جيب

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

جيب في الرياضيات هو النسبة بين الضلع المقابل لزاوية والوتر في مثلث ذو زاوية قائمة ، بحيث يكون الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

في رياضيات، تعتبر التوابع مثلثية أو الدوال المثلثية دوال لزاوية هندسية، و هي دوال مهمة عندما نريد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال كنسبة لأضلاع مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية unit circle . في الرياضيات ، الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، او ، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات ان الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي) ، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما. وهناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي: • جا أو الجيب ، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر. • جتا أو جيب التمام ، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر. • ظا او الظل ، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.

تكبير

علم المثلثات علم المثلثات هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا و المثلثات و التوابع المثلثية مثل الجيب و التجيب. علم المثلثات هو نوعا ما فرع من الهندسة. لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات في الجغرافية و الفلك، وفي انظمة الاستكشاف بالاقمار الصناعية. يقال عن مثلثين انهما متشابهين اذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، اي عندما ينتج احدهما عن الاخر بتكبيره او تصغيره. ان اطوال اضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، اي انه اذا كان طول اقصر اضلاع المثلث الاول هو ضعفا طول اقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الاول هو ضعفا طولي لضلعين الاطول و المتوسط من المثلث الثاني ايضا، و بالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الاول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الاقصر و الاطول في المثلث الثاني. اعتمادا على هذه الحقائق، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين المثلث القائم. في البداية، من الواضح انه اذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، و تكون النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين (الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين و تعتمد فقط على قيمة الزاوية، و ستكون عددا بين 0 و 1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف تجيب الزاوية على انها النسبة بين الضلع المجاور لها و الوتر. جيب يه = المقابل / الوتر تجيب يه = المجاور / الوتر تابعا الجيب و التجيب هما اهم التوابع المثلثية، هناك ايضا توابع اخرى تعرف باخذ نسب اخرى من اضلاع المثلث القائم، او نسب من التابعين الاساسيين جيب و تجيب، هذه التوابع هي: طل، تطل، قا، و تقا. طل يه = جيب يه / تجيب يه = المقابل / المجاور تطل يه = تجيب يه / جيب يه = المجاور / المقابل قا يه = 1 / تجيب يه = الوتر / المجاور تقا يه = 1 / جيب يه = الوتر / المقابل بهذا نكون قد عرفنا التوابع المثلثية للزوايا من 0 الى 90، من الممكن توسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام الدائرة الواحدية. عند امكانية حساب التوابع المثلثية (من جداول او الالة الحاسبة) و معرفة قيم ضلع و زاويتين او ضلعين و زاوية او ثلاثة اضلاع من المثلث، يمكن ايجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا و اضلاع)



تكافؤ المثلثات شرح تكافؤ المثلثات : عندما تختار تكافؤ المثلثات من اللوحة الرئيسة للبرنامج ستظهر لك منقطة العمل. أولاً : انظر شرح منطقة العمل في الصورة أدناه لمعرفة مدلول ووظيفة كل رمز.


ثانياً : 1 - سيظهر على اللوحة مثلثان متكافئان : وتهدف هذه اللوحة إلى إيضاح تشابههما عندما تناسب أضلاعهم المتناظرة، وهذان المثلثان في هذه اللوحة هما CDE والمثلث الآخر CAB ويلاحظ أسفل منطقة العمل أن نسبة أي ضلعين متناظرين ثابتة وهي نسبة التكافؤ.


2 – يمكن تكبير أو تصغير المثلثين بالضغط على إحدى النقاط A, B, C, F وستبقى النسبة بين أي ضلعين متناظرين ثابتة وهي نسبة التكافؤ بين المثلثين.

ومن اهم العلماء الذين اسهمو في علم المثلثات نصير الدين الطوسي نصير الدين الطوسي 672-597هـ/1274-1201م أحد الأفذاذ القلائل الذين ظهروا في القرن السادس للهجرة، وأحد حكماء الإسلام المشار إليه بالبنان، وهو من الذين اشتهروا بلقب "العلامة". واسمه الكامل هو : أبو جعفر محمد بن محمد بن الحسن نصير الدين الطوسي، ولد في مدينة طوس، قرب نيسابور (فارس) سنة 597هـ (1201م)، وتوفي في بغداد سنة 672هـ (1274م). ودرس على كمال الدين بن يونس الموصلي وعلى عبد المعين سالم بن بدران المعتزلي. بدأ حياته العملية كفلكي للوالي نصير الدين عبد الرحمن بن أبي منصور في سرتخت. وبلغ الطوسي مكانة كبيرة في عصره، فقد كرمه الخلفاء وجالس الأمراء والوزراء، وهو ما أثار عليه حسد الحاسدين، فوشوا به وحكم عليه بالسجن في قلعة "ألموت"، مع السماح له بمتابعة أبحاثه، فكتب معظم مصنفاته العلمية في هذه القلعة. ولما استولى هولاكو، ملك المغول، على بغداد (656هـ1258-م)، أراد أن يستفيد من علماء أعدائه العباسيين، فأطلق سراح الطوسي وقربه إليه وأسند إليه نظارة الوقف. ثم عينه على رأس مرصد مدينة مراغة (إيران) الذي تم إنشاؤه بطلب من الطوسي. وفي هذا المرصد، كان الطوسي يشرف على أعمال عدد كبير من الفلكيين الذين استدعاهم هولاكو من مختلف أنحاء العالم. ومنهم المؤيد العُرْضِي من دمشق، والفخر المراغى من الموصل، ونجم الدين القزويني، ومحيى الدين المغربي. وقد اشتهر هذا المرصد بآلاته وبمقدرته في الرصد. وبنى بالمرصد مكتبة عظيمة ملأها من الكتب التي نهبت من بغداد والشام والجزيرة. وقدر عدد الكتب بها بنحو أربعمائة ألف مجلد. مؤلفاته كتب نصير الدين في المثلثات، والفلك، والجبر، والهندسة، والحساب، والتقاويم، والطب، والجغرافية، والمنطق، والأخلاق، والموسيقي، وغيرها من المواضيع. كما ترجم بعض كتب اليونان وعلق على مواضيعها شارحاً ومنتقداً. ومن أشهر مؤلفاته : ــ "كتاب شكل القطاع"، وهو أول مؤلف فرق بين حساب المثلثات وعلم الفلك. يقول عنه كارادي فو : "وهو مؤلف من الصنف الممتاز في علم المثلثات الكروية". ترجم إلى اللاتينية والفرنسية والإنجليزية، وظل الأوربيون يعتمدون عليه لعدة قرون. ــ "التذكرة النصيرية"، وهو كتاب عام لعلم الفلك. أوضح فيه كثيراً من النظريات الفلكية، وفيه انتقد "كتاب المجسطي" لبطليموس. ويعترف "سارطون" بأن هذا الانتقاد يدل على عبقرية الطوسي وطول باعه في الفلك. ــ "زيج الإيلخاني" يشتمل على حسابات أرصاده التي قام بها خلال اثنتي عشرة سنة ؛ ــ "كتاب قواعد الهندسة" ؛ ــ "كتاب في الجبر والمقابلة" ؛ ــ "كتاب ظاهرات الفلك" ؛ ــ "كتاب تحرير المناظر" في البصريات. وقد كتب نصير الدين مصنفاته بالعربية والفارسية، وترجمت إلى اللاتينية وغيرها من اللغات الأوربية في العصور الوسطى، كما تم طبع العديد منها.

وخلاصة القول، فقد كان الطوسي من أعظم علماء الإسلام ومن أكبر رياضييهم، فقد أسهم بشكل كبير في تطوير العلوم ولا سيما الفلك والرياضيات، وظلت كتبه مراجع لعدة قرون، ونالت شهرة كبيرة بفضل ما قدم مؤلفها من إسهامات غنية.

حساب المثلثات فرع من الرياضيات يعنى بالعلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات، ويقدم طرقاً لقياس هذه الزوايا والأضلاع. ولحساب المثلثات تطبيقات في العلوم البحتة، مثل الفيزياء والفلك، وفي مجالات تطبيقية، مثل المساحة والملاحة.

وهناك نوعان من حساب المثلثات هما حساب المثلثات المستوي و حساب المثلثات الكروي. ويُستخدم حساب المثلثات المستوي لتحديد أضلاع وزوايا مجهولة لمثلثات تقع على المستوى، بينما يستخدم حساب المثلثات الكروي لإيجاد أضلاع وزوايا مجهولة لمثلثات تقع على سطح كروي.

وكلا النوعين من حساب المثلثات مؤسس على العلاقات الموجودة بين مكونات المثلث الستة ـ الأضلاع الثلاثة والزوايا الثلاث. وبفضل هذه العلاقات، يكاد يكفينا في كل الأحوال معرفة قياس أي ثلاث من هذه المكونات لتحديد قياس المكونات الثلاثة المتبقية، بشرط أن يكون أحد المكونات المعلومة ضلعًا من أضلاع المثلث. ومن الضروري معرفة طول ضلع واحد على الأقل، إذ من الممكن أن تختلف الأضلاع المتناظرة في مثلثين بالرغم من تساوي الزوايا المتناظرة كافة في هذين المثلثين.

وحساب المثلثات مؤسس على نوع من الهندسة يدعى الهندسة الإقليدية. وهي هندسة انبثقت من مجموعة من الفرضيات قام بتحديدها في مطلع القرن الثالث قبل الميلاد عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس انظر: الهندسة. أما حساب المثلثات الكروي، فقد تم وصفه لأول مرة عام 150م في كتاب لبطليموس الإسكندري يدعى المجسطي. ولقد تطور حساب المثلثات المستوي في القرن الخامس عشر الميلادي على يد الرياضي الألماني يوهان ميلر الذي كان يدعى أيضاً ريجيومونتانوس.

