ميكانيك هاملتوني
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
الميكانيك الهاميلتوني Hamiltonian mechanics هو إعادة صياغة للميكانيك الكلاسيكي تم إيجاده من قبل ويليام روان هاميلتون عام 1833. نشأ ميكانيك هاميلتون من ميكانيك لاغرانج , و هوصياغة أخرى للميكانيك الكلاسيكي أوجده جوزيف لويس لاغرانج Joseph Louis Lagrange عام 1788. لكن بجميع الحوال يمكن استقاق ميكانيك هاملتون دون الرجوع لميكانيك لاغرانج باستخدام الفضاءات السمبلكتية symplectic spaces.
[تحرير] إعادة صياغة ميكانيك لاغرانج
اعتمادا على ميكانيك لاغرانج , تكون معادلات الحركة المستندة على الإحداثيات المعممة
و التي تطابق السرعات :
يمكن لنا كتابة اللاغرانجي
يهدف ميكانيك الهاميلتوني الى استبدال متغيرات السرعة المعممة بمتغيرات العزم المعممة أو ما يدعى بعزم المزدوجة :
من اجل كل سرعة معممة هناك ما يقابلها من العزم المزدوج الذي يكتب كما يلي :
في جملة إحداثيات ديكارتية, العزم المعمم هو بالضبط العزم الفيزيائي الخطي . أما في جملة احداثيات قطبية فإن العزم المعمم المقابل للسرعة الزاوية يصبح العزم الزاوي , في جملة احداثية افتراضية توجد صياغات أخرى لإيجاد العزم المعمم .
الهاميلتوني هو عبارة [[]]:
إذا كانت معادلات التحويل المعرفة للإحداثيات المعممة مستقلة عن الزمن t , فيمكن أن نقول ان الهاميلتوني H مساو للطاقة الكلية E = T + V.
كل طرف من تعريف الهاميلتوني of H ينتج تفاضلا :
باستبدال التعريف السابق للعزم الإزدواجي ضمن المعادلة و مطابقة معاملات المعدلة , نستخرج قوانين الحركة في الميكانيك الهاميلتوني
معادلات هاميلتون تشكل معادلات تفاضلية من المرتبة الأولى , لذا هي أسهل حلا من معادلات لاغرانج التي تعطي معادلات تفاضلية من المرتبة الثانية. لكن العمليات التي تقود الى معادلات الحركة اكثر صعوبة فبداية علينا البدء من الإحداثيات المعممة و ميكانيك لاغرانج لنقوم بتشكيل الهاميلتوني , ثم علينا تحويل كل قيمة لسرعة معممة الى عزم ازدواجي , لنقوم بعد ذلك باستبدال السرع المعممة في الهاميلتوني بقيم العزم الإزدواجي.