L'Hôpitals regel
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
L'Hôpitals regel er benævnelsen for en række matematiske regler eller sætninger af Guillaume de l'Hôpital, der benyttes til bestemmelse af en brøks grænseværdi, når både nævner og tæller går mod enten 0 eller , når den indgående variabel går mod et fast punkt eller mod uendelig.
Indholdsfortegnelse |
[redigér] Sætningerne
Regelen deles typisk op i tre hovedsætninger. I det følgende betegner f' funktionen fs afledede.
[redigér] Regelen om 0/0-udtryk, når x går mod et fast punkt
Lad f og g være to funktioner, der er definerede nær et punkt a. Antag at både f(x) og g(x) går mod 0 for . Hvis brøken
for
, så gælder
for
.
Resultatet gælder, uanset om c er et reelt tal eller , og både hvis
eller
.
[redigér] Et bevis for 
Af ovenstående haves at
for
for
for
.
Af de første to ligninger følger, at funktionerne f og g er defineret i et interval ]a,a + ρ[ til højre for a. Sættes f(a) = g(a) = 0 kan bevises, at både f og g er kontinuerte på intervallet. Af den tredje ligning følger, at er defineret i et interval ]a,ρ1[, hvor det kan antages, at ρ1 < ρ, da en funktion nødvendigvis må være defineret, for at dens afledede er det. Det betyder, at
i dette interval. Hvis a < x < a + ρ1 opfylder g(x) middelværdisætningens antagelser, og der eksisterer et
, så
,
hvor , g(a) = 0 og
, så
, hvorfor brøken
er defineret. At vise at denne brøk har en grænseværdi, er det samme som at vise, at
.
Det vides imidlertid, at
,
og det påstås, at samme δ afparerer begge ε. da f(a) = g(a) = 0, gælder
,
og ifølge Cauchys middelværdisætning, eksisterer et , så ovenstående er lig
, men da a < d < x < a + δ, gælder
,
hvilket var hvad, der skulle vises. Q.E.D. Bevisgangen for er stort set identisk med denne.
[redigér] Regelen om 0/0-udtryk, når x går mod uendelig
Antag, at f og g er definerede på intervallet og
for
og
for
. Så gælder et lignende resultat som det forrige, hvis brøken
har en grænseværdi. Hvis
for
gælder nemlig
for
, uanset om
eller
.
[redigér] Regelen om
/
-udtryk
Antag, som ved den første regel, at f og g er definerede nær et punkt a, men denne gang at både f(x) og g(x) går mod for
. Som ved de forrige er resultatet, at hvis
for
, gælder
for
. Som tidligere kan c både være et reelt tal eller plus eller minus uendelig, og resultatet gælder også, hvis
,
og
.