Bất đẳng thức Cauchy
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
- Đây là bài viết về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Để đọc bài viết về bất đẳng thức trong tích vectơ, xin xem bài Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:
- Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
- Với 2 số:
-
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
- Với n số:
-
-
-
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
-
Mục lục |
[sửa] Tổng quát hóa
[sửa] Trung bình có hệ số
Cho n số x1, x2, ..., xn ≥ 0
và các hệ số α1, α2, ..., αn > 0.
Đặt .
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:
Đẳng thức khi và chỉ khi
[sửa] Với các loại trung bình khác
Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng
Đẳng thức khi và chỉ khi
[sửa] Ứng dụng trong lý thuyết toán
[sửa] Ứng dụng trong các lĩnh vực khác
[sửa] Xem thêm
[sửa] Liên kết ngoài
- Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821 (tiếng Pháp).