มัลติแฟกทอเรียล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

มัลติแฟกทอเรียล เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น


n!! หมายถึง ดับเบิลแฟกทอเรียล ของ n ซึ่งนิยามโดย

n!!=   \left\{    \begin{matrix}     1,\qquad\quad\ &&\mbox{if }n=0\mbox{ or }n=1;    \\     n(n-2)!!&&\mbox{if }n\ge2.\qquad\qquad    \end{matrix}   \right.

ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ n = 0, 1, 2,... ได้แก่

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ

(n-2)!!=\frac{n!!}{n}

ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ n = -1, -3, -5, -7,... คือ

1, -1, 13, -115, ...

เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่

n!=n!!(n-1)!! \,
(2n)!!=2^nn! \,
(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}
\Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}

ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย

n!^{(k)}=   \left\{    \begin{matrix}     1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k;    \\     n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{if }n\ge k.\quad\ \ \,    \end{matrix}   \right.

[แก้] ดูเพิ่ม

แฟกทอเรียล