Wikibooks zhwikibooks https://zh.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:%E9%A6%96%E9%A1%B5 MediaWiki 1.47.0-wmf.14 first-letter Media Special Talk User User talk Wikibooks Wikibooks talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk Transwiki Transwiki talk Wikijunior Wikijunior talk Subject Subject talk TimedText TimedText talk Module Module talk Event Event talk Template:Delete 10 11941 186712 184899 2026-08-10T04:35:03Z Addonian1123 65525 186712 wikitext text/x-wiki {{#switch:{{uc:{{{1|}}}}}|G8|RM=<span id="delete-reason" style="display:none">{{urlencode:{{#invoke:Delete|input|parent=yes|deletelink=yes}}}}</span>{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|MediaWiki|[[Category:快速删除候选]]|[[Category:快速删除候选|错]]}}|#default=__NOINDEX__ {{mbox | type = speedy | class = ambox-serious | image = [[File:Icono archivo borrar.png|40px|]] | text = <div style="text-align: right; font-size: smaller; float: right;"> * [[Special:Whatlinkshere/{{FULLPAGENAME}}|链入]] * [{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=history}} 历史] * <span class="autotrigger">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|diff=0&autotrigger_element={{urlencode:.mw-rollback-link a}}}} 最后]</span> * {{DeleteLink|comment={{#invoke:Delete|input|parent=yes|deletelink=yes}}}}<span id="delete-reason" style="display:none">{{urlencode:{{#invoke:Delete|input|parent=yes|deletelink=yes}}}}</span> </div> <!-- 提示 -->{{Hinth|titleStyle=width:12em;|title=<span style="padding: 1px 3px; color: var(--color-error,red);" title="單擊可查看本模板的簡化字母參數">{{#if:{{{1|}}}|管理员注意|出错提示}}!</span>}} {{#if:{{{1|}}}|请对照以下删除理由判断本页是否具备执行快速删除的理据：|标记者没有提供理由，请对照以下删除说明补上合适的参数： :<code><nowiki>{{Delete|'''快速删除理由'''}}</nowiki></code> 快速删除的理由可以填寫左邊代碼，模板会自动显示相应的理由：}} {{#invoke:Delete|reasons}} {{Hintf}}<!-- 提示结束 --> <strong>{{#if:{{{bot|}}}|[[User:{{{bot}}}|{{{bot}}}]]认为}}本页可能符合[[Wikibooks:快速刪除#準則|快速删除的標準]]而需删除，理由：</strong> {{IsFile|{{{1|{{PAGENAME}}}}}|2= *<strong>{{#invoke:Delete|input|F7|{{{1|{{PAGENAME}}}}}}}</strong> *<strong>本文件已於[[Commons:|維基共享資源]]提供，链接為：[[Commons:File:{{{1|{{PAGENAME}}}}}|File:{{{1|{{PAGENAME}}}}}]]。</strong><includeonly>{{{cat|{{{cate|{{{category|[[Category:与维基共享资源重复的档案|{{FULLPAGENAME}}]][[Category:快速删除候选|共{{PAGENAME}}]]}}}}}}}}}</includeonly> |3= <includeonly>{{#invoke:Delete|input|parent=yes}}</includeonly> }} '''請勿移除本模板'''。如有異議，請在'''本模板下方加入{{tlc|Hang on|理由}}'''，並儘快{{edit|1={{TALKPAGENAME}}|2=到讨论页闡明理據|section=new|preloadtitle=删除争议|extendurlquerystring=&preload=Template:Hang_on/preload|4=|5=}}。 <small>{{IsFile|{{{1|{{PAGENAME}}}}}|2= *請[[Wikipedia:管理员|管理员]]注意将[[Special:Whatlinkshere/{{FULLPAGENAME}}|使用该图像的所有条目]]修改为维基共享资源上的图像，然后才能<span class="autotrigger">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=delete&autotrigger_element=%23mw-filedelete-submit&wpReason={{urlencode:{{#invoke:Delete|input|F7|{{{1|{{PAGENAME}}}}}|deletelink=yes}}}}}} 删除]。</span> *|3=}}'''其他'''編者若認為本頁明顯不符合快速删除的标准，{{#switch:{{#invoke:Delete|input|parent=yes|reasoncode=yes}}|G10|O1=|#default=或者您已修正存在的問題，}}可去除此模板。</small> <div id="speedy-delete" class="template-delete"></div> }}}}<noinclude> {{Documentation}} </noinclude> 5g3829gqi5is8812hezlb8jcgyg9mld 初中數學/算則練習/去括號 0 19664 186711 119900 2026-08-10T04:12:04Z Pawsdt 68279 改为Tex;添加分类 186711 wikitext text/x-wiki # <math>[(-7)-(-9)]-15+8=</math> # <math>[(-28)-(-4)]\div[(-3)+5]=</math> # <math>[(-14)-(-2)]\div[(-2)+5]=</math> # <math>[(-2)+8]\div[(-1)\times3]=</math> # <math>[(-45)+(-12)]\times[(-2)-(-2)]=</math> # <math>[(-10)+(-5)]\times[(-16)(-4)]=</math> # <math>[(-8)+(-4)]\times[(-12)(-6)]=</math> # <math>[(-4)\div(-2)]\times[(-16)+(-2)]=</math> # <math>[42+(-32)]\times{4\times[36-11+(-11)](-8)} =</math> # <math>[(-28)-(-4)]\div[(-3)+5]=</math> [[分類:數學]] [[Category:初中]] [[Category:初中数学]] 8e7fepyqfschjwwlq9aaof51s75rpw4 Module:Documentation 828 25733 186714 186571 2026-08-10T04:52:21Z Addonian1123 65525 186714 Scribunto text/plain -- This module implements {{documentation}}. -- Get required modules. local getArgs = require('Module:Arguments').getArgs -- Get the config table. local cfg = mw.loadData('Module:Documentation/config') local p = {} -- Often-used functions. local ugsub = mw.ustring.gsub local format = mw.ustring.format ---------------------------------------------------------------------------- -- Helper functions -- -- These are defined as local functions, but are made available in the p -- table for testing purposes. ---------------------------------------------------------------------------- local function message(cfgKey, valArray, expectType) --[[ -- Gets a message from the cfg table and formats it if appropriate. -- The function raises an error if the value from the cfg table is not -- of the type expectType. The default type for expectType is 'string'. -- If the table valArray is present, strings such as $1, $2 etc. in the -- message are substituted with values from the table keys [1], [2] etc. -- For example, if the message "foo-message" had the value 'Foo $2 bar $1.', -- message('foo-message', {'baz', 'qux'}) would return "Foo qux bar baz." --]] local msg = cfg[cfgKey] expectType = expectType or 'string' if type(msg) ~= expectType then error('message: type error in message cfg.' .. cfgKey .. ' (' .. expectType .. ' expected, got ' .. type(msg) .. ')', 2) end if not valArray then return msg end local function getMessageVal(match) match = tonumber(match) return valArray[match] or error('message: no value found for key $' .. match .. ' in message cfg.' .. cfgKey, 4) end msg = ugsub(msg, '$([1-9][0-9]*)', getMessageVal) return msg end p.message = message local function makeWikilink(page, display) if display then return format('[[%s|%s]]', page, display) else return format('[[%s]]', page) end end p.makeWikilink = makeWikilink local function makeCategoryLink(cat, sort) local catns = mw.site.namespaces[14].name return makeWikilink(catns .. ':' .. cat, sort) end p.makeCategoryLink = makeCategoryLink local function makeUrlLink(url, display) return format('[%s %s]', url, display) end p.makeUrlLink = makeUrlLink local function makeToolbar(...) local ret = {} local lim = select('#', ...) if lim < 1 then return nil end for i = 1, lim do ret[#ret + 1] = select(i, ...) end -- 'documentation-toolbar' return format( '<span class="%s">（%s）</span>', message('toolbar-class'), table.concat(ret, ' &#124; ') ) end p.makeToolbar = makeToolbar ---------------------------------------------------------------------------- -- Argument processing ---------------------------------------------------------------------------- local function makeInvokeFunc(funcName) return function (frame) local args = getArgs(frame, { valueFunc = function (key, value) if type(value) == 'string' then value = value:match('^%s*(.-)%s*$') -- Remove whitespace. if key == 'heading' or value ~= '' then return value else return nil end else return value end end }) return p[funcName](args) end end ---------------------------------------------------------------------------- -- Entry points ---------------------------------------------------------------------------- function p.nonexistent(frame) if mw.title.getCurrentTitle().subpageText == 'testcases' then return frame:expandTemplate{title = 'module test cases notice'} else return p.main(frame) end end p.main = makeInvokeFunc('_main') function p._main(args) --[[ -- This function defines logic flow for the module. -- @args - table of arguments passed by the user --]] local env = p.getEnvironment(args) local root = mw.html.create() root :wikitext(p._getModuleWikitext(args, env)) :wikitext(p.protectionTemplate(env)) :wikitext(p.sandboxNotice(args, env)) :tag('div') -- 'documentation-container' :addClass(message('container')) :attr('role', 'complementary') :attr('aria-labelledby', args.heading ~= '' and 'documentation-heading' or nil) :attr('aria-label', args.heading == '' and 'Documentation' or nil) :newline() :tag('div') -- 'documentation' :addClass(message('main-div-classes')) :newline() :wikitext(p._startBox(args, env)) :wikitext(p._content(args, env)) :tag('div') -- 'documentation-clear' :addClass(message('clear')) :done() :newline() :done() :wikitext(p._endBox(args, env)) :done() :wikitext(p.addTrackingCategories(env)) -- 'Module:Documentation/styles.css' return mw.getCurrentFrame():extensionTag ( 'templatestyles', '', {src=cfg['templatestyles'] }) .. tostring(root) end ---------------------------------------------------------------------------- -- Environment settings ---------------------------------------------------------------------------- function p.getEnvironment(args) --[[ -- Returns a table with information about the environment, including title -- objects and other namespace- or path-related data. -- @args - table of arguments passed by the user -- -- Title objects include: -- env.title - the page we are making documentation for (usually the current title) -- env.templateTitle - the template (or module, file, etc.) -- env.docTitle - the /doc subpage. -- env.sandboxTitle - the /sandbox subpage. -- env.testcasesTitle - the /testcases subpage. -- -- Data includes: -- env.protectionLevels - the protection levels table of the title object. -- env.subjectSpace - the number of the title's subject namespace. -- env.docSpace - the number of the namespace the title puts its documentation in. -- env.docpageBase - the text of the base page of the /doc, /sandbox and /testcases pages, with namespace. -- env.compareUrl - URL of the Special:ComparePages page comparing the sandbox with the template. -- -- All table lookups are passed through pcall so that errors are caught. If an error occurs, the value -- returned will be nil. --]] local env, envFuncs = {}, {} -- Set up the metatable. If triggered we call the corresponding function in the envFuncs table. The value -- returned by that function is memoized in the env table so that we don't call any of the functions -- more than once. (Nils won't be memoized.) setmetatable(env, { __index = function (t, key) local envFunc = envFuncs[key] if envFunc then local success, val = pcall(envFunc) if success then env[key] = val -- Memoise the value. return val end end return nil end }) function envFuncs.title() -- The title object for the current page, or a test page passed with args.page. local title local titleArg = args.page if titleArg then title = mw.title.new(titleArg) else title = mw.title.getCurrentTitle() end return title end function envFuncs.templateTitle() --[[ -- The template (or module, etc.) title object. -- Messages: -- 'sandbox-subpage' --> 'sandbox' -- 'testcases-subpage' --> 'testcases' --]] local subjectSpace = env.subjectSpace local title = env.title local subpage = title.subpageText if subpage == message('sandbox-subpage') or subpage == message('testcases-subpage') then return mw.title.makeTitle(subjectSpace, title.baseText) else return mw.title.makeTitle(subjectSpace, title.text) end end function envFuncs.docTitle() --[[ -- Title object of the /doc subpage. -- Messages: -- 'doc-subpage' --> 'doc' --]] local title = env.title local docname = args[1] -- User-specified doc page. local docpage if docname then docpage = docname else docpage = env.docpageBase .. '/' .. message('doc-subpage') end return mw.title.new(docpage) end function envFuncs.sandboxTitle() --[[ -- Title object for the /sandbox subpage. -- Messages: -- 'sandbox-subpage' --> 'sandbox' --]] return mw.title.new(env.docpageBase .. '/' .. message('sandbox-subpage')) end function envFuncs.testcasesTitle() --[[ -- Title object for the /testcases subpage. -- Messages: -- 'testcases-subpage' --> 'testcases' --]] return mw.title.new(env.docpageBase .. '/' .. message('testcases-subpage')) end function envFuncs.protectionLevels() -- The protection levels table of the title object. return env.title.protectionLevels end function envFuncs.subjectSpace() -- The subject namespace number. return mw.site.namespaces[env.title.namespace].subject.id end function envFuncs.docSpace() -- The documentation namespace number. For most namespaces this is the -- same as the subject namespace. However, pages in the Article, File, -- MediaWiki or Category namespaces must have their /doc, /sandbox and -- /testcases pages in talk space. local subjectSpace = env.subjectSpace if subjectSpace == 0 or subjectSpace == 6 or subjectSpace == 8 or subjectSpace == 14 then return subjectSpace + 1 else return subjectSpace end end function envFuncs.docpageBase() -- The base page of the /doc, /sandbox, and /testcases subpages. -- For some namespaces this is the talk page, rather than the template page. local templateTitle = env.templateTitle local docSpace = env.docSpace local docSpaceText = mw.site.namespaces[docSpace].name -- Assemble the link. docSpace is never the main namespace, so we can hardcode the colon. return docSpaceText .. ':' .. templateTitle.text end function envFuncs.compareUrl() -- Diff link between the sandbox and the main template using [[Special:ComparePages]]. local templateTitle = env.templateTitle local sandboxTitle = env.sandboxTitle if templateTitle.exists and sandboxTitle.exists then local compareUrl = mw.uri.canonicalUrl( 'Special:ComparePages', { page1 = templateTitle.prefixedText, page2 = sandboxTitle.prefixedText} ) return tostring(compareUrl) else return nil end end return env end ---------------------------------------------------------------------------- -- Auxiliary templates ---------------------------------------------------------------------------- p.getModuleWikitext = makeInvokeFunc('_getModuleWikitext') function p._getModuleWikitext(args, env) local currentTitle = mw.title.getCurrentTitle() if currentTitle.contentModel ~= 'Scribunto' then return end pcall(require, currentTitle.prefixedText) -- if it fails, we don't care local moduleWikitext = package.loaded["Module:Module wikitext"] if moduleWikitext then return moduleWikitext.main() end end function p.sandboxNotice(args, env) --[=[ -- Generates a sandbox notice for display above sandbox pages. -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- -- Messages: -- 'sandbox-notice-image' --> '[[File:Sandbox.svg|50px|alt=|link=]]' -- 'sandbox-notice-blurb' --> 'This is the $1 for $2.' -- 'sandbox-notice-diff-blurb' --> 'This is the $1 for $2 ($3).' -- 'sandbox-notice-pagetype-template' --> '[[Wikipedia:Template test cases|template sandbox]] page' -- 'sandbox-notice-pagetype-module' --> '[[Wikipedia:Template test cases|module sandbox]] page' -- 'sandbox-notice-pagetype-other' --> 'sandbox page' -- 'sandbox-notice-compare-link-display' --> 'diff' -- 'sandbox-notice-testcases-blurb' --> 'See also the companion subpage for $1.' -- 'sandbox-notice-testcases-link-display' --> 'test cases' -- 'sandbox-category' --> 'Template sandboxes' -- 'module-sandbox-category' --> 'Module sandboxes' -- 'other-sandbox-category' --> 'Sandboxes outside of template or module namespace' --]=] local title = env.title local sandboxTitle = env.sandboxTitle local templateTitle = env.templateTitle local subjectSpace = env.subjectSpace if not (subjectSpace and title and sandboxTitle and templateTitle and mw.title.equals(title, sandboxTitle)) then return nil end -- Build the table of arguments to pass to {{ombox}}. We need just two fields, "image" and "text". local omargs = {} omargs.image = message('sandbox-notice-image') -- Get the text. We start with the opening blurb, which is something like -- "This is the template sandbox for [[Template:Foo]] (diff)." local text = '__EXPECTUNUSEDTEMPLATE__' local pagetype, sandboxCat if subjectSpace == 10 then pagetype = message('sandbox-notice-pagetype-template') sandboxCat = message('sandbox-category') elseif subjectSpace == 828 then pagetype = message('sandbox-notice-pagetype-module') sandboxCat = message('module-sandbox-category') else pagetype = message('sandbox-notice-pagetype-other') sandboxCat = message('other-sandbox-category') end local pagetypee if subjectSpace == 10 then pagetypee = message('template-pagetype') elseif subjectSpace == 828 then pagetypee = message('module-pagetype') else pagetypee = message('default-pagetype') --message 'other-pagetype' 不存在 end local templateLink = makeWikilink(templateTitle.prefixedText) local compareUrl = env.compareUrl if compareUrl then local compareDisplay = message('sandbox-notice-compare-link-display') local compareLink = makeUrlLink(compareUrl, compareDisplay) text = text .. message('sandbox-notice-diff-blurb', {pagetype, templateLink, compareLink}) else text = text .. message('sandbox-notice-blurb', {pagetype, templateLink}) end -- Get the test cases page blurb if the page exists. This is something like -- "See also the companion subpage for [[Template:Foo/testcases|test cases]]." local testcasesTitle = env.testcasesTitle if testcasesTitle and testcasesTitle.exists then if testcasesTitle.contentModel == "Scribunto" then local testcasesLinkDisplay = message('sandbox-notice-testcases-link-display') local testcasesRunLinkDisplay = message('sandbox-notice-testcases-run-link-display') local testcasesLink = makeWikilink(testcasesTitle.prefixedText, testcasesLinkDisplay) local testcasesRunLink = makeWikilink(testcasesTitle.talkPageTitle.prefixedText, testcasesRunLinkDisplay) text = text .. '<br /><small>' .. message('sandbox-notice-testcases-run-blurb', {pagetypee, testcasesLink, testcasesRunLink}) .. '</small>' else local testcasesLinkDisplay = message('sandbox-notice-testcases-link-display') local testcasesLink = makeWikilink(testcasesTitle.prefixedText, testcasesLinkDisplay) text = text .. '<br /><small>' .. message('sandbox-notice-testcases-blurb', {pagetypee, testcasesLink}) .. '</small>' end end -- Add the sandbox to the sandbox category. omargs.text = text .. makeCategoryLink(sandboxCat) -- 'documentation-clear' return '<div class="' .. message('clear') .. '"></div>' .. require('Module:Message box').main('ombox', omargs) end function p.protectionTemplate(env) -- Generates the padlock icon in the top right. -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- Messages: -- 'protection-template' --> 'pp-template' -- 'protection-template-args' --> {docusage = 'yes'} local protectionLevels = env.protectionLevels if not protectionLevels then return nil end local editProt = protectionLevels.edit and protectionLevels.edit[1] local moveProt = protectionLevels.move and protectionLevels.move[1] if editProt then -- The page is edit-protected. return require('Module:Protection banner')._main{ message('protection-reason-edit'), small = true } elseif moveProt and moveProt ~= 'autoconfirmed' then -- The page is move-protected but not edit-protected. Exclude move -- protection with the level "autoconfirmed", as this is equivalent to -- no move protection at all. return require('Module:Protection banner')._main{ action = 'move', small = true } else return nil end end ---------------------------------------------------------------------------- -- Start box ---------------------------------------------------------------------------- p.startBox = makeInvokeFunc('_startBox') function p._startBox(args, env) --[[ -- This function generates the start box. -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- -- The actual work is done by p.makeStartBoxLinksData and p.renderStartBoxLinks which make -- the [view] [edit] [history] [purge] links, and by p.makeStartBoxData and p.renderStartBox -- which generate the box HTML. --]] env = env or p.getEnvironment(args) local links local content = args.content if not content or args[1] then -- No need to include the links if the documentation is on the template page itself. local linksData = p.makeStartBoxLinksData(args, env) if linksData then links = p.renderStartBoxLinks(linksData) end end -- Generate the start box html. local data = p.makeStartBoxData(args, env, links) if data then return p.renderStartBox(data) else -- User specified no heading. return nil end end function p.makeStartBoxLinksData(args, env) --[[ -- Does initial processing of data to make the [view] [edit] [history] [purge] links. -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- -- Messages: -- 'view-link-display' --> 'view' -- 'edit-link-display' --> 'edit' -- 'history-link-display' --> 'history' -- 'purge-link-display' --> 'purge' -- 'module-preload' --> 'Template:Documentation/preload-module-doc' -- 'docpage-preload' --> 'Template:Documentation/preload' -- 'create-link-display' --> 'create' --]] local subjectSpace = env.subjectSpace local title = env.title local docTitle = env.docTitle if not title or not docTitle then return nil end if docTitle.isRedirect then docTitle = docTitle.redirectTarget end -- Create link if /doc doesn't exist. local preload = args.preload if not preload then if subjectSpace == 828 then -- Module namespace preload = message('module-preload') else preload = message('docpage-preload') end end return { title = title, docTitle = docTitle, -- View, display, edit, and purge links if /doc exists. viewLinkDisplay = message('view-link-display'), editLinkDisplay = message('edit-link-display'), historyLinkDisplay = message('history-link-display'), purgeLinkDisplay = message('purge-link-display'), preload = preload, createLinkDisplay = message('create-link-display') } end function p.renderStartBoxLinks(data) --[[ -- Generates the [view][edit][history][purge] or [create][purge] links from the data table. -- @data - a table of data generated by p.makeStartBoxLinksData --]] local docTitle = data.docTitle local function wrap(link) return '<span class="doc-link">&#91;</span>' .. link .. '<span class="doc-link">&#93;</span>' end -- yes, we do intend to purge the template page on which the documentation appears local purgeLink = wrap(makeWikilink("Special:Purge/" .. data.title.prefixedText, data.purgeLinkDisplay)) if docTitle.exists then local viewLink = wrap(makeWikilink(docTitle.prefixedText, data.viewLinkDisplay)) local editLink = wrap(makeWikilink("Special:EditPage/" .. docTitle.prefixedText, data.editLinkDisplay)) local historyLink = wrap(makeWikilink("Special:PageHistory/" .. docTitle.prefixedText, data.historyLinkDisplay)) return viewLink .. editLink .. historyLink .. purgeLink else local createLink = wrap(makeUrlLink(docTitle:canonicalUrl{action = 'edit', preload = data.preload}, data.createLinkDisplay)) return createLink .. purgeLink end return ret end function p.makeStartBoxData(args, env, links) --[=[ -- Does initial processing of data to pass to the start-box render function, p.renderStartBox. -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- @links - a string containing the [view][edit][history][purge] links - could be nil if there's an error. -- -- Messages: -- 'documentation-icon-wikitext' --> '[[File:Test Template Info-Icon - Version (2).svg|50px|link=|alt=]]' -- 'template-namespace-heading' --> 'Template documentation' -- 'module-namespace-heading' --> 'Module documentation' -- 'file-namespace-heading' --> 'Summary' -- 'other-namespaces-heading' --> 'Documentation' -- 'testcases-create-link-display' --> 'create' --]=] local subjectSpace = env.subjectSpace if not subjectSpace then -- Default to an "other namespaces" namespace, so that we get at least some output -- if an error occurs. subjectSpace = 2 end local data = {} -- Heading local heading = args.heading -- Blank values are not removed. if heading == '' then -- Don't display the start box if the heading arg is defined but blank. return nil end if heading then data.heading = heading elseif subjectSpace == 10 then -- Template namespace data.heading = message('documentation-icon-wikitext') .. ' ' .. message('template-namespace-heading') elseif subjectSpace == 828 then -- Module namespace data.heading = message('documentation-icon-wikitext') .. ' ' .. message('module-namespace-heading') elseif subjectSpace == 6 then -- File namespace data.heading = message('file-namespace-heading') else data.heading = message('other-namespaces-heading') end -- Heading CSS local headingStyle = args['heading-style'] if headingStyle then data.headingStyleText = headingStyle else -- 'documentation-heading' data.headingClass = message('main-div-heading-class') end -- Data for the [view][edit][history][purge] or [create] links. if links then -- 'mw-editsection-like plainlinks' data.linksClass = message('start-box-link-classes') data.links = links end return data end function p.renderStartBox(data) -- Renders the start box html. -- @data - a table of data generated by p.makeStartBoxData. local sbox = mw.html.create('div') sbox -- 'documentation-startbox' :addClass(message('start-box-class')) :newline() :tag('span') :addClass(data.headingClass) :attr('id', 'documentation-heading') :cssText(data.headingStyleText) :wikitext(data.heading) local links = data.links if links then sbox:tag('span') :addClass(data.linksClass) :attr('id', data.linksId) :wikitext(links) end return tostring(sbox) end ---------------------------------------------------------------------------- -- Documentation content ---------------------------------------------------------------------------- p.content = makeInvokeFunc('_content') function p._content(args, env) -- Displays the documentation contents -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment env = env or p.getEnvironment(args) local docTitle = env.docTitle local content = args.content if not content and docTitle and docTitle.exists then content = args._content or mw.getCurrentFrame():expandTemplate{title = docTitle.prefixedText} end -- The line breaks below are necessary so that "=== Headings ===" at the start and end -- of docs are interpreted correctly. return '\n' .. (content or '') .. '\n' end p.contentTitle = makeInvokeFunc('_contentTitle') function p._contentTitle(args, env) env = env or p.getEnvironment(args) local docTitle = env.docTitle if not args.content and docTitle and docTitle.exists then return docTitle.prefixedText else return '' end end ---------------------------------------------------------------------------- -- End box ---------------------------------------------------------------------------- p.endBox = makeInvokeFunc('_endBox') function p._endBox(args, env) --[=[ -- This function generates the end box (also known as the link box). -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- --]=] -- Get environment data. env = env or p.getEnvironment(args) local subjectSpace = env.subjectSpace local docTitle = env.docTitle if not subjectSpace or not docTitle then return nil end -- Check whether we should output the end box at all. Add the end -- box by default if the documentation exists or if we are in the -- user, module or template namespaces. local linkBox = args['link box'] if linkBox == 'off' or not ( docTitle.exists or subjectSpace == 2 or subjectSpace == 828 or subjectSpace == 10 ) then return nil end -- Assemble the link box. local text = '' if linkBox then text = text .. linkBox else text = text .. (p.makeDocPageBlurb(args, env) or '') -- "This documentation is transcluded from [[Foo]]." if subjectSpace == 2 or subjectSpace == 10 or subjectSpace == 828 then -- We are in the user, template or module namespaces. -- Add sandbox and testcases links. -- "Editors can experiment in this template's sandbox and testcases pages." text = text .. (p.makeExperimentBlurb(args, env) or '') .. '<br />' if not args.content and not args[1] then -- "Please add categories to the /doc subpage." -- Don't show this message with inline docs or with an explicitly specified doc page, -- as then it is unclear where to add the categories. text = text .. (p.makeCategoriesBlurb(args, env) or '') end text = text .. '' .. (p.makeSubpagesBlurb(args, env) or '') --"Subpages of this template" end end local box = mw.html.create('div') -- 'documentation-metadata' box:attr('role', 'note') :addClass(message('end-box-class')) -- 'plainlinks' :addClass(message('end-box-plainlinks')) :wikitext(text) :done() return '\n' .. tostring(box) end function p.makeDocPageBlurb(args, env) --[=[ -- Makes the blurb "This documentation is transcluded from [[Template:Foo]] (edit, history)". -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- -- Messages: -- 'edit-link-display' --> 'edit' -- 'history-link-display' --> 'history' -- 'transcluded-from-blurb' --> -- 'The above [[Wikipedia:Template documentation|documentation]] -- is [[Help:Transclusion|transcluded]] from $1.' -- 'module-preload' --> 'Template:Documentation/preload-module-doc' -- 'create-link-display' --> 'create' -- 'create-module-doc-blurb' --> -- 'You might want to $1 a documentation page for this [[Wikipedia:Lua|Scribunto module]].' --]=] local docTitle = env.docTitle if not docTitle then return nil end if docTitle.exists then -- /doc exists; link to it. local docLink = makeWikilink(docTitle.prefixedText) local editDisplay = message('edit-link-display') local editLink = makeWikilink("Special:EditPage/" .. docTitle.prefixedText, editDisplay) local historyDisplay = message('history-link-display') local historyLink = makeWikilink("Special:PageHistory/" .. docTitle.prefixedText, historyDisplay) return message('transcluded-from-blurb', {docLink}) .. '' .. makeToolbar(editLink, historyLink) .. '<br />' elseif env.subjectSpace == 828 then -- /doc does not exist; ask to create it. local createUrl = docTitle:canonicalUrl{action = 'edit', preload = message('module-preload')} local createDisplay = message('create-link-display') local createLink = makeUrlLink(createUrl, createDisplay) return message('create-module-doc-blurb', {createLink}) .. '<br />' end end function p.makeExperimentBlurb(args, env) --[[ -- Renders the text "Editors can experiment in this template's sandbox (edit | diff) and testcases (edit) pages." -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- -- Messages: -- 'sandbox-link-display' --> 'sandbox' -- 'sandbox-edit-link-display' --> 'edit' -- 'compare-link-display' --> 'diff' -- 'module-sandbox-preload' --> 'Template:Documentation/preload-module-sandbox' -- 'template-sandbox-preload' --> 'Template:Documentation/preload-sandbox' -- 'sandbox-create-link-display' --> 'create' -- 'mirror-edit-summary' --> 'Create sandbox version of $1' -- 'mirror-link-display' --> 'mirror' -- 'mirror-link-preload' --> 'Template:Documentation/mirror' -- 'sandbox-link-display' --> 'sandbox' -- 'testcases-link-display' --> 'testcases' -- 'testcases-edit-link-display'--> 'edit' -- 'template-sandbox-preload' --> 'Template:Documentation/preload-sandbox' -- 'testcases-create-link-display' --> 'create' -- 'testcases-link-display' --> 'testcases' -- 'testcases-edit-link-display' --> 'edit' -- 'module-testcases-preload' --> 'Template:Documentation/preload-module-testcases' -- 'template-testcases-preload' --> 'Template:Documentation/preload-testcases' -- 'experiment-blurb-module' --> 'Editors can experiment in this module's $1 and $2 pages.' -- 'experiment-blurb-template' --> 'Editors can experiment in this template's $1 and $2 pages.' --]] local subjectSpace = env.subjectSpace local templateTitle = env.templateTitle local sandboxTitle = env.sandboxTitle local testcasesTitle = env.testcasesTitle local templatePage = templateTitle.prefixedText if not subjectSpace or not templateTitle or not sandboxTitle or not testcasesTitle then return nil end -- Make links. local sandboxLinks, testcasesLinks if sandboxTitle.exists then local sandboxPage = sandboxTitle.prefixedText local sandboxDisplay = message('sandbox-link-display') local sandboxLink = makeWikilink(sandboxPage, sandboxDisplay) local sandboxEditDisplay = message('sandbox-edit-link-display') local sandboxEditLink = makeWikilink("Special:EditPage/" .. sandboxPage, sandboxEditDisplay) local compareUrl = env.compareUrl local compareLink if compareUrl then local compareDisplay = message('compare-link-display') compareLink = makeUrlLink(compareUrl, compareDisplay) end sandboxLinks = sandboxLink .. 