피타고라스 수
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피타고라스 수(Pythagoras 數, pythagorean triple)는 피타고라스의 정리 a2 + b2 = c2 를 만족하는 세 자연수 쌍 (a, b, c) 를 말한다. (3, 4, 5)는 가장 잘 알려진 피타고라스 수이다. (a, b, c)가 피타고라스 수라면 임의의 자연수 k에 대해 (ka, kb, kc) 역시 피타고라수 수가 된다. a, b, c 세 수가 서로소인 피타고라스 수를 원시 피타고라스 수라고 한다. c가 100보다 작은 원시 피타고라스 수는 모두 16 쌍이 있다.
(3, 4, 5) | (20, 21, 29) | (11, 60, 61) | (13, 84, 85) |
(5, 12, 13) | (12, 35, 37) | (16, 63, 65) | (36, 77, 85) |
(8, 15, 17) | (9, 40, 41) | (33, 56, 65) | (39, 80, 89) |
(7, 24, 25) | (28, 45, 53) | (48, 55, 73) | (65, 72, 97) |
임의의 홀수와 그 수를 제곱한 수를 차이가 1 이 되도록 둘로 나눈 두 수, 이렇게 세 개의 수는 피타고라스 수가 된다. 예를 들어,
- 3의 제곱인 9를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 4 로 5,
- 5의 제곱 25를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 12 로 13,
- 7의 제곱 49를 차이가 1 이 되게 둘로 나눈 24 로 25
는 각각 피타고라스 수가 된다.
[편집] 일반해
(a, b, c)가 피타고라스 수이고, 셋의 최대공약수가 d 인 경우에
로 쓸 수 있고, 조건으로부터
- d2(a')2 + d2(b')2 = d2(c')2
를 만족하며, 양변을 d2 으로 나누면, (a', b', c')는 원시 피타고라스 수가 되는 것을 알 수 있다.따라서, 모든 피타고라스 수는 원시 피타고라스 수의 배수로부터 얻을 수 있으므로, 피타고라스 수의 일반해는 모든 원시 피타고라스 수를 구하는 것이 된다. 원시 피타고라스 수를 구하는 공식은 잘 알려져 있어서, 자연수 m, n (m > n)에 대해서
가 원시 피타고라스 수의 일반해가 된다.