Continuació analítica maximal
De Viquipèdia
Presentem aquí una formalització més abstracta de la noció de continuació analítica.
Sigui l'esfera de Riemann; una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert
és un parell
on R és una superfície de Riemann(és a dir, una varietat complexa a una dimensió) i
és un biholomorfisme local surjectiu. Una continuació analítica regular d'un element de funció holomorfa consisteix en una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert
tal que
, en una immersió holomorfa
tal que
i en una [[funció holomorfa]]
tal que
.
Un morphisme entre dues continuacions analítiques i
del mateix element
és una funció holomorfa
tal que
.
Un tal morphisme és una funció no constant, unívocament determinada en j(U), (i doncs pertot en S) mitjan\c cant . A més,
i
en j(U) doncs pertot en S.
L'únic morfisme entre una continuació analítica i ella mateixa és l'identitat, la composició de dos morfismes és també un morfisme; si un morphisme admet una funció holomorfa com a inversa, ella és també un morphisme: si és cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions analítiques.
Definició: una continuació analítica S de l'element és maximal si, per a cada continuació
de
existeix un morfisme
.
Remarquem que dues continuacions maximals del mateix element són necessariament isomorphes, doncs la continuació analítica maximal és única a menys d'isomorfismes.
Teorema: cada element de funció holomorfa té una continuació analítica maximal
.
Demostració: siguin
el conjunt format mitjan\c cant els elements conectables amb ;
,
i
;
l'immersió natural.
Introduim una relació d'equivalència en S0: i
es diran equivalents si π0(z1) = π0(z2) i
en un entorn de π0(z1) = π0(z2) en
.
Sigui S el conjunt quocient i la projecció canònica: una base per a la topologia de S és formada per els
. Definim
,
mitjan\c cant
,
.
Aquestes aplicacions són ben definides i contínues; a més, π és un homeomorfisme local.
L'espai topològic S és de Hausdorff: de fet, si i
, considerem un entorn connex V de
, tal que fi i fj siguin definits i diferents en V. Siguin Vi i Vj les còpies disjuntes de V en Ui i de Uj en S0: es veu que
. De fet, si hi hagués dos punts
i
tals que
, hi hauria també fi = fj en un entorn de
, doncs en V: això és una contradicció.
L'espai S és connex, perquè per a tot parell de punts p1,p2 amb i
, existeix una cadena
de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot k = 0,....,n − 1,
, se hagi
i
.
Doncs el conjunt obert és connex i conté p1 i p2.
Puix que q és un homeomorfisme local entre Ui i , l'espai S és connex; però també
és un homeomorfisme local, doncs pel teorema de Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), també S és a base numerable.
L'atles defineix una [[estructura complexa]] en S, perquè per a tot parell [Ui],[Uj] de mapes locals qu'es superposen, l'[[aplicació de transició]]
és l'identitat d'un conjunt obert de
.
Per a aquesta estructura, les aplicacions π,j,F són holomorphes per construcció, doncs és una continuació analítica de
.
Demostrem que aquesta continuació és maximal: sigui una continuació analítica de
: podem construir un recobriment obert de R mitjan\c cant uns {Vi} tals que, per a tot i,
és biholomorfa; llavors el parell
és un [[element de funció holomorfa]] conectable amb
.
Definim mitjan\c cant
: si
, hi = hj en
, doncs les definicions locals s'enllacen cap a definir una aplicació holomorfa
tal que
.
[edita] Vegeu també
[edita] Referències
Narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago