Закон за големите числа

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Закон за големите числа е принцип в теорията на вероятностите, по силата на който при дадени общи условия, съвместното действие на случайни фактори води до слабо зависещ от случайността резултат. Един от илюстративните примери показва, че при голям брой независими повторения на ситуации при които понякога настъпва дадено случайно събитие, честотата на появите на това събитие се приближава до неговата точно определена вероятност (т.е. отношението на броя на случаите, в които то настъпва, към общия брой повторения на ситуациите).

Пример за действие на закона: Средното тегло на 10 ябълки взети от куп със 100 ябълки е вероятно по-близо до истинското средно тегло на 100-те ябълки отколкото средното тегло на 3 ябълки взети от същия куп. Това е така, защото мострата от 10 ябълки е по-голяма от мострата от 3 ябълки и по-добре представлява цялата група. По същия начин, ако се вземе средното тегло на 99 ябълки, то ще е почти същото като средното тегло на всичките сто ябълки.

[редактиране] История

В края на XVII и началото на XVIII век Якоб Бернули доказва т.нар. теорема на Бернули, според която в последователност от n независими опита с еднаква вероятност p (0 < p < 1) е изпълнено съотношението

P \left \{ \left | \frac { \mu_n }{n} - p \right | > \epsilon \right \} \to 0,

т.е. вероятността честотата на сбъдване да се различава от вероятността с повече от произволно малко число клони към нула за достатъчно голям брой опити. Тази сходимост по вероятност е известна като „слаб закон за големите числа“.

През 1837 г. в своето съчинение „Изследвания за вероятността на съжданията“ Поасон доразвива идеите на Бернули върху последователност от независими изпитания, в които вероятността може да е различна в отделните опити. В доказателството на т.нар. теорема на Поасон той определя, че ако се определи усреднената вероятност

\bar{p} = \frac {p_1 + p_2 + \cdots + p_n}{n},

то при произволно малко ε>0 честотата на сбъдване клони по вероятност към усреднената вероятност

P \left \{ \left | \frac { \mu_n }{n} - \bar{p} \right | > \epsilon \right \} \to 0.

[редактиране] Външни препратки