Irrationaaliluku

Wikipedia

Irrationaaliluvut ovat reaalilukuja (tai kompleksilukuja), joita ei voi ilmoittaa kahden kokonaisluvun suhteena, rationaalilukuna (\frac{m}{n}, missä m ja n ovat kokonaislukuja).

Irrationaalilukuja ovat mm. ympyrän kehän ja halkaisijan suhde pii (π), neperin luku (e), useimpien kokonaislukujen murtopotenssit (esim. 2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}) ja useat logaritmit (esim. \operatorname{log_3}  4) sekä trigonometriset funktiot (esim. sin15).

Irrationaaliluvun pääominaisuus on se, ettei sitä voida esittää päättyvänä tai jaksollisena desimaalilukuna. Irrationaalilukua käsitellään usein kyseistä tarkoitusta varten kehitetyllä symbolilla (esim. π tai γ).

[muokkaa] Historia

Ensimmäisen kerran länsimaisessa historiassa joutui irrationaalilukujen kanssa vastatusten Pythagoras ja hänen oppilaansa pythagoralaiset, joiden fanaattinen suhtautuminen matematiikkaan muistutti uskontoa. Pythagoralaiset uskoivat kaikkien matemaattisten asioiden olevan käsiteltävissä pelkästään rationaalilukujen kautta, kunnes alkoivat miettiä sen neliön lävistäjän pituutta, jonka sivun pituus on yksi. He käyttivät Pythagoraan lausettaan mutta huomasivat, ettei mikään rationaaliluku toteuta yhtälöä x² = 2. Aiemmin saatiin rationaaliluvuilla koko lukusuora "katetuksi", sillä jokaisen kahden murtoluvun välissä on aina ääretön määrä lisää rationaalilukuja. Kesti yli kaksituhatta vuotta ennen kuin saksalainen matemaatikko Richard Dedekind vuonna 1872 onnistui liittämään rationaali- ja irrationaaliluvut hyväksyttävin perustein yhdeksi suureksi lukujoukoksi, reaaliluvuiksi.

Vaikka rationaalilukuja on ääretön määrä, on irrationaalilukuja tavallaan vieläkin enemmän, minkä todisti Georg Cantor muutamaa vuotta Dedekindin jälkeen. Hän osoitti, ettei irrationaalilukujen joukkoa voida järjestää loputtomaksi jonoksi, toisin kuin kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Tätä kutsutaan ylinumeroituvuudeksi.

[muokkaa] Katso myös

Luettelo piin laskukaavoista