Eulerjeva domneva

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Eulerjeva domneva je napačna domneva v matematiki, povezana s Fermatovim velikim izrekom, ki jo je leta 1769 postavil Leonhard Euler. Nobena od diofantskih enačb oblike:

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = y^{3}
x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} = y^{4}
x_{1}^{5} + x_{2}^{5} + x_{3}^{5} + x_{4}^{5} = y^{5}
\cdots
x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + ... + x_{n-1}^{n} = \sum_{i=1}^{n-1} x_{i}^{n} = y^{n}

nima nobene trivialne rešitve za celi n \ge 3. Za n = 2 veljajo vsote kot so na primer pitagorejske trojice:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = y^{2} \,\! .

Za n = 3 velja na primer:

3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3} \,\! ,
1^{3} + 6^{3} + 8^{3} = 9^{3} \,\! .

63 ali 93 pa ne moremo zapisati kot vsoto dveh (3-1) tretjih potenc.

Trditev sta s pomočjo računalnika ovrgla leta 1966 Leon J. Lander in Thomas R. Parkin s protiprimerom z n = 5:

27^5 + 84^5 +110^5 + 133^5 = 144^5 \,\! .

Noam D. Elkies je leta 1986 našel geometrijsko metodo za konstrukcijo neskončnega števila protiprimerov za primer n = 4. Najmanjši protiprimer takšne homogene diofantske enačbe četrte stopnje za njegovo konstrukcijo je:

2682440^{4} + 15365639^{4} + 18796760^{4} = 20615673^{4}\,\! .

Roger Frye iz podjetja Thinking Machines Corporation je dve leti kasneje 1988 našel najmanjši možni protiprimer za n = 4 z neposrednim računalniškim iskanjem s konstrukcijo Elkiesovega tipa:

95800^{4} + 217519^{4} + 414560^{4} = 422481^{4} \,\! .

Računalnik je enačbo računal 100 ur.

Protiprimeri za n\ge 6 niso znani.

Leta 1966 so Lander, Parkin in John L. Selfridge podali domnevo, da za vsak k > 2, če velja:

\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{k} = \sum_{j=1}^{m} y_{j}^{k} \,\! ,

potem m+n\ge k.


Ta matematični članek je škrbina. Slovenski Wikipediji lahko pomagate tako, da ga dopolnite z vsebino.