ผิวกำลังสอง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ผิวกำลังสอง (quadric surface) หรือ ควอดริก (quadric) ในคณิตศาสตร์ ใช้หมายถึง ผิว (hypersurface) ใน D มิติ ซึ่งกำหนดโดย คำตอบ หรือ ทางเดินรากของสมการพหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) ถ้าเราพิจารณาพิกัด \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\} ผิวกำลังสองถูกกำหนดด้วยสมการพีชคณิตดังต่อไปนี้

\sum_{i,j=0}^D Q_{i,j}  x_i  x_j + \sum_{i=0}^D P_i  x_i + R = 0

โดย Q คือ เมทริกซ์ มิติ D+1 และ P คือ เวกเตอร์ มิติ D+1 และ R คือ ค่าคงที่ ค่าของ Q, P และ R มักกำหนดเป็น จำนวนจริง หรือ จำนวนเชิงซ้อน แต่อาจเป็นค่า ฟีลด์ (คณิตศาสตร์) ใดๆ โดยทั่วไปแล้วคำตอบ หรือ ทางเดินรากของกลุ่มของพหุนาม นั้นเรียกว่า ประเภทเชิงพีชคณิต (algebraic variety) ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ควอดริกนั้นเป็นประเภทหนึ่งของประเภทเชิงพีชคณิต และ ประเภทของภาพฉาย นั้นจะสมสัณฐาน กับการตัดกันของควอดริก

สมการบรรทัดฐานของ ผิวกำลังสองใน 3 มิติ และมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2}=1

โดยการ ย้ายตำแหน่ง และ หมุน รูปผิวกำลังสองทุกรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูปบรรทัดฐานได้ ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผิวกำลังสองนี้จะมีรูปบรรทัดฐาน 16 รูป โดยมีรูปแบบที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:

ทรงรี x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 \,
    ทรงคล้ายทรงกลม (กรณีพิเศษของ ทรงรี)   x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/b^2 = 1 \,
       ทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงคล้างทรงกลม) x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/a^2 = 1 \,
ทรงพาราโบลาเชิงวงรี x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0 \,
    ทรงพาราโบลาเชิงวงกลม x^2/a^2 + y^2/a^2 - z = 0  \,
ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร์โบลา x^2/a^2 - y^2/b^2 - z = 0  \,
ทรงไฮเพอร์โบลาชิ้นเดี่ยว x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,
ทรงไฮเพอร์โบลาสองชิ้น x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,
รูปกรวย x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0 \,
ทรงกระบอกเชิงวงรี x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \,
    ทรงกระบอกเชิงวงกลม x^2/a^2 + y^2/a^2 = 1  \,
ทรงกระบอกเชิงไฮเพอร์โบลา x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \,
ทรงกระบอกเชิงไฮพาราโบลา x^2 + 2y = 0 \,

[แก้] ภาคขยายของผิวกำลังสอง

นอกเหนือจากรูปแบบผิวกำลังสองมาตรฐานที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยังมีการดัดแปลงรูปแบบของสมการพื้นผิวดังกล่าวเพื่อใช้ในการแทนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ซุปเปอร์ควอดริก และ ไฮเปอร์ควอดริก

[แก้] ซุปเปอร์ควอดริก

สมการบรรทัดฐานของ ซุปเปอร์ควอดริก ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

\left ( { x^2 \over a^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_1} + \left ( {y^2 \over b^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_2} + \left ( {z^2 \over c^2} \right ) ^{1 \over \epsilon_3}=1

หรือ ในรูป

\,x(\theta,\phi)=\, a\, \operatorname{sign} ( \cos \theta \cos \phi)\, | \cos \theta \cos \phi | ^{\epsilon_1} )
\,y(\theta,\phi)=\, b\, \operatorname{sign} ( \sin \theta \cos \phi)\, | \sin \theta \cos \phi | ^{\epsilon_2} )
\,z(\theta,\phi)=\, c\, \operatorname{sign} ( \sin \phi)\, | \sin \phi | ^{\epsilon_3} )

โดย {-\pi \over 2} \le \phi \le {\pi \over 2} และ -\pi \le \theta < \pi

สิ่งที่ซุปเปอร์ควอดริกแตกต่างไปจาก ผิวกำลังสอง คือ เลขยกกำลัง \, \epsilon_1,\ \epsilon_2,\ \epsilon_3 \, โดยที่ค่า \, \epsilon_1\, และ \, \epsilon_2\, นั้นมีผลต่อรูปร่างในแนวนอน ส่วน \, \epsilon_3 \, นั้นผลต่อรูปร่างในแนวตั้ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง

\,\epsilon_3=4\,
\,\epsilon_3=2\,
\,\epsilon_3=1\,
\,\epsilon_3=0.5\,
\,\epsilon_3=0.1\,
\,\epsilon_3=0\,
\,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 0 \, \,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 0.5 \, \,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 1 \, \,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 2 \, \,\epsilon_1 = \epsilon_2 = 4 \,

[แก้] ไฮเปอร์ควอดริก

ไฮเปอร์ควอดริก เป็นส่วนที่ขยายต่อจากซุปเปอร์ควอดริกให้มีความสามารถในการจำลองผิวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โดยซุปเปอร์ควอดริกนั้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของไฮเปอร์ควอดริก ไฮเปอร์ควอดริกนั้นสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

\sum_{i=1}^{N} {|l_i (x,y,z)|^{1 \over \epsilon_i}} = 1

โดย

\,l_i(x,y,z) = a_i x + b_i y + c_i z + d_i\,

และ \,N \ge 3\,

\, \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=1\, \, \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=2\, \, \epsilon_1=\epsilon_3=2, \epsilon_2=0.2\,

นอกเหนือจากรูปแบบของไฮเปอร์ควอดริกข้างต้น แล้วก็ยังมีการพัฒนาเพิ่มเติมความซับซ้อนของรูปร่างไฮเปอร์ควอดริก เรียก คอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก หรือ ไฮบริดไฮเปอร์ควอดริก โดยส่วนที่เพิ่มอาจอยู่ในรูปพหุนามของเลขชี้กำลัง

\sum_{i=1}^{N_p} {|l^{(pol)}_i (x,y,z)|^{1 \over \epsilon_i}} + \sum_{m=1}^{M} {w_m \cdot e^{-\sum_{j=1}^{N_e}{|l^{(exp)}_{mj}(x,y,z)|^{1\over\epsilon_{mj}}} }} = 1

พจน์ที่เพิ่มเข้ามา มีผลในการปรับแต่งรูปทรงของผิวเฉพาะที่ เช่นใช้ในการเพิ่มหลุม หรือ รอยบุ๋ม ดังแสดงในภาพด้านล่าง

\Rightarrow
ไฮเปอร์ควอดริก ภาพคอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก โดยการเพิ่มพจน์ของเลขยกกำลัง 1 พจน์