Хармоничен осцилатор
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Тази статия се нуждае от подобрение.
[редактиране] Дефиниция
Всяко движение, което се повтяря през равни интервали от време се нарича периодическо. Такова движение както ще видим по-долу се описва чрез функциите синус и косинус. В математиката тези функции се наричат "хармонични" - затова и движението на такива тела се нарича хармонично.
Когато едно тяло променя позицията си - напред, назад по един и същ път -такова движение се нарича вибрация или осцилация. Затова заглавието на темата ни е Хармоничен Осцилатор.
Нашият свят е пълен с примери на хармонично движение: - трептенията на струните на музикалните инструменти, движението на махалото, движението на въздушните молекули при преминаване на звукова вълна. Периодическите движения се създават от сили, преместващи телата напред - назад. Тъй като при този процес винаги има някакво съприкосновение с други частици или триене - вследствие на това се отдава енергия - затова повечето от хармоничните движения са затихващи.
Ако вкарваме допълнителна енергия чрез външна сила - можем да компенсираме загубата на енергия от триенето и да постигнем незатихващо периодично движение.
[редактиране] Математическо описание на движението
- тяло закачено за пружина
- махало
- въртящо се махало
- звукова вълна
- морска вълна
- предаване на хармонично движение по въже
[редактиране] Уравнение за затихващо трептене
Разглеждаме тяло с маса m окачено на пружина с еластичност к. Тялото се намира в среда със съпротивление пропорционално на скоростта на движение с коефицент b. Движението се извършва само по координатната ос Х.
Формула за пружината:
еластична сила на отблъскване на пружината
Формула за съпротивлението на средата:
- сила на съпротивление на средата
Закон на Нютон:
, където
- F - сила, приложена върху тяло с маса м и ускорение а.
Уравнението за движението на тяло, окаченото на пружина е:
Това е диференциално уравнение от втори ред, описващо движението на хармоничен затихващ осцилатор. Разделяме на m:
За да го решим преобразуваме:
Ползваме помощна функция: