Kontinuitet

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Kontinuitet er et begreb inden for matematik.

Betragt en funktion f:A\to\mathbb{R}, hvor A er en delmængde af \mathbb{R}. Så siges f at være kontinuert i et punkt a hvis man for alle ε > 0 kan finde et δ > 0 så grafen for f i området mellem a - δ og a + δ ligger mellem f(a) - ε og f(a) + ε. Opskrevet med kvantorer gælder altså at:

\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in A : |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon

En definition der kan vises at være ækvivalent, er: En funktion f er kontinuert i a, hvis f(x) går mod f(a) når x går mod a.

En funktion er kontinuert hvis den er kontinuert i alle punkter i sin definitionsmængde.

Begrebet kontinuitet kan udvides til mere generelle afbildninger hvilket er et vigtigt tema inden for topologi.

Givet en afbildning f:(M,T) -> (N,S) mellem to topologiske rum. Så siges f at være kontinuert hvis f^-1(A) er åben i M for alle åbne mængder A i N.