Asymptotická hustota

Z Wikipédie

Asymptotická hustota je v matematike, voľne povedané, jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel zastúpené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota d(A) množiny A prirodzených čísel definovaná vzťahom

d(A) = \lim_{n\to\infty} \frac{A(n)}{n}

kde A(n)=\left|A\cap\{1,2,3,\ldots,n\}\right| je počet všetkých prvkov množiny A, ktoré sú menšie než prirodzené číslo n. Ak táto limita v definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina A má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.

[úprava] Príklady

  • Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
  • Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
  • Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných šísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
  • Množina štvorcov, množina prvočísiel a množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
  • Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je
A = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{n\in\mathbb{N}\,|\,2^{2n+1}-2^{2n-1}\le n \le2^{2n+1}\}.
  • O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial sa ju ale nikomu nepodarilo vyjadriť v uzavretom tvare. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].

[úprava] Vlastnosti

  • Ak množina A má asymptotickú hustotu, potom platí d(Ac) = 1 − d(A), kde Ac je komplement množiny A vzhľadom k množine prirodzených čísel.
Iné jazyky