Reelle tal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Talsystemer i matematik.
Elementære talmængder
\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}
Naturlige tal \mathbb{N} = { 1,2,3,...}
Heltal \mathbb{Z} = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal \mathbb{Q} = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal \mathbb{R} = \{\sqrt{2}, e , \pi,\ldots\}
Komplekse tal \mathbb{C} = \{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}
Andre elementære talmængder
Primtal \mathbb{P} = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal \mathbb{T}\mathrm{r}
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal R1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner \mathbb{H} = { a+bi+cj+dk | a,b,c,dR }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal {} størrelse, position {n}
Kardinaltal {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig
Konstantliste
π - i - e - φ - γ

De reelle tal, der skrives \mathbb{R}, er alle tal, der kan skrives som en uendelig decimalbrøk, altså

q,d_1d_2d_3\ldots,

hvor q er et heltal, og decimalerne, d_1,d_2,\ldots er et af cifrene, 0,1,2,\ldots,9.

De reelle tal kan repræsenteres ved en kontinuert linje. Alle hele tal og alle brøker (rationale tal) er reelle tal, da de ligger et eller andet sted på den reelle tallinje.

De reelle tal kan konstrueres ved at man ser på ækvivalensklasser af Cauchyfølger af rationale tal; altså ved en fuldstændiggørelse af de rationale tal. En anden måde er ved at se på Dedekindsnit.

Vi kalder mængden af tal, som er i de reelle tal, men ikke i de rationale tal, for de irrationale tal.

De reelle tal kan således deles op i to disjunkte mængder: de rationale tal og de irrationale tal.

Hvis vi med \mathbb{A} betegner mængden af alle de tal der er rødder i et polynomium med rationale koeffecienter, så har vi en anden disjunkt opdeling af de reelle tal, nemlig som de algebraiske tal, \mathbb{A}, og de transcendente tal, \mathbb{R} \setminus \mathbb{A}.

[redigér] Se også

Supremum-egenskaben