Naudotojas:Inyuki/TestQuestion
Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
1 žingsnis: Parašykime atsakymą apie skaidymą
Racionaliųjų trupmenų išskaidymas paprasčiausiomis racionaliosiomis trupmenomis remiasi algebros teorema, ir vadinasi neapibrėžtinių koeficientų metodu.
Teorema: Jei - taisyklingoji racionalioji trupmena, kurios vardiklis išskaidytas taip:
,
tai ją galima išreikšti paprasčiausių trupmenų suma:
;
kur ,
α - realioji nekartotinė polinomo Q(x) šaknis.
β - n-tojo kartotinumo realioji šaknis
p,q - kvadratinių trinarių, turinčių jungtinių kompleksinių šaknų nekartotinę porą, koeficientai.
r,s - kvadratinio trinario, turinčio k-tojo kartotinumo jungtinių kompleksinių šaknų porą, koeficientai.
A,B1,...,Bn,C,D,M1,N1,...,Mk,Nk koeficientai gaunami subendravardiklinus lygybės (po ) dešinėje pusėje esančius narius.
Tuomet skaitiklyje gauname lygybę, kurią išskaidome į tiek lygčių, kiek skirtingų koeficientų yra, taip, kad kiekvienoje lygtyje būtų tik to paties laipsnio nežinomieji.
Ją išsprendę gauname koeficientus.
2 žingsnis: užrašome paprasčiausiųjų trupmenų (jų yra keturios) integralų integravimą:
I.
II.
III.
- Išsikeliam skaitiklyje
už skliaustelių
- Pridedam ir atimam p skliausteliuose
- Dalinai atskliaudžiam palikdami skliausteliuose 2x + p
- Pritaikome tiesiškumo savybę
- Pirmąjį gautų integralų integruojam tiesiogiai (--> po dx)
- Antrame gautų integralų, skaitinį daugiklį išsikėlę prieš integralo ženklą, vardiklio pirmojo laipsnio nario daugiklį padalinam ir padauginam iš 2
- Vardiklyje pridedam ir atimam po
- Vardiklyje užsirašom primų trijų narių sumą kaip dvinario kvadratą, o likusius narius apskliaudžiame taip, kad vardiklyje būtų dviejų apskliaustų narių suma
- Dvinario kvadrato turinį pasižymime raide t (darome kintamųjų keitimą)
- Likusius narius kituose skliausteliuose pasižymime b2
- Pritaikome 11 formulę
- Grįžtame prie kintamųjų
- Gauta išraiška dar susiprastintų, jei dvejetą iškeltume iš po arctg ženklo
Rezultatas turėtų būti
IV.
A žingsnis
Analogiškai kaip III,
- Išsikeliam skaitiklyje
- Pridedam ir atimam p skliausteliuose
- Dalinai atskliaudžiam reiškinį
- Išskaidome per sumos ženklą į du integralus [1] ir [2]
- [1] integrale kišma tokį kaip vardiklio reiškinį po dx
- [2] integrale išsikeliam skaitiklį iš po integralo ženklo
- [2] integralo vardiklyje pridedam ir atimam
- [2] integralo vardiklyje užsirašom dvinario kvadratą, kas lieka, apskliaudžiam sudarydami dviejų apskliaustų reiškinių sumą
- [2] integrale padarom kintamojo keitimą pasižymėdami t raide dvinarį, kuris pakeltas kvadratu
- [2] integralo likusį (apskliaustų konstantų) skirtumą pasižymim b2
- Tada, [1] integralo pointegralinę funkciją užsirašom su neigiamu laipsniu
- [1] integralui pritaikome 2 integravimo forumlę
- [1] integrale skaitiklį nuleidžiam į vardiklį pakeisdami laipsnio ženklą
- [1] sudauginam su
skaičiumi
Operacijos su likusiu nesuintegruotu integralu:
- Ik raidei prilyginame A žingsnyje likusio nesuintegruoto integralo pradinę formą (prieš kintamųjų keitimą)
- Pasirašom gautą formą po kintamųjų keitimo bei pasižymėjimų t bei b2
- Skaitiklyje užsirašom vienetą 1 kaip
- Išsikeliam iš po integralo ženklo daugiklį
- Skaitiklyje pridedam ir atimam t2
- Apskliaudžiam gautą sumą (lieka skirtumas)
- Pagal tiesiškumo savybę per minuso ženklą užsirašom į du integralus [1] ir [2] kaip dviejų integralų skirtumą
- Atskliaudžiam gautąjį skirtumą sudaugindami su anksčiau išsikeltu daugikliu
- [1] integralo skaitiklį suprastiname su vardikliu
Operacijos su [2] integralu
- Pradedame integruoti dalimis, u prilyginame t
- randame u diferencialą du ieškodami išvestinės, jis lygus dt
- Pagal integravimą dalimis, dv prilyginame likusiam reiškiniui.
Integravimas dalimis
- Pasirašome integralo ženklą prie reiškinio v =
- Kišam t2 po diferencialo ženklu (turėsime visą reiškinį padauginti iš
- Po diferencialo ženklu pasirašom + b2
- Pointegralinę funkciją persitvarkom į su neigiamu laipsniu..
- Minusą išsikeliam pasirašydami (k − 1)
- Pritaikom 2 integravimo formulę
- Paliekam skaitiklyje tik 1 (prirašom minuso ženklą prieš laipnsį)
- Užsirašom vėl, kad Ik lygu tam reiškiniu su t ir b2
Toliau,
- Užsirašom viską vėl, tik tą vieną kartą dalimis suintegruotą integralą įsirašom atgal į skliaustus.
- Išsikeliam konstantas po integralo, gauto integruojant dalimis, ...
- (1 − k) pasikeičiam į (k − 1) ir iškeliam minuso ženklą
Finally,
- Identifikuojam, kam lygios Ik ir Ik − 1 dalys
- Persirašom viską pakeitę atitinkamas dalis į trumpus užrašus Ik ir Ik − 1
- Sutraukiame Ik − 1 panašiuosius narius (sudedame subendravardiklindami)
Gauname Rekurentinę formulę:
Parašome: "Vadinasi, integralo apskaičiavimas pakeičiamas integralo
apskaičiavimu. Būtent, kai k = 1, iš funkcijų su turinčių kvadratinį trinarį integravimo turime, kad
, kai 4ca − b2 > 0
Iš to pagal rekurentinę formulę galime gauti iš rekurentinės formulės.
KAIP?