Polinomi

De Viquipèdia

Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma de diversos monomis, anomenats termes del polinomi. El cas concret d'un polinomi amb dos termes s'anomena binomi.

Són polinomis:

3x^5+4x^2-6x+7 \,
xy^3+t-4a \,
x+vt+\frac{1}{2}at^2 \,
x^2+4x+4 \,

Existeixen certs criteris a l'hora de representar un polinomi, tot i que no són normes d'aplicació obligatòria:

  • Quan dos termes dins d'un polinomi es poden sumar, llavors s'utilitza el polinomi resultant de sumar aquests termes. Per exemple:
Si el polinomi és: x2 + 4x − 3x + 4, llavors és millor utilitzar x2 + x + 4
  • Si els factors dels monomis que se sumen es repeteixen, sempre s'escriuen en el mateix ordre:
Si el polinomi és: x2y + 4yx − 3x + 4xy2, llavors és millor utilitzar yx2 + 4y2x + 4yx − 3x
  • Els termes s'ordenen segons el grau de l'últim factor dels termes, en ordre decreixent.
Si el polinomi és: 3x5 + 7 + 4x2 − 6x, llavors és millor utilitzar 3x5 + 4x2 − 6x + 7


Un polinomi pot ser una expressió com 2x3 - 5x2 + 6x -1 una suma de potencies enteres (en el exemple: 3, 2, 1 i 0) d’un nombre (x) multiplicades per uns coeficients (en el exemple: 2, -5, 6 i -1). La notació ordinària pels enters els representa com a polinomis amb potències de 10: per exemple, 365 = 3(102) + 6(101) + 5(100) = 3(102) + 6(10) + 5 Si el nombre x a 2x3 - 5x2 + 6x -1 no s’especifica, però s’imagina capaç de prendre valors d’un conjunt de valors, s’anomena variable, i la fórmula 2x3 - 5x2 + 6x -1 determina una funció, de la qual el seu “domini” es el conjunt de valors que x pot prendre. Aquesta mena de funcions s’anomenen funcions polinòmiques o, breument, simplement polinomi; generalment el domini d’un polinomi es suposa que tracte de tots els nombres reals o bé tots els nombres complexes. El grau d’un polinomi es el exponent (potència) més elevat de la variable x; per exemple, 2x3 - 5x2 + 6x -1 es de grau 3. Un nombre sol, considerat com el representant d’una funció constant, es un polinomi de grau zero (excepte que 0, com a polinomi, no se l’hi atribueix cap grau). Els polinomis de grau 1, 2, 3, 4 son anomenats lineals, quadràtic, cúbic, biquadràtic, respectivament.


El polinomis son importants per una sèrie de raons:

  1. La suma de polinomis es un polinomi
  2. El producte de polinomis es un polinomi
  3. La derivada d’un polinomi es un polinomi
  4. La integral d’un polinomi es un polinomi
  5. Els polinomis serveixen per a aproximar altres funcions, com ara les funcions sinus, cosinus i exponencial.

Tots els polinomis tenen una forma expandida, a on s’empra la regla distributiva per a suprimir tots els parèntesis; per exemple: x2-2x+1. (Alguns polinomis també tenen la forma de factors, per exemple (x-1)*(x-1), a on apareixen els parètesis). A la forma expandida un terme (per exemple -2x) del polinomi es una part del polinomi que es el producte d’un nombre anomenat coeficient (al terme -2x, el coeficient es -2) i zero o més variables, a on una variable que apareix més d’una vegada s’expressa una vegada amb un exponent (per exemple, tot i que son el mateix, en lloc de escriure x*x-2x+1, hom escriu x2-2x+1 on el exponent de x2 es 2). Cada polinomi en forma expandida es la suma d’uns termes, on la resta es fa mitjançant la suma de termes amb coeficients negatius.

