Обикновени диференциални уравнения
от Уикипедия, свободната енциклопедия
[редактиране] Диференциални уравнения от първи ред
[редактиране] Диференциални уравнения от N-ти ред
Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:
,
- където а и b могат да са функции на х или константи.
За удобство при решаването на това интегрално уравнение n-тата производна спрямо х се обозначава с Dn. В случая D обозначава оператор - означаващ диференциране спрямо x.
Ползвайки този оператор D горното диференциално уравнение може да се запише като:
Ако b=0 - горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако b е различно от 0 - уравнението се нарича нехомогенно.
[редактиране] Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред
- При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D - имащ значение на диференциране спрямо х.
Да поясним какво е значението на този оператор:
- Dy = dy / dx
- (D + 1)y = dy / dx + y
- (D − 2)(D + 1)y = (D − 2)(dy / dx + y) = d2y / dx2 + dy / dx − 2dy / dx − 2y = D2y − Dy − 2y
- (D − 2)(D + 1)y = (D2 − D − 2)y
Забележете че D има смисъл на математическа операция - а не на променлива и че с D можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Но чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.
Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид:
aD2y + bDy + cy = 0 (aD2 + bD + c)y = 0
Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме:
Полагаме
- z = (D − y2)y , където (D − y2)y е функция на х.
Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:
- (D − y1)z = 0
Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:
Заместваме полученият резултат за z в
Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.
интегрираме и получаваме следното решение:
Преобразуваме:
Когато y1 и y2 са реални числа, решението за функцията y е: