Asymptootti

Wikipedia

Asymptootti on suora tai käyrä A, mitä toinen käyrä B lähestyy äärettömyydessä. Kun B:tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys A:n ja B:n välillä kutistuu kohti nollaa. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa.

Käyrä voi leikata asymptoottiaan jopa äärettömän monta kertaa.
Käyrä voi leikata asymptoottiaan jopa äärettömän monta kertaa.
1/x:n kuvaaja. x- ja y-akselit ovat tämän hyperbelin asymptootteja.
Suurenna
1/x:n kuvaaja. x- ja y-akselit ovat tämän hyperbelin asymptootteja.
Funktion f(x)=x+1/x kuvaaja, y-akseli (x=0) ja suora y=x ovat molemmat f:n asymptootteja.
Suurenna
Funktion f(x)=x+1/x kuvaaja, y-akseli (x=0) ja suora y=x ovat molemmat f:n asymptootteja.

[muokkaa] Asymptootit ja funktion kuvaaja

Asymptootit määritellään raja-arvon avulla:

Olkoon f funktio. Tällöin suora y=a on f:n vaakasuora asymptootti jos

\lim_{x \to \infty} f(x) = a \,\mbox{ tai }  \lim_{x \to -\infty} f(x) = a.

Intuitiivisesti tämä tarkoittaa sitä, että itseisarvoltaan suurilla x:n arvoilla f(x) on suunnilleen yhtäsuuri kuin a ja approksimaatio tarkentuu kun x kasvaa tai pienenee. Siten äärettömyydessä (tai miinus äärettömyydessä) käyrä lähestyy suoraa.

Huomaa, että jos

\lim_{x \to \infty} f(x) = a \,\mbox{ ja }  \lim_{x \to -\infty} f(x) = b,

on funktion f kuvaajalla kaksi vaakasuoraa asymptoottia: y=a ja y=b. Esimerkiksi arkustangentti käyttäytyy tällä tavoin.

Funktion kuvaajalla voi olla kaksi vaaksuoraa asymptoottia.
Funktion kuvaajalla voi olla kaksi vaaksuoraa asymptoottia.

Suora x=a on funktion f vaakasuora asymptootti jos jompikumpi seuraavista ehdoista on voimassa:

  1. \lim_{x \to a^{-}} f(x)=\pm\infty
  2. \lim_{x \to a^{+}} f(x)=\pm\infty

Intuitiivisesti, jos x=a on f:n asymptootti, voidaan ajatella, että kun x lähestyy a:ta jommalta kummalta puolelta, f(x) kasvaa tai vähenee rajatta.

Esimerkki asymptootistä löytyy funktion f(x)=1/x kuvaajasta, jonka asymptootteinaovat koordinaattiakselin x = 0 ja y = 0.

Huomaa, että f(x):n ei tarvitse olla määritelty a:ssa. Funktion arvolla pisteessä x=a ei ole aymptootin käyttäytymiseen vaikutusta. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota

f(x) = \begin{cases} 1/x & x > 0 \\ 5 & x \le 0 \end{cases}

Kun \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \infty, f(x):llä on pystysuora asymptootti 0:ssa vaikka f(0) = 5.

Funktion asymptoottien ei tarvitse olla x- tai y-akselin suuntaisia. Esimerkiksi funktion f(x)=x +1/x asymptootteina on y-akseli ja suora y = x.

Jos y= m x + b on mikä tahansa ei-pystysuora suora, on funktiolla f(x) tämä suora asymptoottina jos ja vain jos

\lim_{x \to \infty} f(x)-(mx+b) = 0 \, \mbox{ tai } \lim_{x \to -\infty} f(x)-(mx+b) = 0.

[muokkaa] Toisia merkityksiä

Funktio f(x) sanotaan lähestyvän asymptoottisesti funktiota g(x) kun x → ∞. Tällä voidaan tarkoittaa seuraavia asioita:

  1. f(x) − g(x) → 0.
  2. f(x) / g(x) → 1.
  3. f(x) / g(x) → a ≠ 0.
  4. f(x) / g(x) on rajoitettu eikä lähesty nollaa.