Nombre perfecte

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques.
Nombres Elementals

Naturals \mathbb{N} {0,1,2,3...}
Enters \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}
Racionals \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reals \mathbb{R} {Q U I U Tr} Complexos \mathbb{C}

Infinit

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions \mathbb{H}
Octonions \mathbb{O}
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1o,2o,...} (d'ordre)
Cardinals {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, ...}

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració
  • Àrab
  • Armeni
  • Àtica (grega)
  • Babilònica
  • Xinesa
  • Ciríl·lica
  • Egípcia
  • Etrusca
  • Grega
  • Hebrea
  • Índia
  • Jònica (grega)
  • Japonesa
  • Jémer
  • Maia
  • Romana
  • Tailandesa

  • Numerals en base constant:
  • Binari (2)
  • Quinari (5)
  • Octal (8)
  • Decimal (10)
  • Duodecimal (12)
  • Hexadecimal (16)
  • Vigesimal (20)
  • Sexagesimal (60)


Un nombre perfecte és un enter que és igual a la suma dels seus divisors positius, excepte ell mateix. Així, 6 és un nombre perfecte, perquè els seus divisors propis són 1, 2 i 3, i 6 = 1 + 2 + 3. Els següents nombres perfectes són 28, 496 i 8.128.

Els nombres perfectes estan relacionats amb els nombres primers de Mersenne: si M és un primer de Mersenne (un nombre primer que és una unitat menor que una potència de 2), aleshores M(M+1)/2 és un nombre perfecte, és a dir, que 2n−1(2n − 1) és un nombre perfecte. Això va ser demostrat per Euclides en el segle IV abans de la nostra era:

per a n = 2:   21(22 − 1) = 6
per a n = 3:   22(23 − 1) = 28
per a n = 5:   24(25 − 1) = 496
per a n = 7:   26(27 − 1) = 8128

A més, Euler va demostrar en el segle XVIII que tots els nombres perfectes parells són d'aquesta forma. També està demostrat que l'última xifra de qualsevol nombre perfecte parell ha de ser 6 o 8.

No es coneix l'existència de nombres perfectes senars. No obstant això, existeixen alguns resultats parcials: si existeix un nombre perfecte imparell, ha de complir, entre altres les condicions següents: ser major que 10300; tenir almenys 8 factors primers diferents (i com a mínim 11 si no és divisible per 3); un d'aquests factors ha de ser major que 107, dos d'ells han de ser majors que 10.000 i tres han ser majors que 100; tenir, com a mínim, 75 factors primers (incloent-hi repeticions).

Considerant la suma dels divisors propis existeixen altres tipus de nombres.

  • Nombres deficients: la suma dels divisors propis és menor que dues vegades el nombre.
  • Nombres abundants: la suma és major que dues vegades el nombre.
  • Nombres amics: a i b són tals que a és la suma dels divisors de b i viceversa.
  • Nombres sociables: com els amics, però amb un cicle major de nombres.

Es pot dir que el nombre perfecte és un nombre amic de si mateix.