Вікіпідручник ukwikibooks https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter Медіа Спеціальна Обговорення Користувач Обговорення користувача Вікіпідручник Обговорення Вікіпідручника Файл Обговорення файлу MediaWiki Обговорення MediaWiki Шаблон Обговорення шаблону Довідка Обговорення довідки Категорія Обговорення категорії Полиця Обговорення полиці Рецепт Обговорення рецепта Субтитри Обговорення субтитрів Модуль Обговорення модуля Подія Обговорення події 0 8655 41450 2026-08-29T19:09:37Z Slavust 9295 Переклад розділу підручника https://github.com/OSTP/PhysicsArtofModelling, СС-BY-SA, не фінальний 41450 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим? <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Ми починаємо з визначення сил, що діють на ящик, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore, N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore, f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме $_sN $, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); коли ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили має сенс, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих сегментів. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляхів об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/linearmotion.png|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими сегментами. Над кожним таким сегментом вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але завжди буде колінеарним переміщенню). <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span>Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і він починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається по горизонтальній поверхні. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою? <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI.png|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по плоскій поверхні та зупинятися.]] </div> ----- Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два сегменти: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного сегмента, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона двічі. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється у напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику та знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI_fbd1.png|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту Другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, і виразили вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \отже, N_1 = мг\cos\theta \end{aligned}</math> де ми виразили силу нормальної реакції через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore, a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можемо легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух ($x_0=0 $), так що блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість, <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку ми визначаємо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні; це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на похилій площині. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI_fbd2.png|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Тут ми маємо бути обережними зі знаком прискорення; рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = мг \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, ми можемо використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени в дробу є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупинитися). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і площиною. </div> <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. У цих випадках, навіть якщо об’єкт зазнає лінійного руху, нам необхідно розбити рух на багато невеликих сегментів, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам потрібно буде розбити рух на нескінченну кількість сегментів і використовувати математичний аналіз. Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох сегментах довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, після того, як блок пройшов три сегменти. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce.png|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього сегмента, ми можемо змоделювати кожен сегмент окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному сегменті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані у діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce_fbd.png|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох сегментів <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, в якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 ($ x=x_0 <math display="inline">), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (</math>x=x_1 $), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію підсумовування та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що $x $, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore, dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо просто взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “змінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «роздільним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це називається диференціальним рівнянням, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що для початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore, V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockspring.png|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Потім блок відпускається. Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?\ ----- Як ви пам’ятаєте, сила, що надається пружиною, залежить від стиснення або розширення пружини й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, що знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, що ми описали вище, а саме сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми повинні трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, має сенс, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> <div class="mdframed"> Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. Як залежить швидкість об’єкта від часу?\ ----- <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим вниз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_fbd.png|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння блоку з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore, a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий метод, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore, v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь час, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на всіх цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_vt.png|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[#chapter:describingmotioninnd|[chapter:describingmotioninnd]]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[#sec:describingmotioninnd:circularmotion|[sec:descriptionmotioninnd:circularmotion]]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH.png|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі, полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення струни між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо струна знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від струни. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH_fbd.png|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в струні та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в струні збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/trajectoryABCD.png|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car.png|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span>Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу? ----- Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола, - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car_fbd.png|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, повинна дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore, N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати $f_s_sN =_smg $ (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде ковзати, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме його максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по, реалістична, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість більша, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. Чи може швидкість м’яча бути постійною? Яка мінімальна швидкість м’яча на вершині кола, при якій він здатний пройти по колу? ----- Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV_fbd.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру кола. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю просто в верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати прискорення, яке є радіальним, навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч продовжить рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола має сенс, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу? # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), що робить поворот вліво по кривій, яка нахилена під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі і може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank.png|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок на нахилі). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодили - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank_fbd.png|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\nonumber\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\nonumber\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння]] зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carinertial.png|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, що діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває? # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = У нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде коректним наступне * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує на центр кола, зазвичай зручно розбити вектор прискорення на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant.png|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. Через який час мураха злетить з програвача? ----- У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Після того, як програвач стане рухатися досить швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant_fbd.png|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_Smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left( \frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left( \frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)} \right)\\ &=1.17° \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17°)}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> # Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) Перелічте * Виведіть вираз для натягу в нитці. * Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси. * Виведіть вираз для періоду руху. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>), при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math> <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math> у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ii5hciwdd40ndu3ghzzb3beeutfx8nv 41451 41450 2026-08-29T19:32:21Z Slavust 9295 /* Статика */ 41451 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим? <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих сегментів. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляхів об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/linearmotion.png|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими сегментами. Над кожним таким сегментом вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але завжди буде колінеарним переміщенню). <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span>Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і він починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається по горизонтальній поверхні. