Derivada

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

A derivada é unha operación realizada ás funcións dentro do cálculo infinitesimal (ou cálculo diferencial) polo cal se busca un cálculo que relacione a variación (aumento o diminución) do valor dependente da función segundo o valor da variable independente, é dicir, canto aumenta y por cada aumento de x. Para que unha función sexa derivable nun punto x_a \, ten que ser continua no seu entorno pola dereita e pola esquerda e ter o mesmo límite polos dous lados. Nese caso defínese a derivada coma o resultado de:

f' (x_a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_a+h)-f(x_a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_a-h)-f(x_a)}{-h} \,

Do mesmo xeito pódese definir o valor da función derivada para calquera punto do dominio de f(x) \,, na cal se expresa o valor da derivada para tódolos puntos continuos do dominio:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x-h)-f(x)}{-h} \,

Índice

[editar] Exemplos da definición

Derivada dunha función polinómica:

f(x) \, = 3x^2 + 2x - 6 \, \Rightarrow
f'(x) \, = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{(3(x+h)^2 + 2(x+h) - 6) - (3x^2 + 2x - 6) }{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{(3(x^2 + h^2 + 2xh) + 2(x+h) - 6) - (3x^2 + 2x - 6)}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{(3x^2 +3h^2 + 6xh + 2x + 2h - 6) - (3x^2 + 2x - 6)}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2 +3h^2 + 6xh + 2x + 2h - 6 - 3x^2 - 2x + 6}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 + 6xh + 2h}{h}
= \lim_{h \to 0} 3h + 6x + 2
= 6x + 2 \,

Derivada da función logaritmo:

  • f(x) = \log_a x \,
  • f(x+h) = \log_a (x+h) \,
  • f(x+h) - f(x) = \log_a (x+h) - \log_a x = \log_a \frac{x+h}{x} \,
  • \frac{f(x+h) - f(x)}{h} =

[editar] Táboa de funcións derivadas

PROPIEDADE PRIMITIVA DERIVADA
Derivada dunha constante k \, 0 \,
Derivada de x x \, 1 \,
Derivada de k x k \, x \, k \,
Producto por escalares,
xeralización do anterior
k \, f(x) \, k \, f'(x) \,
Derivada dunha suma f(x) + g(x) \, f'(x) + g'(x) \,
Derivada dun produto f(x) \, g(x) \, f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \,
Derivada dunha división,
deducida da do produto
\frac{f(x)}{g(x)} \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g^2 (x)}
Derivada dunha potencia,
deducida da do produto (x\in\mathbb{R})
f(x)^m \, m \, f(x)^{m-1} \, f'(x) \,
Derivada dun logaritmo \log_a f(x) \, \frac{1}{f(x)} \, log_e a \, f'(x)
Derivada dunha exponencial a^{f(x)} \, a^{f(x)} \, log_a e \, f'(x)
Derivada trigonométrica 1 \sin f(x) \, \cos f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 2 \cos f(x) \, -\sin f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 3 \tan f(x) \, \sec^2 f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 4 \sec f(x) \, \sec f(x) \, \tan f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 5 \mbox{cosec} \, f(x) \, -\mbox{cosec} f(x) \, \mbox{cotan} f(x) \, f'(x)
Derivada trigonométrica 6 \mbox{cotan} \, f(x) \, -\sec^2f(x)  \, f'(x)
Derivada trigonométrica inversa 1 \mbox{arcsin} \, f(x) \, \frac{ f'(x)  }{\sqrt{ 1 - f^2(x) }}
Derivada trigonométrica inversa 2 \mbox{arccos} \, f(x) \, \frac{ -f'(x) }{\sqrt{ 1 - f^2(x) }}
Derivada trigonométrica inversa 3 \mbox{arctan} \, f(x) \, \frac{ f'(x)  }{ 1 + f^2(x) }
Derivada trigonométrica inversa 4 \mbox{arcsec} \, f(x) \, \frac{ -f'(x) }{ 1 + f^2(x) }
Derivada trigonométrica inversa 5 \mbox{arccosec} \, f(x) \, \frac{ f'(x)  }{f(x) \sqrt{ f^2(x) - 1}} = \frac{ f'(x)  }{\sqrt{ f^4(x) - f^2(x) }}
Derivada trigonométrica inversa 6 \mbox{arccotan} \, f(x) \, \frac{ -f'(x) }{f(x) \sqrt{ f^2(x) - 1}} = \frac{ -f'(x) }{\sqrt{ f^4(x) - f^2(x) }}

[editar] Exemplos de aplicación

lim 2x+1= x->2

[editar] Utilidade

O uso da derivación ten valido para explicar ou determinar multitude de situacións da física ou da xeometría. Un pequeno exemplo pode ser a seguinte táboa:

FIGURA LONXITUDE SUPERFICIE VOLUME
Círculo &
circunferencia
(Circunferencia)
2 \pi r \,
(Círculo)
\pi r^2 \,
NON
PROCEDE
Esfera NON
PROCEDE
4 \pi r^2 \, \frac{4}{3} \pi r^3 \,

onde se pode comprobar que o valor de dimensión espacial N se corresponde coa derivada do valor de dimensión espacial N+1 da mesma figura.

Outro caso na física sería o valor da posición, velocidade e aceleración dunha partícula expresadas en función do tempo, que son cada unha derivada da anterior:

\begin{matrix} \mbox{posicion} & p = & p_0 + & v_0 t + & \frac{1}{2} a_0 t^2 \\ \mbox{velocidade} & v= & & v_0 + & a_0 t \\ \mbox{aceleracion} & a= & & & a_0 \end{matrix}

[editar] Véxase

  • Diferencial
  • Integración
  • Cálculo integral