Μέση τιμή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Η μέση τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής X συμβολίζεται συνήθως με E(X),μX ή μ.

[Επεξεργασία] Ορισμός

Η μέση τιμή ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesque ως προς το μέτρο πιθανότητας. Έστω ο χώρος πιθανότητας (\Omega, \mathcal F, P) και ο μετρήσιμος χώρος (\bar \mathbb R, \mathcal B), όπου \bar \mathbb R = \mathbb R \cup\{-\infty,\infty\} και \mathcal B η Borel σ-άλγεβρα. Αν η \,X είναι P ολοκληρώσιμη, τότε η μεση τιμή ορίζεται ως

E(X) = \int_\Omega X \, dP = \int_\Omega X(\omega)P(d\omega)\,.

[Επεξεργασία] Απαριθμητές τυχαίες μεταβλητές

Έστω \,X μία απαριθμήτη ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές x_i, i \in N, N \sub \N με αντίστοιχες πιθανότητες \,p_i=P(X=x_i). Η μέση της τιμή είναι:

E(X)=\sum_{i \in N}x_ip_i.

Η ολοκληρωσιμότητα σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται ως εξής:

\sum_{i \in N}|x_i|p_i<\infty.

[Επεξεργασία] Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Έστω \,X μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας \,f(x) η μέση της τιμή είναι:

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)dx\,.