Bernoullin epäyhtälö

Wikipedia

Matematiikassa Bernoullin epäyhtälö approksimoi reaaliluvun 1 + x potensseja.

Epäyhtälön mukaan

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

kaikilla kokonaisluvuilla r ≥ 0 ja kaikilla reaaliluvuilla x > −1. Jos eksponentti r on parillinen, on epäyhtälö voimassa kaikilla reaaliluvuilla x. Aito epäyhtälö

(1 + x)^r > 1 + rx\!

on voimassa kaikilla kokonaisluvuilla r ≥ 2 kunhan x ≥ −1, x ≠ 0.

Bernoullin epäyhtälöä käytetään usein toisten epäyhtälöiden todistamiseen. Itse Bernoullin epäyhtälö voidaan todistaa kokonaislukueksponenteille induktion avulla.

Eksponentti r voidaan yleistää mielivaltaiselle reaaliluvulle seuraavasti: jos x > −1, on

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

kaikilla r ≤ 0 tai r ≥ 1 ja

(1 + x)^r \leq 1 + rx\!

kun 0 ≤ r ≤ 1. Tämän yleistys voidaan todistaa derivaatan avulla. Edelleen tämä epäyhtälö on aito kun x ≠ 0 ja r ≠ 0, 1.

[muokkaa] Vastaavia epäyhtälöitä

Seuraava epäyhtälö arvio luvun 1 + x r:ttä potenssia: kaikilla reaaliluvuilla x, r > 0 on voimassa

(1 + x)^r < e^{rx},\!

missä e = 2,718.... Tämä voidaan todistaa epäyhtälön (1 + 1/k)k < e avulla.