مجموعة عدودة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في الرياضيات , يستخدم مصطلح عدود أو قابل للعد , بشكل مغاير للمفهوم السائد , فهو يعبر عن قدرتنا عن نسب كل عنصر من المجموعة لأحد أعداد مجموعة الأعداد الطبيعية أي قدرتنا أن ننسب لكل عنصر عدد طبيعي يمثل ترتيبه .


تعتبر المجموعة عدودة countable إذا كان عدد العناصر فيها منتهيا أو اذا كانت تحوي نفس عدد العناصر التي تحويها مجموعة الأعداد الطبيعية natural number . قام كانتور بتقديم تعريف آخر للمصطلح و هو أن المجموعة تكون عدودة إذا أمكن مقابلة عناصرها واحدا لواحد مع مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية . فبما أن الأعداد الطبيعية هي المستعملة دوما بغرض العد فإن أي مجموعة تفوق هذه المجموعة بالحجم تعتبر غير عدودة و غير قابلة للعد uncountable .

الأحجام المختلفة للمجموعات غير المنتهية من اختصاص نظرية الأعداد الترتيبية .

[تحرير] تعريف رياضي

تكون المجموعة S عدودة countable إذا وجدت دالة تباينية injective :

f\colon S \to \mathbb{N}

اذا كان f تقابليا عندئذ تدعى لامنتهية عديا countably infinite .

مع هذا فإن بعض المؤلفين يستخدم مصطلح عدود countable ليدل على ما هو غير منتهي عديا countably infinite .

مبرهنة:

إذا كانت S مجموعة غير فارغة عندئذ تكون العبارات التالية متكافئة :


(1) S مجموعة عدودة
(2) هناك دالة تباينية تحقق ما يلي :
f\colon S \to \mathbb{N} 
(3) هناك دالة غامرة
g\colon \mathbb{N} \to S