مبرهنة القيمة الوسطى

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

مبرهنة القيمة الوسطى هي نتيجة لمبرهنة رول.إن التغير الجزئي لكل دالة ذات متغير حقيقي متواصلة و قابلة للاشتقاق يقابل ميل إحدى مماساتها. و بأكثر دقة : النص : لكل دالة ذات متغير حقيقي f : [a, b] -> R حيث a < b، متواصلة على النطاق المغلق [a, b] و قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[، تؤكد مبرهنة القيمة الوسطى على وجود عدد حقيقي c موجود في النطاق ]a, b[ بحيث :

f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

في الحقيقة، و تبعا لهذه الشروط، تكون قيمة الدالة x \mapsto f(x) - {f(b)-f(a) \over b-a} \times (x-a) في a و b واحدة. و بتطبيق مبرهنة رول، فإنها تملك نقطة معينة c في ]a ; b[ و نظرا لأن المشتقة في c تساوي الصفر فإننا نجد المعادلة السابقة.

هندسيا، تقترح علينا مبرهنة القيمة الوسطى أنه لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

[تحرير] لامساواة القيمة الوسطى

لتكن f : [a, b] -> R دالة ذات قيم حقيقية حيث a < b. إذا كان :

  • f متواصلة على النطاق المغلق [a, b]
  • f قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[
  • يوجد عدد حقيقي موجب k، حيث لكل عنصر x من ]a, b[، |f'(x)| < k،

فإن \left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right| \le k.

الإستدلال :

نطبق مبرهنة القيمة الوسطى و نضع |f'(x)| < k.

و لتقريب الصورة نستطيع أن نصور المبرهنة كما يلي : "إذا كانت السرعة الآنية لسيارة ما غير قادرة على تجاوز سرعة 120 كم/س، فإن معدل سرعتها لا يمكنه ذلك."

[تحرير] مبرهنة القيمة الوسطى المعممّة

تطبّق هذه المبرهنة في حالة دالتين متواصلتين على [a ; b]، قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[. و هو يؤكد وجود عدد حقيقي c من النطاق ]a ; b[ بحيث

(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0\,

هندسيا، تعني هذه المعادلة أن كل منحنى لدالة من \R في \R^2 قابلة للاشتقاق، يملك مماسا موازيا لإحدى حباله. في حالة مخالفة g' للصفر على ]a ; b[، يمكن أن تكتب المعادلة

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

و تحت هذه الصيغة، تستعمل المبرهنة للاستدلال على قاعدة اوبيتال.

الإستدلال :

نطبق مبرهنة رول على الدالة
h(t) = (f(b) - f(a))(g(t) - g(a)) - (g(b) - g(a))(f(t) - f(a))\,
إن الدالة h متواصلة على [a ; b]، و قابلة للاشتقاق على ]a ; b[، و تساوي صفرا في a و b و بالتالي h(a) = h(b). إذن يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث h'(c) = 0. و هو ما يؤدي إلى
(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0\,
و لو كانت g' كذلك مخالفة للصفر على ]a ; b[ فإننا نستطيع أن نؤكد أن g(b) \ne g(a) و يكفي أن نقسم بهما فنجد
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

[تحرير] مبرهنة القيمة الوسطى و التكاملات

يمكن إعادة صياغة مبرهنة القيمة الوسطى في شكل تكامل. لكل دالتين ذوات متغيّر حقيقي، u و v متواصلتين على النطاق [a ; b]، حيث v مخالفة

للصفر على [a ; b]، يوجد عدد حقيقي c من ]a ، b[ حيث

\int_a^b u(t)v(t)dt = u(c) \int_a^b v(t)dt.

و هذه الكتابة منطقية نظرا لأن الدوال المتواصلة متكاملة محليا حسب ريمان.