Елипса

от Уикипедия, свободната енциклопедия

За стилистичната фигура вижте Елипса (литература)

Елипса (от гр. έλλειψη - липса) в геометрията е геометрично място на точки M, за които сумата от разстоянията до две дадени точки F1 и F2 (наречени фокуси) е постоянно, т. е.

| F1M | + | F2M | = C.
Елипса
Елипса

Окръжността е частен случай на елипса, когато двата фокуса съвпадат. Разстоянието | F1F2 | се нарича фокално разстояние, а отношението ε = | F1F2 | / C - ексцентрицитет. Ексцентрицитетът характеризира разтеглеността на елипсата - колкото ексцентрицитетът е по-близък до 0, толкова елипсата по-наподобява окръжност, и обратното - колкото ексцентрицитетът е по-близък до 1, толкова тя е по-издължена.

Елипсата е вид конично сечение: ако един конус бъде пресечен от равнина, която не пресича основата на конуса и не е успоредна на него, то сечението на конуса и равнината е елипса.

Частта от правата, минаваща през двата фокуса и ограничена от елипсата, се нарича голяма ос. Голямата ос е най-дългата отсечка, която свързва 2 точки от елипсата. Правата, която минава през центъра (по средата между фокусите) и сключва прав ъгъл с главната ос, се нарича малка ос. Голямата полуос е половината от главната ос и започва от центъра, минава през фокус и стига до точка от елипсата. Аналогично малката полуос е половината от малката ос.


Съдържание

[редактиране] Параметрично уравнение на елипса

Размерът на елипсата се определя от две константи, условно означени с a и b, където a е дължината на главната полуос, а b - на малката полуос.

Осите на елипса


Елипса, на която центърът е в началото на координатната система x-y и е с главна ос по оста x, се определя от каноничното уравнение

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Следната графика демонстрира Питагоровата теорема a² = b² + c² като специален случай на непараметричното уравнение по-долу за (x = 0, y = b).

Същата елипса може да бъде представена чрез параметричните уравнения:

x = a\,\cos t
y = b\,\sin t
0 \leq t < 2\pi

където се използват тригонометричните функции синус и косинус.

Ако елипсата не е с център началото на координатната система, но отново главната й ос е по-оста x, тя може да бъде описана с уравнението

\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1

където (h,k) са координатите на центъра.


[редактиране] Ексцентрицитет

Формата на елипсата се изразява с число, наречено ексцентрицитет на елипсата, означавано с e. Ексцентрицитетът се свързва с a и b чрез равенството

e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

където c (линейният екцсентритет на елипсата) е равен на разстоянието от центъра до който и да е от фокусите

e = \frac{c}{a}

Ексцентрицитетът е положително число между 0 (в частния случай на окръжност) и 1. Колкото е по-голям ексцентрицитетът, толкова е по-голямо отношението на a към b, и следователно елипсата е по-издължена. Разстоянието между фокусите е 2ae.

[редактиране] Параметър(фокална полухорда) и полярни координати

Параметърът (фокална полухорда) на елипса се бележи с l (малка буква L), е перпендикулярната на главната ос отсечка от фокуса на елипсата до самата елипса. Връзката между него и a и b се изразява чрез формулата al = b2.

Ellipse, showing semi-latus rectum

Елипса, на която единият от фокусите е в центъра на координатната система, а другият лежи върху отрицателната част на абсцисата, се разглежда в полярни координати с помощта на следното уравнение:

r (1 + e \cos \theta) = l \,

Елипсата може да бъде разглеждана и като проекция на окръжност: окръжност върху равнина, наклонена под ъгъл φ спрямо хоризонтална равнина, проектирана перпендикулярно върху нея, ни дава елипса с ексцентрицитет sin φ, при φ различно от 90°.

[редактиране] Площ

Лицето на фигурата, заключена от елипсата, е \pi ab\,\!,

[редактиране] Обиколка

Обиколката на елипсата е 4aE(e), което не може да бъде изразено с проста функция. E в случая е пълен елиптичен интеграл от втори род.

Точното решение за изразяване на обиколката на една елипса е безкраен ред:

c = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,

Добро приближение, дадено от Рамануджан:

c \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

където a и b са съответно голямата и малката полуоси.

Горното може да бъде изписано и като:

c \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,


[редактиране] Свойства като отражател

Ако имаме елипсовидно огледало с източник на светлина в един от фокусите, тогава всички лъчи ще се отразяват към една точка - вторият фокус. Тъй като няма друга крива с това свойство, то може да бъде използвано като алтернативна дефиниция на елипса.

[редактиране] Елипса във физиката

Йоханес Кеплер открива, че орбитите, които планетите описват около Слънцето, са с форма на елипса. Това е и Първият закон на Кеплер. По-късно Исак Нютон обяснява, че този факт е естествен резултат от неговия Закон за всемирното привличане.


[редактиране] Елипсите в компютърната графика

[редактиране] Вижте също

  • Елипсоид
  • Сфероид, -елипсоид, получен при въртенето на елипса около някоя от осите й.
  • Хипербола
  • Парабола
  • Орбита

[редактиране] Литература

  • И. Бронштейн , Эллипс, Квант, № 9, 1970.-на руски
ВНИМАНИЕ: Тази статия се нуждае от частичен или цялостен превод. Ако имате познания по използвания език, не се колебайте! Благодарим Ви, че помагате на Уикипедия!