Уравнение на електромагнитните вълни
от Уикипедия, свободната енциклопедия

Уравнението на електромагнитните вълни е частно диференциално уравнение от втори ред, което описва разпространението на електромагнитните вълни през материална среда или във вакуум. Хомогенната форма на уравнението, написано за електрическото поле E или магнитното поле H има следния вид:
където c е скоростта на светлината в дадената материална среда. Във вакуум c = 2,998×108 m/s, което е и скоростта на светлината в свободно пространство. Уравнението за електромагнитните вълни се извежда от уравненията на Максуел. В линейна, изотропна и бездисперсионна среда магнитното поле B (магнитна индукция [T]) се отнася към H (интензитет на магнитното поле A/m) като:
където μ е магнитната проницаемост на средата
Съдържание |
[редактиране] Скорост на разпространение
[редактиране] Във вакуум
Ако вълновото разпространение е във вакуум, тогава:
m/s
е скоростта на светлината в открития космос. Магнитната проницаемост и диелектричната проницаемост
са важни физични константи, които играят ключова роля в теорията на електромагнитното поле.
Символ | Име | Числена Стойност | Измервателна единица SI | |
---|---|---|---|---|
![]() |
Скорост на светлината | ![]() |
m/s | |
![]() |
Диелектрична константа | ![]() |
F/m | |
![]() |
Магнитна проницаемост във вакуум | ![]() |
H/m |
[редактиране] В материална среда
За целите на настоящата статия, се допуска, че всички материали са линейни, изотропни и бездисперсионни. В този смисъл, скоростта на светлината в материална среда е:
където
е коефициент на пречупване на средата, е магнитната проницаемост на средата и
е диелектричната проницаемост на последната.
[редактиране] Произход на електромагнитното уравнение
[редактиране] Запазване на заряда
Запазването на заряда изисква времето за промяна на пълния заряд намиращ се в обем Vда бъде равно на пълния ток течащ през повърхността S обхващаща обема:
където J е токовата плътност [A/m2] течаща през повърхнината, а ρ е плътността на заряда [C/m3] във всяка точка от обема. От теоремата за дивергенцията, тази зависимост се преобразува от интегрална в диференциална форма:
[редактиране] Закон на Ампер преди корекцията на Максуел
В своята оригинална форма, Законът на Ампер (единици SI) е зависимостта на магнитното поле H и източника на полето, токовата плътност J:
Отново може да се преобразува до диференциална форма, прилагайки Теоремата на Стокс:
[редактиране] Несъответствие между Закона на Ампер и Закона за Запазване на Заряда
Джеймс Клерк Максуел, който обединява законите за електричеството и магнетизма, открива важно несъответствие между Закона на Ампер и закона за запазване на заряда. Ако се вземе дивергенцията от двете страни на Закона на Ампер, се получава:
Дивергенцията на ротационела, на което и да е векторно поле –, в случая магнитното поле H – е винаги равна на нула:
Комбинирайки тези две уравнения се получава:
От Закона за запазване на заряда се знае:
Този последен резултат подсказва, че пълната плътност на заряда в която и да е точка в пространството е константа, която изобщо не може да се променя, което разбира се е абсурдно. Не само този резултат е в противоречие на физическата интуиция, той е в противоречие и с хиляди емпирични резултати от хиляди лабораторни експерименти. Тази зависимост изисква не само запазване на заряда, но и че последния не може да бъде преразпределен от едно място към друго. Но от друга страна е известно, че електрическите токове могат и преразпределят електрическия заряд. Така последният резултат е некоректен. Нещо очевидно липсва в Закона на Ампер и Максуел го открива.
