Derivaattaryhmä

Wikipedia

Tämän artikkelin määritelmä puuttuu tai on huonosti laadittu.
Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla.


Ryhmän G kommutaattorien generoimaa aliryhmää kutsutaan G:n derivaattaryhmäksi, derivoiduksi ryhmäksi tai pelkästään derivaataksi. Sitä merkitään merkinnöin G', D(G) tai DG. Kun G derivoidaan k kertaa, saadaan kertaluvun k derivaattaryhmä tai k:s derivaattaryhmä, jota merkitään G(k) tai DkG. Derivoitu ryhmä sisältää tarkalleen kaikki G:n kommutaattorien tulot, mikä nähdään aliryhmäkriteeristä ottaen huomioon kommutaattoreiden toteuttama yhtälö [x,y]-1 = [y,x]. Näin ollen se sisältää tarkalleen ne ryhmän G alkiot, jotka voidaan esittää muodossa \prod_{i=1}^n x_iy_ix_i^{-1}y_i^{-1}, missä n \geq 1 ja x_i,y_i \in G kaikilla i=1,\dots,n.

Koska derivaattaryhmä on määritelty kommutaattoreita käyttäen, on luonnollista, että sillä on joitain vaihdannaisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Ensimmäinen tällainen ominaisuus on seuraavanlainen: Mikäli G' on ryhmähomomorfismin f:G \rightarrow G_1 ytimessä, niin G:n kuva tämän kuvauksen suhteen on vaihdannainen. Tämän seurauksena saadaan tärkeä yhtäpitävyys:

G' \leq H \leq G \quad \Leftrightarrow  \quad H \triangleleft G ja G/H on vaihdannainen.

Tämän perusteella ensinnäkin G' \triangleleft G ja G/G' on vaihdannainen. Toisekseen G' on nämä ehdot täyttävien G:n aliryhmien joukossa erikoisasemassa, sillä se on yllä olevan yhtäpitävyyden perusteella niistä suppein.

[muokkaa] Derivoitu ketju

Ryhmän G derivoitu ketju on ääretön jono G \triangleright G' \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots. Mikäli G on äärellinen, täytyy jostain indeksistä n alkaen olla voimassa G(n) = G(n+1) = ···. Jos tällöin G(n) = {1}, sanotaan, että G on ratkeava ryhmä. Vastaavalla tavalla äärettömän ryhmän sanotaan olevan ratkeava, jos sen jonkin kertaluvun derivaattaryhmässä on vain ykkösalkio.