環 (代數)

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者,一代數結構也,於其上可行加法與乘法運算,且其加法與乘法為自封.

[] 定義

R為一環,則其加法與乘法運算循以下規則也:

  • 其加法(於此定義加法符號為 + )者,為阿貝爾群
  • 若定義其乘法符號為\times,則\forall x, y, z \in Rx \times (y \times z) = (x \times y) \times zx \times (y + z) = x \times y + x \times z;且(x + y) \times z = x \times z + y \times z
  • 0者為其加法之單位元(e),則\forall x \in Rx \times 0 = 0 \times x = 0
  • \exists 1 \in R使\forall x \in R1 \times x = x \times 1 = x

\forall x, y \in Rx \times y = y \times x,則曰此環為交換環

[] 例=

整數集合\mathbb{Z}為一環,且為交換環;而n階(實係數)方陣之集合者,雖猶為一環,而非交換環也

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