英语/发音/英国音转美国音

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    <title>英语/发音/英国音转美国音</title>
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        <username>Pawsdt</username>
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      <text bytes="3535" sha1="egdrhv4012k6ptnjjrf02v7ytabkbhn" xml:space="preserve">&lt; [[英语/发音/美国音|美国音目录]]

假如您的词典标的是英国音，但是您又要学美国音的话，那么您就必须按照对应规律把英国音标转成美国音标。
==规律==
===元音===
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 英国音 !! 在以下情况下 !! 为以下美国音 !! 例词
|-
|{{IPA|[iː]}}||所有||{{IPA|[i]}}||b'''ee'''t, m'''ea'''l
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[ɪ]}}&lt;br&gt;（或标为{{IPA|[i]}}）||一般||{{IPA|[ɪ]}}||b'''i'''t, m'''i'''ll
|-
|在词尾||{{IPA|[i]}}||prett'''y''', likel'''y'''
|-
|{{IPA|[e]}}||所有||{{IPA|[ɛ]}}||b'''e'''t, s'''e'''ll
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[æ]}}||一般||{{IPA|[æ]}}||s'''a'''t, b'''a'''nk
|-
|后有r||{{IPA|[ɛr]}}||m'''a'''rry, c'''a'''rol
|-
|rowspan=&quot;3&quot;|{{IPA|[ɑː]}}&lt;ref&gt;有相当一部分词，如drama, Iraq等，既可发{{IPA|[æ]}}也可发{{IPA|[ɑ]}}。本表尽量从简，全部归为{{IPA|[æ]}}。&lt;/ref&gt;||一般||{{IPA|[æ]}}||d'''a'''nce, t'''a'''sk
|-
|后有l||{{IPA|[ɑ]}}||p'''al'''m, c'''al'''f
|-
|后有r||{{IPA|[ɑr]}}||h'''ar'''d, m'''ar'''k
|-
|{{IPA|[ɒ]}}&lt;br&gt;（或标为{{IPA|[ɔ]}}）||所有||{{IPA|[ɑ]}}&lt;ref name=&quot;ceus&quot;&gt;美国东部、中部有{{IPA|[ɔ]}}，美国西部和加拿大将其归入{{IPA|[ɑ]}}，儿化音{{IPA|[ɔr]以外}}。本表尽量从简，反映西部发音，{{IPA|[ɔ]}}不分列。&lt;/ref&gt;||p'''o'''t, d'''o'''g
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[ɔː]}}||一般||{{IPA|[ɑ]}}&lt;ref name=&quot;ceus&quot;/&gt;||w'''al'''k, l'''aw'''
|-
|后有r||{{IPA|[ɔr]}} （或标为{{IPA|[or]}}）||p'''or'''t, s'''our'''ce
|-
|{{IPA|[ʊ]}}&lt;br&gt;（或标为{{IPA|[u]}}）||所有||{{IPA|[ʊ]}}||p'''u'''t, l'''oo'''k
|-
|{{IPA|[uː]}}||所有||{{IPA|[u]}}（或标为{{IPA|[ʉ]}}）||s'''oo'''n, r'''u'''le
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[ʌ]}}||一般||{{IPA|[ʌ]}}||m'''u'''d, t'''u'''ck
|-
|后有{{IPA|[r]}}||{{IPA|[ɚ]}} （或标为{{IPA|[ər]}}）||h'''u'''rry, w'''o'''rry
|-
|{{IPA|[ɜː]}}（或标为{{IPA|[əː]}}）||所有||{{IPA|[ɚ]}} （或标为{{IPA|[ər]}}，&lt;br&gt;或{{IPA|[ɜr]}}）||h'''er'''d, b'''ir'''d
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[ə]}}||一般||{{IPA|[ə]}}||'''a'''bout, butt'''o'''n
|-
|后有{{IPA|[r]}}||{{IPA|[ɚ]}} （或标为{{IPA|[ər]}}）||cutt'''er''', p'''er'''form
|-
|{{IPA|[eɪ]}}||所有||{{IPA|[eɪ]}}&lt;br&gt;（或标为{{IPA|[e]}}）||c'''a'''ke, d'''ay'''
|-
|{{IPA|[əʊ]}}||所有||{{IPA|[oʊ]}}（或标为{{IPA|[o]}}）||n'''o'''te, r'''oa'''d
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[aɪ]}}||一般||{{IPA|[aɪ]}}||t'''i'''le, m'''y'''
|-
|后缀 -ile||{{IPA|[ɪ]}}||frag'''i'''le, puer'''i'''le
|-
|{{IPA|[aʊ]}}||所有||{{IPA|[aʊ]}} ||n'''ow''', m'''ou'''th
|-
|{{IPA|[ɔɪ]}}||所有||{{IPA|[ɔɪ]}}||c'''oi'''l, b'''oy'''
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[ɪə]}}||一般||{{IPA|[i ə]}}（两个音节）||id'''ea''', lasciv'''iou'''s
|-
|后有r||{{IPA|[ɪr]}}||app'''ear''', h'''e'''ro
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[eə]}}||一般||{{IPA|[ɛə]}}||
|-
|后有r||{{IPA|[ɛr]}}||b'''are''', M'''a'''ry
|-
|rowspan=&quot;2&quot;|{{IPA|[ʊə]}}||一般||{{IPA|[u ə]}}（两个音节）||us'''ua'''lly, act'''ua'''lly
|-
|后有r||{{IPA|[ʊr]}}（或标为{{IPA|[ʉr]}}）||t'''our''', c'''u'''rious
|}
&lt;references/&gt;

===辅音===
英美辅音基本一样，在[[英语/发音/美国音2|辅音部分]]有详细说明。

==无规律的==
除此之外，还有部分无规律可循的英美读音差异：
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 单词 !! 英国音 !! 美国音
|-
|father||{{IPA|[ɑː]}}||{{IPA|[ɑ]}}
|-
|clerk||{{IPA|[ɑː]}}||{{IPA|[ɚ]}}
|-
|vase||{{IPA|[ɑː]}}||{{IPA|[ei]}}
|-
|tomato||{{IPA|[ɑː]}}||{{IPA|[ei]}}
|}

[[Category:英語|发]]</text>
      <sha1>egdrhv4012k6ptnjjrf02v7ytabkbhn</sha1>
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    <title>Wikibooks:互助客棧</title>
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      <contributor>
        <username>MediaWiki message delivery</username>
        <id>28238</id>
      </contributor>
      <comment>/* Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) */ 新章节</comment>
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      <text bytes="29189" sha1="3da77irvyqci3dxj2yr7hm86nr92d4i" xml:space="preserve">{{DISPLAYTITLE|互助客棧}}
{{/header}}
== 再谈改名建议 ==
十年前曾有[[Wikibooks:互助客栈/存档/二零一二年#教科书易名建议|一次讨论]]开启了该议题之先河，但无下文，个人觉得本网站参与和活跃程度低，跟教科书这个名字的限定有很大关系。纵观方针所限定可以收录的内容和其他语言版本里实际收录的东西，都远不止教科书那么狭窄，所以再次呼吁改名。--[[User:虹色分子|虹色分子]] ([[User talk:虹色分子|留言]]) 2022年11月4日 (五) 12:32 (UTC)
:{{支持}} --[[User:SugaryMegmin|&lt;span style=&quot;font-family:宋体;font-size:18px;color:green&quot;&gt;'''酥糖'''&lt;/span&gt;]]  [[User_talk:SugaryMegmin|&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:18px;color:grey&quot;&gt;''Megmin''&lt;/span&gt;]] 2022年11月7日 (一) 05:30 (UTC)
:{{补充}}就网站现状来说，这个站点有点“芜草丛生”，需要改进的部分还很多，我会列表出来供有志参与的编辑者参考。--[[User:SugaryMegmin|&lt;span style=&quot;font-family:宋体;font-size:18px;color:green&quot;&gt;'''酥糖'''&lt;/span&gt;]]  [[User_talk:SugaryMegmin|&lt;span style=&quot;font-family:Times New Roman;font-size:18px;color:grey&quot;&gt;''Megmin''&lt;/span&gt;]] 2022年11月7日 (一) 05:34 (UTC)
:{{支持}} '''《維基課本》'''--[[User:Btooombtooom|Btooombtooom]] ([[User talk:Btooombtooom|留言]]) 2022年11月24日 (四) 11:21 (UTC)
::{{意見}}：《課本》不太好，☆疾風。肯尼★_君所言甚是，《課本》一名不太吸引小朋友，甚至可能會有退避三舍的感覺。 －－&lt;span style=&quot;color:red;font-family:新一細明體&quot;&gt;勿用[[w:歐化中文#濫用抽象動詞|「進行」污染中文]]，要言簡意賅。&lt;/span&gt;　[[User:捍粵者|&lt;span style=&quot;color:#007F00;font-family:新一細明體&quot;&gt;'''捍粵者'''&lt;/span&gt;]] 2023年5月7日 (日) 15:58 (UTC)
: 似乎應該考慮與維基文庫之間的聯繫。—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2023年2月28日 (二) 05:18 (UTC)
:誠如{{ping2|Jusjih}}君所言，{{支持}}《維基書屋》。－－&lt;span style=&quot;color:red;font-family:新一細明體&quot;&gt;勿用[[w:歐化中文#濫用抽象動詞|「進行」污染中文]]，要言簡意賅。&lt;/span&gt;　[[User:捍粵者|&lt;span style=&quot;color:#007F00;font-family:新一細明體&quot;&gt;'''捍粵者'''&lt;/span&gt;]] 2023年5月7日 (日) 15:53 (UTC)
::维基书房似乎亦可。&amp;nbsp;——[[User:魔琴|&lt;span style=&quot;color:#080;font-size:120%;font-family:cursive&quot;&gt;魔琴&lt;/span&gt;]] &lt;small&gt;[&amp;nbsp;[[User talk:魔琴|留言]] [[Special:Contribs/魔琴|贡献]]&amp;nbsp;]&lt;/small&gt; 2023年11月7日 (二) 12:11 (UTC)
:支持改为教科书以外的名字 -&lt;span style=&quot;text-shadow:0 1px 5px #99FFFF&quot;&gt;[[User:94rain|&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;及时雨&lt;/font&gt;]] [[User talk:94rain|&lt;sup&gt;&lt;font color=&quot;gold&quot;&gt;'''Talk'''&lt;/font&gt;&lt;/sup&gt;]] &lt;/span&gt; 2023年11月26日 (日) 22:06 (UTC)
::{{补充}} 个人建议维基读本。”教科书“会导致有用户从真的教科书搬内容过来。 &lt;span style=&quot;text-shadow:0 1px 5px #99FFFF&quot;&gt;[[User:94rain|&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;及时雨&lt;/font&gt;]] [[User talk:94rain|&lt;sup&gt;&lt;font color=&quot;gold&quot;&gt;'''Talk'''&lt;/font&gt;&lt;/sup&gt;]] &lt;/span&gt; 2024年1月20日 (六) 21:12 (UTC)
:::支持讀本吧，或者書本之類的，看起來改名各位都基本同意，具體改成啥名先求個共識或者投票吧。 [[User:Rowe Wilson Frederisk Holme|Rowe Wilson Frederisk Holme]] ([[User talk:Rowe Wilson Frederisk Holme|留言]]) 2024年1月31日 (三) 08:08 (UTC)
::::维基图书 [[User:Midleading|Midleading]] ([[User talk:Midleading|留言]]) 2024年2月5日 (一) 07:03 (UTC)
:::::图书的话感觉容易和维基文库分不清 &lt;span style=&quot;text-shadow:0 1px 5px #99FFFF&quot;&gt;[[User:94rain|&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;及时雨&lt;/font&gt;]] [[User talk:94rain|&lt;sup&gt;&lt;font color=&quot;gold&quot;&gt;'''Talk'''&lt;/font&gt;&lt;/sup&gt;]] &lt;/span&gt; 2024年2月5日 (一) 07:15 (UTC)
::::::{{支持}}「维基读本」ㄧ📒[[User:78-Yellowcat|'''&lt;span style=&quot;color:#ffd700&quot;&gt;78Cat&lt;/span&gt;''']]📚 • [[User talk:78-Yellowcat|📮]] 2024年2月7日 (三) 08:44 (UTC)
:::::::我一直以来就以为wikibooks叫做维基图书。我觉得要改名的话，维基读本、维基教科书都不如维基图书。因为图书并不偏向于fiction和nonfiction的任何一方，他全部包括。而读本，至少在我的语言习惯里面（我是北方人）比较偏向于虚构文学，小说之类的，尤其偏向表示小孩子阅读的书籍。比如任何我上学使用的教科书，我会认为它们是图书，但一般不会认为它们是读本。各种偏实用性质的教程，就更和读本谈不上关系。[[User_talk:Bluedeck|&lt;span style=&quot;font:83% Times;line-height:1em;border-radius:9em;padding:0 4em;box-shadow:0 2px 9px #ace;background:linear-gradient(40deg,#396cdb,#2c58cc 60%,#39f 60%,#4dbeff 75%,#3df 75%,#3cf);color:#fff&quot; lang=&quot;en&quot;&gt;Bluedeck&lt;/span&gt;]] 2024年5月2日 (四) 05:16 (UTC)
::::::::“图书”的话会和文库混淆，就直接叫“维基教程”就行 [[User:Dnaimfz|Dnaimfz]] ([[User talk:Dnaimfz|留言]]) 2024年5月11日 (六) 11:09 (UTC)
:::::::::看不出为何会有混淆，你是个已经被封禁的纯粹破坏用户。 [[User:Midleading|Midleading]] ([[User talk:Midleading|留言]]) 2024年9月7日 (六) 08:18 (UTC)
:::::::::{{意见}} {{补充}} 维基媒体基金会的命名是将wiki与原有的英文单词拼接，我认为英文wikibook其实是wiki+textbook的变化，所以中文译文并无不妥。但是我认为根据维基百科[1]教科书的词条，“教科書或課本即是學校指定最官方的讀本書籍，它根據學校課程內容編寫，也用來泛指有關學校課程的書籍。” 所以并不适合与一个在网络上可以自由编辑的平台的名称。
::::::::[[User:Joyance-Tsui|Joyance-Tsui]] ([[User talk:Joyance-Tsui|留言]]) 2024年12月9日 (一) 13:27 (UTC)
::{{支持}}，因為中文wikibooks不能收錄電子遊戲攻略的原因就是因為wikibooks的中文名稱是維基教科書，英文wikibooks與日文wikibooks均已收錄電子遊戲攻略，因為英文books確實包含電子遊戲攻略，而中文教科書則不包含電子遊戲攻略，我覺得這完全是歧視以中文為母語的人（包括中國大陸人與台灣人以及香港人，還有部份的新加坡人與馬來西亞人，馬來西亞是有許多語言的地區，包括英文、中文以及馬來語），所以強烈建議wikibooks的中文名稱修改成一個可以收錄電子遊戲攻略的名稱，與英文wikibooks與日文wikibooks一樣。 [[Special:Contributions/118.170.40.46|118.170.40.46]] ([[User talk:118.170.40.46|留言]]) 2024年3月15日 (五) 06:52 (UTC)
: 另外還要確定若正式更名，有什麼其他地方需要對應更改？跨維基站點內容也不少。—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2024年2月4日 (日) 17:58 (UTC)
::这个不急，先定下来再说，可以慢慢改，曾用名暂时留着也不会有大问题 &lt;span style=&quot;text-shadow:0 1px 5px #99FFFF&quot;&gt;[[User:94rain|&lt;font color=&quot;#6495ED&quot;&gt;及时雨&lt;/font&gt;]] [[User talk:94rain|&lt;sup&gt;&lt;font color=&quot;gold&quot;&gt;'''Talk'''&lt;/font&gt;&lt;/sup&gt;]] &lt;/span&gt; 2024年2月7日 (三) 08:57 (UTC)
:{{支持}}感觉叫“维基教程”不错 [[User:Dnaimfz|Dnaimfz]] ([[User talk:Dnaimfz|留言]]) 2024年5月11日 (六) 11:06 (UTC)
:{{支持}}維基圖書、維基書房、維基書屋與維基書籍。--[[User:S8321414|S8321414]] ([[User talk:S8321414|留言]]) 2024年6月3日 (一) 05:52 (UTC)
::不推荐使用维基书房、维基书屋，因为书房和书屋都和维基文库的文库、图书馆是近义词，而维基图书的图书含义包括现在的教科书，和维基文库的图书馆不是近义词。 [[User:Midleading|Midleading]] ([[User talk:Midleading|留言]]) 2024年9月15日 (日) 10:54 (UTC)
:建议转交到维基百科，这样才能有更多人关注。 [[User:Crystallus0|Crystallus0]] ([[User talk:Crystallus0|留言]]) 2024年6月6日 (四) 13:59 (UTC)
:{{支持}}。我建议改为维基图书。 Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年5月26日 (二) 12:05 (UTC)
----
{{ping|水水|Wong128hk|Jusjih|Kayau|Shizhao|Ntudreamer|C933103|Guoyunhe}}再提及多一些人參與討論（主要是當年討論有份者），便於凝聚共識。我個人是認為已有更名共識，僅在具體命名方面尚有分歧。最終可能需要付諸投票，以取得確定結論？—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2024年9月14日 (六) 15:26 (UTC)
: {{ping|Ntudreamer|C933103|Guoyunhe}}（補提及；沒想到本站模板久未更新，上限仍是五位）—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2024年9月14日 (六) 15:27 (UTC)
:如果不執着對原文翻譯的話，維基教程 or 維基教學 感覺上都能傳遞到這網站的收錄範圍並不限於學術內容的意思。 [[User:C933103|C933103]] ([[User talk:C933103|留言]]) 2024年9月16日 (一) 09:45 (UTC)
::不建议用维基教程和维基教学，[[v:|维基学院]]才是自由研习社群。 [[User:Midleading|Midleading]] ([[User talk:Midleading|留言]]) 2024年9月19日 (四) 08:03 (UTC)
:認同已有更名共識。至於新名選項建議篩選一下，然後再付諸表決。 [[user:Wong128hk|'''J.W''']][[user_talk:Wong128hk|'''ong''']] 2024年10月27日 (日) 05:07 (UTC)
:'''(＋)支持''' --根据维基百科[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%99%E7%A7%91%E6%9B%B8]教科书的词条，“'''教科書'''或'''課本'''即是[[w:學校|學校]]指定最官方的讀本[[w:書籍|書籍]]，它根據學校[[w:課程|課程]]內容編寫，也用來泛指有關學校課程的書籍。” 所以并不适合与一个在网络上可以自由编辑的平台的名称。 [[User:Joyance-Tsui|Joyance-Tsui]] ([[User talk:Joyance-Tsui|留言]]) 2024年12月9日 (一) 13:21 (UTC)
:回Midleading，书房和文库、图书馆到底有什麼联繫？ &amp;nbsp;——[[User:魔琴|&lt;span style=&quot;color:#080;font-size:120%;font-family:cursive&quot;&gt;魔琴&lt;/span&gt;]] &lt;small&gt;[&amp;nbsp;[[User talk:魔琴|留言]] [[Special:Contribs/魔琴|贡献]]&amp;nbsp;]&lt;/small&gt; 2025年8月10日 (日) 15:18 (UTC)
:: {{ping2|Midleading}}。—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2025年8月11日 (一) 17:25 (UTC)
::和教科书、图书对比，书房、文库、图书馆都是藏书的位置，而教科书、图书都是书而非位置。这里可以参考其他姊妹项目的名称，维基百科是要共建一部百科全书，维基文库是要共建一个图书馆，维基语录是要共建一部语录，维基词典是要共建一部词典，等等。维基教科书要共建的应该是教科书，或者是课本、图书，而不是建设一个图书馆。书房的表述比较模糊，但更像是图书馆中的一个房间，而不用于代表所藏的书。读本这个词通常不是出现在低龄段教育中，就是出现在文学和哲学研究中，特别是两者互相交叉时（如教科书《习近平新时代中国特色社会主义思想学生读本》）。不同背景的读者对“读本”一词会有不一致的理解，所以也不适合作为新名称。 [[User:Midleading|Midleading]] ([[User talk:Midleading|留言]]) 2025年8月12日 (二) 03:19 (UTC)
:{{意见}} 可是维基教科书的主要收录内容不就是编写的各教学类书籍吗，至于前文所述的电子游戏攻略，叫教科书之类也无不可。如果改名，本人倾向支持维基书屋的名字，个人感觉读起来十分通顺舒适，也便于记忆宣传，但确实会让人觉得这里可能是收录了很多已出版图书，类似维基文库的感觉。 ~ [[User:Sheminghui.WU|Sheminghui.WU]] ([[User talk:Sheminghui.WU|留言]]) 2025年8月11日 (一) 03:56 (UTC)
::引自[[维基教科书:维基教科书是什么]]（当然，并不是正式方针）：''“简单来说，维基教科书是一部内容开放的教科书书集。”“一般来说，只有教学图书适合被收录。大多数类型的图书（包括小说及非小说类文学作品）除非有教学意义，否则是不被维基教科书所收录的。”''显然不能当作书屋，如果不考虑开设课程的话，叫维基自学还差不多。 [[User:Sheminghui.WU|Sheminghui.WU]] ([[User talk:Sheminghui.WU|留言]]) 2025年8月11日 (一) 04:01 (UTC)
:::另回“维基读本”提议，我也是大陆北方背景，但从我的语言习惯和认知来看读本反而给我一种专业的感觉，似乎因为文学和哲学课程中经常使用这个词称呼研习材料。不过该词确实不仅限于学术，作为读者，本站内容似乎也符合读本定位。 ~ [[User:Sheminghui.WU|Sheminghui.WU]] ([[User talk:Sheminghui.WU|留言]]) 2025年8月11日 (一) 04:11 (UTC)
::::而“图书并不偏向于fiction和nonfiction的任何一方，他全部包括。”就是我个人不赞同“维基图书”这个名字的主要理由，除非你站大改收录范围、惯例和定位，那我会支持。 ~ [[User:Sheminghui.WU|Sheminghui.WU]] ([[User talk:Sheminghui.WU|留言]]) 2025年8月11日 (一) 04:13 (UTC)
: 要不就「书籍」吧，反正book就是书。 &amp;nbsp;——[[User:魔琴|&lt;span style=&quot;color:#080;font-size:120%;font-family:cursive&quot;&gt;魔琴&lt;/span&gt;]] &lt;small&gt;[&amp;nbsp;[[User talk:魔琴|留言]] [[Special:Contribs/魔琴|贡献]]&amp;nbsp;]&lt;/small&gt; 2025年10月24日 (五) 20:20 (UTC)
:: 可不可以不要「籍」，會給人本站收錄文獻的感覺。也不是要折騰您，畢竟大家商量不出來名字就是因為不好取，還有文庫在旁邊。—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2025年10月26日 (日) 17:19 (UTC)
:{{支持}}維基書本；但活躍程度低大概和名字沒什麽關係。因爲{{tsl|en|Wikiversity:Differences between Wikiversity and Wikibooks|Wikiversity本來就是Wikibooks的子項目}}，兩者都已經重疊上天了，還分爨。這在外語一樣半死不活。活躍程度低是活該的。 [[User:Gedu11539381|Gedu11539381]] ([[User talk:Gedu11539381|留言]]) 2026年5月24日 (日) 19:33 (UTC)
:{{意見}}如果要改名是否要事先準備？尤其是有關頁面及分類名稱、模板內容等，有許多提及「維基教科書」，工作量較大。而且這個話題上次較活躍的日期為2024至2025年，最近沒有動態，對名稱似乎沒有共識。[[User:Addonian1123|Addonian1123]] ([[User talk:Addonian1123|留言]]) 2026年6月7日 (日) 05:35 (UTC)

