Radiant (angle)

De Viquipèdia

El radiant o radian és la unitat d'angle pla en el Sistema Internacional d'Unitats. Se simbolitza amb l'abreviatura rad.

Un radiant és l'angle que comprèn un arc de circumferència amb una longitud igual al radi de la circumferència.

El radiant és la unitat natural d'angles. Les mesures d'angle en radiants se solen donar sense cap unitat explícita. Quan es dóna una unitat, se sol utilitzar l'abreviatura rad.

L'angle α mesurat en radiants d'una circumferència de radi r és:

\alpha_{circunferencia}=\frac {L_{circunferencia}}{r} =\frac {2 \times \pi \times r}{r}=2 \times \pi

Per tant, hi ha 2π radiants (aproximadament 6,28318531) en una circumferència completa.

Taula de continguts

[edita] Radiants i graus

L'equivalència entre radiants i graus és la següent:

2\pi\mbox{rad} = 360^\circ
1 \mbox{rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57,29577951^\circ \approx { 57^\circ 17' 45''}

o:

360^\circ=2\pi\mbox{rad}
1^\circ=\frac{2\pi}{360}\mbox{rad}=\frac{\pi}{180}\mbox{rad} \approx 0,01745329\mbox{rad}

De forma més general, podem dir:

x \mbox{rad} = x \frac {180^\circ} {\pi}

Si, per exemple, tenim -1,570796 en radiants, el valor corresponent en graus seria:

-1,570796 \mbox{rad} = -1,570796 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} = -90^\circ

[edita] Radiants en el càlcul

En el càlcul, els angles s'han de representar en radiants en les funcions trigonomètriques, per fer les identitats i els resultats tan simples i naturals com sigui possible. Per exemple, la següent identitat, on l'angle x està expressat en radiants, és tan simple com,

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1

que és la base de moltes altres elegants identitats matemàtiques com,

\frac{d}{dx} \sin x = \cos x

[edita] Anàlisi dimensional

Encara que el radiant és una unitat de mesura, qualsevol cosa mesurada en radiants és adimensional.

Una forma de veure l'adimensionalitat del radiant és en les Sèrie de Taylor de les funcions sinus i cosinus:

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots

on x s'expressa en radiants.

Si x tingués unitats, la suma no tindria sentit ja que el terme lineal x no es pot sumar al terme cúbic x3 / 3!, etc. Per tant, x ha de ser adimensional.

El radiant és útil per distingir entre magnituds de diferent naturalesa però amb les mateixes dimensions. Per exemple, la velocitat angular es pot mesurar en radiants per segon (rad/s). Mantenir la paraula radiant emfatitza que la velocitat angular és igual a 2π vegades la freqüència de rotació.

[edita] Altres unitats d'angle

Altres unitats de mesura d'angles són el grau sexagesimal, el grau centesimal i, en astronomia, l'hora.

Per a la unitat de mesura dels angles sòlids, vegeu estereoradiant.