Juuri (laskutoimitus)

Wikipedia

[muokkaa] Reaalilukujen juurifunktio

Matematiikassa n:nnellä juurella luvusta x tarkoitetaan lukua, jonka n:s potenssi on x. Tätä merkitään symbolilla \sqrt[n]{x}. Tässä n on luonnollinen luku.

Nollan juuri on nolla kaikilla n.

Parittomilla n juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille x siten, että juuren otto on bijektiivinen funktio.

Parillisilla n juuri voidaan määritellä epänegatiivisille x siten, että juuren otto on bijektiivinen funktio.

[muokkaa] Perusominaisuudet

Juurelle pätevät seuraavat laskutoimitukset:

\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b},
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},
\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},

missä a ja b ovat positiivisia reaalilukuja.

[muokkaa] Kompleksilukujen juurifunktio

Juuri voidaan määritellä kompleksitasossa injektiiviseksi funktioksi poistamalla siitä seuraavanlainen joukko S:

  • S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
    • S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää
  • origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
  • Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora \{ z \in \mathbb{C}\ |\ \mathrm{Im} z = 0, \mathrm{Re} z < 0 \}

Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa \mathbb{C}-S n:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä.
Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.