Lleis de Kirchoff

De Viquipèdia

Les lleis de Kirchhoff són un parell de lleis que tracten de la conservació de càrrega i energia als circuits elèctrics i foren descrites per primera vegada en 1845 per Gustav Kirchhoff. Ambdues lleis poden ser deduides de les equacions de Maxwell, però Kirchhoff precedí a Maxwell i, en compte d'això, generalitzà el treball de Georg Ohm.

[edita] La llei de Kirchoff del corrent

i1 + i4 = i2 + i3
Ampliar
i1 + i4 = i2 + i3

Aquesta llei també s'anomena primera llei de Kirchoff o llei del node/nus/punt de Kirchhoff.

El principi de conservació de la càrrega elèctrica implica que:

En qualsevol punt d'un circuit elèctric on la densitat de càrrega no canvia amb el temps, la suma dels corrents que flueixen cap a eixe punt és igual a la suma de corrents que ixen d'eixe punt.

Una densitat de càrrega canviant en el temps significaria l'acumulació d'una carrega neta positiva o negativa, que típicament no pot pasar d'una manera significant per la magnitut de les forçes electroestàtiques: l'augment de la càrrega faria que les forçes de repulsió dispersaren les càrregues.


No obstant, un augment de la càrrega pot donar-se en un condensador, on la càrrega es distribueix per unes llàmines paral·leles, amb una separació física en el circuit que evita que les acumulacions de càrregues positives o negatives en aquestes dos llàmines es toques i s'anulen. En aquest cas, la suma dels corrents que flueixen cap a una llàmina del condensador no és zero, sino més bé és igual a la velocitat d'acumulació de la càrrega. Així i tot, si el [[desplaçament de corrent dD/dt s'inclou, la llei del corrent de Kirchhoff es torna a complir (Açò sols és necessari si hom vol aplicar la llei del corrent dins del condensador. En anàlisis de circuits els condensadors solen tractar-se com un tot, i en eixe cas el corrent ordinari es manté ja que la càrrega és sempre zero.)

Més tècnicament, la llei de Kirchhoff del corrent pot trobar-se agafant la divergència de la llei d'Amper amb la correcció de Maxwell i combinant-la amb la llei de Gauss, obtinguent-se:

\nabla \cdot \mathbf{J} = -\nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}

Esta es simplement l'equació de la conservació de càrrega (en forma d'integral diu que el corrent que flueix cap a fora d'una superficie és igual a la velocitat de pèrduda de càrrega en el interior d'un volum tancat). La llei del corrent de Kirchoff és igual a l'afirmació de que la divergència del corrent és zero, cert si ρ no varia amb el temps, o sempre cert si el desplaçament del corrent s'inclou en J.

[edita] Llei de Kirchoff del voltatge

v1 + v2 + v3 + v4 = 0
Ampliar
v1 + v2 + v3 + v4 = 0

Aquesta llei també s'anomena segona llei de Kirchhoff o llei de la malla de Kirchoff.

El principi de conservació de la energia implica que:

La suma directa de totes les diferències de potencials al voltant d'un circuit deu ser zero.

(D'altra forma, seria possible construir una màquina de moviment perpetu que pasara un corrent en cercle al voltant del circuit.)

Aquesta llei té una subtilesa en la seua interpretació, donat que en presencia d'un camp magnètic canviant el corrent elèctric no és conservatiu i per tant no pot definir un potencial escalar pur —la integral de línia del camp elèctric al voltant del circuit no és zero. De forma equivalent, la energia és transferida del camp magnètic al corrent (o a l'inrevès). Per a "arreglar" la llei del voltatge de Kirchoff en aquest cas, s'asocia una caigua de potencial efectiva o força electromotriu (fem) a la inductància del circuit, exactament igual a la quantitat per la que la integral de línia del camp elèctric no és zero per la llei d'inducció de Faraday.

[edita] Enllaços externs