Права

Из пројекта Википедија

Права линија (или права) је један од основних геометријских појмова, чија се индиректна (посредна) дефиниција даје у аксиоматској изградњи курса геометрије. Права линија Еуклидове равни се може дефинисати као геометријско место тачака чије Декартове координате (или афине) задовољавају једначину: ax + by + c = 0, где бројеви a,b,c нису истовремено сви једнаки нули.

Немачки научник Г. Лајбниц је праву линију дефинисао као линију која дели раван на два конгруентна дела, међутим под ову дефиницију потпадају и друге линије - на пример, синусоида и свака правилна изломљена линија чија су свака два сегмента на прескок - паралелна.

Садржај

[уреди] Аналитичке дефиниције

Приказ праве линије у координатном систему
увећај
Приказ праве линије у координатном систему

Права се у правоугаоном координатном систему може задати на један од три начина:

  • Помоћу одсечка b на ординати и угла α који гради права са позитивним правцем апсцисе.
Једначина праве је y = mx+b\,, где је m=\tan \alpha \, и често се зове општа једначина праве. Обично се код овакве једначине m зове коефицијент правца, а b је одсечак ординате.
  • Помоћу одсечака b и c које права одсеца на координатним осама.
Једначина праве где је \frac{y}{b}+\frac{x}{c} = 1 се зове сегментска.
  • Помоћу њеног одстојања до координатног почетка p и угла ω који гради то одстојање са позитивном страном апсцисе.
Нормална једначина праве се зове једначина облика y \sin \omega + x \cos \omega - p = 0\,

[уреди] Античке дефиниције

[уреди] Еуклидови Елементи, књига I

Дефиниција 2
Линија је дужина без ширине
Дефиниција 3
Крајеви линије су тачке
Дефиниција 4
Права линија је она, која за тачке на њој подједнако лежи

[уреди] Архимед, О лопти и ваљку, књига I

Аксиома 1
Од свих линија са истим крајевима права линија је најмања

[уреди] Права у три и вишедимензионалном простору

Права у простору Rn се дефинише као скуп тачака (уређених n-торки) a = (a_1,\dots,a_n) које задовољавају једначину:

a = P + \lambda \overrightarrow{v}, где су:

  • P = (p_1,\dots,p_n) \in R^n - произвољна тачка праве.
  • \overrightarrow{v} = (v_1,\dots,v_n) \in R^n - вектор који означава правац праве. Може се представити и као векотор између било које две произвољне али различите тачке праве. Ако тачке нису различите, овај вектор ће бити нула-вектор, што ће значити да је a у ствари само тачка P.
  • \lambda \in R - параметар.

Параметарска једначина праве би изгледала овако:

a_1 = p_1 + \lambda v_1 \;; \; a_2 = p_2 + \lambda v_2 \;; \; \dots \;; \; a_n = p_n + \lambda v_n

Ако се параметар λ елиминише, добијају се канонске једначине праве:

\frac{a_1 - p_1}{v_1} = \frac{a_2 - p_2}{v_2} = \dots = \frac{a_n - p_n}{v_n}

[уреди] Права и тачка у простору димензије 3 или веће

Рецимо да су дате једна тачка P и једна права a = A + αv при чему P,A,\overrightarrow{v} \in R^n \; , \; \alpha \in R. Могући положаји међу њима су:

  • Тачка је ван праве, тј. не постоји α за које је P = A + αv
  • Тачка је на правој, тј. постоји α за које је P = A + αv

[уреди] Растојање тачке од праве

Растојање тачке од праве се представља као дужина најкраћег пута од тачке до праве. Корисна је чињеница да је дужина овог пута једнака растојању између тачке P и њене пројекције P', на a. Ова тачка се налази преко чињеница да тачка P' припада правој и да је вектор PP' нормалан на вектор праве v.

P' = A + αv
\overrightarrow{PP'} \cdot v = 0 (в. скаларни производ)

Одавде се да одредити вредност α и тада је P' = A+ αv. Растојање праве од тачке ће бити једнако растојању P од P' илити интензитету векторра PP' то јест PP' | . Уколико је вредност овог израза нула, то је још један начин за показивање да се тачка P налази на правој a.

