Тригонометријске функције

Из пројекта Википедија

Тригонометријске функције су функције угла. Добиле су име по грани математике која их користи за решавање троуглова, а која се назива тригонометрија.

Када је угао, дакле аргумент ових функција реалан број, тада имамо функције равнинске тригонометрије: синус и косинус, од којих се изводе све остале. Од осталих основних функција угла често у употреби имамо тангенс, па и котангенс, затим, мало ређе срећемо косеканс и секанс, и коначно најређе синус версус и косинус версус. Када је угао комплексан број тада функције угла могу прећи у хиперболичке функције.

Инверзне тригонометријске функције зову се циклометријске функције и аркус-функције.

Садржај

[уреди] Дефиниције

Сл.1. Тригонометријски троугао
увећај
Сл.1. Тригонометријски троугао

Основне тригонометријске функције синус, косинус и тангенс се обично дефиншу помоћу правоуглог троугла, слика десно.

x = r\cdot\cos\phi,\; y = r\cdot\sin\phi,\; \frac{y}{x}=\operatorname{tg}\phi.

Позитиван математички угао има супротан смер од казаљке на сату, слично као и кретање Сунца у односу на сунчеву сенку на слици 2.

Слика:Kretanje-sunca.gif

[уреди] Тригонометријска кружница

На слици (3) доле је кружница полупречника један са центром у исходишту, тј. x2 + y2 = 1, која се зове тригонометријска кружница. У следећој дефиницији и теореми (1), тангенс и котангенс (б) се у англосаксонским земљама означавају tan и cot, косеканс (в) се и код нас и вани понекад означава cosec.

Сл.3. Тригонометријска кружница
Дефиниција 1
Тригонометријске реалне функције угла φ дефинишу се једнакостима
(а) \cos^2\phi+\sin^2\phi=1,\, синус и косинус су реални бројеви;
(б) \operatorname{tg}\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi},\; \operatorname{ctg}\phi=\frac{\cos\phi}{\sin\phi}, тангенс и котангенс;
(в) \sec\phi=\frac{1}{\cos\phi},\; \csc\phi=\frac{1}{\sin\phi}, секанс и косеканс.
(г) \operatorname{vercos}\phi=1-\sin\phi,\; \operatorname{versin}=1-\cos\phi, косинус версус и синус версус.

Функције (в), а нарочито (г) ретко срећемо.

Теорема 1
(а) \overline{OA} = \cos\phi,\; \overline{OC} = \sin\phi, косинус и синус;
(б) \overline{BE}=\operatorname{tg}\phi,\; \overline{FG}=\operatorname{ctg}\phi, тангенс и котангенс;
(в) \overline{OE}=\sec\phi,\; \overline{OG}=\csc\phi, секанс и косеканс.
Доказ
Тачка Т са слике 1. овде (сл.2.) је тачка D. (а) Следи непосредно због полупречника r = 1. (б) Уочимо сличне троуглове \Delta EBO\sim\Delta DAO, одакле \overline{BE}:\overline{OB}=\overline{AD}:\overline{OA}, тј. \overline{BE}:1=\sin\phi:\cos\phi; уочимо сличне троуглове \Delta GFO\sim\Delta OAD, одатле \overline{FG}:\overline{FO}=\overline{OA}:\overline{AD}, тј. \overline{FG}:1=\cos\phi:\sin\phi. (в) Из истих сличних троуглова (б) добијамо \overline{OE}:\overline{OB}=\overline{OD}:\overline{OA}, тј. \overline{OE}:1=1:\cos\phi; затим \overline{OG}:\overline{OF}=\overline{OD}:\overline{AD}, тј. \overline{OG}:1=1:\sin\phi. Крај доказа.

[уреди] Посебни углови

На претходној слици (3) представљен је Декартов правоугли систем координата и тачка D на тригонометријског кружници. Угао BOD = φ може неограничено расти док покретни крак угла (OD) пролази редом кроз први, други, трећи и четврти квадрант, а затим поново по истом кругу. Дакле, угао φ може расти до 360° и даље. При томе се пројекције тачке D на апсцису и ординату увек рачунају као косинус и синус угла φ. То значи да је косинус позитиван када је тачка D у првом и четвртом квадранту, а да је синус позитиван када је тачка D у првом и другом квадранту. Детаљно то видимо у следећој табели:

Тригонометријске функције по квадрантима
Квадрант 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°)
синус + + - -
косинус + - - +
тангенс + - + -

Такође је лако проверити тачност формула за свођење вредности тригонометријских функција на функције углова из првог квадранта:

\cos(180^o-\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o-\phi)=\sin\phi,
\cos(180^o+\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o+\phi)=-\sin\phi,
\cos(-\phi)=\cos\phi, \; \sin(-\phi)=-\sin\phi.

Функције косинус и синус су периодичне са основним периодом 360°, a функција тангенс је периодична са периодом 180°:

\cos(360^o+\phi)=\cos\phi,\; \sin(360^o+\phi)=\sin\phi,\; \operatorname{tg}(180^o+\phi)=\operatorname{tg}\phi.

