Đại số tuyến tính
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu các hệ phương trình tuyến tính và sự biến đổi tuyến tính giữa chúng.
Các vectơ trong không gian vectơ, ma trận và các định thức là những công cụ rất quan trọng trong đại số tuyến tính. Bài toán cơ bản của đại số tuyến tính là tìm nghiệm x của phương trình ma trận sau:
- Ax = b
Mặc dù nghiệm này về lý thuyết có thể tìm được từ ma trận nghịch đảo:
- x = A − 1b
nhưng các phương pháp số ví dụ như phép khử Gauss thường hiệu quả hơn.
Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số trừu tượng, giải tích hàm, hình học giải tích... để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm... Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ...) và khoa học xã hội (kinh tế...), vì các mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng mô hình tuyến tính.
Mục lục |
[sửa] Các chủ đề chính
- Định thức
- Độc lập tuyến tính
- Hệ phương trình tuyến tính
- Lý thuyết Lie
- Ma trận
- Vĩnh thức
[sửa] Lịch sử
Lịch sử đại số tuyến tính bắt đầu từ năm 1843 và 1844. Năm 1843, William Rowan Hamilton (người đã nghĩ ra chữ vector) khám phá ra quaternion. Năm 1844, Hermann Grassmann xuất bản quyển Die lineare Ausdehnungslehre (xem mục tham khảo).
[sửa] Giới thiệu chung
Trong trường đại học, đại số tuyến tính bắt đầu từ nghiên cứu các vector trong hệ tọa độ Đề-các 2 chiều hoặc 3 chiều. Các vectơ là các đoạn thẳng có hướng và độ lớn. Các kết quả trong không gian 2 hoặc 3 chiều có thể được mở rộng ra cho nhiều chiều hơn, gọi tổng quát là không gian vectơ.
Không gian vectơ là một khái niệm trừu tượng của đại số trừu tượng, được định nghĩa trên một trường toán học, phổ biến trong ứng dụng là trường số thực hoặc trường số phức.
Các biến đổi tuyến tính chuyển các phần tử trong một không gian vectơ này sang không gian vectơ kia, tuân thủ phép cộng và và phép nhân vô hướng. bản thân tập hợp của các biến đổi này cũng hình thành nên không gian vectơ của chính chúng.
Nếu hệ cơ sở của một không gian vectơ là cố định, mọi biến đổi tuyến tính đều có thể viết thành bảng gọi là ma trận. Việc nghiên cứu các tính chất của ma trận, như định thức và vectơ riêng là một phần quan trọng của đại số tuyến tính.
Sử dụng đại số tuyến tính có thể giải chính xác hoặc gần đúng rất nhiều bài toán, bao gồm cả các bài toán không tuyến tính. Lý do là ta luôn có thể sử dụng vi giải tích để biến các hàm không tuyến tính thành gần đúng tuyến tính ở gần những điểm quan tâm. Phương pháp này là một trong những phương pháp phổ biến nhất trong toán học ứng dụng vào khoa học và kỹ thuật.
[sửa] Một số định lý quan trọng
- Mọi không gian tuyến tính có một hệ cơ sở.
- Một ma trận A với n hàng và n cột là khả nghịch nếu tồn tại ma trận B thoả mãn AB = BA = I với I là ma trận đơn vị.
- Với một ma trận A có n hàng và n cột, các câu nói sau đây là tương đương (tức là luôn cùng đúng hoặc cùng sai)
- A là khả nghịch
.
- rank(A)=n.
- null(A)=0.
- A không có trị riêng bằng 0.
- Với mọi b, Ax=b có duy nhất một nghiệm x.
- ATA là khả nghịch.
- Các hàng (hoặc cột) của A tạo nên các vector độc lập tuyến tính trong không gian vector của A.
[sửa] Xem thêm
- Vectơ
- Ma trận
- Định thức
- Biến đổi tuyến tính
- Đại số trừu tượng
- Bài toán qui hoạch tuyến tính: Tham khảo tại đây
[sửa] Tham khảo
- Grassmann, Hermann, Die lineare Ausdehnungslehre dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie, 1844.
Các chủ đề chính trong toán học |
---|
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê |
Các chủ đề chính trong đại số |
---|
Các bất biến đại số | Các đa thức | Các đại số mang tên người | Các đẳng thức đại số | Các đường cong đại số | Các đường cong elíp | Các nhân thức | Các nhóm sóng | Các phép biến đổi đại số | Các phương trình đại số | Các tính chất đại số | Các tổng đại số | Cyclotomy | Dạng bình phương | Đại số homology | Đại số phi giao hoán | Đại số tuyến tính | Đại số tổng quát | Đại số véctơ | Đại số vô hướng | Hình học đại số | Lý thuyết giá trị | Lý thuyết mã hoá | Lý thuyết nhóm | Lý thuyết số | Lý thuyết trường đại số | Lý thuyết vòng |
Các chủ đề chính trong đại số tuyến tính |
---|
Định thức | Độc lập tuyến tính | Hệ phương trình tuyến tính | Lý thuyết Lie | Ma trận | Nền tảng đại số tuyển tính | Vĩnh thức |