การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

บทความนี้มีลิงก์แทรกในบทความที่ข้ามไปภาษาอื่นโดยเป็นลิงก์สีฟ้าอ่อน
โดยผู้เขียนใส่ไว้เพื่อสะดวกในการเขียน และควรแก้ลิงก์ภาษาอื่นเป็นข้อความธรรมดา เมื่อมีลิงก์ภาษาไทยที่ถูกต้อง หรือเห็นควร เพื่อไม่ให้ผู้อ่านสับสน

การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง (continuous Fourier transform) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูริเยร์นั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม

(ดูเพิ่มเติมที่บทความหลัก การแปลงฟูริเยร์)

สารบัญ

[แก้] นิยาม

สมมุติ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง F และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย

การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง การแปลงกลับ
\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,d t \mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega

โดยที่ จำนวนจริง ω คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง F(ω) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(t) ที่แต่ละความถี่

สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) 1/\sqrt{2\pi} ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ \,1/2\pi\, เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ \,1/2\pi\, (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง f(t) ไปเป็น F(ω) และแปลงกลับ จะได้ f(t) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด

[แก้] รูปทั่วไป

คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้

F(\omega) = \sqrt{\frac{|b|}{(2 \pi)^{1-a}}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i b \omega t} \, dt f(t) = \sqrt{\frac{|b|}{(2 \pi)^{1+a}}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i b \omega t} \, d\omega

โดยที่ ค่าคงที่ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก (a,b) = (0,1) ค่า a และ b ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ (a,b) = (0,2π) ซึ่งในกรณีนี้ ω จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญญลักษณ์ ν หรือ f ในการณีที่ a และ b เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก a มีหน่วยเวลา bจะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที

[แก้] การแปลงในมิติที่สูงขึ้น

สำหรับฟังก์ชัน f(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่องจะกำหนดโดย

F(\mathbf{k})= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^N \int_{\mathbb{R}^N} f (\mathbf{x})\,e^{-i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{x}

โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:

\delta(\mathbf{k})=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^N \int_{\mathbb{R}^N} e^{\pm i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{x}

เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:

f(\mathbf{x})= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^N \int_{\mathbb{R}^N} F (\mathbf{k})\,e^{+i\,\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{k}

[แก้] คู่ของการแปลง

ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ

คุณสมบัติ ฟังก์ชัน ผลการแปลงฟูริเยร์
\,f(t), g(t)\, \iff \,F(\omega), G(\omega)\,
ความเป็นเชิงเส้น a f(t) + b g(t)\, \iff a F(\omega) + b G(\omega)\,
การสลับ * F(t)\, \iff f(-\omega)\,
การเลื่อน (translation) f(t-a)\, \iff e^{- i\omega a} F(\omega)\,
การมอดูเลต (modulation) e^{ iat} f(t)\, \iff F(\omega - a)\,
การสเกล f \left ( \frac{t}{a} \right ) \, \iff |a| F ( a \omega )\,
การคอนโวลูท (convolution) * (f * g)(t)\, \iff \sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)\,
การคูณ * f(t) g(t)\, \iff {1 \over \sqrt{2\pi}}(F * G)(\omega)\,
อนุพันธ์ของเวลา f^{(n)}(t)\, \iff (i\omega)^n  F(\omega)\,
อนุพันธ์ของความถี่ (-it)^n f(t)\, \iff F^{(n)}(\omega)\,

หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์ 1, 2\pi, \sqrt{2\pi} แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง


การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ
ภาษาอื่น