แฟกทอเรียล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

แฟกทอเรียล (factorial) ของจำนวนธรรมชาติ n คือ ผลคูณของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า "n แฟกทอเรียล" คริสเตียน แครมป์ เป็นผู้เริ่มใช้สัญกรณ์ n! ใน พ.ศ. 2351 (ค.ศ. 1808)

สารบัญ

[แก้] นิยาม

ฟังก์ชันแฟกทอเรียล มีนิยามว่า

n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{for all }n \ge 0 \!

ตัวอย่างเช่น

5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120

เราจะได้

0! = 1

เพราะผลคูณว่างเปล่า เท่ากับ 1 ข้อเท็จจริงนี้มีประโยชน์มาก เพราะว่า

  • ความสัมพันธ์เวียนเกิด (n + 1)! = n! × (n + 1) จะใช้ได้สำหรับ n = 0;
  • นิยามนี้ช่วยให้เอกลักษณ์ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดใช้ได้ เมื่อมีขนาดเป็นศูนย์

[แก้] แฟกทอเรียล ของค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสำหรับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มนั้น จะนิยามโดยฟังก์ชันแกมม่า:

z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!

ซึ่งเป็นนิยามของแฟกทอเรียลแบบนี้ขยายรวมไปถึงจำนวนเชิงซ้อน แต่ยกเว้นค่าจำนวนเต็มลบ

ตามนิยามด้านบนนี้ เราจะสามารถหาค่าแฟกทอเรียลของค่าครึ่งจำนวนเต็มได้ ดังนี้

(n+1/2)!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0}^n {2k + 1 \over 2}

ตัวอย่างเช่น

3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.63

[แก้] การประยุกต์

  • แฟกทอเรียล มีความสำคัญในคณิตศาสตร์เชิงการจัด ตัวอย่างเช่น เราสามารถจัดเรียงของ n ชิ้น ได้ทั้งหมด n! วิธี (การเรียงนี้เรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน) วิธีในการเลือกของ k ชิ้น จากของ n ชิ้น จะกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ทวินาม
{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}
  • การสอนเรื่องการเวียนเกิด (recursion) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มักใช้แฟกทอเรียลเป็นตัวอย่าง เพราะว่า มันสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้ (เมื่อ n ≥ 1):
n! = n \times (n-1)! \,

[แก้] การคำนวณค่าแฟกทอเรียล

การคำนวณหาค่าแฟกทอเรียลนั้น สามารถใช้วิธีการคูณซ้ำๆกันตามนิยามในกรณีที่ n นั้นมีค่าไม่มาก วิธีการหาค่าแบบนี้เป็นวิธีที่เครื่องคิดเลขขนาดพกพาส่วนใหญ่ใช้ ซึ่งโดยส่วนมากจะหาค่าได้ถึงประมาณ 69! เนื่องจาก 70! > 10100

ในกรณีที่ n มีค่ามาก n! จะคำนวณโดยใช้การประมาณจาก สูตรของสเตอร์ลิง (en:Stirling's approximation):

n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

ด้านล่างนี้เป็นการประมาณที่ความแม่นยำน้อยกว่า ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์:

\left({n \over 3}\right)^n < n! < \left({n \over 2}\right)^n\ \mbox{if}\ n\geq 6\,

[แก้] การแยกตัวประกอบเฉพาะของแฟกทอเรียล

เลขชี้กำลังของ p ในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ n! จะเท่ากับ

\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^i \rfloor

[แก้] ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล

[แก้] มัลติแฟกทอเรียล

ดูบทความหลักที่ มัลติแฟกทอเรียล

เป็นสัญลักษณ์ที่เขียนในรูปแบบแฟกทอเรียลหลายครั้ง เช่น n!!, n!!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

[แก้] ซูเปอร์แฟกทอเรียล

ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

\mathrm{sf}(n)   =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}   =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ

\mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,


แฟกทอเรียล เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ แฟกทอเรียล ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