Funkcija

Izvor: Wikipedija

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje elemenata iz jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

Sadržaj

[uredi] Definicija

Funkcija ili preslikavanje je svako pravilo f\colon D \to K po kojem se svakom elementu x \in D pridružuje jedinstveni element y \in K. Skup D se naziva područje definicije ili domena funkcije f, a skup K područje vrijednosti ili kodomena funkcije f. x je u tom slučaju nezavisna varijabla ili argument funkcije f, a y je zavisna varijabla funkcije f. Za funkciju se najčešće koristi oznaka f(x) = y.

[uredi] Slika funkcije

Skup svih vrijednosti nezavisne varijable x za koje je funkcija doista definirana još se označava s Df, a skup svih vrijednosti koje poprima zavisna varijabla s Rf i zove slika funkcije,

R_f  = \left\{ {y \in K:\left( {\exists x \in D_f } \right)\mbox{ takav da je } y = f(x)} \right\} \subseteq K

[uredi] Jednakost funkcija

Funkcije f i g su jednake, što zapisujemo sa f = g, ako vrijedi:

  1. imaju jednake domene, tj. Df = Dg;
  2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. f(x) = g(x), \forall x \in A.

Znači, iako funkcije f(x) = \frac{x^2}{x} i g(x) = x imaju jednako pravilo pridruživanja (kada se kod f(x) skrati razlomak dobijemo f(x) = x) one nisu jednake jer nemaju istu domenu (D_f = \mathbb{R}, dok je D_g  = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}).

[uredi] Klasifikacija funkcija

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita elementa domene koja se preslikavaju u isti element kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo, f(x) = f(x') \Rightarrow x = x',\forall x \in D_f ,\forall x' \in D_f
ili ekvivalentnu tvrdnju \forall x,x'\in D \mbox{ takve da } x \ne x', f(x) \ne f(x').

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija kod koje je slika cijela kodomena Rf = K, to jest \forall y \in K \; \exists x \in D,  f(x)=y. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je identiteta, odnosno funkcija i_X :X \to X definirana s i_X(x)  = x,\forall x \in X.

[uredi] Literatura

  • M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski: "Matematika", Ekonomski fakultet, Osijek, 1994