Тејлоров ред
Из пројекта Википедија
Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору. Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.
Садржај |
[уреди] Дефиниција
Тејлоров ред за неку сталну функцију f(x) са бесконачно пуно извода за изабрану тачку a јесте дефинисан овако:
Када функција има више аргумената, примењујемо:
У случају да добијемо вишедимензионалну функицју, користимо се следећом методом:
где је градијент, а
Хесеов матрикс.
[уреди] Конвергентност
Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све x. У ствари, он конвергира само онда када остатак, Rn(x) = f(x) − Tn(x), конвергира према 0.
Када је f(x) сама степени ред око тачке a, онда је Тејлоров ред идентичан са њим.
[уреди] Примери
[уреди] Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова
Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функицји ни у једној тачки:
За вредности извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано
добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај a > 0 добијамо ред који конвергира само у интервалу [0,2a].
[уреди] Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле
Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.
[уреди] Експоненцијална функција и логаритам
У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:
- Када изаберемо
за неко y > 0, овај ред конвергира ка log(y).
[уреди] Тригонометријске функције
За a = 0 добијамо следеће редове:
- x \right| < \frac{\pi}{2}" />, притом је B2n 2n по реду Бернулијев број.
- x \right| < \frac{\pi}{2}" />, где је E2n 2n по реду Ојлеров број.[[de:Taylorreihe]