등차수열

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등차수열(等差數列)은 연속하는 두 수의 차이가 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 수의 차이를 공차라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.

수열의 초항을 a1, 공차를 d라고 하면 등차수열의 n번째 항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

an = a1 + (n − 1)d

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초항부터 n번째 항까지의 합 Sn는 다음과 같은 공식으로 나타난다.

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n
S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1
2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)
2S_n = [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d] + \dots + [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d]
2Sn = n[2a1 + (n − 1)d]
S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

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