Ánh xạ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số. Hàm số lại xuất phát từ khái niệm tương quan giữa các đại lượng vật lý. Chẳng hạn trong một chuyển động đều, độ dài quãng đường đi được bằng tích của tốc độ với thời gian. Nếu tốc độ là 5m/s thì quãng đường đi được trong t giây là s = 5t.

Về ý nghĩa, ánh xạ biểu diễn một tương quan (quan hệ) giữa các phần tử của hai tập hợp XY thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử x của tập X đều có một và chỉ một phần tử y \in Y tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau. Khái niệm hàm nói trên là khái niệm hàm đơn trị, nó cho phép với mỗi x chỉ có một y duy nhất tương ứng với x. Tuy nhiên trong lý thuyết hàm, hàm còn có thể bao hàm các hàm đa trị, trong đó một giá trị x có thể tương ứng với một số giá trị của y.

Bài này chỉ viết về các ánh xạ (hàm) đơn trị.

Mục lục

[sửa] Các thuật ngữ cơ bản

Trong các sách giáo khoa toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông thường định nghĩa:

Ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu f:X \to Y) là một quy tắc cho mỗi phần tử x \in X tương ứng với một phần tử xác định y \in Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y = f(x).
Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.
Với mỗi y \in Y, tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, kí hiệu là f − 1(y)
f^{-1}(y)=\{x\in X | f(x)=y \}
Với mỗi tập con A \subset X, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của x \in A qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A kí hiệu là f(A)
f(A)= \{y = f(x) , x \in A \}
Với mỗi tập con B \subset Y, tập con của X gồm các phần tử x có ảnh f(x) \in B được gọi là tạo ảnh của tập B kí hiệu là f − 1(B)
f^{-1}(B) = \{x \in X: f(x)\in B\}

Một định nghĩa khác, dùng trong lý thuyết tập hợp, sau khi định nghĩa khái niệm quan hệ, người ta định nghĩa:

Một ánh xạ \mathcal F từ tập X vào tập Y là một quan hệ \mathcal F từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử x \in X đều có quan hệ \mathcal F với một và chỉ một phần tử y \in Y.
Viết dưới dạng mệnh đề, ánh xạ \mathcal F, kí hiêu \mathcal F : X \to Y, là một quan hệ \mathcal F \subset X.Y thoả mãn:
  1. \forall x \in X,\exists y \in Y : x \mathcal F y;
  2. \forall x \in X, \forall y,\forall {y'}\in Y: x \mathcal F y , x \mathcal F y' \Rightarrow y=y'

Nếu X và Y là các tập hợp số thì ánh xạ f: X\to Y được gọi là hàm số. Khi đó X cũng được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f(x),tập các ảnh f(X) được gọi là miền giá trị của hàm f(x).

[sửa] Vài tính chất cơ bản

A = \empty \Leftrightarrow f(A)= \empty
  • Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
A \subset B\Rightarrow f(A) \subset f(B)
  • Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)
  • Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)

[sửa] Toàn ánh, đơn ánh và song ánh

  • Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y
f(X) = Y
hay
\forall y\in Y, \exists x \in X: f(x) = y
  • Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y
\forall x_1,x_2 \in X: x_1\ne x_2 \Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)
hay
\forall x_1,x_2 \in X: f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 =x_2
  • Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1.

[sửa] Một số ánh xạ đặc biệt

  • Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x \in X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất y0 \in Y.
  • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.
  • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con X \subset Y vào Y cho f(x)= x với mọi x \in X. Khi đó ta ký hiệu f : X \hookrightarrow Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu f: X \to Y là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con f(X) \subset Y, f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con f(X) \subset Y bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.

[sửa] Ánh xạ tích và ánh xạ ngược

  • Ánh xạ tích
Cho hai ánh xạ f: X \to Yg; Y \to Z. Tích của hai ánh xạ f,g, ký hiệu là g\circ f là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức:
(g\circ f)(x)=g (f(x))
  • Một số tính chất của ánh xạ tích
Nếu (g\circ f) là đơn ánh thì f là đơn ánh.
Nếu (g\circ f) là toàn ánh thì g là toàn ánh.
Nếu (g\circ f) là song ánh thì f và g đều là song ánh.
  • Ánh xạ ngược (Inverse map)
Cho ánh xạ f:X \to Y, nếu có ánh xạ g: Y \to X sao cho
\forall x \in X: (g\circ f)(x) =x
\forall y \in Y: (f\circ g)(x) =y
thì g được gọi là ánh xạ ngược, hay nghịch đảo của f, kí hiệu là f − 1.
Ánh xạ f có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.

