라플라스 방정식

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라플라스 방정식(Laplace's equation)은 특히 전자기학천문학등 여러 과학분야에서 중요한 편미분 방정식으로, 최초로 발견한 프랑스의 수학자 라플라스의 이름을 따 명명되었다. 전기장과 중력 포텐셜을 기술하는 데 중요하다.

다음 조건을 만족하는 삼차원 공간의 2번 미분가능한 실함수 φ(x,y,z)를 찾는다.

{\partial^2 \over \partial x^2 }\phi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial y^2 }\phi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial z^2 }\phi(x,y,z) = 0

이를 또한

\nabla^2 \phi = 0

혹은

Δφ = 0.

와 같이 표기하기도 한다.

위 식의 우변이 어떤 함수 f(x,y,z)로 주어질 때, 즉,

Δφ = f

일 때는, 방정식은 푸아송 방정식이라고 한다. 편미분 연산자 \nabla^2 혹은 Δ(이 연산자는 또한 3차원 뿐 아닌 임의의 차원에서 정의된다.)은 라플라스 연산자혹은 라플라시안(Laplacian)이라고도 불린다.

라플라스 방정식의 디리클레 문제(Dirichlet problem)란 어떤 영역 D의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 D위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

노이만 경계 조건

... 해의 성질

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