Матрыца (матэматыка)

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.

Матрыца - табліца пэўных элементаў (найчасцей - лікаў). Матрыцы выкарыстоўваюцца для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў і для лінейных пераўтварэнняў.


Зьмест

[рэдагаваць] Абазначэнні

Матрыца складаецца са слупкоў і радкоў. Калі яна складаецца з Failed to parse (Can't write to or create math output directory): n

радкоў і Failed to parse (Can't write to or create math output directory): m
слупкоў, то кажуць, што памер матыцы роўны Failed to parse (Can't write to or create math output directory): n*m

. Элемент, які знаходзіцца ў i-тым радку і j-тым слупку абазначаецца Failed to parse (Can't write to or create math output directory): a_{ij}

.

Матрыца, у якой колькасць радкоў ці слупкоў роўная 1, называецца вектарам.

Матрыцы называюцца роўнымі, калі іх адпаведныя элементы роўныя паміж сабой:

Failed to parse (Can't write to or create math output directory): A=B: a_{ij}=b_{ij}\,

.

[рэдагаваць] Прыклад

Failed to parse (Can't write to or create math output directory): A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 4 \\ 4 & 10 & 0 & 1\end{bmatrix}


А - матрыца памера Failed to parse (Can't write to or create math output directory): 2*4 . Складаецца з 2-х радкоў і 4-х слупкоў.

[рэдагаваць] Аперацыі з матрыцамі

[рэдагаваць] Сума

Складанне матрыц заключаецца ў складанні іх адпаведных элементаў. Каб матрыцы можна было скласці, іх памеры павінны супадаць.

Failed to parse (Can't write to or create math output directory): C=A+B: c_{ij}=a_{ij}+b{ij}


[рэдагаваць] Памнажэнне на лік

Каб памножыць матрыцу на лік, трэба памножыць кожны яе элемент на гэты лік.

Failed to parse (Can't write to or create math output directory): 2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}


[рэдагаваць] Здабытак

Каб перамножыць 2 матрыцы, трэба каб колькасць слупкоў у першай супадала з колькасццю радкоў ў 2-ой. Здабытак будзе мець радкоў як у першай і слупкоў як ў 2-ой матрыцах. Кожны элемент здабытку вылічваецца па наступнай формуле:

[рэдагаваць] Сістэмы лінейных ураўненняў

Сістэму лінейных ураўненняў

Failed to parse (Can't write to or create math output directory): a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n} = b_1


Failed to parse (Can't write to or create math output directory): a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n} = b_2


Failed to parse (Can't write to or create math output directory): \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots


Failed to parse (Can't write to or create math output directory): a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn} = b_n


можна запісаць у выглядзе здабытку

Failed to parse (Can't write to or create math output directory): AX = B\,


Рашэнне гэтай сістэмы заключаецца ў знаходжанні адваротнай матрыцы А-1, бо калі мы памножым папярэдняе ўраўненне на гэтую матрыцу

Failed to parse (Can't write to or create math output directory): A^{-1}AX = A^{-1}B\,


то зможам атрымаць слупок

Failed to parse (Can't write to or create math output directory): X = A^{-1}B\,


[рэдагаваць] Віды матрыц

  • Нулевая матрыца - матрыца, ў якой усе элементы роўныя 0.
  • Квадратная матрыца - матрыца, у якой колькасць радкоў і слупкоў супадае.
  • Адзінкавая матрыца - матрыца, у якой усе элементы, якія знаходзяцца на асноўнай дыяганалі (аій: і=й) роўныя адзінцы, а ўсе астатнія роўныя 0.
  • Выраджаная матрыца - матрыца, дэтэрмінант якой роўны 0.
  • Транспанаваная матрыца - матрыца, у якой слупкі і радкі перамененыя месцамі.
  • Адваротная матрыца - матрыца, памнажэнне на якую дае адзінкавую матрыцу.
  • Сіметрычная матрыца - матрыца, якая супадае са сваёй транспанаванай матрыцай.
  • Трохвугольная матрыца - матрыца, у якой усе элементы ніжэй (вышэй) асноўнай дыяганалі роўныя 0.