정다면체

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정다면체(正多面體)는 볼록 다면체 중에서 모든 면이 합동정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 갯수가 같은 도형을 말한다. 플라톤의 다면체라고도 한다. 정다면체는 아래의 5종류만이 존재한다.

이름 그림 꼭지점 면의 모양 꼭지점의 면 수 대칭군
정사면체 정사면체

(동영상)

4 6 4 3 3 Td
정육면체 정육면체

(동영상)

6 12 8 4 3 Oh
정팔면체 정팔면체
(동영상)
8 12 6 3 4 Oh
정십이면체 정십이면체

(동영상)

12 30 20 5 3 Ih
정이십면체 I정이십면체

(동영상)

20 30 12 3 5 Ih

오로지 다섯개의 정다면체만 존재한다는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다.

  1. 다면체에서 최소한 세 개의 면이 있어야 하나의 꼭지점이 만들어진다.
  2. 이때 각 꼭지각의 합은 360보다 작아야 한다.
  3. 다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같다. 한편 이런 꼭지각이 최소한 세 개로 구성되므로 모든 꼭지각의 크기는 360°/3=120° 보다 작아야 한다.
  4. 내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐이다.
    • 정삼각형: 내각의 크기가 60°이므로, 하나의 꼭지점에 모일 수 있는 삼각형면의 개수는 3개, 4개, 5개이다. 이것은 각각 정사면체, 정팔면체, 정이십면체에 해당한다.
    • 정사각형: 내각의 크기가 90°이므로, 하나의 꼭지점에 모일 수 있는 사각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정육면체에 해당한다.
    • 정오각형: 내각의 크기가 108°이므로, 하나의 꼭지점에 모일 수 있는 오각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정십이면체에 해당한다.