Divisió

De Viquipèdia

La divisió, és una operació aritmètica que serveix per expressar matemàticament l'acció de repartir una entitat entre un cert nombre de elements. En general, la divisió es pot considerar la inversa de la multiplicació.

Per expressar una divisió s'utilitzen els dos punts, :, o bé una línia inclinada, /. També es pot expressar una divisió en forma de nombre racional.

Una divisió acostuma a agafar la forma:

{a \over b} = c

on a és el dividend, b és el divisor i c és el quocient.

La divisió és una operació externa a tots els conjunts de nombres, en tant que la divisió entre zero dona resultat infinit. La divisió entre nombres sencers va donar origen a la idea dels nombres racionals.

Taula de continguts

[edita] Divisió exacta

S'anomena divisió exacta quan a la divisió:

{a \over b} = c

tots tres nombres, dividend, divisor i quocient són enters. Això només pot passar si a és múltiple de b, i val exactament c cops b. Quan això no passa, hom diu que a és indivisible per b, llavors caldrà recorrer a la Divisió amb residu o usar nombres racionals o reals.

Quan un nombre és indivisible per tots els nombres naturals menys per ell mateix i 1, es diu que és un nombre primer.

[edita] Divisió entera

Quan la divisió no és exacta i volem seguir utilitzant nombres enters apareix un nombre anomenat residu, que compleix:

residu = dividend - quocient · divisor

[edita] Divisió real

S'anomena divisió real a la divisió entesa com inversa de la multiplicació de nombres reals. En aquesta divisió tots el nombres poden ser reals (exceptuant que el quocient no pot ser zero). En aquest tipus de divisió no existeix el residu.

[edita] Propietats de la divisió

  • Uniforme: Si els dos membres d'una igualtat es divideixen entre el mateix nombre, queda una altre igualtat com a resultat.
a = b\ \Rightarrow\ {a \over c} = {b \over c}

però

{a \over b} = {c \over d}\ \not\Rightarrow\ a = c, b = d
  • Monotonia : Si els dos membres d'una desigualtat es divideixen entre un mateix nombre positiu, queda una altre desigualtat del mateix sentit. Si es divideixen entre un mateix nombre negatiu, queda una desigualtat de sentit contrari.
\mbox{Si }c > 0\mbox{ i }a > b \Rightarrow {a \over c} > {b \over c}
\mbox{Si }c < 0\mbox{ i }a > b \Rightarrow {a \over c} < {b \over c}
  • Distributiva: Junt amb la suma, es compleix la següent igualtat:
{\left ( b + c \right ) \over a} = {b \over a} + {c \over a}

En general:

{\left ( b + c + d + e + ... \right ) \over a} = {b \over a} + {c \over a} + {d \over a} + {e \over a} + ...
  • No commutativa: L'ordre de la divisió és important en el resultat:
{a \over b} és diferent de {b \over a}
  • Element neutre: L'element neutre de la divisió és l'1, de manera que:
{a \over 1} = a
  • Divisió per zero: La divisió per zero és una operació impossible:
\not\exists a,b \in R-\{ 0 \}\  {\rm tal \ que \ } a\cdot0=b

Com que tot nombre multiplicat per 0 dóna 0, donada b diferent de 0 no existeix cap a que cumpleixi la divisió b/0. En el cas que a fós 0, es tactaria d'una indeterminació.

[edita] Articles relacionats

Wikibooks A Viquillibres hi ha llibres de contingut lliure i altres textos relatius a Divisió