연속 함수

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연속 함수는 어떤 임의의 작은 입력값의 변화에 따른 결과값의 변화도 작은 함수를 말한다.

[편집] 정의

[편집] 하이네의 정의

다음은 에두아르트 하이네의 정의이다.

실수 집합에서 정의되는 함수 f(x)가 \lim_{n \to \infty} x_n = a를 만족하는 임의의 수열 xn에 대해서 \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)를 만족할 때, f(x)는 연속이다. (단, a와 xn은 실수.)

[편집] 엡실론-델타

극한을 쓰지 않고 함수의 연속성을 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수 집합에서 정의되는 함수 f와 정의역에 속하는 임의의 원소 c가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 f는 c에서 연속이다.

임의의 작은 수 ε>0에 대해, 모든 c−δ<x<c+δ에 속하는 x에 대해 f(c)−ε<f(x)<f(c)+ε을 만족하는 양수 δ가 존재한다.

다시 말해, 실수 집합의 부분집합 A와 B에 대해, f: A→B가 c∈A에서 연속이라는 것은 곧 모든 수 ε>0에 대해 x∈B이고 |x-c|<δ이면 항상 |f(x)-f(c)|<δ를 만족하는 δ>0가 존재한다는 것이다.

엡실론-델타 정의는 오귀스탱 루이 코시가 처음으로 생각해 냈다.

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