Неперово число

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Неперово число се нарича ирационалното число e = 2,718281828459...

То е основа на т.нар. натурален логаритъм и представлява заедно с пи една от най-важните константи в математиката.


Съдържание

[редактиране] Дефиниция

Може да бъде представено по два начина:

  • e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n   като граница на редица
  • e = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}   като редица

[редактиране] Други представяния на e

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
e = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{!n}
e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots
e = \lim_{n\to\infty} \left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]

[редактиране] Свойства

Неперовото число е ирационално (док. Ойлер, 1737) и трансцендентно (док. Ермит, 1879).

Връзката между неперовото число и пи показва формулата на Ойлер:

e^{\mathrm i\cdot\pi} = -1

В математическия анализ особено значение заема експоненциалната функция f(x) = ex, за която е в сила:

\frac{d}{dx}e^x=e^x.

[редактиране] Първите 200 цифри на e

e=2{,}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\;77572\;47093\;69995
\;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274
\;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260
\;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots.

[редактиране] Препратки

Доказателство на ирационалността на e (немск.)

Доказателство на транцендентността на e (planetmath.org, англ.)

Доказателство на транцендентността на e (немск.)