Els polinomis es classifiquen pel seu grau i nombre de variables. El grau d’un terme en un polinomi es la suma de tots els exponents de les variables del terme, on una variable sense exponent s’entén que te exponent 1 (per exemple, el terme 7x3y2 es de grau 3+2=5 i el terme -5x2y es de grau 2+1=3). En particular, un terme sense variables te grau zero. El grau d’un polinomi coincideix amb el grau major de tots els termes del polinomi, sense tenir en compte els termes amb coeficient zero. Així a x2-2x+1 el terme x2 te grau 2 i es el major grau dels tres termes del polinomi, per tant també el grau del polinomi es 2. Si tots els termes del polinomi tenen coeficients zero, llavors el grau del polinomi no es zero, sinó que es indefinit, o en alguns contexts es diu que te un altre valor (com ara −∞).

Exemple: 3 x ( x - y ) + z \, es equivalent a al forma expandida: 3 x^2 - 3 x y + z \, A aquesta forma expandida, el segon terme es −3xy i el seu grau es 2. El polinomi es de segon grau amb tres variables (x, y i z). Si donem valors a les variables, per exemple, x = 10, y = 5, z = 100 llavors la avaluació del polinomi es 250 (ja que 3*(10)^2 – 3*(10)*(5) + (100) = 250).

Tot polinomi de una variable es equivalent a un polinomi de la forma: a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0.

Aquesta darrera forma s’usa de vegades com a definició per a un polinomi de una variable.

L’avaluació d’un polinomi consisteix a assignar un nombre a cada variable i efectuar les operacions indicades (en el exemple anterior hem assignat valors a x, y, z, i hem vist que l’avaluació ens donava 250). De vegades, per a polinomis d’una variable, l’avaluació es fa emprant el esquema de Horner: ((\ldots(a_n x + a_{n-1})x + ... + a_2)x + a_1)x + a_0\,.

Una equació polinòmica es una equació a on hi s’iguala un polinomi a zero o a un altre polinomi. En el segon cas, l’equació hom la converteix a la primera sense més que sostraure al primer polinomi el segon. Quan hom te un polinomi igualat a zero, el grau de la equació es el grau del polinomi. Les variables sovint son anomenades "incògnites", en el sentit de que l’equació es un problema encara desconegut fins a ser resolt trobant nombres per a les variables de manera que l’equació sigui certa al avaluar el polinomi.

A l’àlgebra elemental, es donen mètodes per a resoldre equacions de polinomis, d’una variable, de primer i segon grau. El nombre de solucions possibles pot ser igual o menor al grau de la equació. Ací s’ha de tenir en compte la multiplicitat de solucions. Per exemple, l’equació x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=0 només te una solució x=1, en lloc de dues (el grau de l’equació es 2 i per tant hom pot esperar trobar 2 valors de x pels quals l’equació es verifica, però al ser la solució doble, només x=1 verifica l’equació).

Un sistema de equacions polinòmiques es un conjunt de equacions que tenen que se avaluades amb la mateixa assignació de nombres a les variables a cada equació. Els sistemes de equacions son normalment agrupats amb una sola clau oberta a la esquerra. A àlgebra elemental, es donen mètodes per a resoldre sistemes de equacions lineals de varies incògnites. Per a aconseguir una solució única el nombre de equacions te que ser igual al nombre de incògnites. Els sistemes de equacions lineals de varies incògintes son tractats a l’àlgebra lineal.

Taula de continguts

[edita] Exemples més avançats de polinomis

També a l’àlgebra lineal, el polinomi característic d’una matriu quadrada codifica propietats importants de la matriu (matemàtiques)).

A la teoria de grafs el polinomi cromàtic de un graf codifica les diferents maneres colorar els vèrtexs del graf utilitzant x colors.

A l’àlgebra abstracte, hom pot definir polinomis amb coeficients a qualsevol anell (matemàtiques).

A la teoria de nusos (knot theory), el polinomi de Alexandre (Alexander polynomial), el polinomi de Jones (Jones polynomial), i el polinomi HOMFLY (HOMFLY polynomial) son importants nusos invariants (knot invariants).

[edita] Historia

La determinació de les rels o arrels d’un polinomi, o les "resolucions de equacions algebraiques", es un dels problemes més antics a matemàtiques. Alguns polinomis, com ara f(x) = x2 + 1, no tenen rels dins del nombres reals. Ara bé, si s’estén les solucions possibles al domini del nombres complexes, llavors, qualsevol polinomi (no constant) te rels: aquesta es la afirmació que fa el teorema fonamental del àlgebra.

