Непрекидна Фуријеова трансформација

Из пројекта Википедија

Непрекидна фуријеова трансформација је линеарна математичка операција пресликавања функције у функцију, која нам омогућава да разделимо непрекидне, непериодичне функције (на пример сигнале) у непрекидан спектар. Ова трансформација се често назива скраћено Фуријеова трансформација.

Дефинисана је за неку функцију f(t) на следећи начин:

\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,d t,

а трансформација у обрнутом смеру је инверзна Фуријеова трансформација (Фуријеова синтеза) и гласи

\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega.

Примена ове трансформације је кључна у многим областима технике где се проучава простирање осцилација или зрачења које су функција промене амплитуде неке величине (веома често електричног сигнала) у зависности од времена. Тада Фуријеова трансформација представља амплитуде које су функција фреквенција, значи, свакој фреквенцији (\omega = 2\pi \cdot \nu) додељује се амплитуда из реалног домена.

[уреди] Фуријеова трансформација и диференцијалне једначине

Путем Фуријеове трансформације ми прво претварамо линеарне диференцијалне једначине у "обичне" линеарне једначине, у том простору их решавамо и на крају решења трансформишемо назад у простор одакле смо и кренули.

Посматрамо периодичне функције. Оне су у ствари елементи једног векторског простора. Унутрашњи производ две функције је тада овако дефинисан: f(t) \cdot g(t) = \int_0^T f(t) \overline{g(t)} dt

Као што су то у уобичајеном тродимензионалном простору \mathbb{R}^3 [1,0,0],[0,1,0] и [0,0,1], и у овом простору са функцијама имамо неке базе. Док у \mathbb{R}^3 имамо само три димензије и три базна вектора који у потпуности дефинишу простор, у простору са функцијама је то бесконачан број, тј. број димензија (и тиме базних вектора) је бесконачан.

Назовимо тај простор B, а његове базе bi. Онда сваку функцију можемо да раставимо:

f(t) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}\lambda_i b_i

λi су коефицијенти који дефинишу дату функцију, што значи да трансформацију можемо да обрнемо и вратимо је у првобитни простор (илити облик). Цео процес, трансформацију, треба замислити као капију два паралелна простора. Када прођемо кроз капију, налазимо се у простору где ствари из првобитног простора изгледају другачије (а некад имају и другачије особине), али ипак представљају једне те исте ствари. То управо овде радимо. Нашу функцију шаљемо кроз капију, у другом простору је обрађујемо јер нам је тако згодније, а онда је тако обрађену шаљемо кроз неку другу капију да нам се врати у облику у којем можемо даље да је користимо у "свакодневном животу".

Вратимо се Фуријеовој трансформацији. Претходно смо је означили као \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) што ће у поласку бити наша прва капија.

Погледајмо шта се дешава са изводом:

\mathcal{F}^{-1}\{ F(\omega) \} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega
f'(t) = \frac{\partial f(t)}{\partial t} = \frac{\partial f(t) \cdot ( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega) }{\partial t} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \frac{ \partial ( F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} ) }{\partial t} \,d \omega
= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) \frac{ \partial ( e^{\mathrm{i} \omega t} ) }{\partial t}  \,d \omega = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) \mathrm{i} \omega e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega

Станимо на овом колосеку и кренимо из једног другог смера:

\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega), F_1(\omega) = F(\omega) \mathrm{i} \omega

Онда је инверзна функција:

\mathcal{F}^{-1}\{ F_1(\omega) \} = \mathcal{F}^{-1}\{ F(\omega) \mathrm{i} \omega \} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) \mathrm{i} \omega e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega = f'(t)

На крају закључимо:

\mathcal{F} \{ \mathcal{F}^{-1}\{ F(\omega) \mathrm{i} \omega \} \} = F(\omega) \mathrm{i} \omega
\mathcal{F} \{ f'(t) \} = \mathrm{i} \omega \mathcal{F} \{ f(t) \}

Хајде да погледамо како још Фуријеова трансформација реагује на збир две функције:

\mathcal{F}\{f(t) + g(t)\} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty ( f(t) + g(t) ) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,d t
= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} + g(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,d t = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left ( \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t}\,d t + \int_{-\infty}^\infty g(t) e^{-\mathrm{i} \omega t}\,d t \right )
= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t}\,d t + \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty g(t) e^{-\mathrm{i} \omega t}\,d t = \mathcal{F}\{f(t)\} + \mathcal{F}\{g(t)\}

У рукама нам је сав алат неопходан да се посветимо диференцијалним једначинама.

