Ιδεώδες (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Πίνακας περιεχομένων

[Επεξεργασία] Ορισμός

Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και I ένα μη κενό υποσύνολο αυτου.Το I θα ονομάζεται ιδεώδες (Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως I \triangleleft \mathcal{R} ,αν ισχύουν τα εξής:


  • a-b \in I για κάθε a,b \in I


  • r\cdot a \in I για κάθε r\in \mathcal{R},a \in I

[Επεξεργασία] Μεγιστικό ιδεώδες

Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και M \ne \mathcal{R} ιδεώδες αυτού.Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε I \triangleleft R με M \subset I \subset \mathcal{R} έπεται ότι I = M ή I=\mathcal{R}.


[Επεξεργασία] Πρώτο Ιδεώδες

Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και \mathcal{P} \ne \mathcal{R} ιδεώδες αυτού.Το \mathcal{P} θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

  • Αν a,b \in \mathcal{P} τότε είτε a \in \mathcal{P} είτε b \in \mathcal{P}.

[Επεξεργασία] Παραδείγματα

  • Έστω R δακτύλιος.Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο {0R}


  • Έστω F:R \rightarrow S ένας ομομορφισμός δακτυλίων.Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.


  • Το σύνολο \{ra;r \in R \} είναι ένα ιδεώδες του R που περιέχει το a.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με < a > .
  • Έστω p ένας πρώτος αριθμός.Τότε το ιδεώδες < p > του \mathbb{Z} είναι πρώτο και μεγιστικό.