Matriu (matemàtiques)

De Viquipèdia

En matemàtiques, una matriu és una taula rectangular de nombres o, més generalment, d'elements d'una estructura algebraica de forma d'anell. En aquest article, els valors per les matrius són reals o complexos a menys que es digui el contrari.

Les matrius són útils per registrar dades que depenen en dues categories i per mantenir control sobre els coeficients dels sistemes d'equacions linials i transformacions linials.

Pel desenvolupament i les aplicacions de les matrius, vegeu teoria de matrius.

Taula de continguts

[edita] Definicions i notacions

Les línies horitzontals en una matriu s'anomenen files i les línies verticals reben el nom de columnes. Una matriu amb m files i n columnes s'anomena una matriu de m-per-n (o una matriu m×n) i m i n són les seves dimensions.

El valor d'una matriu A que es troba en la i-ena fila i en la j-ena columna s'anomena el valor i,j o el (i,j)-è valor d' A. Això s'escriu Ai,j o A[i,j].

Hom escriu sovint A:=(a_{i,j})_{m \times n} per definir una matriu A m × n amb cada valor a la matriu A[i,j] anomenat un aij per tots els 1 ≤ im i 1 ≤ jn.

[edita] Exemple

La matriu

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&1&5\end{bmatrix}

és una matriu de 4×3. L'element A[2,3] o a2,3 és 7.

[edita] Suma, resta i producte de matrius

[edita] Suma

Article principal: Suma de matrius

Si tenim dues matrius m-per-n A i B, podem definir la seva suma A + B com la matriu m-per-n computada per mitjà de l'addició d'elements corresponents, per exemple, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Per exemple

\begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix}     0 & 0 & 5 \\     7 & 5 & 0 \\     2 & 1 & 1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1+0 & 3+0 & 2+5 \\     1+7 & 0+5 & 0+0 \\     1+2 & 2+1 & 2+1   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     1 & 3 & 7 \\     8 & 5 & 0 \\     3 & 3 & 3   \end{bmatrix}

Una altra noció, molt menys usada, de la suma de matrius és la suma directa.

[edita] Diferència

Article principal: Resta de matrius

[edita] Multiplicació escalar

Si es dóna una matriu A i un nombre c, hom pot definir la multiplicació escalar cA fent (cA)[i, j] = cA[i, j]. Per exemple

2   \begin{bmatrix}     1 & 8 & -3 \\     4 & -2 & 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\     2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     2 & 16 & -6 \\     8 & -4 & 10   \end{bmatrix}

Aquestes dues operacions converteixen el conjunt M (m, n, R) de totes les matrius m-per-n amb valors reals en un espai vectorial real de dimensió mn.

[edita] Multiplicació

Article principal: Multiplicació de matrius

La multiplicació de dues matrius només està ben definida si el nombre de columnes de la primera matriu és el mateix que el nombre de files de la segona. Si A és una matriu m-per-n (m files, n columnes) i B és una matriu n-per-p (n files, m columnes), aleshores el producte AB és la matriu m-per-p(m files, p columnes), donat per

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] per cada parella i i j.

Per exemple:

\begin{bmatrix}     1 & 0 & 2 \\     -1 & 3 & 1 \\   \end{bmatrix} \times   \begin{bmatrix}     3 & 1 \\     2 & 1 \\     1 & 0   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}      (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\     (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\   \end{bmatrix} =   \begin{bmatrix}     5 & 1 \\     4 & 2 \\   \end{bmatrix}

Aquesta multiplicació té les propietats següents:

  • (AB)C = A(BC) per totes les matrius A k-per-m, matrius B m-per-n i matrius C n-per-p ("qualitat associativa").
  • (A+B)C = AC + BC per totes les matrius A i B m-per-n i matrius C n-per-k (qualitat distributiva).
  • C(A + B) = CA + CB per totes les matrius A i B m-per-n i les matrius C k-per-m (qualitat distributiva).

És important remarcar que la qualitat commutativa no s'aplica generalment; per tant, donant unes matrius A i B i el seu producte definit, aleshores és quasi sempre AB ≠ BA.

