Fermat'n pieni lause

Wikipedia

Fermat'n pienen lauseen mukaan kaikilla alkuluvuilla p ja kaikilla kokonaisluvuilla a on voimassa a^p \equiv a \pmod{p} Toisinaan lause esitetään seuraavassa muodossa: jos p on alkuluku ja a on kokonaisluku joka ei ole p:n monikerta, niin tällöin

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

Lausetta kutsutaan pieneksi lauseeksi erotuksena Fermat'n suuresta lauseesta.

Fermat'n pieni lause on perustana Fermat'n alkulukutestille.

[muokkaa] Historiaa

Pierre de Fermat keksi lauseensa vuonna 1636. Se esiintyi eräässä hänen kirjeessään, joka on päivätty 18.10.1640, uskotulleen Freniclelle seuraavasti: p jakaa ap−1 − 1 aina kun p on alkuluku ja a ja p ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja.

Kiinalaiset matemaatikot keksivät hypoteesin (tosinaan kutsuttu nimellä kiinalainen hypoteesi) jonka mukaan p on alkuluku jos ja vain jos 2p = 2(mod p). On totta, että jos p on alkuluku, on voimassa 2p = 2(mod p) (erikoistapaus Fermat'n pienestä lauseesta). Kääntäen tämä ei kuitenkaan päde, esimerkkinä tapaus p=341.

On laajasti uskottu, että kiinalainen hypoteesi keksittiin noin 2000 vuotta ennen Fermat'n keksintöä. On huomattavaa, että vaikka hypoteesi on osittain väärä, tunsivat jo antiikin matemaatikot väitteen.