Gradientti

Wikipedia

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka operoi skalaarifunktioihin (kts. myös roottori ja divergenssi). Kolmen muuttujan funktion gradientti grad(f) määritellään

\nabla f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) \vec{k},

missä "varoituskolmio" luetaan 'nabla' ja derivaatat ovat osittaisderivaattoja eri muuttujien suhteen. Tavallisen yhden muuttujan derivaattaoperaattorin analogia esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa on siis

\nabla = \vec{i} \partial_x + \vec{j} \partial_y + \vec{k} \partial_z.

Yleisen n muuttujan funktion gradientti määritellään

\nabla f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}), & \frac {\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}), &\cdots & ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{bmatrix}^T,

missä siis

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1, & x_2, & \cdots, & x_n \end{bmatrix}^T.

Gradientti on derivaatan yleistys funktioille f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, ja seuraava askel funktioille \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p on niin sanottu Jacobin matriisi. Gradientti on "täysiverinen" vektori. Osoittautuu myös, että funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.

Sisällysluettelo

[muokkaa] Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjä

[muokkaa] Differentiaali

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

\Delta f(x) = f'(x) \Delta x \;,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

\Delta f(\mathbf{x}) = \nabla f \cdot \Delta \mathbf{x},

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

[muokkaa] Suunnattu derivaatta

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin \vec{e} suuntaan on

\partial_{\vec{e}} f(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \vec{e}_0,

missä \vec{e}_0\; on \vec{e}\;:n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.

[muokkaa] Ketjusääntö

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1(t), & x_2(t), & \cdots, & x_n(t) \end{bmatrix}^T,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

\frac{df(\mathbf{x}(t))}{dt} = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{x}'(t),

missä siis

\mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} x_1'(t), & x_2'(t), & \cdots, & x_n'(t) \end{bmatrix}^T.

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

[muokkaa] Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

\nabla f(r,\phi) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r}  +  \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi},

sylinterikoordinaatistossa

\nabla f(r,\phi,z) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r}  +  \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} + \vec{e}_z \frac{\partial f}{\partial z}

sekä pallokoordinaatistossa

\nabla f(r,\theta,\phi) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r}  + \vec{e}_{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial f}{\partial \phi}.

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat \begin{cases} x = r \sin \theta \cos \phi  \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end{cases}

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla