Funkcia

Z Wikipédie

Pojem zobrazenia alebo funkcie, ako sa tiež často nazýva, patrí medzi najzákladnejšie v matematike. Pôvodne vznikol ako abstrakcia vzťahov a pozorovaných zákonitostí v prírodných vedách (napr. veľkosť gravitačnej sily, ktorou je priťahované teleso k inému telesu, závisí od ich hmotností; počet jedincov za určitých podmienok je závislý od času a i.). Zobrazenie vyjadruje pravidlo, ktoré nejakému prvku jednej množiny priradí práve jeden prvok inej množiny.

[úprava] Definícia

Zobrazenie (funkcia) \varphi z množiny A do množiny B je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu A\times B, ktorá spĺňa nasledovné vlastnosti:

  • \forall a \in A \exists b\in B: (a,b)\in \varphi,
  • \forall a \in A, \forall b_1,b_2 \in B ak(a,b_1)\in\varphi, (a,b_2)\in\varphi, potom b1 = b2.

Prvá vlastnosť hovorí, že každému prvku množiny A musí zobrazenie \varphi priradiť aspoň jeden prvok množiny B, kým druhá hovorí, že ho môže priradiť najviac jeden. Inými slovami, zobrazenie priradí každému prvku množiny A práve jeden prvok množiny B.

Množine A hovoríme definičný obor (alebo len obor, niekedy aj doména), množine B koobor (alebo kodoména).

Obor hodnôt zobrazenia \varphi je množina všetkých takých prvkov množiny B na ktoré sa v zobrazení \varphi zobrazuje nejaký prvok množiny A.

Fakt, že (a,b)\in \varphi, často označujeme buď tzv. prefixovým zápisom: \varphi(a)=b alebo postfixovým zápisom: a\varphi=b. Druhá forma sa používa hlavne v algebre.

Z historických dôvodov sa hovorí v niektorých prípadoch zobrazeniam (hlavne, ak je definičný obor karteziánska mocina) operácie (napr. hovoríme o operácii sčítania či násobenia) a symbolom označujúcim operáciu operátory. Pri binárnych operáciach používame najčastejšie na zápis poznatku ((a_1,a_2),b) \in \varphi tzv. infixový zápis: a_1\varphi a_2=b.

[úprava] Elementárne funkcie