Fourierrække

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Fourierrækker (udtales omtrent som [Fo-jé-rækker]) er en bestemt type af uendelige rækker indenfor matematikken. Fourierrækker blev oprindeligt udtænkt af den franske matematiker Joseph Fourier, og er dermed navngivet til hans ære. Fourierrækker bruges til at beskrive periodiske funktioner til videre analyse.

For en 2π-periodisk funktion, som er stykkevis differentiabel vil man tilknytte en funktion f til en Fourierrække af følgende form:

f \sim {1\over2} a_0 + \sum_{n=1}^\infty ( a_n \cdot \cos nx + b_n \cdot \sin nx )

Hvor hhv. an og bn betegner de såkaldte Fourierkoefficienter. Bemærk iøvrigt tilde-tegnet som kun kan erstattes af et lighedstegn i det tilfælde at Fourierrækken er konvergent i alle punkter. Disse koefficienter udregnes på følgende vis:

a_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \; \mathrm{d}x \quad , \quad n=0,1,2,\dots

b_n = {1\over \pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \; \mathrm{d}x \quad , \quad n=1,2,3,\dots

Hvis f er kontinuert i punktet x, vil rækken være konvergent med værdien f(x). Hvis der derimod er diskontinuitet i et punkt xj vil rækken være konvergent med følgende værdi:

f (x_j) \sim {1\over2} a_0 + \sum_{n=1}^\infty ( a_n \cdot \cos nx_j + b_n \cdot \sin nx_j ) = {1\over2} \left( \lim_{x\rightarrow x_j^+} f(x) + \lim_{x\rightarrow x_j^-} f(x) \right)

Det vil altså sige gennemsnittet af grænseværdien, for x gående mod diskontinuitetspunktet hhv. fra højre og fra venstre.