Simpsono taisyklė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Funkcija f(x) (mėlyna) apytikriai keičiama parabolės funkcija P(x) (raudona).
Enlarge
Funkcija f(x) (mėlyna) apytikriai keičiama parabolės funkcija P(x) (raudona).

Simpsono taisyklė - integralo apytikslio skaičiavimo metodas, apytikriai keičiant integruojamą funkciją parabolės lanku. Algoritmas randa apytikslę skaitinę integralo

\int_{a}^{b} f(x)\, dx.

reikšmę.

[taisyti] Vieno žingsnio algoritmas

Integruojama funkcija f(x) apytikriai keičiama parabolės funkcija P(x), kuri parenkama taip, kad integruojamos funkcijos ir aproksimuojančios polinomo reikšmės sutaptų integruojamo intervalo kraštuose bei jo viduryje (m=(a+b)/2). Tokios parabolės lygtis yra

P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+ f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)} .

ir tuomet ieškoma integralo reikšmė lygi

\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].

Integravimo paklaida lygi

-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),.

kur h = (ba) / 2 ir ξ yra bet kokia reikšmė tarp a ir b.

[taisyti] Sudėtinė Simpsono taisyklė

Jei vieno žingsnio algoritmo tikslumo nepakanka, apibrėžtinio integralo intervalas suskaidomas į pasirinktą skaičių lygaus ilgio dalių, kurių kiekvienam ši taisyklė pritaikoma atskirai. Gautos reikšmės sudedamos:

\int_a^b f(x) \, dx\approx  \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg],

kur n yra dalių, į kurias suskirstomas integruojamas intervalas, skaičius (turi būti lyginis), o xi = a + ih for i = 0,1,...,n − 1,n (taip pat x0 = a ir xn = b.).

arba (tas pats)

\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg].

Didžiausia galima integravimo paklaida tuomet lygi

-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi),

kur h yra integravimo žingsnio ilgis (h = (ba) / n.)

[taisyti] Nuorodos