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'' .. makeToolbar(testcasesCreateLink) end local messageName if subjectSpace == 828 then messageName = 'experiment-blurb-module' else messageName = 'experiment-blurb-template' end return message(messageName, {sandboxLinks, testcasesLinks}) end function p.makeCategoriesBlurb(args, env) --[[ -- Generates the text "Please add categories to the /doc subpage." -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- Messages: -- 'doc-link-display' --> '/doc' -- 'add-categories-blurb' --> 'Please add categories to the $1 subpage.' --]] local docTitle = env.docTitle if not docTitle then return nil end local docPathLink = makeWikilink(docTitle.prefixedText, message('doc-link-display')) return message('add-categories-blurb', {docPathLink}) end function p.makeSubpagesBlurb(args, env) --[[ -- Generates the "Subpages of this template" link. -- @args - a table of arguments passed by the user -- @env - environment table containing title objects, etc., generated with p.getEnvironment -- Messages: -- 'template-pagetype' --> 'template' -- 'module-pagetype' --> 'module' -- 'default-pagetype' --> 'page' -- 'subpages-link-display' --> 'Subpages of this $1' --]] local subjectSpace = env.subjectSpace local templateTitle = env.templateTitle if not subjectSpace or not templateTitle then return nil end local pagetype if subjectSpace == 10 then pagetype = message('template-pagetype') elseif subjectSpace == 828 then pagetype = message('module-pagetype') else pagetype = message('default-pagetype') end local subpagesLink = makeWikilink( 'Special:PrefixIndex/' .. templateTitle.prefixedText .. 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message('display-strange-usage-category', nil, 'boolean') and ( subpage == message('doc-subpage') or subjectSpace ~= 828 and subpage == message('testcases-subpage') ) then return makeCategoryLink(message('strange-usage-category')) end return '' end return p enlsum4q166qtxlcjz6jh9vojzfgo94 高中数学/预备知识/算术与代数 0 30811 186719 182943 2026-08-10T06:28:26Z Ffffffox12 69004 /* 对比系数与待定系数法 */ 将例题4“参考解答”部分中符号错误的“x+3y”改为“x-3y” 186719 wikitext text/x-wiki == 阅读指南 == [[File: Crystal Clear app gnome.png | Crystal Clear app gnome | 50px]] 学习高中数学的读者应该具备一定程度的初中/国中数学知识基础，同时高中可能会需要用到少量在先前阶段没有作为重点学习过的知识。本节例举了一些学习高中数学必须掌握的算术与代数预备知识，并刻意撇去了一部分在高中阶段几乎不怎么会用到的初中/国中知识。读者可以速览本节内容，以便查漏补缺，减少知识死角。 高中数学的代数、函数运算技巧考察更多、更灵活，所以初中的代数、函数相关的基本功尤为重要。 出于篇幅不宜过长、内容不宜过杂的考虑，我们将“算术-代数”与“函数”的预备知识划入不同的章节。由于代数与函数图象确实有很密切的关系，我们只得将部分同时涉及一次函数、二次函数与反比例函数的解方程知识移入了[[高中数学/预备知识/函数|函数预备知识]]一节，本节只会较少地提及它们。 == 基础知识 == 我们在这里给出对高中有用的初中算术与代数基础知识脉络，并以粗体显示其中重要性较大的知识点。 === 实数及其运算 === {{Wikipedia|实数}} {{Wikipedia|绝对值}} {{Wikipedia|开方}} 有关“数与运算”，读者应该掌握的基础知识： * 整数、自然数、奇数、偶数、分数、余数、小数的概念 * 正负数的四则运算以及去括号的注意事项 * 负数、数轴与绝对值的概念 * '''绝对值的几何意义''' * 有理数与无理数的区别 * '''有理数与无理数的四则运算''' * '''乘方、开方与算术平方根的概念''' * '''含根号分母的有理化''' * '''熟记整数1～20的平方值''' * 熟记2的10以内的整数次方的结果值 * '''负幂次的含义''' * 整数开方的取值估计 小学接触过的加、减、乘、除统称为四则运算。按照约定，在包含多种运算的混合算式中，应该先计数乘除法，再计算加减法。必要时可以通过添加小括号改变默认的运输优先顺序。当算式中出现多层括号时，依然是约定总是先计算完最内层的小括号，再计算外层的算式。 为了计数的方便，参与四则运算的数字可以大于零，也可以小于零。大于零的数叫做'''正数'''（'''positive number'''），小于零的数叫做'''负数'''（'''negative number'''），零既不是正数也不是负数。正数、零、负数之间可以进行绝大多数的四则运算，只有在除法中零不能作为除数是一个特殊例外。 初中范围内所有学过的数都可以比较大小，所以我们可以将它们表示在同一条有方向的直线上，这就是'''数轴'''或'''数线'''（'''number line'''）。数轴上的每一个点都与一个数一一对应。其中数字0所在的点叫做数轴的'''原点'''。数轴一般沿着水平向右的方向画出。数轴上的数默认从左往右依次增大，点与点之间的间距代表对应点之间的数值大小差异。 如果以原点为界，则数轴上的数可以分为正数、负数和零这3类： * 数轴上与负数对应的点都在位于原点右侧。 * 0刚好位数轴的于原点上。 * 数轴上与正数对应的点都在位于原点左侧。 数轴上的任意一个数字与零的间距大小叫做这个数字的'''绝对值'''（'''absolute value'''）。x的绝对值记为|x|。绝对值永远是非负的数，即<math>|x| \ge 0</math>。 自然数包括零和一切正整数。 所有能表示为2个整数之商的数都叫做'''有理数'''或'''比例数'''（'''rational number'''）。为了一类乘除性计算的方便，我们为有理数规定了乘方（幂）、开方的运算，由此不可避免地导致非有理数的出现。可以与其它有理数比较大小，但是不能表示为2个整数之商的数叫做'''无理数'''或'''非比例数'''（'''irrational number'''）。无理数是存在的，并且它们的对应点和有理数的对应点一样都分布在数轴上。有理数可以表示为有限循环小数，无理数则是无限不循环小数。 由于对于有理数和无理数，都可以规定相似的运算法则，我们因而在很大程度上可以将其作为同类事物加以研究。为了区别后面将要介绍的另一种数字，我们将有理数和无理数合称为'''实数'''（'''real number(s)'''）。 === 整式、分式与根式 === {{Wikipedia|多项式}} {{Wikipedia|因式分解}} {{Wikipedia|分式}} 有关“代数式基础”，读者应该掌握的基础知识： * 整式、分式与根式的概念 * n元多项式、n次多项式及其标准形式、'''齐次和式'''的概念 * '''完全平方公式（简单的配方法）、平方差公式''' * '''平方和与平方差的转换技巧''' * '''套用代数公式时的整体代换思想''' * '''因式分解''' * 方程、解（根）、移项、等价变形的概念 * 一元一次方程的列式与求解 含有未知数的等式叫做'''方程'''（法语：'''équation'''）。英语中说的“equation”可以泛指等式或方程。阿拉伯人把方程的解也叫做方程的'''根'''（'''root'''）。 有关“比例、分式方程与二次根式”，读者应该掌握的基础知识： * 比例与分式的对应关系 * '''比例的合分比等性质''' * 正比例与反比例的概念 * '''分式方程的基本性质''' * '''增根与丢根现象及其解决办法''' * '''二次根式及其分母有理化''' === 解方程组 === {{Wikipedia|线性方程组}} 有关“解方程组”，读者应该掌握的基础知识： * '''二元一次方程组及其消元法与代入法''' * 了解三元一次方程组的求解 * '''直接或间接消元的思想、整体代换（设而不求）的思想''' * 了解方程独立性的概念 === 方程的同解性与分式方程 === {{Wikipedia|分式方程}} 解方程时需要进行代数变形，不过此过程中可能会因为变形前后形式的不完全等价性，导致出现解的范围发生变化，出现漏根或增根的问题。要防止漏解，应该检查每一步变形的等价性，记录可能遗漏的情形；要防止出现原先不应该有的增解，应该将最后得到的解带入原来的分式中，舍弃无效的解。 === 不等关系的基本性质 === 有关“简单的不等式性质”，读者应该掌握的基础知识： * 不等式的简单性质及其传递性 * 不等式的叠加规则 * '''在不等式两侧乘除系数时的注意事项''' {{Wikipedia|不等式}} 表达'''不等性'''（'''inequality'''）的式子叫做'''不等式'''（'''inequation'''），例如<math>a + 3 \neq 5</math>。大于与小于叫做互为'''反序关系'''（'''converse relation'''）。 我们更加感兴趣的是具有确定大小次序关系的不等式，即用下列符号表示的不等关系： * '''严格大于'''（'''strictly greater than'''）：> * '''严格小于'''（'''strictly less than'''）：< * '''大于或等于'''（'''greater than or equal to'''）：≤或⩽ * '''小于或等于'''（'''less than or equal to'''）：≥或⩾ [[File:Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]] 提示：<math>a > 0</math>且<math>b > 0</math>有时会简写为<math>a, b > 0</math>。一般不把<math>a < b, b < c</math>当作不等式链理解，即它只被看成<math>a < b</math>且<math>b < c</math>。 这种不等号表示的关系有时可以组成单方向的不等式链条，叫'''不等式链'''（'''chain of inequations'''）。例如：<math>a < b < c \le d</math>。 不等式有一大堆与等式相似的基本性质，可以用于不等关系的推理或证明，而且也需要注意推导是否是等价的变形。<ref>{{cite book |title=孙维刚高中数学 |author=[[w:孙维刚|孙维刚]] |editor=温丹丹 |series=名家导学系列 |publisher=北京大学出版社 |location=中国北京市海淀区中关村北京大学校内 |section=第2篇“高中数学各章学习指要”第2部分“高中代数”第10章“不等式” |pages=119-123 |edition=1 |isbn=7-301-08497-8 |language=zh-cn |year=2005}}</ref> 等价变形： * <math>a > b \Leftrightarrow b < a</math>（'''反对称性'''，'''antisymmetric'''） * <math>a - b > 0 \Leftrightarrow a > b</math> * <math>a > b \Leftrightarrow a + c > b + c</math> * <math>a + x > b \Leftrightarrow a > b - x</math> 单方向推导： * <math>a > b</math>且<math>b > c \Rightarrow a > b > c</math>（'''传递性'''，'''transitive property'''） * <math>a > b</math>且<math>c > d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + c > b + d \\ a - d > b - c \end{array} \right. </math> * <math>a > b</math>且<math>c > 0 \Rightarrow ac > bc</math> * <math>a > b</math>且<math>c < 0 \Rightarrow ac < bc</math> * <math> \left\{ \begin{array}{l} a > b > 0 \\ c > d > 0 \end{array} \right. \Rightarrow ac > bd</math> * <math>a > b > 0 \Rightarrow a^n > b^n \quad (n \in \mathbb{N}^+)</math> * <math>a > b > 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b} \quad (n \in \mathbb{N}^+)</math> 以上只列举出了大于和小于号的运算性质。大于等于或小于等于的性质与之完全相似，不再赘述。 大于等于或小于等于关系与等价关系一样，还满足'''自反性'''（'''reflexive property'''）：<br /> <math>a \le a, a \ge a</math> [[File:Crystal Clear app error.png | Crystal Clear app error | 50px]] 注意：一般来说，涉及乘除法时需要特别留意乘除的倍数是正数还是负数。当不等式的两端同时乘以或除以同一个负数的时候，不等式号要改变符号方向。 还有其它较少见的表达不等关系的符号，其中在中学数学中偶尔能见到的有'''远大于'''（'''much less than'''，记作“>>”）和'''远小于'''（'''much greater than'''，记作“<<”）符号。 <!-- 本小节例题1 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 比较<math>\frac{1}{\sqrt{4}}</math>与<math>\frac{1}{\sqrt{5}}</math>的大小。 <!-- 本小节例题2 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 解不等式<math>\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{2x}</math>。 <!-- 本小节例题3 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 解不等式<math>\sqrt{x} \ge \sqrt[3]{x}</math>。 <!-- 本小节例题4 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 求证将2个电阻[[w:并联电路|并联]]后，总的等效电阻值会小于原来的任何一个单电阻的阻值。 <!-- 本小节例题5 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 设<math>c \ge 1, a, b > 0</math>，求证<math>\sqrt{a + c \sqrt{b}} \le \sqrt{c} \sqrt{a + \sqrt{b}}</math>。 === 简单分式不等式的求解 === 包含分式的不等式叫'''分式不等式'''。例如<math>\frac{x + 1}{x - 2} + 3 > \frac{2}{x + 2}</math>。求解分式不等式中的变量取值范围时，除了要像解方程时一样防止进行代数变形时可能产生的漏解或增解问题，还要注意不等式是否会变号的问题。 <!-- 本小节例题1 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 解不等式：<math>\frac{x+1}{x-1} > 2</math>。 <!-- 本小节例题2 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 解不等式：<math>\frac{3x+1}{x} > 2x-1</math>。 === 代数应用问题 === 有关“代数基础应用问题模型”，读者应该掌握的基础知识： * 利率以及复利的计算 * 简单的工程问题、行程问题、年龄问题的求解 * 鸡兔同笼等双未知量问题的列式求解 == 常用结论与常见模型 == === 分母的有理化 === {{Wikipedia|分母有理化}} 分母的有理化常见操作： * <math>\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}</math> * <math>\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}</math> * <math>\frac{1}{a + \sqrt{b}} = \frac{a - \sqrt{b}}{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})} = \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b}</math> * <math>\frac{1}{a - \sqrt{b}} = \frac{a + \sqrt{b}}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{a + \sqrt{b}}{a^2 - b}</math> === 比例的性质补充 === 关于比例（分数或分式），有下列性质值得注意： * 合分比性质：已知<math>a, b, c, d \in \mathbb{C}</math>，且有<math>b \neq 0, d \neq 0</math>，如果<math>\frac a b = \frac c d</math>，则有<math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}</math>。 * 等比性质：已知<math>a, b, c, d \in \mathbb{C}</math>，且有<math>b \neq 0, d \neq 0</math>，如果<math>\frac a b = \frac c d</math>，则有<math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math>。 黄金分割率满足下列特殊等式： * <math>\phi = \frac{1}{\phi} + 1</math>或<math>\phi^2 - \phi - 1 = 0</math> === 十字相乘法分解因式 === === 对比系数与待定系数法 === 对比系数与待定系数法在数学中有众多应用： * 分式拆分 * 因式分解（配方法、十字相乘法、结果唯一性的证明） * 有理方程的试根法（rational root test）或克罗内克方法（Kronecker method） * 裂项法 * 多项式恒等问题 * [[高中数学/预备知识/函数#一次函数|直线与曲线方程的未知参数求解]] <!-- 本小节例题1 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 已知<math>\frac{4x + 1}{(x-2) (x-5)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x-2}</math>，求A、B的值。 当分式可以拆成的简单分式（分子皆为常数）较多时，其实上述直接比较系数的做法也可行，但是会比较繁琐。后面会学到，基于极限理论的[[高中数学/微积分初步/极限#黑维塞分数拆分法|黑维塞分数拆分法]]能够更快解决上述分式拆分问题。 <!-- 本小节例题2 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 已知<math>a = 2005, b = 2006</math>，求<math>(a + b) \cdot \frac{a^2 + b^2}{a^4 - b^4}</math>的值。 <!-- 本小节例题3 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知<math>\forall x \in \mathbb{R}, ax^2 + (b+1)x + c = (x+4)(x-3)</math>，求a、b、c的值。 <!-- 本小节例题4 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 分解因式：<math>2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6</math>。 <!-- 本小节例题4的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>参考解答：<br /> 易知原式等价于<math>(2x+y)(x-3y) + (x+11y-6)</math>。<br /> 可设原式可分解成<math>(2x+y+m) (x-3y+n)</math>的形式。<br /> <math>(2x+y+m) (x-3y+n) = 2x^2 - 5xy - 3y^2 + (m+2n) x + (n-3m) y + mn</math><br /> 要使得上式与原式等价，只需要保证展开后的各项系数同时对应相等。即：<br /> <math> \left\{ \begin{array}{l} m + 2n = 1 \\ n - 3m = 11 \\ mn = -6 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} m = -3 \\ n = 2 \end{array} \right. </math><br /> 即<math>2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6 = (2x+y+m) (x-3y+n) = (2x+y-3) (x-3y+2)</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：<math>(2x+y-3) (x+3y+2)</math>。</p> </div> <!-- 本小节例题5 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 分解因式：<math>x^3 - 4x^2 + 2x + 1</math>。 === 平方转化与立方和差公式 === {{Wikipedia|立方和}} 常见的平方关系转化： * <math>(a + \frac 1 a)^2 = (a^2 + \frac{1}{a^2}) + 2</math> * <math>(a - \frac 1 a)^2 = (a^2 + \frac{1}{a^2}) - 2</math> * <math>(a + \frac 1 a)^2 = (a - \frac 1 a)^2 + 4</math> 立方和差公式： * <math>a^3 \pm b^3 = (a \pm b) (a^2 \mp ab + b^2)</math> === 整体代换思想 === 整体代换是一种结合条件和问题形式特点，避免硬算出所有中间结果的技巧。 <!-- 本小节例题1 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 已知<math>a + b = 4, ab = 3</math>，求<math>\frac a b + \frac b a</math>的值。 对于已知信息为比例式，待求值的式子为齐次代数式的情形，往往要优先想到利用整体代换的思想求解。 <!-- 本小节例题2 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 已知<math>\frac a b = 2</math>，求<math>\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + b^2}</math>的值。 <!-- 本小节例题3 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知<math>\frac b a = \frac{9}{10}</math>，求<math>(1 - \frac b a)^{2005} \cdot (\frac{a}{b-a})^{2008}</math>的值。 有些题目只适合使用整体代换的方法巧解。用基础方法硬算反而会将这类问题复杂化，甚至变得需要分类讨论。 <!-- 本小节例题4 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 已知<math>x + \frac 1 x = 3</math>，求<math>\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}</math>的值。 <!-- 本小节例题5 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 已知<math>x^2 - 5x + 1 = 0</math>，求<math>x^2 + \frac{1}{x^2}</math>的值。 <!-- 本小节例题6 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题6： 已知<math>\frac{1}{2a^2 + 3b + 7} = \frac 1 8</math>，求<math>\frac{1}{4a^2 + 6b - 9}</math>的值。 <!-- 本小节例题7 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题7： 已知<math>2^k - \frac{3}{2^k} - a = 0 \quad (k \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R})</math>，用含a的代数式表示<math>8^k</math>的值。 === 糖水不等式 === '''糖水不等式'''是指：假设<math>0 < a < b, c > 0</math>，则有<math>\frac a b < \frac{a+c}{b+c}</math>。 它的直观意义是：往糖水里加糖，会变得更甜。（假设糖在糖水中的质量比例能代表糖水甜度，且加糖后含糖比例不超出糖水的[[w:饱和度|饱和度]]范围。） 证明：通过做差法处理 <math>\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)} = \frac{ab + bc - ab - ac}{b(b+c)}</math> 由于 <math>b > a > 0,\ c>0</math>，所以分子 <math>c(b-a) > 0</math>，分母 <math>b(b+c) > 0</math>，因此 <math>\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} > 0</math> 即 <math>\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}</math> [[File: Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]] 提示：糖水不等式没有正式的英文称呼。 这个不等式虽然形式看似简单，却也是构成后面[[高中数学/不等式与数列/利用放缩法证明不等式|不等式放缩技巧]]的基石。 === 绝对值不等式 === {{Wikipedia|绝对值不等式}} 关于绝对值的简单比较，有下列'''绝对值不等式'''成立： : <math>\forall a, b \in \mathbb{R}, \mid \shortmid a \shortmid - \shortmid b \shortmid \mid \leqslant \mid a \pm b \mid \leqslant \mid a \mid + \mid b \mid</math> 上式中的2个等号不会同时成立，但是各自取等的条件都只可能是a = b或a = -b。 [[File: Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]] 提示：绝对值不等式没有正式的英文称呼。英文中的“绝对值不等式”（absolute value inequality）常常是泛指一切包含绝对值符号的代数不等式。 后面会学到，绝对值不等式可以看作是[[高中数学/向量与复数/向量的恒等式与不等式|三角不等式]]的特例，后者更易理解。 == 补充习题 == [[File: Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]] [[File: Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]] * 已知<math>\frac 1 a + \frac 1 b = \frac{1}{a+b}</math>，求<math>\frac a b + \frac b a</math>的值。 * 已知<math>x^2 - 3x + 1 = 0</math>，分别求<math>x^2 + \frac{1}{x^2}</math>和<math>x^4 + \frac{1}{x^4}</math>的值。 * 已知<math>a - b = ab</math>，求<math>\frac 1 a - \frac 1 b</math>的值。 * 已知<math>a^2 - 4ab + 4b^2 = 0</math>，求<math>\frac{a-b}{a+b}</math>的值。 * 已知1 + a与1 - b互为倒数，且<math>ab \neq 0</math>，求<math>\frac 1 a - \frac 1 b</math>的值。 * 已知<math>\frac 1 a - \frac 1 b = 3</math>，求<math>\frac{5a + 3ab - 5b}{3a - ab - 3b}</math>的值。 == 参见 == * [[初中数学/目录/算术与代数]] * [[算术]] * [[代数]] * [[多项式]] == 参考资料 == {{Reflist}} {{DEFAULTSORT: fundamentals and preliminaries of arithmetics and algebra}} [[category:清单|high school]] [[category:高中数学|preliminaries]] a5zbdlipdhjoxxo0xw7rp0x7jitafb6 186721 186719 2026-08-10T06:39:03Z Ffffffox12 69004 /* 对比系数与待定系数法 */ 修改答案中错误的的x+3y至x-3y 186721 wikitext text/x-wiki == 阅读指南 == [[File: Crystal Clear app gnome.png | Crystal Clear app gnome | 50px]] 学习高中数学的读者应该具备一定程度的初中/国中数学知识基础，同时高中可能会需要用到少量在先前阶段没有作为重点学习过的知识。本节例举了一些学习高中数学必须掌握的算术与代数预备知识，并刻意撇去了一部分在高中阶段几乎不怎么会用到的初中/国中知识。读者可以速览本节内容，以便查漏补缺，减少知识死角。 高中数学的代数、函数运算技巧考察更多、更灵活，所以初中的代数、函数相关的基本功尤为重要。 出于篇幅不宜过长、内容不宜过杂的考虑，我们将“算术-代数”与“函数”的预备知识划入不同的章节。由于代数与函数图象确实有很密切的关系，我们只得将部分同时涉及一次函数、二次函数与反比例函数的解方程知识移入了[[高中数学/预备知识/函数|函数预备知识]]一节，本节只会较少地提及它们。 == 基础知识 == 我们在这里给出对高中有用的初中算术与代数基础知识脉络，并以粗体显示其中重要性较大的知识点。 === 实数及其运算 === {{Wikipedia|实数}} {{Wikipedia|绝对值}} {{Wikipedia|开方}} 有关“数与运算”，读者应该掌握的基础知识： * 整数、自然数、奇数、偶数、分数、余数、小数的概念 * 正负数的四则运算以及去括号的注意事项 * 负数、数轴与绝对值的概念 * '''绝对值的几何意义''' * 有理数与无理数的区别 * '''有理数与无理数的四则运算''' * '''乘方、开方与算术平方根的概念''' * '''含根号分母的有理化''' * '''熟记整数1～20的平方值''' * 熟记2的10以内的整数次方的结果值 * '''负幂次的含义''' * 整数开方的取值估计 小学接触过的加、减、乘、除统称为四则运算。按照约定，在包含多种运算的混合算式中，应该先计数乘除法，再计算加减法。必要时可以通过添加小括号改变默认的运输优先顺序。当算式中出现多层括号时，依然是约定总是先计算完最内层的小括号，再计算外层的算式。 为了计数的方便，参与四则运算的数字可以大于零，也可以小于零。大于零的数叫做'''正数'''（'''positive number'''），小于零的数叫做'''负数'''（'''negative number'''），零既不是正数也不是负数。正数、零、负数之间可以进行绝大多数的四则运算，只有在除法中零不能作为除数是一个特殊例外。 初中范围内所有学过的数都可以比较大小，所以我们可以将它们表示在同一条有方向的直线上，这就是'''数轴'''或'''数线'''（'''number line'''）。数轴上的每一个点都与一个数一一对应。其中数字0所在的点叫做数轴的'''原点'''。数轴一般沿着水平向右的方向画出。数轴上的数默认从左往右依次增大，点与点之间的间距代表对应点之间的数值大小差异。 如果以原点为界，则数轴上的数可以分为正数、负数和零这3类： * 数轴上与负数对应的点都在位于原点右侧。 * 0刚好位数轴的于原点上。 * 数轴上与正数对应的点都在位于原点左侧。 数轴上的任意一个数字与零的间距大小叫做这个数字的'''绝对值'''（'''absolute value'''）。x的绝对值记为|x|。绝对值永远是非负的数，即<math>|x| \ge 0</math>。 自然数包括零和一切正整数。 所有能表示为2个整数之商的数都叫做'''有理数'''或'''比例数'''（'''rational number'''）。为了一类乘除性计算的方便，我们为有理数规定了乘方（幂）、开方的运算，由此不可避免地导致非有理数的出现。可以与其它有理数比较大小，但是不能表示为2个整数之商的数叫做'''无理数'''或'''非比例数'''（'''irrational number'''）。无理数是存在的，并且它们的对应点和有理数的对应点一样都分布在数轴上。有理数可以表示为有限循环小数，无理数则是无限不循环小数。 由于对于有理数和无理数，都可以规定相似的运算法则，我们因而在很大程度上可以将其作为同类事物加以研究。为了区别后面将要介绍的另一种数字，我们将有理数和无理数合称为'''实数'''（'''real number(s)'''）。 === 整式、分式与根式 === {{Wikipedia|多项式}} {{Wikipedia|因式分解}} {{Wikipedia|分式}} 有关“代数式基础”，读者应该掌握的基础知识： * 整式、分式与根式的概念 * n元多项式、n次多项式及其标准形式、'''齐次和式'''的概念 * '''完全平方公式（简单的配方法）、平方差公式''' * '''平方和与平方差的转换技巧''' * '''套用代数公式时的整体代换思想''' * '''因式分解''' * 方程、解（根）、移项、等价变形的概念 * 一元一次方程的列式与求解 含有未知数的等式叫做'''方程'''（法语：'''équation'''）。英语中说的“equation”可以泛指等式或方程。阿拉伯人把方程的解也叫做方程的'''根'''（'''root'''）。 有关“比例、分式方程与二次根式”，读者应该掌握的基础知识： * 比例与分式的对应关系 * '''比例的合分比等性质''' * 正比例与反比例的概念 * '''分式方程的基本性质''' * '''增根与丢根现象及其解决办法''' * '''二次根式及其分母有理化''' === 解方程组 === {{Wikipedia|线性方程组}} 有关“解方程组”，读者应该掌握的基础知识： * '''二元一次方程组及其消元法与代入法''' * 了解三元一次方程组的求解 * '''直接或间接消元的思想、整体代换（设而不求）的思想''' * 了解方程独立性的概念 === 方程的同解性与分式方程 === {{Wikipedia|分式方程}} 解方程时需要进行代数变形，不过此过程中可能会因为变形前后形式的不完全等价性，导致出现解的范围发生变化，出现漏根或增根的问题。要防止漏解，应该检查每一步变形的等价性，记录可能遗漏的情形；要防止出现原先不应该有的增解，应该将最后得到的解带入原来的分式中，舍弃无效的解。 === 不等关系的基本性质 === 有关“简单的不等式性质”，读者应该掌握的基础知识： * 不等式的简单性质及其传递性 * 不等式的叠加规则 * '''在不等式两侧乘除系数时的注意事项''' {{Wikipedia|不等式}} 表达'''不等性'''（'''inequality'''）的式子叫做'''不等式'''（'''inequation'''），例如<math>a + 3 \neq 5</math>。大于与小于叫做互为'''反序关系'''（'''converse relation'''）。 我们更加感兴趣的是具有确定大小次序关系的不等式，即用下列符号表示的不等关系： * '''严格大于'''（'''strictly greater than'''）：> * '''严格小于'''（'''strictly less than'''）：< * '''大于或等于'''（'''greater than or equal to'''）：≤或⩽ * '''小于或等于'''（'''less than or equal to'''）：≥或⩾ [[File:Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]] 提示：<math>a > 0</math>且<math>b > 0</math>有时会简写为<math>a, b > 0</math>。一般不把<math>a < b, b < c</math>当作不等式链理解，即它只被看成<math>a < b</math>且<math>b < c</math>。 这种不等号表示的关系有时可以组成单方向的不等式链条，叫'''不等式链'''（'''chain of inequations'''）。例如：<math>a < b < c \le d</math>。 不等式有一大堆与等式相似的基本性质，可以用于不等关系的推理或证明，而且也需要注意推导是否是等价的变形。<ref>{{cite book |title=孙维刚高中数学 |author=[[w:孙维刚|孙维刚]] |editor=温丹丹 |series=名家导学系列 |publisher=北京大学出版社 |location=中国北京市海淀区中关村北京大学校内 |section=第2篇“高中数学各章学习指要”第2部分“高中代数”第10章“不等式” |pages=119-123 |edition=1 |isbn=7-301-08497-8 |language=zh-cn |year=2005}}</ref> 等价变形： * <math>a > b \Leftrightarrow b < a</math>（'''反对称性'''，'''antisymmetric'''） * <math>a - b > 0 \Leftrightarrow a > b</math> * <math>a > b \Leftrightarrow a + c > b + c</math> * <math>a + x > b \Leftrightarrow a > b - x</math> 单方向推导： * <math>a > b</math>且<math>b > c \Rightarrow a > b > c</math>（'''传递性'''，'''transitive property'''） * <math>a > b</math>且<math>c > d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + c > b + d \\ a - d > b - c \end{array} \right. </math> * <math>a > b</math>且<math>c > 0 \Rightarrow ac > bc</math> * <math>a > b</math>且<math>c < 0 \Rightarrow ac < bc</math> * <math> \left\{ \begin{array}{l} a > b > 0 \\ c > d > 0 \end{array} \right. \Rightarrow ac > bd</math> * <math>a > b > 0 \Rightarrow a^n > b^n \quad (n \in \mathbb{N}^+)</math> * <math>a > b > 0 \Rightarrow \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b} \quad (n \in \mathbb{N}^+)</math> 以上只列举出了大于和小于号的运算性质。大于等于或小于等于的性质与之完全相似，不再赘述。 大于等于或小于等于关系与等价关系一样，还满足'''自反性'''（'''reflexive property'''）：<br /> <math>a \le a, a \ge a</math> [[File:Crystal Clear app error.png | Crystal Clear app error | 50px]] 注意：一般来说，涉及乘除法时需要特别留意乘除的倍数是正数还是负数。当不等式的两端同时乘以或除以同一个负数的时候，不等式号要改变符号方向。 还有其它较少见的表达不等关系的符号，其中在中学数学中偶尔能见到的有'''远大于'''（'''much less than'''，记作“>>”）和'''远小于'''（'''much greater than'''，记作“<<”）符号。 <!-- 本小节例题1 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 比较<math>\frac{1}{\sqrt{4}}</math>与<math>\frac{1}{\sqrt{5}}</math>的大小。 <!-- 本小节例题2 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 解不等式<math>\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{2x}</math>。 <!-- 本小节例题3 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 解不等式<math>\sqrt{x} \ge \sqrt[3]{x}</math>。 <!-- 本小节例题4 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 求证将2个电阻[[w:并联电路|并联]]后，总的等效电阻值会小于原来的任何一个单电阻的阻值。 <!-- 本小节例题5 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 设<math>c \ge 1, a, b > 0</math>，求证<math>\sqrt{a + c \sqrt{b}} \le \sqrt{c} \sqrt{a + \sqrt{b}}</math>。 === 简单分式不等式的求解 === 包含分式的不等式叫'''分式不等式'''。例如<math>\frac{x + 1}{x - 2} + 3 > \frac{2}{x + 2}</math>。求解分式不等式中的变量取值范围时，除了要像解方程时一样防止进行代数变形时可能产生的漏解或增解问题，还要注意不等式是否会变号的问题。 <!-- 本小节例题1 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 解不等式：<math>\frac{x+1}{x-1} > 2</math>。 <!-- 本小节例题2 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 解不等式：<math>\frac{3x+1}{x} > 2x-1</math>。 === 代数应用问题 === 有关“代数基础应用问题模型”，读者应该掌握的基础知识： * 利率以及复利的计算 * 简单的工程问题、行程问题、年龄问题的求解 * 鸡兔同笼等双未知量问题的列式求解 == 常用结论与常见模型 == === 分母的有理化 === {{Wikipedia|分母有理化}} 分母的有理化常见操作： * <math>\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}</math> * <math>\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}</math> * <math>\frac{1}{a + \sqrt{b}} = \frac{a - \sqrt{b}}{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})} = \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 - b}</math> * <math>\frac{1}{a - \sqrt{b}} = \frac{a + \sqrt{b}}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{a + \sqrt{b}}{a^2 - b}</math> === 比例的性质补充 === 关于比例（分数或分式），有下列性质值得注意： * 合分比性质：已知<math>a, b, c, d \in \mathbb{C}</math>，且有<math>b \neq 0, d \neq 0</math>，如果<math>\frac a b = \frac c d</math>，则有<math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}</math>。 * 等比性质：已知<math>a, b, c, d \in \mathbb{C}</math>，且有<math>b \neq 0, d \neq 0</math>，如果<math>\frac a b = \frac c d</math>，则有<math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math>。 黄金分割率满足下列特殊等式： * <math>\phi = \frac{1}{\phi} + 1</math>或<math>\phi^2 - \phi - 1 = 0</math> === 十字相乘法分解因式 === === 对比系数与待定系数法 === 对比系数与待定系数法在数学中有众多应用： * 分式拆分 * 因式分解（配方法、十字相乘法、结果唯一性的证明） * 有理方程的试根法（rational root test）或克罗内克方法（Kronecker method） * 裂项法 * 多项式恒等问题 * [[高中数学/预备知识/函数#一次函数|直线与曲线方程的未知参数求解]] <!-- 本小节例题1 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 已知<math>\frac{4x + 1}{(x-2) (x-5)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x-2}</math>，求A、B的值。 当分式可以拆成的简单分式（分子皆为常数）较多时，其实上述直接比较系数的做法也可行，但是会比较繁琐。后面会学到，基于极限理论的[[高中数学/微积分初步/极限#黑维塞分数拆分法|黑维塞分数拆分法]]能够更快解决上述分式拆分问题。 <!-- 本小节例题2 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 已知<math>a = 2005, b = 2006</math>，求<math>(a + b) \cdot \frac{a^2 + b^2}{a^4 - b^4}</math>的值。 <!-- 本小节例题3 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知<math>\forall x \in \mathbb{R}, ax^2 + (b+1)x + c = (x+4)(x-3)</math>，求a、b、c的值。 <!-- 本小节例题4 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 分解因式：<math>2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6</math>。 <!-- 本小节例题4的解答 --> <div class="collapsible answer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);"> <p>参考解答：<br /> 易知原式等价于<math>(2x+y)(x-3y) + (x+11y-6)</math>。<br /> 可设原式可分解成<math>(2x+y+m) (x-3y+n)</math>的形式。<br /> <math>(2x+y+m) (x-3y+n) = 2x^2 - 5xy - 3y^2 + (m+2n) x + (n-3m) y + mn</math><br /> 要使得上式与原式等价，只需要保证展开后的各项系数同时对应相等。即：<br /> <math> \left\{ \begin{array}{l} m + 2n = 1 \\ n - 3m = 11 \\ mn = -6 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} m = -3 \\ n = 2 \end{array} \right. </math><br /> 即<math>2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6 = (2x+y+m) (x-3y+n) = (2x+y-3) (x-3y+2)</math>。 </p> </div> <div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;"> <p>答案：<math>(2x+y-3) (x-3y+2)</math>。</p> </div> <!-- 本小节例题5 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 分解因式：<math>x^3 - 4x^2 + 2x + 1</math>。 === 平方转化与立方和差公式 === {{Wikipedia|立方和}} 常见的平方关系转化： * <math>(a + \frac 1 a)^2 = (a^2 + \frac{1}{a^2}) + 2</math> * <math>(a - \frac 1 a)^2 = (a^2 + \frac{1}{a^2}) - 2</math> * <math>(a + \frac 1 a)^2 = (a - \frac 1 a)^2 + 4</math> 立方和差公式： * <math>a^3 \pm b^3 = (a \pm b) (a^2 \mp ab + b^2)</math> === 整体代换思想 === 整体代换是一种结合条件和问题形式特点，避免硬算出所有中间结果的技巧。 <!-- 本小节例题1 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 已知<math>a + b = 4, ab = 3</math>，求<math>\frac a b + \frac b a</math>的值。 对于已知信息为比例式，待求值的式子为齐次代数式的情形，往往要优先想到利用整体代换的思想求解。 <!-- 本小节例题2 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 已知<math>\frac a b = 2</math>，求<math>\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + b^2}</math>的值。 <!-- 本小节例题3 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知<math>\frac b a = \frac{9}{10}</math>，求<math>(1 - \frac b a)^{2005} \cdot (\frac{a}{b-a})^{2008}</math>的值。 有些题目只适合使用整体代换的方法巧解。用基础方法硬算反而会将这类问题复杂化，甚至变得需要分类讨论。 <!-- 本小节例题4 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 已知<math>x + \frac 1 x = 3</math>，求<math>\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}</math>的值。 <!-- 本小节例题5 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 已知<math>x^2 - 5x + 1 = 0</math>，求<math>x^2 + \frac{1}{x^2}</math>的值。 <!-- 本小节例题6 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题6： 已知<math>\frac{1}{2a^2 + 3b + 7} = \frac 1 8</math>，求<math>\frac{1}{4a^2 + 6b - 9}</math>的值。 <!-- 本小节例题7 --> [[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题7： 已知<math>2^k - \frac{3}{2^k} - a = 0 \quad (k \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R})</math>，用含a的代数式表示<math>8^k</math>的值。 === 糖水不等式 === '''糖水不等式'''是指：假设<math>0 < a < b, c > 0</math>，则有<math>\frac a b < \frac{a+c}{b+c}</math>。 它的直观意义是：往糖水里加糖，会变得更甜。（假设糖在糖水中的质量比例能代表糖水甜度，且加糖后含糖比例不超出糖水的[[w:饱和度|饱和度]]范围。） 证明：通过做差法处理 <math>\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+c) - a(b+c)}{b(b+c)} = \frac{ab + bc - ab - ac}{b(b+c)}</math> 由于 <math>b > a > 0,\ c>0</math>，所以分子 <math>c(b-a) > 0</math>，分母 <math>b(b+c) > 0</math>，因此 <math>\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} > 0</math> 即 <math>\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+c}</math> [[File: Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]] 提示：糖水不等式没有正式的英文称呼。 这个不等式虽然形式看似简单，却也是构成后面[[高中数学/不等式与数列/利用放缩法证明不等式|不等式放缩技巧]]的基石。 === 绝对值不等式 === {{Wikipedia|绝对值不等式}} 关于绝对值的简单比较，有下列'''绝对值不等式'''成立： : <math>\forall a, b \in \mathbb{R}, \mid \shortmid a \shortmid - \shortmid b \shortmid \mid \leqslant \mid a \pm b \mid \leqslant \mid a \mid + \mid b \mid</math> 上式中的2个等号不会同时成立，但是各自取等的条件都只可能是a = b或a = -b。 [[File: Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]] 提示：绝对值不等式没有正式的英文称呼。英文中的“绝对值不等式”（absolute value inequality）常常是泛指一切包含绝对值符号的代数不等式。 后面会学到，绝对值不等式可以看作是[[高中数学/向量与复数/向量的恒等式与不等式|三角不等式]]的特例，后者更易理解。 == 补充习题 == [[File: Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]] [[File: Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]] * 已知<math>\frac 1 a + \frac 1 b = \frac{1}{a+b}</math>，求<math>\frac a b + \frac b a</math>的值。 * 已知<math>x^2 - 3x + 1 = 0</math>，分别求<math>x^2 + \frac{1}{x^2}</math>和<math>x^4 + \frac{1}{x^4}</math>的值。 * 已知<math>a - b = ab</math>，求<math>\frac 1 a - \frac 1 b</math>的值。 * 已知<math>a^2 - 4ab + 4b^2 = 0</math>，求<math>\frac{a-b}{a+b}</math>的值。 * 已知1 + a与1 - b互为倒数，且<math>ab \neq 0</math>，求<math>\frac 1 a - \frac 1 b</math>的值。 * 已知<math>\frac 1 a - \frac 1 b = 3</math>，求<math>\frac{5a + 3ab - 5b}{3a - ab - 3b}</math>的值。 == 参见 == * [[初中数学/目录/算术与代数]] * [[算术]] * [[代数]] * [[多项式]] == 参考资料 == {{Reflist}} {{DEFAULTSORT: fundamentals and preliminaries of arithmetics and algebra}} [[category:清单|high school]] [[category:高中数学|preliminaries]] swaeivjh8z34hz7vjz0c66nkuoxczvr Wikibooks:互助客棧/topic list 4 32161 186718 186701 2026-08-10T06:20:53Z Cewbot 42738 [[User:Cewbot/log/20170915/configuration|生成議題列表：6個議題]] 186718 wikitext text/x-wiki <!-- 本頁面由機器人自動更新。若要改進，請聯繫機器人操作者。 --> {| class="wikitable sortable mw-collapsible" style="float:left;" |- ! data-sort-type="number" style="font-weight: normal;" | <small>#</small> !! 💭 話題 !! <span title="發言數/發言人次 (實際上為計算簽名數)">💬</span> !! <span title="參與討論人數/發言人數">👥</span> !! 🙋 最新發言 !! data-sort-type="isoDate" | <span title="最後更新">🕒 <small>(UTC+8)</small></span> |- | style="text-align: right;" | 1 | [[:Wikibooks:互助客棧#再谈改名建议|再谈改名建议]] | style="text-align: right;background-color: #ffe;" | 46 | style="text-align: right;" | 22 | [[User:Addonian1123|Addonian1123]] | data-sort-type="isoDate" data-sort-value="2026-08-08T06:18:00.000Z" | 2026-08-08 <span style="color: blue;">14:18</span> |- | style="text-align: right;" 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data-sort-type="isoDate" data-sort-value="2026-07-31T06:23:00.000Z" | 2026-07-31 <span style="color: blue;">14:23</span> |} {| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="float: left; margin-left: .5em;;{{#if:{{{no_time_legend|}}}|display:none;|}}" ! title="From the latest bot edit" | 發言更新圖例 |- | style="background-color: #efe;" | * 最近一小時內 |- | style="background-color: #eef;" | * 最近一日內 |- | | * 一週內 |- | style="background-color: #ddd;" | * 一個月內 |- | style="background-color: #bbb;" | * 逾一個月 |- ! 特殊狀態 |- | style="text-decoration: line-through" | 已移動至其他頁面<br />或完成討論之議題 |- ! 手動設定 |- | style="max-width: 12em;" | <small>當列表出現異常時，<br />請先檢查[[User:Cewbot/log/20170915/configuration|設定]]是否有誤</small> |- |} {{Clear}} 08kbv2mbj3pyvz4n2pmopi20q3kbw7n 现代标准汉语 0 32793 186724 186615 2026-08-10T06:51:58Z 魔琴 49316 // Edit via Wikiplus 186724 wikitext text/x-wiki {{stub}} {{Wikibook|汉语}} 本书主要介绍现代标准汉语，读者应具有一定的中文阅读能力。 本书主要参考中国大陆学者黄伯荣、廖旭东主编的《现代汉语》（增订六版）编写，亦兼参照其他同类教材以及各领域的专著。在部分纲领性的概念讲解中，中国大陆由于受到苏联的影响，采用马克思主义哲学的视角来分析问题。本教材会参考台湾等地的专著剥离这样的视角；但考虑到中国大陆读者的需要，仍然会以观点补充的形式在内文或注释中特别提出。 本书正文不会分别显示繁体和简体中文，若希望使用某种用字模式阅读本书，请直接切换维基教科书的内容语言变体。 为求简洁，本书中「现代标准汉语」会省作「汉语」，容易混淆时亦会省作「国语」、「普通话」。 == 目录 == * [[/绪论]] ** [[/绪论/语言概说]] ** [[/绪论/汉语概说]] * [[/语音]] ** [[/语音/声母]] ** [[/语音/韵母]] ** [[/语音/声调]] ** [[/语音/音节]] ** [[/语音/轻声]] ** [[/语音/儿化]] ** [[/语音/音位]] ** [[/语音/朗读与语调]] ** [[/语音/语音的规范]] * [[/文字]] ** [[/文字/汉字的历史]] ** [[/文字/汉字的结构]] ** [[/文字/现行汉字的结构]] ** [[/文字/汉字的规范]] ** [[/文字/汉字与信息时代]] * [[/词汇]] ** [[/词汇/词汇的单位]] ** [[/词汇/词义]] ** [[/词汇/语义场]] ** [[/词汇/词汇的构成]] ** [[/词汇/词汇的发展]] ** [[/词汇/词汇的规范]] ** [[/词汇/词语的解释]] * [[/语法]] ** [[/语法/语法的单位]] ** [[/语法/语素]] ** [[/语法/词类]] ** [[/语法/短语]] ** [[/语法/句子]] ** [[/语法/句法成分]] ** [[/语法/单句]] ** [[/语法/复句]] ** [[/语法/句群]] ** [[/语法/其他语法体系概说]] * [[/标点符号]] * [[/修辞]] ** [[/修辞/选择词语]] ** [[/修辞/选择句式]] ** [[/修辞/修辞格]] ** [[/修辞/修辞格的综合运用]] ** [[/修辞/语体]] * [[/参考书目]] * [[/附录]] [[Category:漢語]] 330sggdc5ede97dhll2jcay8lzzxgs3 186725 186724 2026-08-10T06:52:30Z 魔琴 49316 // Edit via Wikiplus 186725 wikitext text/x-wiki {{stub}} {{Wikibook|汉语}} 本书主要介绍现代标准汉语，读者应具有一定的中文阅读能力。 本书主要参考中国大陆学者黄伯荣、廖旭东主编的《现代汉语》（增订六版）编写，亦兼参照其他同类教材以及各领域的专著。在部分纲领性的概念讲解中，中国大陆由于受到苏联的影响，采用马克思主义哲学的视角来分析问题。本教材会参考台湾等地的专著剥离这样的视角；但考虑到中国大陆读者的需要，仍然会以观点补充的形式在内文或注释中特别提出。 本书正文不会分别显示繁体和简体中文，若希望使用某种用字模式阅读本书，请直接切换维基教科书的内容语言变体。 为求简洁，本书中「现代标准汉语」会省作「汉语」，容易混淆时亦会省作「现代汉语」、「标准汉语」、「国语」、「普通话」等。 == 目录 == * [[/绪论]] ** [[/绪论/语言概说]] ** [[/绪论/汉语概说]] * [[/语音]] ** [[/语音/声母]] ** [[/语音/韵母]] ** [[/语音/声调]] ** [[/语音/音节]] ** [[/语音/轻声]] ** [[/语音/儿化]] ** [[/语音/音位]] ** [[/语音/朗读与语调]] ** [[/语音/语音的规范]] * [[/文字]] ** [[/文字/汉字的历史]] ** [[/文字/汉字的结构]] ** [[/文字/现行汉字的结构]] ** [[/文字/汉字的规范]] ** [[/文字/汉字与信息时代]] * [[/词汇]] ** [[/词汇/词汇的单位]] ** [[/词汇/词义]] ** [[/词汇/语义场]] ** [[/词汇/词汇的构成]] ** [[/词汇/词汇的发展]] ** [[/词汇/词汇的规范]] ** [[/词汇/词语的解释]] * [[/语法]] ** [[/语法/语法的单位]] ** [[/语法/语素]] ** [[/语法/词类]] ** [[/语法/短语]] ** [[/语法/句子]] ** [[/语法/句法成分]] ** [[/语法/单句]] ** [[/语法/复句]] ** [[/语法/句群]] ** [[/语法/其他语法体系概说]] * [[/标点符号]] * [[/修辞]] ** [[/修辞/选择词语]] ** [[/修辞/选择句式]] ** [[/修辞/修辞格]] ** [[/修辞/修辞格的综合运用]] ** [[/修辞/语体]] * [[/参考书目]] * [[/附录]] [[Category:漢語]] ch7bqg7xg47gnist7h9osp2mso9l77h 现代标准汉语/语音/韵母 0 32937 186720 186262 2026-08-10T06:36:57Z 魔琴 49316 /* 四呼 */ // Edit via Wikiplus 186720 wikitext text/x-wiki __TOC__汉语的'''韻母'''如下表所示： {| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ 图例 |- | 国际音标<br>拼音 注音 |} {| class="wikitable" style="font-family: sans-serif; text-align: center"; |+ 韻母列表 |- ! ! width="23%" |[[:w:開口呼|開口呼]] ! width="23%" |[[:w:齊齒呼|齊齒呼]] ! width="23%" |[[:w:合口呼|合口呼]] ! width="23%" |[[:w:撮口呼|撮口呼]] |- ! rowspan="6" style="writing-mode:vertical-rl" | 無韻尾韻母 | (-i ㄭ) | {{IPA|/i/}}<br />i ㄧ | {{IPA|/u/}}<br />u ㄨ | {{IPA|/y/}}<br />ü ㄩ |- | {{IPA|/a/}}<br />a ㄚ | {{IPA|/ia/}}<br />ia ㄧㄚ | {{IPA|/ua/}}<br />ua ㄨㄚ | style="background-color: #ccc;" | |- | {{IPA|/o/}}<br />o ㄛ | style="background-color: #ccc;" | | {{IPA|/uo/}}<br />uo ㄨㄛ | style="background-color: #ccc;" | |- | {{IPA|/ɤ/}}<br />e ㄜ | style="background-color: #ccc;" | | style="background-color: #ccc;" | | style="background-color: #ccc;" | |- | {{IPA|/ɛ/}}<br />ê ㄝ | {{IPA|/iɛ/}}<br />ie ㄧㄝ | style="background-color: #ccc;" | | {{IPA|/yɛ/}}<br />üe ㄩㄝ |- | {{IPA|/ɚ/}}<br />er ㄦ | style="background-color: #ccc;" | | style="background-color: #ccc;" | | style="background-color: #ccc;" | |- ! rowspan="4" style="writing-mode:vertical-rl" | 元音韻尾韻母 | {{IPA|/ai/}}<br />ai ㄞ | {{IPA|/iai/}}<br />iai ㄧㄞ | {{IPA|/uai/}}<br />uai ㄨㄞ | style="background-color: #ccc;" | |- | {{IPA|/ei/}}<br />ei ㄟ | style="background-color: #ccc;" | | {{IPA|/uei/}}<br />uei(ui) ㄨㄟ | style="background-color: #ccc;" | |- | {{IPA|/au/}}<br />ao ㄠ | {{IPA|/iau/}}<br />iao ㄧㄠ | style="background-color: #ccc;" | | style="background-color: #ccc;" | |- | {{IPA|/ou/}}<br />ou ㄡ | {{IPA|/iou/}}<br />iou(iu) ㄧㄡ | style="background-color: #ccc;" | | style="background-color: #ccc;" | |- ! rowspan="6" style="writing-mode:vertical-rl"| 鼻音韻尾韻母 | {{IPA|/an/}}<br />an ㄢ | {{IPA|/iɛn/}}<br />ian ㄧㄢ | {{IPA|/uan/}}<br />uan ㄨㄢ | {{IPA|/yæn/}}<br />üan ㄩㄢ |- | {{IPA|/ən/}}<br />en ㄣ | {{IPA|/in/}}<br />in ㄧㄣ | {{IPA|/uən/}}<br />uen(un) ㄨㄣ | {{IPA|/yn/}}<br />ün ㄩㄣ |- | {{IPA|/aŋ/}}<br />ang ㄤ | {{IPA|/iaŋ/}}<br />iang ㄧㄤ | {{IPA|/uaŋ/}}<br />uang ㄨㄤ | style="background-color: #ccc;" | |- | {{IPA|/əŋ/}}<br />eng ㄥ | {{IPA|/iŋ/}}<br />ing ㄧㄥ | {{IPA|/uəŋ/}}<br />ueng ㄨㄥ | style="background-color: #ccc;" | |- | style="background-color: #ccc;"| | style="background-color: #ccc;"| | {{IPA|/uŋ/}}<br />ong ㄨㄥ | {{IPA|/yuŋ/}}<br />iong ㄩㄥ |} 注： # (-i ㄭ)：知、池、诗、日、资、次、思等字的韵母，汉语言学界将其解释为[[:w:舌尖元音|舌尖元音]]。汉语拼音用“i”表示；注音符号用“ㄭ”解释，但不写入拼式。 # ㄧ：该符号在不同字体下可能作一竖或者一横，下同。注音符号最初发布时规定，直排作一横，横排作一竖；现台湾一般作一横，中国大陆一般作一竖。 # 表内所有/a/音素为宽式记法。<!-- # 汉语拼音中，iou、uei、uen作韵母时省作iu、ui、un。--> # ueng和ong互补分布，注音皆注作ㄨㄥ。无声母时为ueng，有声母时为ong。<ref>北大本p.58</ref> # iong ㄩㄥ：黄廖<ref>黄廖本p.51, 53</ref>、沈郭版<ref>沈郭本p.57</ref>皆标作/yŋ/，复旦版<ref>复旦本p.66</ref>内文作/ioŋ/，表格归于齐齿呼但记作/yŋ/。北大版<ref>北大本p.57</ref>标作/ioŋ/，并注可标作/yuŋ/或/yŋ/。 == 韵母的结构 == 韵母可分为介音、韵腹和韵尾。<ref>黄廖本p.53</ref> * '''介音'''也叫韵头，出现在韵腹之前，仅有i ㄧ、u ㄨ、ü ㄩ三个高元音。 * '''韵腹'''是韵母的主干，不可缺少。所有元音都能作韵腹。也叫作「主元音」。主元音清晰响亮，介音和韵尾中的元音则轻短含混。 * '''韵尾'''在韵腹后，仅有/i/、/u/、/n/、/ŋ/四个。 韵腹和韵尾合称「韵身」或「韵基」。 {| class="wikitable" style="text-align: center" |+ 韵母结构举例 |- !rowspan=2| 示例韵母 !!rowspan=2| 介音 !! colspan=2| 韵身 |- ! 韵腹 !! 韵尾 |- | /i/<br>i ㄧ || || /i/ || |- | /o/<br>o ㄛ || || /o/ || |- | /ai/<br>ai ㄞ || || /a/ || /i/ |- | /in/<br>in ㄧㄣ || || /i/ || /n/ |- | /yɛ/<br>üe ㄩㄝ || /y/ || /ɛ/ || |- | /iau/<br>iao ㄧㄠ || /i/ || /a/ || /u/ |- | /uaŋ/<br>uang ㄨㄤ|| /u/ || /a/ || /ŋ/ |} 韵母也可以简称「韵」。注意「韵」可能有多种含义。在「声韵调」中，「韵」指韵母，在「声介韵」中，「韵」就指韵身了。另外，汉语传统声韵学也有一个叫「韵」的概念，是韵身、声调的组合。 == 韵母的分类 == 韵母可以按不同标准分类： === 韵母组成成分 === 韵母根据其组成成分<ref>北大本p.53</ref>，可以分为[[:w:单元音韵母|單元音韵母]]、[[:w:复元音韵母|複元音韻母]]、鼻尾音韻母三类。 * '''单元音韵母'''：只有一个元音。 * '''复元音韵母'''：两个或三个元音复合而成，包括： ** '''前响复韵母'''：由两个元音复合，韵腹在前，舌位由低向高，如ai ㄞ、ei ㄟ、ao ㄠ、ou ㄡ。 ** '''后响复韵母'''：由两个元音复合，韵腹在后，舌位由高向低，如ia ㄧㄚ、ua ㄨㄚ、uo ㄨㄛ、ie ㄧㄝ、üe ㄩㄝ。 ** '''中响复韵母'''：由三个元音复合，韵腹在中间，舌位由高向低再向高，如iai ㄧㄞ、uai ㄨㄞ、uei ㄨㄟ、iao ㄧㄠ、iou ㄧㄡ。 * '''鼻尾音韵母'''：由一个或两个元音，与一个鼻辅音复合而成，包括： ** '''前鼻音韵母'''：指以/n/结尾的韵母。 ** '''后鼻音韵母'''：指以/ŋ/结尾的韵母。 === 四呼 === 传统上，汉语声韵学根据韵母的第一个元音<ref>普通话水平测试专用教材 / 普通话水平测试研究组, 普通话培训研究中心编. -- 北京： 北京理工大学出版社，2013.1 (2014.3重印) “按韵母开头元音的发音口形分类”</ref>来分类韵母，称为「四呼」： * '''开口呼'''：没有介音，且韵腹不是/i/、/u/、/y/。 * '''齐齿呼'''：介音或韵腹为/i/。 * '''合口呼'''：介音或韵腹为/u/。 * '''撮口呼'''：介音或韵腹为/y/。 注音符号可以直接看出一个韵母属于四呼的哪种。对于拼音，要注意： # 声母「-i ㄭ」为开口呼。 # ong ㄨㄥ和iong ㄩㄥ应归为合口呼<ref name="普2003合口呼">《普通话水平测试实施纲要》（2003年版）p.30-31</ref>和撮口呼<ref>《普通话水平测试实施纲要》（2003年版）p.31</ref>。<ref>黄廖本p.51注释2</ref><ref>北大本p.58-59</ref>{{NoteTag|然而部分学者分别归为开口呼和齐齿呼，例见张斌本p.46。}} 此外，韵母o ㄛ只与声母b ㄅ、p ㄆ、m ㄇ、f ㄈ相拼{{NoteTag|除了作叹词的咯[·lo ˙ㄌㄛ]等字。}}，而这种音节的韵母其实是uo ㄨㄛ<ref>王力《汉语音韵》p.20注释2</ref><ref>杨剑桥《汉语现代音韵学》p.180，2012年8月第二版</ref><ref>{{Cite journal|author= 刘明华|url= http://mall.cnki.net/magazine/magadetail/KXZB200811.htm|title= 汉语拼音方案的O韵母与UO韵母之辨|journal= 科学之友|year= 2008|issue= 11|pages= 126-127|access-date= 2018-12-08|archive-date= 2021-04-16|archive-url= https://web.archive.org/web/20210416185647/https://mall.cnki.net/magazine/magadetail/KXZB200811.htm|dead-url= no}}</ref>（或者是/uɤ/<ref>吴术燕. 《汉语拼音方案》 中韵母o的发音问题[J]. 梧州学院学报,2018,28(5):82-87. DOI:10.3969/j.issn.1673-8535.2018.05.015.</ref><ref>陈宏.(2008).汉语拼音方案中o的拼合与音值. 语言教学与研究(06),76-82.</ref>)，因此此类音节归入合口呼<ref name="普2003合口呼"/>{{NoteTag|也有人认为应该归入开口呼。}}。 == 韵母的发音 == === 元音的分类 === 元音的发音可以根据三方面观察： # '''舌位的高低'''（{{lang|en|height}}）：'''舌位'''是指发音时舌头最高点的相对位置。舌位最高的音叫'''高元音'''，最低的叫'''低元音'''。舌位的高低和嘴巴的开口度密切相关，舌位越高，嘴巴长得越小；舌位越低则反之。因此高元音也叫'''闭元音'''，低元音也叫'''开元音'''。元音可以根据舌位从高到低分为闭、次闭、半闭、中、半开、次开、开元音。 # '''舌位的前后'''（{{lang|en|backness}}）：舌位相对于口腔的前后也会影响元音的发音。元音可以根据舌位从前到后分为前、次前、央、次后、后元音。 # '''唇形的圆展'''（{{lang|en|roundedness}}）：发音时，嘴唇拢圆的元音称为'''圆唇元音'''，嘴唇平展向回收的称为'''不圆唇元音'''。 [[File:Cardinal vowel tongue position-front.svg|thumb|upright=0.9|几个前元音，舌位从高到低]] === 汉语的元音 === 汉语一共可以分析出这些单元音： {| class=wikitable style="text-align:center" |- ! !!colspan=2| 前 !!colspan=2| 中 !!colspan=2 | 后 |- ! !! 不圆 !! 圆 !! 不圆 !! 圆 !! 不圆 !! 圆 |- ! 闭 |[[:w:/i/|[i]]] || [[:w:/y/|[y]]] || || || || [[:w:/u/|[u]]] |- ! 次闭 | || || || || || |- ! 半闭 | [[:w:/e/|[e]]] || || || || [[:w:/ɤ/|[ɤ]]] || [[:w:/o/|[o]]] |- ! 中 | || || [[:w:/ə/|[ə]]] || || |- ! 半开 | [[:w:/e/|[e]]] || || || || || |- ! 次开 | [[:w:/æ/|[æ]]] || || || || || |- ! 开 | [[:w:/a/|[a]]] || || [[:w:/ä/|[ä]]] || || [[:w:/ɑ/|[ɑ]]] || |} <small> # 单击超链接可以进入维基百科的相应条目，学习不同的音素和发音方法。 # [ə]的卷舌版本[ɚ]的发音方法为：发出[ə]时舌尖上翘。 </small> === 音位/a/ === :<small>关于音位的具体信息，可以查看本章的“[[现代标准汉语/语音/音位|音位]]”一节。不明白也不影响阅读。</small> 拼音中表记作a的音素（注音中/a/出现于ㄚ、ㄞ、ㄠ、ㄢ、ㄤ）均可视为同一音位/a/（也就是说上表都记作“a”）。/a/有数种[[:W:音位#音位變體|条件变体]]，也就是说标记为“a”的音在不同条件下发的是不同的音：<ref name=h-a>黄廖本p.96</ref> {| class="wikitable" |+ /a/的条件变体 |- ! 出现条件 !! 举例 !! 音位变体（实际发音） |- | 韵尾/i/、/n/前 || ai ㄞ、an ㄢ || [a] |- | 无韵尾 || 注音仅有ㄚ；<br>拼音有a、ia、ua || [a]和[ɑ]之间的「[[:w:开央不圆唇元音|开央不圆唇元音]]」，可记作[ä]。<br>汉语言学界一般用符号ᴀ，下循之。 |- | 韵尾/u/、/ŋ/前 || au ㄠ、ang ㄤ || [ɑ] |- |colspan=2 style="text-align:center"| ian ㄧㄢ || [ɛ]<ref name=h-a/><ref name=p-yan/><ref>王力《汉语音韵》p.17</ref> |- |colspan=2 style="text-align:center"| üan ㄩㄢ || [æ]<ref name=p-yan>北大本p.56</ref> |} === 鼻音韵尾 === === 舌尖元音 === 知、池、诗、日、资、次、思等字的韵母，可能是音节化的辅音。然而汉语言学界一般将其解释为“[[:w:舌尖元音|舌尖元音]]”。 汉语中舌尖元音分为两种： * 舌尖前不圆唇元音：资、次、思的韵母，类似音节化的[z]，但气流通路并不发生摩擦（或者很弱）。念“资”字并拉长，字音后部即为该元音。汉语言学界用符号ɿ表示。 * 舌尖后不圆唇元音：知、池、诗、日的韵母，类似音节化的[ɻ]，气流通路不发生摩擦（或者很弱）。念“知”字并拉长，字音后部即为该元音。汉语言学界用符号ʅ表示。 [ɿ]只出现在声母z ㄗ、c ㄘ、s ㄙ后，[ʅ]只出现在和声母zh ㄓ、ch ㄔ、sh ㄕ、r ㄖ后，均不能独立为音节；此外，上述声母均不会与韵母i ㄧ相拼，因此i ㄧ和[ɿ]、[ʅ]互补分布。{{NoteTag|北大版认为三者为同一音位，而黄廖、复旦版则认为三者各自为一音位。}} 汉语拼音用“i”表示这两个元音，与韵母“ㄧ”相同；注音符号则用“ㄭ”解释，但不写入拼式。 需要注意的是，[ɿ]、[ʅ]两个符号和[ᴀ]一样，并不被国际音标接受。 {{Nextpage|语音/声调}} == 注释 == {{NoteFoot}} == 参考资料 == <references/> p6rpkidmd35pnahlgi4wibnuw15gp90 现代标准汉语/语音/声调 0 32998 186722 186360 2026-08-10T06:50:55Z 魔琴 49316 /* 调类 */ 186722 wikitext text/x-wiki '''声调'''是一种由音高构成的超音段成分。<ref>黄廖本p.64</ref>现代汉语等语言通过声调来区别意义，是有声调的语言。 == 调值 == '''调值'''是音节的实际读音，指音节音高变化的固定形式。调值的特点是： * 由相对音高决定。 * 读音连续而且渐变，没有停顿和跳跃。 国际音标提供了两种描写调值的方式，其中一种是赵元任的五度标记法。五度标记法有幾種不同的表達方法，詳述如下： 漢語言學界常用的一種方法是“數字法”。我们将说话的音高分为五度，从低到高分别用1、2、3、4、5表示。描述语音时，我们用数字记录下开始、结束和转折（如有）时的音高，数字的变化反映了音调的走向。譬如，调值15表示声音从最低音（1）升到最高音（5）；调值451表示从较高（4）升到最高（5），再下降到最低音（1）。请注意，漢學界1至5表示低至高，其他語言的學界可能并不按此表記。 國際音標則使用“曲線法”，与“数字法”大致相同。先在右侧画一条竖线作标尺，将标尺分为四段，各端点从低到高分别表示音值的最低、次低、中、次高、最高。竖线左边对照着标尺从左到右绘制线条（同样地，也只需要记录开始、结束和转折，各节点之间用线段连接即可），线条的高低走向反映了音调的走向。譬如，数字法的调值15即可用<span style="font-family:'Arial Unicode MS','Times New Roman',consolas,sans-serif">˩˥</span>表示。