Quaternió

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals

Naturals \mathbb{N} {0,1,2,3...}
Enters \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}
Racionals \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reals \mathbb{R} {Q U I U Tr} Complexos \mathbb{C}

Infinit

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions \mathbb{H}
Octonions \mathbb{O}
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1o,2o,...} (d'ordre)
Cardinals {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, ...}

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració
  • Àrab
  • Armeni
  • Àtica (grega)
  • Babilònica
  • Xinesa
  • Ciríl·lica
  • Egípcia
  • Etrusca
  • Grega
  • Hebrea
  • Índia
  • Jònica (grega)
  • Japonesa
  • Jémer
  • Maia
  • Romana
  • Tailandesa

  • Numerals en base constant:
  • Binari (2)
  • Quinari (5)
  • Octal (8)
  • Decimal (10)
  • Duodecimal (12)
  • Hexadecimal (16)
  • Vigesimal (20)
  • Sexagesimal (60)


Els quaternions, són una generalització dels nombres complexos, de tal manera que si un nombre complex defineix dues dimensions afegint la component i (cal recordar que \mathbf{i^2} = -1), un quaternió defineix quatre dimensions afegint les components i,j,k, de manera que:

\mathbf{i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1}

Es pot resumir en aquesta taula de multiplicació:

1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

Un quaternió, doncs, és un nombre de la forma: z = a + bi + cj + dk, on els 4 nombres reals a, b, c i d defineixen únicament el quaternió z. El valor absolut del quaternió z es defineix com a:

\mathbf{|z| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}}

La multiplicació de quaternions té les propietats associativa i distributiva però no la commutativa: el conjunt dels quaternions és doncs un cos no abelià.

Van ser ideats per Sir William Rowan Hamilton, el 16 d'octubre de 1843 (un dilluns) després de pensar bastant de temps en com era possible multiplicar "triplets", ternes o trios de nombres (de fet, és impossible). Va ser mentre, caminant amb la seva dona, anava a presidir una reunió a l'Acadèmia Reial Irlandesa; la idea li va venir de sobte i se'n va alegrar tant que va gravar la fórmula esmentada a un dels carreus d'un pont que hi havia al camí.