Grup (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Un grup este o noţiune matematică din cadrul algebrei.

[modifică] Definiţie

Un cuplu (G, \circ), format dintr-o mulţime nevidă G şi o lege de compoziţie internă "\circ" pe G, este grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

  1. Axioma asociativităţii
    Oricare ar fi x,y,z din G, (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)
  2. Axioma elementului neutru
    Există un element e în G, astfel încât e\circ x = x\circ e = x, oricare ar fi x din G
  3. Axioma elementelor simetrice
    Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea că x\circ y = y\circ x = e
    Dacă este satisfăcută şi axioma
  4. Axioma comutativităţii
    Oricare ar fi x,y din G, xoy = yox
    atunci grupul (G, \circ) se numeşte grup comutativ sau abelian.

[modifică] Exemple

  • Mulţimea numerelor întregi, împreună cu operaţia de adunare, reprezintă un grup abelian infinit.
  • Mulţimea permutărilor de n elemente, împreună cu compunerea, reprezintă un grup necomutativ finit.
  • Mulţimea matricelor m\times n inversabile peste \R, împreună cu înmulţirea matriceală, reprezintă un grup necomutativ infinit.