크래머 공식

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크래머 공식(Cramer's rule)은 선형연립방정식의 해를 행렬식으로 표현하는 선형대수학의 정리(theorem)이다.

방정식이 많은 경우의 실제 해의 계산에 있어서는 그리 유용하지 않지만, 연립방정식의 해를 구체적으로 표현하기 때문에 이론의 전개에 유용하다.

이름은 가브리엘 크래머(Gabriel Cramer) (1704 - 1752)에게서 유래한다.

연립방정식이 다음과 같은 행렬간의 곱으로 표현될 때.

Ax = c

식에서 정사각행렬(square matrix) A는 역행렬을 갖고, 벡터 x(xi)를, 벡터 c(ci)를 성분으로 갖는 열벡터이다.

정리는 다음과 같다.

x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}

식에서 AiA의 i번째 열을 열벡터c로 대체한 행렬을 가르킨다.

[편집]

2x2 행렬에서 공식을 적용해 보면,

주어진 연립방정식이 다음과 같을 때,

ax + by = e
cx + dy = f,

이 식은

\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}

로 쓸 수 있으며, 공식을 적용하면,

x = { \begin{vmatrix}e&b\\ f&d\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}} = { ed - bf \over ad - bc}
y = { \begin{vmatrix}a&e\\ c&f\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}} = { af - ec \over ad - bc}

이 된다.