레일리 분포

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레일리분포
확률밀도함수
Plot of the Rayleigh PDF
누적분포함수
Plot of the Rayleigh CDF
매개변수 \sigma>0\,
받침 x\in [0;\infty)
pdf \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}
cdf 1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)
기대값 \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}
중앙값 \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
최빈값 \sigma\,
분산 \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2
왜도 \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}
첨도 -\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}
엔트로피 1+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma^3}\right)+\frac{\gamma}{2}
mgf 1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)
특성함수 {{{특성함수}}}

레일리 분포(Rayleigh distribution)는 확률론통계학에서 연속 확률 분포의 한 종류이다. 흔히 2차원 벡터의 직교 성분이 정규 분포일 경우, 벡터의 크기는 레일리 분포를 갖는다. 예를 들어 바람을 2차원 벡터로 나타냈을 때, 직교 성분이 정규 분포이면, 바람의 속력은 레일리 분포를 따른다. 실수부와 허수부가 독립적으로 정규 분포를 따르는 복소수가 있다면, 복소수의 절대값이 레일리 분포를 나타낸다.

레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}

\textrm{erfi}(z)\가 복소오차 함수라고 할 때, 특성 함수는 다음과 같다.

\varphi(t)=
1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

\textrm{erf}(z)\오차 함수일 때, 모멘트생성 함수는 다음과 같다.

M(t)=\,
1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)

Γ(z)감마 함수일 때, 원적률은 다음과 같다.

\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,

모멘트를 이용하면 평균, 분산, 왜도, 첨도 등을 구할 수 있다.

[편집] 모수 추정

σ 매개변수의 최대우도 추정공식은 다음과 같다.

\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}

[편집] 다른 확률 분포

  • X˜N(0,σ2)Y˜N(0,σ2)가 서로 독립인 정규 분포일 때 R = \sqrt{X^2 + Y^2}는 레일리 분포 R˜Rayleigh(σ2)이다.
  • R˜Rayleigh(1)이면 R2은 자유도가 2인 카이 제곱 분포이다. R^2 \sim \chi^2_2
  • X가 지수 분포 X˜Exponential(x | λ)이면, Y=\sqrt{2X\sigma\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma)이다.
  • 카이 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.
  • 라이스 분포는 레일리 분포를 일반화 한 것이다.
  • Weibull 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.

[편집] 같이 보기