Espai topològic

De Viquipèdia

[edita] Definició i exemples

Donat un conjunt X qualsevol, considerem un cert subconjunt \tau \sub \mathcal{P}(X) de les parts de X. Diem que τ és una topologia en X si compleix:


  • \empty, X \in \tau
  • Donada una família arbitrària d'elements \lbrace A_i\rbrace_{i \in I} \in \tau, aleshores \bigcup_{i \in I}A_i \in \tau
  • Donada una família finita d'elements \lbrace A_i\rbrace_{i \in I} \in \tau, aleshores \bigcap_{i \in I}A_i \in \tau


Diem, aleshores, que la dupla \left ( X,\tau \right ) és un espai topològic.


[edita] Exemples

Sigui X un conjunt qualsevol, considerem \tau = \lbrace \empty, X \rbrace

  • És força evident que \empty, X \in \tau.
  • Si prenem famílies arbitràries d'elements de τ, no tenim gaires tries; en particular obtenim \empty \cup X = X \in \tau.
  • Finalment, si fem una intersecció finita d'elements de τ, només podem obtenir \empty \cap X = \empty \in \tau

\tau = \lbrace \empty, X \rbrace és, doncs, una topologia. Aquesta topologia s'anomena topologia grollera i és la més petita topologia (en el sentit de que té menor nombre d'elements) que podem formar amb qualsevol conjunt X.