Aibė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Aibė – viena pagrindinių sąvokų matematikoje. Aibių teorija, mokslo sritis atsiradusi tik XIX a. gale, dabar yra viena reikšmingiausių matematikos dalių, pradedama mokyti dar pagrindinėje mokykloje.

Turinys

[taisyti] Terminai

Aibė – objektų, laikomų visuma, rinkinys. Aibės objektai vadinami elementais ar nariais. Paprastai aibės žymimos didžiosiomis raidėmis (A, B, C, ..). Dvi aibės yra lygios (A = B), jei abiejų aibių elementai sutampa.

Aibės, kuriuos turi pasikartojančių elementų vadinamos multiaibėmis.

Aibės dažniausiai apibūdinamos žodžiais arba formaliai:

A = {1, 2, 3}
B = {raudona, balta, mėlyna, žalia}

Aibių apibūdinimas nebūtinai turi sutapti, kad aibės būtų lygios. Elementų eilės tvarka ar pasikartojimas taip pat neturi įtakos, t.y. {2, 4}, {4, 2} ir {2, 2, 4, 2} yra identiškos aibės, nes turi lygiai tokius pat elementus.

Jei aibė neturi nei vieno elemento, ji vadinama tuščia aibe ir žymima ∅.

Aibė taip pat gali turėti begalinį elementų skaičių – pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibė.

[taisyti] Poaibis

Poaibis (A⊂B)
Poaibis (AB)

Jei kiekvienas aibės A elementas yra ir aibės B elementas, aibė A yra aibės B poaibis ir tai žymima AB. Jei dar tenkinama sąlyga, kad aibė A nelygi B, tai griežtasis poaibis ir žymima AB. Šiuo atveju B yra aibės A viršaibis.

Pavyzdžiai:

  • Visų vyrų aibė yra griežtas visų žmonių aibės poaibis
  • {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {4, 3, 2, 1}

Taip pat natūrali išvada, kad tuščia aibė yra bet kurios kitos aibės poaibis ir kad kiekviena aibė yra savo pačios poaibis:

  • ∅ ⊆ A
  • AA

[taisyti] Sąjunga

Aibių sąjunga (A∪B)
Aibių sąjunga (AB)

Aibių sąjunga tai lyg sudėtis – aibių sąjungos rezultatas yra aibė, kurioje yra visi jungiamųjų aibių elementai. Aibių A ir B sąjunga žymima A ∪ B.

Pavyzdžiai:

  • {1, 2} ∪ {raudona, balta} = {1, 2, raudona, balta}
  • {1, 2, žalia} ∪ {raudona, balta, žalia} = {1, 2, raudona, balta, žalia}
  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sąjungos savybės:

  • A ∪ B   =   B ∪ A
  • A  ⊆  A ∪ B
  • A ∪ A   =  A
  • A ∪ ∅   =  A

[taisyti] Sankirta

Aibių sankirta (A∩B)
Aibių sankirta (AB)

Aibių A ir B sankirta yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių tiek A, tiek ir B aibėje. Sankirta žymima A ∩ B. Jei A ∩ B  =  ∅, tai A ir B yra nesikertančios aibės.

Pavyzdžiai:

  • {1, 2} ∩ {raudona, raudona} = ∅
  • {1, 2, žalia} ∩ {raudona, raudona, žalia} = {žalia}
  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sankirtos savybės:

  • A ∩ B   =   B ∩ A
  • A ∩ B   ⊆   A
  • A ∩ A   =   A
  • A ∩ ∅   =   ∅

[taisyti] Skirtumas

Aibių skirtumas (A\B)
Aibių skirtumas (A\B)

Aibių A ir B skirtumas yra aibė, kurią sudaro elemantai, esantys aibėje A, bet nesantys aibėje B. Aibių skirtumas žymimas A \ B.