مشتق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

فهرست مندرجات

[ویرایش] مقدمه

شیب خط مماس در روش لایپ نیتز (خط )
بزرگ شود
شیب خط مماس در روش لایپ نیتز (خط \triangle\,)

مشتق یکی از دو مفهوم اصلی حسابان است که مقدار تغییرات لحظه‌ای تابع را نشان می‌دهد.

[ویرایش] تعریف

مشتق تابعی مانند f، تابع 'f است که مقدارش در x با معادله‌ی زیر تعریف می‌شود:

f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}

به شرطی که این حد موجود باشد.

بر طبق این تعریف مشتق مقدار تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات به صفر میل می‌کند.

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

مشتق اول یک تابع تک متغیره را می‌توان به صورت‌های زیر نشان داد:

  • f'(x)
  • f(1)
  • \frac{df}{dx}

که این نحوه‌ی نمایش را نمایش دیفرانسیلی مشتق می‌نامند.

[ویرایش] تاریخچه

مشتق از مسائل مهم ریاضی است که موضّع آن نیوتن و لایپ نیتز بودند و حد مقدمه آن است. نیوتن سرعت لحظه‌ای را به کمک قوانین حدگیری و لایپ نیتز شیب خط مماس بر منحنی‌ها را با استفاده از قوانین حدگیری محاسبه کرد و هر یک در حالت کلی به مشتق رسید.

[ویرایش] مشتقات مراتب بالاتر

مشتقات مراتب بالاتر یک تابع از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آیند. با مشتق گیری دوباره از مشتق یک تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و ...

[ویرایش] نحوه‌ی نمایش

مشتقات مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و چهارم) تابع f را می‌توان به دو صورت زیر نمایش داد:

  • f و f و f'
  • f(2) و f(3) و f(4)

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه

اگر مشتق تابع f در نقطه‌ای مانند x موجود و معین باشد، گفته می‌شود که تابع f در نقطه‌ی x مشتق‌پذیر است.

[ویرایش] تابع مشتق‌پذیر

اگر تابعی در هر نقطه از دامنه‌اش مشتق‌پذیر باشد، تابع مشتق‌پذیر نامیده می‌شود.

[ویرایش] شرایط مشتق‌پذیری

برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند x مشتق‌پذیر باشد، باید در یک همسایگی آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد.

[ویرایش] کاربردها

[ویرایش] منابع

[ویرایش] جستارهای وابسته

  • حساب دیفرانسیل
  • انتگرال
  • مشتق ضمنی
  • مشتق جزئی
  • مشتق روی مسیر
  • پیوستگی
این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات ناقص است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.