Hi ha una diferència entre aproximar rels i trobar formules tancades concretes per les rels. Les formules per les rels d’un polinomi de fins a grau 2 son conegudes des de l’antiguitat (vegi's quadratic equation) i fins a grau 4 son conegudes des del segle 16 (vegi's Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Però les formules per a grau 5 s’escaparen dels recercadors per un temps molt llarg. Al 1824, Niels Herik Abel va provar l’esclatant resultat de que no pot haver cap formula general (que inclogui operacions aritmètiques i radicals) per a les rels d’un polinomi de grau 5 o major en termes dels seus coeficients (vegi's Abel-Ruffini theorem). Aquest resultat marcà el inici de la teoria de Galois (Galois theory) el qual s’enceta en un estudi detallat de les relacions entre les arrels dels polinomis.

L’enginy de diferència (difference engine) de Charles Babbage fou disenyat per a crear una llarga taula de valors de logaritmes i funcions trigonomètriques automàticament, per l’avaluació aproximada de polinomis a molts punts fent l’ús del mètode de diferències de Newton.


[edita] Funcions polinòmiques

Per a unes constants numèriques donades a0, …, an, n > 0, en alguns dominis (sovint R o C), amb an diferent de zero, llavors una (funció) polinòmica de grau n es una funció de la forma: f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n.

Més concisament, una funció polinòmica pot escriure’s en la notació sigma sigma notation com:

f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.

Les constants a0, …, an son anomenades els coeficients del polinomi. a0 es anomenat el coeficient constant i an es anomenat el coeficient dominant. Quan el coeficient dominant es 1, hom diu que el polinomi es mònic o normalitzat.

Cada sumand ai xi del polinomi es anomenat un terme. Un polinomi amb un, dos, o tres es anomenat monomi, binomi or trinomi respectivament.

Les funcions polinòmiques de

  • grau 0 son anomenades funcions constants (excloent el polinomi zero, que te grau indeterminat),
  • grau 1 son anomenades funcions lineals,
  • grau 2 son anomenades funcions quadràtiques,
  • grau 3 son anomenades funcions cúbiques,

[edita] Gràfics

Una funció polinòmica de una variable real pot ser representada mitjançant una gràfica.

  • El gràfic del polinomi zero: f(x) = 0 es el eix x.
  • El gràfic d’un polinomi de grau 0:f(x) = a0 , on a0 ≠ 0,

es una línia horitzontal que talla el eix y a a0

  • El gràfic d’un polinomi de grau 1 (o funció lineal)
f(x) = a0 + a1x , on a1 ≠ 0,

es una línia obliqua que talla el eix y a a0 i amb pendent (slope) a1.

  • El gràfic d’un polinomi de grau 2 o major:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn , on an ≠ 0 i n ≥ 2 es una corba continua no lineal.

La millor manera de analitzar el gràfic de una funció polinòmica de grau 2 o major es pel seu comportament als extrems, el nombre de talls amb l’eix x i el nombre de punts màxims i mínims.

[edita] Comportament als extrems

N’hi ha quatre comportaments als extrems que hi son resultats directes de si o bé an, el coeficient dominant, es positiu o negatiu o bé si n, el grau del polinomi, es parell or senar.

  • Si an es positiu i n es parell, el extrem dret del polinomi es al quadrant I mentre que el extrem esquerra es al quadrant IV.
  • Si an es negatiu i n es parell, el extrem dret es al quadrant II mentre que el extrem esquerra es al quadrant IV.
  • Si an es positiu i n es senar, el extrem dret es al quadrant I mentre que el extrem esquerra es al quadrant III.
  • si an es negatiu i n es senar, el extrem dret es al quadrant II mentre que el extrem esquerra es al quadrant III.

