Cayleyn lause

Wikipedia

Cayleyn lause sanoo, että jokainen ryhmä G on jonkin permutaatioryhmän aliryhmä. Cayleyn lause on esimerkkinä ryhmän G toiminnasta itselleen. Lause on nimetty matemaatikko Arthur Cayleyn mukaan.

Cayleyn lauseesta seuraa, että jos jokin ominaisuus on voimassa kaikille permutaatioryhmille G ja ominaisuus periytyy tämän ominaisuuden omaavien ryhmien aliryhmille, sama ominaisuus on voimassa kaikille ryhmille.

[muokkaa] Todistus

Olkoon g G:n mielivaltainen alkio. Nyt g*G=G ja jos x,y \in G, on g*x=g*y jos ja vain jos x=y. Asettamalla fg(x) = g * x nähdään että fg on G:n permutaatio, joten f_g(x) \in Sym(G).

Osajoukko K = {fg : g \in G ja fg(x) = g*x kaikilla G:n alkioilla x} on ryhmän Sym(G) aliryhmä ja isomorfinen G:n kanssa. Tämä nähdään tarkastelemalla funktiota T : G → Sym(G) jolla T(g) = fg kaikilla G:n alkioilla g. T on homomorfismi, sillä (fgfh)(x) = fg(fh(x)) = fg(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f(g*h)(x), kaikilla G:n alkioilla x ja siten T(g) • T(h) = fgfh = f(g*h) = T(g*h). Homomorfismi T on myös injektiivinen, sillä koska T(g) = idG, on voimassa g*x = x kaikilla G:n alkioilla x, ja valitsemalla x=e, missä e on G:n neutraalialkio, saadaan g = g*e = e.


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä.
Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.