바닥 함수
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수학에서 실수 x의 바닥 함수(floor function)는 x보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수로 정의되며, 또는 floor(x)라고 쓴다. 버림 함수, 가우스 함수라고도 한다. 예를 들어서 floor(2.9) = 2, floor(-2.3) = -3이며, 음수가 아닌 x에 대해서 버림과 바닥 함수는 같은 역할을 한다.
수학적으로 표기하면 바닥 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.
[편집] 성질
- 임의의 실수 x에 대해
이 성립한다. 특히 x가 정수일 때 등호가 성립하며, 그 역도 참이다.
- 바닥 함수는 멱등 함수이다. 즉
이다.
- 임의의 정수 k와 실수 x에 대해
이다.
- x를 반올림한 값은
로 나타낼 수 있다.
- 정수가 아닌 임의의 실수 x에 대해 바닥 함수의 푸리에 전개가 다음과 같이 존재한다.
- m과 n이 서로소인 양수이면,
가 성립한다.
[편집] 천장 함수
바닥 함수와 연관된 다른 함수로 천장 함수(ceiling function)가 있다. 실수 x에 대해, 천장 함수 또는 ceiling(x)는 x보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수이다. 예를 들어 ceiling(2.3) = 3, ceiling(-2.3) = -2이다.
수학적으로 천장 함수는 다음과 같이 정의된다.
임의의 실수 x에 대해 다음이 성립한다.
- 천장 함수와 바닥 함수는 서로 바꿔 쓸 수 있다. 즉
이다.
- 바닥 함수와 비슷하게,
이 성립한다.
- 임의의 정수 k에 대해
이다.