Вектор

Из пројекта Википедија

Вектор је појам из математике, области линеарна алгебра, који је уведен првенствено да би се разликовале величине које се појављују у природи, а имају правац и смер, те се као такве разликују од величина које имају само величину и зову се скалари.

Векторске величине су величине одређене са два или више параметара. Најпознатији су примери везани за геометрију у простору где се вектор одређује правцем, смером и интезитетом а представља стрелицом оријентисаном дуж правца, дужине пропорционалне интензитету, а чији врх показује смер на задатом правцу. Генерализовани вектор не мора бити ограничен на три димензије. Вектор у n-димензионалном простору описује се са n параметара.

Физичко тумачење вектора обично се своди на тродимензионални простор. Тако су векторске величине брзина, сила, убрзање, момент количине кретања... а скаларне маса, температура, запремина.

Физичке величине чија векторска вредност зависи и од координате називају се тензорске. Оне се математички представљају матрицом, у најпростијем случају 3х3. Тензорским величинама се описују векторске величине у анизотропној средини рецимо код некубичних кристала. Тензорсе величине су топлотна проводљивост, електрична проводљивост, дифузиони коефицијент, индекс прекламања итд...

Садржај

[уреди] Дефинисање вектора

Вектор може бити дефинисан уређеним паром тачака. Рецимо да су то A и B из Rn. Тада је:

\overrightarrow{AB} = \left ( B_1 - A_1, B_2 - A_2, \dots , B_n - A_n \right ), а \overrightarrow{BA} = \left ( A_1 - B_1, A_2 - B_2, \dots , A_n - B_n \right )

Вектор се може представити и са полазном тачком, јединичним вектором који одређује његов смер и интензитетом:

|AB|| \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||}" />

Ако овде ||AB|| заменимо са λ које може бити било који број из R дефинисали смо праву која пролази кроз тачку A а за вектор правца има вектор AB. Уколико је λ само не-негативно или само не-позитивно, дефинисана је полуправа, са почетком у тачки A.

Уколико је λ неки број различит од ||AB||, резултат је вектор који је са претходним колинеаран. Ако је нови вектор AB' ово значи да важи \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{0}

[уреди] Операције над векторима

Над векторима, као и свим осталим елеметима аналитичке математике, се могу увести аритметичке операције. При томе се вектор представља као уређена н-торка скалара који припадају неком пољу K. На пример:

a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n), \; a_i \in K, i = 1,...,n

Је један n-димензионални вектор над пољем K. Појам n-димензионални долази од чињенице да је вектор дефинисан помоћу n скалара. Простор ових вектора се још назива Kn, а скалари који чине вектор заједно са информацијом о њиховој позицији у уређеној n-торки координате векрора. На пример a1 је прва координата вектора, a2 је друга координата вектора итд.

Следе основне операције над векторима, које се у принципу дефинишу над векторима истих димензија.

[уреди] Интензитет вектора

Интензитет вектора се у еуклидовој геометрији дефинише као квадратни корен збира квадрата његових координата.

\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n
a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}" />

[уреди] Множење вектора скаларом

Множење вектора \overrightarrow{a} \in K^n неким скаларом \alpha \in K је дефинисано као множење саке координате ток вектора тим скаларом. Ова операција је комутативна.

\alpha \cdot \overrightarrow{a} = \alpha \cdot (a_1,a_2,a_3,...,a_n) = (\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2,...,\alpha \cdot a_n).

[уреди] Сабирање вектора

Сабирање вектора
увећај
Сабирање вектора
Одузимање вектора
увећај
Одузимање вектора

Узмимо два вектора a, b \in K^n\,:

\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)
\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)

Њихово сабирање се у принципу дефинише као сабирање компоненти са истим индексима.

+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},
c_i = a_i + b_i\,, где је i=1,...,n\,

При чему ће вектор c бити из простора K^n\,. Одузимање вектора би се бршило по сличном принципу:

\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})

При чему -\overrightarrow{b} = (-b_1,-b_2,...,-b_n).

[уреди] Скаларно множење вектора

Слично сабирању, скаларно множење вектора се дефинише као збир производа свих парова координата два вектора, које имају исте индексе. Овај збир и производ се преузимају из поља K. Разлика у односу на сабирање је то што је резултат скаларног производа два вектора из Kn у ствари један скалар из K. Конкретно за два вектора a и b из Kn би производ k изгледао овако:

\cdot: (K^n,K^n) \rightarrow K
k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}, k \in K
k = \sum_{k=1}^n {a_i \cdot b_i}, где је i = 1,...,n

Овде треба приметити да је скаларни производ вектора такође једнак

a|\cdot|b| \cdot \cos \omega" />,

при чему је ω угао између a и b.

Ово заправо значи и:

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}

То јест да су два вектора нормални, ако им је скаларни производ једнак нули.

[уреди] Векторски производ

Још један тип производа карактерестичан за тродимензионалнe еуклидскe просторe (E^3\,) је векторски производ. Дефинише се на следећи начин:

\times: (E^3,E^3) \rightarrow E^3\,

\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)= \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Јер су \overrightarrow{i}=(1,0,0), \overrightarrow{j}=(0,1,0) и \overrightarrow{k}=(0,0,1) вектори канонске базе E^3\,.

Код векторског производа је битно приметити следеће особине:

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, тј. векторски производ два вектора је нормалан на њих саме.
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|\sin \omega" />, где је ω угао између ова два вектора. Ово заправо значи да је интензитет векторског производа два вектора једнак површини паралелограма кога чине ови вектори.
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =  - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}), тј. векторски производ није комутативан.
(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b} = \alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}), где је \alpha \in E. Тј. векторски производ се лепо понаша према множењу скаларом слева.

[уреди] Мешовити производ

Мешовити производ вектора је тринарна математичка операција која уређену тројку вектора из E3 пресликава у скалар из E. Записује се са [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]. А по дефиницији је:

[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \in E^3

Што значи да је вредност мешовитог производа три вектора једнака запремини паралелопипеда кога они чине. Следе нека основна својства нешовитог производа:

  • [x,y,z] = − [y,x,z]
  • [x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]
  • x,y,z] = α[x,y,z]
  • [x + t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]

[уреди] Види још