Nombre π

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals

Naturals \mathbb{N} {0,1,2,3...}
Enters \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}
Racionals \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reals \mathbb{R} {Q U I U Tr} Complexos \mathbb{C}

Infinit

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions \mathbb{H}
Octonions \mathbb{O}
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1o,2o,...} (d'ordre)
Cardinals {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, ...}

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració
  • Àrab
  • Armeni
  • Àtica (grega)
  • Babilònica
  • Xinesa
  • Ciríl·lica
  • Egípcia
  • Etrusca
  • Grega
  • Hebrea
  • Índia
  • Jònica (grega)
  • Japonesa
  • Jémer
  • Maia
  • Romana
  • Tailandesa

  • Numerals en base constant:
  • Binari (2)
  • Quinari (5)
  • Octal (8)
  • Decimal (10)
  • Duodecimal (12)
  • Hexadecimal (16)
  • Vigesimal (20)
  • Sexagesimal (60)


En matemàtiques, π és la constant d'Arquimedes, una constant que relaciona el diàmetre de la circumferència amb la longitud del seu perímetre.

P = d · π
Visulización de la definición de π

El símbol π es pronuncia [pi] i és la setzena lletra de l'alfabet grec.

π és un nombre irracional, és a dir, la seva part fraccionària té un nombre de xifres infinit, i no es pot establir un patró que determini quina serà la següent a una determinada. Per calcular s'acostuma a agafar el seu valor simplificat: 3,1416.

El nombre π a més d'aparèixer en la fórmula de la longitud de la circumferencia, apareix a totes les equacions matemàtiques derivades d'aquesta: superfície i volum del cercle, de l'esfera... i també a nombroses equacions de la física.

Les xifres decimals del nombre pi són equiprobables. És a dir, es pot demostrar mitjançant la teoria de grans nombres que les xifres decimals del nombre pi surten amb la mateixa probabilitat.

Taula de continguts

[edita] Fórmules relacionades amb π

[edita] Geometria

[edita] Anàlisi

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (Fórmula de Leibniz)
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (producte de Wallis)
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Fórmula de Stirling)
e^{\pi i} + 1 = 0\; (Identitat d'Euler, també anomenada "La fórmula més important del món")

π té boniques representacions de fraccions contínues:

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}


(Podeu veure altres 12 representacions a [1] )

[edita] Teoria dels nombres

La probabilitat que dos nombres triats aleatòriament siguin coprimers és de 6/π2.
La probabilitat que un enter triat aleatòriament no tingui arrel quadrada és de 6/π2.
Una manera empírica de trobar el valor de pi: dibuixeu un quadrat de costat 'l' a la paret. Tireu un dard dins el quadrat tantes vegades com pugueu sense apuntar enlloc més que a dins del quadrat. Dibuixeu un cercle de diàmetre 'l' inscrit en el quadrat. Compteu 'nc' el nombre de vegades que el dard ha anat dins la circumferència, i 'nq' nombre de vegades que el dard ha anat dins del quadrat però fora de la circumferència. Per probabilitat i relacionant l'àrea dels dos polígons es pot deduir que π ≅ 4*nc/(nc+nq), i que és més exacte (o sigui, més decimals) com més vegades haguem tirat el dard. Aquesta prova també es pot fer sobre paper quadriculat comptant les interseccions com a punts on ha anat el dard.
En altres paraules: π/4 és la probabilitat que la suma dels quadrats de dos nombres aleatoris iguals o majors que 0, i menors o iguals a la unitat, sia menor o igual que 1.

[edita] Enllaços externs