Aksiomaattinen joukko-oppi

Wikipedia

Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.

[muokkaa] Aksiomaattinen joukko-oppi

Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiomi C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen:

  1. Samuusaksiomi: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot.
  2. Tyhjän joukon aksiomi: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa {}.
  3. Pariaksiomi: Jos x ja y ovat joukkoja, niin myös {x,y} on joukko, joka sisältää vain alkiot x ja y.
  4. Unioniaksiomi: Jokaista joukkoa x kohti on olemassa joukko y, jonka alkiot ovat samat kuin joukon x alkiot.
  5. Äärettömyysaksiomi: On olemassa sellainen joukko x, että {} on x:n alkio ja aina kun y on x:n alkio, niin on myös unioni y \cup \{ y \}.
  6. Separaatioaksiomi (tai osajoukkoaksiomi): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota) P(x) kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon x alkiot, joille P(x) pätee.
  7. Korvausaksiomi: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa P(x,y) missä ehdosta P(x,y) ja P(x,z) seuraa y = z, kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.
  8. Potenssijoukkoaksiomi: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa x kohti on olemassa joukko y, joka sisältää vain kaikki x:n osajoukot.
  9. Säännöllisyysaksiomi: Jokainen epätyhjä joukko x sisältää sellaisen alkion y, että x ja y ovat erillisiä joukkoja.
  10. Valinta-aksiomi: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta.


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä.
Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.