Naudotojas:Inyuki/TestQuestion

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

1 žingsnis: Parašykime atsakymą apie skaidymą

Racionaliųjų trupmenų išskaidymas paprasčiausiomis racionaliosiomis trupmenomis remiasi algebros teorema, ir vadinasi neapibrėžtinių koeficientų metodu.

Teorema: Jei \frac{P(x)}{Q(x)} - taisyklingoji racionalioji trupmena, kurios vardiklis išskaidytas taip:

Q(x)=(x-\alpha)\cdots(x-\beta)^{n}\cdots(x^{2}+px+q)\cdots(x^{2}+rx+s)^{k},

tai ją galima išreikšti paprasčiausių trupmenų suma:

\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A}{x-\alpha}+\cdots+\frac{B_{n}}{(x-\beta)^{n}}+\frac{B_{n-1}}{(x-\beta)^{n-1}}+\cdots+\frac{B_{1}}{x-\beta}+\cdots+\frac{Cx+D}{x^{2}+px+q}+\cdots+

+\frac{M_{k}x+N_{k}}{(x^{2}+rx+s)^{k}}+\frac{M_{k-1}x+N_{k-1}}{(x^{2}+rx+s)^{k-1}}+\cdots+\frac{M_{1}x+N_{1}}{x^{2}+rx+s};

kur A,B_{1},...,B_{n},C,D,M_{1},N_{1},...,M_{k},N_{k} \in \Bbb{R},

α - realioji nekartotinė polinomo Q(x) šaknis.

β - n-tojo kartotinumo realioji šaknis

p,q - kvadratinių trinarių, turinčių jungtinių kompleksinių šaknų nekartotinę porą, koeficientai.

r,s - kvadratinio trinario, turinčio k-tojo kartotinumo jungtinių kompleksinių šaknų porą, koeficientai.

A,B1,...,Bn,C,D,M1,N1,...,Mk,Nk koeficientai gaunami subendravardiklinus lygybės (po \frac{P(x)}{Q(x)}=) dešinėje pusėje esančius narius.

Tuomet skaitiklyje gauname lygybę, kurią išskaidome į tiek lygčių, kiek skirtingų koeficientų yra, taip, kad kiekvienoje lygtyje būtų tik to paties laipsnio nežinomieji.

Ją išsprendę gauname koeficientus.

2 žingsnis: užrašome paprasčiausiųjų trupmenų (jų yra keturios) integralų integravimą:


I. \int \frac{A}{x-a}dx=A\int \frac{d(x-a)}{x-a}=A\cdot ln|x-a|+C

II. \int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx=A\int \frac{d(x-a)}{(x-a)^{k}}=A\cdot\frac{(x-a)^{1-k}}{1-k}+C

III. \int \frac{Mx+N}{x^{2}+px+q}dx=..

  1. Išsikeliam skaitiklyje \frac{M}{2} už skliaustelių
  2. Pridedam ir atimam p skliausteliuose
  3. Dalinai atskliaudžiam palikdami skliausteliuose 2x + p
  4. Pritaikome tiesiškumo savybę
  5. Pirmąjį gautų integralų integruojam tiesiogiai (--> po dx)
  6. Antrame gautų integralų, skaitinį daugiklį išsikėlę prieš integralo ženklą, vardiklio pirmojo laipsnio nario daugiklį padalinam ir padauginam iš 2
  7. Vardiklyje pridedam ir atimam po \frac{p^{2}}{4}
  8. Vardiklyje užsirašom primų trijų narių sumą kaip dvinario kvadratą, o likusius narius apskliaudžiame taip, kad vardiklyje būtų dviejų apskliaustų narių suma
  9. Dvinario kvadrato turinį pasižymime raide t (darome kintamųjų keitimą)
  10. Likusius narius kituose skliausteliuose pasižymime b2
  11. Pritaikome 11 formulę
  12. Grįžtame prie kintamųjų
  13. Gauta išraiška dar susiprastintų, jei dvejetą iškeltume iš po arctg ženklo

Rezultatas turėtų būti ..=\frac{M}{2}ln\left(x^{2}+px+q\right)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^{2}}}arctg{\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^{2}}}}+C


