Nombre complex

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals

Naturals \mathbb{N} {0,1,2,3...}
Enters \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}
Racionals \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reals \mathbb{R} {Q U I U Tr} Complexos \mathbb{C}

Infinit

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions \mathbb{H}
Octonions \mathbb{O}
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1o,2o,...} (d'ordre)
Cardinals {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, ...}

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració
  • Àrab
  • Armeni
  • Àtica (grega)
  • Babilònica
  • Xinesa
  • Ciríl·lica
  • Egípcia
  • Etrusca
  • Grega
  • Hebrea
  • Índia
  • Jònica (grega)
  • Japonesa
  • Jémer
  • Maia
  • Romana
  • Tailandesa

  • Numerals en base constant:
  • Binari (2)
  • Quinari (5)
  • Octal (8)
  • Decimal (10)
  • Duodecimal (12)
  • Hexadecimal (16)
  • Vigesimal (20)
  • Sexagesimal (60)


El conjunt dels nombres complexos és aquell conjunt de nombres que uneix els nombres reals, els nombres imaginaris i el conjunt de sumes d'un element de cada conjunt anterior. El conjunt es representa per la lletra ℂ (\mathbb{C}).

Taula de continguts

[edita] Notació

Els nombres complexos es poden representar de dues maneres, com a suma de les components real i imaginaria (representació cartesiana), o com a mòdul amb angle (representació polar).

[edita] Notació cartesiana

En la seva representació cartesiana, un complex pren aquesta forma: a + bi, on a és la component real, i bi és la component imaginaria. Per exemple: 4'3 + 5i, 57 - 3i o 10i són nombres complexos.

Es pot veure gràficament en uns eixos cartesians, on l'eix d'abcisses representa la component real, i l'eix d'ordenades la component imaginaria.

[edita] Notació polar

En la representació polar, un complex pren la forma: \mathbf{r_\phi}, on \mathbf{r} és el mòdul del nombre complex, i \mathbf{\phi} és l'angle del complex (però, la notació habitual és {\mathbf r}\, \mathrm{e}^{i\,\mathbf{\phi}}, on \mathrm{e}^{i\,\mathbf{\phi}} = \cos \phi + i \sin \phi).

[edita] Equivalencies entre notació cartesiana i notació polar

Per passar d'un tipus de notació a una altra s'utilitzen les següents expressions:

  • Pas de cartesiana a polar (part real no negativa):
\mathbf{r}=\sqrt{a^2+b^2}
\tan{\mathbf{\phi}}=\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}

L'arctangent retorna angles entre —180º i 180º, per tant per a complexos amb part real positiva l'angle es calcula com:

\mathbf{\phi}=\tan^{-1}{\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}}

Si el complex té part real negativa es transforma en un complex de part real positiva prenent —1 (-1=1_{180^o}) com a factor comú. \mathbf{a}+\mathbf{b}\cdot i=-1\cdot(-\mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot i). L'angle s'obté com:

\mathbf{\phi}=180^o+\tan^{-1}{\frac{-\mathbf{b}}{-\mathbf{a}}}=180^o+\tan^{-1}{\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}}
  • Pas de polar a cartesiana
\mathbf{a}=\mathbf{r}\cdot\cos\mathbf{\phi}
\mathbf{b}=\mathbf{r}\cdot\sin\mathbf{\phi}

[edita] Visió geomètrica

Els nombres complexos, per a visualitzar-los geomètricament es poden identificar amb \mathbb{R}^2. Tenim una bijecció \mathbb{R}^2 \simeq \mathbb{C} que identifica el nombre a+b\cdot i \in \mathbb{C} amb el vector (a,b) \in \mathbb{R}^2. D'aquesta manera podem visualitzar el conjunt dels nombres complexos com un pla.

[edita] Operacions amb nombres complexos

Les operacions amb nombres complexos demanaran una notació cartesiana o polar, depenent de la operació que es faci. Per això, es important saber passar d'un tipus de notació a una altra per poder operar amb nombres complexos.

[edita] Suma i resta

Per sumar dos nombres complexos s'ha d'utilitzar la notació cartesiana.

  • Notació cartesiana:

Es sumen les components reals dels sumands i les components imaginaries per separat:

a+bi + a'+bi = (a+a') + (b+b')i

Exemple:

2+3i + 3-5i = 5-2i

Per restar es fa de manera semblant:

a+bi - (a'+b'i) = a+bi + (-a')+(-b')i = (a-a') + (b-b')i

Exemple:

2-4i - 3+5i = (2-3) + (-4-5)i = 2-8i

[edita] Multiplicació

Per multiplicar dos nombres complexos es pot utilitzar qualsevol de les dues notacions:

  • Notació cartesiana:
(a+bi) · (a'+b'i) = a·a' + a·b'i + bi·a' + bi·b'i

Com que i·i=-1 i agrupant els sumands resulta que:

(a+bi) · (a'+b'i) = (a·a'-b·b')+(a·b'+b·a')i

Exemple:

(2-4i)·(3+5i)= (2·3-(-4)·5)+(2·5+(-4)·3)=26-2i
  • Notació polar
r _\phi\cdot r' _{\phi'}=r \cdot r'_{\phi + \phi'}

Exemple:

10_{30}\cdot 5 _{10}=10\cdot 5_{30 + 10}=50_{40}

[edita] Divisió

Per dividir dos nombres complexos s'utilitza normalment la notació polar, per ser la forma més fàcil. Tot i així també es pot operar amb la notació cartesiana.

  • Notació polar
\frac{r _\phi}{r' _{\phi'}}=\frac{r}{r'}_{\phi - \phi'}

Exemple:

\frac{10_{30}}{5 _{10}}=\left( \frac{10}{5}\right)_{30 - 10}=2_{20}
  • Notació cartesiana
\frac{a+b\mathbf{i}}{a'+b'\mathbf{i}}=\frac{(a+b\mathbf{i})\cdot(a'-b'\mathbf{i})}{(a'+b'\mathbf{i})\cdot (a'-b'\mathbf{i})}=\frac{a\cdot a'- a\cdot b'\mathbf{i}+b\mathbf{i}\cdot a'- b\mathbf{i} \cdot b'\mathbf{i}}{a'^2-(b'\mathbf{i})^2}=
=\frac{(a\cdot a'+ b\cdot b') + (b \cdot a' - a \cdot b')\mathbf{i}}{a'^2+b'^2}

[edita] Quadrat

El quadrat d'un nombre complex és tal com segueix:

(a + b\mathbf{i})^2=(a + b\mathbf{i})\cdot (a + b\mathbf{i})= (a \cdot a - b \cdot b)+ (a \cdot b + b \cdot a)\mathbf{i}=(a^2-b^2)+ (2ab)\mathbf{i}