Espai afí
De Viquipèdia
Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents a la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal.
Taula de continguts |
[edita] Definicions
Un espai afí sobre un cos és el triplet
, on:
és un conjunt.
.
és un espai vectorial sobre el cos
, en el que estan definides les operacions
i
, amb els element neutres 0 i 1 respectivament.
és una aplicació
, que compleix:
1.-, tal que
, és una aplicació bijectiva
2.-,
.
[edita] Notació
Els elements del conjunt s'anomenaran punts.
Els elements de l'espai vectorial s'anomenaran vectors, i s'escriuran
. O sigui que la segona condició anterior, es podrà escriure:
.
és l'espai vectorial associat a
.
Es defineix la dimensió de com la dimensió de
.
[edita] Propietats elementals
[edita] Exemples d'espais afins
- L'espai afí definit pel triplet
on definim
per
.
És l'espai afí de dimensió 2, o sigui, el pla afí.
- De forma més general, si
és un cos qualsevol, l'espai afí canònic sobre
de dimensió n és el triplet:
on és vist a la vegada com un espai de punts i un
-espai vectorial, i l'aplicació
està definida per:
[edita] Varietats lineals
Sigui un espai afí. Sigui
un punt qualsevol, i
un subespai vectorial de
. Es diu varietat lineal que passa per
i té la direcció de
, el subconjunt de
Aquesta varietat lineal es pot designar per: .
[edita] Noció de paral·lelisme
En un espai afí , dues varietats lineals
són paral·leles si
o
.
Cinquè axioma d'Euclides : En un espai afí , donat un punt i una direcció qualsevol
, existeix una única varietat que passa pel punt
, i té a
com a direcció.