Sigma algebra

Z Wikipédie

Obsah

[úprava] Definícia

σ-algebra je usporiadaná dvojica (Ω,S), kde Ω je ľubovoľná množina a S \subseteq 2^\Omega, pričom platí:

  • \Omega \in S,
  • ak M \in S, potom aj \Omega \backslash M \in S,
  • ak M_1,M_2, \ldots \in S je postupnosť množín z S, potom \bigcup_{i=1}^\infty M_i \in S.

(2Ω je zápis pre potenčnú množinu množiny Ω.)

Keďže triviálna σ-algebra (v ktorej \Omega = \emptyset) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou \Omega \neq \emptyset).

Na σ-algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.

[úprava] Príklady

  • najjednoduchšia σ-algebra nad ľubovoľnou množinou Ω: (\Omega, \{\emptyset, \Omega\}),
  • \left(\{1,2,3\}, \{\emptyset, \{1,2\}, \{3\}, \{1,2,3\}\}\right),
  • (Ω,S), kde Ω je ľubovoľná nespočítateľná množina a S je systém všetých jej spočítateľných podmnožín a podmnožín, ktoré majú spočítateľný komplement,
  • Borelova UNIQ46ebd0cc6d7a7e74-math-00000089-QINU-algebra (σ-algebra borelovských množín) je σ-algebra nad ľubovoľným topologickým priestorom generovaná všetkými jeho otvorenými množinami.

[úprava] Vlastnosti

Nie je ťažké ukázať, že každá σ-algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú σ-algebru (Ω,S) platia nasledujúce tvrdenia:

  • ak M_1, M_2 \ldots, \in S, potom \cap_{i=1}^\infty M_i \in S,
  • ak M_1, M_2, \ldots, M_n \in S, potom \cap_{i=1}^n M_i \in S,
  • ak M_1, M_2, \ldots, M_n \in S, potom \cup_{i=1}^n M_i \in S.

Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá σ-algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.

Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik σ-algebier (teda (\Omega, S_1 \cap S_2) pre σ-algebry (Ω,S1) a (Ω,S2)) je znova σ-algebra.

[úprava] Sigma-algebra generovaná množinou

Ak máme danú nejakú množinu Ω, je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou S \subseteq 2^\Omega nemusia tvoriť σ-algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia σ-algebra obsahujúca celú množinu S.

Formálne, nech je daná (neprázdna) množina Ω a množina S \subseteq 2^\Omega. Nech S_\sigma = \bigcap\{T \supseteq S ~ | ~ T \subseteq 2^\Omega; (\Omega, T) ~ je ~ \sigma-algebra \} (teda Sσ je prienik všetkých systémov T podmnožín množiny Ω, ktoré obsahujú S, a súčasne (Ω,T) je σ-algebra). Potom hovoríme, že σ-algebra (Ω,Sσ) je σ-algebra generovaná množinou (systémom množín) S.

Významným príkladom σ-algebry generovanej množinou je σ-algebra borelovských množín.