Fermat'n suuri lause

Wikipedia

Fermat'n suuri lause tai joskus Fermat'n viimeinen teoreema on Pierre de Fermat'n keksimä yleistys Pythagoraan lauseesta a2 + b2 = c2:

Ei ole olemassa luonnollisia lukuja a, b ja c, jotka toteuttaisivat yhtälön
an + bn = cn
kun n on luonnollinen luku ja suurempi kuin 2.


Sisällysluettelo

[muokkaa] Historiaa

Fermat kirjoitti kuuluisan lauseensa arviolta vuonna 1637 Diofantoksen Arithmetica-teoksen marginaaliin. Väittämän alapuolelle hän kirjoitti latinaksi: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet" (Olen keksinyt väittämälle ihmeellisen todistuksen, mutta marginaalissa ei riitä sille tilaa). Lause löytyi Fermat'n kuoltua vuonna 1665. Mahdollisesti Fermat tarkasteli potenssitaulukoita ns. nexus-lukujen eli perättäisten kokonaislukujen saman potenssin erotusten summana. Kun kokonaislukujen potenssit kirjoitetaan muotoon 1 + (2n − 1n) + (3n − 2n) + jne. + [Xn − (X − 1)n], siis nexus-lukujen summana, on helppo huomata, että vain neliötaulukossa (n=2) nexus- lukujen ja niiden perättäissummien joukossa on neliöitä. Kuutiotaulukon (n=3) nexus-lukujen tai niiden perättäissummien joukossa ei koskaan ole kuutioita. Samoin kaikkien korkeampien potenssien taulukoissa nexus-lukujen ja nexussummien joukossa ei koskaan esiinny kokonaislukujen ko. potensseja. Kahden kokonaisluvun saman potenssin erotus (eli etäisyys ko. potenssitaulukossa ) on aina nexus-luku tai perättäisten nexus-lukujen summa, joka ei voi olla minkään kokonaisluvun ko. potenssi, jos n on suurempi kokonaisluku kuin 2. Tällainen havainto on "suuren lauseen" kanssa yhdenmukainen ja mahdollinen selitys sille, että "demonstraatio" ei mahtunut marginaaliin.

Lauseen tekee merkittäväksi se, että se oli viimeinen Fermat'n luoma teoreema, joka osoitettiin todeksi. Suurimmassa osassa lauseistaan Fermat oli kirjoittanut marginaaliin viitteitä oman todistuksensa kulkuun. Näiden viitteiden avulla myöhempi todistaminen helpottui huomattavasti. Fermat'n suuren lauseen kohdalla oli aloitettava alusta.

Fermat'n suurta lausetta oli yritetty todistaa moneen kertaan aikaisemminkin. Useaan kertaan tunnetutkin matemaatikot ovat väittäneet pystyvänsä sen todistamaan, mutta aina todistuksessa on ollut virhe. Vain muutama vuosi ennen lauseen lopullista todistusta väitti japanilainen matemaatikko Yoichi Miyaoka todistaneensa lauseen, mutta todistuksessa löytyi lopulta virhe. Sen sijaan oltiin pystytty todistamaan osia Fermat'n suuresta lauseesta. Esimerkiksi Euler oli todistanut Fermat'n suuren lauseen kun potenssi n on 3 tai 4.

Myöhemmin Fermat'n suuren lauseen ratkaisemisesta luvattiin palkkio, jota useat matemaatikot ja sitäkin useammat maallikot tavoittelivat. Ajatus siitä, että Fermat oli itse väittänyt 1600-luvun osaamisellaan pystyvänsä lauseen todistamaan, antoi myös maallikolle rohkaisun. Tuon ajan matemaattisen tiedon omaksuminen ei ole mahdoton tehtävä. Hiljalleen Fermat'n suuren lauseen kohdalla nousi myös ajatus, että se olisi Kurt Gödelin määrittelemä todistettavaksi mahdoton lause. Paradoksaalista kyllä, jos lause olisi osoittautunut mahdottomaksi todistaa, se olisi samalla osoitettu oikeaksi. Koska jos ei lauseen totuusarvoon voida ottaa kantaa, ei ole olemassa lukuja, jolla lause ei olisi pitänyt paikkaansa, joten lause olisi väistämättä tosi.

[muokkaa] Todistus

Englantilainen Andrew Wiles todisti lopullisesti Fermat'n suuren lauseen todeksi vuonna 1995 työskenneltyään todistuksen parissa seitsemän vuotta. Fermat itse väitti keksineensä "ihmeellisen todistuksen" lauseelle, mutta todennäköisesti hänen todistuksensa oli virheellinen. Wiles käytti todistuksessaan modernia matematiikkaa -erityisesti algebrallisessa geometriassa esiintyviä moduulimuotoja ja elliptisiä käyriä- mikä oli 1600-luvun matemaatikkojen tavoittamattomissa.

Wilesin todistus teoreemalle perustui monilta osin muiden matemaatikkojen pohjustukseen. Todistuksen kulku on pääpiirteissään seuraava: Taniyaman-Shimuran otaksuma väittää, että kaikille elliptisille käyrille on olemassa vastaava modulaarinen muoto. Gerhard Frey todisti, että Fermat'n suuren lauseen totuusarvo oli kytköksissä Taniyaman-Shimuran otaksuman todenpitävyyteen. Hän todisti, että jos Fermat'n suuri lause on virheellinen, eli on olemassa luonnolliset luvut a,b,c ja alkuluku p > 2 siten, että

ap + bp = cp,

niin elliptinen yhtälö (jossa on käytetty ratkaisun arvoja a,b,c)

y2 = x(xap)(x + bp),

ei toteuta Taniyaman-Shimuran otaksumaa. Tämä otaksuma tarjosi syvällisen yhteyden elliptisten käyrien ja mudulaaristen muotojen välille.

Eli jos Fermat'n suuri lause olisi ollut virheellinen, olisi myös olemassa elliptinen käyrä, joka kumoaisi todeksi oletetun Taniyaman-Shimuran otaksuman. Wiles todisti Taniyaman-Shimuran otaksuman puolivakaille elliptisille käyrille — Freyn Fermat'n suuresta lauseesta muodostama lauseke oli tällainen — ja samalla todisti Fermat'n suuren lauseen. Loppuvaiheessa myös Nick Katz ja Richard Taylor auttoivat Wilesiä viimeistelemään todistuksen.

Tähän todistukseen käytettiin monia vasta 1900-luvulla kehitettyjä matematiikan menetelmiä. Ratkaisematta on todistus Fermat'n tapaan 1600-luvun menetelmin.

Todistuksen tarina on lähes yhtä salaperäinen kuin itse lause. Wiles työskenteli seitsemän vuotta yksinomaan itse vihjaamatta edistyksestään kenellekään. Vasta loppuvaiheessa Katz Princetonin yliopistosta auttoi Wilesiä. Kun hän julkisti todistuksensa pitämällä kolme luentoa Cambridgen yliopistossa 21. - 23. kesäkuuta 1993, hän hämmästytti yleisöä lukuisilla uusilla ideoilla ja konstruktioillaan. Luennon jälkeen matemaatikot tutkivat todistusta tarkemmin ja löysivätkin päättelyssä olevan aukon. Wiles ja Taylor miettivät noin vuoden yrittäessään korjata todistusta. Syyskuussa 1994 he saivat lopulta paikattua aukon käyttämällä hyväkseen niin sanottua Iwasawan teoriaa.

[muokkaa] Kirjallisuutta

[muokkaa] Katso myös