Binomska vrsta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Črka Wiki

Ta članek (oz. del članka) je zaradi pomanjkanja uvoda slogovno neurejen. Pomagajte nam ga urediti
Po končanem delu sporočilo odstranite.


Binomska vrsta je Funkcijska vrsta funkcije (1+x)^m \!.

Če razvijemo polinom f(x) = (1 + x)m okrog točke 0 ( a = 0 ), m\in\mathbb{R} v taylorjevo vrsto

f^{\prime}(x)=m(1+x)^{m-1} \quad f^{\prime}(0)=0
f^{\prime\prime}(x)=m(m-1)(1+x)^{m-1} \qquad f^{\prime\prime}(0)=1
f^{(k)}(x)=m(m-1) ... (m-k+1)(1+x)^{m-k}\!

Opomba Če je m\in\mathbb{N}, ima vrsta končno členov - od (m+1) dalje so vsi enaki 0.
Če m\notin\mathbb{N}, m\ne 0 ima vrsta neskončno členoc,

dobimo:
f(x) = (1+x)^m = 1 + \frac{m}{1!}x + \frac {m(m-1)}{2!}x^2 + ... + \frac {m(m-1) ... (m-k+1)}{k!} x^k
Definiramo binomski simbol

Binomski simbol

{m+1 \choose k} = \frac{m(m-1) ... (m-k+1)}{k!}; \qquad m\in\mathbb{R} \quad k\in\mathbb{N}\cup{0} {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}; \qquad m\in\mathbb{R} \quad k\in\mathbb{N}\cup{0}

in tako je binomska vrsta: (1+x)^m = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k}x^k

[uredi] Konvergenca vrste

Binomska vrsta konvergira na območju s konvergentnim polmerom:
M = \lim_{z\rightarrow \infty} f(z)= \left | \frac{a_n}{a_{n+1}} \right | = \frac {{m \choose n}}{{m+1 \choose n+1}}= \lim_{n\rightarrow \infty} \left | \frac{n+1}{m-n} \right | = 1
Konvergira za | x | < 1


Ta matematični članek je škrbina. Slovenski Wikipediji lahko pomagate tako, da ga dopolnite z vsebino.