Овал на Касини
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Овал на Касини или крива на Касини е плоска алгебрична крива от четвърта степен, представляваща множеството от точките, произведението на разстоянията от които до две зададени точки е постоянно число (лемниската с два фокуса).
В декартова координатна система с начало средата на отсечката между двата фокуса и абсциса по продължение на същата отсечка, уравнението на овала на Касини е
- (x2 + y2 + c2)2 − 4c2x2 = a4,
където c е половината от разстоянието между фокусите, т.е. координатите на фокусите са F1(c,0) и F2(-c,0).
В полярна координатна система уравнението на кривата е
,
което се получава след полагане на и
.
[редактиране] Класификация
Формата на един овал на Касини зависи от отношението между a, c и . Пълното разбиране за същността на кривата на Касини идва в момента, когато се даде нейната геометрична визуализация: а именно кривата на Касини представлява сечение на тор с равнина успоредна на оста на ротация. Формата на кривата зависи от това къде ще бъде отсечен торът.
- При a < c овалът на Касини се състои от две поотделно свързани затворени изпъкнали криви.
-
- При a = 0, двете примки се израждат до симетрични окръжности.
- При 0 < a < c, кривата се разпада на две симетрични относно ординатата половини, наричани „примки“ или „яйца“ ([1]).
- При
, кривата е едносвързана. Пресича оста x в точките
и
, а пресича оста y в точките
и
.
-
- В частния случай a = c се получава лемнискатата на Бернули, за която точките N1,N2 съвпадат, т.е. кривата има една точка на самопресичане ([2]).
- При
, овалът на Касини се вдлъбва и точките N1 и N2 вече играят ролята съответно на локални максимум и минимум. Освен тях овалът има още 4 инфлексни точки и още 4 локални екстремума. В математическия фолклор кривата в този случай се нарича също "фъстък" ([3]).
- За
, кривината в точките N1 и N2 е нула. В околност на тези точки допирателните към овала на Касини съвпадат с кривата.
- При
, точките N1 и N2 играят ролята съответно на минимум и максимум. Кривата е изпъкнала и поради формата си шеговито е наричана "пъпеш".
[редактиране] История
Около 1680 Джовани Касини е изследвал фамилия криви, които е смятал че описват орбитата на земята около слънцето. Частния случай при a = c е изследван през 1694 г. от Якоб Бернули, който обаче не е имал представа за връзката между неговата крива и овалите на Касини. Тази връзка, както и представянето на овалите като сечения на тор с равнина се установява едва през ХІХ в.