حساب المثلثات المستوي كي نفهم حساب المثلثات، يجب علينا أولاً دراسة خواص المثلثات المتشابهة. نقول عن مثلثين إنهما متشابهان إذا تطابقت زواياهما المتناظرة، فمثلاً المثلثان أ ب ج، و د هـ و أدناه متشابهان إذا كانت الزاوية أ = الزاوية د و الزاوية ب = الزاوية هـ والزاوية ج = الزاوية و. أما الأضلاع المتناظرة في مثلثين متشابهين فليست بالضرورة متساوية، ولكنها تكون متناسبة. لذا إذا كان المثلثان أ ب ج، و د هـ و متشابهين فإن النسبة أ ب : أ ج تساوي النسبة د هـ : د و لنفترض أن أ ب وحدات، أ ج= 5 وحدات، و د هـ = 9 وحدات، طول د و في هذه الحالة = 15 وحدة لأن

9/15 = 3/5


المثلث قائم الزاوية. يستخلص حساب المثلثات إلى حد كبير من المثلثات قائمة الزاوية المتشابهة. والمثلث قائم الزاوية مثلث تكون إحدى زواياه 90°. وبما أن مجموع زوايا المثلث 180° ، فإن الزاويتين الأخريين في المثلث قائم الزاوية تكونان حادتين، ومجموعهما يساوي 90°.

فإذا علمنا قيمة إحدى الزوايتين الحادتين يمكننا معرفة الأخرى بطرح الزاوية المعلومة من 90°. وبالإضافة إلى ذلك، إذا كانت إحدى الزاويتين الحادتين لمثلث قائم الزاوية تساوي إحدى الزوايتين الحادتين لمثلث آخر قائم الزاوية، فإن هذين المثلثين يكونان متشابهين. ففي المثلثين قائمي الزاوية (أ ب ج)، و(د هـ و) أدناه، على سبيل المثال، نجد أن كلاً من الزاوية (ج) والزاوية (و) قائمة، والزاوية (أ) تساوي الزاوية (د) وعليه يكون المثلثان متشابهين، ومن ثم تتناسب أضلاعهما. إذن

ل/ك = س/ص و م/ك = ع/ص و ل/م = س/ع



إن النسب التي تتكون منها هذه التناسبات تساوي نسب الأضلاع المناظرة في أي مثلث قائم الزاوية تساوي إحدى زاويتيه الحادتين الزاوية أ. وقد أعطيت كل واحدة من النسب الست الممكن تشكيلها في المثلث قائم الزاوية اسماً: ففي الشكل أعلاه، مثلاً تسمى، النسبة جيب الزاوية أ وتكتب جا أ. والنسبة تسمى جيب تمام الزاوية أ وتكتب جتا أ، والنسبة تُسمى ظل الزاوية أ وتكتب ظـا أ. وقد قام الرياضيون بتجميع قيم كل من هذه النسب لجميع الزوايا الممكنة لمثلث قائم الزاوية في جداول وبرمجت هذه الجداول في الحاسبات العلمية.

وتشتمل الجداول المثلثية أيضاً على ثلاث نسب أخرى أقل استخداماً من النسب السابقة وهي القاطع وقاطع التمام وظل التمام. فقاطع الزاوية أ هو ص/ع ويكتب قا أ، وقاطع تمام الزاوية أ هو ع/س ويكتب قتا أ، وظل تمام الزاوية أ هوع/س ويكتب ظتا أ.

وفيما يلي التعاريف الرسمية للنسب المثلثية الست :


جيـــب الـزاوية = طول الضلع المقابل للزاوية / طول الوتر

جيب تمام الزاوية = طول الضلع المجاور للزاوية / طول الوتر

ظــــــل الزاويــة =طول الضلع المقابل للزاوية /طول الضلع المجاور للزاوية

قاطـــع الزاويـــة =طول الوتر/طول الضلع المجاور للزاوية

قاطـع تمام الزاوية =طول الوتر/طول الضلع المقابل للزاوية

ظـل تمــام الزاوية =طول الضلع المجاور للزاوية /طول الضلع المقابل للزاوية

وتتيح النسب المثلثية إمكانية إيجاد الأضلاع الثلاثة لمثلث قائم الزاوية أ ب ج، إذا علمنا قياس إحدى زاويتيه الحادتين وطول أي من أضلاعه. فعلى سبيل المثال، إذا كانت الزاوية أ = 30 فيمكن استخدام الجداول أو الآلة الحاسبة لمعرفة أن جا أ = ½وإذا كان جا أ = ½ فإن س/ص = ½ وعليه إذا كان ص = 9 وحدات فإن س = ½ 4 وحدة.

