Trapecija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

1 pav.
1 pav.

Trapecija vadinamas keturkampis, kurio dvi priešingosios kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nelygiagrečios. Tas lygiagrečias kraštines vadiname trapecijos pagrindais, kitas dvi kraštines vadiname šoninėmis kraštinėmis. 1 pav. pavaizduotos trapecijos kraštinės BC ir AD – trapecijos pagrindai, AB ir CD – trapecijos šoninės kraštinės. Iš taškų B ir C nuleisti statmenys BK ir CL vadinami trapecijos aukštine. Atkarpą, kuri jungia šoninių kraštinių vidurio taškus, vadiname trapecijos vidurio linija. 1 pav. pavaizduotos trapecijos vidurio linija yra EF.

Turinys

[taisyti] Trapecijų rūšys

[taisyti] Lygiašonė trapecija

2 pav. Lygiašonė trapecija
2 pav. Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios, vadinama lygiašonė. 2 pav. pavaizduota trapecija ABCD yra lygiašonė, nes AB=CD. Lygiašonės trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs: \angle A=\angle D,\angle B= \angle C

[taisyti] Stačioji trapecija

Trapecija, kurios viena šoninė kraštinė statmena pagrindui vadinama stačiąja. 3 pav. pavaizduota stačioji trapecija ABCD, kurios BA\perp AD

3 pav. Stačioji trapecija
3 pav. Stačioji trapecija

[taisyti] Trapecijos savybės

  • Keturkampis yra trapecija tada ir tik tada, jei yra bent viena pora greta esančių kampų, kurių suma lygi 180°.
  • Kita būtina ir pakankama sąlyga yra jog įstrižainės dalija viena kitą tuo pačiu santykiu. Šis santykis toks pats kaip ir tarp pagrindų ilgių.
  • Linija, išvesta per šoninių kraštinių vidurio taškus (vidurinė linija) yra lygiagreti pagrindams. Jos ilgis yra pagrindų ilgių aritmetinis vidurkis.

[taisyti] Trapecijos elementų žymėjimas

4 pav. pavaizduoti visi pagrindiniai trapecijos elementai. AB=b, DC=a – trapecijos ABCD pagrindai; DA=d, BC=c – trapecijos šoninės kraštinės; GH=m – trapecijos vidurio linija; EF – atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagreti pagrindams; AK=h – aukštinė; BD=d1,AC=d2 – trapecijos įstrižainės; φ – kampas tarp įstrižainių.

4 pav. Trapecijos elementai
4 pav. Trapecijos elementai

[taisyti] Trapecijos vidurio linija, perimetras, plotas

Pastaba: Visos žemiau pateiktos formulės remiasi 4 pav. žymėjimais (žr. Trapecijos elementų žymėjimas). Trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei:

m\|\;a, m\|\; b; m=\frac{a+b}{2}\;

Trapecijos įstrižainių radimas:

d_1=ab+\frac{d^2a-c^2b}{a-b}\;; d_2=ab+\frac{c^2a-d^2b}{a-b}\;

Atkarpos lygiagrečios pagrindams ir einančios per įstrižainių susikirtimo tašką radimas:

EF=\frac{2ab}{a+b}\;

Trapecijos perimetras ir pusperimetris:

P=a+b+c+d\;; p=\frac{a+b+c+d}{2}

Trapecijos plotas lygus vidurinės linijos ir aukštinės sandaugai:

S=mh\;,

Trapecijos plotas lygus jos pagrindų sumos ir aukštinės sandaugos pusei.

S= \frac{(a+b)}{2} h,

čia a ir b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, h – aukštinė. Kitaip tariant (žr. savybes) jis lygus vidurinės linijos ir aukštinės ilgių sandaugai.

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c,d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų pusei:

S=\frac{1}{2}\;d_1d_2\;\sin\varphi\;