Wikibooks zhwikibooks https://zh.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:%E9%A6%96%E9%A1%B5 MediaWiki 1.47.0-wmf.16 first-letter Media Special Talk User User talk Wikibooks Wikibooks talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk Transwiki Transwiki talk Wikijunior Wikijunior talk Subject Subject talk TimedText TimedText talk Module Module talk Event Event talk 4 7517 186804 186676 2026-08-19T14:39:28Z Midleading 38214 [[初中道德与法治/习近平新时代中国特色社会主义思想 学生读本（初中）]] 186804 wikitext text/x-wiki {{DISPLAYTITLE|刪除請求}} {{/header}} {{Easy Archive|to=Wikibooks:删除请求/存档/{{CURRENTYEAR}}年}} <!-- 以下為刪除請求 --> == [[一元三次方程式]]、[[一元四次方程式]]、[[三胞胎素数]]、[[中國剩餘定論]]、[[中頂多邊形]]、[[函數之連續]]、[[倍长中线法]]、[[分數]]、[[双生质数]]、[[四則運算]]、[[哥德巴赫猜想]]、[[整數]]、[[开方]]、[[極限]]、[[缺8数]]、[[缺98數]]、[[素数公式]]、[[自然數]]、[[韌性數]]、[[黄金质数]] == 都是对一些数学概念的解释，不能构成独立的教科书。建议迁移至维基学院。--[[User:GZWDer|GZWDer]] ([[User talk:GZWDer|留言]]) 2018年8月8日 (三) 09:30 (UTC) :以上頁面已經[https://zh.wikiversity.org/wiki/Special:%E6%97%A5%E5%BF%97?type=import&user=&page=&wpdate=&tagfilter=&subtype= 匯入至維基學院]。--[[User:Wasami007|安可]] ([[User talk:Wasami007|留言]]) 2018年9月4日 (二) 08:37 (UTC) :[[分数]]、[[自然数]]、[[四则运算]]、[[整数]]等比较基础的可以{{保留}}，其他过于专业性的{{删除}}。--[[User:Sayonzei|Sayonzei]] ([[User talk:Sayonzei|留言]]) 2018年10月6日 (六) 02:23 (UTC) *建議統統保留在維基教科書中，台灣的實驗教育領域已在使用，搬走影響人家教學進行。 *:維基的精神就是允許人慢慢完善化，不是要求人一步到位，未能一步到位者就要求刪除或搬走。 *:且[[一元三次方程式]]、[[一元四次方程式]]已是完整條目[[多項式]]的相關段落子頁，刪除後母頁即不完整。--[[User:丁志仁|丁志仁]] ([[User talk:丁志仁|留言]]) 2018年12月18日 (二) 02:40 (UTC) * {{处理中}}。 --书中自有'''[[User:WhitePhosphorus|白磷]]'''[[User talk:WhitePhosphorus|屋]]_{[[Special:用户贡献/WhitePhosphorus|查水表]]} 2019年8月29日 (四) 14:22 (UTC) :: {{ping|WhitePhosphorus}}情況如何？—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''_{（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]．[[w:zh:User:Ericliu1912|百科用戶頁]]'''）} 2019年10月14日 (一) 08:41 (UTC) : 处理结果 :: 保留：[[一元三次方程式]]、[[一元四次方程式]]、[[中國剩餘定論]]、[[哥德巴赫猜想]] :: 删除：[[缺8数]]、[[缺98數]]、[[素数公式]]（以及被移动到[[埃拉托斯特尼筛法]]的页面） :: 合并：[[分数]]→[[初中數學/算則觀念/分數]]、[[开方]]→[[算术/开方]] :: 合并但未完成实际操作（欢迎大家帮忙）：[[極限]]→[[微积分学/极限]]、[[整數]]→[[离散数学/集合论#整数集]]、[[四則運算]]→[[算术#四則運算]]、[[自然數]]→[[基础数学/自然数]] :: 尚未决定：[[三胞胎素数]]、[[中頂多邊形]]、[[函數之連續]]、[[倍长中线法]]、[[双生质数]]、[[韌性數]]、[[黄金质数]] : 说明： :: 被保留的页面构成当前教科书的一部分，且相关内链已经具备，也可以考虑移动到对应母教科书的子页。被合并的页面是发现有重复教科书的情况。被删除的页面属于偏离教科书内容的原创研究。埃拉托斯特尼筛法本来是[[初等数论]]中比较重要的一个部分，但原书页完全没有提及筛法的具体操作，而是论述作者自己的研究（虽然发表在《中等数学》上，但该期刊权威性且不论，文章作者还声明“接……来函嘱我将他的发现介绍给读者”，“无权亦无能力对此公式妄加评说”），所以移动到维基学院是正确的决定。 --书中自有'''[[User:WhitePhosphorus|白磷]]'''[[User talk:WhitePhosphorus|屋]]_{[[Special:用户贡献/WhitePhosphorus|查水表]]} 2019年11月11日 (一) 05:08 (UTC) :::{{ping|WhitePhosphorus|Sayonzei}}[[函數之連續]]、[[微积分学/极限/极限与连续]]、[[高等数学#函數的連續性]]三者重复，保留哪一个？--[[User:Jingkaimori|Jingkaimori]] ([[User talk:Jingkaimori|留言]]) 2020年10月8日 (四) 08:06 (UTC) ::::我建议{{保留}}[[微积分学/极限/极限与连续]]，并将其余两个页面合并至这个页面。高等数学#函数的连续性建议写简要内容，再放一个参见过去。 Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年5月31日 (日) 09:26 (UTC) ::: {{ping2|WhitePhosphorus|Sayonzei}}？—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''_{（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]．[[:w:zh:User:Ericliu1912|百科用戶頁]]'''）} 2021年11月22日 (一) 21:44 (UTC) {{Archive top}} [[中頂多邊形]]條目{{删除}}，這是本人多年前做的原創研究。[[User:Uranuscat33|Uranuscat33]] ([[User talk:Uranuscat33|留言]]) 2022年10月2日 (日) 07:28 (UTC) : 已經刪除。—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''_{（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）} 2023年1月11日 (三) 03:46 (UTC) {{Archive bottom}} == [[初中数学/七年级数学（上册）]]、[[初中数学/七年级数学（下册）]]、[[初中数学/八年级数学（上册）]]、[[初中数学/八年级数学（下册）]]、[[初中数学/九年级数学（上册）]]、[[初中数学/九年级数学（下册）]] == {{删除}}理据：初中数学已有数学，无需再写数学，并且与七年级上册等重复。若删除，其子页面应合并至[[初中數學/七年级上册]]等页面。还有，例如初中數學/七年级上册等页面标题存在繁简混用状况，链接输入不便，也请顺便移动一下。Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年5月27日 (三) 10:16 (UTC) :《初中數學》此書雖有按冊分類的子頁面，但其目錄並無導向這些頁面的鏈接。那麼該教科書到底是以教學內容分頁還是以學期分類？ [[User:谪仙|谪仙]] ([[User talk:谪仙|留言]]) 2026年5月29日 (五) 00:32 (UTC) ::我也在想这个问题。我在[[Talk:初中数学]]里面发过这个问题。 Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年5月31日 (日) 09:22 (UTC) :::{{意見}} 既然如此，不如先在《初中數學》的討論頁討論清楚，再確定哪些頁面需要被處理。 [[User:谪仙|谪仙]] ([[User talk:谪仙|留言]]) 2026年6月2日 (二) 00:34 (UTC) == [[初中道德与法治/习近平新时代中国特色社会主义思想 学生读本（初中）]] == 完全抄袭教科书，侵犯版权。 [[User:Midleading|Midleading]] ([[User talk:Midleading|留言]]) 2026年8月19日 (三) 14:39 (UTC) n7rztscmeutr00zcz8aomsl4iqrjowq 186805 186804 2026-08-19T14:40:55Z Midleading 38214 [[初中道德与法治/七年级上册]] 186805 wikitext text/x-wiki {{DISPLAYTITLE|刪除請求}} {{/header}} {{Easy Archive|to=Wikibooks:删除请求/存档/{{CURRENTYEAR}}年}} <!-- 以下為刪除請求 --> == [[一元三次方程式]]、[[一元四次方程式]]、[[三胞胎素数]]、[[中國剩餘定論]]、[[中頂多邊形]]、[[函數之連續]]、[[倍长中线法]]、[[分數]]、[[双生质数]]、[[四則運算]]、[[哥德巴赫猜想]]、[[整數]]、[[开方]]、[[極限]]、[[缺8数]]、[[缺98數]]、[[素数公式]]、[[自然數]]、[[韌性數]]、[[黄金质数]] == 都是对一些数学概念的解释，不能构成独立的教科书。建议迁移至维基学院。--[[User:GZWDer|GZWDer]] ([[User talk:GZWDer|留言]]) 2018年8月8日 (三) 09:30 (UTC) :以上頁面已經[https://zh.wikiversity.org/wiki/Special:%E6%97%A5%E5%BF%97?type=import&user=&page=&wpdate=&tagfilter=&subtype= 匯入至維基學院]。--[[User:Wasami007|安可]] ([[User talk:Wasami007|留言]]) 2018年9月4日 (二) 08:37 (UTC) :[[分数]]、[[自然数]]、[[四则运算]]、[[整数]]等比较基础的可以{{保留}}，其他过于专业性的{{删除}}。--[[User:Sayonzei|Sayonzei]] ([[User talk:Sayonzei|留言]]) 2018年10月6日 (六) 02:23 (UTC) *建議統統保留在維基教科書中，台灣的實驗教育領域已在使用，搬走影響人家教學進行。 *:維基的精神就是允許人慢慢完善化，不是要求人一步到位，未能一步到位者就要求刪除或搬走。 *:且[[一元三次方程式]]、[[一元四次方程式]]已是完整條目[[多項式]]的相關段落子頁，刪除後母頁即不完整。--[[User:丁志仁|丁志仁]] ([[User talk:丁志仁|留言]]) 2018年12月18日 (二) 02:40 (UTC) * {{处理中}}。 --书中自有'''[[User:WhitePhosphorus|白磷]]'''[[User talk:WhitePhosphorus|屋]]_{[[Special:用户贡献/WhitePhosphorus|查水表]]} 2019年8月29日 (四) 14:22 (UTC) :: {{ping|WhitePhosphorus}}情況如何？—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''_{（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]．[[w:zh:User:Ericliu1912|百科用戶頁]]'''）} 2019年10月14日 (一) 08:41 (UTC) : 处理结果 :: 保留：[[一元三次方程式]]、[[一元四次方程式]]、[[中國剩餘定論]]、[[哥德巴赫猜想]] :: 删除：[[缺8数]]、[[缺98數]]、[[素数公式]]（以及被移动到[[埃拉托斯特尼筛法]]的页面） :: 合并：[[分数]]→[[初中數學/算則觀念/分數]]、[[开方]]→[[算术/开方]] :: 合并但未完成实际操作（欢迎大家帮忙）：[[極限]]→[[微积分学/极限]]、[[整數]]→[[离散数学/集合论#整数集]]、[[四則運算]]→[[算术#四則運算]]、[[自然數]]→[[基础数学/自然数]] :: 尚未决定：[[三胞胎素数]]、[[中頂多邊形]]、[[函數之連續]]、[[倍长中线法]]、[[双生质数]]、[[韌性數]]、[[黄金质数]] : 说明： :: 被保留的页面构成当前教科书的一部分，且相关内链已经具备，也可以考虑移动到对应母教科书的子页。被合并的页面是发现有重复教科书的情况。被删除的页面属于偏离教科书内容的原创研究。埃拉托斯特尼筛法本来是[[初等数论]]中比较重要的一个部分，但原书页完全没有提及筛法的具体操作，而是论述作者自己的研究（虽然发表在《中等数学》上，但该期刊权威性且不论，文章作者还声明“接……来函嘱我将他的发现介绍给读者”，“无权亦无能力对此公式妄加评说”），所以移动到维基学院是正确的决定。 --书中自有'''[[User:WhitePhosphorus|白磷]]'''[[User talk:WhitePhosphorus|屋]]_{[[Special:用户贡献/WhitePhosphorus|查水表]]} 2019年11月11日 (一) 05:08 (UTC) :::{{ping|WhitePhosphorus|Sayonzei}}[[函數之連續]]、[[微积分学/极限/极限与连续]]、[[高等数学#函數的連續性]]三者重复，保留哪一个？--[[User:Jingkaimori|Jingkaimori]] ([[User talk:Jingkaimori|留言]]) 2020年10月8日 (四) 08:06 (UTC) ::::我建议{{保留}}[[微积分学/极限/极限与连续]]，并将其余两个页面合并至这个页面。高等数学#函数的连续性建议写简要内容，再放一个参见过去。 Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年5月31日 (日) 09:26 (UTC) ::: {{ping2|WhitePhosphorus|Sayonzei}}？—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''_{（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]．[[:w:zh:User:Ericliu1912|百科用戶頁]]'''）} 2021年11月22日 (一) 21:44 (UTC) {{Archive top}} [[中頂多邊形]]條目{{删除}}，這是本人多年前做的原創研究。[[User:Uranuscat33|Uranuscat33]] ([[User talk:Uranuscat33|留言]]) 2022年10月2日 (日) 07:28 (UTC) : 已經刪除。—— '''[[User:Ericliu1912|Eric Liu]]'''_{（'''[[User talk:Ericliu1912|留言]]'''）} 2023年1月11日 (三) 03:46 (UTC) {{Archive bottom}} == [[初中数学/七年级数学（上册）]]、[[初中数学/七年级数学（下册）]]、[[初中数学/八年级数学（上册）]]、[[初中数学/八年级数学（下册）]]、[[初中数学/九年级数学（上册）]]、[[初中数学/九年级数学（下册）]] == {{删除}}理据：初中数学已有数学，无需再写数学，并且与七年级上册等重复。若删除，其子页面应合并至[[初中數學/七年级上册]]等页面。还有，例如初中數學/七年级上册等页面标题存在繁简混用状况，链接输入不便，也请顺便移动一下。Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年5月27日 (三) 10:16 (UTC) :《初中數學》此書雖有按冊分類的子頁面，但其目錄並無導向這些頁面的鏈接。那麼該教科書到底是以教學內容分頁還是以學期分類？ [[User:谪仙|谪仙]] ([[User talk:谪仙|留言]]) 2026年5月29日 (五) 00:32 (UTC) ::我也在想这个问题。我在[[Talk:初中数学]]里面发过这个问题。 Pawsdt [[User:Pawsdt|U]] [[User Talk:Pawsdt|T]] [[Special:Contributions/Pawsdt|C]][+8] 2026年5月31日 (日) 09:22 (UTC) :::{{意見}} 既然如此，不如先在《初中數學》的討論頁討論清楚，再確定哪些頁面需要被處理。 [[User:谪仙|谪仙]] ([[User talk:谪仙|留言]]) 2026年6月2日 (二) 00:34 (UTC) == [[初中道德与法治/习近平新时代中国特色社会主义思想 学生读本（初中）]] == 完全抄袭教科书，侵犯版权。 [[User:Midleading|Midleading]] ([[User talk:Midleading|留言]]) 2026年8月19日 (三) 14:39 (UTC) == [[初中道德与法治/七年级上册]] == 完全抄袭教科书，应该删除该修订版本。 [[User:Midleading|Midleading]] ([[User talk:Midleading|留言]]) 2026年8月19日 (三) 14:40 (UTC) dfd9arwtrwfqd7z9ffwjzwhtluswyei 0 11662 186819 178854 2026-08-20T05:44:55Z Pawsdt 68279 重定向 186819 wikitext text/x-wiki '''细胞生物学'''是研究细胞结构、功能及生活史的一门科学。 == 细胞生物学概论 == === [[/绪论/]] === *[[/细胞生物学概述/]] *[[/细胞生物学的形成与发展趋势/]] *[[/细胞生物学与医学/]] === [[/细胞的概念与分子基础/]] === *[[/细胞的基本概念/]] *[[/细胞的分子基础/]] *[[/细胞的起源与进化/]] === [[/细胞生物学研究方法/]] === *[[/显微技术/]] *[[/细胞的分离和培养/]] *[[/细胞组分的分离和纯化技术/]] *[[/细胞化学和细胞内分子示踪技术/]] *[[/细胞功能基因组学研究技术/]] == 细胞的结构与功能 == === [[/细胞膜与物质的穿膜运输/]] === *[[/细胞膜的化学组成与生物学特性/]] *[[/小分子物质和离子的穿膜运输/]] *[[/大分子和颗粒物质的穿膜运输/]] *[[/细胞膜异常与疾病/]] === [[/细胞的内膜系统与囊泡转运/]] === *[[/内质网/]] *[[/高尔基复合体/]] *[[/溶酶体/]] *[[/过氧化物酶体/]] *[[/囊泡与囊泡转运/]] *[[/细胞内膜系统与医学的关系/]] === [[/线粒体与细胞的能量转换/]] === * [[/线粒体的基本特征/]] * [[/细胞呼吸与能量转换/]] * [[/线粒体与疾病/]] === [[/细胞骨架与细胞的运动/]] === *[[/微管/]] *[[/微丝/]] *[[/中间纤维/]] *[[/细胞的运动/]] *[[/细胞骨架与疾病/]] === [[/细胞核/]] === *[[/核膜/]] *[[/染色质与染色体/]] *[[/核仁/]] *[[/核基质/]] *[[/细胞核的功能/]] *[[/细胞核与疾病/]] === [[/细胞内遗传信息的传递及调控/]] === *[[/基因及其结构/]] *[[/基因转录和转录后加工/]] *[[/蛋白质的生物合成/]] *[[/基因表达的调控/]] *[[/基因的信息传递与医学/]] == 细胞的社会性 == === [[/细胞连接与细胞黏附/]] === *[[/细胞连接/]] *[[/细胞黏附/]] === [[/细胞微环境及其与细胞的相互作用/]] === *[[/细胞微环境的组成/]] *[[/细胞外基质的主要组成成分/]] *[[/细胞微环境与细胞间的相互作用/]] *[[/细胞微环境异常与疾病/]] === [[/细胞间信息传递/]] === * [[/细胞间信息传递的方式和途径/]] * [[/细胞的信号转导及其关键分子/]] * [[/细胞的主要信号转导通路/]] * [[/细胞信号转导通路的整合与调控/]] * [[/细胞间信息传递障碍与疾病/]] == 细胞的基本生命活动 == === [[/细胞增殖及其调控/]] === *[[/细胞分裂/]] *[[/细胞周期/]] *[[/细胞周期的调控/]] *[[/细胞周期与医学的关系/]] === [[/生殖细胞与受精/]] === *[[/生殖细胞的起源与发生/]] *[[/受精与医学/]] === [[/细胞分化/]] === *[[/细胞分化的基本概念/]] *[[/细胞分化的分子基础/]] *[[/细胞分化的影响因素/]] *[[/细胞分化与医学/]] === [[/细胞衰老与死亡/]] === *[[/细胞衰老/]] *[[/细胞死亡/]] *[[/细胞自噬/]] == 细胞实验指南 == # [[细胞生物学/细胞原代培养、传代培养、冻存和复苏|细胞原代培养、传代培养、冻存和复苏]] # [[细胞生物学/原代细胞培养和传代培养的方法|原代细胞培养和传代培养的方法]] # [[细胞生物学/原代细胞培养与分离|原代细胞培养与分离]] # [[细胞生物学/B淋巴细胞分离技术|B淋巴细胞分离技术]] # [[细胞生物学/T淋巴细胞分离技术|T淋巴细胞分离技术]] # [[细胞生物学/Transwell实验方法|transwell实验方法]] # [[细胞生物学/细胞迁移实验|细胞迁移实验]](细胞划痕法) # [[细胞生物学/MTT法测定细胞相对数和相对活力|MTT法测定细胞相对数和相对活力]] # [[细胞生物学/细胞周期测定实验|细胞周期测定实验]] # [[细胞生物学/细胞增殖检测MTT法|细胞增殖检测MTT法]] # [[细胞生物学/细胞凋亡检测实验|细胞凋亡检测实验]]（Annexin V PI双染色法） # [[细胞生物学/TUNEL法检测细胞凋亡实验原理和方法|TUNEL法检测细胞凋亡实验原理和方法]] # [[细胞生物学/流式细胞仪检测细胞凋亡操作流程|流式细胞仪检测细胞凋亡操作流程]] # [[细胞生物学/细胞凋亡检测方法|细胞凋亡检测方法]]汇总 # [[细胞生物学/细胞转染操作方法及各方法比较|细胞转染操作方法及各方法比较]] # [[细胞生物学/真核细胞转染操作方法|真核细胞转染操作方法]] # [[细胞生物学/质粒转染实验步骤|质粒转染实验步骤]] == 细胞生物学相关科学 == === [[/干细胞生物学/]] === *[[/干细胞概述/]] *[[/胚胎干细胞/]] *[[/组织干细胞/]] *[[/干细胞与医学/]] === [[/细胞工程/]] === *[[/细胞工程的主要相关技术/]] *[[/细胞工程的应用/]] [[Category:自然科学]] [[Category:细胞生物学]] [[Category:生物学]] [[de:Biologie für Mediziner]] kpoonewycu0baq5xj4n4syhdt97835p 10 11794 186823 23837 2026-08-20T06:00:38Z Pawsdt 68279 LintError 186823 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {| style="background:#F8FCFF; color: inherit;text-align:center" border="0" <noinclude> <br/> ==Usage== To create a set of tabs, use these four elements. 