Sistema de numeració

De Viquipèdia

Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles de generació que permeten construir tots els nombres vàlids en el sistema. Un sistema de numeració pot representar-se com N = S + R on:

  • N és el sistema de numeració considerat
  • S són els símbols permesos en el sistema. En el cas del sistema decimal són {0,1...9}; en el binari són {0,1}; en l'octal són {0,1,...7}; en l'hexadecimal són {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}
  • R són les regles de generació que ens indiquen quins nombres són vàlids i quins no són vàlids en el sistema.

Aquestes regles són diferents per a cada sistema de numeració considerat, però una regla comuna a tots és que per a construir nombres vàlids en un sistema de numeració determinat només es poden utilitzar els símbols permesos en eixe sistema (per a indicar el sistema de numeració utilitzat s'afig com a subíndex al nombre).

Exemples:

  • el número 125(10 és un número vàlid en el sistema decimal, però el número 12A(10 no ho és ja que utilitza un símbol (A) no vàlid en el sistema.
  • el número 35(8 és un número vàlid en el sistema octal, però el número 39(8 no ho és, ja que el 9 no és un símbol vàlid en eixe sistema.

Esta representació possibilita la realització de senzills algorismes per a l'execució d'operacions aritmètiques.

[edita] Sistemes de numeració posicionals

Els sistemes de numeració usats en l'actualitat són posicionals. En estos sistemes de numeració el valor d'un dígit depèn tant del símbol utilitzat, com de la posició que eixe símbol ocupa en el número. En aquest sistema exerceix un paper fonamental el 0 inventat pels indis i maies.

Un sistema de numeració de base n significa que tenim n xifres per a escriure els números (des de 0 fins a n-1) i que n unitats formen una unitat d'orde superior. Així en el sistema decimal els dígits per a escriure van des del 0 fins al 9 i quan tenim 9 unitats i afegim 1 tindrem una unitat de segon ordre o desena i posarem les unitats a zero.

Però estem massa acostumats que després del 9 segueix el 10 i després l'11, que no entenem bé el seu significat profund. Açò és degut al fet que des de fa generacions (des que va ser desenvolupat i inculcat pels àrabs) hem vingut comptant en un sistema de base 10 o sistema decimal el qual és també conegut com a sistema aràbic.

Així mateix al 99 el segueix el 100 perquè si afegim una unitat a les nou que tenim formem una desena que unida a les nou que tenim formem una centena.

Tal és el costum de la comunitat civil el calcular en decimal que la gran majoria ni tan sols s'imagina que poden existir altres tipus de numeració que no són de base 10, com ara l'hexadecimal , l'octal, o el binari.

Prenguem ara el sistema binari o base 2 amb els dígits vàlids (0,1) i on dos unitats formen una unitat d'orde superior. Comptem com els xiquets en aquest sistema 0,1, ara a l'afegir 1 tenim una unitat d'orde superior i les unitats a 0 és a dir 0,1,10.

a l'1 el segueix l'10!

Continuem comptant 0,1,10,11, a l'afegir 1 unitat les unitats passen a dos i forma una unitat de segon ordre i com ja hi ha una tenim 2 amb el que es forma una unitat de tercer ordre o 100.

a l'11 el segueix l'100!

Així tenim 101(2 = 5(10

Exemples:

  • El número 333(10 està format per només un símbol repetit tres vegades. No obstant, cada un d'eixos símbols té un valor diferent, que depén de la posició que ocupa en el número. Així, el primer 3 (començant per l'esquerra) representa un valor de 300, el segon de 30 i el tercer de 3, donant com resultat el valor del número: 333_{(10}=300+30+3=3 \cdot \mathbf {10^2}+3 \cdot \mathbf {10^1}+3 \cdot \mathbf {10^0}.
  • El número 101_{(2}=1 \cdot \mathbf {2^2}+0 \cdot \mathbf {2^1}+1 \cdot \mathbf {2^0}=5_{(10}


Tots els sistemes usats actualment usen una base n. En un sistema de numeració de base n existeixen n símbols. A l'escriure un número en base n, el dígit d en la posició i, de dreta a esquerra, té un valor

d \times n^{i-1}

En general, un número escrit en base n com

dmdm − 1...d2d1

té un valor

v=\Sigma_i^m d_i \times n^{i-1}

EL sistema decimal treballa amb deu dígits (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), el sistema de base huit treballa amb huit (0,1,2,3,4,5,6,7). El sistema binari, o de base dos, només utilitza dos (0 i 1).

[edita] Sistemes de numeració no posicionals

El sistema dels nombres romans no és estrictament posicional. Per açò, és molt complex dissenyar algoritmes d'ús general (per exemple, per a sumar, restar, multiplicar o dividir).