Интеграл
Од Википедија, слободна енциклопедија
Основен поим во теоријата на интегралното сметање е поимот интеграл, а основна задача е решавањето на интегралите и изнаоѓањето на начини за нивното решавање.
Условно, интегралите можат да се поделат на неопределени и определени.
[уреди] Неопределен интеграл
Вообичаено со разгледувањето на интегралите е да се почне со неопределените интеграли. Пред да го дефинираме неопределениот интеграл, ќе го воведеме поимот примитивна функција. Имено, нека е произволна функција; за функцијата
ќе речеме дека е примитивна за
на интервалот
ако за секоја точка
важи
.
Ако и
се примитивни за
на даден интервал, тогаш тие се разликуваат за константа
, т.е.:
, или
,
Дефинираме неопределен интеграл на дадена функција : под неопределен интеграл на функција се подразбира множеството од сите примитивни функции на таа функција, т.е.:
каде е примитивна функција на
, а
е произволен. Функцијата
се нарекува подинтегрална функција или интегранд, а постапката на одредување на неопределениот интеграл, интегрирање.
Повообичаена ознака за интегралите (и неопределени и определени) е онаа која содржи „показател“ по која променлива е диференцирана подинтегралната функција:
наместо
Овие „додавки“ (во случајов ) се нарекуваат диференцијали и може да се рече дека потекнуваат од старата ознака за изводот на функцијата. Имено, имајќи в предвид дека:
,
се добива дека
Изразот на десната страна кажува дека изводот на функцијата е пресметан во однос на променливата
, а под знакот на интеграл ова означува по која променлива се врши интеграцијата. Оваа „назнака“ е небитна и излишна кај функции од една променлива, но клучна кај функции од повеќе променливи.
[уреди] Својства на неопределениот интеграл
Нека се функции дефинирани над исто множество. Интегрирањето ги има следниве својства:
1. Секоја функција е примитивна на својот (прв) извод. Навистина, согласно дефиницијата на примитивна функција:
Според последново равенство може да заклучиме дека одредувањето на неопределен интеграл на дадена функција е обратна постапка (операција) на одредувањето на нејзиниот извод, т.е. точно е:
каде е произволен реален број и се нарекува интеграциона константа. Ќе го оправдаме нејзиното постоење согласно дефиницијата за примитивна функција: за произволен реален број
важи:
Следи е примитивна за
, значи припаѓа во множеството од примитивни функции кое по дефиниција е неопределениот интеграл на функцијата.
2. Хомогеност: ако има примитивна функција, тогаш за
и функцијата
има примитивна функција и при тоа важи:
3. Адитивност: ако и
имаат примитивни функции, тогаш и функцијата
исто така има примитивна функција и при тоа важи:
Согласно својствата 2. и 3., исто како и за диференцирањето, може да заклучиме дека интегрирањето е линеарна операција.