내부, 외부, 경계
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위상수학에서, 위상공간 X에 속한 집합 A에 대하여 A의 내부, 외부, 경계가 정의된다.
- 집합 A의 내부는 그 안에 포함된 모든 열린 집합의 합집합이다. 한 집합의 내부는 그 집합에 포함된 가장 큰 열린 집합이다. 집합 A의 내부는 Ai 또는 Ao 또는 intA로 나타낸다.
- 집합 A의 외부는 A와 만나지 않는 모든 열린 집합의 합집합이다. 한 집합의 외부는 그 집합과 만나지 않는 가장 큰 열린 집합이다. 두 집합이 만나지 않는다는 것은 두 집합이 겹치는 부분이 없다는 뜻이다. 즉 두 집합의 교집합이 공집합이라는 뜻이다. 집합 A의 외부는 Ae 또는 extA로 나타낸다.
- 집합 A의 경계는 A의 원소들 중에서, 그 원소를 포함하는 열린 집합은 반드시 A에 속하지 않는 다른 원소를 포함하도록 하는, 그러한 원소들로 이루어진 집합이다. 집합 A의 경계는 Ab 또는 bdyA로 나타낸다.
[편집] 형식적 정의
X가 위상공간이고 일 때,
- A의 내부 Ai는 다음과 같이 정의된다.
-
인 모든 열린 집합 Oβ에 대해서
- A의 외부 Ae는 다음과 같이 정의된다.
-
인 모든 열린 집합 Oγ에 대해서
- A의 경계 Ab는 다음과 같이 정의된다.
-
모든 열린 집합
에 대해서
이고