Harmonična vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Harmónična vŕsta je v matematiki neskončna vrsta:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.

Tako se imenuje, ker so valovne dolžine delnih tonov nihajoče strune sorazmerne z 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... .

Vrsta divergira, sicer počasi, k neskončnosti. To se lahko lepo pokaže z dejstvom, da je harmonična vrsta po členih večja ali enaka z vrsto:

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! =  1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]  + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots
= \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\  +\  \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \, ,

ki očitno divergira. Ta dokaz je podal Nicole Oresme in predstavlja enega od viškov srednjeveške matematike. Celo vsota obratnih vrednosti praštevil divergira k neskončnosti, čeprav je to težje dokazati.

Harmonična sredina pozitivnih števil a in b je definirana kot H(a, b) = 2/(1/a + 1/b). Zanjo velja max{a, b} ≥ H(a, b) ≥ min{a, b} z enakostjo natanko tedaj, ko je a = b.

(Splošno je harmonična sredina definirana tudi za več števil a1, a2, ... an in sicer H(a1, a2, ... an)= n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an).)

Harmonično zaporedje števil x1, x2, ... je zaporedje, v katerem za vsak n > 1 velja xn = H(xn-1, xn+1).

Harmonična vrsta pa je vsota harmoničnega zaporedja (vsota členov harmoničnega zaporedja).


Ta matematični članek je škrbina. Slovenski Wikipediji lahko pomagate tako, da ga dopolnite z vsebino.