Декартов лист

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Декартов лист
Декартов лист

Декартов лист е вид равнинна алгебрична крива, с уравнение в Декартови координати:

x3 + y3 = 3axy при a \ne 0

и в полярни координати:

r = \frac{\sin 2\varphi}{sin^3\varphi + cos^2\varphi} ,

където \varphi e ъгълът между радиус-вектор към точка от кривата и абсцисната ос.

Декартовият лист има параметрично представяне:

\begin{cases} x = \frac{3at}{1+t^3} \\ y = \frac{3at^2}{1+t^3} \end{cases},

където t е тангенсът на ъгъла между радиус-вектора и абсцисната ос.

Кривата е симетрична относно правата y = x. Ролята на нейна асимптота играе правата g = -x - a. В точка O декартовият лист има двойна точка и допирателните в нея са координатните оси.

Лицето на областта, заградено от примката, е равно на лицето на областта между кривата и асимптотата. Заедно те са равни на S = \frac{3}{2}a^2 .


Кривата е въведена и първо изследвана от Рене Декарт през 1638 г., става известна от кореспонденция между Декарт и Ферма. Декарт е изследвал основно примката, а пълната форма на кривата е определена през 1692 г. от Кристиан Хюйгенс и Йохан Бернули. Декарт използва названието "лист" (feuille), а названието "Декартов лист" е наложено от Даламбер.


Декартовият лист е частен случай при n = 0 на по-широк клас криви с уравнение x3 + y3 = 3axyn. При n < 0 кривата се разпада на две части, като примката се обособява в отделна затворена равнинна крива, а при n > 0 примката и точката на самопресичане изчезват. [1]

[редактиране] Вижте също


[редактиране] Източници

  • "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
  • "Математический энциклопедический словарь", Ю. В. Прохоров, "Советская энциклопедия", Москва, 1988
  • "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
  1. Декартов лист в електронния учебник по диференциална геометрия на проф. Г. Станилов, ФМИ-СУ


[редактиране] Външни препратки

На други езици