Овал на Касини

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Овал на Касини
Овал на Касини

Овал на Касини или крива на Касини е плоска алгебрична крива от четвърта степен, представляваща множеството от точките, произведението на разстоянията от които до две зададени точки е постоянно число (лемниската с два фокуса).

В декартова координатна система с начало средата на отсечката между двата фокуса и абсциса по продължение на същата отсечка, уравнението на овала на Касини е

(x2 + y2 + c2)2 − 4c2x2 = a4,

където c е половината от разстоянието между фокусите, т.е. координатите на фокусите са F1(c,0) и F2(-c,0).

В полярна координатна система уравнението на кривата е

r^2 = c^2 \cos 2\varphi \pm \sqrt{c^4 \cos^2 2\varphi + a^4 - c^4},

което се получава след полагане на x = r \cos \varphi и y = r \sin \varphi.

[редактиране] Класификация

Овалите на Касини като сечения на тор с равнина
Овалите на Касини като сечения на тор с равнина

Формата на един овал на Касини зависи от отношението между a, c и c \sqrt{2} . Пълното разбиране за същността на кривата на Касини идва в момента, когато се даде нейната геометрична визуализация: а именно кривата на Касини представлява сечение на тор с равнина успоредна на оста на ротация. Формата на кривата зависи от това къде ще бъде отсечен торът.

  • При a < c овалът на Касини се състои от две поотделно свързани затворени изпъкнали криви.
  • При a = 0, двете примки се израждат до симетрични окръжности.
  • При 0 < a < c, кривата се разпада на две симетрични относно ординатата половини, наричани „примки“ или „яйца“ ([1]).
  • При a \ge c , кривата е едносвързана. Пресича оста x в точките S_1 (- \sqrt{a^2+c^2}, 0) и S_2  (\sqrt{a^2+c^2}, 0) , а пресича оста y в точките N_1 (0, - \sqrt{a^2-c^2}) и N_2 (0, \sqrt{a^2-c^2}) .
  • В частния случай a = c се получава лемнискатата на Бернули, за която точките N1,N2 съвпадат, т.е. кривата има една точка на самопресичане ([2]).
  • При c < a < c \sqrt{2} , овалът на Касини се вдлъбва и точките N1 и N2 вече играят ролята съответно на локални максимум и минимум. Освен тях овалът има още 4 инфлексни точки и още 4 локални екстремума. В математическия фолклор кривата в този случай се нарича също "фъстък" ([3]).
  • За a = c \sqrt{2} , кривината в точките N1 и N2 е нула. В околност на тези точки допирателните към овала на Касини съвпадат с кривата.
  • При a \ge c \sqrt{2} , точките N1 и N2 играят ролята съответно на минимум и максимум. Кривата е изпъкнала и поради формата си шеговито е наричана "пъпеш".

[редактиране] История

Около 1680 Джовани Касини е изследвал фамилия криви, които е смятал че описват орбитата на земята около слънцето. Частния случай при a = c е изследван през 1694 г. от Якоб Бернули, който обаче не е имал представа за връзката между неговата крива и овалите на Касини. Тази връзка, както и представянето на овалите като сечения на тор с равнина се установява едва през ХІХ в.

[редактиране] Външни препратки