Perfectio quadri

E Vicipaedia

Perfectio quadri ars est algebrae elementariae in qua possimus reponere hanc expressionem

x2 + bx

cum

(x + c)2 + d

Presse habemus:

\begin{matrix}ax^2 + bx + c &=& a\left(x^2 + \frac{bx}{a}\right) +c \\ &=& a\left(x^2 + \frac{bx}{a} + \left(\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right) + c \\ &=& a\left(x^2+2\frac{bx}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)-\frac{b^2}{4a} +c \\ &=& a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a} + c  \end{matrix}

Quadro perfacto, ulla formula cum quadratico polynomiale reducier ad unam cum quadratico polynomiale quadrato et constante potest.

[recensere] Exemplum

  • Exemplum facile est:
x2 + 4x = x2 + 4x + 4 − 4 = (x + 2)2 − 4
  • Nunc, dificilior exemplum adest in hoc antiderivativum inveniendo:
\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}.

Denominator est

9x2 − 90x + 241 = 9(x2 − 10x) + 241.

Addendo (10/2)2 = 25 to x2 - 10x dat quadrum perfectum x2 - 10x + 25 = (x - 5)2. Ita invenimus

9(x2 − 10x) + 241 = 9(x2 − 10x + 25) + 241 − 9(25) = 9(x − 5)2 + 16.

Lice integrale nostrum esse:

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2+(4/3)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C.

[recensere] Vide etiam

  • Aequatio quadratica

[recensere] Nexus externus

Perfectio quadri apud PlanetamMathematicam