푸앵카레 대칭성

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[편집] 포앙카레 대칭성

시공간의 좌표가 xμ = (ct,x,y,z)라 할 때 다음과 같은 대칭성이 있으면 포앙카레(Poincare) 대칭성이 있다고 한다.

x^\mu \to x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu

여기에서 {\Lambda^\mu}_\nu 시공간의 내적

xμxμ = xμxνημν = (ct)2x2y2z2

을 바꾸지 않는 회전의 일종의 확장이며 따라서

\eta_{\alpha \beta} ={\Lambda^\mu}_\alpha {\Lambda^\nu}_\beta \eta_{\mu \nu}

를 만족한다.

[편집] 로렌츠 대칭성

시공간의 평행이동에 대한 대칭을 생각하지 않는 다음과 같은 대칭성을 로렌츠(Lorentz) 대칭성이라고 하며

x^\mu \to x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu

를 만족한다. 여기에서의 {\Lambda^\mu}_\nu는 앞의 것과 같다.

[편집] 성질

포앙카레 변환은 을 이룬다. 앞의 변환 x^\mu \to x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu의 연산자를 (Λ,a)라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.

  • (Λ,a)(M,b) = (ΛMb + a)
  • (Λ,a) − 1 = (Λ − 1, − Λ − 1a)
  • [(Λ,a)(M,b)](N,c) = (Λ,a)[(M,b)(N,c)]
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