Producte Kronecker

De Viquipèdia

El producte Kronecker, denotat per \otimes és una operació entre dues matrius d'una mida arbitrària que donen com a resultat una matriu en blocs. És un cas especial del producte tensorial. S'ha de distingir entre el producte Kronecker i la multiplicació de matrius. Són dues operacions completament diferents.

Taula de continguts

[edita] Definició

Si A és una matriu de dimensions m per n i B és un matriu de dimensions p per q, aleshores el producte Kronecker A \otimes B és la matriu de blocs de dimensions mp per nq:A \otimes B = (a)_{ij} \cdot B

Això correspon a la matriu:

A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.

[edita] Exemples

\begin{pmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{pmatrix} \otimes   \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}  1  \cdot  \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 3  \cdot  \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 2  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix}\\ 1  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 0  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 0  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix}\\ 1  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 2  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} & 2  \cdot \begin{pmatrix}     0 & 5 \\     5 & 0 \\     1 & 1   \end{pmatrix} \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}       0 & 5 & 0 & 15 &0 & 10 \\     5 & 0 &15 & 0 &10 & 0 \\     1 & 1 & 3 & 3&2 & 2\\     0 & 5& 0 & 0 &0 & 0 \\     5 & 0 &0 & 0 &0 & 0 \\     1 & 1&0 & 0& 0 & 0\\     0 & 5 &0 & 10 & 0 & 10 \\     5 & 0 &10 & 0 &10 & 0 \\     1 & 1&2 & 2&2 & 2  \end{pmatrix}

[edita] Propietats

[edita] Bilinealitat i associativitat

El producte Kronecker és un cas especial del producte tensorial, i, per tant, és bilineal i associatiu:

A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C \qquad \mbox{(si } B \mbox{i } C \mbox{ tenen les mateixes dimensions)},
(A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C \qquad \mbox{(si } A \mbox{ i} B \mbox{ tenen les mateixes dimensions)},
(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),
(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),

on A, B i C són matrius i on k és un escalar.

El producte Kronecker no és commutatiu: Això és, en general, A \otimes B i B \otimes A són matrius diferents. Tanmateix, A \otimes B i B \otimes A són permutacions equivalents. Això és, que hi ha unes matrius de permutació P i Q tals que :A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.

En altres llengües