라플라스 방정식
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라플라스 방정식(Laplace's equation)은 특히 전자기학과 천문학등 여러 과학분야에서 중요한 편미분 방정식으로, 최초로 발견한 프랑스의 수학자 라플라스의 이름을 따 명명되었다. 전기장과 중력 포텐셜을 기술하는 데 중요하다.
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[편집] 정의
다음 조건을 만족하는 삼차원 공간의 2번 미분가능한 실함수 φ(x,y,z)를 찾는다.
이를 또한
혹은
- Δφ = 0.
와 같이 표기하기도 한다.
위 식의 우변이 어떤 함수 f(x,y,z)로 주어질 때, 즉,
- Δφ = f
일 때는, 방정식은 푸아송 방정식이라고 한다. 편미분 연산자 혹은 Δ(이 연산자는 또한 3차원 뿐 아닌 임의의 차원에서 정의된다.)은 라플라스 연산자혹은 라플라시안(Laplacian)이라고도 불린다.
[편집] 경계 조건
라플라스 방정식의 디리클레 문제(Dirichlet problem)란 어떤 영역 D의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 D위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.
라플라스 방정식의 노이만 경계 조건(Neumann boundary condition)은 경계 D에서 함수 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는데 사용한다.
라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.
[편집] 2차원 라플라스 방정식
2차원에서 라플라스 방정식은
의 형태로 나타난다.
[편집] 해석적 함수
복소 범위의 해석적 함수 f의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. z = x + iy이고
- f(z) = u(x,y) + iv(x + y)
라 하자. f(z)가 해석적이려면
- ux = vy,vx = − uy
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서
- uyy = ( − vx)y = − (vy)x = − (ux)x
이다. 따라서 u 는 라플라스 방정식을 만족한다. v도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.
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