Nombre racional

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals

Naturals \mathbb{N} {0,1,2,3...}
Enters \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}
Racionals \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reals \mathbb{R} {Q U I U Tr} Complexos \mathbb{C}

Infinit

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions \mathbb{H}
Octonions \mathbb{O}
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1o,2o,...} (d'ordre)
Cardinals {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, ...}

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració
  • Àrab
  • Armeni
  • Àtica (grega)
  • Babilònica
  • Xinesa
  • Ciríl·lica
  • Egípcia
  • Etrusca
  • Grega
  • Hebrea
  • Índia
  • Jònica (grega)
  • Japonesa
  • Jémer
  • Maia
  • Romana
  • Tailandesa

  • Numerals en base constant:
  • Binari (2)
  • Quinari (5)
  • Octal (8)
  • Decimal (10)
  • Duodecimal (12)
  • Hexadecimal (16)
  • Vigesimal (20)
  • Sexagesimal (60)


S'anomena nombre racional a tot aquell nombre que pot ser expressat com a resultat de la divisió de dos nombres enters, amb el divisor diferent de 0. El conjunt dels racionals es denota ℚ (\mathbb{Q}) o Q, per quocient. Aquest conjunt de nombres és superconjunt dels nombres enters, dels nombres decimals, i és un subconjunt dels nombres reals. Els reals que no pertanyen a aquest conjunt s'anomenen irracionals.

Els racionals es caracteritzen per tenir un desenvolupament decimal (o en qualsevol base) finit o periòdic, es dir que te un nombre de xifres decimals finit, o be que aquestes es repeteixen de manera regular.

Els nombres racionals compleixen la propietat de la densitat. Això vol dir que per a qualsevol parella de nombres racionals existeix algun altre nombre racional situat entre els dos a la recta real (\mathbb{R}). A més, \mathbb{Q} és dens a \mathbb{R}, o sigui que entre dos reals diferents, sempre cap un racional. Es poden demostrar amb facilitat que el cardinal dels nombres racionals és el mateix que el dels enters, el que significa que no hi ha més racionals que enters.

Exemples:

1/7 = 0, 142857 142857 142857 ...

1/60 = 0, 01 6 6 6 6 6 6 6 ...

7/5 = 1, 6

En efecte, en dividir un enter per un altre, (p.ex 1 per 7) només existeixen un nombre finit de restes possibles (a l'exemple: 0,1,2,4,8,5,7). Essent la successió de restes infinita, apareixerà forçosament una mateixa resta en dues posicions diferents. A partir d'elles, el càlcul es repeteix igual, fins que eventualment s'arribi a obtenir una resta nul·la.

1.................|7

1 0.............. | 0,142857 1...

..30

....20

......60

........40

..........50

............10

(En negreta, les posicions que corresponen al mateix càlcul).

recíprocament, tot nombre amb un desenvolupament decimal finit o periòdic correspon a un racional. Exemple: Sigui a = 12,345 67 67 67 67 67 ...

Es repeteixen dues xifres; multipliquem a per 102 = 100.

100a = 1234, 567 67 67 67 67 ...

.....a = 12, 345 67 67 67 67 ...

En sostreure, se'n va tota la part periòdica:

100a - a = 1222,22 llavors a = 12222/9900.