Diagonalisoituva matriisi

Wikipedia

Lineaarialgebrassa neliömatriisia A sanotaan diagonalisoituvaksi jos se on samanlainen kuin diagonaalimatriisi, eli on olemassa kääntyvä matriisi P siten, että P -1AP on diagonaalimatriisi. Jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, lineaarioperaattoria T : VV sanotaan diagonalisoituvaksi jos on olemassa V:n kanta missä T on diagonaalimatriisi. Diagonalisointi on prosessi, jossa diagonalisoituva matriisi tai -lineaarikuvaus etsitään

Diagonalisoituvat matriisit ja -kuvaukset ovat käyttökelpoisia, sillä niitä on helppo käsitellä. Niiden ominaisarvot ja ominaisvektorit on helppo laskea ja diagonalisen matriisin potenssi saadaan korottamalla lävistäjäalkiot annettuun potenssii.

Diagonalisoituvien matriisien ja -lineaarikuvausten päätulos on seuraava.

  • n×n matriisi A, jonka alkiot ovat kunnasta F on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden summa on yhtäsuuri kuin n. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että on olemassa Fn:n kanta, joka koostuu A:n ominaisvektoreista. Jos tällainen kanta löydetään, voidaan muodostaa matriisi P, jonka sarakkeina nämä vektorit ovat, ja P -1AP on lävistäjämatriisi. Tämän matriisin lävistäjäalkiot ovat A:n ominaisarvot.
  • Lineaarikuvaus T : VV on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksion dimensioiden summa on dim(V), joka tapahtuu silloin ja vain silloin kun on olemassa V:n kanta, joka sisältää T:n ominaisvektorit. Tällöin T on diagonalisoituva ja sen lävistäjäalkiot ovat T:n ominaisvektorit

Vaihtoehtoisesti voidaan sanoa, että matriisi tai lineaarikuvaus on diagonalisoituva kunnassa F jos ja vain jos sen minimaalipolynomi on tulo F:n erillisistä lineaarisista tekijöistä.

Seuraava riittävä, mutta ei välttämätön ehto on usein hyödyllinen:

  • Kunnan F n×n matriisi A on diagonalisoituva jos sillä on n erillistä ominaisarvoa F:ssä, eli sen karakteristisella polynomilla on n erillistä nollakohtaa F:ssä

Nyrkkisääntönä, melkein kaikki kompleksikertoimiset matriisit ovat diagonalisoituvia. Tarkemmin kompleksiset n×n matriisit, jotka eivät ole diagonalisoituvia, muodostavat nollajoukon Lebesguen mitan suhteen. Voidaan myös sanoa, että diagonalisoituvat matriisit muodostavat tiheän osajoukon Zariski-topologian suhteen. Tämän avaruuden komplementti sijaitseen siinä joukossa, missä diskriminantin karakteristinen polynomi häviää. Tämä avaruus on hyperpinta.

Sama ei päde R:ssä. Kun n kasvaa, todennäköisyys, että satunnaisesti valittu reaalimatriisi on diagonalisoituva pienenee.