常用的五个声调符号（1-5）位于Unicode的U+02E5至U+02E9，折线则通过声调符号的组合来显示；您使用的字体可能不支持曲線法的符号，导致这类符号（如前面的<span style="font-family:'Arial Unicode MS','Times New Roman',consolas,sans-serif">˩˥</span>）不能正确显示甚至完全不能显示。{{NoteTag|前面的例子看起来应该像一个小角，或是倒过来的V，而不是像J7或是其他什么。}} 为了易于阅读，本书将使用数字法标注调值。譬如从中间音高（3）升到最高（5）的[ma]音，标记为[ma<sup>35</sup>]。 == 调类 == 我们现在可以把不同的调值排列起来，组成不同的音调了！譬如11、12、13、14……这样能排列出来的音调有很多。但是，一种语言的音调种类是有限的，并不会分出那么多。把一种方言{{NoteTag|即使是同一门语言，该语言下各方言的调值很有可能不相同，甚至對於某種語言的方言和次方言也會如此，所以这里说方言而非语言。}}的所有音节按不同的音调来分类，就形成了“调类”。'''调类'''是声调的种类。{{NoteTag|在汉语、古代汉语和汉语方言等语言的研究中，调类的概念还包括有无塞音韵尾。两个字即使调值相同，然而一个有塞音韵尾一个没有，二字也属于不同调类。由于现代标准汉语没有塞音韵尾，这里直接忽略这种情况。}}現代標準漢語採用的是北京方言的語音系統，而北京方言有四种调类： # '''阴平声'''调值为55，简称阴平，也称“第一声”。音调最高，而且没有升降变化，因此是“高平调”。 # '''阳平声'''调值为35，简称阳平，也称“第二声”。音调从中间向高处升，因此是“中升调”。{{NoteTag|有人也叫“高升调”，意为往高处升。黄廖本取“中升调”。}} # '''上声'''调值为214，也称“第三声”。音调先降后升，因此是“降升调”。{{NoteTag|“上”字在“上声”一词中一般读shǎng ㄕㄤˇ（上声）而非shàng ㄕㄤˋ（去声）。關於「上聲」一詞的讀音爭議，可參見維基百科條目[[:w:現代標準漢語音系#聲調|《現代標準漢語音系》「聲調」章節]]的腳註。}} # '''去声'''调值为51，也称“第四声”。音调从最高降到最低，因此是“全降调”。 {{Multiple image |align=right |image1=Pinyin Tone Chart.svg |total_width=275 |footer=<big>用曲線法表示汉语的四个调类<br><br>[[File:Zh-pinyin tones with ma.ogg|center|225px]]<br>依次朗读四种声调，以“ma ㄇㄚ”为例</big> }} 上面说的“高平”“中升”等描述的是调类的'''调型'''，调型粗略地描述了声调的高低、升降的变化模式，而没有指出准确的音值。常见的调型有平、升、降、升降、降升（后两种也叫曲折调）。由于北京方言的各调型有明显差异（平、升、降升、降），注音符号和汉语拼音都使用调型的轮廓来给現代漢語音节标注声调。 {| class=wikitable style="text-align:center" |+ 注音和拼音用来标注声调的符号 |- !名稱!!陰平聲!!陽平聲!!上聲!!去聲 |- !符號 |<span style="font-size:150%;">ˉ</span>||<span style="font-size:150%;">ˊ</span>||<span style="font-size:150%;">ˇ</span> |<span style="font-size:150%;">ˋ</span> |} 現代標準漢語的调类系统可以往上追溯到古代汉语。<ref>黄廖本p.66</ref>古代汉语曾經有四個調類，名字分別是「平」、「上」、「去」、「入」。这个调类系统后来经过不同的变化，形成现今各汉语方言的声调。因此，现代的汉语方言的命名也都去追溯古代汉语的声调名称。我们又知道，声调是很不稳定的超音段成分，极容易发生变化。因此，调类的名称只与这种声调的历史有关，和调值、调型完全没有可见的联系。 具体来说，已知北京方言的阴平调值是55，但不能说对于任何方言，阴平就是55，55就是阴平。譬如，济南方言阴平的调值是213，烟台方言中调值为55的调类是去声。官话区尚且如此，更不要说其它方言区了。 为什么要区分调值和调类的概念，并且还要用反映历史的「平」、「上」、「去」、「入」来命名今人的语言的调类呢？如果仅仅孤立地看标准汉语，确实意义不大。但是在汉语方言学的研究中，更抽象的调类起到更重要的作用。北京话和济南话的阴平调，调值相差甚远，但是阴平调的汉字是基本一致的；北京方言的55是阴平，烟台方言的55是去声，只是碰巧相同，完全没有联系。 最后以阴平举例梳理本节已学的名词： * 「阴平」是'''调类'''的名称。调类是声调的种类。 * 现代标准汉语的阴平的'''调值'''是55。调值是音高的变化形式。 * 现代标准汉语的阴平的'''调型'''是（高）平调。调型能粗略描述调值。 == 轻声 == 汉语还有一个“声调”叫'''轻声'''，其实它并不是一个独立的声调，而是前述四种声调在一定条件下的变体。 关于轻声的具体内容请参阅本章“[[现代标准汉语/语音/轻声|轻声]]”一节。 == 变调 == 在口语中，一些音节受到其它音节的影响，可能会发生变化，这叫'''语流音变'''。汉语中最明显的语流音变即发生在声调中，这种调值的变化叫作'''变调'''。<ref>黄廖本p.83</ref> 通常，一个音节单独发音时的调值叫'''本调'''，变化后的调值叫作'''变调'''。<ref>北大本p.112</ref> 汉语中明显的音变包括上声的变调和特殊字的变调。 === 上声的变调 === 上声的变调变化较大，调型会改变；而且实际应用中，变调更常出现，本调反而不常见。甚至可以说，上声可以认为是一个低平调<ref>王力《现代汉语语音分析中的几个问题》，《中国语文》第4期，1979。编者获取该文献自：王力《龙虫并雕斋文集补编》p.322，2015。原文为：「北京话的上声，基本上是一个低平调……」（後略）</ref>，调值大约为21或是11<ref>石锋,冉启斌.普通话上声的本质是低平调——对《汉语平调的声调感知研究》的再分析[J].中国语文,2011(6):550-555576 引「赵元任1932;1933」</ref>，也可以读成213或者212<ref>《普通话水平测试实施纲要》（2021年版）p.26</ref>。 传统上认为，上声的本调是214。上声的音调在语流末尾不变；但当上声音节后还连着其它音节时，这个上声的调值会发生变化。 ;一、总体规则 * 当下一个音节是上声时，上声改读35，与阳平相同。如「洗脸」「彩笔」「老虎」「领导」。 * 当下一个音节不是上声（是阴平、阳平或去声，下称「非上声」）时，上声改读21，这个调也叫'''半上声'''，因为是完整上声的前半段。例如： ** 在阴平前：火车、小心、水杯。 ** 在阳平前：旅行、语言、海洋。 ** 在去声前：鼓励、巩固、礼物。 ;二、上声+轻声 上声+轻声比较特殊。 * 如果轻声来自「非上声」，都能按照「总体规则」处理，即变为「21+轻声」。 * 但是当这个轻声字源自一个上声字时，有两种变调方式： ** 35+轻声，如：等等、哪里、想起、讲讲。 ** 21+轻声：如：奶奶、姐姐、嫂子、耳朵。 ;三、多个上声相连 * 如果三个上声相连，前两个上声应根据词语的结构来变调。 ** 双音节+单音节的结构（也叫「双单格」），前两个音节连接紧密，语义停顿在第二个音节后。此时前两个上声都变调为35，即「35+35+214」。如：展览馆、水彩笔、洗脸水。 ** 单音节+双音节的结构（也叫「单双格」），后两个音节连接紧密，语义停顿在第一个音节后。此时第一个上声变为半上（21），第二个上声变为35，即「21+35+214」。如：小展览、纸老虎、小两口。 * 如果多个上声相连，也要类似地分析结构，根据语义和停顿来变调。 但是，这种情况也受个人习惯的影响。《普通话水平测试实施纲要》认为，开头音节不是逻辑重音时，开头和当中的上声也可变为35。<ref name=multishang>《普通话水平测试实施纲要》（2021版）p.31</ref> 此外，不容易确定格式的（比如音译的）词语，也不能强行规定一个读音，譬如「索马里」「卡塔尔」等。<ref name=multishang/> === 「一」的变调 === 一[yī ㄧˉ]是阴平字，它的变调遵循以下规律： * 在阴平、阳平、上声前，调值变为51。如：一般、一瓶、一晚。 * 在去声前，调值变为35。如：一样、一定。 需要注意的是「一」字变调的特殊情况： * 作为序数词时不变调。如：第一、一中、五一。这样，是否变调就有了辨义作用。譬如不变调的「一楼」表示「第一层楼」，而变调的「一楼」表示「一整层楼」。 * 注意，副词「一连」的「一」不是序数词，要变调。如，「一连下了三天雨」。 * 「一」在数词中的变调规则为： ** 「一」（1）参照上述变调规则； ** 「一」作个位数时，不论是序数词还是基数词，都不变调。如「十一」； ** 「一」作十位数，可以不变调，仍读55。<ref>《普通话水平测试实施纲要》（2021版）p.31-32</ref> === 「不」的变调 === 不[bù ㄅㄨˋ]是去声字，调值51。但在去声前，调值变为35。如：不要、不够。<ref>《普通话水平测试实施纲要》（2021版）p.32</ref> === 「七」、「八」的变调 === 以往要求「七」、「八」二字在去声前调值改为35，但目前这种变调已经罕见。《普通话水平测试实施纲要》也已删去这种要求。 {{Nextpage|语音/音节}} == 注释 == {{NoteFoot}} == 参考资料 == <references /> iy0tjy1rtmvj827an8xr8i4ym37mt9w 186723 186722 2026-08-10T06:51:20Z 魔琴 49316 /* 调类 */ // Edit via Wikiplus 186723 wikitext text/x-wiki '''声调'''是一种由音高构成的超音段成分。<ref>黄廖本p.64</ref>现代汉语等语言通过声调来区别意义，是有声调的语言。 == 调值 == '''调值'''是音节的实际读音，指音节音高变化的固定形式。调值的特点是： * 由相对音高决定。 * 读音连续而且渐变，没有停顿和跳跃。 国际音标提供了两种描写调值的方式，其中一种是赵元任的五度标记法。五度标记法有幾種不同的表達方法，詳述如下： 漢語言學界常用的一種方法是“數字法”。我们将说话的音高分为五度，从低到高分别用1、2、3、4、5表示。描述语音时，我们用数字记录下开始、结束和转折（如有）时的音高，数字的变化反映了音调的走向。譬如，调值15表示声音从最低音（1）升到最高音（5）；调值451表示从较高（4）升到最高（5），再下降到最低音（1）。请注意，漢學界1至5表示低至高，其他語言的學界可能并不按此表記。 國際音標則使用“曲線法”，与“数字法”大致相同。先在右侧画一条竖线作标尺，将标尺分为四段，各端点从低到高分别表示音值的最低、次低、中、次高、最高。竖线左边对照着标尺从左到右绘制线条（同样地，也只需要记录开始、结束和转折，各节点之间用线段连接即可），线条的高低走向反映了音调的走向。譬如，数字法的调值15即可用<span style="font-family:'Arial Unicode MS','Times New Roman',consolas,sans-serif">˩˥</span>表示。常用的五个声调符号（1-5）位于Unicode的U+02E5至U+02E9，折线则通过声调符号的组合来显示；您使用的字体可能不支持曲線法的符号，导致这类符号（如前面的<span style="font-family:'Arial Unicode MS','Times New Roman',consolas,sans-serif">˩˥</span>）不能正确显示甚至完全不能显示。{{NoteTag|前面的例子看起来应该像一个小角，或是倒过来的V，而不是像J7或是其他什么。}} 为了易于阅读，本书将使用数字法标注调值。譬如从中间音高（3）升到最高（5）的[ma]音，标记为[ma<sup>35</sup>]。 == 调类 == 我们现在可以把不同的调值排列起来，组成不同的音调了！譬如11、12、13、14……这样能排列出来的音调有很多。但是，一种语言的音调种类是有限的，并不会分出那么多。把一种方言{{NoteTag|即使是同一门语言，该语言下各方言的调值很有可能不相同，甚至對於某種語言的方言和次方言也會如此，所以这里说方言而非语言。}}的所有音节按不同的音调来分类，就形成了“调类”。'''调类'''是声调的种类。{{NoteTag|在汉语、古代汉语和汉语方言等语言的研究中，调类的概念还包括有无塞音韵尾。两个字即使调值相同，然而一个有塞音韵尾一个没有，二字也属于不同调类。由于现代标准汉语没有塞音韵尾，这里直接忽略这种情况。}}現代標準漢語採用的是北京方言的語音系統，而北京方言有四种调类： # '''阴平声'''调值为55，简称阴平，也称“第一声”。音调最高，而且没有升降变化，因此是“高平调”。 # '''阳平声'''调值为35，简称阳平，也称“第二声”。音调从中间向高处升，因此是“中升调”。{{NoteTag|有人也叫“高升调”，意为往高处升。黄廖本取“中升调”。}} # '''上声'''调值为214，也称“第三声”。音调先降后升，因此是“降升调”。{{NoteTag|“上”字在“上声”一词中一般读shǎng ㄕㄤˇ（上声）而非shàng ㄕㄤˋ（去声）。關於「上聲」一詞的讀音爭議，可參見維基百科條目[[:w:現代標準漢語音系#聲調|《現代標準漢語音系》「聲調」章節]]的腳註。}} # '''去声'''调值为51，也称“第四声”。音调从最高降到最低，因此是“全降调”。 {{Multiple image |align=right |image1=Pinyin Tone Chart.svg |total_width=275 |footer=<big>用曲線法表示汉语的四个调类<br><br>[[File:Zh-pinyin tones with ma.ogg|center|225px]]<br>依次朗读四种声调，以“ma ㄇㄚ”为例</big> }} 上面说的“高平”“中升”等描述的是调类的'''调型'''，调型粗略地描述了声调的高低、升降的变化模式，而没有指出准确的音值。常见的调型有平、升、降、升降、降升（后两种也叫曲折调）。由于北京方言的各调型有明显差异（平、升、降升、降），注音符号和汉语拼音都使用调型的轮廓来给現代漢語音节标注声调。 {| class=wikitable style="text-align:center" |+ 注音和拼音用来标注声调的符号 |- !名稱!!陰平聲!!陽平聲!!上聲!!去聲 |- !符號 |<span style="font-size:150%;">ˉ</span>||<span style="font-size:150%;">ˊ</span>||<span style="font-size:150%;">ˇ</span> |<span style="font-size:150%;">ˋ</span> |} 現代標準漢語的调类系统可以往上追溯到古代汉语。<ref>黄廖本p.66</ref>古代汉语曾經有四個調類，名字分別是「平」、「上」、「去」、「入」。这个调类系统后来经过不同的变化，形成现今各汉语方言的声调。因此，现代的汉语方言的命名也都去追溯古代汉语的声调名称。我们又知道，声调是很不稳定的超音段成分，极容易发生变化。因此，调类的名称只与这种声调的历史有关，和调值、调型完全没有可见的联系。 具体来说，已知北京方言的阴平调值是55，但不能说对于任何方言，阴平就是55，55就是阴平。譬如，济南方言阴平的调值是213，烟台方言中调值为55的调类是去声。官话区尚且如此，更不要说其它方言区了。 为什么要区分调值和调类的概念，并且还要用反映历史的「平」、「上」、「去」、「入」来命名今人的语言的调类呢？如果仅仅孤立地看标准汉语，确实意义不大。但是在汉语方言学的研究中，更抽象的调类起到更重要的作用。北京话和济南话的阴平调，调值相差甚远，但是阴平调的汉字是基本一致的；北京方言的55是阴平，烟台方言的55是去声，只是碰巧相同，完全没有联系。 最后以阴平举例梳理本节已学的名词： * 「阴平」是'''调类'''的名称。调类是声调的种类。 * 国语阴平的'''调值'''是55。调值是音高的变化形式。 * 国语阴平的'''调型'''是（高）平调。调型能粗略描述调值。 == 轻声 == 汉语还有一个“声调”叫'''轻声'''，其实它并不是一个独立的声调，而是前述四种声调在一定条件下的变体。 关于轻声的具体内容请参阅本章“[[现代标准汉语/语音/轻声|轻声]]”一节。 == 变调 == 在口语中，一些音节受到其它音节的影响，可能会发生变化，这叫'''语流音变'''。汉语中最明显的语流音变即发生在声调中，这种调值的变化叫作'''变调'''。<ref>黄廖本p.83</ref> 通常，一个音节单独发音时的调值叫'''本调'''，变化后的调值叫作'''变调'''。<ref>北大本p.112</ref> 汉语中明显的音变包括上声的变调和特殊字的变调。 === 上声的变调 === 上声的变调变化较大，调型会改变；而且实际应用中，变调更常出现，本调反而不常见。甚至可以说，上声可以认为是一个低平调<ref>王力《现代汉语语音分析中的几个问题》，《中国语文》第4期，1979。编者获取该文献自：王力《龙虫并雕斋文集补编》p.322，2015。原文为：「北京话的上声，基本上是一个低平调……」（後略）</ref>，调值大约为21或是11<ref>石锋,冉启斌.普通话上声的本质是低平调——对《汉语平调的声调感知研究》的再分析[J].中国语文,2011(6):550-555576 引「赵元任1932;1933」</ref>，也可以读成213或者212<ref>《普通话水平测试实施纲要》（2021年版）p.26</ref>。 传统上认为，上声的本调是214。上声的音调在语流末尾不变；但当上声音节后还连着其它音节时，这个上声的调值会发生变化。 ;一、总体规则 * 当下一个音节是上声时，上声改读35，与阳平相同。如「洗脸」「彩笔」「老虎」「领导」。 * 当下一个音节不是上声（是阴平、阳平或去声，下称「非上声」）时，上声改读21，这个调也叫'''半上声'''，因为是完整上声的前半段。例如： ** 在阴平前：火车、小心、水杯。 ** 在阳平前：旅行、语言、海洋。 ** 在去声前：鼓励、巩固、礼物。 ;二、上声+轻声 上声+轻声比较特殊。 * 如果轻声来自「非上声」，都能按照「总体规则」处理，即变为「21+轻声」。 * 但是当这个轻声字源自一个上声字时，有两种变调方式： ** 35+轻声，如：等等、哪里、想起、讲讲。 ** 21+轻声：如：奶奶、姐姐、嫂子、耳朵。 ;三、多个上声相连 * 如果三个上声相连，前两个上声应根据词语的结构来变调。 ** 双音节+单音节的结构（也叫「双单格」），前两个音节连接紧密，语义停顿在第二个音节后。此时前两个上声都变调为35，即「35+35+214」。如：展览馆、水彩笔、洗脸水。 ** 单音节+双音节的结构（也叫「单双格」），后两个音节连接紧密，语义停顿在第一个音节后。此时第一个上声变为半上（21），第二个上声变为35，即「21+35+214」。如：小展览、纸老虎、小两口。 * 如果多个上声相连，也要类似地分析结构，根据语义和停顿来变调。 但是，这种情况也受个人习惯的影响。《普通话水平测试实施纲要》认为，开头音节不是逻辑重音时，开头和当中的上声也可变为35。<ref name=multishang>《普通话水平测试实施纲要》（2021版）p.31</ref> 此外，不容易确定格式的（比如音译的）词语，也不能强行规定一个读音，譬如「索马里」「卡塔尔」等。<ref name=multishang/> === 「一」的变调 === 一[yī ㄧˉ]是阴平字，它的变调遵循以下规律： * 在阴平、阳平、上声前，调值变为51。如：一般、一瓶、一晚。 * 在去声前，调值变为35。如：一样、一定。 需要注意的是「一」字变调的特殊情况： * 作为序数词时不变调。如：第一、一中、五一。这样，是否变调就有了辨义作用。譬如不变调的「一楼」表示「第一层楼」，而变调的「一楼」表示「一整层楼」。 * 注意，副词「一连」的「一」不是序数词，要变调。如，「一连下了三天雨」。 * 「一」在数词中的变调规则为： ** 「一」（1）参照上述变调规则； ** 「一」作个位数时，不论是序数词还是基数词，都不变调。如「十一」； ** 「一」作十位数，可以不变调，仍读55。<ref>《普通话水平测试实施纲要》（2021版）p.31-32</ref> === 「不」的变调 === 不[bù ㄅㄨˋ]是去声字，调值51。但在去声前，调值变为35。如：不要、不够。<ref>《普通话水平测试实施纲要》（2021版）p.32</ref> === 「七」、「八」的变调 === 以往要求「七」、「八」二字在去声前调值改为35，但目前这种变调已经罕见。《普通话水平测试实施纲要》也已删去这种要求。 {{Nextpage|语音/音节}} == 注释 == {{NoteFoot}} == 参考资料 == <references /> 4h9vcuq6h7uoaatrfq3gj71yn53fdqb Module:Documentation/styles.css 828 34211 186713 186586 2026-08-10T04:51:36Z Addonian1123 65525 186713 sanitized-css text/css .documentation, .documentation-metadata { border: 1px solid #a2a9b1; background-color: #ecfcf4; color:inherit; clear: both; } .documentation { margin: 1em 0 0 0; padding: 1em; } .documentation-metadata { margin: 0.2em 0; /* same margin left-right as .documentation */ font-size: small; padding: 0.4em 1em; /* same padding left-right as .documentation */ } .documentation-startbox { padding-bottom: 3px; border-bottom: 1px solid #aaa; margin-bottom: 1ex; } .documentation-startbox .mw-editsection-like .doc-link { display: none; -webkit-user-select: none; /* Safari / Chrome / WebKit */ -moz-user-select: none; /* Firefox */ -ms-user-select: none; /* IE / Edge */ user-select: none; } body.skin-minerva .documentation-startbox .mw-editsection-like .doc-link, body.skin-timeless .documentation-startbox 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