Hilbertin aksioomat
Wikipedia
Hilbertin aksioomat on 20 (alun perin 21:n) oletuksen sarja, jonka matemaatikko David Hilbert julkisti vuonna 1899.
[muokkaa] Aksioomat
(H1) Jos P ja Q ovat eri pisteitä, on olemassa yksi ja vain yksi suora, joka kulkee sekä P:n että Q:n kautta.
(H2) Jokaiseen suoraan sisältyy ainakin kaksi pistettä.
(H3) On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.
Merkitään A*B*C tarkoittamaan, että piste B sijaitsee A:n ja C:n välissä. Jos A ja B ovat eri pisteitä, niin suoralla on pisteet C, D ja E siten, että C * A * B, A * D * B ja A * B * E.
(H4) Jos A*B*C, niin A, B ja C ovat eri pisteitä, joiden kaikkien kautta kulkee sama suora ja C * B * A.
(H5) Jos A ja B ovat eri pisteitä, suoralla on pisteet C, D ja E siten, että C * A * B, A * D * B ja A * B * E.
(H6) Jos A, B ja C ovat eri pisteitä, jotka kuuluvat samalle suoralle, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa:
(H7) Olkoot l suora sekä A, B ja C pisteitä, joiden kautta suora l ei kulje. Tällöin on voimassa:
(i) jos ABl ja BCl, niin ACl ja
(ii) jos AlB ja BlC, niin ACl.
(H8) Jos A ja B ovat eri pisteitä ja on mielivaltainen puolisuora, on olemassa yksi ja vain yksi piste
siten, että
.
(H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.
(H10) Jos A * B * C, A' * B' * C', ja
, niin
.
(H11) Olkoon kulma,
puolisuora ja P piste, joka ei sisälly suoraan
. Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora
siten, että
ja
.
(H12) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.
(H13) Olkoot ja
kolmioita siten, että
,
ja
. Tällöin
.