وهذه الطريقة لها عدة تطبيقات، افترض مثلاً أنك جالس على شط نهر عند نقطة م وتنظر الى شجرة عند نقطة ن على الشط الآخر (انظر: الشكل التالي) فيمكنك بالطريقة المذكورة معرفة المسافة بين م و ن دون عبور النهر. ضع أولاً علامة عند النقطة م ثم سر على مستقيم معامد للمستقيم ن م إلى أن تصل نقطة ملائمة هـ مثلاً، منشئاً بهذا مثلثاً قائم الزاوية هـ ن م. ثم قس طول المستقيم م هـ. فإذا كان طول م هـ = 75 وحدة مثلاً ومقاس الزاوية هـ = 40°، فيمكننا استخدام الجداول أو الآلة الحاسبة لمعرفة أن ظا 40 = 0,8391 وبما أن ظا هـ = م ن / م ه فإن م ن = م هـ ظا 40 = (75 وحدة) 0,8391= 62,93وحدة.




قانون الجيب. تقتضي بعض التطبيقات حساب المكونات لمثلث غير قائم الزاوية. فإذا علمت زوايتين وضلعاًًًًً لمثلث ما فيمكنك إيجاد الزاوية المتبقية والضلعين الآخرين باستخدام قانون الجيب الذي ينص على ما يلي: في أي مثلث أ ب ج أضلاعه أََ، بَ، جَ (انظر الشكل أدناه).

أَ/ جا أ = بَ/ جا ب = جَ/ جا ج .



إذا علمنا الزاوية أ والزاوية ب فيمكننا تحديد الزاوية ج لأن الزاوية ج = 180-( الزاوية أ + الزاوية ب). وإذا علمنا الضلع جَ فيمكننا حساب الضلعين أَ و بَ لأننا نعلم من قانون الجيب أن:

بَ = جَ × جا ب/ جا ج و أَ جَ × جا أ/ جا ج


قانون جيب التمام. إذا علمنا ضلعين من مثلث غير قائم الزاوية والزاوية المحصورة بينهما، فيمكننا إيجاد المكونات الأخرى للمثلث باستخدام قانون جيب التمام الذي نصه: في المثلث أ ب ج ذي الأضلاع أ َ، بَ، جَ:

ج َ² = أ َ2 +ب َ² - 2أ َبَ جتا ج. وإذا علمنا قيمة الضلعين أ َ ، بَ والزاوية ج، فإننا نستطيع حساب الضلع جَ من قانون جيب التمام. ثم نستطيع استخدام قانون الجيب لتحديد الضلعين الآخرين. فمثلاً إذا كان أ = 5 وحدات، و ب = 7 وحدات، والزاوية ج = 52° فيمكننا حساب طول الضلع المجهول وكذلك الزاويتين الأخريين لمثلث. فباستخدام الجداول أوالآلة الحاسبة، يمكننا التحقق من أن جتا 52° = 6157،0 وباستخدام قانون جيب التمام، نجد:

ج َ² = [(25 + 49) - (70 × 6157,0)] = 90,30

ثم نحسب جَ، حيث جَ= 30,9¬= 56,5 وحدة.

بعد ذلك، نطبق قانون الجيب : بَ / جا ب = ج / جا ج .

لنجد جا ب × جَ = جا ج × بَ ومن ثم :


جا ب = جا ج × بَ/ ج َ = 7× جا 52 ° / 5,56 = 0,9922

وباستخدام الجداول أو الآلة الحاسبة، نجد أن الزاوية ب =82,8°. وأخيراً الزاوية أ = 180° - (82,8°+52°) = 45,2°.


حالة خاصة. هنالك حالة واحدة فقط يجب علينا فيها معرفة أكثر من ثلاثة من مكونات المثلث لإيجاد بقية الزوايا والأضلاع المجهولة. وتحدث هذه الحالة عندما نعلم ضلعين وإحدى الزوايا غير المحصورة بينهما. في هذه الحالة، يمكن أن يتخذ المثلث واحداً من شكلين محتملين. فمثلاً، في الشكل التالي، إذا علمنا الزاوية ج والضعلين س ، ص فقط، فإن المثلث يمكن أن يكون أحد المثلثين ج هـ م أو ج هـ د.



الاحتمالان الممكنان للزاوية المقابلة للضلع ص هما ج م هـ و ج د هـ، وهاتان الزاويتان متكاملتان، أي أن مجموعهما 180°. وجيوب الزويا المتكاملة متساوية ولذا فإن جا ج م هـ = جا ج د هـ. ومن ثم لا يمكن استخدام قانون الجيب لتحديد أي الزاويتين هي زاوية المثلث المطلوب. ولإيجاد المثلث المطلوب، علينا معرفة ما إذا كان للمثلث زاوية منفرجة أم أن كل زواياه حادة. فإذا كانت إحدى الزوايا منفرجة فإن المثلث هو ج هـ د أما إذا كانت كل الزوايا حادة فإن المثلث المطلوب هو ج هـ م. وبمجرد حصولنا على هذه المعلومة الإضافية، نستطيع استخدام قانون الجيب لتحديد المكونات المتبقية للمثلث.

