Fórmula de De Moivre

De Viquipèdia

Icono de copyedit

Nota: L'article necessita algunes millores en el contingut o l'estil:

adaptar al llibre d'estil

La fórmula de de Moivre afirma que:

Per tot x peratnyent a R i per tot n pertanyent a Z,

\forall{x}{\in}\mathbb{R} \and \forall{n}{\in}\mathbb{Z}\; (\cos{x}+\mathrm{i}\sin{x})^n = \cos(nx) + \mathrm{i}\sin(nx)

Cal tenir en compte que l'expresió "cos x + i sin x a vegades s'abrevia com "cis x".

Aquesta fómula és important perquè connecta els nombres imaginaris (la lletra i representa la unitat imaginària) amb la trigonometria, cosa molt útil, per exemple, en la representació gràfica dels nombres complexos (a saber, reals i imaginaris).

La fórmula de De Moivre pot ser obtinguda de la fórmula d'Euler:

e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x

La fórmula de Moivre treballa amb la representació trigonomètrica d'un nombre complex, que és:

r·(cos(x) + i·sin(n))

si es té en compte una altra forma de representació dels nombres imaginaris, més intuïtiva, anomenada forma polar, que permet una visualització més ràpida de la naturalesa del nombre en qüestió:

r sub alfa

on r és la llargada o mòdul del vector que uneix l'origen de coordenades amb la representació gràfica del nombre complex, i {alfa} l'angle que té aquest vector respecte l'eix OX.