Teorema de Bolzano-Weierstrass

De Viquipèdia

Icono de copyedit

Nota: L'article necessita algunes millores en el contingut o l'estil:

l'article dedica més temps a definir termes pels quals s'hauria de redireccionar a una altra pàgina (successió afitada, subsuccessió...), que no pas a parlar del propi teorema

El teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que

 tota successió afitada de nombres reals conté una subsuccessió convergent

Una successió a1, a2, a3, ... és afitada si existeix un nombre L tal que el valor absolut |an| és inferior a L per a tot índex n. Gràficament es pot imaginar com punts ai representats en una gràfica bidimensional, amb i sobre l'eix horitzontal i el valor sobre el vertical. D'aquesta manera la successió avança cap a la dreta a mesura que creix i, i està afitada si podem dibuixar una banda horitzontal que engloba tots els punts.

Una subsuccessió és una successió que omet alguns membres, per exemple a2, a5, a13, etc.

El teorema es pot generalitzar a successions afitades a Rn (per inducció i considerant una component cada vegada) i està relacionat amb el teorema de Heine-Borel.