Αλγεβρικό στοιχείο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Έστω K / L επέκταση σωμάτων. Ένα στοιχείο k \in K καλείται αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το L (algebraic element over L) αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές απο το L, δηλαδή ankn + an − 1kn − 1 + ...a1k + a0 = 0 όπου a_i \in L και τουλάχιστον ένα απο αυτά είναι διάφορο του μηδενός.

Αν δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο, τότε το k καλείται υπερβατικό στοιχείο πάνω από το L (transcedental element over L).

Οι έννοιες του αλγεβρικού αριθμού και του υπερβατικού αριθμού είναι ειδικές περιπτώσεις των προαναφερθεισών εννοιών του αλγεβρικού και υπερβατικού στοιχείου πάνω από ένα σώμα L αντίστοιχα, όπου K=\mathbb{C} και L=\mathbb{Q}.

[Επεξεργασία] Παραδείγματα

  • Ο \sqrt{2} είναι αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το \mathbb{Q} καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου p(t)=t^2-2 \in \mathbb{Q}[t].
  • Ο π είναι υπερβατικός αριθμός αλλά αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το \mathbb{R}.
Άλλες γλώσσες