Gammafunktio

Wikipedia

Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla
Suurenna
Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla

Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia Γ (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä

\Gamma (r) = \int_0^\infty x^{r-1} e^{-x} \, dx.

Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön.

Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.

Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä I = \int_{0}^{\infty} e^{-ax}dx = \frac{1}{a}. I \,\! on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:

\frac{dI}{da} = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} \left( e^{-ax} \right) dx = \frac{d}{da} \left( \frac{1}{a} \right)

josta

\int_{0}^{\infty} x e^{-ax} dx = \frac{1}{a^2}

Toistetaan:

\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-ax} dx = \frac{1 \times 2}{a^3}

Toistetaan:

\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-ax} dx = \frac{1 \times 2 \times 3}{a^4}
\vdots
\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax} dx = \frac{n!}{a^{n+1}}

Sijoitetaan a = 1 \,\! ja saamme

n! = \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} dx

josta määrittelemme gammafunktion

\Gamma \left( p \right) = \int_{0}^{\infty} x^{p - 1} e^{-x} dx \qquad p \geq 0

n!:n generalisoinniksi reaaliluvuille. Luonnollisille luvuille:

\Gamma \left( p \right) = \left( p - 1 \right) ! \qquad p = 1, 2, 3, \cdots


[muokkaa] Gammafunktion ominaisuuksia

  • Jos n on luonnollinen luku, niin Γ(n) = (n - 1)!
  • Jos n on luonnollinen luku, niin
    \Gamma \left(\frac {2n+1}{2}\right) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2^n}\sqrt{\pi},
    josta saadaan arvo \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
  • Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:
    \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\ldots(z+n)}

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla