พีชคณิตแบบบูล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ใน คณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ พีชคณิตแบบบูล, พีชคณิตบูลีน หรือ แลตทิซแบบบูล คือ โครงสร้างเชิงพีชคณิตที่รวบรวมแก่นความหมายของการดำเนินการทางตรรกศาสตร์ นั่นคือ AND, OR, และNOT รวมไปถึงการดำเนินการทางเซต นั่นคืออินเตอร์เซกชัน, ยูเนียน และส่วนเติมเต็ม

ชื่อของพีชคณิตนั้น ตั้งตามจอร์จ บูล นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่มหาวิทยาลัย College Cork ผู้ที่นิยามพีชคณิตดังกล่าวขึ้นมาเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบทางตรรกศาสตร์ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 พีชคณิตแบบบูลนำเทคนิคทางพีชคณิตมาใช้กับนิพจน์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในปัจจุบันพีชคณิตแบบบูลได้ถูกนำไปประยุกต์อย่างแพร่หลายในการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ ผู้ที่นำไปใช้คนแรกคือคลาวด์ อี. แชนนอนในคริสต์ศตวรรษที่ 20

ตัวดำเนินการในพีชคณิตแบบบูลสามารถเขียนได้หลายแบบ โดยมากแล้วเราจะเขียนเป็น AND, OR, และ NOT ในการออกแบบวงจร NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) และ XOR (eXclusive OR) ก็มีการใช้ทั่วไป นักคณิตศาสตร์ มักใช้ + สำหรับ OR และ · แทน AND (เนื่องจากตัวดำเนินการเหล่านี้มีลักษณะคล้ายคลึงกับการบวก และการคูณ ในโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นๆ) และเขียน NOT ด้วยเส้นขีดเหนือนิพจน์ที่ถูกนิเสธ

[แก้] นิยาม

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ \land (AND) กับ \lor (OR), การดำเนินการเอกภาค คือ \lnot / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE) ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c a \land (b \land c) = (a \land b) \land c การเปลี่ยนหมู่
a \lor b = b \lor a a \land  b = b \land a การสลับที่
a  \lor (a \land b) = a a  \land (a \lor b) = a absorption
a \lor  (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) a \land  (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) การแจกแจง
a \lor  \lnot a = 1 a \land \lnot a = 0 ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

a \lor a = a a \land a = a นิจพล (idempotency)
a \lor 0 = a a \land 1 = a มีขอบเขต (boundedness)
a \lor 1 = 1 a \land 0 = 0
\lnot 0 = 1 \lnot 1 = 0 0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
\lnot (a \lor b) = \lnot a  \land \lnot b \lnot (a \land b) = \lnot a  \lor \lnot b กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
\lnot \lnot a = a อาวัตนาการ (involution)

[แก้] ตัวอย่าง

  • พีชคณิตแบบบูลที่ประกอบด้วยสมาชิก 0 และ 1 จะมีนิยามดังนี้
0 1
0 0 0
1 0 1
0 1
0 0 1
1 1 1
  • เรานำพีชคณิตแบบบูลไปใช้ในตรรกศาสตร์ได้ โดยตีความให้ 0 หมายถึง เท็จ, 1 หมายถึง จริง, ∧ แทนคำว่า และ, ∨ แทนคำว่า หรือ, และ ¬ แทนคำว่า ไม่
  • พีชคณิตแบบบูลที่มีสมาชิก 2 ตัวนั้น นำไปใช้ประโยชน์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าในงานวิศวกรรมไฟฟ้าได้ โดย 0 และ 1 แทนสถานะที่แตกต่างกันของบิตในวงจรดิจิทัล นั่นก็คือสถานะศักย์ไฟฟ้าสูงและต่ำ


  พีชคณิตแบบบูล เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ พีชคณิตแบบบูล ในภาษาอื่น สามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ๆ ด้านซ้ายมือ