Трансформация на Лаплас

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Трансформацията на Лаплас е широкоизползван математически метод за анализ на линейни системи чиито характеристики не се променят с времето (на английски Linear Time-Invariant Systems, LTI). Наречена е на името на френския математик Пиер Симон дьо Лаплас, който я използвал във своята работа върху теорията на вероятностите. Откривателят ѝ е брилянтният швейцарски математик Леонард Ойлер.

Трансформацията на Лаплас намира приложение във физиката, оптиката, електрониката, автоматиката, математическия анализ, теорията на вероятностите и обработката на сигнали.

[редактиране] Дефиниция

Дадена f(t), t \ge 0, трансформацията на Лаплас се дефинира като

\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt,

където f(t) обикновено е функция зависеща от времето. Резултатът е функция дефинирана в областта на комплексната честота s, като s = \sigma + i \omega. \,. Долната граница на интеграла 0 означава \lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon \, идеята на което е да се включи в интегралната трансформация функцията делта на Дирак \delta (t) \ (наричана още "импулс").

Свойствата на тази трансформация да преобразува диференцирането и интегрирането съответно в умножение и деление, позволяват да се преобразуват интегро-диференциални уравнения в полиномни, които са много по-лесни за решаване.

[редактиране] Обратна трансформация на Лаплас

Обратната трансформация на Лаплас е комплексният интеграл на Бромич:

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}  = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds,