Тејлорова формула

Из пројекта Википедија

Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома.

[уреди] Тејлоров полином

За неку функцију f(x) и дату тачку a Тејлоров полином је дефинисан на следећи начин:

T_n (x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +  \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n  = \sum_{k=0}^{n} \left ( \frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k \right )

Остатак R_n^a (x) је део који нисмо довољно добро приближили функцији, тј. грешка:

R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt

Наша функција се може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку a коју смо ми сами изабрали и грешке коју морамо још додати:

f(x) = Tn(x) + Rn(x)

[уреди] Доказ за R_n^a(x)

Доказ спроводимо индукцијом.

Прво да се усидримо:

n = 0
f(x) = f(a) + \int_a^x 1 \cdot f'(t) dt

Што у потпуности одговара фундаменталном правилу анализе.

Да Тејлорова формула важи за n = 1 можемо доказати путем парцијалне интеграције:

f(x) = f(a) +f'(a)\,(x-a)+\int_a^x (x-t)^1 \, f''(t) \, dt

Узмимо онда да за неко n − 1 важи:

f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x - a)^{n-1} +  \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt

Закорачимо:

n-1 \rightarrow n
R_{n-1}^a(x) = \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt = \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)dt

Користимо \frac{d}{dt} \left ( \frac{(x-t)^n}{n} \right ) = -(x-t)^{n-1}:

R_{n-1}^a(x)=-\frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n}) \frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t)dt
R_{n-1}^a(x)= - \int_{a}^{x} \underbrace { \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n!}) }_{u'} \underbrace{\frac{d^{n}}{dt^{n}} f(t)}_{v} dt

Позивамо парцијелну интеграцију у помоћ:

R_{n-1}^a(x)= -\left[ \underbrace{ \frac{(x-t)^n}{n!} }_u \underbrace { \frac{d^n}{dt^n}f(t) }_v \right]^{x}_{a} + \int_{a}^{x} \underbrace{\frac{(x-t)^n}{n!}}_u \underbrace{\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)}_{v'}dt
R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \frac{1}{n!} \int_{a}^{x} (x-t)^n \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)dt
R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \int_{a}^{x} \frac{ f^{(n+1)}(t) }{n!} (x-t)^n dt
\Rightarrow f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x),

Што смо и хтели да докажемо.

Служећи се теоремом за средишњу вредност можемо да овај израз упростимо (што су после људи назвали Лагранжовом формом):

R_n^a (x)   = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt  = f^{(n+1)}(\xi) \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} dt  = f^{(n+1)}(\xi) \frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}, где је a < ξ < x

[уреди] Пример Тејлорове апроксимације на синусу

Једна од најпознатијих функција у математици је sin(x) односно синус. Међутим, њено израчунавање није увек тривијално. Замислимо да нас интересују вредности у опсегу -0.5 до 0.5, а да нас остатак не занима. Такође, није нам битан тачан резултат већ приближан.

Видимо да је 0 тачно у средини нашег интервала ([-0.5, 0.5]). Једна од могућности је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.

За синус знамо да важи:

f(x) = sin(x),f'(x) = cos(x),f''(x) = − sin(x)

Тејлоров полином првог степена стога гласи:

n = 1,a = 0
\sin(x) \approx T_1(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} \cdot ( x - a ) = \sin(0) + \cos(0) \cdot x =  x

Графички то изгледа овако: Слика:tejlorova_formula_sin_prvi_stepen.gif

У интервалу смо прилично добри. Можемо да израчунамо грешку:

R_1(x) = \int_0^x (x-t) f''(t) dt = \sin(x) - x

То значи да ћемо највећу грешку имати код тачака -0.5 и 0.5.

R1(0.5) = − 0.020574, што са практичне тачке гледишта није страшно.

Тако можемо и практично да опазимо да је наша приближна вредност све гора апроксимација што се даље удаљавамо од наше тачке a. Граф за R1(x): Слика:tejlorova_formula_sin_prvi_stepen_greska.gif

Када нисмо задовољни резултатом, можемо да идемо даље до све виших степена и тако да се све више приближавамо нашој функцији.

За sin(x) то изгледа овако: Слика:tejlorova_formula_sin_visi_stepeni.png