추상대수학

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추상대수학(抽象代數學)은 수학의 한 분야로 대수적 구조(algebraic structure)인 , , 를 연구하는 분야이다. "추상대수학"이라는 용어는 "기초대수학" 또는 "고등학교 대수학"과 구별하기 위한 것으로, 후자는 실수복소수에 관련된 대수적 표현과 공식들을 다루는 정확한 규칙을 가르치는 분야이다.

역사적으로 볼 때, 대수적 구조는 처음에는 수학의 몇몇 다른 영역에서 생겨난 것으로, 공리적으로 상술된 후에서야 추상대수학에서 제자리를 찾아 연구되기 시작하였다. 이 때문에 추상대수학은 수학의 다른 모든 분야와 수많은 관련성을 낳게 되었다.

대수적 구조의 예로 하나의 이항연산을 가진 것에는:

  • 반군(semigroup)
  • 모노이드(monoid) : 단위원(항등원)이 있는 반군
  • 유사군(quasigroup)
  • (group)

더 복잡한 예로는:

  • (ring)과 (field)
  • 가군(module)과 벡터공간(vector space)
  • 결합적 대수(associative algebra)와 리대수(Lie algebra)
  • 격자(lattice)와 불대수(Boolean algebra)

이런 모든 대수적 구조에 공통되는 특성은 범주 이론(category theory)에서 연구된다. 범주 이론은 서로 다른 대수적 구조들을 비교하고 둘 사이의 대응 관계를 연구할 수 있는 형식적 수단을 제공해 준다.

구조와 관련된 수학 표제어
추상대수학 | 보편대수학 | 그래프 이론 | 범주 이론 | 순서론 | 모델 이론 | 구조적 증명 이론
기하학 | 위상수학 | 일반 위상수학 | 대수기하학 | 대수적 위상수학 | 미분기하학
해석학 | 측도론 | 함수해석 | 조화해석