Postupnosť (matematika)
Z Wikipédie
Postupnosť (symbol je alebo len (an) či {an} ) je akákoľvek funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je množina všetkých prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.
Ak sú členmi postupnosti čísla hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie hovoríme o funkcionálnej postupnosti.
Obsah |
[úprava] Vlastnosti
Postupnosť je
- neklesajúca, ak pre všetky i platí
,
- nerastúca, ak pre všetky i platí
,
- rastúca, ak pre všetky i platí ai > ai − 1,
- klesajúca, ak pre všetky i platí ai < ai − 1,
- zdola ohraničená v množine A, ak existuje také
, že pre všetky i platí
,
- zhora ohraničená v množine A, ak existuje také
, že pre všetky i platí
.
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.
[úprava] Limita
Hovoríme, že postupnosť
- konverguje, ak má konečnú limitu (napr.
konverguje k 0),
- diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr.
diverguje k
),
- osciluje, ak limitu nemá (napr.
).
[úprava] Vybraná postupnosť
Ak je postupnosť (všobecne reálnych) čísiel a
rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz
nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z an (inými slovami, z an vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je (an) obmedzená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť
, ktorá je konvergentná
[úprava] Pozri aj
- Cauchyovská postupnosť
- Aritmetická postupnosť
- Geometrická postupnosť
- Rad