피타고라스 수

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

피타고라스의 정리: a2 + b2 = c2
피타고라스의 정리: a2 + b2 = c2

피타고라스 수(Pythagoras 數, pythagorean triple)는 피타고라스의 정리 a2 + b2 = c2 를 만족하는 세 자연수 쌍 (a, b, c) 를 말한다. (3, 4, 5)는 가장 잘 알려진 피타고라스 수이다. (a, b, c)가 피타고라스 수라면 임의의 자연수 k에 대해 (ka, kb, kc) 역시 피타고라수 수가 된다. a, b, c 세 수가 서로소인 피타고라스 수를 원시 피타고라스 수라고 한다. c가 100보다 작은 원시 피타고라스 수는 모두 16 쌍이 있다.

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

임의의 홀수와 그 수를 제곱한 수를 차이가 1 이 되도록 둘로 나눈 두 수, 이렇게 세 개의 수는 피타고라스 수가 된다. 예를 들어,

  • 3의 제곱인 9를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 4 로 5,
  • 5의 제곱 25를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 12 로 13,
  • 7의 제곱 49를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 24 로 25

는 각각 피타고라스 수가 된다.

[편집] 일반해

(a, b, c)가 피타고라스 수이고, 셋의 최대공약수가 d 인 경우에

a = da',\,b = db',\,c = dc'

로 쓸 수 있고, 조건으로부터

d2(a')2 + d2(b')2 = d2(c')2

를 만족하며, 양변을 d2 으로 나누면, (a', b', c')는 원시 피타고라스 수가 되는 것을 알 수 있다.따라서, 모든 피타고라스 수는 원시 피타고라스 수의 배수로부터 얻을 수 있으므로, 피타고라스 수의 일반해는 모든 원시 피타고라스 수를 구하는 것이 된다. 원시 피타고라스 수를 구하는 공식은 잘 알려져 있어서, 자연수 m, n (m > n)에 대해서

\begin{cases}  a = m^2 - n^2\\  b = 2mn\\  c = m^2+n^2 \end{cases}

가 원시 피타고라스 수의 일반해가 된다.