Интегрално сметање

Од Википедија, слободна енциклопедија

Интегралното сметање, заедно со диференцијалното сметање, е еден од основните и најважни дисциплини на математичката анализа. Значењето на интегралното сметање е од огромна важност, не само за математиката, туку и општо за останатите природни науки.

Интегралното сметање може да се разгледува од различни аспекти. На пример, од една страна, интегрирањето е инверзна операција на диференцирањето; од друга страна пак, интегралот на дадена функција бројно ја/го определува определува плоштината/волуменот на фигура/тело во рамнината/просторот.

Основен поим во теоријата на интегралното сметање е поимот интеграл, а основна задача е решавањето на интегралите и изнаоѓањето на начини за нивното решавање.

Условно, интегралите можат да се поделат на неопределени и определени. Што е разликата помеѓу нив, ќе видиме подолу.


Содржина

[уреди] Неопределен интеграл

Вообичаено со разгледувањето на интегралите е да се почне со неопределените интеграли. Пред да го дефинираме неопределениот интеграл, ќе го воведеме поимот примитивна функција. Имено, нека \ f(x) е произволна функција; за функцијата \ F(x) ќе речеме дека е примитивна за \ f(x) на интервалот \ [a,b] ако за секоја точка \ x \in [a,b] важи \ F'(x) = f(x), каде со \ F'(x) е означен првиот извод на функцијата \ F(x).

Ако \ F_1(x) и \ F_2(x) се примитивни за \ f(x) на даден интервал, тогаш тие се разликуваат за константа \ C, т.е.:

\ F_2(x) = F_1(x) + C, или
\ F_2(x) - F_1(x) = C, \ C \in \Bbb{R}

Дефинираме неопределен интеграл на дадена функција \ f(x): под неопределен интеграл на функција се подразбира множеството од сите примитивни функции на таа функција, т.е.:

\ \int f(x)\ = {F(x) + C}

каде \ F(x) е примитивна функција на \ f(x), а \ C \in \Bbb{R} е произволен. Функцијата \ f(x) се нарекува подинтегрална функција или интегранд, а постапката на одредување на неопределениот интеграл, интегрирање.

Повообичаена ознака за интегралите (и неопределени и определени) е онаа која содржи „показател“ по која променлива е диференцирана подинтегралната функција:

\ \int f(x)\, dx наместо \ \int f(x)

Овие „додавки“ (во случајов \ dx) се нарекуваат диференцијали и може да се рече дека потекнуваат од старата ознака за изводот на функцијата. Имено, имајќи в предвид дека:

\frac{df(x)}{dx} = f'(x),

се добива дека

\ df(x) = f'(x)dx

Изразот на десната страна кажува дека изводот на функцијата \ f(x) е пресметан во однос на променливата \ x, а под знакот на интеграл ова означува по која променлива се врши интеграцијата. Оваа „назнака“ е небитна и излишна кај функции од една променлива, но клучна кај функции од повеќе променливи.

[уреди] Својства на неопределениот интеграл

Нека \ f(x), g(x) се функции дефинирани над исто множество. Интегрирањето ги има следниве својства:

1. Секоја функција \ f(x) е примитивна на својот (прв) извод. Навистина, согласно дефиницијата на примитивна функција:

\ [f(x)]' = f'(x)

Според последново равенство може да заклучиме дека одредувањето на неопределен интеграл на дадена функција е обратна постапка (операција) на одредувањето на нејзиниот извод, т.е. точно е:

\int f'(x)\,dx = f(x) + C

каде \ C е произволен реален број и се нарекува интеграциона константа. Ќе го оправдаме нејзиното постоење согласно дефиницијата за примитивна функција: за произволен реален број \ C важи:

\ [f(x) + C]' = f'(x)

Следи \ f(x) + C е примитивна за \ f(x), значи припаѓа во множеството од примитивни функции кое по дефиниција е неопределениот интеграл на функцијата.

2. Хомогеност: ако \ f(x) има примитивна функција, тогаш за реален број \ a \neq 0, и функцијата \ (a\cdot f)(x) = a\cdot f(x) има примитивна функција и при тоа важи:

\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot \int f(x)\,dx

3. Адитивност: ако \ f(x) и \ g(x) имаат примитивни функции, тогаш и функцијата \ (f + g)(x) = f(x) + g(x) исто така има примитивна функција и при тоа важи:

\int (f(x) + g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

Исто така за функцијата \ (f - g)(x) = f(x) - g(x) имаме:

\int (f(x) - g(x))\,dx = \int [f(x) + (-1)g(x)]\,dx =
\int f(x)\,dx + (-1)\cdot \int g(x)\,dx=
\int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx

Согласно својствата 2. и 3., исто како и за диференцирањето, може да заклучиме дека интегрирањето е линеарна операција.

[уреди] Основни правила за интегрирање

Постојат две основни правила за интегрирање: интегрирање по делови (парцијална интеграција) и интегрирање со замена на променливата.

1. Интегрирање по делови (парцијална интеграција): нека \ u(x) и \ v(x) се диференцијабилни функции на даден интервал (или множество). Ако за функцијата \ u'(x)v(x) постои примитивна функција, тогаш таа постои и за \ u(x)v'(x) при што точно е следново равенство:

\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx

или, истото равенство изразено преку диференцијалите:

\int u\,dv = uv - \int v\,du


2. Интегрирање со замена на променливата: нека \ F(z) е примитивна за \ f(z) на некој интервал, а функцијата \ \phi (x) е диференцијабилна и определена така, што постои композицијата (составот, сложената функција):

\ f(\phi (x))

Тогаш точно е равенството:

\int f(\phi(x)) \phi '(x)\,dx = F(\phi(x)) + C

[уреди] Таблица на основни интеграли

  • Степенска функција:
\int x^p\,dx = \frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C, p \neq -1

Специјално, за p = 0:

\int dx\ = x + C

додека за p = − 1:

\int x^{-1}\,dx = \int \frac{dx}{x}\ = ln{|x|} + C


  • Експоненцијална функција:
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{ln{a}} + C

Специјално, за \ a = e:

\int e^x\,dx = e^x + C
  • Тригонометриски и инверзни тригонометриски функции:
\int sin{x}\,dx = - cos{x} + C
\int cos{x}\,dx = sin{x} + C
\int \frac{dx}{cos^2{x}}\ = tg{x} + C
\int \frac{dx}{sin^2{x}}\ = - ctg{x} + C
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}\ = arcsin{x} + C
\int \frac{dx}{1 + x^2}\ = arctg{x} + C

Често пати, како табличен (елементарен, основен) се наведува и интегралот:

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm k^2}}\ = ln{|x + \sqrt{x^2 \pm k^2}|} + C

Од наведеното, се забележува дека елементарните функции како \ tg{x}, ctg{x}, ln{x} немаат едноставни - таблични интеграли, односно не се интегрираат директно, непосредно.

[уреди] Примери

Основната задача при решавањето на интегралите е со помош на разни трасформации на подинтегралните функции и секако со помош на двете основни правила за интегрирање, тие да се сведат до таблични интеграли. Меѓутоа оваа постапка не секогаш е куса, лесна и очигледна.


  • Да се пресмета: I = \int ln{x}\,dx

Според правилото за интгрирање по делово, ставаме:

1. u = ln{x} \Rightarrow du = (ln{x})' = \frac{1}{x}\cdot dx

Напомена: изводот е помножен со \ dx зашто истиот се „бара“ по \ x!

2. dv = dx \Rightarrow v = \int dx\ = x

Така имаме:

\int ln{x}\,dx = x\cdot ln{x} - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx
= x ln{x} - \int dx\ = x ln{x} - x = x (ln{x} - 1) + C

Значи: \int ln{x}\,dx = x (ln{x} - 1) + C


  • Да се пресмета: I = \int tg{x}\,dx

Го разложуваме тангенсот согласно неговата дефиниција, па имаме:

I = \int \frac{sin{x}}{cos{x}}\,dx

Ставаме смена:

\ t=cos{x} \Rightarrow dt = (cos{x})' = -sin{x}dx, односно добиваме:
\ sin{x}dx = -dt

Конечно имаме:

I = \int \frac{sin{x}}{cos{x}}\,dx = \int \frac{-dt}{t}\, = -\int \frac{dt}{t}\, = - ln{|t|} = - ln{|cos{x}|} + C

Значи: \int tg{x}\,dx = - ln{|cos{x}|} + C

[уреди] Определен интеграл