Ευκλείδεια περιοχή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Ως Ευκλείδεια περιοχή (Euclidean domain) ορίζουμε μια ακεραία περιοχή \mathcal{R} εφοδιασμένη με μια απεικόνιση \delta : \mathcal{R}\smallsetminus \{0\} \rightarrow \mathbb{Z}^{+} η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

  • αν a / b τότε \delta(a)\le \delta(b)
  • Για κάθε a,b \in \mathcal{R} υπάρχουν q,r \in \mathcal{R} όπου b = qa + r και είτε r = 0 είτε δ(r) < δ(a).

Η απεικόνιση δ καλείται Ευκλείδεια συνάρτηση της \mathcal{R}.

[Επεξεργασία] Παραδείγματα

  • Το σύνολο των ακεραίων αριθμών \mathbb{Z} είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την δ(x) = | x | .
  • Το σύνολο των ακεραίων του Gauss \mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\} είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την δ(a + bi) = a2 + b2.