IV. \int \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^{k}}dx=

A žingsnis

Analogiškai kaip III,

  1. Išsikeliam skaitiklyje \frac{M}{2}
  2. Pridedam ir atimam p skliausteliuose
  3. Dalinai atskliaudžiam reiškinį
  4. Išskaidome per sumos ženklą į du integralus [1] ir [2]
  5. [1] integrale kišma tokį kaip vardiklio reiškinį po dx
  6. [2] integrale išsikeliam skaitiklį iš po integralo ženklo
  7. [2] integralo vardiklyje pridedam ir atimam \frac{p^{2}}{4}
  8. [2] integralo vardiklyje užsirašom dvinario kvadratą, kas lieka, apskliaudžiam sudarydami dviejų apskliaustų reiškinių sumą
  9. [2] integrale padarom kintamojo keitimą pasižymėdami t raide dvinarį, kuris pakeltas kvadratu
  10. [2] integralo likusį (apskliaustų konstantų) skirtumą pasižymim b2
  11. Tada, [1] integralo pointegralinę funkciją užsirašom su neigiamu laipsniu
  12. [1] integralui pritaikome 2 integravimo forumlę
  13. [1] integrale skaitiklį nuleidžiam į vardiklį pakeisdami laipsnio ženklą
  14. [1] sudauginam su \frac{M}{2} skaičiumi

Operacijos su likusiu nesuintegruotu integralu:

  1. Ik raidei prilyginame A žingsnyje likusio nesuintegruoto integralo pradinę formą (prieš kintamųjų keitimą)
  2. Pasirašom gautą formą po kintamųjų keitimo bei pasižymėjimų t bei b2
  3. Skaitiklyje užsirašom vienetą 1 kaip \frac{b^{2}}{b^{2}}
  4. Išsikeliam iš po integralo ženklo daugiklį \frac{1}{b^{2}}
  5. Skaitiklyje pridedam ir atimam t2
  6. Apskliaudžiam gautą sumą (lieka skirtumas)
  7. Pagal tiesiškumo savybę per minuso ženklą užsirašom į du integralus [1] ir [2] kaip dviejų integralų skirtumą
  8. Atskliaudžiam gautąjį skirtumą sudaugindami su anksčiau išsikeltu daugikliu \frac{1}{b^{2}}
  9. [1] integralo skaitiklį suprastiname su vardikliu

Operacijos su [2] integralu

  1. Pradedame integruoti dalimis, u prilyginame t
  2. randame u diferencialą du ieškodami išvestinės, jis lygus dt
  3. Pagal integravimą dalimis, dv prilyginame likusiam reiškiniui.

Integravimas dalimis

  1. Pasirašome integralo ženklą prie reiškinio v =
  2. Kišam t2 po diferencialo ženklu (turėsime visą reiškinį padauginti iš \frac{1}{2}
  3. Po diferencialo ženklu pasirašom + b2
  4. Pointegralinę funkciją persitvarkom į su neigiamu laipsniu..
  5. Minusą išsikeliam pasirašydami (k − 1)
  6. Pritaikom 2 integravimo formulę
  7. Paliekam skaitiklyje tik 1 (prirašom minuso ženklą prieš laipnsį)
  8. Užsirašom vėl, kad Ik lygu tam reiškiniu su t ir b2

Toliau,

  1. Užsirašom viską vėl, tik tą vieną kartą dalimis suintegruotą integralą įsirašom atgal į skliaustus.
  2. Išsikeliam konstantas po integralo, gauto integruojant dalimis, ...
  3. (1 − k) pasikeičiam į (k − 1) ir iškeliam minuso ženklą

Finally,

  • Identifikuojam, kam lygios Ik ir Ik − 1 dalys
  • Persirašom viską pakeitę atitinkamas dalis į trumpus užrašus Ik ir Ik − 1
  • Sutraukiame Ik − 1 panašiuosius narius (sudedame subendravardiklindami)

Gauname Rekurentinę formulę:

I_{k}=\frac{1}{b^{2}}\left( \frac{t}{2(k-1)\left(t^{2}+b^{2}\right)^{k-1}} + \frac{2k-3}{2k-2} I_{k-1} \right)

Parašome: "Vadinasi, integralo \int \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^{k}}dx apskaičiavimas pakeičiamas integralo I_{k}=\int\frac{dx}{\left(x^{2}+px+q\right)^{k}} apskaičiavimu. Būtent, kai k = 1, iš funkcijų su turinčių kvadratinį trinarį integravimo turime, kad I_{1}=\frac{1}{a}arctg\frac{t}{a}+C, kai 4cab2 > 0

Iš to pagal rekurentinę formulę galime gauti iš rekurentinės formulės.

KAIP?