Gradient
De Viquipèdia
Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a
on és un vector unitari i
la derivada direccional de φ en la direcció de
(que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):
Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dóna el diferencial del camp escalar
Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.
El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla
[edita] Expressió en diferents sistemes de coordenades
A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades. Així, en coordenades cartesianes, és
En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió
Per coordenades cilíndriques (hρ = hz = 1, ) resulta
i finalment per coordenades esfèriques (hr = 1, hθ = r, )
[edita] Exemple
Donada la funció φ = 2x + 3y2 − sin(z), el seu gradient associat és: