Špicaté teleso

Z Wikipédie

Špicaté teleso
Objem V=S_b.\frac{1}{3}v
Povrch P = \int_0^l{L(i)di}

Špicaté teleso je teleso so základňou, kde všetky body na obvode sú spojené s vrcholom, kde

Sb je plocha základne naspodku (najväčšia)
v je výška vrcholu od základne (kolmá)

[úprava] Výpočty

[úprava] Objem

Objem sa počíta tak, že naše teleso rozsekáme po výške (os y) na tenké plátky s hrúbkou dy a tie zintegrujeme dokopy integrálom

V = \int_0^v{S(y)dy}
kde S(y)=S_b.(1-\frac{y}{v})^2 = S_b.(1-\frac{2.y}{v}+\frac{y^2}{v^2})

potom

V = S_b\int_0^v{(1-\frac{2.y}{v}+\frac{y^2}{v^2})dy}=S_b.[y-\frac{2.y^2}{2v}+\frac{y^3}{3.v^2} ]_0^v=S_b.(v-\frac{2.v^2}{2v}+\frac{v^3}{3.v^2}-0)=S_b.(v-v+\frac{v}{3})

z toho vyplýva, že

V=S_b.\frac{1}{3}v

a vidíme, že je úplne jedno, aký tvar má základňa, a kde je vrchol, dôležité je len, v akej kolmej výške od základne sa vrchol nachádza, a môže byť aj mimo základne alebo nad ňou alebo hocikde.

[úprava] Povrch

Povrch vypočítame tak, že sčítame povrch základne a plášťa. Povrch plášťa zase tak, že obvod základne rozdelíme na bodíky s hrúbkou di a dĺžkou L(i),

kde L(i) je dĺžka spojnice bodíka di a vrcholu.

P = \int_0^l{L(i)di}