Хиперболичка тригонометрија

Из пројекта Википедија

Хиперболичка тригонометрија има своју улогу у геометрији Лобачевског. Користи се за проучавање отпорности материјала, у електротехници, статичким прорачунима висећих мостова у грађевинарству и другим гранама науке. У математици се хиперболичке функције користе, на пример, за решавање интеграла где се појављује 1 + x2, за разлику од облика 1 − x2, где се користи обична, тј. равнинска тригонометрија.

Садржај

[уреди] Хиперболичке функције

Хиперболичке функције је увео у употребу италијански математичар Вићенцо Рикати (Vincenzo Riccati, 1707-1775). Он је користио ознаке Sh. и Ch. за хиперболни синус и косинус. Теорију је даље развио Ламберт (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777. Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, том. XXIV, стр. 327 (1768)), негде око 1771, употребљавајући sinh и cosh. Код нас се за хиперболне функције користе ознаке sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, али овде следимо скраћенице које подржава Википедијин софтвер, тј. Латех, а то су уобичајене англосаксонске ознаке.

[уреди] Дефиниција хиперболичких функција

Синус хиперболички, косинус хиперболички и тангенс хиперболички одређени су формулама:

\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},
\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},
\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.

Котангенс хиперболички, секанс хиперболички и косеканс хиперболички су реципрочне вредности:

\coth x=\frac{1}{\tan x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}},
sech x=\frac{1}{\cos x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}},
csch x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}.

Геометријско одређивање хиперболичних функција аналогно је одређивању тригонометријских функција синус, косинус, тангенс (в. равнинска тригонометрија).

[уреди] Геометријско одређивање

У тригонометријском кругу дефинисане су функције \sin x,\; \cos x,\; \tan x као одсечци BC, OB, AD (полупречник r=1), а угао α је централни угао AOC. Исти угао смо могли дефинисати и као површину Pk двоструког кружног исечка COK (сл.6. шрафирано).

Наиме, када је угао AOC, тј. α у радијанима, тада двоструки централни исечак COK има површину P_k=\frac{1}{2}r^2\cdot 2\alpha=\alpha. Узимајући аналогну функцију површине, али не за кружницу x2 + y2 = 1, него за истострану хиперболу x2y2 = 1, и означавајући са Ph = x површину аналогног сектора COK (шрафиранo на сл.7.), дефинишемо хиперболне функције: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, односно истим редом sinh x, cosh x, tanh x, тј. синус, косинус и тангенс хиперболни.

Када површину х израчунамо (в. одређени интеграл) добијамо изразе за BC, OB, AD:

x=\ln(BC+\sqrt{BC^2+1})=\ln(OB+\sqrt{OB^2-1})=\frac{1}{2}\ln\frac{1+AD}{1-AD},

дакле за хиперболне функције добијамо претходно наведене изразе у експоненцијалном облику:

BC=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x,
OB=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x,
AD=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\tanh x.

[уреди] Тригонометријске везе

\sin z=-i\sinh z, \quad \sinh z=-i\sin iz,
\cos z=i\cosh z, \quad \cosh z=i\cos iz,
\tan z=-i\tanh z, \quad \tanh z=-i\tan iz,
\cot z=i\sinh z, \quad \coth z=i\cot iz.

Свака формула која повезује хиперболичку функције аргумента х или ах, али не ax+b, може се добити из одговарајуће формуле која повезује обичне тригонометријске функције угла z заменом \sin z\, са i \sinh x\, и заменом \cos z\, са \cosh x.\, На пример:

\cos^2z+\sin^2z=1\, прелази у \cosh^2x-\sinh^2x=1,\,
\sin 2z=2\sin y\cos z,\, прелази у \sinh 2x=2\sinh x\cosh x.\,

[уреди] Основне формуле

За хиперболне функције вреде формуле аналогне формулама за функције обичне тригонометрије.

[уреди] Функције једног аргумента

\cosh^2x-\sinh^2x=1, \quad sech^2x+\tanh^2x=1,
\coth^2x-csch^2x=1, \quad \tanh x\cdot\coth x=1,
\frac{\sinh x}{\cosh x}=\tanh x, \quad \frac{\cosh x}{\sinh x}=\coth x.

