kan packa i en lastbil används slumpmässig packning som brukar bli ca 64% men att räkna med det är mycket mer komplicerat. ====Ej nivåsatt==== ;19. Hur många gånger större är ett klots hela area än dess genomskärningsarea? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Fyra gånger större. }} ;20. Hur hög ska en låda som precis rymmer ett klot vara för att ha samma volym som klotet? Klotet kommer alltså inte få plats på höjden i lådan. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; πr/3 }} ;21. Beräkna volymen av en apelsinklyfta. (Kanske bättre som disskussionsuppgift?) {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; (4πr³/3)&sdot;(v/360) }} ;22. Beräkna volym och area på följande lilla kula: [[File:Zirconium dioxide ZrO2 bearing ball 6 mm G10.jpg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; V &asymp; 0,11 cm³ ; A &asymp; 1,1 cm² }} ;23. Kulorna i bilden är 1, 2, 5, 10 och 20 mm i diameter. Hur många av de olika små måste man smälta ihop för att få tillräckligt för att göra en stor? [[File:Silicon nitride Si3N4 bearing balls 1–20 mm.jpg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 10 mm: 8 st ; 5 mm: 64 st ; 2 mm: 1000 st ; 1 mm: 8000 st }} ;24. Kulan på bilden är 60 mm i diameter. Vad borde kräva mest putsmedel, att putsa den eller att putsa ena sidan på en 10 cm x 10 cm stor kvadrat av samma material? [[File:Stainless steel 1.4034 X46Cr13 bearing ball 60 mm G100 with ruler.jpg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; Kulan kräver mest. : Kulans area: 110 cm² : Kvadratens area: 100 cm² }} ; En julgranskula är 5 cm i diameter. Den är gjord av 4 cm³ plast. Hur tjocka är kulans väggar? Prova dig fram eller använd tredjeroten om du kan. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 0,52 mm. }} ;26. Mer bilder att använda till uppgifter: [[File:Schwimmbad-Abdeckung.jpg|200px|none]] [[File:Toy balls with different Colors.jpg|200px|none]] [[File:At children's level.jpg|200px|none]] [[File:Ball.agr.jpg|200px|none]] [[File:Bola.JPG|200px|none]] [[File:Metal Orb Vector.svg|200px|none]] {{Matematik för årskurs 7-9/Göm slut}} ==Blandade figurer== ===Övningsuppgifter=== {{Matematik för årskurs 7-9/Uppgifter top}} ====Grund-nivå==== ====E-nivå==== ;1. Solens diameter är ca 1 392 000 km och dess massa är ca 1,9891 &sdot; 10³⁰ kg. Beräkna solens densitet. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 1,408 kg/dm³ }} ====C-nivå och A-nivå==== ====Fördjupning==== ====Ej nivåsatt==== ;2. Beräkna area och volym på följande figurer: ;a) : Längd: 3 : Diameter: 2 [[File:3D Geometrical Figures 17.png|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 6.svg|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 12.svg|200px]] ;b) :Kubens sida = halvklotens diameter: 2 [[File:3D Geometrical Figures 13.png|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 2.svg|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 7.svg|200px]] ;c) : Längd: 4 : Diameter: 2 [[File:3D Geometrical Figures 14.png|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 3.svg|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 11.svg|200px]] ;d) : Längd = bredd: 4 : Tjocklek: 2 [[File:3D Geometrical Figures 15.png|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 4.svg|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 11.svg|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 23.svg|200px]] ;e) : ytterradie: 1 : innerradie: 0,9 [[File:3D Geometrical Figures 16.png|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 5.svg|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 21.svg|200px]] [[File:3D Geometrical Figures 22.svg|200px]] {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) : A {{=}} 7pi : V {{=}} 7pi/3 ; b) : A {{=}} 6pi+24 eller 6(pi+4) : V {{=}} 4pi+8 eller 4(pi+2) ; c) : A {{=}} todo : V {{=}} todo ; d) : A {{=}} todo : V {{=}} todo ; e) : A {{=}} todo : V {{=}} todo }} ;3. Hur hög ska en cylinder vara för att ha samma volym som ett klot om de har samma radie. Svara exakt. