Integravimo metodai

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Šiame straipsnyje pateikiami metodai, padedantys integruoti.

Turinys

[taisyti] Tiesioginis integravimas

Jei

\int f(x) \mathsf{d}x = F(x) + C, \quad

tai

\int f(u) \mathsf{d}u = F(u) + C. \quad

Šis metodas pagrįstas pirmos eilės diferencialo formos invariantiškumu.

Pavyzdžiui, kadangi:

\int t^3 \mathsf{d}t = \frac{t^4}{4} + C ir \mathsf{d}(x + 10) = \mathsf{d}x,

tai:

\int (x + 10)^3 \mathsf{d}x = \int (x + 10)^3 \mathsf{d}(x + 10) = \frac{(x + 10)^4}{4} + C.


[taisyti] Integravimas keičiant kintamąjį

Jei pasižymime kintamąjį x = φ(t), o funkcijos f(x), φ(t) ir φ'(t) yra tolydžios, tai:

\int f(x) \mathsf{d}x = \int f(\phi(t)) \phi'(t) \mathsf{d}t.

Integruojant kartais tinka keitinys t = ψ(x). Suintegravus reiškinį reikia grįžti prie senojo kintamojo.

Pavyzdžiui:

\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x,

Keitinys: x = \sin t, \mathsf{d}x = \cos t \; \mathsf{d}t, t = \arcsin x \quad,

\int \sqrt{1 - \sin^2 t} \; \cos t \; \mathsf{d}t = \int \cos^2 t \; \mathsf{d}t =
= \frac{1}{2} \left( \int \mathsf{d}t + \frac{1}{2} \int \cos 2t \; \mathsf{d}(2t) \right) = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C.

Įstatę pakeistą kintamąjį gauname atsakymą:

\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{\sin (2\arcsin x)}{4} + C.

[taisyti] Dalinis integravimas

Tarkime, kad funkcijos u(x) ir v(x) turi tolydžias išvestines. Tada:

\int u(x) v'(x) \mathsf{d}x = u(x)v(x) - \int v(x) u'(x) \mathsf{d}x.

Lygtis nesunkiai įrodoma prisiminus sandaugos diferenciavimo taisyklę:

\int \mathsf{d}(uv) = uv,
\int u \mathsf{d}v + \int v \mathsf{d}u = uv,
\int u \mathsf{d}v = uv - \int v \mathsf{d}u.

Pavyzdys:

\int x \mathsf{e}^x \mathsf{d}x = x\mathsf{e}^x - \int \mathsf{e}^x \mathsf{d}x = x\mathsf{e}^x - \mathsf{e}^x + C.

Čia u(x) = x, o v'(x) = ex.

[taisyti] Susiję straipsniai