Trường (đại số)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Xin xem các mục từ khác có tên tương tự ở Trường.

Trường cùng với nhómvành là các cấu trúc đại số cơ bản trong đại số trừu tượng.

Mục lục

[sửa] Khái niệm

Trường (đại số) là một tập F trên đó có hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn:

  1. F là nhóm giao hoán với phép cộng
  2. F* = F -{0} là nhóm giao hoán với phép nhân
  3. Trên F phép nhân phân phối với phép cộng

Chi tiết hơn các điều kiện trên ta có thể kể ra các tiên đề của trường như sau: Trường là một tập hợp F trên đó xác định hai phép toán cộng và nhân:

Phép cộng: + : F x F \to F
(a,b) \longmapsto a + b
Phép nhân: * :F x F \to F
(a,b) \longmapsto a.b
thoả mãn các tiên đề sau
  1. F1:Phép cộng kết hợp: \foralla,b,c\inF,(a+b)+c=a+(b+c);
  2. F2:Tồn tại phần tử 0:\exists0 \inF, \foralla\inF, a+0 = 0 + a = a;
  3. F3:Tồn tại phần tử đối \foralla\inF,\exists (-a)\inF, a + (-a) =(-a)+a =0;
  4. F4:Phép cộng giao hoán: \foralla,b\inF,a+b=b+a;
  5. F5:Phép nhân kết hợp:\foralla,b,c\in F,(a.b).c=a.(b.c);
  6. F6:Tồn tại phần tử đơn vị:\exists1 \inF,1≠0,\foralla\inF, a.1 = 1. a = a;
  7. F7: Tồn tại phần tử nghịch đảo:\foralla\inF và a≠0,\exists a-1 \inF,a-1.a=a.a-1=1;
  8. F8:Phép nhân giao hoán: \forall a,b\in F, a.b=b.a;
  9. F9:Phép nhân phân phối với phép cộng: \foralla,b,c\in F,a.(b+c)=a.b+a.c;

[sửa] Ví dụ

  • Tập hợp các số hữu tỷ \mathbb {Q}, tập các số thực \mathbb {R}, tập các số phức \mathbb {C} là trường.
  • Cho p là một số nguyên tố. Tập hợp {\mathbb Z}_p với phép cộng và phép nhân modulo p là một trường.
Các trường hữu hạn có vai trò to lớn trong lý thuyết Galois.
  • Trường có ít phần tử nhất là trường chỉ gồm 0 và 1 với phép cộng và phép nhân modulo 2.
  • Mọi tập {\mathbb Z}_n với phép cộng và phép nhân modulo n trong đó n là hợp số không là một trường.

[sửa] Trường con

Giả sử F là một trường. Tập con E \subset F được gọi là trường con của F nếu chính E là một trường với cùng phép toán trong F. Định lý: Cho F là một trường và tập con E \subset F có nhiều hơn một phần tử. Các điều kiện sau là tương đương.

  1. E là trường con của F
  2. \forall a,b \in E: a+b \in E, a.b \in E, -a \in E và nếu a \ne 0: a^{-1} \in E
  3. \forall a,b \in E: a-b \in E và nếu b \ne 0: a.b^{-1} \in E
  • Ví dụ:
    • Trường số hữu tỷ \mathbb Q là trường con của trường số thực, \mathbb R trường số thực là trường con của trường số phức \mathbb C.
    • Tập A \subset \mathbb R
A= \left \{ a + b.\sqrt 2 \;|\; a,b \in \mathbb Q \right \}
là trường con của \mathbb R.
    • Tập các ma trận cấp 2 dạng
\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}
với phép cộng và nhân ma trận là một trường và tập các ma trận dạng
\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} là trường con của nó.

[sửa] Trường các thương