Enotski ulomek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Enôtski ulómek (tudi osnóvni ulómek) oblike:

\frac{n}{d}

je v matematiki ulomek, katerega števec n = 1. Če je njegov celoštevilski imenovalec d > n = 1, potem je ulomek tudi pravi ulomek. Tako obstaja natančno en enotski ulomek, ki ni pravi, namreč 1. Enotski ulomek je tako obratna vrednost naravnega števila (pozitivnega celega števila), 1/n. Primeri so: 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 ipd.

Delna vsota:

{1\over 1} + {1\over 2} + {1\over 3} + \cdots + {1\over n}

da harmonično vrsto, ki se z naraščajočim n približuje vrednosti loge(n)+γ. Vsota vseh enotskih ulomkov je zaradi tega neskončna, čeprav zelo počasi divergira.

Zmnožek dveh enotskih ulomkov je spet enotski ulomek, vsota in razlika je lahko enotski ulomek, večinoma pa ne.

  • {1\over m} \cdot {1\over m} = {1\over mn}
    • {1\over 2} \cdot {1\over 5} = {1\over 10}
    • {1\over 3} \cdot {1\over 6} = {1\over 18}
  • {1\over m} + {1\over n} = {n+m\over mn}
    • {1\over 2} + {1\over 5} = {7\over 10}
    • {1\over 3} + {1\over 6} = {1\over 2}
  • {1\over m} - {1\over n} = {n-m\over mn}
    • {1\over 2} - {1\over 5} = {3\over 10}
    • {1\over 3} - {1\over 6} = {1\over 6}

Vsak enotski ulomek je cel mnogokratnik ulomka z istim imenovalcem:

{n\over d} = n \cdot {1\over d}

Vsako pozitivno racionalno število lahko zapišemo kot vsoto različnih enotskih ulomkov. Takšni ulomki so poznani iz egipčanske matematike, kjer lahko najdemo veliko posebnih prikazov števil kot končne vsote enotskih ulomkov, katerih imenovalci so med seboj različni; taka števila sedaj imenujemo egipčanski ulomki. Iz Ahmesovega Rhindovega papirusa izhaja primer:

\frac{2}{71} = \frac{1}{40} + \frac{1}{568} + \frac{1}{710} \; .

Takšen zapis pa ni vedno enoličen. Na primer število 0,8 lahko napišemo na dva načina:

{8\over 10} = {1\over 2} + {1\over 4} + {1\over 20} = {1\over 3} + {1\over 5} + {1\over 6} + {1\over 10} \,\ .

Veliko enotskih ulomkov je parov sosednjih ulomkov. Enotski ulomki so nekateri zaporedni ali nezaporedni členi poljubnega Fareyjevega zaporedja Fn stopnje n. Ulomka 1/2 in 1/4 sta sosednja ulomka, nista pa zaporedna člena Fareyjevega zaporedja F5. Ulomka 1/3 in 1/4 sta tudi sosednja ulomka in sta zaporedna člena F5.

[uredi] Glej tudi

  • Erdös-Strausova domneva
V drugih jezikih