[sửa] Các khái niệm ánh xạ khác (dịch từ tiếng anh)

  • Ánh xạ xạ ảnh
  • Canonical map Ánh xạ chính tắc
  • Classifying map Ánh xạ phân loại
  • Conformal map Ánh xạ bảo giác
  • Constant map Ánh xạ không đổi
  • Contiguous map Ánh xạ tiếp lên
  • Continuous map Ánh xạ liên tục: [1]
    • Ánh xạ f từ x0 \in X lên Y sao cho với mỗi lân cận W của f(x0) đều tồn tại lân cận V của x0 trong X (V \subset X) sao cho f(V) \subset W được gọi là ánh xạ liên tục tại x0 lên Y
    • Ánh xạ Y = f(X) được gọi là ánh xạ liên tục từ X vào Y nếu nó liên tục với mọi x \in X
  • Ánh xạ đồng phôi: f:X→Y là ánh xạ song ánh, liên tục và ánh xạ ngược f − 1 cũng liên tục. Khi đó X và Y được gọi là hai không gian, hai tập hợp đồng phôi hay tương đương tô pô [2]
  • Contour map Phương ánh các đường nằm ngang
  • Equivariant map Ánh xạ đẳng biến
  • Evaluation map Ánh xạ định giá
  • Excission map Ánh xạ cắt
  • Fibre map Ánh xạ phân thớ, ánh xạ các không gian phân thớ
  • Identification map Ánh xạ đồng nhất hoá
  • Inclusion map Ánh xạ nhúng chìm
  • Interior map Ánh xạ trong
  • Involutory map Ánh xạ đối hợp
  • Light map Ánh xạ chuẩn gián đoạn (khắp nơi có các điểm gián đoạn)
  • Lowering map Ánh xạ hạ thấp
  • Regular map Ánh xạ chính quy
  • Shrinking map Ánh xạ co rút
  • Simplicial map Ánh xạ đơn hình
  • Tensor map Ánh xạ tenxơ
  • Affine maping Ánh xạ afin
  • Analytic maping Ánh xạ giải tích
  • Bicontinuous maping Ánh xạ song liên tục
  • Chain maping Ánh xạ chuỗi, ánh xạ dây chuyền
  • Closed maping Ánh xạ đóng: f:X→Y được gọi là ánh xạ đóng nếu với mọi tập A đóng \in X đều có f(A) là tập đóng trong Y [3]
  • Open maping Ánh xạ mở: f:X→Y được gọi là ánh xạ mở nếu với mọi tập A mở \in X đều có f(A) là tập mở trong Y [4]
  • Diferentiable maping Ánh xạ khả vi
  • Epimorphic maping Ánh xạ toàn hình
  • Homomorphous maping Ánh xạ đồng cấu
  • Homotopic maping Ánh xạ dây chuyền đồng luân
  • Isometric maping Ánh xạ đẳng cực
  • Isotonic maping Ánh xạ bảo toàn thứ tự
  • Linear maping Ánh xạ tuyến tính
  • Meromorphic maping Ánh xạ phân hình
  • Monomorphic maping Ánh xạ đơn cấu
  • Monotone maping Ánh xạ đơn điệu
  • Non-alternating maping Ánh xạ không thay phiên
  • Norm-preserving maping Ánh xạ bảo toàn chuẩn
  • One-to-one maping Ánh xạ một-một, hai chiều, (song ánh)
  • Perturbation maping Ánh xạ lệch
  • Preclosed maping Ánh xạ tiền đóng
  • Pseudoconformal maping Ánh xạ giả bảo giác
  • Quasi-conformal maping Ánh xạ tựa bảo giác
  • Quasi-open maping Ánh xạ tựa mở
  • Rational maping Ánh xạ hữu tỷ
  • Sense-preserving maping Ánh xạ bảo toàn chiều
  • Slit maping Ánh xạ lên miền có lát cắt trong
  • Starlike maping Ánh xạ hình sao
  • Symplectic maping Ánh xạ đối ngẫu ximplectic
  • Topological maping Ánh xạ tô pô
  • Univalent maping Ánh xạ đơn diệp

[sửa] Xem thêm

[sửa] Liên kết

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê