# AKS тест простоти

### Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

AKS тест простоти (також відомий як Агравал-Кайал-Саксена тест простоти та циклотомічний AKS тест) є детермінованим алгоритмом доведення проcтоти, розробленим та опублікованим трьома індійськими науковцями Маніндрою Агравалом, Ніраєм Кайалом та Нітіном Саксеною 6 серпня 2002р. в статті "PRIMES is in P"("Перевірка простоти належить до класу P").[1] Автори отримали за цю роботу у 2006 премію Геделя.

Алгоритм, який невдовзі був вдосконалений іншими, визначає є число простим чи складеним і виконується за поліноміальний час.

## [ред.] Важливість

Ключове значення AKS полягає в тому, що це перший опублікований алгоритм, який одночасно є поліноміальний, детермінований та не спирається ні на які недоведені припущення. Тобто, максимальний час виконання алгоритму можна виразити як поліном від числа розрядів тестованого числа; він ґарантує вирішення задачі: є число простим чи складеним (а не отримання ймовірнісного результату); і його коректність не залежить від коректності якоїсь допоміжної недоведеної гіпотези (наприклад, гіпотези Рімана).

## [ред.] Підґрунтя тесту

AKS тест простоти ґрунтується на конгруенції

яка виконується тоді і тільки тоді, коли n просте. Це узагальнення малої теореми Ферма поширеної на поліноми. Її можна легко довести, використовуючи біноміальну теорему та факт, що : для всіх 0 < k < n якщо n просте. Хоч ця рівність сама по собі є тестом простоти, її перевірка вимагає експоненційний час. Тому AKS використовує пов’язану з попередньою конгруенцію

яку можна перевірити за поліноміальний час. Проте, ця конгруенція виконується не тільки для всіх простих чисел, але й для деяких складених. Доведення коректності AKS полягає в такому: показати існування відповідного малого r та відповідної малої множини цілих чисел A таких, що коли конгруенція виконується для всіх a в A, то n мусить бути простим. Алгоритм тестування простоти деякого цілого числа n складається з двох частин. Перший крок знаходить таке відповідне просте r = k q + 1, що:

- P(r − 1) = q де P(x) найбільший простий дільник числа x,

Під час цього кроку важливо перевірити, що n не ділиться ні на яке просте ; якщо це не так, то алгоритм можна негайно перервати з повідомленням: n складене. На другому кроці, виконується низка перевірок в скінченному полі G F(nr), кожен раз перевіряється рівність двох поліномів над цим полем: якщо

для всіх додатніх цілих чисел a з

то n ґарантовано є простим. У всіх інших випадках воно складене. Як і для інших таких алгоритмів, стаття стосується встановлення двох фактів: доведення коректності алгоритму та оцінки його асимптотичної часової складності. Це досягнуто доведенням двох ключових фактів, по-перше, показано що підхоже r можна завжди знайти й встановленням верхньої границі його величини, по-друге, показано, що перевірки низки рівностей у другій частині алгоритму достатньо для гарантування розрізнювання: n просте чи складене. Оскільки час виконання обидвох частин алгоритму повністю залежить від величини r, отримання верхньої границі для r було достатнім, щоб показати, що асимптотична часова складність алгоритму рівна O(log12 + ε(n)), де ε мале дійсне число. Іншими словами, алгоритм потребує менше часу, ніж константа помножена на дванадцятий (плюс ε) степінь числа розрядів в n. Проте, доведена в роботі верхня межа значно завищена, насправді, виконання припущення про розподіл простих чисел Софі-Жермен негайно зменшило б оцінку до O(log6 + ε(n)). У наступні після відкриття місяці з’явилися нові варіанти (Ленстра 2002, Померанце 2002, Берізбейтіа 2003, Ченг 2003, Бернштейн 2003a/b, Ленстра та Померанце 2003), які покращили швидкість на кілька порядків. Через існування багатьох варіантів, Крандел та Пападопоулос посилаються на "AKS-клас" алгоритмів у своїй науковій роботі "On the implementation of AKS-class primality tests" ("Про реалізацію тестів простоти з AKS-класу"), опублікованій у березні 2003р.

## [ред.] AKS оновлений

У відповідь на деякі з цих варіантів та інші зауваження стаття "PRIMES is in P" була повторно опублікована з новим формулюванням AKS алгоритму та доведенням його коректності. Хоча основна ідея залишилася тією ж, r вибирається по-іншому й доведення коректності виконано більш прозоро. Попереднє доведення спиралося на багато різних методів, а нова версія використовує майже виключно поведінку циклотомічних поліномів над скінченними полями. AKS алгоритм знову складається з двох частин, і перший полягає в знаходженні відповідного r; проте, у новій версії r є таким найменшим додатнім цілим, що: or(n) > log2n, На другому кроці знову перевіряється конгруенція

У цьому разі для всіх додатніх цілих менших від де φ(r) значення функції Ейлера для r Ці зміни спростили хід доведення коректності. Вони також дозволили зменшити границю часової складності, яка тепер рівна O(log10.5n).

Ленстра та Померанце показали[2] як вибрати поліноми в тесті, щоб досягти часової границі O(log6n).

## [ред.] Література

1. ^ Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781-793.
2. ^ H. W. Lenstra, Jr. and Carl Pomerance, "Primality Testing with Gaussian Periods", preliminary version July 20, 2005.

## [ред.] Зовнішні зв’язки

- R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
- Article by Borneman, містить фото й інформацію про трьох індійських вчених (PDF)
- Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime
- The Prime Facts: From Euclid to AKS, by Scott Aaronson (PDF)
- The "PRIMES is in P" FAQ

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../a/k/s/AKS_%D1%82%D0%B5%D1%81%D1%82_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B8_cbf3.html

Категорії: Інформаційна безпека | Криптографія

##### Views

- Стаття
- Обговорення
- Поточна версія

##### Участь

- Портал спільноти
- Кнайпа
- Довідка
- Пожертвування

##### Пошук

##### Іншими мовами

- العربية
- Deutsch
- English
- Français
- 日本語
- Polski
- Português