Homotopia

Wikipedia

Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisilleen.
Suurenna
Kaksi vahvennettua polkua ovat keskenään homotooppiset. Kuva havainnollistaa, kuinka ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisilleen.

Topologiassa kaksi jatkuvaa funktiota sanotaan olevan homotooppisia keskenään jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen. Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiasssa.

[muokkaa] Matemaattinen määritelmä

Kahden jatkuvan funktion f:X \to Y ja g:X \to Y välinen homotopia on jatkuva funktio H:X \times [0,1] \to Y siten, että H(x,0) = f(x) ja H(x,1) = g(x). Jos kuvauksen H toinen parametri ajatellaan olevan aikaparametri, voidaan H:ta ajatella funktiona, joka näyttää kullakin ajan hetkellä tietyn välivaiheen, kun kuvausta f ollaan muuttamassa kuvaukseksi g.

[muokkaa] Ominaisuuksia

Homotopia on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle. Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos f1 ja g_1:X \to Y ovat homotopioita ja f_1,g_2:Y \to Z ovat homotopioita, on näiden yhdistetyt kuvaukset f_2 \circ f_1 ja g_2 \circ g_1:X \to Y myöskin homotopioita.

Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotopioita, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit ovat homologia ryhmän mielessä samat: H_n(f)=H_n(g):H_n(X)\to H_n(y) kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin-Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, antaa f:n ja g:n indusoima ryhmähomomorfismi samat homotopiaryhmät: \pi_n(f)=\pi_n(g):\pi_n(X)\to\pi_n(y).

Tämän takia algebrallisessa topologiassa avaruudet voidaan erotella vain niiden homotopialuokkiensa mukaan.


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä.
Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.