Aliryhmä

Wikipedia

Ryhmän G alkioiden osajoukko H muodostaa ryhmän G aliryhmän, jos H on suljettu sekä laskutoimituksen että käänteisalkion suhteen sekä H on G:n alimonoidi. Tällöin myös H on ryhmä.

Yhtäpitävä määritelmä on, että jos H \subseteq G ja H on ryhmä G:n ryhmäoperaation suhteen, niin H on G:n aliryhmä.

Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti H \leq G.

[muokkaa] Normaalit aliryhmät

Eräitä hyvin tärkeitä aliryhmiä ovat normaalit aliryhmät. Ryhmän G aliryhmää N sanotaan normaaliksi, jos sen vasemmat sivuluokat ovat samat kuin oikeat, eli \quad \forall a \in G: \ aN = Na.

Aliryhmän normaalisuus voidaan selvittää käyttäen normaalisuuskriteeriä, jonka mukaan ryhmän G aliryhmä N on normaali, jos ja vain jos ana^{-1} \in N \quad \forall a \in G, n \in N.

Normaalisuuskriteeri voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan aluksi, että N on G:n normaali aliryhmä. Koska sivuluokat yhtyvät, mielivaltainen vasemman sivuluokan alkio an = ma, m,n \in N. Kertomalla tämä alkion a käänteisalkiolla a − 1, saadaan ana − 1 = m, siis N:n alkio. Oletetaan sitten väitteen oikea puoli todeksi ja tutkitaan G:n alkiota a. Osoitetaan, että aN = Na. Valitaan n \in N ja merkitään ana − 1 = m1, jossa m_1 \in N. Kertomalla oikealta a:lla saadaan an=m_1a \in Na. Siis aN \subseteq Na. Tehdään samoin korvaamalla a a − 1:llä. Siis a − 1na = m2, m_2 \in N, josta saadaan na = am2 eli Na \subseteq aN. Kokonaisuudessaan siis Na = aN, eli N on normaali.

[muokkaa] Aliryhmiä koskevia lauseita