Teorema fonamental de l'àlgebra

De Viquipèdia

El teorema fonamental de l'àlgebra afirma que

 tot polinomi de coeficients complexos i de grau n (n ≥ 1) té exactament n arrels

És a dir, que per a tot polinomi del tipus:

p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0

existeixen n nombres z1, ..., zn (no necessàriament tots diferents) tals que p(z1) = 0, p(z2) = 0, ..., p(zn) = 0 i, per tant,

p(z)=(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n).

Aquest resultat és fonamental perquè demostra que el cos dels nombres complexos és un cos algebraicament tancat, a diferència del cos dels nombres reals. Una conseqüència directa és el fet que el producte de totes les arrels és igual a (−1)na0 i que la suma de totes les arrels és igual a −an−1.