다항식의 미적분

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수학에서 다항식의 미적분은 다음과 같이 매우 간단한 규칙을 따른다.

\frac{d}{dx} \sum^n_{k=0} a_k x^k = \sum^n_{k=0} ka_kx^{k-1}
\int \sum^n_{k=0} a_k x^k\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1}  + c.

예를 들자면, x100 의 미분은 100x99 이 되며, 적분은 x101/101 + c 가 된다.

[편집] 증명

미분은 선형성을 갖기 때문에,

\frac{d\left( \sum_{r=0}^n a_r x^r \right)}{dx} = \sum_{r=0}^n \frac{d\left(a_r x^r\right)}{dx} = \sum_{r=0}^n a_r \frac{d\left(x^r\right)}{dx}.

우리는 각각의 r 에 대한 \frac{d\left(x^r\right)}{dx} 만 알면 된다. 수학적 귀납법을 이용하여 증명을 하면, 곱셈 법칙으로 연속되는 수들 간의 관계는 증명이 가능하고, 남은 것은 r = 1 인 경우 뿐이며 이는 자명하다.

[편집] 일반화

\frac{d}{dx} \left(ax^k\right) = akx^{k-1}

는 보통 xk 가 의미있는 모든 k 에서 옳다. 특별히 모든 유리수 k에 대해 xk 이 정의된다.

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