[уреди] Растојање тачке од праве у R³

Специјално у R3 би важило:

\overrightarrow{AP}\times v|}{|v|}" /> (в. векторски производ и интензитет вектора).

[уреди] Две праве у простору димензије 3 или веће

Две праве a = A + αv и b = B + βu у Rn могу да заузимају следеће положаје, једна у односу на другу:

  • могу бити идентичне, ако (A \in b \lor B \in a) \land v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}.
  • могу бити паралелне, ако (A \notin b) \land v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}
  • могу да се секу, уколико важи v \ne ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} и једначина A + αv = B + βu има једнозначно решење по α и β. Тачка пресека I ће у овом случају бити I = A + αv = B + βu</math>
  • могу бити мимоилазне, уколико важи v \ne ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} али једначина A + αv = B + βu} нема решења.

Специјално у R3 се v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} може заменити са v \times u = 0.

[уреди] Растојање две паралелне праве

Растојање две паралелне праве се да одредити као растојање произвољне тачке P једне од две праве од њене пројекције P' на другу праву. Дакле рецимо да је P у ствари A од праве a. Сада се тражи њена пројекција A' = B + k\overrightarrow{v}, k \in R\;\land\; AA' \bot v. Из ових услова се да наћи коефицијент k а са њиме је и A' одређено. Растојање између тачака A и A' ће бити једнако растојању међу паралелним правама a и b.

[уреди] Растојање две паралелне праве у R³

У тродимензионалном простору је овај поступак нешто лакши. Ако су две праве a и b са почетка поглавља паралелне, њихово растојање је једнако висини паралелограма кога граде вектори \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{v}. Она се да добити као количних површине овог паралелограма (интензитет векгорског производа) и интензитета вектора v.

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|}" />

[уреди] Растојање две мимоилазне праве

Растојање две мимоилазне праве је у ствари минимално растојање између тачака које их чине. Један од начина да се оно нађе је да се представи вектор између њих, и потом нађе за које параметре правих ће његова величина бити минимална. Назовимо овај вектор w, и опште тачке правих a и b именима P и Q. Оне ће бити:

P = A + \alpha v = (A_1+\alpha  v_1, A_2+\alpha v_2,...,A_n+ \alpha v_n), \alpha \in R Q = B + \beta u, \beta \in R

Интензитет вектора \overrightarrow{AB} ће бити \overrightarrow{AB}| = f(\alpha,\beta) = \sqrt{(A_1+\alpha v_1- B_1-\beta u_1)^2 + \dots + (A_n+\alpha v_n- B_n-\beta u_n)^2 }" />. Како корен не утиче на вредност коју параметри α и β имају при максималној вредности израза, корен се овде може избацити. Следећи корак би било тражење првих извода израза f(α,β) по α и по β. Тако ће се добити систем од две једначине са две непознате, α и β, који се да решити.

\begin{cases} f(\alpha,\beta)'_\alpha \\ f(\alpha,\beta)'_\beta \end{cases}

Када се одавде добијене вредности α и β врате у једначине правих a и b, респективно, резултирајуће координате ће представљати тачке, назовимо их P0 и Q0, чије растојање је минимално растојање између ове две праве.

d(a,b) = d(P0,Q0).

[уреди] Растојање две мимоилазне праве у R³

Специјално у случају R3 је ситуација једноставнија и да се решити преко мешовитог производа. Ако су две праве са почетка поглавља, a и b, мимоилазне, онда ће важити [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}]| \ne 0" />, јер је то заправо запремина паралелопипеда које чине ова два вектора праве и вектор између њихове две произвољне тачке. Како је векторски производ u\times v|" /> површина основе овог паралелопипеда, а његова висина управо минимално растојање међу мимоилазним правама, може се рећи да је минимално растојање међу мимоилазним правама у R3:

[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}]|}{|u\times v|}" />