Schrödingerova rovnica

Z Wikipédie

Schrödingerova rovnica je základná diferenciálna rovnica, ktorá určuje vývoj fyzikálneho systému vo formalizme vlnovej mechaniky.Sformuloval ju v roku 1925 Erwin Schrödinger. Jej zjednodušené odvodenie:

Postupnej vlne šíriacej sa v smere x a určenej veličinami zo vzťahov pre de Broglieove vlny zodpovedá vlnová funkcia

ψ(x,t) = ei(kx − ωt),

kde uhlová frekvencia ω je definovaná vzťahom

ω = 2πν

a vlnové číslo k je definované ako

k = 2\pi\ / \lambda.

Pretože platí

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=E\psi

a

-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial x}=p\psi,

energie a hybnosť spojené s touto vlnou vlastnými stavmi diferenciálnych operátorov i\hbar\partial / \partial t a -i\hbar\partial / \partial x. Tieto operátory zodpovedajú energii a hybnosti vo všeobecnom kvantovo mechanickom zmysle, takže môžeme stotožniť operátory E s i\hbar\partial / \partial t a px s -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}, alebo môžeme posledný vzťah zovšeobecniť na trojrozmerný priestor a zapíšeme vektorovo:

\vec p s - i \hbar\nabla,

kde \nabla (nabla) je operátor vektorového gradientu

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}).

Klasická energia je súčtom kinetickej a potenciálnej energie. Pre časticu s hmotnosťou m, pohybujúcu sa v potenciáli V je daná ako

E = \frac{\vec p^2}{2m}+V.

Ak tento vzťah vyjadríme pomocou kvantovo mechanických operátorov a necháme pôsobiť diferenciálne operátory na vlnovú funkciu \psi(\vec x, t), dostaneme konečný tvar Schrödingerovej rovnice:

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=[-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V(\vec x)]\psi.

Operátor v hranatej zátvorke sa nazýva Hamiltonián.