Sekos riba
Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Skaičių sekos riba vadinama vertė, prie kurios artėja sekos narių vertės, tolstant į begalybę. Pavyzdžiui, turime seką:
Jokio sekos nario vertė nėra lygi nuliui, tačiau, kuo narys tolimesnis sekoje, tuo jo vertė artimesnė nuliui. Intuityviai suvokiame, kad sekos nariai artėja į nulį.
Tačiau toks apibrėžimas nėra tikslus ir tinkamas naudoti matematikoje. Griežtesnis apibrėžimas yra toks:
- Jei Nepavyko apdoroti (nežinoma klaida): \forall \varepsilon > 0 \; \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n – a| < \varepsilon
, tai skaičių a vadiname sekos riba. Jei tokio skaičiaus nėra – seka ribos neturi.
Kitaip tariant, jeigu egzistuoja toks sekos narys aN, nuo kurio pradedant, skirtumas tarp visų tolimesnių narių ir kažkokio skaičiaus a yra mažesnis, nei kažkoks iš anksto nustatytas skaičius (jis gali būti kiek norima mažas), tai sakome, kad a yra šios sekos riba. Iš esmės šis apibrėžimas atitinka mūsų natūralų suvokimą apie sekos ribą.
Jei seka turi ribą, tai sakome, kad seka konverguoja, kitu atveju – diverguoja.
Sekos ribą žymime:
Čia reiškia ribą,
yra simbolinis žymėjimas, kad eilės numeris n tolsta į begalybę, o an yra n-tasis, t.y. bendrasis sekos narys.
Turinys |
[taisyti] Dalinės ribos
Jei seka {xn} turi konverguojantį posekį {xnk}, šio posekio riba vadinama daline riba. Didžiausia sekos {xn} dalinė riba vadinama sekos viršutiniąja riba (žymima arba lim sup xn). Mažiausia sekos dalinė riba – apatinioji riba (
arba lim inf xn).
Pavyzdžiui, seka xn = {( − 1)n} neturi ribos, tačiau turi du konverguojančius posekius:
ir
[taisyti] Koši kriterijus
Augustinas Koši suformulavo kriterijų, kurį tenkinančios sekos vadinamos Koši sekomis:
- Seka {xn} yra Koši seka, jei Nepavyko apdoroti (nežinoma klaida): \forall \varepsilon > 0 \; \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \forall n>m>N : |x_n – x_m| < \varepsilon
.
Koši kriterijus yra būtina ir pakankama sekos konvergavimo sąlyga – visos konverguojančios sekos yra Koši sekos ir atvirkščiai.
[taisyti] Ribų savybės
Tegul ir
, tada galime atlikti tokius veiksmus:
(Jei
)
[taisyti] Skaičiavimas
Skaičiuodami ribas pasiremiame jų savybėmis ir keliomis elementariausiomis ribomis:
ir t.t. Dažnai ribos ženklas nerašomas, o rašoma tiesiog, pvz.: . Toks užrašas suprantamas ne kaip lygybė, o kaip riba.
Ieškodami ribų galime tiesiog įrašyti begalybę vietoj n, tačiau dažniausiai gauname neapibrėžtumą, kurį ir reikia pašalinti, pvz.:
[taisyti] Skaičius e
Nepaprastai svarbi matematikoje yra tokia riba:
Ši vertė, vadinama skaičiumi e, yra viena svarbiausių matematinių konstantų.
[taisyti] Pavyzdžiai
- Seka
diverguoja, t.y. ribos neturi.
[taisyti] Susiję straipsniai
- Neapibrėžtumas
- Liopitalio taisyklė
- Skaičius e
- Funkcijos riba