오일러의 공식

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z = cos x + i sin x는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.
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z = cos x + i sin x는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.

수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 오일러 공식은 복소해석학에 등장하는 공식으로, 삼각함수지수함수의 밀접한 관계를 드러낸다. (오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.)

오일러 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해,

e^{ix} = \cos x + i\;\sin x

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, i는 제곱하여 -1이 되는 허수단위, sin, cos은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

[편집] 역사

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 처음 증명하였고, 1748년 오일러에 의해 재발견되고 대중적으로 알려졌다.

[편집] 증명

다음과 같은 복소수 z를 생각하자:

z=\cos x + i\sin x \,

양변을 x에 대해 미분하면:

\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x \,

이 식에 i2 = -1를 사용하면:

\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz \,

양변을 적분하면:

\int\frac{1}{z}\,dz=\int i\,dx \,
\ln z=ix + C \,

이고, 여기에서 C는 적분 상수이다.

이제 C가 0이라는 것을 증명한다. x = 0일 경우를 계산해보면

\ln z = C\,
z = \cos x + i\sin x = \cos 0 + i \sin 0 = 1\,

따라서

\ln 1 = C \,
C = 0 \,

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

\ln z = ix \,
e^{\ln z} = e^{ix} \,
z = e^{ix} \,
e^{ix} = \cos x + i\sin x \,

Q.E.D.