Инверзне хиперболичке функције

Из пројекта Википедија

Инверзне хиперболичке функције су инверзије (в. инверзна функција) хиперболичких функција: sh x - синус хиперболички, ch x - косинус хиперболички, , th x - тангенс хиперболички, cth - котангенс хиперболички. Називају се и ареа-фунције по латинској речи area - површина, јер представљају површину криволинијског троугла између темена хиперболе и исходишта координатног система (в. хиперболичке функције).

ареа-синус \operatorname{arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}), \; -\infty<x<\infty,
ареа-косинус \operatorname{arch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\; 1<x<\infty,
ареа-тангенс \operatorname{arth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\; -1<x<1,
ареа-котангенс \operatorname{arcth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{10x}{1-x},\; -1<x<1.

Англосаксонске ознаке за хиперболички синус, косинус, тангенс и котангенс су: sinh, cosh, tanh, coth па се одговарајуће инверзне функције означавају arsinh, arcosh, artanh, arcoth. Због аналогија са тригонометријом, исте функције се понекад називају и аркус-функције, са суфиксом хиперболичке да би се разликовале од тригонометријских функција. Oтуда скраћенице: arcsinh, arccosh, arctanh, arccoth. Ми их тада читамо аркус синус хиперболички, итд. Такође, инверзне функције означавају се уопште са индексом "-1", тако да имамо и следеће скраћенице: sinh-1, cosh-1, tanh-1, coth-1. Читали би их: синус хиперболички на минус прву, итд.

Изводи инверзиних хиперболичких функција су:

(\operatorname{arsh}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},
(\operatorname{arch}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},
(\operatorname{arth}x)'=\frac{1}{x^2-1},
(\operatorname{arcth}x)'=-\frac{1}{x^2-1}.

Инверзне хиперболичке функције се често јављају при интегрирању рационалних функција и квадратних ирационалности.

У комплексној равни ове функције су вишезначне. Када се у њиховим формулама узму главне вредности логаритама добијају се једнозначне гране, тзв. главне вредности, које се пишу arsh z, arch z, arth z. Инверзне хиперболичке функције су везане с главним вредностима инверзних тригонометријских функција формулама:

\operatorname{arsh}z=\frac{1}{i}\arcsin iz,
\operatorname{arch}z=i\arccos z,
\operatorname{arth}z=\frac{1}{i}\operatorname{arctg}iz,
\operatorname{arcth}z=i\operatorname{arctg}iz, \; i^2=-1.

[уреди] Види још