Малка теорема на Ферма

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Теоремата на Ферма гласи:

Ако a е цяло число (a\in\mathbb{Z}) и p e просто число и ако р не дели а, то

a^p \equiv a \pmod{p}


[редактиране] Числови примери

  • 43 − 4 = 60 се дели на 3.
  • (−3)7 − (−3) = −2184 се дели на 7.
  • 297 − 2 = 158456325028528675187087900670 се дели на 97.


[редактиране] Доказателство на теоремата чрез метода на индукцията

Ще докажем, че за всяко просто p и цяло неотрицателно a, apa се дели на p като използваме метода на математическата индукция.

1) За a=0, apa = 0 и и се дели на p

2) Да допуснем, че е твърдението е вярно за a=k. Ще го докажем и за a=k+1.

a^p-a = (k+1)^p-(k+1) = k^p+1+\sum_{l=1}^{p-1} {p \choose l} k^l - k-1 =
= k^p - k + \sum_{l=1}^{p-1}k^l {p \choose l}

Но kpk се дели на p по предположение на индукцията. Що се отнася до другото събираемо, то {p \choose l} = {p! \over l!(p-l)!}. За 1 \le l \le p-1, числителя на тази дроб се дели на p, а знаменателя - не се дели, следователно, {p \choose l} се дели на p. Следователно цялата сума k^p - k + \sum_{l=1}^{p-1} {p \choose l} се дели на p, което и трябваше да се докаже.

За отрицателни a и нечетни p теоремата се доказва лесно ако приемем, че b=-a. За отрицателни a и p=2, верността на теоремата следва от a2a = a(a − 1).