# Ігри диференційні

### Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ігри диференціальні — напрям в теорії процесів, які описуються диференціальними рівняннями.

Диференціальні ігри мають властивості, характерні як для теорії оптимального керування, так і для теорії ігор. Безпосередньою причиною розвитку теорії диференціальних ігор стали прикладні задачі, в тому числі, військові.

## [ред.] Приклад диференціальної гри

Типовим прикладом задачі диференціальної гри може слугувати задача перехоплення бомбардувальника противника винищувачем. Обидва об'єкти (і винищувач, і бомбардувальник) керовані, і їхня поведінка залежить від того, яким чином діють пілоти. Однак керування знаходиться в руках різних осіб з протилежними інтересами: бомбардувальник ухиляється від зустрічі, а винищувач переслідує його.

Складність задачі керування для пілота винищувача полягає в тому, що в нього відсутня інформація про майбутнє керування противника. Він знає технічні можливості літака, знає його положення в даний момент, однак не може знати, яке рішення про своє керування прийме пілот бомбардувальника в кожний наступний момент часу. Тому його рішення має базуватись на ситуації, яка склалась до цього моменту.

## [ред.] Формальне визначення диференціальної гри

Формально, в загальній формі, диференціальна гра може бути сформульована наступним чином. Є об'єкт керування, поведінка якого описується системою диференціальних рівнянь:

  , (1)

де x — n-вимірний вектор з компонентами x1, ..., xn, а f(x, u) — n-вимірна вектор функція із компонентами fi(x, u), i = 1, ..., n, u та v — керуючі параметри, які представляють r-вимірний та s-вимірний вектори відповідно, які можуть змінюватись на множинах U та V. Крім того, задано термінальну множину M ⊂ En, де En — n-вимірний простір.

Нехай вибрано дві будь які функції u(x) та v(x) так, що u(x) ∈ U, v(x) ∈ V і рівняння

  (2)

має розв'язок. Тоді для кожного початкового стану визначена траєкторія x(t) системи (2) і визначений функціонал

  | ,

де t1 — перший момент часу, коли x(t) ∈ M. Якщо такий момент відсутній, то вважається, що I = + ∞. Задача теорії диференціальних ігор тепер полягає в з'ясуванні питання про те, за яких умов і для яких точок x0 можливо знайти такі функції u0(x) та v0(x), що

.

В такій постановці задачу розв'язано лише для невеликої кількості окремих випадків. Для випадку, коли множина M співпадає з всім простором, а t1 — фіксовано, доведено існування розв'язку гри в деякому узагальненому сенсі. Для загального випадку отримані результати в припущенні деякої дискримінаційної функції другого гравця, який займається керуванням v. А саме: вважається, що приймаючи своє рішення, перший гравець знає майбутнє керування другого на деякому малому відрізку часу. В цьому випадку вдається довести, що весь простір початкових положень може бути розбито на дві області так, що виходячи із першої області, перший гравець завжди може гарантувати собі завершення гри з кінцевою ціною I. В той же час, як в точках другої області він не може собі гарантувати жодного скінченного значення ціни. Побудовано достатні умови можливості завершення гри зі скінченою ціною. Ці умови можна застосувати в основному для розв'язування задач з лінійним об'єктом керування.

## [ред.] Джерела інформації

- Енциклопедія кібернетики, Пшеничний Б. Н., т. 1, c. 342-343.

## [ред.] Дивіться також

- Диференціальні рівняння
- Теорія ігор

| Статті теорії ігор
Типи ігор | антагоністичні · диференціальні · матричні · на виживання · рефлексивні · азартні · без побічних платежів · безкоаліційні · біматричні · вироджені · динамічні · з вибором моменту часу · кооперативні · на графі · на одиничному квадраті · опуклі · позиційні · прості · рекурсивні · стохастичні
Ситуації | Безвиграшна ситуація · Парадокс Бертрана (економіка) · Ситуація рівноваги
Стратегія | змішана · оптимальна · поведінки · чиста
Теореми | Максіміна принцип · Мінімаксу теорема
Ігри | Дилема в'язня

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../%D1%96/%D0%B3/%D1%80/%D0%86%D0%B3%D1%80%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96.html

Категорії: Теорія ігор | Диференціальні рівняння

##### Views

- Стаття
- Обговорення
- Поточна версія

##### Участь

- Портал спільноти
- Кнайпа
- Довідка
- Пожертвування

##### Пошук