[редактиране] Максуелова корекция на Закона на Ампер
За да се разбере Максуеловата корекция на Закона на Ампер, трябва да се разгледа друго от Уравненията на Максуел, а именно Законът на Гаус в интегрална форма:
Чрез отново използване на теоремата за дивергенцията, уравнението може да се преобразува до диференциална форма:
Чрез диференциране по времето от двете страни се получава:
При смяна на местата на производните от лявата страна се получава:
Последният резултат заедно със Закона на Ампер и уравнението за запазване на заряда, предполага два вида източници на магнитното поле: токовата плътност J, както Ампер вече е установил и така наречения ток от промяна на електрическата индукция във времето:
Така коригираната от Максуел форма на Закона на Ампер има вида:
[редактиране] Максуел открива, че светлината е електромагнитна вълна
Корекцията на Максуел на Закона на Ампер подготвя едно сензационно за времето си откритие. Максуел осъзнава, че уравненията за електромагнетизма, предполагат,че електрическото и магнитно полета могат да се разпространяват в откритото пространство – тоест, при отсъствието на материя – като електромагнитни вълни и още, че скоростта на тези вълни е точно скоростта на светлината. Уповавайки се на откритието си в 1865, Максуел пише:
- Тази скорост е толкова близка до скоростта на светлината, че изглежда имаме сериозна причина да заключим, че самата светлина . . . е електромагнитно смущение във формата на вълни, разпространяващи се посредством електромагнитното поле и според законите за електромагнитното поле.
При получаването на електромагнитни вълни във вакуум, се записват следните Максуелови уравнения:
Ако се приложи ротационел на ротационелните уравнения се получава:
Ако се има предвид вектора: ,
се получават вълновите уравнения
където
m/s
е скоростта на светлината във вакуум.
[редактиране] Нехомогенно вълново уравнение
Локализирани променливи във времето плътности на заряда и тока могат да действат като източници на електромагнитни вълни във вакуум. Уравненията на Максуел могат да бъдат написани във формата на вълново уравнение с източници. Прибавянето на източници към вълновите уравнения прави частните диференциални уравнения нехомогенни.
[редактиране] Система SI
Уравненията на Максуел във вакуум с източници от заряд ρ и ток могат да се запишат във вид на векторни и скаларни потенциали като:
където
и
.
Ако се допусне, че е в сила уравнението на Л.Лоренц:
тогава за нехомогенните вълнови уравнения се записва:
.
[редактиране] Решения на хомогенното вълново уравнение
Общото решение на уравненивто има следната форма:
и
за всяка непрекъсната и диференцируема функция g на безразмерен аргумент φ, където
е ъгловата скорост (в rad/s), и
е вълновият вектор (в rad/m).
Въпреки, че функцията g може да бъде и често е монохроматична синусоидална вълна, тя не трябва да бъде синусоидална и дори периодична. На практика g не може да има безкрайна периодичност, тъй като всяка реална електромагнитна вълна трябва да има крайно протежение в пространството и времето. Като резултат от това и базирайки се на Трансформацията на Фурие, една реална вълна трябва да се състои от наслагването (суперпозицията) на безкраен брой хармоници. Още повече, за намиране на приемливо решение, вълновият вектор и ъгловата честота не могат да бъдат независими една от друга променливи. Те трябва да спазват дисперсионната зависимост:
където k е числото на вълната и λ е дължината на вълната.
[редактиране] Монохроматична синусоидална стационарна вълна
Най-проста форма решения на вълновото уравнение се получават от допускането за синусоидални вълни на една честота в разделена форма:
където
[редактиране] Решения за плоски вълни
Разглежда се равнина определена от единичен нормален вектор
.
Решенията за разпространяваща се планарна вълна са
и
където
е пространствения вектор [m].
Тези решения представят планарни вълни разпространяващи се по посока на нормалния вектор . Ако посоката z се дефинира като посока на
и посоката (координатната ос) x като посока на
, тогава според Закона на Фарадей магнитното поле лежи по посока на y и е свързано с електрическото поле чрез отношението:
.
Поради, че дивергенцията на електрическото и магнитно полета е нула, няма полета по посоката на разпространение. Това решение е рещението вълновите уравнения с линейна поляризация. В този смисъл съществуват и решения с кръгова поляризация, при която полетата се въртят около нормалния вектор.
[редактиране] Разлагане в спектър
Поради линейността на Уравненията на Максуел във вакуум, решенията могат да се разложат в суперпозиция на хармоници. Това е принципа на използването на метода с Преобразувание (трансформация) на Фурие за решаването на диференциални уравнения. Хармоничното решение на електромагнитно-вълновото уравнение има формата:
и
Електромагнитния спектър е диаграма на големината на интензитета на полето (или енергията на полето) във функция на дължината на вълната.