부분집합

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A는 B의 부분집합이다
A는 B의 부분집합이다

부분집합(部分集合)은 어떤 집합의 일부분이 되는 집합을 말한다.

집합 A, B가 있을 때

x ∈ A ⇒ x ∈ B

의 관계가 항상 성립하는 경우 집합 AB의 부분집합이라고 한다. 기호로는 AB로 표기한다.

A = B인 경우에도 A가 B의 부분집합이 성립한다. AB가 같지 않은 경우, 즉 AB이고 AB인 경우에 AB진부분집합이라고 한다. 기호로는 AB로 표기한다.

부분집합을AB로, 진부분집합을 A\subsetneq B로 표시하는 경우도 있다.

[편집]

A = {4,10}
B = {1,4,7,10,13}
이 경우 AB 이다. 나아가 AB 이기 때문에, AB 라고 할 수 있다.

[편집] 정리

다음에서 A,B,C를 집합, S를 전체집합이라 하자.

  • 공집합 Ø은 모든 집합의 부분집합이다.
  • A ⊆ A
  • A ⊆ B 이고, B ⊆ A 이면, A = B이며, 또한 역도 참이다.
  • A ⊆ B 이고, B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다.
  • A ⊆ S
  • A ⊆ (A ∪ B)
  • A ⊆ C 이고, B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C
  • A ∩ B ⊆ A
  • C ⊆ A 이고, C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B)
  • 다음은 동치이다.