베셀 함수

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

α = 0,1,2일 때 Jα(x)의 그래프
α = 0,1,2일 때 Jα(x)의 그래프
α = 0,1,2일 때 Yα(x)의 그래프
α = 0,1,2일 때 Yα(x)의 그래프

베셀 함수(Bessel function)는 프레드리히 베셀의 이름을 따서 만들어진 함수로, 다음의 미분 방정식의 해 y(x)를 말한다.

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

이때 α는 임의의 실수이다.

[편집] 제 1종 베셀 함수

위의 미분 방정식의 최고차항은 2차이므로, 이 방정식에는 두 개의 선형 독립인 해가 존재한다. 이때 다음의 해를 제 1종 베셀 함수로 정의한다.

J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

이때 만약 α정수가 아니라면, J − α(x)Jα(x)와 선형 독립이면서 미분방정식의 해가 된다.

[편집] 제 2종 베셀 함수

만약 α가 정수이면 J − α(x) = ( − 1)αJα(x)에서 이 두 함수는 독립이 아니게 된다. 따라서 방정식의 해가 되는 다른 함수가 필요하고, 이것을 제 2종 베셀 함수라고 한다.

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},