Оператор на Хамилтон

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: форматиране. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.


Хамилтоновият оператор представлява трансформация на Лежандр спрямо оператора на Лагранж:

H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t)

Ако трансформираме уравненията, чрез дефиниране на координатна система, независима от времето t, може да се покаже че H е равен на общата енергия: E = T + V.

H = T + V , Т - кинетична енергия, V - потенциална енергия

Да разгледаме диференциала на Н:

\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \end{matrix}

Замествайки моментите на двжението със съответните коефиценти получаваме Каноничното равенство на хамилтон:

{\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}

Хамилтоновото уравнение е диференциално уравнение от първи ред и това улеснява решаването му, докато уравнението на Лагранж е от втори ред. Но основното предимство на Хамилтоновото уравнение е в това че оператора на Хамилтон по-добре отговаря и описва физическата същност на движението. В крайна сметка резултата, който получаваме и при Лагранж и при Хамилтон е един и същ, все пак спестяваме малко труд при решението на уравненията. Въвеждането на оператора на Хамилтон позволява по-задълбочено изследване на основните принципи на класическата механика.