قضیه اساسی حساب
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
قضیه اساسی حساب در نظریه اعداد به این شکل بیان میشود:
هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را میتوان به طور یکتا به صورت حاصلضربی از اعداد اول نوشت. به عنوان مثال:
172 * 3 * 23 = 6936
حال اگر ترتیب نوشتن عاملها را در نظر نگیریم این تنها تجزیه از عدد ۶۹۳۶ به عوامل اول است که میتوانیم بنویسیم.
[ویرایش] اثبات
اثبات این قضیه شامل دو قسمت است. ابتدا نشان میدهیم هر عدد را میتوان به صورت حاصلضربی از اعداد اول نوشت و سپس ثابت میکنیم این تجزیه یکتاست.
- برهان: فرض میکنیم عدد صحیح مثبتی مانند x وجود دارد که نمیتوان آن را به حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. مجموعهٔ A را به این شکل تعریف میکنیم:
-
- «مجموعه nهای عضو اعداد طبیعی به طوریکه 1<n بوده و n تجزیهپذیر نباشد.»
A مخالف تهی است زیرا x عضوی از A است. پس بنا به اصل خوش ترتیبی اعداد طبیعی A عضو ابتدا دارد.
فرض میکنیم m ابتدای A باشد (یعنی m عضوی از A است و در نتیجه قابل تجزیه به اعداد اول هم نیست). بنابراین m اول نیست پس عددی مرکب است یعنی:
m = d1 * d2;1 < d1 < m,1 < d2 < m
بدیهی است که d1 و d2 عضو A نیستند زیرا از m کوچکترند لذا هر دو تجزیهپذیرند. بنابراین:
d1 = p1 * p2 * ... * pk
d2 = q1 * q2 * ... * qs
به طوری که pها و qها اول هستند. در نتیجه:
m = p1 * p2 * ... * pk * q1 * q2 * ... * qs
میبینیم که m تجزیهپذیر شده و این با فرض ما در تناقض است.