Περιοδικός αριθμός
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Περιοδικοί αριθμοί λέγονται οι ρητοί αριθμοί που έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, τα οποία επαναλαμβάνονται επ' άπειρον. Δηλαδή σε ένα περιοδικό δεκαδικό αριθμό, ένα ή περισσότερα δεκαδικά ψηφία του επαναλαμβάνονται. Τα ψηφία που επαναλαμβάνονται λέγονται περίοδος του αριθμού αυτού. Π.χ. ο αριθμός 3,53636363636... είναι περιοδικός δεκαδικός αριθμός με περίοδο 36.
Κάθε περιοδικός αριθμός είναι ρητός, γιατί μπορεί να γραφεί ως κλάσμα ακεραίων. Π.χ. ο αριθμός 0,777...=7/9 γιατί αν θεωρήσουμε x=0,777... τότε 10x=7,777... οπότε με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει 9x=7 οπότε x=7/9. Αν θεωρήσουμε τον αριθμό 0,999... τότε με τον ίδιο τρόπο έχουμε: x=0,999... τότε 10x=9,999... οπότε με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει 9x=9 οπότε x=9/9 δηλαδή x=1. Δηλαδή αποδείξαμε ότι 0,999...=1.
Αυτό το συμπέρασμα δικαιολογείται και από μία βασική αρχή των Μαθηματικών: μεταξύ 2 άνισων αριθμών,πάντοτε υπάρχει ένας ενδιάμεσος αριθμός (αρχή της πληρότητας). Συνεπώς αν οι αριθμοί 0,999... και 1 ήταν άνισοι, θα έπρεπε να υπήρχε ανάμεσά τους ένας αριθμός που θα ήταν μεγαλύτερος του 0,999... και μικρότερος του 1, πράγμα το οποίο δεν ισχύει. Με παρόμοιο τρόπο 2,1999...=2,2.