Espai euclidià

De Viquipèdia

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma es heretada d'un producte escalar.

Taula de continguts

[edita] Primera aproximació

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.

Històricament, l'espai euclidià és només l'espai físic de 2 o 3 dimensions, el pla o l'espai, en el que estan definits el punts.

Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. I són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle XIX.

En el segle XIX, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. I és, en aquest moment, que es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

[edita] Definicions matemàtiques

[edita] Espai vectorial euclidià

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre \mathbb R, de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

<\mathbf u,\mathbf v>=<(u_1,u_2,...,u_n),(v_1,v_2,...,u_n)>= u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n.

Quan es té definit un producte escalar, es possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

||u||=\sqrt {<u,u>}

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric de de dos vectors (u,v) no nuls, és un valor real θ comprès entre 0 i π tal que:

cos\theta=\frac {<u,v>}{||u||\cdot ||v||}

[edita] Espai afí euclidià

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

[edita] Exemples d'espai vectorial euclidià

  • L'espai \mathbb {R}^n, amb el producte escalar euclidià:
<(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)>=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\,

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

<\sum ^{n}_{i=0}a_i X^i,\sum ^{n}_{i=o}b_iY^i>=\sum _{i=0}^{n}a_ib_i

és un espai euclidià de dimensió n + 1.

    • amb el producte escalar
<P,Q>=\int _0^1P(t)Q(t)dt

és també un espai euclidià amb una norma diferent .

[edita] Propietats dels espais euclidians

  • En tot espai euclidià es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si (u_1,u_2,...,u_n)\, és una base de \mathbf E, existeix una base (v_1,v_2,...,v_n)\, ortonormal, tal que per a tot k entre 1 i n, es compleix que
\{u_1,u_2,...,u_k\}=\{v_1,v_2,...,v_k\}\,.

on s'entén per \{u_1,u_2,...,u_k\}\, la varietat lineal engendrada per aquells k elements de la base.

  • Tot espai vectorial euclidià de dimensio n és isomorfe a \mathbb R^n
  • Tot espai vectorial euclidià és complet. És per tant un cas particular d'espai de Banach.
  • Dos vectors amb producte escalar nul, es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial \mathbf F d'un espai euclidià \mathbf E es pot associar un únic subespai \mathbf {F}^{\bot} format per tots els vectors ortogonals a tots els vector de \mathbf F, és el seu ortogonal.
  • Si x\, és un vector de \mathbf E, l'aplicació producte escalar per x\,,s_x :y\rightarrow <x,y> és una forma lineal. L'aplicació que associa x\, a s_x\, és un isomorfisme de l'espai vectorial \mathbf E en el seu dual \mathbf E^*.
\forall x,y \in \mathbf E, <f(x),y>=<x,f^*(y)>

Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si f=f^*\, , i endomorfisme antisimètric si f=-f^*\,.

En una base ortonormal, la matriu de f^*\, és la transposta de u\,.