การพิสูจน์ว่า 0.999... เท่ากับ 1

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีหลายคนที่คิดว่า 0.999... ซึ่งเป็นทศนิยมซ้ำที่มีค่าไม่เท่ากับ 1 นี่คือการพิสูจน์

สารบัญ

[แก้] การพิสูจน์

0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots
= -9 + \frac{9}{1} + \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots
= -9 + 9 \times \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k
= -9 + 9 \times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}
= 1\,

[แก้] อธิบาย

เนื่องจากอนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า จึงได้ว่า

\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}

[แก้] การพิสูจน์เชิงพีชคณิต

[แก้] การดำเนินการทางพีชคณิต

มีหลายคนคิดว่า การพิสูจน์นี้มีข้อผิดพลาดตรงที่เป็นอนุกรมลู่เข้า นี่เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า

x = 0.999\ldots
10xx = 9.999\ldots - 0.999\ldots
9x = 9
x = 1

[แก้] สมบัติของจำนวนจริง

การพิสูจน์นี้ใช้คุณสมบัติของจำนวนจริง ถ้า 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงในช่วง (0.999..., 1) อยู่เป็นอนันต์ แต่ในความจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานว่า 0.999... กับ 1แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน

[แก้] เศษส่วน

เมื่อหารเลขโดดด้วย 9 มันจะได้ทศนิยมซ้ำของจำนวนนั้น

1 / 9 = 0.111\ldots
2 / 9 = 0.222\ldots
...
9 / 9 = 0.999\ldots

แต่ว่า การหารด้วยตัวเอง จะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น 0.999... = 1 หรือ

3/9 = 0.333\ldots
9/9 = 0.999\ldots
1 = 0.999\ldots

[แก้] ดูเพิ่ม

  • ทศนิยมซ้ำ
  • อนุกรมเรขาคณิต
  • อนุกรมลู่เข้า
  • อนุกรมอนันต์
  • ลิมิต
ภาษาอื่น