Тејлоров ред

Из пројекта Википедија

Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору. Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.

Садржај

[уреди] Дефиниција

Тејлоров ред за неку сталну функцију f(x) са бесконачно пуно извода за изабрану тачку a јесте дефинисан овако:

f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Када функција има више аргумената, примењујемо:

T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}

У случају да добијемо вишедимензионалну функицју, користимо се следећом методом:

T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots

где је \nabla f(\mathbf{a}) градијент, а \nabla^2 f(\mathbf{a}) Хесеов матрикс.

[уреди] Конвергентност

Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све x. У ствари, он конвергира само онда када остатак, Rn(x) = f(x) − Tn(x), конвергира према 0.

Када је f(x) сама степени ред око тачке a, онда је Тејлоров ред идентичан са њим.

[уреди] Примери

[уреди] Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова

Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функицји ни у једној тачки:

f(x) = \begin{cases}   0                   & \mbox{kada } x\le 0\\   \mathrm{e}^{-1/x} & \mbox{kada } x>0 \end{cases}

За вредности x \le 0 извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано a \leq 0 добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај a > 0 добијамо ред који конвергира само у интервалу [0,2a].

[уреди] Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле

Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.

[уреди] Експоненцијална функција и логаритам

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \ \ \ \ -1 < x \le +1

У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:

\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1},  \ \ \ \ -1 < x < +1
Када изаберемо x:= \frac{y-1}{y+1} за неко y > 0, овај ред конвергира ка log(y).

[уреди] Тригонометријске функције

За a = 0 добијамо следеће редове:

\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
x \right| < \frac{\pi}{2}" />, притом је B2n 2n по реду Бернулијев број.
x \right| < \frac{\pi}{2}" />, где је E2n 2n по реду Ојлеров број.[[de:Taylorreihe]