Metrisk rum

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Et metrisk rum er i matematikken en ikke-tom mængde S udstyret med en metrik d:S×SR≥ 0. For at funktionen d kan kaldes en metrik, skal den opfylde disse tre egenskaber:

  1. d(x, y) = d(y, x) for alle x, yS (Symmetri).
  2. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z,y) for alle x, y, zS (Trekantsuligheden).
  3. d(x, y) = 0 ⇔ x = y for alle x, yS.

Hvis 3. erstattes af det svagere krav d(x, x) = 0 for alle xS kaldes d en pseudometrik, og (S, d) et pseudometrisk rum.

En punktfølge (xn)n≥1 i S siges at konvergere mod et punkt xS, hvis d(xn, x) konvergerer mod nul. Altså

xnxd(xn, x) → 0.

Om en punktfølge konvergerer i et metrisk rum afhænger altså fuldstændigt af metrikken. Dog siges to metrikker d og d' på samme mængde S at være ækvivalente, hvis

d(xn, x) → 0 ⇔ d'(xn, x) → 0

for alle punktfølger (xn)n≥1 og punkter x i S.

En punktfølge (xn)n≥1 i S kaldes en Cauchyfølge, hvis

\forall\varepsilon>0\; \exists N\in\mathbb{N} : n,m \geq N \Rightarrow d(x_n, x_m) \leq \varepsilon.

Et metrisk rum (S, d) kaldes nu fuldstændigt hvis alle Cauchyfølger konvergerer.

De metriske rum introduceredes af den franske matematiker Maurice Fréchet i værket Sur quelques points du calcul fonctionnel.

Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.