রৈখিক ফাংশনাল
উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে
রৈখিক ফাংশনাল হলো কোন ভেক্টর স্থান থেকে ঐ ভেক্টর স্থানের ফীল্ডে কোন রৈখিক ফাংশন। বিভিন্ন পরিস্থিতিতে একে রৈখিক ফর্ম, বা কো-ভেক্টরও বলা হয়।
কোন ভেক্টর স্থান V এর ফীল্ড যদি F হয়, তবে কোন ফাংশন একটি রৈখিক ফাংশনাল হবে যদি তা রৈখিক হয়, অর্থাৎ
হয়, যেখানে
দুইটি ভেক্টর। লক্ষ্যণীয়, ফাংশনটি নেয় একটি ভেক্টর, ফেরত দেয় একটি স্কেলার।
[সম্পাদনা] উদাহরণ
- ইউক্লিডীয় স্থানে, কোন নির্দিষ্ট ভেক্টর
এর সাথে অন্তর্নিহিত গুণন বা ডট গুণন প্রক্রিয়াটি একটি রৈখিক ফাংশনাল। এই ফাংশনালটিকে অপর একটি ভেক্টর
এর উপর প্রয়োগ করলে ফলাফল হয়
।
- [a,b] এর উপর সংজ্ঞায়িত অবিচ্ছিন্ন ফাংশন-দের ভেক্টর স্থানে সমাকলন একটি ফাংশনাল। অর্থাৎ
একটি ফাংশনাল যা একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f নেয় এবং [a,b] এর উপর তার সমাকলিত মান ফেরত দেয়।
[সম্পাদনা] দ্বৈত ভেক্টর স্থান
রৈখিক ফাংশনালরা নিজেরাও একটি ভেক্টর স্থান গঠন করে (একই ফীল্ডে) যাকে মূল ভেক্টর স্থানের দ্বৈত ভেক্টর স্থান বলা হয়। ক্যাটাগরি তত্ত্বের ভাষায় এই স্থানটির নাম HomF(V,F)।
[সম্পাদনা] ব্যবহার
- কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় আগ্রহের ভেক্টর স্থান হলো একটি হিলবার্ট স্থান, যা স্বভাবতই একটি ভেক্টর স্থান। ডিরাকের "ব্রা-কেট" পদ্ধতিতে কোন সিস্টেমের অবস্থা ভেক্টরকে প্রকাশ করা হয় একটি কেট (যেমন
) এর মাধ্যমে, এবং সম্ভাবনা হিসাব করতে ঐ স্থানের দ্বৈত স্থানের কোন ফাংশনালকে একটি ব্রা (যেমন
) হিসাবে প্রকাশ করে তার উপর প্রয়োগ করা হয় (ফলাফল, একটি "ব্রাকেট",
, একটি জটিল সংখ্যা, যার পরম মানের বর্গ সম্ভাবনার সমানুপাতিক)।