Neapibrėžtinis integralas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

pirmykštės funkcijos apibrėžimo aišku, kad, jei funkcija bent turi vieną pirmykštę, tai jų yra be galo daug, o jos skiriasi tik konstanta. Visų funkcijos pirmykščių funkcijų aibė \lbrace F(x) + C \; | \; C \in (-\infty, +\infty) \rbrace vadinama neapibrėžtiniu integralu ir žymima:

\int f(x) \mathsf{d}x = F(x) + C.

Čia:

neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukiančios savybės:

  • \left( \int f(x)\mathsf{d}x \right) ' = f(x);
  • \mathsf{d}\int f(x)\mathsf{d}x = f(x)\mathsf{d}x;
  • \int \mathsf{d}F(x) = F(x) + C;
  • \int (f(x) + g(x))\mathsf{d}x = \int f(x)\mathsf{d}x + \int g(x)\mathsf{d}x.

Matyti, kad integravimas yra uždavinys, atvirkščias diferenciavimui: integralas naikina diferencialą ir atvirkščiai.

[taisyti] Pavyzdžiai

\int 2x \; \mathsf{d}x = x^2 + C, nes \left(x^2 + C\right)' = 2x + 0 = 2x.

Sudėtingesni pavyzdžiai (be įrodymų):

  • \int \frac{\mathsf{d}x}{x^2 - 9} = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{x-3}{x+3} \right| + C.
  • \int \frac{\cos x \; \mathsf{d}x}{\sqrt{2 + \cos 2x } } = \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sqrt{3}} + C.
  • \int \frac{\mathsf{d}x}{\sqrt{{\left(9 - x^2\right)}^3}} = \frac{x}{9 \sqrt{9 - x^2}} + C.

[taisyti] Susiję straipsniai

[taisyti] Išorinės nuorodos