Интеграл

Од Википедија, слободна енциклопедија

Основен поим во теоријата на интегралното сметање е поимот интеграл, а основна задача е решавањето на интегралите и изнаоѓањето на начини за нивното решавање.

Условно, интегралите можат да се поделат на неопределени и определени.

[уреди] Неопределен интеграл

Вообичаено со разгледувањето на интегралите е да се почне со неопределените интеграли. Пред да го дефинираме неопределениот интеграл, ќе го воведеме поимот примитивна функција. Имено, нека \ f(x) е произволна функција; за функцијата \ F(x) ќе речеме дека е примитивна за \ f(x) на интервалот \ [a,b] ако за секоја точка \ x \in [a,b] важи \ F'(x) = f(x).

Ако \ F_1(x) и \ F_2(x) се примитивни за \ f(x) на даден интервал, тогаш тие се разликуваат за константа \ C, т.е.:

\ F_2(x) = F_1(x) + C, или
\ F_2(x) - F_1(x) = C, \ C \in \Bbb{R}

Дефинираме неопределен интеграл на дадена функција \ f(x): под неопределен интеграл на функција се подразбира множеството од сите примитивни функции на таа функција, т.е.:

\ \int f(x)\ = {F(x) + C}

каде \ F(x) е примитивна функција на \ f(x), а \ C \in \Bbb{R} е произволен. Функцијата \ f(x) се нарекува подинтегрална функција или интегранд, а постапката на одредување на неопределениот интеграл, интегрирање.

Повообичаена ознака за интегралите (и неопределени и определени) е онаа која содржи „показател“ по која променлива е диференцирана подинтегралната функција:

\ \int f(x)\, dx наместо \ \int f(x)

Овие „додавки“ (во случајов \ dx) се нарекуваат диференцијали и може да се рече дека потекнуваат од старата ознака за изводот на функцијата. Имено, имајќи в предвид дека:

\frac{df(x)}{dx} = f'(x),

се добива дека

\ df(x) = f'(x)dx

Изразот на десната страна кажува дека изводот на функцијата \ f(x) е пресметан во однос на променливата \ x, а под знакот на интеграл ова означува по која променлива се врши интеграцијата. Оваа „назнака“ е небитна и излишна кај функции од една променлива, но клучна кај функции од повеќе променливи.

[уреди] Својства на неопределениот интеграл

Нека \ f(x), g(x), h(x) се функции дефинирани над исто множество. Интегрирањето ги има следниве својства:

1. Секоја функција \ f(x) е примитивна на својот (прв) извод. Навистина, согласно дефиницијата на примитивна функција:

\ [f(x)]' = f'(x)

Според последново равенство може да заклучиме дека одредувањето на неопределен интеграл на дадена функција е обратна постапка (операција) на одредувањето на нејзиниот извод, т.е. точно е:

\int f'(x)\,dx = f(x) + C

каде \ C е произволен реален број и се нарекува интеграциона константа. Ќе го оправдаме нејзиното постоење согласно дефиницијата за примитивна функција: за произволен реален број \ C важи:

\ [f(x) + C]' = f'(x)

Следи \ f(x) + C е примитивна за \ f(x), значи припаѓа во множеството од примитивни функции кое по дефиниција е неопределениот интеграл на функцијата.

2. Хомогеност: ако \ f(x) има примитивна функција, тогаш за \ a \neq 0 и функцијата \ af(x) има примитивна функција и при тоа важи:

\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx

3. Адитивност: ако \ f(x) и \ g(x) имаат примитивни функции, тогаш и функцијата \ (f + g)(x) = f(x) + g(x) исто така има примитивна функција и при тоа важи:

\int (f(x) + g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

Согласно својствата 2. и 3., исто како и за диференцирањето, може да заклучиме дека интегрирањето е линеарна операција.