[edita] Nombre de talls a x

Del teorema fonamental de l'àlgebra, un polinomi de grau n te exactament n rels complexes, que poden o no ser reals. Per tant, el nombre de talls amb l’eix x no pot excedir n. També deriva del teorema fonamental de l'àlgebra que les rels complexes d’un polinomi amb coeficients reals tenen que existir en parells complexes conjugats. Això, en particular, implica que un polinomi de grau parell amb coeficients reals pot tenir cap tall amb x (perquè les seves rels poden ser totes complexes); un polinomi de grau senar amb coeficients reals, per altre banda, te que tenir al menys un tall amb x, donat que les rels complexes conjugades es donan per parelles, deixant necessariament al menys una rel sense parella per un n senar. Aquesta (aquestes) "desaparellada(es)" rel(s) deu ser per tant real(s). Per exemple, una funció polinòmica de grau 4 amb coeficients reals pot tenir-hi 0, 2 o 4 talls amb l’eix x, al temps que una funció polinòmica similar de grau 5 pot tenir 1, 3 o 5 talls amb l’eix x. Ací assumim que els talls amb x hom els compte amb la seva multiplicitat (multiplicity) - per exemple, el tall a x de x2 al origen es compta dos vegades per que 0 es una rel doble de x2.

[edita] Nombre de punts màxims i mínims

El nombre total de punts màxims i mínims d’un polinomi de grau parell pot ser qualsevol nombre senar menor al grau del polinomi, mentre que per un polinomi de grau senar pot ser qualsevol nombre parell menor al grau del polinomi. Per exemple, una funció polinòmica de grau 4 pot tenir 1 o 3 en total de màxims i mínims i una funció polinòmica de grau 5 pot tenir 0, 2, o 4 en total de màxims i mínims.

Els següents son alguns exemples de polinomis de grau baix.

[edita] Exemples

Polinomi de grau 2:f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2)
Ampliar
Polinomi de grau 2:
f(x) = x2 - x - 2
= (x+1)(x-2)
Polinomi de grau 3:f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Ampliar
Polinomi de grau 3:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2
= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomi de grau 4:f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
Ampliar
Polinomi de grau 4:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
Polinomi de grau 5:f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2
Ampliar
Polinomi de grau 5:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

La funció

f(x)= 13x^4 - 7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3

es un exemple de funció de grau 4 amb coeficient dominant 13, i un coeficient constant 3.

[edita] Rels

Una rel o zero d’un polinomi p es a nombre ζ tal que p(ζ) = 0. El teorema fonamental del àlgebra (fundamental theorem of algebra) afirma que un polinomi de grau n sobre els nombres complexes te exactament n rels complexes (no necessariament diferents). De ací que un polinomi pot ser factoritzat com: p(x) = a_n(x-\zeta_1)\cdots(x-\zeta_{n}) on cada ζi es una rel del polinomi p. Per exemple, el polinomi x3x pot ser factoritzat com x(x−1)(x+1). Una equació de la forma p(x)=0 es anomenada una equació polinòmica (polynomial equation) en la incògnita x. Les solucions de la equació son les rels del polinomi. Les rels reals de un polinomi (sense coeficients no reals ) son els talls amb l’eix x del gràfic de p(x) presa com una funció polinòmica.

La solució numèrica d’una equació polinòmica amb una incògnita es fàcilment assolit per una computadora amb el mètode Durand-Kerner (Durand-Kerner method) o per algun altre algoritme de cerca de arrels (root-finding algorithm). La reducció de equacions de varies incògnites a equacions de una incògnita es tractat al article del algoritme de Buchberger )Buchberger's algorithm). El cas especial on tot els polinomis son de grau u es el de la eliminació gaussiana (gaussian elimination).

Solucions analítiques de les rels d’un polinomi en termes dels seus coeficients fet ús només de les operacions estàndard aritmètiques son possibles només si el grau del polinomi es quatre o menor. Aquest es el conegut teorema de Abel-Ruffini (Abel-Ruffini theorem). Per tant, es fa necessari utilitzar unes altres funcions especials per tal d’obtenir les rels de equacions de grau superior. En particular, ha estat mostrat per Richard Birkeland i Karl Meyr que les rels de qualsevol polinomi poden ser expressades en termes de funcions hipergeomètriques multivariables (hypergeometric function). Ferdinand von Lindemann i Hiroshi Umemura mostraren que les rels també poden ser expressades en termes de funcions modulars (Siegel modular function), generalitzacions de les funcions theta (theta function) que apareixen a la teoria de les funcios el•líptiques (elliptic function). Aquestes caracteritzacions de les rels de polinomis arbitraris son generalitzacions dels mètodes abans descoberts per resoldre les equacions de cinquè grau (quintic equation).

