Phân số liên tục

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Phân số liên tục (tiếng Anh: continued fraction) còn gọi là liên phân số là một dạng biểu diễn các số thực, cả các số hữu tỷ và vô tỷ, dưới dạng một phân số nhiều tầng. Ví dụ

\frac 9 7 = 1+ \cfrac {1} {3+\cfrac {1}{2}}

[sửa] Định nghĩa

Phân số liên tục là biểu thức dạng

x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}}

trong đó a0 là một số nguyên và tất cả các số an là số nguyên dương. Phân số liên tục có thể biểu diễn chính xác các số thực.

Chúng ta thường quen với biểu diễn thập phân của số thực:

r = \sum_{i=0}^\infty a_i 10^{-i}

trong đó a0, là số nguyên bất kỳ, còn mỗi số ai là một phần tử của {0, 1, 2, ..., 9}. Trong cách biểu diễn này, một số có thể biểu diễn bởi dãy {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}.

Tuy thế, theo cách biểu này có một số vấn đề. Một trong các vấn đề đó là sự tùy ý của cơ số 10. Tại sao là 10? Phải chăng là từ các yếu tố sinh học chứ không phải toán học (mỗi người chúng ta có 10 ngón tay); thay vì cơ số 10 ta có thể dùng cơ số 8 hoặc 2. Một vấn đề khác là biểu diễn của các số hữu tỷ trong hệ này, chẳng hạn số ⅓ được biểu diễn bởi dãy vô hạn {0, 3, 3, 3, 3, ....}. Vấn đề thứ ba là các biểu diễn của một số là không duy nhất; chẳng hạn, 0.999...=1.

Phân số liên tục đưa ra một cách biểu diễn số thực giải quyết cả ba vấn đề trên. Chẳng hạn, xét số 415/93, phần nguyên của phân số này là 4, phần lẻ của nó là số \frac {43} {93} xấp xỉ với \frac 1 2, ta muốn giữ nguyên tử số 1 thay mẫu số 2 bằng một số khác, chính xác hơn là 2+\frac 7 {43} , khi đó có thể viết

\frac {415} {93}=4+\frac {43} {93}=4+\cfrac 1 {\cfrac {93} {43}}=4+ \cfrac 1 {2+\cfrac {7} {43}}=4+\cfrac 1 {2+\cfrac 1 {\cfrac {43} {7}}}=4+\cfrac 1 {2+\cfrac 1 {6+\cfrac {1} {7}}}.
Thay cho cách viết cồng kềnh trên ta quy ước viết
\frac {415}{93}= 4+ \frac 1 {2+}+\frac 1 {6+} +\frac 1 {7}
hay đơn giản là 415/93= 4+1/(2+1/(6+1/7)),
hay đơn giản hơn nữa 415/93= [4; 2, 6, 7].

Có thể chứng minh rằng: Phân số liên tục biểu diễn một số là hữu hạn khi và chi khi số đó là hữu tỷ.