Lineárny priestor
Z Wikipédie
Lineárny priestor alebo vektorový priestor je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.
"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľuboboľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.
Obsah |
[úprava] Definícia
Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému ,
priradený prvok
, pričom:
- 1) (V, + ) je komutatívna grupa
pre ľubovoľné α, β a c,d
F platí:
- 2) c.(α + β) = c.α + c.β (distribučný zákon)
- 3) (c + d).α = c.α + d.β
- 4) (c.d).α = c(d.α) (asociativita)
- 5) 1.α = α
potom V je vektorový priestor nad poľom F.
[úprava] Príklady
[úprava] Lineárne Priestory vo Fyzike
[úprava] Bra-Ket Formalizmus
Vektory tvoria lineárny priestor (alebo vektorový priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia
patrí taktiež do tohoto priestoru.
Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty λi komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:
,
kde hviezdička * označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory vlnové funkcie φi a bra-vektory
sú komplexne združené vlnové funkcie
. Skalárny súčin
je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor a bra-vektor
. Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že
.
Dôsledkom toho je, že je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:
.
Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru
. V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu
, ktorý má zjavne vlastnosť
, rovnako ako
má vlastnosť
, pretože
je kladné.
Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že a
vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo λ.