Congruència
De Viquipèdia
Congruència és un terme utilitzat en la teoria de nombres, per a designar que dos nombres enters a i b tenen el mateix residu al dividir-los per un nombre natural m, anomenat el mòdul; aquest s'expressa utilitzant la notació: que s'expressa dient que a és congruent amb b mòdul m. Una altra definició equivalent és que el mòdul m divideix exactament a la diferència a − b.
El terme congruència s'utilitza a més amb dos sentits lleugerament diferents: per una banda amb el sentit d'identitat matemàtica; como exemple d'aquest us tenim el petit teorema de Fermat que assegura que per a cada primer p i cada enter a no divisible per p tenim la congruència:
Per altra banda s'utilitza en el sentit d'equació, on apareixen una o més incògnites, i ens preguntem si una congruència té solució i en cas afirmatiu, quines són totes les seves solucions, per exemple la congruència , té solució, i totes les seves solucions venen donades per
i
, és a dir x pot ser qualsevol enter de les successions 11k + 4 i 11k + 7. Contràriament, la congruència
, no té solució.
La notació i la terminologia van ser introduïdes per Carl Friedrich Gauss en el seu llibre Disquitiones Aritmeticae el 1801. La seva utilització s'ha extès a molts altres entorns en els que podem parlar de divisibilitat, per exemple a polinomis amb coeficients en un cos, a ideals d'anells de nombres algebraics, etc.
[edita] Propietats
La congruència té moltes propietats en comú amb la igualtat, per citar algunes:
- La congruència per a un mòdul fix m és una relació d'equivalència ja que es verifiquen les propietats:
- 1) reflexiva:
- 2) simètrica: si
llavors també
- 3) transitiva: si
i
llavors també
.
- Si a és coprimer amb m i
, llavors b també és coprimer amb m. Encara més si
, llavors el màxim comú divisor de a i m és el mateix que el màxim comú divisor de b i m
- Si
i k és un enter llavors també es compleix
y :
- Si a més k és coprimer amb m, llavors podem trobar un enter k − 1, tal que
i llavors té perfecte sentit parlar de la divisió i també és cert que
on per definició posem a / k = ak − 1.
- Com a conseqüència de lo anterior, si tenim dos congruències amb igual mòdul:
i
podem sumar-les, restar-les o multiplicar-les de manera que també es verifiquen les congruències
i
[edita] Veure també
- aritmètica modular
- resolució de congruencies