Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Wikipedia

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on epänegatiivisia reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan lukujen keskiarvo on suurempi kuin niiden keskiverto. Muodollisesti, jos pätee x_1, x_2, \cdots, x_n\geq 0, niin on voimassa

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}.

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos x_1 = x_2 = \cdots = x_n.

Jos lukujen xi oletetaan kaikkien olevan positiivisia ja sovelletaan aritmeettis-geometrista epäyhtälöä lukuihin 1/x_1,1/x_2,\cdots,1/x_n, saadaan geometris-harmoninen epäyhtälö

\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}.

Tässä epäyhtälön oikealla puolella oleva lauseke on nimeltään harmoninen keskiarvo.


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä.
Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.