Gradient

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Gradiênt je diferencialna operacija, definirana nad skalarnim ali vektorskim poljem, ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient označujemo z oznako »grad« ali simbolom \nabla (nabla).

Vsebina

[uredi] Gradient skalarnega polja

[uredi] Kartezični koordinatni sistem

V trorazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu zapišemo gradient kot:

\nabla f = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}},   {\frac{\partial f}{\partial y}},  {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix}

Pri tem je f(r) skalarno polje, odvisno od krajevnega vektorja r = (x, y, z), oznake \partial pa označujejo parcialne odvode po vsaki od koordinat.

[uredi] Splošen krivočrtni koordinatni sistem

[uredi] Cilindrični koordinatni sistem

V cilindričnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja f(r) izraža kot:

\nabla f =  \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e}_z

Pri tem je r=(r, φ, z) krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, er, eφ in ez pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

[uredi] Sferni koordinatni sistem

V sfernem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja f(r) izraža kot:

\nabla f =  \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi

Pri tem je r=(r, θ, φ) krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, er, eθ in eφ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

[uredi] Gradient vektorskega polja

[uredi] Literatura

  • Ivan Kuščer, Alojz Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana 1994, str. 56-62.

[uredi] Glej tudi

  • vektorska analiza
  • divergenca, rotor


Ta matematični članek je škrbina. Slovenski Wikipediji lahko pomagate tako, da ga dopolnite z vsebino.