Aliryhmä
Wikipedia
Ryhmän G alkioiden osajoukko H muodostaa ryhmän G aliryhmän, jos H on suljettu sekä laskutoimituksen että käänteisalkion suhteen sekä H on G:n alimonoidi. Tällöin myös H on ryhmä.
Yhtäpitävä määritelmä on, että jos ja H on ryhmä G:n ryhmäoperaation suhteen, niin H on G:n aliryhmä.
Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti .
[muokkaa] Normaalit aliryhmät
Eräitä hyvin tärkeitä aliryhmiä ovat normaalit aliryhmät. Ryhmän G aliryhmää N sanotaan normaaliksi, jos sen vasemmat sivuluokat ovat samat kuin oikeat, eli .
Aliryhmän normaalisuus voidaan selvittää käyttäen normaalisuuskriteeriä, jonka mukaan ryhmän G aliryhmä N on normaali, jos ja vain jos .
Normaalisuuskriteeri voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan aluksi, että N on G:n normaali aliryhmä. Koska sivuluokat yhtyvät, mielivaltainen vasemman sivuluokan alkio an = ma, . Kertomalla tämä alkion a käänteisalkiolla a − 1, saadaan ana − 1 = m, siis N:n alkio. Oletetaan sitten väitteen oikea puoli todeksi ja tutkitaan G:n alkiota a. Osoitetaan, että aN = Na. Valitaan
ja merkitään ana − 1 = m1, jossa
. Kertomalla oikealta a:lla saadaan
. Siis
. Tehdään samoin korvaamalla a a − 1:llä. Siis a − 1na = m2,
, josta saadaan na = am2 eli
. Kokonaisuudessaan siis Na = aN, eli N on normaali.
[muokkaa] Aliryhmiä koskevia lauseita
- Aliryhmäkriteeri
- Lagrangen indeksilause
- Sylowin lauseet