Espai vectorial

De Viquipèdia

Un espai vectorial és un objecte d'estudi de l'àlgebra lineal dins les matemàtiques.

Per a definir formalment un espai vectorial V sobre un cos F, es diu que:

Sigui F un cos (per exemple : el cos \mathbb{R} dels nombres reals o el cos \mathbb{C} dels nombres complexos). Un espai vectorial sobre el cos F és un conjunt V que amb les operacions de:

  • suma vectorial, escrita v + w on \bold v, \bold w \in V
  • producte per un escalar, escrit av on aF; vV

satisfà les següents propietats:

  1. V amb la suma vectorial forma un grup abelià, és a dir, se satisfà que:
    1. v + wV
    2. u + (v + w) = (u + v) + w
    3. \exists \bold 0 \in V anomenat vector nul tal que \bold v + \bold 0 = \bold 0 + \bold v = \bold v, \forall \bold v \in V
    4. \forall \bold v \in V, \exists (- \bold v) \in V tal que \bold v + ( - \bold v ) = \bold 0
    5. v + w = w + v
  2. V amb el producte per un escalar satisfà que:
    1. avV
    2. a ⋅ (bv) = (ab) ⋅ v
    3. Si 1 denota l'element neutre del producte en el cos F, llavors 1 ⋅ v = v
    4. a ⋅ (v + w) = (av) + (aw)
    5. (a + b) ⋅ v = (av) + (bv)

Els elements de V s'anomenen vectors. S'acostumen a representar en negreta (v), tal i com s'ha fet en aquest article, amb una fletxa a sobre (\vec v) o subratllats (v). Els elements d' F s'anomenen escalars.

[edita] Vegeu també