Kaaosteoria
Wikipedia
Kaaosteoria on matematiikan ja fysiikan teoria, joka käsittelee tiettyjen ei-lineaaristen dynaamisten järjestelmien käyttäymistä jotka ilmenevät kaoottisina ja joita tunnetusti luonnehditaan herkkänä alkuolosuhteille (perhosvaikutus tai perhosefekti). Esimerkkejä sellaisista järjestelmistä tavataan ilmakehän dynamiikasta, aurinkokunnasta, laattatektoniikassa, pyörteisissä nesteissä, taloudessa, populaation kasvussa ja lääketieteessä.
Matemaattinen kaaos on täysin deterministinen, ennalta määrätty. Yleisessä kielenkäytössä kaaos ja kaaosteoria sekoitetaan usein täyteen "kaaokseen" tai "epäjärjestykseen", satunnaisuuteen, joka on epälainalaisen järjestelmän tulos.
Matemaattisesti kaaottinen järjestelmä voisi olla täysin ennustettavissa, jos alkuarvot ja prosessi tunnettaisiin täysin tarkkaan. Käytännössä alkuarvo- ja laskentatarkkuus rajoittaa ennustushorisonttia ja lyhyessä ajassa järjestelmä tulee täysin ennustamattomaksi.
[muokkaa] Esimerkki 1
Toisen asteen iteraatioyhtälö
- xn+1 = xn *( 4 - xn )
on lainalainen, kaoottinen ja alkuarvoherkkä. Lähtöarvot ja tulos kuuluvat väliin (0,4). (”Epästabiileina” kiintopisteinä 0 ja 3). Jos x0:sta lähdetään ja lasketaan, niin tavallinen laskin tulostaa roskaa jo 30–40:n iteraation jälkeen, tietokoneohjelmalla 20:n desimaalinkin tarkkuudella jo 55:n iteraation jälkeen. Alussa oleva virhe keskimäärin kaksinkertaistuu jokaista iteraatiota kohti.
Taulukko 1. Iteraatioita kolmella hiukan toisistaan poikkeavalla alkuarvolla.
a b c c-a = virhe x0= 0.5 0.501 0.500001 1E-6 x1 1.75 1.752999 1.750003 3E-6 x2 3.9375 3.938990506 3.9375015 1.5E-6 x3 0.24609375 0.240315818 0.246087938 -5.8E-6 x4 0.923812866 0.903511578 0.923792477 -20E-6 x5 2.841821253 2.797713141 2.841777368 -44E-6 x6 3.291336978 3.363653744 3.291410864 73E-6 x7 2.33244881 2.140448465 2.332257981 -190E-6 x8 3.889477789 3.980274229 3.889604634 127E-6 x9 0.429873685 0.07851398 0.429394328 -479E-6 x10 1.534703356 0.307891473 1.533197823 -1505E-6 x11 3.783499033 1.136768734 3.782095727 -1403E-6 x12 0.8191312 .. 0.824134818 5004E-6 x13 2.605548876 2.617341075 11792E-6 x14 3.633310558 3.618889998 -14421E-6 x15 1.33229662 1.379195176 46899E-6 x16 3.554172197 3.61460137 0.06 x17 1.584548783 1.393062416 -0.191 x18 3.827400287 3.631626769 -0.196 x19 0.660608193 1.337794087 0.677 x20 2.206029587 3.561483329 1.355 ..... .... ...
Nähdään, että kuuden numeron tarkkuudella ei päästä 20 askelta pitemmälle. Itse asiasssa laskettaessa esimerkiksi arvoa x100 se vastaa sitä, että laskettaisiin 101-terminen 2100:n asteen jättimäinen polynomi, jonka arvot (ja reaalijuuret) sijoittuvat välille 0..4, kun argumenttina on kyseiselle välille sijoittuva luku.
[muokkaa] Esimerkki 2
- x' = x2 + C.
Tämä on parametrin C ansiosta edellistä yleisempi kaava.
Jos parametri C on suurempi kuin -1.402, niin raja-arvoa lähestyttäessä huomataan 2,4,8,16,... jakson haarautumisia eli bifurkaatioita, joiden haarautumiskohtien suhde lähenee tunnettua Feigenbaumin vakiota 4.6692016091.. .
Jos C on rajaa Coo=-1.402.. pienempi, niin tulos on täysin kaoottinen kuten esimerkissä 1.
Silti yhtälöt ovat deterministisiä; xn:n arvo on matemaattisesti katsoen täysin määrätty kullakin alkuarvolla x0.
[muokkaa] Kirjallisuutta
- Gribbin, John (2005). Syvä yksinkertaisuus: Kaaos, kompleksisuus ja elämän synty. Suomentanut Arja Hokkanen. Ursan julkaisuja 95. Helsinki: Ursa. (Alkuteos: Deep Simplicity: Chaos, Complexity and the Emergence of Life, 2004.) ISBN 952-5329-41-0