Logaritem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Grafi funkcij ln(x) (modra), log10x (rdeča) in log1/2x (vijolična)
Grafi funkcij ln(x) (modra), log10x (rdeča) in log1/2x (vijolična)

Logarítem oziroma logaritemska funkcija je v matematiki funkcija, ki iz eksponentne enačbe ay = x vrne eksponent y. Zapišemo jo v obliki y = logax, kjer sta a, x \in \R^+. To beremo logaritem x z osnovo a. x imenujemo logaritmand ali argument.

Algebrska definicija logaritma: \log_a x = y \Longleftrightarrow a^y=x

Logaritemska funkcija je definirana le za pozitivna števila, njena zaloga vrednosti pa so vsa realna števila:

\log_a: \R^+ \longrightarrow \R

Primeri:
\log_2 8 = 3, \log_5 125 = 3, \log_2 \left (\frac{1}{16} \right ) = -4.

\log_3 \sqrt {27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}.

Antilogaritmiranje je postopek, s katerim zapletenejši logaritemski izraz predelamo v eksponentno enačbo. To nam omogoča lažje reševanje.

Primera:

\log_2 \sqrt 2  = x

2^x = \sqrt 2
2^x = 2^{\frac{1}{2}}

x = \frac{1}{2}

logx(x + 2) = 2

x2 = x + 2 Dobimo kvadratno enačbo.
x2x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0

x1 = 2
x2 = − 1 Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število.

R = {2}

Vrednosti logaritmov so pred pojavom računalnikov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematik Jurij Vega je bil avtor znanega logaritmovnika Thesaurus Logarithmorum Completus.

Vsebina

[uredi] Pravila za računanje z logaritmi

[uredi] Vsota logaritmov

logax + logay = loga(xy)

Dokaz:

\log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y

xy=a^d\cdot a^e=a^{d+e} /\log_a

loga(xy) = logaad + e = d + e = logax + logay

[uredi] Razlika logaritmov

\log_a x - \log_a y = \log_a \left (\frac{x}{y} \right )

Dokaz:

\log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y

\frac{x}{y}=\frac{a^d}{a^e}=a^{d-e} /\log_a

\log_a\frac{x}{y}=\log_a a^{d-e}=d-e=\log_a x - \log_a y

[uredi] Množenje logaritma s konstanto

rlogax = logaxr; r\in\R

Dokaz:

\log_a x=b \Longrightarrow a^b=x

xy = (ab)y = aby / loga

logaxy = logaaby = by = ylogax

[uredi] Logaritmi z različnimi osnovami

Pogosto se pojavi potreba, da znan logaritem izrazimo z drugačno logaritemsko osnovo. Žepni računalniki znajo računati samo z dvema osnovama (10 in Eulerjevo število). Glede na to ločimo desetiške ali Briggsove logaritme ter naravne logaritme.

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem: logx = log10x.

Naravne logaritme označujemo z drugo oznako: lnx = logex.

Med logaritmi z različnimi osnovami pretvarjamo po pravilu \log_a x = \frac {\log_b x}{\log_b a}. Logaritem z osnovo a smo pretvorili v izraz z logaritmi z osnovo b. Če je b = 10 ali e, lahko izračunamo iskano vrednost logax kar z žepnim računalnikom: \frac {\log x}{\log a} (oziroma \frac {\ln x}{\ln a}).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1. \log_a b\cdot\log_b a =1

Dokaz:

\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a}

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

\log_a b\cdot\log_b a =1

[uredi] Glej tudi

[uredi] Zunanje povezave

Logaritem je tudi
v Wikislovarju, prostem slovarju.