Matriu triangular

De Viquipèdia

Una matriu de nxm elements:

A =  \begin{pmatrix}   a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1m}\\   a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2m}\\   a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3m}\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nm}\\ \end{pmatrix}

és triangular superior, si és una matriu quadrada i aij = 0 per a tot i>j (i,j =1,2,3,...,n). És a dir,

A =  \begin{pmatrix}   a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1n}\\   0 & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2n}\\   0 & 0 & a_{33} & . & . & .& a_{3n}\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ 0 & 0 & 0 & . & . & .& a_{nn}\\ \end{pmatrix}

En cas contrari, si aij = 0 per a tot i<j (i,j =1,2,3,...,n), aleshores A és matriu triangular inferior que té la forma:

A =  \begin{pmatrix}   a_{11} & 0 & 0 & . & . & .& 0\\   a_{21} & a_{22} & 0 & . & . & .& 0\\   a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& 0\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nn}\\ \end{pmatrix}


Per exemple, per a n = 3:

\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

és triangular superior i

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 4 & 9 & 7 \\ \end{pmatrix}

és triangular inferior.

Se solen fer servir les lletres U i L, respectivament, ja que U és la inicial de "upper triangular matrix" i L de "lower triangular matrix", els noms que reben aquestes matrius en anglès.

En general, es poden realitzar les operacions en aquestes matrius en la meitat de temps.