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 4r/3 }} ;4. Hur hög ska en kon vara för att ha samma volym som ett halvklot om de har samma radie. Svara exakt. {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; 2r }} ;5. Beräkna förhållandet mellan area och volym på: : a) en kub med sidan 1 cm : b) en cylinder med diametern och höjden 1 cm : c) ett klot med diametern 1 cm {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 6 ; b) 6 ; c) 6 }} ;6. Beräkna förhållandet mellan area och volym på: : a) en kub med volymen 1 cm³ : b) en cylinder med samma diameter och höjden och volymen 1 cm³ : c) ett klot med volymen 1 cm³ {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 6 ; b) <math>3\sqrt[3]{2 \pi} \approx 5,54</math> ; c) <math>\sqrt[3]{36 \pi} \approx 4,84</math> }} ;7. En kon har bottenradien 2 cm och höjden 4 cm. : a) Beräkna dess volym. : b) Om den är fylld till halva höjden, vad är dess volym då? : c) Vilken höjd ger en hälften så stor volym som i a-uppgiften? {{Matematik för årskurs 7-9/Lösning|titel=Svar| ; a) 8 cm³ ; b) 1 cm³ ; c) 3 cm }} {{Matematik för årskurs 7-9/Göm slut}} ==Övrigt== Geometriövningar i google sketchup, geonext, geogebra, för hand, med passare? Eller ska de läggas som en egen sida som bara länkas in här? ==Länkar== * Google sketchup * Geonext * [https://www.geogebra.org/?lang=sv| GeoGebra]. * m.fl. 9xrj5g5jbl56pms0d78n0uwio303iiy 0 8529 57984 45059 2026-08-01T16:15:15Z Д.Ильин 12763 57984 wikitext text/x-wiki <strong>Grund-nivå</strong> <inc>Beräkna volymen hos lådorna. : a) [[File:Box with size 5x5x5 cm.svg|none|200px]] : b) [[File:Box with size 3x5x4 dm.svg|none|200px]] <inc>En tärning är formad som en kub. Träningen är 2 cm på varje sida. Beräkna tärningens volym. <inc>En kartong är 4 dm bred, 5 dm hög och 4 dm djup. [[File:3 D-Box.jpg|right|200px]] : a) Beräkna arean på botten och toppen. : b) Beräkna arean på framsidan och baksidan. : c) Beräkna arean på kanterna. : d) Hur stor är hela arean? <inc>Kuben är 2 cm x 2 cm x 2 cm. [[File:Hexahedron.svg|100px|none]] : a) Beräkna arean på en sida. : b) Beräkna hela kubens volym. <inc>En låda är 3 dm bred, 4 dm lång och 2 dm hög. : a) Beräkna lådans volym. : b) Hur många liter rymmer lådan? <inc>Ett gammalt rockband heter 10 cc. Ge förslag på längd, bredd och höjd som blir 10 cm³ (cc = '''c'''ubic '''c'''entimeters = cm³) <strong>E-nivå</strong> <inc>Ett mjölkpaket är 7 cm x 7 cm x 20 cm. :a) Gör om måtten till dm. :b) beräkna volymen. :c) Hur många liter rymmer mjölkpaketet? <inc>Hur många liter rymmer ett akvarie som är 8 dm långt, 2,5 dm djupt och 2,5 dm högt? <inc>Tärningarna är 1,5 cm stora. Beräkna deras volym. [[File:Stone Dice 17.JPG|100px|none]] <inc>Hur hög behöver en fyrkantig burk vara som ska rymma 4 liter om den har bottenarean 2 dm²? <inc>Ge förslag på mått till en låda som rymmer 5 liter. <inc>I bilden är a = 4 cm, b = 1,5 cm och c = 3 cm. [[File:Cuboid abc.svg|none|200px]] : a) Beräkna volymen. : b) Beräkna arean. <inc>Hur många tegelstenar behövs för att mura en 5 meter lång vägg som är 2,5 meter hög och 20 cm tjock? En tegelsten har måtten 5x10x20 cm. <inc>En vanlig svensk tegelsten brukar vara 250 x 120 x 62 mm. : a) Beräkna volymen i dm³. : b) Vad