Karteesinen tulo
Wikipedia
Karteesinen tulo on joukko-operaatio. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikko, filosofi René Descartesin mukaan. Descartes loi käsitteen kehitellessään analyyttista geometriaa.
Olkoot X ja Y joukkoja. Näiden kahden joukon karteesinen tulo on sellaisten järjestettyjen parien (x, y) joukko, joissa x on joukon X alkio ja y joukon Y alkio.
- Merkitään: X × Y = { (x, y) | x ∈ X ja y ∈ Y }
Karteesisen tulon osajoukkoja kutsutaan binäärisiksi eli kaksipaikkaisiksi relaatioiksi.
Esimerkkejä:
- Olkoot A = {1, 2} ja B = {1, 2, 3}. Tällöin A × B = {(a, b)| a ∈ A ja b ∈ B} = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3)}.
- Olkoot M = {risti, pata, ruutu, hertta} ja N = {ässä, kuningas, rouva, jätkä, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}.
Tällöin M × N = {(risti, ässä) , (risti, kuningas), (risti, rouva),...,(hertta, 2)}. (korttipakka) - Reaalitaso: R2 = R × R = {(x, y)| x ∈ R, y ∈ R}
Karteesinen tulo voidaan yleistää seuraavasti:
- X1 × ... × Xn = {(x1, ... , xn) | x1 ∈ X1 ja ... ja xn ∈ Xn}, missä X1, ..., Xn ovat joukkoja.
Esimerkkinä mainittakoon euklidinen kolmiuloitteinen avaruus, eli joukko R3 = R × R × R, jonka alkiot eli "pisteet" ovat
järjestettyjä kolmikkoja (x, y, z), missä x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R.