De Brangesin lause
Wikipedia
Funktioteoriassa, de Brangesin lause, nimetty Louis de Branges mukaan, tunnettu ennen nimellä Bieberbachin otaksuma, Ludwig Bieberbachin mukaan, antaa välttämättömän ehdon sille, että analyyttinen funktio kuvaa yksikkökiekon injektiivisesti kompeksitasolle. Otaksuman esitti Bieberbach vuonna 1916, mutta väittämän todisti de Branges vuonna 1985. Myöhemmin de Brangesin alkuperäistä todistusta on pystytty lyhentämään.
De Brangesin lause koskee analyyttisen funktion Taylorin sarjan kertoimia an. Analyyttiset funktiot voidaan aina normittaa siten, että a0=0 ja a1=1. Jos tarkastellaan analyyttistä funktiota f ja sen sarjaesitystä
on De Brangesin lauseen mukaan
Termin a0 normalisointi tarkoittaa, että f(0) = 0. Tästä voi vakuuttua, kun kuvataan f sellaisella möbiuskuvauksella, joka kuvaa yksikköympyrän itselleen.
Tapaus n=1 tunnetaan Schwarzin lemmana, ja tämä tapaus tunnetaan jo 1800-luvulta. Tämä on seurausta maksimiperiaatteesta sovellettuna funktioon f(z)/z.
Tapaukselle n ≥ 2 tunnettiin useita osittaistuloksia ennen vuotta 1985.