컴팩트 공간

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수학에서, 유클리드 공간 Rn부분집합닫혀 있고 유계인 경우 이를 컴팩트(compact, 문화어: 콤팍트)하다고 한다. 예를 들어 R의 부분집합 중 닫힌 구간 [0, 1]은 컴팩트이나, 정수의 집합 Z는 유계가 아니므로 컴팩트하지 않다. 또한, 반열린 구간 [0, 1)도 닫혀 있지 않으므로 컴팩트하지 않다.

보다 일반적으로, 위상공간의 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가지면 이를 컴팩트하다고 한다. 하이네-보렐 정리에 따르면, 유클리드 공간의 부분집합에 대해서는 이 일반적인 정의가 위의 "닫혀 있고 유계" 정의와 동치이다.

주의: 부르바키를 비롯한 몇몇 저자들은 위의 의미에서 "쿼시컴팩트"(quasi-compact)라는 표현을 사용하고, "컴팩트"라는 표현은 하우스도르프이고 컴팩트한 공간을 가리킬 때 쓴다.


목차

[편집] 역사와 의미

"컴팩트"라는 표현은 1906년에 Maurice René Fréchet가 도입했다.

한때는 "컴팩트"라는 표현이 "점렬컴팩트"(모든 수열이 수렴하는 부분수열을 갖는다)를 의미하기도 했다. 이는 현대적인 위상공간의 정의가 나타나기 이전 이 분야에서 주로 위상공간의 특수한 예인 거리공간만이 다루어졌고, 거리공간에서는 컴팩트와 점렬컴팩트가 동치이기 때문이었다. 보다 일반적인 위상공간이 본격적으로 연구되면서 덮개를 이용한 정의가 대두되었고, 과거에 거리공간에 대해 증명된 많은 결과들은 새로운 정의를 이용해 일반적인 위상공간에 대해 확장될 수 있었다. 이와 같은 일반화는 특히 함수공간의 연구에 유용하게 쓰였는데, 함수공간들은 많은 경우 거리공간이 아니기 때문이다.

[편집] 정의

[편집] Rn의 부분집합의 경우

유클리드 공간 Rn의 임의의 부분집합에 대해, 다음 네 조건은 동치이다:

  • 임의의 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가진다.
  • 임의의 수열이 집합 내의 점으로 수렴하는 부분수열을 가진다.
  • 집합에 포함된 임의의 무한 부분집합은 집합 내에 집적점을 갖는다.
  • 닫혀 있고 유계이다.

[편집] 일반적인 정의

부분덮개를 이용한 정의의 장점은, 거리의 개념을 필요로 하지 않고 오로지 위상적인 개념(열린 집합)만을 사용하기에, 일반적인 위상공간으로 확장될 수 있다는 것이다. 이렇게 확장된 컴팩트성은 위상적 성질이 된다. 예로서 닫힌 구간 [0, 1]은 R이나 Rn 등에 어떻게 끼워 넣어(embed)지는지에 무관하게, 내재적으로 컴팩트하다.

위상 공간 X의 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가지면 이를 컴팩트하다고 한다. 즉, X의 임의의 열린 부분집합들의 집합 \{U_i\}_{i\in I}에 대해, \bigcup_{i\in I} U_i = X일 경우 유한한 부분집합 J\subset I가 존재해서 \bigcup_{i\in J} U_i = X라는 것이다.

이와 동치인 조건으로, 유한 교집합 성질(finite intersection property)을 만족하는 임의의 닫힌 부분집합들의 집합이 공집합이 아닌 교집합을 가지면 그 집합은 컴팩트하다[1]. 이 조건은 위의 열린 집합을 이용한 정의와 서로 쌍대 관계에 있다.

일부 책에서는 컴팩트 집합의 정의에 하우스도르프 조건을 추가하고, 그 조건을 제외한 경우를 "쿼시컴팩트"라고 하기도 한다.

[편집] 컴팩트 공간의 예

  • 공집합.
  • 임의의 유한집합은 어떤 위상이 주어지든 컴팩트하다. 보다 일반적으로, 유한 위상(유한집합의 숫자가 유한개)이 주어진 임의의 위상공간은 컴팩트하다.
  • 닫힌 구간 [0,1]은 컴팩트하다. 이는 하이네-보렐 정리로부터 나오는 결과이다. 반열린 구간 (0,1]의 경우, 이에 대한 열린 덮개 (1 / n,1](n = 1,2,...)가 유한 부분덮개를 갖지 않기에, 컴팩트하지 않다.
  • 임의의 자연수 n에 대해, n차원 구는 컴팩트하다. 하이네-보렐 정리에 의해, 임의의 유한차원 노름벡터공간(normed vector space)의 닫힌 단위공(closed unit ball)은 컴팩트하다. 단, 이는 무한차원 공간에 대해서는 성립하지 않는다.
  • 칸토어 집합은 컴팩트하다. p진 정수의 집합은 칸토어 집합과 위상동형이므로 컴팩트하다.
  • cofinite topology가 주어진 임의의 공간은 컴팩트하다.
  • 임의의 국소컴팩트한 하우스도르프 공간은 한 점을 추가해서 컴팩트 집합으로 만들 수 있는데, 이를 알렉산드로프 한점컴팩트화(Alexandroff-)라고 한다. 직선 \mathbb{R}의 한점컴팩트화는 원 S1과 위상동형이며, 평면 \mathbb{R}^2의 한점컴팩트화는 구 S2와 위상동형이다.
  • 임의의 가환환이나 불 대수(Boolean algebra)의 스펙트럼(spectrum)은 컴팩트하다.
  • 힐베르트입방체는 컴팩트하다.

[편집] 참고자료

  1. 틀:Planetmathref
  • Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology (1978) Springer-Verlag, New York
  • 틀:Planetmathref

틀:Planetmath