== 批量删除User:蛇守护的苹果堆创建的页面 ==
[[User:蛇守护的苹果堆]][https://xtools.wmcloud.org/pages/zh.wikibooks.org/%E8%9B%87%E5%AE%88%E6%8A%A4%E7%9A%84%E8%8B%B9%E6%9E%9C%E5%A0%86 创建的页面]相当一部分侵犯版权或是缺少实际内容，且仍有[[Wikibooks:删除请求#生物化学与分子生物学]]、[[Wikibooks:删除请求#摄影技术]]等删除请求时隔多年未获处理。该用户创建的页面横跨诸多学科，结合已发现的侵权情况，可推知其余页面极大可能亦非正常撰写。现请求批量删除该用户创建的所有页面。 '''&lt;span style=&quot;font-family:Iosevka,monospace&quot;&gt;[[User:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#9f3526&quot;&gt;dring&lt;/span&gt;]][[User talk:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#534fa3&quot;&gt;sim&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt;''' 2025年8月15日 (五) 16:59 (UTC)
:如无异议，本人将在元维基请求全域管理员协助。 '''&lt;span style=&quot;font-family:Iosevka,monospace&quot;&gt;[[User:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#9f3526&quot;&gt;dring&lt;/span&gt;]][[User talk:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#534fa3&quot;&gt;sim&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt;''' 2025年8月15日 (五) 17:00 (UTC)
::此人创建的上千页面中有很多空页面，何以见得侵权？不过没有内容，按照方针应当怎样处理呢？ ~ [[User:Sheminghui.WU|Sheminghui.WU]] ([[User talk:Sheminghui.WU|留言]]) 2025年8月16日 (六) 03:08 (UTC)
:::这些长期未有改善、在可预见的将来也不会改善的页面应当删除。 '''&lt;span style=&quot;font-family:Iosevka,monospace&quot;&gt;[[User:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#9f3526&quot;&gt;dring&lt;/span&gt;]][[User talk:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#534fa3&quot;&gt;sim&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt;''' 2025年8月16日 (六) 05:31 (UTC)
::::我支持你的判断和想法。 ~ [[User:Sheminghui.WU|Sheminghui.WU]] ([[User talk:Sheminghui.WU|留言]]) 2025年8月16日 (六) 07:24 (UTC)
::按[[:meta:Global sysops/Requests]]的说明，这类复杂的删除请求应在[[:meta:Steward requests/Miscellaneous]]提出，由监管员处理。 '''&lt;span style=&quot;font-family:Iosevka,monospace&quot;&gt;[[User:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#9f3526&quot;&gt;dring&lt;/span&gt;]][[User talk:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#534fa3&quot;&gt;sim&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt;''' 2025年8月17日 (日) 01:07 (UTC)
: {{ping|沈澄心}}是否應先列出所有受影響頁面？—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2025年9月2日 (二) 07:34 (UTC)
::@[[User:Ericliu1912|Ericliu1912]]：[https://xtools.wmcloud.org/pages/zh.wikibooks.org/%E8%9B%87%E5%AE%88%E6%8A%A4%E7%9A%84%E8%8B%B9%E6%9E%9C%E5%A0%86]。我认为不需要（也没有精力）再逐一核查。 '''&lt;span style=&quot;font-family:Iosevka,monospace&quot;&gt;[[User:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#9f3526&quot;&gt;dring&lt;/span&gt;]][[User talk:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#534fa3&quot;&gt;sim&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt;''' 2025年9月2日 (二) 07:39 (UTC)
: （最近[[:meta:Steward requests/Miscellaneous#Batch deletion on Chinese Wikibooks|有人在催]]）我現在比較有空處理了。也請諸位管理員{{ping2|Sayonzei|Shizhao|TunnelESON|WhitePhosphorus|Wong128hk}}協助。—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2026年4月8日 (三) 08:37 (UTC)
::蛇守护的苹果堆已逾四年未活躍。請在[[维基教科书:删除请求]]指明要刪哪些，切勿太概括表示全刪。--[[User:TunnelESON|TunnelESON]] ([[User talk:TunnelESON|留言]]) 2026年4月18日 (六) 04:33 (UTC)
::: 我想现在可能应该反过来让作者说明这些页面是如何创作的才对。 '''&lt;span style=&quot;font-family:Iosevka,monospace&quot;&gt;[[User:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#9f3526&quot;&gt;dring&lt;/span&gt;]][[User talk:沈澄心|&lt;span style=&quot;color:#534fa3&quot;&gt;sim&lt;/span&gt;]]&lt;/span&gt;''' 2026年5月24日 (日) 14:38 (UTC)
::::我没意见。~ [[User:Sheminghui.WU|Sheminghui.WU]] ([[User talk:Sheminghui.WU|留言]]) 2026年5月29日 (五) 00:36 (UTC)

== 关于提交编辑上面的msgbox ==
在深色模式下，字体会很浅，请求更改。&lt;small&gt;—以上未簽名的留言是由[[User:Pawsdt|Pawsdt]]（[[User talk:Pawsdt|對話]] -{|}- [[Special:Contributions/Pawsdt|貢獻]]）{{#if:2026年3月17日 (二) 16:44 (UTC)|於2026年3月17日 (二) 16:44 (UTC)}}加入的。&lt;/small&gt;&lt;!-- Template:Unsigned --&gt;

== 防濫用過濾器3問題 ==
[[Special:AbuseFilter|防濫用過濾器3]]對於「禁止新用戶或頁面建立者移除刪除模板」的定義過於廣泛，以致於執行普通模板編輯時[https://zh.wikibooks.org/w/index.php?title=Special:AbuseLog&amp;wpSearchFilter=3 被不必要的攔截]([[Special:AbuseLog/2045|範例1]]、[[Special:AbuseLog/2090|範例2]]、[[Special:AbuseLog/2248|範例3]]、[[Special:AbuseLog/2259|範例4]])，需要更改。[[User:Addonian1123|Addonian1123]] ([[User talk:Addonian1123|留言]]) 2026年5月29日 (五) 10:43 (UTC)

補充：程式碼(自[[Special:AbuseFilter/3]])(&lt;small&gt;2026年6月5日 (五) 08:56 (UTC) 編輯&lt;/small&gt;)
&lt;pre&gt;&lt;nowiki&gt;(action == &quot;edit&quot;)
&amp; (!(&quot;confirmed&quot; in user_groups)|(page_first_contributor == user_name))
&amp; (removed_lines irlike &quot;{{Dr|{{Afd|{{Vfd&quot;|removed_lines rlike &quot;{{Delete|{{D&quot;)
&amp; !(&quot;sysop&quot; in user_groups)
&amp; page_prefixedtitle != &quot;Wikibooks:沙盒&quot;&lt;/nowiki&gt;&lt;/pre&gt;
:对的。我也出现过。{{支持}}更改。 Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年6月1日 (一) 11:39 (UTC)
::例如第3行末尾“&lt;nowiki&gt;..|&amp;#123;&amp;#123;D&quot;&lt;/nowiki&gt;”似乎也会拦截尝试删除例如{{tl|Documentation}}之类开头是D的模板的编辑。 Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年6月1日 (一) 12:17 (UTC)
:::&lt;s&gt;這可能是因為'''D'''elete的D字母關係 [[User:Addonian1123|Addonian1123]] ([[User talk:Addonian1123|留言]]) 2026年6月2日 (二) 08:53 (UTC)&lt;/s&gt;
:::我发现只要涉及到含有&amp;#123;&amp;#123;d内容的行的更改都会被拦截。 Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年6月4日 (四) 15:20 (UTC)
:{{ping|Ericliu1912}}請求協助 [[User:Addonian1123|Addonian1123]] ([[User talk:Addonian1123|留言]]) 2026年6月5日 (五) 09:05 (UTC)
:: {{ping|Addonian1123|Pawsdt}}你們覺得要怎麼改？—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2026年6月6日 (六) 13:05 (UTC)
:::第三行&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;removed_lines rlike &quot;{{Delete|{{D&quot;&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;會匹配到所有以&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{D&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;開頭的模板，若許使用&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;(removed_lines irlike &quot;\{\{(dr|afd|vfd|delete|d)\s*(\||\}\})&quot;)&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;較為適合？而且描述中對「新用戶」的定義不清楚，可能改為「非自動確認用戶」會比較好。[[User:Addonian1123|Addonian1123]] ([[User talk:Addonian1123|留言]]) 2026年6月7日 (日) 05:42 (UTC)
::::{{ping|Ericliu1912| Pawsdt}}你們覺得如何？(抱歉使用ping，然而此話題已閒置許久，且編輯仍然出現問題)。 [[User:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#4BA4D1&quot;&gt;'''Addonian1123'''&lt;/span&gt;]] '''('''[[User talk:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#49BF66&quot;&gt;'''討論'''&lt;/span&gt;]]'''|'''[[w:User:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#E1E158&quot;&gt;維基百科&lt;/span&gt;]]''')''' 2026年6月11日 (四) 08:52 (UTC)
::::: 我已先更新代碼，有問題再說。—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''&lt;sub&gt;（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）&lt;/sub&gt; 2026年6月11日 (四) 14:52 (UTC)
::::::{{完成}}初步測試：D開頭的模板（允許編輯）及afd模板（禁止）。無明顯問題。 [[User:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#4BA4D1&quot;&gt;'''Addonian1123'''&lt;/span&gt;]] '''('''[[User talk:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#49BF66&quot;&gt;'''討論'''&lt;/span&gt;]]'''|'''[[w:User:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#E1E158&quot;&gt;維基百科&lt;/span&gt;]]''')''' 2026年6月11日 (四) 16:09 (UTC)

== 台灣分會2026年6月對話時間 ==

&lt;div style=&quot;padding: 1.2rem 1rem; background: #f8f5ff; border: 1px solid #b29bd7; margin:1em 0; font-size: 1.08em; display: flex; align-items: center;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;flex: 1;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;font-size:x-large; padding-bottom:5px;&quot;&gt;'''社群疑難雜症找協會！'''&lt;/div&gt;
[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Taiwan|台灣維基媒體協會]]2026年4月的[[m:Wikimedia Taiwan/Wikimedia Taiwan Office Time|對話時間]]，訂於台灣時間'''6/26 (五) 19:00'''舉行，&lt;br&gt;
參與連結為 https://meet.google.com/qiv-ctih-sse 。&lt;br&gt;
協會到底在做什麼？如果你覺得協會存在感超低，有事都找不到人，把握這次的對話機會！這是一個定期舉辦的服務時段，由協會秘書長親自主持，有問題馬上解決。協會會分享目前進行中的專案與計劃，也邀請社群朋友分享想法、反映需求，彼此開講、一起討論。&lt;br&gt;
本月討論主題將討論今年的'''維基愛地球'''活動及正在進行中的'''仲裁機制調整說明會'''，這是將是讓你深入了解協會運作並參與交流的絕佳機會！快來一起參加！

--[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[User talk:MediaWiki message delivery|留言]]) 2026年6月21日 (日) 00:19 (UTC)

&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-left: 1rem;&quot;&gt;
[[File:Wikimedia Taiwan.svg|160px|alt=|link=m:Special:MyLanguage/Wikimedia Taiwan]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;!-- 信息由 User:NHC@metawiki 发送，使用的列表为 https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Taiwan/Wikimedia_Taiwan_Office_Time/List&amp;oldid=30591377 --&gt;

== RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|留言]])&lt;/bdi&gt; 2026年6月23日 (二) 17:11 (UTC)

（该消息原计划发送至[[:Wikibooks:互助客栈]]，由于该页面为重定向，现张贴于本页。）
&lt;!-- 信息由 User:Codename Noreste@metawiki 发送，使用的列表为 https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;

: （翻譯）'''徵求有關維基共享資源中AI生成內容的意見'''&lt;br&gt;敬請參與維基共享資源[[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|關於調整AI內容方針的意見徵詢]]。此次調整可能會影響上傳到維基共享資源以於此專案使用的檔案，謝謝！[[User:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#4BA4D1&quot;&gt;'''Addonian1123'''&lt;/span&gt;]] '''('''[[User talk:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#49BF66&quot;&gt;'''討論'''&lt;/span&gt;]]'''|'''[[w:User:Addonian1123|&lt;span style=&quot;color:#E1E158&quot;&gt;維基百科&lt;/span&gt;]]''')''' 2026年6月25日 (四) 09:09 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Deployment of Legal and Safety Contacts Link in the Footer of Your Wiki&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;Message&quot;/&gt;
'''Legal &amp; Safety Contacts'''

Hello community, the Wikimedia Foundation has provided a [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|single legal and safety contact page]], to be linked in the footer of your wiki, to ensure access to accurate legal information. This is a regulatory requirement. We have already rolled out links to English, German, Italian, Spanish and other wikis and we will deploy to your wiki soon. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Please read more on the project page]] and leave any comments in this thread or on the [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|talk page]].

&lt;section end=&quot;Message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

-- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 2026年6月25日 (四) 13:30 (UTC)

（该消息原计划发送至[[:Wikibooks:互助客栈]]，由于该页面为重定向，现张贴于本页。）
&lt;!-- 信息由 User:Sannita (WMF)@metawiki 发送，使用的列表为 https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&amp;oldid=30731267 --&gt;

== 台灣分會2026年7月對話時間 ==

&lt;div style=&quot;padding: 1.2rem 1rem; background: #f8f5ff; border: 1px solid #b29bd7; margin:1em 0; font-size: 1.08em; display: flex; align-items: center;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;flex: 1;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;font-size:x-large; padding-bottom:5px;&quot;&gt;'''社群疑難雜症找協會！'''&lt;/div&gt;
[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Taiwan|台灣維基媒體協會]]2026年7月的[[m:Wikimedia Taiwan/Wikimedia Taiwan Office Time|對話時間]]，訂於台灣時間'''7/26 (日) 14:00'''舉行，&lt;br&gt;
參與連結為 https://meet.google.com/qiv-ctih-sse 。&lt;br&gt;
協會到底在做什麼？如果你覺得協會存在感超低，有事都找不到人，把握這次的對話機會！這是一個定期舉辦的服務時段，由協會秘書長親自主持，有問題馬上解決。協會會分享目前進行中的專案與計劃，也邀請社群朋友分享想法、反映需求，彼此開講、一起討論。&lt;br&gt;
本月討論主題將討論Wikimania 2026，這是將是讓你深入了解協會運作並參與交流的絕佳機會！快來一起參加！

--[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[User talk:MediaWiki message delivery|留言]]) 2026年7月22日 (三) 20:43 (UTC)

&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-left: 1rem;&quot;&gt;
[[File:Wikimedia Taiwan.svg|160px|alt=|link=m:Special:MyLanguage/Wikimedia Taiwan]]
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;!-- 信息由 User:NHC@metawiki 发送，使用的列表为 https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Taiwan/Wikimedia_Taiwan_Office_Time/List&amp;oldid=30591377 --&gt;

== Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) ==

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}}
You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}}
[[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]])  2026年7月24日 (五) 12:24 (UTC)
&lt;/bdi&gt;

（该消息原计划发送至[[:Wikibooks:互助客栈]]，由于该页面为重定向，现张贴于本页。）
&lt;!-- 信息由 User:DreamRimmer@metawiki 发送，使用的列表为 https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=30513860 --&gt;</text>
      <sha1>3da77irvyqci3dxj2yr7hm86nr92d4i</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>贛語/音韻</title>
    <ns>0</ns>
    <id>11620</id>
    <revision>
      <id>186356</id>
      <parentid>59000</parentid>
      <timestamp>2026-07-25T00:26:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pawsdt</username>
        <id>68279</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>去重复</comment>
      <origin>186356</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4554" sha1="avgpo7syuk5jdkm19cnrimmr4nvmz8l" xml:space="preserve">本章節以南昌話的語音為準。

==子音==

{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
|+ &lt;span style=&quot;font-size:larger;&quot;&gt;'''贛語声母表'''&lt;/span&gt;
|-
! colspan=2 |
! 雙唇
! 唇齒
! 舌尖前
! 舌尖中
! 舌面前
! 舌面中
! 舌面後
! 喉
|-
| rowspan=2 | '''塞音'''
| 不送氣
| [{{IPA|p}}] b 巴
|
|
| [{{IPA|t}}] d 打
|
|
| [{{IPA|k}}] g 加
|
|-
| 送氣
| [{{IPA|pʰ}}]
p 怕
|
|
| [{{IPA|tʰ}}]
t 讀
|
|
| [{{IPA|kʰ}}] k 卡
|
|-
| colspan=2 | '''鼻音'''
| [{{IPA|m}}] m 麻
|
|
|
|
| [{{IPA|ɲ}}] gn 魚
| [{{IPA|ŋ}}] ng 牙
|
|-
| colspan=2 | '''摩擦音'''
|
| [{{IPA|f}}] f 花
| [{{IPA|s}}] s 紗
|
| [{{IPA|ɕ}}] sh 曉
|
|
| [{{IPA|h}}] h 蝦
|-
| rowspan=2 | '''塞擦音'''
| 不送氣
|
|
| [{{IPA|ʦ}}] tz 渣
|
| [{{IPA|ʨ}}] j 記
|
|
|
|-
| 送氣
|
|
| [{{IPA|ʦʰ}}] ts 茶
|
| [{{IPA|ʨʰ}}] ch 喫
|
|
|
|-
| colspan=2 | '''邊音'''
|
|
|
| [{{IPA|l}}] l 啦
|
|
|
|
|}

==母音==

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
|- style=&quot;background:maroon; color:black&quot;
! colspan=1 | !! 舌尖 !! colspan=2 | 舌面前 !! 舌面混 !! colspan=3 | 舌面後
|-
| style=&quot;color:white;background:#ADD8E6&quot; | 高
| [{{IPA|ɿ}}]
| [{{IPA|i}}]
| [{{IPA|y}}]
|
|
|
| [{{IPA|u}}]
|-
| rowspan=2 style=&quot;background:#4798B3; color:white&quot; | 中
|
|
|
| [{{IPA|ə}}]
|
|
|
|-
|
| [{{IPA|ɛ}}]
|
|
|
| [{{IPA|ɔ}}]
|
|-
| style=&quot;color:white;background:#006374&quot; | 低
|
|
|
|
| [{{IPA|ɑ}}]
|
|
|}

==韻母==

===開韻尾===

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
| [{{IPA|a}}] '''a''' 媽
| [{{IPA|ia}}] '''ia''' 惹
| [{{IPA|ua}}] '''ua''' 瓦
|
| [{{IPA|ai}}] '''ai''' 崽
| [{{IPA|au}}] '''au''' 冇
|
| [{{IPA|uai}}] '''uai''' 外
|-
| [{{IPA|o}}] '''o''' 荷
|
| [{{IPA|uo}}] '''uo''' 禾
|
| [{{IPA|oi}}] '''oi''' 礙
| [{{IPA|ɨu}}] '''iu''' 仇
| [{{IPA|iu}}] '''iiu''' 有
| [{{IPA|ui}}] '''ui''' 微
|-
| [{{IPA|e}}] '''e''' 擿
| [{{IPA|ie}}] '''ie''' 葉
| [{{IPA|ue}}] '''ue''' 哇（叫）
| [{{IPA|ye}}]'''ye'''越
| [{{IPA|ei}}] '''ei''' 恁（边）
| [{{IPA|ɛu}}] '''eu''' 浮
| [{{IPA|iɛu}}] '''ieu''' 妖
|
|-
| [{{IPA|ɿ}}] '''i''' 痴
| [{{IPA|i}}] '''ii''' 依
| [{{IPA|ɨi}}] '''ĳ''' 非
| [{{IPA|y}}] '''y''' 於
|
| [{{IPA|u}}] '''u''' 烏
|
|
|}

