Irrationale tal
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Talsystemer i matematik. | ||
Elementære talmængder | ||
![]() |
||
Naturlige tal | ![]() |
|
Heltal | ![]() |
|
Rationale tal | ![]() |
|
Reelle tal | ![]() ![]() |
|
Komplekse tal | ![]() ![]() |
|
Andre elementære talmængder | ||
Primtal | ![]() |
|
Irrationale tal | ![]() |
|
Konstruerbare tal | ||
Algebraiske tal | ||
Transcendente tal | ![]() |
|
Beregnelige tal | ||
Imaginære tal | ||
Split-komplekse tal | R1,1 | |
Komplekse udvidelser | ||
Bikomplekse tal | ||
Hyperkomplekse tal | ||
Kvaternioner | ![]() |
|
Oktonioner | ||
Sedenioner | ||
Superreelle tal | ||
Hyperreelle tal | ||
Surreelle tal | ||
Taltyper og særlige tal | ||
Nominelle tal | ||
Ordinaltal | {} størrelse, position {n} | |
Kardinaltal | {![]() |
|
P-adiske tal | ||
Heltalsfølger | ||
Matematiske konstanter | ||
Store tal | ||
Uendelig ∞ | ||
Konstantliste | ||
π - i - e - φ |
Irrationale tal (kaldes også Irrationelle tal) er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.
De klassiske eksempler er tallet π = 3,141.592.6... og kvadratroden af 2 = .
Et irrationalt tal kan være algebraisk eller transcendent. Et transcendent tal kan ikke være rod i et polynomium med rationale koefficienter — de øvrige irrationale tal kaldes algebraiske.
[redigér] Irrationaliteten af kvadratrod 2
Der eksisterer ikke umiddelbart en metode til bestemmelse af, om et givent tal er rationalt eller ej. Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.
Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal r, så r2 = 2; dvs. at der findes tal m og så r = m / n (vi kan uden tab af almindelighed antage, at r > 0, da ( − r)2 = r2. Herom kan antages, at brøken m / n er uforkortelig. Det fås altså at:
, hvilket vil sige at m2 = 2n2. Herom kan siges at m2 nødvendigvis må være lige, hvilket betyder, at der findes et helt tal m' så m = 2m'. Indsat i ovenstående ligning fås at (2m')2 = 2n2, altså 4m'2 = 2n2 og forkortet 2m'2 = n2. På samme måde som før ses, at n også må være lige. Da både m og n er lige, er brøken m / n nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen. QED.
[redigér] Se også
![]() |
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |