Gama funkcia

Z Wikipédie

V matematike je Gama funkcia akási náhrada za funkciu faktoriál pre všetky reálne a vôbec komplexné čísla. Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná týmto súčinom: n! = n(n-1)(n-2)\ldots\times3\times2\times1. Gamma funkcia nahradzuje túto funkciu pre necelé (reálne) a komplexné čísla:

\Gamma(z+1)=z!\,

Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gamma rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus ln(gamma) gamma funkcie: hodnoty rastú oveľa pomalšie a pri počítaní dovoľujú sčítavanie a odčítavanie namiesto násobenia a delenia.

[úprava] Definícia

Gamma funkciu definujeme takto:

\begin{array}{lcl}   \Gamma(z) & \equiv & \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t \\   & = & 2 \int_0^\infty e^{-t^2} t^{2z-1}\,\mathrm{d}t \end{array}

[úprava] Alternatívne definície

\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \,\!

Nasledujúca definícia gamma funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla z, ktoré nie sú reálne záporné alebo nula.

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \,\!

kde γ je Eulerova-Mascheroniova konštanta.