سطوح مستوية مساحة المثلث = (القاعدة × الإرتفاع)/2 مساحة المستطيل = الطول × العرض محيط المستطيل = 2 (الطول + العرض) مساحة المربع = الضلع × الضلع محط المربع = 4 × الضلع مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الإرتفاع مساحة المعين = القاعدة × الإرتفاع = (القطر × القطر)/2 مساحة الدائرة = بي × (نصف القطر)^2 محيط الدائرة = 2 × بي × (نصف القطر)

الموشور المساحة الجانبية= محيط المقطع القائم × طول الحرف حجم الموشور = مساحة المقطع القائم × طول الحرف الجانبي = مساحة القاعدة × الإرتفاع والعلاقة بين مساحة المقطع القائم ومساحة القاعدة مساحة المقطع القائم = مساحة القاعدة × جتا يه

الهرم المساحة الجانبية للهرم المنتظم = (محيط القاعدة × العامد)/2 حجم الهرم = (1/3) × مساحة القاعدة × الإرتفاع

جزع الهرم المساحة الجانبية لجزع الهرم المنتظم = (مجموع محيطي القاعدتين) × العامد / 2 الحجم = (1/3) × الإرتفاع × {مجموع مساحتي القاعدتين +الجزر التربيعي لـ (مساحة القاعدة الأولى × مساحة القاعدة الثانية)}

الأسطوانة الدائرية القائمة المساحة الجانبية = 2 × ط × نصف قطر دائرة القاعد × الإرتفاع الحجم = ط × الإرتفاع × (نصف قطر دائرة القاعد)^2

المخروط الدائري القائم المساحة الجانبية = ط × نصف قطر القاعد × المولد حجم المخروط =(ط/3) × الإرتفاع × (نصف قطر القاعد)^2


جزع المخروط الدائري القائم المساحة الجانبية = ط × المولد × (مجموع نصفي قطري القاعدتين) الحجم = (ط/3)× إرتفاع الجزع × { (نصف قطر القاعد الكبرى)^2 +(نصف قطر القاعدة الصغرى)^2 + جداء نصفي قطري القاعدتين}


الكرة مساحة المنطقة الكروية = جداء محيط دائرة عظمى للكرة × إرتفاع المنطقة الكروية مساحة الكرة = 4 × ط × مربع نصف قطر الكرة

حجم القبة = (ط/3) × (إرتفاع القبة)^2 × (3× نصف القطر الكرة - إرتفاع القبة) حجم الكرة =(4/3) × ط × نصف قطر الكرة^3

أ+ب)^2=أ^2+2أب+ب^2 (أ-ب)^2=أ^2-2أب+ب^2 (أ+ب)(أ-ب)=أ^2-ب^2 (أ+ب)^3=أ^3+3أ^2ب+3أب^2+ب^3 (أ-ب)^3=أ^3-3أ^2ب+3أب^2-ب^3 أ^3+ب^3=(أ+ب)(أ^2-أب+ب^2) أ^3-ب^3=(أ-ب)(أ^2+أب+ب^2) التعريف لو (جـ) = ن حيث لو بالنسبة للأساس ب: فإن جـ = ب^ن

لوغاريتم جداء لو (ب × جـ × د × ....... ) = لو ب + لو جـ + لو د + ........

لوغاريتم نسبة لو (ب/ جـ) = لوب - لو جـ

لوغاريتم قوة لو (ب^ن) = ن لو ب

العلاقة بين لوغاريتمين لو حـ (بالنسبة للأساس هـ) = لو جـ (بالنسبة للأساس ب) × لو ب (بالنسبة للأساس هـ)

يقال أن هذه العلاقة أجمل علاقة رياضية لأنها تحوي أهم خمسة ثوابت في الرياضيات :

e^(ip) +1=0 يقصد بـ p باي

المتراجحة المثلثية المعروفة :-

ا س + ص ا <= ا س ا + ا ص ا

(2) قانون الجيب تمام :-

في اي مثلث اذا كان أطوال أضلاعه الثلاثة س ، ص ، ع و كان الزاوية المقابلة للضلع س هي ن فأننا بالامكان ايجاد طول الضلع س كما يلي :-

س^2 = ص^2 + ع^2 - 2 ص ع جتا ن

(3) قانون الجيب :-

اذا كان س ، ص ، ع أطوال أضلاع مثلث و كانت أ ، ب ، ج الزوايا المقابلة للأضلاع بالتتالي، فأن :-

جا(أ) / س = جا(ب) / ص = جا(ج) / ع

سأكمل عنك يا أستاذ خالد حيث أ ب جـ هي زوايا المثلث و أ َ بَ جـَ هي أطوال الأضلاع المقابلة و ح هو طول نصف محيط المثلث ح = (أ َ + بَ + جـَ)/2

بَ^2= أ َ^2 + جـَ^2 - 2 أ َ جـَ جتا ب

ومنه جتاب=( أ َ^2 + جـَ^2 - بَ^2)/(2 × أ َ × جـَ)


جا (ب/2) = {( ح - أ َ ) ( ح - جـَ )/( أ َ × جـَ)}^(1/2)

جتا (ب/2 ) = { ح (ح- بَ)/(أ َ × جـَ)}^(1/2)


أ َ/ جا أ = بَ / جاب = جـَ/جاجـ = 2 ر

مساحة سطح المثلث = أ َ × بَ × جـَ / (4ر)

