Gradient

De Viquipèdia

Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a

\frac{\partial \phi}{\partial n} = (\rm grad \phi)\cdot \hat n

on \hat n és un vector unitari i \partial\phi/\partial n la derivada direccional de φ en la direcció de \hat n (que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):

\frac{\partial \phi}{\partial n} \equiv \lim_{\epsilon\to 0}  \frac{\phi(\vec r + \epsilon \hat{n})-\phi(\vec r)}{\epsilon}

Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dóna el diferencial del camp escalar

d\phi = \phi\left(\vec r + d\vec r\right)-\phi\left(\vec r\right) = \nabla\phi\cdot d\vec r

Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.

El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla

{\rm grad}\phi = \nabla\phi

[edita] Expressió en diferents sistemes de coordenades

A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades. Així, en coordenades cartesianes, és

\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}},   {\frac{\partial \phi}{\partial y}},  {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix}

En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió

\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\hat{q}_1 +\frac{1}{h_2}\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\hat{q}_2+ \frac{1}{h_3}\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\hat{q}_3

Per coordenades cilíndriques (hρ = hz = 1, h_\varphi=\rho) resulta

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}

i finalment per coordenades esfèriques (hr = 1, hθ = r, h_\varphi=r {\rm sin}\theta)

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}+ \frac{1}{r\,{\rm sin}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}

[edita] Exemple

Donada la funció φ = 2x + 3y2 − sin(z), el seu gradient associat és:

\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}},   {\frac{\partial \phi}{\partial y}},  {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} {2},  {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.

[edita] Vegeu també