Матрица

от Уикипедия, свободната енциклопедия

За филма, вижте Матрицата.

Матрицата представлява таблица от елементи, най-често числа (числова матрица). Тя се нарича матрица от тип m x n, когато има m реда и n стълба.

\begin{bmatrix}    0 & -2 & 7 \\   15 & 1 & -0,14 \\   3 & 5 & 6 \\   3,1415 & -7 & 0  \end{bmatrix}

Матриците се отбелязват с главни латински букви, като типът им може да се запише като долен индекс — A4x3. Елементите на матрицата се записват с малки букви — aij, като първият индекс показва номера на реда, а вторият — номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.

Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.

Матрицата е квадратна (от ред n), когато има равен брой редове и стълбове (n на брой).

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния й диагонал:

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

[редактиране] Видове матрици

  • триъгълна матрица — квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

\begin{bmatrix}    2 & 0 & 7 \\    0 & 1 & -3 \\    0 & 0 & 5,3 \end{bmatrix}

  • диагонална матрица — квадратна матрица, чиито елементи неучастващи в главния диагонал са нули:

\begin{bmatrix}    2 & 0 & 0 \\    0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 5 \end{bmatrix},\ i \ne j  \Rightarrow a_{ij}=0

  • скаларна матрица — диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

\begin{bmatrix}    \lambda & 0 & 0 \\    0 & \lambda & 0 \\    0 & 0 & \lambda  \end{bmatrix}

  • единична матрица — скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

\begin{bmatrix}    1 & 0 & 0 \\    0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 1  \end{bmatrix}

[редактиране] Основни операции с матрици

Транспониране 
Това е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A се разменят редовете и стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:

A_{m \times n} =  \begin{bmatrix}    1 & 2 & 3 \\    4 & 5 & 6 \\    7 & 8 & 9 \\   10 & 11 & 12 \end{bmatrix},\quad A^T_{n \times m} =  \begin{bmatrix}    1 & 4 & 7 & 10\\    2 & 5 & 8 & 11\\   3 & 6 & 9 & 12 \end{bmatrix}

Събиране 
Събират се матрици от един и същи тип. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

\begin{bmatrix}    1 & 2,7 & 0 \\    3 & 1 & x \\    \pi & 2,4 & x  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}    2,5 & 3,3 & 0 \\    2 & 1 & 2x \\    4 & 2,4 & y  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}    3,5 & 6 & 0 \\    5 & 2 & 3x \\    4+\pi & 4,8 & x+y  \end{bmatrix}

Умножение на матрица с число 
Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

\lambda A =  \begin{bmatrix}    \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\    \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\    \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}  \end{bmatrix}

Умножение на матрици 
Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, а това е изпълнено, когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:

c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{in}b_{nj}

т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

\begin{bmatrix}    1 & 3 \\   0 & -2\\   4 & 1 \end{bmatrix} .  \begin{bmatrix}    7 & 9 \\   5 & 2 \end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix}    1*7 + 3*5 & 1*9 + 3*2 \\   0*7 + (-2)*5 & 0*9 + (-2)*2\\   4*7 + 1*5 & 4*9 + 1*2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}    22 & 15 \\   -10 & -4\\   33 & 38 \end{bmatrix}

[редактиране] Детерминанта

Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:

\det \begin{bmatrix} a \end{bmatrix}  = a
\det \begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}  = ad - bc
\det \begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{bmatrix}  = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

\det  \begin{bmatrix}    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\   \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\    0 & 0 & \cdots & a_{nn}  \end{bmatrix} = a_{11}a_{22}...a_{nn}.