불 대수

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불 대수(영어: Boolean algebra)는 조지 불19세기 중반에 고안한 논리 수학의 대표적 형태이다. 불 격자(Boolean lattice)나 불 속(束)이라고도 한다. 불 대수의 연구는 대수적 구조로서 속의 이론을 발전시키는 하나의 계기가 되었다. 수학적인 엄밀한 정의는 다음에 기술한다.

디지털 회로 설계에서는 필수적인 지식이다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립 플랍 등 순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.)

불 대수의 기본 연산(논리 연산)은 논리 부정 ¬(not), 논리합 ∨(or), 논리곱 ∧(and)로 출발된다. 이러한 연산 합성으로부터 만들어지는 연산 중 대표적인 것으로 배타적 논리합(xor)이 있다.

불 대수를 불 격자(불 속)라고 부르는 이유는, ∨, ∧에 대해서 분배 가능한 격자가 되기 때문이다. 즉, 다음 법칙이 성립한다:

  1. 멱등 법칙(idempotence): xx = xx = x,
  2. 교환 법칙(commutativity): xy = yx, xy = yx,
  3. 결합 법칙(associativity): (xy)∧ z = x ∧(yz), (xy)∨ z = x ∨(yz),
  4. 흡수 법칙(absorption): (xy)∨ x = x, (xy)∧ x = x,
  5. 분배 법칙(distributivity): (xy)∧ z = (xz)∨(yz), (xy)∨ z = (xz)∧(yz).

또한 불 대수에서는 다음 조건이 성립한다:

  • 참을 1 거짓을 0으로 하여, 각 x 항과 반대되는 ¬x 항이 존재할 때, (x ∧ ¬x = 0), (x ∨ ¬x = 1)을 만족한다.

수학에서는 이러한 조건을 공리(公理, axiom)라 하여, 그것을 만족하는 집합을 불 격자(속)나 불 대수라고 한다.

[편집] 같이 보기

  • 격자
  • 수리 논리학