Gudermannin funktio

Wikipedia

Gudermannin funktio asymptootteineen
Suurenna
Gudermannin funktio asymptootteineen

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan y-akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (17981852) mukaan.

Gudermannin funktio, gd, määritellään

\textrm{gd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cosh t} = 2 \arctan(e^x) - \frac{\pi}{2}

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

\textrm{arcgd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cos t}= \frac{1}{2}\ln (\frac{1+\sin x}{1- \sin x})

[muokkaa] Ominaisuuksia

Gudermannin funktio on pariton, sillä

\textrm{gd}(-x) = -\textrm{gd}(x)\,

Sillä on myös kaksi asymptoottia

\lim_{x\rightarrow \infty} \textrm{gd}(x) = \frac{\pi}{2}
\lim_{x\rightarrow -\infty} \textrm{gd}(x) = -\frac{\pi}{2}

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

\sinh(x)=\tan(\textrm{gd}(x))\,
\cosh(x)=\sec(\textrm{gd}(x))\,
\tanh(x)=\sin(\textrm{gd}(x))\,
\textrm{sech}(x)=\cos(\textrm{gd}(x))\,
\textrm{csch}(x)=\cot(\textrm{gd}(x))\,
\coth(x)=\csc(\textrm{gd}(x))\,

ja lisäksi

\tanh(\frac{x}{2}) = \tan(\frac{\textrm{gd}(x)}{2})

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

e^x = \frac{1 + \sin(\textrm{gd}(x))}{\cos(\textrm{gd}(x))}

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

\frac{d}{dx}\textrm{gd}(x) = \textrm{sech} x
\frac{d}{dx}\textrm{arcgd}(x) = \sec x

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

\textrm{gd}(ix) = i\textrm{arcgd}(x)\,

[muokkaa] Aiheesta muualla

Muilla kielillä