Sekos riba

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Skaičių sekos riba vadinama vertė, prie kurios artėja sekos narių vertės, tolstant į begalybę. Pavyzdžiui, turime seką:

\lbrace \; \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots, \frac{1}{n}, \dots \; \rbrace

Jokio sekos nario vertė nėra lygi nuliui, tačiau, kuo narys tolimesnis sekoje, tuo jo vertė artimesnė nuliui. Intuityviai suvokiame, kad sekos nariai artėja į nulį.

Tačiau toks apibrėžimas nėra tikslus ir tinkamas naudoti matematikoje. Griežtesnis apibrėžimas yra toks:

Jei Nepavyko apdoroti (nežinoma klaida): \forall \varepsilon > 0 \; \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n – a| < \varepsilon

, tai skaičių a vadiname sekos riba. Jei tokio skaičiaus nėra – seka ribos neturi.

Kitaip tariant, jeigu egzistuoja toks sekos narys aN, nuo kurio pradedant, skirtumas tarp visų tolimesnių narių ir kažkokio skaičiaus a yra mažesnis, nei kažkoks iš anksto nustatytas skaičius (jis gali būti kiek norima mažas), tai sakome, kad a yra šios sekos riba. Iš esmės šis apibrėžimas atitinka mūsų natūralų suvokimą apie sekos ribą.

Jei seka turi ribą, tai sakome, kad seka konverguoja, kitu atveju – diverguoja.

Sekos ribą žymime:

\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L

Čia \lim reiškia ribą, n \rightarrow \infty yra simbolinis žymėjimas, kad eilės numeris n tolsta į begalybę, o an yra n-tasis, t.y. bendrasis sekos narys.

Turinys

[taisyti] Dalinės ribos

Jei seka {xn} turi konverguojantį posekį {xnk}, šio posekio riba vadinama daline riba. Didžiausia sekos {xn} dalinė riba vadinama sekos viršutiniąja riba (žymima \underline{lim}_{n \to \infty} x_n arba lim sup xn). Mažiausia sekos dalinė riba – apatinioji riba (\overline{lim}_{n \to \infty} x_n arba lim inf xn).

Pavyzdžiui, seka xn = {( − 1)n} neturi ribos, tačiau turi du konverguojančius posekius:

  • x_{2n} = \lbrace (-1)^{2n} \rbrace \to 1 ir
  • x_{2n+1} = \lbrace (-1)^{2n+1} \rbrace \to -1

[taisyti] Koši kriterijus

Augustinas Koši suformulavo kriterijų, kurį tenkinančios sekos vadinamos Koši sekomis:

Seka {xn} yra Koši seka, jei Nepavyko apdoroti (nežinoma klaida): \forall \varepsilon > 0 \; \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \forall n>m>N : |x_n – x_m| < \varepsilon

.

Koši kriterijus yra būtina ir pakankama sekos konvergavimo sąlyga – visos konverguojančios sekos yra Koši sekos ir atvirkščiai.

[taisyti] Ribų savybės

Tegul \lim_{n \to \infty} x_n = L_1 ir \lim_{n \to \infty}y_n = L_2, tada galime atlikti tokius veiksmus:

  • \lim_{n \to \infty}(x_n+y_n) = L_1 + L_2
  • \lim_{n \to \infty}(x_ny_n) = L_1L_2
  • \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{L_1}{L_2} (Jei L_2 \ne 0)

[taisyti] Skaičiavimas

Skaičiuodami ribas pasiremiame jų savybėmis ir keliomis elementariausiomis ribomis:

  • \lim_{n \rightarrow \infty} n = \infty
  • \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0
  • \lim_{n \rightarrow \infty} a^n = \infty
  • \lim_{n \rightarrow \infty} a^\frac{1}{n} = 1

ir t.t. Dažnai ribos ženklas nerašomas, o rašoma tiesiog, pvz.: \frac{1}{\infty} = 0. Toks užrašas suprantamas ne kaip lygybė, o kaip riba.

Ieškodami ribų galime tiesiog įrašyti begalybę vietoj n, tačiau dažniausiai gauname neapibrėžtumą, kurį ir reikia pašalinti, pvz.:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n - 1}{n} = \frac{\infty}{\infty} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{1} = 2 - \frac{1}{\infty} = 2.

[taisyti] Skaičius e

Nepaprastai svarbi matematikoje yra tokia riba:

\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \equiv \mathsf{e}.

Ši vertė, vadinama skaičiumi e, yra viena svarbiausių matematinių konstantų.

[taisyti] Pavyzdžiai

  • \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n(n+2)} \right)^n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n(n+2)} \right)^{n(n+2) \left( \frac{n}{n(n+2)} \right) } = \lim_{n \rightarrow \infty} \mathsf{e}^{ \frac{n}{n(n+2)} } = \mathsf{e}^{ \frac{1}{\infty} } = 1.
  • \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 + 4n - 5}{n^2-1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 \left( 1 + \frac{4}{n} - \frac{5}{n^2} \right) }{n^2 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) } = \frac{1 + \frac{4}{\infty} - \frac{5}{\infty}}{1 - \frac{1}{\infty} } = 1.
  • Seka \lbrace \; -1, 1, -1, 1, \dots, (-1)^n, \dots \; \rbrace diverguoja, t.y. ribos neturi.

[taisyti] Susiję straipsniai

  • Neapibrėžtumas
  • Liopitalio taisyklė
  • Skaičius e
  • Funkcijos riba