Fareyn jono

Wikipedia

Oletetaan, että m on positiivinen kokonaisluku. Fareyn jonolla F_m tarkoitetaan tällöin niiden välillä [0,1] olevien murtolukujen kasvavaa jonoa, jotka:

- ovat supistetussa muodossa (ts. osoittajan ja nimittäjän) suurin yhteinen tekijä on 1 ja

- nimittäjä on pienempi tai yhtä suuri kuin m.

Esimerkiksi:

F_6 = [0, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1]


Fareyn jonot on nimetty brittiläisen mineralogin (kidetutkijan) John Fareyn mukaan. Hänen näitä jonoja koskeva kirjoitelmansa julkaistiin lehdessä nimeltä Philosophical Magazine vuonna 1816. Farey esitti väittämän, että jonon kukin jäsen voidaan laskea sen lähimpien naapurien ns. medianttina ts. jakamalla näiden lukujen osoittajien summa niiden nimittäjien summalla. Farey ei kuitenkaan tiettävästi itse todistanut väittämäänsä. Todistuksen esitti ensimmäisenä Cauchy kirjassaan Exercises de mathématique. Saman tuloksen oli kuitenkin esittänyt toinen matemaatikko C. Haros jo vuonna 1802. Harosin artikkeli ei kuitenkaan liene ollut Fareyn tai Cauchyn tiedossa. On siis lähinnä historiallinen sattuma, että jonot kantavat edelleen Fareyn nimeä.

Fareyn jonossa tiettyä lukua välittömästi seuraava luku tai sitä välittömästi edeltävä luku voidaan laskea tehokkaasti ns. alkeislukuteoriaan perustuvan algoritmin avulla. Tämä algoritmin esitys ja todistus löytyvät lähteestä [1]. Samassa lähteessä kerrotaan myös Fareyn jonojen yhteydestä ns. egyptiläisten murtolukujen ongelmaan ja yhteen nykyisen lukuteorian keskeisimmistä todistamattomista väittämistä, Riemannin hypoteesiin.

[muokkaa] Lähteet

  • [1]Matti K. Sinisalo: Fareyn luvut ja Mathematica, julkaisussa Logiikka, matematiikka ja tietokone - Perusteet, historiaa, filosofiaa ja sovelluksia, Suomen Tekoälyseuran julkaisuja, Symposiosarja, No 14, 1996, pp. 243-249 (PDF)