Matematisk gruppe
Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Ei gruppe er ein algebraisk struktur (G, * ) som består av ei ikkje-tom mengd G og ein binær operasjon * slik at
- For alle a og b i G er
også i G (* er lukka i G).
- For alle a, b og c i G er
(* er assosiativ).
- Det finst eit element e i G slik at for alle a i G er
(e er eit identitetselement).
- For alle a i G finst det eit element a − 1 slik at
(a − 1 er eit inverselement til a).
Dersom me i tillegg har
- For alle a og b i G er
(* er kommutativ),
så er G ei abelsk gruppe.
Teiknet for den binære operasjonen kan i tilegg til * vera mellom anna + og {\cdot}, eller jukstaposisjon (som i ab for multiplikasjon av a og b). Eit eksempel på ei abelsk gruppe er , der + er ordinær addisjon og
er mengda av heiltal. Denne gruppa har identitselement 0 og inverselementet til a vert vanlegvis skriven som -a.
Det kan visast at for ei gruppe gjeld også
- For alle a, b og c i G er det slik at
medfører
(kansellasjonseigenskapen).
- For alle a og b i G finst c og d i G slik at
og
(løyselegskapseigenskapen).
Faktisk er desse to reglane ekvivalente med eksistensen av eit identitetselement og eksistensen av ein invers, i den forstand at dersom ei semigruppe tilfredsstiller kansellasjonseigenskapen og løyselegskapseigenskapen, så er den ei gruppe.
Både identitselementet og inverselementet til kvart element a er unike, noko som følgjer av kansellasjonseigenskapen: Me får eit motsegn ved å gå ut frå at det finst to ulike slike element b og c.