Uendelig

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Talsystemer i matematik.
Elementære talmængder
\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}
Naturlige tal \mathbb{N} = { 1,2,3,...}
Heltal \mathbb{Z} = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal \mathbb{Q} = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal \mathbb{R} = \{\sqrt{2}, e , \pi,\ldots\}
Komplekse tal \mathbb{C} = \{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}
Andre elementære talmængder
Primtal \mathbb{P} = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal \mathbb{T}\mathrm{r}
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal R1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner \mathbb{H} = { a+bi+cj+dk | a,b,c,dR }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal {} størrelse, position {n}
Kardinaltal {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig
Konstantliste
π - i - e - φ - γ

Uendelighed er betegnelsen for noget der aldrig ender eller er uden grænser.

Uendeligt må ikke forveksles med tilnærmet uendeligt, fordi der er en helt afgørende, kvalitativ forskel på noget, der er uendeligt og noget, som er meget, meget stort. En helt usandsynlig hændelse (som f.eks. 1 million 6-ere i træk ved tilfældige slag med en terning) vil forekomme et uendeligt antal gange, hvis der er en uendelig mængde forsøg eller tid til rådighed. Er mængden af forsøg eller tiden kun meget stor, vil antallet af indtrufne hændelser altid være endeligt.

Det synes umuligt for et menneske at sanse eller forestille sig noget uendeligt. Derimod kan begrebet forstås abstrakt ud fra nævnte negation af det endelige, hvilket gør en matematisk behandling mulig (se længere nede).

Rummet og tiden har tidligere været betragtet som uendelige størrelser.

Det klassiske græske argument for rummets uendelighed går som følger: Hvis en person står ved universets ende og kaster et spyd mod det, kan en af to ting ske: a) Spyddet flyver ud over universets grænse, b) spyddet møder modstand. I første tilfælde var grænsen ikke en reel grænse, og i det andet tilfælde må man formode, at dét der hindrede spyddet, selv ligger på den anden side af grænsen.

Ifølge moderne fysik giver det ingen mening at tale om tid før universets begyndelse ved Big Bang. Tiden begyndte altså for ca. 13,7 milliarder år siden (med en usikkerhed på 200 millioner år). Vi ved ikke, om - eller hvornår - tiden ender, så tiden er muligvis uendelig, dvs. evig (ud af den positive akse). Derudover beskriver den almene relativitetsteori rummet som spændt ud af tyngdekraften selv, og idet tyngdekraften, som alt andet i universet, ikke kan overskride lyshastigheden, må universet diameter være en endelige størrelse, der dog til stadighed udvider sig.

[redigér] Inden for matematikken

Talrækken er ikke praktisk uendelig, men teoretisk uendelig. Der er en praktisk grænse for, hvor mange cifre et tal kan have for at man kan regne med det. Udviklingen inden for computere har forøget mulighederne meget, men selv den bedste computer har en grænse for sin kapacitet (hvor dét, der er brug for i dette tilfælde, er ubegrænset kapacitet).

Det næststørste tal med et selvstændigt navn, er en googol. En googol er et éttal efterfulgt af 100 nuller, mens det største navngivne tal er en googolplex hvilket er et éttal efterfulgt af en googol nuller (se store tal). Symbolet for det uendeligt store tal er et liggende 8-tal ( ∞ ).

Det teoretiske arbejde med uendelige størrelser er krævende. Matematikeren Georg Cantors arbejde inden for dette område er idag en integreret del af matematikken og benyttes f.eks. til løsning af Zenons paradoks om Achilleus og skildpadden.

I udviklingen af mængdelære har det været nødvendigt at indføre forskellige niveauer af uendelighed. Det kan vises at mængden af naturlige tal har samme størrelse som mængden af rationale tal mens mængden af reelle tal er væsentligt større. De første to mængder siges at være tælleligt uendelige og den sidste overtælleligt uendelig.

[redigér] Se også