Skup
From Wikipedia
- Za ostala značenja v. Skup (razvrstavanje).
Sadržaj/Садржај |
[edit] Osnovni pojmovi
Pojam skupa se obično ne definiše i nema zvaničnu definiciju, već se uzima kao osnovni pojam, a često se umjesto tog termina koriste razni sinonimi, kao što su, na primjer, mnoštvo, familija, kolekcija isl.
Za označavanje skupova najčešće koristimo velika slova latinice . Ako je neki skup konačan ili prebrojivo beskonačan, pa se njegovi elementi mogu nabrojati, koristimo se zapisom
, odnosno
;
takođe, elemente nekog skupa možemo opisati ako koristimo neko svojstvo P(x) koje oni (i samo oni) zadovoljavaju:
Dakle, skup je određen svojim elementima; pripadnost elementa x skupu A označava se sa , a nepripadnost sa
.
Između skupova se uvode dvije osnovne relacije - jednakost i inkluzija:
Neposredno iz ovih definicija je jasno da je
Posebno izdvajamo prazan skup, koji označavamo sa i možemo definisati, na primjer, pomoću
. Taj skup ima osobinu da je
za bilo koji skup A. Takođe, ako su u okviru neke teorije svi skupovi sa kojima operišemo podskupovi nekog fiksiranog skupa, taj skup nazivamo univerzalnim i često obilježavamo sa U. Takav skup znači ima osobinu da je
za sve skupove A sa kojima operišemo u datom problemu, pri čemu treba naglasiti da nije ispravno koristiti termin "skup svih skupova" - on može dovesti do neželjenih paradoksa.
[edit] Istorija
Savremena teorija skupova nastaje krajem 19. veka kada nemački matematičar Georg Kantor daje opisnu matematičku teoriju koja se još naziva i intuitivna ili naivna teorija skupova.
- Definicija
- Skup je objedinjenje izvesnih elemenata u jednu celinu.
Ovde će biti predstavljen sistem aksioma kakvog ga je postavio Gotlob Frege u knjizi "Osnovni zakoni aritmetike" 1893. godine
- Aksioma o jednakosti dva skupa
- Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.
- Aksioma apstrakcije
- Za unapred zadato svojstvo P(x) postoji skup {x|P(x)} čiji su elementi upravo oni objekti koji imaju to svojstvo.
- Aksioma izbora
- Za svaki neprazan skup S postoji funkcija f čiji su originali neprazni podskupovi tog skupa, a slike su elementi originala, tj.
Poslednja aksioma kaže da svako svojstvo definiše skup. Međutim, već 1902. godine će Bertran Rasel pokazati primer koji vodi kontradikciji. To dobija naziv Raselov paradoks, a teorija skupova se našla pred velikim problemima.
[edit] Operacije sa skupovima
Sa skupovima se mogu izvoditi razne operacije. Dajemo definicije nekoliko osnovnih:
[edit] Osobine skupova
Osnovne osobine skupova su zadate u sljedećoj listi:
(zakoni komutacije)
(zakoni asocijacije)
(zakoni distribucije)