Беседа:Равномощни множества

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Докато посочвах примери за равномощни множества се замислих върху въпроса, колко е мощно множеството на всички възможни метрики върху \mathbb{R} или \mathbb{R}^2. Със сигурност то или е толкова мощно колкото множеството на функциите или колкото множеството на реалните числа. Значи какъвто и да е отговорът ще излезе хубав пример. Аз преполагам, че множеството на метриките е толкова мощно колкото множеството на реалните числа. Според мен би трябвало да се мисли в посока намирене на биекция между множеството на метриките и множеството на монотонните функции. Ако някой има време да помисли малко с мен и да ми помогне в решаването на тази задачка, ще му бъда много благодарен. Интересно е какъв е отговорът за произволни метрични пространства (\mathcal{X},d) - кога мощността на множеството на метриките върху \mathcal{X} е по-малка от 2^{Card(\mathcal{X})} и кога не? Alexandar.R. 18:22, 21 февруари 2007 (UTC)

Тази задача маи е по-банална отколкото мислех: Ако d(x,y)\, е метрика на \mathcal{X} то и (d \star f)(x,y)=d(f(x),f(y))\, е метрика, където функцията f:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X} e биекция. Сега само трябва да се прeброят класовете на еквивалентност g \equiv f \Leftrightarrow (d \star f)=(d \star g)\,.Alexandar.R. 19:54, 21 февруари 2007 (UTC)
Пътят през (d \star f)\, е малко мъчителен. По-лесно е да се дефинира следнoто изображение за всяка метрика r\, и множество \mathcal{U}\subset\mathcal{X}:
(r,\mathcal{U})\rightarrow d_{r,\mathcal{U}}(x,y)=\begin{cases}r(x,y)+1  \text{,} & |\{x;y\}\cap\mathcal{U}|=1 \\ r(x,y)  \text{,} &  |\{x;y\}\cap\mathcal{U}|\neq 1\end{cases}
Множеството \{d_{r,\mathcal{U}}\}_{\mathcal{U}\subset\mathcal{X}} е равномощно с експонентата на \mathcal{X}, защото изображението е биективно. Задачата може да се счита за решена. Alexandar.R. 23:23, 21 февруари 2007 (UTC)