Besselin funktiot

Wikipedia

Besselin funktiot ovat useissa erilaisissa tilanteissa vastaantuleva joukko erikoisfunktioita. Ne liittyvät usein differentiaali- tai osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sylinterikoordinaatistossa, mistä syystä niitä kutsutaan joskus myös sylinterifunktioiksi. Esimerkiksi rummun kalvon värähtely säteen suunnassa on kombinaatio Besselin funktioita. Funktiot on nimetty preussilaisen tähtitieteilijän Friedrich Besselin mukaan.

Alun perin Besselin funktiot ovat Besselin differentiaaliyhtälön

x^2\frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0

ratkaisuja. Osoittautuu, että tämän yhtälön ratkaisuja ei voida esittää minkään alkeisfunktioiden avulla. Ratkaisun yleinen muoto on

y(x) = aJ_n(x) + bY_n(x)\,,

missä funktio Jn on n:s ensimmäisen lajin Besselin funktio ja funktio Yn vastaavasti n:s toisen lajin Besselin funktio ja kertoimet a,b \in \mathbb{R}.

Sisällysluettelo

[muokkaa] Ensimmäisen lajin Besselin funktiot

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot J0,J1 ja J2.
Suurenna
Ensimmäisen lajin Besselin funktiot J0,J1 ja J2.

Ensimmäisen lajin Besselin funktio voidaan kirjoittaa potenssisarjana

J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (x/2)^{n+2k}}{k!\Gamma(n+k+1)}

Tässä esiintyvä funktio Γ on myös erikoisfunktioihin kuuluva gammafunktio ja ! tarkoittaa kertomaa. Tilanteessa, jossa n < 0

J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)\,.

Jos n on kokonaisluku, funktiot voidaan määritellä integraalina

J_n(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(nt - x \sin t)dt.

Besselin funktioille on voimassa muutamia rekursiokaavoja. Näiden käyttö on yleensä kätevää

J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}J_n(x) - J_{n-1}(x)
J_n'(x) = \frac{1}{2}(J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x))
xJ_n'(x) = nJ_n(x) - xJ_{n+1}(x)\,
(x^n J_n(x))' = x^nJ_{n-1}(x)\,
(x^{-n}J_n(x))' = -x^{-n}J_{n+1}(x)\,

[muokkaa] Toisen lajin Besselin funktiot

Toisen lajin Besselin funktiot Y0,Y1 ja Y2
Suurenna
Toisen lajin Besselin funktiot Y0,Y1 ja Y2

Toisen lajin Besselin funktiot tunnetaan myös Weberin funktioina tai Neumannin funktioina. Ne voidaan lausua trigonometristen funktioiden ja ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla

Y_n(x) = \frac{J_n(x) \cos(n\pi) - J_{-n}(x)}{\sin(n\pi)}, \; n \neq 0, 1, 2,\ldots

ja kokonaislukuindeksille n = 0, 1, 2,\ldots

Y_n(x) = \lim_{h\rightarrow n}\frac{J_h(x) \cos(h\pi) - J_{-h}(x)}{\sin(h\pi)}

Myös toisen lajin Besselin funktioille on voimassa

Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)\,.

Samoin yllämainitut rekursiokaavat ovat voimassa toisen lajin funktioille sellaisenaan.

[muokkaa] Hankelin funktiot

Aaltojen etenemistä tutkittaessa törmätään Hankelin funktioihin. Ne ovat kompleksisia funktioita, joiden reaaliosa on ensimmäisen ja imaginääriosa toisen lajin Besselin funktio. Näille ovat voimassa

H_{n}^{(1)}(x) = J_n(x) - iY_n(x)\,
\;H_{n}^{(2)}(x) = J_n(x) + iY_n(x)\,

Hankelin funktiot voidaan lausua ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla ei-kokonaislukuindeksille n

H_n^{(1)}(x) = \frac{J_{-n}(x) - e^{-n\pi i}J_n(x)}{i \sin(n\pi)}
H_n^{(1)}(x) = \frac{J_{-n}(x) - e^{n\pi i}J_n(x)}{-i \sin(n\pi)}.

Kokonaislukuindeksille ylläolevista kaavoista on laskettava \lim_{n\rightarrow k},\; k = 0,1,2,\ldots. Negatiivisille n:n arvoille

H_{-n}^{(1)}(x) = e^{n\pi i}H_n^{(1)}(x)
H_{-n}^{(2)}(x) = e^{-n\pi i}H_n^{(2)}(x)

[muokkaa] Aiheesta muualla