Fibonaccin lukujono

Wikipedia

Fibonaccin lukujono määritellään rekursiivisesti seuraavasti:

F(n)=   \begin{cases}     0             & \mbox{, kun } n = 0 \\     1             & \mbox{, kun } n = 1 \\     F(n-1)+F(n-2) & \mbox{, kun } n > 1 \\    \end{cases}

Toisin sanoen Fibonaccin lukujonon ajatuksena on laskea yhteen kaksi edellistä lukua, ja näin saada seuraavan luvun arvo. Fibonaccin lukujonon ensimmäiset kymmenen lukua järjestyksessä ovat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Joskus on myös tapana määritellä Fibonaccin lukujonon alkavan ykkösestä eikä nollasta.

Fibonaccin jono on kiinnostava sikäli, että sen kahden perättäisen luvun suhde lähestyy kultaista leikkausta. Koska Fibonacci-tyyppisesti eteneviä korkoa korolle-summautuvia prosesseja löytyy paljon biologisesta luonnosta, löytyy sieltä myös paljon kultaista leikkausta vastaavia suhteita.

[muokkaa] Analyyttinen muoto

Fibonaccin lukujono voidaan esittää myös analyyttisessä muodossa. Fibonaccin lukujonon yleisen termin lauseke

F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}, jossa \varphi on kultainen leikkaus \varphi = \frac{(1 + \sqrt{5})}{2}\approx 1,618\,033\,989, eli kaavaan sijoitettuna:
F\left(n\right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(  \left( \frac{1 + \sqrt{5} }{2}\right)^n -\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \right).

[muokkaa] Tribonaccin luvut

Fibonaccin luvuista väännettyä muotoa, jossa lasketaan kahden sijaan yhteen kolme perättäistä lukua, kutsutaan humoristisesti "Tribonaccin luvuiksi". Sen ensimmäiset luvut ovat 0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149...