대칭군

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수학에서, 집합 X에 대한 대칭군(對稱群, symmetric group)은, SX 또는 Sym(X)로 표현되는 것으로, X에서 X로 가는 모든 전단사함수(일대일 대응함수)의 집합을 기초로 하는 이다. 이 때, 군 연산은 함수들의 합성이다. 즉, 두 함수 fg를 합성하여 새로운 전단사함수 f \circ g를 얻을 수 있다. 이 때, f \circ gX의 모든 원소 x에 대하여 (f \circ g)(x) = f(g(x))인 것으로 정의된다. 이 연산과 함께 SX을 이룬다. 이 연산은 간단히 fg로 쓸 수도 있다.

특별히 중요하게 다루어지는 것은 유한 집합 X = \{1, \cdots, n\}의 경우이다. 이 집합에 대한 대칭군 S_X = S_{\{1, \cdots, n\}}를 간단히 Sn으로 표기한다. Sn의 원소들을 X의 치환(permutation)이라 한다. 모두 n! 가지 치환이 존재한다. Snn \leq 2일 때에 그리고 그 때에만 아벨군이다.