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою? <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI.png|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по плоскій поверхні та зупинятися.]] </div> ----- Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два сегменти: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного сегмента, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона двічі. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється у напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику та знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI_fbd1.png|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту Другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, і виразили вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \отже, N_1 = мг\cos\theta \end{aligned}</math> де ми виразили силу нормальної реакції через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore, a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можемо легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух ($x_0=0 $), так що блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість, <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку ми визначаємо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні; це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на похилій площині. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI_fbd2.png|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Тут ми маємо бути обережними зі знаком прискорення; рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = мг \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, ми можемо використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени в дробу є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупинитися). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і площиною. </div> <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. У цих випадках, навіть якщо об’єкт зазнає лінійного руху, нам необхідно розбити рух на багато невеликих сегментів, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам потрібно буде розбити рух на нескінченну кількість сегментів і використовувати математичний аналіз. Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох сегментах довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, після того, як блок пройшов три сегменти. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce.png|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього сегмента, ми можемо змоделювати кожен сегмент окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному сегменті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані у діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce_fbd.png|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох сегментів <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, в якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 ($ x=x_0 <math display="inline">), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (</math>x=x_1 $), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію підсумовування та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що $x $, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore, dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо просто взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “змінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «роздільним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це називається диференціальним рівнянням, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що для початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore, V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockspring.png|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Потім блок відпускається. Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?\ ----- Як ви пам’ятаєте, сила, що надається пружиною, залежить від стиснення або розширення пружини й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, що знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, що ми описали вище, а саме сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми повинні трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, має сенс, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> <div class="mdframed"> Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. Як залежить швидкість об’єкта від часу?\ ----- <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим вниз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_fbd.png|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння блоку з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore, a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий метод, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore, v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь час, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на всіх цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_vt.png|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[#chapter:describingmotioninnd|[chapter:describingmotioninnd]]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[#sec:describingmotioninnd:circularmotion|[sec:descriptionmotioninnd:circularmotion]]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH.png|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі, полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення струни між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо струна знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від струни. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH_fbd.png|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в струні та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в струні збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/trajectoryABCD.png|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car.png|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span>Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу? ----- Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола, - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car_fbd.png|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, повинна дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore, N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати $f_s_sN =_smg $ (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде ковзати, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме його максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по, реалістична, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість більша, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. Чи може швидкість м’яча бути постійною? Яка мінімальна швидкість м’яча на вершині кола, при якій він здатний пройти по колу? ----- Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV_fbd.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру кола. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю просто в верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати прискорення, яке є радіальним, навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч продовжить рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола має сенс, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу? # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), що робить поворот вліво по кривій, яка нахилена під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі і може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank.png|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок на нахилі). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодили - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank_fbd.png|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\nonumber\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\nonumber\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння]] зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carinertial.png|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, що діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває? # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = У нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде коректним наступне * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує на центр кола, зазвичай зручно розбити вектор прискорення на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant.png|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. Через який час мураха злетить з програвача? ----- У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Після того, як програвач стане рухатися досить швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant_fbd.png|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_Smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left( \frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left( \frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)} \right)\\ &=1.17° \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17°)}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> # Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) Перелічте * Виведіть вираз для натягу в нитці. * Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси. * Виведіть вираз для періоду руху. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>), при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math> <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math> у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! osel5l8cgmq5xefdo3spezmlc6j35bu 41452 41451 2026-08-29T20:16:50Z Slavust 9295 /* Статика */ 41452 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих сегментів. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляхів об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/linearmotion.png|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими сегментами. Над кожним таким сегментом вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але завжди буде колінеарним переміщенню). <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span>Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і він починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається по горизонтальній поверхні. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою? <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI.png|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по плоскій поверхні та зупинятися.]] </div> ----- Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два сегменти: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного сегмента, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона двічі. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється у напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику та знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI_fbd1.png|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту Другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, і виразили вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \отже, N_1 = мг\cos\theta \end{aligned}</math> де ми виразили силу нормальної реакції через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore, a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можемо легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух ($x_0=0 $), так що блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість, <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку ми визначаємо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні; це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на похилій площині. