Arrel aritmètica

De Viquipèdia

L'arrel, és una operació aritmètica derivada de la potència. Consisteix en trobar quin nombre, elevat a un exponent donat, dona com a resultat una potència determinada.

b^n= p \ , llavors, \sqrt[n]{p}=b

També es pot expressar una arrel com a potència:

\sqrt[n]{p}=p^{1 / n}

El cas específic de \sqrt[2]{p} es coneix com arrel quadrada. En aquest cas no cal expressar l'exponent, i es pot escriure com \sqrt{p}


Taula de continguts

[edita] Propietats de les arrels

Les arrels, tenen propietats molt similars a les potències. Es poden operar com potències si s'expressen com a tals.

[edita] Arrel d'una arrel

Si es fa l'arrel d'una arrel, es pot simplificar com una sola arrel multiplicant els exponents:

\sqrt[n]{\sqrt[m]{p}}=\sqrt[m \cdot n] {p}

[edita] Producte d'arrels

El producte de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel del producte.

\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}

[edita] Divisió d'arrels

La divisió de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel de la divisió.

\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}

[edita] Arrels de nombres negatius

Quan es fa l'arrel d'un nombre negatiu, llavors l'arrel té com a resultats n nombres complexos.

\sqrt[n]{-p} = \sqrt[n]{p}\, \left(\cos \frac{(2 k + 1)\pi}{n} + i\, \sin \frac{(2 k + 1)\pi}{n}\right) = \sqrt[n]{p}\, \exp \left( \frac{(2 k + 1)\pi i}{n}\right) (k nombre enter, p > 0).

Per exemple, si n = 4, les quatre arrels de -1 són:

\frac{\sqrt 2}{2}\,(1 + i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(-1 + i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(-1 - i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(1 - i).