Nombre real

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals

Naturals \mathbb{N} {0,1,2,3...}
Enters \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}
Racionals \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reals \mathbb{R} {Q U I U Tr} Complexos \mathbb{C}

Infinit

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions \mathbb{H}
Octonions \mathbb{O}
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1o,2o,...} (d'ordre)
Cardinals {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, ...}

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració
  • Àrab
  • Armeni
  • Àtica (grega)
  • Babilònica
  • Xinesa
  • Ciríl·lica
  • Egípcia
  • Etrusca
  • Grega
  • Hebrea
  • Índia
  • Jònica (grega)
  • Japonesa
  • Jémer
  • Maia
  • Romana
  • Tailandesa

  • Numerals en base constant:
  • Binari (2)
  • Quinari (5)
  • Octal (8)
  • Decimal (10)
  • Duodecimal (12)
  • Hexadecimal (16)
  • Vigesimal (20)
  • Sexagesimal (60)


Els nombres reals es defineixen de manera intuitiva com el conjunt de nombres que es troben en relació bijectiva amb els punts d'una recta infinita: la recta numèrica. El conjunt dels nombres reals s'expressa per la lletra ℝ (\mathbb{R}). El nom de "nombre real" es proposà com a antònim de "nombre imaginari".

La recta numèrica.
Ampliar
La recta numèrica.

El concepte de nombre real es va originar quan es va constatar l'existència dels nombres irracionals. Així, el conjunt dels nombres reals s'origina com la unió del conjunt dels nombres racionals i el conjunt dels irracionals. Igualment inclou també els nombres naturals i els nombres enters. Per tant, els nombres reals poden ser racionals o irracionals, algebraics o relevants; i possitius, negatius, o nuls.

Taula de continguts

[edita] Notació

Els nombres reals mesuren quantitats contínues que s'expressen amb fraccions decimals que tenen una successió infinita de dígits a la dreta de la coma decimal, com per exemple 324,8232. Sovint també es subrepresenten amb res punts consecutius al final (324,823211247…), la qual cosa significaria que encara falten més dígits decimals, però que es consideren sense importància.

Les mesures a les ciències físiques s'expressen gairebé sempre com a nombres reals. Els nombres reals s'estudien a l'anàlisi real.

La mesura a les ciències físiques són sempre una aproximació a un nombre real. No tan sols és més concís escriue'ls amb forma de fracció decimal (és a dir, nombres racionals que poden ser escrits com a ratios, amb un denominador explícit) sinó que, en qualsevol cas, abasta íntegrament el concepte i significat del nombre real. En l'anàlisi matemàtica els nombres reals són objecte principal d'estudi.

Es diu que un nombre real és recursiu si els seus dígits es poden especificar per un algoritme recursiu. Un nombre no-recursiu és aquell que és impossible especificar explícitament. Tot i així, l'escola russa de constructivisme suposa que tots els nombres reals són recursius.

Els ordinadors només poden aproximar els nombres reals per nombres racionals; de tota manera, alguns programes d'ordinador poden tractar un nombre real de manera exacta usant la seva definició algebraica (per exemple, "\sqrt{2}") en voltes de la respectiva aproximació decimal.

Els matemàtics fan servir el símbol R (altrament, \Bbb{R}), la lletra "R" amb forma grotesca) per a representar el conjunt de tots els nombres reals. La notació matemàtica Rn es refereix a un espai dimensional n dels nombres reals; per exemple, un valor de R3 consisteix de tres nombres reals i determina un lloc en un espai de tres dimensions.

En matemàtiques, la paraula "real" es fa servir com a adjectiu, amb el significat de que el cos subjacent és el cos dels nombres reals. Per exemple, matriu real, polinomi real, i Àlgebra de Lie real.

[edita] Història

Els egipcis utilitzaren per primera vegada les fraccions vulgars prop de l'any 1000 AdC; prop del 500 AdC el grup de matemàtics grecs encapçalats per Pitàgores se'n adonaren de la necessitat dels nombres irracionals. Els nombres negatius van ser inventats per matemàtics indis prop del 600, i possiblement reinventats a la Xina poc després, i no es van fer servir a Europa fins al segle XVII, si bé a finals del XVIII Leonard Euler descartà soluciones negatives per a les equacions perquè ho considerava irreal. En Eixe segle, al càlcul s'utilitzava un conjunt de nombres reals sense una definició concisa, cosa que finalment esdevinguè amb la definició rigorosa feta per Georg Cantor en 1871.

[edita] Definició

[edita] Amb els nombres racionals

El conjunt dels nombres reals pot ser definit com un complement del conjunt dels nombres racionals, entre d'altres formes de construir nombres reals.

[edita] Aproximació axiomàtica

Fet un conjunt de tots els nombres reals expressat per \Bbb{R}, aleshores:

  • El conjunt \Bbb{R} és un cos, amb la qual cosa es defineixen la suma i la multiplicació, i tenen unes propietats comunes que són l'associativa, la commutativa, la distributiva, així com l'existència de l'element neutre, l'element nul, els oposats, i els inversos.
  • El cos de \Bbb{R} és ordenat, és a dir, existeix una ordenació completa ≥ tal que, per a tots els nombres reals x, y, i z:
    • si xy aleshores (x+z) ≥ (y+z);
    • si x ≥ 0 i y≥ 0 aleshores xy ≥ 0.
  • L'ordenació completa dels Talls de Dedekind, per exemple, cada conjunt no buit de S o R amb una cota superior en R té una cota superior menor (també anomenat "suprema") en R.

La darrera propietat és en què difereixen els nombres reals dels nombres racionals. Per exemple, un conjunt de nombres racionals amb un quadrat inferior a 2 té una cota superior (per exemple, 1,5) però no té cap suprema, perquè l'arrel quadrada de 2 no és racional.

Els nombres reals s'especifiquen inequívocament per les propietats de dalt. Més concretament, fet dos cossos amb l'ordenació completa de Dedekind R1 i R2, hi existeix un únic isomorfisme de cossos des de R1 a R2, per la qual cosa es considerarien essencialment un mateix objecte matemàtic.

[edita] Conjunt estès de nombres reals

Es defineix el conjunt estès de nombres reals i s'indica \tilde{\R} el conjunt \R com la suma de dos punts - \infty + \infty.

\tilde{\R} = \R  \cup \{- \infty, + \infty\}.

L'ordenació s'estén a aquest nou punt posant-hi: - \infty \,<\, x , x \,<\, + \infty per a cada x \in \R.

La importància d'aquest conjunt deriva del fet que només en \tilde{\R} estès pot donar-se una definició inequívoca del concepte de límit, mitjançant l'extensió de la definició d'entorn d'un punt, en què es fa una referència cap als "punts" - \infty , + \infty.

[edita] Propietats

[edita] Completesa

La raó principal que ha comportat la introducció dels nombres reals és que hi contenen tots els límits. Concretament, els nombres reals són complets, en el sentit de l'espai mètric o de l'espai uniforme. Això significa que:

  • Una successió (xn) de nombres reals es diu Successió de Cauchy si per a qualsevol ε > 0 hi existeix un nombre enter N (eventualment depenent de ε) tal que la distància |xn − xm| és menor que ε