Решавање троугла

Из пројекта Википедија

Решавање троугла значи налажење преосталих углова и страница када је дат минимум података. Основни елементи троугла су три угла и три странице, а минимум података, чине три од тих основних елемента, од којих је најмање један страница. Наиме, када знамо два угла троугла тада можемо сматрати да знамо и трећи, јер је збир углова у троуглу увек исти, 180°. Међутим, троугао није одређен само својим основним елементима. Могуће је конструисати троугао дат тежишницом (медијаном) и двема страницама, или страницом, висином и углом, итд.

[уреди] Оштроугли троугао

Оштроугли троугао има сва три угла мања од испруженог (180 степени). При решавању оштроуглог троугла могућа су следећа четири случаја:

  1. дате су три стране (ССС);
  2. дате су две стране и угао између њих (СУС);
  3. дата су два угла и страница између њих (УСУ);
  4. дате су две стране и угао насупрот њима (ССУ).

То су они исти услови који дефинишу подударност троуглова. Размотрићемо сваки од ових задатака и навести бар по једну формулу за проверу добивеног решења.

Задатак ССС
Дате су три странице a,\;b,\;c троугла. Наћи његове углове.
1. начин
Косинусна теорема a2 = b2 + c2 − 2bccosA, даје угао А, јер \cos A =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}. Синусна теорема a:sinA = b:sinB даће даље угао B, јер је \sin B=\frac{b\sin A}{a}. На крају, трећи угао С можемо наћи и као суплемент (суплементни углови се допуњавају до 180°) претходна два, тј. C = 180o − (A + B). Формула за проверу је a:sinA = c:sinC.
2. начин
Прво израчунати полуобим p=\frac{a+b+c}{2}, затим разлике p-a,\; p-b,\; p-c, и тангенсна теорема даће углове:
\operatorname{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\; \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\; \operatorname{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}.
Формула за проверу је A + B + C = 180o.

Овај задатак има јединствено решење једино ако су збирови по две од датих страница троугла већи од треће странице, тј. a+b>c,\; b+c>a,\; c+a>b. Дакле, ако важи тзв. неједнакост троугла. Ако бар један од ових услова није испуњен онда уопште нема решења.

Задатак СУС
Дате су две стране a,\; b\;(a>b) и угао С. Наћи страницу с и углове A, B.
Решење
Косинусна теорема даје страницу c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}. Синусна теорема даће углове. Из a>b следи да је угао B оштар, па према томе прво тражимо \sin B=\frac{b\sin C}{c}, па налазимо угао B, а онда угао А који је суплементан угловима B, C, тј. A = 180o − (B + C). Формула за проверу: a:sinA = b:sinB.

Задатак има једниствено решење ако је C < 180o.

Задатак УСУ
Дата је страница а и углови B и C. Наћи странице b, c и угао А.
Решење
Прво налазимо угао A = 180o − (B + C). Затим, синусна теорема два пута, даје: b=\frac{a\sin B}{\sin A},\; c=\frac{a\sin C}{\sin A}. Формула за проверу је a2 = b2 + c2 − 2bccosA. Задатак има јединствено решење ако је B + C < 180o.
Задатак ССУ
Дате су две странице a, b и угао А. Наћи страницу с и углове B, C.
Решење
Синусна теорема \sin B=\frac{b\sin A}{a} даће угао B. Затим, угао С налазимо као суплемент угловима А и B, тј. C = 180o − (A + B). На крају, још једном, синусна теорема c=\frac{a\sin C}{\sin A}, даје страницу с. Формула за проверу: a2 = b2 + c2 − 2bccosA.
Када је a>b тада је a > bsinA, па је \sin B=\frac{b\sin A}{a}<1. Према томе задатак има јединствено решење, јер је угао B оштар независно од тога какав је угао А.
Када је a<b тада је A<B. Троугао је правоугли, или, ако је bsinA < a, задатак има два решења, јер се могу добити две вредности за угао B, оштар и туп угао. Трећи овај случај, bsinA > a, тј. sinB > 1, нема решење.
Када је a=b тада је A<90° и B<90°. Задатак тада има јединствено решење.

[уреди] Види још