Trikampis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Tai straipsnis apie geometrinę figūrą. Apie ežerą Varėnos rajone skaitykite straipsnyje Trikampis (ežeras)

Trikampis – paprasčiausias daugiakampis, turintis tris viršūnes ir tris jas jungiančias kraštines. Visų trikampio vidinių kampų suma lygi 180 laipsnių.

Turinys

[taisyti] Trikampių rūšys pagal kraštines

1 pav. Įvairiakraštis trikampis
1 pav. Įvairiakraštis trikampis

Pagal kraštines trikampiai skirstomi į tris rūšis: įvairiakraščius, lygiašonius ir lygiakraščius.

Įvairiakraštis trikampis – trikampis, kurio visos kraštinės skirtingo ilgio.

2 pav. Lygiašonis trikampis
2 pav. Lygiašonis trikampis

Lygiašonis trikampis – trikampis, kurio dvi kraštinės tokio pat ilgio. Jos vadinamos šoninėmis kraštinėmis, o trečioji – pagrindu. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs.

3 pav. Lygiakraštis trikampis
3 pav. Lygiakraštis trikampis

Lygiakraštis trikampis – trikampis, kurio visos kraštinės lygios. Visi lygiakraščio trikampio kampai taip pat lygūs.

Žinant lygiakraščio trikampio kraštinės ilgį a, jo plotas randamas pagal formulę

S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} . \;

[taisyti] Trikampių rūšys pagal kampus

Pagal kampus trikampiai gali būti smailieji, statieji arba bukieji.

[taisyti] Statusis trikampis

Statusis trikampis – trikampis, kurio vienas kampas yra status.

4 pav. Statusis trikampis ir jo elementai
4 pav. Statusis trikampis ir jo elementai

4 pav. pavaizduoto stačiojo trikampio ABC elementai:

α, β – smailieji trikampio kampai;
a, b -statiniai;
c – įžambinė;
hc aukštinė, nuleista iš stačiojo kampo viršūnės C į įžambinę;
ac statinio a projekcija įžambinėje;
bc statinio b projekcija įžambinėje;
\angle CAD=\angle BCD= \alpha\;; \angle CBD=\angle ACD= \beta\;

Stačiojo trikampio statinis yra įžambinės ir to statinio projekcijos įžambinėje geometrinis vidurkis:

a^2=ca_c\;; b^2=cb_c\;

Stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, yra statinių projekcijų įžambinėje geometrinis vidurkis:

h_c^2=a_cb_c\;

Prieš statųjį kampą esanti stačiojo trikampio kraštinė vadinama įžambine. Statųjį kampą sudarančios stačiojo trikampio kraštinės vadinamos statiniais. Stačiojo trikampio kraštinių ilgius sieja sąryšis, vadinamas Pitagoro teorema:

c^2 = a^2 + b^2 . \;

Stačiojo trikampio ploto formulės:

S = \frac{c h_c}{2} \;; S = \frac{a b}{2} . \;

[taisyti] Smailusis ir bukasis trikampiai

Trikampis, kurio visi trys kampai smailieji, vadinamas smailiuoju trikampiu; trikampis, turintis vieną bukąjį kampą, vadinamas bukuoju trikampiu.

[taisyti] Pagrindinės formulės

[taisyti] Kosinusų teorema

Kosinusų teorema dažniausiai naudojama rasti bet kokio trikampio kraštinėms ir (arba) kampus žinant dvi kraštines ir kampą tarp jų arba visas tris kraštines:

c^2 = a^2 + b^2-2ab \cos \alpha . \;

a, b ir c – kraštinių ilgiai, o α – kampas tarp kraštinių a ir b.

Labai dažnai šios teoremos prireikia sprendžiant geometrinius uždavinius, kai reikia rasti kurį nors trikampio kampą, kai nežinomas nei vienas trikampio kampas.

Jei trikampis statusis, tai vienanaris

2ab \cos \alpha \;

virsta nuliu, nes 90 laispnių kosinusas lygus nuliui. Tuomet kosinusų teorema tampa Pitagoro teorema. Dėl to ji kartais vadinama apibendrintąja Pitagoro teorema.

[taisyti] Sinusų teorema

Pagal sinusų teoremą galima rasti trikampio kraštines ir kampus žinant du kampus ir bent vieną kraštinę:

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R

a, b ir c – kraštinių ilgiai,α, β ir γ – prieš jas esančių kampų dydžiai, o R- spindulys apibrėžtinio apskritimo.

[taisyti] Herono formulė

Herono formulė naudojama trikampio plotui apskaičiuoti:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} . \;

p – trikampio pusperimetris. Jis lygus pusei trikampio perimetro:

p = \frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}. \;