Gradient
Z Wikipédie
Gradient (priamy preklad z angličtiny: sklon, spád) je zovšeobecnenie sklonu (strmosti) funkcie pre viacero premenných. Je to vektor prvých derivácií podľa jednotlivých premenných nejakej funkcie. Jeho smer je smerom najväčšej zmeny tejto funkcie.
Aplikáciou gradientu na skalárne pole dostaneme vektorové pole.
[úprava] Matematická definícia
Gradient sa značí symbolom (nabla), niekedy ho však označujeme jednoducho grad. Pre skalárne pole φ(x,y,z) počítame jeho gradient
pomocou vzťahu (symbol
označuje parciálnu deriváciu)
Samotný vektorový operátor gradientu môžeme preto zapísať ako
[úprava] Príklad výpočtu
Zoberme si φ(x,y,z) = xy2 + z. Gradient takéhoto poľa je
(na prvom mieste je derivácia φ podľa x, na druhom podľa y, na treťom podľa z).
[úprava] Názorné vysvetlenie
Začneme pojmom skalárne pole z úvodného odstavca. To v skutočnosti neznamená nič iné než mať priradené číslo (skalár) každému bodu priestoru. Z bežného života si môžeme predstaviť miestnosť a meranie teploty v nej (pri okne je chladnejšie ako nad radiátorom). Skalárne pole T(x,y,z) nám potom udáva teplotu v bode miestnosti so súradnicami (x,y,z). Úlohou gradientu je do každého bodu priestoru položiť vektor (šípku) ukazujúci, ktorým smerom teplota najviac rastie. No a priestor, ktorý má v každom bode vektor nazývame vektorové pole. Veľkosť vektora je určená veľkosťou rastu teploty v danom smere – čím rýchlejšie sa teplota mení, tým väčší je vektor. Môžeme teda zhrnúť, že aplikáciou gradientu na skalárne pole teda dostávame vektorové pole.
Podobne si môžeme namiesto trojrozmernej miestnosti predstaviť niečo jednoduchšie – dvojrozmernú plochu. Kopec potom vieme matematicky vyjadriť pomocou funkcie h(x,y) vyjadrujúcej výšku kopca nad bodom so súradnicami (x,y). Gradient opäť ukazuje smer najprudšieho stúpania v danom bode kopca (je dobré si uvedomiť, že tento smer nemusí byť totožný so smerom k vrcholu kopca).