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockI_fbd2.png|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Тут ми маємо бути обережними зі знаком прискорення; рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = мг \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, ми можемо використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени в дробу є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупинитися). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і площиною. </div> <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. У цих випадках, навіть якщо об’єкт зазнає лінійного руху, нам необхідно розбити рух на багато невеликих сегментів, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам потрібно буде розбити рух на нескінченну кількість сегментів і використовувати математичний аналіз. Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох сегментах довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, після того, як блок пройшов три сегменти. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce.png|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього сегмента, ми можемо змоделювати кожен сегмент окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному сегменті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані у діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce_fbd.png|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох сегментів <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, в якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 ($ x=x_0 <math display="inline">), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (</math>x=x_1 $), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію підсумовування та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що $x $, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore, dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо просто взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “змінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «роздільним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це називається диференціальним рівнянням, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що для початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore, V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockspring.png|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Потім блок відпускається. Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?\ ----- Як ви пам’ятаєте, сила, що надається пружиною, залежить від стиснення або розширення пружини й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, що знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, що ми описали вище, а саме сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми повинні трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, має сенс, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> <div class="mdframed"> Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. Як залежить швидкість об’єкта від часу?\ ----- <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим вниз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_fbd.png|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння блоку з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore, a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий метод, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore, v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь час, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на всіх цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_vt.png|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[#chapter:describingmotioninnd|[chapter:describingmotioninnd]]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[#sec:describingmotioninnd:circularmotion|[sec:descriptionmotioninnd:circularmotion]]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH.png|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі, полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення струни між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо струна знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від струни. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH_fbd.png|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в струні та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в струні збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/trajectoryABCD.png|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car.png|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span>Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу? ----- Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола, - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car_fbd.png|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, повинна дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore, N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати $f_s_sN =_smg $ (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде ковзати, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме його максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по, реалістична, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість більша, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. Чи може швидкість м’яча бути постійною? Яка мінімальна швидкість м’яча на вершині кола, при якій він здатний пройти по колу? ----- Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV_fbd.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру кола. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю просто в верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати прискорення, яке є радіальним, навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч продовжить рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола має сенс, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу? # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), що робить поворот вліво по кривій, яка нахилена під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі і може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank.png|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок на нахилі). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодили - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank_fbd.png|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\nonumber\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\nonumber\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння]] зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carinertial.png|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, що діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває? # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = У нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде коректним наступне * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує на центр кола, зазвичай зручно розбити вектор прискорення на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant.png|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. Через який час мураха злетить з програвача? ----- У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Після того, як програвач стане рухатися досить швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant_fbd.png|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_Smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left( \frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left( \frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)} \right)\\ &=1.17° \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17°)}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> # Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) Перелічте * Виведіть вираз для натягу в нитці. * Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси. * Виведіть вираз для періоду руху. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>), при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math> <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math> у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! 5vhdi8tyz8a4gvqkpwxffzim5jpddx0 41453 41452 2026-08-29T21:25:37Z Slavust 9295 /* Лінійний рух в процесі вичитки */ 41453 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. У цих випадках, навіть якщо об’єкт зазнає лінійного руху, нам необхідно розбити рух на багато невеликих сегментів, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам потрібно буде розбити рух на нескінченну кількість сегментів і використовувати математичний аналіз. Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох сегментах довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, після того, як блок пройшов три сегменти. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce.png|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього сегмента, ми можемо змоделювати кожен сегмент окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному сегменті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані у діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce_fbd.png|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох сегментів <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, в якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 ($ x=x_0 <math display="inline">), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (</math>x=x_1 $), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію підсумовування та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що $x $, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore, dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо просто взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “змінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «роздільним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це називається диференціальним рівнянням, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що для початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore, V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockspring.png|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Потім блок відпускається. Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?\ ----- Як ви пам’ятаєте, сила, що надається пружиною, залежить від стиснення або розширення пружини й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, що знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, що ми описали вище, а саме сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми повинні трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, має сенс, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> <div class="mdframed"> Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. Як залежить швидкість об’єкта від часу?\ ----- <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим вниз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_fbd.png|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння блоку з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore, a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий метод, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore, v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь час, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на всіх цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_vt.png|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[#chapter:describingmotioninnd|[chapter:describingmotioninnd]]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[#sec:describingmotioninnd:circularmotion|[sec:descriptionmotioninnd:circularmotion]]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH.png|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі, полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення струни між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо струна знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від струни. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH_fbd.png|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в струні та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в струні збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/trajectoryABCD.png|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car.png|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span>Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу? ----- Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола, - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car_fbd.png|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, повинна дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore, N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати $f_s_sN =_smg $ (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде ковзати, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме його максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по, реалістична, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість більша, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. Чи може швидкість м’яча бути постійною? Яка мінімальна швидкість м’яча на вершині кола, при якій він здатний пройти по колу? ----- Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV_fbd.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру кола. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю просто в верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати прискорення, яке є радіальним, навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч продовжить рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола має сенс, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу? # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), що робить поворот вліво по кривій, яка нахилена під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі і може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank.png|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок на нахилі). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодили - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank_fbd.png|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\nonumber\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\nonumber\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння]] зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carinertial.png|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, що діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває? # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = У нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде коректним наступне * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує на центр кола, зазвичай зручно розбити вектор прискорення на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant.png|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. Через який час мураха злетить з програвача? ----- У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Після того, як програвач стане рухатися досить швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant_fbd.png|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_Smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left( \frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left( \frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)} \right)\\ &=1.17° \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17°)}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> # Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) Перелічте * Виведіть вираз для натягу в нитці. * Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси. * Виведіть вираз для періоду руху. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>), при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math> <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math> у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! qjowoz3rix5mio6aadw4e4evjwhisi1 41454 41453 2026-08-29T21:29:46Z Slavust 9295 /* Статика */ 41454 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. У цих випадках, навіть якщо об’єкт зазнає лінійного руху, нам необхідно розбити рух на багато невеликих сегментів, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам потрібно буде розбити рух на нескінченну кількість сегментів і використовувати математичний аналіз. Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох сегментах довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, після того, як блок пройшов три сегменти. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce.png|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього сегмента, ми можемо змоделювати кожен сегмент окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному сегменті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані у діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockvaryingforce_fbd.png|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох сегментів <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, в якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 ($ x=x_0 <math display="inline">), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (</math>x=x_1 $), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію підсумовування та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що $x $, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore, dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо просто взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “змінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «роздільним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це називається диференціальним рівнянням, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що для початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore, V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/blockspring.png|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Потім блок відпускається. Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?\ ----- Як ви пам’ятаєте, сила, що надається пружиною, залежить від стиснення або розширення пружини й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, що знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, що ми описали вище, а саме сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми повинні трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, має сенс, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> <div class="mdframed"> Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. Як залежить швидкість об’єкта від часу?\ ----- <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим вниз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_fbd.png|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння блоку з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore, a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий метод, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore, v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь час, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на всіх цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/drag_vt.png|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[#chapter:describingmotioninnd|[chapter:describingmotioninnd]]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[#sec:describingmotioninnd:circularmotion|[sec:descriptionmotioninnd:circularmotion]]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH.png|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі, полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення струни між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо струна знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від струни. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH_fbd.png|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в струні та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в струні збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/trajectoryABCD.png|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car.png|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span>Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу? ----- Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола, - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car_fbd.png|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, повинна дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore, N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати $f_s_sN =_smg $ (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде ковзати, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме його максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по, реалістична, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість більша, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. Чи може швидкість м’яча бути постійною? Яка мінімальна швидкість м’яча на вершині кола, при якій він здатний пройти по колу? ----- Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV_fbd.png|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру кола. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю просто в верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати прискорення, яке є радіальним, навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч продовжить рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола має сенс, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу? # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), що робить поворот вліво по кривій, яка нахилена під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі і може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank.png|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок на нахилі). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодили - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank_fbd.png|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\nonumber\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\nonumber\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння]] зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carinertial.png|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, що діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває? # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = У нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде коректним наступне * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує на центр кола, зазвичай зручно розбити вектор прискорення на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant.png|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. Через який час мураха злетить з програвача? ----- У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Після того, як програвач стане рухатися досить швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant_fbd.png|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore, N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_Smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left( \frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left( \frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)} \right)\\ &=1.17° \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17°)}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> # Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) Перелічте * Виведіть вираз для натягу в нитці. * Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси. * Виведіть вираз для періоду руху. <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача -:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>), при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math> <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math> у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! 7l7vpmysjvmgoq18xerk66id33gct21