Hyperbolinen funktio

Wikipedia

Hyperbolisten funktioiden kuvaajat
Suurenna
Hyperbolisten funktioiden kuvaajat

Hyperboliset funktiot ovat trigonometrisia funktioita muistuttava joukko alkeisfunktioita, mutta niiden määrittely perustuu yksikköympyrän sijasta yksikköhyperbeliin.

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right)

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

\cosh x = \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\left( e^x - e^{-x} \right)}{\left( e^x + e^{-x} \right)}

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa. Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

\sinh \left( -x \right) = -\sinh x
\cosh \left(-x\right) = \cosh x
\cosh^2(x) - \sinh^2 (x) = 1\,

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.