Karakteristinen polynomi

Wikipedia

Lineaarialgebrassa karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi pitää sisällää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksi, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

[muokkaa] Motivaatio

Annettulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ai, on karakteristinen polynomi muotoa

(ta1)(ta2)(ta3)...

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, on olemassa ominaisvektori v0 siten, että

A v = λv,

tai

IA)v = 0,

missä I on yksikkömatriisi. Koska v on nollasta poikkeava, on matriisi λIA singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin (t IA) juuret ovat A:n nollakohtia. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

[muokkaa] Formaali määritelmä

Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. A:n karakteristinen polynomi pA(t) on määritelmän mukaan

pA(t) = det(t IA),

missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(At I). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.

[muokkaa] Esimerkki

Lasketaan matriisin

A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}.

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

t I-A = \begin{pmatrix} t-2&-1\\ 1&t \end{pmatrix}.

Tämä determinantti on

(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1.\,\!

Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.