Hermiittinen matriisi

Wikipedia

Hermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka on itsensä konjugaattinen transpoosi, eli alkio rivillä i ja sarakkeella j on sama kuin alkio rivillä j ja sarakkeella i:

a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}

Voidaan myös merkitä:

A = A^* \quad

Esimerkiksi

\begin{bmatrix}3&2+i\\ 2-i&1\end{bmatrix}

on hermiittinen matriisi.

Selvästi hermiittisen matriisin päädiagonaalin alkiot ovat aina reaalilukuja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain jos se on symmetrinen matriisi, eli se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on erikoistapaus hermiittisestä matriisista.

Jokainen hermiittinen matriisi on normaali, kuten spektrilauseesta nähdään. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan diagonalisoida unitaariseksi matriisiksi ja syntyneen matriisin alkiot ovat reaalilukuja. Siten hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia ja edelleen eri ominaisarvojen muodostamat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia. On mahdollistä löytää Cn:n ortonormaali kanta, joka koostuu yksinomaan ominaisvektoreista

Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien A ja B tulo on hermiittinen vain jos matriisit kommutoivat, eli AB = BA.

Hermiittiset n×n matriisit muodostavan reaalilukujen suhteen vektoriavaruuden, mutta ei kompleksilukujen suhteen. Tämän vektoriavaruuden dimensio on n2. (Yksi vapausaste päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.)

Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan positiivisesti definiitiksi. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, on matriisi positiivisesti semidefiniitti.