===鼻韻尾===

{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;5&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot;
|-
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|an}}]
'''an''' 
鹹
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uan}}]
'''uan'''
晚
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|aŋ}}]
'''ang'''
彭
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|iaŋ}}]
'''iang'''
影
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uaŋ}}]
'''uang'''
汪
|-
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|on}}]
'''on''' 
漢
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uon}}]
'''uon'''
碗
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|yon}}]
'''yon'''
遠
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|ɔŋ}}]
'''ong'''
胖
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|iɔŋ}}]
'''iong'''
陽
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uɔŋ}}]
'''uong'''
王
|-
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|en}}]
'''en''' 
痕
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|iɛn}}]
'''ien'''
言
|
|
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uŋ}}]
'''ung'''
翁
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|iuŋ}}]
'''iung'''
用
|-
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|ɨn}}]
'''in'''
深
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|in}}]
'''iin'''
因
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|un}}]
'''un'''
問
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|yn}}]
'''yn'''
雲
|
|
|
|}

===促韻尾===

{| class=&quot;wikitable&quot; border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;5&quot; cellspacing=&quot;0&quot; align=&quot;center&quot;
|-
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|at}}]
'''at'''
抲
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uat}}]
'''uat'''
濩
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|aʔ}}]
'''ak'''
客
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|iaʔ}}]
'''iak'''
喫
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uaʔ}}]
'''uak'''
刮
|
|-
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|ot}}]
'''ot'''
磕
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uot}}]
'''uot'''
闊
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|yot}}]
'''yot'''
月
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|ɔʔ}}]
'''ok'''
殼
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|iɔʔ}}]
'''iok'''
雀
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uɔʔ}}]
'''uok'''
擴
|
|-
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|ɛt}}]
'''et'''
虱
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|iɛt}}]
'''iet'''
咳
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|ut}}]
'''ut'''
窟
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uɛt}}]
'''uet'''
國
|
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|uʔ}}]
'''uk'''
哭
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|iuʔ}}]
'''iuk'''
肉
|-
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|ɨt}}]
'''it'''
濕
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|it}}]
'''iit'''
日
|
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|yt}}]
'''yt'''
曲
|
|
|
| 
|}

===自成音節===

{| class=&quot;wikitable&quot; border=1 align=&quot;center&quot;
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|m̩}}]
'''m'''
唔
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|n}}]
'''n'''
乃(你)
| align=&quot;center&quot; | [{{IPA|ŋ̍}}]
'''ng'''
五
|}</text>
      <sha1>avgpo7syuk5jdkm19cnrimmr4nvmz8l</sha1>
    </revision>
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    <title>粵語/語音/聲母</title>
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      <id>186355</id>
      <parentid>96931</parentid>
      <timestamp>2026-07-24T23:57:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pawsdt</username>
        <id>68279</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>[IPE-NEXT] 结尾</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4131" sha1="e7dbc85ob6h4p7ho058r052t2hd2cgw" xml:space="preserve">{{mergeto|粵語/語音}}
粵話共有19個聲母，詳列下方。
{|border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;2&quot;
|-
! 聲母
! 國際音標
! 粵語寬式國際音標
! 如何發音
|-
|b 
|{{IPA|p}} 
|{{IPA|b}}
|等於普通話的聲母b（ㄅ），讀這個聲母的時候雙唇要合在一起，氣流因而閉塞，再打開雙唇，發出聲音。&lt;br/&gt;這個聲母是不送氣聲母，也就是當你讀出這個聲母的時候，並不會使強烈的氣流從口中呼出。
|-
|p 
|{{IPA|pʰ}} 
|{{IPA|p}}
|等於普通話的聲母p（ㄆ），讀這個聲母的方法和b相近。&lt;br/&gt;但是這個聲母是送氣聲母，也就是當你讀出這個聲母的時候，會使強烈的氣流從口中呼出。
|-
|m
|{{IPA|m}}
|{{IPA|m}}
|等於普通話的聲母m（ㄇ），讀這個聲母的時候雙唇要合在一起，氣流因而閉塞，再震動鼻腔，發出聲音。
|-
|f
|{{IPA|f}}
|{{IPA|f}}
|等於普通話的聲母f（ㄈ），讀這個聲母的時候下唇和上牙要合在一起，氣流因而閉塞，再打開唇齒，發出聲音。
|-
|d
|{{IPA|t}}
|{{IPA|d}}
|等於普通話的聲母d（ㄉ），讀這個聲母的時候舌尖和齒齦要合在一起，氣流因而閉塞，再打開舌尖，發出聲音。&lt;br/&gt;這個聲母是不送氣聲母，也就是當你讀出這個聲母的時候，並不會使強烈的氣流從口中呼出。
|-
|t
|{{IPA|tʰ}}
|{{IPA|t}}
|等於普通話的聲母t（ㄊ），讀這個聲母的方法和d相近。&lt;br/&gt;但是這個聲母是送氣聲母，也就是當你讀出這個聲母的時候，會使強烈的氣流從口中呼出。
|-
|n
|{{IPA|n}}
|{{IPA|n}}
|等於普通話的聲母n（ㄋ），讀這個聲母的方法和n相近。
|-
|l
|{{IPA|l}}
|{{IPA|l}}
|等於普通話的聲母l（ㄌ），讀這個聲母的時候舌尖要與齒齦相抵，從而發出聲音。
|-
|g
|{{IPA|k}}
|{{IPA|g}}
|等於普通話的聲母g（ㄍ），讀這個聲母的時候舌面後部與軟齶要合在一起，氣流因而閉塞，再突然打開舌面，發出聲音。&lt;br/&gt;這個聲母是不送氣聲母，也就是當你讀出這個聲母的時候，並不會使強烈的氣流從口中呼出。
|-
|k
|{{IPA|kʰ}}
|{{IPA|k}}
|等於普通話的聲母k（ㄎ），讀這個聲母的方法和g相近。&lt;br/&gt;但是這個聲母是送氣聲母，也就是當你讀出這個聲母的時候，會使強烈的氣流從口中呼出。
|-
|h
|{{IPA|h}}
|{{IPA|h}}
|類似普通話的聲母h（ㄏ），但是普通話中讀這個聲母的時候舌面後部與軟齶要合在一起，再打開舌面，發出聲音。而粵語中要從喉部發音。
|- 
|ng
|{{IPA|ŋ}}
|{{IPA|ŋ}}
|中古漢語的聲母疑母（ㄫ），在普通話中與零聲母合併。
|-
|z
|{{IPA|ts}}
|{{IPA|dz}}
|等於普通話的聲母z（ㄗ），舌尖和齒齦要合在一起，氣流因而閉塞，再打開舌尖，發出聲音。&lt;br/&gt;這個聲母是不送氣聲母，也就是當你讀出這個聲母的時候，並不會使強烈的氣流從口中呼出。
|-
|c
|{{IPA|tsʰ}}
|{{IPA|ts}}
|等於普通話的聲母c（ㄘ），讀這個聲母的方法和z相近。&lt;br/&gt;但是這個聲母是送氣聲母，也就是當你讀出這個聲母的時候，會使強烈的氣流從口中呼出。
|-
|s
|{{IPA|s}}
|{{IPA|s}}
|等於普通話的聲母s（ㄙ），讀這個聲母的時候舌尖和齒齦要合在一起，氣流因而閉塞，再打開舌尖，發出聲音。
|-
|j
|{{IPA|j}}
|{{IPA|j}}
|等於普通話的介音y（ㄧ），讀這個聲母的時候要以舌中部或後半部抵住硬顎發音。
|-
|w
|{{IPA|w}}
|{{IPA|w}}
|等於普通話的介音w（ㄨ）。
|- 
|colspan=&quot;4&quot;|下方為普通話使用者較難掌握的聲母
|-
! 聲母
! 國際音標
! 粵語寬式國際音標
! 如何發音
|- 
|ng
|{{IPA|ŋ}}
|{{IPA|ŋ}}
|中古漢語的聲母疑母（ㄫ），在普通話中與零聲母合併。
|-
|gw
|{{IPA|kʷ}}
|{{IPA|gw}}
|等於普通話的介音g（ㄍ）加上介音u（ㄨ）。「瓜」去掉a的部分。
|- 
|kw
|{{IPA|kʷʰ}}
|{{IPA|kw}}
|等於普通話的介音k（ㄎ）加上介音u（ㄨ）。「誇」去掉a的部分。
|-
|}


{{粵語}}
|}
&lt;/div&gt;</text>
      <sha1>e7dbc85ob6h4p7ho058r052t2hd2cgw</sha1>
    </revision>
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    <title>小学数学/六年级下册</title>
    <ns>0</ns>
    <id>26452</id>
    <revision>
      <id>186345</id>
      <parentid>184637</parentid>
      <timestamp>2026-07-24T12:14:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pawsdt</username>
        <id>68279</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>[IPE-NEXT] Quick edit</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29019" sha1="mvpm6dk3meax90dnkusxa9tgd8mq2z6" xml:space="preserve">本页面收集人民教育出版社出版的六年级下册数学课本的主要知识点，供学习之用。
== {{text anchor|1}} 负数 ==

=== 负数的含义、读写法 ===
'''负数'''：表示与正数'''相反意义的量'''的数。（例如：-3, -500, -4.7等）

'''读法'''：先读'''“负”'''，再读数。（如：-3，读作：负三）

'''写法'''：先写'''负号“-”'''，再写数。（如：负零点三七五，写作：-0.375）

（注：正数的正号“+”可以省略，也可以加上，读时先读“正”，再读数；写时先写正号“+”，再写数。）

'''0既不是正数，也不是负数。'''

=== 解决问题 ===
四个同学分别以大树为起点，按下面的方向和距离走：

小红：我向西走4m；

小明：我向西走2m；

小丽：我向东走2m；

小东：我向东走4m。

如何在一条直线上表示他们的行走距离和方向呢？

'''阅读和理解'''

'''方向相反'''：两人向东，两人向西。（正负数正好可以表示相反意义的量）

'''路程不同'''：有的是2米，有的是4米。（正数和负数可以表示走的路程）

'''分析与解答'''

'''确定起点'''：以大树为起点，表示为0；

'''确定方向'''：以东为正，以西为负。（0右边为正，左边为负）

'''表示小数、分数'''：在小数的范围之内取值。（如：0.25，将0和1之间的线段四等分，最靠近0的点表示0.25；-1.5，平分-2和-1间的线段，中间的点即为-1.5。）

结果：

[[File:人教版数学六下第一单元解决问题答案.jpg|thumb|题目的解答]]

'''回顾与反思'''

用有正数、负数的直线（数轴）可以表示'''相反的方向'''。

[[File:Number-line.svg|center|数轴（与本题目无关）]]

== {{text anchor|2}} 百分数（二） ==

=== 折扣 ===
超市降价销售商品，叫'''打折扣销售'''，俗称'''“打折”'''。

'''打几折=十分之几=百分之几十'''

（如：打九折&lt;math&gt; = \frac{9}{10} = 90%&lt;/math&gt;；打八八折&lt;math&gt; = \frac{8.8}{10} = 88%&lt;/math&gt;）

打折后的价格 = '''原价 × 折扣'''

打折后降价多少元 = '''原价 × ( 1 - 折扣 )'''

=== 成数 ===
农业收成、各行各业的变化用'''成数'''表示。

'''几成=十分之几=百分之几十'''

（如：二成=十分之二=20%；七成五=十分之七点五=75%）

增长（减少）后的数值='''增长（减少）前的数值×(1-成数)'''

=== 税率 ===
按一定比率给国家上缴的集体和个人收入的一部分叫'''纳税'''。

'''税收'''

'''应纳税额'''：应缴纳的税款

'''税率'''：应纳税部分与所有应缴纳税款的钱的比率

应纳税额='''所有应缴纳税款的钱×税率'''

=== 利率 ===
* '''本金'''：存入银行的钱
* '''利息'''：取款时银行多支付的钱
* '''本息'''：本金与利息的和
* '''利率'''：单位时间内利息与本金的比率
* 利息 = '''本金×利率×存期'''
* 本息和 =
** '''本金×利率×存期（利息）+本金'''
** '''本金×（1+利率×存期）'''

=== 解决问题 ===
某品牌的裙子搞促销活动，在A商场打五折销售，在B商场按“每满100元减50元”的方式销售。妈妈要买一条标价230元的这种品牌的裙子。
# 在A、B两个商场买，各应付多少钱？
# 选择哪个商场更省钱？
'''阅读与理解'''

“每满一百元减五十元”含义：'''总价中，每个一百元减去五十元，未满一百不计。'''

'''分析与解答'''
{|
| A商场：|| colspan = 2 |  230×50%=115（元）
|-
| B商场：|| 230÷100=2……30（元）|| '''230里面有两个100'''。
|-
| || 230-50×2=230-100=130（元）|| '''减去两个50'''。
|-
| || colspan = 2 | 115&lt;130
|-
| colspan = 3 | 答：在A商场应付115元，在B商场应付130元；选择A商场省钱。
|}
'''回顾与反思'''

当价格'''不到一百'''时：A商场实惠；

当价格'''不是整百'''时：A商场实惠；

当价格'''是整百'''时：两商场一样实惠。

== ※ {{text anchor|生活与百分数}} ==

=== 活动一 ===

调查利率：可以自行去银行调查或在互联网查询。以下以中国农业银行官网存款利率（2022年3月26日）为例：
{| class=&quot;wikitable&quot;
| '''类型'''
| '''项目'''
| '''存期'''
| '''年利率'''（%）
|-
| 活期
| colspan=&quot;2&quot; | -
| 0.30
|-
| rowspan=&quot;10&quot; |定期
| rowspan=&quot;6&quot; |整存整取
| 三个月
| 1.35
|-
| 半年
| 1.55
|-
| 一年
| 1.75
|-
| 二年
| 2.25
|-
| 三年
| 2.75
|-
| 五年
| 2.75
|-
| rowspan=&quot;3&quot; |零存整取、整存零取、存本取息
| 一年
| 1.35
|-
| 三年
| 1.55
|-
| 五年
| 1.55
|-
|定活两便
| colspan=&quot;2&quot; |按一年以内定期整存整取同档次利率打6折
|}

国家调整利率的原因：
# 货币宽松，国家经济陷入停滞，国家为了保证经济正常运作，房地产等不会因此而过快崩溃，降低利率，提高市场的货币投放，促进经济增长。
# 利率是调节货币政策的重要工具。当经济过热、通货膨胀上升时，便提高利率、收紧信贷；当过热的经济和通货膨胀得到控制时，便会把利率适当地调低。

=== 活动二 ===
李奶奶手中有两万元，请你用一下三种方式：普通储蓄存款、国债、理财产品设计存款方案，使六年后收益最大。

查找资料，设计方案。

== {{text anchor|3}} 圆柱与圆锥 ==
=== 圆柱 ===
==== 圆柱的定义与形状 ====
两底面为'''相等'''并可以'''完全重合'''的'''圆'''，侧面为'''曲面'''的立体图形，叫作'''圆柱体'''，简称'''圆柱'''。
[[File:Cylinder_geometry.svg|thumb|75px|right|圆柱示意图]]
'''底面'''：圆柱的'''上、下两个面'''。

'''侧面'''：圆柱'''周围的面'''。'''（上、下底面除外）'''

'''高（h）'''：圆柱两个底面的'''距离'''。

'''底面半径（r）'''

快速旋转一个'''一条边被固定在木棒上长方形'''所形成的立体图形是'''圆柱'''。

[[File:Revolución cilindro.gif|thumb|75px|快速旋转一个一条边被固定在木棒上的长方形所形成的图形是圆柱]]

'''圆柱体的展开图'''：将圆柱体的两个底面剪开可以得到'''两个圆形'''，将侧面沿高剪开可以得到一个'''长方形'''。

[[File:ZylinderNetz.svg|thumb|100px|圆柱体展开图]]

==== 圆柱的表面积 ====
圆柱的两个底面积='''2×圆周率×半径×半径'''（&lt;math&gt;2 \pi r^2&lt;/math&gt;）

圆柱的侧面积：

圆柱侧面展开后是一个长方形，它的长是圆柱'''底面积的周长'''（'''πd=2πr'''），他的宽是'''圆柱的高'''（'''h'''）

所以圆柱的侧面积='''底面积的周长×高'''（'''πdh/2πrh'''）

圆柱的表面积（S）='''圆柱的两个底面积+圆柱的侧面积'''（'''2πr²+πdh/2πrh'''）

有时需要看情况求圆柱的表面积（如厨师帽只有'''一个底面'''）

==== 圆柱的体积 ====

如图所示，将圆柱的底面分为'''许多个扇形'''，再将这些扇形拼成一个'''近似长方体的立体图形'''。（扇形越多，这个立体图形就'''越接近长方体'''）

[[File:圆柱体推导过程示意图.jpg|thumb|将圆柱变为长方体]]

①长方体的长为'''圆柱底面积周长的一半'''（'''πr'''），宽为'''圆柱底面积的半径'''（'''r'''），高为'''圆柱的高'''（'''h'''）。

那么圆柱的体积（V）='''底面积周长的一半×底面积的半径×高'''='''πr²h'''。

②长方体的底面积为'''圆柱的底面积（S）'''，高为'''圆柱的高（h）'''。

那么圆柱的体积（V）='''底面积×高'''='''Sh'''。

=== 圆锥 ===

==== 圆锥的定义和形状 ====

底面是'''圆'''，侧面是'''曲面'''，而且'''有一个顶点'''的立体图形叫作'''圆锥体'''，简称'''圆锥'''。
{|
! 底面
| ：圆锥'''下面'''的部分。
|-
! 侧面
| ：圆锥'''表面除底面'''的部分。
|-
! 顶点
| ：圆锥'''顶部的点'''。
|-
! 高（h）
| ：圆柱的顶点到底面的'''距离'''。
|-
! 底面半径（r）
|-
|}

[[File:Cone (geometry).svg|thumb|162px|right|圆锥示意图]]

'''测量圆锥的高'''：
# 拿出两个'''板子'''，分别将两个板子分别水平地放在'''圆锥底面的下面'''和'''顶点的上面'''；
# 用尺子测量'''底下板子的上面'''与'''顶上板子的底部'''的距离，这个距离就是圆锥的高。

快速旋转一个'''一条直角边贴在木棒上的直角三角形'''，可以得到一个'''圆锥'''。

[[file:Cone revolution.gif|thumb|快速旋转一个一条直角边贴在木棒上的直角三角形会形成一个圆锥]]

==== 圆锥的体积 ====
一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的'''三分之一'''。

所以圆锥的体积（V&lt;sub&gt;圆锥&lt;/sub&gt;）=
* '''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;×底面积×高'''='''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;Sh'''
* '''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;×π×底面半径×底面半径×高'''='''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;πr²h'''
{{-}}

== {{text anchor|4}} 比例 ==

=== 比例的意义和基本性质 ===

==== 比例的意义 ====
表示两个比相等的式子叫作'''比例'''。（例：2.4 : 1.6=60 : 40或&lt;math&gt;\frac{2.4}{1.6}&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{60}{40}&lt;/math&gt;）

==== 比例的基本性质 ====
组成比例的四个数叫作比例的'''项'''，两端的两项叫做比例的'''外项'''，中间的两项叫做比例的'''内项'''。（如：在2.4 : 1.6=60 : 40和&lt;math&gt;\frac{2.4}{1.6}&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{60}{40}&lt;/math&gt;中，2.4和40是外项，1.6和60是内项。）

'''比例的基本性质'''：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

==== 解比例 ====
根据比例的基本性质，如果知道比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作'''解比例'''。

&lt;math&gt;\begin{align}
\text{如 ：}2.4:x &amp;= 60 : 40 \\
\text{解 1 ： }2.4 \times 40 &amp;= 60x \text{ - 依 照 比 例 的 基 本 性 质 将 比 例 转 化 为 方 程 }\\
60x &amp;= 96 \\
x &amp;= 1.6 \\
\text{解 2 ： }x &amp;= 2.4 \times 40 \div 60 \text{ - 将 比 号 看 做 除 号 计 算} \\
x &amp;= 1.6
\end{align}&lt;/math&gt;

=== 正比例与反比例 ===

==== 正比例 ====

两种相关联的量，一种量变化，另一种两也跟着变化，如果这两种量的比值一定，这两种量就叫做'''成正比例的量'''，这两种量的关系叫'''正比例关系'''。

（如：一种商品的单价是固定的，那么买这种东西的数量和这些商品的总价是成正比例的量，它们的关系是正比例关系。）

正比例关系可用'''下面的式子'''表示（&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;、&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;为两种相关联的量，&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;是它们的比值（一定））：

:&lt;math&gt;\frac{y}{x} = k&lt;/math&gt;

正比例关系可以用图像清楚直观地表示出来，这个图像叫'''正比例关系图像'''。

[[File:Variables proporcionals.png|thumb|291px|正比例关系图像]]

==== 反比例 ====
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量的乘积一定，那么这两个量是成反比例的量，这两种量的关系叫反比例关系。

（如：杯子里的水的多少是固定的，水的高度随着杯子的底面积增加而减少，那么水的高度和杯子的底面积是成反比例的量，这两种量的关系叫做反比例关系。）

反比例关系可以用下面的式子来表示（&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;、&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;为两种相关联的量，&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;是它们的乘积（一定））：

