Normalvektor
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
En normalvektor er en vektor der er normal i forhold til en anden vektor. I planen og det tredimensionale rum vil dette sige vinkelret på den anden vektor, men begrebet kan let generaliseres til flere dimensioner end tre.
I tre dimensioner kan man for to vektorer og
beregne en fælles normalvektor ved hjælp af deres krydsprodukt:
Denne normalvektoren har en længde der er lig arealet af det parallelogram som de to vektorer udspænder. Se en nærmere forklaring på siden om krydsprodukt.
[redigér] Planens ligning
En normalvektor kan benyttes i forbindelse med bestemmelse af en ligning for en plan i tre dimensioner. En plan kan beskrives som en mængde af uendeligt mange punkter bredt ud på en uendelig stor flade, og man kan således beskrive planen som alle de punkter P hvor skalarproduktet mellem normalvektoren og vektor fra et andet punkt i planen P0 til dette punkt P til er nul. Dette kommer af at at normalvektoren står vinkelret på planen, samt at skalarproduktet mellem to vinkelrette vektorer (en vinkel på 90 grader) giver nul, da cos(90) = 0. Dette er altså en helt generel beskrivelse af samtlige punkter i en uendeligt stor flade, da der ikke er lagt nogle yderligere bånd på denne definition. Matematisk kan dette udtrykkes ved:
Hvis vi definerer P = (x,y,z) og P0 = (x0,y0,z0), og og normalvektoren som , bliver
, og ud fra definitionen af skalarproduktet samt førnævnte definition på planen bliver planens ligning:
,
hvor . Man gør altså brug af normalvektorens koordinater når man beskriver planens med en ligning.