편미분

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편미분이란 두 개 이상의 변수가 있는 식에서, 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 이러한 개념은 벡터 미적분학에서 중요하게 쓰인다.

함수 f를 x로 편미분하는 것을 기호로는 \frac{ \partial f }{ \partial x }, 또는 \partial_xf, fx와 같이 나타낸다. 여기에서 \partial키릴 문자 Д의 필기체로, 아드리앵마리 르장드르가 처음 제안했다.

[편집]

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원기둥의 부피 V는 다음과 같다.

V = \frac{ r^2 h \pi }{3}

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3};

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}

[편집] 정의

편미분에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다.

집합 U열린 집합이고 Rn부분집합이고, 함수 ff : UR라고 하자. a = (a1, ..., an) ∈ U인 원소 a에 대해, i번째 변수 xi의 편미분은 다음과 같이 정의된다.

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{  f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) -  f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

[편집] 표기법

만약 f가 독립적인 변수 x,y,z에 대한 함수라고 하면, fx로 편미분한 식은 다음과 같다.

\frac{\partial f}{\partial x} = f_x

이 식을 x로 한번 더 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} = \frac{\partial^2 f}{{\partial x}^2} = f_{xx}

이때 fx를 y로 편미분한다면, 즉 함수 f를 x로 편미분한 후 y로 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

(\frac{\partial}{\partial y})\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}

역시 마찬가지로, f를 x로 편미분한 후 y, z로도 한번씩 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y \partial x} = f_{xyz}