Векторски простор

Из пројекта Википедија

Векторски или линеарни простор је алгебарски појам у математици који налази примену у свим главним гранама математике, међу којима су линеарна алгебра, анализа и аналитичка геометрија. Он се дефинише на следећи начин:

Нека скуп V има структуру Абелове групе у односу на сабирање. Елементе скупа V зовемо вектори. Неутрални елемент означавамо са 0 и зовемо нулти вектор.

Нека скуп F има структуру поља. Елементе скупа F зовемо скалари, а неутралне елементе у односу на две бинарне операција означавамо са 0 и 1.

На скупу F\times V дефинисано је множење вектора скаларом, тј. пресликавање F\times V --> V, које сваком скалару \alpha \in F и сваком вектору x \in V придружује вектор \alpha  x\in V, тако да су испуњени следећи аксиоми:


(I) \alpha (\beta x)=(\alpha \beta) x, \forall \alpha , \beta \in F, \forall x\in V

(II) \alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y,  \forall \alpha \in F, \forall x, y \in V

(III) (\alpha + \beta )x=\alpha x+\beta x, \forall \alpha ,\beta \in F, \forall x \in V

(IV) 1x=x, \forall x \in V


Овако дефинисано пресликавање се зове множење вектора скаларом, док се V назива векторски простор над пољем F и пише V(F).

Уобичајено је да се векторски простори над пољем реалних односно комплексних бројева називају реални, односно комплексни векторски простори. Такође, векторски простор у којем је дефинисан скаларни производ назива се Еуклидски векторски простор.