Nombre e

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals

Naturals \mathbb{N} {0,1,2,3...}
Enters \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}
Racionals \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reals \mathbb{R} {Q U I U Tr} Complexos \mathbb{C}

Infinit

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions \mathbb{H}
Octonions \mathbb{O}
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1o,2o,...} (d'ordre)
Cardinals {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, ...}

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració
  • Àrab
  • Armeni
  • Àtica (grega)
  • Babilònica
  • Xinesa
  • Ciríl·lica
  • Egípcia
  • Etrusca
  • Grega
  • Hebrea
  • Índia
  • Jònica (grega)
  • Japonesa
  • Jémer
  • Maia
  • Romana
  • Tailandesa

  • Numerals en base constant:
  • Binari (2)
  • Quinari (5)
  • Octal (8)
  • Decimal (10)
  • Duodecimal (12)
  • Hexadecimal (16)
  • Vigesimal (20)
  • Sexagesimal (60)


La constant matemàtica e (anomenada a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes) és la base dels logaritmes naturals.

El nombre e és igual a exp(1), on exp és la funció exponencial. Correspon al límit matemàtic

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

Aquest límit existeix, ja que la successió n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n és creixent i limitada damunt. Això dona aproximadament e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 ...

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}   + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}   + {1 \over 4!} + \cdots

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom ha

1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 3,

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica convergent, en tant que de raó 1/2.

Finalment, és pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.

Es pot provar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial [exp(x)] és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per a constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] \,

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

e^{i\pi}+1=0 \,\!

Ella és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

e^{x+i \cdot y} = e^x \cdot (\cos y + i \cdot \sin y )

vàlida per a tot x,y\in{\mathbb R} (i de fet per a tot x,y\in{\mathbb C}).

És conegut que e és irracional i transcendent.