ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

บทความนี้ต้องการ ตรวจสอบ ปรับปรุง แก้ไขรูปแบบหรือภาษา ในหลายส่วนด้วยกัน
คุณสามารถช่วยตรวจสอบ และแก้ไขบทความนี้ได้ด้วยการกดที่ปุ่ม แก้ไข ด้านบน
กรุณาเปลี่ยนไปใช้ป้ายข้อความอื่น เพื่อระบุสิ่งที่ต้องการตรวจสอบ หรือแก้ไข
ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ วิธีการแก้ไขหน้าพื้นฐาน คู่มือการเขียน และ นโยบายวิกิพีเดีย และเมื่อแก้ไขตามนโยบายแล้ว สามารถนำป้ายนี้ออกได้

ในทฤษฎีการวัด, กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่าปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้าง เซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณ จากสองปริภูมิทอพอโลยี นั่นเอง.

[แก้] นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด (X111) และ (X222) เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2, \mu_1 \times \mu_2) ดังนี้

  1. X_1 \times X_2 คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ X1 และ X2
  2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ: \Sigma_1 \times \Sigma_2 คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี A_1 \times A_2 เป็นสมาชิก โดย A_1 \in \Sigma_1 และ A_2 \in \Sigma_2.
  3. เมเชอร์ผลคูณ: \mu_1 \times \mu_2 นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ
(\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2) เมื่อ
B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2.

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า \mu_1 \times \mu_2 มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E^y)\,d\mu_2 = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,d\mu_1,

สำหรับทุก ๆ เซตที่สามารถวัดได้ E โดย Ex = {yX2|(x,y)∈E}, และ Ey = {xX1|(x,y)∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.


  ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ ในภาษาอื่น สามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ๆ ด้านซ้ายมือ
ภาษาอื่น