Апсолутна вредност
Из пројекта Википедија
У математици апсолутна вредност (или модуо) реалног броја је његова нумеричка вредност не узимајући у обзир знак тог броја. (To je potpuni besmisao: brojevi jesu sto su--apstraktni objekti--i nemaju ni numericku (t.j., brojcanu) vrednost ni (zvanicno barem) znak; ako je x realan broj, koji li je njegov znak sto se ne uzima u obzir? Ostali deo priloga podjednako je nestrucan; ipak da navedem definiciju: absolutna vrednost |x| realnog broja x je maksimalni element para {x,-x}, koga sacinjavaju broj x i njemu suprotan broj -x. Dakle |-3|=3 jer je 3>-3; |x|=-x ako je -x>x, ili ekvivalentno ako je x<0; |x|=x ako je $x>-x, ili ekvivalentno ako je x>0; |x|=0 tada i samo tada kada je x=0.)
Нпр. бројеви 3 и -3 имају апсолутну вредност 3, апсолутна вредност броја 5 је 5, броја -4 је 4, док је 0 апсолутна вредност само за број 0.
Садржај |
[уреди] Дефиниција
За било који реалан број a, апсолутна вредност, са ознаком |a| је једнака броју a ако је a ≥ 0, и −a ако је a < 0. a|=\left\{\begin{matrix} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{matrix}\right." />
|a| не може бити негативан број јер је апсолутна вредност увек или позитиван број или 0. Другим речима, неједначина |a| < 0 нема решења. Такође, не мора важити |-a| = a, пошто a може бити негативно.
Апсолутна вредност се може узети као удаљеност датог броја од нуле.
[уреди] Својства
Апсолутна вредност броја a има следећа својства:
- |a| ≥ 0
- |a| = 0 акко a = 0.
- |ab| = |a||b|
- |a/b| = |a| / |b| (ако је b ≠ 0)
- |a+b| ≤ |a| + |b| (неједнакост троугла)
- |a−b| ≥ ||a| − |b||
- a \right| = \sqrt{a^2}" />
- |a| ≤ b акко −b ≤ a ≤ b
- |a| ≥ b акко a ≤ −b или b ≤ a
Последња два својства су корисна при решавању неједнаначина, нпр:
- |x − 3| ≤ 9
- −9 ≤ x−3 ≤ 9
- −6 ≤ x ≤ 12
За реалну вредност аргумента, функција f(x) = |x| је континуална свуда, а диференцијабилна свуда осим за x = 0. Уколико је аргумент комплексна променљива, функција је континуална свуда, али није нигде диференцијабилна (један начин да се то види је да се докаже да не задовољава Коши-Риманове једначине).
За комплексни број z = a + ib, дефинише се модуо комплексног броја као |z| = √(a2 + b2) = √ (z z*) (погледати квадратни корен и Конјугован комплексан број). Овако дефинисан модуо комплексног броја задовољава својства 1-6 дата изнад. Опет се за модуо комплексног броја, као и за реалне бројеве, може узети да представља удаљеност од координатног почетка.
Често је корисно израз |x − y| посматрати као удаљеност између x и y (на реалној бројевној правој уколико су x и y реални бројеви, или, пак, у комплексној равни, уколико су x и y комплексни бројеви). Коришћењем овакве нотације, и скуп реалних, и скуп комплексних бројева постају метрички простори.
Функција није инверзна јер се и негативним и позитивним бројевима додељују исте вредности.
[уреди] Апсолутна вредност комплексног броја
Апсолутна вредност комплексног броја (такође звана и модуо комплексног броја) је дата као c| = \sqrt{c\,\overline c}" />, где је
коњугована вредност броја c. Писањем c као
за
, горња једначина се своди на c| = \sqrt{a^2 + b^2}" />.
[уреди] Апсолутна вредност вектора
Апсолутна вредност вектора v, (x1, x2,..., xn) дата је као
|v| се може сматрати дужином вектора v.
[уреди] Алгоритам
У C програмском језику, abs()
, labs()
, llabs()
(у C99), fabs()
, fabsf()
, и fabsl()
функције рачунају апсолутну вредност њиховог аргумента. Кодирање апсолутне вредности када је аргумент цео број је лако:
int abs(int i) { if (i < 0) return -i; else return i; }