Aliryhmäkriteeri
Wikipedia
Aliryhmäkriteeri on algebran lause, joka kertoo, milloin ryhmän osajoukko on ryhmän aliryhmä.
[muokkaa] Lause
Olkoon G ryhmä ja H sen aito osajoukko, H ⊂ G. H on G:n aliryhmä, jos ja vain jos
- H ≠ ∅ (ehto 1)
- ab⁻¹ ∈ H ∀ a, b ∈ H (ehto 2).
[muokkaa] Todistus
Todistuksessa näytetään, että
- jos H on ryhmä, niin se täyttää ehdot 1 ja 2 (väite 1)
- jos H täyttää ehdot 1 ja 2, niin H on ryhmä (väite 2).
Osoitetaan väite 1. Ryhmän määritelmän mukaan ryhmässä on neutraalialkio e. Siispä e ∈ H, joten H ≠ ∅ eli ehto 1 toteutuu. Ehdon 2 toteutuminen nähdään seuraavasti: Oletetaan, että a, b ∈ H. Ryhmän määritelmän nojalla jokaisella ryhmän alkiolla on käänteisalkio, joka kuuluu ryhmään. Erityisesti siis alkiolla b ∈ H on olemassa käänteisalkio b⁻¹ ∈ H. Koska nyt a, b⁻¹ ∈ H ja laskutoimitus on ryhmän määritelmän nojalla vakaa, niin ab⁻¹ ∈ H ∀ a, b ∈ H.
Osoitetaan väite 2. Todistuksen ideana on osoittaa, että ehtojen 1 ja 2 ollessa voimassa, joukko H täyttää ryhmän määritelmän ehdot, jotka ovat laskutoimituksen vakaus ja liitännäisyys sekä neutraalialkion ja käänteisalkioiden olemassaolo.
Laskutoimituksen liitännäisyys on voimassa G:ssä, joten se on voimassa myös H:ssa.
Neutraalialkio on olemassa ja se kuuluu joukkoon H. Tämä seuraa ehdosta 2. Koska ab⁻¹ ∈ H ∀ a, b ∈ H, niin erityisesti aa⁻¹ ∈ H ∀ a ∈ H. Koska aa⁻¹ = e, niin e ∈ H.
Jokaisella H:n alkiolla on käänteisalkio, joka kuuluu joukkoon H. Tämä seuraa ehdosta 2 ja neutraalialkion olemassaolosta. Koska ab⁻¹ ∈ H ∀ a, b ∈ H, niin erityisesti ea⁻¹ ∈ H ∀ a ∈ H (e ∈ H). Koska ea⁻¹ = a⁻¹, niin a⁻¹ ∈ H.
Laskutoimitus on vakaa. Tämä seuraa ehdosta 2 ja käänteisalkioiden olemassaolosta. Jos a, b ∈ H, niin edellisen nojalla myös b⁻¹ ∈ H. Siispä ehdon 2 nojalla a(b⁻¹)⁻¹ ∈ H ∀ a, b⁻¹ ∈ H. Koska pätee a(b⁻¹)⁻¹ = ab, niin ab ∈ H ∀ a, b ∈ H.
Siispä H täyttää ryhmän ehdot, joten G:n osajoukkona se on G:n aliryhmä.