Schwarzschild-metrik

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I den almene relativitetsteori Schwarzschilds løsning beskriver gravitationsfeltet udenfor en sfærisk symmetrisk ikke-roterende masse ligesom stjerne, planet eller sort hul. Løsningen er også en godt approksimation til gravitationsfelt udenfor langsomt roterende legemer som jorden eller solen. Schwarzschilds løsning er den mest generelt statisk, sfærisk symmetrisk vakuum løsning af Einsteins ligninger.

Løsningen blev navngivet efter tysk matematiker Karl Schwarzschild som har fundet løsningen i 1916, dvs. kun får måneder efter Einsteins publikation om almen relativitetsteori. Løsningen var den første ikke-trivielle eksakte løsning af Einsteins ligninger. Ved hjælp af Schwarzschilds løsning de tre klassiske bekræftelser af den almene relativitetsteori blev udarbejdet.

Det centralsymmetriske problem er et af de simpleste problemer der kan løses i den almene relativitetsteori. Et sfærisk legeme må nødvendigvis give anledning til et sfærisk tyngdefelt. Man kan desuden vise at der findes statiske (dvs. tids-uafhængige) løsninger. Det vil derfor være rimeligt at lede efter et linjelement på formen:

ds2 = Adt2 - Bdr2 - r2(dθ2 + sin2θdφ2)

Da løsningen er sfærisk symmetrisk og statisk kan A og B kun afhænge af r. Desuden indeholder linjeelementet ingen krydsled så metriktensoren bliver diagonal. Fra metriktensoren findes Chistoffel symbolerne fra formlen:

\Gamma^{a}_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\partial_{b}g_{dc}+\partial_{c}g_{db}-\partial_{d}g_{bc})

Herfra findes:

\Gamma^{r}_{rr}=\frac{1}{2}\frac{B'}{B} \qquad  \Gamma^{t}_{tr}=\frac{1}{2}\frac{A'}{A}  \qquad \Gamma^{r}_{tt}=\frac{1}{2}\frac{A'}{B} \qquad \Gamma^{\theta}_{\theta{}r}=\frac{1}{r} \qquad \Gamma^{r}_{\theta\theta}=-\frac{r}{B}

\Gamma^{\phi}_{\phi{}r}=\frac{1}{r} \qquad  \Gamma^{r}_{\phi\phi}=-\frac{r\sin^{2}x}{B} \qquad \Gamma^{\phi}_{\phi\theta}=\cot\theta \qquad \Gamma^{\theta}_{\phi\phi}=-\sin\theta\cos\theta

Mærker angiver differentiation mht. r og alle andre Christoffelsymboler end de viste er nul. Fra Christoffelseymbolerne kan Riemann tensoren findes fra formlen:

R^{a}_{bcd}=\partial_{c}\Gamma^{a}_{bd}-\partial_{d}\Gamma^{a}_{bc}+\Gamma^{e}_{bd}\Gamma^{a}_{ce}-\Gamma^{e}_{bc}\Gamma^{a}_{ed}

Herfra findes Ricci tensoren ved kontraktion af index vha. metriktensoren der kendes fra $(1)$:

R_{ab}=R^{c}_{acb}

Udregningen er relativt ligefrem, men ret pladskrævende så vi nøjes med resultatet. Da vi kun vil interessere os for området uden for det sfæriske legeme skal vi løse Einsteins ligninger i vakuum dvs $R_{ab}=0$:

R_{tt}=\frac{A''}{2B}+\frac{A'}{B}\Bigg(\frac{1}{r}-\frac{B'}{4B}-\frac{A'}{4A}\Bigg)=0


R_{rr}=-\frac{A''}{2A}+\frac{A'B'}{4AB}+\frac{A'^{2}}{4A^{2}}+\frac{B'}{rB}=0

R_{\theta\theta}=1-\Bigg(\frac{r}{B}\Bigg)'-\frac{1}{2}\Bigg(\frac{A'}{A}+\frac{B'}{B}\Bigg)\frac{r}{B}=0

Herfra skal vi nu finde $A$ og $B$. Dette kan gøres ved at danne en passende linearkombination af $R_{tt}$ og $R_{rr}$:


BRtt + ARrr = 0

\frac{A'}{r}-\frac{A'B'}{4B}-\frac{A'^{2}}{4A}+\frac{A'B'}{4B}+\frac{A'^{2}}{4A}+\frac{1}{r}\frac{AB'}{B}=0

A'B + AB' = 0

(AB)' = 0

AB = konstant

I grænsen $r\to\infty$ forventer vi at genfinde det flade Minkowski rum med linjeelement ds2 = dt2 - dr2 - r2(dθ2 + sin2θdφ2). Sammenlignes med $(1)$ må der i denne grænse gælde $A=B=1$ dvs. vi har generelt:

AB=1 \qquad \Rightarrow \qquad A = \frac{1}{B}

$(7)$ simplificerer nu betydeligt og vi får:

R_{\theta\theta}=-\Bigg(\frac{r}{B'}\Bigg)+1=0 \textrm{\quad,\quad  da\quad   } A'B+AB'=0\Rightarrow \frac{A'}{A}+\frac{B'}{B}=0

\frac{r}{B}=r-R

B=\frac{r}{r-R}=\frac{1}{1-\frac{R}{r}}


R er en integrationskonstant med dimension af længde. Fra $(8)$ er nu:

A=\frac{1}{B}=1-\frac{R}{r}

Nu er vi næsten færdige. Når $(8)$ og $(9)$ indsættes i $(1)$ får vi Schwarzschild linjeelementet:

ds^{2}=\Bigg(1-\frac{R}{r}\Bigg)dt^{2}-\Bigg(\frac{1}{1-\frac{R}{r}}\Bigg)dr^{2}-r^{2}(d\theta{}^{2}+\sin^{2}\theta{}d\phi{}^{2})

Vi mangler blot at bestemme integrationskonstanten R. Igen udnytter vi at Schwarzschild løsningen skal reducere til Minkowski rummet for $r\to\infty$. Her er $g_{00}=1+2\phi=1-2\frac{GM}{r}$. Sammenlignes med $(11)$ får vi $R=2GM$, hvor M er massen af legemet og G er Newtons gravitationskonstant. Vi regner med enheder hvor $c=1$ så for at give R dimension af en længde må vi have i ikke-relativistiske enheder:

R=\frac{2GM}{c^{2}}

R kaldes også Schwarzschild radius og angiver begivenhedshorisonten for et sort hul. Dvs. ved $r=R$ bliver tyngdekraften så stærk at end ikke lys kan undslippe.