Gradientti
Wikipedia
Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka operoi skalaarifunktioihin (kts. myös roottori ja divergenssi). Kolmen muuttujan funktion gradientti grad(f) määritellään
,
missä "varoituskolmio" luetaan 'nabla' ja derivaatat ovat osittaisderivaattoja eri muuttujien suhteen. Tavallisen yhden muuttujan derivaattaoperaattorin analogia esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa on siis
.
Yleisen n muuttujan funktion gradientti määritellään
,
missä siis
.
Gradientti on derivaatan yleistys funktioille , ja seuraava askel funktioille
on niin sanottu Jacobin matriisi. Gradientti on "täysiverinen" vektori. Osoittautuu myös, että funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.
Sisällysluettelo |
[muokkaa] Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjä
[muokkaa] Differentiaali
Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin
,
ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla
,
missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.
[muokkaa] Suunnattu derivaatta
Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin suuntaan on
,
missä on
:n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.
[muokkaa] Ketjusääntö
Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli
,
saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta
,
missä siis
.
Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.
[muokkaa] Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa
Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on
,
.
Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat