Kardinaltal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Talsystemer i matematik.
Elementære talmængder
\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}
Naturlige tal \mathbb{N} = { 1,2,3,...}
Heltal \mathbb{Z} = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal \mathbb{Q} = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal \mathbb{R} = \{\sqrt{2}, e , \pi,\ldots\}
Komplekse tal \mathbb{C} = \{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}
Andre elementære talmængder
Primtal \mathbb{P} = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal \mathbb{T}\mathrm{r}
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal R1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner \mathbb{H} = { a+bi+cj+dk | a,b,c,dR }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal {} størrelse, position {n}
Kardinaltal {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig
Konstantliste
π - i - e - φ - γ

Kardinaltal eller tælletal er tal anvendt til at angive, hvor mange elementer der er i en given mængde.

Indenfor matematikken anvendes kardinaltal også i forbindelse med overtællelige mængder. Kardinaltal er indført i matematikken af Georg Cantor omkring 1900 i forbindelse med udviklingen af den moderne mængdelære.

Et tal, \aleph_n er et kardinaltal, hvis der ikke findes en bijektiv afbildning fra nogen ægte delmængde af mængden på intervallet fra 0 til \aleph_n.

Ethvert tal som er element i en tællelig mængde er et kardinaltal, ligesom uendelig (forstået som grænseværdien for følgen (i)_{i=1}^{\infty}), der betegnes \aleph_0, er et kardinaltal. \aleph_0 er det første uendeligt store kardinaltal, de følgende benævnes \aleph_1, \aleph_2, \ldots, \aleph_\omega, \ldots. Cantor viste at der ikke findes et største kardinaltal ligesom der er væsentligt flere kardinaltal større end \aleph_0 end mindre end.

Cantor opstillede hypotesen at kardinaltallet til mængden af reelle tal\mathbb{R}=\mathcal{P}(\mathbb{N}) følger lige efter det til de naturlige tal dvs at dennes kardinalitet skulle benævnes \aleph_1. Hypotesen er kendt som kontinuumhypotesen og er endnu uafgjort.

Kardinaltallene er velordnede.

[redigér] Se også