순환군

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수학에서, 순환군은 하나의 원소에 의해 생성될 수 있는 이다. 그 의미는 군이 한 원소 a(이것을 군의 "생성원(generator)"이라고 부른다)를 가지고 있고, 그 군의 모든 원소가 a거듭제곱(power)의 하나라는 것이다. 마찬가지로, 군 G의 한 원소 aG를 생성하는 것은 a를 포함하는 G의 유일한 부분군(subgroup)이 G 자신일 때이다.

[편집] 순환군의 분류

순환군은 사실 완전하게 분류가 되어 있어서, 군론에서 가장 단순한 대상들 중의 하나이다. 임의의 순환군은 다음의 두가지 종류의 순환 군들 중 하나와 반드시 동형이다:

  • Z = \{ \cdots, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}
  • Z/nZ  = \{ \bar{0}, \bar{1}, \cdots, \bar{n-1} \}: 정수들의 집합을 n으로 나눈 나머지들의 집합.

Z / nZ의 경우, 교과서에 따라서는 Z / n 혹은 Zn라고 표기하기도 한다. 그러나 Zn의 경우, n-adic 수와 혼란을 줄 가능성이 있어서 어떤 수학자들은 이 표기에 대해서 동의하지 않기도 한다.

[편집] 특별한 순환군

순환군의 차수, 즉 원소의 개수가 소수개인 경우, 이 군은 단순군이 된다.