Теорема Банаха-Алаоглу
Из пројекта Википедија
Теорема Банаха-Алаоглу је важно тврђење у функционалној анализи, области математике. Теорема тврди да је затворена јединична лопта у дуалном простору нормираног векторског простора компактна у слабој* топологији. У уобичајеном доказу, јединична лопта у слабој* топологији се препознаје као затворен подскуп производа компактних скупова са топологијом производа. Према теореми Тихонова, производ је компактан, а стога и јединична лопта.
Стефан Банах је 1932. објавио доказ ове теореме за сепарабилне нормиране векторске просторе; први доказ у општем случају објавио је 1940. турски математичар Леонидас Алаоглу.
Теорему Банаха-Алаоуглу су на произвољне тополошке векторске просторе уопштили Бурбаки. Ово уопштење (које се понекад назива и теоремом Бурбаки-Алаоглу) гласи
- Нека је X тополошки векторски простор и X* његов (непрекидни) дуални простор. Тада је полара Uo ма које околине U у X компактна у слабој* топологији σ(X*,X) на X*.
Према дефиницији поларе,
- \ell x|\leq 1\,(\forall x\in U)\}" />.
Како је свака околина у X гутајућа (према непрекидности множења скаларима), за свако x ∈ X можемо наћи позитивно γ(x) тако да је . Посебно је \ell x|\leq\gamma(x)" /> за све
,
. Посматрајмо простор
- \alpha|\leq\gamma(x)\}=\{f:X\to{\mathbb C}:|f(x)|\leq\gamma(x)\,(\forall x\in X)\}" />
са топологијом производа σ. Према теореми Тихонова, (P,σ) је компактан простор.
Слаба* топологија и топологија наслеђена од σ се поклапају на Uo. Преостаје да се докаже да је Uo ⊂ P ∩ X* затворен подскуп у топологији σ.
Нека је f функција у затворењу скупа Uo, и узмимо произвољне x, y ∈ X, скаларе a и b и ε > 0. Како је скуп
- p(ax+by)-f(ax+by)|<\epsilon,\,|p(x)-f(x)|<\epsilon,\,|p(y)-f(y)|<\epsilon\}" />
отворен у P по дефиницији топологије производа, можемо изабрати неко . Стога је према неједнакости троугла
- f(ax+by)-af(x)-bf(y)|\leq |\ell(ax+by)-a\ell(x)-b\ell(y)|+|\ell(ax+by)-f(ax+by)|\," />
- a||\ell(x)-f(x)|+|b||\ell(y)-f(y)|<(1+|a|+|b|)\epsilon\," />.
Како је ε > 0 призвољно, следи да је f линеарно пресликавање. Слично се доказује и да је f непрекидно: ако је наиме y − x ∈ εU, тада је
- f(x)-f(y)|\leq |f(x)-\ell(x)|+|f(y)-\ell(y)|+|\ell(x)-\ell(y)|<3\epsilon." />
Напокон, f ∈ Uo јер је f(x)|\leq|\ell(x)|+\epsilon\leq 1+\epsilon" /> за све x ∈ U, дакле и |f(x)| ≤ 1.