Postupnosť (matematika)

Z Wikipédie

Postupnosť (symbol je (a_n)_{n=1}^\infty alebo len (an) či {an} ) je akákoľvek funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.

Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o funkcionálnej postupnosti.

Obsah

[úprava] Vlastnosti

Postupnosť je

  • neklesajúca, ak pre všetky i platí a_i \ge a_{i-1},
  • nerastúca, ak pre všetky i platí a_i \le a_{i-1},
  • rastúca, ak pre všetky i platí ai > ai − 1,
  • klesajúca, ak pre všetky i platí ai < ai − 1,
  • zdola ohraničená v množine A, ak existuje také L \in \mathit{A}, že pre všetky i platí a_i \ge L,
  • zhora ohraničená v množine A, ak existuje také K \in \mathit{A}, že pre všetky i platí a_i \le K.

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.

[úprava] Limita

Hovoríme, že postupnosť

  • konverguje, ak má konečnú limitu (napr. 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots konverguje k 0),
  • diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. 1, 2, 3, \ldots diverguje k \infty),
  • osciluje, ak limitu nemá (napr. 1, -1, 1, -1, \ldots).

[úprava] Vybraná postupnosť

Ak je (a_n)_{n=1}^\infty postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a (k_n)_{n=1}^\infty rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz (a_{k_n})_{n=1}^\infty nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z an (inými slovami, z an vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je (an) obmedzená postupnosť v \mathbb{R}, potom z nej možno vybrať postupnosť \mathit(a_{k_n}), ktorá je konvergentná

[úprava] Pozri aj