합성곱

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합성곱(영어: convolution)은 하나의 함수와 또 다른 함수를 반전 이동한 값을 곱한 다음 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 수학 연산자이다.

목차

[편집] 정의

그림:Convolution3.PNG
콘벌루션 연산을 설명하는 그래프 먼저 임의의 변수(dummy variable)를 정의한다. (이 경우에는 τ를 정의함) 이제 정의한 변수를 축으로 두 함수의 파형을 그린다. 그 다음으로 두 함수 중 하나를 선택해 τ축에 대해 반전(time-invert)하고 t를 더한다. (어떤 함수를 선택하든지 관계 없다.) 방금 선택한 함수는 τ-축에 대해 앞뒤로 움직일 수 있다. 이때 t 변수의 값이 변화하지만 위 그림에서 파형의 뾰족한 부분은 항상 t-1에 위치해 있다. 이제는 음의 무한대에서 부터 양의 무한대까지 선택한 함수를 이동시키면서 두 함수의 곱의 적분 값을 찾는다. 이 결과를 파형으로 표시한 것이 바로 두 함수의 콘벌루션이다. (위 그림에는 표시하지 않았다.)

두 개의 함수 f\,g\,가 있을 때, 두 함수의 콘벌루션을 수학 기호로는 f * g \,와 같이 표시한다.

콘벌루션 연산은 두 함수 f, g 가운데 하나의 함수를 반전(reverse), 천이(shift)시킨 다음, 다른 하나의 함수와 곱한 결과를 적분하는 것을 의미한다. 이를 수학 기호로 표시하면 다음과 같다.

(f  * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau

또한 g 함수 대신에 f 함수를 반전, 천이 시키는 경우 다음과 같이 표시할 수도 있다. 이 두 연산은 형태는 다르지만 같은 결과값을 갖는다.

(f  * g )(t) = \int f(t - \tau) g(\tau)\, d\tau

위의 적분에서 적분 구간은 함수 f와 g가 정의된 범위에 따라서 달라진다.

또한 두 확률 변수 XY가 있을 때 각각의 확률 밀도 함수를 fg라고 하면, X+Y의 확률 밀도 함수는 f * g \,로 표시할 수 있다.

[편집] 이산 합성곱

이산 함수의 경우, 콘벌루션을 다음과 같이 정의 한다.

(f  * g)(m) = \sum_n {f(n) g(m - n)} \,

두개의 다항식을 곱한 결과식의 계수는 원래 다항식의 계수들의 콘벌루션으로 나타낼 수 있다.

[편집] 특성

[편집] 교환 법칙

f * g = g * f \,

[편집] 결합 법칙

f  * (g  * h) = (f  * g)  * h \,

[편집] 분배 법칙

f  * (g + h) = (f  * g) + (f  * h) \,

[편집] 스칼라 곱의 결합 법칙

실수 혹은 복소수 값 a에 대해서

a (f  * g) = (a f)  * g = f  * (a g) \,

[편집] 미분 법칙

\mathcal{D}(f  * g) = \mathcal{D}f  * g = f  * \mathcal{D}g \,

\mathcal{D}f는 함수 f의 미분 값을 나타낸다. 또는 이산 함수에서 미분 연산자\mathcal{D}f(n) = f(n+1) - f(n)를 나타낸다.

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