Dirichletova funkcia

Z Wikipédie

Dirichletova funkcia je funkcia, ktorá je definovaná na obore všetkých reálnych čísel a pritom nie je spojitá v žiadnom bode.

[úprava] Definícia

Dirichletova funkcia D(x) je definovaná následujúcim predpisom:

D(x)=\begin{cases}   \mbox{1 ak x je racionalne cislo} \\   \mbox{0 ak x je iracionalne cislo}  \end{cases}


Skutočný graf tejto funkcie nemožno žiadnym spôsobom nakresliť ani si ho predstaviť, čo viedlo mnohých matematikov hlavne v 19. storočí k pochybnostiam, či je Dirichletova funkcia skutočne funkciou či akousi "príšerou", ktorá nepatrí do matematiky. Dnes už matematika celkom bez námietok uznáva aj omnoho zvláštnejšie funkcie.

[úprava] Vlastnosti

Dirichletova funkcia:

[úprava] Lebesgueov integrál Dirichletovej funkcie

Môžeme ho uviesť napr. na intervale \mathbf{I}=\langle 0,1\rangle, podľa teórie Lebesgueovho integrálu má byť interval cez ktorý integrujeme lebesgueovsky merateľný. Interval \mathbf{I}=\langle 0,1\rangle je podmnožina množiny reálnych čísel, teda je to zjednotenie množiny racionálných čísel a množiny iracionálných čísel (teda množina iracionálnych čísel je rovná množinovému rozdielu reálne čisla – racionálne čísla :\mathbb{R - Q}.Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  :\mathbb{Q} (racionálne čísla) rovná 0, :\mu(\mathbf{Q}) =0, pretože ide o spočítateľnú množinu, teda príspevok všetkých racionálnych čisel k integrálu je 0. Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny  :\mu(\mathbf{R-Q}) =1 ( na intervale \mathbf{I}=\langle 0,1\rangle ).Avšak v iracionálnych čislach je \ D(x) =0, teda aj príspevok iracionálnych je rovný 0. Teda platí, že \int_\mathbf{I} D(x)\mathrm{d}x = 0.