원통 좌표계

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원통 좌표계 (cylindrical coordinate system)는 3차원 공간을 나타내기 위해, 평면 극좌표계에 평면에서부터의 높이 h (혹은 z)를 더해, r, θ, h 로 이루어지는 좌표계이다.

3차원 공간의 점 P 는 (r,θ,h)로 표시된다. 이를 직교좌표계로 표시해 보면 다음과 같다.:

  • r 은 원점 O 에서 P의 XY평면으로의 사영 P'까지의 거리를 나타낸다. 다시 말하면, r은 z축에서 P까지의 거리이다.
  • θ 는 양의 x축 방향에서 반시계 방향으로 측정한 OP'까지의 각이다.
  • hz와 같다.

따라서, (r,θ,z)란 표기도 자주 쓰인다.

원통좌표계는 한 축을 중심으로 대칭성을 갖는 경우에 유용하다. 예를 들면, 무한히 긴 원통(cylinder)의 직교좌표계에서의 식은 x2 + y2 = c2 이지만, 원통좌표계에서는 간단히 r = c가 된다. 이런 이유로 원통좌표계(cylinder-ical coordinate)란 이름이 붙어있다.

[편집] 원통좌표계에서 직교좌표계로의 변환식

x = r cosθ
y = r sinθ
z = h

[편집] 직교좌표계에서 원통좌표계로의 변환식

r = \sqrt{x^2 + y^2}
\theta = \arctan\frac{y}{x}
h = z\,

[편집] 단위벡터

\hat{\mathbf{r}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dr}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dr}\right|} = \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{bmatrix}
\hat{\mathbf{\theta}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{bmatrix}
\hat{\mathbf{h}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dh}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dh}\right|} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}