Вектор
Из пројекта Википедија
Вектор је појам из математике, области линеарна алгебра, који је уведен првенствено да би се разликовале величине које се појављују у природи, а имају правац и смер, те се као такве разликују од величина које имају само величину и зову се скалари.
Векторске величине су величине одређене са два или више параметара. Најпознатији су примери везани за геометрију у простору где се вектор одређује правцем, смером и интезитетом а представља стрелицом оријентисаном дуж правца, дужине пропорционалне интензитету, а чији врх показује смер на задатом правцу. Генерализовани вектор не мора бити ограничен на три димензије. Вектор у n-димензионалном простору описује се са n параметара.
Физичко тумачење вектора обично се своди на тродимензионални простор. Тако су векторске величине брзина, сила, убрзање, момент количине кретања... а скаларне маса, температура, запремина.
Физичке величине чија векторска вредност зависи и од координате називају се тензорске. Оне се математички представљају матрицом, у најпростијем случају 3х3. Тензорским величинама се описују векторске величине у анизотропној средини рецимо код некубичних кристала. Тензорсе величине су топлотна проводљивост, електрична проводљивост, дифузиони коефицијент, индекс прекламања итд...
Садржај |
[уреди] Дефинисање вектора
Вектор може бити дефинисан уређеним паром тачака. Рецимо да су то A и B из Rn. Тада је:
, а
Вектор се може представити и са полазном тачком, јединичним вектором који одређује његов смер и интензитетом:
|AB|| \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||}" />
Ако овде ||AB|| заменимо са λ које може бити било који број из R дефинисали смо праву која пролази кроз тачку A а за вектор правца има вектор AB. Уколико је λ само не-негативно или само не-позитивно, дефинисана је полуправа, са почетком у тачки A.
Уколико је λ неки број различит од ||AB||, резултат је вектор који је са претходним колинеаран. Ако је нови вектор AB' ово значи да важи
[уреди] Операције над векторима
Над векторима, као и свим осталим елеметима аналитичке математике, се могу увести аритметичке операције. При томе се вектор представља као уређена н-торка скалара који припадају неком пољу K. На пример:
, i = 1,...,n
Је један n-димензионални вектор над пољем K. Појам n-димензионални долази од чињенице да је вектор дефинисан помоћу n скалара. Простор ових вектора се још назива Kn, а скалари који чине вектор заједно са информацијом о њиховој позицији у уређеној n-торки координате векрора. На пример a1 је прва координата вектора, a2 је друга координата вектора итд.
Следе основне операције над векторима, које се у принципу дефинишу над векторима истих димензија.
[уреди] Интензитет вектора
Интензитет вектора се у еуклидовој геометрији дефинише као квадратни корен збира квадрата његових координата.
a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}" />
[уреди] Множење вектора скаларом
Множење вектора неким скаларом
је дефинисано као множење саке координате ток вектора тим скаларом. Ова операција је комутативна.
=
=
[уреди] Сабирање вектора
Узмимо два вектора :
Њихово сабирање се у принципу дефинише као сабирање компоненти са истим индексима.
,
, где је
При чему ће вектор c бити из простора . Одузимање вектора би се бршило по сличном принципу:
При чему .
[уреди] Скаларно множење вектора
Слично сабирању, скаларно множење вектора се дефинише као збир производа свих парова координата два вектора, које имају исте индексе. Овај збир и производ се преузимају из поља K. Разлика у односу на сабирање је то што је резултат скаларног производа два вектора из Kn у ствари један скалар из K. Конкретно за два вектора a и b из Kn би производ k изгледао овако:
,
, где је i = 1,...,n
Овде треба приметити да је скаларни производ вектора такође једнак
a|\cdot|b| \cdot \cos \omega" />,
при чему је ω угао између a и b.
Ово заправо значи и:
То јест да су два вектора нормални, ако им је скаларни производ једнак нули.
[уреди] Векторски производ
Још један тип производа карактерестичан за тродимензионалнe еуклидскe просторe () је векторски производ. Дефинише се на следећи начин:
Јер су ,
и
вектори канонске базе
.
Код векторског производа је битно приметити следеће особине:
, тј. векторски производ два вектора је нормалан на њих саме.
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|\sin \omega" />, где је ω угао између ова два вектора. Ово заправо значи да је интензитет векторског производа два вектора једнак површини паралелограма кога чине ови вектори.
, тј. векторски производ није комутативан.
, где је
. Тј. векторски производ се лепо понаша према множењу скаларом слева.
[уреди] Мешовити производ
Мешовити производ вектора је тринарна математичка операција која уређену тројку вектора из E3 пресликава у скалар из E. Записује се са . А по дефиницији је:
Што значи да је вредност мешовитог производа три вектора једнака запремини паралелопипеда кога они чине. Следе нека основна својства нешовитог производа:
- [x,y,z] = − [y,x,z]
- [x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]
- [αx,y,z] = α[x,y,z]
- [x + t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]