거듭제곱
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거듭제곱은 이항 연산자로, 한 숫자를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 an으로 표기하며, 이때 a를 밑, n을 지수라고 한다.
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[편집] 정의
[편집] 자연수
자연수 n에 대해, 거듭제곱 an은 다음과 같이 정의된다.
이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.
- a1 = a
다음과 같은 정의도 가능하다.
- a1 = a
[편집] 정수
n이 음의 정수인 경우에는 다음과 같이 정의한다.
그리고 이 경우에도 이 성립하려면
이 성립해야 하고, 따라서 a0는 다음과 같이 정의한다.
- a0 = 1
[편집] 유리수
유리수 q에 대해 라고 하면,
이 성립해야 한다. 따라서, 유리수 범위의 거듭제곱은 다음과 같이 정의한다.
[편집] 실수
실수 x에 대해, e를 밑으로 하는 거듭제곱은 지수 함수로 정의된다.
또한, 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.
일반적인 실수에 대해서는 다음과 같이 정의한다.
- ax = exlna
[편집] 복소수
x가 실수일 때, 허수단위 i를 포함하는 거듭제곱은 다음과 같다.
- eix = cosx + isinx
이 식은 오일러 공식으로도 부르며, 이 식에 따라 eiπ = − 1가 성립한다.
이에 따라서, 복소수 z = a + bi일때 ez는 다음과 같이 구할 수 있다.
- ez = ea + bi = eaebi = ea(cosb + isinb)