Triangle de Tartaglia

De Viquipèdia

S'anomena triangle de Tartaglia, a un esquema matemàtic utilitzat per la potenciació de binomis.

Donat un binomi a+b \ elevat a n \, es dona que:

(a+b)^n=a^n+c_1 \cdot a^{n-1} \cdot b + c_2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 +...+ c_{n-2} \cdot a^2 \cdot b^{n-2}+ c_{n-1} \cdot a \cdot b^{n-1} + b^n \

El triangle de Tartaglia, ens permet saber els valors que prenen els factors c_1, c_2, c_3, ... , c_{n-1} \.

Es comença amb un 1.


                                        1

Després s'escriuen dos 1 a sota.

                                        1
                                     1     1

A les següents files, els números son el resultat de sumar els dos números immediatament superiors. Els números situats als laterals, són sempre 1.

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
    1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
 1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1


S'ha de buscar la fila del triangle que tingui tants termes com termes té el polinomi resultat de la potència. Els 1 laterals, signifiquen que els termes a^n i b^n, no tenen cap factor multiplicador. Els factors c_1, c_2, c_3, ... , c_{n-1} \ tenen el mateix valor que els termes de la fila que queden entre 1 i 1.

Exemples:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \

(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3a b^2+b^3 \

(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5a b^4+ b^5 \