Ευκλείδεια γεωμετρία
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στα μαθηματικά, με τον όρο ευκλείδεια γεωμετρία αναφερόμαστε στην γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου και αφορά σε ότι αντιλαμβανόμαστε ως σχήματα και στερεά σώματα. Η ονομασία της προέρχεται από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη, ο οποίος την θεμελίωσε.
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων, επίπεδων και στερεών που μπορεί να υπάρξουν μέσα σε αυτόν.
Στον χώρο διακρίνουμε τις επιφάνειες, τις γραμμές και τα σημεία. Οι επιφάνειες έχουν δύο διαστάσεις, οι γραμμές μια και τα σημεία καμία. Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή απο το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν. Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε για γραμμές της ασφάλτου ή σιδηροδρομικές γραμμές, επειδή το πλάτος στην μια περίπτωση και το πλάτος και το ύψος στην άλλη είναι αμελητέες διαστάσεις. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία οχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε Όρους της γεωμετρίας.
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν ο πρώτος κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε ώς επιστήμη και ο για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.
[Επεξεργασία] Βασικά στοιχεία της ευκλείδειας γεωμετρίας
Η μελέτη της γεωμετρίας, όπως και κάθε αξιωματικής θεωρίας, ξεκινά από αρχικές έννοιες, οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά. Αυτές είναι οι έννοιες σημείο, ευθεία και επίπεδο τις οποίες δεχόμαστε χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις. Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του ανήκειν, αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από "σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία" ή για "κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα" κ.λπ. Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα αξιώματα, δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία. Χαρακτηριστικά αναφέρονται (δες αναλυτικότερα τα Αξιώματα Χίλμπερτ):
- Απο δύο σημεία διέρχεται μία μοναδική ευθεία.
- Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε αυτήν.
- Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις χωρίς διακοπές και κενά.
- Έστω μία ευθεία και ένα σημείο εκτός αυτής σε ένα επίπεδο. Από το σημείο αυτό διέρχεται μία μοναδική ευθεία πάνω στο επίπεδο που δεν έχει κοινό σημείο με την πρώτη (αξίωμα των παραλλήλων ή Ευκλείδειο αίτημα).
Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα αποδεικνύοντας όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας· κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα. Η αποδεικτική μέθοδος δε, είναι κατά βάση κατασκευαστική και συνίσταται στη χρήση κανόνα και διαβήτη.
Περαιτέρω, δύο γεωμετρικά σχήματα λογίζονται ίσα όταν με τη νοητή μετατόπιση με χρήση κανόνα και διαβήτη συμπίπτουν. Σημεία που ανήκουν στην ίδια ευθεία λέμε ότι είναι συνευθειακά. Κάθε σημείο Α ευθείας ε χωρίζει την ε σε δύο ημιευθείες, τη μία αντικείμενη της άλλης. Το Α λέγεται αρχή κάθε ημιευθείας. Κάθε ευθεία ε επιπέδου p χωρίζει το p σε δύο αντικείμενα ημιεπίπεδα. Η ε λέγεται ακμή κάθε ημιεπιπέδου.
[Επεξεργασία] Αξίωμα των παραλλήλων
Το αξίωμα των παραλλήλων θεωρήθηκε ότι δεν είναι διαισθητικά προφανές, όπως τα υπόλοιπα αξιώματα, και διατυπώθηκε η εικασία πως δεν είναι αξίωμα αλλά θεώρημα. Κατά την προσπάθεια απόδειξής του βρέθηκαν προτάσεις που είναι ισοδυναμες με αυτό, όπως ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με 180°.
Ορισμένοι μαθηματικοί προσπάθησαν να αποδείξουν το αξίωμα των παραλλήλων με την εις άτοπον απαγωγή. Από τις προσπάθειες αυτές γεννήθηκε η υπερβολική γεωμετρία, η οποία στη θέση του αξιώματος των παραλλήλων δέχεται ότι υπάρχουν άπειρες ευθείες που διέρχονται από ένα σημείο εκτός μίας δεδομένης ευθείας και δεν την τέμνουν.
Πλέον έχει αποδειχτεί ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο των υπολοίπων αξιωμάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας.