Absolútna hodnota

Z Wikipédie

V matematike sa ako absolútna hodnota reálneho čísla x označuje hodnota x s odstráneným znamienkom. Takže napríklad 3 je absolútnou hodnotou čísla 3, ale aj -3. V matematike sa absolútna hodnota zapisuje ako y = | x | , v informatike a v matematike pri použití absolútnej hodnoty ako funkcie je bežnejší zápis y = abs(x). Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a od nuly. Pri takomto pohľade vyplynie i definícia absolútnej hodnoty komplexného čisla.

[úprava] Reálne čísla

Pre každé reálne číslo a je jeho absolútna hodnota | a | rovná:

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{ak }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{ak } a < 0 \end{cases}

Ako je možné z uvedenej definície vidieť, absolútna hodnota bude vždy kladná alebo nulová, nikdy záporná.

Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a na reálnej osi od nuly, alebo všeobecnejšie absolútna hodnota rozdielu dvoch reálnych čísel je vzdialenosť medzi nimi.

Absolútna hodnota má nasledujúce vlastnosti:

  1. |a| \ge 0
  2. |a| = \max \left \{ -a, a \right \} \,
  3. |a| = \left|-a\right| \,
  4. |a| = \sqrt{a^2}
  5. |ab| = |a|.|b| \,
  6. \left|a^n\right| = {|a|}^n \, (pre každé prirodzené n)
  7. \bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac{|a|}{|b|} (ak b \neq 0)
  8. |a+b| \le |a| + |b| (trojuholníková nerovnosť)
  9. |a-b| \ge \Big||a| -|b|\Big|
  10. |a| \le b \iff -b \le a \le b
  11. |a| \ge b \iff a \le -b \lor b \le a

[úprava] Komplexné čísla

Pretože komplexné čísla netvoria usporiadanie, predchádzajúca definícia nemože byt priamo zovšeobecnená aj na ne. Avšak vďaka tomu že platí

|a| = \sqrt{a^2}

je možné formulovať nasledujúcu definíciu. Pre každé komplexné číslo

z = x + iy\,

je jeho absolútna hodnota |z| rovná

|z| =  \sqrt{x^2 + y^2}.