Equacions de grau dos poden ser reduïdes sense l’ús de la computadora be a rels quadrades (square root). Vegis quadratic equation.

[edita] Polinomis i càlcul

Article principal: Calculus with polynomials

Un aspecte important del càlcul es el projecte de analitzar funcions complicades mitjançant la aproximació amb polinomis. La culminació de aquests esforços es el teorema de Taylor (Taylor's theorem), el qual, dit ràpidament, afirma que cada funció diferenciable (differentiable) localment sembla com un polinomi, i el teorema de Stone-Weierstrass (Stone-Weierstrass theorem), que afirma que cada funció continua definida a un interval compacte del eix real pot ser aproximada en tot el interval tant com es vulgui per un polinomi. Els polinomis son també freqüentment usats per a la interpolació (interpolate) de funcions.

Els quocients (Quotient) de polinomis son anomenats expressions racionals (rational expression), i les funcions que avaluen les expressions racionals son anomenades funcions racionals (rational function). Només les racionals discontinues (Piecewise) poden ser avaluades directament a la computadora (computer), donat que típicament només son implementades a hardware les operacions de suma, multiplicació, divisió i comparació. Totes les altres funcions que les computadores avaluen, com ara les funcions trigonomètriques (trigonometric function), logaritmes (logarithm) i funcions exponencials (exponential function), tenen que ser aproximades per software per adequades funcions discontinues racionals.

El càlcul de derivades i integrals es particularment fàcil. Per el polinomi: \sum_{i=0}^n a_i x^i la derivada respecte la x es: \sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1} i la integral indefinida es: \sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c.

[edita] Avaluació de polinomis

Per a avaluà un polinomi en la forma de monomi (monomial form) hom pot fer l’ús del esquema de Horner (Horner scheme). Per a un polinomi en la forma Chebyshev (Chebyshev form) es pot usar el algoritme de Clenshaw (Clenshaw algorithm). Si s’han de calcular varies xn equidistants hom faria l’ús del mètodes de les diferencies de Newton (Newton's difference method).

[edita] Àlgebra abstracte

A àlgebra abstracte (abstract algebra), hom te que tenir cura de distingir entre polynomis and funcions polinòmiques. Un polinomi f es pot definir com una expressió formal en la forma:

f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_1 X + a_0

on els coeficients a0, ..., an son elements d’algun anell (ring) R i X es considerada de ser un símbol formal. Dos polinomis son considerats iguals si i només si les seqüències del seus coeficients son iguasl. Els polinomis amb coeficients a R es poden sumar simplement sumant els seus corresponents coeficients i multiplicats utilitzant les regles distributives (distributive law).

X \; a = a \; X
per a tots els elements a de l’anell R
X^k \; X^l = X^{k+l}
per a tots els nombres naturals (natural numbers) k i l.

Hom pot comprovar que el conjunt de tots els polinomis amb coeficients a l’anell R forma per si mateix un anell, l’anell de polinomis sobre R, el qual es denotat per R[X]. Si R es un anell commutatiu (commutative), llavors R[X] es un àlgebra (algebra) sobra R.

Hom pot pensar l’anell R[X] com sortit de R per la adició de un nou element X a R i només requerint que X commuti amb tots els elements de R. Per a que R[X] formi un anell, totes les sumes de potencies de X s’han de incloure també. La formació del anell polinòmic, junt amb la formació de l’anell de factors (ideals), son eines importants per construir nous anells partint dels coneguts. Per exemple, the la contrucció neta de camps finits (finite field) involucra l’ús d’aquelles operacions, partint del camps dels enters de mòduls de algun nombre primer (prime number) com anell de coeficients R (vegis modular arithmetic).

