Риманова геометрия
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Тази статия се нуждае от подобрение.
Римановата геометрия, още наричана геометрия на Риман, е една от неевклидовите геометрии, предложена от немския математик Бернхард Риман. Представлява многомерно обобщение на вътрешната геометрия на двумерна повърхнина в тримерното евклидово пространство.
В основата на римановата геометрия стоят три идеи:
- Идеята, че изобщо е възможна геометрия, различна от евклидовата — тази идея вече била лансирана от Лобачевски и Бояи (1825-1826 г.)
- Представата за вътрешна геометрия на повърхнина, предложена от Гаус, който разработва и аналитичния ѝ апарат.
- Идеята за многомерно пространство, предложена през първата половина на 19 век от Грасман и разработена от други геометри.
В своята лекция "За хипотезите, лежащи в основата на геометрията" (от 1854 г., публикувана през 1867 г.) Риман съчетава тези три идеи, като дава нова дефиниция на понятието за математическо пространство като непрекъсната съвкупност от произволен род еднотипни обекти, служещи за "точки" (т.е. нула-мерни обекти) в това пространство, внасяйки и идеята за измерване на дължини "с малки стъпки".[1]
Лекцията на Риман привлякла вниманието на много математици, които допринесли към изграждането на аналитичния апарат и теоремите, валидни в римановата геометрия. Тя на свой ред се оказва предпоставка за нови научни открития. В края на 19 век Ричи-Курбастро и Леви-Чивита формулират на тази основа своето тензорно смятане. Решаващо значение обаче има приложението на римановата геометрия в общата теория на относителността на Айнщайн.
Иначе казано, римановата геометрия е раздел на диференциалната геометрия, в който главен обект на изследване се явяват римановите пространства, или още пространства с риманова метрика. Към строгото определение на риманово пространство може да се подходи със следния пример:
- Положението на точка в n-мерно многообразие се определят чрез координатите x1,...,xn. В евклидовото n-мерно пространство разстоянието между всеки две точки X1,X2 се пресмята по формулата
, където Δxi е разликата между съответните координати на X1,X2 при i = 1,...,n.
- Пренасяйки се в римановото пространство, в околност на всяка точка А могат да се въведат координати x1,...,xn, такива, че разстоянието между точките X1,X2 в околност на А да се изразява по формулата
, където при X1,X2 приближаващи се към А е изпълнено условието
. Оттук следва, че в произволни координати, разстоянието между близки точки (xi) и (xi + dxi), или другояче казано диференциалът на дължината на дъгата от кривата се задава посредством израза
, където коефициентът gij = gij(x1,...xn) е ненулева функция на координатите. Диференциалът на дължината на дъгата от кривата ds се нарича линеен елемент на римановото пространство.[2]
В оригиналния си вид римановата геометрия изисква линейният елемент ds2 да е винаги положителен, което изискване отпада с прилагането ѝ към теорията на относителността.
Нагледен начин да се построи модела на римановото пространство е по пътя на отъждествяването. За целта възприемаме всяка двойка от диаметрално противоположни точки върху сфера от евклидовото пространство като една точка в римановото. Следователно, на окръжността върху сфера от евклидовото пространство отговаря права в римановото. Индуктивно приложен към n-мерен обект от n+1-мерно евклидово пространство, този метод дава обект от n-мерно риманово пространство.[3]
Специално за частния случай на n-мерни риманови многообразия при n=2, геометрията на Риман е известна и с наименованието елиптична геометрия. Тя се различава от евклидовата по Петия постулат на Евклид, който в случая бива заменен от постулата, че през точка, нележаща на дадена права не може да се построи права успоредна на дадената. Невалиден е и Вторият постулат на Евклид, който гласи, че всяка права може да бъде безкрайно разтегляна в двете посоки.[4]
[редактиране] Понятие
В римановата геометрия риманова повърхност (M, g) е реална диференцируема повърхност М, в която допирателната повърхност към всяка точка от повърхнината се променя плавно при преминаване от точка в точка.
Това позволява да се дефинират и изчисляват различни понятия като: дължина на кривата, ъгъл, площ, обем, кривина, градиент на функцията, завихряне (ротация) на векторно поле.
Сноп от допирателни към точка от гладка повърхнина М (или векторен сноп) е съвкупността от всички допирателни вектори към повърхнината в тази точка.
Всяко непрекъснато подмножество на риманова повърхнина (M, g) притежава своя собственна риманова измерителна единица g.
[редактиране] Свързани понятия
[редактиране] Източници
- ↑ "Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN: 954-584-146-Х
- ↑ "Большая совесткая энциклопедия", том. 22
- ↑ "Математический энциклопедический словарь", Ю. В. Прохоров, "Советская энциклопедия", Москва, 1988
- ↑ "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989