Homomorfialause
Wikipedia
Homomorfialause on hyvin yleinen algebrallisten systeemien rakennelause. Se takaa, että homomorfismin f kuva on isomorfinen f:n ytimen sivuluokkien muodostaman rakenteen kanssa.
Homomorfialauseesta on olemassa oma versionsa mm. ryhmille, renkaille ja hiloille. Kuntien tapauksessa homomorfialause on triviaali, sillä jokainen kuntahomomorfismi on injektio ja indusoi siten isomorfismin.
[muokkaa] Ryhmien homomorfialause
Ryhmien tapauksessa homomorfialause kuuluu seuraavasti: Olkoot G ja G' ryhmiä, f homomorfismi näiden välillä ja K f:n ydin. Tällöin tekijäryhmä G / K on isomorfinen f:n kuvan kanssa. Tämä isomorfismi on kuvaus ,
.
Lauseen todistuksessa tutkitaan ensin, että F on hyvinmääritelty ja osoitetaan se sitten isomorfismiksi toteamalla se homomorfismiksi, injektioksi ja surjektioksi. Osoitetaan nyt F hyvinmääritellyksi. Jos a:n ja b:n määräämät sivuluokat ovat samat, niin eli a = bk, missä k on ytimen alkio. Nyt
, eli F on hyvinmääritelty. Näytetään sitten, että F on isomorfismi. F on homomorfismi, sillä kun a:n ja b:n määräämät sivuluokat kuuluvat tekijäryhmään G / K, niin
. Homomorfismi ryhmien välillä on injektio silloin ja vain sillon, kun K = {1}. Jos F(aK) = 1, niin f(a) = 1 eli
. Silloin aK = K = ryhmän ykkösalkio eli F on injektio. F on surjektiivinen, sillä kun a käy läpi koko G:n niin f(a) käy läpi koko G:n kuvan. Siis F on isomorfismi.