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break-all;"> 此{{NSPN}}可能[[WB:侵犯版权|侵犯版权]]，並已列在[[Wikibooks:删除请求]]中。'''<span class="plainlinks">{{#if:{{{OldRevision|}}}|[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|oldid={{{OldRevision}}}}} 条目的文本]|{{#ifeq:{{NAMESPACE}}||[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=history 原文本}}]|[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|direction=prev&oldid={{REVISIONID}} 原文本}}]}}}}</span>'''疑似来自：<br> {{{url}}} </div> <span style="padding: 1px; ">请暂时不要修改本頁或重复创建相同内容的页面。{{#ifexist:Draft:{{PAGENAME}}{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|Draft|/temp}}|'''已存在[[Draft:{{PAGENAME}}{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|Draft|/temp|redirect=no}}|草稿页面]]。'''}}</span> {{!}}- {{!}} style="padding: 0.5em 1em;"{{!}} <span style="font-size:larger">'''如何解决'''</span> * 若您是本篇文本的版权持有者，请参考[[w:Wikipedia:捐赠版权材料/捐赠流程|授权流程]]。 * 若您不是版权持有者但愿意用'''自己的表達方式'''重新创作本{{NSPN}}，请进入'''[{{fullurl:Draft:{{PAGENAME}}{{#ifeq:{{NAMESPACE}}|Draft|/temp}}|action=edit&preload=Template:Copyvio/preload}} 草稿页面]'''重写。 * 若您认为此为错误提报，请到[[Wikibooks:删除请求]]的相应段落留言说明。 '''提示''' * [[w:Wikipedia:版权常见问题解答|版权常见问题解答]] · 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[[en:Template:Copyvio]] </includeonly> 2uvcp61ytu4jv760pdvfhi0zappwx4o 14 14177 186818 78531 2026-08-20T03:47:19Z Pawsdt 68279 重定向 186818 wikitext text/x-wiki [[Category:版權模板]] 59znkabstugsjcsa1sezgoywr71mhwi 14 14368 186817 38009 2026-08-20T03:46:34Z Pawsdt 68279 重定向 186817 wikitext text/x-wiki [[Category:版權模板]] 59znkabstugsjcsa1sezgoywr71mhwi 4 17641 186825 175806 2026-08-20T06:08:02Z Ffffffox12 69004 /* 关于中文维基教科书 */ 更新信息 186825 wikitext text/x-wiki == 关于中文维基教科书 == '''中文维基教科书'''是维基教科书在中文语言区的子计划。 中文维基教科书成为正式项目之后，开始独立发展。目前，中文维基教科书共有{{NUMBEROFARTICLES}}页教科书，截至2026年8月20日，在各语言维基教科书中[[m:Wikibooks/Table|排名]]第16位。 == 中文维基教科书独立于其他语言维基教科书 == 中文维基教科书和其他语言维基教科书是相对独立的项目，这一点体现在很多方面上。 * 中文维基教科书具有独立的服务器和Mediawiki软件，不受其他语言维基教科书系统修改的影响。 * 中文维基教科书有自己的[[Wikibooks:方针与指引|方针与指引]]。 * 中文维基教科书的内部链接不会链接到其他维基计划，若要链接到其他维基计划必须使用跨维基标志。 * 中文维基教科书有自己的管理员。 * 中文维基教科书拥有独立的内容，独立的内容分类结构，以及独立的模板。 == 参见 == *[[Wikibooks:关于]] *[[Wikibooks:维基教科书是什么]] [[Category:帮助]] [[Category:维基教科书]] 46ofii1tsl3qwqzjwaj2wsw79uthwlw 0 18917 186820 185456 2026-08-20T05:52:35Z Pawsdt 68279 重定向 186820 wikitext text/x-wiki 1個圓 = 360度。同界角意思是角度可以超過360度，或是角度可以負的。 若某個角度360×n+a度和b度為同界角，且0&lt;a&lt;360 ，則可稱 360×n+a 度和b度為同界角 。 (1)兩個有向角，若具有相同的始邊與終邊， 則稱它們互為同界角。 (2)有向角''θ''1、''θ''2互為同界角→''θ''1、''θ''2之差必為360°的 整數倍，即''θ''1-''θ''2=n×360。 例如；400度 = 360×1+40，則400度和40度為同界角；-850度 = -360×2 -130，則-850度和-130度為同界角。 同界角的角度可以轉的圈數因為數字無限多，所以同界角在題目問法上，只能問「最小正同界角」和「最大負 同界角」。 == 最小正同界角 == 例如：1010度角的最小正同界角? 1010 = 360×2+290，得知 1010度的最小正同界角=290度。 == 最大負同界角 == 例如：1010度角的最大負同界角? 1010 = 360×3-70，得知 1010度的最大負同界角= -70度。 圓周360度不論角度繞過幾圈都不必理會，只需看後面的數字即可。 [[Category:几何学]] cua0xe0d6kj0e7kefqywwy54afrx527 2 22567 186827 77618 2026-08-20T06:15:51Z Pawsdt 68279 怎么没标题 186827 wikitext text/x-wiki ===分數=== <math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6}</math><br/> ===根號=== <math>\sqrt{5},\sqrt[3]{6},\sqrt[4]{7}</math><br/> ===配方法=== <math>\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> <math>y=f(x)=ax^2+bx+c</math><br/> <math>=a [ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} ] </math><br/> <math>=a [ x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a} ] </math><br/> <math>=a [ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2} ] </math><br/> <math>=a [ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2} ] </math><br/> <math>=a [ (x+\frac{b}{2a})^2-(\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}})^2 ] </math><br/> <math>=a [ (x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})^2 ] </math><br/> <math>=a [ (x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) ] </math><br/> <math>=a [ x+\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ] </math><br/> <math>=a [ x-\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ] </math><br/> <math>A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)</math><br/> 距離<math>=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}</math><br/> 中點座標<math>=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})</math><br/> <math>\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)</math><br/> ===餘弦定理=== <math>\triangle ABC</math> ,角 <math>A,B,C</math> ,對應邊 <math>a,b,c</math><br/> <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math><br/> ===重力與軌道=== <math>F=G\frac{M_1 M_2}{r^2}</math><br/> <math>a=\frac{v^2}{r}</math><br/> ===勞倫茲變換=== <math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}</math><br/> <math>\Delta{t_v}=\frac{\Delta{t}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}</math><br/> 2tuxmxu9wf6kmsqlqof7zy3j4mwq2qm 10 24325 186815 184740 2026-08-20T03:41:44Z Pawsdt 68279 重定向 186815 wikitext text/x-wiki {{mbox |image=[[Information icon4.svg]] |text=本{{NS}}的所有或部分内容'''取自维基百科{{#ifeq:{{{1|a}}}|{{{1|b}}}|{{#if:{{{1|}}}|的[[w:{{{1}}}|{{#if:{{{2|}}}|{{{2}}}|{{{1}}}}}]]页面}}|的[[w:{{FULLPAGENAME}}|{{FULLPAGENAME}}]]页面}}'''。<br><small>本{{NS}}的内容不一定会及时更新。因此可以参阅维基百科的条目以查看最新内容。你也可以<span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} 帮助更新此页面]</span>。{{#switch:{{NAMESPACE}} |{{ns:Template}}=<includeonly>[[Category:来自维基百科的模板|{{PAGENAME}}]]</includeonly> |{{ns:模块}}=<includeonly>[[Category:来自维基百科的模块|{{PAGENAME}}]]</includeonly> |{{#ifeq:{{PAGENAME}}|{{TALKPAGENAME}}|<br>发现这是一个讨论页，请检查该模板是否正确使用！}}<includeonly>[[Category:来自维基百科的页面]]</includeonly> }} }}<noinclude>{{documentation}} bbjbs9dy6kwm87n3a4ukettuu5ivg2k 186816 186815 2026-08-20T03:44:28Z Pawsdt 68279 重定向 186816 wikitext text/x-wiki {{mbox |image=[[Information icon4.svg]] |text=本{{NS}}的所有或部分内容'''取自维基百科{{#ifeq:{{{1|a}}}|{{{1|b}}}|{{#if:{{{1|}}}|的[[w:{{{1}}}|{{#if:{{{2|}}}|{{{2}}}|{{{1}}}}}]]页面}}|的[[w:{{FULLPAGENAME}}|{{FULLPAGENAME}}]]页面}}'''。<br><small>本{{NS}}的内容不一定会及时更新。因此可以参阅维基百科的条目以查看最新内容。你也可以<span class="plainlinks">[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} 帮助更新此页面]</span>。{{#ifeq:{{PAGENAME}}|{{TALKPAGENAME}}<br>发现这是一个讨论页，请检查该模板是否正确使用！<includeonly>[[Category:来自维基百科的页面]]</includeonly> }} }}<noinclude>{{documentation}} 67gsftonnrixnpf5mcqau7yxmlhdjwp 0 27542 186824 133887 2026-08-20T06:05:06Z Pawsdt 68279 修复错误 186824 wikitext text/x-wiki __FORCETOC__ {{TOC right}} {{incomplete}} == 三角函数 == <!--If I get around to it I want to have a brief coverage of trig and/or a few links to help people like me who didn't remember the school work--> 三角函数使用的是C语言的数学函数，基于二进制浮点运算，即在计算过程中采用的是实数的近似值。OpenSCAD的数学函数使用的是Value.h/Value.cc's文件中的C++ 'double'类型。 如果对C语言库中的数学函数规范（例如有效的输入/输出范围）感兴趣，可以查阅Open Group网站[http://pubs.opengroup.org/onlinepubs/009695399/basedefs/math.h.html math.h] & [http://pubs.opengroup.org/onlinepubs/009695399/functions/acos.html acos] === cos === 数学中的'''余弦'''函数，以角度为单位。参见 [[w:Cosine#Sine.2C_cosine_and_tangent|余弦]] '''参数''' ; &lt;degrees&gt; : 十进制数。以角度为单位表示的旋转角。 {| style="width:75%" | colspan="2" | '''用例：''' |- | <syntaxhighlight lang="javascript"> for(i=[0:36]) translate([i*10,0,0]) cylinder(r=5,h=cos(i*10)*50+60); </syntaxhighlight> |[[File:OpenSCAD_Cos_Function.png|thumb|OpenSCAD余弦函数示例‎]] |} === sin === 数学中的'''正弦'''函数。参见 [[w:Trigonometric_functions#Sine.2C_cosine_and_tangent|正弦]] '''参数''' ; &lt;degrees&gt; : 十进制数。以角度为单位表示的旋转角。 {| | colspan="2" | '''用例1：''' |- | <syntaxhighlight lang="javascript"> for (i = [0:5]) { echo(360*i/6, sin(360*i/6)*80, cos(360*i/6)*80); translate([sin(360*i/6)*80, cos(360*i/6)*80, 0 ]) cylinder(h = 200, r=10); } </syntaxhighlight> | |} <br> {| | colspan = 2 | '''用例2：''' |- | <syntaxhighlight lang="javascript"> for(i=[0:36]) translate([i*10,0,0]) cylinder(r=5,h=sin(i*10)*50+60); </syntaxhighlight> |[[File:OpenSCAD_Sin_Function.png|thumb|OpenSCAD正弦函数示例]] |} === tan === 数学中的'''正切'''函数。参见[[w:Trigonometric_functions#Sine.2C_cosine_and_tangent|正切]] '''参数''' ; &lt;degrees&gt; : 十进制数。以角度为单位表示的旋转角。 {| | colspan = 2 | '''用例：''' |- | <syntaxhighlight lang="javascript"> for (i = [0:5]) { echo(360*i/6, tan(360*i/6)*80); translate([tan(360*i/6)*80, 0, 0 ]) cylinder(h = 200, r=10); } </syntaxhighlight> | |} <br> === acos === 数学中的'''反余弦'''函数，以角度为单位。参见： [[w:Inverse_trigonometric_functions|反三角函数]] === asin === 数学中的'''反正弦'''函数，以角度为单位。参见：[[w:Inverse_trigonometric_functions|反三角函数]] === atan === 数学中的'''反正切'''函数。返回x反正切函数的主值，以角度为单位。参见：[[w:Inverse_trigonometric_functions|反三角函数]] === atan2 === 数学中的'''two-argument atan'''函数，取y作为其第一个参数。返回y/x反正切函数的主值，以角度为单位。参见：[[w:Atan2|atan2]] == 其他数学函数 == === abs === 数学中的'''求绝对值'''函数。返回带符号十进制数的正值。 '''用例：''' abs(-5.0); abs(0); abs(8.0); '''结果：''' 5.0 0.0 8.0 === ceil === 数学中的'''向上取整'''函数。 若目标数为小数，则返回大于它的最小整数；否则返回其自身。 See: [[w:Ceil_function|向上取整函数]] echo(ceil(4.4),ceil(-4.4)); // 生成结果ECHO: 5, -4 === concat === {{requires|2015.03}} 返回由参数所构成的向量。 若参数是一个向量，则将其中元素依次取出构成返回的结果向量。此函数处理字符的方式与向量不同。 '''用例：''' echo(concat("a","b","c","d","e","f")); // 生成结果ECHO: ["a", "b", "c", "d", "e", "f"] echo(concat(["a","b","c"],["d","e","f"])); // 生成结果ECHO: ["a", "b", "c", "d", "e", "f"] echo(concat(1,2,3,4,5,6)); // 生成结果ECHO: [1, 2, 3, 4, 5, 6] 处理以向量为元素的向量 echo(concat([ [1],[2] ], [ [3] ])); // 生成结果ECHO: [<!---->[1], [2], [3]<!---->] 将向量与字符串的处理结果进行对比 echo(concat([1,2,3],[4,5,6])); // 生成结果ECHO: [1, 2, 3, 4, 5, 6] echo(concat("abc","def")); // 生成结果ECHO: ["abc", "def"] echo(str("abc","def")); // 生成结果ECHO: "abcdef" === cross === 计算两个3D向量的叉积。结果是一个正交于两个输入向量的向量。 输入无效参数(例如，长度不为3的向量或其他类型)将产生一个无定义的结果。 '''用例：''' echo(cross([2, 3, 4], [5, 6, 7])); // 生成结果ECHO: [-3, 6, -3] echo(cross([2, 1, -3], [0, 4, 5])); // 生成结果ECHO: [17, -10, 8] echo(cross([2, 3, 4], "5")); // 生成结果ECHO: undef === exp === 数学中的'''exp'''函数。返回以e为底，参数x为幂的结果。参考：[[w:Exponent|Exponent]] echo(exp(1),exp(ln(3)*4)); // 生成结果ECHO: 2.71828, 81 === floor === 数学中的'''floor'''函数。