Axioma paralelelor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Această axiomă a fost enunţată în antichitate de către gînditorul Euclid, în cartea sa Elemente, fiind cea de a cincea şi ultima axiomă dată de autor la începutul lucrării. Importanţa ei probabil că a fost evidentă şi pentru Euclid, pentru că primele 28 de propoziţii pe care le prezintă pot fi demonstrate şi fără ea. Astăzi, geometria care nu respectă axiomele lui Euclid se numeşte ne-euclidiană, iar cea care nu respectă axioma paralelelor (dar le respectă pe celelalte) se numeşte „absolută”.

Încercările făcute de-a lungul a 2000 de ani de a demonstra acest rezultat au dus la un pas foarte mare în înţelegerea a ce este matematica.

[modifică] Enunţ

Două drepte tăiate de o secantă se întîlnesc de acea parte a secantei pe care suma unghiurilor alterne interne e mai mică decît suma a două unghiuri drepte.

[modifică] Alte enunţuri echivalente

Anumite proprietăţi ale geometriei plane sunt echivalente cu această axiomă, adică pot fi demonstrate într-un sistem în care ea este valabilă, iar dacă una dintre aceste proprietăţi este presupusă ca axiomă a unui sistem, atunci în acel sistem este valabilă axioma lui Euclid.

Cea mai cunoscută axiomă echivalentă este a lui Playfair:

Printr-un punct exterior unei drepte trece exact o paralelă la dreapta dată.

Este posibil ca Euclid să nu fi ales această exprimare pentru că nu specifică şi cum se construieşte dreapta paralelă cu cea dată, ori la grecii antici un obiect (geometric) nu putea să existe dacă nu se cunoştea o metodă de a-l construi.

Iată unele dintre exprimările echivalente axiomei lui Euclid:

  1. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.
  2. Există un triunghi a cărui sumă a unghiurilor este 180°.
  3. Suma unghiurilor oricărui triunghi este aceeaşi.
  4. Există o pereche de triunghiuri asemenea, dar care nu sunt congruente.
  5. Orice triunghi poate fi circumscris.
  6. Dacă trei unghiuri ale unui patrulater sunt drepte, al patrulea este de asemenea drept.
  7. Există un patrulater cu toate unghiurile drepte.
  8. Există o pereche de drepte care sunt la distanţă constantă.
  9. Două linii paralele cu o a treia sunt paralele între ele.
  10. Oricare ar fi două drepte paralele, o dreaptă care intersectează una dintre ele o intersectează şi pe a doua.
  11. Într-un triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (Teorema lui Pitagora).
  12. Nu există o limită superioară pentru aria unui triunghi. [1]

Aceste enunţuri par evidente, şi multe aşa-zise demonstraţii ale axiomei lui Euclid le-au folosit (în mod eronat). Totuşi, acelea care folosesc conceptul de paralelism nu mai sunt atât de evidente dacă se face diferenţa între cele trei definiţii folosite în mod obişnuit pentru paralelism: distanţă constantă, lipsa unui punct de intersecţie sau unghiuri egale la intersecţia cu o a treia dreaptă - de fapt chiar echivalenţa acestor afirmaţii este un sinonim pentru axioma lui Euclid.