Resurgència

De Viquipèdia

En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, a la data del 6 de desembre 1918, la demanda si fou possible que una sèrie de potències

h(\xi)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(\xi-\xi_0)^k,

representant una funció diferent de \xi\mapsto ce^{\xi}, admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat γ al voltant de ξ0 i, a la fi de la continuació, prengués la forma

\sum_{k=1}^{\infty}k a_k(\xi-\xi_0) ^{k-1}=h^{\prime}(\xi), és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?

[edita] La solució de Lewy

En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada (vegeu A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).

Es consideri la funció: h(z)=\int_{\mathbb R^+}  exp \left[ -zt-(\log t)^2/4\pi i  \right]\, dt; h és holomorfa per \Re(z)>0 i pot ser continuada analíticament als semiplans \Re(z e^{- i\vartheta})>0\ (\vartheta \in\mathbb R^+), de la manera següent: sigui N\in\mathbb N tal que 0<\vartheta/N<\pi/2 i fem \eta:= \vartheta/N.

Escrivem, per a z\in \{\Re(z e^{- i\eta})>0\}\bigcup \{\Re(z)>0\},

h(z)=\int_{\mathbb R^+}exp\left[z e^{- i\eta} e^{i\eta} t- \frac{\log( e^{- i\eta} e^{i\eta} t)^2}{4\pi i  } \right] \, dt
=\int_{e^{i\eta}\mathbb R^+} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du
=\lim_{R \to\infty} \left\{ \int_0^{R} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du+\right.
\ \qquad \left. +  \int_{\gamma_R} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du\right\}.

Aquesta darrera integral, que anominem I2, ha de ser calculada sobre la corba \gamma_R: [0,1]\rightarrow\mathbb C definida en posar γ(t): = Reiθ.

Hom ha I_2\leq C_1 R^{\alpha}e^{-C_2R} per a unes constantes reals positives C1, C2 i α, doncs I2 tendeix a 0 quan R\to\infty.

Així per a z\in \{\Re(z e^{- i\eta})>0     \}\bigcap \{\Re(z)>0     \} hom ha h(z)= \int_{\mathbb R^+} exp \left[-ze^{- i\eta} u-\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du; però aquesta darrera integral convergeix en \Re(z e^{- i\eta})>0 i doncs hi defineix una continuació analítica de h. Repetem el procediment N vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de h al semiplà \Re(z e^{- i\vartheta})>0; doncs h pot ser continuada analíticament a tot punt p\in\mathbb C\setminus\{0     \}.

Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí \vert z\vert=1, 0\leq\arg(z)\leq 2\pi, obtenim, designant \hat h l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de z = 1) després una volta completa, \hat h(z) = \int_{\mathbb R^+} exp \left[-e^{2\pi i}z t-(\log t+2\pi i)^2/4\pi i    \right]\, dt=

= \int_{\mathbb R^+}  exp \left[-zt- \displaystyle \frac{(\log t)^2-4\pi ^2+4\pi i\log t}{4\pi i }  \right]\, dt=

=\int_{\mathbb R^+}  exp \left[ \displaystyle -zt -e^{2\pi i} t-(\log t)^2/4\pi i - \pi i+ \log t  \right]\, dt=

= \int_{\mathbb R^+} (-t)  exp \left[-zt-(\log t)^2/4\pi i    \right]\, dt= h^{\prime}(z).

Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.

En altres llengües