Cauchys middelværdisætning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Cauchys middelværdisætning er en matematisk sætning af Augustin Louis Cauchy. Den er også kendt under navnet den udvidede middelværdisætning, og er en mere generel variant af den traditionelle middelværdisætning. Den benyttes blandt andet som hjælpemiddel i et klassisk bevis for l'Hôpitals regel.

[redigér] Sætningen

Hvis to funktioner, f og g:[a,b] \to \mathbb{R}, er kontinuerte på deres definitionsmængde, [a,b], og differentiable på det åbne interval ]a,b[, eksisterer et c \in ]a,b[, så


\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.


[redigér] Et bevis for sætningen

Et simpelt bevis for sætningen, der minder meget om det typisk anvendte bevis for middelværdisætningen, går på at finde en funktion, der opfylder Rolles sætning. Hvis h er defineret ved:


h(x) = (f(x) − f(a))(g(b) − g(a)) − (g(x) − g(a))(f(b) − f(a))


er den tydeligvis kontinuert på [a,b] og differentiabel på ]a,b[ med differentialkvotienten


h'(x) = f'(x)(g(b) − g(a)) − g'(x)(f(b) − (f(a)).


Idet h(a) = 0 og h(b) = 0, opfylder h antagelserne i Rolles sætning, og der eksisterer således et c \in ]a,b[, så


h'(c) = f'(c)(g(b) − g(a)) − g'(c)(f(b) − (f(a)) = 0,


hvilket kan omskrives til udsagnet i sætningen. Q.E.D. Det ses også, at sætningen også gælder, når brøkens nævner er 0, men typisk anvendes den anden skrivemåde, da denne er lettere at huske, samtidig med at det typisk er den, man har behov for.