Теорема на Стюарт

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В математиката теоремата на Стюарт (на английски: Stewart's theorem) гласи:

Нека е даден триъгълник ABC със страни AB = c,\ BC = a,\ CA = b и точка D, лежаща на страната BC. Ако AD = d,\ BD = m и \ DC = n, то:

  • a(d2 + mn) = mb2 + nc2, ако т. D лежи между точките B и C
  • a(d2 - mn) = mb2 - nc2, ако т. D лежи отвъд т. C
  • a(d2 - mn) = - mb2 + nc2, ако т. D лежи отвъд т. B

Теоремата се доказва с помощта на косинусовата теорема.

Точка D лежи върху страната BC.
Точка D лежи върху страната BC.

За точка D, лежаща на отсечката BC:

Нека \angle BDA=\phi

От косинусова теорема в триъгълниците BDA и CDA получаваме

AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.BD.AD.cos\, \phi CA^2 = AD^2 + CD^2 - 2.CD.AD.cos(180-\, \phi)

От тук и дефиницията за косинус следва cos(180-\, \phi)= - cos\, \phi

AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.BD.AD.cos\, \phi CA^2 = AD^2 + CD^2 + 2.CD.AD.cos\, \phi

Умножаваме двете страни на първото и второто съответно с CD и BD и събираме почленно.

AB^2.CD = AD^2.CD + BD^2.CD - 2.CD.BD.AD.cos\, \phi CA^2.BD = AD^2.BD + CD^2.BD + 2.CD.BD.AD.cos\, \phi

AB^2.CD + CA^2.BD =AD^2.BD + CD^2.BD + AD^2.CD + BD^2.CD, \,

Окончателно:

AB^2.CD + CA^2.BD =AD^2.BD + AD^2.CD + CD.BD(CD+ BD) \,

На други езици