Euler-Mascheronijeva konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Euler-Mascheronijeva konstanta je matematična konstanta, ki se največ uporablja v teoriji števil, in je določena kot limita razlike med harmonično vrsto in naravnim logaritmom:

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}  - \ln n \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx

Konstanta je podana tudi z integralom:

\gamma = - \int_0^\infty { \ln x \over e^x }\,dx.

Njena vrednost je približno

γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495...

Od leta 1999 je znanih okoli 108.000.000 števk.

Konstanto je prvi uvedel Leonhard Euler leta 1734 z zgornjo limito in izračunal prvih pet števk z vrednostjo γ = 0,577218. Konstanto je označil s C in izračunal še prvih 16 števk leta 1781. Zaradi tega se včasih imenuje tudi Eulerjeva konstanta. Znak γ je verjetno uporabljal geometer Lorenzo Mascheroni (1750-1800) leta 1790, ki je izračunal 32 števk, 19 pa je bilo pravilnih.

Ni znano ali je γ iracionalno število ali ne. Raziskave verižnih ulomkov kažejo, da če je γ racionalno število a/b, ima njen imenovalec b vsaj 242.080 števk. Hardy je menda ponudil svoj odstop od stolice na Univerzi v Oxfordu vsakomur, ki bi dokazal ali je γ iracionalna, čeprav ni o tem nobenega pisnega vira. John Horton Conway in Richard K. Guy sta pripravljena staviti, da je transcendentno število, čeprav v svojih življenjih ne pričakujeta dokaza.

Euler-Mascheronijeva konstanta se pojavlja v

γ = - Γ'(1)
  • računih funkcije digama ψ0(x):
γ = ψ0(1)

[uredi] Zunanje povezave