Binomikerroin

Wikipedia

Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos n,k \in \mathbb{N} ja k \leq n, niin binomikerroin

{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.

Ominaisuuksia:

  • {n \choose k}={n \choose n-k}
  • Pascalin sääntö: {n+1 \choose k}={n \choose k-1}+{n \choose k}
  • \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n

Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta.

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin

{-n \choose k} = (-1)^k {n+k-1 \choose k} = (-1)^k \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} .

[muokkaa] Binomikertoimien ala- ja ylärajoja

Binomikertoimelle {n \choose k} on voimassa seuraavat arviot:

  • {n \choose k} \le \frac{n^k}{k!}
  • {n \choose k} \le \left(\frac{n\cdot e}{k}\right)^k
  • {n\choose k}\ge \left(\frac{n}{k}\right)^k

[muokkaa] Aiheesta muualla