[уреди] Фуријеова трансформација као алат за решавање једначине топлотног провода

Узмимо да имамо неки прстен обима L и да нас интересује распоред температуре током времена. Добијамо проблем:

\frac{\partial u}{\partial t}\left( x,t \right ) = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\left(x,t\right), \ \ \ -\infty < x < \infty, t \geq 0
u(x,0) = f(x), \ \ \ -\infty < x < \infty
u(x,t) је распоред температуре у том прстену, α је нека позитивна константа, а f(x) је функција која дефинише распоред температуре на самом почетку (t = 0).

u(x,t) трансформишемо помоћу Фуријеове трансформације:

u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat u(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk, \ \ \ \ \hat u(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t) e^{-\mathrm{i}kx} dx

Правимо парцијални извод функције u(x,t) мењајући места и изводећи унутар интеграла:

\frac{\partial u}{\partial t}\left( x,t \right ) = \frac{\partial u}{\partial t} \left ( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat u(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk \right ) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial u}{\partial t} \left ( \hat u(k,t) \right ) e^{\mathrm{i}kx} dk
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}\left(x,t\right) =\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \left ( \frac{1}{2\pi}  \int_{-\infty}^{\infty} \hat u(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk \right ) = \frac{1}{2\pi}  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \left ( \hat u(k,t) \right ) e^{\mathrm{i}kx}dk =
= \frac{1}{2\pi}  \int_{-\infty}^{\infty} (\mathrm{i}k)^2 \hat u(k,t) e^{\mathrm{i}kx}dk = \frac{1}{2\pi}  \int_{-\infty}^{\infty} (\mathrm{i}k)^2 \hat u(k,t) e^{\mathrm{i}kx}dk = \frac{1}{2\pi}  \int_{-\infty}^{\infty} -k^2 \hat u(k,t) e^{\mathrm{i}kx}dk

Трансформишимо и другу једначину (наш полазни услов):

\mathcal{F}\{u(x,0)\} = \mathcal{F}\{f(x)\} \Rightarrow \hat u(k,0) = \hat f(k)

Сада наша диференцијална једначина постаје:

\frac{\partial}{\partial t} \hat u(k,t) = -\alpha k^2 \hat u(k,t)
\hat u(k,0) = \hat f(k)

То је сада постала уобичајена диференцијална једначина, коју можемо да решимо на стандардан начин:

\hat u (k,t) = \hat f(k) e^{ -\alpha k^2 t}

Одатле можемо да дођемо до нашег решења за u(x,t) путем инверзне Фуријеове трансформације, а \hat f(k) добијамо тако што трансформишемо f(x):

u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(k) e^{-\alpha k^2 t + \mathrm{i} k x }dk
\hat f(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-\mathrm{i} k x } dx

Да би израз мало појаснили и разговетније написали, уводимо корен топлотног провода:

K_t ( x - x' )= \frac{1}{\sqrt{ 4 \pi \alpha t}} e^{-\frac{(x-x')^2}{4 \alpha t}}

x' не би требало да нас збуњује. Није реч о изводу или нечему сличном, већ је x' просто једна друга променљива која такође означава положај. Када убацимо корен топлотног провода у нашу u(x,t):

u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} K_t(x-x') f(x') dx'

У прстену обима L важи тада:

u(x,t) = \int_{0}^{L} K_t(x-x') f(x') dx'

[уреди] Конкретан пример

Имамо два дужа штапа. Један има температуру T1 = T, а други T2 = − T. За време t < 0 су раздвојени и задржавају константно своју температуру, а у тренутку t = 0 их спајамо. Интересује нас како ће се температура распоредити. Нулту тачку постављамо у тачку где се та два штапа спајају.

Из датог изводимо полазну функцију f(x):

f(x) = \begin{cases} T_1=T, \ \ \ x > 0 \\ T_2=-T, \ \ x \leq 0 \end{cases}

Из поставе проблема знамо да мора да важи:

\frac{\partial u}{\partial t}\left( x,t \right ) = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\left(x,t\right), \ \ \ -\infty < x < \infty, t \geq 0
u(x,0) = f(x), \ \ \ -\infty < x < \infty

Наш циљ је да израчунамо u(x,t):

u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} K_t(x-x') f(x') dx' = \int_{-\infty}^0 K_t(x-x')(-T)dx' + \int_{0}^{\infty} K_t(x-x')(-T)dx' =
= \frac{T}{\sqrt{4 \pi \alpha t}} \left ( - \int_{-\infty}^0 e^{ -\frac{ (x-x')^2 }{ 4 \alpha t }} dx' + \int_{0}^{\infty} e^{ -\frac{ (x-x')^2 }{ 4 \alpha t }} dx' \right ) =
= \frac{T}{\sqrt{2 \pi }} \left ( - \int_{ \frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}^{\infty} e^{\frac{-y^2}{2}} dy + \int_{ -\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}^{\infty} e^{\frac{-y^2}{2}} dy  \right ) =
= \frac{T}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}^{\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}} e^{\frac{-y^2}{2}} dy

При интегрисању смо се послужили субституцијом y=\frac{(x-x')}{\sqrt{2\alpha t}} односно y=-\frac{(x-x')}{\sqrt{2\alpha t}} = \frac{(x'-x)}{\sqrt{2\alpha t}}.

У овом конкретном примеру је важило T1 = − T2 = T, али када желимо да уопштимо формулу, довољно је за полазну тачку узети аритметичку средину двеју температура и мало претумбати крајњу функцију:

u(x,t) = \frac{T_1+T_2}{2} + \frac{T_1+T_2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\frac{x}{\sqrt{2\alpha t} }}^{\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}} e^{\frac{-y^2}{2}} dy