Homologia

Wikipedia

Matematiikassa homologia on tapa rakentaa Abelin ryhmiä tai moduleja, jotka luonnehtivat homomorfisin kuvauksin kyketyn modulijonon tiettyjä ominaisuuksia. Ko. jono muodostetaan tavallisesti siten että se kuvaa jotain matemaattista objektia, jolloin homologia kertoo jotain kiintoisaa tästä objektista.


Homologia alkoi topologisten avaruuksien luokittelusta ja kehittyi yleiseksi algebralliseksi teoriaksi, jota käytetään algebrallisessa geometriassa, ryhmäteoriassa, topologiassa jne. Topologisessa yhteydessä käytettyjä homologiateorioita yhdistävät Eilenbergin-Steenrodin aksioomat.


Sisällysluettelo

[muokkaa] Yleinen rakennelma

Olkoon X avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi A, joka sisältää jotain tietoa X:stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja

\ldots A_{n+1}\to A_n\ldots A_2 \to A_1 \to A_0,

missä d_n:A_n\to A_{n-1} ja d_{n}\circ d_{n+1}=0, niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuravalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että Im(d_{n+1})\subset Ker(d_n), ja voidaan rakentaa tekijäryhmä Ker(dn) / Im(dn + 1), jonka sanotaan olevan n. homologiaryhmä X:stä.

[muokkaa] Singulaarinen homologia

Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi n-simpleksi Σn on joukko vektoreita n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa

\Sigma_n=\{(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n:\sum_{i}\lambda_i\leq1, \lambda_i\geq 0\},

ja n-simpleksi σ topologisessa avaruudessa X on jatkuva kuvaus Σn:stä X:ään:

\sigma:\Sigma_n\to X.

σ:n reuna dσ on määritelty formaaliksi summaksi σ rajoitettu Σn:n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos X on viiva [0,1], niin silloin \Sigma_1\subset X ja dΣ1 = (1) − (0). Olkoon Λ rengas. Tällöin voidaan konstruoida Λ-moduli, jonka virittäjät ovat kaikki n-simpleksejä X:ssä Cn. Nyt meillä on Λ-moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.

Kuvausta Im(dn + 1) sanotaan n-reunoiksi Bn ja kuvausta Ker(dn) sanotaan n-sykleiksi Zn. X:n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten Z * / B * (eli Hn = Zn / Bn jokaiselle n:lle).

[muokkaa] Eksakteja jonoja

Eksakti jono on moduleista muodostunut jono

\ldots (\alpha:)A\to (\beta:)B\to C\ldots,

missä Im(α) = Ker(β). Seuraavat jonot ovat tärkeitä:

0\to A\to 0,

eli A = 0;

0\to A\to B\to 0,

eli A ja B ovat isomorfisia.

Jos A * , B * , ja C * ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt eksakti jono

0\to A_*\to B_*\to C_*\to 0

eli

0\to A_n\to B_n\to C_n \to 0

jokaiselle n:lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono

\ldots H_{n+1}(C)\to H_n(A)\to H_n(B)\to H_n(C)\to H_{n-1}(A)\ldots.

Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.

[muokkaa] Kategorinen näkökulma

Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin modulien kategoriaan. Näin katsottuna H * on kovariantti funktori. Siis jos X ja Y ovat samassa kategoriassa \mathcal{A}, ja f:X\to Y on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa H * (f) vie H * (X):n H * (Y):iin. Usein H * (f) kirjoitetaan f * .

Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin modulien kategoriaan. Jos \sum_{i=1}^n a_n\sigma_i on ketju jossain topologisessa avaruudessa X, ja f:X\to Y on jatkuva kuvaus, niin summa \sum_{i=1}^n a_n f \circ \sigma_i on ketju Y:ssä. Näin f:stä tule homomorfismi f_*:H_*(X)\to H_*(Y).

Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori H * on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin modulille on siis duaalimoduli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa. Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle modulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".

[muokkaa] Aiheesta muualla