Matica (matematika)

Z Wikipédie

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu.

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má m riadkov a n stĺpcov, hovorí sa o matici typu m krát n. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny A hovorí sa o matici nad množinou A. Príkladom matice typu 2 krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

\begin{pmatrix} 3 & 0  & -6 & 4 & 11\\ 6 & -1 & 4  & 1 & 13\\ \end{pmatrix}.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou {0,1} sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Obsah

[úprava] Operácie s maticami

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie jedno, v akom poradí sa násobia matice.

[úprava] Sčítavanie matíc

Ščítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tie dve matice majú rovnaký rozmer. Prebieha to tak, že sa zoberú čísla z rovankej pozíce a ščítajú sa. Napríklad:

\begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix}     0 & 0 & 5 \\     7 & 5 & 0 \\     2 & 1 & 1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1+0 & 3+0 & 2+5 \\     1+7 & 0+5 & 0+0 \\     1+2 & 2+1 & 2+1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1 & 3 & 7 \\     8 & 5 & 0 \\     3 & 3 & 3   \end{bmatrix}

[úprava] Skalárne násobenie

Zobratím matice A a číslom c, je skalárne násobenie cA. Vypočíta sa to tak, že každý prvok v matici A vynásobím číslom c. Napríklad:

2   \begin{bmatrix}     1 & 8 & -3 \\     4 & -2 & 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\     2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2 & 16 & -6 \\     8 & -4 & 10   \end{bmatrix}

Ščítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

[úprava] Násobenie matíc

Násobenie môže pracovať len vtedy, ak je počet prvkov v riadku ľavej matice rovnaký ako počet prvkov v stĺpci pravej matice. Ak A je m-krát-n matica a B je n-krát-m matica, tak ich maticový produkt AB má rozmery m-krát-n (m stĺpce, n riadky). Výsledná hodnota na pozícií [i,j] je:

\,\!     (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j]

pre každé i a j.

Napríklad:

\begin{bmatrix}         1 & 0 & 2 \\        -1 & 3 & 1 \\     \end{bmatrix} \times     \begin{bmatrix}         3 & 1 \\         2 & 1 \\         1 & 0 \\     \end{bmatrix} =     \begin{bmatrix}          ( 1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1)       & ( 1 \times 1  +  0 \times 1  +  2 \times 0) \\          (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1)       & (-1 \times 1  +  3 \times 1  +  1 \times 0) \\      \end{bmatrix}
=     \begin{bmatrix}         5 & 1 \\         4 & 2 \\     \end{bmatrix}

Pričom nie je jedno, že v akom poradí sa to vykonáva, napríklad:

\begin{bmatrix}         3 & 1 \\         2 & 1 \\         1 & 0 \\     \end{bmatrix} \times     \begin{bmatrix}         1 & 0 & 2 \\        -1 & 3 & 1 \\     \end{bmatrix} =     \begin{bmatrix}          ( 3 \times 1  +  1 \times -1 )       & ( 3 \times 0  +  1 \times 3 )       & ( 3 \times 2  +  1 \times 1 ) \\          ( 2 \times 1  +  1 \times -1 )       & ( 2 \times 0  +  1 \times 3 )       & ( 2 \times 2  +  1 \times 1 ) \\          ( 1 \times 1  +  0 \times -1 )       & ( 1 \times 0  +  0 \times 3 )       & ( 1 \times 2  +  0 \times 1 ) \\      \end{bmatrix}
=     \begin{bmatrix}         2 & 3 & 7\\         1 & 3 & 5\\         1 & 0 & 2\\     \end{bmatrix}

Dokonca ani rozmer matíc nemusí byť rovnaký pri vymenenom poradí.