Numerus irrationalis

E Vicipaedia

Sistemata Numerica Mathematicae.
Numeri Elementarii

Naturales \mathbb{N} {0,1,2,3...}

  • Primi \mathbb{P} {2,3,5,7,11...}
  • Abundantes
  • Amicabiles
  • Composti
  • Defectivi
  • Perfecti
  • Sociabiles

Integri \mathbb{Z} {...-2,-1,0,+1,+2,...}

  • Pares {...-2,0,+2,..}
  • Impares {...-3,-1,+1,+3...}

Rationales \mathbb{Q}{...-1/2..0..1/2..1...}
Reales \mathbb{R} {Q U I U Tr}

Complexi \mathbb{C}

  • Numerus imaginarius i = \sqrt{-1}

Infinitas \infty

Aliae bases

Numerus irrationalis per definitionem est numerus qui scribi ut fractio numerorum duorum integrum non potest, i.e., numerus N est irrationalis si numeri duos alii a numero zero dissimiles a et b tales ut

N=\frac{a}{b}

non sunt.

Notum autem est omnem irrationalem numerum infinitas figuras decimales necessarie habere, sed mathematicus nullus numerum irrationalem sic definit.

[recensere] Nonnulli irrationales numeri

Sine ulla dubitatione numerorum irrationalium praeclarissimus est numerus pi, cuius irrationalitas ab Iohanes Henricus Lambert anno 1761 demonstrata est. Etiam constat numerum Euleri, \sqrt{2},\log_32,\sqrt[3]{5},e^{\pi} esse irrationales.

[recensere] Praeclara demonstratio

Numerum \sqrt{2} esse irrationalem facile demonstratur, quemadmodum infra aspicitur. Hoc est demonstrationis exemplum secundum praeceptum reductionis ad absurdum.

Pro certo ponamus

\sqrt{2}=\frac{a}{b},

unde a,b factores primi aequales non habent. In sequentis disquisitionibus demonstrabitur hanc coniecturam esse absurdam.

Si hoc est verum tunc a2 = 2b2, ergo a2 est numerus par ideoque a quoque est numerus par (si a numerus impar esset tunc quoque a2 numerus impar esset). Ut numerus a est par notum est numerum k esse talis ut a = 2k, unde a prima aequatione sequitur 2b2 = (2k)2 = 4k2, ergo b2 = 2k2. Simili modo comprobatur numerum b esse parem propterea etiam factorem 2 habet, quod absurdum est quia in principio selegimus numeros a,b qui factores aequales non habebant. Ergo coniectura \sqrt{2}=\frac{a}{b} erat falsa ideoque \sqrt{2} est numerus irrationalis QED.

[recensere] An numeri isti irrationales sint?

Mathematici nondum sciunt si π + e, π − e, et generaliter si mπ + ne, m et n numeris integris a zero dissimilibus, irrationales sint; neque autem si 2e, πe, \pi^\sqrt{2} et constans Euleri-Mascheroni γ etiam irrationales sint.