To every polynomial f in R[X], one can associate a polynomial function with domain and range equal to R. One obtains the value of this function for a given argument r by everywhere replacing the symbol X in f’s expression by r. The reason that algebraists have to distinguish between polynomials and polynomial functions is that over some rings R (for instance, over finite fields), two different polynomials may give rise to the same polynomial function. This is not the case over the real or complex numbers and therefore many analysts often don't separate the two concepts.

[edita] Divisibilitat

A l’àlgebra commutativa (commutative algebra), un focus de estudi principal es la divisibilitat entre polinomis. Si R es un domini de enters (integral domain) i f i g son polinomis en R[X], es diu que f divideix g si existeix un polinomi q en R[X] tal que f q = g. Hom llavors pot mostrar que "cada zero dona peu a un factor lineal", o més formalment: si f es un polinomi en R[X] i r es un element de R tal que f(r) = 0, llavors el polinomi (Xr) divideix f. El invers es també cert. El quocient pot ser computat fent ús del esquema de Horner.

Si F es un camp (field) i f i g son polinomis en F[X] amb g ≠ 0, llavors existeixen els polinomis únics q i r en F[X] amb: f = q \, g + r i tals que el grau de r es més petit que el grau de g. Els polinomis q i r son determinats unívocament per f i g. Això es anomenat "divisió amb resto" o "divisió polinòmica llarga (polynomial long division)" i mostra que l’anell F[X] es un domini euclidià (Euclidean domain).

Anàlogament, els polinomis "primers" (amb més correcció, polinomis irreductibles es poden definir com els que no es poden factoritzar en el producte de dos polinomis de menor grau. No es senzill determinar si un donat polinomi es irreductible. Hom pot començar per simplement comprovar si el polinomi te factors lineals. Llavors, hom pot comprovar la divisibilitat per algun altre polinomi irreductible. També, de vegades, es pot utilitzar el criteri de Eisenstein (Eisenstein's criterion) per a determinar la irreductibilitat.

[edita] Extensions del concepte de polinomi

Hom també parla de polinomis de varies variables, obtingut traient l’anell de polinomis de un anell de polinomis: R[X,Y] = (R[X])[Y] = (R[Y])[X]. Aquests son de importancia fonamental a l’àlgebra geomètrica (algebraic geometry) que estudia conjunts de zeros simultanis de varius polinomis multivariable.

Freqüentment els polinomis s’usan per a codificar la informació de un altre objecte. El polinomi característic (characteristic polynomial) de una matriu o operador conté informació dels valors propis del operador (eigenvalue). El polinomi mínim (minimal polynomial) de un element algebraic (algebraic element) desa la relació algebraica més senzilla satisfeta per tal element.

Altres objectes relacionats estudiats a àlgebra abstracte son les series de potencies formals (formal power series), que son com polinomis però poden tenir grau infinit, i les funcions racionals (rational function), que son quocients de polinomis.

[edita] Referències

  • R. Birkeland. Über die Auflösung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen. Mathematische Zeitschrift vol. 26, (1927) pp. 565-578. Mostra que les rels de qualsevol polinomi pot escriure’s de termes de funcions hipergeomètricas multivariable. Document disponible ací.
  • F. von Lindemann. Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften, vol. 7, 1884. Solucions de polinomis en termes de funcions theta . Paper disponible ací.
  • F. von Lindemann. Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen II. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, 1892 edition. Document disponible ací.
  • K. Mayr. Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen. Monatshefte für Mathematik und Physik vol. 45, (1937) pp. 280-313.
  • H. Umemura. Solution of algebraic equations in terms of theta constants. In D. Mumford, Tata Lectures in Theta II, Progress in Mathematics 43, Birkhäuser, Boston, 1984.

[edita] Enllaços externs

[edita] Vegis també

  • Polynomial sequences
  • Ehrhart polynomials
  • Homogeneous polynomial
  • Hurwitz polynomials
  • Polynomial interpolation
  • Binomial type
  • Sheffer sequence
  • Spline
  • Symmetric polynomial
  • Characteristic polynomial
  • Binomial theorem
  • List of polynomial topics