Plan (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Et matematisk plan er det fundamentale todimensionelle objekt. Det kan visualiseres som et fladt stykke papir, som breder sig uendeligt i alle retninger. De fleste trigonometriske, geometriske og grafiske operationer udføres i sådan et plan. På et givent plan kan introduceres et koordinatsystem, der gør os i stand til at referere til samtlige punkter i planet.

Et plan kan defineres ud fra en af følgende metoder:

  • Tre punkter, som ikke ligger på linje.
  • En linje og et punkt, som ikke ligger på linjen.
  • En vektor, der står vinkelret på planet, og kaldes for planets normalvektor.
  • To linjer, der enten skærer hinanden i et enkelt punkt, eller er parallelle uden at være kollineære.

Selve planet er repræsenteret ved planets ligning, som er:

Ax + By + Cz + D = 0

hvor planet er orienteret vinkelret på normalvektoren givet ved koordinaterne (A, B, C), og har afstanden D fra origo i vektorrummets koordinatsystem. Hvis man ikke kender normalvektoren, kan den udregnes som krydsproduktet mellem to vilkårlige vektorer i planet, som ikke er parallelle. Normalvektoren giver normalretningen for planet.

For at finde D er man yderlige nødt til at kende et punkt (x, y, z) i planet. Da er:

D = - Ax - By - Cz

[redigér] Et punkts afstand til planet

Afstanden d fra et vilkårligt punkt (x, y, z) i vektorrummet til planet, kan findes ved at indsætte koordinaterne for punktet i denne ligning:

d = \frac{Ax + By + Cz + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

hvor A, B, C og D er koefficienterne til planets ligning. Hvis punktet ligger i planet, er d = 0. Hvis d > 0 ligger punktet på samme side som normalvektoren, og hvis d < 0 ligger det på den modsatte side.

[redigér] Andre betydninger

For andre betydninger af ordet, se plan