힐베르트의 문제들

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힐베르트의 문제(Hilbert's problems)는 23개의 수학 문제들로, 독일수학자다비드 힐베르트1900년 프랑스 파리에서 열렸던 국제 수학자 회의에서 20세기에 풀려야 할 가장 중요한 문제들로 제안한 것이다. 국제 수학자 회의에서 힐베르트는 10개의 문제 (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22)를 공개했고, 차후 모든 문제들이 출판되었었다.

사실, 처음에 힐베르트는 24개의 문제들을 생각했었으나, 맨 마지막 문제를 공개하지 않기로 결정했었다. 이 24번째 문제는 나중에 독일 역사학자인 뤼드게르 틸레(Rüdiger Thiele)에 의해, 힐베르트가 문제들을 공개한지 100주년인 2000년에 재발견되었다.


목차

[편집] 문제 목록

힐베르트의 23개의 문제들은 다음과 같다.

번호 상태 설명
1 증명 불가 연속체 가설 (정수의 집합과 실수의 집합 사이에는 그 중간 크기를 가지는 집합이 없다는 것.)
2 해결 Prove that the axioms of arithmetic are consistent (that is, is arithmetic a formal system that does not contain a contradiction?. Gentzen's proved in 1938 that consistency of arithmetic followed from the well-foundedness of the ordinal epsilon0, a fact amenable to combinatorial intuition.
3 해결 두 개의 부피가 같은 다면체는 잘라서 하나를 재조합하면 다른 것을 재구성할수 있는가? (답: 아니오. 덴 불변량을 사용. )
4 너무 애매함 모든 곡선이 측지선이 되는 메트릭들을 모두 만들어 보아라.
5 해결 연속 군들은 항상 리 군인가?
6 수학적문제 아님 물리학의 법칙들을 공리화 하라.
7 해결 Is a b transcendental, for algebraic a ≠ 0,1 and irrational algebraic b ? (Answer: yes: Gelfond's theorem or the Gelfond–Schneider theorem).
8 미해결 The 리만 가설 (the real part of any non-trivial zero of the Riemann zeta function is ½) and 골드바흐의 추측 (every even number greater than 2 can be written as the sum of two prime numbers).
9 부분적으로 해결 대수적 수체에 대해서 가장 일반적인 reciprocity theorem을 찾아라.
10 해결 주어진 디오판토스 방정식이 풀수 있는지 없는지를 항상 결정할수 있는가? 마티야세비치의 정리에 의해 불가능.
11 해결 Solving quadratic forms with algebraic numerical coefficients.
12 해결 Extend Kronecker's theorem on abelian extensions of the rational numbers to any base number field.
13 해결 Solve all 7-th degree equations using functions of two arguments.
14 해결 Proof of the finiteness of certain complete systems of functions.
15 해결 Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus.
16 미해결 대수 곡선과 대수 곡면의 위상.
17 해결 Expression of definite rational function as quotient of sums of squares
18 해결 Is there a non-regular, space-filling polyhedron? What is the densest sphere packing?
19 해결 라그랑지안의 해들은 항상 해석적인가?
20 해결 모든 경계 조건이 주어진 변분 방정식은 해결 가능한가?
21 해결 Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group
22 해결 Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions
23 해결 Further development of the calculus of variations

[편집] 참고

  1. 1번 문제: 폴 코헨의 결과, 즉, 연속체 가설이 ZFC-공리체계 (체르멜로-프랑켈의 공리체계에 선택 공리를 가정하는 체계)와 독립적이라는 것이 증명되었다는 이유로, 혹자들은 1번 문제가 이미 해결되었다고 주장하기도 하지만, 여전히, 그러면 어떠한 공리를 추가하여야 1번 문제를 해결할수 있는가 하는 문제는 답을 얻지 못하였다.
  2. 4번 문제: According to Rowe & Gray (see reference below), most of the problems have been solved. Some were not completely defined, but enough progress has been made to consider them "solved"; Rowe & Gray lists the fourth problem as too vague to say whether it has been solved.
  3. 8번 문제: Problem 8 contains two famous problems, both of which remain unsolved. The first of them, the Riemann hypothesis, is one of the seven Millennium Prize Problems, which were intended to be the "Hilbert Problems" of the 21st century.
  4. 9번 문제: Problem 9 has been solved in the Abelian case; the non-Abelian case remains unsolved.
  5. 18번 문제: Rowe & Gray also list the 18th problem as "open" in their 2000 book, because the sphere-packing problem (also known as the Kepler conjecture) was unsolved, but a solution to it has now been claimed (see reference below). Advances were made on problem 16 as recently as the 1990s.

[편집] 바깥 고리

[편집] 참고문헌

  • Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 0198506511
  • Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1568811411
  • On Hilbert and his 24 Problems. In: Proceedings of the Joint Meeting of the CSHPM 13(2002)1-22 (26rd Meeting; ed. M. Kinyon)