Besslova funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Besslove funkcije [béslove fúnkcije] so družina funkcij, ki rešijo Besslovo diferencialno enačbo:

x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \frac{dy}{dx}+\left( x-\nu \right) y=0

Kot prvi jih je definiral švicarski matematik Daniel Bernoulli in jih poimenoval po Friedrichu Besslu.

Besslova funkcija prve vrste reda ν se izračuna kot:

J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)}

Če ν ni celo število, funkciji J_{\nu }\left( x\right) in J_{-\nu }\left( x\right) nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko:

y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} J_{-\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \not\in {\mathcal Z}\right)

Kjer sta c1 in c2 odvisna od začetnih pogojev.

Če je ν celo število, se izkaže, da sta funkciji J_{\nu }\left( x\right) in J_{-\nu }\left( x\right) linearno odvisni, saj velja:

J_{-\nu }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{\nu }J_{\nu }\left( x\right)

V tem primeru potrebujemo Besslovo funkcijo druge vrste reda ν, ponekod imenovano tudi Neumannova funkcija ali Webrova funkcija:

Y_{\nu }\left( x\right) =\lim_{m\to \nu } \frac{J_{m}\left( x\right) \cos \left(\pi m\right) -J_{-m}\left( x\right) }{\sin \left( \pi m\right) }

V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli realni ν enaka:

y\left( x\right) =c_{1}  J_{\nu }\left( x\right) +c_{2}  Y_{\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \in {\mathcal R}\right)