Aliryhmäkriteeri

Wikipedia

Aliryhmäkriteeri on algebran lause, joka kertoo, milloin ryhmän osajoukko on ryhmän aliryhmä.

[muokkaa] Lause

Olkoon G ryhmä ja H sen aito osajoukko, HG. H on G:n aliryhmä, jos ja vain jos

  • H ≠ ∅ (ehto 1)
  • ab⁻¹ ∈ Ha, bH (ehto 2).

[muokkaa] Todistus

Todistuksessa näytetään, että

  • jos H on ryhmä, niin se täyttää ehdot 1 ja 2 (väite 1)
  • jos H täyttää ehdot 1 ja 2, niin H on ryhmä (väite 2).

Osoitetaan väite 1. Ryhmän määritelmän mukaan ryhmässä on neutraalialkio e. Siispä eH, joten H ≠ ∅ eli ehto 1 toteutuu. Ehdon 2 toteutuminen nähdään seuraavasti: Oletetaan, että a, bH. Ryhmän määritelmän nojalla jokaisella ryhmän alkiolla on käänteisalkio, joka kuuluu ryhmään. Erityisesti siis alkiolla bH on olemassa käänteisalkio b⁻¹ ∈ H. Koska nyt a, b⁻¹ ∈ H ja laskutoimitus on ryhmän määritelmän nojalla vakaa, niin ab⁻¹ ∈ Ha, bH.

Osoitetaan väite 2. Todistuksen ideana on osoittaa, että ehtojen 1 ja 2 ollessa voimassa, joukko H täyttää ryhmän määritelmän ehdot, jotka ovat laskutoimituksen vakaus ja liitännäisyys sekä neutraalialkion ja käänteisalkioiden olemassaolo.

Laskutoimituksen liitännäisyys on voimassa G:ssä, joten se on voimassa myös H:ssa.

Neutraalialkio on olemassa ja se kuuluu joukkoon H. Tämä seuraa ehdosta 2. Koska ab⁻¹ ∈ Ha, bH, niin erityisesti aa⁻¹ ∈ HaH. Koska aa⁻¹ = e, niin eH.

Jokaisella H:n alkiolla on käänteisalkio, joka kuuluu joukkoon H. Tämä seuraa ehdosta 2 ja neutraalialkion olemassaolosta. Koska ab⁻¹ ∈ Ha, bH, niin erityisesti ea⁻¹ ∈ HaH (eH). Koska ea⁻¹ = a⁻¹, niin a⁻¹ ∈ H.

Laskutoimitus on vakaa. Tämä seuraa ehdosta 2 ja käänteisalkioiden olemassaolosta. Jos a, bH, niin edellisen nojalla myös b⁻¹ ∈ H. Siispä ehdon 2 nojalla a(b⁻¹)⁻¹ ∈ Ha, b⁻¹ ∈ H. Koska pätee a(b⁻¹)⁻¹ = ab, niin abHa, bH.

Siispä H täyttää ryhmän ehdot, joten G:n osajoukkona se on G:n aliryhmä.