Cramér-Rao inequality
Ti Wikipédia, énsiklopédi bébas
Dina statistik, Ka-teusarua-an Cramér-Rao, ngaran keur ngahargaan ka Harald Cramér jeung Calyampudi Radhakrishna Rao, ngagambarkeun wates luhur dina presisi estimator statistis, dumasar kana informasi Fisher.
Katangtuanna nyaeta informasi Fisher bulak balik , , parameter θ, ngarupakeun wates handap variance parameter estimator unbiased (dilambangkeun
).
Dina sababaraha kasus, taya unbiased estimator kapanggih dina wates handapna.
Cramér-Rao inequality disebut oge Cramér-Rao bounds (CRB) atawa Cramér-Rao lower bounds (CRLB) sabab dicokot tina wates handap variance .
[édit] Bukti
Anggap variabel random X, ngabogaan probability density function f(x,θ). Di dieu T = t(X) nyaeta statistic dipake salaku estimator keur θ. Lamun V ngarupakeun score, nyaeta
mangka expectation V, ditulikeun E(V), sarua jeung. Lamun urang nganggap covariance cov(V, T) V sarta T urang ngabogaan cov(V, T) = E(VT) sabab ekspektasi V sarua jeung zero. Ngalegaan tina rumus ieu urang ngabogaan
Ieu bisa dilegaan ku ngagunakeun identitas
sarta harti ekspektasi nu diberekeun, sanggeus nunda f(x; θ),
Ayeuna lamun turunan ditukerkeun ku integral, mangka ieu ngan sakadar turunan (wrt θ) tina ekspektasi t(X), atawa
Sabab T ngarupakeun unbiased, ekspektasi-na θ; we are left with 1.
Cauchy-Schwarz inequality nembongkeun yen
mangka dina kasus ieu
dimana I(θ) ngarupakeun Fisher information. Ieu ngarupakeun kateusaruaan Cramér-Rao; aya di wates dina varian tina unbiased estimators.
Efisiensi T dihartikeun ku
atawa varian minimum nu mungkin keur unbiased estimator dibagi ku varian nu sabenerna. Mangka wates handap Cramér-Rao diberekeun ku e(T) ≤ 1.