Kontinuitetna enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Kontinuitétna enáčba je parcialna diferencialna enačba, ki povezuje prvi odvod količine z značajem gostote po času z divergenco oziroma prvim odvodom količine z značajem toka po kraju. Različne kontinuitne enačbe so v diferencialni obliki zapisani ohranitveni zakoni.

Vsebina

[uredi] Tok snovi

Iz zakona o ohranitvi mase lahko izpeljemo kontinuitetno enačbo za gostoto:

\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = - \frac{\partial\rho}{\partial t}

V stacionarnem stanju se gostota s časom ne spreminja: dρ / dt = 0. Odtod sledi, da mora biti pritekajoči tok enak odtekajočemu, oziroma

\nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0

Če je tekočina nestisljiva, kar pomeni, da v toku ni velikih tlačnih razlik, lahko približno vzamemo, da se gostota tudi s krajem ne spreminja: ρ = konst. Odtod vidimo, da ima kontinuitetna enačba za stacionarni tok nestisljivih tekočin posebej preprosto obliko:

\nabla\cdot\mathbf{v} = 0

[uredi] Difuzija

Pri difuziji v binarni zmesi spremljajmo sestavino, označeno z indeksom 1. Delno gostoto ρ1 te sestavine povezuje z delnim masnim tokom j1 kontinuitetna enačba:

\nabla\cdot\mathbf{j}_1 = - \frac{\partial\rho_1}{\partial t}

Enačba velja, če med sestavinama ni kemijskih reakcij.

[uredi] Električni naboj

Zaradi zakona o ohranitvi naboja je skupni električni tok, ki odteče z danega telesa v okolico, enak negativnemu časovnemu odvodu preostalega naboja:

\int \mathbf{j}_e \cdot d\mathbf{S} = - \frac{\partial e}{\partial t}

V diferencialni obliki, preračunano na enoto prostornine:

\nabla\cdot\mathbf{j}_e = - \frac{\partial\rho_e}{\partial t}

Kontinuitetno enačbo za električni naboj lahko izpeljemo tudi iz Maxwellovih enačb, natančneje iz Amperovega zakona in zakona o magnetnem pretoku.

[uredi] Energija

Toplejše telo oddaja energijo okolici s prevajanjem toplote. Zaradi zakona o ohranitvi energije velja

\int \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S} = - \frac{\partial W}{\partial t}

Pri tem je j gostota energijskega toka, W pa notranja energija telesa.

[uredi] Literatura

  • Ivan Kuščer, Alojz Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana 1994, str. 64-65.