Функције углове већих од 360 степени претходним формулама сводимо на функције мањих углова, а затим даље, ако је потребно, на први квадрант. Зато су веома важне тригонометријске таблице углова из првог квадранта. За неке од тих углова се функције лакше израчунавају:

Најчешће вредности тригонометријских функција
\phi\, 30° 45° 60° 90°
\sin\phi\, 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
\cos\phi\, 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
\operatorname{tg}\phi 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} \pm\infty

Један од начина израчунавања ових вредности можете погледати у прилогу равнинска тригонометрија, основни углови. Из табеле се види да су већ код "основних" углова тригонометријске функције ирационални бројеви и да би слични изрази за друге углове могли бити још сложенији. Једноставнији од тих сложенијих израза био би на пример \sin 15^o=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}, и то је негде најдаље што можемо постићи у погледу тачног писања вредности тригонометријских функција. Вековима су тригонометријске вредности записиване у тригонометријске таблице, на 5 до 10 децимала, зашто у последње време користимо скоро искључиво рачунар.

Када тачка D једном обиђе кружницу пређе пут 2π односно направи 360°. Лук дужине π одговара углу 180° - испружени угао, π/2 је 90° - прави угао, π/3 је 60°, π/4 је 45°, π/6 је 30°, и уопште лук дужине x радијана одговара углу 360x/2π степени. За један радијан, х = 1, добијамо угао 57,2957795... степени, тј. у степенима, минутама и секундама 57°17'44,8". Један степен има 60 минута, а једна минута има 60 секунди. Изрази минуте и секунде потичу од латинских речи: partes minutae primae и partes minutae secundae, тј. први мали делови и други мали делови. Математички текстови за јединицу угла подразумевају радијан.

[уреди] Редови

Тригонометријске функције се, такође, могу представљати (бесконачним) редовима:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...

Ови редови се могу употребити и за дефинисање тригонометријских функција комплексног броја z, и хиперболичких функција.

[уреди] Особине

Преглед скоро свих особина тригонометријских функција које се тичу решавања троуглова дат је у прилогу: равнинска тригонометрија. У посебном прилогу потражите доказе за адиционе формуле, где спадају и формуле за двоструке углове, затим половине углова, те представљање збира и разлике тригонометријских функција помоћу производа и обратно, и изражавање осталих тригонометријских функција помоћу тангенса половине угла. Иначе је

\sin x = \frac{\operatorname{tg}x}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}},\quad \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}}.

Такође, у посебном прилогу потражите тригонометријске једначине. Оно што следи јесу додатне, аналитичке особине функција, и неки докази.

[уреди] Гранична вредност

Сл.4. Тетива је краћа од лука

На слици (4) лево видимо тетиву \overline{DAH} која је сигурно краћа од лука \widehat{DBH}. Тетива је најкраће растојање између две тачке на кружници. Зато је полутетива \overline{DA} краћа од полулука \widehat{DB}. Троугао OAD, са оштрим углом φ је правоугли. Прави угао је у темену А, катета ОА износи cosφ, катета DA износи sinφ, хипотенуза је дужине један. Када је угао у радијанима и 0<\phi<\frac{\pi}{2}, тада је

Теорема 1
\lim_{\phi\to 0}\sin\phi=0,\;\lim_{\phi\to 0}\cos\phi=1.

Доказ: Следи из 0<\sin\phi<\widehat{DB}=\phi и 0<1-\cos\phi<\overline{AB}<\overline{DB}<\widehat{DB}=\phi. Крај.

Када угао тежи нули преко позитивних вредности, синус је тада позитиван, а негативан је када угао тежи нули преко негативних вредности. Напротив, косинус је у оба случаја позитиван. Из тога произилазе лимеси за котангенс: \lim_{x\to +0}\operatorname{ctg}x=+\infty,\; \lim_{x\to -0}\operatorname{ctg}x=-\infty. Заменом х са комплементним углом добићете одговарајуће лимесе за тангенс.

Сл.5. Тригонометријски круг
увећај
Сл.5. Тригонометријски круг
Теорема 2
\lim_{x\to\ 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Доказ
На слици (5) десно, површина правоуглог троугла OAD мања је од површине кружног исечка OBD, а ова опет мања од површине правоуглог троугла OBE. Назовимо са х угао BOE. Отуда \frac{\sin x\cos x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\operatorname{tg}x}{2}. Поделимо ли ове неједнакости са (позитивним) \frac{\sin x}{2}, добићемо \cos x<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}, а отуда \frac{1}{\cos x}>\frac{\sin x}{x}>\cos x. Са x\to 0 вреди \cos x\to 1,\; \frac{1}{\cos x}\to 1, па је \frac{\sin x}{x}\to 1. Синус је парна функција па је доказ за негативне углове исти. Крај доказа.

[уреди] Извод

Извод функције f(x) по дефиницији је гранична вредност: f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

Теорема 3
(а) (\sin x)'=\cos x,\,
(б) (\cos x)'=-\sin x,\,
(в) (\operatorname{tg}x)'=\sec^2x.\,
Доказ
(а) \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}, па је
\frac{\Delta \sin x}{\Delta x}=\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\rightarrow\cos x, када \Delta x\rightarrow 0 (теорема 2).
(б) Због \cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x), биће (\cos x)'=\cos(\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\frac{\pi}{2}-x)'=-\cos(\frac{\pi}{2}-x)=-\sin x.
(в) Извод количника (\operatorname{tg}x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=
=\frac{\sin'x\cos x-\cos'x\sin x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x. Крај доказа 3.

[уреди] Види још