&lt;math&gt;xy=k&lt;/math&gt;

反比例关系也可以用图像清楚直观地表示出来，这个图像叫'''反比例关系图像'''。

[[File:Inverse proportionality function plot.gif|thumb|291px|反比例关系图像]]

=== 比例的应用 ===

==== 比例尺 ====

===== 比例尺的定义 =====

一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作'''比例尺'''。（可表示为'''图上距离 : 实际距离=比例尺'''或'''图上距离/实际距离=比例尺'''）

===== 比例尺的类型 =====

* '''数值比例尺'''：1 : 100000000或&lt;math&gt;\frac{1}{100000000}&lt;/math&gt;；（表示图上1厘米等于实际1亿厘米（1000千米））
* '''线段比例尺'''：[[File:Graphical scale.gif|thumb|线段比例尺]]。（表示图上1单位长度等于10千米）&lt;br/&gt;（'''将线段比例尺转换为数值比例尺'''（以上面的线段比例尺为例）：&lt;br/&gt;&amp;emsp;&amp;ensp;图上距离 : 实际距离&lt;br/&gt;&lt;math&gt;\begin{align}
=    1\text{cm} :&amp;\ 10\text{km}      \\
=    1\text{cm} :&amp;\ 1000000\text{cm} \\
=      \ \quad1 :&amp;\ 1000000
\end{align}&lt;/math&gt;
* '''缩小比例尺'''：图上距离相较实际距离缩小的比例尺；（如：1 : 100000000）
* '''放大比例尺'''：图上距离相较实际距离放大的比例尺。（如：2 : 1）

===== 已知图上距离与比例尺，求实际距离 =====
①根据“'''图上距离 : 实际距离=比例尺'''”写出含有未知项的比例；

②'''解比例'''；

③将厘米转换为'''其他单位'''。

或

①根据“'''实际距离=图上距离÷比例尺'''”求出实际距离；

②将厘米转化为'''其他单位'''。

===== 已知实际距离及比例尺，求图上距离及画图 =====
①将其他单位转化为'''厘米'''；

②根据“'''图上距离=实际距离×比例尺'''”，求出图上距离；

③'''画图'''。

==== 图形的放大和缩小 ====

===== 放大和缩小的定义 =====
让图形的'''形状'''和'''位置'''不变，'''大小'''变化的运动，叫作'''放大'''（图形变大）或'''缩小'''（图形缩小）。

===== 按比例放大或缩小 =====

'''按几比一放大（缩小），就是把&lt;u&gt;图形的边长&lt;/u&gt;放大（缩小）几倍。'''（如：按2 : 1放大，就是把图形各边的边长放大2倍）

注意：图形各边的边长放大（缩小）几倍，图形的面积放大（缩小）几倍的平方。

==== 用比例解决问题 ====
=====解决问题1 =====

张大妈上个月用了8吨水，水费28元；李奶奶上个月用了10吨水，其应缴水费多少元？

'''阅读与理解'''

本题中不知道水的单价，但水的价格是一定的。用的水量和水费成'''正比例关系'''，也就是说，它们的比值（水的单价）一定。

'''分析与解答'''

解：设李奶奶应缴水费&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;元。

&lt;math&gt;
\begin{align}
\frac{28}{8} &amp;= \frac{x}{10} \\
          8x &amp;= 28\times10   \\
           x &amp;= 35
\end{align}&lt;/math&gt;

答：李奶奶应缴水费35元。

（也可以先求出每吨水的价钱，再求李奶奶应缴的水费。）

'''回顾与反思'''

本题的关键点在于找到不变的比值。只要找到两个量间不变的比值，就可以用正比例关系解出该题。

===== 解决问题2 =====
一个办公楼平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。原来5天的用电量现在可以用多少天？

'''阅读和理解'''

总用电量一定，已知的平均每天用电和用电时间成反比例关系，也就是说两个量的乘积（总用电量）一定。

'''分析与解答'''

解：设原来五天的用电量现在可以用&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;天。

&lt;math&gt;
\begin{align}
25x &amp;= 100\times5 \\
  x &amp;= 20
\end{align}&lt;/math&gt;

答：原来5天的用电量现在可以用20天。

（也可以先求出总用电量，再求出现在的用电天数。）

'''回顾与反思'''

本题的关键点在于找到不变的乘积。只要找到不变的比值，就可以用反比例关系解答。

== ※ {{text anchor|自行车里的数学}} ==

=== 活动一 ===

已知前齿轮齿数、后齿轮齿数与车轮半径，求自行车蹬一圈的路程。

因为前齿轮转一圈的长度等于链条所走的长度，而后齿轮也要走过同样的长度，所以'''前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数'''。

因为后齿轮转数和后轮转数保持一致，又因为'''自行车蹬一圈的路程=后轮周长×后轮转数'''，所以'''自行车蹬一圈的路程=2×车轮半径×π×后轮转数'''（'''2πr×后轮转数'''）。

=== 活动二 ===

调查变速自行车前后齿轮的齿数，看它们有多少种组合，并思考哪种组合蹬的路程最远。

调查自行车前后齿轮的齿数并统计组合：可以自己找一辆自行车数一数前后齿轮上的齿数，将它们记录在一张纸上，用搭配的知识算出它们的组合。

哪种齿轮组合蹬的路程最远：'''前齿轮齿数最多，后齿轮齿数最少的组合蹬的路程最远。'''

理由：前齿轮齿数越多，齿轮转一圈的长度越远；后齿轮齿数越少，齿轮转一圈的圈数越多。前齿轮齿数最多，后齿轮齿数越少，此时后齿轮转动的圈数是'''最多的'''，相应的，后轮转动的圈数是最多的，蹬一圈的长度也越长。

== {{text anchor|5}} {{text anchor|数学广角}}──{{text anchor|鸽巢问题}} ==

=== 鸽巢问题的解释 ===

像下面这样子的问题是'''鸽巢问题'''：

将3支笔放入2个笔筒中，'''总有'''一个笔筒中'''至少'''有两只铅笔。

'''总有'''：每次都会发生，没有例外。

'''至少'''：最少，不会出现比这个更少的情况。

'''可以这样解释鸽巢问题'''：

先放两支笔，每支笔分别放在一个笔筒里…………'''最倒霉原则'''（考虑最不可能出现题设的情况）

此时还剩下一支笔，这支笔只能放在已经分别有了一支笔的两个笔筒之一。这时无论放进那个笔筒里，每个笔筒都会有两支笔。所以会出现题目中的情况。

整个过程可以用这个式子表示：3÷2=1（支）……1（支），1+1=2（支）
* 3：三支笔（鸽巢问题中的“鸽子”）
* 2：两个笔筒（鸽巢问题中的“鸽巢”）
* 1（商）：每个笔筒首先放进去的笔的数量
* 1（余数）：后来放进笔筒中的笔

=== 如何保证能摸出不同类型的“鸽子” ===

盒子里有大小相同的红球和蓝球各4个，要想'''保证'''摸出的球有一个蓝球，'''至少'''要摸出几个球？

'''保证'''：一定，一定会。

'''至少'''：最少要，不能摸出比这更少的球。

答：至少得摸出5个。

'''可以这样解释'''：

如果摸出的球≤4个，那有可能摸出来的都是红球，因为红球有4个。…………'''最倒霉原则'''

如果摸出的球是5个或5个以上，那么不论怎么摸，都会摸出1个或1个以上的蓝球，因为红球只有4个。

所以至少得摸出5个球。

== {{text anchor|6}} {{text anchor|整理和复习}} ==

=== 数与代数 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的认识&lt;/span&gt; ====
{{empty section}}

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的分类&lt;/span&gt; ====
目前学过的数可以用图的形式表示：
{|
| rowspan = 5 | 数
| rowspan = 5 | &lt;math&gt;\left\{
 \begin{matrix}
  \\ \\ \\ \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| rowspan = 3 | 整数
| rowspan = 3 | &lt;math&gt;\left\{
 \begin{matrix}
  \\ \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| 正整数
| rowspan = 2 | &lt;math&gt;\left\}
 \begin{matrix}
  \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| rowspan = 2 | 自然数
|-
| 0
|-
| colspan = 3 | 负整数
|-
| colspan = 5 | 分数（有限小数，无限循环小数）
|-
| colspan = 5 | 无限不循环小数
|}

===== 数轴 =====
用有正数、负数的直线（数轴）可以表示相反的方向。这是一个数轴，标出了一些数的位置：
 ____|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|____&gt;
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; |
 &amp;nbsp; &amp;nbsp;-3 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;-1.25 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;0 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; 1 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;  &amp;nbsp; &amp;nbsp; 3.5 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; 5

===== 十进制计数法，数位和计数单位 =====
{| class = &quot;wikitable&quot;
! colspan = 1, rowspan = 2 |
! colspan = 13| 整数部分
! colspan = 1, rowspan = 2 | 小数点
! colspan = 4, rowspan = 2 | 小数部分
|-
! ……
! colspan = 4, rowspan = 1 | 亿级
! colspan = 4, rowspan = 1 | 万级
! colspan = 4, rowspan = 1 | 个级
|-
! 数位
| ……
|| 千亿位 || 百亿位 || 十亿位 || 亿位
|| 千万位 || 百万位 || 十万位 || 万位
|| 千位 || 百位 || 十位 || 个位
! colspan = 1, rowspan = 2 | .
|| 十分位 || 百分位 || 千分位 || ……
|-
! 计数单位
| ……
|| 千亿 || 百亿 || 十亿 || 亿
|| 千万 || 百万 || 十万 || 万
|| 千 || 百 || 十 || 个
|| 十分之一 || 百分之一 || 千分之一 || ……
|}

===== 因数和倍数 =====
设&lt;math&gt;ab=c, a\ne0, b\ne0&lt;/math&gt;，则有以下几条：
* &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;都是&lt;math&gt;c&lt;/math&gt;的因数。
* &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;是&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;的倍数。

===== 小数和分数 =====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的运算&lt;/span&gt; ====

===== 运算和运算的意义 =====
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 运算 || 定义 || 关系式 || colspan = 2 | 变式
|-
! 加法
| 两个数合起来的值。
| 加数+加数=和
| colspan = 2 | 和-一个加数=另一个加数
|-
! 减法
| 已知一个加数和和，求另一个数的运算。
| 被减数-减数-差
| 被减数-差=减数
| 减数+差=被减数
|-
! 乘法
| 所有加数均相等的加数的简便运算。
| 乘数（因数）&amp;times;乘数=积
| colspan = 2 | 积&amp;div;一个乘数=另一个乘数
|-
! 除法
| 已知一个乘数和积，求另一个乘数的运算。
| 被除数&amp;div;除数=商
| 被除数&amp;div;商=除数
| 商&amp;times;除数=被除数
|}

===== 整数、小数、分数的四则运算 =====

===== 四则运算间每个数的关系 =====

===== 四则运算混合运算的顺序 =====

===== 运算律 =====
* 加减法
** 加法交换律：&lt;math&gt;a+b=b+a&lt;/math&gt;
** 加法结合律：&lt;math&gt;a+b+c=(a+b)+c=a=(b+c)&lt;/math&gt;
** 减法结合律：&lt;math&gt;a-b-c=a-(b+c)&lt;/math&gt;
* 乘除法
** 乘法交换律：&lt;math&gt;ab=ba&lt;/math&gt;
** 乘法结合律：&lt;math&gt;abc=(ab)c=a(bc)&lt;/math&gt;
** 除法结合律：&lt;math&gt;a \div b \div c = a \div (bc)&lt;/math&gt;或&lt;math&gt;\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}&lt;/math&gt;

===== 估算 =====
可以按照以下思路解决求够不够的问题与估算的计算题：
# 估
#* 估大：例如做衣服，给了布料的数量。
#* 估小：例如做衣服，给了衣服的件数。
#* 四舍五入：例如计算题，不用刻意估大估小的应用题。
#* 凑整：例如&lt;math&gt;10006 \times 9994 \approx 10000 \times 10000&lt;/math&gt;
# 算：根据估后的值进行计算。计算题到这里已经结束了。
# 比：将估算后的值与那个够不够的值比较，答。

===== 解决问题 =====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;式与方程&lt;/span&gt; ====

===== 式的作用与表示 =====

===== 方程与等式 =====

===== 等式的性质 =====
等式两边同加减乘除乘方同一个数（除法不能为0），等式仍然成立。

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;比和比例&lt;/span&gt; ====

===== 比和比例的意义、组成和基本性质 =====

===== 比与分数、除法的关系 =====
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 比
| 前项 || 比号 || 后项 || 比值
|-
! 分数
| 分子 || 分数线 || 分母 || 分数值
|-
! 除法
| 被除数 || 除号 || 除数 || 商
|}

===== 正比例与反比例 =====

=== 图形与几何 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;图形的认识与测量&lt;/span&gt; ====

===== 图形的分类 =====

===== 平面图形 =====

====== 直线、射线和线段 ======
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 类型 || 性质 || 端点数 || 表示方法
|-
! 直线
| 向两边无限延伸 || 0 || 从直线上面任取两个点，称作直线&lt;两个点各自的名称&gt;
|-
! 射线
| 从一个点起，向一个方向无限延伸 || 1 || 射线&lt;端点的名称&gt;&lt;射线上任一个非端点的点的名称&gt;
|-
! 线段
| 有有限的长度 || 2 || 线段&lt;两个端点各自的名称&gt;
|}
====== 角 ======

====== 三角形 ======
有三条边，是封闭图形。

====== 平行四边形 ======
有四条边，是封闭图形，对边对角相等。

====== 圆 ======
有一条曲边，是封闭图形，半径相等，直径（半径）与周长的比值相等。

====== 图形的周长和面积 ======
* 平行四边形
** &lt;math&gt;S_{\text{平 行 四 边 形}} = ah&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;C_{\text{平 行 四 边 形}} = 2(ab)&lt;/math&gt;
** 三角形
*** &lt;math&gt;S_{\text{三 角 形}} = \frac{1}{2}ah&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{三 角 形}} = a+b+c&lt;/math&gt;
** 梯形
*** &lt;math&gt;S_{\text{梯 形}} = \frac{1}{2}(a+b)h&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{梯 形}} = a+b+c+d&lt;/math&gt;
** 长方形
*** &lt;math&gt;S_{\text{长 方 形}} = ab&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{长 方 形}} = 2(ab)&lt;/math&gt;
*** 正方形
**** &lt;math&gt;S_{\text{正 方 形}} = a^2&lt;/math&gt;
**** &lt;math&gt;C_{\text{正 方 形}} = 4a&lt;/math&gt;
* 圆
** &lt;math&gt;S_{\text{圆}} = \pi r^{2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;C_{\text{圆}} = \pi d = 2 \pi r&lt;/math&gt;

===== 立体图形 =====
====== 长方体和正方体 ======
有长、宽、高，6个长方形面，12条棱，互相垂直或平行。
有3组平行面，3组平行棱。

====== 圆柱和圆锥 ======

====== 图形的棱长总和、表面积和体积 ======
* 长方体
** &lt;math&gt;C_{\text{长 方 体}}=4(a+b+c)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;S_{\text{长 方 体}}=2(ab+ah+bh)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;V_{\text{长 方 体}}=S_{\text{底 }}h=abh&lt;/math&gt;
** 正方体
*** &lt;math&gt;C_{\text{正 方 体}}=12a&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;S_{\text{正 方 体}}=6a^2&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;V_{\text{正 方 体}}=S_{\text{底 }}h=a^3&lt;/math&gt;
* 圆柱
** &lt;math&gt;S_{\text{圆 柱}}=\pi r(h+r)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;V_{\text{圆 柱}}=S_{\text{底 }}h=\pi r^2 h&lt;/math&gt;
** 圆锥
*** &lt;math&gt;S_{\text{圆 锥}}=\pi r^2+\frac{\text{扇 形 圆 心 角 }^\circ}{360^\circ}\pi\times\text{顶 点 到 底 边 的 距 离 }&lt;/math&gt;（这个书上没有，但是会考
**** 如果只给了r和h，可按照以下方法计算（有点超纲，但是题目应该会给&lt;math&gt;\sqrt{r^2+h^2}&lt;/math&gt;的值）：&lt;math&gt;\pi r\left(r+\sqrt{r^2+h^2}\right)&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;V_{\text{圆 锥}}=\frac{1}{3}S_{\text{底 }}h=\frac{1}{3}\pi r^2h&lt;/math&gt;

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;图形的运动&lt;/span&gt;====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;图形和位置&lt;/span&gt;====

=== 统计与概率 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;数据的收集、整理与分析&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;统计表和统计图&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;可能性&lt;/span&gt; ====

=== 数学思考 ===

=== 综合与实践 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;绿色出行&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;北京五日游&lt;/span&gt;====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;邮票中的数学问题&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;有趣的平衡&lt;/span&gt;====

== 课本扩展 ==

=== 千分数和万分数 ===
千分数也叫千分率，表示一个数的千分之几。与百分数一样，千分数也有千分号，写作“‰”。例，2019年我国全年出生人口1465万人，出生率为10.48‰，死亡998万人，死亡率为7.14‰，自然增长率为3.34‰。

万分数也叫万分率，表示一个数的万分之几。与百分数一样，万分数也有万分号，写作“&lt;!--我打不出来了--&gt;”。例，将某银行一年期商业贷款基准年利率换算成日利率为1.2&lt;!--万分号--&gt;。
&lt;!--Page 15, 生活与百分数后--&gt;

=== 圆柱容球 ===
将一个球放在一个圆柱中，球与圆柱的上下底面、侧面互相接触，球的直径与圆柱的高和直径相等。假设球的半径为&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;，那么圆柱的体积&lt;math&gt;V_{\text{圆 柱 }}=\pi r^2 \times 2r=2\pi r^3&lt;/math&gt;。阿基米德发现并证明了球的体积公式是&lt;math&gt;V_{\text{球 }}=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;，故&lt;math&gt;V_{\text{球 }}=\frac{2}{3}V_{\text{圆 柱 }}&lt;/math&gt;，即当圆柱容球时，球的体积正好是圆柱的&lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt;。

阿基米德还发现，当圆柱容球时，球的表面积也是圆柱表面积的&lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt;。故球的表面积公式是&lt;math&gt;S_{\text{球 }}=\frac{2}{3}[2\pi r(r+h)]=\frac{2}{3}\left[6\pi r^2\right]=4\pi r^2&lt;/math&gt;。
&lt;!--Page 29, 练习五后--&gt;

=== 反比例关系图像 ===

=== 文字式比例尺 ===

=== 抽屉（鸽巢）问题的提出 ===

=== 七桥问题 ===
一城中有一河穿过，河中有二岛，有七座桥连其中。有人提出一问题：一个步行者如何才能不重复不遗漏走完七座桥？这就是著名的七桥问题。数学家们通过把七桥问题转化成一个几何问题：一笔画问题（如下），发现由于有奇数条线连接的点有ABCD四个，故这样的走法是不存在的。
 B&lt;==&gt;A&lt;==&gt;C
 &amp;nbsp;\ &amp;nbsp; | &amp;nbsp; /
 &amp;nbsp; \&amp;nbsp; |&amp;nbsp; /
 &amp;nbsp; &amp;nbsp;\ | /
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; \|/
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;D
&lt;!--Page 103 练习22后--&gt;

=== 绿色出行 ===

=== 同比和环比 ===


[[Category:数学]]
[[Category:小学]]
[[Category:小学數學]]</text>
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      <timestamp>2026-07-24T13:03:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Pawsdt</username>
        <id>68279</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>[IPE-NEXT] 不能直接出答案，要有过程，否则会错</comment>
      <origin>186348</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29052" sha1="phtvdg6d794oobk4w7woi2kcx95xc54" xml:space="preserve">本页面收集人民教育出版社出版的六年级下册数学课本的主要知识点，供学习之用。
== {{text anchor|1}} 负数 ==

=== 负数的含义、读写法 ===
'''负数'''：表示与正数'''相反意义的量'''的数。（例如：-3, -500, -4.7等）

'''读法'''：先读'''“负”'''，再读数。（如：-3，读作：负三）

'''写法'''：先写'''负号“-”'''，再写数。（如：负零点三七五，写作：-0.375）

（注：正数的正号“+”可以省略，也可以加上，读时先读“正”，再读数；写时先写正号“+”，再写数。）

'''0既不是正数，也不是负数。'''

=== 解决问题 ===
四个同学分别以大树为起点，按下面的方向和距离走：

小红：我向西走4m；

小明：我向西走2m；

小丽：我向东走2m；

小东：我向东走4m。

如何在一条直线上表示他们的行走距离和方向呢？

'''阅读和理解'''

'''方向相反'''：两人向东，两人向西。（正负数正好可以表示相反意义的量）

'''路程不同'''：有的是2米，有的是4米。（正数和负数可以表示走的路程）

'''分析与解答'''

'''确定起点'''：以大树为起点，表示为0；

'''确定方向'''：以东为正，以西为负。（0右边为正，左边为负）

'''表示小数、分数'''：在小数的范围之内取值。（如：0.25，将0和1之间的线段四等分，最靠近0的点表示0.25；-1.5，平分-2和-1间的线段，中间的点即为-1.5。）

结果：

[[File:人教版数学六下第一单元解决问题答案.jpg|thumb|题目的解答]]

'''回顾与反思'''

用有正数、负数的直线（数轴）可以表示'''相反的方向'''。

[[File:Number-line.svg|center|数轴（与本题目无关）]]

