লুকাস ধারা

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

লুকাস ধারা হলো ফিবোনাচ্চি রাশিমালালুকাস রাশিমালার সাধারণ রূপ। ফরাসি গণিতবিদ এদুয়ার লুকার নামানুসারে এই ধারার নামকরণ করা হয়েছে।

সূচিপত্র

[সম্পাদনা] পৌনপুনিক সম্পর্ক (Recurrence relations)

দুইটি পূর্ণ সংখ্যা P and Q এর মধ্যে যদি নিম্নের সম্পর্কটি বিদ্যমান থাকে,

P^2 - 4Q \neq 0

তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) - এই দুইটি লুকাস ধারা নিম্নের পৌনপুনিক সম্পর্ক (recurrence relation) দ্বারা প্রকাশ করা যায়,

U0(P,Q) = 0
U1(P,Q) = 1
Un(P,Q) = PUn − 1(P,Q) − QUn − 2(P,Q) for n > 1

এবং

V0(P,Q) = 2
V1(P,Q) = P
Vn(P,Q) = PVn − 1(P,Q) − QVn − 2(P,Q) for n > 1

[সম্পাদনা] বীজগাণিতিক সম্পর্ক

যদি দ্বিঘাত সমীকরণ

x2Px + Q = 0

এর সমাধান হয় a এবং b , তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) -কেও ab এর মাধ্যমে নিম্নের সূত্র দিয়ে প্রকাশ করা যায় -

U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{P^2-4Q}}
Vn(P,Q) = an + bn

এ থেকে নিম্নের সমীকরণ বের করা যায় -

a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{P^2-4Q}}{2}
b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{P^2-4Q}}{2}.

এখানে ধরা হয়েছে, a এবং b হলো আলাদা, যাতে P2 − 4Q এর মান ০ না।.

[সম্পাদনা] অন্যান্য সম্পর্ক

লুকাস ধারার সংখ্যাগুলি ফিবোনাচ্চি বা লুকাস রাশিমালার সংখ্যাগুলির সকল সম্পর্ক মেনে চলে, যেমন:-

U_n = \frac{V_{n+1} - Q V_{n-1}}{P^2-4Q}
Vn = Un + 1QUn − 1
U2n = UnVn
V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n
Un + m = UnUm + 1QUmUn − 1
Vn + m = VnVmQmVnm.

[সম্পাদনা] বিশেষ নামকরণ

P এবং Q এর কিছু বিশেষ মানের দ্বারা তৈরী লুকাস ধারার বিশেষ কিছু নাম রয়েছে, যেমন:-

Un(1,−1) : ফিবোনাচ্চি রাশিমালা
Vn(1,−1) : লুকাস রাশিমালা
Un(2,−1) : পেল রাশিমালা
Un(1,−2) : জ্যাকবস্থাল রাশিমালা

[সম্পাদনা] প্রয়োগ

  • [[এলইউসি ক্রিপ্টোসিস্টেম[] হলো লুকাস ধারাকে ব্যবহার করে তৈরী করা এক প্রকারের ক্রিপ্টোসিস্টেম।

[সম্পাদনা] তথ্যসূ্ত্র

  • Ribenboim, Paulo (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag New York Inc.. ISBN 0-387-98911-0.
অন্যান্য ভাষা