Ecuaţie cu derivate parţiale

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Un exemplu celebru îl constituie ecuaţia Laplace: \frac{\part^2 u}{\part x^2} + \frac{\part^2 u}{\part y^2} + \frac{\part^2 u}{\part z^2}=0, Căutăm soluţiile acestei ecuaţii sub forma unor polinoame omogene în x, y şi z.

- polinomul omogen de gradul 0: U0 = a (unde a este o constantă arbitrară) este, în mod evident, singurul polinomul omogen de gradul 0 care verifică ecuaţia Laplace

- polinomul omogen de gradul 1: U1 = ax + by + cz. Polinomul omogen de gradul 1 verifică ecuaţia Laplace pentru oricare valori ale coeficienţilor constanţi a, b şi c. Aşadar există trei soluţii liniar independente ale ecuaţiei Laplace, şi anume x, y şi z. Acestea, alături de combinaţiile lor liniare cu coeficienţi constanţi, furnizează soluţia generală a ecuaţiei Laplace sub forma unui polinom omogen de gradul 1.

- polinomul omogen de gradul 2: U2 = ax2 + by2 + cz2 + dxy + eyx + fzx

Calculăm succesiv:

\frac{\part^2 U_2}{\part x^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2a

\frac{\part^2 U_2}{\part y^2} =\frac{\part^2}{\part y^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2b

\frac{\part^2 U_2}{\part z^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyx+fzx)=2c

Sumând cele trei expresii şi egalând cu O, conform ecuaţiei Laplace, obţinem 2a + 2b + 2c = 0, adică a + b + c = 0. Punând, de exemplu, c = − ab, obţinem, după o rearanjare a termenilor,forma generală a polinoamelor omogene de gradul 2 care verifică ecuaţia Laplace:

U2 = ax2 + by2 + ( − ab)z2 + dxy + eyx + fzx

= ax2 + by2az2bz2 + dxy + eyx + fzx

= a(x2z2) + b(y2z2) + dxy + eyx + fzx


De aici obţinem 5 soluţii liniar independente ale ecuaţiei Laplace în cazul polinomului omogen de gradul 2.

- polinomul omogen de gradul 3: U3 = ax3 + by3 + cz3 + dx2y + exz + fy2x + gy2z + hz2x + kz2y + lxzy

Calculăm succesiv:

\frac{\part^2 U_3}{\part x^2} =\frac{\part^2}{\part x^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy) =

=\frac{\part}{\part x} (3ax^2+2dxy+2exz+fy^2+hz^2+lzy =6ax+2dy+2ez


\frac{\part^2 U_3}{\part y^2} =\frac{\part^2}{\part y^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy) =

=\frac{\part}{\part y}(3by^2+dx^2+2fyx+2gyz+kz^2+lxz) =6by+2fx+2gz


\frac{\part^2 U_3}{\part z^2} =\frac{\part^2}{\part z^2}(ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fy^2x+gy^2z+hz^2x+kz^2y+lxzy )=

=\frac{\part}{\part z}(3cz^2+ex^2+gy^2+2hzx+2kzy+lxy)=6cz+2hx+2ky

Sumând cele trei expresii şi egalând cu O, conform ecuaţiei Laplace, obţinem 6ax + 2dy + 2ez + 6by + 2fx + 2gz + 6cz + 2hx + 2ky = 0,

adică x(6a + 2f + 2h) + y(6b + 2d + 2k) + z(6c + 2e + 2g) = 0

Împărţind prin 2, obţinem

x(3a + f + h) + y(3b + d + k) + z(3c + e + g) = 0

Egalând cu 0 coeficienţii lui x, y şi z, obţinem trei ecuaţii pentru coeficienţi.

3a + f + h = 0 => a = -\frac{1}{3}(f+h )

3b + d + k = 0 => b = -\frac{1}{3}(d+k )

3c + e + g = 0 => c = -\frac{1}{3}(e+g )

De aici obţinem 7 soluţii liniar independente ale ecuaţiei Laplace în cazul polinomului omogen de gradul 3.