== {{text anchor|2}} 百分数（二） ==

=== 折扣 ===
超市降价销售商品，叫'''打折扣销售'''，俗称'''“打折”'''。

'''打几折=十分之几=百分之几十'''

（如：打九折&lt;math&gt; = \frac{9}{10} = 90%&lt;/math&gt;；打八八折&lt;math&gt; = \frac{8.8}{10} = 88%&lt;/math&gt;）

打折后的价格 = '''原价 × 折扣'''

打折后降价多少元 = '''原价 × ( 1 - 折扣 )'''

=== 成数 ===
农业收成、各行各业的变化用'''成数'''表示。

'''几成=十分之几=百分之几十'''

（如：二成=十分之二=20%；七成五=十分之七点五=75%）

增长（减少）后的数值='''增长（减少）前的数值×(1-成数)'''

=== 税率 ===
按一定比率给国家上缴的集体和个人收入的一部分叫'''纳税'''。

'''税收'''

'''应纳税额'''：应缴纳的税款

'''税率'''：应纳税部分与所有应缴纳税款的钱的比率

应纳税额='''所有应缴纳税款的钱×税率'''

=== 利率 ===
* '''本金'''：存入银行的钱
* '''利息'''：取款时银行多支付的钱
* '''本息'''：本金与利息的和
* '''利率'''：单位时间内利息与本金的比率
* 利息 = '''本金×利率×存期'''
* 本息和 =
** '''本金×利率×存期（利息）+本金'''
** '''本金×（1+利率×存期）'''

=== 解决问题 ===
某品牌的裙子搞促销活动，在A商场打五折销售，在B商场按“每满100元减50元”的方式销售。妈妈要买一条标价230元的这种品牌的裙子。
# 在A、B两个商场买，各应付多少钱？
# 选择哪个商场更省钱？
'''阅读与理解'''

“每满一百元减五十元”含义：'''总价中，每个一百元减去五十元，未满一百不计。'''

'''分析与解答'''
{|
| A商场：|| colspan = 2 |  230×50%=115（元）
|-
| B商场：|| 230÷100=2……30（元）|| '''230里面有两个100'''。
|-
| || 230-50×2=230-100=130（元）|| '''减去两个50'''。
|-
| || colspan = 2 | 115&lt;130
|-
| colspan = 3 | 答：在A商场应付115元，在B商场应付130元；选择A商场省钱。
|}
'''回顾与反思'''

当价格'''不到一百'''时：A商场实惠；

当价格'''不是整百'''时：A商场实惠；

当价格'''是整百'''时：两商场一样实惠。

== ※ {{text anchor|生活与百分数}} ==

=== 活动一 ===

调查利率：可以自行去银行调查或在互联网查询。以下以中国农业银行官网存款利率（2022年3月26日）为例：
{| class=&quot;wikitable&quot;
| '''类型'''
| '''项目'''
| '''存期'''
| '''年利率'''（%）
|-
| 活期
| colspan=&quot;2&quot; | -
| 0.30
|-
| rowspan=&quot;10&quot; |定期
| rowspan=&quot;6&quot; |整存整取
| 三个月
| 1.35
|-
| 半年
| 1.55
|-
| 一年
| 1.75
|-
| 二年
| 2.25
|-
| 三年
| 2.75
|-
| 五年
| 2.75
|-
| rowspan=&quot;3&quot; |零存整取、整存零取、存本取息
| 一年
| 1.35
|-
| 三年
| 1.55
|-
| 五年
| 1.55
|-
|定活两便
| colspan=&quot;2&quot; |按一年以内定期整存整取同档次利率打6折
|}

国家调整利率的原因：
# 货币宽松，国家经济陷入停滞，国家为了保证经济正常运作，房地产等不会因此而过快崩溃，降低利率，提高市场的货币投放，促进经济增长。
# 利率是调节货币政策的重要工具。当经济过热、通货膨胀上升时，便提高利率、收紧信贷；当过热的经济和通货膨胀得到控制时，便会把利率适当地调低。

=== 活动二 ===
李奶奶手中有两万元，请你用一下三种方式：普通储蓄存款、国债、理财产品设计存款方案，使六年后收益最大。

查找资料，设计方案。

== {{text anchor|3}} 圆柱与圆锥 ==
=== 圆柱 ===
==== 圆柱的定义与形状 ====
两底面为'''相等'''并可以'''完全重合'''的'''圆'''，侧面为'''曲面'''的立体图形，叫作'''圆柱体'''，简称'''圆柱'''。
[[File:Cylinder_geometry.svg|thumb|75px|right|圆柱示意图]]
'''底面'''：圆柱的'''上、下两个面'''。

'''侧面'''：圆柱'''周围的面'''。'''（上、下底面除外）'''

'''高（h）'''：圆柱两个底面的'''距离'''。

'''底面半径（r）'''

快速旋转一个'''一条边被固定在木棒上长方形'''所形成的立体图形是'''圆柱'''。

[[File:Revolución cilindro.gif|thumb|75px|快速旋转一个一条边被固定在木棒上的长方形所形成的图形是圆柱]]

'''圆柱体的展开图'''：将圆柱体的两个底面剪开可以得到'''两个圆形'''，将侧面沿高剪开可以得到一个'''长方形'''。

[[File:ZylinderNetz.svg|thumb|100px|圆柱体展开图]]

==== 圆柱的表面积 ====
圆柱的两个底面积='''2×圆周率×半径×半径'''（&lt;math&gt;2 \pi r^2&lt;/math&gt;）

圆柱的侧面积：

圆柱侧面展开后是一个长方形，它的长是圆柱'''底面积的周长'''（'''πd=2πr'''），他的宽是'''圆柱的高'''（'''h'''）

所以圆柱的侧面积='''底面积的周长×高'''（'''πdh/2πrh'''）

圆柱的表面积（S）='''圆柱的两个底面积+圆柱的侧面积'''（'''2πr²+πdh/2πrh'''）

有时需要看情况求圆柱的表面积（如厨师帽只有'''一个底面'''）

==== 圆柱的体积 ====

如图所示，将圆柱的底面分为'''许多个扇形'''，再将这些扇形拼成一个'''近似长方体的立体图形'''。（扇形越多，这个立体图形就'''越接近长方体'''）

[[File:圆柱体推导过程示意图.jpg|thumb|将圆柱变为长方体]]

①长方体的长为'''圆柱底面积周长的一半'''（'''πr'''），宽为'''圆柱底面积的半径'''（'''r'''），高为'''圆柱的高'''（'''h'''）。

那么圆柱的体积（V）='''底面积周长的一半×底面积的半径×高'''='''πr²h'''。

②长方体的底面积为'''圆柱的底面积（S）'''，高为'''圆柱的高（h）'''。

那么圆柱的体积（V）='''底面积×高'''='''Sh'''。

=== 圆锥 ===

==== 圆锥的定义和形状 ====

底面是'''圆'''，侧面是'''曲面'''，而且'''有一个顶点'''的立体图形叫作'''圆锥体'''，简称'''圆锥'''。
{|
! 底面
| ：圆锥'''下面'''的部分。
|-
! 侧面
| ：圆锥'''表面除底面'''的部分。
|-
! 顶点
| ：圆锥'''顶部的点'''。
|-
! 高（h）
| ：圆柱的顶点到底面的'''距离'''。
|-
! 底面半径（r）
|-
|}

[[File:Cone (geometry).svg|thumb|162px|right|圆锥示意图]]

'''测量圆锥的高'''：
# 拿出两个'''板子'''，分别将两个板子分别水平地放在'''圆锥底面的下面'''和'''顶点的上面'''；
# 用尺子测量'''底下板子的上面'''与'''顶上板子的底部'''的距离，这个距离就是圆锥的高。

快速旋转一个'''一条直角边贴在木棒上的直角三角形'''，可以得到一个'''圆锥'''。

[[file:Cone revolution.gif|thumb|快速旋转一个一条直角边贴在木棒上的直角三角形会形成一个圆锥]]

==== 圆锥的体积 ====
一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的'''三分之一'''。

所以圆锥的体积（V&lt;sub&gt;圆锥&lt;/sub&gt;）=
* '''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;×底面积×高'''='''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;Sh'''
* '''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;×π×底面半径×底面半径×高'''='''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;πr²h'''
{{-}}

== {{text anchor|4}} 比例 ==

=== 比例的意义和基本性质 ===

==== 比例的意义 ====
表示两个比相等的式子叫作'''比例'''。（例：2.4 : 1.6=60 : 40或&lt;math&gt;\frac{2.4}{1.6}&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{60}{40}&lt;/math&gt;）

==== 比例的基本性质 ====
组成比例的四个数叫作比例的'''项'''，两端的两项叫做比例的'''外项'''，中间的两项叫做比例的'''内项'''。（如：在2.4 : 1.6=60 : 40和&lt;math&gt;\frac{2.4}{1.6}&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{60}{40}&lt;/math&gt;中，2.4和40是外项，1.6和60是内项。）

'''比例的基本性质'''：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

==== 解比例 ====
根据比例的基本性质，如果知道比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作'''解比例'''。

&lt;math&gt;\begin{align}
\text{如 ：}2.4:x &amp;= 60 : 40 \\
\text{解 1 ： }2.4 \times 40 &amp;= 60x \text{ - 依 照 比 例 的 基 本 性 质 将 比 例 转 化 为 方 程 }\\
60x &amp;= 96 \\
x &amp;= 1.6 \\
\text{解 2 ： }x &amp;= 2.4 \times 40 \div 60 \text{ - 将 比 号 看 做 除 号 计 算} \\
x &amp;= 1.6
\end{align}&lt;/math&gt;

=== 正比例与反比例 ===

==== 正比例 ====

两种相关联的量，一种量变化，另一种两也跟着变化，如果这两种量的比值一定，这两种量就叫做'''成正比例的量'''，这两种量的关系叫'''正比例关系'''。

（如：一种商品的单价是固定的，那么买这种东西的数量和这些商品的总价是成正比例的量，它们的关系是正比例关系。）

正比例关系可用'''下面的式子'''表示（&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;、&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;为两种相关联的量，&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;是它们的比值（一定））：

:&lt;math&gt;\frac{y}{x} = k&lt;/math&gt;

正比例关系可以用图像清楚直观地表示出来，这个图像叫'''正比例关系图像'''。

[[File:Variables proporcionals.png|thumb|291px|正比例关系图像]]

==== 反比例 ====
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量的乘积一定，那么这两个量是成反比例的量，这两种量的关系叫反比例关系。

（如：杯子里的水的多少是固定的，水的高度随着杯子的底面积增加而减少，那么水的高度和杯子的底面积是成反比例的量，这两种量的关系叫做反比例关系。）

反比例关系可以用下面的式子来表示（&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;、&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;为两种相关联的量，&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;是它们的乘积（一定））：

&lt;math&gt;xy=k&lt;/math&gt;

反比例关系也可以用图像清楚直观地表示出来，这个图像叫'''反比例关系图像'''。

[[File:Inverse proportionality function plot.gif|thumb|291px|反比例关系图像]]

=== 比例的应用 ===

==== 比例尺 ====

===== 比例尺的定义 =====

一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作'''比例尺'''。（可表示为'''图上距离 : 实际距离=比例尺'''或'''图上距离/实际距离=比例尺'''）

===== 比例尺的类型 =====

* '''数值比例尺'''：1 : 100000000或&lt;math&gt;\frac{1}{100000000}&lt;/math&gt;；（表示图上1厘米等于实际1亿厘米（1000千米））
* '''线段比例尺'''：[[File:Graphical scale.gif|thumb|线段比例尺]]。（表示图上1单位长度等于10千米）&lt;br/&gt;（'''将线段比例尺转换为数值比例尺'''（以上面的线段比例尺为例）：&lt;br/&gt;&amp;emsp;&amp;ensp;图上距离 : 实际距离&lt;br/&gt;&lt;math&gt;\begin{align}
=    1\text{cm} :&amp;\ 10\text{km}      \\
=    1\text{cm} :&amp;\ 1000000\text{cm} \\
=      \ \quad1 :&amp;\ 1000000
\end{align}&lt;/math&gt;
* '''缩小比例尺'''：图上距离相较实际距离缩小的比例尺；（如：1 : 100000000）
* '''放大比例尺'''：图上距离相较实际距离放大的比例尺。（如：2 : 1）

===== 已知图上距离与比例尺，求实际距离 =====
①根据“'''图上距离 : 实际距离=比例尺'''”写出含有未知项的比例；

②'''解比例'''；

③将厘米转换为'''其他单位'''。

或

①根据“'''实际距离=图上距离÷比例尺'''”求出实际距离；

②将厘米转化为'''其他单位'''。

===== 已知实际距离及比例尺，求图上距离及画图 =====
①将其他单位转化为'''厘米'''；

②根据“'''图上距离=实际距离×比例尺'''”，求出图上距离；

③'''画图'''。

==== 图形的放大和缩小 ====

===== 放大和缩小的定义 =====
让图形的'''形状'''和'''位置'''不变，'''大小'''变化的运动，叫作'''放大'''（图形变大）或'''缩小'''（图形缩小）。

===== 按比例放大或缩小 =====

'''按几比一放大（缩小），就是把&lt;u&gt;图形的边长&lt;/u&gt;放大（缩小）几倍。'''（如：按2 : 1放大，就是把图形各边的边长放大2倍）

注意：图形各边的边长放大（缩小）几倍，图形的面积放大（缩小）几倍的平方。

==== 用比例解决问题 ====
=====解决问题1 =====

张大妈上个月用了8吨水，水费28元；李奶奶上个月用了10吨水，其应缴水费多少元？

'''阅读与理解'''

本题中不知道水的单价，但水的价格是一定的。用的水量和水费成'''正比例关系'''，也就是说，它们的比值（水的单价）一定。

'''分析与解答'''

解：设李奶奶应缴水费&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;元。

&lt;math&gt;
\begin{align}
\frac{28}{8} &amp;= \frac{x}{10} \\
          8x &amp;= 28\times10   \\
           x &amp;= 35
\end{align}&lt;/math&gt;

答：李奶奶应缴水费35元。

（也可以先求出每吨水的价钱，再求李奶奶应缴的水费。）

'''回顾与反思'''

本题的关键点在于找到不变的比值。只要找到两个量间不变的比值，就可以用正比例关系解出该题。

===== 解决问题2 =====
一个办公楼平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。原来5天的用电量现在可以用多少天？

'''阅读和理解'''

总用电量一定，已知的平均每天用电和用电时间成反比例关系，也就是说两个量的乘积（总用电量）一定。

'''分析与解答'''

解：设原来五天的用电量现在可以用&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;天。

&lt;math&gt;
\begin{align}
25x &amp;= 100\times5       \\
  x &amp;= 100\times5\div25 \\
  x &amp;= 20
\end{align}&lt;/math&gt;

答：原来5天的用电量现在可以用20天。

（也可以先求出总用电量，再求出现在的用电天数。）

'''回顾与反思'''

本题的关键点在于找到不变的乘积。只要找到不变的比值，就可以用反比例关系解答。

== ※ {{text anchor|自行车里的数学}} ==

=== 活动一 ===

已知前齿轮齿数、后齿轮齿数与车轮半径，求自行车蹬一圈的路程。

因为前齿轮转一圈的长度等于链条所走的长度，而后齿轮也要走过同样的长度，所以'''前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数'''。

因为后齿轮转数和后轮转数保持一致，又因为'''自行车蹬一圈的路程=后轮周长×后轮转数'''，所以'''自行车蹬一圈的路程=2×车轮半径×π×后轮转数'''（'''2πr×后轮转数'''）。

=== 活动二 ===

调查变速自行车前后齿轮的齿数，看它们有多少种组合，并思考哪种组合蹬的路程最远。

调查自行车前后齿轮的齿数并统计组合：可以自己找一辆自行车数一数前后齿轮上的齿数，将它们记录在一张纸上，用搭配的知识算出它们的组合。

哪种齿轮组合蹬的路程最远：'''前齿轮齿数最多，后齿轮齿数最少的组合蹬的路程最远。'''

理由：前齿轮齿数越多，齿轮转一圈的长度越远；后齿轮齿数越少，齿轮转一圈的圈数越多。前齿轮齿数最多，后齿轮齿数越少，此时后齿轮转动的圈数是'''最多的'''，相应的，后轮转动的圈数是最多的，蹬一圈的长度也越长。

== {{text anchor|5}} {{text anchor|数学广角}}──{{text anchor|鸽巢问题}} ==

=== 鸽巢问题的解释 ===

像下面这样子的问题是'''鸽巢问题'''：

将3支笔放入2个笔筒中，'''总有'''一个笔筒中'''至少'''有两只铅笔。

'''总有'''：每次都会发生，没有例外。

'''至少'''：最少，不会出现比这个更少的情况。

'''可以这样解释鸽巢问题'''：

先放两支笔，每支笔分别放在一个笔筒里…………'''最倒霉原则'''（考虑最不可能出现题设的情况）

此时还剩下一支笔，这支笔只能放在已经分别有了一支笔的两个笔筒之一。这时无论放进那个笔筒里，每个笔筒都会有两支笔。所以会出现题目中的情况。

整个过程可以用这个式子表示：3÷2=1（支）……1（支），1+1=2（支）
* 3：三支笔（鸽巢问题中的“鸽子”）
* 2：两个笔筒（鸽巢问题中的“鸽巢”）
* 1（商）：每个笔筒首先放进去的笔的数量
* 1（余数）：后来放进笔筒中的笔

=== 如何保证能摸出不同类型的“鸽子” ===

盒子里有大小相同的红球和蓝球各4个，要想'''保证'''摸出的球有一个蓝球，'''至少'''要摸出几个球？

'''保证'''：一定，一定会。

'''至少'''：最少要，不能摸出比这更少的球。

答：至少得摸出5个。

'''可以这样解释'''：

如果摸出的球≤4个，那有可能摸出来的都是红球，因为红球有4个。…………'''最倒霉原则'''

如果摸出的球是5个或5个以上，那么不论怎么摸，都会摸出1个或1个以上的蓝球，因为红球只有4个。

所以至少得摸出5个球。

== {{text anchor|6}} {{text anchor|整理和复习}} ==

=== 数与代数 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的认识&lt;/span&gt; ====
{{empty section}}

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的分类&lt;/span&gt; ====
目前学过的数可以用图的形式表示：
{|
| rowspan = 5 | 数
| rowspan = 5 | &lt;math&gt;\left\{
 \begin{matrix}
  \\ \\ \\ \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| rowspan = 3 | 整数
| rowspan = 3 | &lt;math&gt;\left\{
 \begin{matrix}
  \\ \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| 正整数
| rowspan = 2 | &lt;math&gt;\left\}
 \begin{matrix}
  \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| rowspan = 2 | 自然数
|-
| 0
|-
| colspan = 3 | 负整数
|-
| colspan = 5 | 分数（有限小数，无限循环小数）
|-
| colspan = 5 | 无限不循环小数
|}

===== 数轴 =====
用有正数、负数的直线（数轴）可以表示相反的方向。这是一个数轴，标出了一些数的位置：
 ____|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|____&gt;
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; |
 &amp;nbsp; &amp;nbsp;-3 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;-1.25 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;0 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; 1 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;  &amp;nbsp; &amp;nbsp; 3.5 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; 5

===== 十进制计数法，数位和计数单位 =====
{| class = &quot;wikitable&quot;
! colspan = 1, rowspan = 2 |
! colspan = 13| 整数部分
! colspan = 1, rowspan = 2 | 小数点
! colspan = 4, rowspan = 2 | 小数部分
|-
! ……
! colspan = 4, rowspan = 1 | 亿级
! colspan = 4, rowspan = 1 | 万级
! colspan = 4, rowspan = 1 | 个级
|-
! 数位
| ……
|| 千亿位 || 百亿位 || 十亿位 || 亿位
|| 千万位 || 百万位 || 十万位 || 万位
|| 千位 || 百位 || 十位 || 个位
! colspan = 1, rowspan = 2 | .
|| 十分位 || 百分位 || 千分位 || ……
|-
! 计数单位
| ……
|| 千亿 || 百亿 || 十亿 || 亿
|| 千万 || 百万 || 十万 || 万
|| 千 || 百 || 十 || 个
|| 十分之一 || 百分之一 || 千分之一 || ……
|}

===== 因数和倍数 =====
设&lt;math&gt;ab=c, a\ne0, b\ne0&lt;/math&gt;，则有以下几条：
* &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;都是&lt;math&gt;c&lt;/math&gt;的因数。
* &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;是&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;的倍数。

===== 小数和分数 =====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的运算&lt;/span&gt; ====

===== 运算和运算的意义 =====
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 运算 || 定义 || 关系式 || colspan = 2 | 变式
|-
! 加法
| 两个数合起来的值。
| 加数+加数=和
| colspan = 2 | 和-一个加数=另一个加数
|-
! 减法
| 已知一个加数和和，求另一个数的运算。
| 被减数-减数-差
| 被减数-差=减数
| 减数+差=被减数
|-
! 乘法
| 所有加数均相等的加数的简便运算。
| 乘数（因数）&amp;times;乘数=积
| colspan = 2 | 积&amp;div;一个乘数=另一个乘数
|-
! 除法
| 已知一个乘数和积，求另一个乘数的运算。
| 被除数&amp;div;除数=商
| 被除数&amp;div;商=除数
| 商&amp;times;除数=被除数
|}

