Interpolacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Interpolácija je v matematiki približna vrednost funkcije znotraj obsega znanih nepovezanih vrednosti neodvisne spremenljivke. Imejmo na primer naslednjo tabelo vrednosti fukcije

\begin{matrix} \mathbf{x} & \mathbf{f(x)} \\  & \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ \vdots & \vdots \\ 4 & 16 \\ 5 & 25 \\ \end{matrix}

Vidimo, da lahko odvisnost f(x) prilegamo s funkcijo x². V splošnem pri interpolaciji ni tako. Radi bi vedeli vrednost funkcije f(x), ki odgovarja x = 1,7. Najenostavnejša je linearna interpolacija med vrednostmima za x = 1 in x = 2:

f(1,7)\approx f(1)+\frac{1,7-1}{2-1}(f(2)-f(1))=1+0,7(4-1)=1+0,7\cdot  3=3,1 \; .

Če je osnovna funkcija res x2, je prava rešitev seveda

f(1,7) = 1,72 = 2,89

Na ta način po navadi interpolacija ni natančna. Zaradi tega lahko interpolacijo uporabimo kot učinkovit algoritemski postopek za 'ugibanje' številskih vrednosti, ki manjkajo, za spajanje točk v grafičnem prikazu, iskanje najboljšega prilega premic njihovim nagibom. V bistvu jo lahko uporabimo vsakokrat kadar želimo pretvoriti nezvezen niz podatkov v zvezno funkcijo.

Pri ekstrapolaciji za razliko iščemo vrednosti funkcije zunaj danega obsega znanih vrednosti. Moramo biti pazljivi, ker tukaj rezultati niso vedno smiselni.

Vsebina

[uredi] Interpolacijski algoritmi

Pri iskanju ustreznega algoritma za interpolacijo vrednosti je potrebno upoštevati več stvari. Na primer kako dobro želimo prilagoditi funkcijo, koliko vrednosti želimo uporabiti za prilagajanje.

[uredi] Interpolacijski postopki

Primerjajmo nekaj splošno uporabljanih interpolacijskih algoritmov, da dobimo vpogled kdaj je kakšen uporaben. V primerih bomo označili zaporedne vrednosti v ciljnem podatkovnem nizu kot v0,v1,v2,v3 in vrednost, ki jo interpoliramo kot x. Tako je naša funkcija

\begin{matrix} \mathbf{x} & \mathbf{f(x)} \\  & \\ \lfloor x \rfloor - 1 & v_0 \\ \lfloor x \rfloor & v_1 \\ \vdots & \vdots \\ \lfloor x \rfloor + 1 & v_2 \\ \lfloor x \rfloor + 2 & v_3 \\ \end{matrix}

x_f = x - \lfloor x \rfloor

[uredi] Primer linearne interpolacije

Najpreprostejši postopek je linearna interpolacija, v angleških virih tudi označen z navideznim akronimom lerp.

Imamo dve vrednosti v točkah v1 in v2. Potem določimo približni vrednosti z uteženo srednjo vrednostjo med dvema točkama, ki sta odvisni od vrednosti x. To nam da:

IV = v1(1 - xf) + v2(xf)

Ta algoritem je hiter in enostaven. Težava je, ker dobljena funkcija ni zvezno odvedljiva (oziroma ni odvedljiva pri \lfloor x \rfloor).

[uredi] Primer interpolacije s kosinusom

Ta algoritem je malo obsežnejši od linearne interpolacije, vendar ne preveč.

Tukaj vzamemo dve vrednosti in z vrednostjo za x izračunamo kosinus na intervalu [0\ldots\pi], preslikamo v [\lfloor x \rfloor \ldots \lceil x_i \rceil], kar se na koncu preslika v točki v1 in v2.

F = \frac{1-\cos(x_f\pi)}{2}

IV = v1(1 - F) + v2F

To je le malo boljše od linearne interpolacije. Dobljena funkcija je sicer zvezno odvedljiva, toda odvedljivost je napovedljiva, ker je interpolacija še vedno linearna (odvod je v \lfloor x \rfloor zmeraj enak nič).

[uredi] Primer kubične interpolacije

Kubični algoritem je primer polinomske interpolacije. Ker je število potrebnih koeficientov za izračun kubične funkcije le štiri, je to število členov v večini primerov dovolj.

Aproksimacijski polinom lahko zapišemo v obliki:

f(t) = at3 + bt2 + ct + d

kjer se f(t) preslika na točke

f( - 1) = v0 = - a + b - c + d

f(0) = v1 = d

f(1) = v2 = a + b + c + d

f(2) = v3 = 8a + 4b + 2c + d

Sedaj enačbe rešimo za a,b,c in d, da dobimo:

a=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}(-v_0+3v_1-3v_2+v_3)

b=\begin{matrix}{1\over2}\end{matrix}(v_0-2v_1+v_2)

c=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}(-2v_0-3v_1+6v_2-v_3)

d = v1

Z zgornjimi koeficienti tvorimo polinom in ga izračunamo za izbrani x.

IV = ax_f^3 + bx_f^2 + cx_f + d

Čeprav moramo tukaj najprej izračunati koeficiente krivulje, je ta postopek veliko natančnejši od linearne interpolacije.

[uredi] Interpolacija v višjih razsežnostih

Večrazsežni interpolacijski postopki so posebej prilagojeni od interpolacije vzdolž številskih premic do interpolacije vzdolž ravnin, prostornin ali celo višjih razsežnosti polj numeričnih podatkov.

[uredi] Dve razsežnosti

  • bilinearna interpolacija
  • bikubična interpolacija

[uredi] Tri razsežnosti

  • trilinearna interpolacija

[uredi] Zgodovina

[uredi] Glej tudi

  • linearna interpolacija
  • polinomska interpolacija
  • interpolacija z zlepki
  • prilagajanje funkcije
  • Nyquist-Shannonova interpolacijska enačba