Heildun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Heildun (einnig þekkt sem tegrun) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna markgildi allra yfir- og undirsumma falls á tilteknu bili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reikna flatarmál svæðisins á milli ferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili).

Heildun í sínu einfaldasta formi á fallinu f(x) = axn er þannig: \int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c,

þar sem c er óskilgreindur fasti sem notaður er til þess að bæta upp fyrir þann tölulega fasta sem glataðist við fyrri diffrun fallsins.


Aðgerðin felst í því, á mjög einfölduðu máli, að hækka veldi breytistærðarinnar um einn og deila með því sama.

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrir latneska orðið „summa“ en Leibniz skapaði þetta tákn.

Andhverf aðgerð við heildun nefnist deildun.

[breyta] Heildunarreglur

  • Náttúrlega vísisfallið breytist ekki þegar að það er heildað:
    \int e^x dx = e^x + C
  • Náttúrulegur logri heildast þannig:
    \int ln|x| dx = x\cdot ln|x| - x + C
  • Hlutheildun er þannig:
    \int u'\cdot v dx = u \cdot v' - \int u \cdot v dx
  • Rúmmál snúðs fallsins f(x) um X-ás er fundið með reglunni:
    R = \pi\int^a_b f(x)^2 dx

[breyta] Dæmi

Heildum fallið f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} með tilliti til x. Það er ritað þannig:

\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

= \int \sqrt{x}^{-1} dx = \int \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{-1} dx = \int x^{-\frac{1}{2}}dx

Þá getum við heildað skv reglunni:

\int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c

þannig að:

\int x^{-\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{1} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C

svo niðurstaðan er:

\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2x^{\frac{1}{2}} + C

[breyta] Heildunaraðferðir

Ákveðin heildi - Óákveðin heildi - Hlutheildun - Heildun með innsetningu - Regla l'Hôpitals - Þríhyrningsregla - Simpsonsreglan - Rúmmál snúða - Flatarmál ferla