해밀토니안 역학
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해밀토니안(Hamiltonian)은 입자나 장(場)의 계(系)의 에너지를 좌표와 운동량으로 표현한 것 또는 양자역학의 에너지연산자를 말한다. 뒤의 것은 해밀턴연산자라고도 한다.
여기서 좌표 q는 대상으로 하는 계의 운동을 나타내는 한 임의로 선택할 수 있고, 운동량 p는 이에 따라 정해진다. 이와 같이 좌표와 운동량이 특별한 관계를 가지며, 이 관계를 정준공액, 이 경우의 좌표와 운동량을 정준켤례인 역학변수라 한다. 따라서 해밀토니안은 정준공액인 역학변수로 에너지를 표현한 것이다.
당초 고전역학에서는 T를 운동에너지, V를 위치에너지로 전에너지 H를
로 일반좌표 q, 일반운동량 p 에 따라 표시하는 함수였다. 식에서 t는 시간을 나타낸다.
[편집] 고전역학의 해석
고전적인 해석역학에서는 라그랑주 방정식에서
로 부터 dL 은
로 나타내 진다. 여기서 H를 생각하여,
라고 변환(르장드르 변환:변수(q, dq/dt) → 변수(q, p) ,함수 L → 함수 H)하는 것으로 해밀토니안이 도출된다. 여기서,
이 된다. 이 dH 의 식에서 해밀톤 정준방정식이 나온다.
대상이 되는 계에 대해 여러 좌표계를 사용할 수 있다. 예를 들면, 중심력장 문제에서는 극좌표계로 기술하는 경우가 많다. 극좌표로 기술하는 편이 직교좌표계 등을 쓰는 것 보다 문제를 풀기가 간단하기 때문이다.