Continuació analítica maximal

De Viquipèdia

Presentem aquí una formalització més abstracta de la noció de continuació analítica.

Sigui \mathbb S l'esfera de Riemann; una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert \ \Omega\subset\mathbb S és un parell \ \left(R,p\right) on R és una superfície de Riemann(és a dir, una varietat complexa a una dimensió) i p:R\rightarrow\Omega és un biholomorfisme local surjectiu. Una continuació analítica regular d'un element de funció holomorfa consisteix en una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert \Omega\subset\mathbb S tal que U\subset \pi(S), en una immersió holomorfa j\,\colon\, U\rightarrow S tal que \pi\circ  j=id\vert_{U} i en una [[funció holomorfa]] F\,\colon\, S\rightarrow \mathbb S tal que F\circ j=f.

Un morphisme entre dues continuacions analítiques \left(S,\pi,j,F\right) i \left(T,\varrho,\ell,G\right) del mateix element \left(U,f    \right) és una funció holomorfa h\,\colon\, T\rightarrow S tal que h\circ\ell=j.

Un tal morphisme és una funció no constant, unívocament determinada en j(U), (i doncs pertot en S) mitjan\c cant \ell\circ j^{-1}. A més, \varrho\circ h=\pi i G\circ h=F en j(U) doncs pertot en S.

L'únic morfisme entre una continuació analítica i ella mateixa és l'identitat, la composició de dos morfismes és també un morfisme; si un morphisme admet una funció holomorfa com a inversa, ella és també un morphisme: si és cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions analítiques.

Definició: una continuació analítica S de l'element \left(U,f    \right) és maximal si, per a cada continuació \widehat S de \left(U,f    \right) existeix un morfisme h\,\colon\, S\rightarrow \widehat S.

Remarquem que dues continuacions maximals del mateix element són necessariament isomorphes, doncs la continuació analítica maximal és única a menys d'isomorfismes.

Teorema: cada element \left(U,f    \right) de funció holomorfa té una continuació analítica maximal Q:= \left(S,\pi ,j,F    \right).

Demostració: siguin

  1. {\mathcal U}=\{\left(U_i,f_i    \right)\}_{i\in I}

el conjunt format mitjan\c cant els elements conectables amb \left(U,f    \right);

  1. S_0=\coprod_{i\in I}U_i,

\pi_0=\coprod_{i\in I}id\vert_{U_i} i F_0=\coprod_{i\in I}f_i;

  1. j_0\,\colon\, U\longrightarrow S_0 l'immersió natural.


Introduim una relació d'equivalència en S0: z_1\in U_{i_1} i z_2\in U_{i_2} es diran equivalents si π0(z1) = π0(z2) i f_{i_1}=f_{i_2} en un entorn de π0(z1) = π0(z2) en U_{i_1} \cap U_{i_2}.

Sigui S el conjunt quocient i q\,\colon\,S_0 \longrightarrow  S la projecció canònica: una base per a la topologia de S és formada per els [U_i]:=\{q\left(U_i     \right)\}. Definim j\,\colon\,U\longrightarrow S, \pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N F\,\colon\,  S\longrightarrow \mathbb C^N mitjan\c cant j=q\circ j_0, \pi \left(q(z)    \right)=\pi_0(z) F\left(z_i    \right)=f_i\left(z_i    \right).

Aquestes aplicacions són ben definides i contínues; a més, π és un homeomorfisme local.

L'espai topològic S és de Hausdorff: de fet, si q\left(z_i     \right)\not=q\left(z_j     \right) i \pi_0\left(z_i     \right)=\pi_0\left(z_j     \right), considerem un entorn connex V de \pi_0\left(z_i     \right)=\pi_0\left(z_j     \right), tal que fi i fj siguin definits i diferents en V. Siguin Vi i Vj les còpies disjuntes de V en Ui i de Uj en S0: es veu que {q\left(V_i    \right) \cap q\left(V_j    \right) =\emptyset}. De fet, si hi hagués dos punts w_i\in V_i i w_j\in V_j tals que {q\left(w_i    \right) =q\left(w_j    \right)}, hi hauria també fi = fj en un entorn de {\pi_0\left(w_i     \right)=\pi_0\left(w_j     \right)}, doncs en V: això és una contradicció.

L'espai S és connex, perquè per a tot parell de punts p1,p2 amb p_1\in [U^{\prime}] i p_2\in [U^{\prime\prime}], existeix una cadena {{\mathcal K}=\{U_{i_0},U_{i_1}  ..... U_{i_n}\}} de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot k = 0,....,n − 1, U_{i_k}\cap U_{i_{k+1}} \not=\emptyset, se hagi U_{i_0}=U^{\prime} i U_{i_n}=U^{\prime\prime}.

Doncs el conjunt obert {[U_{i_0}]\cup\cdots \cup [U_{i_n}]} és connex i conté p1 i p2.

Puix que q és un homeomorfisme local entre Ui i q\left(U_i    \right), l'espai S és connex; però també \pi\,\colon\,  S\longrightarrow \mathbb C és un homeomorfisme local, doncs pel teorema de Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), també S és a base numerable.

L'atles {\left\{\left([U_i], \pi\vert_{[U_i]}    \right)     \right\}_{i\in I}} defineix una [[estructura complexa]] en S, perquè per a tot parell [Ui],[Uj] de mapes locals qu'es superposen, l'[[aplicació de transició]] {\pi\vert_j\circ \pi\vert_i^{-1}} és l'identitat d'un conjunt obert de {U_i\cap U_j}.

Per a aquesta estructura, les aplicacions π,j,F són holomorphes per construcció, doncs { \left(  S, \pi,  j,   F\right)} és una continuació analítica de \left(U,f    \right).

Demostrem que aquesta continuació és maximal: sigui { \left(  T, \varrho,   \ell, G\right)} una continuació analítica de \left(U,f    \right): podem construir un recobriment obert de R mitjan\c cant uns {Vi} tals que, per a tot i, \varrho \vert_{\{V_i\}} és biholomorfa; llavors el parell {\left(\varrho(V_i), G\circ\varrho\vert_{V_i}^{-1}    \right)} és un [[element de funció holomorfa]] conectable amb \left(U,f    \right).

Definim {h_i: V_i\longrightarrow S} mitjan\c cant {h_i=q\circ \varrho\vert_{V_i}}: si V_i\cup V_j \not=\emptyset, hi = hj en V_i\cup V_j, doncs les definicions locals s'enllacen cap a definir una aplicació holomorfa h: T\rightarrow S tal que h\circ\ell=j.

[edita] Vegeu també

[edita] Referències

Narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago

En altres llengües