파동 방정식
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파동 방정식(波動方程式)은 음파, 전자기파, 수면파등의 파동을 기술하는 중요한 편미분 방정식이다. 이 방정식은 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 또한 양자역학과 일반 상대성 이론에는 이 방정식에서 발전한 방정식이 중요한 역할을 한다.
역사적으로 보면, 현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 달랑베르, 오일러, 베르누이, 라그랑주 등이 연구했다.
파동방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.
여기서 c는 고정된 상수이며, 파동의 진행속도가 된다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 음속(音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 이 값은 넓은 범위에서 변할 수 있다.
u = u(x,t), 는 진폭, 즉 시각 t, 위치 x 에서의 파의 세기를 나타낸다. 음파의 경우 u는 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서 부터의 변위를 나타낸다. 는 위치에 대한 변수 x 에 대한 라플라스 연산자이다. u는 스칼라일 수도, 벡터일 수도 있다는 것에 주의하라.
기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.
x축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다.
2차원에선 다음과 같다.
식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.