Метричен тензор

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Съдържание

[редактиране] Базови координати вектори

Разглеждаме два произволни вектора в координатна система:

A = A1e1 + A2e2 + A3e3
B = B1e1 + B2e2 + B3e3

, където e1,e2,e3 са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)
B = (B1; B2; B3)


Можем да направим такова записване и за базовите вектори:

e1 = (1; 0; 0);
e2 = (0; 1; 0);
e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кроникер - (делта):


δij = 1 ако i =j,
δij = 0 ако i \neq j
В сила е и следното записване на коефициентите на Кроникер:
\delta_ij = \delta_i^j


\delta_{11} = 1 \quad \delta_{12} = 0 \quad \delta_{13} = 0 \quad
\delta_{21} = 0 \quad    \delta_{22} = 1 \quad \delta_{23} = 0 \quad
\delta_{31} = 0 \quad \delta_{32} = 0 \quad \delta_{33} = 1

Ако ползваме горен индекс се получава:

\delta_1^1 = 1 \quad \delta_1^2 = 0 \quad \delta_1^3 = 0 \quad
\delta_2^1 = 0 \quad    \delta_2^2 = 1 \quad \delta_2^3 = 0 \quad
\delta_3^1 = 0 \quad \delta_3^2 = 0 \quad \delta_3^3 = 1


В случай на ортогонална координатна система с единични вектори e1,e2,e3 имаме следната формула:

emen = δmn където m; n = 1; 2; 3


[редактиране] Реципрочни базови вектори

Разглеждаме координатна система с базови вектори: \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3

Приемаме че те не са нито ортогонални, нито единични. Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:

\vec A= A^1 \vec E_1 + A^2 \vec E_2 + A^3 \vec E_3


А сега да разгледаме реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори: \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3

\vec E_1.\vec E^1 = 1
\vec E_2. \vec E^2 = 1
\vec E_3. \vec E^3 = 1
\vec E_1. \vec E^2 = 0
\vec E_1. \vec E^3 = 0
\vec E_2. \vec E^3 = 0
Забележете че втората група от условия налагат\vec E^1 да е перпендикулярен на \vec E_2 и \vec E_3,

\vec E^2 да е перпендикулярен на равнината, определена от \vec E_1 и \vec E_3

и \vec E^3 да е перпендикулярен на равнината, определена от \vec E_1 и \vec E_2.

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

\vec E_i.E^j = \delta_i^j, където i,j = 1,2,3


[редактиране] Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори

От условията по въвеждането на реципрочната база вектори: \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3 се вижда че \vec E^1 трябва да е перпендикулярен на \vec E_2 и \vec E_3. Следователно той може да бъде представен като произведение

\vec E^1= V^{-1}.\vec E_2 \times \vec E_3

където V − 1 е константа, която предстои да бъде определена по нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора \vec E_1 ще получим обема на паралелепипеда, зададен от базата \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3.

\vec E_1 .\vec E^1= V^{-1}.\vec E_1.(\vec E_2 \times \vec E_3)


V= \vec E_1.( \vec E_2 \times \vec E_3) -обем на паралелепипед зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори ( \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3 ) и реципрочната база от вектори ( \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3) е:

\vec E^1= V^{-1}.\vec E_2 \times \vec E_3
\vec E^2= V^{-1}.\vec E_3 \times \vec E_1
\vec E^3= V^{-1}.\vec E_1 \times \vec E_2


[редактиране] Контравариантно и ковариантно представяне на вектор

Нека да имаме база от вектори \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3 и съответната реципрочна база от вектори: \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3.

Разглеждаме вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3

\vec A= A^1 \vec E_1+ A^2 \vec E_2+ A^3 \vec E_3

Координатите A1,A2,A3 се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:

A^1= \vec A .\vec E^1
A^2= \vec A .\vec E^2
A^3= \vec A .\vec E^3


Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

\vec A= A_1 \vec E^1+ A_2 \vec E^2+A_3 \vec E^3
Координатите A1,A2,A3 се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

A_1= \vec A .\vec E_1
A_2= \vec A .\vec E_2
A_3= \vec A .\vec E_3

[редактиране] Метричен тензор

Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Да разглеждаме две бази от координатни вектори (\vec E_1, \vec E_2, \vec E_3) и (\vec E^1, \vec E^2, \vec E^3 ), но в този случай те да не са реципрочни. Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази записваме:

\vec E_i . \vec E_j =\vec E_j . \vec E_i = g_{ij} =g_{ji}
\vec E^i . \vec E^j = \vec E^j . \vec E^i= g^{ij}= g^{ji}

скаларните величини: gij се наричат метрични компоненти на пространството. Съответно gij се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

[редактиране] Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството

Да разгледаме вектора A(A1,A2,A3) представен спрямо базата E1,E2,E3.

\vec A = A^1 \vec E_1 + A^2 \vec E_2 + A^3 \vec E_3

От предишните подточки знаем че

A_1 = \vec A E_1
A_2 = \vec A E_2
A_3 = \vec A E_3


\vec A E_1 = (A^1 E_1 + A^2 E_2 + A^3 E_3). E_1 = A_1
Умножаваме:

\vec A E_1 = A^1 E_1. E_1  + A^2 E_2.E_1 + A^3 E_3.E_1 = A_1 \vec A E_1 = A_1 E^1 E_1 + A_2 E^2 E_1 + A_3 E^3 E_1 = A_1

Ползвайки метричните компоненти на пространството получаваме:

A1 = A1g11 + A2g12 + A3g13
A2 = A1g21 + A2g22 + A3g23
A3 = A1g31 + A2g32 + A3g33


Ето връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А:

A1 = A1g11 + A2g12 + A3g13
A2 = A1g21 + A2g22 + A3g23
A3 = A1g31 + A2g32 + A3g33


[редактиране] Ползвана литература и полезни материали в интернет

  • Английската и руската версии на Уикипедия
  • "Теоретическа физика" - Л.Д.Ландау, Лифшиц