Asymptootti
Wikipedia
Asymptootti on suora tai käyrä A, mitä toinen käyrä B lähestyy äärettömyydessä. Kun B:tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys A:n ja B:n välillä kutistuu kohti nollaa. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa.
[muokkaa] Asymptootit ja funktion kuvaaja
Asymptootit määritellään raja-arvon avulla:
Olkoon f funktio. Tällöin suora y=a on f:n vaakasuora asymptootti jos
Intuitiivisesti tämä tarkoittaa sitä, että itseisarvoltaan suurilla x:n arvoilla f(x) on suunnilleen yhtäsuuri kuin a ja approksimaatio tarkentuu kun x kasvaa tai pienenee. Siten äärettömyydessä (tai miinus äärettömyydessä) käyrä lähestyy suoraa.
Huomaa, että jos
on funktion f kuvaajalla kaksi vaakasuoraa asymptoottia: y=a ja y=b. Esimerkiksi arkustangentti käyttäytyy tällä tavoin.
Suora x=a on funktion f vaakasuora asymptootti jos jompikumpi seuraavista ehdoista on voimassa:
Intuitiivisesti, jos x=a on f:n asymptootti, voidaan ajatella, että kun x lähestyy a:ta jommalta kummalta puolelta, f(x) kasvaa tai vähenee rajatta.
Esimerkki asymptootistä löytyy funktion f(x)=1/x kuvaajasta, jonka asymptootteinaovat koordinaattiakselin x = 0 ja y = 0.
Huomaa, että f(x):n ei tarvitse olla määritelty a:ssa. Funktion arvolla pisteessä x=a ei ole aymptootin käyttäytymiseen vaikutusta. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota
Kun , f(x):llä on pystysuora asymptootti 0:ssa vaikka f(0) = 5.
Funktion asymptoottien ei tarvitse olla x- tai y-akselin suuntaisia. Esimerkiksi funktion f(x)=x +1/x asymptootteina on y-akseli ja suora y = x.
Jos y= m x + b on mikä tahansa ei-pystysuora suora, on funktiolla f(x) tämä suora asymptoottina jos ja vain jos
[muokkaa] Toisia merkityksiä
Funktio f(x) sanotaan lähestyvän asymptoottisesti funktiota g(x) kun x → ∞. Tällä voidaan tarkoittaa seuraavia asioita:
- f(x) − g(x) → 0.
- f(x) / g(x) → 1.
- f(x) / g(x) → a ≠ 0.
- f(x) / g(x) on rajoitettu eikä lähesty nollaa.