borde tegelstenen väga om den har en densitet på 2 kg/dm³. <inc>Hur många kuber med sidlängden 2 cm kan man göra av en kub med sidlängden 6 cm? <inc>Bilden till höger visar en 2-tum-4 planka som är 2 m lång. Den har alltså måtten 2 tum x 4 tum x 2 meter. Beräkna plankans volym. (1 tum=2,54 cm) [[File:2 By 4 Clue Stick.jpg|right|200px]] <inc>Hur många kulor består kuben på bilden av? [[File:NeoCube.jpg|none|200px]] <inc>Skriv en förklarande bildtext till bilden som förklarar de olika siffrorna. [[File:Fotothek df tg 0008297 Mathematik ^ Geometrie ^ Proportion ^ Würfel.jpg|none|200px]] <inc>Hur stor är en kub som har volymen 27 dm³? <inc>Beräkna area och volym. [[File:Simpele Kubus2 vector.svg|200px|none]] <inc>Beräkna volymen i följande figurer: : a) [[File:Block for calculations 2.svg|200px|none]] : b) [[File:Block for calculations 3.svg|200px|none]] : c) [[File:Block for calculations 1.svg|200px|none]] : d) [[File:Block for calculations 4.svg|200px|none]] <strong>C-nivå</strong> <inc>En järnvägsräls ser ut som nedan: [[File:Rusty rails.jpg|300px|right]] [[File:Rail1 perspective.svg|200px]] [[File:Rail1 cut.svg|200px]] : a) Beräkna dess volym : b) Järn har en densitet på 7,9 kg/dm³. Vad väger rälsen? <inc>Ett rum är 6 m x 8 m och det är 2,5 m till taket. : a) beräkna hur mycket luft som finns i rummet. : b) Hur länge räcker den luften tills all luft andats i medel en gång till en klass med 30 elever som tar ett andetag på en liter varannan sekund. <inc>A = 1 dm², l = 1,5 m. Beräkna volymen. [[File:Quader A l.png|200px|none]] <inc>Beräkna volymen av figuren på bilden. Antag att den är 1 meter och består av 20 cm tjocka delar. [[File:Fotothek df tg 0000851 Geometrie ^ Perspektive ^ Würfel.jpg|none|200px]] <inc>Arean på en av de små kuberna är 24 cm². Vad är arean på den stora kuben? [[File:Partial cubic honeycomb.svg|100px|none]] <inc>En kub har en area är 54 cm². Vad är dess volym? <inc>En kub har en volym på 8 cm³. Vad har den för area? <inc>Jämför följande figurs area och volym med en "hel" kub som är lika stor. [[File:Isometric cruciform box.svg|100px|none]] : a) Hur skiljer sig arean? : b) Hur skiljer sig volymen? <strong>A-nivå</strong> <inc>Hos en glasmästare tar de betalt per volym glas man köper. Antag att du ska köpa glas till ett akvarium som har yttermåtten 60 cm x 30 cm x 30 cm. Glaset ska vara 1 cm tjockt. : a) Hur mycket glas går åt? : b) Om måtten är innermått, hur mycket glas går då åt? <inc>En låda görs av en kartongbit som bilden visar. Kantbitarna är dubbelt så breda som höga. Kartongen är 1 m x 80 cm. [[File:QuaderNetz.svg|none|200px]] : a) Beräkna lådans mått. : b) Beräkna lådans volym. <inc>Ett rätblock har förhållandet mellan sina sidor som 2:3:4. : a) om volymen är 192 cm³, vad är då dess mått? : b) om arean är 468 cm², vad är då dess mått? <inc>En kub har utskärda hål likt den nedan. Kuben är 4 cm lång på alla sidor och hålet är 2 cm. [[File:3D Geometrical Figures 25.svg|200px|none]] : a) Beräkna Kubens volym. : b) Beräkna hur stor del av kuben utan utskärda hål som är kvar som ett bråk. : c) Bevisa att det blir samma bråk i c-uppgiften oavsett hur stor kuben är givet att hålet alltid är hälften så stort som hela sidan. (Använd 4x som lägnden på sidan) <inc>Ett rätblock är lika högt som brett och dubbelt så långt som brett. Arean är 40 cm². Beräkna volymen. <strong>Fördjupning</strong> <inc>Mengers tvättsvamp [[File:Menger_sponge_(Level_0-3).jpg|300px|none]] Mengers tvättsvamp skapas genom att man delar varje sida i tre delar så att den blir lik en rubiks kub. Sedan tar man bort den mittersta biten på varje sida och den biten i mitten av kuben. Sedan upprepar man detta med varje bit som är kvar så att det blir mindre och mindre bitar kvar. : a) Hur stor del av volymen från den ursprungliga kuben är kvar efter att man upprepat proceduren en gång? : b) Skriv ett uttryck med potens för hur stor del av kuben som är kvar efter man gjort proceduren n gånger. Tänk på att x⁰=1 och att x¹ ska bli svaret på a-uppgiften. : c) Hur stor area har den ursprungliga kuben om den har sidlägnden 1? : d) Hur stor area har kuben efter man gjort proceduren en gång? Mer om mengers tvättsvamp: [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mengers_tv%C3%A4ttsvamp wikipedia] <strong>Ej nivåsatt</strong> (Inga uppgifter här. Lägg gärna till några!) <noinclude> [[Kategori:Matematik för årskurs 7-9/Uppgifter]] </noinclude> jipyf16qsqtmp159fgcal21dtudyuvz 2 9230 57987 56656 2026-08-01T23:40:51Z Pathoschild 1115 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Revi C.]]) 57987 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__<div class="mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">{{#babel:ko|en-3|sv-0}} [[File:Revi wikimedia image.jpg|thumb|center|middle|If you are here to talk about CommonsDelinker removing a deleted image, please [[:c:User talk:Revi C.|go here]].]] Hello! I am [[:m:User:Revi C.|revi]]. I edit to [[m:SWMT|revert vandals]], do Wikidata stuff<!--(I am a Wikidata Admin! <small>([{{fullurl:wikidata:Special:ListUsers/Revi C.|limit=1}} Verify])</small>)-->, or do [[:c:COM:FR|Commons Filemoving stuff]] (I am Commons Admin too! <small>([{{fullurl:c:Special:ListUsers/Revi C.|limit=1}} Verify])</small>). Come to [[:m:User:Revi C.|my Meta userpage]] or [[:c:User:Revi C.|my Commons userpage]] for more information. Thank you.</div> se4m856c2ul3gtnvl7xt0721pehf46p 3 9231 57986 56655 2026-08-01T23:07:14Z Pathoschild 1115 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Revi C.]]) 57986 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__<div class="mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">[[File:Revi logo (pink).png|thumb|center|<span style="color:red">PLEASE DO NOT LEAVE MESSAGE HERE!</span>]] ''' <span style="color:red"> BEFORE YOU BLOCK MY ACCOUNT: IF MY EDIT SUMMARY INCLUDE PREFIX </span>''(Script)''<span style="color:red">, DON'T BLOCK ME, JUST TELL ME TO SLOW DOWN AT COMMONS' TALK PAGE. IT IS AN AUTOMATED SCRIPT BEING USED ON COMMONS TO MOVE FILES.</span> Instead, please leave your message following site: <br /> [[File:Wikidata-logo-en.svg|45px|link=d:User talk:Revi C.]] [[d:User talk:Revi C.]] for Wikidata (Interwiki links) stuff <!--(I am {{int:Group-sysop}} there)--> <br /> [[File:Commons-logo.svg|45px|link=commons:User talk:Revi C.]] [[commons:User talk:Revi C.]] for renaming stuff or [[User:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] action (I am {{int:Group-sysop}} there) <br /> [[File:Wikimedia Community Logo optimized.svg|45px|link=m:User talk:Revi C.]] [[meta:User talk:Revi C.]] for other stuff (User right notification, revert message, etc...) Messages left on this page may be reverted or moved without any response.</div> esxe13mcstpjlux1bt2hqwxr2v8t8mn 2 9407 57988 56659 2026-08-02T00:26:59Z Pathoschild 1115 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Hym411]]) 57988 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[User:Revi C.]] 88g0cv17whfgb1wkeh281mptujwtlut 3 9408 57989 56660 2026-08-02T00:57:47Z Pathoschild 1115 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Hym411]]) 57989 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[User talk:Revi C.]] o9z79lcc9a9pfmqmrod5w3eyk4q9i0o