حيث ر نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب جـ

مساحة سطح المثلث = ح × نق

ظا(ب/2)=نق/(ح -بَ)

حيث نق نصف قطر الدائرة المرسومة داخل المثلث والتي تمس أضلاعه

حسبي الله على بسك( قطك ) يا غندر مساحة المثلث = (ا/2 )القاعدة × الارتفاع = (1/2) × حاصل ضرب ضلعين × جا( الزاوية بينهما) أَ ، بَ ، جــ َ أطوال اضلاع مثلث فان مساحة المثلث = جذر[ ح ( ح - أَ ) ( ح - بَ ) ( ح - جـَ ) ] حيث ح نصف المحيط مساحة الشكل الرباعي الدائري = جذر[ ح - س)(ح-ص)(ح-ل)(ح-ع)] حيث س ، ص ،ل ،ع اطوال اضلاع الرباعي الدائري

مشتقات الدوال المثلثيه : (جاس) َ = جتاس (جتاس ) َ = - جاس (ظاس ) َ = (قاس)^2 (ظتاس) َ = (- قتاس )^2 (قاس) َ = قاس ظاس (قتاس) َ = - قتاس ظتاس


قوانين النسب المثلثية لمجموع وفرق زاويتين جا(ب + جـ)= جاب جتاجـ + جتا ب جاجـ جا(ب - جـ )= جاب جتاجـ - جتا ب جاجـ

جتا(ب + جـ)= جتاب جتاجـ - جاب جاجـ جتا(ب - جـ)= جتاب جتاجـ + جاب جاجـ

ظا(ب + جـ) = (ظاب + ظاجـ)/(1- ظاب ظاجـ) ظا(ب - جـ) = (ظاب - ظاجـ )/(1+ ظاب ظاجـ)

قوانين ضعف الزاوية جا(2س) = 2 جاس × جتاس جا(2س) = (2ظاس)/{1+(ظاس)^2}

جتا(2س)=(جتاس)^2 - (جاس)^2 جتا(2س)=2×(جتاس)^2 -1 جتا(2س)= 1 - 2 ×(جاس)^2 جتا(2س)={1-(ظاس)^2}/{1+(ظاس)^2}

ظا(2س)= 2×ظاس/{1-(ظاس)^2}

(جتاس)^2 = (1+جتا2س)/2 (جاس)^2 = (1- جتا2س)/2 (ظاس)^2= (1-جتا2س)/(1+جتا2س)

متطابقات شهيرة (جا ب)^2- (جا جـ)^2 = جا(ب+جـ) × جا(ب-جـ) (جتاب)^2+(جتا جـ)^2=جتا(ب+جـ)×جتا(ب-جـ)+1

جا3س= 3جاس - 4 × (جاس)^3 جتا3س=4(جتاس)^3 - 3 جتاس

تحويل من جداء إلى مجموع +2 جا ب × جتا جـ= جا(ب+جـ) + جا(ب-جـ) +2 جتا ب × جتا جـ = جتا(ب+جـ) + جتا(ب-جـ) -2 جا ب × جا جـ = جتا(ب+جـ) - جتا(ب-جـ)

تحويل من مجموع إلى جداء جا س + جا ع = 2 جا{ (س+ع)/2} × جتا {(س-ع)/2} جا س - جا ع = 2 جتا{ (س+ع)/2} × جا {(س-ع)/2} جتا س + جتا ع = 2 جتا{ (س+ع)/2} × جتا {(س-ع)/2} جتا س - جتا ع = - 2 جا{ (س+ع)/2} × جا {(س-ع)/2}

القياس الدائري لزاوية مركزية = (طول القوس من دائرة محصور بين ضلعي الزاوية)/(طول نصف قطرهذه الدائرة). القياس الدائري لزاوية مركزية =طول القوس من دائرة الوحدة المحصور بين ضلعيها . القياس الدائري للزاوية=القياس الستيني لها في (ط/180) القياس الستيني للزاوية = القياس الدائري لها في (180/ط) 2- اذا كان (س.ص) نقطة من دائرة الوحدة وعبرنا عن جتا هـ =س جا هـ =ص ,هـ زاوية موجهة قياسية في دائرة الوحدة : (جيب تمام الزاوية )=جتا هـ = س (جيب الزاوية )=جا هـ = ص (ظل الزاوية)=ظاهـ= ص/س=جا هـ/جتا هـ . (القاطع)=قا هـ = 1/س=1/جتا هـ . (قاطع التمام)=قتا هـ = 1/ص=1/جا هـ. (ظل التمام)=ظتا هـ=س/ص =جتا هـ/جاهـ. 3-خواص الدوال المثلثية : (أ): جا(90- هـ)=جتا هـ . جتا(90- هـ)=جا هـ . ظا(90- هـ)=ظتا هـ . جا(180- هـ)=جاهـ جتا(180 - هـ)=-جتاهـ ظا(180- هـ )= -ظا هـ حا(360 - هـ)=-جاهـ جتا (360 -هـ)=جتا هـ ظا (180 - هـ)=- ظا هـ (ب): جا(-هـ)=-جا هـ جتا(- هـ)=جتا هـ ظا(-هـ)=-ظا هـ (ج): جا(2ن ط - هـ)=-جا هـ ,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة جتا(2ن ط - هـ)= جتا هـ ,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة ظا (2ن ط - هـ )=-ظا هـ .,,,, ن تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة 4- في المثلث القائم الزاوية : زاويته الحادة هـ جا هـ = المقابل / الوتر. جتا هـ =المجاور / الوتر . ظا هـ = المقابل / المجاور . 4- العلاقات الاساسية بين الدوال المثلثية : حا هـ قتا هـ =1 ,جتا هـ قا هـ =1 , ظاهـ ظتا هـ =1 حا^2هـ + جتا^2 هـ =1,1+ظا^2هـ=قا^2هـ , 1+ظتا^2 هـ=قتا^2هـ


