Produto escalar

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En matemática, na álxebra linear, o produto escalar é unha función binaria definida entre dous vectores que fornece un número real como resultado.

O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores fornece, por outro lado, un novo vector.


[editar] Definición

Produto escalar de dous vectores
Agrandado
Produto escalar de dous vectores

Dados dous vectores \vec{A} e \vec{B}. o produto escalar pode ser calculado como:

\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B|\ cos \theta

Onde θ é o ángulo formado polos vectores, e |A| e |B| as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto |A| \ cos \theta representa a lonxitude do vector \vec{A} na dirección do vector \vec{B} . Se \vec{A} fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza \vec{A} se estaría a aplicar na dirección de \vec{B}.

Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A formula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.

Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como:

\vec{A} = ( A_x, A_y, A_z )
\vec{B} = ( B_x, B_y, B_z )

O produto escalar pode escribirse como:

\vec{A} \cdot \vec{B}= A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z

Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. No entanto a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes:


|A| = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}} = \sqrt{A_x^2 + A_y^2+ A_z^2}

A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da lonxitude dun vector como a raíz cuadrada do seu produto escalar, mais non fornece medios de calculalo:

\vec{A} \cdot \vec{A} = |A||A|\ cos 0^{o} = |A|^2


[editar] Exemplo

Un produto escalar é unha operación alxebrica que obedece á seguinte regra:

Sexan os vectores u e mais v,de tres dimensións,con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:

uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.