Aplicació lineal

De Viquipèdia

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecten l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Taula de continguts

[edita] Definicions

Sigui

f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F

una aplicació on \mathbf E i \mathbf F són dos \mathbb K-espais vectorials.

f és una aplicació lineal (o un morfisme de \mathbb K-espais vectorials) si:
*\forall x\in E,\forall y\in E,f(x+y)=f(x)+f(y)
*\forall \lambda \in \mathbb K,\forall x\in E,f(\lambda\cdot x)=\lambda \cdot f(x)

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogeni.

Si f:\mathbf E \rightarrow \mathbf F és una aplicació lineal, \forall x,y \in \mathbf E, i \forall a,b \in \mathbb K es compleix:

  • f(ax+by)=af(x)+bf(y)\,
  • f(\sum_{i=1}^m a_ix_i)=\sum_{i=1}^m a_if(x_i)
  • f(\vec 0)=\vec 0
  • f(-x)=-f(x)\,
  • Si g:\mathbf F \rightarrow \mathbf G també és una aplicació lineal, aleshores:g\circ f: \mathbf E \rightarrow \mathbf G, també és una aplicació lineal.

[edita] Nucli i imatge

Sigui f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F

Nuc f=\left\{x\in \mathbf E|f(x)=0\right\}
Im f=\left\{y \in \mathbf F|\exist x\in \mathbf E ,  y=f(x)\right\}

[edita] Teorema del rang

dim(Nuc f) + dim(Im f)=dim (\mathbf E)

[edita] Teorema d'isomorfisme

Im f \cong \mathbf E/Nuc f

[edita] L'espai dual

S'escriurà \mathcal{L}(\mathbf E,\mathbf F) com el conjunt de totes les aplicacions lineals de \mathbf E a \mathbf F, que són espais vectorials sobre el cos \mathbb K.

Es defineix l'espai dual com el conjunt \mathbf E^*=\mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb K).

\mathbf E^* és un espai vectorial de la mateixa dimensió de \mathbf E. De tal forma que si (u1,u2,...,un) és una base de \mathbf E, les aplicacions

u_i^':\mathbf E \rightarrow \mathbb K

definides per u_i^'(u_j)=\left\{\begin{matrix} 1&\mbox {si}&i=j\\ 0&\mbox {si}& i\ne j\end{matrix}\right. formen una base (u_1^',u_2^',...u_n^')\, de \mathbf E^* que anomenarem base dual de (u_1,u_2,...,u_n)\,