Φυσικός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Το σύνολο των φυσικών αριθμών αποτελείται από όλους τους θετικούς ακεραίους. Συμβολίζεται συνηθέστερα με \mathbb{N}, ή ακόμη, ιδιαίτερα σε συμφραζόμενα θεωρίας συνόλων, με ω ή \aleph_0 (άλεφ μηδέν).

\mathbb{N}=\{1,2,3...\}

Σε ορισμένες περιπτώσεις το 0 συμπεριλαμβάνεται στους φυσικούς αριθμούς. Όταν χρειάζεται να διαφοροποιήσουμε τις δύο περιπτώσεις, χρησιμοποιείται συνήθως το σύμβολο \mathbb{N}^* για το σύνολο χώρις το 0 και \mathbb{N}_0 για το σύνολο με το 0.

[Επεξεργασία] Αξιώματα Πεάνο

Παραδοσιακά, οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται σύμφωνα με τα αξιώματα του Πεάνο (Peano):

  1. To 0 είναι φυσικός αριθμός.
  2. Κάθε φυσικός αριθμός n έχει έναν επόμενο n'.
  3. Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που να έχει ως επόμενο (διάδοχο) το 0.
  4. Δύο διακριτοί φυσικοί αριθμοί n,m έχουν διαφορετικούς επόμενους αριθμούς n',m'.
  5. Αν ένα σύνολο συμπεριλαμβάνει το 0 και κάθε επόμενο αριθμό από τους φυσικούς που συμπεριλαμβάνει, τότε συμπεριλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς (μαθηματική επαγωγή).

Τα αξιώματα Πεάνο περιγράφουν τους φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν αποδεικνύουν την ύπαρξή τους.

[Επεξεργασία] Συνολοθεωρητική προσέγγιση

Στα πλαίσια της θεωρίας συνόλων του Κάντορ (Cantor), οι αριθμοί βλέπονται ως σύνολα και ορίζονται επαγωγικά ως εξής:

0:=\emptyset,\ \ n':=n\cup\{n\}

Έτσι έχουμε:

0 = \emptyset
1 = 0' = \{0\} = \{\emptyset\}
2 = 1' = \{0,1\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}
\vdots

[Επεξεργασία] Συναρτησιακή προσέγγιση

Ο Βίτγκενσταϊν στο Tractatus logico-philosophicus (1921) έγραφε "Ο αριθμός είναι ο εκθέτης μιας πράξης", δίνοντας έτσι ένα ριζικά διαφορετικό νόημα στους φυσικούς αριθμούς: ο αριθμός δεν είναι σύνολο κάποιων στοιχείων αλλά επανάληψη κάποιας πράξης, δηλαδή κάποιας συνάρτησης. Ο Τσερτς (Church) το 1933 αναδιατυπώνει την ιδέα αυτή, στα πλαίσια του λαμδαλογισμού, ορίζοντας τους φυσικούς αριθμούς μέσα από τα αριθμιακά Τσερτς (Church numerals) ως εξής:

\bar{n}:=\lambda fx.\ f^{(n)}(x)

Έτσι, το αριθμιακό \bar{n}, δηλαδή ο φυσικός αριθμός n, εκφράζεται μέσα από τις n διαδοχικές εφαρμογές μιας πράξης f σε ένα όρισμα x. Μια απλή και εύχρηστη εκδοχή αυτής της ιδέας είναι ο επαγωγικός ορισμός των φυσικών αριθμών με χρήση αποκλειστικά του μηδέν 0 και της συνάρτησης διαδοχής S:

0\in\mathbb{N},\ \ n\in\mathbb{N}\Rightarrow S(n)\in\mathbb{N}

Δηλαδή, ο φυσικός αριθμός n βλέπεται εδώ ως η εφαρμογή της συνάρτησης διαδοχής S στο μηδέν, n διαδοχικές φορές:

n:=\underbrace{S(S(\cdots(S}_n(0))))=S^n(0)