مساحة المضلع المنتظم = ن/4 × ل^2×ظا(هـ/2)

حيث : ن عدد الأضلاع ل طول الضلع هـ=[(ن-2)×180 ]/ن

الضرب القياسي والضرب الأتجاهي لمتجهين A و B الزاوية بينهما t:

الضرب القياسي: A.B = |A| |B| cos t الضرب الأتجاهي: A x B =|A| |B| sin t N حيث Nمتجه الوحده العمودي على المستوى الذي يحوي A و B.

الدوال المثلثية الزائدية: 1. sinhx = (e^x - e^-x)/2 2. coshx = ( e^x + e^-x) / 2 3. tanhx = (e^x - e^-x)/( e^x+ e^-x) 4. sechx =2/( e^x + e^-x) 5. cothx = ( e^x + e^-x)/ ( e^x - e^-x) 6. cochx = 2/( e^x - e^-x)

بعض المتطابقات الأساسية للدوال المثلثية الزائدية: 1. cosh^2x – sinh^x =1 2. sinh2x = 2sinhx coshx 3. cosh2x sinh^2x+cosh^2x 4. sech^2x = 1- tanh^2x 5. coth^2 -1 = coch^2x انتباه: هذه المتطابقات تختلف عن متطابقات الدوال المثلثية العادية....


قانون التكامل بالتجزيء: لتكن U و V دالتان قابلتان للأشتقاق في فترة S: ∫U.dV = UV - ∫V.dU تلميحات لتسهيل استخدامة: دائما نختار U سهلة التفاضل و V سهلة التكامل لذلك نتبع ما يلي : • اذا كان التكامل عبارة عن حاصل ضرب كثيرة حدود(او ثابت=1) في دالة اسية أو مثلثية او زائدية.. نختار كثيرة الحدود = U والداله الأخرى dV . • اما اذا كان حاصل ضرب كثيرة حدود في دالة لوغارتمية او مثلثية عكسية او زائدية عكسية..نختار كثيرة الحدود = dV والدالة الأخرى = U ملاحظة هامة : اذا احتجت التجزيء اكثر من مرة لنفس التكامل نستخدم في كل مرة نفس الأختيار بنسبة ل U و dV


من خواص السيجما∑ (from k =1 to n): 1. ∑k = n(n+1)/2 2. ∑k^2 = n(n+1)(2n+1)/6 3. ∑k^3 = (n(n+1))^2 يستفاد منها في تكامل ريمان العادي وتكامل ريمان- ستلتجس


يُستفاد منها أحيانا في مسائل التكامل وغيره

أ جاس + ب جتاس = [جذر (أ^2+ب^2)] جا (س+ص)

حيث

جاص= ب\[جذر (أ^2+ب^2)]

جتاص= أ \[جذر (أ^2+ب^2)]


النسب المثلثيه للزوايا الخاصة

لدينا : 

جاهـ = ـــــــــــــ ، قتاهـ = ـــــــــــــ جتاهـ = ـــــــــــــ ، قاهـ = ـــــــــــــ ظاهـ = ـــــــــــــ ، ظتاهـ = ـــــــــــــ


وبتطبيق العلاقات السابقة على المثلث " الثلا ثيني الستيني " والمثلث المتطابق الضلعين " ..


                                                               1             2  
                           3                                           1 

نستنتج قيم الدوال المثلثية للزوايا التي قيا ساتها 545 ، 530 ، 560 كما في الجدول التالي :

    قياس الزاويه 

قيمة الدالة 545 530 560


جا ـــــــــــ  ـــــــــــ

     3 
     2  

جتا ـــــــــــ 

3 2

1 2

ظا 1 ـــــــــــ 


ملاحظات : 1) (و يمكن استنتاج قيم الدوال قتا ، قا ، ظتا من قيم الدوال جا ، جتا ، ظا بكتابة معكوساتها الضربيه على الترتيب ) 2) 545 = ــــــــــــ ، 530 = ــــــــــــ ، 560 = ــــــــــ

( حيث القياسات ـــــــــــ ........ هي بالتقدير الدائري )   

