استيفاء
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات , الاستيفاء أو الاستقراء الداخلي interpolation (يستخدم أحيانا مصطلح استكمال أو استكمال داخلي ) هي أحد الطرق الرياضية لإنشاء نقاط بيانية جديدة اعتمادا على مجموعة متقطعة discrete من النقاط البيانية المحددة سلفا (مستوفين كافة النقاط) .
في الهندسة التطبيقية و العلوم , غالبا ما تكون نتائج التجارب مجموعة من النقاط البيانية data points , تؤخذ بالاستعيان الإحصائي sampling أو من خلال إجراء تجربة في شروط محددة , يلي تحديد هذه النقاط تشكيل الدالة الرياضية التي تناسب بأقرب شكل نقاط البيانات الموجودة لدينا . هذه العملية تدعى ملائمة المنحنى curve fitting . و يعتبر الاستيفاء (الاستقراء الداخلي) حالة خاصة من ملائمة المنحنى , يجب ان يمر فيه المنحنى تماما من النقاط البيانية ( استيفاء كامل النقاط في عملية الملائمة ).
مشكلة اخرى مختلفة شديدة الارتباط بالاستيفاء هي عملية تقريب دالة معقدة عن طريق دالة بسيطة . فإذا كنا نعرف دالة ما لكنها كانت غاية في التعقيد لنقوم بتقدير صيغتها بشكل دقيق , عندئذ نعمد لتقريبها مع أبسط دالة بسيطة قريبة منها .
في هذه الحالة يمكننا أن نختار عدة نقاط بيانية من الدالة المعقدة , منشئين جدول مظهر lookup table , و نحاول أن نستوفي تلك النقاط لتشكيل دالة أبسط . بالطبع نتائج الدالة المبسطة لن تكون دقيقة كاستخدام الدالة المعقدة الأصلية لكن النتيجة تعتبر تقريبا جيدا و ذلك يعتمد على نطاق الاستخدام و المشكلة و طريقة الاستيفاء interpolation method المستخدمة لتحقيق التبسيط المنشود .
من الجدير بالذكر أن هناك نوعا آخر مختلف تماما من الاستيفاء في الرياضيات , و هو ما يدعى "استيفاء المؤثرات" interpolation of operators . النتائج الأساسية لاستيفاء المؤثرات يمكن حصرها في مبرهنة ريزس-ثورن Riesz-Thorin theorem و مبرهنة ماركينكيويكس Marcinkiewicz theorem . هناك أيضا العديد من النتائج الأخرى .
[تحرير] تعريف
بإعطاء متتالية من n عدد مختلف xk ندعوها بالعقد nodes و من أجل كل عدد xk يوجد عدد آخر yk, فتكون المهمة هي إيجاد الدالة الرياضية f بحيث يتحقق :
ندعو زوج القيم xk,yk نقطة بيانية data point (حيث يعتبران إحداثيي نقطة يتم تمثيلها في جملة إحداثية) و ندعو الدالة f المستوفي interpolant لكل النقاط البيانية .
عندما تعطى القيم yk بواسطة دالة معروفة , نكتب أحيانا fk .
[تحرير] مثال
مثلا , لنفترض أنه لدينا جدول مثل التالي , يعطي بعض القيم لدالة غير معروفة f .
x | f(x) | ||||
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | ||||
1 | 0 | . | 8415 | ||
2 | 0 | . | 9093 | ||
3 | 0 | . | 1411 | ||
4 | −0 | . | 7568 | ||
5 | −0 | . | 9589 | ||
6 | −0 | . | 2794 |
ما هي القيمة التي تعطيها الدالة عندما يكون , لنقل, x = 2.5 .. ؟ الاستيفاء يجيب عن مثل هذه الأسئلة ..
هناك عدة انواع من طرق الاستيفاء. ما يهم عند اعتماد طريقة ما هو : مدى دقة الطريقة ؟ كلفة الطريقة (زمنيا و حسابيا) ؟ مدى ملاسة Smoothness الدالة المستوفية ؟ ما هي عدد النقاط البيانية التي نحتاجها في هذه الطريقة ؟ .