Mersennovo prvočíslo

Z Wikipédie

Mersennovo prvočíslo alebo Mersennovo číslo je prvočíslo ktoré sa dá zapísať v tvare Mn = 2n − 1, kde n je prirodzené číslo. Príkladom Mersenovho prvočísla je číslo 3 pretože je to prvočíslo a navyše 3 = 22 − 1. Prvých 10 Mersennovych prvočísel tvorí postupnosť:

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111...

V súčasnosti je známych 44 Mersennových prvočísel. Zatiaľ najväčšie známe Mersennovo prvočíslo je 232582657 − 1 a bolo objavené 4.9.2006.

[úprava] Prípustné hodnoty n

Nutnou podmienkou k tomu, aby bolo Mn prvočíslom je prvočíselnosť samotného n. Totiž, ak je n zložené číslo, dá sa vyjadriť v tvare n = a.b kde a,b sú prirodzené čísla rôzne od 1. Navyše platí vzťah

M_{n}=M_{ab}=2^{ab}-1=(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}\right)

z ktorého vyplýva, že Mn je tiež zložené číslo. Preto môže byť Mn prvočíslom len v tom prípade, ak je prvočíslom aj n.

To ale neznamená, že ak je n prvočíslom, je ním aj Mn. Najmenším príkladom je M11 = 2047 = 23.89.

[úprava] Externé zdroje

Wikisource
Wikisource obsahuje pôvodné texty súvisiace s témou:
  • A000043 Zoznam tých prirodzených čísel n pre ktoré je Mn prvočíslom. Odkazy na literatúru.

[úprava] Pozri aj