Differentialkvotienten af et produkt
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Differentialkvotienten af et produkt er en omregningsregel eller sætning, der benyttes i differentialregningen. Denne omregning er en del af de generelle differentialregneregler. Denne benyttes til at finde tangenten tangenthældningen udfra funktionen.
[redigér] Sætningen
En funktion, f(x), er givet som et produkt:
Differentialkvotienten af denne funktion er følgende:
Umiddelbart giver denne generelle "omregning" ingen mening. Denne "formel" eller regneregel skal bevises.
[redigér] Beviset
Først der findes sekantens hældningenstal:
Hvilket bliver; da f(x) = v(x)u(x):
Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.
u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:
Differentialkvotienten bliver således:
Hvilket i det generelle tilfælde er:
Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:
Umiddelbart ville man ikke tro at , og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):
