대수적으로 닫힌 체
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.
수학에서, 체 F가 대수적으로 닫혀있다는 것은, F 계수의 모든 1차 이상 1변수 다항식이 F 안에서 근을 가지는 경우를 말한다.
[편집] 예
실수체는 대수적으로 닫혀있지 않다. 예를 들어, 다항방정식
- 3x2 + 1 = 0
은 계수인 3과 1이 둘 다 실수임에도 불구하고 실근을 갖지 않기 때문이다. 같은 논리로 유리수체도 대수적으로 닫혀있지 않음을 보일 수 있다. 또한, F가 원소 a1, a2, …, an으로 이루어진 유한체일 때, 다항식
는 F 안에서 근(값이 0이 되는 점)을 갖지 않으며, 따라서 F는 대수적으로 닫혀있지 않다. 그 반면 복소수체는 대수적으로 닫혀있다는 것이 대수학의 기본정리의 결과이다. 또한, 대수적 수를 전부 모아 만든 체(주의: 대수적 수체와 구분할 것)도 대수적으로 닫혀있다.
[편집] 참고자료
- 서지 랭, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
- B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5