함수의 극한
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함수의 극한은 해석학의 기초가 되는 중요한 개념의 하나로, 변수가 어떠한 값에 가까워질 때 함수값이 특정한 값으로 가까워지는 것을 의미한다.
x에 대한 함수 f(x)에서, x가 어떤 값 a에 한없이 가까워지면 f(x)도 어떤 값 c에 한없이 가까워질 때 f(x)가 c에 수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,
- x→a 일 때 f(x)→c 또는
이다.
이때, c를 x→a 일 때의 f(x)의 극한 또는 극한값이라고 한다.
목차 |
[편집] 좌극한과 우극한
좌극한과 우극한은 x가 a에 가까워질 때, a보다 작거나 큰 어느 한쪽 방향에서만 접근할 때의 값을 의미한다. 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재해야 하고, 그 두 값이 같아야 한다. 반대로 좌극한과 우극한이 서로 다르거나 둘 중 하나 이상이 존재하지 않는다면, 이 경우 그 함수의 극한값은 존재하지 않는다.
이때 +0과 -0은 그 값의 이동 방향을 나타낸다. 는 x가 a보다 작은 방향에서 a로 가까워지는 것을 의미하고, 반대로
는 x가 a보다 큰 방향에서 a로 가까워지는 것을 의미한다.
예를 들어, f(x)가 일때 1, x < 0일때 0을 가지는 함수라면
,
이 된다.
0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.
[편집] 수학적 정의
함수의 극한은 일반적으로 입실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의된다. 모든 양의 실수 ε에 대해, 어떠한 실수 δ가 존재하여 0 < | x − p | < δ일때 항상 | f(x) − c | < ε가 성립하면, 이때의 극한값은
로 정의한다.
좌극한과 우극한도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 δ에 대한 조건이 0 < | x − p | < δ 대신 좌극한의 경우 p − x < δ, 우극한의 경우 x − p < δ가 된다.
[편집] 무한대
x가 어떠한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 극한값을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 ε에 대해, 어떠한 실수 S가 존재하여 x > S(양의 무한대) 또는 x < S(음의 무한대)일때 항상 | f(x) − c | < ε가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.
(양의 무한대)
(음의 무한대)
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