Fubinin lause

Wikipedia

Fubinin lause on tärkeä integraalilaskennan lause. Se antaa menetelmän, jonka avulla moniulotteinen integrointi palautetaan peräkkäisiksi yksiulotteisiksi integroinneiksi tyhjennysmenetelmän ja Cavalierin viipalointiperiaatteen mukaisesti. Näin funktion integraali voidaan laskea iteratiivisesti sisäkkäisinä integraaleina eli iteroituina integraaleina. Lauseen todisti ensimmäisenä italialainen matemaatikko Guido Fubini, ja hänen mukaansa se on myös nimetty.

[muokkaa] Lause

Olkoon A = [a, b] \times [c, d] \sub \mathbb{R}^2, ja olkoon funktio f : A \rightarrow \mathbb{R} integroituva. Jos jokaiselle y \in [c, d] tiedetään, että funktion f osittaisleikkaus

f_y : [a, b] \rightarrow \mathbb{R},\ f_y(x) = f(x, y)

on integroituva, niin silloin funktio

F : [c, d] \rightarrow \mathbb{R},\ F(y) = \int_a^b f_y = \int_a^b f_y(x) dx = \int_a^b f(x, y) dx

on integroituva, ja on voimassa Fubinin yhtälö

\int_A f = \int_A f(x, y) d(x, y) = \int_c^d F(y) dy = \int_c^d \int_a^b f(x, y) dx dy.