[уреди] Међусобно изражавање

\sinh x=\sqrt{\cosh^2x-1}=\frac{\tanh x}{\sqrt{1-\tan^2x}}=\frac{1}{\sqrt{\coth^2x-1}},
\cosh x=\sqrt{\sinh^2x+1}=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2x}}=\frac{\coth x}{\sqrt{\cot^2x-1}},
\tanh x=\frac{\sinh x}{\sqrt{\sinh^2x+1}}=\frac{\sqrt{\cosh^2x-1}}{\cosh x}=\frac{1}{\coth x},
\coth x=\frac{\sqrt{\sinh^2x+1}}{\sinh x}=\frac{\cosh x}{\sqrt{\cosh^2x-1}}=\frac{1}{\tanh x}.

[уреди] Збир и разлика аргумената

\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm\cosh x\sinh y,
\cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm\sinh x\sinh y,
\tanh(x\pm y)=\frac{\tanh x\pm\tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}, \quad \coth(x\pm y)=\frac{1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm\coth y}.

[уреди] Функције двоструког аргумента

\sinh 2x=2\sinh x\cosh x, \quad \cosh 2x=\sinh^2x+\cosh^2x,
\tanh 2x=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}, \quad \coth 2x=\frac{1+\coth^2x}{2\coth x}.

[уреди] Моаврова хиперболичка формула

(\cosh x\pm\sinh x)^n=\cosh nx\pm\sinh nx

[уреди] Функције половине аргумента

\sinh\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}}, + за x>0, - за x<0,
\cosh\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}},
\tanh\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1}, \quad \coth\frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x-1}=\frac{\cosh x+1}{\sinh x}.

[уреди] Збир и разлика функција

\sinh x\pm\sinh y=2\sinh\frac{x\pm y}{2}\cosh\frac{x\mp y}{2},
\cosh x+\cosh y=2\cosh\frac{x+y}{2}\cosh\frac{x-y}{2},
\cosh x-\cosh y=2\sinh\frac{x+y}{2}\sinh\frac{x-y}{2},
\tanh x\pm\tanh y=\frac{\sinh(x\pm y)}{\cosh x\cosh y}.

[уреди] Инверзне (Aреа) функције

Називи ареа-синус, ареа-косинус, ареа-тангенс и ареа-котангенс потичу од речи ареа (површина) јер ареа-функције можемо представити површином хиперболичког сектора. Оне су инверзне функцијама синус хиперболни, косинус хиперболни, тангенс хиперболни и котангенс хиперболни, тј. ако је y=\sinh x\, тада је x=Ar\sinh y,\, итд:

y=Ar\sinh x\, ареа-синус, ако је x=\sinh y,\,
y=Ar\cosh x\, ареа-косинус, ако је x=\cosh y,\,
y=Ar\tanh x\, ареа-тангенс, ако је x=\tanh y,\,
y=Ar\coth x\, ареа-котангенс, ако је x=\coth y.\,

[уреди] Изражавање логаритмима

Ar\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),
Ar\cosh x=\pm\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\; x\ge 1,
x|<1," />
x|>1." />

[уреди] Међусобно изражавање инверзних

Ar\sinh x=\pm^*Ar\cosh\sqrt{x^2+1}=Ar\tanh\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=Ar\coth\frac{\sqrt{x^2+1}}{x},
Ar\cosh x=\pm Ar\sinh\sqrt{x^2-1}=\pm Ar\tanh\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\pm Ar\cosh\frac{x}{\sqrt{x^2-1}},
Ar\tanh x=Ar\sinh\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\pm^*Ar\cosh\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=Ar\coth\frac{1}{x},
Ar\coth x=Ar\sinh\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\pm^*Ar\cosh\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=Ar\tanh\frac{1}{x}.

Уз индекс * иде предзнак + за х позитивно, - за х негативно.

[уреди] Односи међу инверзним

Ar\sinh x \pm Ar\sinh y=Ar\sinh(x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2}),
Ar\cosh x\pm Ar\cosh y=Ar\cosh(xy\pm\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}),
Ar\tanh x\pm Ar\tanh y=Ar\tanh\frac{x\pm y}{1\pm xy}.

[уреди] Види још