===== 整数、小数、分数的四则运算 =====

===== 四则运算间每个数的关系 =====

===== 四则运算混合运算的顺序 =====

===== 运算律 =====
* 加减法
** 加法交换律：&lt;math&gt;a+b=b+a&lt;/math&gt;
** 加法结合律：&lt;math&gt;a+b+c=(a+b)+c=a=(b+c)&lt;/math&gt;
** 减法结合律：&lt;math&gt;a-b-c=a-(b+c)&lt;/math&gt;
* 乘除法
** 乘法交换律：&lt;math&gt;ab=ba&lt;/math&gt;
** 乘法结合律：&lt;math&gt;abc=(ab)c=a(bc)&lt;/math&gt;
** 除法结合律：&lt;math&gt;a \div b \div c = a \div (bc)&lt;/math&gt;或&lt;math&gt;\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}&lt;/math&gt;

===== 估算 =====
可以按照以下思路解决求够不够的问题与估算的计算题：
# 估
#* 估大：例如做衣服，给了布料的数量。
#* 估小：例如做衣服，给了衣服的件数。
#* 四舍五入：例如计算题，不用刻意估大估小的应用题。
#* 凑整：例如&lt;math&gt;10006 \times 9994 \approx 10000 \times 10000&lt;/math&gt;
# 算：根据估后的值进行计算。计算题到这里已经结束了。
# 比：将估算后的值与那个够不够的值比较，答。

===== 解决问题 =====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;式与方程&lt;/span&gt; ====

===== 式的作用与表示 =====

===== 方程与等式 =====

===== 等式的性质 =====
等式两边同加减乘除乘方同一个数（除法不能为0），等式仍然成立。

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;比和比例&lt;/span&gt; ====

===== 比和比例的意义、组成和基本性质 =====

===== 比与分数、除法的关系 =====
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 比
| 前项 || 比号 || 后项 || 比值
|-
! 分数
| 分子 || 分数线 || 分母 || 分数值
|-
! 除法
| 被除数 || 除号 || 除数 || 商
|}

===== 正比例与反比例 =====

=== 图形与几何 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;图形的认识与测量&lt;/span&gt; ====

===== 图形的分类 =====

===== 平面图形 =====

====== 直线、射线和线段 ======
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 类型 || 性质 || 端点数 || 表示方法
|-
! 直线
| 向两边无限延伸 || 0 || 从直线上面任取两个点，称作直线&lt;两个点各自的名称&gt;
|-
! 射线
| 从一个点起，向一个方向无限延伸 || 1 || 射线&lt;端点的名称&gt;&lt;射线上任一个非端点的点的名称&gt;
|-
! 线段
| 有有限的长度 || 2 || 线段&lt;两个端点各自的名称&gt;
|}
====== 角 ======

====== 三角形 ======
有三条边，是封闭图形。

====== 平行四边形 ======
有四条边，是封闭图形，对边对角相等。

====== 圆 ======
有一条曲边，是封闭图形，半径相等，直径（半径）与周长的比值相等。

====== 图形的周长和面积 ======
* 平行四边形
** &lt;math&gt;S_{\text{平 行 四 边 形}} = ah&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;C_{\text{平 行 四 边 形}} = 2(ab)&lt;/math&gt;
** 三角形
*** &lt;math&gt;S_{\text{三 角 形}} = \frac{1}{2}ah&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{三 角 形}} = a+b+c&lt;/math&gt;
** 梯形
*** &lt;math&gt;S_{\text{梯 形}} = \frac{1}{2}(a+b)h&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{梯 形}} = a+b+c+d&lt;/math&gt;
** 长方形
*** &lt;math&gt;S_{\text{长 方 形}} = ab&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{长 方 形}} = 2(ab)&lt;/math&gt;
*** 正方形
**** &lt;math&gt;S_{\text{正 方 形}} = a^2&lt;/math&gt;
**** &lt;math&gt;C_{\text{正 方 形}} = 4a&lt;/math&gt;
* 圆
** &lt;math&gt;S_{\text{圆}} = \pi r^{2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;C_{\text{圆}} = \pi d = 2 \pi r&lt;/math&gt;

===== 立体图形 =====
====== 长方体和正方体 ======
有长、宽、高，6个长方形面，12条棱，互相垂直或平行。
有3组平行面，3组平行棱。

====== 圆柱和圆锥 ======

====== 图形的棱长总和、表面积和体积 ======
* 长方体
** &lt;math&gt;C_{\text{长 方 体}}=4(a+b+c)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;S_{\text{长 方 体}}=2(ab+ah+bh)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;V_{\text{长 方 体}}=S_{\text{底 }}h=abh&lt;/math&gt;
** 正方体
*** &lt;math&gt;C_{\text{正 方 体}}=12a&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;S_{\text{正 方 体}}=6a^2&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;V_{\text{正 方 体}}=S_{\text{底 }}h=a^3&lt;/math&gt;
* 圆柱
** &lt;math&gt;S_{\text{圆 柱}}=\pi r(h+r)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;V_{\text{圆 柱}}=S_{\text{底 }}h=\pi r^2 h&lt;/math&gt;
** 圆锥
*** &lt;math&gt;S_{\text{圆 锥}}=\pi r^2+\frac{\text{扇 形 圆 心 角 }^\circ}{360^\circ}\pi\times\text{顶 点 到 底 边 的 距 离 }&lt;/math&gt;（这个书上没有，但是会考
**** 如果只给了r和h，可按照以下方法计算（有点超纲，但是题目应该会给&lt;math&gt;\sqrt{r^2+h^2}&lt;/math&gt;的值）：&lt;math&gt;\pi r\left(r+\sqrt{r^2+h^2}\right)&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;V_{\text{圆 锥}}=\frac{1}{3}S_{\text{底 }}h=\frac{1}{3}\pi r^2h&lt;/math&gt;

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;图形的运动&lt;/span&gt;====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;图形和位置&lt;/span&gt;====

=== 统计与概率 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;数据的收集、整理与分析&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;统计表和统计图&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;可能性&lt;/span&gt; ====

=== 数学思考 ===

=== 综合与实践 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;绿色出行&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;北京五日游&lt;/span&gt;====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;邮票中的数学问题&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;有趣的平衡&lt;/span&gt;====

== 课本扩展 ==

=== 千分数和万分数 ===
千分数也叫千分率，表示一个数的千分之几。与百分数一样，千分数也有千分号，写作“‰”。例，2019年我国全年出生人口1465万人，出生率为10.48‰，死亡998万人，死亡率为7.14‰，自然增长率为3.34‰。

万分数也叫万分率，表示一个数的万分之几。与百分数一样，万分数也有万分号，写作“&lt;!--我打不出来了--&gt;”。例，将某银行一年期商业贷款基准年利率换算成日利率为1.2&lt;!--万分号--&gt;。
&lt;!--Page 15, 生活与百分数后--&gt;

=== 圆柱容球 ===
将一个球放在一个圆柱中，球与圆柱的上下底面、侧面互相接触，球的直径与圆柱的高和直径相等。假设球的半径为&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;，那么圆柱的体积&lt;math&gt;V_{\text{圆 柱 }}=\pi r^2 \times 2r=2\pi r^3&lt;/math&gt;。阿基米德发现并证明了球的体积公式是&lt;math&gt;V_{\text{球 }}=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;，故&lt;math&gt;V_{\text{球 }}=\frac{2}{3}V_{\text{圆 柱 }}&lt;/math&gt;，即当圆柱容球时，球的体积正好是圆柱的&lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt;。

阿基米德还发现，当圆柱容球时，球的表面积也是圆柱表面积的&lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt;。故球的表面积公式是&lt;math&gt;S_{\text{球 }}=\frac{2}{3}[2\pi r(r+h)]=\frac{2}{3}\left[6\pi r^2\right]=4\pi r^2&lt;/math&gt;。
&lt;!--Page 29, 练习五后--&gt;

=== 反比例关系图像 ===

=== 文字式比例尺 ===

=== 抽屉（鸽巢）问题的提出 ===

=== 七桥问题 ===
一城中有一河穿过，河中有二岛，有七座桥连其中。有人提出一问题：一个步行者如何才能不重复不遗漏走完七座桥？这就是著名的七桥问题。数学家们通过把七桥问题转化成一个几何问题：一笔画问题（如下），发现由于有奇数条线连接的点有ABCD四个，故这样的走法是不存在的。
 B&lt;==&gt;A&lt;==&gt;C
 &amp;nbsp;\ &amp;nbsp; | &amp;nbsp; /
 &amp;nbsp; \&amp;nbsp; |&amp;nbsp; /
 &amp;nbsp; &amp;nbsp;\ | /
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; \|/
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;D
&lt;!--Page 103 练习22后--&gt;

=== 绿色出行 ===

=== 同比和环比 ===


[[Category:数学]]
[[Category:小学]]
[[Category:小学數學]]</text>
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        <username>Pawsdt</username>
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      <text bytes="29053" sha1="a9w6foy7ble4jd36hhiiebhstr21oxi" xml:space="preserve">本页面收集人民教育出版社出版的六年级下册数学课本的主要知识点，供学习之用。
== {{text anchor|1}} 负数 ==

=== 负数的含义、读写法 ===
'''负数'''：表示与正数'''相反意义的量'''的数。（例如：-3, -500, -4.7等）

'''读法'''：先读'''“负”'''，再读数。（如：-3，读作：负三）

'''写法'''：先写'''负号“-”'''，再写数。（如：负零点三七五，写作：-0.375）

（注：正数的正号“+”可以省略，也可以加上，读时先读“正”，再读数；写时先写正号“+”，再写数。）

'''0既不是正数，也不是负数。'''

=== 解决问题 ===
四个同学分别以大树为起点，按下面的方向和距离走：

小红：我向西走4m；

小明：我向西走2m；

小丽：我向东走2m；

小东：我向东走4m。

如何在一条直线上表示他们的行走距离和方向呢？

'''阅读和理解'''

'''方向相反'''：两人向东，两人向西。（正负数正好可以表示相反意义的量）

'''路程不同'''：有的是2米，有的是4米。（正数和负数可以表示走的路程）

'''分析与解答'''

'''确定起点'''：以大树为起点，表示为0；

'''确定方向'''：以东为正，以西为负。（0右边为正，左边为负）

'''表示小数、分数'''：在小数的范围之内取值。（如：0.25，将0和1之间的线段四等分，最靠近0的点表示0.25；-1.5，平分-2和-1间的线段，中间的点即为-1.5。）

结果：

[[File:人教版数学六下第一单元解决问题答案.jpg|thumb|题目的解答]]

'''回顾与反思'''

用有正数、负数的直线（数轴）可以表示'''相反的方向'''。

[[File:Number-line.svg|center|数轴（与本题目无关）]]

== {{text anchor|2}} 百分数（二） ==

=== 折扣 ===
超市降价销售商品，叫'''打折扣销售'''，俗称'''“打折”'''。

'''打几折=十分之几=百分之几十'''

（如：打九折&lt;math&gt; = \frac{9}{10} = 90%&lt;/math&gt;；打八八折&lt;math&gt; = \frac{8.8}{10} = 88%&lt;/math&gt;）

打折后的价格 = '''原价 × 折扣'''

打折后降价多少元 = '''原价 × ( 1 - 折扣 )'''

=== 成数 ===
农业收成、各行各业的变化用'''成数'''表示。

'''几成=十分之几=百分之几十'''

（如：二成=十分之二=20%；七成五=十分之七点五=75%）

增长（减少）后的数值='''增长（减少）前的数值×(1-成数)'''

=== 税率 ===
按一定比率给国家上缴的集体和个人收入的一部分叫'''纳税'''。

'''税收'''

'''应纳税额'''：应缴纳的税款

'''税率'''：应纳税部分与所有应缴纳税款的钱的比率

应纳税额='''所有应缴纳税款的钱×税率'''

=== 利率 ===
* '''本金'''：存入银行的钱
* '''利息'''：取款时银行多支付的钱
* '''本息'''：本金与利息的和
* '''利率'''：单位时间内利息与本金的比率
* 利息 = '''本金×利率×存期'''
* 本息和 =
** '''本金×利率×存期（利息）+本金'''
** '''本金×（1+利率×存期）'''

=== 解决问题 ===
某品牌的裙子搞促销活动，在A商场打五折销售，在B商场按“每满100元减50元”的方式销售。妈妈要买一条标价230元的这种品牌的裙子。
# 在A、B两个商场买，各应付多少钱？
# 选择哪个商场更省钱？
'''阅读与理解'''

“每满一百元减五十元”含义：'''总价中，每个一百元减去五十元，未满一百不计。'''

'''分析与解答'''
{|
| A商场：|| colspan = 2 |  230×50%=115（元）
|-
| B商场：|| 230÷100=2……30（元）|| '''230里面有两个100'''。
|-
| || 230-50×2=230-100=130（元）|| '''减去两个50'''。
|-
| || colspan = 2 | 115&lt;130
|-
| colspan = 3 | 答：在A商场应付115元，在B商场应付130元；选择A商场省钱。
|}
'''回顾与反思'''

当价格'''不到一百'''时：A商场实惠；

当价格'''不是整百'''时：A商场实惠；

当价格'''是整百'''时：两商场一样实惠。

== ※ {{text anchor|生活与百分数}} ==

=== 活动一 ===

调查利率：可以自行去银行调查或在互联网查询。以下以中国农业银行官网存款利率（2022年3月26日）为例：
{| class=&quot;wikitable&quot;
| '''类型'''
| '''项目'''
| '''存期'''
| '''年利率'''（%）
|-
| 活期
| colspan=&quot;2&quot; | -
| 0.30
|-
| rowspan=&quot;10&quot; |定期
| rowspan=&quot;6&quot; |整存整取
| 三个月
| 1.35
|-
| 半年
| 1.55
|-
| 一年
| 1.75
|-
| 二年
| 2.25
|-
| 三年
| 2.75
|-
| 五年
| 2.75
|-
| rowspan=&quot;3&quot; |零存整取、整存零取、存本取息
| 一年
| 1.35
|-
| 三年
| 1.55
|-
| 五年
| 1.55
|-
|定活两便
| colspan=&quot;2&quot; |按一年以内定期整存整取同档次利率打6折
|}

国家调整利率的原因：
# 货币宽松，国家经济陷入停滞，国家为了保证经济正常运作，房地产等不会因此而过快崩溃，降低利率，提高市场的货币投放，促进经济增长。
# 利率是调节货币政策的重要工具。当经济过热、通货膨胀上升时，便提高利率、收紧信贷；当过热的经济和通货膨胀得到控制时，便会把利率适当地调低。

=== 活动二 ===
李奶奶手中有两万元，请你用一下三种方式：普通储蓄存款、国债、理财产品设计存款方案，使六年后收益最大。

查找资料，设计方案。

== {{text anchor|3}} 圆柱与圆锥 ==
=== 圆柱 ===
==== 圆柱的定义与形状 ====
两底面为'''相等'''并可以'''完全重合'''的'''圆'''，侧面为'''曲面'''的立体图形，叫作'''圆柱体'''，简称'''圆柱'''。
[[File:Cylinder_geometry.svg|thumb|75px|right|圆柱示意图]]
'''底面'''：圆柱的'''上、下两个面'''。

'''侧面'''：圆柱'''周围的面'''。'''（上、下底面除外）'''

'''高（h）'''：圆柱两个底面的'''距离'''。

'''底面半径（r）'''

快速旋转一个'''一条边被固定在木棒上长方形'''所形成的立体图形是'''圆柱'''。

[[File:Revolución cilindro.gif|thumb|75px|快速旋转一个一条边被固定在木棒上的长方形所形成的图形是圆柱]]

'''圆柱体的展开图'''：将圆柱体的两个底面剪开可以得到'''两个圆形'''，将侧面沿高剪开可以得到一个'''长方形'''。

[[File:ZylinderNetz.svg|thumb|100px|圆柱体展开图]]

==== 圆柱的表面积 ====
圆柱的两个底面积='''2×圆周率×半径×半径'''（&lt;math&gt;2 \pi r^2&lt;/math&gt;）

圆柱的侧面积：

圆柱侧面展开后是一个长方形，它的长是圆柱'''底面积的周长'''（'''πd=2πr'''），他的宽是'''圆柱的高'''（'''h'''）

所以圆柱的侧面积='''底面积的周长×高'''（'''πdh/2πrh'''）

圆柱的表面积（S）='''圆柱的两个底面积+圆柱的侧面积'''（'''2πr²+πdh/2πrh'''）

有时需要看情况求圆柱的表面积（如厨师帽只有'''一个底面'''）

==== 圆柱的体积 ====

如图所示，将圆柱的底面分为'''许多个扇形'''，再将这些扇形拼成一个'''近似长方体的立体图形'''。（扇形越多，这个立体图形就'''越接近长方体'''）

[[File:圆柱体推导过程示意图.jpg|thumb|将圆柱变为长方体]]

①长方体的长为'''圆柱底面积周长的一半'''（'''πr'''），宽为'''圆柱底面积的半径'''（'''r'''），高为'''圆柱的高'''（'''h'''）。

那么圆柱的体积（V）='''底面积周长的一半×底面积的半径×高'''='''πr²h'''。

②长方体的底面积为'''圆柱的底面积（S）'''，高为'''圆柱的高（h）'''。

那么圆柱的体积（V）='''底面积×高'''='''Sh'''。

=== 圆锥 ===

==== 圆锥的定义和形状 ====

底面是'''圆'''，侧面是'''曲面'''，而且'''有一个顶点'''的立体图形叫作'''圆锥体'''，简称'''圆锥'''。
{|
! 底面
| ：圆锥'''下面'''的部分。
|-
! 侧面
| ：圆锥'''表面除底面'''的部分。
|-
! 顶点
| ：圆锥'''顶部的点'''。
|-
! 高（h）
| ：圆柱的顶点到底面的'''距离'''。
|-
! 底面半径（r）
|-
|}

[[File:Cone (geometry).svg|thumb|162px|right|圆锥示意图]]

'''测量圆锥的高'''：
# 拿出两个'''板子'''，分别将两个板子分别水平地放在'''圆锥底面的下面'''和'''顶点的上面'''；
# 用尺子测量'''底下板子的上面'''与'''顶上板子的底部'''的距离，这个距离就是圆锥的高。

快速旋转一个'''一条直角边贴在木棒上的直角三角形'''，可以得到一个'''圆锥'''。

[[file:Cone revolution.gif|thumb|快速旋转一个一条直角边贴在木棒上的直角三角形会形成一个圆锥]]

==== 圆锥的体积 ====
一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的'''三分之一'''。

所以圆锥的体积（V&lt;sub&gt;圆锥&lt;/sub&gt;）=
* '''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;×底面积×高'''='''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;Sh'''
* '''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;×π×底面半径×底面半径×高'''='''&lt;math&gt;\frac{1}{3}&lt;/math&gt;πr²h'''
{{-}}

== {{text anchor|4}} 比例 ==

=== 比例的意义和基本性质 ===

==== 比例的意义 ====
表示两个比相等的式子叫作'''比例'''。（例：2.4 : 1.6=60 : 40或&lt;math&gt;\frac{2.4}{1.6}&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{60}{40}&lt;/math&gt;）

==== 比例的基本性质 ====
组成比例的四个数叫作比例的'''项'''，两端的两项叫做比例的'''外项'''，中间的两项叫做比例的'''内项'''。（如：在2.4 : 1.6=60 : 40和&lt;math&gt;\frac{2.4}{1.6}&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;\frac{60}{40}&lt;/math&gt;中，2.4和40是外项，1.6和60是内项。）

'''比例的基本性质'''：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

==== 解比例 ====
根据比例的基本性质，如果知道比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作'''解比例'''。

&lt;math&gt;\begin{align}
\text{如 ：}2.4:x &amp;= 60 : 40 \\
\text{解 1 ： }2.4 \times 40 &amp;= 60x \text{ - 依 照 比 例 的 基 本 性 质 将 比 例 转 化 为 方 程 }\\
60x &amp;= 96 \\
x &amp;= 1.6 \\
\text{解 2 ： }x &amp;= 2.4 \times 40 \div 60 \text{ - 将 比 号 看 做 除 号 计 算} \\
x &amp;= 1.6
\end{align}&lt;/math&gt;

=== 正比例与反比例 ===

==== 正比例 ====

两种相关联的量，一种量变化，另一种两也跟着变化，如果这两种量的比值一定，这两种量就叫做'''成正比例的量'''，这两种量的关系叫'''正比例关系'''。

（如：一种商品的单价是固定的，那么买这种东西的数量和这些商品的总价是成正比例的量，它们的关系是正比例关系。）

正比例关系可用'''下面的式子'''表示（&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;、&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;为两种相关联的量，&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;是它们的比值（一定））：

:&lt;math&gt;\frac{y}{x} = k&lt;/math&gt;

正比例关系可以用图像清楚直观地表示出来，这个图像叫'''正比例关系图像'''。

[[File:Variables proporcionals.png|thumb|291px|正比例关系图像]]

==== 反比例 ====
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量的乘积一定，那么这两个量是成反比例的量，这两种量的关系叫反比例关系。

（如：杯子里的水的多少是固定的，水的高度随着杯子的底面积增加而减少，那么水的高度和杯子的底面积是成反比例的量，这两种量的关系叫做反比例关系。）

反比例关系可以用下面的式子来表示（&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;、&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;为两种相关联的量，&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;是它们的乘积（一定））：

&lt;math&gt;xy=k&lt;/math&gt;

反比例关系也可以用图像清楚直观地表示出来，这个图像叫'''反比例关系图像'''。

[[File:Inverse proportionality function plot.gif|thumb|291px|反比例关系图像]]

=== 比例的应用 ===

==== 比例尺 ====

===== 比例尺的定义 =====

一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作'''比例尺'''。（可表示为'''图上距离 : 实际距离=比例尺'''或'''图上距离/实际距离=比例尺'''）

===== 比例尺的类型 =====

* '''数值比例尺'''：1 : 100000000或&lt;math&gt;\frac{1}{100000000}&lt;/math&gt;；（表示图上1厘米等于实际1亿厘米（1000千米））
* '''线段比例尺'''：[[File:Graphical scale.gif|thumb|线段比例尺]]。（表示图上1单位长度等于10千米）&lt;br/&gt;（'''将线段比例尺转换为数值比例尺'''（以上面的线段比例尺为例）：&lt;br/&gt;&amp;emsp;&amp;ensp;图上距离 : 实际距离&lt;br/&gt;&lt;math&gt;\begin{align}
=    1\text{cm} :&amp;\ 10\text{km}      \\
=    1\text{cm} :&amp;\ 1000000\text{cm} \\
=      \ \quad1 :&amp;\ 1000000
\end{align}&lt;/math&gt;
* '''缩小比例尺'''：图上距离相较实际距离缩小的比例尺；（如：1 : 100000000）
* '''放大比例尺'''：图上距离相较实际距离放大的比例尺。（如：2 : 1）

===== 已知图上距离与比例尺，求实际距离 =====
①根据“'''图上距离 : 实际距离=比例尺'''”写出含有未知项的比例；

②'''解比例'''；

③将厘米转换为'''其他单位'''。

或

①根据“'''实际距离=图上距离÷比例尺'''”求出实际距离；

②将厘米转化为'''其他单位'''。

===== 已知实际距离及比例尺，求图上距离及画图 =====
①将其他单位转化为'''厘米'''；

②根据“'''图上距离=实际距离×比例尺'''”，求出图上距离；

③'''画图'''。

==== 图形的放大和缩小 ====

===== 放大和缩小的定义 =====
让图形的'''形状'''和'''位置'''不变，'''大小'''变化的运动，叫作'''放大'''（图形变大）或'''缩小'''（图形缩小）。

===== 按比例放大或缩小 =====

'''按几比一放大（缩小），就是把&lt;u&gt;图形的边长&lt;/u&gt;放大（缩小）几倍。'''（如：按2 : 1放大，就是把图形各边的边长放大2倍）

注意：图形各边的边长放大（缩小）几倍，图形的面积放大（缩小）几倍的平方。

==== 用比例解决问题 ====
=====解决问题1 =====

张大妈上个月用了8吨水，水费28元；李奶奶上个月用了10吨水，其应缴水费多少元？

'''阅读与理解'''

本题中不知道水的单价，但水的价格是一定的。用的水量和水费成'''正比例关系'''，也就是说，它们的比值（水的单价）一定。

'''分析与解答'''

解：设李奶奶应缴水费&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;元。

&lt;math&gt;
\begin{align}
\frac{28}{8} &amp;= \frac{x}{10} \\
          8x &amp;= 28\times10   \\
           x &amp;= 35
\end{align}&lt;/math&gt;

答：李奶奶应缴水费35元。

（也可以先求出每吨水的价钱，再求李奶奶应缴的水费。）

'''回顾与反思'''

本题的关键点在于找到不变的比值。只要找到两个量间不变的比值，就可以用正比例关系解出该题。

===== 解决问题2 =====
一个办公楼平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。原来5天的用电量现在可以用多少天？

'''阅读和理解'''

总用电量一定，已知的平均每天用电和用电时间成反比例关系，也就是说两个量的乘积（总用电量）一定。

'''分析与解答'''

解：设原来五天的用电量现在可以用&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;天。

&lt;math&gt;
\begin{align}
25x &amp;= 100\times5       \\
  x &amp;= 100\times5\div25 \\
  x &amp;= 20
\end{align}&lt;/math&gt;

答：原来5天的用电量现在可以用20天。

（也可以先求出总用电量，再求出现在的用电天数。）

'''回顾与反思'''

本题的关键点在于找到不变的乘积。只要找到不变的比值，就可以用反比例关系解答。

== ※ {{text anchor|自行车里的数学}} ==

=== 活动一 ===

已知前齿轮齿数、后齿轮齿数与车轮半径，求自行车蹬一圈的路程。

因为前齿轮转一圈的长度等于链条所走的长度，而后齿轮也要走过同样的长度，所以'''前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数'''。

因为后齿轮转数和后轮转数保持一致，又因为'''自行车蹬一圈的路程=后轮周长×后轮转数'''，所以'''自行车蹬一圈的路程=2×车轮半径×π×后轮转数'''（'''2πr×后轮转数'''）。

=== 活动二 ===

调查变速自行车前后齿轮的齿数，看它们有多少种组合，并思考哪种组合蹬的路程最远。

调查自行车前后齿轮的齿数并统计组合：可以自己找一辆自行车数一数前后齿轮上的齿数，将它们记录在一张纸上，用搭配的知识算出它们的组合。

哪种齿轮组合蹬的路程最远：'''前齿轮齿数最多，后齿轮齿数最少的组合蹬的路程最远。'''

理由：前齿轮齿数越多，齿轮转一圈的长度越远；后齿轮齿数越少，齿轮转一圈的圈数越多。前齿轮齿数最多，后齿轮齿数越少，此时后齿轮转动的圈数是'''最多的'''，相应的，后轮转动的圈数是最多的，蹬一圈的长度也越长。

== {{text anchor|5}} {{text anchor|数学广角}}──{{text anchor|鸽巢问题}} ==

=== 鸽巢问题的解释 ===

像下面这样子的问题是'''鸽巢问题'''：

将3支笔放入2个笔筒中，'''总有'''一个笔筒中'''至少'''有两只铅笔。

'''总有'''：每次都会发生，没有例外。

'''至少'''：最少，不会出现比这个更少的情况。

'''可以这样解释鸽巢问题'''：

先放两支笔，每支笔分别放在一个笔筒里…………'''最倒霉原则'''（考虑最不可能出现题设的情况）

此时还剩下一支笔，这支笔只能放在已经分别有了一支笔的两个笔筒之一。这时无论放进那个笔筒里，每个笔筒都会有两支笔。所以会出现题目中的情况。

整个过程可以用这个式子表示：3÷2=1（支）……1（支），1+1=2（支）
* 3：三支笔（鸽巢问题中的“鸽子”）
* 2：两个笔筒（鸽巢问题中的“鸽巢”）
* 1（商）：每个笔筒首先放进去的笔的数量
* 1（余数）：后来放进笔筒中的笔

=== 如何保证能摸出不同类型的“鸽子” ===

盒子里有大小相同的红球和蓝球各4个，要想'''保证'''摸出的球有一个蓝球，'''至少'''要摸出几个球？

'''保证'''：一定，一定会。

'''至少'''：最少要，不能摸出比这更少的球。

答：至少得摸出5个。

'''可以这样解释'''：

如果摸出的球≤4个，那有可能摸出来的都是红球，因为红球有4个。…………'''最倒霉原则'''

如果摸出的球是5个或5个以上，那么不论怎么摸，都会摸出1个或1个以上的蓝球，因为红球只有4个。

所以至少得摸出5个球。

== {{text anchor|6}} {{text anchor|整理和复习}} ==

=== 数与代数 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的认识&lt;/span&gt; ====
{{empty section}}

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的分类&lt;/span&gt; ====
目前学过的数可以用图的形式表示：
{|
| rowspan = 5 | 数
| rowspan = 5 | &lt;math&gt;\left\{
 \begin{matrix}
  \\ \\ \\ \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| rowspan = 3 | 整数
| rowspan = 3 | &lt;math&gt;\left\{
 \begin{matrix}
  \\ \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| 正整数
| rowspan = 2 | &lt;math&gt;\left\}
 \begin{matrix}
  \\ \\
 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
| rowspan = 2 | 自然数
|-
| 0
|-
| colspan = 3 | 负整数
|-
| colspan = 5 | 分数（有限小数，无限循环小数）
|-
| colspan = 5 | 无限不循环小数
|}

===== 数轴 =====
用有正数、负数的直线（数轴）可以表示相反的方向。这是一个数轴，标出了一些数的位置：
 ____|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|_,_,_,_|____&gt;
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; | &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; |
 &amp;nbsp; &amp;nbsp;-3 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;-1.25 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;0 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; 1 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;  &amp;nbsp; &amp;nbsp; 3.5 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp; 5

===== 十进制计数法，数位和计数单位 =====
{| class = &quot;wikitable&quot;
! colspan = 1, rowspan = 2 |
! colspan = 13| 整数部分
! colspan = 1, rowspan = 2 | 小数点
! colspan = 4, rowspan = 2 | 小数部分
|-
! ……
! colspan = 4, rowspan = 1 | 亿级
! colspan = 4, rowspan = 1 | 万级
! colspan = 4, rowspan = 1 | 个级
|-
! 数位
| ……
|| 千亿位 || 百亿位 || 十亿位 || 亿位
|| 千万位 || 百万位 || 十万位 || 万位
|| 千位 || 百位 || 十位 || 个位
! colspan = 1, rowspan = 2 | .
|| 十分位 || 百分位 || 千分位 || ……
|-
! 计数单位
| ……
|| 千亿 || 百亿 || 十亿 || 亿
|| 千万 || 百万 || 十万 || 万
|| 千 || 百 || 十 || 个
|| 十分之一 || 百分之一 || 千分之一 || ……
|}

===== 因数和倍数 =====
设&lt;math&gt;ab=c, a\ne0, b\ne0&lt;/math&gt;，则有以下几条：
* &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;都是&lt;math&gt;c&lt;/math&gt;的因数。
* &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;是&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;b&lt;/math&gt;的倍数。

===== 小数和分数 =====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;数的运算&lt;/span&gt; ====

===== 运算和运算的意义 =====
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 运算 || 定义 || 关系式 || colspan = 2 | 变式
|-
! 加法
| 两个数合起来的值。
| 加数+加数=和
| colspan = 2 | 和-一个加数=另一个加数
|-
! 减法
| 已知一个加数和和，求另一个数的运算。
| 被减数-减数-差
| 被减数-差=减数
| 减数+差=被减数
|-
! 乘法
| 所有加数均相等的加数的简便运算。
| 乘数（因数）&amp;times;乘数=积
| colspan = 2 | 积&amp;div;一个乘数=另一个乘数
|-
! 除法
| 已知一个乘数和积，求另一个乘数的运算。
| 被除数&amp;div;除数=商
| 被除数&amp;div;商=除数
| 商&amp;times;除数=被除数
|}

===== 整数、小数、分数的四则运算 =====

===== 四则运算间每个数的关系 =====

===== 四则运算混合运算的顺序 =====

===== 运算律 =====
* 加减法
** 加法交换律：&lt;math&gt;a+b=b+a&lt;/math&gt;
** 加法结合律：&lt;math&gt;a+b+c=(a+b)+c=a=(b+c)&lt;/math&gt;
** 减法结合律：&lt;math&gt;a-b-c=a-(b+c)&lt;/math&gt;
* 乘除法
** 乘法交换律：&lt;math&gt;ab=ba&lt;/math&gt;
** 乘法结合律：&lt;math&gt;abc=(ab)c=a(bc)&lt;/math&gt;
** 除法结合律：&lt;math&gt;a \div b \div c = a \div (bc)&lt;/math&gt;或&lt;math&gt;\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}&lt;/math&gt;

===== 估算 =====
可以按照以下思路解决求够不够的问题与估算的计算题：
# 估
#* 估大：例如做衣服，给了布料的数量。
#* 估小：例如做衣服，给了衣服的件数。
#* 四舍五入：例如计算题，不用刻意估大估小的应用题。
#* 凑整：例如&lt;math&gt;10006 \times 9994 \approx 10000 \times 10000&lt;/math&gt;
# 算：根据估后的值进行计算。计算题到这里已经结束了。
# 比：将估算后的值与那个够不够的值比较，答。

===== 解决问题 =====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;式与方程&lt;/span&gt; ====

===== 式的作用与表示 =====

===== 方程与等式 =====

===== 等式的性质 =====
等式两边同加减乘除乘方同一个数（除法不能为0），等式仍然成立。

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;比和比例&lt;/span&gt; ====

===== 比和比例的意义、组成和基本性质 =====

===== 比与分数、除法的关系 =====
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 比
| 前项 || 比号 || 后项 || 比值
|-
! 分数
| 分子 || 分数线 || 分母 || 分数值
|-
! 除法
| 被除数 || 除号 || 除数 || 商
|}

===== 正比例与反比例 =====

=== 图形与几何 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;图形的认识与测量&lt;/span&gt; ====

===== 图形的分类 =====

===== 平面图形 =====

====== 直线、射线和线段 ======
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 类型 || 性质 || 端点数 || 表示方法
|-
! 直线
| 向两边无限延伸 || 0 || 从直线上面任取两个点，称作直线&lt;两个点各自的名称&gt;
|-
! 射线
| 从一个点起，向一个方向无限延伸 || 1 || 射线&lt;端点的名称&gt;&lt;射线上任一个非端点的点的名称&gt;
|-
! 线段
| 有有限的长度 || 2 || 线段&lt;两个端点各自的名称&gt;
|}
====== 角 ======

====== 三角形 ======
有三条边，是封闭图形。

====== 平行四边形 ======
有四条边，是封闭图形，对边对角相等。

====== 圆 ======
有一条曲边，是封闭图形，半径相等，直径（半径）与周长的比值相等。

====== 图形的周长和面积 ======
* 平行四边形
** &lt;math&gt;S_{\text{平 行 四 边 形}} = ah&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;C_{\text{平 行 四 边 形}} = 2(ab)&lt;/math&gt;
** 三角形
*** &lt;math&gt;S_{\text{三 角 形}} = \frac{1}{2}ah&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{三 角 形}} = a+b+c&lt;/math&gt;
** 梯形
*** &lt;math&gt;S_{\text{梯 形}} = \frac{1}{2}(a+b)h&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{梯 形}} = a+b+c+d&lt;/math&gt;
** 长方形
*** &lt;math&gt;S_{\text{长 方 形}} = ab&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;C_{\text{长 方 形}} = 2(ab)&lt;/math&gt;
*** 正方形
**** &lt;math&gt;S_{\text{正 方 形}} = a^2&lt;/math&gt;
**** &lt;math&gt;C_{\text{正 方 形}} = 4a&lt;/math&gt;
* 圆
** &lt;math&gt;S_{\text{圆}} = \pi r^{2}&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;C_{\text{圆}} = \pi d = 2 \pi r&lt;/math&gt;

===== 立体图形 =====
====== 长方体和正方体 ======
有长、宽、高，6个长方形面，12条棱，互相垂直或平行。
有3组平行面，3组平行棱。

====== 圆柱和圆锥 ======

====== 图形的棱长总和、表面积和体积 ======
* 长方体
** &lt;math&gt;C_{\text{长 方 体}}=4(a+b+c)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;S_{\text{长 方 体}}=2(ab+ah+bh)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;V_{\text{长 方 体}}=S_{\text{底 }}h=abh&lt;/math&gt;
** 正方体
*** &lt;math&gt;C_{\text{正 方 体}}=12a&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;S_{\text{正 方 体}}=6a^2&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;V_{\text{正 方 体}}=S_{\text{底 }}h=a^3&lt;/math&gt;
* 圆柱
** &lt;math&gt;S_{\text{圆 柱}}=\pi r(h+r)&lt;/math&gt;
** &lt;math&gt;V_{\text{圆 柱}}=S_{\text{底 }}h=\pi r^2 h&lt;/math&gt;
** 圆锥
*** &lt;math&gt;S_{\text{圆 锥}}=\pi r^2+\frac{\text{扇 形 圆 心 角 }^\circ}{360^\circ}\pi\times\text{顶 点 到 底 边 的 距 离 }&lt;/math&gt;（这个书上没有，但是会考)
**** 如果只给了r和h，可按照以下方法计算（有点超纲，但是题目应该会给&lt;math&gt;\sqrt{r^2+h^2}&lt;/math&gt;的值）：&lt;math&gt;\pi r\left(r+\sqrt{r^2+h^2}\right)&lt;/math&gt;
*** &lt;math&gt;V_{\text{圆 锥}}=\frac{1}{3}S_{\text{底 }}h=\frac{1}{3}\pi r^2h&lt;/math&gt;

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;图形的运动&lt;/span&gt;====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;图形和位置&lt;/span&gt;====

=== 统计与概率 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;数据的收集、整理与分析&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;统计表和统计图&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;可能性&lt;/span&gt; ====

=== 数学思考 ===

=== 综合与实践 ===

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;绿色出行&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;北京五日游&lt;/span&gt;====

==== &lt;span style=&quot;font-size: 15px&quot;&gt;邮票中的数学问题&lt;/span&gt; ====

==== &lt;span style=&quot;font-size:15px&quot;&gt;有趣的平衡&lt;/span&gt;====

== 课本扩展 ==

=== 千分数和万分数 ===
千分数也叫千分率，表示一个数的千分之几。与百分数一样，千分数也有千分号，写作“‰”。例，2019年我国全年出生人口1465万人，出生率为10.48‰，死亡998万人，死亡率为7.14‰，自然增长率为3.34‰。

万分数也叫万分率，表示一个数的万分之几。与百分数一样，万分数也有万分号，写作“&lt;!--我打不出来了--&gt;”。例，将某银行一年期商业贷款基准年利率换算成日利率为1.2&lt;!--万分号--&gt;。
&lt;!--Page 15, 生活与百分数后--&gt;

=== 圆柱容球 ===
将一个球放在一个圆柱中，球与圆柱的上下底面、侧面互相接触，球的直径与圆柱的高和直径相等。假设球的半径为&lt;math&gt;r&lt;/math&gt;，那么圆柱的体积&lt;math&gt;V_{\text{圆 柱 }}=\pi r^2 \times 2r=2\pi r^3&lt;/math&gt;。阿基米德发现并证明了球的体积公式是&lt;math&gt;V_{\text{球 }}=\frac{4}{3}\pi r^3&lt;/math&gt;，故&lt;math&gt;V_{\text{球 }}=\frac{2}{3}V_{\text{圆 柱 }}&lt;/math&gt;，即当圆柱容球时，球的体积正好是圆柱的&lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt;。

阿基米德还发现，当圆柱容球时，球的表面积也是圆柱表面积的&lt;math&gt;\frac{2}{3}&lt;/math&gt;。故球的表面积公式是&lt;math&gt;S_{\text{球 }}=\frac{2}{3}[2\pi r(r+h)]=\frac{2}{3}\left[6\pi r^2\right]=4\pi r^2&lt;/math&gt;。
&lt;!--Page 29, 练习五后--&gt;

=== 反比例关系图像 ===

=== 文字式比例尺 ===

=== 抽屉（鸽巢）问题的提出 ===

=== 七桥问题 ===
一城中有一河穿过，河中有二岛，有七座桥连其中。有人提出一问题：一个步行者如何才能不重复不遗漏走完七座桥？这就是著名的七桥问题。数学家们通过把七桥问题转化成一个几何问题：一笔画问题（如下），发现由于有奇数条线连接的点有ABCD四个，故这样的走法是不存在的。
 B&lt;==&gt;A&lt;==&gt;C
 &amp;nbsp;\ &amp;nbsp; | &amp;nbsp; /
 &amp;nbsp; \&amp;nbsp; |&amp;nbsp; /
 &amp;nbsp; &amp;nbsp;\ | /
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; \|/
 &amp;nbsp; &amp;nbsp; &amp;nbsp;D
&lt;!--Page 103 练习22后--&gt;

=== 绿色出行 ===

=== 同比和环比 ===


[[Category:数学]]
[[Category:小学]]
[[Category:小学數學]]</text>
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    <title>初中数学/七年级上册</title>
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        <username>Pawsdt</username>
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      <comment>[IPE-NEXT] Quick edit</comment>
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== {{anchor|1}}第一章 有理数 ==
在小学的学习当中，我们从日常生活出发，学习了自然数、小数、分数、百分数及其运算，还学习了负数。在日常生活当中，只知道负数是不够用的，还要学会算负数。在小学，我们做卷子的时候会做出类似于这样的题目：

以下是某小组同学的跳绳成绩，以180个每分钟为0计：
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 序号 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8
|-
| 个数 || -1 || -2 || 5 || -3 || 10 || -13 || 17 || -5
|}
求这个小组每人平均每分钟跳多少个。在小学，我们通常这样计算：&lt;math&gt;\begin{align}
\text{个 数 } &amp;= [(180-1)+(180-2)+(180+5)+(180-3)+(180+10)+(180-13)+(180+17)+(180-5)] \div 8 \\
&amp;= [179+178+185+177+190+167+197+175] \div 8 \\
&amp;= 181\text{（ 个 ）}
\end{align}&lt;/math&gt;

或者更简便：&lt;math&gt;180+(5-1-2+10-3+17-13-5) \div 8 = 181&lt;/math&gt;（个）

而到了初中，我们会尝试使用负数进行计算。
=== {{text anchor|1.1}} 正数和负数 ===
见[[小学数学/六年级下册#1]]。

=== {{text anchor|1.2}} 有理数 ===
==== {{text anchor|1.2.1}} 有理数的概念 ====
我们学过正整数，如&lt;math&gt;1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5...&lt;/math&gt;；0；负整数，如&lt;math&gt;-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5...&lt;/math&gt;，这些数统称为整数。

我们还学习过正分数，如&lt;math&gt;\frac{1}{2},\ \frac{3}{4}...&lt;/math&gt;；负分数，如&lt;math&gt;-\frac{1}{2},\ -\frac{3}{4}...&lt;/math&gt;这些都是分数。

