Многостен

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Многостен, или още полиедър е всяка затворена повърхнина, съставена от краен брой равнинни многоъгълници, наречени стени. Общите страни на две съседни стени се наричат ръбове на многостена. Точките, в които три или повече стени се срещат, се наричат върхове на многостена. Две са условията, на които един геометричен обект трябва да отговаря, за да бъде многостен:

  1. всяка от страните на многоъгълник или няма обща точка с друг многоъгълник освен връх, или е страна на още само един многоъгълник,
  2. дадените многоъгълници не могат да се разделят на две групи така, че никой многоъгълник от едната група не може да няма обща точка с никой от от многоъгълниците от другата група (т.е. състои се само от една част).

Многостените биват изпъкнали (ако всичките им точки лежат в едно и също полупространство, определено от равнината на която и да е стена) или вдлъбнати (в противен случай). Свойство на изпъкналите многостени е, че всичките им стени представляват изпъкнали многоъгълници.

Ойлерова характеристика на многостените
Числото χ се нарича Ойлерова характеристика на многостените и χ = bp + c, където b е броят на върховете, p - броят на ръбовете, и c - броят на стените на многостена. За изпъкнали многостени χ = 2.

Съдържание

[редактиране] Платонови тела

Специален вид са правилните многостени - с еднакви правилни многоъгълници за стени и равни многостенни ъгли. Възможни са само пет правилни изпъкнали многостена:

Тяло Стена Брой стени Брой ръбове Брой върхове Брой стени
на връх
Лице S Обем V
Тетраедър триъгълник 4 6 4 3 S = a^2\sqrt{3} V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}
Хексаедър
(куб)
квадрат 6 12 8 3 S = 6a2 V = a3
Октаедър триъгълник 8 12 6 4 S = 2a^3\sqrt{}3 V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}
Додекаедър петоъгълник 12 30 20 3 S = 3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})} V = \frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4}
Икосаедър триъгълник 20 30 12 5 S = 5a^2\sqrt{3} V = \frac{5a^3(3+\sqrt{5})}{12}


Тетраедър
Тетраедър
Хексаедър
Хексаедър
Октаедър
Октаедър
Додекаедър
Додекаедър
Икосаедър
Икосаедър

Тези пет правилни тела са играли значителна роля в геометрията в древна Гърция. Описани са в края на книга ХІІІ на "Начала" на Евклид, но изследвани системно от Теетет. споменават се още от Платон в диалога му "Тимей" и затова често се наричат платонови тела. Йоханес Кеплер ги използва за нуждите на усложнения му модел на Слънчевата система - с тях пресмята радиусите на планетните орбити. Във времето на ранния атомизъм атомите са били представяни като платонови тела.

[редактиране] Архимедови тела

В допълнение, съществуват и тринадесет полуправилни многостена, наричани още архимедови тела. Това са многостени, чиито стени са правилни многоъгълници (евентуално от различен вид) и равни вътрешни многостенни ъгли при върховете. Получават се чрез отсичане с равнини на части от платонови тела. Архимед е намерил 10 различни полуправилни многостена, чиито стени са правилни многоъгълници от два различни вида, и 3 различни полуправилни многостена, чиито стени са правилни многоъгълници от три различни вида. Архимедовите тела са:

  • кубоктаедър (8 триъгълника и 6 квадрата)
  • ромбикубоктаедър (8 триъгълника и 18 квадрата)
  • скосен куб (32 триъгълника и 6 квадрата)
  • икосидодекаедър (20 триъгълника и 12 петоъгълника)
  • скосен додекаедър (80 триъгълника и 12 петоъгълника)
  • пресечен тетраедър (4 триъгълника и 4 шестоъгълника)
  • пресечен додекаедър (20 триъгълника и 12 десетоъгълника)
  • пресечен куб (8 триъгълника и 6 осмоъгълника)
  • пресечен октаедър (6 квадрата и 8 шестоъгълника)
  • пресечен икосаедър (12 петоъгълника и 20 шестоъгълника)
  • ромбикосидодекаедър (20 триъгълника, 30 квадрата, 12 петоъгълника)
  • пресечен кубоктаедър (12 квадрата, 8 шестоъгълника, 6 осмоъгълника)
  • пресечен икосидодекаедър (30 квадрата, 20 шестоъгълника, 12 десетоъгълника)


Кубоктаедър
Кубоктаедър
Ромбикубоктаедър
Ромбикубоктаедър
Скосен куб
Скосен куб
Икосидодекаедър
Икосидодекаедър
Скосен додекаедър
Скосен додекаедър
Пресечен тетраедър
Пресечен тетраедър
Пресечен додекаедър
Пресечен додекаедър
Пресечен куб
Пресечен куб
Пресечен октаедър
Пресечен октаедър
Пресечен икосаедър
Пресечен икосаедър
Ромбикосидодекаедър
Ромбикосидодекаедър
Пресечен кубоктаедър
Пресечен кубоктаедър
Пресечен икосидодекаедър
Пресечен икосидодекаедър

[редактиране] Други многостени

Съществуват безброй много призми и антипризми, които са изпъкнали полуправилни многостени. Призмите имат за основи два еднакви правилни n-ъгълника, разположени в успоредни равнини, а околната им повърхнина е съставена от n на брой квадрата (т.е. височината на призмата е равна на дължината на страната на основата. Антипризмите също имат за основи два еднакви правилни n-ъгълника, разположени в успоредни равнини, но едната основа е завъртяна спрямо другата под ъгъл 180°/n така, че околната повърхнина на антипризмата се състои от 2n равностранни триъгълника.


Ако няма изискването правилните многостени да са изпъкнали, се получават още четири тела, известни като тела на Кеплер-Поансо.

Голям икосаедър
Голям икосаедър
Голям додекаедър
Голям додекаедър
Голям звездовиден додекаедър
Голям звездовиден додекаедър
Малък звездовиден додекаедър
Малък звездовиден додекаедър

[редактиране] Външни препратки