Nhóm (đại số)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Mục lục

Lý thuyết nhóm xuất hiện lần đầu trong công trình của nhà toán học Pháp Évariste Galois vào năm 1830 khi ông nghiên cứu về điều kiện để các phương trình đại số giải được bằng căn thức. Khi đó các nhóm thường được nghiên cứu là nhóm các hoán vị. Rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau được quy về cấu trúc nhóm. Trong đó bao gồm cả cấu trúc của tập hợp các số nguyên, số hữu tỷ, số thức,số phức. Lý thuyết nhóm được ứng dụng rộng rãi trong toán học và các ngành khoa học kỹ thuật khác.

[sửa] Định nghĩa

Trong đại số, một nhóm là một tập hợp G, cùng với một phép toán hai ngôi, ký hiệu " * ", từ G×G vào G thỏa mãn các tính chất sau:

1. Tính kết hợp: phép toán có tính kết hợp, tức là

(a*b)*c = a*(b*c)
với mọi a, bc thuộc G.

2. Phần tử đơn vị: (còn gọi là phần tử trung hoà)tồn tại một phần tử được gọi là phần tử đơn vị (kí hiệu là 1) sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì

a*1 = 1*a = a.

3. Phần tử nghịch đảo: với mỗi phần tử a thuộc G tồn tại một phần tử x, gọi là phần tử nghịch đảo của a, sao cho:

x*a = a*x = 1.

Lý thuyết toán học phát triển cho các nhóm gọi là lý thuyết nhóm. Lý thuyết này có nhiều ứng dụng vì nhiều thực thể toán học đã gặp trong khoa học thỏa mãn điều kiện trở thành nhóm. Nhóm đại số cũng giúp nghiên cứu về sự đối xứng, một tính chất thường gặp trong tự nhiên và vật lý học.

[sửa] Những lưu ý về nhóm

  • Nhóm là một tập đóng đối với phép toán *, với mọi a và b thuộc G, a*b thuộc G.
  • Khi nói đến
    • Nhóm phi giao hoán
      • Phép toán * thường được gọi là phép nhân và ký hiệu " . "
      • Nhóm G được gọi là nhóm nhân.
      • Với mọi a,b thuộc G, phần tử a.b là tích của a và b .
      • Phần tử đơn vị là 1.
      • Phần tử nghịch đảo của a kí hiệu a 1.
    • Nhóm giao hoán
      • Phép toán * thường được gọi là phép cộng kí hiệu "+" .
      • Nhóm G là nhóm cộng .
      • Phần tử a+b là tổng của a và b .
      • Phần tử đơn vị là 0 .
      • Phần tử nghịch đảo của a kí hiệu -a .

[sửa] Ví dụ

[sửa] Nhóm giao hoán (nhóm Abel)

  1. Tập các số nguyên, Z, với phép toán là phép cộng thông thường, phần tử đơn vị là 0.
  2. Tập các số hữu tỉ dương với phép toán là phép nhân thông thường, phần tử đơn vị là 1.
  3. Tập hợp các phần tử của một vành bất kì với phép toán cộng của vành, phần tử đơn vị là 0 (nhóm này được gọi là nhóm cộng của vành).
  4. Tập hợp các phần tử khác 0, khả nghịch của một vành K giao hoán với phép nhân của vành, phần tử đơn vị là 1 (gọi là nhóm nhân của vành, kí hiệu K*).

[sửa] Nhóm phi giao hoán

  1. Tập các ma trận vuông khả nghịch cấp n với phép toán là phép nhân ma trận, phần tử đơn vị là ma trận đơn vị cấp n.
  2. Tập tất cả các song ánh (ánh xạ 1-1) (reflection one-for-one) từ một tập khác rỗng M vào chính nó (kí hiệu S(M)) với phép toán là phép nhân (phép hợp) ánh xạ, phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất.
  3. Nếu trong ví dụ trên tập M là tập các số tự nhiên từ 1 đến n, thì S(M) là nhóm các hoán vị (còn gọi là nhóm các phép thế), kí hiệu Sn- một nhóm quan trọng trong lí thuyết nhóm.
  4. Tập các phần tử khả nghịch đối với phép nhân trong vành Zm(Tập các số tự nhiên nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m đối với phép nhân theo môđun m ( m \in \mathbb N,m>1)

[sửa] Nhóm con

[sửa] Các khái niệm liên quan

[sửa] Các định lí hữu ích

  • Các tính chất cơ bản
  • Định lí Lagrange
  • Định lí Sylow

[sửa] Xem thêm