floor(x)返回的是不大于参数x的最大整数。 参见：[[w:Floor_function|Floor Function]] echo(floor(4.4),floor(-4.4)); // 生成结果ECHO: 4, -5 === ln === 数学中的'''自然对数'''。参见：[[w:Natural_logarithm|Natural logarithm]] === len === 数学中的'''length'''函数。返回数组、向量或字符串参数的长度。 '''用例：''' str1="abcdef"; len_str1=len(str1); echo(str1,len_str1); a=6; len_a=len(a); echo(a,len_a); array1=[1,2,3,4,5,6,7,8]; len_array1=len(array1); echo(array1,len_array1); array2=[<!---->[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]<!---->]; len_array2=len(array2); echo(array2,len_array2); len_array2_2=len(array2[2]); echo(array2[2],len_array2_2); '''结果：''' ECHO: "abcdef", 6 ECHO: 6, undef ECHO: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], 8 ECHO: [<!---->[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]<!---->], 4 ECHO: [1, 0], 2 此函数可用于对数组、向量或字符串进行解析。 '''用例：''' str2="4711"; for (i=[0:len(str2)-1]) echo(str("digit ",i+1," : ",str2[i])); '''结果：''' ECHO: "digit 1 : 4" ECHO: "digit 2 : 7" ECHO: "digit 3 : 1" ECHO: "digit 4 : 1" 请注意，对于len()函数而言，为之传入一个简单的变量作为参数是无定义的。 用此函数来为模块处理参数也是极好的，例如能用一个数或形如[x,y,z]的向量来定义一个图形，即cube(5)或cube([5,5,5])。 例如 module doIt(size) { if (len(size) == undef) { // 若size为一个数，就把它作为x、y、z(原本undef) do([size,size,size]); } else { // 若size是一个向量(也可能是一个字符串，但是这也太蠢了) do(size); } } doIt(5); // 等价于[5,5,5] doIt([5,5,5]); // similar to cube(5) v's cube([5,5,5]) === let === {{requires|2015.03}} 为表达式中的一系列变量进行赋值。let函数后的表达式可以用赋值后的变量进行计算。此函数的主要功能在于：通过将多个中间结果赋予对应变量，令复杂的表达式更具可读性。 '''参数''' let (var1 = value1, var2 = f(var1), var3 = g(var1, var2)) 表达式 '''用例：''' echo(let(a = 135, s = sin(a), c = cos(a)) [ s, c ]); // ECHO: [0.707107, -0.707107] === log === 数学中以10位底的'''对数'''。例如：log(1000) = 3。参见：[[w:Logarithm|Logarithm]] === lookup === 查找表中的值，如果没有完全匹配的值，则进行线性插值。第一个参数为待查值。第二个参数为待查表——由键-值对构成的向量。 '''参数''' ; key : 待查键 ; &lt;key,value&gt; 数组 : 键值对集合 {| |'''请注意''' 此函数存在一个bug，若查找的键不在待查范围之中，将返回键值对列表中的第一个值。在Openscad的较新版本中，应当采用最近的表值加以取代。 |'''用例：''' * 此例将创建一张由不同高度的圆柱体构成的3D图表。 |- | <syntaxhighlight lang="javascript"> function get_cylinder_h(p) = lookup(p, [ [ -200, 5 ], [ -50, 20 ], [ -20, 18 ], [ +80, 25 ], [ +150, 2 ] ]); for (i = [-100:5:+100]) { // echo(i, get_cylinder_h(i)); translate([ i, 0, -30 ]) cylinder(r1 = 6, r2 = 2, h = get_cylinder_h(i)*3); } </syntaxhighlight> | [[File:OpenSCAD_Lookup_Function.png|thumb|OpenSCAD查找函数示例]] |} === max === 返回参数中的最大值。若参数指定的是一个向量，则返回数组中的最大元素。 '''参数''' max(n,n{,n}...) max(vector) ; <n> : 两个或两个以上十进制数 ; <vector> : 一个由十进制元素构成的向量 {{requires|2014.06}} '''用例：''' max(3.0,5.0) max(8.0,3.0,4.0,5.0) max([8,3,4,5]) '''结果：''' 5 8 8 === min === 返回参数中的最小值。若参数指定的是一个向量，则返回向量中的最小元素。 '''参数''' min(n,n{,n}...) min(vector) ; <n> : 两个或两个以上十进制数 ; <vector> : 一个由十进制元素构成的向量 {{requires|2014.06}}. '''用例：''' min(3.0,5.0) min(8.0,3.0,4.0,5.0) min([8,3,4,5]) '''结果：''' 3 3 3 <br> <br> <span style="font-size:150%">Looking for '''mod'''</span> - 它并不是一个函数，参见 [[OpenSCAD_User_Manual/Mathematical_Operators|modulo operator (%)]] === norm === : 返回向量的[[w:Norm_(mathematics)|欧几里得范数]]。请注意， 当用'''len'''返回向量或数组中元素的数量时，返回的是实有数的个数。 '''用例：''' a=[1,2,3,4]; b="abcd"; c=[]; d=""; e=[<!---->[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2],[1]<!---->]; echo(norm(a)); //5.47723 echo(norm(b)); //undef echo(norm(c)); //0 echo(norm(d)); //undef echo(norm(e[0])); //5.47723 echo(norm(e[1])); //3.74166 echo(norm(e[2])); //2.23607 echo(norm(e[3])); //1 '''结果''' ECHO: 5.47723 ECHO: undef ECHO: 0 ECHO: undef ECHO: 5.47723 ECHO: 3.74166 ECHO: 2.23607 ECHO: 1 === pow === 数学中的'''幂'''函数。 '''参数''' ; &lt;base&gt; : 十进制数。底数。 ; &lt;exponent&gt; : 十进制数。指数（幂）。 '''用例：''' for (i = [0:5]) { translate([i*25,0,0]) { cylinder(h = pow(2,i)*5, r=10); echo (i, pow(2,i)); } } echo(pow(10,2)); // 意即10^2 或 10*10 // 结果: ECHO: 100 echo(pow(10,3)); // 意即10^3 或 10*10*10 // 结果: ECHO: 1000 echo(pow(125,1/3)); // 意即125^(0.333...)，等价于计算125的立方根 // 结果: ECHO: 5 === rands === 随机数生成器。生成伪随机数构成的常向量（很像数组）。其中的元素皆为双精度浮点数而非整数。当生成一个数时，您仍可用变量[0]来调用它。 '''参数''' ; min_value : 随机数范围中的最小值 ; max_value : 随机数范围中的最大值 ; value_count : 返回向量中的随机数数量 ; seed_value (可选项) : 应对可重复结果而为随机数生成器设置的种子值。在2015近期之前的各版本中，seed_value将被取整为最接近的整数。 '''用例：''' // 获取单个随机数 single_rand = rands(0,10,1)[0]; echo(single_rand); // 获取由4个元素构成的向量 seed=42; random_vect=rands(5,15,4,seed); echo( "Random Vector: ",random_vect); sphere(r=5); for(i=[0:3]) { rotate(360*i/4) { translate([10+random_vect[i],0,0]) sphere(r=random_vect[i]/2); } } // ECHO: "Random Vector: ", [8.7454, 12.9654, 14.5071, 6.83435] === round === "round"运算符返回参数的四舍五入值。 一些示例：<br /> round(x.5) = x+1.<br /> round(x.49) = x.<br /> round(-(x.5)) = -(x+1).<br /> round(-(x.49)) = -x.<br /> <br /> round(5.4); //-> 5<br /> round(5.5); //-> 6<br /> round(5.6); //-> 6<br /> === sign === 数学中的'''符号'''函数。返回带有参数符号的单位值，参见：[[w:Sign_function|Signum function]] '''参数''' ; &lt;x&gt; : 十进制数。待查符号的值。 '''用例：''' sign(-5.0); sign(0); sign(8.0); '''结果：''' -1.0 0.0 1.0 === sqrt === 数学中的'''平方根'''函数。 '''用例：''' translate([sqrt(100),0,0])sphere(100); == Infinities and NaNs == How does OpenSCAD deal with inputs like (1/0)? Basically, the behavior is inherited from the language OpenSCAD was written in, the C++ language, and its floating point number types and the associated C math library. This system allows representation of both positive and negative infinity by the special values "Inf" or "-Inf". It also allow representation of creatures like sqrt(-1) or 0/0 as "NaN", an abbreviation for "Not A Number". Some very nice explanations can be found on the web, for example the [http://pubs.opengroup.org/onlinepubs/009695399/basedefs/math.h.html Open Group's site on math.h] or [[w:IEEE_754-1985#Representation_of_non-numbers | Wikipedia's page on the IEEE 754 number format]]. However OpenSCAD is it's own language so it may not exactly match everything that happens in C. For example, OpenSCAD uses degrees instead of radians for trigonometric functions. Another example is that sin() does not throw a "domain error" when the input is 1/0, although it does return NaN. Here are some examples of infinite input to OpenSCAD math functions and the resulting output, taken from OpenSCAD's regression test system in late 2015. {| class="wikitable" |- | 0/0: nan || sin(1/0): nan || asin(1/0): nan ||ln(1/0): inf ||round(1/0): inf |- | -0/0: nan ||cos(1/0): nan ||acos(1/0): nan ||ln(-1/0): nan ||round(-1/0): -inf |- | 0/-0: nan ||tan(1/0): nan || atan(1/0): 90 ||log(1/0): inf ||sign(1/0): 1 |- | 1/0: inf ||ceil(-1/0): -inf ||atan(-1/0): -90 ||log(-1/0): nan ||sign(-1/0): -1 |- | 1/-0: -inf ||ceil(1/0): inf ||atan2(1/0, -1/0): 135 ||max(-1/0, 1/0): inf ||sqrt(1/0): inf |- | -1/0: -inf ||floor(-1/0): -inf ||exp(1/0): inf ||min(-1/0, 1/0): -inf ||sqrt(-1/0): nan |- | -1/-0: inf ||floor(1/0): inf ||exp(-1/0): 0 ||pow(2, 1/0): inf ||pow(2, -1/0): 0 |} {{BookCat}} jzn7b0r9zeh7rt7phv5csegdn0cg01e 0 28326 186826 181648 2026-08-20T06:14:48Z Pawsdt 68279 修复错误（但是后面怎么没了 不搞了） 186826 wikitext text/x-wiki '''TensorFlow'''是一个开源软件库，用于各种机器学习与数据处理任务。TensorFlow最初由谷歌公司的大脑团队开发，用于Google的研究和生产，于2015年11月9日在Apache 2.0开源许可证下发布。 在Python中需要首先导入包： import tensorflow as tf ==概念== * TensorFlow是采用'''数据流图'''（data flow graphs）来描述了计算的过程。 * 图中的节点（Nodes）被称之为 op (operation 的缩写)，用来表示施加的计算任务，但也可以表示数据输入（feed in）的起点/输出（push out）的终点，或者是读取/写入持久变量（persistent variable）的终点。一个 op 获得 0 个或多个 tensor，执行计算产生 0 个或多个张量tensor，每个tensor是一个类型化的多维数组。 **源 op (source op)不需要任何输入，例如 常量 (Constant)。 * 线（edges）则表示在节点间相互联系的多维数据数组（即张量）。在Python中，节点赋值给一个名字，该名字对应的类型为ensorflow.python.framework.ops.Tensor，即表示这个节点输出的张量。一旦输入端的所有张量准备好，节点将被分配到各种计算设备完成异步并行计算。 * 为了进行计算，图必须在被称之为 会话 (Session) 的上下文 (context) 中执行。Session 将图的 op 分发到诸如 CPU 或 GPU 之类的设备上，同时提供执行 op 的方法。这些方法执行后，将产生的 tensor 返回。 * 变量 (Variable) 用于维护状态 * feed机制可以用一个 tensor 值临时替换图中的任意节点的输出tensor；还可以直接插入一个 tensor。feed数据作为 Session 对象的run() 调用的参数。feed 只在调用它的方法内有效，方法结束，feed 就会消失。 * fetch：为了取回操作的输出内容，使用 Session 对象的 run() 调用执行图时，传入一些（节点的输出）tensor，，则run()返回其计算结果。在 Python 语言中, tf.Session的run返回的tensor是 numpy.ndarray 对象；在 C 和 C++ 语言中，返回的 tensor 是 tensorflow::Tensor 实例。Session需要close()释放。 ==交互式运行环境== 可以使用 InteractiveSession 代替 Session 类，使用 Tensor.eval() 和 Operation.run() 方法代替 Session.run(). <syntaxhighlight lang="python"> # 进入一个交互式 TensorFlow 会话. import tensorflow as tf sess = tf.InteractiveSession() x = tf.Variable([1.0, 2.0]) a = tf.constant([3.0, 3.0]) # 使用初始化器 initializer op 的 run() 方法初始化 'x' x.initializer.run() # 增加一个减法 sub op, 从 'x' 减去 'a'. 运行减法 op, 输出结果 sub = tf.subtract(x, a) print (sub.eval()) </syntaxhighlight> ==TensorBoard可视化数据流图== <syntaxhighlight lang="python"> import tensorflow as tf a = tf.constant(2, name="a") b = tf.constant(2, name="b") x = tf.add(a, b, name="add") with tf.Session() as sess: writer = tf.summary.FileWriter('D:\\tmp', sess.graph) # if you prefer creating your writer using session's graph print(sess.run(x)) writer.close() </syntaxhighlight> 然后在cmd运行程序 $ python3 [my_program.py] $ tensorboard --logdir="\tmp" --port 6006 在浏览器打开 http://ThisComputerName:6006/ ==成员函数== ===常量=== num = tf.constant(2, name="num") # constant of 1d tensor (vector) a = tf.constant([2, 2], name="vector") # constant of 2x2 tensor (matrix) b = tf.constant([<!---->[0, 1], [2, 3]<!---->], name="matrix") # create a tensor of shape and all elements are zeros tf.zeros([2, 3], tf.int32) ==> [<!---->[0, 0, 0], [0, 0, 0]<!---->] # create a tensor of shape and type (unless type is specified) as the input_tensor but all elements are zeros. input_tensor [<!---->[0, 1], [2, 3], [4, 5]<!---->] tf.zeros_like(input_tensor) ==> [<!---->[0, 0], [0, 0], [0, 0]<!---->] # create a tensor of shape and all elements are ones tf.ones([2, 3], tf.int32) ==> [<!---->[1, 1, 1], [1, 1, 1]<!---->] # input_tensor is [<!---->[0, 1], [2, 3], [4, 5]<!---->] tf.ones_like(input_tensor) ==> [<!---->[1, 1], [1, 1], [1, 1]<!---->] # create a tensor filled with a scalar value. tf.fill([2, 3], 8) ==> [<!---->[8, 8, 8], [8, 8, 8]<!