환 (수학)

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(環, ring)이란 집합 R덧셈곱셈 연산자 +· 이 정의되어 있고 다음의 조건을 만족하는 대수적 구조이다.

  • (R, +)가 아벨군이고, 항등원 0을 가진다.
  • (R, *)가 모노이드이다.
    • 1 * a = a * 1 = a
    • (a * b) * c = a * (b * c)
  • +, *에 대해 분배법칙이 성립한다.
    • a * (b + c) = a * b + a * c
    • (a + b) * c = a * c = b * c

덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립해야 하지만, 곱셈에서는 그러한 조건이 필요하지 않다. 만약 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 경우에는 가환환이라고 부른다.

환에서는 곱셈에 대해서 역원이 꼭 필요하지는 않다. 역원이 존재하는 원소가 있는 경우, 그 원소를 단위라고 부른다.

[편집] 기본적 정리

  • 0 * a = a * 0 = 0
  • (−1) * a = −a
  • (−a) * b = a * (−b) = −(a * b)
  • (a * b)−1 = b−1 * a−1 (a와 b가 모두 단위인 경우)