Vektor (geometri)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.
Kvalitetssikring
En bruger mener, at et eller flere aspekter af denne artikel ikke er i henhold til Wikipedias kvalitetskrav.
Dette skal dog begrundes og derfor skal denne skabelon erstattes af en mere specifik kritikskabelon
For alternative betydninger, se Vektor.

En vektor er i geometrien objekt, der er karakteriseret ved at have en størrelse og en retning. En sådan vektor er et specialtilfælde af de vektorer der er elementer i vektorrum. Geometriske vektorer anvendes inden for bl.a. fysikken til at beskrive eksempelvis kræfter, hastigheder og acceleration.

Indholdsfortegnelse

[redigér] Notation

En vektor noteres, ved at skrive navnet på en vektoren og lave en pil eller streg over navnet.

\vec a

Som fortalt har en vektor både størrelse og retning. Umiddelbart kan dette omskrives på to måder. Hvis du fx har en vektor, med længden 5 og vinklen 45 grader i forhold til vandret (x-aksen) skriver du:

\vec a=5 \angle 45^\circ

Men når man regner med flere vektorer samtidigt, er denne notation upraktisk. Den findes derfor en anden notation, opskrevet på matrixform. Her opfatter man vektoren som en retvinklet trekant, og angiver hvor langt den når hen ad x-aksen og hvor langt den når hen ad y-aksen.

\vec a={x \choose y}

Hvis du har en vektor opskrevet på den første måde, og ønsker at omskrive den til matrix-form, gøres det således:

\vec a=L \angle v

\vec a={L \cdot \cos v \choose L \cdot \sin v}

[redigér] Addition af vektorer

Når du skal lægge to vektorer sammen (svarer til at finde den resulterende kraft), får du en ny vektor, der kaldes sumvektoren. Denne er normalt benævnt med \vec r. Hvis du har to vektorer:

\vec a={x_a \choose y_a} \vec b={x_b \choose y_b}

Lægges de sammen på denne måde:

\vec r={x_a+x_b \choose y_a+y_b}

Hvis du har tre eller flere vektorer lægges de sammen, efter samme princip (x koordinaterne lægges sammen og y koordinaterne lægges sammen).

[redigér] Subtraktion af vektorer

Vektorer trækkes fra hinanden, efter samme princip, som man lægger sammen. Dog opfatter man vektorers differens som:

\vec a + (-\vec b)

At man skriver -\vec b betyder simpelthen at vektoren vendes og går i den modsatte retning. Det opfattes også som:

(-\vec b)={-x_b \choose -y_b}

Men dette bruges kun grafisk. Analytisk trækker man vektorer fra hinanden ved at sige:

\vec r={x_a-x_b \choose y_a-y_b}

[redigér] Skalering af vektor

Når man fordobler en vektors længde, ganger man x-koordinatet og y-koordinatet med skaleringsfaktoren. Formlen er givet ved:

n \cdot \vec a={n \cdot x \choose n \cdot y}

[redigér] Længde af vektor

Når du har opskrevet en vektor på matrix-form, skal du bruge en bestemt formel til at finde vektorens længde. Eftersom man faktisk kan opfatte en vektor som et retvinklet trekant, kan man bruge Pythagoras til at bestemme vektorens længde. En vektors længde er noteret som:

|\vec a|

Formlen for en vektors længde er givet ved:

|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}

Resultatet noteres numerisk, idet en vektors længde sjovt nok ikke kan være negativ.

[redigér] Tværvektor

Tværvektoren er den vektor der står vinkelret\vec{a}. Denne bliver til tider også kaldet hat-vektoren, da den noteres som \hat{a}.

Man kan relativt let overbevise sig selv at tværvektoren til en vektor \vec{a} = { x \choose y} er givet ved \hat{a} = { -y \choose x}, om ikke andet ved at tegne vektorerne.