---->] #tf.lin_space(start, stop, num, name=None) # create a sequence of num evenly-spaced values are generated beginning at start. If num > 1, the values in the sequence increase by (stop - start) / (num - 1), so that the last one is exactly stop. comparable to but slightly different from numpy.linspace tf.lin_space(10.0, 13.0, 4, name="linspace") ==> [10.0 11.0 12.0 13.0] #tf.range([start], limit=None, delta=1, dtype=None, name='range') # create a sequence of numbers that begins at start and extends by increments of delta up to but not including limit. slight different from range in Python # 'start' is 3, 'limit' is 18, 'delta' is 3 tf.range(start, limit, delta) ==> [3, 6, 9, 12, 15] # 'start' is 3, 'limit' is 1, 'delta' is -0.5 tf.range(start, limit, delta) ==> [3, 2.5, 2, 1.5] # 'limit' is 5 tf.range(limit) ==> [0, 1, 2, 3, 4] 不像Numpy或者Python其他序列，TensorFlow序列不能迭代 for _ in np.linspace(0, 10, 4): # OK for _ in tf.linspace(0.0, 10.0, 4): # TypeError: 'Tensor' object is not iterable. for _ in range(4): # OK for _ in tf.range(4): # TypeError: 'Tensor' object is not iterable. 生成随机常量： * tf.random_normal * tf.truncated_normal * tf.random_uniform * tf.random_shuffle * tf.random_crop * tf.multinomial * tf.random_gamma * tf.set_random_seed ===变量=== * tf.Variable(initial_value=None, trainable=True, collections=None, validate_shape=True, caching_device=None, name=None, variable_def=None, dtype=None, expected_shape=None, import_scope=None) 如果检测到命名冲突，系统会自己处理。 每次都创建新对象 * tf.get_variable(name, shape=None, dtype=None, initializer=None, regularizer=None, trainable=True, collections=None, caching_device=None, partitioner=None, validate_shape=True, custom_getter=None) 如果检测到命名冲突，系统会报错。因而，需要跨作用域共享变量的时候，应该使用tf.get_variable() * tf.global_variables_initializer 初始化全局变量 tf.assign(variableName,value) 赋值给变量 ===数学运算=== 各种除法 import tensorflow as tf a = tf.constant([2, 2], name='a') b = tf.constant([<!---->[0, 1], [2, 3]<!---->], name='b') with tf.Session() as sess: #print(sess.run(tf.div(b, a))) # ⇒ [<!---->[0 0] [1 1]<!---->] 过时了 print(sess.run(tf.divide(b, a))) # ⇒ [<!---->[0. 0.5] [1. 1.5]<!---->] print(sess.run(tf.truediv(b, a))) # ⇒ [<!---->[0. 0.5] [1. 1.5]<!---->] print(sess.run(tf.floordiv(b, a))) # ⇒ [<!---->[0 0] [1 1]<!---->] #print(sess.run(tf.realdiv(b, a))) # ⇒ # Error: only works for real values print(sess.run(tf.truncatediv(b, a))) # ⇒ [<!---->[0 0] [1 1]<!---->] print(sess.run(tf.floor_div(b, a))) # ⇒ [<!---->[0 0] [1 1]<!---->] {| class="wikitable" |- |tf.add(x, y, name=None) || 求和 |- |tf.sub(x, y, name=None) || 减法 |- |tf.mul(x, y, name=None) || 乘法 |- |tf.div(x, y, name=None) || 除法 |- |tf.mod(x, y, name=None) || 取模 |- |tf.abs(x, name=None) || 求绝对值 |- |tf.neg(x, name=None) || 取负 (y = -x). |- |tf.sign(x, name=None) || 返回符号 y = sign(x) = -1 if x < 0; 0 if x == 0; 1 if x > 0. |- |tf.inv(x, name=None) || 取反 |- |tf.square(x, name=None) || 计算平方 (y = x * x = x^2). |- |tf.round(x, name=None) || 舍入最接近的整数 # ‘a’is [0.9, 2.5, 2.3, -4.4]， tf.round(a)则[ 1.0, 3.0, 2.0, -4.0 ] |- |tf.sqrt(x, name=None) || 开根号 (y = \sqrt{x} = x^{1/2}). |- |tf.pow(x, y, name=None) || 幂次方 # tensor ‘x’ is [<!---->[2, 2], [3, 3]<!---->] # tensor ‘y’ is [<!---->[8, 16], [2, 3]<!---->] tf.pow(x, y) 则 [<!---->[256, 65536], [9, 27]<!---->] |- |tf.exp(x, name=None) || 计算e的次方 |- |tf.log(x, name=None) || 计算log，一个输入计算e的ln，两各输入以第二输入为基 |- |tf.maximum(x, y, name=None) || 返回最大值 (x > y ? x : y) |- |tf.minimum(x, y, name=None) || 返回最小值 (x < y ? x : y) |- |tf.cos(x, name=None) || 三角函数cosine |- |tf.sin(x, name=None) || 三角函数sine |- |tf.tan(x, name=None) || 三角函数tan |- |tf.atan(x, name=None) || 三角函数ctan |} 数据类型转换Casting {| class="wikitable" |- !操作!!描述 |- |tf.string_to_number(string_tensor, out_type=None, name=None)||字符串转为数字 |- |tf.to_double(x, name=’ToDouble’) ||转为64位浮点类型–float64 |- |tf.to_float(x, name=’ToFloat’) ||转为32位浮点类型–float32 |- |tf.to_int32(x, name=’ToInt32’) ||转为32位整型–int32 |- |tf.to_int64(x, name=’ToInt64’) ||转为64位整型–int64 |- |tf.cast(x, dtype, name=None) ||将x或者x.values转换为dtype # tensor a is [1.8, 2.2], tf.cast(a, tf.int32) ==> [1, 2] # dtype=tf.int32 |} 形状操作Shapes and Shaping {| class="wikitable" |- ! 操作 || 描述 |- |tf.shape(input, name=None) 返回数据的shape # ‘t’ is [<!---->[<!---->[1, 1, 1], [2, 2, 2]<!---->], [<!---->[3, 3, 3], [4, 4, 4]<!---->]<!---->] shape(t) ==> [2, 2, 3] |- |tf.size(input, name=None) 返回数据的元素数量 # ‘t’ is [<!---->[<!---->[1, 1, 1], [2, 2, 2]<!---->], [<!---->[3, 3, 3], [4, 4, 4]<!---->]<!---->]<!---->] size(t) ==> 12 |- |tf.rank(input, name=None) 返回tensor的rank 注意：此rank不同于矩阵的rank， tensor的rank表示一个tensor需要的索引数目来唯一表示任何一个元素 也就是通常所说的 “order”, “degree”或”ndims” #’t’ is [<!---->[<!---->[1, 1, 1], [2, 2, 2]<!---->], [<!---->[3, 3, 3], [4, 4, 4]<!---->]<!---->] # shape of tensor ‘t’ is [2, 2, 3] rank(t) ==> 3 tf.reshape(tensor, shape, name=None) 改变tensor的形状 # tensor ‘t’ is [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] # tensor ‘t’ has shape [9] reshape(t, [3, 3]) ==> [<!---->[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]<!---->] #如果shape有元素[-1],表示在该维度打平至一维 # -1 将自动推导得为 9: reshape(t, [2, -1]) ==> [<!---->[1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6]<!---->] tf.expand_dims(input, dim, name=None) 插入维度1进入一个tensor中 #该操作要求-1-input.dims() # ‘t’ is a tensor of shape [2] shape(expand_dims(t, 0)) ==> [1, 2] shape(expand_dims(t, 1)) ==> [2, 1] shape(expand_dims(t, -1)) ==> [2, 1] <= dim <= input.dims() 切片与合并（Slicing and Joining） 操作 描述 tf.slice(input_, begin, size, name=None) 对tensor进行切片操作 其中size[i] = input.dim_size(i) - begin[i] 该操作要求 0 <= begin[i] <= begin[i] + size[i] <= Di for i in [0, n] #’input’ is #[<!---->[<!---->[1, 1, 1], [2, 2, 2]<!---->],[<!---->[3, 3, 3], [4, 4, 4]<!---->],[<!---->[5, 5, 5], [6, 6, 6]<!---->]<!---->] tf.slice(input, [1, 0, 0], [1, 1, 3]) ==> [<!---->[<!---->[3, 3, 3]<!---->]<!---->] tf.slice(input, [1, 0, 0], [1, 2, 3]) ==> [<!---->[<!---->[3, 3, 3], [4, 4, 4]<!---->]<!---->] tf.slice(input, [1, 0, 0], [2, 1, 3]) ==> [<!---->[<!---->[3, 3, 3]<!---->], [<!---->[5, 5, 5]<!---->]<!---->] tf.split(split_dim, num_split, value, name=’split’) 沿着某一维度将tensor分离为num_split tensors # ‘value’ is a tensor with shape [5, 30] # Split ‘value’ into 3 tensors along dimension 1 split0, split1, split2 = tf.split(1, 3, value) tf.shape(split0) ==> [5, 10] tf.concat(concat_dim, values, name=’concat’) 沿着某一维度连结tensor t1 = [<!---->[1, 2, 3], [4, 5, 6]<!---->] t2 = [<!---->[7, 8, 9], [10, 11, 12]<!---->] tf.concat(0, [t1, t2]) ==> [<!---->[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]<!---->] tf.concat(1, [t1, t2]) ==> [<!---->[1, 2, 3, 7, 8, 9], [4, 5, 6, 10, 11, 12]<!---->] 如果想沿着tensor一新轴连结打包,那么可以： tf.concat(axis, [tf.expand_dims(t, axis) for t in tensors]) 等同于tf.pack(tensors, axis=axis) tf.pack(values, axis=0, name=’pack’) 将一系列rank-R的tensor打包为一个rank-(R+1)的tensor # ‘x’ is [1, 4], ‘y’ is [2, 5], ‘z’ is [3, 6] pack([x, y, z]) => [<!---->[1, 4], [2, 5], [3, 6]<!---->] # 沿着第一维pack pack([x, y, z], axis=1) => [<!---->[1, 2, 3], [4, 5, 6]<!---->] 等价于tf.pack([x, y, z]) = np.asarray([x, y, z]) tf.reverse(tensor, dims, name=None) 沿着某维度进行序列反转 其中dim为列表，元素为bool型，size等于rank(tensor) # tensor ‘t’ is [<!---->[<!---->[<!---->[ 0, 1, 2, 3], #[ 4, 5, 6, 7], #[ 8, 9, 10, 11]<!---->], #[<!---->[12, 13, 14, 15], #[16, 17, 18, 19], #[20, 21, 22, 23]<!---->]<!---->]<!---->] # tensor ‘t’ shape is [1, 2, 3, 4] # ‘dims’ is [False, False, False, True] reverse(t, dims) ==> [<!---->[<!---->[<!---->[ 3, 2, 1, 0], [ 7, 6, 5, 4], [ 11, 10, 9, 8]<!---->], [<!---->[15, 14, 13, 12], [19, 18, 17, 16], [23, 22, 21, 20]<!---->]<!---->]<!---->] tf.transpose(a, perm=None, name=’transpose’) 调换tensor的维度顺序 按照列表perm的维度排列调换tensor顺序， 如为定义，则perm为(n-1…0) # ‘x’ is [<!---->[1 2 3],[4 5 6]<!---->] tf.transpose(x) ==> [<!---->[1 4], [2 5],[3 6]<!---->] # Equivalently tf.transpose(x, perm=[1, 0]) ==> [<!---->[1 4],[2 5], [3 6]<!---->] tf.gather(params, indices, validate_indices=None, name=None) 合并索引indices所指示params中的切片 tf.gather tf.one_hot (indices, depth, on_value=None, off_value=None, axis=None, dtype=None, name=None) indices = [0, 2, -1, 1] depth = 3 on_value = 5.0 off_value = 0.0 axis = -1 #Then output is [4 x 3]: output = [5.0 0.0 0.0] // one_hot(0) [0.0 0.0 5.0] // one_hot(2) [0.0 0.0 0.0] // one_hot(-1) [0.0 5.0 0.0] // one_hot(1) 矩阵相关运算 操作 描述 tf.diag(diagonal, name=None) 返回一个给定对角值的对角tensor # ‘diagonal’ is [1, 2, 3, 4] tf.diag(diagonal) ==> [<!---->[1, 0, 0, 0] [0, 2, 0, 0] [0, 0, 3, 0] [0, 0, 0, 4]<!---->] tf.diag_part(input, name=None) 功能与上面相反 tf.trace(x, name=None) 求一个2维tensor足迹，即对角值diagonal之和 tf.transpose(a, perm=None, name=’transpose’) 调换tensor的维度顺序 按照列表perm的维度排列调换tensor顺序， 如为定义，则perm为(n-1…0) # ‘x’ is [<!---->[1 2 3],[4 5 6]<!---->] tf.transpose(x) ==> [<!---->[1 4], [2 5],[3 6]<!---->] # Equivalently tf.transpose(x, perm=[1, 0]) ==> [<!---->[1 4],[2 5], [3 6]<!---->] tf.matmul(a, b, transpose_a=False, transpose_b=False, a_is_sparse=False, b_is_sparse=False, name=None) 矩阵相乘 tf.matrix_determinant(input, name=None) 返回方阵的行列式 tf.matrix_inverse(input, adjoint=None, name=None) 求方阵的逆矩阵，adjoint为True时，计算输入共轭矩阵的逆矩阵 tf.cholesky(input, name=None) 对输入方阵cholesky分解， 即把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解A=LL^T tf.matrix_solve(matrix, rhs, adjoint=None, name=None) 求解tf.matrix_solve(matrix, rhs, adjoint=None, name=None) matrix为方阵shape为[M,M],rhs的shape为[M,K]，output为[M,K] 复数操作 操作 描述 tf.complex(real, imag, name=None) 将两实数转换为复数形式 # tensor ‘real’ is [2.25, 3.25] # tensor imag is [4.75, 5.75] tf.complex(real, imag) ==> [<!---->[2.25 + 4.75j], [3.25 + 5.75j]<!---->] tf.complex_abs(x, name=None) 计算复数的绝对值，即长度。 # tensor ‘x’ is [<!---->[-2.25 + 4.75j], [-3.25 + 5.75j]<!---->] tf.complex_abs(x) ==> [5.25594902, 6.60492229] tf.conj(input, name=None) 计算共轭复数 tf.imag(input, name=None) tf.real(input, name=None) 提取复数的虚部和实部 tf.fft(input, name=None) 计算一维的离散傅里叶变换，输入数据类型为complex64 归约计算(Reduction) 操作 描述 tf.reduce_sum(input_tensor, reduction_indices=None, keep_dims=False, name=None) 计算输入tensor元素的和，或者安照reduction_indices指定的轴进行求和 # ‘x’ is [<!---->[1, 1, 1] # [1, 1, 1]<!---->] tf.reduce_sum(x) ==> 6 tf.reduce_sum(x, 0) ==> [2, 2, 2] tf.reduce_sum(x, 1) ==> [3, 3] tf.reduce_sum(x, 1, keep_dims=True) ==> [<!---->[3], [3]<!---->] tf.reduce_sum(x, [0, 1]) ==> 6 tf.reduce_prod(input_tensor, reduction_indices=None, keep_dims=False, name=None) 计算输入tensor元素的乘积，或者安照reduction_indices指定的轴进行求乘积 tf.reduce_min(input_tensor, reduction_indices=None, keep_dims=False, name=None) 求tensor中最小值 tf.reduce_max(input_tensor, reduction_indices=None, keep_dims=False, name=None) 求tensor中最大值 tf.reduce_mean(input_tensor, reduction_indices=None, keep_dims=False, name=None) 求tensor中平均值 tf.reduce_all(input_tensor, reduction_indices=None, keep_dims=False, name=None) 对tensor中各个元素求逻辑’与’ # ‘x’ is # [<!---->[True, True] # [False, False]<!---->] tf.reduce_all(x) ==> False tf.reduce_all(x, 0) ==> [False, False] tf.reduce_all(x, 1) ==> [True, False] tf.reduce_any(input_tensor, reduction_indices=None, keep_dims=False, name=None) 对tensor中各个元素求逻辑’或’ tf.accumulate_n(inputs, shape=None, tensor_dtype=None, name=None) 计算一系列tensor的和 # tensor ‘a’ is [<!