Многостен
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Многостен, или още полиедър е всяка затворена повърхнина, съставена от краен брой равнинни многоъгълници, наречени стени. Общите страни на две съседни стени се наричат ръбове на многостена. Точките, в които три или повече стени се срещат, се наричат върхове на многостена. Две са условията, на които един геометричен обект трябва да отговаря, за да бъде многостен:
- всяка от страните на многоъгълник или няма обща точка с друг многоъгълник освен връх, или е страна на още само един многоъгълник,
- дадените многоъгълници не могат да се разделят на две групи така, че никой многоъгълник от едната група не може да няма обща точка с никой от от многоъгълниците от другата група (т.е. състои се само от една част).
Многостените биват изпъкнали (ако всичките им точки лежат в едно и също полупространство, определено от равнината на която и да е стена) или вдлъбнати (в противен случай). Свойство на изпъкналите многостени е, че всичките им стени представляват изпъкнали многоъгълници.
Ойлерова характеристика на многостените
Числото χ се нарича Ойлерова характеристика на многостените и χ = b − p + c, където b е броят на върховете, p - броят на ръбовете, и c - броят на стените на многостена. За изпъкнали многостени χ = 2.
Съдържание |
[редактиране] Платонови тела
Специален вид са правилните многостени - с еднакви правилни многоъгълници за стени и равни многостенни ъгли. Възможни са само пет правилни изпъкнали многостена:
Тяло | Стена | Брой стени | Брой ръбове | Брой върхове | Брой стени на връх |
Лице S | Обем V |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Тетраедър | триъгълник | 4 | 6 | 4 | 3 | ![]() |
![]() |
Хексаедър (куб) |
квадрат | 6 | 12 | 8 | 3 | S = 6a2 | V = a3 |
Октаедър | триъгълник | 8 | 12 | 6 | 4 | ![]() |
![]() |
Додекаедър | петоъгълник | 12 | 30 | 20 | 3 | ![]() |
![]() |
Икосаедър | триъгълник | 20 | 30 | 12 | 5 | ![]() |
![]() |
Тези пет правилни тела са играли значителна роля в геометрията в древна Гърция. Описани са в края на книга ХІІІ на "Начала" на Евклид, но изследвани системно от Теетет. споменават се още от Платон в диалога му "Тимей" и затова често се наричат платонови тела. Йоханес Кеплер ги използва за нуждите на усложнения му модел на Слънчевата система - с тях пресмята радиусите на планетните орбити. Във времето на ранния атомизъм атомите са били представяни като платонови тела.
[редактиране] Архимедови тела
В допълнение, съществуват и тринадесет полуправилни многостена, наричани още архимедови тела. Това са многостени, чиито стени са правилни многоъгълници (евентуално от различен вид) и равни вътрешни многостенни ъгли при върховете. Получават се чрез отсичане с равнини на части от платонови тела. Архимед е намерил 10 различни полуправилни многостена, чиито стени са правилни многоъгълници от два различни вида, и 3 различни полуправилни многостена, чиито стени са правилни многоъгълници от три различни вида. Архимедовите тела са:
- кубоктаедър (8 триъгълника и 6 квадрата)
- ромбикубоктаедър (8 триъгълника и 18 квадрата)
- скосен куб (32 триъгълника и 6 квадрата)
- икосидодекаедър (20 триъгълника и 12 петоъгълника)
- скосен додекаедър (80 триъгълника и 12 петоъгълника)
- пресечен тетраедър (4 триъгълника и 4 шестоъгълника)
- пресечен додекаедър (20 триъгълника и 12 десетоъгълника)
- пресечен куб (8 триъгълника и 6 осмоъгълника)
- пресечен октаедър (6 квадрата и 8 шестоъгълника)
- пресечен икосаедър (12 петоъгълника и 20 шестоъгълника)
-
- ромбикосидодекаедър (20 триъгълника, 30 квадрата, 12 петоъгълника)
- пресечен кубоктаедър (12 квадрата, 8 шестоъгълника, 6 осмоъгълника)
- пресечен икосидодекаедър (30 квадрата, 20 шестоъгълника, 12 десетоъгълника)
[редактиране] Други многостени
Съществуват безброй много призми и антипризми, които са изпъкнали полуправилни многостени. Призмите имат за основи два еднакви правилни n-ъгълника, разположени в успоредни равнини, а околната им повърхнина е съставена от n на брой квадрата (т.е. височината на призмата е равна на дължината на страната на основата. Антипризмите също имат за основи два еднакви правилни n-ъгълника, разположени в успоредни равнини, но едната основа е завъртяна спрямо другата под ъгъл 180°/n така, че околната повърхнина на антипризмата се състои от 2n равностранни триъгълника.
Ако няма изискването правилните многостени да са изпъкнали, се получават още четири тела, известни като тела на Кеплер-Поансо.