Kompleksiniai skaičiai

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Kompleksiniais skaičiais vadiname poras

a + b  \cdot i,

kur a ir brealieji skaičiai, o i – menamasis vienetas:

i2 = − 1
i = \sqrt{-1}
i = (0,1)
(a,b) = a + bi
a \cdot (1,0) = (a,0) = a
b \cdot (0,1) = (b,1) = bi

Kompleksinių skaičių sudėtis ir daugyba:

  • (a , b) + (c , d)  = a + bi + c + di = a+c + (b+d) \cdot i = (a + c , b + d) \,
  • (a , b) \cdot (c , d)  = ac+adi+cbi+bidi = ac-bd + (ad+bc)i = (ac - bd , ad + bc) \,

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

\mathbb{C}=\{a + b \cdot i; a,b \in \mathbb{R} \}

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

[taisyti] Kompleksinių skaičių plokštuma

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

[taisyti] Trigonometrinė forma

z = r (  \cos  \phi\ + i  \sin  \phi\ )

r = \sqrt{a^2 + b^2}

z^n = r^n ( \cos ( n \phi\ ) + i \sin ( n \phi\ ) )

\omega = \sqrt[n]{z}, \omega\ _k = \sqrt[n]{r} ( \cos{ \frac{ \phi\ + 2 \pi\ k}{n}} + i \sin{ \frac{ \phi\ + 2 \pi\ k}{n}} ) – egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n, gaunamos reikšmės kartojasi.


z_1 z_2 = r_1 r_2 (  \cos  (\phi\ _1 + \phi\ _2) + i  \sin  (\phi\ _1 + \phi\ _2) )

Kompleksiniai skaičiai taip pat reiškiami kompleksine forma.

[taisyti] Nuorodos

Taip pat žiūrėti: