Угао (математика)

Из пројекта Википедија

Садржај

[уреди] Угао је део равни

Угао је део равни оивичен са две полуправе које имају заједнички почетак.

Пример угла, оштар угао
увећај
Пример угла, оштар угао

Угао затварају две полуправе a и b (зраке) које исходе из једне тачке T. Полуправе које затварају угао називају се крацима угла, а тачка из које исходе је његово теме. Када краци угла чине једну праву угао се назива испруженим или равним.

[уреди] Врсте углова

Испружен угао има 180° (степени), тј. \pi\, (радијана).

Прав угао је једнак (конгруентан) свом суплементном (сусједном).

Прав угао износи 90° (степени), тј. \frac{\pi}{2} (радијана).

Комплементни углови су они који се допуњавају до правог угла.

Суплементна су два сусједна угла која се допуњавају до испруженог.

На овој слици, a је оштар, b туп, а c опружен угао. a и b су суплементни углови.
увећај
На овој слици, a је оштар, b туп, а c опружен угао. a и b су суплементни углови.

У Еуклидској геометрији, комплементни су оштри углови правоуглог троугла.

Углови који настају пресеком две праве у истој равни трећом називају се:

  • Сагласни: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8;
  • Супротни: 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5;
  • Унакрсни: 1 и 7, 2 и 8, 3 и 5, 4 и 6.
  • Суседни: 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1.

Пример углова у пресеку права

[уреди] Особине углова

Углови са паралелним крацима једнаки су или су суплементни, α + β = 180o.

Слика:Paralelni.gif

Последица 1: збир углова у троуглу је 180°.

[уреди] Мерење угла

Мера угла је величина отклона између кракова угла. Ради мерења угла се користи круг чији је центар у темену угла. Обзиром да је обим круга сразмеран полупречнику то је и мера угла независна од величине полупречника. Последица чињенице да је величина угла однос две дужине је да је јединица величине угла бездимензиона.

  • Број који се добије као количник дужине лука кружнице и полупречника се назива радијан. У међународном систему мера радијан је изведена јединица. Иако је бездимензиона, ознака постоји и пише се rad.
  • Степен је мера угла код кога је пун круг 360 степени, а следствено томе опружени угао је 180 степени, а прав угао је 90 степени. Ознака за степен је мали кружић надписан код величине, рецимо за пун круг 360°. За прецизнија мерења се користи део степена, назива се минут и он износи 1/60 од степена. Ознака за минут је апостроф знак, рецимо за 1 степен је 60'. Постоји још мања мера, секунда. Секунда је 1/60 од минута, односно 1/3600 од степена. Ознака за секунду је двоструки апостроф, односно 1 минут је 60".

[уреди] Однос између основних јединица мере угла

2 \pi\, \mbox{rad} = 360^o, пун круг је два пи радијана или 360 степени
\pi\, \mbox{rad} = 180^o, пи радијана је 180 степени (често се rad изоставља када је пи у изразу)
\frac{\pi}{2} \mbox{rad} = 90^o, пи пола радијана је 90 степени
1\, \mbox{rad} = \frac {180^o} {\pi} \approx 57^o 17' 45'' \,, један радијан је 180 кроз пи степени, или приближно 57 степени, 17 минута и 45 секунди


[уреди] Еуклидове дефиниције

У Еуклидовим Елементима књига I је дато неколико дефиниција:

Дефиниција 8
Угао у равни је отклон једне линије ка другој у равни које се секу и не леже у линији.
Дефиниција 9
Када су линије које чине угао праве и угао је праволинијски.
Дефиниција 10
Када права линија сече праву линију чинећи једнаке суседне углове, сваки од углова је прав угао, а линија која сече другу се зове нормална на ону коју сече.
Дефиниција 11
Туп угао је угао већи од правог угла.
Дефиниција 12
Оштар угао је угао мањи од правог угла.