Funkcija gama

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Povečaj
Povečaj

Funkcija gama je v matematiki specialna funkcija, ki razširja pojem fakultete na kompleksna števila. Zapisa se je domislil Adrien-Marie Legendre, funkcijo samo pa je uvedel Leonhard Euler. Če je realni del kompleksnega števila z pozitiven, potem integral

\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

konvergira absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.

Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi

\Gamma(n+1) = n!\,

za vsa naravna števila n. Z analitičnim nadaljevanjem je moč razširiti Γ(z) v meromorfno funkcijo definirano za vsa kompleksna števila z razen z = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.

Funkcija gama nima ničel. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.

Funkcija gama ima pol reda 1 pri z = −n za vsako naravno število n; residuum je tam podan kot

\operatorname{Res}(\Gamma,-n) = \frac{(-1)^n}{n!}

Naslednja multiplikativna oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila z, ki niso nepozitivna cela števila:

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:

\Gamma\left( x\right) =\frac{\Gamma\left( x+1\right)}{x}=\frac{\Gamma\left( x+2\right)}{x\left( x+1\right) }=\ldots =\frac{\Gamma\left( x+k+1\right)}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+k\right) }

od koder sledi, da ima funkcija pri negativnih celih argumentih in pri argumentu enakem 0 pole lihe stopnje.

[uredi] Zunanje povezave