Equació

De Viquipèdia

Una equació és una igualtat entre expressions matemàtiques que només és certa per a certs valors de les variables que formen aquestes expressions. Aquestes variables s'anomenen normalment incògnites. Els valors que poden prendre les incògnites s'anomenen solucions de l'equació i solucionar una equació vol dir trobar aquests valors. Per exemple

x^2 - 5x + 6 = 0 \

és una equació d'una sola incògnita, la x. Com es pot comprovar fàcilment, qualsevol valor de x no compleix l'equació, només dos valors, x = 2 i x = 3, que són les seves solucions. Un altre exemple pot ser:

\cos{x} = 1 \

que també és una equació (no algebraica) d'una variable. En aquest cas la solució és x = 0, x = 2π, etc.

Habitualment s'utilitzen les primeres lletres de l'alfabet llatí a, b, c, etc. per a denotar constants en les equacions, mentre que es reserven les lletres del final de l'alfabet, x, y, z, etc. per indicar les incògnites.

A les dues expressions que igualem se les anomena termes de l'equació. En la majoria de casos una equació tindrà només dos termes.

En el cas en què es tinguin diverses equacions que s'han de verificar simultàniament, es parla de sistemes d'equacions. Segons la potència màxima a que està elevada la incògnita de l'equació es parla d'equacions de primer grau, equacions de segon grau, etc.

El concepte d'equació és molt més general i es pot aplicar també a funcions, no simplement a nombres. En aquest cas el problema es trobar una funció o família de funcions que verifiquin determinades condicions. Per exemple, es pot imposar la condició que una funció sigui igual a la seva derivada:

\frac{df(x)}{dx} = f(x)

Això és una equació diferencial i la seva solució és f(\mathbf{x}) = e^\mathbf{x}

Taula de continguts

[edita] Resolució d'equacions

[edita] Aïllar la incògnita

El mètode més bàsic per resoldre equacions s'anomena aïllar la incògnita. Consisteix en anar fent operacions a tots dos membres (sempre la mateixa operació a ambdós) de manera que es conservi la igualtat, fins que un dels membres sigui una x.

Exemple 1. Equació lineal:

2x + 4x = 6 \, sumem els termes en x
6x = 6 \, dividim els dos membres per 6 →
\frac{6x}{6} = \frac{6}{6} fem la divisió 6/6 →
x=1 \,


Exemple 2. Equació de tercer grau sense termes en x2 ni x:

x^3-2=25 \ afegim 2 a ambdós membres →
x^3-2+2=25+2 \ fem la suma →
x^3=27 \ traiem l'arrel cúbic als dos membres per eliminar la potència 3 →
\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{27} \ calculem l'arrel →
x=3 \

[edita] Sistemes d'equacions

Els sistemes d'equacions apareixen quan volem trobar més d'una incògnita. Ens faran falta tantes equacions com incògnites tinguem.

Per exemple:

x=1+y
2x=y
és un sistema d'equacions que té com a solució x=-1 i y=-2

Existeixen tres mètodes bàsics. Tot i això, alguns sistemes poden tenir altres mètodes específics.

  • Igualació

Consisteix en aïllar la mateixa incògnita a totes les equacions, i després igualar-les entre elles. El procés es repeteix fins que aconseguim una sola equació d'una incògnita.

\begin{cases} x=1+y \\ 2x=y \end{cases}
\begin{cases} x=1+y \\ x=y/2 \end{cases}
1+y=y/2 \
2+2y=y \
2=-y \
y=-2 \

Una vegada s'ha trobat un valor, es substitueix en totes les equacions. Com que ara hi ha més equacions que incògnites, podem treure una equació del sistema. Es torna a fer el procés anterior fins tenir el valor de totes les incògnites.

2x=-2 \
x=-1 \
  • Substitució
\begin{cases} x=1+y \\ 2x=y \end{cases}
x=1+y \
2(1+y)=y \
2+2y=y \
2=-y \
y=-2 \

Una vegada s'ha trobat un valor, es substitueix en totes les equacions. Com que ara hi ha més equacions que incògnites, podem treure una equació del sistema. Es torna a fer el procés anterior fins tenir el valor de totes les incògnites.

2x=-2 \
x=-1 \

[edita] Expressió general de l'equació de segon grau

La equació polinòmica de segon grau és tan comú que s'ha trobat una expressió general per resoldre-la.

Donada una equació de segon grau qualsevol,

ax^2+bx+c=0 \

aquesta equació tindrà com a màxim dues solucions, donades per la següent expressió general:

x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

El terme b^2-4ac \ s'anomena discriminant. El discriminant ens diu si l'equació tindrà dues, una o cap solucions, de la següent manera:

Si b^2-4ac>0 \ llavors hi ha dues solucions x1 i x2.
Si b^2-4ac=0 \ llavors hi ha una solució. També es pot entendre com que x_1=x_2 \
Si b^2-4ac<0 \ llavors aquesta equació no té solució.