Aequationes Maxwellianae

E Vicipaedia

Aequationes Maxwellianae (pro nomine physici Scotia nati Iacobi Maxwell ) praeclarus series quattuor aequationium qui campos magneticos electricosque atque interactionem ipsorum cum materia plane describit.

Index

[recensere] Aequationes Maxwellianae

Multa sunt modi Maxwellianarum aequationum scribendarum.

[recensere] Aequationes Maxwellianae vectorali forma scriptae

Haec est aequationum Maxwellianarum forma in vacuo, vectorali modo scriptae,

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

unde \mathbf{B} campus magneticus et \mathbf{E} campus electricus sunt.

Notum est has aequationes habere solutionem quae undae motus velocitatem (sive celeritatem) c habentis describit, sicut anno 1865 a Maxwell patefactus est. Haec praeclarissima constans c est celeritas luminis in vacuo, et legitur:

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 299.792.458 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}

Ex quo sequitur lucem esse ex magneticis electricisque campis propagantibus factam.

[recensere] Aequationes Maxwellianae tensorali forma scriptae

Manifestum est ex tempore Einstein aequationes Maxwellianas relativitatis specialis praecepta obtemperare, qua de causa notatione tensorali exprimi possunt. Aliquas definitiones primum statuimus. Sit φ potentiale electricum et \mathbf{A} vector magnetici potentialis, tunc ponamus A^{\alpha} =  \left(\phi, c\mathbf{A}  \right) et tensorem F, Faraday tensor dictum, sic definimus:

F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha \,\!

ex quo sequitur matrix

F^{\alpha\beta} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right) .

Tunc aequationes Maxwellianae in vacuo scribere sequente modo possumus

\partial_\alpha F^{\alpha\beta} =0,

atque

\partial_\gamma F_{\alpha\beta} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\alpha F_{\beta\gamma}=0

Hoc tensorali modo principium relativitatis manifestum est, i.d., aequationes easdem formas omnibus inertialibus referentialibus servant.

Etiam videmus separationem inter magneticum electricumque campum artificialem esse, quod ab uno spectatore in uno referentiale campum magneticum vocatum in referentiale alio potest campum electricum vocari et vice versa.

[recensere] Aequationes Maxwellianae differentialibus formis scriptae

Aequationes Maxwellianae etiam differentialibus formis exprimi possunt, qui modus est omnium simplissimus. Multis autem geometriae differentialis conceptis utitur, quibus locus non hic est exponendis. Mathematice \mathbf{F} esse 2-formam notum est, quae ex 1-forma \mathbf{A} sic definitur,

\mathbf{F}= d\mathbf{A}

quo d derivata exterioris denotat, quae aequatione d²=0 plene satisfacit, ex quo sequitur bene notam identitatem (Bianchi identitas)

d\mathbf{F}=0

qui duas aequationes Maxwellianas continet. Duas autem alias in vacuo aequationes a sequente aequatione differentialibus formis modo dantur,

d*\bold{F}=0

quo * Hodge operator denotat.

[recensere] Fontes

  • John David Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley, New York, 1998).
  • David Griffiths, Introduction to Elementary Particle Physics, John Wiley & Sons, Inc. 1987 ISBN 0-471-60386-4