Правилен многоъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Правилен многоъгълник се нарича прост многоъгълник (многоъгълник, който не се пресича никъде), който е равностранен и равноъгълен (с равни по дължина страни) и ъгли). Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът.

За всеки брой на страните n, правилните n-ъгълници са еднакви.

Примери:

  • двустранен правилен многоъгълник — изроден, двулинейна отсечка;
  • равностранен триъгълник;
  • квадрат;
  • правилен петоъгълник;
  • правилен шестоъгълник;
  • правилен осмоъгълник;
  • правилен десетоъгълник;
  • правилен дванадесетоъгълник.

Съдържание

[редактиране] Свойства

Вътрешните ъгли на един правилен n-ъгълник са (1-2/n)\times 180 (или също (n-2)\times 180/n) градуса.

Също, вътрешните ъгли на един правилен n-ъгълник са (n−2)π/n радиана (или (n−2)/(2π) оборота).

Всички върхове на един правилен многоъгълник лежат на една окръжност, т.е. те са конциклични точки, т.е. всеки правилен многоъгълник може да се впише в дадена описваща окръжност.

Един правилен n-ъгълник може да се построи с линия и пергел тогава и само тогава, когато нечетните прости множители, на които се разлага n, са различни прости числа на Ферма. Вижте построим многоъгълник.

За n>2 броят диагонали e n\frac{(n-3)}{2}, i.e. 0, 2, 5, 9, ... Те разделят полигона на 1, 4, 11, 24, ... части.

[редактиране] Лице

Апотема на шестоъгълник
Апотема на шестоъгълник

Лицето на правилен n-ъгълник е

A=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}

където t е дължината на една страна или половината от обиколката, умножена по дължината на апотемата (отсечката, спусната от центъра на многоъгълника към една страна, перпендикулярна на тази страна):

За t=1 имаме

{\frac{n}{4}} \cot(\pi/n)

със следните стойности:

2   0 0,000
3   \frac{\sqrt{3}}{4} 0,433
4   1 1,000
5   \frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} 1,720
6   \frac{3 \sqrt{3}}{2} 2,598
7    3,634
8   2 + 2 \sqrt{2} 4,828
9    6,182
10   \frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} 7,694
11    9,366
12   6+3\sqrt{3} 11,196
13    13,186
14    15,335
15    17,642
16    20,109
17    22,735
18    25,521
19    28,465
20    31,569
100    795,513
1000    79577,210
10000    7957746,893

Разликата между лицата на многоъгълниците и това на окръжностите със същата обиколка са равни на 0,26 (приблизително), а за n<8 — малко повече (разликите намаляват, клонейки с нарастването на n към π/12).

[редактиране] Симетрия

Групата на симетрия на един правилен n-ъгълник е диедрална група Dn (от ред 2n): D2, D3, D4,... Тя се състои от ротациите в Cn (има ротационна симетрия от n ред), плюс рефлекционна симетрия по n оси, които минават през центъра. Ако n е четно, то половината от тези оси минават през два срещуположни върха, а другата половина — през средата на противолежащата страна.

[редактиране] Многостени

Еднороден многостен е многостен с правилни многоъгълници за стени, така че за всеки два върха съществува изометрично изображение помежду им.