Трапезоидно правило
Из пројекта Википедија
Трапезоидним правилом се служимо када нас интересује приближна вредност неког одређеног интеграла . Идеја која стоји иза овог правила је апроксимација фунцкије f(x) дужи од тачке (a,f(a)) до (b,f(b)). Она је једна од Њутн-Коутс формула. Оно је једно од најчешћих правила које срећемо у пракси, пре свега због своје једноставности, а посебно је погодна за периодичне функције.
[уреди] Грешка
Грешка при оваквој апроксимацији је:
- E_T \right| \le {(b-a)^3 \over 12} \max_{a\le \xi \le b} {\left| f''(\xi) \right|}" />
До овог резултата смо дошли путем Тејлорових редова. Тејлоров ред функција око тачке изгледа овако:
Односно за тачку :
Применимо трапезоидно правило на интеграл (апроксимација интеграла је обележена црвеном бојом, а тачан интеграл плавом):
Погледајмо прецизан интеграл:
Њихова разлика је наравно грешка:
Очигледно је да за грешка расте до бесконачности (јер је реч о бесконачном Тејлоровом реду!), али за
је све мања што "се даље иде". Зато је најчешће овај израз једино и записан као једини релевантан.
[уреди] Сложено трапезоидно правило
Када смо незадовољни резултатом, интервал можемо поделити на више мањих, за сваки појединачно израчунати приближну вредност интеграла трапезоидним правилом и после их све заједно сабрати. Тиме добијамо сложено трапезоидно правило:
,
што такође можемо написати као:
.
Када означимо број тачака са n, a размак између њих са , онда је грешка сложеног трапезоидног правила:
- E_T \right| \le {(b-a) \over 12}h^2 \max_{a\le \xi \le b} {\left| f''(\xi) \right|}" />