  • Hom diu que les matrius A, B commuten si AB = BA (A, B són necessàriament quadrades).
  • Hom diu que les matrius A, B anticommuten si AB = -BA. Aquestes matrius (necessàriament quadrades) tenen una gran importància en les representacions d'àlgebra de Lie i en representacions de l'àlgebra de Clifford.

[edita] Transformacions lineals, rang i transposició

Les matrius poden representar convenientment les transformacions lineals perquè la multiplicació de matrius correspon netament a la composició d'aplicacions lineals, com es descriurà després. Aquesta propietat les converteix en poderoses estructures de dades en llenguatges de programació d'alt nivell.

Aquí i en la continuació hom identifica Rn amb el conjunt de files o matrius n-per-1.

Per cada aplicació lineal f : Rn -> R m hi ha una matriu única m-per-n tal que f(x) = Ax per totes les x en R n.

Diem que la matriu A representa l'aplicació lineal f. Ara, si la matriu B k-per-m representa una altra aplicació lineal g : Rm -> Rk, aleshores l'aplicació lineal g o f és representada per BA. D'això prové la ja mencionada qualitat associativa de la multiplicació de matrius.

El rang d'una matriu A és la dimensió de la imatge de l'aplicació lineal representada per A: això és el mateix que la dimensió de l'espai generat per les files d'A, i també el mateix que la dimensió de l'espai generat per les columnes d'A.

La transposada d'una matriu A m-per-n és la matriu A tr n-per-m (també escrita a vegades AT o tA), extreta convertint les files en columnes i les columnes en files, o sigui Atr[i, j] = A[j, i] per tots els índexs i i j. Si A descriu una aplicació lineal respecte a dues bases, aleshores la matriu A tr descriu la transposada de l'aplicació lineal respecte a les bases duals, vegeu espai dual.

Tenim (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr * Atr.

[edita] Matrius quadrades i definicions

Una matriu quadrada és una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes. El conjunt de totes les matrius quadrades n-per-n, junt amb la suma de matrius i el producte de matrius és un anell. A menys que n = 1, aquest anell no té la propietat commutativa.

M(n, R), l'anell de matrius quadrades reals, és una àlgebra associativa real unitària. M(n, C), l'anell de matrius quadrades complexes, és un àlgebra associativa complexa unitària.

La matriu unitària o matriu d'identitat In, amb elements a la diagonal principal disposats en 1 i tots els altres elements disposats a 0, satisfà MIn=M i InN=N per qualsevol matriu M m-per-n o matriu N n-per-k. Per exemple, si n = 3:

I_3 =   \begin{bmatrix}     1 & 0 & 0 \\     0 & 1 & 0 \\     0 & 0 & 1   \end{bmatrix}

La matriu d'identitat és l'element d'identitat en l'anell de matrius quadrades.

Els elements invertibles en aquest anell s'anomenen matrius invertibles o matrius regulars (o matrius no singulars). Una matriu A n-per-n és invertible si i només si existeix una matriu B tal que

AB = In i BA = In.

En aquest cas, B és la matriu inversa d'A, denotada per A−1. El conjunt de totes les matrius invertibles n-per-n forma un grup (específicament un grup de Lie) sota la multiplicació de matrius, el grup lineal general.

Si λ és un nombre i v és un vector no-zero tal que Av = λv, aleshores hom anomena v un vector propi (eigenvector en anglès) d'a i λ l'valor propi (eigenvalue en anglès) associat. (Eigen significa "propi" en alemany). El nombre λ és un valor propi d'A si i només si A−λIn no és invertible, que passa si i només si pA(λ) = 0. Aquí pA(x) és el polinomi característic d'A. Aquest és un polinomi de grau n i per tant té n arrels complexes (comptant les arrels múltiples segons la seva multiplicitat). En aquest sentit, cada matriu quadrada té n valors propis complexos.

El determinant d'una matriu quadrada A és el producte dels seus valors propis (comptant cadascú segons la seva multiplicitat), però també es pot definir per mitjà de la fórmula de Leibniz. Les matrius invertibles són precisament aquelles amb un determinant no-zero, o sigui amb valors propis tots no-zero.

