Тэарэма Менелая
Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.
Тэарэма Мэнэлая - гэта клясычная тэарэма афіннай геамэтрыі.
Калі пункты A',B' і C' ляжаць адпаведна на прамых BC,CA і AB трохкутніка , то яны калінэарныя, тады і только тады калі
Тут ,
і
азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасьці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:
[рэдагаваць] Гісторыя
Падобны вынік у сфэрычнай геамэтрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Мэнэлая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналягічны вынік на плоскасьці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.
[рэдагаваць] Доказ
Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой A'C' . Трохкутнікі і
падобныя (па двум вуглам), таму
і, значыць -
.
З другога боку, падобнымі зьяўляюцца таксама і трохкутнікі і
, таму
і, такім чынам -
.
Але ў такім выпадку
або
.
Магчымыя два разьмяшчэньні пунктаў A',B' і C', альбо два зь іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэньні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэньнях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем