Komplexné čísla

Z Wikipédie

Nemecký matematik Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
Zväčšiť
Nemecký matematik Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

Komplexné čísla sú zovšeobecnením pojmu reálne čísla. V obore reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice riešenie. Ak zadefinujeme číslo i, ako riešenie rovnice x2 = − 1, tak všetky polynomiálne rovnice riešenie mať budú.

Obsah

[úprava] Reálne čísla

Väčšina ľudí pozná iba reálne čísla. Nachádzajú sa v jednom rade usporiadané podľa veľkosti. Tento rad reálnych čísel nazývame číselná os. Číselná os má rozmedzie od mínus nekonečna až po plus nekonečno. Keď si túto os predstavíme ako priamku, ktorá leží v rovine, logicky sa spýtame, či aj v iných bodoch roviny okrem bodov tejto priamky môžeme nájsť nejaké čísla.

[úprava] Imaginárne čísla

Ukazuje sa, že áno. Aj v iných miestach roviny sa nachádzajú čísla. Tieto čísla nazývame imaginárne čísla. Dokopy so všetkými reálnymi číslami tvoria množinu všetkých komplexných čísel. Definoval ich nemecký matematik Gauss a podľa neho sa aj táto rovina čísel pomenovala Gaussova rovina. Túto rovinu rozdeľujú dve osi — už spomínaná číselná os, ktorú budeme pokladať za os x (reálna os) a na ňu kolmá os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa pretínajú v bode [0;0].

[úprava] Zápis komplexných čísel

Komplexné čísla sa od reálnych líšia svojím zápisom. Kým na zápis reálneho čísla potrebujeme iba jedno reálne číslo, ktoré určuje jeho polohu na číselnej osi, na zápis komplexného čísla potrebujeme dve reálne čísla. Jedno určuje reálnu časť komplexného čísla — jeho priemet do osi x — a druhé jeho imaginárnu časť — jeho priemet do osi y. Komplexné číslo potom zapíšeme ako výraz a + b*i, kde a je jeho reálna časť, b je jeho imaginárna časť a i je jednotkový vektor v Gaussovej rovine v smere imaginárnej osi y. Podobne je číslo 1 jednotkovým vektorom v smere osi x. Na osi x je napríklad číslo 8 dané ako 8-násobok jednotkového vektora 1, t.j. 8 = 8*1. Tento jednotkový vektor však kvôli úspornosti nepíšeme. V druhom člene výrazu však musíme použiť písmeno i, keďže nejde o reálne číslo. Čiže zápis čísla uvedeného na obrázku bude takýto: 3 + 4*i.

[úprava] Algebrický tvar

Zápisu komplexných čísel v tvare a + b*i, kde a, b sú reálne čísla hovoríme algebrický tvar komplexných čísel. Z obrázku vidíme, že každé komplexné číslo v rovine môžeme zaznačiť ako vektor so začiatkom v bode so súradnicami [0;0] a koncom v súradniciach daných zápisom tohoto čísla, v našom prípade [3;4].

Dve komplexné čísla sú rovnaké práve vtedy, ak vektory, ktoré ich predstavujú sú rovnaké. Pojem väčšie alebo menšie pri komplexných číslach nedefinujeme.

[úprava] Goniometrický tvar

Jestvujú aj ďalšie spôsoby, ktorými môžeme zapísať komplexné číslo. Jedným z nich je goniometrický tvar komplexného čísla. Pri tomto zápise je potrebné poznať dve veci:

  1. veľkosť komplexného čísla, t.j. dĺžku šípky, ktorou je znázornené v Gaussovej rovine
  2. uhol ktorý zviera s reálnou osou x.

Potom má komplexné číslo tvar

c(cosφ + isinφ)

kde c je veľkosť komplexného čísla a φ je uhol, ktorý zviera s reálnou osou. Tento tvar je veľmi jednoducho možné odvodiť z pravouhlého trojuholníka, ktorý vznikne priemetmi vektora komplexného čísla na reálnu a imaginárnu os a zo znalostí funkcií sínus a kosínus.

[úprava] Použitie

Dobre sa využívajú vo fyzike, v elektronike alebo v 3D grafike.

Vo fyzike sa dobre používajú všade tam, kde pracujeme s vlnami, napr. elektromagnetické polia (Maxwellove rovnice) alebo v aerodynamike alebo hydrodynamike.

V elektronike napríklad keď pracujeme so striedavými prúdmi a v obvode máme okrem odporov aj kondenzátory alebo cievky. Vtedy počítame tak akoby sme mali v obvode len odpory, čo sa počíta dosť ľahko. Keby sme ten istý obvod počítali bez komplexných čísel, tak miesto pár riadkov to máme rozťahané na dve strany.

V 3D grafike je to dobré, keď počítame aj lomy svetla na rozhraní priesvitných materiálov alebo na tenkých vrstvách (olej na vode). Takto vytvoríme aj bez rádiozity vysokoreálne obrázky.

[úprava] Operácie s komplexnými číslami

S komplexnými číslami môžeme vykonávať také isté operácie ako s reálnymi číslami, napríklad môžeme ich sčítavať, odčítavať, násobiť, deliť, umocňovať alebo odmocňovať. Všetky tieto operácie sú analogické operáciám s reálnymi číslami.

[úprava] Sčítavanie komplexných čísel

Dve komplexné čísla sčítavame tak, že sčítavame ich vektory. Do koncového bodu vektora prvého čísla umiestnime začiatočný bod vektora druhého čísla. Výsledkom je vektor, ktorý spája začiatočný bod vektora prvého čísla s koncovým bodom vektora druhého čísla. Výsledkom sú koncové súradnice výsledného vektora v Gaussovej rovine. Súčet dvoch komplexných čísel možno urobiť aj algebricky: Majme dve komplexné čísla, (a + b*i) a (c + d*i). Ich súčet vypočítame ako (a + b*i) + (c + d*i) = a + c + b*i + d*i = [(a +c) + i*(b + d)]. Vidíme, že súčtom dvoch komplexných čísel je znovu komplexné číslo, ktorého reálna časť je (a + c) a imaginárna časť je (b + d).

Ak máme dané dve komplexné čísla x = a + b*i a y = c + d*i, tak ich súčet je komplexné číslo, pre ktoré platí:

x + y = (a + c) + i(b + d)

Ak chceme sčítať viac komplexných čísel, najprv sčítame podľa vyššie uvedeného spôsobu dve čísla, potom k výslednému vektoru pripočítame vektor tretieho čísla atď.

[úprava] Odčítavanie komplexných čísel

Postupujeme tým istým spôsobom ako pri sčítavaní. Do koncového bodu vektora prvého čísla umiestnime začiatočný bod vektora druhého čísla, ale tento vektor bude otočený o 180° oproti pôvodnému vektoru druhého čísla. Výsledným vektorom je opäť spojnica začiatočného bodu vektora prvého čísla a koncového bodu vektora druhého čísla.

Rozdiel dvoch komplexných čísel možno urobiť aj algebricky: Majme dve komplexné čísla, (a + b*i) a (c + d*i). Ich rozdiel vypočítame ako (a + b*i) – (c + d*i) = a – c + b*i – d*i = [(a – c) + i*(b – d)]. Vidíme, že súčtom dvoch komplexných čísel je znovu komplexné číslo, ktorého reálna časť je (a – c) a imaginárna časť je (b – d).

Ak máme dané dve komplexné čísla x = a + b*i a y = c + d*i, tak ich rozdiel je komplexné číslo, pre ktoré platí:

xy = (ac) + i(bd)

Pri odčítavaní viacerých komplexných čísel odčítame najprv od vektora prvého čísla vektor druhého čísla, od výsledného vektora vektor tretieho čísla atď.

[úprava] Násobenie komplexných čísel

Násobenie komplexných čísel definujeme na prvý pohľad trochu čudne. Zahŕňa v sebe dve geometrické transformácie, rovnoľahlosť (t.j. natiahnutie alebo skrátenie) a otáčanie.

Keď v Gaussovej rovine násobíme dvomi reálne číslo 3, dostaneme reálne číslo 6. Jeho vektor je v Gaussovej rovine dvojnásobne natiahnutý oproti vektoru pôvodného čísla 3. Čiže násobenie reálnych čísel môžeme geometricky chápať ako naťahovanie (prípadne skracovanie) vektora pôvodného čísla.

Pri násobení komplexných čísel nevystačíme len s jednou geometrickou transformáciou v rovine. Na pomoc si vezmeme ešte otáčanie. Ak chceme vynásobiť dve komplexné čísla, musíme najprv otočiť proti smeru pohybu hodinových ručičiek prvé číslo o uhol, ktorý zviera druhé číslo s reálnou osou a potom ho ešte musíme natiahnuť na ťoľkonásobok jeho dĺžky, aká je absolútna hodnota druhého čísla. Inak povedané: Pri násobení dvoch komplexných čísel musíme vypočítať súčet uhlov, ktoré zvierajú vektory daných komplexných čísel s reálnou osou x. Výsledný vektor bude s osou x zvierať uhol rovný súčtu pôvodných uhlov vektorov daných čísel. Veľkosť výsledného vektora bude predstavovať súčin absolútnych hodnôt veľkostí vektorov daných čísel.

Násobiť viac komplexných čísel znamená vynásobiť najprv dve a potom výsledný vektor vynásobiť tretím komplexným číslom atď.

Podobne ako súčet a rozdiel, nemusíme súčin dvoch komplexných čísel robiť iba graficky. Môžeme ho vyjadriť aj výpočtom. Nech sú dané dve komplexné čísla x = a + bi, y = c + di, ich súčin je:

x * y = (a + bi) * (c + di) =

= a*c + a*di + b*ci + b*di*i =

= a*c + (a*d + b*c)i + b*di²

V poslednom zápise sa vyskytuje číslo i umocnené na druhú. Čomu sa rovná tento výraz? Skúsme už s našimi vedomosťami vynásobiť číslo i samo sebou. Vieme, že toto číslo je jednotkový vektor na imaginárnej osi y, čiže zviera s osou x uhol veľkosti 90°. Keď násobíme dané číslo samo sebou, potom súčet uhlov musí byť dvakrát väčší ako pôvodný uhol. Čiže výsledný vektor bude ležať v smere 180° od osi x. Z toho vyplýva, že výsledný vektor bude ležať na osi x, ale v jej zápornej časti. Veľkosť tohoto vektora bude 1*1 = 1, pretože vektor i má veľkosť 1 (jednotkový vektor). Tým zisťujeme, že vektor čísla i² bude ležať na reálnej osi x, bude mať veľkosť 1 a bude orientovaný v jej zápornom smere. Výsledné číslo tým bude mať súradnice [–1;0]. Čiže môžeme napísať slávny vzťah:

i² = -1

Po vyjadrení i² = –1 dostávame pre súčin dvoch komplexných čísel vzťah:

x * y = a*c + (a*d + b*c)i + (-1)*b*d =
= (a*c - b*d) + (a*d + b*c)i

V tejto poslednej rovnici je výraz (a*cb*d) reálnou časťou komplexného čísla (súradnica na osi x) a výraz (a*d + b*c)i je imaginárnou časťou komplexného čísla (výraz v zátvorke určuje súradnicu a písmeno i pred zátvorkou naznačuje, že ide o súradnicu osi y). Perfektné je to, že sme zistili, že súčinom dvoch komplexných čísel je znovu komplexné číslo! Naša definícia násobenia je teda v poriadku. Ak máme dané dve komplexné čísla x = a + bi a y = c + di, tak ich súčin je komplexné číslo, pre ktoré platí:

x * y = (a*cb*d) + (a*d + b*c)i

[úprava] Delenie komplexných čísel

x / y = (a + bi) / (c + di) =
((a + bi)*(c - di)) / ((c + di)*(c - di)) =
((a*c - b*d) + (b*c - 'a*d')i) / (c² + d²)