Skalarni produkt

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Poglavja v linearni algebri

Vektorji
Vektorski prostori
Linearna ogrinjača
Linearna transformacija
Linearna neodvisnost
Linearna kombinacija
Baza
Prostor stolpcev
Prostor vrstic
Dualni prostor
Ortogonalnost
Lastni vektor
Lastna vrednost
Metoda najmanjših kvadratov
Zunanji produkt
Vektorski produkt
Skalarni produkt
Transponiranje
Razcep matrike

Skalárni prodúkt vektorja a z vektorjem b (beremo a skalarno b) je v matematiki definiran kot produkt dolžine vektorja a, dolžine vektorja b in kosinusa vmesnega kota φ med njima. Pri tem morata vektorja imeti skupno začetno točko. Skalarni produkt dveh vektorjev je skalar.

\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\phi

Skalarni produkt vektorja s samim sabo je enak kvadratu dolžine vektorja, saj je njun vmesni kot enak 0° (cos 0° = 1).

Skalarni produkt medsebojno pravokotnih vektorjev je enak 0, saj je kosinus vmesnega kota 90° enak 0.

[uredi] Lastnosti skalarnega produkta

Skalarni produkt je komutativen.

\vec a\cdot\vec b = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\phi = \left |\vec b\right |\left |\vec a\right |\cos\phi

Skalarni produkt je distributiven.

\vec c(\vec a + \vec b) = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c

Velja homogenost:

n(\vec a\cdot\vec b) = \vec b(n\vec a) = \vec a(n\vec b)

Asociativnost za skalarni produkt ne velja.

(\vec a\cdot\vec b)\cdot\vec c \ne \vec a\cdot(\vec b\cdot\vec c)