Euklidisk vektorrum

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Et reelt vektorrum, hvori der er defineret et skalarprodukt, kaldes et Euklidisk vektorrum.

Euklid fra Alexandria (ca. 330-275 f.Kr.) præsenterede de fundamentale dele af sin tids matematik i "Euklids Elemeter", som består af 13 bøger, og er et af hovedværkerne inden for matematikken

Længden af et Euklidisk vektorrum V med skalarprodukt g. Ved normen, også kaldet længden, af en vektor x (tilhørende) V, betegnet ||x||, forstås det reelle tal

||x|| = \sqrt{g(x,x)}


Funktionen g(x,y) svarer i denne sammenhæng til;

g(x,y) =  \underline{ \underline{x}} ^T   \cdot \underline{ \underline{G}} \cdot \underline{ \underline{y}}

Ud fra det sædvanlige skalarprodukt i \Re ^n fås det såkaldte 2-norm eller euklidske norm:

||x|| _{2} = \sqrt{ <x,x> }= \sqrt{x^2 _1 + ... + x^2 _n}


Lad V være et vektorrum over R. En afbildning g: V x V -> R kaldes et skalarprodukt eller et indre produkt i V, hvis følgende betingelser er opfyldt.
1) g er en bilinear funktion i V
2) g(x,y)=g(y,x) \forall (x,y)  \in V. dvs. g er symmetrisk.
3) g(x,x) \geq 0 \forall x \in V og g(x,x) = 0 \Leftrightarrow x = 0. dvs. g er positiv definit.


Visuelt kan det betragtes som et vektorrum af symetriske bilineare vektorer med positiv stabil udbredelse i hele dimesionen.


Det vil altid gælde at || g(x,y) || <= ||x|| ||y||, hvor lighedstegn gælder når x og y er lineart afhængige.


Vinklen mellem to egentlige vektorer x og y i det euklidiske vektorrum V, betegnes <(x,y) eller blot (x,y), forstås det tal i intervallet [0;Pi] for hvilket

\cos(x,y) = \frac{ g(x,y) }{ ||x||  ||y|| }

dvs.

\angle (x,y) = \arccos( \frac{ g(x,y) }{ ||x||  ||y|| } )