---->[1, 2], [3, 4]<!---->] # tensor b is [<!---->[5, 0], [0, 6]<!---->] tf.accumulate_n([a, b, a]) ==> [<!---->[7, 4], [6, 14]<!---->] tf.cumsum(x, axis=0, exclusive=False, reverse=False, name=None) 求累积和 tf.cumsum([a, b, c]) ==> [a, a + b, a + b + c] tf.cumsum([a, b, c], exclusive=True) ==> [0, a, a + b] tf.cumsum([a, b, c], reverse=True) ==> [a + b + c, b + c, c] tf.cumsum([a, b, c], exclusive=True, reverse=True) ==> [b + c, c, 0] 分割(Segmentation) 操作 描述 tf.segment_sum(data, segment_ids, name=None) 根据segment_ids的分段计算各个片段的和 其中segment_ids为一个size与data第一维相同的tensor 其中id为int型数据，最大id不大于size c = tf.constant([<!---->[1,2,3,4], [-1,-2,-3,-4], [5,6,7,8]<!---->]) tf.segment_sum(c, tf.constant([0, 0, 1])) ==>[<!---->[0 0 0 0] [5 6 7 8]<!---->] 上面例子分为[0,1]两id,对相同id的data相应数据进行求和, 并放入结果的相应id中， 且segment_ids只升不降 tf.segment_prod(data, segment_ids, name=None) 根据segment_ids的分段计算各个片段的积 tf.segment_min(data, segment_ids, name=None) 根据segment_ids的分段计算各个片段的最小值 tf.segment_max(data, segment_ids, name=None) 根据segment_ids的分段计算各个片段的最大值 tf.segment_mean(data, segment_ids, name=None) 根据segment_ids的分段计算各个片段的平均值 tf.unsorted_segment_sum(data, segment_ids, num_segments, name=None) 与tf.segment_sum函数类似， 不同在于segment_ids中id顺序可以是无序的 tf.sparse_segment_sum(data, indices, segment_ids, name=None) 输入进行稀疏分割求和 c = tf.constant([<!---->[1,2,3,4], [-1,-2,-3,-4], [5,6,7,8]<!---->]) # Select two rows, one segment. tf.sparse_segment_sum(c, tf.constant([0, 1]), tf.constant([0, 0])) ==> [<!---->[0 0 0 0]<!---->] 对原data的indices为[0,1]位置的进行分割， 并按照segment_ids的分组进行求和 序列比较与索引提取(Sequence Comparison and Indexing) 操作 描述 tf.argmin(input, dimension, name=None) 返回input最小值的索引index tf.argmax(input, dimension, name=None) 返回input最大值的索引index tf.listdiff(x, y, name=None) 返回x，y中不同值的索引 tf.where(input, name=None) 返回bool型tensor中为True的位置 # ‘input’ tensor is #[<!---->[True, False] #[True, False]<!---->] # ‘input’ 有两个’True’,那么输出两个坐标值. # ‘input’的rank为2, 所以每个坐标为具有两个维度. where(input) ==> [<!---->[0, 0], [1, 0]<!---->] tf.unique(x, name=None) 返回一个元组tuple(y,idx)，y为x的列表的唯一化数据列表， idx为x数据对应y元素的index # tensor ‘x’ is [1, 1, 2, 4, 4, 4, 7, 8, 8] y, idx = unique(x) y ==> [1, 2, 4, 7, 8] idx ==> [0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4] tf.invert_permutation(x, name=None) 置换x数据与索引的关系 # tensor x is [3, 4, 0, 2, 1] invert_permutation(x) ==> [2, 4, 3, 0, 1] 神经网络(Neural Network) 激活函数（Activation Functions） 操作 描述 tf.nn.relu(features, name=None) 整流函数：max(features, 0) tf.nn.relu6(features, name=None) 以6为阈值的整流函数：min(max(features, 0), 6) tf.nn.elu(features, name=None) elu函数，exp(features) - 1 if < 0,否则features Exponential Linear Units (ELUs) tf.nn.softplus(features, name=None) 计算softplus：log(exp(features) + 1) tf.nn.dropout(x, keep_prob, noise_shape=None, seed=None, name=None) 计算dropout，keep_prob为keep概率 noise_shape为噪声的shape tf.nn.bias_add(value, bias, data_format=None, name=None) 对value加一偏置量 此函数为tf.add的特殊情况，bias仅为一维， 函数通过广播机制进行与value求和, 数据格式可以与value不同，返回为与value相同格式 tf.sigmoid(x, name=None) y = 1 / (1 + exp(-x)) tf.tanh(x, name=None) 双曲线切线激活函数 卷积函数（Convolution） 操作 描述 tf.nn.conv2d(input, filter, strides, padding, use_cudnn_on_gpu=None, data_format=None, name=None) 在给定的4D input与 filter下计算2D卷积 输入shape为 [batch, height, width, in_channels] tf.nn.conv3d(input, filter, strides, padding, name=None) 在给定的5D input与 filter下计算3D卷积 输入shape为[batch, in_depth, in_height, in_width, in_channels] 池化函数（Pooling） 操作 描述 tf.nn.avg_pool(value, ksize, strides, padding, data_format=’NHWC’, name=None) 平均方式池化 tf.nn.max_pool(value, ksize, strides, padding, data_format=’NHWC’, name=None) 最大值方法池化 tf.nn.max_pool_with_argmax(input, ksize, strides, padding, Targmax=None, name=None) 返回一个二维元组(output,argmax),最大值pooling，返回最大值及其相应的索引 tf.nn.avg_pool3d(input, ksize, strides, padding, name=None) 3D平均值pooling tf.nn.max_pool3d(input, ksize, strides, padding, name=None) 3D最大值pooling 数据标准化（Normalization） 操作 描述 tf.nn.l2_normalize(x, dim, epsilon=1e-12, name=None) 对维度dim进行L2范式标准化 output = x / sqrt(max(sum(x**2), epsilon)) tf.nn.sufficient_statistics(x, axes, shift=None, keep_dims=False, name=None) 计算与均值和方差有关的完全统计量 返回4维元组,*元素个数，*元素总和，*元素的平方和，*shift结果 参见算法介绍 tf.nn.normalize_moments(counts, mean_ss, variance_ss, shift, name=None) 基于完全统计量计算均值和方差 tf.nn.moments(x, axes, shift=None, name=None, keep_dims=False) 直接计算均值与方差 损失函数（Losses） 操作 描述 tf.nn.l2_loss(t, name=None) output = sum(t ** 2) / 2 分类函数（Classification） 操作 描述 tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits (logits, targets, name=None)* 计算输入logits, targets的交叉熵 tf.nn.softmax(logits, name=None) 计算softmax softmax[i, j] = exp(logits[i, j]) / sum_j(exp(logits[i, j])) tf.nn.log_softmax(logits, name=None) logsoftmax[i, j] = logits[i, j] - log(sum(exp(logits[i]))) tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits (logits, labels, name=None) 计算logits和labels的softmax交叉熵 logits, labels必须为相同的shape与数据类型 tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits (logits, labels, name=None) 计算logits和labels的softmax交叉熵 tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits (logits, targets, pos_weight, name=None) 与sigmoid_cross_entropy_with_logits()相似， 但给正向样本损失加了权重pos_weight 符号嵌入（Embeddings） 操作 描述 tf.nn.embedding_lookup (params, ids, partition_strategy=’mod’, name=None, validate_indices=True) 根据索引ids查询embedding列表params中的tensor值 如果len(params) > 1，id将会安照partition_strategy策略进行分割 1、如果partition_strategy为”mod”， id所分配到的位置为p = id % len(params) 比如有13个ids，分为5个位置，那么分配方案为： [<!---->[0, 5, 10], [1, 6, 11], [2, 7, 12], [3, 8], [4, 9]<!---->] 2、如果partition_strategy为”div”,那么分配方案为： [<!---->[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8], [9, 10], [11, 12]<!---->] tf.nn.embedding_lookup_sparse(params, sp_ids, sp_weights, partition_strategy=’mod’, name=None, combiner=’mean’) 对给定的ids和权重查询embedding 1、sp_ids为一个N x M的稀疏tensor， N为batch大小，M为任意，数据类型int64 2、sp_weights的shape与sp_ids的稀疏tensor权重， 浮点类型，若为None，则权重为全’1’ 循环神经网络（Recurrent Neural Networks） 操作 描述 tf.nn.rnn(cell, inputs, initial_state=None, dtype=None, sequence_length=None, scope=None) 基于RNNCell类的实例cell建立循环神经网络 tf.nn.dynamic_rnn(cell, inputs, sequence_length=None, initial_state=None, dtype=None, parallel_iterations=None, swap_memory=False, time_major=False, scope=None) 基于RNNCell类的实例cell建立动态循环神经网络 与一般rnn不同的是，该函数会根据输入动态展开 返回(outputs,state) tf.nn.state_saving_rnn(cell, inputs, state_saver, state_name, sequence_length=None, scope=None) 可储存调试状态的RNN网络 tf.nn.bidirectional_rnn(cell_fw, cell_bw, inputs, initial_state_fw=None, initial_state_bw=None, dtype=None, sequence_length=None, scope=None) 双向RNN, 返回一个3元组tuple (outputs, output_state_fw, output_state_bw) — tf.nn.rnn简要介绍— cell: 一个RNNCell实例 inputs: 一个shape为[batch_size, input_size]的tensor initial_state: 为RNN的state设定初值，可选 sequence_length：制定输入的每一个序列的长度，size为[batch_size],值范围为[0, T)的int型数据 其中T为输入数据序列的长度 @ @针对输入batch中序列长度不同，所设置的动态计算机制 @对于在时间t，和batch的b行，有 (output, state)(b, t) = ? (zeros(cell.output_size), states(b, sequence_length(b) - 1)) : cell(input(b, t), state(b, t - 1)) 求值网络（Evaluation） 操作 描述 tf.nn.top_k(input, k=1, sorted=True, name=None) 返回前k大的值及其对应的索引 tf.nn.in_top_k(predictions, targets, k, name=None) 返回判断是否targets索引的predictions相应的值 是否在在predictions前k个位置中， 返回数据类型为bool类型，len与predictions同 监督候选采样网络（Candidate Sampling） 对于有巨大量的多分类与多标签模型，如果使用全连接softmax将会占用大量的时间与空间资源，所以采用候选采样方法仅使用一小部分类别与标签作为监督以加速训练。 操作 描述 Sampled Loss Functions tf.nn.nce_loss(weights, biases, inputs, labels, num_sampled, num_classes, num_true=1, sampled_values=None, remove_accidental_hits=False, partition_strategy=’mod’, name=’nce_loss’) 返回noise-contrastive的训练损失结果 tf.nn.sampled_softmax_loss(weights, biases, inputs, labels, num_sampled, num_classes, num_true=1, sampled_values=None, remove_accidental_hits=True, partition_strategy=’mod’, name=’sampled_softmax_loss’) 返回sampled softmax的训练损失 参考- Jean et al., 2014第3部分 Candidate Samplers tf.nn.uniform_candidate_sampler(true_classes, num_true, num_sampled, unique, range_max, seed=None, name=None) 通过均匀分布的采样集合 返回三元tuple 1、sampled_candidates 候选集合。 2、期望的true_classes个数，为浮点值 3、期望的sampled_candidates个数，为浮点值 tf.nn.log_uniform_candidate_sampler(true_classes, num_true, num_sampled, unique, range_max, seed=None, name=None) 通过log均匀分布的采样集合，返回三元tuple tf.nn.learned_unigram_candidate_sampler (true_classes, num_true, num_sampled, unique, range_max, seed=None, name=None) 根据在训练过程中学习到的分布状况进行采样 返回三元tuple tf.nn.fixed_unigram_candidate_sampler(true_classes, num_true, num_sampled, unique, range_max, vocab_file=”, distortion=1.0, num_reserved_ids=0, num_shards=1, shard=0, unigrams=(), seed=None, name=None) 基于所提供的基本分布进行采样 保存与恢复变量 操作 描述 类tf.train.Saver(Saving and Restoring Variables) tf.train.Saver.__init__(var_list=None, reshape=False, sharded=False, max_to_keep=5, keep_checkpoint_every_n_hours=10000.0, name=None, restore_sequentially=False, saver_def=None, builder=None) 创建一个存储器Saver var_list定义需要存储和恢复的变量 tf.train.Saver.save(sess, save_path, global_step=None, latest_filename=None, meta_graph_suffix=’meta’, write_meta_graph=True) 保存变量 tf.train.Saver.restore(sess, save_path) 恢复变量 tf.train.Saver.last_checkpoints 列出最近未删除的checkpoint 文件名 tf.train.Saver.set_last_checkpoints(last_checkpoints) 设置checkpoint文件名列表 tf.train.Saver.set_last_checkpoints_with_time(last_checkpoints_with_time) 设置checkpoint文件名列表和时间戳 ===设备=== with tf.device("/gpu:0"): 指定一个计算设备，作用域中的代码在该设备上执行。 == 例子 == 例：Hello World。 <syntaxhighlight lang="python"> import tensorflow as tf hw = tf.constant("Hello World") with tf.Session() as sess: print(sess.run(hw)) </syntaxhighlight> 例：两个矩阵相乘。 <syntaxhighlight lang="python"> import tensorflow as tf # Build a dataflow graph. c = tf.constant([<!---->[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]<!---->]) d = tf.constant([<!---->[1.0, 1.0], [0.0, 1.0]<!---->]) e = tf.matmul(c, d) # Construct a `Session` to execute the graph. with tf.Session() as sess: # Execute the graph and store the value that `e` represents in `result`. result = sess.run(e) print(result) </syntaxhighlight> 例：使用Feeding在执行时传入参数 <syntaxhighlight lang="python"> import tensorflow as tf # Build a dataflow graph. c = tf.constant([<!---->[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]<!---->]) d = tf.constant([<!---->[1.0, 1.0], [0.0, 1.0]<!---->]) e = tf.matmul(c, d) # Construct a `Session` to execute the graph. sess = tf.Session() # Execute the graph and store the value that `e` represents in `result`. result = sess.run(e,feed_dict={c:[<!