Пераўтварэнне Фур'е

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.

Пераўтварэнне Фур'е — аналаг паслядоўнасці каэфіцыентаў Фур'е. Пераўтварэннем Фур'е функцыі f называецца функцыя

g(u) = \mathcal{F}[f](u)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{iut}\,dt.

У некаторых выпадках праўдзіцца формула

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty g(u) e^{-iux}\,du

— аналаг шэрагу Фур'е. Апошні інтэграл называецца адваротным пераўтварэннем Фур'е функцыі g і абазначаецца F-1[g]. Некаторыя аперацыі з функцыямі пераходзяць пры пераўтварэнні Фур'е ў адпаведныя аперацыі над іх вобразамі. Напрыклад, калі функцыя f ёсць згортка функцый f1 і f2, гэта значыць:

f(x) = (f_{1} * f_{2})(x)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f_{1}(x-s)f_{2}(s)\,ds,

то F[f] = F[f1 * f2] = F[f1]F[f2].

Пераўтварэнне Фур'е шырока ўжываецца у пэўных раздзелах матэматыкі і тэарэтычнай фізікі.