Sigma algebra
Z Wikipédie
Obsah |
[úprava] Definícia
σ-algebra je usporiadaná dvojica (Ω,S), kde Ω je ľubovoľná množina a , pričom platí:
,
- ak
, potom aj
,
- ak
je postupnosť množín z S, potom
.
(2Ω je zápis pre potenčnú množinu množiny Ω.)
Keďže triviálna σ-algebra (v ktorej ) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou
).
Na σ-algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.
[úprava] Príklady
- najjednoduchšia σ-algebra nad ľubovoľnou množinou Ω:
,
,
- (Ω,S), kde Ω je ľubovoľná nespočítateľná množina a S je systém všetých jej spočítateľných podmnožín a podmnožín, ktoré majú spočítateľný komplement,
- Borelova UNIQ46ebd0cc6d7a7e74-math-00000089-QINU-algebra (σ-algebra borelovských množín) je σ-algebra nad ľubovoľným topologickým priestorom generovaná všetkými jeho otvorenými množinami.
[úprava] Vlastnosti
Nie je ťažké ukázať, že každá σ-algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú σ-algebru (Ω,S) platia nasledujúce tvrdenia:
- ak
, potom
,
- ak
, potom
,
- ak
, potom
.
Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá σ-algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.
Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik σ-algebier (teda pre σ-algebry (Ω,S1) a (Ω,S2)) je znova σ-algebra.
[úprava] Sigma-algebra generovaná množinou
Ak máme danú nejakú množinu Ω, je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou nemusia tvoriť σ-algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia σ-algebra obsahujúca celú množinu S.
Formálne, nech je daná (neprázdna) množina Ω a množina . Nech
(teda Sσ je prienik všetkých systémov T podmnožín množiny Ω, ktoré obsahujú S, a súčasne (Ω,T) je σ-algebra). Potom hovoríme, že σ-algebra (Ω,Sσ) je σ-algebra generovaná množinou (systémom množín) S.
Významným príkladom σ-algebry generovanej množinou je σ-algebra borelovských množín.