Ellipsi

Wikipedia

Ellipsi
Suurenna
Ellipsi
Ellipsillä voidaan tarkoittaa myös kolmea pistettä.

Ellipsi (suomalaisittain soikio) on suljettu toisen asteen käyrä. Ellipsi on myös yksi kartioleikkauksista

Matemaattinen määritelmä tehdään seuraavasti. Olkoot F1 ja F2 kaksi tason kiinteätä pistettä. Ellipsi on käyrä, jolle kuuluu jokainen tason piste X, jonka F1:stä ja F2:sta mitattujen etäisyyksien summalla PF1 + PF2 on vakioarvo. Ellipsin soikeus määräytyy siitä, kuinka paljon on PF1 + PF2 suurempi kuin pisteiden F1 ja F2 välinen etäisyys.

Suoria, joiden suhteen ellipsi on symmetrinen, sanotaan ellipsin akseleiksi. Pisteitä F1 ja F2 sanotaan ellipsin polttopisteiksi.

[muokkaa] Ellipsin pinta-ala

Ellipsin pinta-ala A saadaan kaavasta:

A = π·a·b , missä a ja b ovat ellipsin puoliakseleita

Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio on ympyrä ja pinta-alan kaavaksi tulee π·r².

Ellipsiviivan pituudelle ei ole alkeisfunktioiden avulla lausuttavaa kaavaa.

[muokkaa] Ellipsin yhtälö

Jos ellipsin keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ellipsin yhtälö xy-koordinaatistossa

\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\! , jossa a,b\in\mathbb{R}.

Tai parametrimuodossa

\left\{\begin{matrix}x = a\cos{t} \\ y = b\sin{t}\end{matrix}\right. , jossa a,b,t\in\mathbb{R}.

Jos keskipiste on pisteessä (x0,y0) on yhtälö

\frac{(x-x_0)^2} {a^2} + \frac{(y-y_0)^2} {b^2} = 1\! , jossa a,b\in\mathbb{R}.

Ellipsin yhtälö voidaan myös esittää muodossa

A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0\! , jossa A,B,C,D,E,F\in\mathbb{R}.

Kaavoissa a on x-akselin suuntaisen puoliakselin pituus ja b y-akselin suuntaisen puoliakselin pituus.


Jos a = b = r, kyseessä on ympyrä, jonka säde on r.

[muokkaa] Katso myös