카스틸리아노의 정리

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카스틸리아노의 정리(Castigliano's theorems)는 중첩의 원리가 적용되는 선형탄성계에서 변형에너지로부터 변위나 하중을 구하는 방법을 제공하는 정리로, 이탈리아수학자이자 물리학자인 카를로 알베르토 카스틸리아노로부터 그 이름이 붙여졌다. 카스틸리아노의 정리를 이용해 변위나 하중를 구하는 방법을 카스틸리아노의 방법이라고도 한다.

카스틸리아노의 정리에는 두 가지가 있다.

목차

[편집] 카스틸리아노의 제1정리

“어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 변위 δi함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 변위에 대해 편미분한 값은 하중 Pi와 같다.”

즉, 변형에너지를 U라고 하면,

P _i = \frac{\partial U}{\partial \delta _i} \quad \left( i=1, 2, 3, ..., n \right)

[편집] 카스틸리아노의 제2정리

“어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 하중 Pi의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 하중에 대해 편미분한 값은 변위 δi와 같다.”

\delta _i = \frac{\partial U}{\partial P _i} \quad \left( i=1, 2, 3, ..., n \right)

[편집] 적용과 한계

[편집] 적용 예

길이가 L, 휨강성이 EI인 외팔보의 자유단에 연직 중력방향으로 하중 P1만이 작용할 때, 하중 작용점에서의 처짐 δ1을 구하기 위해 구조물의 변형에너지를 하중 P1의 함수로 나타내면,

U = \frac{1}{2EI} \int ^L _0 {\left( -P_1 x \right)}^2 dx = \frac{P_1 ^2 L^3}{6EI}

카스틸리아노의 제2정리에 의해

\delta_1 = \frac{\partial U}{\partial P_1} = \frac{P_1 L^3 }{3EI}

[편집] 적용의 한계

카스틸리아노의 정리는 구조물 지점의 침하나 온도 변화 등에 따른 처짐의 계산에는 사용될 수 없다.

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