Περιοχή κυρίων ιδεωδών
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μια ακεραία περιοχή R καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών (principal ideal domain) αν κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο.
[Επεξεργασία] Παραδείγματα
- Γνωρίζουμε ότι αν R σώμα ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το R = < 1 > και το μηδενικό ιδεώδες {0R} = < 0R > και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
- Ο
είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες < 2,x > υπάρχει
τέτοιο ώστε < 2,x > = < h(x) > προκύπτει ότι
ή
.Στην πρώτη περίπτωση έχουμε
,άτοπο, ενώ στη δέυτερη περίπτωση έχουμε ότι
και άρα 2 = xk(x) ,άτοπο.
- Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος
.