3) أما بالنسبة للزوايا : 50 ، 590 = ــــــــ ، 5180 = ط ، 5270 = ـــــــــــ فيمكن استنتاج قيمها من دائرة الوحدة مباشرة حيث الإحداثي السيني يمثل دائماً دالة ( جتا ) .. والصادي دالة ( جا ) والجدول التالي يوضح قيم هذه الزوايا :

          قياس الزاوية 

قيمة الدالة 50 590 5180 5270 جا 0 1 0 ــ1 جتا 1 0 ــ1 0 ظا 0 غير معرف 0 غير معرف


في رياضيات، تعتبر التوابع مثلثية أو الدوال المثلثية دوال لزاوية هندسية، و هي دوال مهمة عندما نريد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال ك نسبة لأضلاع مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية unit circle . في الرياضيات ، الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، او ، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات ان الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي) ، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما. وهناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي: • جا أو الجيب ، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر. • جتا أو جيب التمام ، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر. • ظا او الظل ، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.

اسم التابع الاختصار العلاقة جيب sin أو حب أو جا

تجيب او جيب تمام cos , تجب أو جتا

ظل tan , طل أو ظا

تظل أو ظل تمام cot , تظل أو ظتا

Secantأو قاطع sec أو قا

Cosecant أو قاطع تمام csc أو قتا


تمثيلات مبيانية

تمثيل مبياني لدالة جيب التمام

تمثيل مبياني لدالة الجيب

الحسابات المثلثية مفهوم النسب المثلثية للزاوية : جاس ، جتاس ، ظاس ، قتاس ، قاس ، ظتاس



مفهوم النسب المثلثية


للزاوية حسب دائرة الوحدة





  • جاهـ ... جيب الزاوية هـ ... المركبة الصادية لمتجه الوحدة
 * جتاهـ ... جيب تمام الزاوية هـ ...        المركبة السينية لمتجه الوحدة

ونستنتج من ذلك أن

 جا 360ْ = صفر 
 جتا 360ْ = 1 
 ظا360ْ = صفر     جا 270ْ = ـ1 
 جتا 270ْ = صفر                   جا 180ْ = صفر 
 جتا180ْ = ـ1 
 ظا 180ْ = صفر    جا 90ْ = 1   
 جتا 90ْ = صفر  
         جا0ْ = صفر  
جتا0ْ = 1 
ظا0 ْ = صفر
 



لنسب المثلثية للزوايا المركبة

   جتا (أ + ب) = جتاأ جتاب ـ جاأ جاب ......... (1) 

جتا (أ ـ ب) = جتاأ جتاب + جاأ جاب ........ (2)

جا (أ + ب) = جاأ جتاب + جتاأ جاب ........(3) 
جا (أ ـ ب) = جاأ جتاب  ـ جتاأ جاب .......(4) 


التحويل من حاصل ضرب نسب مثلثية إلى مجموع نسب مثلثية

(جا ( أ + ب) + جا ( أ ـ ب) ) ....... (7) ... ينتج هذا القانون من جمع (3) ، (4)               جاأ جتاب =
                  
(جا ( أ + ب) ـ جا ( أ ـ ب) ) ......(8) ... ينتج هذا القانون من طرح (4) من (3)             جتاأ جاب =
                  
(جتا ( أ +ب) + جتا (أ ـ ب) ) ....(9) ... ينتج هذا القانون من جمع (1) ، (2)                جتاأ جتاب =   
                  
( جتا ( أ + ب) ـ جتا (أ ـ ب) ) ... (10) ... ينتج هذا القانون من طرح (2) من (1)            جاأ جاب =

. التحويل من مجموع نسب مثلثية إلى حاصل ضرب نسب مثلثية

 . 7 تنتج هذه القوانين من (6)

8. قوانين النسب المثلثية لضعفي الزاوية

 جا 2س = 2جاس جتاس                             تنتج هذه القوانين من (5) 
 جتا2س = جتا2س ـ جا2س                                                            باعتبار 2س = س + س 
           = 2جتا2س ـ 1  
           = 1 ـ 2جا2س 

. 9النسب المثلثية للزاوية السالبة

                  جا (ـ س) = ـ جا س                           تنتج هذه القوانين من (5) 
                 جتا (ـ س) = جتاس                             باعتبار ( ـ س) = (0 ـ س) 
                 ظا ( ـ س) = ـ ظاس

10. النسب المثلثية للزوايا المنتسبة إلى 2 p ، p

جيب في الرياضيات هو النسبة بين الضلع المقابل لزاوية والوتر في مثلث ذو زاوية قائمة ، بحيث يكون الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. في رياضيات، تعتبر التوابع مثلثية أو الدوال المثلثية دوال لزاوية هندسية، و هي دوال مهمة عندما نريد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال كنسبة لأضلاع مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية unit circle . في الرياضيات ، الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، او ، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات ان الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي) ، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما. وهناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي: • جا أو الجيب ، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر. • جتا أو جيب التمام ، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر. • ظا او الظل ، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.