Hilbertin aksioomat

Wikipedia

Hilbertin aksioomat on 20 (alun perin 21:n) oletuksen sarja, jonka matemaatikko David Hilbert julkisti vuonna 1899.

[muokkaa] Aksioomat

(H1) Jos P ja Q ovat eri pisteitä, on olemassa yksi ja vain yksi suora, joka kulkee sekä P:n että Q:n kautta.

(H2) Jokaiseen suoraan sisältyy ainakin kaksi pistettä.

(H3) On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.

Merkitään A*B*C tarkoittamaan, että piste B sijaitsee A:n ja C:n välissä. Jos A ja B ovat eri pisteitä, niin suoralla \mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{AB}} on pisteet C, D ja E siten, että C * A * B, A * D * B ja A * B * E.

(H4) Jos A*B*C, niin A, B ja C ovat eri pisteitä, joiden kaikkien kautta kulkee sama suora ja C * B * A.

(H5) Jos A ja B ovat eri pisteitä, suoralla \mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{AB}} on pisteet C, D ja E siten, että C * A * B, A * D * B ja A * B * E.

(H6) Jos A, B ja C ovat eri pisteitä, jotka kuuluvat samalle suoralle, niin yksi ja vain yksi seuraavista ehdoista on voimassa:

A*B*C, \quad A*C*B\mbox{ tai } \quad B*A*C.

(H7) Olkoot l suora sekä A, B ja C pisteitä, joiden kautta suora l ei kulje. Tällöin on voimassa:

(i) jos ABl ja BCl, niin ACl ja

(ii) jos AlB ja BlC, niin ACl.

(H8) Jos A ja B ovat eri pisteitä ja \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{PQ}} on mielivaltainen puolisuora, on olemassa yksi ja vain yksi piste R\in \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{PQ}} siten, että AB\cong PR.

(H9) Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H10) Jos A * B * C, A' * B' * C', AB\cong A'B' ja BC\cong B'C', niin AC\cong A'C'.

(H11) Olkoon \angle ABC kulma, \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{DE}} puolisuora ja P piste, joka ei sisälly suoraan \mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{DE}}. Silloin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora \mathop{\stackrel{\longrightarrow}{DF}} siten, että FP\mathop{\stackrel{\longleftrightarrow}{DE}} ja \angle ABC\cong \angle FDE.

(H12) Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.

(H13) Olkoot \triangle ABC ja \triangle DEF kolmioita siten, että \angle A\cong \angle D, AB\cong DE ja AC\cong DF. Tällöin \triangle ABC\cong \triangle DEF.