Teoria de grups

De Viquipèdia

La teoria de grups dins la matemàtica estudia les propietats dels grups, i com classificar-los.

Un grup matemàtic és un magma ( un parell (G, * ) ), on G és un conjunt no buit i * una llei de composició interna, això és * : G\times G \to G, verificant:

  1. a*(b*c)=(a*b)*c, \forall a,b,c \in G (associativitat)
  2. \exists 1 \in A : 1*a=a*1=a (element neutre)
  3. \forall a \in A \exists a^{-1} \in A : a*a^{-1}=a^{-1}*a=1 (element invers)

En altres paraules un grup és un conjunt amb una operació binària associativa, tancada que té element neutre i inversos.

Un grup on es verifiqui a * b = b * a per a qualsevol parell d'elements a,b en G s'anomena abelià o commutatiu.

Exemples:

  • (R,+) és un grup abelià. R és el conjunt dels nombres reals i + la suma usual.
  • (R-{0},·) és grup abelià. (A remarcar que el zero no té invers multiplicatiu, per això se l'exclou).
  • (Zn,+) és grup.

Un grup es finit o infinit si el conjunt és finit o infinit. En l'exemple citat, els formats amb R són infinits i el format amb Zn és finit.