Φυσικός αριθμός
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το σύνολο των φυσικών αριθμών αποτελείται από όλους τους θετικούς ακεραίους. Συμβολίζεται συνηθέστερα με , ή ακόμη, ιδιαίτερα σε συμφραζόμενα θεωρίας συνόλων, με ω ή
(άλεφ μηδέν).

Σε ορισμένες περιπτώσεις το 0 συμπεριλαμβάνεται στους φυσικούς αριθμούς. Όταν χρειάζεται να διαφοροποιήσουμε τις δύο περιπτώσεις, χρησιμοποιείται συνήθως το σύμβολο για το σύνολο χώρις το 0 και
για το σύνολο με το 0.
[Επεξεργασία] Αξιώματα Πεάνο
Παραδοσιακά, οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται σύμφωνα με τα αξιώματα του Πεάνο (Peano):
- To 0 είναι φυσικός αριθμός.
- Κάθε φυσικός αριθμός n έχει έναν επόμενο n'.
- Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που να έχει ως επόμενο (διάδοχο) το 0.
- Δύο διακριτοί φυσικοί αριθμοί n,m έχουν διαφορετικούς επόμενους αριθμούς n',m'.
- Αν ένα σύνολο συμπεριλαμβάνει το 0 και κάθε επόμενο αριθμό από τους φυσικούς που συμπεριλαμβάνει, τότε συμπεριλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς (μαθηματική επαγωγή).
Τα αξιώματα Πεάνο περιγράφουν τους φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν αποδεικνύουν την ύπαρξή τους.
[Επεξεργασία] Συνολοθεωρητική προσέγγιση
Στα πλαίσια της θεωρίας συνόλων του Κάντορ (Cantor), οι αριθμοί βλέπονται ως σύνολα και ορίζονται επαγωγικά ως εξής:
Έτσι έχουμε:
[Επεξεργασία] Συναρτησιακή προσέγγιση
Ο Βίτγκενσταϊν στο Tractatus logico-philosophicus (1921) έγραφε "Ο αριθμός είναι ο εκθέτης μιας πράξης", δίνοντας έτσι ένα ριζικά διαφορετικό νόημα στους φυσικούς αριθμούς: ο αριθμός δεν είναι σύνολο κάποιων στοιχείων αλλά επανάληψη κάποιας πράξης, δηλαδή κάποιας συνάρτησης. Ο Τσερτς (Church) το 1933 αναδιατυπώνει την ιδέα αυτή, στα πλαίσια του λαμδαλογισμού, ορίζοντας τους φυσικούς αριθμούς μέσα από τα αριθμιακά Τσερτς (Church numerals) ως εξής:
Έτσι, το αριθμιακό , δηλαδή ο φυσικός αριθμός n, εκφράζεται μέσα από τις n διαδοχικές εφαρμογές μιας πράξης f σε ένα όρισμα x. Μια απλή και εύχρηστη εκδοχή αυτής της ιδέας είναι ο επαγωγικός ορισμός των φυσικών αριθμών με χρήση αποκλειστικά του μηδέν 0 και της συνάρτησης διαδοχής S:
Δηλαδή, ο φυσικός αριθμός n βλέπεται εδώ ως η εφαρμογή της συνάρτησης διαδοχής S στο μηδέν, n διαδοχικές φορές: