Топологично пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.


Тополoгичното пространство е основният обект, с който се занимава топологията. Той възниква от необходимостта да се обобщят и изследват точно свойства на математическите обектите като "близост", "положение един спрямо друг" и "клонене към", абстрахирайки се при това от други техни свойства, като например "размер" и "форма", който стоят в центъра на внимание на други области от математиката.

Съдържание

[редактиране] Дефиниция

Фамилия T\, от подмножества на множеството \mathcal{X} се нарича (отворена) топология или фамилия на неговите отворени подмножества, ако изпълнява следните свойства:

  • самото множество \mathcal{X} и празното множество принадлежат на T\,,
  • обединенията на елементи на T\, са елементи на T\,,
  • сеченията на краен брой елементи на T\, са също елементи на T\,.

Наредената двойка (\mathcal{X},T) се нарича тополoгично пространство, елементите на \mathcal{X} - елементи или точки на тополoгичното пространство, а елементите на T\, - отворени множества.

Вижте също алтернативни дефиниции на топологично пространство.

[редактиране] Основни понятия и свойства

Фамилията F=\{\mathcal{B}:\mathcal{B}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\in T} от подмножества на \mathcal{X} се нарича фамилия на затворените подмножества на \mathcal{X}. Лесно може да се покаже, че сечението на затворени множества и обединението на краен брой затворени множества също е затворено множество.

Затворена обвивка на подмножество \mathcal{A} на \mathcal{X} се нарича сечението на всички затворени подмножества, на които \mathcal{A} е подмножество. Затворената обвивка на \mathcal{A} се бележи с \overline{\mathcal{A}}.

Множеството Int(\mathcal{A})=\mathcal{X}\setminus\overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})} се нарича вътрешност на \mathcal{A}.

Множеството Fr(\mathcal{A})=\overline{\mathcal{A}}\cap\overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})} се нарича контур или граница на \mathcal{A}.

Отворена околност на x\in\mathcal{X} се нарича всяко отворено множество, което съдържа x\,. Околност на x\, се нарича всяко подмножество на \mathcal{X} сред подмножествата, на което има отворена околност на x\,. Фамилията от околности на x\, образува филтър, който се нарича филтър от околности на x\, и се бележи най-често с \mathfrak{U}(x).\,

Възможно е понятията затворени подмножества, затворена обвивка, вътрешност, контур и филтри от околности да бъдат въведени и аксиоматично по подобие на по-горе формулираната дефиницията на отворено множество, а самото понятие отворено множество да бъде дефинирано чрез тях. Може да се покаже, че всички тези алтернативни дефиниции на топологично пространство са дуални помежду си, т.е. че чрез тях се задават едни и същи (в топологичен смисъл) структури.

[редактиране] Конструиране на топологични пространства

Съществуват различни начини за конструиране на топологично пространство. Някои от тях са: чрез бази, чрез индуциране, чрез образуване на декартово произведение, чрез инитиални или чрез фактор-топологии.

[редактиране] Бази

База на топологичното пространство (\mathcal{X},T) е всяка фамилия от отворени множества B\subset T, за която

T=\left\{\bigcup_{\mathcal{A}\in B'}\mathcal{A}\right\}_{B'\subseteq B},

a подбаза - фамилия P\subset T, за която

T=\left\{\bigcap_{\mathcal{A}\in P'}\mathcal{A}\right\}_{P'\subseteq P:\ Card(P')<\aleph_0}

[редактиране] Породени и индуцирани топологични пространства

Всяко множество B \subseteq \{\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\subseteq \mathcal{X}}, което съдържа сеченията на краен брой свои елементи, е база на топологично пространство наречено породено от базата B\,.

Ако (\mathcal{X},T) е топологично пространство, а \mathcal{X'} е подмножество на \mathcal{X}, то пространството:

\left(\mathcal{X'},\left\{ \mathcal{A}\cap \mathcal{X}'  \right\}_{\mathcal{A}\in T}\right)

се нарича пространство с индуцирана от T\, върху \mathcal{X}'\, топология или подпространство на (\mathcal{X},T).

[редактиране] Декартово произведение на топологични пространства

Декартовото произведение на две топологични пространства (\mathcal{X},T) и (\mathcal{Y},S) се дефинира като пространството върху (\mathcal{X}\times\mathcal{Y}) породено от базата:

\left\{\mathcal{A}\times\mathcal{B}:\mathcal{A}\in T, \mathcal{B} \in S\right\}.

Възможно е да се конструира и декартовото произведние на произволна фамилия от топологични пространства. Те се наричат обобщени декартови произведения или топологии на Тихонов.

[редактиране] Сравняване на топологични пространства

Две топологични пространства могат да бъдат сравнени по следния начин: Пространството (\mathcal{X},T) се нарича по-грубо (в някои източници: по-бедно), а (\mathcal{X},S) - по-фино (по-богато), ако T\subseteq S, тоест ако всяко отворено множество в първото пространство е отворено и във второто. Тази терминология е дуална с едноименната терминология при филтрите: в по-финото/по-грубото пространство филтърът от околности на точката x\in\mathcal{X} е по-фин/по-груб.

Затворените множества в по-грубото пространство са затворени и в по-финото, а затворената обвивка на едно множество в по-грубото пространство съдържа затворената обвивка на това множество в по-финото пространство.

Сечение на две топологични пространства (\mathcal{X},T_1) и (\mathcal{X},T_2) се нарича пространсвото (\mathcal{X},T_1\cap T_2). За разлика от сечението подобно механично обединяване на топологични пространства е невъзможно, защото "обединението" на две топологични пространства (т.е. (\mathcal{X},T_1\cup T_2)) не винаги е топологично пространсво.

Сравнени по тяхната грубост топологичните пространства върху \mathcal{X} образуват пълна решетка. Долните граници в тази решетка могат да се определят като се пресечат пространсвата в подмножествата на решетката. Горните граници пък са най-грубите топологични пространства съдържащи тяхното обединение. Пълната решетка от топологични пространства върху \mathcal{X} притежава най-малък елемент - хаотичната топология: (\mathcal{X},\{\varnothing,\mathcal{X}\}) и най-голям елемент - дискретната топология: (\mathcal{X},\{\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\subset\mathcal{X}}).

[редактиране] Литература

  • Увод в теория на множествата и топологията, Кажимеш Куратовски, изд. "Наука и изкуство", София, 1979
  • Введение в теорию множеств и общую тополгию, П. С. Александров, "Наука", Москва, 1977
  • Общая топология, Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян, "Высшая школа", Москва, 1979
  • Lehrbuch der Analysis, Teil 2, H. Heuser, B. G. Teubner Stuttgart, 1981
  • Topologie - eine Einführung, H. Schubert, B. G. Teubner Stuttgart, 1964