进一步地，整数可以写成分数，例如&lt;math&gt;2\rightarrow\frac{2}{1},\ 1\rightarrow\frac{1}{1},\ 0\rightarrow\frac{0}{1},\ -1\rightarrow-\frac{1}{1},\ -2\rightarrow-\frac{2}{1}&lt;/math&gt;。这样，整数就可以写成分数的形式。

可以写成分数形式的数叫做'''有理数(rational number)'''。其中，正数叫做正有理数，负数叫做负有理数。

例1：指出下列各数中的正有理数，负有理数，整数：
:&lt;math&gt;14,\ 1234\ -1234,\ -1.343241,\ -\frac{124234}{124},\ 14.09804,\ \frac{1234}{23},\ -70,\ 1.\dot{2},\ \pi&lt;/math&gt;
:正有理数：________，负有理数：________，整数：________（填第几个）。
:{|class=&quot;collapsible&quot;
! 答案
|-
| 正有理数：1、2、6、7、9，负有理数：3、5、6、8，整数：1、2、3、8。
|}

==== {{text anchor|1.2.2}} 数轴 ====
在一条直线上随便取一'''原点(Origin)'''O为基准点，规定1单位长度为任意数（最好取整，例如1，10，100等），再用0表示O。通常，负数在0左边或下面，正数在0右边或上面。这样，我们就用一条线表示了所有有理数。

原点将数轴分为两部分（不含0），其中正方向一侧为'''正半轴'''（图中蓝色部分），负方向一侧为'''负半轴'''（图中红色部分）。

数轴三要素：
* 原点
* 单位长度表示的数值
* 数变大变小的方向（只用写一个箭头，不用两边都写）
[[File:Number-line.svg]]
==== {{text anchor|1.2.3}} 相反数 ====
在数轴上，与原点距离相等的数总是有2个，这两个数只有符号不同，数量相同。设&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;为任意数，则&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;-a&lt;/math&gt;互为相反数。0的相反数为0。

所以说，在一个数前面添上“&lt;math&gt;-&lt;/math&gt;”号，就得到这个数的相反数。例：&lt;math&gt;-(+5)\rightarrow-5,\ -(-5)\rightarrow5,\ -0\rightarrow0&lt;/math&gt;。

例3
# 分别写出&lt;math&gt;-10&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt;的相反数。
# 设&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;的相反数为&lt;math&gt;-2.4&lt;/math&gt;，求&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;的值。
: 答案：{{fc|black|black|1. 10 -3/4 2. -(-2.4){{=}}24}}。
==== {{text anchor|1.2.4}} 绝对值 ====
在数轴上，互为相反数的两个数（0除外）只有符号不同，这两个数的相同部分就是两数到原点的距离，即'''绝对值'''，记作&lt;math&gt;|a|&lt;/math&gt;。&lt;math&gt;|0|=0&lt;/math&gt;。

求绝对值（此处假设里面只是一个数，不是算式）：去掉符号。例：&lt;math&gt;\big|-[-(-1)]\big|=1,\ \big|+[-(+0.1)]\big|=0.1&lt;/math&gt;

例4 写出&lt;math&gt;1,\ -0.5,\ -\frac{3}{4}&lt;/math&gt;的绝对值。
:答案：{{fc|black|black|1 0.5 3/4}}

==== {{text anchor|1.2.5}} 有理数的大小比较 ====
在水平的0数轴上表示有理数，一般地，从左向右的数是从小到大的，即右边的数永远大于左边的数，由此可得：
:&lt;math&gt;\ldots&lt;-6&lt;-5&lt;-4&lt;-3&lt;-2&lt;-1&lt;-0.5&lt;-0.1&lt;0&lt;0.1&lt;0.5&lt;1&lt;2&lt;3&lt;4&lt;5&lt;6\ldots&lt;/math&gt;

一般地，
* &lt;math&gt;\text{正 数 }&gt;0&gt;\text{负 数 ， 正 数 }&gt;\text{负 数 }&lt;/math&gt;。
* 两个负数，绝对值大的反而小。
例5 比较大小（从大到小，用大于号连接）：&lt;math&gt;-1,\ 151234,\ -345,\ \pi,\ -\pi, -1234%,\ +\frac{14}{23},\ 0&lt;/math&gt;
:答案：{{fc|black|black|第二个&gt;第四个&gt;第七个&gt;第八个&gt;第一个&gt;第五个&gt;第六个&gt;第三个}}

=== {{text anchor|1.3}} 有理数的加减法 ===

=== {{text anchor|1.4}} 有理数的乘除法 ===

=== {{text anchor|1.5}} 有理数的乘方 ===

== {{anchor|2}}第二章 整式的加减 ==

=== {{text anchor|2.1}} 整式 ===

=== {{text anchor|2.2}} 整式的加减 ===

== {{anchor|3}}第三章 一元一次方程 ==

=== {{text anchor|3.1}} 从算式到方程 ===

=== {{text anchor|3.2}} 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 ===

=== {{text anchor|3.3}} 解一元一次方程（二）——去括号与去分母 ===

=== {{text anchor|3.4}} 实际问题与一元一次方程 ===

== {{anchor|4}}第四章 几何图形初步 ==

=== {{text anchor|4.1}} 几何图形 ===

=== {{text anchor|4.2}} 直线、射线、线段 ===

=== {{text anchor|4.3}} 角 ===

=== {{text anchor|4.4}} 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒 ===</text>
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      <contributor>
        <username>Pawsdt</username>
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      <comment>/* {{text anchor|1.2.1}} 有理数的概念 */ 答案</comment>
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      <text bytes="5785" sha1="72h5v8iw9ea4lq03x1nv7z60pxgodrz" xml:space="preserve">
== {{anchor|1}}第一章 有理数 ==
在小学的学习当中，我们从日常生活出发，学习了自然数、小数、分数、百分数及其运算，还学习了负数。在日常生活当中，只知道负数是不够用的，还要学会算负数。在小学，我们做卷子的时候会做出类似于这样的题目：

以下是某小组同学的跳绳成绩，以180个每分钟为0计：
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 序号 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8
|-
| 个数 || -1 || -2 || 5 || -3 || 10 || -13 || 17 || -5
|}
求这个小组每人平均每分钟跳多少个。在小学，我们通常这样计算：&lt;math&gt;\begin{align}
\text{个 数 } &amp;= [(180-1)+(180-2)+(180+5)+(180-3)+(180+10)+(180-13)+(180+17)+(180-5)] \div 8 \\
&amp;= [179+178+185+177+190+167+197+175] \div 8 \\
&amp;= 181\text{（ 个 ）}
\end{align}&lt;/math&gt;

或者更简便：&lt;math&gt;180+(5-1-2+10-3+17-13-5) \div 8 = 181&lt;/math&gt;（个）

而到了初中，我们会尝试使用负数进行计算。
=== {{text anchor|1.1}} 正数和负数 ===
见[[小学数学/六年级下册#1]]。

=== {{text anchor|1.2}} 有理数 ===
==== {{text anchor|1.2.1}} 有理数的概念 ====
我们学过正整数，如&lt;math&gt;1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5...&lt;/math&gt;；0；负整数，如&lt;math&gt;-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5...&lt;/math&gt;，这些数统称为整数。

我们还学习过正分数，如&lt;math&gt;\frac{1}{2},\ \frac{3}{4}...&lt;/math&gt;；负分数，如&lt;math&gt;-\frac{1}{2},\ -\frac{3}{4}...&lt;/math&gt;这些都是分数。

进一步地，整数可以写成分数，例如&lt;math&gt;2\rightarrow\frac{2}{1},\ 1\rightarrow\frac{1}{1},\ 0\rightarrow\frac{0}{1},\ -1\rightarrow-\frac{1}{1},\ -2\rightarrow-\frac{2}{1}&lt;/math&gt;。这样，整数就可以写成分数的形式。

可以写成分数形式的数叫做'''有理数(rational number)'''。其中，正数叫做正有理数，负数叫做负有理数。

例1：指出下列各数中的正有理数，负有理数，整数：
:&lt;math&gt;14,\ 1234,\ -1234,\ -1.343241,\ -\frac{124234}{124},\ 14.09804,\ \frac{1234}{23},\ -70,\ 1.\dot{2},\ \pi&lt;/math&gt;
:正有理数：________，负有理数：________，整数：________。
:{|class=&quot;mw-collapsible&quot; style=&quot;text-align:left&quot;
! 答案
|-
| 正有理数：&lt;math&gt;14,\ 1234,\ 14.09804,\ \frac{1234}{23},\ 1.\dot{2},\ \pi&lt;/math&gt;，负有理数：&lt;math&gt;-1234,\ -1.343241,\ -\frac{124234}{124},\ -70&lt;/math&gt;，整数：&lt;math&gt;14,\ 1234,\ -1234,\ -70&lt;/math&gt;。
|}

==== {{text anchor|1.2.2}} 数轴 ====
在一条直线上随便取一'''原点(Origin)'''O为基准点，规定1单位长度为任意数（最好取整，例如1，10，100等），再用0表示O。通常，负数在0左边或下面，正数在0右边或上面。这样，我们就用一条线表示了所有有理数。

原点将数轴分为两部分（不含0），其中正方向一侧为'''正半轴'''（图中蓝色部分），负方向一侧为'''负半轴'''（图中红色部分）。

数轴三要素：
* 原点
* 单位长度表示的数值
* 数变大变小的方向（只用写一个箭头，不用两边都写）
[[File:Number-line.svg]]
==== {{text anchor|1.2.3}} 相反数 ====
在数轴上，与原点距离相等的数总是有2个，这两个数只有符号不同，数量相同。设&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;为任意数，则&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;-a&lt;/math&gt;互为相反数。0的相反数为0。

所以说，在一个数前面添上“&lt;math&gt;-&lt;/math&gt;”号，就得到这个数的相反数。例：&lt;math&gt;-(+5)\rightarrow-5,\ -(-5)\rightarrow5,\ -0\rightarrow0&lt;/math&gt;。

例3
# 分别写出&lt;math&gt;-10&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt;的相反数。
# 设&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;的相反数为&lt;math&gt;-2.4&lt;/math&gt;，求&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;的值。
: 答案：{{fc|black|black|1. 10 -3/4 2. -(-2.4){{=}}24}}。
==== {{text anchor|1.2.4}} 绝对值 ====
在数轴上，互为相反数的两个数（0除外）只有符号不同，这两个数的相同部分就是两数到原点的距离，即'''绝对值'''，记作&lt;math&gt;|a|&lt;/math&gt;。&lt;math&gt;|0|=0&lt;/math&gt;。

求绝对值（此处假设里面只是一个数，不是算式）：去掉符号。例：&lt;math&gt;\big|-[-(-1)]\big|=1,\ \big|+[-(+0.1)]\big|=0.1&lt;/math&gt;

例4 写出&lt;math&gt;1,\ -0.5,\ -\frac{3}{4}&lt;/math&gt;的绝对值。
:答案：{{fc|black|black|1 0.5 3/4}}

==== {{text anchor|1.2.5}} 有理数的大小比较 ====
在水平的0数轴上表示有理数，一般地，从左向右的数是从小到大的，即右边的数永远大于左边的数，由此可得：
:&lt;math&gt;\ldots&lt;-6&lt;-5&lt;-4&lt;-3&lt;-2&lt;-1&lt;-0.5&lt;-0.1&lt;0&lt;0.1&lt;0.5&lt;1&lt;2&lt;3&lt;4&lt;5&lt;6\ldots&lt;/math&gt;

一般地，
* &lt;math&gt;\text{正 数 }&gt;0&gt;\text{负 数 ， 正 数 }&gt;\text{负 数 }&lt;/math&gt;。
* 两个负数，绝对值大的反而小。
例5 比较大小（从大到小，用大于号连接）：&lt;math&gt;-1,\ 151234,\ -345,\ \pi,\ -\pi, -1234%,\ +\frac{14}{23},\ 0&lt;/math&gt;
:答案：{{fc|black|black|第二个&gt;第四个&gt;第七个&gt;第八个&gt;第一个&gt;第五个&gt;第六个&gt;第三个}}

=== {{text anchor|1.3}} 有理数的加减法 ===

=== {{text anchor|1.4}} 有理数的乘除法 ===

=== {{text anchor|1.5}} 有理数的乘方 ===

== {{anchor|2}}第二章 整式的加减 ==

=== {{text anchor|2.1}} 整式 ===

=== {{text anchor|2.2}} 整式的加减 ===

== {{anchor|3}}第三章 一元一次方程 ==

=== {{text anchor|3.1}} 从算式到方程 ===

=== {{text anchor|3.2}} 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 ===

=== {{text anchor|3.3}} 解一元一次方程（二）——去括号与去分母 ===

=== {{text anchor|3.4}} 实际问题与一元一次方程 ===

== {{anchor|4}}第四章 几何图形初步 ==

=== {{text anchor|4.1}} 几何图形 ===

=== {{text anchor|4.2}} 直线、射线、线段 ===

=== {{text anchor|4.3}} 角 ===

=== {{text anchor|4.4}} 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒 ===</text>
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        <username>Pawsdt</username>
        <id>68279</id>
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      <comment>[IPE-NEXT] Quick edit</comment>
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== {{anchor|1}}第一章 有理数 ==
在小学的学习当中，我们从日常生活出发，学习了自然数、小数、分数、百分数及其运算，还学习了负数。在日常生活当中，只知道负数是不够用的，还要学会算负数。在小学，我们做卷子的时候会做出类似于这样的题目：

以下是某小组同学的跳绳成绩，以180个每分钟为0计：
{|class=&quot;wikitable&quot;
! 序号 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8
|-
| 个数 || -1 || -2 || 5 || -3 || 10 || -13 || 17 || -5
|}
求这个小组每人平均每分钟跳多少个。在小学，我们通常这样计算：&lt;math&gt;\begin{align}
\text{个 数 } &amp;= [(180-1)+(180-2)+(180+5)+(180-3)+(180+10)+(180-13)+(180+17)+(180-5)] \div 8 \\
&amp;= [179+178+185+177+190+167+197+175] \div 8 \\
&amp;= 181\text{（ 个 ）}
\end{align}&lt;/math&gt;

或者更简便：&lt;math&gt;180+(5-1-2+10-3+17-13-5) \div 8 = 181&lt;/math&gt;（个）

而到了初中，我们会尝试使用负数进行计算。
=== {{text anchor|1.1}} 正数和负数 ===
见[[小学数学/六年级下册#1]]。

=== {{text anchor|1.2}} 有理数 ===
==== {{text anchor|1.2.1}} 有理数的概念 ====
我们学过正整数，如&lt;math&gt;1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5...&lt;/math&gt;；0；负整数，如&lt;math&gt;-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5...&lt;/math&gt;，这些数统称为整数。

我们还学习过正分数，如&lt;math&gt;\frac{1}{2},\ \frac{3}{4}...&lt;/math&gt;；负分数，如&lt;math&gt;-\frac{1}{2},\ -\frac{3}{4}...&lt;/math&gt;这些都是分数。

进一步地，整数可以写成分数，例如&lt;math&gt;2\rightarrow\frac{2}{1},\ 1\rightarrow\frac{1}{1},\ 0\rightarrow\frac{0}{1},\ -1\rightarrow-\frac{1}{1},\ -2\rightarrow-\frac{2}{1}&lt;/math&gt;。这样，整数就可以写成分数的形式。

可以写成分数形式的数叫做'''有理数(rational number)'''。其中，正数叫做正有理数，负数叫做负有理数。

例1：指出下列各数中的正有理数，负有理数，整数：
:&lt;math&gt;14,\ 1234,\ -1234,\ -1.343241,\ -\frac{124234}{124},\ 14.09804,\ \frac{1234}{23},\ -70,\ 1.\dot{2},\ \pi&lt;/math&gt;
:正有理数：________，负有理数：________，整数：________。
:{|class=&quot;mw-collapsible&quot; style=&quot;text-align:left&quot;
! 答案
|-
| 正有理数：&lt;math&gt;14,\ 1234,\ 14.09804,\ \frac{1234}{23},\ 1.\dot{2},\ \pi&lt;/math&gt;，负有理数：&lt;math&gt;-1234,\ -1.343241,\ -\frac{124234}{124},\ -70&lt;/math&gt;，整数：&lt;math&gt;14,\ 1234,\ -1234,\ -70&lt;/math&gt;。
|}

==== {{text anchor|1.2.2}} 数轴 ====
在一条直线上随便取一'''原点(Origin)'''O为基准点，规定1单位长度为任意数（最好取整，例如1，10，100等），再用0表示O。通常，负数在0左边或下面，正数在0右边或上面。这样，我们就用一条线表示了所有有理数。

原点将数轴分为两部分（不含0），其中正方向一侧为'''正半轴'''（图中蓝色部分），负方向一侧为'''负半轴'''（图中红色部分）。

数轴三要素：
* 原点
* 单位长度表示的数值
* 数变大变小的方向（只用写一个箭头，不用两边都写）
[[File:Number-line.svg]]
==== {{text anchor|1.2.3}} 相反数 ====
在数轴上，与原点距离相等的数总是有2个，这两个数只有符号不同，数量相同。设&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;为任意数，则&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;-a&lt;/math&gt;互为相反数。0的相反数为0。

所以说，在一个数前面添上“&lt;math&gt;-&lt;/math&gt;”号，就得到这个数的相反数。例：&lt;math&gt;-(+5)\rightarrow-5,\ -(-5)\rightarrow5,\ -0\rightarrow0&lt;/math&gt;。

例3
# 分别写出&lt;math&gt;-10&lt;/math&gt;和&lt;math&gt;\frac{3}{4}&lt;/math&gt;的相反数。
# 设&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;的相反数为&lt;math&gt;-2.4&lt;/math&gt;，求&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;的值。
: {|class=&quot;mw-collapsible&quot; style=&quot;text-align:left&quot;
! 答案
|-
|
# &lt;math&gt;10,\ -\frac{3}{4}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;a=-(-2.4)=2.4&lt;/math&gt;
|}

==== {{text anchor|1.2.4}} 绝对值 ====
在数轴上，互为相反数的两个数（0除外）只有符号不同，这两个数的相同部分就是两数到原点的距离，即'''绝对值'''，记作&lt;math&gt;|a|&lt;/math&gt;。&lt;math&gt;|0|=0&lt;/math&gt;。

求绝对值（此处假设里面只是一个数，不是算式）：去掉符号。例：&lt;math&gt;\big|-[-(-1)]\big|=1,\ \big|+[-(+0.1)]\big|=0.1&lt;/math&gt;

例4 写出&lt;math&gt;1,\ -0.5,\ -\frac{3}{4}&lt;/math&gt;的绝对值。
:答案：{{fc|black|black|1 0.5 3/4}}

==== {{text anchor|1.2.5}} 有理数的大小比较 ====
在水平的0数轴上表示有理数，一般地，从左向右的数是从小到大的，即右边的数永远大于左边的数，由此可得：
:&lt;math&gt;\ldots&lt;-6&lt;-5&lt;-4&lt;-3&lt;-2&lt;-1&lt;-0.5&lt;-0.1&lt;0&lt;0.1&lt;0.5&lt;1&lt;2&lt;3&lt;4&lt;5&lt;6\ldots&lt;/math&gt;

一般地，
* &lt;math&gt;\text{正 数 }&gt;0&gt;\text{负 数 ， 正 数 }&gt;\text{负 数 }&lt;/math&gt;。
* 两个负数，绝对值大的反而小。
例5 比较大小（从大到小，用大于号连接）：&lt;math&gt;-1,\ 151234,\ -345,\ \pi,\ -\pi, -1234%,\ +\frac{14}{23},\ 0&lt;/math&gt;
:答案：{{fc|black|black|第二个&gt;第四个&gt;第七个&gt;第八个&gt;第一个&gt;第五个&gt;第六个&gt;第三个}}

=== {{text anchor|1.3}} 有理数的加减法 ===

=== {{text anchor|1.4}} 有理数的乘除法 ===

=== {{text anchor|1.5}} 有理数的乘方 ===

== {{anchor|2}}第二章 整式的加减 ==

=== {{text anchor|2.1}} 整式 ===

=== {{text anchor|2.2}} 整式的加减 ===

== {{anchor|3}}第三章 一元一次方程 ==

=== {{text anchor|3.1}} 从算式到方程 ===

=== {{text anchor|3.2}} 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 ===

=== {{text anchor|3.3}} 解一元一次方程（二）——去括号与去分母 ===

=== {{text anchor|3.4}} 实际问题与一元一次方程 ===

== {{anchor|4}}第四章 几何图形初步 ==

=== {{text anchor|4.1}} 几何图形 ===

=== {{text anchor|4.2}} 直线、射线、线段 ===

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      <contributor>
        <username>Cewbot</username>
        <id>42738</id>
      </contributor>
      <comment>[[User:Cewbot/log/20170915/configuration|生成議題列表：9個議題]]; new reply: [[:Wikibooks:互助客棧#Request for comment (the future of Abstract Wikipedia)|Request for comment (the future of Abstract Wikipedia)]]</comment>
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{| class=&quot;wikitable sortable mw-collapsible&quot;  style=&quot;float:left;&quot;
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|-
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| [[:Wikibooks:互助客棧#再谈改名建议|再谈改名建议]]
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| style=&quot;background-color: #bbb;&quot; data-sort-type=&quot;isoDate&quot; data-sort-value=&quot;2026-06-07T05:35:00.000Z&quot; | 2026-06-07 &lt;span style=&quot;color: blue;&quot;&gt;13:35&lt;/span&gt;
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|-
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