Oilerio formulė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Oilerio formule vadinama formulė \mathsf{e}^{i \phi} = \cos( \phi ) + i \sin( \phi ), čia i – tariamasis vienetas.

Įdomu pastebėti, kad | \mathsf{e}^{i \phi} | = 1.

Iš formulės išplaukia, kad \mathsf{e}^{i \phi} = \mathsf{e}^{i ( \phi + 2 \pi ) }.


Pasiūlė Leonardas Oileris.

[taisyti] Įrodymas

Pasižymime z = cosx + isinx, randame šio dydžio diferencialą:

\mathsf{d}z = ( -\sin x + i \cos x ) \mathsf{d}x = (i \cos x + i^2 \sin x ) \mathsf{d}x = iz \mathsf{d}x

Lygtį galime perrašyti taip:

\frac{\mathsf{d}z}{z} = i \; \mathsf{d}x

Abi puses suintegruojame:

\int \frac{\mathsf{d}z}{z} = i \int \mathsf{d}x
\ln z = ix + C \quad

Konstantos C vertę gauname paėmę x = 0, tada z = 1, C = ln1 = 0, taigi:

\ln z = ix \quad.

Iš čia:

\mathsf{e}^{ix} = z
\mathsf{e}^{ix} = \cos x + i \sin x

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.

Kitomis kalbomis