Ring (matematik)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Inden for abstrakt algebra er en ring en struktur (R,\cdot,+) der opfylder følgende tre betingelser:

  1. (R, + ) er en kommutativ gruppe.
  2. (R,\cdot) er associativ (i regelen ikke gruppe).
  3. \forall a,b,c\in R: a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c og (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c

Som regel skrives ab i stedet for a\cdot b. Hvis der findes et neutralt element med hensyn til \cdot, er det entydigt og skrives 1. (Nogle forfattere kræver eksistensen af 1 for at kalde strukturen en ring.)

En ring, hvor (R,\cdot) er kommutativ kaldes selv kommutativ eller abelsk.

En kommutativ ring, hvor (R\setminus \{0\},\cdot) er en gruppe, idet 0 angiver det neutrale element i (R, + ), kaldes for et legeme.

En kommutativ ring, hvori nulregelen ab = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0 gælder, kaldes for et integritetsområde. Specielt er et legeme også et integritetsområde.