코시-슈바르츠 부등식
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코시-슈바르츠 부등식은 오귀스탱 루이 코시가 만들고 카를 헤르만 아만더스 슈바르츠가 덧붙인 중요한 절대부등식이다. 이 부등식은 선형대수학에서는 벡터를 다룰 때, 해석학에서는 무한 급수에서, 확률론에서는 분산과 공분산을 다룰 때와 같이 여러 상황에서 사용된다.
이 부등식은 x와 y가 실수나 복소수 내적 공간의 원소일 때 다음이 성립함을 나타낸다.
등호가 성립하는 것은 x와 y가 일차 종속인 경우와 동치이다. 또한, x나 y가 n차원 공간 벡터인 경우에 ,
라고 하면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
n=2인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있다.
삼각 부등식과 베셀 부등식은 보통 코시-슈바르츠 부등식으로부터 유도될 수 있다.
[편집] 증명
y = 0일 경우 부등식이 성립한다는 것이 자명하므로, 를 0이 아니라고 가정할 수 있다. λ를 복소수라 하면,
로 하여 정리하면,
양변에 을 곱해서 정리하면 위의 식은 다음과 동치이다.