라플라스 방정식

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라플라스 방정식(Laplace's equation)은 특히 전자기학천문학등 여러 과학분야에서 중요한 편미분 방정식으로, 최초로 발견한 프랑스의 수학자 라플라스의 이름을 따 명명되었다. 전기장과 중력 포텐셜을 기술하는 데 중요하다.

목차

[편집] 정의

다음 조건을 만족하는 삼차원 공간의 2번 미분가능한 실함수 φ(x,y,z)를 찾는다.

{\partial^2 \over \partial x^2 }\phi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial y^2 }\phi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial z^2 }\phi(x,y,z) = 0

이를 또한

\nabla^2 \phi = 0

혹은

Δφ = 0.

와 같이 표기하기도 한다.

위 식의 우변이 어떤 함수 f(x,y,z)로 주어질 때, 즉,

Δφ = f

일 때는, 방정식은 푸아송 방정식이라고 한다. 편미분 연산자 \nabla^2 혹은 Δ(이 연산자는 또한 3차원 뿐 아닌 임의의 차원에서 정의된다.)은 라플라스 연산자혹은 라플라시안(Laplacian)이라고도 불린다.

[편집] 경계 조건

라플라스 방정식의 디리클레 문제(Dirichlet problem)란 어떤 영역 D의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 D위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

라플라스 방정식의 노이만 경계 조건(Neumann boundary condition)은 경계 D에서 함수 \varphi 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는데 사용한다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

[편집] 2차원 라플라스 방정식

2차원에서 라플라스 방정식은

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0

의 형태로 나타난다.

[편집] 해석적 함수

복소 범위의 해석적 함수 f의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. z = x + iy이고

f(z) = u(x,y) + iv(x + y)

라 하자. f(z)가 해석적이려면

ux = vy,vx = − uy

를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서

uyy = ( − vx)y = − (vy)x = − (ux)x

이다. 따라서 u 는 라플라스 방정식을 만족한다. v도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.


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