การแปลงเชิงปริพันธ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การแปลงเชิงปริพันธ์ (integral transform) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การแปลง T ใดๆ ที่อยู่ในรูป

(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.

โดยส่งผ่านฟังก์ชัน f เข้าสู่การแปลง และได้ผลลัพธ์ออกมาในรูป Tf

การแปลงเชิงปริพันธ์ที่มีประโยชน์นั้นมีอยู่หลายชนิด ขึ้นอยู่กับฟังก์ชัน K ที่เลือกใช้ ฟังก์ชัน Kนี้เรียกว่า เคอร์เนลของการแปลง (kernel of the transform)

ตาราง การแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลง Symbol เคอร์เนล t1 t2
การแปลงฟูริเยร์ (en:Fourier transform)

\mathcal{F}

\frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}}

-\infty\, \infty\,
การแปลงเมลลิน (en:Mellin transform)

\mathcal{M}

t^{u-1}\,

0\, \infty\,
การแปลงลาปลาสสองด้าน (en:Two-sided Laplace transform)

\mathcal{B}

e^{-ut}\,

-\infty\, \infty\,
การแปลงลาปลาส (en:Laplace transform)

\mathcal{L}

e^{-ut}\,

0\, \infty\,
การแปลงแฮงเคิล (en:Hankel transform)

t\,J_\nu(ut)

0\, \infty\,
การแปลงอาเบล (en:Abel transform)

\frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}}

u\, \infty\,
การแปลงฮิลเบิร์ต (en:Hilbert transform)

\mathcal{H}

\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}

-\infty\, \infty\,
การแปลงเอกลักษณ์ (Identity transform)  

\delta (u-t)\,

t_1<u\, t_2>u\,


การแปลงเชิงปริพันธ์นี้ถึงแม้ว่าจะมีคุณสมบัติที่แตกต่างกันไป แต่การแปลงเชิงปริพันธ์นี้ก็มีคุณสมบัติร่วมบางประการ เช่น การแปลงเชิงปริพันธ์ทุกชนิดนั้นจะเป็น ตัวดำเนินการเชิงเส้น (en:linear operator) เนื่องจากปริพันธ์นั้นเป็นการดำเนินการเชิงเส้น

[แก้] ดูเพิ่ม