부분 적분
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.
미적분학 |
---|
기본 정리 | 함수 | 함수의 극한 | 연속 | 다항식의 미적분 | 중간값 정리 | 벡터 미적분학 | 텐서 미적분학 |
미분법 |
미분표 | 곱셈 법칙 | 몫의 규칙 | 연쇄법칙 | 음함수 미분법 | 테일러 정리 | Related rates |
적분법 |
리만 합 | 적분표 | 치환 적분법 | 부분 적분법 | 삼각 치환 적분법 | 회전체 | Integration by disks | Integration by cylindrical shells | 이상적분 | 적분의 종류 |
미적분학에서 부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 이 방법은 미분의 곱셈 법칙에서 유도할 수 있다.
[편집] 법칙
두 미분가능한 연속 함수 f(x)와 g(x)에 대해서, 적분 구간이 a에서 b까지 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.
이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.
이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본 공리로 증명할 수 있다.
무한적분의 경우에는 다음과 같다.
또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.
여기서, u = f(x), v = g(x)이고, du = f′(x) dx, dv = g′(x) dx이다.
[편집] 예제
다음 식을 적분한다.
이 때, u = x, du = dx, dv = cos(x) dx, v = sin(x)와 같이 가정하면
가 되어,
와 같이 적분을 풀 수 있다.
이 때, C는 적분 상수이다.
다음은 특이한 경우이다.
이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.
- u = cos(x), du = -sin(x)dx
- dv = exdx, v = ex
이 때,
이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.
- u = sin(x); du = cos(x)dx
- v = ex; dv = exdx
그러면,
이므로, 함께 적으면,
임을 알 수 있다.
자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,
이고, 2로 나눠
와 같은 결과를 얻을 수 있다.
또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 x를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.
첫 번째 예는, ∫ ln(x) dx 이다.
위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
다음과 같이 가정하면,
- u = ln(x); du = 1/x dx
- v = x; dv = 1·dx
이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.
두 번째 예는 ∫ arctan(x) dx이다. 여기서 arctan 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.
다음과 같이 가정하면,
- u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
- v = x; dv = 1·dx
임을 확인 할 수 있다.
[편집] ILATE 법칙
부분적분을 할 때는 적분을 하려는 두 함수 중 어떤 것을 u와 dv에 각각 대입할 지를 선택하는 것이 중요하다. 이를 선택할 때 유용한 방법이 ILATE 법칙이다. 아래의 순서에서 먼저 일치하는 함수를 u에 대입한다.
I : 역 삼각함수 (Inverse trigonometric) L : 로그 함수 (Logarithmic) A : 수치 함수 (Algebraic) T : 삼각 함수 (Trigonometric) E : 지수 함수 (Exponential)
u를 대입한 후 남은 함수는 dv에 대입한다. 이 우선순위를 쉽게 외우기 위해 ILATE라는 머릿글자를 이용하는 것이 편리하다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일 수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.