---->[0.0, 0.0], [3.0, 4.0]<!---->]}) print(result) sess.close() </syntaxhighlight> TensorFlow的一大特色是其图中的节点可以是带状态的。 例：使用占位符 <syntaxhighlight lang="python"> input_placeholder = tf.placeholder(tf.int32) sess = tf.Session() print (sess.run(input_placeholder, feed_dict={input_placeholder: 2})) sess.close() </syntaxhighlight> 例：使用变量、给变量赋值 使用tf.get_variable()创建变量。tf.get_variable() 的前两个参数是必需的，其余参数是可选的。tf.get_variable(name，shape)。name 是一个唯一标识这个变量对象的字符串。它必须相对于全局图是唯一的，所以要明了你使用过的所有命名，确保没有重复。shape 是与张量形状对应的整数数组，按顺序每个维度只有一个整数。一个 3x8 矩阵形状是 [3, 8]。要创建一个标量，就需要使用形状为 [] 的空列表。有两种将值放入变量的方法：初始化器和 tf.assign()。初始化器应该把声明（tf.constant_initializer）与执行初始化（tf.global_variables_initializer）两种节点配合使用。 <syntaxhighlight lang="python"> import tensorflow as tf count_variable = tf.get_variable("count", []) zero_node = tf.constant(0.) assign_node = tf.assign(count_variable, zero_node) sess = tf.Session() sess.run(assign_node) print (sess.run(count_variable)) const_init_node = tf.constant_initializer(0.) count_variable1 = tf.get_variable("count1", [], initializer=const_init_node) init = tf.global_variables_initializer() sess.run(init) print (sess.run(count_variable1)) sess.close() </syntaxhighlight> 例子：tf.Variable() 和tf.get_variable()的区别 <syntaxhighlight lang="python"> import tensorflow as tf with tf.variable_scope("scope1"): w1 = tf.get_variable("w1", shape=[]) w2 = tf.Variable(0.0, name="w2") with tf.variable_scope("scope1", reuse=True): w1_p = tf.get_variable("w1", shape=[]) w2_p = tf.Variable(1.0, name="w2") print(w1 is w1_p, w2 is w2_p) #输出 #True False </syntaxhighlight> 例：带状态的图 <syntaxhighlight lang="python"> import tensorflow as tf # Build a dataflow graph. count = tf.Variable([0],trainable=False); init_op = tf.global_variables_initializer() update_count = count.assign_add(tf.constant([2])) # Construct a `Session` to execute the graph. sess = tf.Session() sess.run(init_op) for step in range(10): result = sess.run(update_count) print("step %d: count = %g" % (step,result)) sess.close() </syntaxhighlight> 例：梯度计算 <syntaxhighlight lang="python"> import tensorflow as tf # Build a dataflow graph. filename_queue = tf.train.string_input_producer(['1.txt'],num_epochs=1) reader = tf.TextLineReader() key,value = reader.read(filename_queue) num = tf.decode_csv(value,record_defaults=[<!---->[0]<!---->]) x = tf.Variable([0]) loss = x * num grads = tf.gradients([loss],x) grad_x = grads[0] def train_fn(sess): train_fn.counter += 1 result = sess.run(grad_x) print("step %d: grad = %g" % (train_fn.counter,result)) train_fn.counter = 0 sv = tf.train.Supervisor() tf.train.basic_train_loop(sv,train_fn) </syntaxhighlight> 假设1.txt的内容为： <pre> 3 2 5 8 </pre> 那么上述程序的输出应该为： <pre> step 1: grad = 3 step 2: grad = 2 step 3: grad = 5 step 4: grad = 8 </pre> 828ilia9w02xj58otnpfqkvse9fa82x 0 30772 186821 139598 2026-08-20T05:53:54Z Ffffffox12 69004 /* 常用结论与常见模型 */ 修正“函数的奇偶分解”中公式笔误 186821 wikitext text/x-wiki == 阅读指南 == [[File:Crystal Clear app gnome.png | Crystal Clear app gnome | 50px]] 希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。 函数的奇偶性是高中考试的基础考点。这是无论翘了多少节课，在考试前都应该知道的东西。不过，不是所有的普通高中通用教材都会明确给出函数奇偶性的概念。例如在2003年中国大陆[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]]出版的《全日制普通高级中学教科书(必修) 数学》第1册（上）<ref>{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 (上) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16755-3 |section= |pages= |language=zh-cn |year=2003}}</ref>的函数章节中就没有明确提及奇偶性的概念。 === 预备知识 === 阅读本节内容，读者应该了解[[高中数学/函数与三角/函数的概念|函数]]和[[高中数学/函数与三角/分段函数、复合函数与反函数的概念|复合函数]]的概念。 === 考试要求 === 应付中学考试，应该主要掌握利用定义证明函数的奇偶性、利用图象特点判断奇偶性。在此基础上，还应该掌握含参数的函数的奇偶性讨论、涉及广义奇偶性的对称问题。 === 后续课程联系 === 实际上在高中所学的函数知识中看不出它的实际用途。学习函数的奇偶性主要是为本科阶段的课程作准备。有关奇偶性（或广义奇偶性）的讨论价值会充分体现在对奇偶函数[[高中数学/高等数学初步/定积分|积分]]时的结果差异、[[w:三角级数|三角级数]]的正交性、[[w:多重线性代数|多重线性代数理论]]、量子力学中处理[[w:全同粒子|全同粒子]]/量子[[w:纠缠态|纠缠态]]/空间“[[w:宇称|宇称]]/极性”（parity，其实就是全局的对称性）等课题中。 == 基础知识 == === 奇偶性的定义 === <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> <font color="#008000">'''奇函数'''（'''odd function'''）是指同时满足以下2个特性的一元函数<math>f(x)</math><ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性">{{cite book |title=龙门专题：新课标 高中数学 函数 |author=傅荣强 (主编) |editor1=田旭 |editor2=马建丽 |editor3=许冲冲 |publisher=龙门书局 |location=中国北京市东黄城根北街16号 |edition=1 |isbn=978-7-5088-1594-7 |section=第2讲“函数的性质”第2.2小节“函数的奇偶性” |pages=73-84 |language=zh-cn |year=2008}}</ref>： * 其定义域dom是关于原点对称的区间。 * <math>\forall x \in dom, f(-x) = - f(x)</math> </font> </blockquote> 从几何上看，奇函数的图象是中心对称图形，且对称中心位于坐标系的原点<ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" /><ref name="人教网_2011_竞赛讲义_函数">{{cite web |url= https://old.pep.com.cn/gzsx/xszx_1/sxjs/gzsxjsjz/201108/t20110809_1062445.htm |title=高中数学竞赛讲义（三）──函数 |author= |editor= |publisher=人教网 |language=zh-cn |date=2011-08-09}}</ref>。换句话说，奇函数的图象在绕原点做180度旋转后不会改变。这种关于原点的中心对称是特殊的旋转对称。 <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> <font color="#008000">'''偶函数'''（'''even function'''）是指同时满足以下2个特性的一元函数<math>f(x)</math><ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" />： * 其定义域dom是关于原点对称的区间。 * <math>\forall x \in dom, f(-x) = f(x)</math> </font> </blockquote> 从几何上看，偶函数的图象是轴对称图形，且对称轴刚好是坐标系的y轴<ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" /><ref name="人教网_2011_竞赛讲义_函数" />。换句话说，偶函数的图象在对y轴作镜像反射后不会改变。这种关于坐标轴的两侧对称是特殊的轴对称。 [[File:Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]] 注意：奇函数与偶函数从定义上看只差一个字和一个正负号，但是其图象的特点差异其实非常大。 既不是奇函数，也不是偶函数的函数叫做'''非奇非偶函数'''。例如<math>y = x + 1</math>就是一个非奇也非偶的函数，虽然它的定义域是关于原点对称的，但是它的图象既不关于原点呈中心对称，也不关于y轴呈两侧对称。又例如<math>y = x \quad (x \le 10)</math>也是一个非奇也非偶的函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。又例如<math>y = 0 \quad (x \in \mathbb{R})</math>是一个奇函数也是一个偶函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。 要判断一个函数是奇函数、偶函数还是其它函数应该按照如下的步骤： # 验证函数的定义域关于原点是对称的。一般以文字简要说明即可。 # 在定义域内任取一点<math>x_0</math>，计算<math>f(-x_0)</math>的值。如果发现计算结果等于<math>f(x_0)</math>，那么可以判断是奇函数；如果等于<math>- f(x_0)</math>；如果肯定不等于这二者，则为非奇数非偶函数。 反过来，如果已知一个函数的奇偶性，就等价于知道了以下条件： * 函数的定义域关于原点是对称的。 * 在定义域内任取一点<math>x_0</math>，对于奇函数肯定有关系<math>f(- x_0) = - f(x_0)</math>成立，对于偶函数肯定有关系<math>f(- x_0) = f(x_0)</math>成立。 [[File:Crystal Clear app error.png | Crystal Clear app error | 50px]] 注意：遇到判断函数奇偶性的问题，先要判断定义域的对称性。如果检查完定义域满足对称性的要求，才可以考虑带入表达式进行计算化简。解题时，验证函数定义域的对称性是用简短的一句话就可以解决的事情，但是特别容易被一些初学者遗漏，从而导致逻辑流程不完整而考试扣分。 <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 若<math>f(x)</math>为<math>\mathbb{R}</math>上的奇函数，则下列说法正确的有(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。 :A.<math>f(x) + f(-x) = 0</math>；B.<math>f(x) - f(-x) = 2 f(x)</math> :C.<math>f(x) f(-x) < 0</math>；D.<math>\frac{f(x)}{f(-x)} = -1</math> <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 分别判断下列各个函数在其默认定义域上的奇偶性，并对奇函数或偶函数按照定义给与证明： :(1) <math>f(x) = \frac 1 x</math>； :(2) <math>f(x) = \frac{1}{x^2}</math>； :(3) <math>f(x) = |x|</math>； :(4) <math>f(x) = 2x + 3</math>； :(5) <math>f(x) = (x - 1)(x + 1)</math>； :(6) <math>f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} - 1</math>； :(7) <math>f(x) = \frac{1 + 2^x}{1 - 2^x} \quad (x \in \mathbb{Z})</math>； :(8) <math>f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} \quad (x \in \mathbb{Z})</math>； :(9) <math>f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}</math>； :(10) <math>f(x) = \frac{x}{|x|}</math>； :(11) <math>f(x) = \frac{1 + |x|}{1 - |x|}</math>； :(12) <math>f(x) = \frac{x^2 + |x| + 1}{x^2 - |x| + 1}</math>； <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知函数<math>f(x) = mx^2 + nx + 2m + n</math>是偶函数，其定义域为[m+1, -2n+2]，求m和n的值。 <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 已知函数<math>f(x) = \frac{ax + b}{1 + x^2}</math>是定义在(-1, 1)上的奇函数，且<math>f(\frac 1 2) = \frac 2 5</math>。 :(1) 求<math>f(x)</math>的表达式。 :(2) 用定义证明<math>f(x)</math>在(-1, 1)上是递增函数。 :(3) 解关于实数t的不等式<math>f(t - 1) + f(t) < 0</math>。 === 结合奇偶性与单调性判断图象特征或解不等式 === <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1：若<math>f(x) \quad (x \in \mathbb{R})</math>是奇函数，则下列坐标表示的点一定在<math>f(x)</math>图象上的是(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。 :A.(a, -f(a))；B.(-a, -f(a))；C.(-a, -f(-a))；D.(a, f(-a)) <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 若偶函数<math>f(x)</math>在<math>(- \infty, -1]</math>上单调递减，判断<math>f(- \frac 3 2)</math>、<math>f(-1)</math>和<math>f(2)</math>的大小顺序。 <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知奇函数<math>f(x)</math>在<math>\mathbb{R}</math>上单调递减。若<math>f(1) = -1</math>，求满足<math>-1 \le f(x - 1) \le 1</math>的x的取值范围。 <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 若<math>f(x)</math>是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的偶函数，且在区间<math>[0, + \infty)</math>上是增函数，求不等式<math>f(2x - 1) - f(-3) < 0</math>的解集。 <!-- 本小节例题5 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 若奇函数<math>f(x)</math>是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的增函数，求不等式<math>f(2x - 1) + f(3) < 0</math>的解集。 === 复合函数的奇偶性 === 可以从奇/偶函数之间的四则运算和复合这2个角度来分析所得结果的奇偶性。 <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 分别判断以下说法的正确性：<br /> :(1) 常函数都是偶函数。 :(2) 奇函数的平方一定也是奇函数。 :(3) 一个奇函数与另一个奇函数的乘积可能仍然是奇函数。 <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 设函数<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>的定义域都为<math>\mathbb{R}</math>，且<math>f(x)</math>是奇函数，<math>g(x)</math>是偶函数，则下列说法中正确的有(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。 :A.<math>|f(x)|g(x)</math>是奇函数；B.<math>f(x)|g(x)|</math>是奇函数 :C.<math>f(x) + |g(x)|</math>是偶函数；D.<math>|f(x)| + g(x)</math>是偶函数 <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知<math>f(x)</math>、<math>g(x)</math>分别是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的偶函数和奇函数，且<math>f(x) - g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>，求<math>f(1) + g(1)</math>的值。 <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 已知函数<math>f(x)</math>与<math>g(x)</math>分别是定义域上的奇函数与偶函数，且<math>f(x) + g(x) = x^2 - \frac{1}{x+1} - 2</math>，求<math>f(2)</math>的值。 == 常用结论与常见模型 == === 函数的奇偶分解 === 奇偶性的一大用途就是我们可以将任何定义域关于原点对称的函数分解为一个奇函数与一个偶函数的和。有的高中教辅书上会将其作为习题列出，但作为一个重要且并不复杂的技巧，我们在这里将其做法作为结论直接给出。 <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> [[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]] 任何定义域关于原点对称的函数<math>f(x)</math>都可以被分解为一个奇函数<math>g(x)</math>与一个偶函数<math>h(x)</math>的和<ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" />：<br /> <math>f(x) = g(x) + h(x)</math><br /> 其中，<math>g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}</math>，其中，<math>h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}</math>。 </blockquote> 这是一个在高中课程学习中很少被提及，但是在后续课程中很有用的基本技巧。它将一个比较一般的函数分解为对称性处理起来较为简单的2个部分。在后续的多重线性代数和量子力学的课程中，这个分解技巧也叫做函数的'''对称化'''（'''symmetrize'''）和'''反对称化'''（'''antisymmetrize'''），分解出来的奇函数部分叫做原函数的'''反对称部分'''，偶函数部分叫做原函数的'''对称部分'''。 === 根据奇偶性延拓函数 === 在保持某些性质必须依旧成立的前提下，扩大函数定义域范围的过程叫做函数的'''延拓'''（'''continuation'''或'''extension'''）。高中数学中常见的延拓形式有奇偶延拓和周期延拓。 <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 已知函数<math>f(x)</math>是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的奇函数，且当<math>x \in (- \infty, 0)</math>时，<math>f(x) = 2x^3 + x^2</math>，求<math>f(2)</math>的值。 <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 已知<math>f(x)</math>是奇函数，当<math>x < 0</math>时，<math>f(x) = x^2 + ax</math>，且<math>f(3) = 6</math>，求a的值。 <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知<math>f(x)</math>是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的偶函数，当<math>x \ge 0</math>时，<math>f(x) = x^2 - 2x</math>。 :(1) 求函数<math>f(x)</math>的解析式，并画出其图象。<br /> :(2) 根据图象写出<math>f(x)</math>的单调区间和值域。 === 广义奇偶性 === 广义奇偶性就是关于特定纵轴或特定点的对称函数。广义奇偶性是对局限于原点和y轴的普通奇偶性的延伸。 <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> [[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]] 假定函数<math>f(x)</math>的定义域dom关于<math>x = a</math>对称，关于函数的中心对称性，以下说法等价： * <math>f(x)</math>的图象关于点<math>(a, b)</math>中心对称 * <math>\forall x \in dom, f(a - x) + f(a + x) = 2b</math> * <math>\forall x \in dom, f(x) + f(2a - x) = 2b</math> 满足以上条件的函数也叫做关于指定点对称的'''广义奇函数'''。 </blockquote> 普通奇函数也满足以上情形，是<math>a = 0</math>时的特例。 <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> [[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]] 假定函数<math>f(x)</math>的定义域dom关于<math>x = a</math>对称，关于函数的轴对称性，以下说法等价<ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" />： * <math>f(x)</math>的图象关于直线<math>x = a</math>对称。 * <math>\forall x \in dom, f(a - x) = f(a + x)</math>。 * <math>\forall x \in dom, f(x) = f(2a - x)</math>。 满足以上条件的函数也叫做关于指定竖直线对称的'''广义偶函数'''。 </blockquote> 普通偶函数也满足以上情形，是<math>a = 0</math>时的特例。 <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 如果函数<math>f(x)</math>满足<math>f(a - x) + f(b + x) = c</math>，则它的图象一定关于哪个点呈中心对称？ <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 如果函数<math>f(x)</math>满足<math>f(a - x) = f(b + x)</math>，则它的图象一定关于哪条直线对称？ <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： <math>f(x)</math>与<math>f(2a - x)</math>的图像什么时候是关于某个点对称的？什么时候是关于某条纵轴对称的？ == 补充习题 == [[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]] [[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]] == 参考资料 == {{Reflist}} == 外部链接 == {{Wikipedia|奇函数与偶函数}} {{DEFAULTSORT: even functions and odd functions}} [[Category:函数]] [[Category:对称性]] [[Category:高中数学]] syqgk63txo16cyeuu4p1horrkhjlny1 186822 186821 2026-08-20T05:57:24Z Ffffffox12 69004 /* 结合奇偶性与单调性判断图象特征或解不等式 */ 修饰语句-为“相关例题1”的选项添加“<math>”标签 186822 wikitext text/x-wiki == 阅读指南 == [[File:Crystal Clear app gnome.png | Crystal Clear app gnome | 50px]] 希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。 函数的奇偶性是高中考试的基础考点。这是无论翘了多少节课，在考试前都应该知道的东西。不过，不是所有的普通高中通用教材都会明确给出函数奇偶性的概念。例如在2003年中国大陆[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]]出版的《全日制普通高级中学教科书(必修) 数学》第1册（上）<ref>{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 (上) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16755-3 |section= |pages= |language=zh-cn |year=2003}}</ref>的函数章节中就没有明确提及奇偶性的概念。 === 预备知识 === 阅读本节内容，读者应该了解[[高中数学/函数与三角/函数的概念|函数]]和[[高中数学/函数与三角/分段函数、复合函数与反函数的概念|复合函数]]的概念。 === 考试要求 === 应付中学考试，应该主要掌握利用定义证明函数的奇偶性、利用图象特点判断奇偶性。在此基础上，还应该掌握含参数的函数的奇偶性讨论、涉及广义奇偶性的对称问题。 === 后续课程联系 === 实际上在高中所学的函数知识中看不出它的实际用途。学习函数的奇偶性主要是为本科阶段的课程作准备。有关奇偶性（或广义奇偶性）的讨论价值会充分体现在对奇偶函数[[高中数学/高等数学初步/定积分|积分]]时的结果差异、[[w:三角级数|三角级数]]的正交性、[[w:多重线性代数|多重线性代数理论]]、量子力学中处理[[w:全同粒子|全同粒子]]/量子[[w:纠缠态|纠缠态]]/空间“[[w:宇称|宇称]]/极性”（parity，其实就是全局的对称性）等课题中。 == 基础知识 == === 奇偶性的定义 === <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> <font color="#008000">'''奇函数'''（'''odd function'''）是指同时满足以下2个特性的一元函数<math>f(x)</math><ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性">{{cite book |title=龙门专题：新课标 高中数学 函数 |author=傅荣强 (主编) |editor1=田旭 |editor2=马建丽 |editor3=许冲冲 |publisher=龙门书局 |location=中国北京市东黄城根北街16号 |edition=1 |isbn=978-7-5088-1594-7 |section=第2讲“函数的性质”第2.2小节“函数的奇偶性” |pages=73-84 |language=zh-cn |year=2008}}</ref>： * 其定义域dom是关于原点对称的区间。 * <math>\forall x \in dom, f(-x) = - f(x)</math> </font> </blockquote> 从几何上看，奇函数的图象是中心对称图形，且对称中心位于坐标系的原点<ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" /><ref name="人教网_2011_竞赛讲义_函数">{{cite web |url= https://old.pep.com.cn/gzsx/xszx_1/sxjs/gzsxjsjz/201108/t20110809_1062445.htm |title=高中数学竞赛讲义（三）──函数 |author= |editor= |publisher=人教网 |language=zh-cn |date=2011-08-09}}</ref>。换句话说，奇函数的图象在绕原点做180度旋转后不会改变。这种关于原点的中心对称是特殊的旋转对称。 <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> <font color="#008000">'''偶函数'''（'''even function'''）是指同时满足以下2个特性的一元函数<math>f(x)</math><ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" />： * 其定义域dom是关于原点对称的区间。 * <math>\forall x \in dom, f(-x) = f(x)</math> </font> </blockquote> 从几何上看，偶函数的图象是轴对称图形，且对称轴刚好是坐标系的y轴<ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" /><ref name="人教网_2011_竞赛讲义_函数" />。换句话说，偶函数的图象在对y轴作镜像反射后不会改变。这种关于坐标轴的两侧对称是特殊的轴对称。 [[File:Crystal Clear action info.png | Crystal Clear action info | 50px]] 注意：奇函数与偶函数从定义上看只差一个字和一个正负号，但是其图象的特点差异其实非常大。 既不是奇函数，也不是偶函数的函数叫做'''非奇非偶函数'''。例如<math>y = x + 1</math>就是一个非奇也非偶的函数，虽然它的定义域是关于原点对称的，但是它的图象既不关于原点呈中心对称，也不关于y轴呈两侧对称。又例如<math>y = x \quad (x \le 10)</math>也是一个非奇也非偶的函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。又例如<math>y = 0 \quad (x \in \mathbb{R})</math>是一个奇函数也是一个偶函数，因为它的定义域不是关于原点对称的。 要判断一个函数是奇函数、偶函数还是其它函数应该按照如下的步骤： # 验证函数的定义域关于原点是对称的。一般以文字简要说明即可。 # 在定义域内任取一点<math>x_0</math>，计算<math>f(-x_0)</math>的值。如果发现计算结果等于<math>f(x_0)</math>，那么可以判断是奇函数；如果等于<math>- f(x_0)</math>；如果肯定不等于这二者，则为非奇数非偶函数。 反过来，如果已知一个函数的奇偶性，就等价于知道了以下条件： * 函数的定义域关于原点是对称的。 * 在定义域内任取一点<math>x_0</math>，对于奇函数肯定有关系<math>f(- x_0) = - f(x_0)</math>成立，对于偶函数肯定有关系<math>f(- x_0) = f(x_0)</math>成立。 [[File:Crystal Clear app error.png | Crystal Clear app error | 50px]] 注意：遇到判断函数奇偶性的问题，先要判断定义域的对称性。如果检查完定义域满足对称性的要求，才可以考虑带入表达式进行计算化简。解题时，验证函数定义域的对称性是用简短的一句话就可以解决的事情，但是特别容易被一些初学者遗漏，从而导致逻辑流程不完整而考试扣分。 <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 若<math>f(x)</math>为<math>\mathbb{R}</math>上的奇函数，则下列说法正确的有(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。 :A.<math>f(x) + f(-x) = 0</math>；B.<math>f(x) - f(-x) = 2 f(x)</math> :C.<math>f(x) f(-x) < 0</math>；D.<math>\frac{f(x)}{f(-x)} = -1</math> <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 分别判断下列各个函数在其默认定义域上的奇偶性，并对奇函数或偶函数按照定义给与证明： :(1) <math>f(x) = \frac 1 x</math>； :(2) <math>f(x) = \frac{1}{x^2}</math>； :(3) <math>f(x) = |x|</math>； :(4) <math>f(x) = 2x + 3</math>； :(5) <math>f(x) = (x - 1)(x + 1)</math>； :(6) <math>f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} - 1</math>； :(7) <math>f(x) = \frac{1 + 2^x}{1 - 2^x} \quad (x \in \mathbb{Z})</math>； :(8) <math>f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} \quad (x \in \mathbb{Z})</math>； :(9) <math>f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}</math>； :(10) <math>f(x) = \frac{x}{|x|}</math>； :(11) <math>f(x) = \frac{1 + |x|}{1 - |x|}</math>； :(12) <math>f(x) = \frac{x^2 + |x| + 1}{x^2 - |x| + 1}</math>； <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知函数<math>f(x) = mx^2 + nx + 2m + n</math>是偶函数，其定义域为[m+1, -2n+2]，求m和n的值。 <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 已知函数<math>f(x) = \frac{ax + b}{1 + x^2}</math>是定义在(-1, 1)上的奇函数，且<math>f(\frac 1 2) = \frac 2 5</math>。 :(1) 求<math>f(x)</math>的表达式。 :(2) 用定义证明<math>f(x)</math>在(-1, 1)上是递增函数。 :(3) 解关于实数t的不等式<math>f(t - 1) + f(t) < 0</math>。 === 结合奇偶性与单调性判断图象特征或解不等式 === <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1：若<math>f(x) \quad (x \in \mathbb{R})</math>是奇函数，则下列坐标表示的点一定在<math>f(x)</math>图象上的是(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。 :A.<math>(a, -f(a))</math>；B.<math>(-a, -f(a))</math>；C.<math>(-a, -f(-a))</math>；D.<math>(a, f(-a))</math> <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 若偶函数<math>f(x)</math>在<math>(- \infty, -1]</math>上单调递减，判断<math>f(- \frac 3 2)</math>、<math>f(-1)</math>和<math>f(2)</math>的大小顺序。 <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知奇函数<math>f(x)</math>在<math>\mathbb{R}</math>上单调递减。若<math>f(1) = -1</math>，求满足<math>-1 \le f(x - 1) \le 1</math>的x的取值范围。 <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 若<math>f(x)</math>是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的偶函数，且在区间<math>[0, + \infty)</math>上是增函数，求不等式<math>f(2x - 1) - f(-3) < 0</math>的解集。 <!-- 本小节例题5 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题5： 若奇函数<math>f(x)</math>是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的增函数，求不等式<math>f(2x - 1) + f(3) < 0</math>的解集。 === 复合函数的奇偶性 === 可以从奇/偶函数之间的四则运算和复合这2个角度来分析所得结果的奇偶性。 <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 分别判断以下说法的正确性：<br /> :(1) 常函数都是偶函数。 :(2) 奇函数的平方一定也是奇函数。 :(3) 一个奇函数与另一个奇函数的乘积可能仍然是奇函数。 <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 设函数<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>的定义域都为<math>\mathbb{R}</math>，且<math>f(x)</math>是奇函数，<math>g(x)</math>是偶函数，则下列说法中正确的有(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。 :A.<math>|f(x)|g(x)</math>是奇函数；B.<math>f(x)|g(x)|</math>是奇函数 :C.<math>f(x) + |g(x)|</math>是偶函数；D.<math>|f(x)| + g(x)</math>是偶函数 <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知<math>f(x)</math>、<math>g(x)</math>分别是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的偶函数和奇函数，且<math>f(x) - g(x) = x^3 + x^2 + 1</math>，求<math>f(1) + g(1)</math>的值。 <!-- 本小节例题4 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题4： 已知函数<math>f(x)</math>与<math>g(x)</math>分别是定义域上的奇函数与偶函数，且<math>f(x) + g(x) = x^2 - \frac{1}{x+1} - 2</math>，求<math>f(2)</math>的值。 == 常用结论与常见模型 == === 函数的奇偶分解 === 奇偶性的一大用途就是我们可以将任何定义域关于原点对称的函数分解为一个奇函数与一个偶函数的和。有的高中教辅书上会将其作为习题列出，但作为一个重要且并不复杂的技巧，我们在这里将其做法作为结论直接给出。 <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> [[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]] 任何定义域关于原点对称的函数<math>f(x)</math>都可以被分解为一个奇函数<math>g(x)</math>与一个偶函数<math>h(x)</math>的和<ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" />：<br /> <math>f(x) = g(x) + h(x)</math><br /> 其中，<math>g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}</math>，其中，<math>h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}</math>。 </blockquote> 这是一个在高中课程学习中很少被提及，但是在后续课程中很有用的基本技巧。它将一个比较一般的函数分解为对称性处理起来较为简单的2个部分。在后续的多重线性代数和量子力学的课程中，这个分解技巧也叫做函数的'''对称化'''（'''symmetrize'''）和'''反对称化'''（'''antisymmetrize'''），分解出来的奇函数部分叫做原函数的'''反对称部分'''，偶函数部分叫做原函数的'''对称部分'''。 === 根据奇偶性延拓函数 === 在保持某些性质必须依旧成立的前提下，扩大函数定义域范围的过程叫做函数的'''延拓'''（'''continuation'''或'''extension'''）。高中数学中常见的延拓形式有奇偶延拓和周期延拓。 <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 已知函数<math>f(x)</math>是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的奇函数，且当<math>x \in (- \infty, 0)</math>时，<math>f(x) = 2x^3 + x^2</math>，求<math>f(2)</math>的值。 <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 已知<math>f(x)</math>是奇函数，当<math>x < 0</math>时，<math>f(x) = x^2 + ax</math>，且<math>f(3) = 6</math>，求a的值。 <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： 已知<math>f(x)</math>是定义在<math>\mathbb{R}</math>上的偶函数，当<math>x \ge 0</math>时，<math>f(x) = x^2 - 2x</math>。 :(1) 求函数<math>f(x)</math>的解析式，并画出其图象。<br /> :(2) 根据图象写出<math>f(x)</math>的单调区间和值域。 === 广义奇偶性 === 广义奇偶性就是关于特定纵轴或特定点的对称函数。广义奇偶性是对局限于原点和y轴的普通奇偶性的延伸。 <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> [[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]] 假定函数<math>f(x)</math>的定义域dom关于<math>x = a</math>对称，关于函数的中心对称性，以下说法等价： * <math>f(x)</math>的图象关于点<math>(a, b)</math>中心对称 * <math>\forall x \in dom, f(a - x) + f(a + x) = 2b</math> * <math>\forall x \in dom, f(x) + f(2a - x) = 2b</math> 满足以上条件的函数也叫做关于指定点对称的'''广义奇函数'''。 </blockquote> 普通奇函数也满足以上情形，是<math>a = 0</math>时的特例。 <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;"> [[File:Crystal Project Warehause.png |Crystal Project Warehause | 50px]] 假定函数<math>f(x)</math>的定义域dom关于<math>x = a</math>对称，关于函数的轴对称性，以下说法等价<ref name="龙门专题_2008_函数的奇偶性" />： * <math>f(x)</math>的图象关于直线<math>x = a</math>对称。 * <math>\forall x \in dom, f(a - x) = f(a + x)</math>。 * <math>\forall x \in dom, f(x) = f(2a - x)</math>。 满足以上条件的函数也叫做关于指定竖直线对称的'''广义偶函数'''。 </blockquote> 普通偶函数也满足以上情形，是<math>a = 0</math>时的特例。 <!-- 本小节例题1 --> [[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题1： 如果函数<math>f(x)</math>满足<math>f(a - x) + f(b + x) = c</math>，则它的图象一定关于哪个点呈中心对称？ <!-- 本小节例题2 --> [[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题2： 如果函数<math>f(x)</math>满足<math>f(a - x) = f(b + x)</math>，则它的图象一定关于哪条直线对称？ <!-- 本小节例题3 --> [[File:Crystal Clear action edit.png |Crystal Clear action edit | 50px]] 相关例题3： <math>f(x)</math>与<math>f(2a - x)</math>的图像什么时候是关于某个点对称的？什么时候是关于某条纵轴对称的？ == 补充习题 == [[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]] [[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]] == 参考资料 == {{Reflist}} == 外部链接 == {{Wikipedia|奇函数与偶函数}} {{DEFAULTSORT: even functions and odd functions}} [[Category:函数]] [[Category:对称性]] [[Category:高中数学]] konyhgvw19fnt1k4iolg4ztvrht66xp 0 31948 186806 183126 2026-08-19T15:34:27Z ~2026-45481-55 69038 /* 第几 */ 186806 wikitext text/x-wiki == 1 准备课 == === 数一数 === 以下“⚪”的数量表示每一个数字表示的数量。 '''1''' ⚪ '''2''' ⚪⚪ '''3''' ⚪⚪⚪ '''4''' ⚪⚪⚪⚪ '''5''' ⚪⚪⚪⚪⚪ '''6''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪ '''7''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪ '''8''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪ '''9''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪ '''10''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪ === 比多少 === ⚪⚪⚪ ⚪⚪⚪ 上面的圆与下面的圆'''一样多'''。 ⚪⚪⚪ ⚪⚪⚪ ⚪ 上面的圆比下面的圆'''少'''。 下面的圆比上面的圆'''多'''。 == 2 位置 == === 上、下、前、后 === '''上'''： 1 ↑…………“上”（“1”在“2”的上面） 2 '''下'''： 3 ↓…………“下”（“4”在“3”的下面） 4 [[File:Two buses and a car in West Street - geograph.org.uk - 3008114.jpg|公交车和汽车]] '''前'''、'''后'''：图中，公交车在汽车的前面，汽车在公交车的后面。 === 左、右 === [[File:390-raising-hands-2.svg|两只手]] 以你的视角来看，←这边是左，→这边是右。 但当你面向别人时（像在上面的图片中），他的左手是→这边的手，他的右手是←这边的手，因为你和他的左右是相反的。 人通常用右手写字、拿筷。（如果你是左撇子，那么你会用左手写字、拿筷） == 3 1-5的位置与加减法 == === 1-5的认识 === ==== 1-5的认识 ==== 以下“⚪”的数量表示每一个数字表示的数量。 '''1''' ⚪ '''2''' ⚪⚪ '''3''' ⚪⚪⚪ '''4''' ⚪⚪⚪⚪ '''5''' ⚪⚪⚪⚪⚪ ==== 1-5的写法 ==== === 比多少 === ⚪⚪⚪ ⚪⚪⚪ 上面的圆的数量等于下面的圆的数量 3 = 3（“'''='''”：'''等于号'''） ⚪⚪⚪ ⚪⚪⚪⚪⚪ 上面的圆的数量小于下面的圆的数量 下面的圆的数量大于上面的圆的数量 3＜5（“'''＜'''”：'''小于号'''） 5＞3（“'''＞'''”：'''大于号'''） === 第几 === [[File:Delta line-up at ATL (30838286321).jpg|thumb|五架飞机]]这里有五架飞机。 你是如何确认飞机的架数的？ '''数数'''。从前往后数，1、2、3…… 其中，你在数“1”时点到的飞机是'''第一'''架飞机，你在数“2”时点到的飞机是'''第二'''架飞机……以此类推。 如果你从后往前数，那么你会发现原来的'''第五'''架飞机变成了'''第一'''架飞机，'''第一'''架飞机变成了'''第五'''架飞机。 想一想：第二架飞机的前面有几架飞机？后面呢？ 答：一架、三架。 注意：'''五架飞机'''与'''第五架飞机'''的意义'''不同'''。 === 分与合 === {| class="wikitable" | colspan="2" |2 ⚪⚪ |- |1 ⚪ |1 ⚪ |}（'''2可以分成1和1'''） {| class="wikitable" | colspan="2" |3 ⚪⚪⚪ |- |1 ⚪ |2 ⚪⚪ |}（'''3可以分成1和2'''） {| class="wikitable" | colspan="2" |3 ⚪⚪⚪ |- |2 ⚪⚪ |1 ⚪ |}（'''3可以分成2和1'''） 以此类推 '''4可以分成1和3，4可以分成2和2，4可以分成3和1；''' '''5可以分成1和4，5可以分成2和3，5可以分成3和2，5可以分成4和1。''' === 加法 === ⚪⚪⚪ ⚪ 上面的圆可以用式子表示为'''3+1'''，其中“'''＋'''”是'''加号'''。 3+1等于多少呢？ '''数数法'''：①一个一个数，上面的圆有4个，所以3+1=4。 ②从3开始再数一个数，数到4，所以3+1=4。 '''分与合法'''：4可以分成3和1，所以3+1=4。 === 减法 === ⚪⚪⚪<s>⚪</s> 上面的式子可以表示为'''4-1'''，其中'''“-”'''是'''减号'''。 4-1等于多少呢？ '''数数法'''：从4开始倒数1个数字，数到了3，所以4-1=3。 '''分与合法'''：4可以分成1和3，所以4-1=3。 === 0 === 0表示'''没有'''。 0的加减法： 任何一个数加0'''等于原数'''； 任何一个数减0'''等于原数'''。 == 4 认识图形（一） == === 长方体 === [[File:Cuboid no label.svg|thumb|长方体长这个样子]] [[File:TW Morinaga rock salt milk caramel 50g 20120806 face.jpg|thumb|长方形的牛奶糖盒子]] [[File:Teu.jpg|thumb|长方体的货柜]] 长方体'''不能滚动'''。 2个长方体可以拼成'''长方体或正方体'''。 === 正方体 === [[File:Bolumenaren formula.jpg|thumb|正方体的样子]] [[File:Rubiks cube by keqs.jpg|thumb|正方体的魔方]] [[File:Casino dices.jpg|thumb|正方体的骰子]] 正方体'''不能滚动'''。 2个正方体可以拼成'''长方体'''。 === 圆柱 === [[File:Right Circular Cylinder (parameters r, h, d).svg|thumb|圆柱的样子]] [[File:Vacuum Flask.jpg|thumb|圆柱的水杯]] [[File:Swill soft drink can.svg|thumb|圆柱的易拉罐]] 圆柱有时'''可以滚动'''，有时'''不可以滚动'''。 两个圆柱可以拼成'''圆柱'''。 === 球 === [[File:PlainSphere.svg|thumb|球的样子]] [[File:The Earth seen from Apollo 17.jpg|thumb|近似球体的地球]] [[File:Soccer ball.jpg|thumb|right|200px|圆形的足球]] 球可以'''滚动'''。 === 解决问题 === 用3个长长的长方体，1个宽宽的长方体，3个高高的长方体，1个正方体，1个圆柱，1个球搭图案，看谁搭得又稳又高。（要全部用上） 要尽量往高搭，球可以放在三个长方体上固定。 比一比就知道谁搭得高了。 == 5 6~10的位置与加减法 == ==== 6-7的认识 ==== 以下“⚪”的数量表示每一个数字表示的数量。 '''6''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪ '''7''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪ ==== 6-7的写法 ==== ==== 大小比较、分与合与第几 ==== '''大小比较'''：5<6<7 '''分与合'''： '''6可以分成1和5'''，'''6可以分成2和4'''，'''6可以分成3和3'''。 '''7可以分成1和6'''，'''7可以分成2和5'''，'''7可以分成3和4'''。 '''第几'''： ⚪⚪⚪⚪⚪''⚪''<u>⚪</u> 从左往右数，斜着的那个圆是'''第6个'''，划线的那个圆是'''第7个'''。 ==== 6、7的加减 ==== 5+1=6（'''6可以分成5和1'''） 6-1=5（'''6可以分成1和5'''） ==== 解决问题 ==== '''一、左边有5只兔子，右边有2只兔子，一共有多少只兔子？''' '''一共'''：把两边合起来。 把两边合起来的运算，是'''加法'''。 5+2=7（只） 答：一共有7只兔子。 '''二、原本有7只青蛙，跳走2只，现在还剩下多少只青蛙？''' '''剩下'''：跳走后现在有的青蛙。 把一些部分去掉的运算，是'''减法'''。 7-2=5（只） 答：现在还剩下5只青蛙。 === 8和9 === ==== 8和9的认识 ==== 以下“⚪”的数量表示每一个数字表示的数量。 '''8''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪ '''9''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪ ==== 8和9的写法 ==== ==== 大小比较、分与合与第几 ==== '''大小比较'''：7<8<9 '''分与合'''： '''8可以分成1和7'''，'''8可以分成2和6'''，'''8可以分成3和5'''，'''8可以分成4和4'''。 '''9可以分成1和8'''，'''9可以分成2和7'''，'''9可以分成3和6'''，'''9可以分成4和5'''。 '''第几'''： ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪''⚪''<u>⚪</u> 如上，倾斜的圆是'''第8个'''，划线的圆是'''第9个'''。 ==== 8、9的加减法 ==== 7+2=9（'''9可以分成7和2'''） 8-4=4（'''8可以分成4和4'''） ==== 解决问题 ==== '''一、有9头鹿，跑走了3头，还剩下几头？''' 剩下用'''减法'''。 9-3=6（头） 答：还剩下6头。 '''二、看下面的图片，你能提出问题并解答吗？''' [[File:James Flamingos MC.jpg|thumb]] [[File:Piquero patiazul (Sula nebouxii), isla Lobos, islas Galápagos, Ecuador, 2015-07-25, DD 35.JPG|thumb]] 可以看见，上面有3只鸟，下面有2只鸟，那么我们可以问：“'''一共有多少只鸟？'''” 一共用'''加法'''。 3+2=5（只） 答：一共有5只鸟。 === 10 === ==== 10的认识 ==== 以下“⚪”的数量表示每一个数字表示的数量。 '''10''' ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪ ==== 10的写法 ==== ==== 大小比较、分与合与第几 ==== '''大小比较'''：9<10 '''分与合'''： '''10可以分成1和9'''，'''10可以分成2和8'''，'''10可以分成3和7'''，'''10可以分成4和6'''，'''10可以分成5和5'''。 '''第几'''： ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪''⚪'' 如上，倾斜的圆是'''第10个'''。 ==== 10的加减法 ==== 10-3=7（'''10可以分成3和7'''） 6+4=10（'''10可以分成6和4'''） === 连加、连减 === ==== 连加 ==== 3+4+2=? 这是一个'''连加'''运算。我们应该怎么做呢？ 我们可以先算'''前面两个数相加'''，再将这两个数相加的结果'''与第三个数相加'''。 3+4=7，7+2=9，所以3+4+2=9。 这个过程可以用下面的图来表示： ==== 连减 ==== 10-4-5=? 这是一个'''连减'''运算。我们应该怎么做呢？ 我们可以先把'''前两个数相减'''，再将这两个数相减的结果'''与第三个数相减'''。 10-4=6，6-5=1，所以10-4-5=1。 这个过程可以用下面的图表示： === 加减混合 === 4-3+6等于几？8-5+3又等于几？ 上面两个式子都是'''加减混合'''运算。 我们可以'''先把前两个数相加（减）'''，再将前两个数相加（减）的数'''与第三个数相减（加）'''。 4-3=1，1+6=7，所以4-3+6=7； 8-5=3，3+3=6，所以8-5+3=6。 这个过程可以用下面的图表示： == 6 11-20各数的认识 == === 11-20的认识 === ==== 11-20的认识 ==== 10+1='''11''' 读作：'''十一''' 10+2='''12''' 读作：'''十二''' 10+3='''13''' 读作：'''十三''' 10+4='''14''' 读作：'''十四''' 10+5='''15''' 读作：'''十五''' 10+6='''16''' 读作：'''十六''' 10+7='''17''' 读作：'''十七''' 10+8='''18''' 读作：'''十八''' 10+9='''19''' 读作：'''十九''' 10+10='''20''' 读作：'''二十''' ==== 十位与个位 ==== 从右边数起，第一位是'''个位'''，第二位是'''十位'''。（如：15中，“1”是十位，“5”是个位。） 一个数有'''几个“10”'''就往'''十位写几'''，有'''几个“1”'''就往'''个位写几'''。 ==== 比大小与第几 ==== 比大小：先看'''十位'''，'''十位大'''的那个数就'''大'''（如：20>17>8）。 '''十位一样大的看个位'''，十位一样'''个位大'''的数就'''大'''（如：13<17）。 === 解决问题 === 有一群人在排队。小丽排第10，小宇排第15。他们中间有多少人？ '''数数法'''：从11开始数，11、12、13、14，再后面是小宇，所以他们中间有4个人。 '''画图法'''：<u>✏️</u>✏️✏️✏️✏️<u>✏️</u> 前面一个被划线的是小丽（第10个），后面一个是小宇（第15个）。所以他们中间有4个人。 答：他们中间有4个人。 == ※ 数字乐园 == 下面有一个棋盘。用石头剪刀布决定谁先走。在每一行都要选问题回答，答对前进一格，答错后退一格。先到终点的就赢。 == 7 认识钟表 == 下面是一个时钟。 [[File:KGU clock.jpg|thumb|时钟]] 时钟上短的针叫'''时针'''，长的针叫'''分针'''。 分针指向12，时针指向几，就是'''几点'''。比如上面的钟表表示3时，记作3:00。 其它的钟表也一样： [[File:Grand Arcade Clock 18 April 2018 2.jpg|thumb|4时了]] 如果分针还快要到12了，那我们可以说'''快几时了'''： [[File:Old Clock DSCN4746.jpg|thumb|快8时了]] 如果分针刚刚超过12，那我们可以说'''几时过一会儿： [[File:Ceramic Clock Model 1 Vitra.jpg|thumb|12时过一会儿]] == 8 20以内的进位加法 == === 9加几 === 9+4=? 这是一个'''进位加法'''。 我们不能直接求出这个算式的得数。那么它们的和是多少？ 4可以分成1和3。9+1=10，9再加剩下的3，10+3=13，所以9+4=13。 这个方法叫'''凑十法'''。 我们可以用下面这张图表示这个过程： === 8、7、6加几 === 8+9=? 这是一个'''进位加法'''。 我们可以根据凑十法（如下图），求出8+9等于17。 我们也可以将9拆成2和7，如下图： 它们的结果是一样的。 === 5、4、3、2加几 === 5+8=? 5可以分成2和3。8+2=10，10+3=13，所以5+8=13。 还可以把8拆成3和5，然后计算。 === 解决问题 === '''一、一群人在跳舞。前排有7人，后排有8人。男生有9人，女生有6人。一共有多少人？''' ①前排+后排：7+8=15（人） ②男生+女生：9+6=15（人） 答：一共有15人。 （'''同样的问题有时有不同的解法。'''） '''二、老师买走了7支铅笔，超市还剩下5支铅笔。原来一共有多少支铅笔？''' 可以'''画图'''。 ⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪…………老师买的铅笔 ⚪⚪⚪⚪⚪…………剩下的铅笔 可以看到，应该用'''加法'''。 7+5=12（支） 答：原来一共有12支铅笔。 == 附录 == g8coztbsp08jtwqqx7i2l1twoc1qakq 4 32222 186807 186735 2026-08-19T19:56:40Z Alexis Jazz 55150 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 186807 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. 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