Апсолутна вредност

Из пројекта Википедија

График функције апсолутне вредности
График функције апсолутне вредности

У математици апсолутна вредност (или модуо) реалног броја је његова нумеричка вредност не узимајући у обзир знак тог броја. (To je potpuni besmisao: brojevi jesu sto su--apstraktni objekti--i nemaju ni numericku (t.j., brojcanu) vrednost ni (zvanicno barem) znak; ako je x realan broj, koji li je njegov znak sto se ne uzima u obzir? Ostali deo priloga podjednako je nestrucan; ipak da navedem definiciju: absolutna vrednost |x| realnog broja x je maksimalni element para {x,-x}, koga sacinjavaju broj x i njemu suprotan broj -x. Dakle |-3|=3 jer je 3>-3; |x|=-x ako je -x>x, ili ekvivalentno ako je x<0; |x|=x ako je $x>-x, ili ekvivalentno ako je x>0; |x|=0 tada i samo tada kada je x=0.)

Нпр. бројеви 3 и -3 имају апсолутну вредност 3, апсолутна вредност броја 5 је 5, броја -4 је 4, док је 0 апсолутна вредност само за број 0.

Садржај

[уреди] Дефиниција

За било који реалан број a, апсолутна вредност, са ознаком |a| је једнака броју a ако је a ≥ 0, и −a ако је a < 0. a|=\left\{\begin{matrix} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{matrix}\right." />

|a| не може бити негативан број јер је апсолутна вредност увек или позитиван број или 0. Другим речима, неједначина |a| < 0 нема решења. Такође, не мора важити |-a| = a, пошто a може бити негативно.

Апсолутна вредност се може узети као удаљеност датог броја од нуле.

[уреди] Својства

Апсолутна вредност броја a има следећа својства:

  1. |a| ≥ 0
  2. |a| = 0 акко a = 0.
  3. |ab| = |a||b|
  4. |a/b| = |a| / |b| (ако је b ≠ 0)
  5. |a+b| ≤ |a| + |b| (неједнакост троугла)
  6. |ab| ≥ ||a| − |b||
  7. a \right| = \sqrt{a^2}" />
  8. |a| ≤ b аккоbab
  9. |a| ≥ b акко a ≤ −b или ba


Последња два својства су корисна при решавању неједнаначина, нпр:

|x − 3| ≤ 9
−9 ≤ x−3 ≤ 9
−6 ≤ x ≤ 12

За реалну вредност аргумента, функција f(x) = |x| је континуална свуда, а диференцијабилна свуда осим за x = 0. Уколико је аргумент комплексна променљива, функција је континуална свуда, али није нигде диференцијабилна (један начин да се то види је да се докаже да не задовољава Коши-Риманове једначине).

За комплексни број z = a + ib, дефинише се модуо комплексног броја као |z| = √(a2 + b2) = √ (z z*) (погледати квадратни корен и Конјугован комплексан број). Овако дефинисан модуо комплексног броја задовољава својства 1-6 дата изнад. Опет се за модуо комплексног броја, као и за реалне бројеве, може узети да представља удаљеност од координатног почетка.

Често је корисно израз |xy| посматрати као удаљеност између x и y (на реалној бројевној правој уколико су x и y реални бројеви, или, пак, у комплексној равни, уколико су x и y комплексни бројеви). Коришћењем овакве нотације, и скуп реалних, и скуп комплексних бројева постају метрички простори.

Функција није инверзна јер се и негативним и позитивним бројевима додељују исте вредности.

[уреди] Апсолутна вредност комплексног броја

Апсолутна вредност комплексног броја (такође звана и модуо комплексног броја) c\in\mathbb C је дата као c| = \sqrt{c\,\overline c}" />, где је \overline c коњугована вредност броја c. Писањем c као c = a + b\,i за a, b\in\mathbb R, горња једначина се своди на c| = \sqrt{a^2 + b^2}" />.

[уреди] Апсолутна вредност вектора

Апсолутна вредност вектора v, (x1, x2,..., xn) дата је као

\mbox{v} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}" />

|v| се може сматрати дужином вектора v.

[уреди] Алгоритам

У C програмском језику, abs(), labs(), llabs() (у C99), fabs(), fabsf(), и fabsl() функције рачунају апсолутну вредност њиховог аргумента. Кодирање апсолутне вредности када је аргумент цео број је лако:

int abs(int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}