Factor d'integració
De Viquipèdia
En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.
Considerant una equació diferencial ordinària de la forma
on y = y(x) és una funció desconeguda de x, i a(x) i b(x) són funcions donades.
El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.
Consident una funció M(x). Es multipliquen ambdues bandes de (1) per M(x):
Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a
I això es pot integrar,
on C és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per y(x),
Tanmateix, per resoldre explícitament per y(x) es necessita trobar l'expressió de M(x). Es pot deduir de (2) que M(x) obeeix l'equació diferencial
Per aconseguir M(x), es divideixen les dues bandes per M(x):
L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté
Es pot veure que multiplicar per M(x) i la propietat M'(x) = a(x)M(x) són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. M(x) s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).
[edita] Exemple
Donada l'equació diferencial
Es pot observar que en aquest cas
Multiplicant ambdues bandes per M(x) s'obté
o bé
que ens dóna
[edita] Vegeu també
- mètode de variació dels paràmetres
- exemples d'equacions diferencials
- derivades logarítmiques