Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Закони Ньютона

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="uk">
  <siteinfo>
    <sitename>Вікіпідручник</sitename>
    <dbname>ukwikibooks</dbname>
    <base>https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.17</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Медіа</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Спеціальна</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Обговорення</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Користувач</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Обговорення користувача</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Вікіпідручник</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Обговорення Вікіпідручника</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Файл</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Обговорення файлу</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Обговорення MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Шаблон</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Обговорення шаблону</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Довідка</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Обговорення довідки</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Категорія</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Обговорення категорії</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Полиця</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Обговорення полиці</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Рецепт</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Обговорення рецепта</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">Субтитри</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">Обговорення субтитрів</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Модуль</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Обговорення модуля</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Подія</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Обговорення події</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Закони Ньютона</title>
    <ns>0</ns>
    <id>8641</id>
    <revision>
      <id>41462</id>
      <parentid>41319</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T20:18:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <origin>41462</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="136674" sha1="ngefoazd3mo5jd5sdmzolh76lbe7vwq" xml:space="preserve">У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху).

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

'''Цілі навчання:'''

* Зрозуміти три закони Ньютона.
* Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати.
* Зрозуміти поняття маси та інерції.
* Навчитися зображати діаграми вільного тіла.


&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:'''

# Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу.
# Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;три-закони-ньютона&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Три закони Ньютона =

Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах:

* '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила.
* '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила.
* '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком.

Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона.

&lt;span id=&quot;перший-закон-ньютона&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Перший закон Ньютона ==

Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила.

Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю.

Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися.

Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

'''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.'''

# Ліфт є інерційною системою відліку.
# Ліфт не є інерційною системою відліку.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;другий-закон-ньютона&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Другий закон Ньютона ==

Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt; - векторна сума сил, що діють на об’єкт, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt; - вектор прискорення об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= ma_x \\
\sum F_y &amp;= ma_y \\
\sum F_z &amp;= ma_z
\end{aligned}&lt;/math&gt; Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух.

Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:'''

# Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова.
# Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2.
# Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;третій-закон-ньютона&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Третій закон Ньютона ==

Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією.

Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно!

Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?'''

# Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку.
# Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку.
# Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку.
# Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;сила&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Сила =

Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей.

Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt;. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою.

Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу.

Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт.

Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1\ cm&lt;/math&gt;, коли на пружину діє сила в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;1\ N&lt;/math&gt; у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили.

&lt;span id=&quot;види-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Види сил ==

При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни&lt;ref&gt;Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!&lt;/ref&gt;!

В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик.

&lt;span id=&quot;вага&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Вага ===

Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F_g = m\vec g
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec g&lt;/math&gt; - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g=9.8\ N/kg&lt;/math&gt;. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g_m=1.62\ N/kg&lt;/math&gt; (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt; (наприклад, планети) визначається наступним чином: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g(r) = G\frac{M}{r^2}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;G=6.67 e-11\ &lt;/math&gt; - гравітаційна стала Ньютона, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;r&lt;/math&gt; - відстань до центру тіла.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:weight&quot;&gt;&lt;/span&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]]

&lt;/div&gt;
Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g=9.8\ N/kg&lt;/math&gt;; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

'''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;80\ kg&lt;/math&gt;.'''

# На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;80\ N&lt;/math&gt;.
# На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;784\ N&lt;/math&gt;.
# На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;80\ N&lt;/math&gt;.
# На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;784\ N&lt;/math&gt;.
# На людину на поверхні Землі не діє жодна сила.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;сили-нормальної-опори&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Сили нормальної реакції ===

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:normal&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;image&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]]
&lt;/div&gt;

Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз.

[[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта.

&lt;span id=&quot;сили-тертя&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Сили тертя ===

Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:fsurfaces&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:fsurfaces&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]]

&lt;/div&gt;
Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь.

Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:friction&quot; label=&quot;fig: newtonslaws:friction&quot;&gt;&lt;/span&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.'''  (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_k&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]]

&lt;/div&gt;
Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху.

Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_k&lt;/math&gt;, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_k=\mu_kN
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_k&lt;/math&gt; називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується.

Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s&lt;/math&gt;, моделюється як: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\leq\mu_sN
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt; називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні).

&lt;span id=&quot;сили-натягу&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Сили натягу ===

Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання&lt;ref&gt;Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.&lt;/ref&gt;. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:tension&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt; ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]]

&lt;/div&gt;

Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, до мотузки.

Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку.

&lt;span id=&quot;сили-аерогідродинамічного-лобового-опору&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Сили аерогідродинамічного (лобового) опору ===

Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря.

Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі.

Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті.

&lt;span id=&quot;сили-пружності&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Сили пружності ===

Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:spring&quot; label=&quot;fig: newtonslaws:spring&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.'''  Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; обирається так, щоб додатні значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (положення блоку має додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.]]

&lt;/div&gt;

Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F = -kx \hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - сила, яку надає пружина, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt; називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]].


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F=-kx\hat x&lt;/math&gt;) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?'''

# Так.
# Ні.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;сили-інерції&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Сили інерції ===

Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, на об’єкт діє сила інерції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-m\vec a&lt;/math&gt;. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]].

&lt;span id=&quot;застосовані-сили&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== «Прикладені» сили ===

«Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається.

&lt;span id=&quot;маса-та-інерція&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Маса та інерція =

Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}&lt;/math&gt;).

Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2\ kg&lt;/math&gt;.

У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою».

Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec g&lt;/math&gt;. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g=mg&lt;/math&gt;, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F=ma&lt;/math&gt;. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг!

Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію).

&lt;span id=&quot;застосування-законів-ньютона&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Застосування законів Ньютона =

Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель.

Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?!

Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста:

# Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель.
# Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?).
# Намалюйте діаграму вільного тіла.
# Застосуйте другий закон Ньютона.

&lt;span id=&quot;визначення-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Визначення сил ==

Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили:

* Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?).
* Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!).
* Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?).
* Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?).
* Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?).
* Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?).
* Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:blockH&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]]

&lt;/div&gt;
Блок масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?'''

Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:blockH_forces&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]]

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

&lt;span id=&quot;ex:newtonslaws:blockI&quot; label=&quot;ex:newtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:blockI&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt;
[[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.'''  Блок на похилій поверхні.]]

&lt;/div&gt;

Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції зі сторони поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції).

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:blockI_forces&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]]

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

&lt;span id=&quot;ex:newtonslaws:2blockswedge&quot; label=&quot;ex:newtonslaws:2blockswedge&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]]

&lt;/div&gt;
Блок масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?'''

Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N^m&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s^m&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок.

Сили, що діють на клиноподібний блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N^M&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N^m&lt;/math&gt; (дві сили, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N^m&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N^M&lt;/math&gt;, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції).
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s^M&lt;/math&gt;, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s^m&lt;/math&gt;).
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2^M&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, яку надає стіл.

Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]]

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;діаграми-вільного-тіла&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Діаграми вільного тіла ==

Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]]

&lt;/div&gt;
Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]].


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|center|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]]

&lt;/div&gt;
Два блоки масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_k&lt;/math&gt;. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.'''

&lt;span id=&quot;ex:newtonslaws:2blocksI&quot; label=&quot;ex:newtonslaws:2blocksI&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, її вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_kN_1&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від ланцюга.

Сили, що діють на масу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g2}&lt;/math&gt;, її вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від похилої поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k2}=\mu_kN_2&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-\vec T&lt;/math&gt;, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;.

На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt; з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]]

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;використання-другого-закону-ньютона&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Використання другого закону Ньютона ==

Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла.

Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора.

&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F &amp;=m\vec a\\
\sum F_x &amp;= ma_x \\
\sum F_y &amp;= ma_y \\
\sum F_z &amp;= ma_z
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 3]]) разом з хорошим вибором системи координат.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 3]].]]

&lt;/div&gt;
Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти. Векторами сил є: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec T &amp;= T\hat x+0\hat y\\
\vec f_{k1}&amp;=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\
\vec F_{g1}&amp;=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\
\vec N_1&amp;=0\hat x+N_1\hat y
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо записати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; для другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &amp;= m_1 a\\
\therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &amp;= m_1 a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона для маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&amp;=0\\
\therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&amp;=0
\end{aligned}&lt;/math&gt; де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, повністю визначають рух блоку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;, якщо всі наведені величини відомі&lt;ref&gt;Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.&lt;/ref&gt;.

Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона:

* При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; з’єднаний мотузкою з блоком &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;.
* Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні.
* Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла.
* Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі.

Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:2blocksHI&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:2blocksHI&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]]

&lt;/div&gt;
Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що складає кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю. Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_k&lt;/math&gt;. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.'''

&lt;span id=&quot;ex:newtonslaws:2blocksHI&quot; label=&quot;ex:newtonslaws:2blocksHI&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, її вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_kN_1&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від ланцюга.

Сили, що діють на масу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g2}&lt;/math&gt;, її вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k2}=\mu_k N_2&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_1&lt;/math&gt;, що діє на масу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;, оскільки шків є безмасовим.

Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельну прискоренню блоку, і вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; вгору і перпендикулярну осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;.]]

&lt;/div&gt;
Для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&amp;=m_1a_1\\
\therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &amp;= m_1 a_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де, в другому рядку, ми використали величину ваги (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_{g1}=m_1g&lt;/math&gt;) та сили кінетичного тертя (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_kN_1&lt;/math&gt;). Для компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1=m_1g\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_{g1}=m_1g&lt;/math&gt;) та кут нахилу.

Для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt; ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt; вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt; показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' &lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;.]]

&lt;/div&gt;
Починаємо з виписування &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент другого закону Ньютона для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = T_2 - f_{k2} &amp;= m_2 a_2\\
\therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 - F_{g2} &amp;=0\\
\therefore N_2 = m_2g
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми знову виразили вагу в через масу та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага.

Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T_1=T_2=T&lt;/math&gt;), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1=a_2=a&lt;/math&gt;). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &amp;= m_1 a\\
N_1=m_1g\cos\theta\\
T - \mu_k N_2 = m_2 a\\
N_2 = m_2g
\end{aligned}&lt;/math&gt; З наведених вище змінних (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_k&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_1&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt;) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні.

-----


&lt;/div&gt;
&lt;span id=&quot;прискорення-під-дією-сили-тяжіння&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Прискорення під дією гравітації =

Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt; як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt; зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_I&lt;/math&gt;, і гравітаційною масою, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_G&lt;/math&gt;, які ми розрізняємо в цьому підрозділі.

Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_G\vec g&lt;/math&gt;, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню).

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:gravity_fbd&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:gravity_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]]

&lt;/div&gt;
Виписуючи компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= -m_I a\\
\therefore m_Gg &amp;= m_I a
\end{aligned}&lt;/math&gt; З цього рівняння можна побачити, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt; не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_G=m_I&lt;/math&gt;, то маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a = g
\end{aligned}&lt;/math&gt; і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Зрозуміло, що розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt; також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g=9.8\ m/s^2&lt;/math&gt;. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt; дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення.

&lt;span id=&quot;неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Неінерційні системи відліку та інерційні сили =

У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».'''

Припустимо, що ми підвішуємо масу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:car&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]]

&lt;/div&gt;
Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки.

Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля).

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:car_fbd&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]]

&lt;/div&gt;
Виписуючи &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F &amp;= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\
\therefore\sum F_x &amp;= T\sin\theta = ma\\
\therefore\sum F_y &amp;= T\cos\theta-F_g=0
\end{aligned}&lt;/math&gt; 

Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення.

У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F &amp; = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m\vec a&lt;/math&gt;. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка діє в цій системі відліку: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F &amp;= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Оскільки ми знаємо, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T + \vec F_g=m\vec a&lt;/math&gt;, ми можемо підставити це в рівняння вище: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F &amp;= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\
&amp;=m\vec a+\vec F_I = 0\\
\therefore F_I &amp;= -m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;ma&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]].

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:car_fbd2&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:car_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I=-m\vec a&lt;/math&gt;.]]

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас).

Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, ваша вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, інерційна сила по модулю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;ma&lt;/math&gt;, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку).

Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю).

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:elevator_fbd&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:elevator_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]]

&lt;/div&gt;
Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N+F_I-F_g &amp;=0\\
N + ma -mg &amp;=0\\
\therefore N=m(g-a)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt; діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y&lt;/math&gt; рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;+F_I&lt;/math&gt;). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma&lt;/math&gt;.

Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=m(g-a)&lt;/math&gt;. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат:

* Оскільки розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt; однакові, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m(g-a)&lt;/math&gt; має правильну розмірність сили.
* Якщо прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt;, дорівнює нулю, то величина &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі.
* Якщо прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю.
* Якщо прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt;, більше, ніж &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m(a+g)&lt;/math&gt;.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Короткий зміст =

Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси.

Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним.

Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A.

Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні.

При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт:

* Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?).
* Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!).
* Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?).
* Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?).
* Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?).
* Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?).
* Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?).

Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була паралельна вектору прискорення об’єкта.

При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I=-m\vec a&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= ma_x \\
\sum F_y &amp;= ma_y \\
\sum F_z &amp;= ma_z
\end{aligned}&lt;/math&gt;

Сила тяжіння (або вага), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, біля поверхні Землі задається: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F_g = m\vec g
\end{aligned}&lt;/math&gt; де гравітаційне поле Землі має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g=9.8\ N/kg&lt;/math&gt;.

Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_k=\mu_kN
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_k&lt;/math&gt; - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху.

Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt; між ними, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\leq\mu_sN
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає.

Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F = -kx \hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою.

&lt;/div&gt;
-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

'''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;kg&lt;/math&gt;]. Типова змінна(і): &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;M&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;.

'''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt;]. Типова змінна(і): &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.

'''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;Nm^{-1}&lt;/math&gt;]. Загальна змінна(і): &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;.

'''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N/kg&lt;/math&gt; (поле), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;ms^{-2}&lt;/math&gt; (прискорення)]. Типова змінна(і): &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec g&lt;/math&gt;.

'''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu&lt;/math&gt;.


&lt;/div&gt;
&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

'''Поміркуйте та дослідіть:'''
# Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована?
# Коли Галілей запропонував свій принцип інерції?
# Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі?
# Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя?

&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

'''Спробуйте вдома:'''
# Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається?

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;

'''Спробуйте в лабораторії:'''
# Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси.
# Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею.
&lt;/div&gt;
&lt;span id=&quot;приклади-задач-та-рішень&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Приклади задач та рішень =

&lt;span id=&quot;задачі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі ==

'''Задача 1:''' &lt;span id=&quot;prob:newtonslaws:katiesnowboarding&quot; label=&quot;prob:newtonslaws:katiesnowboarding&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:katiesnowboarding&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:katiesnowboarding&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]]

&lt;/div&gt;
Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta=50&lt;/math&gt; градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;40\ m&lt;/math&gt; від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_k=0.45&lt;/math&gt;, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]])

'''Задача 2:''' &lt;span id=&quot;prob:newtonslaws:twoboxes&quot; label=&quot;prob:newtonslaws:twoboxes&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:twoboxes&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:twoboxes&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]]

&lt;/div&gt;
Два ящики з масами, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_1&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m_2&lt;/math&gt;, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.3&lt;/math&gt;. Постійна сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]])

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Розв'язок [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|задачі 1]]:''' &lt;span id=&quot;soln:newtonslaws:katiesnowboarding&quot; label=&quot;soln:newtonslaws:katiesnowboarding&quot;&gt;&lt;/span&gt; Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;40\ m&lt;/math&gt;.

Сили, що діють на Кеті:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, її вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_k&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_k=\mu_kN&lt;/math&gt;

Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, що йде паралельно прискоренню.

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:katieforces&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:katieforces&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]]

&lt;/div&gt;
За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, тоді як компонента гравітації в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g\sin\theta&lt;/math&gt;. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &amp;= ma\\
\therefore mg\sin\theta -\mu_k N &amp;= ma
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що вага задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; - маса Кеті), а величина сили тертя як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_k=\mu_k N&lt;/math&gt;.

Далі ми запишемо компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тоді як компонента гравітації в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-F_g\cos\theta&lt;/math&gt;. Прискорення не має складової в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Зібравши це у другий закон Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g\cos\theta &amp;=0\\
\therefore N-mg\cos\theta &amp;=0
\end{aligned}&lt;/math&gt;

Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta -\mu_k N &amp;= ma\\
N-mg\cos\theta &amp;=0
\end{aligned}&lt;/math&gt; У нас є три невідомі, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt;, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg\cos\theta&lt;/math&gt;, яку ми підставимо у перше рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta -\mu_k N &amp;= ma\\
\therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &amp;= ma\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, і стає можливим знайти прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a&amp;=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\
&amp;=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\
&amp;=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\
&amp;=4.67\ N/kg
\end{aligned}&lt;/math&gt; На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N/kg&lt;/math&gt; замість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m/s^2&lt;/math&gt;. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
F &amp;= ma\\
a &amp;= \frac{F}{m}\\
\therefore SI[a] &amp;= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Часто величину гравітаційного поля Землі записують як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g=9.8\ m/s^2&lt;/math&gt;, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими.

Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{0x}=0\ m/s&lt;/math&gt;, її прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x=a=4.67\ m/s^2&lt;/math&gt; в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=40\ m&lt;/math&gt;, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), відстань, яку вона подолала за час, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, задається наступним чином: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
x(t)&amp;=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\
40\ m&amp;=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\
\therefore t&amp;=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кеті має &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4.14\ s&lt;/math&gt; блаженства перед посадкою у велику купу снігу.

'''Розв’язок [[#prob:newtonslaws:twoboxes|задачі 2]]:''' &lt;span id=&quot;soln:newtonslaws:twoboxes&quot; label=&quot;soln:newtonslaws:twoboxes&quot;&gt;&lt;/span&gt; Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя.

Сили, що діють на ящик 2:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{2g}&lt;/math&gt;, його вага.
* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, нормальна реакція, яку надає ящик 1.
* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{2s}&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1.
* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - прикладена сила.

Сили, що діють на ящик 1:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{1g}&lt;/math&gt;, його вага.
* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз).
* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-\vec f_{2s}&lt;/math&gt;, сила статичного тертя від ящика 2.
* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{1s}&lt;/math&gt; - сила статичного тертя землі.

Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]]

&lt;span id=&quot;fig:newtonslaws:twoboxes_fbd&quot; label=&quot;fig:newtonslaws:twoboxes_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;

[[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]]

&lt;/div&gt;
Розглядаючи компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N_2 - F_{2g} = 0\\
\therefore N_2 &amp;= m_2 g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Максимальна величина сили статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{2s}&lt;/math&gt;, між двома ящиками задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_1&lt;/math&gt;, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\
\therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова).

-----

&lt;references /&gt;


{{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|Застосування законів Ньютона}}</text>
      <sha1>ngefoazd3mo5jd5sdmzolh76lbe7vwq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Застосування законів Ньютона</title>
    <ns>0</ns>
    <id>8655</id>
    <revision>
      <id>41455</id>
      <parentid>41454</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T16:06:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил */ - вичитка, форматування, зображення</comment>
      <origin>41455</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="117839" sha1="c28ggj0l634ovm80juvq4duiirl9u0e" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[#chapter:describingmotioninnd|[chapter:describingmotioninnd]]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[#sec:describingmotioninnd:circularmotion|[sec:descriptionmotioninnd:circularmotion]]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH.png|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі, полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення струни між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо струна знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від струни.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH_fbd.png|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в струні та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в струні збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/trajectoryABCD.png|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car.png|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?

-----

Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола, - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car_fbd.png|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, повинна дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore, N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати $f_s_sN =_smg $ (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде ковзати, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме його максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по, реалістична, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість більша, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV.png|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. Чи може швидкість м’яча бути постійною? Яка мінімальна швидкість м’яча на вершині кола, при якій він здатний пройти по колу?

-----

Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV_fbd.png|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру кола.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю просто в верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати прискорення, яке є радіальним, навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч продовжить рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола має сенс, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), що робить поворот вліво по кривій, яка нахилена під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі і може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank.png|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок на нахилі).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодили - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank_fbd.png|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\nonumber\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\nonumber\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння]] зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carinertial.png|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore, N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, що діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Нерівномірний круговий рух =

У нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде коректним наступне

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує на центр кола, зазвичай зручно розбити вектор прискорення на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant.png|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. Через який час мураха злетить з програвача?

-----

У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Після того, як програвач стане рухатися досить швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant_fbd.png|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore, N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_Smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left( \frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left( \frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}  \right)\\
&amp;=1.17°
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17°)}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача -:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

Перелічте

* Виведіть вираз для натягу в нитці.
* Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.
* Виведіть вираз для періоду руху.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;

'''Задача -:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;), при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt; у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!</text>
      <sha1>c28ggj0l634ovm80juvq4duiirl9u0e</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41456</id>
      <parentid>41455</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T16:07:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил */</comment>
      <origin>41456</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="117847" sha1="kf0qrz80g6cigl9x66rekfr23ljhn6b" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[#chapter:describingmotioninnd|[chapter:describingmotioninnd]]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[#sec:describingmotioninnd:circularmotion|[sec:descriptionmotioninnd:circularmotion]]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH.png|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі, полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення струни між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо струна знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від струни.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleH_fbd.png|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в струні та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в струні збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/trajectoryABCD.png|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car.png|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?

-----

Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола, - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/car_fbd.png|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, повинна дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore, N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати $f_s_sN =_smg $ (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде ковзати, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме його максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по, реалістична, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість більша, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV.png|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. Чи може швидкість м’яча бути постійною? Яка мінімальна швидкість м’яча на вершині кола, при якій він здатний пройти по колу?

-----

Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/circleV_fbd.png|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру кола.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю просто в верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати прискорення, яке є радіальним, навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч продовжить рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола має сенс, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), що робить поворот вліво по кривій, яка нахилена під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі і може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank.png|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок на нахилі).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодили - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carbank_fbd.png|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\nonumber\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\nonumber\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння]] зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/carinertial.png|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore, N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, що діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Нерівномірний круговий рух =

У нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде коректним наступне

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує на центр кола, зазвичай зручно розбити вектор прискорення на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant.png|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. Через який час мураха злетить з програвача?

-----

У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Після того, як програвач стане рухатися досить швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant_fbd.png|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore, N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_Smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left( \frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left( \frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}  \right)\\
&amp;=1.17°
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17°)}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача -:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

Перелічте

* Виведіть вираз для натягу в нитці.
* Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.
* Виведіть вираз для періоду руху.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;

'''Задача -:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;), при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt; у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!</text>
      <sha1>kf0qrz80g6cigl9x66rekfr23ljhn6b</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41457</id>
      <parentid>41456</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T18:38:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Рівномірний круговий рух */ - вичитка, зображення</comment>
      <origin>41457</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="118453" sha1="5qrlb89n5e6vyeanhmnkylgjswxv07d" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

У нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде коректним наступне

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує на центр кола, зазвичай зручно розбити вектор прискорення на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant.png|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. Через який час мураха злетить з програвача?

-----

У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Після того, як програвач стане рухатися досить швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/ant_fbd.png|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore, N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_Smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left( \frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left( \frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}  \right)\\
&amp;=1.17°
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17°)}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача -:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

Перелічте

* Виведіть вираз для натягу в нитці.
* Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.
* Виведіть вираз для періоду руху.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;

'''Задача -:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;), при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt; у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!</text>
      <sha1>5qrlb89n5e6vyeanhmnkylgjswxv07d</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41458</id>
      <parentid>41457</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T19:28:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Нерівномірний круговий рух */ - вичитка, зображення</comment>
      <origin>41458</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="118489" sha1="quoo0scm32dj81ehasptz1ge692ja5c" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне:

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. '''Через який час мураха злетить з програвача?'''


У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\
&amp;=1.17\text{°}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Крутіть масу на струні по вертикальному колу. Який буде натяг у струні, коли маса знаходиться вгорі, щоб вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на струні по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на струні по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається не з мінімальною швидкостю по колу. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника, так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача -:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

Перелічте

* Виведіть вираз для натягу в нитці.
* Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.
* Виведіть вираз для періоду руху.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulum.png|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;

'''Задача -:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/rollercoaster.png|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі]]: &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:figures/ApplyingNewtonsLaws/conicalpendulumfbd.png|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до центру кола. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Рішення [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;), при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt; у верхній частині петлі, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!</text>
      <sha1>quoo0scm32dj81ehasptz1ge692ja5c</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41459</id>
      <parentid>41458</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T19:56:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Міркування про матеріал */ - вичитка, зображення</comment>
      <origin>41459</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="118746" sha1="jqeij1549n3crt07oyx51gnutjn6tsj" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне:

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. '''Через який час мураха злетить з програвача?'''


У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\
&amp;=1.17\text{°}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному відрізку. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, де вектор прискорення співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Подумайте та дослідіть:'''
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте вдома:'''
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте в лабораторії:'''
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача 6.1:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

* '''Виведіть вираз для натягу в нитці.'''
* '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.'''
* '''Виведіть вираз для періоду руху.'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;


'''Задача 6.2:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:'''
&lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;:
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;) при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!</text>
      <sha1>jqeij1549n3crt07oyx51gnutjn6tsj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41460</id>
      <parentid>41459</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T20:01:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Короткий зміст */ - вичитка</comment>
      <origin>41460</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="118749" sha1="538bkbz9ksfjqi1vx8jlanl9yy4hfli" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне:

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. '''Через який час мураха злетить з програвача?'''


У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\
&amp;=1.17\text{°}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Подумайте та дослідіть:'''
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте вдома:'''
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте в лабораторії:'''
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача 6.1:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

* '''Виведіть вираз для натягу в нитці.'''
* '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.'''
* '''Виведіть вираз для періоду руху.'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;


'''Задача 6.2:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:'''
&lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;:
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;) при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!</text>
      <sha1>538bkbz9ksfjqi1vx8jlanl9yy4hfli</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41461</id>
      <parentid>41460</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T20:01:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Нерівномірний круговий рух */</comment>
      <origin>41461</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="118757" sha1="7hezkf3s38q3rww87qt495za1cq3fg9" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне:

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. '''Через який час мураха злетить з програвача?'''


У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\
&amp;=1.17\text{°}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Подумайте та дослідіть:'''
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте вдома:'''
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте в лабораторії:'''
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача 6.1:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

* '''Виведіть вираз для натягу в нитці.'''
* '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.'''
* '''Виведіть вираз для періоду руху.'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;


'''Задача 6.2:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:'''
&lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;:
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;) при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!</text>
      <sha1>7hezkf3s38q3rww87qt495za1cq3fg9</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41463</id>
      <parentid>41461</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T20:18:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <origin>41463</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="118825" sha1="iswd29qjjq2rdmuunik1fo0hiuhvxck" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''[ ^1] (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне:

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. '''Через який час мураха злетить з програвача?'''


У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\
&amp;=1.17\text{°}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Подумайте та дослідіть:'''
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте вдома:'''
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте в лабораторії:'''
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача 6.1:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

* '''Виведіть вираз для натягу в нитці.'''
* '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.'''
* '''Виведіть вираз для періоду руху.'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;


'''Задача 6.2:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:'''
&lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;:
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;) при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!

{{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}}</text>
      <sha1>iswd29qjjq2rdmuunik1fo0hiuhvxck</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41464</id>
      <parentid>41463</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T20:25:33Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Рівномірний круговий рух */</comment>
      <origin>41464</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="119262" sha1="gtk52do30zcb3g0wjx2yxehjror95xw" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''&lt;ref&gt;Суму сил часто називають &quot;рівнодійною сил&quot;, що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься &quot;доцентровою силою&quot;, однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.&lt;/ref&gt; (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне:

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. '''Через який час мураха злетить з програвача?'''


У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\
&amp;=1.17\text{°}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Подумайте та дослідіть:'''
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте вдома:'''
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте в лабораторії:'''
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача 6.1:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

* '''Виведіть вираз для натягу в нитці.'''
* '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.'''
* '''Виведіть вираз для періоду руху.'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;


'''Задача 6.2:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:'''
&lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;:
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;) при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!

{{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}}</text>
      <sha1>gtk52do30zcb3g0wjx2yxehjror95xw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41465</id>
      <parentid>41464</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T20:27:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <origin>41465</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="119288" sha1="sxcq7na8tgzs4uminjew5zwzk6lz058" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''&lt;ref&gt;Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.&lt;/ref&gt; (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, і отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне:

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. '''Через який час мураха злетить з програвача?'''


У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\
&amp;=1.17\text{°}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Подумайте та дослідіть:'''
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте вдома:'''
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте в лабораторії:'''
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача 6.1:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

* '''Виведіть вираз для натягу в нитці.'''
* '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.'''
* '''Виведіть вираз для періоду руху.'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;


'''Задача 6.2:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:'''
&lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;:
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;) при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!

-----

&lt;references/&gt;

{{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}}</text>
      <sha1>sxcq7na8tgzs4uminjew5zwzk6lz058</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>41466</id>
      <parentid>41465</parentid>
      <timestamp>2026-08-30T20:39:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Slavust</username>
        <id>9295</id>
      </contributor>
      <comment>/* Нахилені криві */</comment>
      <origin>41466</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="119286" sha1="5vmooddiqnn4l6qgg8aiy83z38bijx7" xml:space="preserve">У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта.

Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим.

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Цілі навчання:'''
* Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний).
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі.
* Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі.
* Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами.

&lt;/div&gt;


-----
&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?'''

# внизу траєкторії, коли швидкість найбільша.
# у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю.
# в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення.

&lt;/div&gt;
-----


&lt;span id=&quot;статика&quot;&gt;&lt;/span&gt;
= Статика =

Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове.

Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Ви давите горизонтально з силою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; на ящик масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall&quot;&gt;&lt;/span&gt; Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]]
&lt;/div&gt;

Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил,  це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага ящика, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_s N&lt;/math&gt;, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; або &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма сил, що діють на ящик.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F - N &amp;=0\\
\therefore N = F
\end{aligned}&lt;/math&gt; це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = f_s - F_g &amp;=0\\
\therefore f_s -mg &amp;=0\\
\therefore f_s = mg\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну.

Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s N&lt;/math&gt;, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s F&lt;/math&gt;, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; мають однакову величину (з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона). Крім того, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=mg&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore mg &amp;\leq \mu_s F\\
\therefore \frac{mg}{\mu_s} &amp;\leq F
\end{aligned}&lt;/math&gt; що надає нам умову &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F\geq mg/\mu_s&lt;/math&gt;, і, отже, мінімальну величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз.

Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN&lt;/math&gt;. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=F&lt;/math&gt;); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F&lt;/math&gt;, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика.

'''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg/\mu_s&lt;/math&gt; - це сила.
* Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим.
* Якщо коефіцієнт статичного тертя, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;, збільшується, не потрібно так сильно тиснути.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;лінійний-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Лінійний рух =

Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:linearmotion&quot;&gt;&lt;/span&gt; (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]]
&lt;/div&gt;

Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню).


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:block&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; розміщується на нахилі, що утворює кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею.

Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt;, а між блоком і горизонтальною поверхнею — &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?'''


Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона.

Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що:

# Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу.
# В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; із відомим прискоренням.
# Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення.
# Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу.

Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага блока.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє нахил.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k1}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_1&lt;/math&gt;, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, паралельний прискоренню.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a=a_1\hat x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &amp;= ma_1\\
\therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна записати як: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &amp;= 0\\
\therefore N_1 = mg\cos\theta
\end{aligned}&lt;/math&gt; де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &amp;= ma_1\\
mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&amp;= ma_1\\
\therefore a_1 &amp;= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; рівним нулю там, де блок почав рух (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), тож блок знаходиться в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=L&lt;/math&gt; у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;, враховуючи, що початкова швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2a_1(x-x_0)\\
v^2&amp;=2a_1L\\
\therefore v &amp;= \sqrt{2a_1L}\\
&amp;=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_{g1}&lt;/math&gt;, його вага.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_2&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_{k2}&lt;/math&gt;, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_{k1}=\mu_{k1}N_1&lt;/math&gt;.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt;, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;xy&lt;/math&gt; так, щоб вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (і прискорення у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -f_{k2} &amp;= -ma_2\\
\therefore \mu_{k2}N_2 &amp;= ma_2
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є додатним числом, оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt; є додатним і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N_2&lt;/math&gt; також є додатним (це величина сили нормальної реакції). &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt; є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; прискорення дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;-a_2&lt;/math&gt;, а вектор задається як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2=-a_2\hat x&lt;/math&gt;.

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N_2 -F_g &amp;=0\\
\therefore N_2 = mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; яку ми можемо підставити назад у рівняння &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
ma_2 &amp;=\mu_{k2}N_2 \\
\therefore a_2&amp;=\mu_{k2}g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; внизу нахилу (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=0&lt;/math&gt;), прискорення від’ємне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_x = -a_2 = -mu_{k2}g&lt;/math&gt;, кінцева швидкість дорівнює нулю, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt;, а початкова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2-v_0^2&amp;=2(-a_2)(x-x_0)\\
v_0^2&amp;=2a_2x\\
\therefore x &amp;=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\
&amp;=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\
\therefore x&amp;=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' модель відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки:

* Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; матиме ту ж розмірність, що і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;.
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться).
* Якщо ми зробимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k1}&lt;/math&gt; більшим, то &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу.
* Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_{k2}&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя).
* Якщо ми збільшимо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;, чисельник буде більшим, тому &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше).

&lt;/div&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Подарунок розміщується на похилій площині на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4L&lt;/math&gt; від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2v&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4v&lt;/math&gt;
# залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею.

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил ==

Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]]
&lt;/div&gt;

Розглянемо блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\hat x&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_3=3\Delta x&lt;/math&gt;, коли блок пройшов три відрізки.

Горизонтальну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F&lt;/math&gt;, що діє на блок, можна записати у вигляді: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F (x)=
\begin{cases}
F_1\hat x &amp; x&lt;\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\
F_2\hat x &amp; \Delta x \leq x&lt; 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\
F_3\hat x &amp; 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)}
\end{cases}
\end{aligned}&lt;/math&gt; оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках.

Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_i = ma_i
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали індекс &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt;, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;i&lt;/math&gt; задається виразом: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_i = \frac{F_i}{m}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість блоку рівна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; на початку відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt;), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_1&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_1&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_1^2-v_0^2 &amp;= 2a_1(x_1 - x_0)\\
v_1^2 &amp;=v_0^2+ 2a_1\delta x\\
\therefore v_1^2 &amp;=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_2&lt;/math&gt;), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_2&lt;/math&gt;, оскільки знаємо швидкість на його початку (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_1&lt;/math&gt;,&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_1&lt;/math&gt;) та прискорення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_2&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_2^2 -v_1^2 &amp;= 2a_2(x_2 - x_1)\\
\therefore, v_2^2 &amp;= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\
&amp;=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якби було &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N&lt;/math&gt; відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v_N^2 &amp;= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x&lt;/math&gt;, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, з силою, заданою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)=F(x)\hat x&lt;/math&gt;, і якби об’єкт починав рух з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt;, ми б взяли наступну границю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Delta x = \frac{X}{N}&lt;/math&gt; так, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N\to\infty&lt;/math&gt;. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; і швидкість в положенні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt; задається формулою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F(x)&lt;/math&gt;, то прискорення задається &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x) = \frac{F(x)}{m}&lt;/math&gt;. Швидкість пов’язана з прискоренням: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a(x) &amp;= \frac{dv}{dt}\\
\therefore dv &amp;= a(x)dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\int a(x)dt&lt;/math&gt;, оскільки прискорення задається як функція положення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)&lt;/math&gt;, а не функція часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;. Через це ми не можемо взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; пов’язані через швидкість: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v &amp;= \frac{dx}{dt}\\
\therefore dt &amp;= \frac {1}{v}dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми можемо написати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
dv &amp;= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x)
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; по &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, ліворуч) з самою функцією (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, в різні сторони рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
vdv = a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це останнє рівняння говорить, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt;. Пам’ятайте, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dx&lt;/math&gt; - це довжина дуже маленького відрізка в &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;dv&lt;/math&gt; - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;vdv&lt;/math&gt; на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a(x)dx&lt;/math&gt; на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0&lt;/math&gt; відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; відповідно. Тоді маємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_{v_0}^{V}vdv&amp;=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &amp;= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\therefore V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\
&amp;=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\
\therefore V^2- v_0^2 &amp;= 2a(X-x_0)
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt;

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:blockspring&quot;&gt;&lt;/span&gt; Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt; безпосередньо перед звільненням блоку.]]
&lt;/div&gt;

Блок маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?'''


Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\vec F(x) = -kx\hat x
\end{aligned}&lt;/math&gt; де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; - положення вільного кінця пружини, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt; відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0&lt;/math&gt; є від’ємним числом).

Сили, що діють блок:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N_1&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє земля.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F(x)&lt;/math&gt;, сила пружності.

Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt;, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = -kx &amp;= ma(x)\\
\therefore a(x)&amp;=-\frac{k}{m}x
\end{aligned}&lt;/math&gt; Знову ж таки, нагадаємо, що якщо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=x_0&lt;/math&gt; до положення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=X&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx
\end{aligned}&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_0=0&lt;/math&gt;, оскільки блок стартує зі стану спокою, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x_0=-D&lt;/math&gt; - початкове положення блоку. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt; - це положення вздовж осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;, де блок покидає пружину.

Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X&lt;/math&gt;: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Як тільки блок досягне &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x=0&lt;/math&gt;, так що кінцева позиція &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;X=0&lt;/math&gt;. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
V^2 &amp;= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\
&amp;= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\
&amp;= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\
&amp;= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\
&amp;= \frac{k}{m}D^2\\
\therefore V &amp;= \sqrt{\frac{k}{m}}D
\end{aligned}&lt;/math&gt; 
'''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність для виразу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt; коректна (ви повинні перевірити це!).
* Якщо пружина стиснута більше (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;D&lt;/math&gt;), швидкість буде вищою.
* Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою.
* Якщо пружина жорсткіша (більше значення &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;k&lt;/math&gt;), кінцева швидкість буде вищою.

Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2
\end{aligned}&lt;/math&gt; що дає те саме значення для &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V&lt;/math&gt;. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили.

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Об’єкт масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt; звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, де &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; - швидкість об’єкта, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b&lt;/math&gt; - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?'''


&lt;span id=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot; data-label=&quot;ex:applicationnewtonslaws:drag&quot;&gt;&lt;/span&gt; Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;, спрямована вниз.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_d&lt;/math&gt;, сила лобового опору, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;, що діє вгору.

Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; вертикальною, з додатним &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона для об’єкта дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = F_g - F_d &amp;= ma\\
mg - bv &amp;= ma\\
\therefore a &amp;= g-\frac{b}{m}v
\end{aligned}&lt;/math&gt; У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
g-\frac{b}{m}v &amp;=0\\
\therefore v = \frac{mg}{b}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v_{term}=mg/b&lt;/math&gt;, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;bv&lt;/math&gt;) мала ту ж величину, що і вага (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;).

Підставивши прискорення як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=\frac{dv}{dt}&lt;/math&gt;, ми можемо записати: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{dt} &amp;= \left(g-\frac{b}{m}v \right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; і від &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; по різні сторони знака рівності: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&amp;= dt\\
\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&amp;= -\frac{b}{m}dt\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt;, в якийсь момент часу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt;, зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=0&lt;/math&gt; при &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &amp;= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\
\left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&amp;=-\frac{b}{m}t\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; в останньому рядку ми використали властивість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)&lt;/math&gt;. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;e^{\ln(x)}=x&lt;/math&gt;), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &amp;= e^{-\frac{b}{m}t}\\
v(t)-\frac{mg}{b} &amp;= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
\therefore v(t) &amp;= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\
&amp;=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)
\end{aligned}&lt;/math&gt; '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t=0&lt;/math&gt; швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; наближається до нескінченності, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt; наближається до &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{mg}{b}&lt;/math&gt;, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:drag_vt&quot;&gt;&lt;/span&gt; Швидкість як функція часу для об’єкта маси &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m=10\ kg&lt;/math&gt;, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;b=0.5\ Ns/m&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;рівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Рівномірний круговий рух =

Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;:

* Вектор швидкості, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec v&lt;/math&gt;, завжди дотичний до кола.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється.
* Вектор прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a&lt;/math&gt;, завжди вказує у центр кола.
* Вектор прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;.
* Кутова швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\omega&lt;/math&gt;, пов’язана з модулем вектора швидкості як &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v=\omega R&lt;/math&gt; і є постійною.
* Кутове прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється.

Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''&lt;ref&gt;Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.&lt;/ref&gt; (паралельно прискоренню): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = m\vec a
\end{aligned}&lt;/math&gt; де прискорення має величину &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a=v^2/R&lt;/math&gt;. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_c&lt;/math&gt;.

Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH&quot; data-label=&quot;fig: applyingnewtonslaws:circleH&quot;&gt;&lt;/span&gt; Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції від поверхні.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.

Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]]
&lt;/div&gt;

Виписуємо &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; і &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; компоненти другого закону Ньютона: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= T = ma_R\\
\sum F_y &amp;= N - F_g =0
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T &amp;= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD&quot;&gt;&lt;/span&gt; Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]]
&lt;/div&gt;

Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?'''

# А
# B
# C
# D

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot; data-label=&quot;ex:applyingnewtonslaws:car&quot;&gt;&lt;/span&gt;Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s&lt;/math&gt;. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?'''


Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt; - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;.

Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:car_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = N-F_g&amp;=0\\
\therefore N &amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x = f_s =ma_R&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Сила тертя має бути меншою або дорівнювати &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s \leq \mu N =\mu_s mg&lt;/math&gt; (оскільки &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;N=mg&lt;/math&gt; з &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s = m\frac{v^2}{R}&amp;\leq\mu_smg\\
v^2 &amp;\leq \mu_s g R\\
\therefore v &amp;\leq \sqrt{\mu_s g R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Таким чином, якщо швидкість менша &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt;, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню.

'''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки:

* Розмірність &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{\mu_s g R}&lt;/math&gt; - це швидкість.
* Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу).
* Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt; у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?'''


Сили, що діють на м’яч:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від мотузки.

[[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:circleV&quot;&gt;&lt;/span&gt; Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]]
&lt;/div&gt;

Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру.

Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T_2&lt;/math&gt;. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum \vec F&lt;/math&gt;), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;) до кола, так і радіальними (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;), як показано вектором &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec a_2&lt;/math&gt; на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]].

Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3).

Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в позиції 3 дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y = -F_g &amp;= ma_y\\
\therefore a_y &amp;=-g
\end{aligned}&lt;/math&gt; Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R&amp;=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\
\therefore v_{min}&amp;=\sqrt{gR}
\end{aligned}&lt;/math&gt; що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола).

'''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки:

* &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt{gR}&lt;/math&gt; має розмірність швидкості.
* Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки).
* Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!).

&lt;/div&gt;

-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?'''

# Зменшиться
# Залишиться такою ж
# Збільшиться

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нахилені-криві&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Нахилені криві ==

Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола.

Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank&quot;&gt;&lt;/span&gt; Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]]
&lt;/div&gt;

Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s\leq\mu_sN&lt;/math&gt;. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''.

Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля:

* Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу).
* Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз).

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]]
&lt;/div&gt;

Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз).

Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; та &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;другого закону Ньютона дають: &lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_x&quot;&gt;&lt;/span&gt; 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\
\therefore N\sin\theta &amp;= m\frac{v^2}{R} 
\end{aligned}&lt;/math&gt;
&lt;span id=&quot;eq:applyingnewtonslaws:carbank_y&quot;&gt;&lt;/span&gt; &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= N\cos\theta-F_g = 0\\
\therefore N\cos\theta&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta&lt;/math&gt;, отримаємо: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\tan\theta &amp;= \frac{v^2}{gR}\\
\therefore v_{ideal} &amp;=\sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt; За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити.

&lt;span id=&quot;інерційні-сили-при-круговому-русі&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Інерційні сили при круговому русі ==

Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля.

Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_I&lt;/math&gt;, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=ma_R&lt;/math&gt; (якщо сумарне прискорення автомобіля становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]].

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:carinertial&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]]
&lt;/div&gt;

Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=N-F_g=0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s = ma_R\\
\therefore f_s &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I=mv^2/R&lt;/math&gt;, компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дорівнює: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= f_s-F_I = 0\\
\therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &amp;= 0
\end{aligned}&lt;/math&gt; що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку.


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_I&lt;/math&gt;. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?'''

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sqrt {2} F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac {1}{2}F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2F_I&lt;/math&gt;
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;4F_I&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;нерівномірний-круговий-рух&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Нерівномірний круговий рух =

При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне:

* Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола.
* Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними.
* Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю.
* Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола.

Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_R&lt;/math&gt;, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_R=\frac{v^2}{r}
\end{aligned}&lt;/math&gt; де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \frac{dv}{dt}
\end{aligned}&lt;/math&gt;


-----

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant&quot;&gt;&lt;/span&gt;Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]]
&lt;/div&gt;

Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha=1\ rad/s^2&lt;/math&gt;, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R=0.1\ m&lt;/math&gt; від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mu_s=0.5&lt;/math&gt;. '''Через який час мураха злетить з програвача?'''


У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним).

Сили, що діють на мураху:

# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, його вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec N&lt;/math&gt;, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху.
# &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec f_s&lt;/math&gt;, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти.

Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt; з віссю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; так, щоб мураха розташовувався на додатній осі &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; зі швидкістю в додатному напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;), так і дотичний (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;) компонент.

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd&quot;&gt;&lt;/span&gt;(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\odot&lt;/math&gt;), тоді як вага спрямована від екрану (&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\times&lt;/math&gt;). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt;, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]]
&lt;/div&gt;

Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;z&lt;/math&gt; пов’язує вагу та силу нормальної реакції: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_z &amp;= N - F_g = 0\\
\therefore N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона така, що &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt;-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x &amp;= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\
\therefore f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y &amp;= f_s\sin\theta = ma_T \\
\therefore f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a_T&lt;/math&gt;, пов’язане з кутовим прискоренням, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
a_T = \alpha R
\end{aligned}&lt;/math&gt; Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
N&amp;=mg
\end{aligned}&lt;/math&gt; Також зверніть увагу, що швидкість, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v(t)&lt;/math&gt; в якийсь момент часу &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t&lt;/math&gt; задається простою кінематикою: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t
\end{aligned}&lt;/math&gt; Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f_s=\mu_sN =\mu_smg&lt;/math&gt;. Компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;): &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\cos\theta &amp;= m\frac{v^2}{R}\\
\mu_sg\cos\theta &amp;= R\alpha^2t^2\\
\therefore t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Ми можемо використати компоненту &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; для визначення кута &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;: 
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
f_s\sin\theta &amp;= m\alpha R\\
\mu_sg\sin\theta &amp;= \alpha R\\
\therefore \sin\theta &amp;= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\
\therefore \theta &amp;= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g}  \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\
&amp;=1.17\text{°}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
t &amp;= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\
&amp;=7.0\ s
\end{aligned}&lt;/math&gt;

&lt;/div&gt;

-----


&lt;span id=&quot;короткий-зміст&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Короткий зміст =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей.

Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно.

Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R}
\end{aligned}&lt;/math&gt; Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості.

У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;міркування-про-матеріал&quot;&gt;&lt;/span&gt;

= Міркування про матеріал =

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Подумайте та дослідіть:'''
# Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?)

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте вдома:'''
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло?
# Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси?
# Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу?

&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;mdframed&quot;&gt;
'''Спробуйте в лабораторії:'''
# Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте.
# Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда.
# Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі.

&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;задачі-та-розвзки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Задачі та розв’зки ==

'''Задача 6.1:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Розглянемо конічний маятник масою &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;, прикріплений до нитки довжиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;L&lt;/math&gt;. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;R&lt;/math&gt;, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]])

* '''Виведіть вираз для натягу в нитці.'''
* '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.'''
* '''Виведіть вираз для періоду руху.'''

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt; Конічний маятник.]]
&lt;/div&gt;


'''Задача 6.2:''' &lt;span id=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, і що петля американських гірок має радіус &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;22\ m&lt;/math&gt;. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]])

&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt; Американські гірки]]
&lt;/div&gt;

&lt;span id=&quot;розвязки&quot;&gt;&lt;/span&gt;
== Розв’язки ==

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:'''
&lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:pendulum&quot;&gt;&lt;/span&gt;'''

&lt;ol style=&quot;list-style-type: decimal;&quot;&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec F_g&lt;/math&gt;, вага, з величиною &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;mg&lt;/math&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec T&lt;/math&gt;, сила натягу від нитки.&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;

&lt;p&gt;Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).&lt;/p&gt;
&lt;div class=&quot;figure&quot;&gt;
[[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' &lt;span id=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot; data-label=&quot;fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd&quot;&gt;&lt;/span&gt; Сили, що діють на конічний маятник]]
&lt;/div&gt;

&lt;p&gt;Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;y&lt;/math&gt; другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\theta&lt;/math&gt;:
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_y&amp;=0 \\
F_T\cos\theta -F_g&amp;=0 \\
F_T\cos\theta&amp;=mg \\
\therefore F_T&amp;=\frac{mg}{\cos\theta} \\
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x&lt;/math&gt; другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;F_T&lt;/math&gt;, дозволяє визначити швидкість маси: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
\sum F_x&amp;=ma_r \\
F_T\sin\theta&amp;=m\frac{v^2}{R}\\
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &amp;=m\frac{v^2}{R}\\
g\tan\theta&amp;=\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR\tan\theta}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
T&amp;=\frac{2\pi R}{v} \\
&amp;=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}
\end{aligned}&lt;/math&gt;&lt;/p&gt;&lt;/li&gt;&lt;/ol&gt;

'''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' &lt;span id=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot; data-label=&quot;soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster&quot;&gt;&lt;/span&gt;

Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі.

Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;m&lt;/math&gt;) при русі зі швидкістю &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;v&lt;/math&gt;: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{aligned}
mg &amp;= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\
\therefore v &amp;= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s
\end{aligned}&lt;/math&gt; Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;15\ m/s&lt;/math&gt;, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки!

-----

&lt;references/&gt;

{{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}}</text>
      <sha1>5vmooddiqnn4l6qgg8aiy83z38bijx7</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>