Teorema d'existència i unicitat d'EDO

De Viquipèdia

El Teorema d'existència i unicitat d'EDO, és a dir, de equacions diferencials ordinàries, diu així:

Sigui X un espai de Banach, i sigui f:X\to X una aplicació tal que

|f(x)-f(y)| < L|x-y| \qquad \forall x,y\in X

per algun L\ge0 (es diu que f és una funció Lipschitz de constant L). Llavors per qualsevol u_0\in Xexisteix una funció única

u:[0,+\infty)\to X

diferenciable, tal que es compleix

\begin{cases} {\frac{du}{dt}} = f(u) & \qquad\textrm{en}\ [0,+\infty) \\  & \\ u(0) = u_0. &  \end{cases}

A més, es té dependència contínua de la solució respecte la condició inicial i es poden obtenir estimacions sobre la regularitat de la solució.


Demostració: Existència. L'equació que cal resoldre és equivalent a

u(t) = u_0 + \int_0^tf(u(s))ds.

Donat un k > 0 (que es fixarà més endavant), s'introdueix l'espai

E=\{u\in C([0,+\infty);X)\ :\ \sup_{t\ge0}e^{-kt}|u(t)|<\infty\}

Es comproven les propietats següents:

  • E és un espai de Banach amb la norma
|u|_E=\sup_{t\ge0}e^{-kt}|u(t)|
  • Per tot u\in E la funció
(\Phi u)(t) = u_0 + \int_0^tf(u(s))ds
pertany a E.
  • |\Phi u-\Phi v|_E \le \frac{L}{k}|u-v|_E \quad \forall u,v\in E

Quan k > L, pel teorema del punt fix de Banach, l'aplicació Φ és contractiva i admet un punt fix, que és una solució.

Unicitat. Siguin u i v dues solucions. Posant

\varphi(t)=|u(t)-v(t)|

s'obté, a partir de la representació integral de les solucions,

\varphi(t)\le L\int_0^t\varphi(s)ds\qquad\forall t\ge0

i això implica que \varphi\equiv0.

Regularitat.

...

Dependència contínua de les condicions inicials.

...