0으로 나누기

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0으로 나누기는 잘못된 나눗셈으로, x÷0과 같은 형태의 수식은 전혀 의미가 없다. 이것은 수학자들이 답을 구하지 못하고 있는 미해결 문제도 아니며, 수학자들이 연구하기를 두려워하는 금기 사항도 아니다. 특수한 경우, 이론 전개의 편의상 제한적인 형태로 x÷0와 같은 형태를 다루기도 하나, 이것이 0으로 어떤 수를 나눌 수 있다는 뜻은 아니다.

[편집] 개요

나눗셈이란 곱셈에 대한 역수를 찾아 곱하는 과정이다. 곱셈에 대한 항등원이 1이므로, 어떤 수를 0으로 나누기 위해서는 곱하여 1이 나오는 수를 찾아야 한다. 그러나 0에는 어떤 수를 곱하여도 그 결과가 항상 0이기 때문에 0은 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않고, 따라서 0으로 나누는 것은 불가능하다.

어떤 수를 0으로 나누는 것은 불가능하지만, 0을 0 아닌 수로 나누는 것은 가능하다. 0 아닌 수로 나누는 것은 그 수의 역수를 곱하는 것이고, 0에 어떤 수를 곱해도 0이 되므로, 0을 0 아닌 수로 나눈 결과는 언제나 0이 된다.

[편집] 극한

0으로 나누기와 관련된 오류는 대부분 실제 계산과 극한을 혼동하는 데서 나타난다.

흔히 \frac{1}{0}=\infty라고 하는 것은 실제로는 \lim_{x\to+0}\frac{1}{x}=\infty를 형식적으로 나타낸 것이다. \frac{1}{0}은 명백히 오류지만, \lim_{x\to+0}\frac{1}{x}은 0보다 크면서 0으로 수렴하는 수열에 대한 것이므로 0으로 나누기와는 다르다.

이와 비슷한 식인 \frac{1}{\infty}=0도 무한대(\infty)가 수가 아니므로 수식으로는 무의미하다. 이 식은 극한에 대한 식인 \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0를 형식적으로 나타낸 것에 불과하다.