L'algoritme d'eliminació de Gauss-Jordan és de vital importància: hom el pot utilisar per computar determinants, rangs i els inversos de matrius i per solucionar sistemes d'equacions lineals.

El rastre d'una matriu quadrada és la suma de les seves entrades diagonals, que és igual a la suma dels seus valors propis (comptant cadascú segons la seva multiplicitat).

Hom defineix l'exponencial de qualsevol matriu quadrada real o complexa, usant sèrie de potències.

[edita] Tipus especials de matrius

En moltes àrees de les matemàtiques apareixen matrius amb una certa estructura. Uns quants exemples importants són

  • les matrius simètriques són tal que els elements simètrics a la diagonal principal (des de dalt a l'esquerra cap avall a la dreat) són iguals, és a dir ai,j=aj,i.
  • les matrius antisimètriques són tal que els elements simètrics a la diagonal principal són el negatiu un de l'altra, és a dir ai,j= - aj,i. En una matriu antisimètrica, tots els elements diagonals són 0, és a dir, ai,i=0.
  • les matrius hermítiques complexes són tal que els elements simètrics a la diagonal són els conjugats complexos un de l'altre, és a dir ai,i=0.>, on '*' significa la conjugació complexa.
  • les matrius ortogonals són aquelles matrius quadrades reals invertibles que compleixen la relació: AT = A − 1.
  • les matrius de Toeplitz tenen elements comuns en llurs diagonals, és a dir, ai,j=ai+1,j+1.
  • les matrius estocàstiques són matrius quadrades les columnes de les quals són vectors de probabilitat; hom les utilitza per definir les cadenes de Markov.

Per una llista més exhaustiva vegeu llista de matrius.

[edita] Les matrius en l'àlgebra abstracta

Si comencem amb un anell R, podem considerar el conjunt (Mm,n, R) de totes les matrius m-per-n amb entrades en R. La suma i el producte d'aquestes matrius es poden definir com en el cas de matrius complexes o reals (vegeu dessota). El conjunt M(n, R) de totes les matrius quadrades n-per-n en R és un anell pel seu propi dret, isomòrfic a l'anell d'endomorfismes del mòdul esquerre Rn.

De manera similar, si les entrades es prenen d'un semianell S, la suma i el producte de matrius es poden definir encara com usual. El conjunt de totes les matrius quadrades n×n en S és un semianell en sí. Cal recordar que els algoritmes ràpids de multiplicació de matrius com l'algoritme de Strassen normalment s'apliquen només a matrius sobre anells i no funcionen per matrius sobre semianells que no són anells.

Si R és un anell commutatiu, aleshores M(n, R) és una àlgebra associativa unitària sobre R. Aleshores també és significatiu definir el determinant de les matrius quadrades usant la fórmula de Leibniz; una matriu és invertible si i només si el seu determinant és invertible en R.

Tot el que es diu en aquests articles sobre les matrius reals o complexes roman correcte per les matrius sobre un cos arbitrari.

Les matrius sobre un anell polinòmic són importants en l'estudi de la teoria del control.

[edita] Història

L'estudi de les matrius és bastant antic. Els quadres llatins i els quadres màgics han estat estudiats des de temps prehistòrics.

Les matrius tenen una llarga història d'aplicació en la solució d'equacions lineals. En Gottfried Leibniz, un dels dos fundadors del càlcul, va desenvolupar la teoria dels determinants el 1693. En Gabriel Cramer va desenvolupar encara més la teoria, presentant la regla de Cramer el 1750. En Carl Friedrich Gauss i en Wilhelm Jordan van desenvolupar l'eliminació de Gauss-Jordan durant la primera dècada del segle XIX.

El terme "matriu" va ser encunyat el 1848 per J. J. Sylvester. George Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassman, Ferdinand Georg Frobenius i John von Neumann són alguns dels matemàtics famosos que han treballat en teoria de matrius.

N'Olga Taussky Todd (1906-1995) va començar a usar la teoria de matrius mentre investigava un fenomen aerodinàmic de súper-oscil·lació, durant la Segona Guerra Mundial.

[edita] Vegeu també

  • Teoria de matrius

[edita] Enllaços externs