Aritmeettinen sarja

Wikipedia

Aritmeettinen sarja, tai aritmeettinen jono on matemaattinen lukujono, jossa kahden perättäisen termin erotus on vakio. Triviaali esimerkki aritmeettisesta sarjasta on 1, 2, 3, 4, ..., jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on 2.0, 1.5, 1.0, 0.5, ... (erotus = -0.5). Aritmeettinen sarja divergoi aina \pm \infty.

[muokkaa] Lausekkeita aritmeettiselle sarjalle

  • n:s termi: a_n = a_1 + (n - 1)d \qquad \mbox{(1)} \,\!, missä d = peräkkäisten termien erotus
  • Ensimmäisten n termin summa: S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n - 1)d)}{2}
Todistus 1: Geometrisesti Sn on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on an ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}.
Todistus 2: Kirjoitetaan Sn kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):
S_n = (a_1) + (a_1+d) + (a_1+2d) + \dots + (a_1+(n-2)d) + (a_1+(n-1)d) \qquad \mbox{(2)}
S_n = (a_n-(n-1)d) + (a_n-(n-2)d) + \dots + (a_n-2d) + (a_n-d) + (a_n) \qquad \mbox{(3)}
Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:
2S_n = n(a_1 + a_n) \,\!
\Rightarrow \ S_n = \frac{n( a_1 + a_n)}{2}.
Q.E.D.

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla