Asymptotická hustota
Z Wikipédie
Asymptotická hustota je v matematike, voľne povedané, jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel zastúpené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota d(A) množiny A prirodzených čísel definovaná vzťahom
kde je počet všetkých prvkov množiny A, ktoré sú menšie než prirodzené číslo n. Ak táto limita v definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina A má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.
[úprava] Príklady
- Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
- Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
- Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných šísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
- Množina štvorcov, množina prvočísiel a množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
- Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je
.
- O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial sa ju ale nikomu nepodarilo vyjadriť v uzavretom tvare. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].
[úprava] Vlastnosti
- Ak množina A má asymptotickú hustotu, potom platí d(Ac) = 1 − d(A), kde Ac je komplement množiny A vzhľadom k množine prirodzených čísel.