파동 방정식

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파동 방정식(波動方程式)은 음파, 전자기파, 수면파등의 파동을 기술하는 중요한 편미분 방정식이다. 이 방정식은 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 또한 양자역학일반 상대성 이론에는 이 방정식에서 발전한 방정식이 중요한 역할을 한다.

역사적으로 보면, 현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 달랑베르, 오일러, 베르누이, 라그랑주 등이 연구했다.

파동방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u

여기서 c는 고정된 상수이며, 파동의 진행속도가 된다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 음속(音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 이 값은 넓은 범위에서 변할 수 있다.

u = u(x,t), 는 진폭, 즉 시각 t, 위치 x 에서의 파의 세기를 나타낸다. 음파의 경우 u는 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서 부터의 변위를 나타낸다. \nabla^2는 위치에 대한 변수 x 에 대한 라플라스 연산자이다. u스칼라일 수도, 벡터일 수도 있다는 것에 주의하라.

기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.

x축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다.

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 }

2차원에선 다음과 같다.

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right )

식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.