Irrationale tal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Talsystemer i matematik.
Elementære talmængder
\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}
Naturlige tal \mathbb{N} = { 1,2,3,...}
Heltal \mathbb{Z} = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal \mathbb{Q} = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal \mathbb{R} = \{\pi, e, \sqrt{2},\ldots\}
Komplekse tal \mathbb{C} = \{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}
Andre elementære talmængder
Primtal \mathbb{P} = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal \mathbb{T}\mathrm{r}
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal R1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner \mathbb{H} = { a+bi+cj+dk | a,b,c,dR }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal {} størrelse, position {n}
Kardinaltal {\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots}
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig
Konstantliste
π - i - e - φ

Irrationale tal (kaldes også Irrationelle tal) er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.

De klassiske eksempler er tallet π = 3,141.592.6... og kvadratroden af 2 = \sqrt 2.

Et irrationalt tal kan være algebraisk eller transcendent. Et transcendent tal kan ikke være rod i et polynomium med rationale koefficienter — de øvrige irrationale tal kaldes algebraiske.

[redigér] Irrationaliteten af kvadratrod 2

Der eksisterer ikke umiddelbart en metode til bestemmelse af, om et givent tal er rationalt eller ej. Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.

Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal r, så r2 = 2; dvs. at der findes tal m og n \in \mathbb{N}r = m / n (vi kan uden tab af almindelighed antage, at r > 0, da ( − r)2 = r2. Herom kan antages, at brøken m / n er uforkortelig. Det fås altså at: 2 = r^2 = \left(\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}, hvilket vil sige at m2 = 2n2. Herom kan siges at m2 nødvendigvis må være lige, hvilket betyder, at der findes et helt tal m'm = 2m'. Indsat i ovenstående ligning fås at (2m')2 = 2n2, altså 4m'2 = 2n2 og forkortet 2m'2 = n2. På samme måde som før ses, at n også må være lige. Da både m og n er lige, er brøken m / n nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen. QED.

[redigér] Se også

Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.