จำนวนอดิศัย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์นั้น จำนวนอดิศัย (transcendental number) คือ จำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ไม่ใช่ราก (คำตอบ) ของสมการพหุนาม:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 = 0

โดย n ≥ 1 และสัมประสิทธิ์ aj เป็นจำนวนเต็ม (หรือจำนวนตรรกยะ ซึ่งให้ความหมายเดียวกัน เนื่องจากเราสามารถคูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วยตัวคูณร่วมน้อย เพื่อให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนเต็ม), ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว.


สารบัญ

[แก้] จำนวนอดิศัยไม่สามารถนับได้

ตามหลักทฤษฎีเซต, เซตของจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดนั้นสามารถนับได้ (สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตของจำนวนนับและจำนวนเชิงพีชคณิตได้) ในขณะที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมดไม่สามารถนับได้ (ไม่สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากเซตของจำนวนนับไปยังจำนวนจริงได้) ดังนั้นเซตของจำนวนอดิศัยทั้งหมดนั้นจึงไม่สามารถนับได้

ในมุมมองดังกล่าว เราสามารถกล่าวได้ว่า "จำนวนอดิศัยทั้งหมดมีมากกว่าจำนวนเชิงพีชคณิต" อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันนั้นมีจำนวนอดิศัยเพียงไม่กี่กลุ่มเท่านั้นที่เรารู้จัก (ในทำนองเดียวกันกับปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้ในทฤษฎีการคำนวณได้) โดยทั่วไป, การพิสูจน์ว่าจำนวนหนึ่งๆ เป็นจำนวนอดิศัยนั้นยากมากมาก อย่างไรก็ตามคุณสมบัติของจำนวนปกติอาจจะช่วยในการระบุจำนวนอดิศัยจากจำนวนอื่นๆ ได้

[แก้] ประวัติการค้นพบจำนวนอดิศัย

จำนวนอดิศัยตัวแรกถูกค้นพบโดย Joseph Liouville ในปี ค.ศ. 1844 จึงมีชื่อเรียกว่าค่าคงที่ Liouville

\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000....

ตัวเลขที่รู้จักกันดีตัวแรกที่ถูกพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนอดิศัย (ไม่รวม "ค่าคงที่ Liouville" ที่ถูกสร้างมาเพื่อเป็นจำนวนอดิศัยโดยเฉพาะ) คือ e พิสูจน์โดยชาร์ลส เฮอร์มิทในปี ค.ศ. 1873 ต่อมาในปี ค.ศ. 1882, แฟร์ดินันด์ ฟอน ลินเดอมันน์ได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ว่า π เป็นจำนวนอดิศัย (ดูทฤษฎีบทลินเดอมันน์-ไวเออร์สตาร์ซเพิ่มเติม)

[แก้] จำนวนอดิศัยที่สำคัญ

จำนวนอดิศัยอื่น ๆ ที่เรารู้จักมีดังต่อไปนี้:

  • ea ในกรณีที่ a เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตที่ไม่เท่ากับศูนย์ (สังเกตว่า e เป็นจำนวนอดิศัย)
  • π
  • eπ ค่าคงที่ Gelfond
  • 2√2 หรือในรูปแบบทั่วไป ab โดย a ≠ 0,1 และเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต และ b เป็นจำนวนอตรรกยะเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นคำตอบสำหรับปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลเบิร์ต. ในกรณีขยายของปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลเบิร์ต ที่ต้องการให้พิจารณาว่า ab เป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่เมื่อ a ≠ 0,1 และเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต และ b เป็นจำนวนอตรรกยะใด ๆ นั้นยังคงไม่มีใครสามารถให้คำตอบได้
  • sin(1)
  • ln(a) ถ้า a เป็นจำนวนตรรกยะบวกและ a ≠ 1
  • Ω, ค่าคงที่ Chaitin.
  • \sum_{k=0}^\infty 10^{-\lfloor \beta^{k} \rfloor};\qquad \beta > 1\; ,
โดย \beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor เป็นฟังก์ชันพื้น (floor function). เช่น ถ้า β = 2 ตัวเลขนี้คือ 0.11010001000000010000000000000001000...

[แก้] ความสำคัญของจำนวนอดิศัย

การค้นพบจำนวนอดิศัย สามารถนำไปใช้พิสูจน์ความ เป็นไปไม่ได้ ในการแก้ปัญหาของคณิตศาสตร์กรีกโบราณหลายข้อที่เกี่ยวกับ การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน เช่น การสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสจากวงกลม ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก π เป็นจำนวนอดิศัย. ในขณะที่การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถสร้างได้แต่รูปที่มีความยาวในขอบเขตของจำนวนเชิงพีชคณิตเท่านั้น